integração de funções racionais
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-
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1
Integrao de funes racionais.
Sejam
0,)( 012
2
1
1 +++++=
m
m
m
m
mm aaxaxaxaxaxP L
e
0,)( 012
2
1
1 +++++=
n
n
n
n
nn bbxbxbxbxbxQ L
polinmios de varivel real com coeficientes reais.
Definio. Funo racional qualquer funo )(xf representvel por um quociente de
dois polinomios, isto ,)(
)()(
xQ
xPxf
n
m= .
Consideramos, sem restringir a generalidade, que estes polinmios no tm
raizes comuns.
Se a ordem do polinmio ao numerador e inferior ao do denominador, nm < ,
diz-se que a funo racional)()()(
xQxPxf
n
m= regular.
Se a ordem do polinmio ao numerador e superior ou igual ao do denominador,
nm , diz-se que a funo racional)(
)()(
xQ
xPxf
n
m= irregular.
Exemplos de funes racionais:
14
2734)(
3
245
+
+=
xx
xxxxf funo racional irregular.
13
2)(
35
235
++
+=
xxx
xxxxf funo racional irregular.
1
23)(
24
23
+
+=
xx
xxxf funo racional regular.
14
3)(
3+
=xx
xf funo racional regular.
Se a funo racional)(
)()(
xQ
xPxf
n
m= irregular, dividindo o polinmio do
numerador pelo polinmio do denominador (segundo a regra de diviso dos polinmios)
podemos representar a funo inicial (irregular) como soma de um polinmio e uma
funo regular:
)(
)()(
)(
)(
xQ
xRxQ
xQ
xP
nn
m+= ,
-
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2
em que )(xQ um polinmio e representa o quociente da diviso do polinmio do
numerador pelo polinmio do denominador e)(
)(
xQ
xR
n
uma fraco regular onde )(xR
o resto da diviso.
Regra de diviso dos polinmios.
Para dividir o polinmio do numerador pelo polinmio do denominador
aplicamos um algoritmo semelhante ao algoritmo da diviso utilisado na aritmtica:
Denotamos:
Dividendo: 0,)( 012
2
1
1 +++++=
m
m
m
m
mm aaxaxaxaxaxP L .
Divisor: 0,)( 012
2
1
1+++++=
n
n
n
n
nn bbxbxbxbxbxQ L .Quociente: )(xQ .
Resto da diviso: )(xR .
Passo 1. Esrevemos os polinmios )(xPm e )(xQn na ordem decrescente dos
expoentes dos seus termos e complectamo-los com os termos de coeficientes zero.
Passo 2. Dividimos o termo de maior grau do dividendo )(xPm pelo termo de maior
grau do divisor )(xQn . Obtm-se, desta forma, o primeiro termo do quociente )(xQ .
A seguir, multiplicamos o termo obtido pelo divisor e subtramos o produto obtido do
dividendo.
Caso o polinmio que representa a diferena obtida tenha grau maior ou igual
ao do divisor, ele passa a ser um novo dividendo e repete-se o algoritmo a partir do 2
passo.
Caso o polinmio que representa a diferena obtida tenha grau inferior ao do
divisor ele representa o resto )(xR e portanto obtemos a representao
)(
)()(
)(
)(
xQ
xRxQ
xQ
xP
nn
m+= .
Exemplos de diviso de polinmios:
Exemplo 1. Sejam 2734)( 2455 += xxxxP e 14)(3
3 += xxxQ .
Passo 1.
207034)( 23455 +++= xxxxxxP e 140)(23
3 ++= xxxxQ .
Passo 2.
2
23
________________________________________________234
2345
2345
4
140
203163
41604
207034
x
xxx
xxxx
xxxx
xxxxx++
+++
++
+++
-
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3
O polinmio que representa a diferena obtida tem grau maior ao do divisor e
repetimos o passo 2.
Repetio do Passo 2.
xx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
34
140
23916
31203
203163
41604
207034
2
23
_____________________________________________23
234
________________________________________________234
2345
2345
++
++
+
+++
++
+++
O polinmio que representa a diferena obtida tem grau igual ao do divisor e
repetimos o passo 2.
Repetio do Passo 2.
1634
140
18879
1684016
23916
31203
203163
41604
207034
2
23
______________________________________________2
23
_____________________________________________23
234
________________________________________________234
2345
2345
+
++
+
++
+
+
+++
++
+++
xx
xxx
xx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
O polinmio que representa a diferena obtida tem grau inferior ao do divisor e
portanto temos:
18879)( 2 += xxxR , 1634)( 2 += xxxQ
e
14
188791634
14
188791634
14
27343
22
3
22
3
245
+
++=
+
+++=
+
+
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
xxx
Exemplo 2. Sejam 3)( 44 = xxP e 1)(2
2 += xxQ .
Passo 1.
3000)(234
4 +++= xxxxxP e 10)(2
2 ++= xxxQ .
-
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4
Passo 2.
2
2
________________________________________________
2
234
234
10
30
0
3000
x
xx
xx
xxx
xxxx++
+
++
+++
O polinmio que representa a diferena obtida tem grau igual ao do divisor e
repetimos o passo 2.
Passo 2.
1
10
2
10
30
0
3000
2
2
_________________________________________
2
________________________________________________2
234
234
++
+
+
++
+++
x
xx
xx
xx
xxx
xxxx
O polinmio que representa a diferena obtida tem grau inferior ao do divisor e
portanto temos:
2)( =xR , 1)( 2 = xxQ
e
1
21
1
21
1
32
2
2
2
2
4
+=
+
+=
+
xx
xx
x
x.
Por conseguinte a integrao de uma funo racional irregular reduz-se a
integrao de um polinmio e uma funo racional regular. Como a integrao de um
polinmio no representa dificuldades o trabalho consiste em integrar as funes
racionais regulares.
Decomposio das funes racionais regulares em fraceselementares.
Na lgebra demonstram-se :
Teorema 1. Qualquer polinmio, cujos coeficientes so nmeros reais, pode ser
representado na formast
ss
tkr
k
rr
n qxpxqxpxxxxAxQ )...()()...()()()(21
11
222
11 ++++= . (1)
onde:
a) k
,...,, 21 so as raizes reais, respectivamente, de multiplicidades krrr ,...,, 21 dopolinmio )(xQn ;
-
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b) Os polinmios quadraticos sjqxpx jj ,,1,2
L=++ , no tm raizes reais e na
factorizao de )(xQn tm, respectivamente, as multiplicidades sjtj ,,1, L= ;
c) nttrreNttrrRqpqp skskss =+++++ 2...2...,...,,,...,,,,...,, 111111 ;
A expresso (4) diz-se decomposio do polinmio )(xQn em factores do
primeiro ou segundo grau .
Teorema 2. Se a funo racional)(
)(
xQ
xR
n
regular e o polinmio )(xQn na forma (1)
e verifica as condies a), b) e c), ento a funo pode ser representada num modo
unvoco na forma
+
++
++
++
++
++
=kr
kr
kir
i
ir
i
r
r
n xC
xC
xB
xB
xA
xA
xQxR
)(......
)(......
)(...
)()( 11
11
1
1
1
s
ss
t
ss
tt
ss
t
tt
qxpx
VxU
qpx
VxU
qxpx
NxM
qxpx
NxM
)(......
)(...
22
11
11
2
11
2
11
1
11
++
+++
++
+++
++
+++
++
++ ; (2)
com
Rxqxpx jj ++ ,02 e RqpqpVUNMBA issstst ,,,...,,,,,...,,,...,,..., 111111
para todos sjki ,...,2,1;,...,2,1 == .
A expresso (2) representa o desenvolvimento de uma funo racional regular
)(
)(
xQ
xR
n
em fraces elementares e tem significado para todos kix i ,,1, L= .
Os coeficientesst
VAA ,...,, 21 calculam-se aplicando o mtodo dos coeficientes
indeterminados.
Nota:
Se ix = uma raiz real de multiplicidade um do polinmio )(xQn da funo
racional regular)(
)(
xQ
xR
n
ento a essa raiz no desenvolvimento da funo em fraces
elementares corresponde a fraco elementarix
A
.
Se ix = uma raiz real de multiplicidade 1>ir do polinmio )(xQn da funo
racional regular)(
)(
xQ
xR
n
ento a essa raiz no desenvolvimento da funo em fraces
elementares corresponde a seguinte soma de ir fraces elementares:
-
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6
444444 3444444 21
termosirdesoma
ir
i
ir
ii x
A
x
A
x
A
)(...
)( 221
++
+
.
Se o polinmio quadratico jj qxpx ++2
, no tm raizes reais e na factorizaode )(xQn tm a multiplicidade 1 ento a esse polinmio quadratico no
desenvolvimento da funo em fraces elementares corresponde a fraco elementar
qxpx
BAx
j ++
+
2.
Se o polinmio quadratico jj qxpx ++2 , no tm raizes reais e na factorizao
de )(xQn tm a multiplicidade it ento a esse polinmio quadratico no
desenvolvimento da funo em fraces elementares corresponde a seguinte soma de
it fraces elementares:
( ) ( )44444444444 344444444444 21
LL
termositdesoma
it
j
itit
jj qxpx
BxA
qxpx
BxA
qxpx
BxA
++
+++
++
++
++
+
222
22
2
11.
Exemplos de decomposio das funes racionais regulares em fraceselementares.
Exemplo 3.( )( )3
2
21
33)(+
+=xx
xxxf .
A funo regular e o polinmio do denominador representado em produto de
factores de primeiro grau: o factor 1x tem a multiplicidade 1 e o factor 2+x tem a
multiplicidade 3. Portanto na decomposio dessa funo em fraces elementares ao
factor 1x corresponde a fraco elementar1x
Ae ao factor 2+x corresponde a
soma de trs fraces elementares
( ) ( )
3
3
2
21
222 +
++
++
x
B
x
B
x
B.
Portanto
( )( ) ( ) ( )33
2
21
3
2
222121
33)(
++
++
++
=
+
+=
x
B
x
B
x
B
x
A
xx
xxxf .
Os coeficientes 321 ,,, BBBA calculam-se aplicando o mtodo dos
coeficientes indeterminados.
-
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7
Exemplo 4.( )( )22
23
11
124)(
++
+=
xx
xxxxf .
A funo regular e o polinmio do denominador o produto do factor de primeiro
grau 1+x de multiplicidade 1 com o factor de segundo grau sem raizes reais 12
+x demultiplicidade 2. Portanto na decomposio dessa funo em fraces elementares ao
factor 1+x corresponde a fraco elementar1+x
Ae ao factor 12 +x corresponde a
soma de duas fraces elementares( )22
22
2
11
11 +
++
+
+
x
CxB
x
CxB.
Portanto
( )( ) ( )2222
2
11
22
23
11111
124)(
+
++
+
++
+=
++
+=
x
CxB
x
CxB
x
A
xx
xxxxf .
Os coeficientes 2211 ,,,, CBCBA calculam-se aplicando o mtodo dos
coeficientes indeterminados.
Exemplo 5.( ) ( ) ( )5411
12)(
2222
23
++++
+=
xxxx
xxxf .
A funo regular e o polinmio do denominador o produto de 3 factores:
do factor de primeiro grau 1+x de multiplicidade 2;
do factor de segundo grau sem raizes reais 12 +x de multiplicidade 2;
do factor de segundo grau sem raizes reais 542 ++ xx de multiplicidade 1;
Portanto na decomposio dessa funo em fraces elementares temos:
ao factor 1+x corresponde a soma de duas fraces elementares( )2
21
11 ++
+ x
A
x
A;
ao factor 12 +x corresponde a soma de duas fraces elementares
( )2222
211
11 +
++
+
+
xCxB
xCxB ;
ao factor 542 ++ xx corresponde a fraco elementar542 ++
+
xx
EDx
Portanto
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 541111541112
222
22
2
11
2
21
2222
23
++
++
+
++
+
++
++
+=
++++
+
xx
EDx
x
CxB
x
CxB
x
A
x
A
xxxx
xx.
Os coeficientes EDCBCBAA ,,,,,,, 221121 calculam-se aplicando omtodo dos coeficientes indeterminados.
-
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8
Exemplo 6.( ) ( )94
)(222++
=
xx
xxf .
A funo regular e o polinmio do denominador o produto de 2 factores:
do factor de segundo grau sem raizes reais 42 +x de multiplicidade 2;
do factor de segundo grau sem raizes reais 92 +x de multiplicidade 1;
Portanto na decomposio dessa funo em fraces elementares temos:
ao factor 42 +x corresponde a soma de duas fraces elementares
( )2222
2
11
44 +
++
+
+
x
CxB
x
CxB;
ao factor 9
2+
x corresponde a fraco elementar 92 +
+
x
ExD
.
Portanto
( ) ( ) ( ) 94494)(
222
22
2
11
222 +
++
+
++
+
+=
++
=x
ExD
x
CxB
x
CxB
xx
xxf .
Os coeficientes EDCBCBAA ,,,,,,, 221121 calculam-se aplicando o
mtodo dos coeficientes indeterminados.
Mtodo dos coeficientes indeterminados.
Passo 1. Multiplicamos ambas partes da expresso (2) por )(xQn e fazemos as
operaes de multiplicao e reduo na parte direita obtendo uma igualdade entre dois
polinmios;
Passo 2. Igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau de x e obtemos um
sistema de equaes lineares com as incognitasst
VAA ,...,, 21 ,
Passo 3. Resolvendo o sistema obtemos os valores dos coeficientesst
VAA ,...,, 21 .
Exemplos de aplicao do mtodo dos coeficientes indeterminados.
Exemplo 7. Desenvolver a funo racional regularxxx
xxf
44
128)(
35
3
++
= em
fraces elementares.
Resoluo:
A funo xxx
xxf 44
128)( 35
3
++
= regular.
-
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Representemos o denominador em produto de factores de primeiro ou segundo grau.
( ) ( )( ) ( )222222435 2444444 +=++=++=++ xxxxxxxxxxx .
Portanto( ) 22
3
35
3
2128
44128)(
+
=
++
=
xxx
xxxxxf .
O polinmio do denominador o produto do factor de primeiro grau x de
multiplicidade 1 com o factor de segundo grau sem raizes reais 22 +x de
multiplicidade 2.
Portanto na decomposio dessa funo em fraces elementares ao factor x
corresponde a fraco elementarx
Ae ao factor 22 +x corresponde a soma de duas
fraces elementares( )22
22
2
11
22 +
+++
+
x
CxBx
CxB , isto ,
( ) ( )2222
2
11
22
3
35
3
222
128
44
128)(
+
++
+
++=
+
=
++
=
x
CxB
x
CxB
x
A
xx
x
xxx
xxf
Na continuao aplicamos o mtodo dos coeficientes indeterminados para
calcular os coeficientes 2211 ,,,, CBCBA
Multiplicando as partes da expresso( ) ( )22
22
2
11
22
3
222
128
+
++
+
++=
+
x
CxB
x
CxB
x
A
xx
xpor
22 )2( +xx obtemos:
( ) ( )+
+
+++
+
+++=+
+
2222
2222
2
112222
22
3
)2(2
)2(2
)2()2(2
128xx
x
CxBxx
x
CxBxx
x
Axx
xx
x
( ) ( ) ++++++= xCxBxxCxBxAx 222
11
223 )2()2(128
( ) ( ) +++++++= xCxBxxCxBxxAx 22
2
3
11
243 )2()44(128
++++++++= xCxBxCxCxBxBxxAx 22
21
3
1
2
1
4
1
243 22)44(128
AxCCxBBAxCxBAx 4)2()24()(128 212
21
3
1
4
1
3++++++++= .
Igualando os coeficientes de 01234 ,,,, xxxxx obtemos o sistema:
-
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10
=
=+
=++
=
=+
124
02
024
8
0
21
21
1
1
A
CC
BBA
C
BA
Da quinta equao do sistema obtemos 3=A e substituindo na primeira
equao temos 31 == AB . Da segunda equao temos 81 =C e da quarta
162 12 == CC . Da terceira equao obtemos 624 12 == BAB .
Portanto o desenvolvimento da funo racional regular em fraces elementares
:
22235
3
)2(
166
2
833
44
128
+
+
+
++=
++
x
x
x
x
xxxx
x.
Exemplo 8. Desenvolver a funo racional regular( )( )3
2
21
33)(+
+=xx
xxxf em
fraces elementares.
Resoluo:
Do exemplo 3 temos:
( )( ) ( ) ( )33
2
21
3
2
222121
33
++
++
++
=
+
+
x
B
x
B
x
B
x
A
xx
xx.
Multiplicando a expresso( )( ) ( ) ( )3
3
2
21
3
2
222121
33
++
++
++
=
+
+
x
B
x
B
x
B
x
A
xx
xx
por ( )( )321 + xx obtemos:
( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ++
+++
=+
+
+ 31333
2
212
211
2121
33xx
x
Bxx
x
Axx
xx
xx
( )( )( )
( )( )( ) +
+
++
+
+3
3
33
2
2 21
2
21
2
xx
x
Bxx
x
B
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ++++++=+ 12121233 322
1
32 xBxxBxxBxAxx
( ) ( ) ( ) ( ) ++++++++=+ 1243812633 32
2
23
1
232xBxxBxxBxxxAxx
( ) ( ) ( ) ++++++++=+ xBBAxBBAxBAxx 322
21
3
1
2 123633
+ 321 248 BBBA
( ) ( ) ( ) ++++++++=++ xBBAxBBAxBAxxx 322
21
3
1
23 1236330
+ 321 248 BBBA
-
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Igualando os coeficientes de 0123 ,,, xxxx obtemos o sistema:
=
=
=
=
=
=++
=++
=+
144
133
122
11
321
32
21
1
812
6
3248312
136
0
LLLLLL
LLL
LL
BBBABBA
BBA
BA
=
=
=
=
=
=++
=+
=+
244
233
22
11
321
321
21
1
4
4
3212
312
13
0
LLL
LLL
LL
LL
BBB
BBB
BB
BA
=
=
=
=
=
=+
=+
=+
344
33
22
11
32
32
21
1
216
73
13
0
LLL
LL
LL
LL
BB
BB
BB
BA
=
=+
=+
=+
133
73
13
0
3
32
21
1
B
BB
BB
BA
Ento temos:3
133 =B ,
9
82 =B ,
27
11 =B e
27
1=A
Portanto o desenvolvimento da funo racional regular em fraces elementares :
( )( ) ( ) ( )=
+
++
++
+
=+
+
323
2
2
3
13
2
9
8
2
27
1
1
27
1
21
33
xxxxxx
xx
( ) ( )32 2
1
3
13
2
1
9
8
2
1
27
1
1
1
27
1
+
++
+
=
xxxx.
-
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12
Integrao de fraces racionais elementares.
Na decomposio de funes racionais em fraces elementares (ver (2)) obtemomos
quatro tipos de fraces elementares:
T1. ;x
A
T2. );,1(,)(
Nrrx
Ar
>
T3. ;04
0,2
2
2
-
8/6/2019 Integrao de funes racionais
13/25
13
T4: Calculemos o integral de uma fraco de quarto tipo. Analogamente como acima
.42
22
2 qpp
xqpxx +
+=++ 2
2
42aq
pet
px ==+
.2
dtdxeptx ==
Por conseguinte
.)(2)()(
2
)( 2222222
+
+
+=
+
+
=++
+
rrrrat
dtApB
at
tdtAdt
at
BAp
At
dxqpxx
BAx
Para calcular o primeiro integral fazemos a substituio )(2
1 22 atddtt += .
Ento
.))(1(2
1
)()(2
1
)(
)(
2
1
)( 1222222
22
22
22 Catratdatat
atd
at
tdt
r
r
rr+
+=++=
+
+=
+
Calculemos o segundo integral .)( 22
2
+
rat
dtaEscrevemos o segundo integral na forma
.)(
122
2
2 +
rat
dta
a
Na continuao fazendo em numerador a substituio 2222 tata += obtemos:
=+
+=
+=
+ dt
at
tat
aat
dta
aat
dtarrr )(
1
)(
1
)( 22
222
222
2
222
2
=+
+
+= dt
at
t
adt
at
at
arr
)(
1
)(
122
2
222
22
2
=+
+
= dtatt
adt
atarr )(
1
)(
1122
2
21222(*)
Calculemos o segundo integral aplicando a integrao por partes:
= dUVVUdVU .Fazendo
rat
tdtdVtU
)(,
22+
==
obtemos
,dtdU=
-
8/6/2019 Integrao de funes racionais
14/25
14
.)(
1
)1(2
1
)(
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
2
2
1
)( 12222
22
22
2
2222 +
=+
+=
+=
+=
+= rrrrr
atrat
atd
at
td
at
tdt
at
tdtV
Portanto na continuao temos:
(*)= =
+
+
+ 12212221222 )(22
1
))(22(
1
)(
11rrr
at
td
ratr
t
adt
ata
.)(22
32
))(22(
11221222
Cat
dt
r
r
atr
t
a rr+
+
+
+=
Obtemos a frmula de recorrncia
Cat
dt
r
r
atr
t
aat
dtrrr +
+
+
+=
+ 122122222 )(2232
))(22(
1
)(
que permite diminuir o grau da expresso do denominador no integral +
rat
dt
)( 22.
-
8/6/2019 Integrao de funes racionais
15/25
15
Exemplos de clculo de integrais indefinidos. Integrao de funesracionais.
1) +
+xd
xx
x
23
122
.
A funo integranda funo racional regular.
Determinamos as raizes do polinmio do denominador.
212
13
2
8930232 ==
=
==+ xxxxx .
Portanto o polinmio do denominador tem duas raizes reais de multiplicidade um e a
representao da funo integranda como soma de fraces elementares :
21)2()1(
12
23
122
+
=
+=
+
+
x
B
x
A
xx
x
xx
x.
Determinemos os valores dos coeficientes A e B utilizando o mtodo dos
coeficientes indeterminados:
+=+
+
=
+=
+
+BBxAAxx
x
B
x
A
xx
x
xx
x212
21)2()1(
12
23
122
( ) )2(12 BAxBAx++=+
.
Obtemos o sistema de equaes lineares:
=
=+
,12
,2
BA
BA
Determinemos a soluo do sistema :
=
=+
+=++
=+
=
=+
,3
,2
,21)(2
,2
,12
,2
A
BA
BABA
BA
BA
BA
=
=
.5
,3
B
A
Portanto2
5
1
3
)2()1(
12
23
122
+
=
+=
+
+
xxxx
x
xx
x
e
=
+
=
+
=
+
+
xdxxd
xxd
xxxd
xx
x
2
5
1
3
2
5
1
3
23
122
=
+
=
+
= )2(21
5)1(1
13
2
15
1
13 xd
xxd
xxd
xxd
x
Cxnlxnl ++= 2513 .
-
8/6/2019 Integrao de funes racionais
16/25
16
2) +
+xd
xx
xx
)1()2(
2432
2
.
A funo integranda funo racional regular
+
+==
)1()2(
243
)(
)()(
2
2
3
2
xx
xx
xQ
xPxf .
O polinmio do denominador, )1()2()( 23 += xxxQ , tem trs raizes reais:
2=x de multiplicidade 2 e 1=x de multiplicidade 1.
Portanto a representao da funo integranda como soma de fraces elementares :
1)2(2)1()2(
24322
2
+
++
+=
+
+
x
C
x
B
x
A
xx
xx.
Determinemos os valores dos coeficientes A , B e C utilizando o mtodo doscoeficientes indeterminados:
++
++
=+
+
1)2(2)1()2(
24322
2
x
C
x
B
x
A
xx
xx
++++=+ 22 )2()1()1()2(243 xCxBxxAxx
+++++=+ )44()1()2(243 222 xxCxBxxAxx
+++++=+ CCxxCBxBAxAxAxx 442243222
)42()4()(243 22 CBAxCBAxCAxx ++++++=+ .
Obtemos o sistema de equaes lineares:
=+
=++
=+
242
44
3
CBA
CBA
CA
Determinemos a soluo do sistema :
=+
=+
+=
=++
=+++
+=
=+
=++
=+
86
73
3
24)3(2
443
3
242
44
3
CB
CB
CA
CBC
CBC
CA
CBA
CBA
CA
=
=
=
=
=
+=
=+
=
+=
9
13
229
26
19
37
3
86)37(
37
3
C
B
A
C
CB
CA
CC
CB
CA
-
8/6/2019 Integrao de funes racionais
17/25
17
Portanto1
9
1
)2(
3
22
2
9
26
)1()2(
24322
2
+
+
++
=+
+
xxxxx
xx
e
=
+
+
+
+=
+
+
xdxxxxd
xx
xx
1
91
)2(
322
2
926
)1()2(
24322
2
=
++
+
= xdxxd
xxd
x 1
1
9
1
)2(
1
3
22
2
1
9
262
=
+++
++
= )1(11
9
1)2(
)2(
1
3
22)2(
2
1
9
262
xdx
xdx
xdx
=+++
++=
+
Cxnlx
xnl 19
1
12
)2(
3
222
9
26 12
Cxnlx
xnl +++
++= 19
1
2
1
3
222
9
26.
3)
+xd
xx
xx
32
2522
3
.
A funo integranda funo racional irregular. Dividimos o polinmio do
numerador pelo polinmio do denominador e representamos a funo integranda como
a soma de um polinmio e uma funo racional regular:
42
32
1491284
24
642
252 2
2
2
23
3
+
+
++
+
x
xx
xxx
xx
xxx
xx
Daqui resulta que a representao da funo racional irregular como a soma de um
polinmio e uma funo racional regular :
32
14942
32
25222
3
+++=
+
xx
xx
xx
xx.
Portanto
=
+
++=
+
xdxxx
xxdxx
xx
32
1494232
25222
3
-
8/6/2019 Integrao de funes racionais
18/25
18
( )*32
1494
22
32
14942
2
2
2=
+++=
+++= xdxx
xx
xxd
xx
xxdxdx
No integral obtido a funo integranda,
32
149)(
2
+=
xx
xxf , racional regular.
Determinamos as raizes do polinmio do denominador.
312
42
2
12420322 ==
=
+== xxxxx .
Portanto o polinmio do denominador tem duas raizes reais de multiplicidade um e a
representao da funo integranda como soma de fraces elementares :
31)3()1(
149
32
1492
+
+=
+
+=
+
x
B
x
A
xx
x
xx
x.
Determinemos os valores dos coeficientes A e B utilizando o mtodo dos
coeficientes indeterminados:
++=+
++
=+
+=
+BBxAAxx
x
B
x
A
xx
x
xx
x3149
31)3()1(
149
32
1492
( ) )3(149 BAxBAx +++=+ .
Obtemos o sistema de equaes lineares:
=+
=+
,413
,9
BA
BA
Determinemos a soluo do sistema :
=+
=
=+
=
=+
=+
,14427
,9
,14)9(3
,9
,143
,9
B
BA
BB
BA
BA
BA
=
=
=
=
.4
41
,4
5
,4
41
,9
B
A
B
BA
Portanto3
441
1
45
)3()1(
149
32
1492
+
+
=+
+=
+
xxxx
x
xx
x
e na continuao obtemos
( ) =
++
+=
+
+
++= xdxxd
xxxxd
xxxx
3
1
4
41
1
1
4
54
3
4
41
1
4
5
4* 22
Cxnlxnlxx ++++= 34
41
14
5
42
.
-
8/6/2019 Integrao de funes racionais
19/25
19
4)
++xd
x
xx
1
134
46
.
A funo integranda funo racional irregular. Dividimos o polinmio do
numerador pelo polinmio do denominador e representamos a funo integranda como
a soma de um polinmio e uma funo racional regular:
13
1
23
1
13
33
13
2
4
2
4
24
26
46
+
+
++
++
x
x
x
x
xx
xx
xx
Daqui resulta que a representao da funo racional irregular como a soma de umpolinmio e uma funo racional regular :
1
2313
1
134
22
4
46
+++=
++
x
xx
x
xx.
Portanto
=
+++=
++
xdxx
xxdx
xx
1
2313
1
134
22
4
46
( )*1
23
3
3
1
233
4
23
4
22
=
+++=
+++= xd
x
xx
xxd
x
xxdxdx
No integral obtido a funo integranda1
23)(
4
2
+=
x
xxf racional regular.
Determinamos a representao do polinmio do denominador em produto de factores
de primeira e segunda ordem.
( )( ) ( )( )( )111111 2224 ++=+= xxxxxx .Na representao do polinmio do denominador em produto de factores de primeira e
segunda ordem temos dois factores de primeiro grau e um factor de segundo grau
todos de multiplicidade um. Portanto a representao da funo integranda comosoma de fraces elementares :
( )( )( ) 11111123
1
2322
2
4
2
+
++
++
=
++
+=
+
x
DCx
x
B
x
A
xxx
x
x
x.
Determinemos os valores dos coeficientes A , B , C e D utilizando o mtodo dos
coeficientes indeterminados:
( )( )( )
+
++
+
+
=
++
+=
+
111111
23
1
23
22
2
4
2
x
DCx
x
B
x
A
xxx
x
x
x
-
8/6/2019 Integrao de funes racionais
20/25
20
+++++++=+ 11111123 222 xxDxCxxBxxAx
( ) ( ) ( ) +++++++=+ DCxxDxCxxxBxxxAx 2323232 1123
( ) ( ) ( ) ( )DBAxCBAxDBAxCBAx+++++++=+
232
23 .
Obtemos o sistema de equaes lineares:
=
=+
=+
=++
2
0
3
0
DBA
CBA
DBA
CBA
Determinemos a soluo do sistema aplicando o mtodo de condensao:
=
=
=
=
=+
=+
=++
144
133
122
2
0
3
0
1011
0111
1011
0111
2
0
3
0
LLL
LLL
LLL
operaes
DBA
CBA
DBA
CBA
=
1
0
3
0
2000
0200
1120
0111
2
0
3
0
1120
0200
1120
0111
244 LLLoperao
Ento4
5,
4
5,0,
2
1==== ABCD ,
( )( )( ) 12
1
1
4
5
1
4
5
111
23
1
2322
2
4
2
++
+
=
++
+=
+
xxxxxx
x
x
x
e na continuao obtemos
( ) =+
++
++=
++
+
++= 12
1
14
5
14
5
1
2
1
1
4
5
1
4
5
*2
3
2
3
x
xd
x
xd
x
xdxxxd
xxxxx
Cxarctgxnlxnlxx +++++=2
11
4
51
4
53 .
-
8/6/2019 Integrao de funes racionais
21/25
21
5)
xdxx
x4
5
.
A funo integranda funo racional irregular. Representamos a funo
integranda como a soma de um polinmio e uma funo racional regular:
( ) ( ) ( ) ( ) 11111 332
3
25
3
225
3
5
4
5
+=
+
=
+=
=
x
xx
xx
x
xx
xx
xx
xxx
xx
x
xx
x.
Portanto
( )*1211 3
2
334
5
=
+=
+=
+=
xdx
xxxd
x
xxdxxd
x
xxxd
xx
x
No integral obtido a funo integranda( )1)1(1
)( 23++
=
=xxx
xx
xxf racional
regular. O trinmio 12 ++ xx no tem raizes reais e portanto
( ) 111)1(1 223 +++
+
=++
= xx
CBx
x
A
xxx
x
x
x.
Determinemos os valores dos coeficientes A , B e C utilizando o mtodo dos
coeficientes indeterminados:
( )
++
++
=++
= 111)1(1
223 xxCBx
xA
xxxx
xx
( ) ( )( ) ++++= 112 xCxBxxAx
( ) ( ) )(222 CAxCBAxBAxCBxCxxBAxAxAx ++++=++++=
Obtemos o sistema de equaes lineares:
=
=+
=+
0
1
0
CA
CBA
BA
Determinemos a soluo do sistema aplicando o mtodo de substituio:
=
=
=
=
=+
=
=
=++
=
=
=+
=+
0
21
0
12
0
1
0
1
0
CA
AC
BA
CA
CA
BA
CA
CAA
BA
CA
CBA
BA
-
8/6/2019 Integrao de funes racionais
22/25
-
8/6/2019 Integrao de funes racionais
23/25
23
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+= 21
4
3
2
1
1
2
1
2
1
4
3
2
1
2
12
6
11
3
1
2 22
2
xd
x
xd
x
x
xnlx
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+= 21
2
3
2
1
1
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
6
11
3
1
2 222
2
2
xd
xx
xd
xnlx
=+
+
++
++= C
x
arctgxnlxnlx
23
2
1
23
1
2
1
4
3
2
1
6
11
3
1
2
22
Cx
arctgxxnlxnlx
+
+++++=
3
12
3
11
6
11
3
1
2
22
.
6) +
xdx
x3
5
)1(.
A funo integranda funo racional irregular. Dividimos o polinmio do
numerador pelo polinmio do denominador e representamos a funo integranda como
a soma de um polinmio e uma funo racional regular.
Porque 133)1( 233 +++=+ xxxx temos:
61510
618186
386
3993
33
33
63
133
2
___________________________
23
23
____________________________
234
234
___________________________
2345
2
235
+++
++
+++
+
+++
xx
xxx
xxx
xxxx
xxx
xxxx
xx
xxxx
Daqui resulta que a representao da funo racional irregular como a soma de um
polinmio e uma funo racional regular :
-
8/6/2019 Integrao de funes racionais
24/25
24
133
6151063
)1( 23
22
3
5
+++
+++=
+ xxx
xxxx
x
x.
Portanto
=
++++=
+ xdx xxxxxdxx 32
23
5
)1(6151063
)1(
=+
+++= xdx
xxxdxxdxdx
3
22
)1(
6151063
( )*)1(
615106
23
3 3
223
=+
+++= xdx
xxx
xx
No integral obtido a funo integranda3
2
)1(61510)(
+++=
xxxxf racional regular e o
polinmio de primeiro grau 1+x na factorao do denominador tem multiplicidade
trs. Portanto a representao da funo integranda como soma de fraces
elementares :
323
2
)1()1(1)1(
61510
++
++
+=
+
++
x
C
x
B
x
A
x
xx.
Determinemos os valores dos coeficientes A , B e C utilizando o mtodo dos
coeficientes indeterminados:
+
++
++
=+
++
323
2
)1()1(1)1(
61510
x
C
x
B
x
A
x
xx
++++=++ CxBxAxx )1()1(61510 22
+++++=+++++=++ )()(61510 222 CBAxBAxACBBxAxAxAxx
=
==
=++
=+=
9
510
6
1510
C
BA
CBA
BAA
Portanto
323
2
)1(
9
)1(
5
1
10
)1(
61510
+
++
+=
+
++
xxxx
xx
e na continuao temos:
-
8/6/2019 Integrao de funes racionais
25/25
( ) =
+
++
++= xdxxx
xxx
32
23
)1(
9
)1(
5
1
106
23
3*
=
+
+
+
+
+=
xd
xxd
xxd
xx
xx
32
23
)1(
19
)1(
15
1
1106
23
3
=++++++
++=
)1()1(9)1()1(51
)1(106
23
3
3223
xdxxdxx
xdx
xx
=++
++
+
+++=
++
Cxx
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