Olá caros alunos do 9ºB, sabemos que vocês adoram estudar e em

função do cenário atual, por meio desta eu estarei passando a vocês conteúdo e

atividades para revisarem e estudarem esses dias enquanto todos nos estamos

nesse recesso.

Assim sendo vamos começar com uma revisão de matéria que tem

relação com o que vimos no começo do ano e depois passar para a matéria que

trabalhamos do 9º ano propriamente dita.

Números naturais.

Representados pela letra ‘N’, surgiu da necessidade de quantificar do ser

Humano, ou seja, definir uma quantia.

N= {0,1,2,3,4,5...}

As chaves ‘{‘ são utilizadas na representação para dar a ideia de conjunto

e as reticências ‘...’dão a ideia de infinidade.

N* É o conjunto dos naturais sem o zero por exemplo.

Números inteiros.

Representados por Z, ele agrupa não apenas os números naturais como

os seus opostos, números negativos, indo do -∞ menos infinito ao +∞ mais infinito,

exemplo: Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}.

Note que o 0 é o centro do conjunto.

Os Racionais.

Representado por Q. Ele é o conjunto composto por todas as frações

entre dois números inteiros, a palavra racional é referente a razão, ou seja, uma

divisão entre dois números, uma fração.

Um numero será racional se ele puder ser expresso na forma de fração. O

numerador e o denominador devem pertencer ao conjunto dos números inteiros,

sendo que o denominador não pode ser zero.

Numerador/Denominador.

Os números irracionais (não formam razão, ou seja divisão de resultado inteiro).

Representado por I. É todo numero que não pode ser escrito na forma de

fração entre dois números inteiros, ou seja, formam dizimas não periódicas, tais

como Pi (3,1415...) e o numero de Euler (e= 2,71828...) E a raiz de 2. Estes números

possuem infinitas casas decimais.

Os números reais (não se refere a dinheiro, e sim realidade).

É a união entre os Q e os I.

Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

Números Inteiros (Z): Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, –5/4...}

Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 3,1415...}

Veja:

Como pode ver, os números Q contem os Z que por sua vez contem os N.

O conjunto dos I está a parte mas é a união dele com os Q que formam os R.

Atividade:

1) Indique a qual(ais) conjunto(s) pertence os números abaixo:

a) 3

b) -47

c) -7/8

d) √7

e) 3,141592...

2)Um termômetro marca 12ºC, logo a temperatura cai 7ºC, depois sobe 2ºC e cai

6ºC. A temperatura final pertence a qual conjunto? Qual é a temperatura?

3)Quantos números inteiros existem no intervalo entre -8/3 e 3,1415...?

Potenciação:

Indica multiplicação de fatores iguais. Sendo ‘a’ um numero inteiro e ‘n’ um

numero natural maior que 1, temos que:

a é a base

n é o expoente

o resultado é a potencia.

Veja os exemplos a seguir:

Dois elevado a quarta potencia é igual a 2.2.2.2=16

Outro exemplo:

2³=2.2.2=8

Por definição qualquer numero elevado a zero é igual a 1.

Qualquer numero elevado a 1 é igual a ele mesmo.

7¹=7

Para não se confundir:

Um numero negativo elevado a um expoente par terá como resultado um numero

positivo.

Um numero negativo elevado a um expoente impar Dara um resultado negativo.

Propriedades da potência:

Para facilitar algumas operações podemos usar das propriedades da potencia:

- Toda potência de 10 é igual ao numeral formado pelo algarismo 1 seguido de

tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.

10 elevado a 7 é igual a 10.000.000.

- Multiplicação de potências de base igual.

3² vezes 3³ é igual a 3elevado a 5.

Veja que neste caso, se repete a base e soma se os expoentes.

Para praticar:

Aplique a propriedade de multiplicação de potencias:

58.58⁸

7⁵.7⁸=

3².3⁴=

- Divisão de potencia de mesma base.

Neste caso manten-se a base e se subtrai os expoentes.

2⁵ ÷2³= 2²

Observe, a base dois foi repetida e se subtraiu 3 do 5 resultando em dois.

Resolva:

2⁶/2⁴=

9⁸÷9⁴=

6³/6²=

-Potencia de expoente negativo.

Para calcular esta potência você pode inverter o número tal qual uma fração para

deixar o expoente positivo, veja:

Três elevado a dois negativo.

Você inverte o 3, e ele fica igual a 1/3 (um terço).

Mas por que? Você pergunta, eu respondo, o 3 é na verdade três inteiros, ou

seja, 3/1, quando você inverter ele você vai mudar o numerador e o denominador

de lugar, ou seja de 3/1 vai para 1/3.

Depois aplica a operação, (1/3)² é igual a 1/9.

Agora tente resolver:

5 elevado a 4 negativo (professor não vai escrever 5-⁴? Ate que vou, mas escrevi

por extenso pra vocês se darem ao trabalho de ler)

7-8=

25-12=

(2/3)-5=

(1/3)-2=

-Potência de potência.

(7²)³= 7²*³=7⁶.

Note que se repetiu a base e multiplicou-se os expoentes.

Para praticar:

(5²)³=

(4³)⁶=

(2⁴)⁹=

-Potência de um produto.

Exemplo (5*7)³= 5³ vezes 7³

Veja que neste caso aplicou-se a distributiva do expoente 3 aos números 5 e 7,

ou seja, temos que (5.7)³ é a mesma coisa que 5³ vezes 7³.

Pratique:

(2.3)²=

(5*4)⁶=

(7*2)²=

Radiciação

É a operação inversa a potência.

O sinal √ chama-se radical.

Índice 2 significa raiz quadrada.

Índice 3 significa raiz cúbica.

Índice 4 significa raiz quarta.

E por ai vai.

 (lê-se “raiz quadrada de 81”)

 (lê-se “raiz cúbica de 64”)

 (lê-se “raiz quarta de 16”)

Note que o índice 2 não precisa ser evidenciado, em outras palavras apesar de

saber que tem um 2 no índice você não precisa escrever o numero dois. Mas nos

demais casos você tem de especificar o valor do índice.

Olhe por exemplo, a raiz cúbica de 8, é o número que multiplicado por si mesmo

3 vezes resultara no valor do radicando.

³ √8 = 2

Veja que 2³= 2.2.2 = 8

Assim, raiz cúbica de 8 é dois pois 2.2.2 é igual a 8.

E assim como as potências as raízes trem suas propriedades:

-A raiz enésima de um numero elevado a enésima potência é o próprio numero,

ou seja, se você calcular a raiz de uma potencia cujo índice seja o mesmo do

expoente da raiz você terá o mesmo numero, veja:

³ √2³ = 2

Aqui, raiz cúbica de dois elevado ao cubo é dois, pois o expoente 3 do dois

cancela o índice 3 da raiz.

- O índice de uma raiz pode ser multiplicado ou dividido por um numero qualquer

desde que o expoente do numero radicando seja multiplicado ou dividido pelo

mesmo valor.

Exemplo: √ 5⁴ = ²*³ √5⁴*³

Viu, O índice 2 foi multiplicado por 3 e o expoente 4 também, isso faz com que a

conta de o mesmo valor pois estamos igualando os lados.

-A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas.

Exemplo: √a.b = √a . √b.

Ou seja, se eu tiver por exemplo uma multiplicação dentro do radical eu posso

separar esses números e fazer a raiz separada deles e depois multiplicar eles.

Raiz de cinco vezes o dois é igual a raiz de cinco vezes a raiz de dois.

√5.2 = √5. √2

Pratique:

√7.5=

³ √6.4=

√4/4=

√8÷2=

-Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente para o

radicando:

(⁴√5²)³ = ⁴ √5²*³= ⁴ √5⁶

Perceba que o expoente 3 passa a multiplicar o expoente dentro do radicando,

neste caso o 2.

Pratique:

(√5)³ = √5³

(³√8³)³ =

(⁵√4⁷)³ =

-Raiz de raiz.

Considerando a raiz enésima da raiz enésima de um numero, é passível obter o

seu resultado desta forma:

A raiz quadrada da raiz cúbica de cinco é igual a raiz sexta de 5.

²√³√5= ²*³√5

Ou seja, se você encontrar uma operação de radiciação dentro de outra, você

pode multiplicar os índices.

Pratique:

√³√25=

³√√16=

⁴√⁵√125=

A ultima propriedade diz que podemos escrever um radical na forma de potência

com seu expoente fracionado, consequentemente se pode escrever a potencia

em forma de raiz, observe:

√5³= 5³÷²

Veja que a raiz quadrada de 5 elevado a terceira é igual a 5 elevado a 3/2.

Onde ‘a’ é um numero qualquer.

1)Pratique:

³√7²=

√2⁴=

⁴√5² =⁰

2) Escreva as potencias dadas de modo que elas sejam expressas em forma

radical.

31/2

42/3

2343/4

Decomposição em fatores primos

Hora de rever a Decomposição em fatores primos para calcular a raiz, ate agora

não pedi para você calcular, apenas para aplicar a propriedade, mas me diga

qual a raiz de 144?

Bem vamos ver uma forma de calcular.

Primeiro, uma colinha, você lembra dos números primos?

Números primos são números divisíveis apenas por ele mesmo e pelo numero 1,

de modo a obter um valor inteiro. Eis eles aqui: 2,3,5,7,11,13,17,19,23... e por ai

vai.

Para o caso de uma raiz quadrada você pode ir dividindo o valor do radical ate

obter produto 1, conforme o esquema:

Você pode pegar sua calculadora e confirmar que √144 = 12.

Vamos agora tentar com a √484.

É um numero par, dividindo por dois fica 242 dividindo por dois de novo fica 121,

e agora? Se fizer por 3 ou por 2 terá números quebrados, deve estar pensando

que seria bom ter a colinha agora não é mesmo? Bem se você pensar um pouco

vai notar que 121 é múltiplo de 11, e 11 é um número primo, 121/11= 11 e 11/11

= 1.

A cada dois números iguais desconsidere o segundo. Você terá ao final 2*11=22,

e se verificar, constatara que √484 = 22.

Agora resolva:

A) √64

B) √196

C) √36

Muito bem mas e para uma raiz de índice diferente de dois?

Bem nestes casos o procedimento é semelhante mas muda a quantidade de

números que você vai cortar.

Para calcular a raiz cúbica, a cada três números iguais você corta dois.

Exemplo ³√64 = 4

Para demais raízes o procedimento é similar veja que para raiz de índice 4 a cada 4

números iguais você corta 3.

Experimente calcular a 4√81, você vai obter como resultado 3.

81/3 = 27, 27/3= 9, 9/3=3 e 3/3=1. Você vai cortar três dos quatro números três e vai

restar apenas um numero 3, logo o resultado é 3.

Calcule:

A) 3√216

B) 4√256

Teorema de Pitágoras:

Sim, é claro que vocês se recordam mas vamos repassar ok?

O teorema está relacionado com os lados do triangulo retângulo, (aquele que tem

um ângulo reto, ou seja, de 90º).

O enunciado do teorema diz que “ A soma do quadrado dos catetos é igual ao

quadrado da hipotenusa.

Basicamente isso significa que a soma de cada valor ao quadrado dos lados do

triangulo que formam o ângulo reto tem de dar o valor igual ao quadrado do valor

do terceiro lado.

Veja a imagem:

Considerando a: hipotenusa b: cateto c: cateto, temos que a²=b²+c².

Pegue seu caderno e régua, faça uma reta de 4 cm e depois faça uma de 3 cm

de modo que juntas formem um ângulo reto, (sim vc está fazendo um triangulo)

quando você fechar o triangulo vera que o valor da hipotenusa é 5.

Agora observe: 3² = 3.3 = 9 e 4² = 4.4 = 16. 16+9 = 25.

E qual o quadrado de 5? Isso mesmo 25. Pois 5.5 = 25.

Então se você não soubesse que o valor da hipotenusa é 5, bastaria você somar

o quadrado dos catetos (que deu 25) e depois tirar a raiz desse valor (√25) que é

igual a 5, assim você descobre o valor da hipotenusa.

Pratique:

A) Um triangulo retângulo tem lados que formam o ângulo reto (estou dando os

valores dos catetos) de medidas 5 e 12. Qual o valor da hipotenusa? 13, sim

e treze mas faça o calculo 5² + 12² e veja se está correto.

B) Um triangulo retângulo tem lados que formam o ângulo reto de medidas 7 e

24. Qual o valor da hipotenusa?

C) Um triangulo retângulo tem lados que formam o ângulo reto de medidas 20 e

21. Qual o valor da hipotenusa?

Agora vamos retomar alguns conceitos para falar da reta numérica:

Reta:

Formada por infinitos pontos. É ilimitada e infinita.

Lembram do ponto “.” Assim como uma imagem no computador é formado por

vários pixels a reta é formada por vários pontos.

Uma reta é nomeada com uma letra minúscula, como exemplo a reta acima é

nomeada de ‘s’.

Veja que as setas em cada extremidade faz referencia a indicação de que é

infinita, para ambos os lados.

Semirreta:

Parte da reta que tem um ponto inicial (origem) e não tem fim.

Como podem ver os pontos são nomeados com uma letra maiúscula no caso

a Semirreta AB, tem origem no ponto A, passa pelo ponto B mas não tem fim.

Note que podemos nomear ela com AB tendo uma seta em cima apontando a

direção de para onde é infinita.

Segmento de reta:

É a parte da reta compreendida entre dois pontos, ou seja, é como ‘cortar’

uma fatia da reta para ter um pedaço com inicio e fim.

Veja o segmento AB, ele começa no ponto A e termina no B, pode ser

representada por AB com uma reta em cima sem setas apontando direção.

Quer um exemplo pratico?

Mesmo se sua resposta for não, ai vai: Pegue sua régua ela provavelmente

começa no zero e termina em 30 cm.

Você pode ver claramente os números reais na sua régua. Tente, localizar

3,25 ou 4,4 por exemplo, não é difícil, trace uma reta de 5 cm no caderno e

localize onde está o 3,25 e o 4,4. E

Legal que você pode agora localizar esses números certo? Mas e para os

números irracionais? Eles tem infinitas casas decimais então como fazer para

localizar eles?

Bem se vocês recordam tem duas maneiras.

Por aproximação.

Assim como você fez anteriormente você ira criar uma reta e tentar localizar o

valor mais próximo possível, exemplo a raiz de dois (√2), ela é um numero

irracional, seu valor aproximado é de 1,4142, considere a sua régua, você pode

localizar facilmente o 1,4 certo? Está ao lado de 1,5. Então você marca 1,4 como

raiz de 2.

Certo, certo, mas e se você quiser a posição exata?

Ai entra o segundo método:

Por construção geométrica

Como vocês devem se lembrar é algo mais visual de se explicar, então eu

procurei e encontrei vídeos curtos mostrando como se faz, claro não vou apenas

deixar o vídeo, vocês gostam muito das minhas explicações então vou explicar

por escrito antes:

E antes do antes:

Vamos recordar o que são números quadrados perfeitos já que vamos usar eles:

Um número natural é um quadrado perfeito quando é o produto de dois fatores

iguais. Por exemplo, os números 4, 36 e 100 são quadrados perfeitos, pois 2² =

4, 6² = 36 e 10² = 100. O que significa que tirar uma raiz quadrada deles vai dar

um valor inteiro.

Lista de números quadrados perfeitos:

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 etc...

O método de construção geométrica

Considere o numero irracional que você quer localizar na reta (ou o que o

professor está mandando você localizar já que você não quer de fato).

Vamos pegar de exemplo a √2.

Você vai construir um triangulo retângulo qualquer (não importa as medidas dos

lados) e vai dizer que o valor da hipotenusa é a √2.

Então você vai ter de atribuir valores para os catetos que quando somados

resultem o valor do radical, neste caso dois.

Quais números somados resultam 2? Essa é fácil, 1+1 =2

Mas não se aprese, lembre-se, teorema de Pitágoras, 1² + 1² não é igual a (√2)²,

entretanto, (√1)² + (√1)² = (√2)². Basicamente você vai ter de considerar que o

numero que você vai escolher tem de estar dentro de um radical.

Então os lados do cateto serão raiz de 1.

Como sabem √1=1

Agora pegue sua régua e seu compasso (que com certeza você tem), e seu

caderno.

Faça um segmento de reta, pelo menos uns 4 cm, (você pode considerar fazer

cada 2cm serem igual a 1 cm para que o desenho fique maior) .

Vocês devem desenhar os catetos de forma que a medidas deles deem o valor

das raízes que vocês atribuíram, no caso √1=1 então cada cateto terá 1cm.

Faça 1 cm na reta começando em zero e depois você vai ‘subir’ 1 cm e fechar o

triangulo, então você vai colocar a agulha (parte seca) do transferidor no marco

zero e o lápis na outra ponta, sim você percebeu que está colocando o compasso

na hipotenusa, e vai então traçar um arco ate encostar na reta, parabéns você

localizou exatamente a √2 na reta.

Então repassando, você atribuiu valores para os catetos, para que somados

dessem o valor dentro da √, que é o que vocês procuram, e então construíram

um triangulo cuja medida dos catetos deu o resultado da raiz dos catetos, e

transferiram a medida da hipotenusa através de um arco feito com o compasso

para a reta.

Uma coisa legal, se você construir um outro triangulo retângulo de modo

que √2 seja um dos catetos e o outro cateto seja de 1cm você terá um novo triangulo

retângulo de hipotenusa igual a √3, e repetindo o procedimento você vai encontrar

√4 e assim sucessivamente em ordem crescente.

Vamos para outro exemplo, Encontre a √17 na reta numérica.

Primeiro passo, olhando a nossa colinha acima de quadrados perfeitos, quais

números somados resultam em 17?

Facilmente você nem olhou a lista e deduziu 1 e 16, muito bem, Raiz de 1 é um,

e √16 = 4.

Vamos agora construir o triangulo retângulo com forme os passos:

Com sua régua trace um segmento de reta. Com forme o exemplo

‘maravilhosamente bem desenhado’ por mim (vamos ser sinceros pelo menos dá

para entender).

Trace 4 cm na reta já que é o valor maior, e ‘suba’ 1 cm. Assim você tem os dois

lados do triangulo retângulo que formam o ângulo reto, basta fechar ele.

Com o compasso você ira traçar um arco para encontrar na reta o valor da raiz

de 17.

Fazendo corretamente os passos você vai encontrar na reta a posição correta da

√17.

Calculando, o valor aproximado da √17 você terá 4,12310..., e se olhar na sua

régua/reta vera que não está longe desse valor a posição que você encontrou

não é mesmo? (Provavelmente para você vai estar perto de 4,1 ou 4,2

dependendo da grossura do lápis).

Como é algo que depende de uma demonstração visual, além das imagens que

eu montei eu vou deixar esses vídeos que encontrei e parecem expor facilmente

o caso, não gravei eu mesmo pois não tenho o equipamento para fazer isso.

https://youtu.be/bV3SqTUltTM

https://youtu.be/dRLYrmkPxM4

sim é apenas o link, copie e cole no seu navegador de internet, ou clique em

cima que vai abrir o seu navegador e entrar no ‘youtube’. Não esqueça de antes

verificar se você está usando o Wifi ou gastando seus dados moveis caso esteja

no celular.

Agora vamos praticar.

1) Encontre:

a)√8

b) √41

c) √13

d) √25

Espoooooiler, na letra D você vai achar 5 se fez tudo certo. Eu sei, não é um

numero irracional, mas mostra claramente para você que o método funciona.

Por enquanto é só ‘pepepepepessoal’.

Busquem estudar e praticar, em caso de duvidas sempre é bom rever os

conceitos, lembre-se de anotar.

Boa sorte a todos e lembrem-se de tomar os devidos cuidados como por

exemplo lavar bem as mãos com água e sabão e evitar aglomerações.