INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS
o Sabemos que uma função racional f(x) é definida como o quociente de duas funções polinomiais, ou seja,
f(x) = p (x)q(x ) , onde p(x) e q(x) são polinômios.
o A integral de algumas funções racionais simples, como por exemplo:
1x ²,1
x ²+1,2xx ²+1
,1
x ²+6 x+13
são imediatas, ou podem ser resolvidas por substituição, logo são integrais, das quais já sabemos resolver.
o O objetivo deste trabalho é apresentar um método sistemático, para podermos calcular a integral de qualquer função racional.
o A idéia básica é escrever a função racional dada, como uma soma de frações mais simples. Para isso, usaremos a seguinte proposição:
Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, p(x) pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais.
EXEMPLO:
i ) O polinômio q(x) = x² - 3x + 2 pode ser escrito como o produto dos fatores lineares x – 2 e x – 1, ou seja, q(x) = (x – 2) (x – 1).ii ) O polinômio q(x) = x³ - x² + x – 1 pode ser expresso como o produto do fator linear x – 1 pelo fator quadrático irredutível x² + 1, isto é.q(x) = (x² + 1) (x – 1).
o O coeficiente do maior termo do denominador q(x), deve se 1. Se isso não ocorrer, dividimos o numerador e o denominador da função por esse coeficiente.
o O grau de p(x) deve ser menor do que o de q(x). Se não ocorrer, devemos efetuar a divisão de p(x) por q(x).
1º Caso. Os fatores de q(x) são lineares e distintos.
o Neste caso, podemos escrever q(x) na forma:q(x) = (x - a1) (x – a2) ... (x – an).
onde os ai , i=1, ..., n, são distintos dois a dois.
o A decomposição da função racional f(x) = p (x)q(x ) em frações mais
simples é dada por:
f(x) = A1x−a1 +
A2x−a2 + ... +
Anx−an
onde : A1, A2, …, An são constantes que devem ser determinadas.
a1, a2, an são as raízes de q(x).
EXEMPLO:
(i) Calcular I = ∫ x−2x ³−3 x ²−x+3 dx
Solução. Temosx−2
x ³−3 x ²−x+3= x−2
( x−1 ) (x+1 ) ( x−3 )
¿A1x−1
+A2x+1
+A3x−3
Reduzindo novamente ao mesmo denominador, vem:
x−2( x−1 ) ( x+1 ) ( x−3 )
=( x+1 ) ( x−3 ) A1+( x−1 ) ( x−3 ) A2+( x+1 ) ( x−1 ) A3
( x−1 ) (x+1 ) ( x−3 )
¿(x¿¿2−2 x−3)A1+ (x2−4 x+3 ) A2+(x2−1) A3
( x−1 ) (x+1 ) ( x−3 )¿
¿(A1+A2+A3 ) x2+ (−2 A1−4 A2 )x+(−3 A1+3 A2−A3)
( x−1 ) ( x+1 ) ( x−3 )
Eliminando os denominadores, obtemos:
x−2=(A1+A2+A3 ) x2+ (−2 A1−4 A2 ) x+(−3 A1+3 A2−A3)
Para x = 1, temos:1 – 2 = (1+1)(1-3)A1 + (1 – 1)(1 – 3)A2 + (1 – 1)(1 + 1)A3
-1 = -4A1
A1 = 1\4
Para x= -1, temos:-1 -2 = (-1+1)(-1-3)A1 + (-1-1)(-1-3)A2+(-1-1)(-1+1)A3
-3 = 8 A2
A2 = -3\8;
Para x = 3, temos:3 - 2 = (3 + 1)(3 - 3)A1 + (3 - 1)(3 - 3)A2 + (3 - 1)(3 + 1)A3
1 = 8A3
A3 = 1\8
Portanto a decomposição em frações parciais é dada por:
x−2( x−1 ) ( x+1 ) ( x−3 )
=
14x−1
+
−38x+1
+
18x−3
¿ 14.1x−1
−38.1x+1
+ 18.1x−3
E então,
I=14∫dxx−1
−38∫dxx+1
+ 18∫dxx−3
¿ 14ln|x−1|−3
8ln|x+1|+ 1
8ln|x−3|+C
2º CASO - Os fatores de q(x) são lineares, e alguns se repetem.
Se um fator linear x – ai de q(x) tem multiplicidade r, a esse fator corresponderá uma soma de frações parciais da forma a seguir:
B1(x−ai)r
+B2
(x−ai)r−1+…+
Br(x−ai)
Onde B1, B2, ... , Br são constantes que devem ser determinadas.
EXEMPLO:
f ( x )= 1
x4+x3
Decompondo o denominador:x³ (x + 1)
X³ corresponde a 3 frações: x, x², x³.
Na forma decomposta, temos:
1
x4+x3= 1
x3(x+1)= Ax+1
+Bx+ Cx2
+ Dx3
Colocando em um mesmo denominador:
1= A (x)(x2)(x3) + B(x+1)(x2)(x3) + C(x+1)(x)(x3) + D(x)(x2)(x+1)
1= Ax6 + Bx6 +BX5 + Cx5 + Cx4 + Dx4 + Dx3
1= x6 (A + B) + x5 (B + C) + x4 (C + D) + Dx³
{A+B=0B+C=0C+D=0D=1
Resolvendo o sistema:
D=1 C=-1 B=1 A=-1
Portanto a decomposição em frações parciais é dada por:
1
x3(x+1)=1x− 1
x2+ 1x3
− 1x+1
3º CASO - Os fatores de g(x) são quadráticos e irredutíveis, os fatores quadráticos não se repetem.
A cada fator quadrático x²+bx+c de q(x) corresponderá uma fração parcial da forma:
Cx+Dx2+bx+c
EXEMPLO:
f ( x )= x2+2 x+3(x2+2x+2 ) (x2+2 x+5)
Como o denominador da fração contém fatores do segundo grau irredutível. A cada fator corresponde uma fração cujo denominador é o fator e cujo numerador é do primeiro grau.Logo, a fração pode ser decomposta na soma algébrica de duas frações, cujos denominadores são; x2 + 2x+ 2 e x2 + 2x+5 e cujos numeradores podemos designar por Ax+B e Cx+D . Então:
x2+2x+3(x2+2 x+2 )(x2+2x+5)
= Ax+B(x2+2 x+2 )
+ Cx+D(x2+2 x+5)
Multiplicando ambos os membros por (x2 + 2x+ 2)(x2 + 2x+5) a identidade acima obtemos:
x2 + 2x + 3 = (Ax + B)(x2 + 2x + 5)+(Cx + D)(x2 + 2x + 2)x2 + 2x+ 3 = (Ax+B)x3 +(2A+B+ 2C+D)x2 +(5A+ 2B+ 2C+ 2D)x+5B+ 2D
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, obtemos o sistema de equações lineares:{ A+C=02 A+B+2C+2D=15 A+2B+2C+2D=2
5 B+2D=3
Resolvendo-o encontramos: A= 0 , B = 1/3, C = 0 eD= 2/3.Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:
x2+2x+3(x2+2 x+2 )(x2+2x+5)
=
13
(x2+2 x+2 )+
23
(x2+2 x+5)