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Instituto Federal do Espírito Santo PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
Mestrado Profissional em Educação em Ciências e Matemática
Danielly Fraga Santana
Maria Auxiliadora Vilela Paiva
O CONCEITO DE DIVISÃO NA FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR
Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática do Espírito Santo – GEPEM
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo Vitória, Espírito Santo
2018
Copyright @ 2017 by Instituto Federal do Espírito Santo Depósito legal na Biblioteca
Nacional conforme Decreto nº. 1.825 de 20 de dezembro de 1907. O conteúdo dos
textos é de inteira responsabilidade dos respectivos autores.
Material didático público para livre reprodução. Material bibliográfico eletrônico.
(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo)
S232c
Santana, Danielly Fraga. O conceito de divisão na formação inicial do professor [recurso
eletrônico] / Danielly Fraga Santana, Maria Auxiliadora Vilela Paiva. –
Vitória: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito
Santo, 2018. 47 p. : il.
ISBN: 978-85-8263-339-7
1. Professores – Formação. 2. Professores de matemática –
Formação. 3. Aritmética – Divisão. I. Paiva, Maria Auxiliadora Vilela. II.
Instituto Federal do Espírito Santo. III. Título
CDD: 370.71
Realização
Instituto Federal do Espírito Santo
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA Mestrado Profissional em Educação em Ciências e Matemática
Danielly Fraga Santana
Maria Auxiliadora Vilela Paiva
O CONCEITO DE DIVISÃO NA FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR
Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática do Espírito Santo – GEPEM
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo
Vitória, Espírito Santo 2018
Editora do IFES Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo Pró-Reitoria
de Extensão e Produção
Av. Rio Branco, nº 50, Santa Lúcia
Vitória – Espírito Santo - CEP 29056-255
Tel. (27) 3227-5564
E-mail: [email protected]
Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática
Centro de Referência em Formação e Educação a Distância – Cefor/Ifes
Rua Barão de Mauá, 30 – Jucutuquara
Vitória – Espírito Santo – CEP.: 29040-860.
Comissão Científica Alexandre Krüger Zocolotti
Bárbara Lutaif Bianchini
Sandra Aparecida Fraga da Silva
Coordenação Editorial Maria Auxiliadora Vilela Paiva
Revisão textual Rita Lélia Guimarães Granha
Capa e Editoração Eletrônica Katy Kenyo Ribeiro e Wendel Alexandre Albino Filho
Produção e Divulgação Programa Educimat (Ifes Campus Vitória)
Jadir José Pella Reitor
Lezi José Ferreira
Pró-Reitoria de Administração e Orçamento
Renato Tannure Rotta de Almeida Pró-Reitoria de Extensão
Adriana Pionttkovsky Barcellos
Pró-Reitoria de Ensino
Andre Romero da Silva Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação
Ademar Manoel Stange
Pró-Reitoria de Desenvolvimento Institucional
Centro de Referência em Formação e Educação a Distância Vanessa Battestin Nunes
Diretora
Campus Vitória Hudson Luiz Côgo
Diretor-Geral
Márcio de Almeida Có Diretor de Ensino
Marcia Regina Pereira Lima
Diretora de Pesquisa e Pós-Graduação
MINICURRÍCULO DAS AUTORAS
DANIELLY FRAGA SANTANA é Mestre em Educação em Ciências e Matemática pelo Instituto Federal do Espírito Santo (2018), atua na linha de pesquisa formação de professores, licenciada em Matemática, pelo Instituto Federal do Espírito Santo (2014), em Pedagogia pelo Instituto de Educação e Tecnologias (2015) e pós-graduada em Gestão Educacional Integrada pelo Centro de Estudos Avançados em Pós-Graduação e Pesquisas (2015). É servidora efetiva do Instituto Federal do Espírito Santo desde 2014, no cargo de Auxiliar de Biblioteca e membro do Grupo de Estudo e Pesquisa em Educação Matemática do ES- GEPEM-ES. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/1354102489481785 Email: [email protected]
MARIA AUXILIADORA VILELA PAIVA possui graduação em Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo (1972), mestrado em Matemática pelo Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (1980), e doutorado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (1999). Professora aposentada da UFES – ES, atualmente, é professora efetiva do CEFOR – Centro de Referência em Formação e em EaD, do IFES, atua no programa de Mestrado Profissional EDUCIMAT. Coordena o curso de Especialização Lato Sensu de Práticas Pedagógicas para Professores do Cefor/Ifes. Tem experiência na área de Educação Matemática no ensino fundamental, médio superior e na educação de jovens e adultos, com os temas: Matemática, Formação do Professor, Ensino e Aprendizagem da Matemática. É líder do Grupo de Estudo e Pesquisa em Educação Matemática
do ES- GEPEM-ES e fundadora da Sociedade Brasileira de Educação Matemática do ES. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/215851931321050 Email: [email protected]
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO………………………………………….……………… 8
1 INTRODUÇÃO..………………………………………….………………… 10
2 DIVISÃO PARTITATIVA E QUANTITATIVA .……………...………….. 14
3 ESTRATÉGIAS DE DIVISÃO NÃO CONVENCIONAIS..………….… 21
4 UM OLHAR SOBRE O ALGORITMO DA DIVISÃO ………………….. 27
5 UM OLHAR SOBRE O ALGORITMO DE EUCLIDES ……………….. 37
CONSIDERAÇÕES FINAIS........………………………………………… 44
LEITURAS E ATIVIDADES COMPLEMENTARES….………………… 45
REFERÊNCIAS……………….…………………………………………… 46
8
APRESENTAÇÃO Trabalhar na Formação Inicial de professores e com um conteúdo do ensino
fundamental foi um desafio por pertencer ao quadro de operações aritméticas e,
portanto, conteúdo considerado já dominado pelos licenciandos. Mas a motivação foi
o fato de que, para tratar qualquer conteúdo, mesmo que elementar, o professor
necessita construir um saber diferenciado, que vai além dos procedimentos de
cálculos. Assim, neste livro, a intenção foi discutir teorias que embasam o ensino e
aprendizagem do conceito de divisão e trazer experiências vivenciadas na
intervenção trabalhada com ingressantes na licenciatura em Matemática, de uma
instituição pública do Estado do Espírito Santo.
Este material é produto de uma pesquisa de mestrado realizada no âmbito do
Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática
(EDUCIMAT), vinculado ao Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes Campus Vitória.
Contém algumas abordagens que consideramos mais relevantes para trabalhar o
conceito de divisão no contexto da formação inicial. Para isso, algumas alterações
foram feitas nas atividades aplicadas na pesquisa, trazendo contribuições dos
participantes e, ao aplica-lo, pretendemos ampliar potencialidades de estudos
acerca do conceito de divisão na formação do professor de Matemática.
Durante as intervenções, realizadas no contexto da disciplina Fundamentos da
Matemática Elementar I, foram aplicadas atividades com sobre divisão abordando
calculadora, cálculo mental, estimativa, algoritmo da divisão, divisão partitiva e
quotativa e algoritmo de Euclides. Como os três últimos temas foram os mais
discutidos nas aulas no decorrer da pesquisa, este produto educacional contempla
esses temas diretamente. Dessa maneira, vale ressaltar, que não apresentamos
aqui todas as abordagens consideradas relevantes para (re)construir
adequadamente o conhecimento sobre o conceito de divisão, mas sim algumas
discussões e atividades pertinentes para tal objetivo.
Assim como em nossa pesquisa (SANTANA, 2018), a proposta do material é
valorizar conhecimentos prévios dos licenciandos e, por isso, recomendamos que
9
nenhuma formalização seja apresentada antes de os participantes refletirem,
discutirem e apresentarem suas estratégias de solução das atividades propostas.
Dessa maneira, criar um ambiente propício para a partilha de ideias e respeito
mútuo é essencial para um bom aproveitamento da formação aqui proposta. Além
disso, no decorrer deste material alertamos o leitor sobre expressões e atitudes
equivocadas que, geralmente, são utilizadas ao explicar procedimentos de resolução
do algoritmo da divisão; elas acabam gerando, nos alunos do ensino fundamental e
médio, algumas dificuldades conceituais.
Embora este material seja direcionado ao trabalho com a licenciatura em
Matemática, pessoas que estejam interessadas em (re)construir os aprendizados
sobre o conceito da divisão, tais como formadores de professores e professores de
Matemática de todas as modalidades de ensino, podem fazer adaptações para
utilizá-lo, adequando-o ao seu contexto escolar.
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1 INTRODUÇÃO Com o propósito de desenvolver um material que se distancie da constatação de
que, ainda hoje, algumas licenciaturas de Instituições de Ensino Superior (IES) “[...]
se pautam por uma tradição reificada de que licenciatura é apenas complemento de
um bacharelado e não um curso de graduação pleno com perfil próprio [...]” (GATTI,
2014, p. 36), propusemos um estudo com licenciandos ingressantes no curso de
licenciatura em Matemática para discutir situações direcionadas à sala de aula da
educação básica, mesclando conhecimentos que integrem o conhecimento escolar e
o científico.
A intenção foi evitar o que Felix Klein (2009) denomina dupla descontinuidade entre
esses conhecimentos. Esse fenômeno ocorre quando os licenciandos aprendem
conteúdos sem se atentar para a matemática escolar, porém, quando se tornam
professores e, diante da necessidade de ensinar a matemática elementar, tendem a
aceitar o ensino tradicional, reproduzindo o cenário da educação básica, em que
foram submetidos (KLEIN, 2009). Ao evitar a dupla descontinuidade, também nos
confrontamos com uma proposta curricular baseada no sistema 3+1, no qual “o
princípio basilar ainda é o mesmo: a separação entre as disciplinas de conteúdo e as
disciplinas de ensino” (MOREIRA, 2012, p. 1140), as quais continuam sendo
executadas de maneira independente, o que ainda remete à estrutura de formação
de professores advinda da década de 1930.
Uma maneira de se distanciar dessa perspectiva é valorizar ações dos formadores
de políticas públicas e de formadores de professores que consideram que, para
ensinar, existem certos conhecimentos necessários ao professor. Nessa direção,
“[...] uma boa formação matemática para o professor acaba produzindo um olhar
único para a sala de aula da escola; único, no sentido de singular, um olhar que só o
professor tem” (MOREIRA, 2012, p. 1144-1145). Com base nessa afirmação,
identificamos a necessidade de projetar disciplinas dentro da licenciatura que
priorizem aprendizagem matemática de maneira integrada com aprendizagem
docente.
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Nesse sentido, nossa proposta é utilizar situações relevantes para estimular os
licenciandos a refletir, mobilizando estratégias para (re)construir saberes
relacionados ao conceito de divisão. Para isso, é importante e necessário: [...] conhecer bem os participantes – saber o que os preocupa, o que lhes interessa, até que ponto estão dispostos a questionar-se e a expor-se perante os outros e até que ponto estão dispostos a investir na formação enquanto processo de aprendizagem (PONTE, 2014, p. 354-355).
Ao corroborar com a ideia de que a formação é um processo de aprendizagem,
entendemos que ela se faz presente desde o ingresso na licenciatura. No decorrer
da pesquisa, ela esteve presente quando, coletivamente, os licenciandos foram
incentivados a apresentar suas opiniões, foram ao quadro expor suas estratégias de
solução ou argumentaram diante das dúvidas e soluções apresentadas.
Nessa dinâmica, a interação entre conteúdo e pedagogia estabelece relação entre
os conhecimentos matemáticos aprendidos e as necessidades surgidas nas
situações durante a prática do professor. Ponte (2014) afirma que essa articulação é
insuficiente, pois é preciso estabelecer essa ligação, analisando em cada caso os
aspectos matemáticos, didáticos e pedagógicos. É por meio dessa interação que: O professor e o futuro professor compreendem melhor um conceito ou representação matemática, [...] pensando nas tarefas que podem usar para o ensinar, analisando resoluções diferentes dos alunos e observando as suas dificuldades em compreender esse conceito, do que aprendendo esse conceito de forma totalmente abstrata, tal como ele surge num livro de Matemática (PONTE, 2014, p. 351).
Essa interação entre teoria e prática, além de ser uma recomendação para uma
apreensão de conhecimentos necessários à docência, é uma garantia de lei,
proposta pelas Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação inicial em ensino
superior e para a formação continuada. No capítulo V das diretrizes, intitulado “Da
formação inicial do magistério da educação básica em nível superior: estrutura e
currículo”, Art. 13, § 3º, temos: “Deverá ser garantida, ao longo do processo, efetiva
e concomitante relação entre teoria e prática, ambas fornecendo elementos básicos
para o desenvolvimento dos conhecimentos e habilidades necessários à docência”
(BRASIL, 2015).
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Portanto, a necessidade de articular teoria e prática no processo de formação inicial,
não deve se limitar somente ao estágio e ocorrer de maneira desarticulada do curso.
Assim, buscando trabalhar com a prática e formar professores pesquisadores,
nossas intervenções foram realizadas com ingressantes do curso de licenciatura em
Matemática. As ações buscam articular teoria e prática desde o início da formação
docente e contribuem para se distanciar dos estudos que “mostram que os
currículos oferecidos pelas IES estão longe de realizar na prática esse conceito”
(GATTI, 2014, p. 38).
Nas seções seguintes, apresentamos algumas ideias consideradas importantes para
realizar um trabalho sobre o conceito de divisão no contexto da formação inicial de
professores. Certamente, inúmeras são as possibilidades para o trabalho na
licenciatura em Matemática sobre o conceito de divisão, bem como há diferentes
maneiras de abordar esse conteúdo. Nossa proposta é que, por meio e com este
material, os licenciandos conheçam algumas das possíveis abordagens para se
trabalhar com o conceito de divisão. As abordagens apresentadas neste livro trazem
para discussão a sala de aula da educação básica, com exemplos e atividades que
podem ser adaptadas e utilizadas para apresentar o conceito de divisão na
educação básica e, ao mesmo tempo, valorizar o saber específico do ser professor.
Com o objetivo de garantir a potencialidade das atividades propostas neste livro, é
fundamental a formação de grupos para que os licenciandos possam discutir entre si
as ideias. Pela nossa vivência e experiência, observamos que a formação de trios ou
duplas promove e garante uma dinâmica melhor de socialização e apresentação das
estratégias de solução. A etapa seguinte, de validação e reflexão no coletivo, amplia
as discussões e contribui para (re)construir conhecimentos sobre o conceito
estudado.
Como a proposta também é valorizar o conhecimento prévio dos participantes,
recomendamos que as atividades sejam apresentadas aos grupos para que possam
solucioná-las. Posteriormente, deve-se iniciar a socialização das respostas para a
turma. Somente após essas etapas e contribuições é que o professor mediador deve
começar a fazer suas inferências. Para essa dinâmica funcionar adequadamente é
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imprescindível criar um ambiente de respeito mútuo, em que cada dúvida, solução e
erro sejam valorizados, de maneira a produzir (re)construções dos conhecimentos
apresentados no início das intervenções.
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2 DIVISÃO PARTITIVA E QUOTATIVA O trabalho em sala de aula com questões envolvendo situações-problema, além de
possibilitar interpretação e raciocínio do aluno, permite que as diferentes ideias da
divisão sejam apresentadas a ele. O desenvolvimento de um algoritmo por si só não
envolve o desenvolvimento das ideias da divisão, para isso, é preciso utilizar
situações-problema. Nessa proposta, os PCN, quando apresentam situações-
problema envolvendo o conceito de multiplicação e divisão, denominadas campo
multiplicativo, ressaltam a utilização de quatro ideias, são elas: 1)Comparação
Multiplicativa; 2)Comparação entre razões/ proporcionalidade; 3)Configuração
Retangular; 4)Combinatória. No trabalho de Santana (2018), as atividades de
produções de enunciados envolvendo divisão partitiva e quotativa surgiram dos
estudos da teoria dos campos conceituais de Vergnaud (2014).
Quadro 1 - Ideias da divisão nos PCN
Comparação Multiplicativa
Lia tem R$10,00. Sabendo que ela tem o dobro da quantia de Pedro, quanto tem Pedro?
R$ 10,00
R$ 5,00
Comparação entre razões/
proporcionalidade
Marta pagou R$ 24,00 por 3 pacotes de chocolate. Quanto custou cada pacote? Marta gastou R$ 24,00 na compra de pacotes de chocolate que custavam R$ 3,00 cada um. Quantos pacotes de chocolate ela comprou?
R$ 24,00 3 pacotes
R$ 8,00 1 pacote
R$ 24,00 8 pacotes
R$ 3,00 1 pacote
Configuração retangular
A área de uma figura retangular é de 54 cm². Se um dos lados mede 6 cm, quanto mede o outro lado? As 56 cadeiras de um auditório estão dispostas em fileiras e colunas. Se são 7 as fileiras, quantas são as colunas?
54 cm²
9 cm
56 cadeiras
8 colunas
Combinatória
Em uma festa, foi possível formar 12 casais diferentes para dançar. Se havia 3 moças e todos os presentes dançaram, quantos eram os rapazes?
12 casais
4 rapazes
Fonte: Elaborado pela autora com situações-problema de BRASIL, 1998, p.72-73.
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Nesses grupos, há ideias de divisão que estabelecem uma relação ternária ou
quaternária. A relação ternária é constituída de dois elementos e de uma relação-
elemento (VERGNAUD, 2014), e a relação quaternária ocorre entre quatro
quantidades, sendo duas de cada tipo. Nessa relação existem três informações e é
preciso encontrar a que falta (VERGNAUD, 2014).
Apesar de Vergnaud (2014) definir a relação, ternária ou quaternária, estabelecida
em cada uma das categorias, preferimos não fazer essa restrição, pois entendemos
que a relação, dependendo da maneira de elaborar o enunciado, pode ser
compreendida como ternária ou quaternária. Para compreender melhor essas
diferenças, recomendamos a leitura de Santana (2018) e de trabalhos do próprio
autor.
Portanto, mais importante do que estabelecer essas diferenças, deve-se privilegiar o
estudo de elementos que determinam a natureza de seus enunciados. Assim, a
divisão pode ser definida como partitiva ou quotativa com base nas informações
existentes no enunciado do problema. Selva e Borba (2005, p.55) consideram que: Problemas de partição são aqueles em que é dado um conjunto maior e o número de partes em que o mesmo deve ser distribuído, o resultado é o valor de cada parte. Problemas de quotição consistem em problemas em que é dado o valor do conjunto maior e o valor das quotas em que se deseja dividir o mesmo, o resultado consiste no número de partes obtidas (SELVA; BORBA, 2005, p. 55).
A identificação dessa diferença, embora seja importante discuti-la em cursos de
formação de professores, não precisa ser apresentada aos alunos da educação
básica. Corroboramos com Jesus (2005) quando afirma que o propósito não é que
os alunos (dos ensinos fundamental e médio) saibam distinguir ou classificar a
divisão como partitiva ou quotativa, mas que o professor possibilite tais experiências
com diferentes tipos de situação.
Embora essa definição de divisão partitiva e quotativa tenha sido utilizada em
nossas intervenções, em uma análise posterior percebemos que ela não abrangia
todas as possibilidades das situações-problema. Na pesquisa de Selva e Borba
(2005), os participantes eram alunos da educação básica e, por isso, os problemas
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contemplavam apenas o conjunto dos números naturais. Quando trabalhamos com o
conjunto dos números racionais, em uma situação partitiva o dividendo pode ser
menor do que o divisor, como, por exemplo: Tenho 5 pães e quero distribuir
igualmente para 15 pessoas. Quanto cada uma vai receber? Assim, ao adaptar a
classificação de Selva e Borba (2005), o mais correto é dizer que: Problemas de
partição são aqueles em que é dado um conjunto e o número de partes em que ele
deve ser distribuído. O resultado é o valor de cada parte. Já para problemas de
quotição, há sempre um conjunto maior no dividendo e, portanto, a definição inicial
foi válida para nosso estudo.
Diante da definição de divisão partitiva e quotativa, e identificando que os exemplos
dados pelos PCN não contemplam tal classificação, é possível propor um trabalho
com divisão que aborde as situações associadas à: 1)Comparação Multiplicativa;
2)Comparação entre razões/ proporcionalidade; 3)Configuração Retangular;
4)Combinatória, com o uso de exemplos de divisão partitiva e quotativa.
Quadro 2 - Exemplos das ideias x tipo de divisão IDEIAS DA DIVISÃO DIVISÃO PARTITIVA DIVISÃO QUOTATIVA
Comparação Multiplicativa
Rosangela possui 15 bonecas, sabemos que ela tem três vezes mais bonecas que Ana. Quantas bonecas Ana têm?
Rosangela possui 15 bonecas e Ana 5 bonecas. Rosangela tem quantas vezes mais bonecas que Ana?
Comparação entre razões/
proporcionalidade
Um carro percorreu 300 km em 5 horas. Se percorrer sempre a mesma velocidade, quantos km andou por hora?
Um carro se move a uma velocidade média de 60 km por hora. Quantas horas ele demora para percorrer 300 km?
Matheus comprou 5 pacotes de figurinhas e agora tem 15 figurinhas. Quantas figurinhas têm em cada pacote?
Matheus comprou pacotes de figurinhas e agora tem 15 figurinhas. Se em cada pacote tem 3 figurinhas, quantos pacotes ele comprou?
Representação Retangular
Em uma sala de aula tem 30 carteiras dispostas em cinco filas com a mesma quantidade de carteiras. Quantas carteiras têm em cada fila?
Em uma sala de aula tem 30 carteiras dispostas em filas com seis carteiras em cada. Em quantas fileiras a sala foi organizada?
Combinatória Uma sorveteria faz 15 tipos de sorvetes com coberturas diferentes. Sabendo que essa sorveteria oferece 5 sabores de sorvete, quantas são as coberturas?
Fonte: Adaptado de Silva (2009).
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No Quadro 2, adaptamos também a classificação de divisão partitiva e quotativa da
representação retangular, pois, na tese de Silva (2009), não há essa separação
dessa ideia de divisão. Além disso, percebe-se que no grupo da ideia de
combinatória não é possível definir o enunciado como partitivo ou quotativo. Essa
impossibilidade é justificada, pois esse tipo de questão apresenta grandezas
distintas.
Assim, a proposta de fazer distinção entre os tipos de divisão é importante, visto que
a divisão partitiva está mais presente no cotidiano, enquanto a divisão quotativa não
se apresenta com tanta frequência em experiências sociais informais (LAUTERT;
SPINILLO, 2002). Portanto, a diversificação de atividades propostas pelo professor é
necessária para que alunos tenham oportunidade de experienciar essas abordagens
no ambiente de aprendizagem formal e tenham contato com diferentes
possibilidades de questões envolvendo situações-problema.
ENCAMINHAMENTO: Entregue a primeira questão e, após recolher o enunciado produzido, comece a
explorar o conhecimento prévio dos licenciandos sobre o assunto. Caso eles ainda
não tenham esse conhecimento incorporado corretamente, apresente-lhes alguns
exemplos de divisão partitiva e quotativa. E somente após a turma construir uma
ideia adequada desses dois tipos de divisão é que se define cada uma. Sugerimos
que as questões 2 e 3 sejam apresentadas após a definição de divisão partitiva e
quotativa.
1. Elabore e resolva uma situação-problema de divisão, próxima da realidade,
em que o dividendo 5535 e o divisor seja 54.
2. Analise o enunciado que foi produzido e o classifique como divisão partitiva
ou quotativa, justificando sua resposta.
3. Agora, produza um enunciado com o mesmo contexto do enunciado
produzido anteriormente e o transforme utilizando a outra ideia de divisão, em
seguida, o resolva.
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COMENTÁRIOS: Ao analisar as produções dos enunciados, percebemos que seria interessante a
resolução, pelos próprios elaboradores, dos problemas propostos. Algumas das
situações-problema produzidas são questões abertas, ou seja, aceita mais de uma
resposta. Somente com a resolução das questões, teríamos indícios para dizer se o
enunciado com possibilidade de diferentes resoluções foi proposital ou se não se
atentaram à escrita do enunciado. Também sugerimos ao professor uma análise
posterior dos enunciados, buscando situações-problema com diferentes
possibilidades de resolução, como: problemas de única resposta, de resposta
aberta, questões que apresentem quantidades contínuas (peso, altura, tempo,
volume, dentre outros exemplos) ou discretas (número de pessoas, balas, biscoitos,
objetos, entre outros exemplos que podem ser quantificados), questões com
resultados exatos e não exatos e socialização das produções, para que os
licenciandos possam conhecer essa diversidade de possibilidades.
Na primeira socialização, para definir o conceito de divisão partitiva e quotativa, o
professor mediador pode propor problemas e pedir para transformá-los em outro tipo
de divisão, isto é, de divisão partitiva para quotativa e vice-versa. Os enunciados
sugeridos podem ser exemplos simples, como:
João quer dividir igualmente R$250,00 entre seus quatro sobrinhos. Quantos reais
cada sobrinho vai receber?
Diante do exemplo dado, peça que a turma o classifique como partitivo ou quotativo
e, em seguida, o transforme em outra ideia. Assim como o exemplo dado foi
partitivo, o novo problema deve ser quotativo e, mantendo-se o contexto produzido,
o novo enunciado deve conter o valor total e quanto cada sobrinho receberá:
João quer dividir igualmente R$ 250,00 entre seus sobrinhos. Sabendo que cada um
receberá R$ 62,50. Quantos sobrinhos serão contemplados?
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Caso os licenciandos encontrem dificuldades para conservar o contexto da questão,
peça a eles sugestões de problemas aleatórios envolvendo os dois tipos de divisão
aqui apresentados. Um exemplo quotativo poderia ser dado, por exemplo,
envolvendo a distribuição de balas, e um problema partitivo, envolvendo o valor de
uma compra com prestações a serem pagas, entre outros exemplos.
Em uma festa de aniversário foram compradas 329 balas para distribuir igualmente
entre as crianças convidadas. Sabendo que foram confeccionadas 20 lembranças,
quantas balas ficaram em cada lembrança?
Nota-se aqui uma situação-problema que, ao ser resolvida, apresenta uma solução
não exata. Essa proposta é importante para que licenciandos não tenham a ideia
errada de que problemas partitivos e quotativos são sempre exatos.
Outra situação importante de ser discutida são problemas de única ou múltiplas
soluções. Até aqui apresentamos questões que admitem apenas uma solução, mas
os problemas também podem ser abertos:
Um atleta está treinando para uma maratona. Seu objetivo é percorrer em uma
semana 200 km. Sabendo que ele percorre até 40 km por dia, determine quantos
dias serão necessários para alcançar seu objetivo.
Embora esse problema não possa ser classificado como quotativo, pois as cotas não
estão definidas, consideramos que esse tipo de questão ajuda a desenvolver o
raciocínio, exigindo mais atenção do aluno ao enunciado. É importante que o
professor formador incentive a participação dos licenciandos e permita que eles
expressem suas opiniões. Não informaram quantos dias o atleta treinaria, nem se a
distância percorrida diariamente seria sempre igual. Ambas as omissões foram
propositais. Diante das informações apresentadas no enunciado, o atleta pode
percorrer a distância de 200 km em, no mínimo, 5 dias e, no máximo, 7 dias, e a
distância percorrida diariamente pode ser igual ou não, dependendo da interpretação
do licenciando.
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AS IDEIAS ENVOLVIDAS NA DIVISÃO
ENCAMINHAMENTO: Após apresentar à turma cada uma das ideias envolvidas na divisão, deve-se
sugerir a eles que escolham duas dessas ideias e produzam enunciados de divisão
partitiva e quotativa e, em seguida, resolvam os problemas propostos.
4. Escolha duas entre as três ideias da divisão (Comparação multiplicativa, Comparação entre razões (proporção), Representação retangular), e elabore enunciados envolvendo a ideia de Divisão Partitiva (DP) e Divisão Quotativa (DQ). a. Ideia da divisão: ________________________________________ DP: ______________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ DQ: ______________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ b. Ideia da divisão: ________________________________________
DP: ______________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ DQ: ______________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________
COMENTÁRIOS: Nessas produções também sugerimos que os problemas sejam resolvidos, pelos mesmos motivos das produções iniciais.
21
3 ESTRATÉGIAS DE DIVISÃO NÃO CONVENCIONAIS Ao trabalhar com divisão, principalmente nos primeiros anos do ensino fundamental,
deveria ser comum encontrar estratégias de resolução não convencionais, ou seja,
que não se refiram somente ao uso do algoritmo da divisão.
Pelo que apresenta os PCN, utilizar cálculo mental, por estimativa e aproximações
são estratégias não convencionais, uma vez que é utilizado em ambientes fora da
escola e em situações cotidianas. Ainda se insere nessa categoria a utilização de
somas ou subtrações sucessivas, o uso de multiplicação, tentativa e erro, a
decomposição do dividendo e até mesmo o uso de desenhos e formação de tabelas
para determinar o valor desejado, entre outras resoluções que possam ser adotadas
no estudo dessa operação. Todas essas estratégias elencadas distanciam-se do
algoritmo da divisão e, de acordo com Jesus (2005, p.97), ao “criar e explorar os
seus próprios processos de resolver problemas prepara os alunos para uma
aprendizagem significativa dos algoritmos estandardizados”.
Essa experiência inicial antes de inserir o algoritmo das operações está confirmada
nos PCN ao considerar como um dos conteúdos conceituais e procedimentais do
primeiro ciclo do ensino fundamental os “cálculos de multiplicação e divisão por meio
de estratégias pessoais” (BRASIL, 1998, p.51). Vale ressaltar que o documento
recomenda o uso de estratégias pessoais para os cálculos de multiplicação e
divisão, ou seja, sem rigor procedimental. No segundo ciclo do ensino fundamental,
entre o 6º e 9º ano, o documento norteador recomenda que o professor inicie o
trabalho por meio de técnicas convencionais, mas valorizando sempre hipóteses e
estratégias pessoais, uma vez que elas representam a maneira de pensar do aluno.
Como um dos conteúdos conceituais e procedimentais do segundo ciclo do ensino
fundamental recomenda-se a “resolução das operações com números naturais, por
meio de estratégias pessoais e do uso de técnicas operatórias convencionais, com
compreensão dos processos nelas envolvidos” (BRASIL, 1998, p. 59). Fica evidente,
22
na leitura do documento norteador, a necessidade de articular diferentes estratégias
pessoais com convencionais, de forma a evitar a inserção prematura e sem
significado do algoritmo da divisão, assim como de outras operações aritméticas no
ensino fundamental.
Em contrapartida, como a experiência está sendo desenvolvida com licenciandos
que já apresentam um conhecimento mais formalizado, é comum haver a
predominância de algoritmos. Essa constatação pode ser justificada por Duval
(2009, p. 91), quando afirma que “um sujeito no qual a coordenação dos registros é
encontrada suficientemente desenvolvida pode muito bem se ater às representações
de um só registro”. Como os licenciandos já apresentam uma vivência com esse
conteúdo, pois já passaram pelas estratégias de divisão não convencionais e
convencionais, acabam priorizando o algoritmo da divisão em suas soluções. Na
pesquisa de Santana (2018), ao solicitar aos licenciandos outras maneiras de
resolver um problema, eles apresentaram à turma diferentes estratégias de
resolução. Assim, eles são capazes de recorrer a outros registros de representação
semiótica para solucionar um problema. Logo, diferentes estratégias de solução
devem ser valorizadas, pois representam a maneira individual de raciocínio.
ENCAMINHAMENTO: Nesta seção, as questões de 5 e 6 são propostas para identificar os conhecimentos
dos licenciandos enquanto resolvem situações-problema e os recursos utilizados
por eles. Professor, incentive a participação dos grupos, a socialização das
estratégias de solução e, posteriormente, valide com a turma as respostas ou
proponha sugestões de melhorias para cada uma das resoluções apresentadas.
5. Uma escola com 300 alunos está organizando um passeio e orçou os custos
para o aluguel de ônibus com duas empresas de transportes. Nos contratos de
ambas as empresas, uma cláusula permitia a inclusão de novos alunos - mesmo
após fechar o contrato, desde que arcassem com os custos da viagem. A escola
estabeleceu que:
23
Todos os alunos pagariam um mesmo valor; O dia 30 de junho seria o último dia para os alunos confirmarem a participação
no evento.
O quadro a seguir apresenta os valores praticados por cada uma das empresas.
Empresa Capacidade de pessoas por ônibus Custo por ônibus A 45 R$ 1.000,00 B 30 R$ 700,00
a) No dia 29 de junho, 210 alunos já haviam confirmado que iriam à viagem. A
diretora, na tarde desse mesmo dia, fechou o contrato com a empresa que
apresentou o menor custo para essa quantidade de alunos. Qual foi essa
empresa?
b) No dia 30 de junho, mais 20 alunos também confirmaram que iriam à viagem.
Como ainda estavam no prazo, a diretora precisou incluí-los. O aumento no
número de alunos interessados na viagem representou uma diminuição no valor
pago por pessoa? Justifique sua resposta. (Vale lembrar que os custos do
transporte serão divididos igualmente entre os alunos)
COMENTÁRIOS: Nessa atividade, é importante o professor formador observar se os grupos prestam
atenção à informação dada no enunciado da letra b, se eles utilizam apenas os
cálculos necessários para resolver o problema proposto ou se buscam um caminho
mais longo (ver dissertação de Santana (2018)).
VALORIZAÇÃO DE DIFERENTES ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO
ENCAMINHAMENTO: Entregue as atividades juntas e inicie a socialização após os grupos resolverem as
três atividades.
24
6. Uma biblioteca escolar possuía 20 estantes, com 150 livros cada. Por ocasião
de uma reforma, foram solicitadas estantes menores e mais ergonômicas, com
capacidade para 120 livros cada.
a) Calcule o número de novas estantes que deve ser comprada para acomodar
todos os livros da biblioteca.
b) Calcule a quantidade mínima de novas estantes que deve ser comprada, de
modo a acomodar todos os livros da biblioteca.
c) Experimente traçar outra estratégia de solução para a questão 6, diferente da
utilizada na letra b.
COMENTÁRIOS: O professor deve recolher as folhas e analisar as respostas dos grupos, observando
se o uso do algoritmo da divisão predomina em detrimento de outras estratégias de
solução. Na socialização, ressalte a diferença entre os enunciados das questões a e
b, e como isso pode alterar as respostas do problema. Esteja atento para os tipos
de soluções apresentadas, bem como se os licenciandos cometem erros
conceituais nas soluções, como o uso de igualdades falsas (ver dissertação de
Santana (2018)). Caso os licenciandos simplifiquem dividendo e divisor, o professor
pode perguntar se a resolução está correta e instigá-los, de maneira a prepará-los
para a próxima questão.
SIMPLIFICAÇÃO DO DIVIDENDO E DIVISOR
ENCAMINHAMENTO: Nessa questão enfatize a necessidade de avaliar as resoluções apresentadas com
um posicionamento como professores, julgando e tentando compreender o que
motivou os erros apresentados em ambas as resoluções. Caso isso não esteja
presente nas folhas de resolução, explore essa abordagem na socialização das
questões.
25
7. Você é o professor de uma turma de ensino fundamental e propôs a situação a seguir para a sua turma: Gabriela, todo ano, faz uma poupança para garantir o pagamento das primeiras mensalidades da escola de sua filha do ano seguinte; assim, ela consegue organizar suas finanças para que não tenha que recorrer a nenhum tipo de empréstimo. Sabendo que: - os valores economizados por Gabriela, ao longo de 2015, totalizaram R$1.480,00. - a mensalidade da escola da sua filha, em 2016, é de R$360,00, Determine o número de mensalidades que Gabriela conseguiu pagar usando apenas os R$ 1.480,00, e quanto sobrou para a mensalidade seguinte. Em seguida, seus alunos se empenharam em resolvê-la e algo na resolução lhe chamou atenção:
Aluno 1
Aluno 2
a. Avalie as resoluções apresentadas pelos alunos 1 e 2. Identifique os possíveis erros, analise se há erros conceituais e justifique-os.
COMENTÁRIOS: Caso os licenciandos não percebam os erros das resoluções, o professor pode
iniciar a discussão pela diferença existente no valor dos restos das divisões. O
objetivo é fazer com que eles percebam essa diferença e, o professor, na função de
mediador, deve discutir as alterações no resto diante da simplificação do dividendo
e divisor.
É fundamental também o professor observar se os participantes têm consciência de
que ao simplificar o dividendo e divisor, também simplificam o resto. Essa
consequência das simplificações foi ressaltada em uma das resoluções propostas
26
por um grupo da pesquisa de Santana (2018).
Caso os licenciandos não alcancem essa generalização, recomendamos que o
professor proponha essa discussão. Durante a análise sobre as possíbilidades do
resto, observou-se nas falas dos licenciandos um esquecimento do resto igual a
zero. E, em uma situação hipotética, em que não foi informado o valor do dividendo,
e o divisor era igual a 360, alguns licenciandos no início da discussão disseram que
o resto poderia variar de 1 a 359 (para ambas as situações, ver pesquisa de
Santana (2018)).
ATENÇÃO PARA A EXPRESSÃO: “SIMPLIFICAR O DIVIDENDO E O DIVISOR”
Alguns professores sugerem realizar simplificações no dividendo e divisor para que
os alunos possam trabalhar com números menores. Nas situações propostas, o
resto é igual a zero ou a situação prioriza o valor do quociente. Mas ao sugerir essa
ação, é importante alertá-los e apresentar exemplos de divisões com resto diferente
de zero e explicar que ele interfere na resposta do problema proposto. Com isso, os
licenciandos perceberão que, ao simplificar o dividendo e divisor, o resto também é
simplificado.
27
4 UM OLHAR SOBRE O ALGORITMO DA DIVISÃO Ao se trabalhar com algoritmo da divisão, os alunos constroem registros de
representação que traduzem muitas vezes sua maneira diferente de pensar. E
mesmo que o algoritmo da divisão seja apresentado utilizando classes numéricas e
sistema posicional, é importante demonstrar diferentes maneiras de resolver o
algoritmo da divisão. Ao se apropriar do conceito, os alunos podem utilizar
estratégias de decomposição, estimativa, entre outras.
4.1 Algoritmo de divisão com subtrações sucessivas
No início do estudo do conceito de divisão são apresentadas apenas situações com
números naturais e, “muitas vezes, o algoritmo da divisão é apresentado à criança
sem justificativas, simplesmente a partir do princípio fundamental da divisão,
exigindo-se que a criança faça o processo mais curto desde o início” (BITTAR;
FREITAS, 2005, p.78), mas a maneira natural de aprendizagem é associar a
introdução do algoritmo da divisão com estratégias pessoais.
No método de subtrações sucessivas existe a ideia de repartir igualmente uma
quantidade de objetos, assim como se fazia antes da aprendizagem formal
(TOLEDO e TOLEDO, 2010; BITTAR e FREITAS, 2005). A distribuição ocorre uma a
uma e, a cada etapa, o aluno verifica se é possível dividir novamente.
PARA DISCUTIR: Antes de apresentar atividades e discussão envolvendo o algoritmo da divisão,
geralmente enfatizadas no segundo ciclo do ensino fundamental, proponha à turma
analisar um problema com algumas soluções possíveis:
Dado o problema: João tem 16 balas e quer dividir igualmente entre 3 pessoas,
quantas balas cada um vai receber? O aluno pode resolver o problema de maneiras
distintas:
28
16 3 16 3 16 3 - 3 13 - 3 10 - 3 7 - 3 4 - 3 1
1 1 1 + 1 1 5
- 3 13 - 3 10 - 3 7 - 3 4 - 3 1
1+1+1+1+1=5 - 6 10 - 9
1
2+3
Essa análise inicial é importante para que os licenciandos compreendam o passo a
passo até o aluno se familiarizar com o algoritmo da divisão. Caso pule algumas
dessas etapas e apresente ao aluno, de imediato, o algoritmo tradicional da divisão,
pode fazer com que ele tenha um aprendizado mecanizado do procedimento.
As resoluções apresentadas sugerem um primeiro contato com o método de
subtrações sucessivas, ao fazer a distribuição das 16 balas uma a uma. A diferença
está na maneira de representar o quociente. No primeiro caso, o registro das
unidades está um abaixo do outro; já no segundo caso, como o aluno optou por
representar os resultados do quociente ao lado, foi preciso inserir o sinal de adição,
uma vez que sua não representação geraria um valor indevido de quociente, devido
ao nosso sistema de numeração ser posicional.
Por meio do contato com o algoritmo da divisão, o aluno vai percebendo que é
possível determinar mais de uma unidade no quociente e, consequentemente, uma
economia de tempo e espaço na resolução de um problema. Essa percepção pode
resultar em estimativas maiores para o valor do quociente, como na terceira
representação, até que o aluno consiga determinar de imediato o valor final do
quociente. Na realização dos três processos, o professor precisa informar ao aluno
que o resto da divisão é sempre menor do que o divisor1, para que entenda o
1 Como nos primeiros contatos com o algoritmo da divisão as situações propostas estão no
conjunto dos números naturais, dizer que o resto deve ser menor do que o divisor é suficiente.
29
momento de finalizar a divisão, e para que não confunda o resultado de uma
subtração referente a uma estimativa feita com o resto da divisão.
Com o passar dos anos escolares, as situações-problema passam a apresentar
números maiores de dividendo e divisor, o que pode tornar o método de subtrações
sucessivas ou por estimativa mais demorada. Assim, faz-se necessário desenvolver
a divisão utilizando um algoritmo por ordens numéricas decrescentes, inicialmente,
pelo método longo e, posteriormente, pelo método curto.
4.2 Algoritmo de divisão pelos métodos Longo e Curto
O algoritmo da divisão utilizando ordens numéricas, geralmente, começa pelo
algoritmo longo. Nesse processo, a cada número registrado no quociente é realizada
uma subtração. O valor da subtração é produto entre quociente e divisor.
Posteriormente, passa-se a utilizar o algoritmo curto em que, após o registro do
quociente, somente se registra o resto de cada procedimento realizado.
ENCAMINHAMENTO: Nesse momento, as atividades devem ser apresentadas uma a uma ao licenciando
e também reforçar a proposta de representar no papel a maneira para explicar o
desenvolvimento do algoritmo da divisão a uma turma de 6º ano. Durante a
socialização, explore também o algoritmo por estimativas, decomposição do
dividendo, além do processo longo e curto do algoritmo da divisão.
8. Agora, você é o professor. Imagine que você está em uma turma de 6º ano.
Então, e explique a eles as divisões a seguir (escreva as estratégias que adotaria e
como explicaria o passo a passo da resolução):
a. 687÷3= b. 325÷4=
c. 436÷4=
d. 553÷5=
e. 6141÷6=
30
Nos processos longo e curto da divisão de 5530 por 54, representamos de vermelho
o valor referente ao resto de cada etapa da divisão que está sendo realizada.
Algoritmo Longo Algoritmo Curto
UM C D U UM C D U
5 5 3 0 54 5 5 3 0 54 -0 0 1 0 2 5 5 0 1 0 2 5 5 UM C D U 1 3 UM C D U -5 4 1 3 0 0 1 3 2 2 -0 0 1 3 0 -1 0 8 0 2 2
Em cada etapa da divisão é importante o professor prestar atenção às falas
expressadas enquanto o licenciando resolve o algoritmo da divisão.
ATENÇÃO PARA A EXPRESSÃO: “NÃO DÁ PARA DIVIDIR”
Quando o dividendo selecionado é menor do que o divisor, os professores e
licenciandos se expressam, geralmente, de duas maneiras, dependendo da
situação. No início da divisão, ao dividir, por exemplo, 325 por 4: “como 3 não dá
para dividir por 4, pego o 32”, e, no meio ou final da divisão, ao dividir, 526 por 5, “2
dividido por 5, não dá para dividir, então, eu coloco zero no quociente”.
Portanto, a expressão “não dá para dividir” está incorreta e pode gerar,
posteriormente, um erro conceitual. Logo, o correto é dizer “3 centenas dividido por
4 é igual a 0 centenas”, fazendo o registro do número zero no quociente. Esse
registro é necessário, principalmente, quando os alunos estão aprendendo o
algoritmo da divisão, seja pelo processo longo ou curto. Posteriormente, esse
registro inicial não será mais necessário, porém, inicialmente, é preciso fazer essa
etapa para aprender corretamente o algoritmo da divisão, bem como compreender o
número zero no quociente.
31
Assim, ao se depararem com divisões do tipo das letras c, d ou e, a etapa da
divisão em que o quociente deve ser igual a zero no quociente já não será mais
uma dificuldade para os alunos.
Diante da expressão “não dá para dividir” também reaproveitam a escrita de uma
divisão, de maneira que o aluno não saiba quem é resto ou quem é o dividendo da
divisão.
Algoritmo Curto Algoritmo Curto UM C D U UM C D U 5 0 2 0 5 5 0 2 0 5 0 0 2 0 1 0 0 4 0 0 1 0 0 4 0 UM C D U 0 2 UM C D U 2 0 0
Na primeira resolução de 5020÷5, embora apresente um quociente e resto corretos,
os procedimentos realizados podem fazer com que alunos não compreendam o
algoritmo da divisão. Inicialmente, realizou-se a divisão de 5 unidades de milhar por
5, encontrando uma unidade de milhar como quociente e resto igual a 0.
Posteriormente, o trabalho começou com as centenas e, ao realizar a divisão de 0
centenas por 5, o quociente encontrado foi igual a 0 centenas e, por isso, continuou
a reaproveitar o registro anterior do dividendo. Nesse desenvolvimento, percebe-se
a ausência do resto em cada uma das etapas.
No segundo desenvolvimento do algoritmo curto, diferentemente da primeira
resolução, o resto de cada etapa da divisão está representado em vermelho e, a
cada determinação de quociente, indica-se o valor do resto. O professor deve
atentar-se para falar “cinco unidades de milhar dividido por 5, é igual a quantas
unidades de milhar?” Assim, se o dividendo é menor do que o divisor, a pergunta
deve ser formulada da mesma maneira, como, por exemplo, “duas dezenas dividido
por 5 é igual a quantas dezenas?” Nesse último caso, é possível determinar o
quociente igual a zero, e prosseguir a operação determinando o resto de cada etapa,
seja no processo longo ou curto do algoritmo da divisão.
32
Certamente, que essa expressão “não dá para dividir” refere-se à distribuição
igualitária e unitária de objetos, e significa que os grupos não receberam nenhuma
unidade. No entanto, se eu dividir duas balas igualmente entre cinco crianças (no
conjunto dos números naturais), a distribuição unitária não será possível e ninguém
receberá bala, ou seja, cada um recebeu zero bala. A representação do zero no
quociente é tópico especial em alguns livros que sugerem estratégias para que o
aluno não tenha dificuldades com esse número. Alguns autores, como Vergnaud
(2014) e Toledo e Toledo (2010), sugerem tratar o número zero como outro número
qualquer e, independentemente da ordem numérica representá-lo no quociente. Os
autores sugerem também trabalhar com material dourado para auxiliar essa
compreensão.
Ao recorrer a essa proposta, na divisão de 121 por 4, as ordens numéricas de cada
algarismo do dividendo são identificadas, e as mesmas ordens ficam reservadas no
quociente da divisão. Ordem por ordem, os algarismos do dividendo vão sendo
divididos pelo divisor e são calculados os algarismos referentes ao resultado da
divisão no quociente. A escrita das ordens numéricas tanto no dividendo quanto no
quociente é necessária para que os alunos compreendam que, ao dividir as
centenas, deve-se determinar um valor para o quociente que corresponda à mesma
ordem. Assim, ao dividir uma centena por 4, teremos como quociente 0 centena e
uma centena como resto.
Algoritmo Curto Algoritmo Longo C D U C D U C D U 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 0 3 0 -0 0 3 0 C D U 0 1 C D U 1 2 C D U 1 -1 2 0 0 1 -0 1
No processo longo e curto do algoritmo da divisão o resto de cada etapa está
identificado na cor vermelha, sendo possível acompanhar o preenchimento das
centenas, dezenas e unidades no quociente.
33
Para desenvolver o algoritmo da divisão, os autores Vergnaud (2014) e Toledo,
Toledo (2010), sugerem a construção da tabuada do divisor. O primeiro autor
apresenta a tabuada do divisor pelos números de 1 a 9, e Toledo, Toledo (2010)
sugere que o divisor seja multiplicado pelos números de 0 a 10. Por isso, vale
ressaltar:
ATENÇÃO PARA O USO DA TABUADA
Ao utilizar a tabuada como um recurso auxiliar para resolver o algoritmo da divisão,
deve-se atentar para que seu uso não acabe promovendo erros conceituais.
Preferencialmente, o mais adequado é construir a tabuada do divisor pelos números
de 0 a 9, uma vez que trabalhamos com a base decimal, e os algarismos de 0 a 9
representam todas as possibilidades para representar as divisões com o uso do
algoritmo tradicional.
Assim, na divisão de 235 por 13, o professor pode sugerir o desenvolvimento da
tabuada, encontrando na coluna destacada os possíveis algarismos para compor o
quociente da divisão. Posteriormente, os alunos devem identificar as centenas,
dezenas e unidades do dividendo, reservando o espaço no quociente para, então,
dar início ao algoritmo da divisão.
Divisor UM C D U 13x 0 =0 2 3 5 0 13 13x 1 =13 2 3 0 1 8 0 13x 2 =26 1 0 5 UM C D U 13x 3 =39 1 0 13x 4 =52 1 0 13x 5 =65 13x 6 =78 13x 7 =91 13x 8 =104 13x 9 =117
34
ATENÇÃO PARA A EXPRESSÃO: “IGUAL OU MENOR E O MAIS PRÓXIMO DO DIVIDENDO”
É comum que, em sala de aula, os professores digam “para dividir 8 por 4, eu
procuro o número que, multiplicado por 4, dá resultado 8 ou o mais próximo
possível de 8” (BITTAR; FREITAS, 2005, p.78). Apesar desse tipo de expressão ser
fortemente utilizada durante o estudo da divisão, ela pode ser inadequada. No
exemplo dado de 2350÷13, ao dividir 23 centenas por 13, determinou-se como
quociente uma centena. Contudo, ao analisar a expressão usual em sala de aula o
quociente deveria ser 2, uma vez que o produto igual a 26 é mais próximo de 23 do
que o produto igual a 13. Portanto, ao buscar um quociente, o correto seria:
procuramos um número que, ao ser multiplicado pelo divisor, seja igual ou menor e o mais próximo possível do dividendo. Ao considerar a divisão
euclidiana, outra argumentação é que o resto deve ser maior ou igual a zero e
menor do que o divisor.
Para uma assimilação correta, é importante que os licenciandos compreendam
também os casos em que a expressão “não dá para dividir” é aceita. Para isso,
sugere-se algumas atividades para estimular essa discussão.
DIVIDENDO E/OU DIVISOR IGUAL A ZERO
ENCAMINHAMENTO: Nessa atividade, todas as alternativas devem ser resolvidas pelos grupos. Além
disso, todas as questões devem ser resolvidas e justificadas.
9. Considerando o conjunto dos números reais, resolva as divisões a seguir,
justificando sua resposta:
a) 9÷2= b) 0÷2=
c) 2÷0= d) 0÷0=
35
COMENTÁRIOS: Recomendamos que os grupos apresentem para a turma suas estratégias de
solução, para, juntos, identificar as diferentes opiniões e estratégias adotadas em
cada caso e refletir sobre as dificuldades vivenciadas.
ATENÇÃO PARA A EXPRESSÃO: “NÃO DÁ PARA DIVIDIR POR ZERO”
Nos casos em que o divisor é igual a zero, realmente não dá para dividir. Contudo,
mesmo que a divisão por zero não seja possível, não quer dizer que as
impossibilidades tenham um mesmo significado. Quando o dividendo é diferente de
zero, e o divisor é zero, nenhum número satisfaz a igualdade, e, portanto, essa
divisão é impossível. Já na divisão em que dividendo e divisor são zero, qualquer
número colocado no quociente torna a igualdade verdadeira e, assim, a divisão é
indeterminada.
c) 2÷0=
Sendo, , Se , significa dizer que
Na divisão dada, temos que e . Logo:
Não existe nenhum número no conjunto dos números reais que torne a igualdade
verdadeira, pois . Sendo essa igualdade falsa, essa divisão é
impossível.
Por outro lado, ao se basear na afirmação de que 0 divide 2, teremos resto .
Pelo algoritmo da divisão temos que:
D d Ou seja 2 0 r q 0 q
36
Ao realizar a substituição na igualdade , temos que: . Isto é,
2=0. Logo, essa divisão é impossível.
d) 0÷0=
Sendo, , Se , significa dizer que
Na divisão dada, temos que e . Logo,
Qualquer número do conjunto dos números reais torna a igualdade verdadeira, pois
. Pode-se concluir que essa divisão é indeterminada.
Por outro lado, ao se basear na afirmação de que 0 divide 0, obtém-se resto .
Pelo algoritmo da divisão temos que:
D d Ou seja 0 0 r q 0 q
Ao realizar a substituição na igualdade , temos que: . Isto é,
0=0. Logo, essa divisão é indeterminada.
Diante dessas questões, o professor precisa compreender bem as particularidades
da divisão. Assim, para uma compreensão aprofundada, sugerimos o estudo do
algoritmo de Euclides.
37
5 UM OLHAR SOBRE O ALGORITMO DE EUCLIDES
Pela classificação de Caraça (2010), a divisão é uma das quatro operações
fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão), sendo definida como uma
operação de segundo grau e inversa da multiplicação (quando esta é exata). Para
representar uma divisão há dois símbolos, logo, para representar ‘a dividido por b’,
podemos ter ou e, como definição, temos . Nessa
representação, a é dividendo, b é divisor e c é quociente. Nesse caso em particular,
a divisão é exata e, portanto, o dividendo é múltiplo do divisor. Em situações em que
a condição anterior não é satisfeita, existe um quarto número denominado resto, de
modo que . Nessa situação, satisfaz-se a igualdade (CARAÇA,
2010).
Como a definição de divisão de Caraça (2010) é feita no conjunto dos números
naturais, optamos por ampliá-la utilizando o algoritmo de Euclides para o conjunto
dos números inteiros, enunciado por Domingues (2009, p.131):
Para quaisquer , existe um único par de inteiros de
maneira que . Na igualdade que expressa o teorema, os elementos são
chamados respectivamente dividendo, divisor, quociente e resto, na divisão euclidiana de .
Apesar de a definição abranger, inicialmente, o conjunto dos números inteiros
com , a restrição de limita as possibilidades do divisor sendo apenas
positivo, de maneira que b não engloba todos os números inteiros. A apresentação
do algoritmo de Euclides, definido sem restrição de quaisquer elementos é a
seguinte: Para quaisquer , com existe um único par , de maneira
que , no qual .
38
Pelas abordagens apresentadas até aqui, é possível compreender a complexidade e
a amplitude do trabalho com o conceito da divisão. O que está sendo abordado
neste livro não representa todas as possibilidades de estudar a divisão, mas
propiciar diferentes abordagens para estudá-la são essenciais para que os
licenciandos possam (re)construir saberes acerca do conceito da divisão e tenham
consciência da complexidade dessa operação aritmética.
10. Na divisão de 28 por um número natural, o resto é 8. Determine todas as
possibilidades do quociente (q) e do divisor (d).
11. Na divisão de 88 por um número natural, o resto é 8. Determine todas as
possibilidades do quociente (q) e do divisor (d).
12. Na divisão de 98 por um número natural, o resto é 8. Determine todas as
possibilidades do quociente (q) e do divisor (d).
Comentário: No final das socializações, a turma deve ser capaz de perceber os
números possíveis para divisor e quociente. Essa restrição está diretamente
associada ao algoritmo de Euclides. Um exemplo seria o problema: Na divisão de 98
por um número natural, o resto é 8. Determine todas as possibilidades do quociente
(q) e do divisor (d). Nesse sentido, uma possível resolução para o problema pode
ser encontrada nas seguintes etapas:
Pela representação usual do algoritmo da divisão, temos:
D d Ou seja: 98 d
r q 8 q
Que pode ser representada pela igualdade: Ao fazer a substituição para o problema dado, temos:
Assim, o divisor (d) e quociente (q) são divisores de 90.
39
Ao decompor 90 em fatores primos, temos:
A partir daí os divisores podem ser encontrados pelo método descrito a seguir:
Divisores de 90
1
90
45
15
5
1
2
3
3
5
2
3, 6
9, 18
5, 10, 15, 30, 45
90
Portanto, os divisores de 90 são D(90)= {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}.
Como d>r, temos d>8, logo, as opções para possíveis divisores são encontradas em d={9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}.
Como , a seguir apresentamos o valor de divisores (d) e quocientes (q) possíveis:
d q 9 10 10 9 15 6 18 5 30 3 45 2 90 1
ALGORITMO DE EUCLIDES
ENCAMINHAMENTO: A cada situação proposta o professor deve estimular os licenciandos a apresentar
seus conhecimentos prévios. Deve também observar se eles utilizam
adequadamente o algoritmo de Euclides. Para isso, deve entregar para os grupos
formados as questões a seguir. E, ao recolher as folhas de respostas, observar se
as soluções em ambas as questões estão corretas.
40
Considerando o conjunto dos números inteiros:
13. Obtenha o quociente(q) e o resto (r) da divisão de 307 por 3.
14. Obtenha o quociente(q) e o resto (r) da divisão de -307 por 3.
15. Obtenha o quociente(q) e o resto (r) da divisão de 307 por -3.
16. Obtenha o quociente(q) e o resto (r) da divisão de -307 por -3.
COMENTÁRIOS: Nas questões foram propostos os mesmos valores absolutos de dividendo e divisor,
mas o professor pode optar por variar tais valores. Recomendamos que as duas
primeiras sejam entregues juntas para diagnosticar o conhecimento prévio dos
licenciandos.
RESOLUÇÕES: Apresentamos uma possível resolução para a questão 16. As demais alternativas
podem ser discutidas seguindo a mesma proposta. 16. Obtenha o quociente(q) e o resto (r) da divisão de -307 por -3.
Pela representação usual do algoritmo da divisão, temos:
D d Ou seja: -307 -3
r q r q
Que pode ser representada pela igualdade:
Ao fazer a substituição para o problema dado, temos:
Pelo algoritmo de Euclides:
Diante dessa restrição, temos que:
Assim, como solução, temos: q=103 e r= 2, sendo eles únicos.
41
COMENTÁRIOS: Embora o enunciado não peça para utilizar o algoritmo de Euclides, o resto deve
respeitar o que diz o teorema. Na socialização, é importante que os grupos
apresentem as próprias impressões e soluções, pois, embora o algoritmo de
Euclides refira-se ao conjunto dos números inteiros, os licenciandos podem
estranhar que, ao dividir um número negativo, o resto seja um valor positivo. Assim,
é comum ao dividir -307 por 3 encontrar como divisor -102 e como resto -1.
NOSSA VIVÊNCIA: Em nossa intervenção, quando nos deparamos com tal situação, optamos por outra
abordagem e apresentamos a definição do algoritmo de Euclides somente no final
das discussões. Durante resolução nos grupos e nas socializações das duas
atividades propostas, os licenciandos reproduziram as resoluções dos algoritmos,
alterando apenas os sinais do quociente e resto encontrados.
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
Resposta da
questão 3
Resposta da
questão 4
Na socialização, esperávamos que eles dissessem que a divisão de 307 por 3 não
poderia dar 101 como quociente, pois uma nova divisão pode ser realizada. E não
poderia dar 103 como quociente, pois o valor obtido no produto entre quociente e
divisor é maior do que o valor do dividendo.
42
Assim, para determinar o quociente correto, o produto entre quociente e divisor deve
ser igual ou menor e o mais próximo possível do dividendo (essa observação será importante para compreender a divisão com dividendo negativo). Optamos
naquele momento2 por trabalhar dessa maneira, pois essa é uma expressão muito
utilizada no ensino fundamental, seja nas séries iniciais ou finais desse ciclo.
No processo de socialização dessa questão, um licenciando discordou da resposta
apresentada e disse que, ao dividir -307 por 3, o quociente deveria ser igual a -103 e
o resto igual a 2. Como apenas ele tinha esta convicção, um de seus colegas disse
que fazer dessa maneira geraria mais possibilidades de resposta, e sugeriu -120
como quociente. Registramos no quadro esse resultado, porém ao realizar a
subtração, perceberam que o resultado 53, que seria o “resto”, poderia ser dividido
novamente, encontrando o quociente igual a 17 e o resto igual a 2. Ao somarmos
-120+17 tem-se como quociente -103, sendo que o licenciando que propôs de início
a solução correta disse: “Ah, chegou no meu -103, só fez o caminho mais difícil, mas
chegou”.
Outro recurso utilizado para que os licenciandos compreendessem a solução foi o
uso da reta numérica. Caso o professor opte por esse recurso, sugerimos que
identifique na reta numérica o dividendo, o número zero e, em seguida, localize o
produto dos resultados que surgirem. No caso da pesquisa realizada, os valores
sugeridos, como produto entre quociente e divisor, foram -306 (resultado de 102x3)
e -309 (resultado de -103x3).
2 A maneira mais adequada para apresentar a solução correta é com o auxílio do algoritmo de Euclides em sua essência. Porém, como estamos apresentando o produto de nossa pesquisa, é importante mostrar o caminho utilizado naquele momento.
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Após identificá-los na reta numérica, os licenciandos perceberam que -306 é maior
do que o dividendo e, portanto, a resposta correta é -309 e, consequentemente, -103
como quociente e 2 como resto.
COMENTÁRIOS: Após as duas primeiras socializações, proponha as duas últimas questões. A cada
validação de resposta, reforce a definição do algoritmo de Euclides, garantindo que
os participantes tenham compreendido que o resto deve ser sempre positivo, pois,
para quaisquer , com existe um único par , de maneira que
, em que . Ao finalizar as questões os participantes terão
vivenciado as quatro situações possíveis referentes aos valores positivos ou
negativos de dividendo e divisor.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
As atividades propostas neste livro são algumas de muitas possibilidades de se
trabalhar com o conceito de divisão e, assim, articular o conhecimento científico e o
escolar. Portanto, não se trata de um manual, mas algumas sugestões de atividades
que foram aplicadas na pesquisa de Santana (2018), intitulada “Formação inicial de
licenciandos em matemática: um estudo sobre o conceito de divisão”, que podem
ser adaptadas para atender melhor ao público a que se destina. Além disso, mais
importante do que a seleção das atividades, este material busca valorizar o
conhecimento prévio dos participantes. Durante a proposta de intervenção e
socializações, com análise das resoluções iniciais, validação das respostas,
construção de soluções adequadas, o professor conseguirá identificar e analisar
(re)construções do conhecimento sobre o conceito de divisão.
Recomendamos a leitura da dissertação de Santana (2018), de maneira a
enriquecer a proposta deste livro. Neste trabalho é possível encontrar nossas
motivações iniciais, vivências em sala de aula, com narrativas e diálogos dos
licenciandos, bem como resoluções apresentadas pelos grupos nas folhas respostas
e análise dos dados apresentados.
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LEITURAS E ATIVIDADES COMPLEMENTARES BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. São Paulo: USP, 1995. BRITO, K. L. G.; PAIVA, M. A. V. O conceito de divisão na formação continuada do professor [recurso eletrônico]. Vitória: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo, 2017. LAUTERT, S.L.; SPINILLO, A. G. As relações entre o desempenho em problemas de divisão e as concepções de crianças sobre a divisão. In: Psicologia: Teoria e Pesquisa. Brasília, vol. 18, n. 3, p. 237-246. SELVA, A. C. V.; BORBA, R. E. de S. R. O uso de diferentes representações na resolução de problemas de divisão inexata: analisando a contribuição da calculadora. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro: o grupo, n. 47, p. 51-72, jul./dez. 2005. SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; MILANI, E. Jogos de matemática de 1º a 5º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007. (Série Cadernos Mathema: ensino fundamental) SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; MILANI, E. Jogos de matemática de 6º a 9º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007. (Série Cadernos Mathema: ensino fundamental)
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REFERÊNCIAS
BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. BRASIL, Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação inicial e a formação continuada, resolução nº 2 de 1º de julho de 2015. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=17719-res-cne-cp-002-03072015&category_slug=julho-2015-pdf&Itemid=30192> Acesso em: 4 jul. 2017. BITTAR, M., FREITAS, J. L. M. Fundamentos e metodologia de matemática para os ciclos iniciais do ensino fundamental. 2ª Ed. Campo Grande: Ed. UFMS, 2005. CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da matemática. 7ª ed. Lisboa: Gradiva, 2010. DINIZ, J. E. Formação de professores – pesquisa, representações e poder. 2ª ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2006. DOMINGUES, H. H. Fundamentos da aritmética. Florianópolis: Ed. Da UFSC, 2009. DUVAL, R. Semiósis e pensamento humano: Registros semióticos e aprendizagens intelectuais. Tradução: Lênio Fernandes Levy; Marisa Rosâni Abreu da Silveira. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009. GATTI, B. A. Formação inicial de professores para a educação básica: pesquisas e políticas educacionais. Est. Aval. Educ., São Paulo, v. 25, n. 57, p. 24-54, jan./abr. 2014. JESUS, A. M. Construir o conceito de divisão, resolvendo problemas: um estudo de caso. In: GTI (Org.). O professor e o desenvolvimento curricular. Lisboa: Associação de Professores de Matemática - APM, 2005, p. 91-111. KLEIN, F. Matemática Elementar de um Ponto de Vista Superior. Volume I, Parte I: Aritmética. Lisboa: Sociedade Portuguesa de Matemática, 2009. LAUTERT, S.L.; SPINILLO, A. G. As relações entre o desempenho em problemas de divisão e as concepções de crianças sobre a divisão. In: Psicologia: Teoria e Pesquisa. Brasília, vol. 18, n. 3, p. 237-246. MOREIRA, P. C. 3+1 e suas (In)Variantes (Reflexões sobre as possibilidades de uma nova estrutura curricular na Licenciatura em Matemática. Bolema: Boletim de Educação Matemática, vol.26, n.44, Rio Claro, dez. 2012. PONTE, J. P. Formação do professor de Matemática: Perspectivas atuais. In: PONTE, J. P. Práticas Profissionais dos Professores de Matemática. Lisboa: Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, p. 343-360, 2014. SANTANA, D. F.; PAIVA, M. A. V. Formação inicial de licenciandos em matemática: um estudo sobre o conceito de divisão. 2018. 170f. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática, Instituto Federal do Espírito Santo, Vitória, 2018.
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