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INSTITUTO DE PESQUISAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES 9*9**3*5$ j

AUTARQUIA ASSOCIADA A UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO i

j

ASPECTOS DA ABORDAGEM PROBABILISTiCA NA ANALISE ESTRUTURAL

DE VASOS DE PRESSÃO DE APLICAÇÃO NUCLEAR

Sérgio de Gouvêa Franco

Dissertacio apresentada como parte do»requisitos para obtençfo do Grau de"Mestre na Area de Concentração emReatores Nucleares de Potência eTecnologia do Combustível Nuclear".

rierrtador:Dr. Ronaldo de Breyne Salvagni

SAO PAULO

1984

INSTITUTO DE PESQUISAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES

AUTARQUIA ASSOCIADA À UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ASPECTOS DA ABORDAGEM PROBABILISTICA NA ANALISE ESTRUTURAL

DE VASOS DE PRESSÃO DE APLICAÇÃO NUCLEAR

Sérgio de Gouvêa Franco

Dissertação apresentada como parte «cs

requisitos para obtenção do Grau de

"Mestre na Área de Concentração em

Reatores Nuciaares de Potência e

Tecnologia do Combust i'vel Nuclear".

Orientador: Dr. Ronaldo de Breyne Salvagní

SÃO PAULO

1984 - —

A r, R A n r

A este Instituto de Pesnuisas Fneraéticas e Nucleares, na ness

de seu Superintendente Dr. Durvalco Gonçalves, nela oportunidade

de nesctuisa;

Ao PRCTJUCLF.AR, pelo suporte financeiro;

Ao Pr. Ronaldo de Freyne falvagnx, nor sua orientação técnica-

cirr;ifica competente;

fi ::* ir. Víagr.er de Fouza Torges e Dr. José Messias de Oliveira *:e

IO ->ela leitura dos originais e nelas suoestões feitas;

Francisco José Falcão Pimrntel, nelo incentivo amigo;

meus pais, por tudo.

Título: "ASPECTOS DA ABORDAGEM PROBABILISTICA NA ANALISE ESTRUTURAL DE VASOS DE PRESSÃO DE APLICAÇÃO NUCLEAR".

Autor: Sérgio de Gouvêa Franco

p r c |! M o

O presente trabalho procura anrcsentar um procedincnto útil

à verificação e controle cia segurança C?P vasos de pressão de uso

nuclear, pela introdução de ir;étocos probabi lísticos ã sua análise

estrutural.

Título: "S»£ ASPECTS OF THE PROBABILISTIC APPROACH TO NUCLEARPRESSURE VESSELS STRUCTURAL ANALYSIS".

Autor: SÉRGIO DE GOUVEA FRANCO

A p C T p ». f T

This study has souqht to provide a useful procedure to

check and to control the safety of ruclear pressure vessels,

introducing probabilisties nethods of structural analvpis.

í r> n r r r 6 F R P. I

Pag.

1. INTRODUÇÃO : APRESENTAÇÃO DO TRABALHO 1

2. INTRODUÇÃO D* ABORDAGEM PROBABII.fSTICA AO CALCULO

ESTRUTURAL 4

2.1 INTRODUÇÃO t-ISTÕRICA 4

2.2 A PROBABILIDADE DE RUlNA 7

2.3 ECONOMIA E SEGURANÇA 9

2.4 NÍVEIS NO TRATAMENTO PROBABILfSTICO 10

2.5 O CASO UNI DIMENSIONAL 13

3. FUNDAMENTOS TEÕRICOS DA ABORDAGEM PROBABILÍSTICA AO CAL

CULO ESTRUTURAL 16

3.1 FATORES QUE INFLUENCIAM NA SEGURANÇA 16

3.2 OS MODELOS MATEMÁTICOS PROBABILÍSTICOS NO CALCULO

ESTRUTURAL 17

3.3 O MODELO DE FERRY BORGES E CASTANKETA 21

3.3.1 TEORIA ESTATÍSTICA DAS ESTRUTURAS 21

3.3.2 COMBINAÇÃO DAS AÇÕES 24

3.3.2.1 INTRODUÇÃO 24

3.3.2.2 VARIAÇÃO NO TEMPO 25

3.3.2.3 INTERVALOS ELEMENTARES DE TEMPO .. 25

3.3.2.4 COMBINAÇÃO PROBABIIÍSTICA DAS CAR-

GAS 26

3.3.2.5 TRANSFORMAÇÃO DAS CARGAS EM ESFOR

ÇOS SOLICITANTES 28

3.3.2.6 PROBABILIDADES DE RUÍNA PARA A COM

BINAÇÃO DE CARGAS 32

3.4 O ALGORITMO DE RACKWITZ-FIESSLER 33

3.5 A REGRA D£ TURKSTRA 34

4. O VASO DE PRESSÃO 3 6

4.1 XNTBODUÇXO 3 6

4.2 O VASO DE PRESSÃO NUCLEAR 37

4.3 C VASO DE PRESSÃO DO PWR 37

4.4 OS MÉTODOS TRADICIONAIS DE CALCULO DE VASOS DE

PRÍISSÃO .., 39

Pag.5 . AÇÕES E RESISTÊNCIAS ASSOCIADAS A VASOS DE PRESSÃO

NUCLEAR 48

5 . 1 DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS PARA A DESCRIÇÃO DAS

AÇÕES E RESISTÊNCIAS 48

5 . 2 AÇÕES EM VASOS DE PRESSÃO NUCLEAR 51

5.2.1 INTRODUÇÃO 51

5.2.2 CLASSIFICAÇÃO DAS AÇÕES 51

5 . 2 . 2 i QUANTO Ã NATUREZA 51

5 . 2 . 2 . 2 TENDO EM VISTA A DISTRIBUIÇÃO KS

TATfSTICÍ 53

5.2.3 IDEALIZAÇÕES DAS AÇÕES 55

5 . 3 RESISTÊNCIAS EM VASOS DE PRESSÃO NUCLEAR 57

6 . RESULTADOS E APLICAÇÃO NUMÉRICA 60

6 . 1 PASSOS DO MÉTODO DE FERRY BORGES E CASTANHETA . . 60

6 . 2 DIFICULDADES DE APLICAÇÃO 60

6 . 3 APLICAÇÃO NUMÉRICA 62

6.3.1 INTRODUÇÃO 62

6.3.2 AS CARGAS 63

6.3.2.1 CARGA PERMANENTE 63

6.3.2.2 CARGA VARIÁVEL 64

6.3.2.3 CARGA EXCEPCIONAL 64

6.3.2.4 AS FUNÇÕES DENSIDADE DE DlST RI

BUIÇÃO DE CADA CARGA 65

6.3.3 COMBINAÇÃO DAS CARGAS 65

6.3.4 A RESISTÊNCIA 6€

6.3.5 A PROBABILIDADE DE RUÍNA 67

6.3.6 O PROGRAMA COMPUTACIONAL 71

6.3.7 RESULTADOS 71

6.3.8 SIMULAÇÃO NUMÉRICA 73

6.3.9 COMENTÁRIOS SOBRE O EXEMPLO NUMÉRICO .... 74

6.3.10 COMENTÁRIOS RELATIVOS AOS PROGRAMAS COMPUTACIONAIS 75

7. COMENTÁRIOS E CONCLUSÕES 77

APÊNDICE A : PARÂMETROS DE ALGUMAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS.

IMPORTANTES 79

1

Pag.APÊNDICE B : O MATERIAL COMPUTACIONAL 85

BIBLIOGRAFIA 129

I O I C F ü A ? F I fi U P A ?

Figura 2.1

Figura 2.2

Figura 2.3

Figura 2.4

Figura 3.1

Figura 4.1

Figura 4.2

Figura 4.3

Figura 4.4

Figura 4.5

Figura 6.1

Figura 6.2

: Distribuição estatística de cargas e re

sistências

: Ilustração de verificação ao Nível I . .*

: Ilustração de verificação ao Nível II ..

: Ilustração de verificação ao Nível III..

: Gráfico tensão/deformação probabilistic

co

: Crescimento da experiência de operação

de vasos de pressão de reatores de

água leve

: Secçao transversal de uma Central PWR

típica

: Corte longitudinal do vaso e seus

componentes internos

: O vaso de pressão PWR cora quatro "loops"

: Diagrama simplificado de um sistema riu

clear de gerador de vapor com quatro

"loops"

: Ilustração da aplicação numérica

: Ilustração da composição elementar das

forças

Pag.

6

11

12

13

23

43

44

45

46

47

62

66

I H D I C E D F T A ft F L A S

Pag.

Tabela 3.1 : Ilustração de valores de repetição para as

cargas 26

Tabela 4.1 : Valores típicos das dimensões de um Vaso

de Pressão PKR com 4 loops 38

"abela 4.2 : Valores típicos de um Vaso de Pressão de

um PKR com 4 loops 39

WACÃO P TOP'CLATIIRA

b função deterninística

C custo

c coeficiente de variação

E módulo de elasticidade

*p ( ) distribuição <?e probabilidades

f ( ) distribuição de densidade de nrobabilidacVs

q ( ) reçião de Rn

i índice

m média

K ( ) contador em processos estocãsticos

P, n probabilidades

p pressão

Q, o esforços solicitantes para cargas

R, r referem-se c resistências

r. , , repetições do modelo de Ferry Forges e Castar.heta

r raio

S, s referem-se a solicitação

t parânetro de processos estocãsticos

í espessura

U, u esforços solicitantes para expressar a resistência da

estrutura

X variável aleatória

x (x) processo estocastico

x valor médio de X

x moda de X

x mediana de X

V variável aleatória

2 variável aleatória

2 variável aleatória da normal reduzida

* conjunto dos números reais

•» vetor

U matriz

° parâmetro•0 coeficiente de dilataçio térmica

rA

c

parâmetrofunção gama

domínio elementar

narânetro

deformação relativa

função distribuição reduzida ca distribuição normal

função densidade reduzida da distribuição normal

<) coeficiente de noisson

li média

p peso especifico

o desvio padrão

õ tensão

o2 variancie

R região do Rn

-1-

OWTULQ 1

INTRODUÇÃO : APREFFNTACÂO DO TRAPALHO

O cálculo estrutural de ecuinamcntos nucleares reveste-se de

grande responsabilidade, técnica. Eventuais falhas nestes ecruira

mentos oodem ter implicações serias, devido ã nossiMlidade de H

beração de grandes quantidade de radiação. Cono s?e sabo,altos r.J

veis de radiação i.ão são suportáveis pela saúde huirana, e nor es

se motivo as normas técnicas na área nuclear procuram garantir al

tos níveis de segurança. Neste sentido, o desenvolvimento de ecui

pamentos de segurança ou emergência rara a indústria nuclear deve,

por exemplo, satisfazer certos critérios de redundância e, de um

ponto de vista mais geral, os níveis reais de segurança das cen

trais nucleares devem ser constantemente avaliados.

Ê esta filosofia de manutenção de um alto nível de segurança

em centrais nucleares que produz un constante esforço no aoerfei^

çoamento dos métodos de cálculo estrutural de seus enuinamentos .

Nesses métodos, situações extremas cue normalmente não são lev<i

dos em conta em outros campos da Engenharia, precisam ser conside

radas. Um exemplo típico é dos vasos de pressão, onde se aloja o

núcleo do reator.

O cálculo estrutural de vasos de pressão tem merecido estudo

cuidadoso, e no presente trabalho procura-se apresentar alguns es

forços dedicados ao aperfeiçoamento desces métodos de cálculo, no

•entldo de aumentar seu controle de segurança e sua confiabilida

de. Mais especificamente, inserindo-se em uma tendência muito mais

«mpla no Cálculo Estrutural, o oresente trabalho procura descre

ver a aplicação de métodos orobabilísticos â análise estrutural de

v«sos de pressão.

De fato, muitas são as incertezas associadas ao comportamento

estrutural de um vaso de pressão, além de ser grande, a variação

do nível de solicitação a que o mesmo está sujeito. Assim, a quan

tificação desta incerteza e desta variação, e a apresentação de

um procedimento útil â verificação da segurança de um vaso de

- 2 -

pressão nuclear constituem o objetivo principal deste trabalho,incluindo uma aplicação numérica.

t

Os métodos nrobabillsticos não rodem r.ais ser desprezados co !„ i

mo recurso na analise estrutural de vasos de pressão. DP fato, vr l

rifica-se hoje uma tendência no sentido dí» empregar nétodos nro j

babilísticos no cálculo estrutural. As Normas brasileira (A*\*T)ir ?

Tcorporarr. nestes últimos anoc vários elementos da analise proba

bilistica, seguindo uma tendência r.aís ampla verificada nas ncr

nas internacionais. {Conferir, por exemplo, nas Norr.as nrasileir«Ts

o projeto de norma de fevereiro de 1°84, VcÕes t» Fpqurarca nsr;

Estruturas - Procedimento", número 2.03.17/004 * ' ) .

Cor.ó as abordagens probabillsticas têm sido parciais e não

nuito rigorosas, este trabalho procura introduzir um nível de so

fisticaçio maior no emprego dos métodos nrobabillsticos, buscando

não sõ um processo de cálculo mais preciso, mas também uma forna

de calcular a probabilidade de ruina da estrutura em ouestio. O

trabalho procura estudar tanto as ações quento o comportamenf e^

trututal dos vasos de pressão nuclear, colocando, contudo, maior

ênfase no estudo das ações e suas combinações, onde as incertezas

são maiores.

No segundo capitulo mostra-se o desenvolvimento da abordagrrc

probabillstica do cálculo estrutural e as limitações dos métodos

tradicionais, estabelece os conceitos básicos da abordagem proba

bilistica e esclarece suas vantagens, e apresenta um procedimento

para calcular a probabilidade de ruína nos casos mais simples.

No terceiro capitulo apresenta-se os fundamentos de alguns

métodos probabillsticos aplicáveis ao cálculo estrutural, com PS

pecial atenção ao modelo de Ferry rorgos e Castanheta. Apresentn-

•e um método para calcular a probabilidade de ruína em casos V.BÍS

complexos, e procedimentos simplificadores.

No quarto capitulo descreve-se o vaso de pressão nuclear r

indica-se algo sobre seu método tradicional de cálculo estrutural,

incluindo algumas especificações das normas norte-americanas.

No quinto capitulo faz-se um estudo das ações e repi»téncias

-3-

associadas ao vaso de pressão nuclear, suqerindo-se distrihuições

estatísticas para descrevê-las.

No sexto canltulo ar>resenta-se os passos para a aplicação co

método proposto nesta dissertação ã verificação e cálculo de va

sos de pressão de uso nuclear. Ainda faz-se uma aplicação numér_i

ca do método a um cilindro eauivalente a um vaso de pressão típjL

co PWR. E desenvolve-se um programa computacional cue calcula a

probabilidade de ruína deste vaso.

No sétimo capitulo aparecem as conclusões de caráter geral.

Em apêndice estão os parâmetros das distribuições de densida

de de probabilidade mais úteis ao cálculo estrutural (apêndice A),

e o programa computacional, os principais resultados e gráficos

ilustrativos referentes ã aplicação numérica (apêndice P).

2. irTRODUCfc DA APOKMSFI f»Rft*AWLfmtA AO C S L D U P

2.1 IftTRODÜÇÃO HlfTflRTCA

A abordagem nrchahillstica aplicada ao calculo estrutu

ral e relativamente recente. Max Mayer c arontado corto o nril

ir.eiro a introduzir alguma base estatística ã análise estrutural cri

1^26. Após a II Guerra "undial esta abordagem nrohabilística re

ceheu um grande impulso e diversos congressos internacionais fo

raia organizados para a sua discussão e nrorcoção. Ferry noraes «•(l<*íCastanheta relacionam1 ' os principais trabalhos, ao longo das

últimas décadas, ctue desenvolveram esta abordagem. Vo Prasil nou

co ainda foi feito, poder.do-se citar os trabalhos de LangendõncVt34). Figueiredo Ferrazíl?í, Silva Lemeí46) e mais recentemente

Zagottis , Fusco '23)# a dissertação de Freitas relativa ao

cálculo de estruturas de madeira* , a de Facbich relativa ã so

los , a de tfirth Jr. relativa à barragens de concreto e a

de Eatista sobre a comnosição de ações .

O certo é que esta abordagem probabilística ao cálculo

estrutural é resultado do desenvolvimento do próprio cálculo. Ê

fruto do melhor conhecimento dos fenômenos envolvidos, e de um me

lhor tratamento das questões de segurança e economia. De fato,

chegou-se a perceber que os métodos convencionais não forneciam

um justo controle da segurança das estruturas; e uma abordagem pro

babilística na verificação da segurança estrutural cada vez mais

se faz necessária.

A preocupação com a segurança nas estruturas remonta ãs

origens mesmas da construção e do cálculo estrutural. Fsta nreo

cunação pode ser constatada em um progressivo movimento ao longo

da história do cálculo estrutural no sentido de regular a seguran

ça por meio de fatores de carga e coeficientes de segurança. Tn£

cialmente muito empíricos, estes coeficientes gradualmente passa

ram a receber valores mais científicos. Tais coeficientes procu

rant dar conta das Incertezas e aleatoriedades assosiadas as pro

prledades dos materiais integrantes da estrutura, bem como das

ações â que a estrutura fica sujeita.

-5-

Para definir-se os coeficientes de segurança, froouente

mente lança-se mão de um estudo estatístico das resistências dos

materiais e das cargas associadas a uma dada estrutura. Fai-sr ,

assin, â procura de um valor "rúnlmo" R. para a resistência de

um material; usualmente calculado como R * m (m - kt), onde m e a

média dos valores das resistências obtidas em ensaios experlmcn

tais e < o desvio padrão desta distribuição de resistências. . Ent

vários casos o parâmetro k foi escolhido em torno do valor 2.33,

de forma que admitida a distribuição gaussiana das resistências,a

probabilidade de uma resistência menor que R^ realmente ocorrer

seja somente 1%; ou então, definiu-se fc para eme esta nrohabllida

de fosse 5%. De modo semelhante procurou-se determinar una carga

"maxima* S^ que na prática tivesse poucas chances de ocorrência

ao longo da vida da estrutura. Verifica-se aqui também a tendên

cia de definir S^ a partir da probabilidade de ocorrência. O con

ceito de R. pode ser expandido para a estrutura e fala-se cm "re

sistência da estrutura", ou seja era sua capacidade por tan te (ou

de utilização). Estes valores, R, e S., foran: então, utilizados

para definir o coeficiente de segurança em nuitas esferas da ati

vldade estrutural:

Rln - -i (2.1)Sl

A critica usual a este procedimento convencional é

obvia observando-se a Figura (2.1), que mostra a distribuição de

probabilidades da resistência da estrutura R e das cargas F nas

••suas bases.

-6-

Resistpncia

Carga ouResistência

Figura 2.1 - Distribuição estatística de cargas e resistên

cias.

A rio ser cue a forma das duas curvas sei a rigorosar.en

te controlada o resultado será a superposição das curvas. Fsta su

perposição implica na possibilidade de uma estrutura com una re

sistência R-, substancialmente menor que R,, suportar uma carga

F» muito maior oue S., de modo tal rue S^ exceda a R? e ocorra a

ruína. Fe as duas curvas forem estritamente gaussianas terão ura

cauda que se extende indefinidamente de forma cue a superposição

será inevitável. Em muitos casos práticos, mesmo que as curvas

não sejam perfeitamente gaussianas (eventualmente pode haver res

mo um limite inferior R_ para a resistência), alguma superposição

é inevitável, correspondendo a alguma chance de ruína. Assim un

procedimento de calculo baseado em R.e S., aparentemente garante

a impossibilidade da ruína, mas de fato não rode excluir a proba

bilidade de unia ruína, nem mesmo quantificá-la, nem fornece cuaiL

quer recurso para diminuir esta probabilidade.

A idéia de avaliar a probabilidade de ruína da estrutu

ra implícita na superposição das caudas da Figura 2.1 surgiu ini,

cialmente no mundo da aviação militar* '. Nos anos 30 a produção

*e aviões militares cresceu e com ela os acidentes. Fntão surgiu

* idéias de "risco de acidente". Embora as causas de acidentes

<ossem várias e poucas diretamente relacionadas â falhas da estru

tura do avião, chegou-se a determinar um valor limite aceitável

acidentes estruturais, em aviões militares, em termos de ho

-7-

ras de vôo: 1 acidente para cada 10 horas de vôo. Posteriormente

a experiência de vôos civis confirmou esta tendência e este va

lor. Assim, una nova filosofia de segurança das estruturas estava

começando a ser aceita. Também no calculo de estruturas navais a

abordagem probabilística desenvolveu-se desde cedo, jã nue a álea

toriedade dos parâmetros cue definem as ondas do mar é eviden

te . Muitos outros campos do cálculo estrutural começaram

também a receber esta nova abordagem, Z,ogo aclicou-se conceitos

probabilisticos à verificação da segurança de automóveis e de

trens. E hoje constata-se uma tendência generalizada no sentido

de ampliar a todas as esferas do cálculo estrutural a conceitua

ção probabillstica na verificação da segurança das estruturas

Mesmo em problemas relacionados â solos» rochas, fundações e

obras de terra jã se está começando a usar métodos probabilistic

cos. Mais ainda, no cálculo de edifícios e de grandes estruturas.

E então procura-se determinar a probabilidade de ruína associada

a cada estrutura sujeita a um certo tipo de carregamento. E o que

se pode esperar para um futuro próximo é uma evolução tanto dos

métodos de análise estrutural quanto de sua normalização, no sen

tido de aceitar e quantificar esta probabilidade.

2.2 A PROPABIEILIDADE DE RUÍNA

De fato o que estava sendo colocado em questão era a

abordagem determinística do cálculo estrutural, seguindo uma ten

dência que estava ocorrendo em outros campos da Ciência. A" medida

que se ia aprofundando o estudo de muitos fenômenos da natureza ,

percebia-se a inadequação de uma abordagem determinística. Fre

fluentemente, apesar de crue possa existir uma lei determinística

mie relaciona diretamente causa e efeito, rm muitos fenômenos na

turais o que ocorre é nue nem sempre é possível ou prático deri

vá-la. No cálculo estrutural, logo se verificou a aleatoriedade

dos parâmetros mecânicos e geométricos das estruturas. F ao seren

feitos ensaios para a determinação da resistência da um material

qualquer, verificou-se cue a resistência é uma variável aleatória

contínua, â qual se deve associar uma lei de distribuição de den

sidade de probabilidades. Na verdade, todas as características

geométricas e mecânicas das estruturas também são variáveis álea

tõria», e ainda com muito mais razão as cargas também o são. F a

-8-

conclusão é que aualquer estrutura projetada para suportar deter

ninadas ações» com oualquer procedimento para introdução da segu

rança, possui*.S sempre uma probabilidade de ruína maior oue zero.

Mesmo que se tivessv uma resistência mínima maior que zero, pro

jetar a -.<strutura cr,n segurança absoluta seria ou impossível ou

an ti-ecoros ico.

A rrobabí1í!ade de ruína p da estrutura será a probably

1idade óc tpr»se cm una situação R S,

< S] (2.2)

* 0 conceito de probabilidade pode ser entendido como o

limite para o qual tenderia a freqüência relativa da ocorrência de

um dado evento (no caso, a ruína) quando o número de renetições

das situações em que possa ocorrer o evento tenda ao infinito (de

finição proposta pela escola freouencialista de probabilidade)

Mas o conceito de probabilidade pode ser entendido também como

uma medida subjetiva do grau de confiança que se pode ter na

ocorrência de um dado evento (definição da escola personalista ,

•tais aceita atualmente). Esta segunda interpretação ê interessan

te visto que nem sempre é possível falar-se de muitas repetições

de situações onde possa ocorrer o evento.

Com a probabilidade de ruína podemos dizer crue estanos

com uma medida conceitualmente perfeita da segurança de uma estru

tura. 0 que não era o caso dos antigos coeficientes de segurança.

Aqueles davam a falsa impressão de rue a segurança era absoluta .

Além disto o seu valor era inadequado para precisar a segurança

(e o risco) de uma dada estrutura. Por exemplo, quando se falava

er. um coeficiente de segurança igual a 2 para uma estrutura de

*ço e também para uma estrutura de madeira, isto não significava

que ambas as estruturas possuíssem a mesma segurança. Na verdade,

* estrutura de aço, com uma dispersão e incertezas muito menores

acerca de suas resistências mecânicas, possui uma segurança muito

«aior que a estrutura de madeira (apesar de que o coeficiente de

•«gorança fosse o mesmo)* De forma que o coeficiente de segurança

•ra um mau indicador da segurança ( e do risco) de uma estrutura.

-9-

Cabe observar nue a probabilidade de ruína é a nrobabj,

lidade de se alcançar um estado limite da estrutura, rode se

referir tanto aos estados liirites últirtos, nuanto aos estados M

r.ites de utilização. Os estados limites últínos são os nue corres

ponden ao esgotarento da capacidade rortante da estrutura. F os

estados limites de utilização são o« rue corresrjorder. a exieên

cias funcionais e de durabilidade da estrutura.

f imnortantç» notar cue a aceitação da conclusão de nue

a segurança estrutural ê um problema rrobahilístico innlica err.

uma nova postura profissional da parte do calculista. De fato,rcn

nida a ilusão de una segurança absoluta, cabe ao enqenbeiro nroje

tar e construir estruturas que apreserteia risco de ruína baixo e

compatível aos riscos inevitáveis ã nue já está sujeita a vida hu

mana. Assim, comparando aos riscos de acidentes em outras ativida

des humanas, admite-se que a probabilidade de ruína entre 10** e

10 é normalmente aceitável. Mas em últina instância a deterwira

ção desta probabilidade de ruína aceitável escapa ao camno mera

mente técnico. F anui o enqenheiro esbarra em uma cuestão ética

e político-social. Certamente o risco cue se considerará aceita

vel deverá depender das próprias características da sociedade CTI

nuestão e de seu grau de avanço tecnológico.

2.3 ECONOMIA E SEGURANÇA

(Ana vantagem importante da abordagem nrobabilíst1ca é.

a superação do conflito entre segurança e econonia, presente em

uma visão determinística. Agora, não só os custos diretos da es

truture podem ser levados em conta, mas também acueles referentes

a eventuais prejuízos que a estrutura nossa causar, durante o tem

no previsto para a sua utilização. Assim, dentro de uma visão pro

babilística da segurança, com a introdução do conceito de custo

generalizado (C_), consegue-se quantificar economicamente a segu

rança<*> *

co * pf • cf (2'3)

- custo inicial da estrutura somado ao custo de manutenção o

. - f t..:Z:r:-r ••«•"'

tt.6"- v V > -.•>.:> ,-:"—• f „ • J j

-10-

subtraido o valor da estrutura quando nosta fora de uso;

Cf - custo resultante dos prejuízos de diversas naturezas nrovo

cados pela ultrapassagem de ura determinado estado limite ,

que ten probabilidade P~ de ocorrência.

Fe se desejar otimizar o cálculo da estrutura, hasta cal

cúlar o valor de P« oue rcininize o custo aeral C , ror exentnlo rcr

neio da exnre^sao :

»c—2 »?P f

3CO +

i P f

Í C ,_ f

f i Pfi

(2.4)

Certamente que a maior dificuldade desta cálculo reside na guan

tificaçlo dos fatores que entrara na composição de C-, especialmen

te quando entra era jogo a perda de vidas humanas.

2.4 WlVEIS NO TRATftMECTO PROBAFILÍSTICO

Atualmente, o cálculo da probabilidade de ruína em uma

estrutura nlo pode ser feita senio mediante sirmlificações. Fspe

cialntente no caso de solicitações e resistências multidinensionais

o problema é complexo, e a composição das ações é difícil. Fm si.

tuaçõcs complexas então, por ora, é preciso aceitar o cálculo a

proximado do valor da probabilidade de ruína. Assim, corresponder!

do â diferentes níveis de rigor conceituai, é possível definir

três níveis no tratamento probabilistic© aplicado ao cálculo e£

trutural.

Considerando-se a aleatoriedade das ações (para uma me

lhor conceituacão de "ações" e "resistência" veja o prõxlno ca pi

tulo, item 3.1), elas ou os esforços delas decorrentes podem ser

descritos de forma simbólica pela expressão:

X2, ..., Xn) (2.5)

-11-

onde as variáveis X. (i » 1,2,.%..ra) medem as grandezas aleato

rias cue afetas o "nível de solicitação" sinbolizado no S.

De foma análoga, a capacidade resistente da estrutura

rode ser posta sob uma forma simbólica:

R IY» , '<yt "«k*(2.f)

onde as variáveis V. (j « 1,2, ..., n) nedei» as grandezas aleatõ

rias crae afetam a capacidade resistente, simbolizada ror P.

Assim temos ' , no nível I, o processo dos valores

extremos, cuja condição de verificação da segurança é expressa

por

F (xlextr ' *••' R (Vl,extr ' " " Yn,extr}

(2.7)

A segurança é introduzida através das probabilidades P.. ^v«.v exi,cxcr

Pvi e x t r » <!«« deteriüinam respectivamente os valores extreros

x. e Y« ^M.^ , com os crua is são calculados limites das so

licitações S e das resistências R. (Veja a Figura 2.2).

xi

xi,pxtr

xi,extr xi yi,extr vi

Figura 2.2 - Ilustração de verificação ao Nível I.

-12-

II enprega o processo dos extremos funcionais ,cuja condição de verificação da segurança ê dada por

extr » X2' *••' V extr ' Y2' ***' V(2.P)

»:o processo dos extrer.os funcionais a segurança ê introduzida rp

Ias probabilidades Pj. p x t r e PR p x t r , cue definem os extrenos

nrobabilisticos das funções F (X^, ...» Xn) e R (Yj, ..., Y^) ,

respectivamente. (Veja a Figura 2.3}

s,extr

extr

Figura 2.3 - Ilustração de verificação ao Nível II

Ao nível III corresponde ao processo exato» cujas cor

dlções de verificação da segurança são dadas pelas expressões se

«ulntes

* •••' v n) i O

(2.9)

de modo equivalente

-13-

R (vx,

s (xr(2.10)

Neste processo, a segurança ê red ida pela probabilidade P_j. deruína, a qual ocorre ouando R/S ^ 1 ou (R - S) < 0, (veja Figura2.4).

R-F

R-S

Figura 2.4 - Ilustração de verificação ao Nível III

Assim, no método probabilistic© de cálculo, a segurançaé medida essencialmente por probabilidades associadas ã ocorrência de estados limites, variando apenas a maneira de se considerar essas probabilidades, em função do nível de precisão empregado.

2.5 O CASO ÜNIDIMFNPIONAL

No caso do problema unidimensional, ou seja, ouar.do asvariáveis R e S são definidas ambas por uma única variável, ocálculo da probabilidade de ruína é mais fác i l . No emprego doprocesso exato (nível I I I ) , para se evitar a complexidade do estudo das distribuições da função R/F, é preferível a consideraÇio isolada das distríbuícõe* de R p ?. A probabilidade de ruínaPOdef então, ser calculada por uma integral.

-14-

Se R e S são determinadas pelas variáveis aleatórias não

negativas ZR e Z^ , respectivamente, a condição de ruína pode

ser escrita por ZR ^ Zp , e a probabilidade de ruína pode ser

indicada por

Pf - P <ZR (2.11)

Dadas as funções de densidade de rrobabilidade fp (z) e

f» (z) de Z_ e Z_ , respectivamente e pondo

FR (z) = P (ZR Z) 1 (s) ds (2.12)

(z) Z) » / fP <s) ds

0

(2.13)

a probabilidade de ruína, admit indo-se ZD e 7,c independentes é

dada por

fc (z) fR (s) ds

JO

dz (2.14)

PR (z) fs (z) dz (2.15)

ou. Invertendo-se a ordem de integração

fR (z) dz (2.16)

-15-

£ importante notar çrue estas integrais só são validas

caso ZR e Z^ forem independentes, ou seja, oue a resistência e

o carregamento sejam independentes. Isto ê hem razoável ouase sem

pre, mas não é absolutamente preciso. Uma dependência simples de

ser constatada é que o peso próprio reaciona-se de alguna manei_

ra coro a resistência.

Ainda no contexto dos métodos probabillsticos, rode-se

definir coeficientes de segurança, tomando-se, por exemplo, as

relações

R Rk

*0 « Ü e yk - f (2.17)

Chama-se y. de coeficiente central de segurança, definido pela

razão entre os valores médios da resistência (R.) e das solicita

ções (SQ). E chama-se y. de coeficiente característico de segu

rança, definido pela razão entre os valores característicos da re

sistência (R^) e das solicitações ($,,). Chama-se usualmente re

sistência característica (R. ) â resistência que ten probabilidade

de 951 de ser superada durante a vida real da estrutura; e cha

ma-se usualmente solicitação característica à solicitação por

carga permanente que tem 95% de probabilidade de não ser superada

durante a vida real da estrutura. A definição de resistência ca

racterística (R.) e de solicitação característica (S. ) ven do CEP

Comoté Européen du Beton(6).

E assim é possível associar a cada valor de y0 ou de

Yv valores de probabilidade de ruína P., Perry Porges e Casta(14) " ""

nhetav ' realizaram este estudo para vários tipos de distribuições de R e P.

-16-

CAff l l lLOl

3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE APQRDAGEM PROTWHILlSTICA AO CALCULO

ESTRUTURAL

3.1 Fatores cue Influenciam a Segurança

Vamos definir inicialr.er.te "ações" e desistências" asso

ciadas a ur.a estrutura. Chamamos "ações" (ou solicitações) â qual_

nuer influência ou conjunto de influências capazes de produzir es

taãos de tensão em uma estrutura. Quanto ã sua natureza, as ações

nodem ser "diretas" ou "indiretas". As ações diretas correspondem

aos carregamentos, como os pesos próprios, nesos de equipamentos

fixos, cargas estáticas e dinâmicas de utilização, cargas de ven

to, etc. As ações indiretas correspondem ?.s deformações reolõgi^

cas, deslocamentos de apoio, etc . Os valores de ações ou es

forços solicitantes que correspondem a um dado estado (limite ou

de utilização) da estrutura são chamados "resistências" da estru

tura. Assim as resistências expressam o comnortamento estrutural(19)

em termos de ações ou esforços solicitantes .

A teoria das estruturas em corrente uso possui um cará

ter determinlstico. A geometria da estrutura, as propriedades me

cinicas dos materiais e o comportamento estrutural são definidos

por cruantidades determinadas, bem como as ações. Fm uma abordagem

orobabillstica, resistências e ações são consideradas grandezas

aleatórias o expressar por distribuições estatísticas.

Vários fatores produzem esta aleatoriedade e geram in

certezas. Assim, na analise da segurança estrutural, no cue se re

fere às ações temosí55):

1. A variabilidade da intensidade das ações;

2. A probabilidade da ação simultânea de diversas ações ciue

a estrutura deve suportar.

Se a comparação entre ações e resistências for feita a

través de esforços solicitantes, haverá de se levar em conta os

-17-

fatores que afetam os esforços solicitantes das ações :

1. Simplificações teóricas da analise estrutural;

2. Imprecisões nur.êricas de cálculo;

3. Imprecisões qeonétricas construtivas;

4. Variabilidade das características mecânicas de deformabi^

lidade dos materiais eir. laboratório;

5. Variabilidade das características mecânicas de drformaM

lidade dos materiais do laboratório para a obra.

No que se refere âs resistências, os fatores cue in(51) ""

fluem nos esforços solicitantes limites sao os seguintes :

1. Variabilidade das características mecânicas de resistên

cia dos materiais em laboratório;

2. Variabilidade das características mecânicas de resistên

cia dos materiais do laboratório para a obra;

3. Simplificações teóricas no calculo dos esforços solicitan

tes limites;

4. Imprecisões geométricas construtivas locais.

Ainda há oue levar se em conta os fatores que influem

na responsabilidade da estrutura( ':

1. Tipo e montante dos danos produzidos pela eventual ruína

da estrutura;

2. Capacidade de redistrihuição dos esforços e de avjso de

ruína iminente.

3.2 Os Modelos Probablllstlcos no Cálculo Fstrutural

Uma abordaiem probabillstica exata e global esbarra em

várias dificuldades decorrentes de pelo menos OB seguinte» fatoí55>

-18-

1. Dificuldades na definição estatística dos fatores mie in

fluem nas ações;

2. Dificuldades na definição estatística dos fatores mie in

fluem nos esforços solicitantes;

3. Dificuldades na definição estatística dos fatores rue in

fluem nos esforços solicitantes limites;

4. Dificuldades na análise teórica do comportanrrto estrutu

ral.

Assin modelos sintrlificadores slo necessários. Conforre

o seu rigor na aplicação de métodos nrobabilísticos, podem ser

classificados em três níveis, como exposto no capítulo anterior.

Uni trabalho de interesse r.a aplicação de métodos proba

bilísticos ã verificação da segurança de vasos de nressão é o de

F. G. Arnold, "Pressure Vessel Reliability as a Function of

Allowable Stress" . Faz um estudo da probabilidade de ruína do

vaso levando em conta tanto os carregamentos estáticos, ouanto di

nâmicos. Uma de suas vantagens é trabalhar diretamente coin ten

soes, admissíveis e induzidas, o que permite uma fácil comparação

con os critérios propostos em norma pela secção III da ASMF Poiler

and Pressure Vessel Code . A principal limitação de seu traba

lho reside na composição das ações, visto cue seu estudo é unidi^

«ensional. Emprega uma expressão equivalente ã expressão (2.14)

do capítulo anterior. Fm seu exemplo numérico limita-se a analí^

«ar a ação da pressão interna.

Assim um problema fundamental é como combinar as varias

modalidades de ações â mie fica sujeito o vaso de pressão nu

clear. Una abordagem mais corrpleta do assunto terá rue resolver

o problema da composição de vários tipos de ações. A miestão re

tide no noâo de representar estes vários tipos de ações e no modo

<fo combiná-los. Patista em sua dissertação "Segurança Fstrutural:

Caracterização e Combinação dr Ações" * ', estuda vários modos de

combinar as ações.

O problema consiste em determinar a probabilidade, cha

nada probabilidade de ruína, do vetor de cargas atingir a condi

-19-

çio de ruína ao menos uma vez durante a vida de estrutura. Ape

nas em casos excepcionais este calculo ê feito de modo exato; u

sualrtente aproximações slo necessárias. O número de rwtssagens na

ra a situação de ruína pode ser avaliado nor nteio de orocessos es

tocásticos de contagem . Estes nrocessos descreveriam várias si

tuações de ocorrência ce passagens. Define-se um processo de cen

tagem, COKO um rrocesso estocástico de valores inteiros f*:(t) ,

t>0)» oue conta o nürtoro de pontos, distribuídos t>or um certo rw»

canismo estocástico, rue aparecer» eir ur. dado intervalo. PR rontos

representar os irstantes nos nuais trnhan ocorrido rvrntos cem

certa característica especificada. Várias designações se dão ao

processo de acordo cor a distribuição dos nor tos. Pat i st a cita

expressões para vários tipos de processos oue calculem o valor da

probabilidade de ruína. A influência do tipo de nrocesso adotado

foi analisada por L. fentler em "Stochastic Representation of

Loads" através de simulações, informa Patista* ' e arresenta os

gráficos resultantes destas simulações. F conclue: "Os resultados

obtidos sugerem çue idealizações muito complexas para os rodeios

são desnecessárias e, na faixa de interesse, as discrenânclas

são pequenas** . E na conclusão de seu trabalho escreve: "Fm ge

ral, nara as coirhinacões, imprecisões cometidas nos narâmetros de

finidores dos processos não afetam sensivelmente os resultados sen

do, entretanto, eventualmente importantes no estudo individual das

ações. Em particular, a representação das ações através nos mode

los de Ferry Borges e Castanheta tem-se mostrado suficierte para

a analise das combinações" .

Olhando desde a perspectiva do desenvolvimento do cálcu

Io estrutural nas últimas décadas, vimos assistindo o anarecimen

to de vários trabalhos aue procuram dar inicio ao uso de técnicas

probabili ricas no cálculo estrutural. Os trabalhos publicados

nos anos 20 e 30 forarr. essencialmente qualitativos. Vos anos 40 r

50 surgiram os primeiros trabalhos que distinguiam rntre distrí^

buições estatísticas das tensões induzidas e das tensões corres

pondentes a estados limites. Algumas regras para a combinação das

cua» distribuições foram dadas para poder-se determinar a nrobahi.

1 idade de ruína. Winzbicki em 1939 sugere a comparação da nrobaM

<•) Batista, r,g 4.40 e 4.41.

(**) Patista, nq fi.l e f.2

-20-

lidade de ruína estrutural com a probabilidade de acidente em ou(1*>) ~"

tros tipos de atividades humanas '. Torroja e Paez sugeriram a

diferenciação das causas de incertezas envolvidas. Johnson fez os

criraeiros estudos sobre as distribuições estatísticas mais adenua

das na definição de cargas e resistências . Vários outros de í

senvolvinentos podem ser apontados nas obras de Penjamim e Cornel l ( 8 ) , Freudenthal í 2 1 ), P u g s l e y í 4 3 ) , Turfcstra*u',etc.

(34)No Rrasil podemos citar LangpndoncV , Fiqueiredo Fer

r a z í l 7 ) . Silva L e m e í 4 5 ) , Z a g o t t i s ( 5 5 ) e F u s c o ( 2 2 ' 2 3 ) cono os oue

contribuíram para a introdução de técnicas orobabilísticas ao cájl

culo estrutural.

Entre estas várias contribuições destaca-se o trabalho

de Ferry Borges e Castánheta oue apresenta uma abrangência muito

naior que muitos trabalhos oue oferecem contribuições localizadas

ao problema. Procurando sintetizar os avanços e contribuições âes

tes vários autores organiza um método de cálculo ben acurado, mas

que, no entanto, evita as formulações matemáticas mais complica

das. No Brasil os resultados de Ferry rorges e Castánheta forarr

difundidos, especialmente pelo curso ã nlvrl de nõs-graduacio naí 181

Escola Politécnica da ÜSP en» 1975 ministrado por Ferry Forges

Na Fngenharia Nuclear, por outro lado, os métodos proba

billsticos passaram a ser cada vez irais empregados nas análises

de confiabilidade. Conferências foram organizadas ' , a anãli

se de segurança por meio de árvores de falhas começam a ser utili^

*«dasí25'31'32'52) e toda a uma conceituação nrobabillstica

firma(3f'37'41'54'3>.se

O método de Ferry Borges e Castánheta^ ' ' apresenta

• vantagem da possibilidade de combinação de vários tipos de

•ÇÕ«8, o que não é tio acessível no trabalho de Arnold* . Evita

complicações conceituais de outros rrétodos, por exemplo expostos

f»or Batista '. Sintetiza vários trabalhos anteriores e está de

Acordo com a tendência geral de ampliar o uso de métodos nrobabi

listicos na Energia Nuclear. Sua utilização garante a introdução

-21-

âe uma análise probabilistica na própria formulação do cálculo PS

trutural.

Assim, dado o grau de desenvolvimento do modelo de Frr

ry Borges e Castanheta, sua relativa simplicidade e seu suficien

te rigor, este modelo serã escolhido neste trabalho. De fato a so

luçio exata da combinação das ações e sua comparação ãs resistên

cias da estrutura, dentro de uir.a idealização rrobabilfstica, irr

plica em uma descrição global dos processos estocástico? definir

do a variação no tempo de cada carga e das resistências. O modelo

de Ferry Borges e Castanheta introduz sircolificacões ros

sos estocásticos, que entretanto mantém boa exatidão dos resultaif.)

dos, conforme nos informa Batista

0 modelo de Ferry Borges e Castanheta consiste básica

pente em se definir para cada categoria de ação intervalos elemen

tares, isto é, intervalos tais que os valores máximos da ação a

tingidos em intervalos sucessivos possam ser admitidos con corre

laçao nula entre si. Admite-se ainda nue, durante cada intervalo

elementar, a ação tenha valor constante e igual ao seu máximo.Nes

te modelo pode-se tratar como ações distintas, nue pertençam a no

pulaçÕes estatísticas diferentes. Para ações de elevado caráter

intermitente, deve-se introduzir parâmetros nue possam considerar

• medir esta intermitência.

Neste capitulo apresenta-se o modelo de Ferry Borges e

Cattanheta em vistas ã aplicações específicas desta dissertação .

Introduz-se também conceitos e simplificações rue se assentam so

bre outros autores como Silva Leme, Zagottis, RacJrwitz-Pussler e

Turkstra.

(18,19)3.3 0 Modelo de Ferry Borges e Castanheta

3.3.1 Teoria estatística das estruturas

A partir da formulação do problema básico da se

furança estrutural, o cálculo da probabilidade de ruína é baseadon« distribuição estatística das cargas e resistências. A cada es

-22-

tado último de ruptura ou disfunção corresponde uma distribuição

estatística que representa a probabilidade deste estado último !

ser atingido para um dado valor das ações. Fsta distribuição es ]

tatística deve incluir todos os dados nertinentes ao comnortarren \

to estrutural deste estado último. A definição desta nrobabilid<a

de estatística do comportamento estrutural é um nrohlema básico.

Em principio, esta distribuição pode. ser obtida de duas naneiras:

experimental ou analiticamente. Ê claro nue a determinação expe

rinental demanda a observação de uma população de estruturas si

rtilares, de onde se pode estimar os parâr.etros estatísticos. Ana

liticamente, a teoria estatística das estuturas procura levantar

estes parâmetros através das distribuições estatísticas das cro

nriedades mecânicas dos materiais e das dimensões dos elementos.

Até ao presente os resultados ainda são limitados. Mas um modo

simplificado de se estimar as distribuições que representam o

comportamento estrutural consiste em tomar um valor de referên

cia e admitir que a distribuição seja de um determinado tipo. U

suelmente as teorias deterministicas rocen ser usadas para trans»

formar as características mecânicas dos elementos ent caracterís

ticas do comportamento da estrutura.

Uma teoria das estruturas com bases estatísti

cas vai procurar relacionar a aleatoriedade das dimensões e pro

oriedades mecânicas dor materiais com a aleatoriedade do compor

tamento estrutural. Em uma definição determinística as nroprieda

des mecânicas dos materiais como, por exemplo, a tensão de ruptu

ra (â compressão ou tração), são descritas por uma única varia

vel. Mas no modelo probabilístico temos uma função de distribui

çio destas variáveis que indica a probabilidade de se obter rug

tura para vários valores. Assim a relação tensão/deformação de

um material é definida por um conjunto de funções e não por uma

•ô função. Veja figura 3.1.

-23-

1 P U - tp/»fl>

'O "p<« < V

Figura 3.1 - Gráfico tensão/deformação probabilistico.

Na verdade, o conceito de resistência de um material já sofreu uma evolução tal que hoje não se admite oue a reslstência seja uma propriedade intrínseca da matéria. A resistênd a , passa a ser vista, conto um atributo do corpo, dependendo domaterial, mas das dimensões e das distribuições de tensões no interior do corpo também. Assim é oue fica claro a necessidade daintrodução de una abordagem probabillstica, mesmo ao nível da reslstência mecânica dos materiais, quanto mais ao nível do conwo£

tamento estrutural. Conferir trabalho de Silva Leme (46)

Quando se estabelece a relação tensão/deformaçãode um material acaba-se obtendo duas distribuições estatísticas .Uma indica a probabilidade de se obter tensões menores oue a ©ara um dado valor de deformação íQ, ou seja pG 4 ã^jt^). A outraindica a probabilidade de se obter deformações menores eme éQ nara um valor de tensão õQ , ou seja pit 4 éo/9).

V e 1 a a figura3.1.

-24-

Ferry Forges e Castanheta ' propõem um método

para associar elementos cue possuam una definição estatística das

propriedades mecânicas. Desprezando a variação das dimensões a

fim de simplificar o problema, ê possível, nor fim, ohter una disç

tribuição estatística dos valores das resistências das estruturas.

3.3.2 ConMr.a«-io das ações

3.3.2.1 Introducio

O cálculo da r-rohahilidade de ruína cuan

do ação e resistência são ambas definidas por uma única variável

pode ser feito pela expressão (2.14) do capitulo anterior. A gene

ralização para o caso de várias ações agindo simultaneamente en

volve o estudo estatístico da combinação dos vários tipos de

ações. Assim já não é suficiente considerar o valor máximo de ca

âa ação, mas é necessário levar em conta a variação das ações coro

o passar do tempo. E de fato, a solução do rroblema sob a nersr»e£

tiva probabilística implica em uma descrição do processo cstocás

tico definindo a variação no tempo de cada ação. No entanto, sim

plificações são necessárias para a obtenção de soluções práticas.

No modelo de Ferry Forges e Castanheta,

não só várias ações são consideradas, mas também a resistência da

estrutura é expressa por várias variáveis. E realmente é importan

te a formulação de uma teoria que leve em conta a combinaçêo de

várias ações. Isto poroue, os fatores de carga adotados atualmen

te que procuram levar err. conta a combinação das cargas são mera

mente intuitivos e freqüentemente falhos.

No modelo de Ferry Porges e Castanheta

os seguintes aspectos serão levados cm conta no estudo das comM

nações de ações:

1. a definição estatística das ações;

2. a variação no tempo, no espaço e de estrutura para es

trutura;

3. a transformação da distribuição estatística das cargas

-25-

em distribuições estatísticas dos esforços solicitantes:

4. a distribuirão estatística da resistência exnressa nor

várias variáveis;

5. o cálculo da nrobabilidade de ruína.

3.3.2.2 Variação no tenro

A variarão no tenro denerde suhstatí

cialmente do tipo de ação ert ouestão. Para as cargas oermanentes

(veja uma definição de cargas permanentes, variáveis e excepcio-

nais, no Item 5.2.2.2)a variação no tcnpo geralmente pode ser

desprezada, apesar de que realmente ocorra uma variação devido

â corrosão ou outro fenômeno semelhante. Assim a distribuição es

tatlstica das cargas permanentes deprnde basicamente da distri

buiçâo estatística das dimensões e da massa especifica dos ele

«tentos da estrutura. Para as cargas variáveis i possível admitir

-se variações drásticas, de modo independente uma das outras, ao

longo da vida das estruturas. Para as cargas excepcionais, como

terremotos, choques, explosões, etc, há rue se considerar a sua

abrupta variação de não atuante para atuante e vice versa.

3.3.2.3 Intervalos elementares de tempo

Para se considerar a variação no tem

po dos diferentes tipos de carga, imagina-se intervalos elementa

res de tempo. Admite-se mie durante estes intervalos a intensida

de da carga seja constante e igual à seu máximo. Admite-se tan

bem que as intensidades das cargas em intervalos sucessivos se

jam independentes (con correlação nula entre si). Note-se cue de

um lado ten-se a hipótese de independência para o valor máximo

•ntre intervalos sucessivos levando a defini-los relativarentr

longos e por outro, a hipótese de valor constante da ação duran

te cada intervalo,levando a defini-los o mais curto nosslvel. Ma

escolha dos intervalos deve-se compatibilizar, dentro do possíI

vel, as duas hipóteses com vistas às finalidades orática*.I

A tabela 3.1 abaixo indica a duração

?550

50

aX

X

c1O3

iofi

-26-

usual de alguns intervalos elementares nara alguns tipos de car

gas en edifícios e o total de repetições inde»endent*»s nara uwa

vida de 50 anos da estrutura, aqui apresentada à titulo de ilus

tração* .

Duração do Número de Reretições

Ação Intervalo Elementar Irdependentes

Permanente 50 anos

Carga de utili

zação era edifl

cios 2 a 10 anos

Ventos 1 hora

Fismos . 30 s

Tabela 3.1 - Ilustração de valores de repetição para as car

gas.

3.3.2.4 Combinação Probabilistica das cargas

Considere-se uma estrutura sob diferen

tes tipos de cargas definidas pelo vetor £ com componentes s,,S 2 ' S 3 ' * * * ' S * ° número de repetições independentes de cada

uma das cargas durante a vida da estrutura é r^ < r, < r- .•. r

respectivamente. A condição r^ * 1 significa mie s^ é uma carga

permanente.

Peja um domínio de variação de P em

Rn definido pelos limites s\ < s^ <s!'. Durante um intervalo e

lementar de tempo a probabilidade da carga se recai neste domj^

nio é P j (s*1) - F± (sj); onde F(P) é a distribuição estatística

da aleatoriedade das cargas, e sua derivada, a densidade de pro

habilidade» é í(s). Be o domínio é elementar esta probabilidade

pode ser expressa por dFi (si). A probabilidade da carga s^ re

cair fora deste domínio é

1 - Fx <sj»> - FA (sj) (3.O

Elementarmente temos i 1 - dF. (s.). (3.7)

-27-

De acordo com a suposição de indenendência das cargas em intervalos sucessivos.

•(1 - CF± (Sj ) - PjL ( sp) i

representa a probabilidade da carga periranocer fora do intervalo

para r. repetições; isto é, de não ocorrer durante a vida da es

trutura.

Finalmente

r i

(3.8)

representa- a probabilidade da carga s. recair no domínios* < s <s'* ao menos uma vez durante a vida da estrutura. Paraun domínio elementar

dP r i (s^ « 1 - (1 - cFi (si))ri (3.9)

Se o número de repetições independentesr, e o mesmo para diversos tipos de cargas s. ... s. , a nrobaMlidade da carga recair ao nenos uma vez no domínio

4 si k

r i,Jc * j»l j sj j kSj

(3.10)

Para um domínio elementar

dPr («j , . . . f sk) - 1 - (1 - jjx d P ^ í ^ ) ) ' (3.11)

Fe o número de repetições não é o ir.es•o para os diferentes tipos de cargas a expressão acima pode ser9*neralizada para

'ri ... rn Wl l i

[ r vi r 2 / r i \

i - ( P 2 ( s j ' ) ) ( i - I i - ( F J Í S ^ 1 ) - F 3 ( « ; ) ) ( . . . ) | r 3 / r 2 )

|

-28-

para o domínio elementar

dF (s) » 1 - 1 - dF1(s1) (1 -

r3 / r2

. i3i — -M. - -M. — v»* i to. , i* 1 — dF- (s«) (1 —rx ... rn A I / /

(3.13)

I-, função ciF . (s) covo cefinicak ri ... rnacima indica a probabilidade de o vetor de cargas s recair nc

domínio d , ao menos una vez durante a vida da estrutura,si ... sn _mas não deve ser entendida come a função densidade.

Em regiões de especial interesse para

o projeto de estruturas, onde as probabilidades das cargas são

baixas n expressão pode ser aproximada por:

dPrn

..arn fl

fi í si } dsi

fr (sn) dsl...sn =

(3.14)

3.3.2.5 Transformação de cargas em esforços

solicitantes

A probabilidade de falha em uma estrutu

ra ou em um de seus elementos é cormutada por meio de uma in te

gral de convoluçâo entre a distribuição estatística das cargas e

a distribuição estatística das resistências. Por isto, tanto as

cargas quanto as resistências têm mie ser expressas por variáveis

comuns.

conUma maneira de tratar o problema

siste em transformar as cargas I s| em esforços solicitantes 0^

de componentes a. e expressar a resistência pelo vetor ( ü| de con

Ponentes^uA tembém em termos de esforços solicitantes. Isto é con

veniente já mie as resistências das estruturas podem ser facilren

te expressas em termos de esforços solicitantes. Cada um dos veto

-29-

res (Q\ e lul referem-se a uma mesma seção de um elemento da

estrutura e que no caso geral possue seis componentes: uma força

axial, duas forças cortantes, dois momentos fletores e un momento

torçor. Esta noção de esforços solicitantes node ser generalizada

pela consideração simultânea de mais de uma secção.

Para o caso no rual a relação entre car

gas e esforços solicitantes é linear, é possível admitir a exís

tência de uma matriz de transformação:

n (3.15)

sendo "m" e "n" o número de componentes dos vetores de esforço?

solicitantes e de cargas, respectivamente.

O problema ê obter-se a distribuição es

tatlstica dos esforços solicitantes er> função da distribuição das

cargas. A função densidade das cargas é f(s) dsl ••• dgp ,aue in

dica a densidade de Drobabilidade do vetor recair ao menos uma

vez em um volume elementar d . ... d , durante a vida da estru

tura.

Para o caso de n • m a relação entre

distribuiçces é ( 1 9 ) :

* (<J* ... q_) do. ... dq • f(s*sc ç« + ... + c« q , ... ,

•» • c n l c l + '•• + cnn V , J "! d « l ••• dcTnn

(3.16)

onde I c I é a inversa de A I e seus elementos são c.. ... c. ,

0 valor do jacobiano é

"• " í. '. i

Quando n < m, temos

V i = an+l, sl

% m aml sl

m 1*1

nl nn

aln sn

+ ann sn

* an+l,r ' sn

+ an+l,n ' sn ^

Invertendo a matriz quadrada n x n, temos

-30-

(3.17)

•f CIn

nl

Vi n4i,n

onde c ,, . é obtido pela substituição de B em A.n*^ x / j • '

A função densidade de esforços solieltantes fica

- 3 1 -

f l s l * c l l ^ 1 + • • ' + c l n ° n * • • '

c n l « 1 + • " c n n «n> " ^ d q l "•• d a n

sendo

,n °n

%i ~ Cn»l q l . • • c r o n q ^( 3 . 2 0 )

t e n > n

qx • a n s x • • . . . + a l n s n + &ln s p + 1 + a l n s n

0 = a s + . . . + a s + a i s « + . . . + a sTti m l 1 mn n iri/in+l w+1 mn n

(3.21)

Invertendo a matriz I A I ro x nI A I

l 1 1 - 1 lm -m 1 / n + l n+1 In n

•« * clm a-l + •- + cnm % + cn,m+l sn+l * "• + Sm, *n

( 3 . 2 2 )

##* dqn * \ f(sl " cll ^1 + "• + cnn sn " "

• • " c lm « l + - • + cmn 8 n } d s n + l " • d s n "J" d f T l • - dcTn

(3.23)

-32-

Para o caso de um comportamento não li

near entre cargas e esforços solicitantes é nosslvel utilizar-se

fatores de correção anlicados aos elerentos da matriz de transfor

inação |A"~| . Estes coeficientes devem ser discutidos em cada caso,

no entanto, os fatores de ductilidade dos materiais em cuestão

podem ser utilizados como tais coeficientes cr?, muitos casos.

De modo geral podercs dizer rrue já há(191ura teoria suficienter.ente desenvolvida mie procura levar em

conta a variação das dimensões dos eler.entos e das propriedades

mecânicas dos materiais na relação estatística entre cargas e

esforços solicitantes. Fsta transformação de cargas em esforços

solicitantes pode permanecer linear nesno rara relações estatlsti^

cas. Isto é feito pela associação de una função de distribuição ã

cada elemento de transformação da matriz f*A 1 . No caso mais geral

a transformação pode ser não-linear.

Ainda de modo geral podemos afirnar due

a aleatoriedade das cargas predomina sobre a aleatoriedade do com

portamento estrutural e a sua consideração pouco influência o re

sultado final. Tomá-la em consideração provoca um neoueno aumento

da dispersão dos esforços solicitantes.

3.3.2.6 Probabilidade de ruína para combinação

de cargas

Por definição, a ruína ocorre quando os

esforços solicitantes correspondentes ãs cargas excedem os esfor

cos solicitantes definidos como condição de ruína. Se estas quan

tidades são consideradas independentes, a probabilidade de ruína

c dada pela integral

í <7n) FR (ul "• V dt?l

(3.24)

ove admite que todos os esforços solicitantes se influenciem e de

terminem a condição de ruína, fazendo una varredura por todas as

-33-

combinações possíveis. Em muitos casos é possível simplificar es

ta integral, levando em conta somente alguns esforços solicitar»

tes, ou pelo menos em grupos separadamente. Fm uma barra primâsti

ca, por exemplo, ê possível considerar os nonentos fletor e for

ças axiais juntos, e depois as forças cortantes e monento torçor.

COITO na condição de ruína u. e c. coin

cidem, então podemos escrever:

f (a- ... cr ) F (cf. ... cr ) òn. ... de

(3.25)

Observe-se mie de acordo com a defini

cio f (q^'... q ) ê a densidade de probabilidade do vetor ío\ re

cair no volume elementar do. ... do ao menos uma vez durante a1 *n

vida da estrutura. De forma que a nossibilidade de ruínas repetjL

das durante a vida da estrutura não ê levada em conta.

A integral anterior deve ser estendida

para todo o espaço R .Entretanto, de fato, o produto f . P_ rxpn * s K • ~~

cisa ser computado somente na região onde atinge valores signify

cativos, ou seja em torno da intersecção de duas distribuições.

3.4 O Algorítimo de RacV.witz-Fiessler

Observa-se que no modelo de Ferry Forges e Castanheta ,

« combinação das ações fica simplificada no caso das distribujL

ÇÕes serem normais. As densidades de probabilidades das combina

ções das ações e também as integrais de convolucão são multo mais

facilmente calculadas ouando só se tên distribuições normals. Ape

M r de que no geral as distribuições normal» não são realmente

adequadas para a idealização das cargas variáveis, Rackwitz-Fiess

ler propõe um algorítimo para substituir outras distribuições por

distribuições normais.

A técnica consiste na substituição de ura função de

distribuição P e de densidade f por uma distribuição normal que

*pr*sente o mesmo valor em um dado ponto escolhido x. Para a dis

tribuição normal tem-se a média e o desvio padrão dados por:

-34-

<F<x)>

/ f(x)

onde $ e • sãc a função de distribuição e função densidade recu

zidas da distribuição normal, respectivamente.

Considere-se o cálculo da função distribuição da serra

x, (t) e x2 (t) em um certo z. Toma-se un par (x, , x2) tal rue

x, + x2 » z. As distribuições de Xj <t) e x2 (t) são anroximadas

nos pontos x, e x_ pelas distribuições normais dadas pelas expre£

soes com parâmetros (y., o.) e (v2 r o 2). Assim a função d is;

tribuição da soma tem o seu valor aproximado, no ponto z, pela eis

tribuição <3e parâmetros p = p, + p. e o ** o? + oZ , que são

função dex. e x2 escolhidos.

Em uma segunda aproximação, uir novo par de valores 5 es_

colhido na reta x. + x- = 2 , de modo que o produto das funções

densidade de probabilidade normais (u. , o.) e (ti. , o_) seja rã

ximo. O novo par de pontos fica

onde

etio22

Repete-se o procedimento até que a diferença entre os

icsultados consecutivos seja considerada peruana, f possível <?e

neralizar para z(t) - x. (t) + x, (t) + ... + x (t). (6)

3.5 A Regra de Turkstra(6)

Trata-se de uma simplificação:admite-se nuc o valor má

da soma de vários processos estocásticos ocorra em um ins

era que há a ocorrência do valor máximo de um dos nrocessos

•«volvidos.Batista* ' fornece expressões mie permitem estimar oy«lor da soma de várias ações, para uma dac'a probabilidade de

-35-

ocorrência, utilizando a regra Turkstra. A siraplificacão de Tur

kstra mostra-se consistente cor. uma abordagem nrobahilística ri

çorosa .

-36-

CA°ITÜLO 4

4. O VASO DF PRESFÃO |

4.1 Introdução \

Vasos de pressão são estruturas hermoticarter.te fechadas

sujeitas a cargas de pressão significativas, usualmente incerr.as.

Possuem as mais variadas formas geométricas, como esferas, cilin ;

dros, elipsóides, ou alguna composição destas. Podem ser consti ;

tuidos de vários tipos de materiais, sendo o mais usual o aço.Suas

aplicações são diversas. FuHnarinos e naves pspaciais, reservató

rios utilizados na indústria çuluica e petrolífera bem como o ra

so de pressão usado em ura usina nuclear, são exemplos destas a

plicações.

Os vasos de pressão sujeitos a condições mais severas

de funcionamento estão submetidos ã tensões provenientes da pres

são, temperatura, peso próprio, impactos físicos, envolvendo fenô

menos como a fadiga, a deformação lenta e variações abruntas da

secção. Além disto eventualmente há interferência significativa

do meio ambiente no coir.nortamento do material. No caso nuclear, a

radiação altera de modo sensível as propriedades e comportamento

dos materiais constituintes.

Assim, é bastante complexo o trabalho envolvido no pro

Jeto de vasos de pressão. De fato, este projeto hã de considerar

çue usualmente os vasos vão precisar suportar grandes pressões e

eventualmente possuirão grandes diâmetros. Além disto, o projeto

há de levar em conta tanhrn a necessidade de redução do peso a

fim de poupar material, de redução dos custos de fabricação e fa

cilidade de fabricação e transporte. Isto tudo leva a utilização

6t tensões de trabalho elevadas, bem como a utilização de mate

*iais de alta resistência. 0 projetista procura obter um vaso de

9*ande confiabilidade, mas com pouco peso. Isto só é possível com

• acurado conhecimento do comportamento dos materiais envolvi

*°». Assim é bem justificável todo esforço de aprimoramento dos

••todos de cálculo estrutural de vasos de nressão.

4.2 O Vaso de Pressão Nuclear

fVárias descobertas cientificas, sobretudo a nartir ít

século nassado e inicio deste, produzirair un conhecimento <?o áto

no tal, que permitiu our cs alemães Fain e rtrassman, r»m 1°38,Í:?

sionassen» pela primeira vez o urânio nor meio de hon^ardeamer.to

con neutrons. Em 1942, Fr.ríco Fermi conseguiu colocar em funcicr.a

mento o primeiro reator nuclear na Universidade de Chicago. ~r

1955 já tínhamos um reator nuclear produzirão energia elétrica

Desde lâ verifica-se o crescimento do uso da energia nuclear €~

todo o planeta. De fato, em fins de 1982 haviam 791 reatores ce

potência e» operação produzindo um total de 173.039 MWe? e ests

van em construção 216 outros reatores com notência prevista ce

, 204.780 MWe, além dos reatores de pesquisa . Todos estes rea

tores de potência utilizam vasos de pressão de vários tipos para

o seu funcionamento. Assir, um dos usos mais importantes dos va

sos de pressão é exatamente o uso nuclear. Fm uma central central,

o vaso de pressão abriga o reator nuclear, sendo uma parte inte

çrante <2o chamado "circuito primário" da central.

Os reatores presentemente em uso, e provavelmente os

que entrarem em funcionamento até ao fim do século, são todos de

fissão nuclear; ou seja são reatores cue derivam sua energia da

fissão (quebra) de núcleos de átomos pesados. 0 Departamento de

Energia norte-americano prevê que só no próximo século um reator

de fusão comercial será acessível, ou seja um reator true aprovei^

ta a energia liberada pela combinação de dois núcleos de átomos

leves . Os reatores de fissão podem ser de vários tinos. Va

riam no seu material combutível, no tipo de refrigerante que en

• pregam, no tipo de moderador e no tino de refletor que utilizam .

0» reatores nucleares para a orodução de energia elétrica são :

gretfiurized Water Reactor (PttR), Boiling Kater Reactor (BWR),Fast

Breeder Reactor (PnR), Heavy Water Reactor (HWR), Gas Cooled Reac

l2£ (GCR), Molten Salt Preeder Reactor (MSBR), entre outrosTXJJ

4.3 O Vaso de Pressão do PWR

Há dois tipos -rincipais de reatores de água leve, o

e o PU. Sua principal diferença é a pressão de oneração do

-38-

tío refrigerante - o P%*R opera a cerca de lf MPa e o PV& a cerca de

7 MPa. Os reatores do tipo PV?R são os riais utilizados atuainente.

EB fins de 1982 representavam 56.5% dos reatores er> operação e- 1401€6,0% co3 reatores ert construção . No Prasil, os reatores *n

ora I e II são do tipo PVR.

Todos os reatores âo tino P"**R utilizam vasos «3e nressão

de aço como continente do núcleo do reator e do refrigerante do

primário. Estes vasos deven poder surortar altas pressões e irrja

diação neutrenica ao longo de toda a sua vida, não só soh normais

nas tansbêm sob condições de acidentes hipoteticamente postulados.

O vaso de pressão dos reatores PKR nossue um corno cilíndrico,urra

tartpa inferior henisfirica soldada ao corpo e uma tampa superior,

também hemisfêrica, flangeada ao corpo principal. 0 vaso é cons

titnido de aço de baixo carbono. E as partes que devem operar er.

conta et o direto com água são revestidas com uma camada de pelo me

nos 1/8" de espessura de aço inoxidável austenítico. O vaso de

pressão dos reatores Pl-?R, quando em terra firme, fica anoiado so

bre os tubos de entrada e salda do refrigerante. O apoio na parte

inferior do vaso é evitado para não haver restrição ã dilatação .

Na parte inferior do vaso não hã qualquer abertura, de forma oue

no caso de um acidente com perda de refrigerante, a acua dentro

do vaso não se esgota. Os tubos de entrada e salda do refrigerar

te fican acima do nível interno da água. E a água refrigerante é

forçada a circular por todo o vaso devido a presença do "core bar

rei", passando pelos elementos combustíveis de baixo nara cima.Ve

ja figuras e tabelas adiante.

TABELA 4.1 - Valores Típicos das Dimensões de um Vaso de Pressão

PV'R com 4 Loops.

Altura total do vaso completo 13770mm

Diãrretro interno 4390mm

Espessura da parede oposta ao "core" 215ir.m

Espessura da parede ro "flange" 500mm

Espessura nominal do encamisamento firm

Diâmetro interno da abertura de entrada 700mm

Diâmetro interno da abertura de salda 74flmm

Número de Parafuso de fechamento 54mn

Diâmetro dos parafusos de fechamento 173mm

Peso do vaso seco 4348O0k<r

-39-

TABELA 4.2 - Valores Típicos de Operação de um Vaso de Pres

são coro 4 loops.

Pressão normal de operação 15.98 MPa

Pressão de nrcjeto 17.13 MPa

Pressão hidráulica inicial 21.42 MPa

Temneratura normal de operação de entrada 2B89 C

Temperatura normal de operação de salda 3279 C

Temperatura de projeto 3439 C

Temperatura sem carga 2929 C

Vida projetada 40 anos com 80%

de fator de carga

4. 4 Os Métodos Tradicionais de Cálculo de Vasos de Pressãosão<2,26,28,36,48)

O cálculo estrutural de vasos de pressão até ao presen

te momento tem sido feito utilizando-se basicamente de uma aborda

gem determinlstica. Pão empregadas exnressões analíticas oue se

baseiam na teoria da elasticidade. E fica admitido o comnortamen

to elástico dos materiais, tomando-se como verdadeira a lei de

Hooke. Eventuais plastificações localizadas são admitidas e suas

implicações para a segurança levadas em conta. Usualmente admite*

se que as cargas sejam estaticamente aplicadas ao vaso, o cue cer

tamente não corresponde sempre â realidade. 0 material é conside

rado cono dúctil e capaz de permitir uma redistrihuições de ten

•ões localizadas. Devido às características cíclicas de muitas das

ações a que ficam sujeitos muitos vasos de pressão, a verificação

à fadiga acaba desempenhando, em muitos casos, papel primordial ,

tornando-se mesmo, eventualmente, no fator mais determinate. 0

cálculo de vasos de pressão, hoje, leva em conta com muito rigor

as chamadas cargas excepcionais: terremotos, explosões, colisões

sobre a estrutura, etc.

A questão das tensões localizadas é considerada com

cuidado. Verificações adicionais são feitas nos ponton de aplica

ção das cargas, nos pontos de descontinuidade da estrutura, nas

aberturas, etc, que são pontos onde eventualmente desenvolvem

se tensões localizadas. As tensões residuais, ou seja anuelas pro

-40-

venientes do próprio processo de fabricação do aço, usualmente

não são levadas ei? conta» embora possam chegar a ser importantes,

sobretudo em vasos constituídos de aços mais quehradiços ("brit

tie")- As expressões empregadas no cálculo estrutural de vasos de

rressão adr.item que as secções permaneçam planas durante e a^ós

a anlicação das ações, o cue nem sempre ê verdade. Assim esta fon

te de tensões localizadas não é levada em conta.

Os vasos de pressão de uso nuclear freouentpmente m s

suem dimensões tais eme, permitem que se considerem como solicit^

ções internas predominantes as chamadas tensões de membrana. Ou

seja, a espessura do vaso é suficientemente pequena em relação

as dereais dimensões, para poder-se supor eme sua parede comport£

se corao una membrana. F o vaso só desenvolve pecuenas tensões ã

flexio e acaba possuindo altas resistências ã forças no plano da

parede, do vaso. Chama-se "tensão de nembrana" â tensão calculada

sem se levar em conta a flexio. E de fato é bem desejável aue a

parede do vaso possua características de membrana, permitindo a^

sim deformações da parede sem provocar grandes tensões de flexio.

üjra formulação geral que permite calcular a tensão de membrana em

qualquer ponto do vaso sob pressão, em função da esnessura da na_

rede, dos raios de curvatura e da pressão, está acessível na lite

ratura especializada. Veja por exemplo1 . Ainda ê possível com

por a tensão de membrana com tensões de outras naturezas, como as

tensões térmicas. Estas podem ser calculadas a partir das diferen

ças de temperatura envolvidas, do módulo de elasticidade do mate

rial (E) e do neu coeficiente de dilatação térmica (o) .A cerr

posição das tensões de várias origens permite um estudo completo

das concentrações de tensões e uma boa análise do comportamento

estrutural.

Nos Fstados Unidos o projeto de vasos de pressão de rea

tores do tipo PWl e !>v?R está normalizado pela AFMF Poller and

Pressure Vessel Code * , na sua secção III. 0 parágrafo *?P 1112

especifica uni conjunto de cargas, nressão, temperatura, cargas me

cânicas, para o projeto. As cargas são projetadas em vários ní_

veis de ooeraçao do reator: A, R, C e D, crue correspondem aos se

guintes estados respectivamente: normal, excepciona1,emergência ,

falta de condições ademiadas. Vários tipos de acidentes são nostu

lados e o vaso deve ser capaz de resistir os impactos nrovocaãos

pelos gradientes de temneratura e pressão associados à estes

-41-

dentes.

Uma vez admitida as condições de operação a norr»a espe

clfica a análise de tensões em dois níveis. O primeiro rstáaio ocn_

siste na análise da tensão quando se supõe não haja defeitos es

truturais no vaso. As tensões obtidas devem ser consistentes com

os limites do "stress intensity" (intensidade de tensão), deriva

dos das propriedades mecânicas do raterial. Veja NP 3000 . 0 se

gundo estagio é a verificação da integridade do vaso caso haja

uma falha na estrutura. 0 apêndice G da ASMF III - Protection

Againrt Non-Ductile Failure - especifica uma fissura padrão para

esta verificação: uma fissura na direção da máxima tensão de pro

fund idade 0.25 vezes a espessura da secção e de comprimento de

1.5 vezes a espessura da secção.

A intensidade de tensão é calculado a partir das ten

soes que ocorrem no vaso, sendo uma composição de:

1. tensão primaria:

i. tensão de membrana primária geral;

ii. tensão de nembrana primária local;

iii. tensão ã flexão primária.

2. tensão secundária

3. tensão de pico.

A tensão primária é acuela cue surqe para fazer frente

às forças e momentos aplicados ao vaso, e garantir assim o equi

llbrio. Não i uma tensão auto-1 imitada r não diminui com o escoa

mento do aço. Tanto os momentos fletores, cuanto as tensões de

membrana e local são exemplos desta categoria. A tensão secunda

ria é a tensão mie surge devido ã auto-restrição da estrutura ou

restrição imposta por um material adjacente. Trata-se de uma ten

são auto-limitada e que se esvanece com o escoamento. As tensões

térmicas, as tensões devido aos more ritos fletores em pontos de

grande discontinuidade estrutural são exemplos da tensão secunda

ria. A tensão de pico é a tensão comnletnentar nue se soma â ten

são primária e secundária, e cue surge dp descontinuidades loca

llzadas e tensões térmicas localizadas o inclui tanbén» o efeito

-42-

de concentração de tensões. Nio causa grandes distorções, mas ro

de ser importante no estudo da fadiga. Una detalhada exnosicão da

cálculo do "stress intensity" pode ser ercontrada no artigo NP

:<o artigo NP 3222.4 faz-se a r.ornalizacao da verificaçib

das tensões cíclicas causadoras da fadica. As normas da Facção HI

da APMF Roiler and Pressure Vessel Code são frecmentert^nte re£

peitadas nesmo para vasos de pressão projetados e fabricados fora

dos Estados Unidos.

ti-

I--4.f

-43-

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600-

400 L

ISSO

Figura 4.1 - Crescimento da experiência de operação de vasosde pressão de reatores de água leve.

Extraído de Marshall,M.J(ed) - An assessment of the integrity

of rVT* pressure vessels, fig. 2.

;4

Figura 4.2 - Secção transversal de uma Central VVR típica

Fxtraldo de CINTRA F9, J.F. - Fngcnharja NucJ.pnr TT , nag. (13)

- 4 5 -

Control roddriv? she'*»

Liftinrj lug

Deep boomweldinent

Upper supportplato interneis

Support

Core barrel

Upperco

Closure hcssenbly

ippcr support-—- CM-/5J?<Í-"Í!Í::•£>-• (s§ i>J

utlet nozzle-- Vf^í ' .1^?^ ^ ^ ^ ^ V

Upper core plcte

RecciOr vessel

Bottom supportforging

Lower in&trurr.er.tctionguide tube

Core supportcolumns

Rcá cluster centrei(withdrawn)

In!e: no22!<?

Fue! csscrr.bííesecffleFormerLower cere picte

Irrcdictionspecimen

Neutron shield pcd

Rcdicl supper t

Tie pistes

Figura 4.3 - Corte longitudinal do vaso e seus componentes

internos.

Extraído de Marshall, VT. (ed) - An assessment of the integri ty

o f PWR p r e s s u r e v e s s e l s , f i g . 2 . 4 * .

- 4 6 - .

n::* ,

Vessel support pcd — (•

V nozz'.es (A) [•

>Pi*-»V

ISO* ±ALO>.'^ \u- -4-g» n tn

Nczsle crientciicn

Figura 4.4 - o vaso de nrescão PV7R com 4 . "Loons" (dimensões

em mm).

Extraído de Marshall, v. (ed) - An assessment of the integrity

of PV?R pressure vessels, fiq. 2.Si3f). ~"

-47-

Stecm çer.erclcr

Reccícr coclcnt purr.p

Pressuriser

Figura 4.5 - Diagrama simplificado de um sistema nuclear de

gerador de vapor com 4 loops.

Extraído de Marshall, V. (ed) - An assessment of the integrity

of PKR pressure vessels, fig. 2.3 .

-48-

CAPITULQ 5

5. ACÕFS E RFPIfTFKCIflP ASFOCIADAS A VAFOf OF PRFPFÃO W C

5.1 Distribuições Estatísticas nara a Descrição das Ações

e Resistências»

Dois tiros C!P distribuições especiais têm sido ^

te associadas com SUCPSSO as funções de densidade de nrobabilida

de das ações e resistências: a distribuição normal e as distribui

ções de extremos.

A distribuição normal é assintoticamente obtida quando

a variável aleatória em questão ê composta pela adição de várias

outras variáveis aleatórias, mesmo que estas não possuan distri

buição normal (teorema do limite central). Assim temos a função

distribuição

NPXD

(x - x ) 2

2 a2(5.1)

E a sua derivada, a função densidade

fN (x, =2it

exp2 a'

- x ) 2

(5.2)

Vê-se que a distribuição normal é definida nelos parâmetros x ,va

lor médio, e c , variâncin

A distribuição menos usada, mas de grande interesse é

a distribuição log-normal. Uma variável aleatória terá uma distri

buição log-normal quando o log ar 1 tiro dessa variável possuir distri

buição normal. Assim

-49-

LN/ - X

exn - ln <*/*> dx (5.3)

LN

onde

2n a xexp

lr (x/P)2

2 a'

(5.4)

a

In B

'lnx

llnx

As distribuições de extremos correspondem a distribui

ções de valores mínimos e máximos nue são obtidos em condições ban

gerais. Gumbel classificou as distribuições de extremos em

três tipos e especificou suas propriedades. As distribuições cue

interessam ãs questões de segurança são:

a) Distribuição de Extremos Tipo I (máxima) a distribuição é

dada nor

í-V-

Px (x) exp - exp (- a (x - x) 1 (5.5)

fT (x) » a exp - o (x - x) - exn (- o (x - x)) (5.

válidas rara - « < x < + « , o > 0 é uma medida de dis

pérsio e x a moda da distribuição.

b) Distribuição de Fxtremo Tipo I (mlnina)

PT (x) •* 1 - exp - exn o (x - x) (5.7)

, • -Al.'fi !

I

-50-

fT (x) = a exp a (x - x) - exo a (x - x)

válidos para - » < > : <

é uma medida da clisnersSo.

• . Onde x é a moda

(5 .8 )

a > 0

c} D i s t r i b u i ç ã o de Fxtremos Tipo TT (mãxina)

— exr> - (Yx)

( X ) - (P+Dexp

- 8

v a l i d o s p a r a fi>0,x>0 c k > 0 .

5.I")

Os parâmetros k e 6 poden ser deterninados a partir da rnn

dia e desvio padrão da distribuição. As distribuições tino

II podem ser transformadas em tipo I e vice-versa por uma

transformação de variáveis. A relação que existe entre an

distribuições tipos II e I é a mesma oue exjste entre as

distribuições log-normal e normal.

d) Distribuição de Fxtremos Tiro III (mínima)

1 - exn (5.11)

k - e Y - ek , e•y - e

(5.1?)

válidos para x > e / B > 0 , k > e > 0 .

Tsta dintribuição foi introduzida por Weihull e ror isto

é conhecida pelo sru nome. />. determinação dos parãnetros c

Y, f. vem do conhecimento da média, do desvio-nadrão e do

-51-

coeficiente de assimetria da distribuição. As expressões

oue relacionam os parâmetros de todas estas distribuições

ao valor médio, desvio nadrão e coeficiente de assimetria

(no caso de distribuição de V'eibull) estão indicadas en

apêndice).

As distribuições de extremos de mâxirto nodem ser usadas "«a

ra expressar cargas e as distribuições de extremos de mi-i^

mo para expressar resistências. As distribuições normal e

log-nornal podem ser usadas tanto nara cargas ou ar. to rara

resistências.

$ 5.2

I5.2.1 Introdução

Definimos anteriormente ações como nualouer in

fluência ou conjunto de influências capazes de produzir estados

de tensão em uma estrutura. Resta-nos organizar estas ações e as

sociar a elas distribuições de probabilidades e o número de

tições independentes r. para a aplicação no modelo de Ferry

Borges e Castanheta*18'1**.

|; Por ouestões de simplicidade e praticídade ê

i preciso associar um grupo de forças, tratando-o como uma única

í ação. f certo mie tal procedimento deve ser realizado com o dev^

* do cuidado de não comprometer o estudo da combinação das ações

Quando se agrupa um subconjunto de forças, considerando-o como

uma única ação, tais forças não mais serão consideradas variando

independentemente entre si. Mas, certamente em muitos casos este

agrupamento de forças sõ traz vantagens, por exemplo, poder.os

< agrupar em uma única ação o peso próprio de todo o vaso de rre£

>, são, ao invés de estudar o peso de cada uma das suas nartes sera

£• radamente.

5.2.2 Classificação das ações

5.2.2.1 Quanto a natureza das ações

-52-

Tndispensãvel para o agrupamento de "

forças e para a associação de funções de distribuição âs ações e

determinação do número r, de repetições independentes do node

Io de Ferry Eorges e Castanheta ê a classificação das ações, ^uan

to a classificação,pode ser feita segundo a própria natureza flsi

ca das ações ou de acordo com os modelos estáticos de idealização

e combinação d?s ações.

Assim é nue se rode falar em ações rrur

dependem ou não de decisões humanas» Os sismos, por exemplo, são

ações não controladas pela vontade humana. Já a rressão interna

do vaso de pressão está d i retainer te relacionada à sua operação, e

era condições normais é dependente diretamente da vontade humana.

Uma ação pode ser i nd epend ente de ou

tra, por exemplo, as variações de temperatura independem dos re

calques de apoio. Duas aeÕes podem possuir dependência rositiva ,

: quando uma só pode ocorrer na presença de outra, nor exemplo, a

: pressão interna do vaso só pode existir se houver o peso próprio

do vaso. Ou duas ações podem possuir dependência negativa quando

•. são mutuamente exclusivas.• _ *

V

'j. De acordo com a resposta da estrutura ãs

|| ações, estas podem ser classificadas de vários modos. Pão dite?

| estáticas ou dinâmicas. Tem um caráter dinâmico em relação a uma

estrutura craando as forças de inércia nue nela se desenvolvem ,

quando de sua aplicação, constituem parcela ponderável em relação

ãs demais forças que intervém no equilíbrio da estrutura. São di_

* • tas diretas ou indiretas. As ações diretas correspondem aos carre

•£ gamentos, como os pesos próprios, pesos de equipamentos fixes,car

f gas estáticas e dinâmicas de utilização, carga de vento, etc. As

ações indiretas correspondem ãs deformações reolõgicas,drslocamen

tos de apoio, etc. São ditas ações evanecentes ou nersitentes.Pva.

v necentes são acmelas que podem ser anuladas por una deformação nãn

£ prejudicial ã estrutura.

í

I

• -53- I- . • !

5.2.2.2 Tendo em vista a distribuição estatís-

tica

Certamente cue a classificação mais in

portante para este trabalho tem a ver con a questão das distribui

ções estatísticas das ações e suas variações no tempo.

f nreciso introduzir anui os conceitos

de valor e variação significativas. Chamamos um valor *» urra varia

çio de significativa se suas conseqüências sobre a segurança das

estruturas nao pode ser desprezada. Pode-se considerar como não

significativos valores de uma ação inferiores ã 0,1 F. , e varia

ções nlo significativas às compreendidas entre ± 0,1 P. ,onde F.

ê o valor característico mãxinto já definido anteriornente

I| Considera-se uma ação como de mesr?o

•Í, sinal quando esta adouire apenas valores não significativos de

| sinal oposto.

4% Considera-se ações limitadas superior-mente ãs ações cue não podem superar de um valor significativo

o valor característico estimado

se ações limitadas inferiormente

^ ç| o valor característico estimado (F.). De modo semelhante define-

Ao estabelecermos modelos renresentati^

vos das ações, podemos associá-los â processos estocásticos esta-

cionar los ou evolutivos. Intuitivamente as representações estatls

ticas das ações relacionadas ã processos estocásticos estacioná-

rios (cujo parâmetro é o tempo) não apresentam variações signifil

cativas ao longo da duração prevista de uso de estrutura

Por fim classificamos as ações de açor

do com a sua variação ao longo do tempo. Para os fins de combina

ção de ações, a variação no tempo é essencial, logo esta classify

cação reveste-se de grande interesse. Assim é que se fala em ações

permanentes, variáveis e excepcionais.

Ações permanentes sâo aquelas cujo va

lor, seja na fase de construção ao longo de uma etapa considera

da, seja em operação, não apresentam variações significativas.Mes

Finalmente as ações excepcionais

f se caracterizam por:• * •

; 1. são eventualmente importantes, mal conhecidas e de difícil <3e

finição estatística;*•

'• 2. média dos máximos periódicos baixa e elevado coeficiente de

variação;••/

3. duração relativa de aplicação praticamente nula;

ta classe podera também ser incluídas as ações cujo valor r.uda uir. §

pequeno numero de vezes ao longo da vida de estrutura, ou varían 1

do de maneira contínua, sempre no mesmo sentido. A iraioria das f

ações permanentes são consideradas limitadas e/ou de baixo coef^ \

ciente de variação. Mo caso do vaso de pressão nuclear tenos: ;

1. ações permanentes diretas : cs pesos próprios dos elemertos ]

de construção do vaso, incluindo o peso nroprio de estrutura \

e de todos os elementos construtivos permanentes, os rpsos \

dos eouipamentos fixos e os enruxos hidrostãticos dos lí~UjL \

dos; s

2. ações permanentes indiretas : os recaloues de apoio.

Ações variáveis são acueIas oue erre

sentam variações significativas, seja ao longo da execução (air.da

oue durante uma mesira fase de trabalho) seja era operação, ura r.úne

ro de vezes que não pode ser considerado pequeno. Podem ser suhdi

vididas em cíclicas ou intermitentes, sendo as primeiras de arli.

cação constante (por exemplo as variações de temperatura), ou de

aplicação descontínua no segundo caso. O valor médio no tempo de

uma ação cíclica tem geralmente importância significativa. 7. di£

tribuição no tempo de uma ação intermitente compõe-se de duas no

nulaçÕes distintas: os intervalos de tempo nos cruais a qranceza

da ação ê nula, e aoueles nos quais a ação toma valores significa

tivos. As ações variáveis são todas as cargas acidentais assccia

das â estrutura, bem como os seus efeitos. No caso do vaso de pres

são nuclear temos: as pressões internas e externas, as cargas de

vido às variações de temperatura, o neso dos componentes reroví^

veis, a pressão hidrodinâmica dos líquidos, as cargas dos ecuira

mentos adicionais, a ação dos ventos, o atrito nos aroios.

i

-55-

4. efeitos sobre a estrutura de difícil previsão.

Ko caso do vaso de pressão nuclear te

r.os: ações decorrentes de causas como as explosões» chonucs de

objetos sobre a estrutura, incêndios, enchentes e os sisros.

5.2.3 Idealização das ações

Para podermos associar distribuições de rrobaM

lidades e o número r. de repetições independentes do modelo de

Ferry Porges e Castanheta a cada ação, precisamos de um conheci

mento experimental e histórico do comportamento destas ações em

muitos vasos de pressão nuclear ao longo de muitos anos. InfeliJt

Rente não possuímos a plenitude destes dados Itoje. Mrs ê verdade

que a quantidade de informações acerca de distribuições estati!»

tica de diversos tipos de cargar têm crescido muito nestes últi_

mos anos. F ê verdade também que nuando consideramos as ações se

gundo as classificações anteriormente descritas, é possível tra

zer a experiência de outros campos da Fngenharia para a análise

do vaso de pressão nuclear. Além disto, o modelo de Ferry Forges

e Castanheta mostram como não ê necessário una quantidade enorne

de observações das ações (veja as razões abaixo).

Por fim, espera-se que cada vez mais realmente

se processe uma observação ordenada do comportamento das ações em

vasos de pressão.

As ações permanentes por sua própria natureza

l possuem uma dispersão baixa. Como são compostas basicamente de re

sos próprios possuem uma variação em dimensões e massa limitada

pelos próprios processos de fabricação dos elementos constituinte

i da estrutura. As normas, como a AFTM, indicam as tolerâncias má

% ximas da variação das massas das chapas metálicas. De modo geral

•' as ações permanentes ficam bem representadas por distribuições rtr

v mais. Os parâmetros desta distribuição podem ser obtidos a nartir

das informações dos fabricantes sobre a média e a dispersão das

•-•• dimensões e massa de suas peças. Fventualmente pode-sp mesmo cor,

> siderar as ações permanentes dentro do onnuadramento determirls

tico.

I

Para as ações variáveis não reste outra alterna

tiva se nâo o levantamento de dados experir-entais destas ações en

vasos de pressão. Contudo a observação experimental não precisa

ser tão extensa quando se adota as hipóteses do modelo de Ferry

Forges e Castanheta. Neste racdelo admite-se a independência do va

lor da intensidade dns ações de intervalos elementares. Assim a

variação de estrutura para estrutura é equivalente à variação no

tempo. Logo a observação de s x t intervales elenentares de tern

r«o ei- uma só estrutura ecuivale a observar !5 estruturas durante

t intervalos de tempo elerrentares.

Para algurras ações uma definição precisa da fur

ção distribuição de probabilidades ir.nlica em uam definição da

função para um campo de variação de 0 ate muito próximo do 1, co-12 - *~

no 1 - 10 . Este campo de variaçuo pode ser considerado como

formado por duas partes inter-relacionadas: de 0 até 1 - 10" , e

de 1 - 10 atê 1 - 10~ "', (cue descreve valores extremos em ÜIU:L

tos anos). Mote-se que a distribuição estatística das ações pode

ser determinada sem considerar os valores em cada intervalo ele

mentar durante muitos anos. A primeira parte da distribuição pode

ser obtida pela análise dos valorrs em cada intervalo elementar

durante alguns poucos anos somente. A segunda parte pode ser defi_

nida por meio de valores máximos anuais. Ouanto mais anos para

estes máximos são conhecidos,mais acurada a definição de distribui^

j çao estatística de parte superior do campo. Para algumas ações va

V riáveis pode-se utilizar distribuições norr.ais, mas de modo geral'%' - ~£- ê bem vantajoso (por razões de simplicidade dos cálculos) e ben7*; « —

% preciso (a partir dos dados experimentais a mao) o uso de dis-

Jí tribuições de extremo tipo I e II. f claro cue um conhecimento ro

••$'• bre da história das ações implica era um aumento no valor do coefi

'v ciente de variação das distribuições.

Para as cargas de vento (caso haja necessidade

de considerá-las) e para as ações excepcionais em geral é possí.

^ vel transportar a experiência acumulada em outros campos Oa Fnne

J. nharla para a análise do vaso de pressão, isto porerue estas açõrs

"à nao dependem do vaso em si/ mas de região onde este se localiza .

. De modo geral podemos dizer que as distribuições de extremo são

£. as mais adequadas para representar ventos e si&mos e as acoes ex

' cepcionais era geral. Ouanto aos ventos vários estudos rstatlstjl

-57-

(52)cos jã fora, realizados por Pasquill e outros '. Ouanto aos sis

mos, vários estudos têm sido feitos,jâ çue hâ un» crescente inte

resse »a dinâmica das estruturas. Ferry Porges e Castanheta aron

tam o desenvolvimento do estudo dos sismos para a aplicação ao

calculo estrutural desde uma visão probabillstica . Ko caso

nuclear os sismos são realmente considerados e passam mesro a ter

parei determinante no projeto estrutural. Fstudos importantes so

bre vento, sismos e imnactos sobre estruturas nucleares ten sido

feito pela Nuclear structures and Materials Committee of tbe

Structural Division of the American focietv of Civil Fncineers .

Uma vez levantadas as distribuições estatísticas para cada ação

;'. i preciso definir os valores r. do modelo de Ferry Borges e

l tanheta de acordo com o histórico das ações.

5.3 Resistência em Vasos de Pressão Nuclear

Definimos a resistência de uma estrutura como a sua ca

pacidade ultima (limite ou de utilização) de sunortar ações, dofi

nida em termos de ações, esforços solicitantes ou tensões. De

acordo com nossa formulação, o cálculo de probabilidade de ruína

i baseado em distribuições estatísticas das ações e resistência .

A cada estado ultimo de ruptura ou de utilização corresponde uma

distribuição estatística mie representa a probabilidade deste es

tado último ser atingido para um dado conjunto de ações. Fsta d is

tribuiçao estatística deve incluir todas as informações pertinen

tes ao comportamento estrutural concernente a este estado último.

Certamente que o problema reside em definir esta distribuição ejs

tatlstica. Em nrincínio, esta distribuição pode ser obtida de

duas maneiras, experimentalmente ou analiticamente. Para a deter

ninação experimental, una população de estruturas similares, no

caso o vaso de pressão, deve ser obseivada e os parâmetros da

distribuição estatística estimados a partir dos resultados. Tor

outro lado, a teoria das Estruturas Estatística nretende analitiL

camente obter esta distribuição estatística, a nartir de diftri

buiçao estatística das nropriedades mecãnJcas P dimensões estru

turais. 0 presente desenvolvimento destes estudos, no entanto, e

ainda limitado. E mesmo o tipo de distribuição estatístico r.ais

adeouade para representar a ruptura do aço é ainda disputado. Mas

é bem razoável admitir uma distribuição normal da renistrrcia na

f

ra estruturas feitas com material dúctil, COITO O aço. A dificul

dade em estimar a variância destas distribuições ê também irmor

tante. A variância dependerá da geometria e dimensões âa estrutu

ra e suas variâncias da variância das propriedades mecânicas e do li

processo tecnológico de produção <* controle do aço. f

üm modo simplificado de estimar as distribuições cue i

-representam o comportamento estrutural consiste em tomar um v£ l

lor de referência, por exemplo, o valor característico e admitir «

um certo tipo de distribuição estatística, nor exemnlo, normal , t

com uma certa variância. As teorias determinísticas usuais podem |

facilmente ser utilizadas para transformar um valor característi^ g

co que representa as propriedades mecânicas em valores caracterí:? f

ticos què representam o comportamento estrutural. Assim, despreza if • ~ ~

i da a influencia das dimensões, a variância do comportamento estru; tural será função da variância da tensão de escoamento do aço.

Importa realçar que o coeficiente de variação de tensão

de escoamento do aço é baixo, da ordem de 10%, bem menor que por

exemplo o coeficiente de variação de tensão de ruptura do concreto

que é da ordem de 20%. Assim, desprezadas outras influências logo

se conclui que a variação do comportamento estrutural do vaso de

pressão é pequeno. Eventualmente este comportamento poderá ser

tomado como determinístico, e neste caso a probabilidade de ruína

t dependerá somente da dispersão das ações. Neste caso as integrais

4 de convolução podem ainda ser utilizadas, bastando tomar o coe

& ficiente de variação para a resistência igual a zero.

| A Agência Internacional de Energia Atômica tem promovi

do estudos que procuram avaliar a resistência e a confiança dos" ~ (33)

vasos de pressão nuclear1 . Estudos tanto experimentais quanto

analíticos têm sido feitos. Relaciona-se a segurança do vaso cen

defeitos de fabricação, com a presença e tamanho de microfissuras

i decorrentes do processo de fabricação do aço, com defeitos de sol

x da, etc. Também tom sido estudado a influência da radiação nas

propriedades mecânicas do aço* . Realmente, muitas incertezas

i. estão envolvidas na análise do comportamento de vaso3 de pressão.

,_,. E é necessário estimar estas incertezas com um instrumental pro

,: babilístico. üm estudo bem completo deveria levar em conta todos

os itens e influências mencionadas. Ao que parece ainda nlo se

f •I'

-59-

possui informações plenamente desenvolvidas como se desejaria so

bre todos estes itens.

t . • • . - 6

CAPITULf) F

^

6. RESULTADOS E APLICAÇÃO NUMÉRICA J

6.1 Passos do Métcdo de Ferry Borges e. Castanheta |

O cálculo da probabilidade de ruína de um VTSO de nrcs í

são nuclear pode ser feita, segunco o modelo de Fcrry Porcps o í

Castanheta, seguindo os seguintes passos: I

1. Agrupar as forças que atuam sobre o vaso de frodo adecca jj

do â combinação das ações;

2. Definir a função densidade de distribuição de cada ação

(composta por um subconjunto de forças do mesmo tiro)

f (s.) ;

3. Definir o correspondente número de reneticões indepen I

dentes para cada ação para aplicação do modelo de Fer;

ry Borges e Castanheta;

4. Calcular a probabilidade do vetor de ações F recair ornum domínio d A ao menos uma vez durante a vida da css

^ trutura;

ft 5. Definir a matriz de transformação da estrutura,cue con

I verte ações em esforços solicltantes;

p 6. Calcular a função de densidade de distribuição dos es

^ forços solicitantes a partir da função de densidade dc>

1 distribuição das ações;

í 7. Definir a função distribuição de resistência da estrutu

? ra;

! 8. Calcular a probabilidade de ruína por meio das

$ grais de convoluçao.IAs expressões para este procedimento encontram-se no et

pítulo 3.

Dificuldades de Aplicação

A maior dificuldade atualmente para a aplicação prátic

-61-

deste procedimento aoui descrito ê a falta de dados históricos

experimentais do vaso de pressão nuclear (tanto para as ações

quanto para a resistência da estrutura). ::a verdade há três

ras de se estimar as distribuições de ações e resistências ':

1. Considerando a experiência de operação comercial e n\i

litar de vasos de pressão nuclear;

2. Considerando a experiência de operação de vasos de nres

são não nuclear;

3. Calculando teoricamente as distribuições.

A literatura técnica informa que, quanto a vasos de

pressão nuclear de uso naval, já tinhan acumulado um total de

2.000 anos de experiência em operação em 1980; e cruanto a reato

res de água leve comerciais, têm-se um total de 1.300 anos de ex

perlência de operação de vasos de pressão até fins de 1980. Não

se tem noticia de nenhuma ruptura de vasos de nressão neste perlo

do de uso. No entanto, esta experiência at? ao momento não é su

ficiente para poder-se estimar as probabilidades de ruína do va

so. Até ao fim do século espera-se ter acumulado um total de 10

anos de experiência de operação de vasos de pressão nuclear ( o

que provavelmente já será suficiente para poder-se proceder esti

mativas estatísticas).

Os estudos até aqui feitos procuram mostrar que a

experiência acumulada na operação de vasos de nressão não nuclea

res não são de grande ajuda tão pouco. As óbvias diferenças de

r características de operação das populações de vasos de pressão

-•• não nucleares e das populações de vasos de uso nuclear,dificultam

a tal ponto a relação, que o consenso é ruie, atualmente, não hã

um modo adequado de relacionar esta experiência não nuclear com a

operação de vasos de pressão nucleares.

Assim, hoje, resta uma abordagem teórica da ouestão. No

capitulo 5 foram feitas várias sugestões de como adotar distribui

ções estatísticas tanto para as ações, cruanto para a resistência

da estrutura. Freqüentemente as teorias determlnlsticas são capa

zes de auxiliar na escolha de uma valor de referência para a re

slstência da estrutura e para a construção de tais distribuições.

-62-

Vârios estudos têm sido feitos procurando relncio

nar a confiabilidade do vaso de pressão nuclear com fissuras de

fabricação. Estes estudos têm mostrado cue a probabilidade de rui

na de vasos de pressão nuclear fica entre 10 e \ç\

cia de serviço de inspeção do vaso.

— fíausêr

6.3 Aplicação Numérica

6.3.1 Introdução

Apresenta-se aoui ur. exemplo numérico rue ilus

tra a aplicação do método de verificação de segurança e cálculo

de probabilidade de ruína proposto nesta dissertação.

Toira-se um cilindro fechado nas extrenidades,cor

características de projeto típicas de um vaso de nr^ssão de ur

reator nuclear tipo PKR com ruatro "loops". As especificações ti

picas do vaso podem ser encontradas no capitulo 4 desta dissprtação.

# 0 2

Obs.: Considera-se o eixoy axial e o eixo xradial.

' 4, 4r; (interno)

Figura 6.1 - Ilustração da aplicação numérica.

-6 >

Adote-se o Sistema Internacional de Unidades.Ac!

mite-se varias simplificações descritas adiante nor ouestões dp

facilidade dos cálculos. Considerar-se-ão as tensões atuantes en

pontos do cilindro afastados das extremidades, de nodo a noder

se desnrezar influência destas.

6.3.2 As cargas

6.3.2.1 Cargas permanentes

Inclui-se neste grupo o peso do vaso ,dos líquidos e de equipamentos não removíveis. Admite-se un enquadramehfco determinlstico oara este tipo de carga. Numericamente temos:

massa total = 635.000 Vgforça = 635.000 x 9,8 = 6.223.000 N

tensão = «-223.0P0 = 2.153.090 N/m2

n/4 (47"82 - 4T42

fator de repetição = 1

1

6 .3 .2 .2 Carga variável

Adota-se somente a pressão interna,nor

razões de simplicidade. Poderia ter-se considerado a carga

do:

1. a variação de temperatura na espessura do vaso?

2. aos gradientes de temperatura e pressão:

3. aos equipamentos removíveis, etc.

Numericamente temos:

pressão interna média «= 16 x 1"* Padesvio padrão » 0,61 x 106 Pa

Na direção x(28):

Pressão x raio {(.

espessura

numericamente :

tensão média =

desvio padrão =

36 x

0,61

10

0,

X

0,

6 x

2

IO6

2

2,

X

2

2,2

176 x

= 6,71

10*

L x

N/m

IO6

(28)na direção y :

tensão = P r g s s g o x r a i o (6.2)2 esnessura

numericamente:

1 gf tensão media = 16 x 10 x 2,2 = 8 8 x 10* N/n,2^ 2 x 0,2

gdesvio padrão = ° f 6 1 x 1 0 — x 2f2 = 3,36 x 10fi M / m 2

2 x 0,2

Obs.: A direção x corresponde ã direção radial e a direção y â

direção axial.

Admite-se nue o raio e a espessura se

jam invarlantes, não interferindo portanto no desvio padrão da

tensão. 0 fator de repetição para um período elementar de 24 ho

ras e uma vida útil de estrutura de 40 anos é:

fator de repetição = 365 x 40 = 14.600.

6.3.2.3 Carga excepcional

Adote-se o efeito de terremotos. Pode

ria ter-se considerado também o efeito de explosões/ chorrues con

tra o vaso, enchentes e ventos. Admite-se mie terremoto provoouc

uma aceleração característica de 10 m/s na estrutura r.a direção

-65-

vertical apenas. Ou seja una aceleração que corresponda na distrjL

buição normal â probabilidade de somente 5% de ser superada .

Assin temos:

força característica = massa x aceleração = 635.000 x 1 =

= 6.350.000N

tensão característica • —6.350.000—___^ - 2.197.0f>o N/-?

n/A (4782 - 4,42

Força característica e tensão característica referem-se à acelera

ção característica . O fator de repetição para um intervalo elemen

tar de 30s e uma vida útil da estrutura de 40 anos:

fator de repetição = 40 x 10 .

6.3.2.4 As funções densidade de distribuição de

cada carga

As várias distribuições recomendadas às

aplicações estruturais estão estudadas no capítulo 5 e seus para

metros aparecem em apêndice. Para a carga permanente tomamos o en

quadramento determinístico. Para as cargas variáveis pode-se uti

lizar a distribuição normal, ou as distribuições de extremos ti

po I ou II. Adote-se a distribuição normal. Para a carga exce^cio

nal pode-se utilizar uma distribuição de extremo tino I ou II, ou

normal. Adota-se a distribuirão normal, com média igual a zero c

com aceleração característica igual a 10m/s2 . Adotando-se as di£

tribuições normais os cálculos ficam nais fáceis.

6.3.3 Composição das cargas

Temos tensão em duas direções, Na direção y va

le:

-66-

Sendo õ - a distribuição dada prla carga penranente à tennio ra

direrão y(õ ) , õ - a contribuição da carga variável, e õ , ay y* „ y*

contribuição da carga excepcional. Na direção x temos:

'x2 (f.f)

I K

mI'*.IS;«1

Sendo õ - a contribuição dada à tersão na direção x (õ.) prla

"carga variável.

Pensando en termos de esforços sclici

tantes, temos normais em duas direções ortogonais. Ma direção x

a normal é decorrente da carga variável, na direção y a norr.al ê

decorrente da carga variável, da car gr. permanente e de carga ex

cencional.

N

Ny3i

IV'

iv

Ni

Figura €.2 - Ilustração de composição elementar das

Adnite-se mie a normal exceocional Cl 3)

seja de tração, pois esta corresponde ao caso mais desfavorável.

6-3*4 A resistência

Tomemos o aço SA 508 classe 2, ferrltico, usual

nos vasos de pressão. São suas características :

-67-

tensão de projeto = 26.700 psi

tensão de escoamento médio * 57.500 psi

desvio padrão s 3.068 psi

tensão de ruptura media = 83.000 psi

desvio padrão - 4.650 psi

& = 13,536 x 10"f oc"1

E = 1,7419 x 105 MPa

v - 0,3

p =7.840 kg/r.3

2Obs.: Converte-se 1 psi em 6.892 N/m .

Vamos calcular a probabilidade de alcançar o es

coamento de aço do vaso. fi esta probabilidade passamos ã chamar

de probabilidade de ruína. Reconenda-se a distribuição normal paMO) " "~

ra descrever as características do aço .

6.3.5 A probabilidade de ruína

A probabilidade de ruína é dada por

Pf J R

fs (sl' S2 -• V PR <rl' r2 '•• r3> dRl ds? '•• dsn

(6.7)

No caso temos:

• - ! ,

p* " I fe (n, , cr-) F o (u9 , u,) â- drt- ... (6.8)R2

tratando a probabilidade em termos de esforços solicitantes e le

vando em conta que a carga permanente é considerada deterministi-

camente.

remos neste caso um estado duplo de tensão, com

o e o sendo as tensões principais em um ponto genérico, afãs

tado das extremidades. Nestas condições é preciso considerar con

juntamente os esforços solicitantes nas duas direções. 0 cálculo

deve considerar a conbinação de todos os prováveis valores de un '

esforço era uma direção com todos os prováveis valores do esforço i

na outra direção. Uma varredura completa de todas as conbinações I

de ambos os esforços comparado cora a resistência é nrcesss-io. A I

resolução da integral ê difícil, inclusive porque a probabilidade 1

de ocorrência de cargas em direções ortogonais não ê independents. |

INão ê difícil ver, :-.o entanto, nue as caroas :a *

riâveis são numericamente muito naiores cue as cargas rermanentrs \

e excepcionais. Temos, en terros de ter.sces na direção y: \

l

carga permanente : õ , - 2,2 x 10 N/m \

— 6 9carga variável : uo 2 = 88 x 10 N/m (media)

o = 3,355 x IO6 N/n2 {desvio nadrEo)

V

carga excepcional : va ~ = 0 (média)

o = 1,331 x IO6 N/m2 (desvio padrão)5

: Para o cálculo do desvio padrão d*> tensão provo

.. cada por cargas excepcionais é preciso recorrer ã distribuição ncr

l mal reduzida, onde encontramos :

mas se x " u = z (P.9)

logo

s e p - 0 , z - 1 , 6 5 , x » 2 .197 .000 N/ir.2

Assim o « 1,331 x 10 6 N/m2.i

-69-

Na direção x :

?:/ncarga variável : vo ~ = 17P x 10 ?:/n~

x2

= 6,71 x 10 M/r- (desvio radrão)

"Assim a tensão ermivalentp node ser calculada r>or:

—2 -2c ' + o o o

X V

E desprezando a influência das cargas r »=» pxcer>cioral

õx = 2 S

Logo

eq

-2°x

-2°x

A tensão equivalente ê dada por:

11)

li 0~2 X

x 176 x iof> r;/r.2 (nécia)

— xfi,71xlO6 (d<?svio r

Sc desejarmos trabalhar cor. esforços? solicitantes

por unidade de comnrirento:

* 30,4341 x IO6 M/n

1*1*22 * IO6 M/m

(nédia)

(desvio nadrão)

Para as resistências ao escoamento:

K-fjf Pi J ' - -" r' j

• 79,2580 x M/rr (nodi a)

= 4,2289 x 10 (desvie r>adrãc)

Neste caso teiros eme a distribuirão densidace das careran vale:

(x) » 12)

Fendo as r repetições do modelo de Ferry Porges e Castanbeta

D a exnressao reduz-se a:

fs { \

e-r

exr>1

2 «

. r-1

*J

(*Ieq

er»2 o'

err (6.13)

e a probabilidade de ruína fica:

I

nf (N)

en

« /2Teq

. exn

r-1

eo dN)7 a'

/27B.

exn

(8 - V.

2 o'r'R

dfl (6.14)

-71-

f.3.6 O nrograma ccrr.nutacional

Dada a dificuldade de resolver-se appliticarcrte

a integral, optcu-se nor uma solução r.ur.êrica. A ropr-uisa rr bi

bliotecas cie rroçrar.as cor^utaciopais resultou infrutífera. *:?.r> \

se encontrando un sisterca ccr.rut acionai capaz de resolver a ir. te \

arai em ruertão, desenvolveu-se un nrograr.a nara rpsolvê-ià. <"" •

prograna calculo c integral nela coirr>osicno de áreas.

fcrtaronte rruo n v.irredurn de:: IR não ^rrcis^ S T

conmleta, tomando-se senente ur. intervalo onde op valores são sic

nificativos. Mo caso adota-se o intervalo de 1 x 10 ?. ISO x 1 ^ ,

que se ir.ostrou suficiente, jã cue a variaeão deste 5ntrrvalo não

resultou er. alterações significativas nos resultados.

0 programa utiliza-se do comnilador :-" extendido

cue garante uma precisão cruatro vezes rr.aior cue a precisão eir cen

dições normais. Este ccnnilador tornou-se necessário já cue os re

sultados obtidos são expressos ror valores recuenos.

Por neio do "?tatistical Analysis Pystem" (FP.F)

obteve-se uma representação gráfica dos resultados. Este sistena

se presta especialnente ã análise de dados e foi originalmente de

senvolvido para resolver problemas estatísticos * . Na represen

taclo gráfica anlicou-se o loçarítiir.o ra yase dez às rrobabilida

des e densidade de probabilidades, dado o grande canpo de varia

ção de seus valores. Nos gráficos, com o símbolo (*) ar>resen*a-se

a curva oue renresenta nonto a porto o produto ce todas as nuan

tidades eis. questão. E con o slr.bolo (+) apresenta-se a

condiçlo da» areas ("integração") da curva anterior nor.to a ponto.

\ fi.3.7 Resultados

I ~~~ ~* Os resultados referentes ao exemplo nurérico fo

?• ram obtidos no computador ITM 4341 do IPKN. Chamou-í?e de caso ba

f se as condições descritas acina. Além do caso hase estudou-se váfl rios casos adicionais, corn alteração da nressac n de err^ssura do

vaso. Ainda calculou-se a probabilidade de se atingir a ruína do

aço ) (para além do escoamento', . Os resultados obtidos foram os

I

-72-

aue seguem.

Cl-9O 1 : Caso base Probabilidade de ruína obtida:

5,03172 x 10~27 .

GAFO 2 : Aumento de pressão e. ce sua instabilidade. Tcr.ou-Fe a

rcédia e o desvio padrão do caso base nmltinlicade per

1,5. Probabilidade de ruína obtica: 1,13819 x IO*"11.

Cf-TO 3 : Dininuicão dp espessura da parede do vapo de 7r-c:- rara

17,5cm, as demais condições são as básicas. Vroi cibilic*a_

de de ruína obtida: S,2343P x 10"?2.

CAFO 4 : Diminuição de espessura da parede do vaso nara l?,0cr ,

as demais condições são as

ruína obtida: 5,05312 x 10*

as demais condições são as básicas. Probabilidade de,-16

Cf-FO 5 : Diminuição de -rsressura ca parede do vaso nar?. 12,5cr ,

as demais condições são as básicas. Probabilidade ce

ruina obtida: ?,P49P«í >: 1P~9.

CAFC 6 : Dininuicão da espessura da parede do vaso para l^

as demais condições são as básicas. Probabi1 idade

"3ce

ruína obtida: 7,00037 x IO

C7.SO 7 : Calcula-se a probabilidade do aço do vaso atingir o es

tado de ruína (para alén do escoamento) para as

ções básicas. Probabilidade de ruína obtida:

2,71001 x líT36.

Aléir. disto, calculou-se a probabilidade c"*1 se

atingir o lirr.ite de tensão imposta rela AFMF no caso bare, se fcs_

se possível considerar a distribuição de densidade da r-robabilica

de das carqas válida ã toda a vida da estrutura. Probabilidade o£

tida : 2,2556 x 30~4.

Obscrvou-ne our o aumento do intervalo considera

do e a diminuição do passo do programa não provocaram alterações

sensíveis dos resultados obtidos.

t•f-

-73-

6.3.8 Sinulacão numérica

Outra naneira de se calcular a nrohahilidacTp rir- *

ruína do cxcnnlo e neciante una simulação nunérica. ?cco-se, sy

sim, evitar a intnqral (*.8) e comparar-se os resultados já chti

cos con-' os obtidos rcr nric ca simularão. Adritinos sir.nl if içada ••

r.ent<: qur os fatores cr repetição de cargas são iguais (ao r.r.

car<i.a variável).

Tcrou-sp dois núneros rrndômicor- ~: r .ribi::dor

normalmente c-r. uma nornal reduzida. Na dirrcão v, onprcu-se mu

danças de variáveis n.ira se cbter números randcniccs cistrihujdoç

segundo a normal das cargas variáveis e cargas excepcionais, ir

denendéntes (a carga permanente é considerada deterrínisticaren-

te). Na direção x, torou-se o mesmo número randõnico rorrr.alrrente

distribuído (na nornal reduzida) relativo ã carqa variável y. Tst

to porque estas cargas são diretamente nrororcionair. Mediante

uma mudança de variável, obtevê-se um número randõnico distrihu^

do segundo a normal de cargas variáveis na direção x. Trabalhou-

se con tensões e não cor, esfcrços solicitantes.

Trabalhou-se com 2.000, 3.000 P 5.0^0 núr.eroF

randônicos nara cada carga. Foirou-se a tensno obtida na direção

y. Calculou-se a tensão equivalente segundo a expressão (fi.1T) .

Organizou-se as tensões obtidas em histogranas e procurou-se ura

expressão analítica para a distribuição. Utilizou-se 3 expressão

equivalente ã (6.12) rara o cálculo de probabilidade de ruína.

Para tanto nroduziu-se um.i rotina no PAF

a simulação. Fm seguida prcduziu-se urra rotina no FAf

para o ajuste dos dados obtidos a uma expressão analítica. Fsco

lheu-se uma distribuição gaunsiana, já rue a interferência dar

cargas permanente e excepcional é peouena. Os parâmetros obtícos

foram:

v., - 152,9594 x IO6 N/m?AJ5000 *

o._ = SB^SO x 10fi N/m2

^5000

3500

-71-

c,, = 5,71650 x IO6 V * 2

^3090

u,T = l«n,09255 x 10f \/r2

2000

c o ft-._ = 5,74088 x 10b V/rT

sondo y__ , ii,T , p., a rêíia da gaupsiar.a ajusta"5000 2500 /Lj-»ft«« -

ca nara 5000, 3500 e 2000 nür.eros ra-côricos por came resrrcti

vamrntc; c o._ , o , c«7 o desvio r?rrHo dp nau?AJ?.ooo ''J3sco AJ " ~

siana ajustada para 5000, 3500 e 2000 números raudônicos nor

carga respectivamente. Atírritindo-se cue o número de pontos foi

suficjenteirente grande, adota-se os resultados obtidos nara 5000

núneros randônicos para o cálculo da probabilidade de ruína. Uti

lizando-se a expressão pnuivalente a (6.12) para tensões obteve-

se:

P^ = 7,52569 x 10~ 2 7

Valor r.uito proximo do valor anterjorr.ente obtido ornando se des-

prezou os esforços permanente e excercional:

P,: = 5,03172 x 10~ ? 7

x.

Em apêndice apreserta-se o prograna rue resolve

a expressão 6.2 chanado TNTFGPAL FO^T; e os resultados obtidos

com ele para as 7 casos descritos. Apresenta-se a rotina

SAS - FAPGRAF - para a renresentaçao gráfica dos resultados ob

tidos com o INTEGRAL . FORT; e os cráficos. Fm rolarão ã sinulf»

ção apresenta-se a rotina FAf da simularão - CI'1.2.DATA. ArrrBer,

ta-se os histogranas obtidos. Por fir está a rotina ,c£f, AJUFTF.

SAF, nue ajusta aü qaussianas, COT srus resultados r r:r5fj.cos.

I| 6.3.9 Comentários sobre o exer.nlo numérico

Várias foram as Firnplificações feitas neste e

| xeT.plo numérico. Algunas solicitações foram desr.rezadap (efeitos

térmicos e de transiente, etc). O efeito do trrreroto foi

do sortnr.tr produzindo aceleração na direção vertical, s efeitos

-75-

das tampas não forar. considerados. E outras sinnlificacões r.o

prônrio modelo c calculo foran adnitidos. Assin os resultados cr

ven ser considerados con reserva, r cert.n^cnte n prrurarra arer

tada nelos nüreros do exer.nlo não é tão cjrande CF U~ vaso rir r>re£

são real.

A simularão nuirérica (tipo método de v.cnte Cnr

lc) mostrou ruo os resultados obtidos desprezarão-re CF efeitos

das camas ncrraner.tes c excepcionais são her. razoSveis reste r

xernlo.

Verifica-se rue aunentos ra nrersão ou em sua

instabilidade (auirento do desvio r^drão) roden reduzir substan

cialncnte a sequrança do vaso. fi 'rorr. ter rm mente, no entanto ,

oue no caso de uro grande acidente tiro LOCA (Loss of Coolant

Acident) a pressão interna do vaso tende a dinirsuir e r.ão au^er

tar.

A diminuição na espessura da parede do vaso pro

voca, mostram os resultados, uma sensível diminuição da seguran

ça do vaso.

No exemplo, a ruína do vaso por atingir-se a

tensão de ruJna do aço (para alé:n da tensão de escoamento) é re^i

to baixa.

6.3.10 Comentários relativos aos programas cornutacio-

; nnis

\

O programa desenvolvido INTEGRAL.FORT é adecua

do nara resolver em casos mais simples as integrais do rodçlo de

•; Ferry Forges e Castanhcta. A simulação mostrou oue, neste caso ,

\, os resultados obtidos desprezando-se peso próprio e terremoto

* são bons. A simulação é sempre ur caminho eficientr e ir3is fácil

í de se resolver este tipo de combinação de distribuições estatís

w ticas.

IO FAS é um excelente instrumento para nroduzir

renresentaçors gráficas. \'o caso veja a rotina FAF.HRAF, nara rc

presentar graficamente os cálculos das integrais de convolucão .

O FAS é tanbém um excelente instrumento para a simulação nur.fri

ca. Veja para o exemplo a rotina CHI2 . DATA. E ainda rnra o ajus

te de curvas. No exemplo o ajuste de gaussiar.as ê faito nela roti

na AJüfTF.fAS.

Um estudo interessante a ser feito cm outros

trabalhos seria o de criar nrograrras e rotinas computacionais nni«s

simples e para casos nais complexos.

-77-

CAnTT!lLO 7

7* COMENTÁRIOS E CON'CLUPOnS

Procurou-se mostrar a vantagem conceituai da introdução de

métodos rrobabilísticos no cálculo estrutural. Tais nétcdos ofere

cen una avaliação mais justa da segurança (e risco) dr ur-a estru-

tura. P.o invés de coeficientes de sequrar.ca roerr-sr-ia falar em

nrobabilidade de ruína de urna dada estrutura. A r rol~aVi lidade de

ruína aceitável seria determinada de rodo compatível aos riscos

nomais da vida humana.

Atualmente os métodos probabilísticos são na verdade simply

ficações, e oferecem sorente valores aproximados de probabilidade

de ruína. Fntre os modelos existentes sobresae-se o modelo de Fe£

ry Porges e Castanheta. Procurou-se mostrar sua ampla nossibilida

de de combinação das ações; e admite-se sua razoável nrecisão,meí5

mo sem apresentar grandes complexidades matemáticas. Algumas sin

nlificações adicionais ao modelo forar tanbém anresentadas.

No cue se refere aos vasos de pressão de uso nuclear, dada

a sua grande responsabilidade, procura-se garantir altos níveis

de confiabilidade no seu projeto, construção e operação. Kspecifi

caçoes precisas como as de APMr Boiler and Pressure Vessel Code

procuram garantir esta segurança. Procurou-se mostrar a aplicabi

lidade do modelo de Ferry Porges e Castnnheta a verificação de S£

• gurança e cálculo de vasos de pressão de anlicação nuclear, ainda

que para casos mais slnnles.

r

• O processo de verificação da segurança é feita rela compara

'. ção da combinação dos esforços solicitantes atuantes com os esfor

^ ços solicitantes resistentes (ouer sejam referentes ã capacidade

I portante final ou referentes ao limitr de disfunção). As ações

| são combinadas de acordo com a sua variação no tempo e por fim se

f obtém uma distribuição oue informe a densidade de probabilidade

• de certo nível de solicitação da estrutura ocorrer. Tora-se» tam

£ bém a distribuição relativa ã resistência da estrutura, oue infor

ma a probabilidade de» um estado último ocorrer nara una dada soil.

}•' citação. Por mtiio de integrais de convoluçâo calcula-se a nrohabi,

• lidade de ruína. Fsta integral do convolucão calcula a probabili.

-78-

dade de ruína dada pela composição de todas as probabilidades de

que o vetor de ações iguale o vetor de resistência.

fl fácil ver oue o cálculo das integrais de convolurão ê tra

balhoso. Algumas simplificações, no entanto, são nosslveis. A in

tegral, por exemplo, não nrecisa ser estendida ã toda rcaião do

espaço, f possível fazer-se a verificação de seauranca ror rr.eio da

divisão de estrutura en nartes. Apesar de cue- o número <*ç> verify

cações neste caso cresça, caca verificação individual torr-?- se T\ÕÍS

sir.nles. Msste caso, as probabilidades de un estado últiro oco£

rer en cada narte devem ser connostas para a obtenção do total de

probabilidade de ruína na estrutura como un todo. Ainda, em casos

particulares, nem sempre é necessário comparar todos os esforços

solicitantes conjuntamente.

0 exemplo de aplicação numérica foi feita com a intenção de

mostrar a aplicabilidade do rétodo ã vasos de nressão. Várias siri

plificações foram feitas; e ur caso sinnles foi escolhido. As ce

neralizações ã casos mais coir.plexos a partir do exemplo não roder.

ser feitas. Para um cálculo mais rigoroso, un r.aior núrrero de de

ações podem ser combinadas. A dificuldade maior será no levanta

mento de dados experimentais do comportamento do vaso e das ações.

E neste caso será necessário estar-r-e em condições de resolver in_

tegrais complexas.

( Assim prevê-se cada vez mais o uso de métodos probabilistic

; cos no cálculo estrutural. E espera-se também que estes métodos

t sejam cada vez nais amnlar.énte utilizados no cálculo estrutural

i, ligado ã Fnergia Nucelar. 7\ nedida oue forem realmente sendo usa

;. dos nos projetos, e seus efeitos práticos constatados, a ccr.fian

' ça nestes métodos crescera. 0 seu raior uso certnmepte resultará

,' em um melhor tratamento das ouestões de segurança e economia da?

estruturas.

1 , i

-79-

A n r " fí í ç r

PARÂMETROF DF ALGUMAF VARlfiVFIF AIJFATÕRTAF IMPORTA*JTFF

(7, 8, 11, 14, 19, ?3, 28, 3ft)

Vamos nos deter aqui a detalhar as características

algumas variáveis aleatórias importantes a miestoes c> segurança

estrutural. Há muitas outras que rão serão referidas, nas somei?

te as usualmente utilizadas no cálculo estrutural rrobahilístico.

1. A principal variável aleatória continua é amiela cue

possui uma distribuição normal. Fuás características são:

função distribuição;

fN /STexn . <* -

2aôx

função densidade;

exp -1 to-.)»

moda ; x = x

mediana : x •

média : x

desvio padrão :

coeficiente de

i i

X

0

variação :

i i

?variancia : 0

C - -g-

1 1

Para

N1

/77

x - x

r oxr- t cít

.,., • 1

2. A distribuição locj nornal

furcão distribuição:

f x .

LN1x

(x/9) r'x

função densidade:

/ 2ii. a xexn

In*6 (x/P)2 a 2

mode : x » p e~°

mediana : X - ?

média : x = ?. oa ' *"

desvio padrão : o = p. j e a

coef i c i en te c\p var iação : c •

onde a s o. „ e In P « x

P 1/2

l n x

3. Distribuirão de extrmo Tiro T - máximos ou

ção do Gur.hr 1

função distribuição;

-81-

F [:<)

função densidade:

(x) = a e

moda : x = u

[""- a (x - u) - -o(x-u)

mediana: x' = u - In (In2)/a

média : x = u + y/a {y: constante de Fuler)

desvio nadrão :

coeficiente dp variação : c

onde: y = o (x - u)

ftU +

f- In F(y) 1- In - lnP(y)

Obs.: as exnressões são válidas rara a > 0

4. Distribuição de pxtremo Tino I - Mínimos

função distribuição:

- exp | - er a(x - u)

r c2 -

função densidade:

fT (x) = a exp a (x - u)( x ~ u )

ntoáa : x = u

mediana : x = u + In (In2)/a

média : x = u - y/i

desvio radrão :

y = n,F77?l?7 (constant^ en Fulpr)

it

T a

ou -coeficiente de variação : c =

onde: y = a (x - u)

In I - In p. - F (y) 1 1 = y

Obs.: As expressões são válidas nara o > o,

5. Distribuição de extrenos Tipo II - Máximos

função distribuição:

(x) * exn

[••

i

função densidade:

fTT (x) - B V. (k x)

moda : x « -

exp ["- (J- x ) " B 1

-83-

mediana : x « £ (- In 1 / 2 ) ~ 1 / B

média : x • £ 1( 1 - 1/P.)

I é a função gama

desvio nadrao : o = r; |~U - ?/?) - I (1 - l/P)1/2

1 d -d - 2/6) _

- I/P)

1/2coeficiente de variação: c =

onde : y = p In (kx)

F (y) = exn (-e~y)

Obs.: As expressões são válidas para R > O , x > n , k > 0

Uma definição de função gama é:

(x + 1) = lim x(x+1) (x+2) ... (x+k)

6. Distribuição de extremos tipo III - Mínimos ou distrihuj^ção de Weibull

função distribuição:

(x) - 1 - exnI I I

função densidade;

,x - c

exp

moda : x = e + (k - e) (1 - l/P)l/P P > 1

mediana : x » c + (V - c) (In2 )\ /0

i

-84-.

c + iY - c) | (I •média i x « c + iY - c) | (I • 1/f)

desvio padrão :

U + 2/P) - I (1 + 1/P) Ja - (k - c)

coeficiente do variarão:

„ - (k ~ c) L I 0 + 2/P) - P (1 + l/f») Jc + (k - e> R l + 1/fi)

onde: y « p In ( 3 I|C|)

F (y) * 1 - exp (- ey)

Obs.: As expressões são válidas rara x > c ; 0 > 0 ;

k > e > 0

Todos os parâmetro;; das várias distribuições nodeir ser obti-

dos a partir da média e do desvio padrão. Note-se que rao se de£

creveu todas as distribuições de extrenos, mas sõ as oue interest

sam à cniestão de segurança das estruturas.

*>

te

s

n1'

-85-

A P F H D I C F E

O MATERIAL COMPUTACIONAL

Neste apêndice apresenta-se:

1. O programa Fortran IV - INTEGRAL.FORT, que resolve a integral

de convolução (6.2);

2. Os resultados das aplicações deste programa relativos ã apli

cação numérica. Os resultados dos casos de 1 a 7 aqui apare

cera. 0 caso 8 corresponde ao cálculo de probabilidade de rui

na relativo â simulação numérica;

3. A rotina SAS - SASGRAF, que produz a representação gráfica

dos resultados relativos à aplicação numérica;

.4. Os gráficos obtidos com o SASGRAF;

I 5. A rotina SAS, CHI2DATA, que faz a simulação relativa ao caso

| base do exemplo;

í* 6. Os histogramas obtidos com o CHI2DATA para 5000, 3500 e 20002*• pontos por cargas;Ii 7. A rotina SAS-AJUSTE.SAS, que ajusta as gaussianas com os re\ sultados obtidos no CHI2DATA;

8. Os parâmetros e gráficos, saldas de AJUSTE.SAS. Por questões

de praticidade médias e desvios padrões aparecem divididos

por 10 . Além disto, as médias sofreram uma subtração de 132,

134 e 131 para os valores relativos a 5000, 3500 e 2000 pon

tos respectivamente.

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