INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS

o Sabemos que uma função racional f(x) é definida como o quociente de duas funções polinomiais, ou seja,

f(x) = p (x)q(x ) , onde p(x) e q(x) são polinômios.

o A integral de algumas funções racionais simples, como por exemplo:

1x ²,1

x ²+1,2xx ²+1

,1

x ²+6 x+13

são imediatas, ou podem ser resolvidas por substituição, logo são integrais, das quais já sabemos resolver.

o O objetivo deste trabalho é apresentar um método sistemático, para podermos calcular a integral de qualquer função racional.

o A idéia básica é escrever a função racional dada, como uma soma de frações mais simples. Para isso, usaremos a seguinte proposição:

Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, p(x) pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais.

EXEMPLO:

i ) O polinômio q(x) = x² - 3x + 2 pode ser escrito como o produto dos fatores lineares x – 2 e x – 1, ou seja, q(x) = (x – 2) (x – 1).ii ) O polinômio q(x) = x³ - x² + x – 1 pode ser expresso como o produto do fator linear x – 1 pelo fator quadrático irredutível x² + 1, isto é.q(x) = (x² + 1) (x – 1).

o O coeficiente do maior termo do denominador q(x), deve se 1. Se isso não ocorrer, dividimos o numerador e o denominador da função por esse coeficiente.

o O grau de p(x) deve ser menor do que o de q(x). Se não ocorrer, devemos efetuar a divisão de p(x) por q(x).

1º Caso. Os fatores de q(x) são lineares e distintos.

o Neste caso, podemos escrever q(x) na forma:q(x) = (x - a1) (x – a2) ... (x – an).

onde os ai , i=1, ..., n, são distintos dois a dois.

o A decomposição da função racional f(x) = p (x)q(x ) em frações mais

simples é dada por:

f(x) = A1x−a1 +

A2x−a2 + ... +

Anx−an

onde : A1, A2, …, An são constantes que devem ser determinadas.

a1, a2, an são as raízes de q(x).

EXEMPLO:

(i) Calcular I = ∫ x−2x ³−3 x ²−x+3 dx

Solução. Temosx−2

x ³−3 x ²−x+3= x−2

( x−1 ) (x+1 ) ( x−3 )

¿A1x−1

+A2x+1

+A3x−3

Reduzindo novamente ao mesmo denominador, vem:

x−2( x−1 ) ( x+1 ) ( x−3 )

=( x+1 ) ( x−3 ) A1+( x−1 ) ( x−3 ) A2+( x+1 ) ( x−1 ) A3

( x−1 ) (x+1 ) ( x−3 )

¿(x¿¿2−2 x−3)A1+ (x2−4 x+3 ) A2+(x2−1) A3

( x−1 ) (x+1 ) ( x−3 )¿

¿(A1+A2+A3 ) x2+ (−2 A1−4 A2 )x+(−3 A1+3 A2−A3)

( x−1 ) ( x+1 ) ( x−3 )

Eliminando os denominadores, obtemos:

x−2=(A1+A2+A3 ) x2+ (−2 A1−4 A2 ) x+(−3 A1+3 A2−A3)

Para x = 1, temos:1 – 2 = (1+1)(1-3)A1 + (1 – 1)(1 – 3)A2 + (1 – 1)(1 + 1)A3

-1 = -4A1

A1 = 1\4

Para x= -1, temos:-1 -2 = (-1+1)(-1-3)A1 + (-1-1)(-1-3)A2+(-1-1)(-1+1)A3

-3 = 8 A2

A2 = -3\8;

Para x = 3, temos:3 - 2 = (3 + 1)(3 - 3)A1 + (3 - 1)(3 - 3)A2 + (3 - 1)(3 + 1)A3

1 = 8A3

A3 = 1\8

Portanto a decomposição em frações parciais é dada por:

x−2( x−1 ) ( x+1 ) ( x−3 )

=

14x−1

+

−38x+1

+

18x−3

¿ 14.1x−1

−38.1x+1

+ 18.1x−3

E então,

I=14∫dxx−1

−38∫dxx+1

+ 18∫dxx−3

¿ 14ln|x−1|−3

8ln|x+1|+ 1

8ln|x−3|+C

2º CASO - Os fatores de q(x) são lineares, e alguns se repetem.

Se um fator linear x – ai de q(x) tem multiplicidade r, a esse fator corresponderá uma soma de frações parciais da forma a seguir:

B1(x−ai)r

+B2

(x−ai)r−1+…+

Br(x−ai)

Onde B1, B2, ... , Br são constantes que devem ser determinadas.

EXEMPLO:

f ( x )= 1

x4+x3

Decompondo o denominador:x³ (x + 1)

X³ corresponde a 3 frações: x, x², x³.

Na forma decomposta, temos:

1

x4+x3= 1

x3(x+1)= Ax+1

+Bx+ Cx2

+ Dx3

Colocando em um mesmo denominador:

1= A (x)(x2)(x3) + B(x+1)(x2)(x3) + C(x+1)(x)(x3) + D(x)(x2)(x+1)

1= Ax6 + Bx6 +BX5 + Cx5 + Cx4 + Dx4 + Dx3

1= x6 (A + B) + x5 (B + C) + x4 (C + D) + Dx³

{A+B=0B+C=0C+D=0D=1

Resolvendo o sistema:

D=1 C=-1 B=1 A=-1

Portanto a decomposição em frações parciais é dada por:

1

x3(x+1)=1x− 1

x2+ 1x3

− 1x+1

3º CASO - Os fatores de g(x) são quadráticos e irredutíveis, os fatores quadráticos não se repetem.

A cada fator quadrático x²+bx+c de q(x) corresponderá uma fração parcial da forma:

Cx+Dx2+bx+c

EXEMPLO:

f ( x )= x2+2 x+3(x2+2x+2 ) (x2+2 x+5)

Como o denominador da fração contém fatores do segundo grau irredutível. A cada fator corresponde uma fração cujo denominador é o fator e cujo numerador é do primeiro grau.Logo, a fração pode ser decomposta na soma algébrica de duas frações, cujos denominadores são; x2 + 2x+ 2 e x2 + 2x+5 e cujos numeradores podemos designar por Ax+B e Cx+D . Então:

x2+2x+3(x2+2 x+2 )(x2+2x+5)

= Ax+B(x2+2 x+2 )

+ Cx+D(x2+2 x+5)

Multiplicando ambos os membros por (x2 + 2x+ 2)(x2 + 2x+5) a identidade acima obtemos:

x2 + 2x + 3 = (Ax + B)(x2 + 2x + 5)+(Cx + D)(x2 + 2x + 2)x2 + 2x+ 3 = (Ax+B)x3 +(2A+B+ 2C+D)x2 +(5A+ 2B+ 2C+ 2D)x+5B+ 2D

Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, obtemos o sistema de equações lineares:{ A+C=02 A+B+2C+2D=15 A+2B+2C+2D=2

5 B+2D=3

Resolvendo-o encontramos: A= 0 , B = 1/3, C = 0 eD= 2/3.Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:

x2+2x+3(x2+2 x+2 )(x2+2x+5)

=

13

(x2+2 x+2 )+

23

(x2+2 x+5)