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Conteúdo

1 Tópicos sobre Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1

Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais

1 Tópicos sobre Números Complexos

De�nição

O conjunto dos números complexos representa-se por C e é cons-tituido por todos os números da forma x + iy, sendo x, y ∈ R ei =√−1 a unidade imaginária.

x designa-se por parte real do número z = x + iy, e abrevia-se neste texto por Re(z); y designa-se por parte imaginária donúmero z, e abrevia-se neste texto por Im(z).

O conjunto dos números reais R está contido no conjunto dosnúmeros complexos C, porque qualquer número real x pode serescrito da forma x+ i0.

Se Im(z) = 0 o número z diz-se real; se Re(z) = 0, o número zdiz-se imaginário puro.

Exemplos.

z = −1/2− i3 Re(z) = −1/2 Im(z) = −3

z = π + i3√5 Re(z) = π Im(z) =

3√5

z = 22i− 27 Re(z) = −27 Im(z) = 22

z = 11i Re(z) = 0 Im(z) = 11

Unidade imaginária

i0 = 1

i1 =√−1

i2 = i.i =√−1√−1 = −1

i3 = i2i = −1i = −ii4 = i2i2 = −1(−1) = 1· · ·i32 =??

Representação de Números Complexos

Seja z um número complexo.� Representação cartesiana: z = x+ iy (�gura 1).

Mário Abrantes http://www.ipb.pt/∼mar/ 2

Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais � 2018/19 ESTG/IPBragança

� Representação polar (ou trigonométrica): z =√x2 + y2eiθ (�gura

2), sendo eiθ = cos(θ) + isen(θ).

O ângulo θ designa-se por argumento de z e escreve-se arg(z). Esteargumento pode tomar uma in�nidade de valores que diferem entresi por múltiplos de 2π. O valor do argumento pertencente ao in-tervalo ]− π, π], chama-se argumento principal de z e representa-sepor Arg(z).

Figura 1: Plano Complexo (ou Plano de Argand)

Figura 2: |z| eiθ = x+ iy

Terminologia, Propriedades, Operações

1. Os números complexos z = x+ iy e w = a+ ib dizem-se iguais ssex = a e y = b.

2. Módulo do número complexo z = x+ iy:

|z| =√x2 + y2.

3. Conjugado do número complexo z = x+ iy = |z| eiθ:

z = x− iy = |z| e−iθ.4. Soma\Diferença dos números complexos z = x+ iy e w = a+ ib:

z ± w = (x+ a)± i(y + b).

5. Multiplicação\Divisão dos números complexos z = |z| eiθ ew = |w| eiϕ:

zw = |z| |w| ei(θ+ϕ) z/w =|z||w|

ei(θ−ϕ).

6. Potências de expoente inteiro do número complexo z = x+ iy:

zn =(|z| eiθ

)n= |z|n einθ.

Em particular

(cos(θ) + isen(θ))n =(eiθ)n

= einθ = cos(nθ) + isen(nθ).



7. Multiplicação de z = x+ iy pelo seu conjugado:

zz = (x+ iy)(x− iy) = x2 + y2 = |z|2 .8. Conjugado do produto de z = x+ iy e w = a+ ib:

zw = (x+ iy)(a+ ib) = (xa− yb) + i(xb+ ya) =

(xa− yb)− i(xb+ ya) = (x− iy)(a− ib) = z w.

9. Uma consequência da propriedade anterior é, para n inteiro:

zn = (z)n.

Exercícios.Sejam z = 1 +

√3i e w = −

√3 + i.

1. Escrever as representações polares de z e w.z :

|z| =√12 + (

√3)2 =

√4 = 2

arg(z) = arctan(√3/1) = π/3

Rep. Polar z = 2eiπ/3

w :

|w| =√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

arg(z) = arctan

(1

−√3

)+ π = −π/6 + π =

5π

6

Rep. Polar w = 2ei5π/6

2. Escrever o conjugado de z na forma cartesiana e na forma polar.

Forma cartesiana z = 1−√3i Forma polar z = 2e−iπ/3

Forma cartesiana w = −√3− i Forma polar z = 2e−i5π/6

3. Calcular 2z − 3w.

2z − 3w = 2(1 +√3i)− 3(−

√3 + i) = (2 + 3

√3) + (2

√3− 3)i

4. Calcular zw na forma cartesiana e na forma polar.

Forma cartesiana zw = (1 +√3i)(−

√3 + i) =

−√3 + i− 3i+

√3i2 = −2

√3− 2i

Forma polar zw = 2eiπ/32ei5π/6 = 4ei(π/3+5π/6) = 4ei7π/6



5. Mostrar que z6 = 64.

(1 + i√3)6 =

(2eiπ/3

)6= 26

(eiπ/3

)6= 64ei6π/3 =

64ei2π = 64(cos(2π) + isen(2π)) = 64(1 + i0) = 64

Por ser (1 + i√3)6 = 64 diz-se que 1 + i

√3 é uma raiz de índice 6

de 64. Quais são as raízes reais de índice 6 do número 64?

2 Polinómios

De�nição

Um polinómio na variável x é uma expressão na forma

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0,

na qual n é um inteiro não negativo, designado por grau do polinó-mio, e os termos ai, 0 ≤ i ≤ n, são constantes reais ou complexasditas coe�cientes do polinómio.

Uma função cuja fórmula é um polinómio designa-se por fun-ção racional inteira.

Exemplos.

3

2x3 − x2 + 2 polinómio de grau 3

4 polinómio de grau 0; é igual a 4x0

x2 − x−1 + 2 não é um polinómio (o expoente de x−1 não é um

inteiro não negativo)

2ix2 − 3x+ 2− 4i polinómio de grau 2

Nesta breve abordagem estudam-se apenas polinómios de coe�cientesreais. Representa-se o grau de um polinómio p(x) por grau(p).

Raízes de Polinómios

Chama-se raiz ou zero do polinómio

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0,

a todo o número r, real ou complexo, tal que p(r) = 0.



Exemplos.

1. x = 2 é uma raiz do polinómio p(x) = 2x3 − 3x2 − 4 porquep(2) = 2× 23 − 3× 22 − 4 = 0.

2. x = i é uma raiz do polinómio p(x) = x2 + 1 porquep(i) = i2 + 1 = −1 + 1 = 0.

3. x = −1 não é uma raiz do polinómio p(x) = 2x3 − 3x2 − 4 porquep(−1) = 2× (−1)3 − 3× (−1)2 − 4 = −9 6= 0.

Divisão de Polinómios

A divisão de um polinómio p(x) por outro q(x), de grau menor ou igualao de p(x), decorre como exempli�cado nas �guras 3 e 4 e permite-nosescrever p(x) da forma

p(x) = q(x).Q(x) +R(x),

com grau(R) < grau(q). Se R(x) = 0, diz-se que p(x) é divisível porq(x) ou que q(x) divide p(x).

Figura 3: x4 +3 = (x2 +2x+1)(x2 − 2x+3)+ (−4x− 3) Figura 4: x3 − 6x2 + 11x− 6 = (x− 1)(x2 − 5x+ 6)

Exemplos.

1. O polinómio q(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 é divisível pelo polinómiox−1, uma vez que q(x) se pode escrever q(x) = (x−1)(x2−5x+6).q(x) é tambem divisível por x2 − 5x+ 6 (porquê?).

2. O polinómio q(x) = x3−6x2+11x−6 não é divisível pelo polinómiox− 5, uma vez que

x3 − 6x2 + 11x− 6 = (x− 5)(x2 − x+ 6) + 24.

Esta igualdade representa uma divisão da seguinte forma: x3−6x2+11x− 6 é o dividendo; x− 5 é o divisor; x2 − 5x+ 6 é o quociente;24 é o resto da divisão (�gura 5).



Figura 5: Resto = 24

Figura 6

Factorização de Polinómios

Um polinómio p(x) diz-se factorizado no produto dos k polinómiosg1(x), g2(x), · · · , gk(x), se aparece escrito como o produto destespolinómios, i.e

p(x) = g1(x)g2(x) · · · gk(x).

Exemplos.

1. O polinómio p(x) = 2x3−12x2+22x−12 pode ser escrito na formap(x) = 2(x− 1)(x− 2)(x− 3) (veri�car!).Os polinómios envolvidos na factorização de p(x) são g1(x) = 2,g2(x) = x− 1, g3(x) = x− 2, g4(x) = x− 3.

2. O polinómio q(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 pode ser escrito na formaq(x) = (x− 1)(x2 − 5x+ 6) (veri�car!).Os polinómios envolvidos na factorização de q(x) são g1(x) = x−1,g2(x) = x2 − 5x+ 6.

Teorema 1.(de Bézout) O resto da divisão de um polinómio p(x), de grau maior ouigual a 1, pelo binómio x− a é igual a p(a).�

Exemplo.Dado o polinómio q(x) = x3−6x2+11x−6, temos q(5) = 53−6×52+11 × 5 − 6 = 24, sendo 24 o resto da divisão de q(x) por x − 5 (�gura5).

O enunciado seguinte é uma consequência do teorema de Bézout.



Corolário 2.Se r é uma raiz do polinómio p(x), isto é, se p(r) = 0, então p(x) édivisível exactamente por x− r e pode por isso ser escrito na forma

p(x) = (x− r)q(x),com grau(p) = grau(q) + 1.�

Exemplos.

1. O polinómio q(x) = x3 − 6x2 + 11x− 6 anula-se para x = 1, isto éq(1) = 0. Então q(x) é divisível por (x− 1),

x3 − 6x2 + 11x− 6 = (x− 1)(x2 − 5x+ 6).

2. O polinómio s(x) = 2x2 + 3x + 5/4 anula-se para x = −3+i4 , isto é

s(−3+i4 ) = 0. Então s(x) é divisível por(x− −3+i4

)(ver �gura 6),

2x2 + 3x+ 5/4 =

(x− −3 + i

4

)(2x+

3 + i

2

)= 2

(x− −3 + i

4

)(x+−3 + i

4

).

O teorema seguinte é essencial para a factorização de um polinómioqualquer num produto de termos lineares.

Teorema 3.(Teorema Fundamental da Álgebra) Todo o polinómio p(x) de graumaior ou igual a 1 tem, pelo menos, uma raiz real ou complexa.�

Podemos fazer o seguinte raciocínio:� O Teorema Fundamental da Álgebra diz-nos que dado um polinómioqualquer p(x), grau(p) ≥ 1, existe uma raiz r de p(x).

� Pelo teorema 1 de Bézout se p(x) tem a raiz r, então podemosescrever p(x) = (x− r)q(x).

� Repetindo este procedimento com o polinómio q(x): se q(x) é umpolinómio de grau zero (uma constante), então temos p(x) facto-rizado em factores de grau 1 ou grau 0; se grau(q) ≥ 1, entãoq(x) tem uma raiz s e, usando o teorema de Bézout, podemosescrever q(x) = (x − s)t(x) e p(x) = (x − r)(x − s)t(x), comgrau(p) = grau(t) + 2.

Este argumento valida o seguinte resultado.



Teorema 4.Todo o polinómio p(x) = anx

n+an−1xn−1+ · · ·+a1x+a0 de grau ≥ 1,

se pode factorizar num produto do tipo

p(x) = an(x− r1)(x− r2) · · · (x− rn),sendo r1, r2, · · · , rn, as n raízes do polinómio, podendo algumas destasser iguais.�

Exercício.Veri�car que o polinómio q(x) = 3(x− 1)(x− 2)(x− 3) pode ser escritona forma 3x3 − 18x2 + 33x − 18, e que esta última expressão se anulapara x = 1, x = 2 e x = 3.

Uma consequência imediata deste teorema, é que todo o polinómio daforma ax2 + bx + c, com as raízes r1, r2, se pode factorizar na formaa(x− r1)(x− r2).

Exemplos.

1. O polinómio q(x) = x2− 2x+ 1 tem uma raiz dupla x = 1, comopode ser veri�cado usando a fórmula resolvente de Bhaskara:

x =−(−2)±

√(−2)2 − 4

2=

2±√0

2= 1.

Podemos escrever (veri�car!)

q(x) = (x− 1)2.

2. O polinómio q(x) = 2x2 − 4x + 2 tem igualmente a raiz duplax = 1 (veri�car!). Como o coe�ciente que multiplica x2 é 2, temos

q(x) = 2(x− 1)2.

3. O polinómio q(x) = x2 + x + 1 não tem raízes reais, como se podever usando a fórmula resolvente de Bhaskara,

x =−1±

√1− 4

2=−1±

√−3

2=−1± i

√3

2.

q(x) pode ser escrito (veri�car!)

q(x) =

(x− −1 + i

√3

2

)(x− −1− i

√3

2

).

Vale também o seguinte resultado.



Teorema 5.Se o número complexo z é raiz do polinómio de coe�cientes reais


n−1 + · · ·+ a1x+ a0

de grau ≥ 1, então o seu conjugado z é também raiz de p(x).Dito de outra forma, as raízes complexas de polinómios com coe�ci-entes reais aparecem aos pares de números conjugados.�

Prova.Se z é raiz de p(x), então p(z) = 0, i.e.,

anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0.

Conjugando ambos os membros desta igualdade, ela continua válida(porquê?), e temos

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0⇔

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0⇔

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0⇔

anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0⇔

p(z) = 0 �

Esta igualdade signi�ca que z é raiz de p(x).�

Uma consequência deste teorema e do teorema da factorização na pá-gina 9, é o seguinte caso especí�co de factorização de polinómios decoe�cientes reais.

Teorema 6.Todo o polinómio de coe�cientes reais


n−1 + · · ·+ a1x+ a0

de grau ≥ 1, se pode factorizar num produto de termos lineares daforma (x − r), sendo r uma raiz real, de termos quadráticos da forma(x2 + bx + c), com duas raízes complexas conjugadas, e do coe�cientean. Alguns termos podem ser iguais.�

De facto, por as raízes complexas surgirem aos pares, a decomposiçãoem termos lineares contém um termo na forma (x− z) para cada termo(x−z), sendo z uma raiz complexa. Tal permite reduzir a factorização àforma enunciada, uma vez que (x−z)(x−z) é um polinómio do segundograu com coe�cientes reais (veri�car!).



Polinómios Idênticos

Dois polinómios p(x), q(x) dizem-se idênticos sse têm os mesmoscoe�cientes para as mesmas potências de x.

Teorema 7.Se os valores de dois polinómios p(x), q(x), de grau n, coincidem paran + 1 valores diferentes x1, x2, · · · , xn, xn+1 da variável x, então estesdois polinómios são idênticos, isto é, têm os mesmos coe�cientes dasmesmas potências de x.�

Exemplo.Mostrar que se (ax + b) e (3x + 4) forem iguais para dois valores de xdistintos, então a = 3 e b = 4, i.e., os polinómios são idênticos.Suponhamos que os polinómios são iguais para, por exemplo, x = 2e x = −1. Podemos escrever{

a2 + b = 3× 2 + 4

a(−1) + b = 3(−1) + 4⇒{2a+ b = 10

−a+ b = 1

Resolvendo o sistema é imediato veri�car que se tem a = 3 e b = 4.

3 Funções Racionais

Chama-se função racional a uma função cujos numerador edenominador são polinómios.

A função p(x)q(x) diz-se própria se grau(p(x)) < grau(q(x)). De

contrário diz-se imprópria.

Exemplos.

x4

x2 + 2x+ 1função imprópria

x

x2 + 2x+ 1função própria

Uma função imprópria pode ser escrita como a soma de um polinómioe de uma função própria. Tal pode ser conseguido efectuando a divisãodo numerador pelo denominador.



Exemplos.

(i) x4−3x2+2x+1

= x2 − 2x + 3− 4x+6x2+2x+1

(veri�car!)

(ii) x2+5x−3x2−2x+1

= 1 + 7x−4x2−2x+1

(veri�car!)

Decomposição em Fracções Parciais

Uma função racional própria pode ser decomposta na soma de fracçõesparciais mais simples. Esta decomposição é útil para a integração defunções racionais.

Trata-se de, dada a função p(x)/q(x) na qual q(x) aparece factorizadoem termos da forma (x− r)k, ou (x2 + bx+ c)s, ou an, sendo an o co-e�ciente da potência de x mais elevada em q(x) e k, s inteiros positivos,fazer o seguinte:

� Para cada factor do tipo (x− r)k escrever a expressão

Ak

(x− r)k+

Ak−1

(x− r)k−1+ · · ·+ A1

x− r,

sendo os As constantes reais;

� Para cada factor do tipo (x2 + bx+ c)s escrever a expressão

Bs + Csx

(x2 + bx+ c)s+

Bs−1 + Cs−1x

(x2 + bx+ c)s−1+ · · ·+ B1 + C1x

x2 + bx+ c,

sendo os Bs e Cs constantes reais.

Cada uma das fracções que aparece nestas expressões designa-se porfracção parcial de p(x)/q(x).

Exemplos.

1.1

(x+1)(x−2) =Ax+1 +

Bx−2

2.x2+2

(x+1)3(x−2) =A

(x+1)3+ B

(x+1)2+ C

x+1 +Dx−2

3.x4−2

(x2+x+1)x2= A

x2+ B

x + Cx+Dx2+x+1

4.x4−2

(x2+x+1)2x= A

x +Bx+C

(x2+x+1)2+ Dx+E

x2+x+1



Podemos usar esta decomposição para escrever uma função racional pró-pria como uma soma de fracções parciais, e uma função racional impró-pria como soma de um polinómio e de fracções parciais.

As constantes As,Bs, Cs, etc, designam-se por coe�cientes da decom-posição e são calculadas como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo.

� Consideremos a função racional

p(x)q(x) =

x4−2(x2+x+1)x2

.

� Como grau(p) = grau(q) = 4, a função racional é imprópria. Co-meçamos por efectuar a divisão de p(x) por q(x), que nos permiteescrever (veri�car!),

p(x)q(x) = 1− x3+x2+2

(x2+x+1)x2.

Observa-se que, no segundo membro, já não temos funções impró-prias.

� O passo seguinte é decompôr a função x3+x2+2(x2+x+1)x2 numa soma de

fracções parciais. Como x2 + x+ 1 tem as raízes complexas(−1± i

√3)/2, a decomposição em fracções parciais �ca

x3 + x2 + 2

x2(x2 + x+ 1)=A

x2+B

x+

C +Dx

x2 + x+ 1. (1)

� O cálculo dos coe�cientes A, B, C, D faz-se do seguinte modo:� Começa-se por eliminar as divisões em (1), multiplicando ambosos membros por x2(x2 + x+ 1). Obtém-se

x3 + x2 + 2 = A(x2 + x+ 1) +Bx(x2 + x+ 1) + (C +Dx)x2;

� Expande-se o segundo membro desta igualdade e agrupam-se oscoe�cientes de iguais potências de x

x3 + x2 + 2 = (B +D)x3 + (A+B + C)x2 + (A+B)x+ A.

Como se quer que os polinómios nos dois membros da igualdadesejam idênticos, os coe�cientes dos polinómios devem ser iguais(teorema 7, pg. 11). Obtemos o sistema de equações lineares

B +D = 1

A+B + C = 1.

A+B = 0

A = 2

Resolvendo temos A = 2, B = −2, C = 1, D = 3.



� A decomposição pretendida é

p(x)q(x) =

x4−2(x2+x+1)x2

= 1− 2

x2+

2

x− 1 + 3x

x2 + x+ 1.

(Veri�car a correcção da segunda igualdade transformando o terceiromembro no segundo!)

Integração de Funções Racionais

A integração de uma função racional p(x)q(x) consiste em 3 etapas:

1. Dividir p(x) por q(x), se grau(p(x)) ≥ grau(q(x));

2. Decompôr em fracções parciais a função racional própria resultanteda divisão, ou a função p(x)/q(x) se nenhuma divisão foi efectuada.

3. Integrar a expressão equivalente a p(x)q(x) obtida � o integral �ca agora

reduzido a casos que admitem uma resolução sistemática.

Exemplo.

Calcular∫

x2+2(x+1)3(x−2)dx.

1. Como grau(x2 + 2) < grau((x + 1)3(x − 2)), a função racional éprópria. Podemos decompô-la em fracções parciais.

x2 + 2

(x+ 1)3(x− 2)=

A

(x+ 1)3+

B

(x+ 1)2+

+C

x+ 1+

D

x− 2.

� Segue-se o cálculo dos coe�cientes A, B, C, D.� Elimina-se as divisões em ambos os membros da igualdade.

x2 + 2 = A(x− 2) +B(x+ 1)(x− 2)+

+ C(x+ 1)2(x− 2) +D(x+ 1)3. (2)

� Pode-se tirar partido de os polinómios nos dois membros seremidênticos para fazer o cálculo dos coe�cientes. Substitui-se nestaexpressão x pelo valor de cada raiz de (x+1)3(x−2) e utilizam-se



as igualdades resultantes para calcular A,B,C,D

Substituindo x por− 1 :

(−1)2 + 2 = A(−1− 2) +B(−1 + 1)(−1− 2)+

+ C(−1 + 1)2(−1− 2) +D(−1 + 1)3

⇔3 = −3A⇔ A = −1Substituindo x por 2 :

22 + 2 = A(2− 2) +B(2 + 1)(2− 2)+

+ C(2 + 1)2(2− 2) +D(2 + 1)3

⇔6 = 27D ⇔ D = 2/9

Substituem-se estes valores na identidade 2 e simpli�ca-se.

x2 + 2 = −1(x− 2) +B(x+ 1)(x− 2)+

+ C(x+ 1)2(x− 2) + 2/9(x+ 1)3

⇔

x2 + 2 = −x+ 2 +B(x2 − x− 2)+

+ C(x3 − 3x− 2) + 2/9(x3 + 3x2 + 3x+ 1)

⇔

x2 + 2 = (2/9 + C)x3 + (B + 2/3)x2+

+ (−1−B − 3C + 2/3)x+ (2− 2B − 2C + 2/9)

Igualando os coe�cientes de iguais potências nos dois membros,obtém-se o sistema de equações lineares

2/9 + C = 0

B + 2/3 = 1

−1−B − 3C + 2/3 = 0.

2− 2B − 2C + 2/9 = 2

Resolvendo temos A = −1, B = 1/3, C = −2/9, D = 2/9.

� A decomposição em fracções parciais �ca

x2 + 2

(x+ 1)3(x− 2)=

−1(x+ 1)3

+1/3

(x+ 1)2+−2/9x+ 1

+2/9

x− 2.



O cálculo do integral faz-se agora do seguinte modo:∫x2 + 2

(x+ 1)3(x− 2)dx =

∫ (− 1

(x+ 1)3+

1/3

(x+ 1)2− 2/9

x+ 1+

2/9

x− 2

)dx =

−∫

1

(x+ 1)3dx+

1

3

∫1

(x+ 1)2dx− 2

9

∫1

x+ 1dx+

2

9

∫1

x− 2dx =

−∫

(x+ 1)−3dx+1

3

∫(x+ 1)−2dx− 2

9

∫1

x+ 1dx+

2

9

∫1

x− 2dx =

− (x+ 1)−2

−2+

1

3

(x+ 1)−1

−1− 2

9ln(|x+ 1|) + 2

9ln(|x− 2|) + C

(x+ 1)−2

2− 1

3(x+ 1)−1 − 2

9ln(|x+ 1|) + 2

9ln(|x− 2|) + C.

Caso geral

As fracções parciais que podem aparecer numa decomposição são dos4 tipos seguintes:

Tipo I:A

x− rTipo II:

A

(x− r)k

Tipo III:A+Bx

x2 + bx+ cTipo IV:

A+Bx

(x2 + bx+ c)k.

sendo k um inteiro positivo. A resolução de integrais dos primeirosdois tipos já foi tratada em exemplos anteriores. Vamos agora ver, pormeio de exemplos, como se resolvem integrais envolvendo fracções dostipos III e IV.

Exemplo.

(Tipo III) Calcular o integral I =∫

3x+1x2+5x+8

dx.

� Começa-se por escrever o integral I como a soma de dois integrais

I =

∫3x

x2 + 5x+ 8dx+

∫1

x2 + 5x+ 8dx. (3)

� Por a derivada do denominador ser 2x + 5, modi�ca-se o primeirointegral de modo a obter, por integração, um logaritmo. Notar que∫(u′/u)dx = ln(|u|) + C.



∫3x

x2 + 5x+ 8dx = 3

∫x

x2 + 5x+ 8dx =

3

2

∫2x

x2 + 5x+ 8dx =

3

2

∫2x+ (5− 5)

x2 + 5x+ 8dx =

3

2

∫2x+ 5

x2 + 5x+ 8dx− 3

2

∫5

x2 + 5x+ 8dx =

3

2ln

(∣∣∣x2 + 5x+ 8∣∣∣)− 3

2

∫5

x2 + 5x+ 8dx

Substituindo este resultado na fórmula (3), tem-se

I =3

2ln

(∣∣∣x2 + 5x+ 8∣∣∣)− 13

2

∫1

x2 + 5x+ 8dx. (4)

O cálculo de I �ca completo com a resolução do integral

I2 =

∫1

x2 + 5x+ 8dx.

� O integral I2 resolve-se da forma seguinte:

� Começa-se por completar o quadrado no denominador

x2 + 5x+ 8 = (x+ 5/2)2 + 7/4;

� Usa-se esta forma para obter, por integração, uma função arctan(u).Recordar que

∫u′

1+u2dx = arctan(u) + C.

I2 =

∫1

(x+ 5/2)2 + 7/4dx = (5)

4

7

∫1(

x+5/2√7/4

)2

+ 1

dx =4

7

∫1(

2x+5√7

)2+ 1

dx (6)

4

7

√7

2

∫2/√7

1 +(2x+5√

7

)2dx = (7)

2√7arctan

(2x+ 5√

7

)(8)

De (5) para (6), dividiu-se ambas as partes da fracção por 7/4;

de (6) para (7), colocou-se u′ =(x+5/2√

7/4

)′=√4/7 = 2/

√7



no numerador; de (7) para (8), usou-se a fórmula de integração∫u′

1+u2dx = arctan(u) + C.

� Finalmente, substituindo a expressão (8) na fórmula (4), obtém-se

I =3

2ln

(∣∣∣x2 + 5x+ 8∣∣∣)− 13√

7arctan

(2x+ 5√

7

)+ C.

Os integrais do tipo IV são geralmente trabalhosos. É um treino muitobom ler a resolução abaixo e procurar perceber todos os passos.

Exemplo.

(Tipo IV) Calcular o integral I =∫

3x+1(x2+5x+8)2

dx.� Começa-se por escrever o integral como a soma de dois integrais

I =

∫3x

(x2 + 5x+ 8)2dx+

∫1

(x2 + 5x+ 8)2dx. (9)

� Por a derivada do denominador ser 2x + 5, modi�ca-se o primeirointegral de modo a obter, por integração, uma potência de basex2 + 5x+ 8.∫

3x

(x2 + 5x+ 8)2dx = 3

∫x

(x2 + 5x+ 8)2dx =

3

2

∫2x

(x2 + 5x+ 8)2dx =

3

2

∫2x+ (5− 5)

(x2 + 5x+ 8)2dx =

3

2

∫2x+ 5

(x2 + 5x+ 8)2dx− 3

2

∫5

(x2 + 5x+ 8)2dx =

− 3

2(x2 + 5x+ 8)−1 − 15

2

∫1

(x2 + 5x+ 8)2dx

Substituindo esta expressão no primeiro integral de (9), temos

I = −32(x2 + 5x+ 8)−1 − 13

2

∫1

(x2 + 5x+ 8)2dx. (10)

O cálculo de I �ca completo com a resolução do integral

I2 =

∫1

(x2 + 5x+ 8)2dx. (11)

� O integral I2 resolve-se da forma seguinte.� Começa-se por completar o quadrado na base do denominador

x2 + 5x+ 8 = (x+ 5/2)2 + 7/4;



� Substitui-se esta expressão na fórmula (11)

I2 =

∫1(

7/4 + (x+ 5/2)2)2dx.

� Para simpli�car faz-se a substituição u = x+ 5/2, du = dx,

I2 =

∫1(

7/4 + u2)2du.

� Modi�ca-se a forma de I2.

I2 =4

7

∫7/4(

7/4 + u2)2du =

4

7

∫u2 + 7/4− u2(7/4 + u2

)2 du

� Escreve-se este integral como soma de dois integrais.

I2 =4

7

∫1

7/4 + u2du− 4

7

∫u2(

7/4 + u2)2du (12)

� Primitiva-se por partes o segundo integral.

I3 =

∫u2(

7/4 + u2)2du =

∫u

u(7/4 + u2

)2duf = u g′ = u

1

2(u2 + 7/4)−2 f ′ = 1 g = −1

2(u2 + 7/4)−1

Fica

I3 = −u

2(u2 + 7/4)−1 +

1

2

∫1

7/4 + u2du.

� Substituindo I3 em I2

I2 =4

7

∫1

7/4 + u2du+

2

7u(u2 + 7/4)−1 − 2

7

∫1

7/4 + u2du

=2

7

∫1

7/4 + u2du+

2

7

u

u2 + 7/4

� Um integral do tipo do que aparece nesta expressão foi calculadono exemplo anterior. Podemos escrever, com a substituição u =x+ 5/2

I2 =2

7

2√7arctan

(2x+ 5√

7

)+

2

7

x+ 5/2

x2 + 5x+ 8

=4√73

arctan

(2x+ 5√

7

)+

2x+ 5

7x2 + 35x+ 56



� Finalmente, substituindo esta expressão para I2 na equação (10),obtém-se

I = −32

1

x2 + 5x+ 8− 13

2

4√73

arctan

(2x+ 5√

7

)−

− 13

2

2x+ 5

7x2 + 35x+ 56+ C

I = − 26√73

arctan

(2x+ 5√

7

)− 13x+ 43

7x2 + 35x+ 56+ C

Bibliogra�a1. Cálculo Diferencial e Integral, vol I, N. Piskounov.2. Calculus, Howard Anton.


conteúdomar/calculoii2019/polinomiosfracionais.pdf · números complexos. polinómios....

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