Inferências para uma amostra

• Até agora: ICs e testes de hipótese para uma amostra X1, X2, …, Xn i.i.d. N(0,1)

• Baseados no fato de que, sob a hipótese nula ( = 0 ou 2 = 0

2), determinadas estatísticas têm distribuições conhecidas.

• Para testar a hipótese nula, basta comparar o valor dessas estatísticas com os pontos críticos apropriados de suas distribuições.

Inferências para uma amostra

)1,0(~)( 0 N

XnZ

10 ~)(

ntS

XnT

220

22 ~

)(n

iX

212

0

22 ~

)(

n

i XX

• Estatísticas de Teste:

(sob a hipótese nula)

Inferências para duas amostras

• X1, …, Xm i.i.d N(1, 12)

Y1, …, Yn i.i.d N(2, 22)

com Xi e Yj independentes, para todo i e j

(observações não pareadas)

• Também pode ser considerado o caso em que as observações são pareadas.

Testes e ICs para as médias

• Baseados nas estatísticas

(variâncias conhecidas ou grandes amostras)

(variâncias desconhecidas, mas iguais)• No caso geral, é necessário recorrer a um teste

aproximado.

)1,0(~)()(

22

21

21 N

nm

YXZ

22221 ~

2

)()(11

)()(

nm

ii

t

nm

YYXX

nm

YXT

Testes e ICs para variância

• Ho: 12 = 2

2 vs H1: 12 2

2

• Estatística do teste:

1,12

2

~

1)(

1)(

nmi

i

F

nYY

mXX

F

A distribuição F

• Sejam U e V v.a. independentes, com distribuição m

2 e n2, respectivamente. A

distribuição de

é chamada de distribuição F com (m, n) graus de liberdade.

nV

mUF

/

/

Exemplo

Inferência para m amostras

• Análise da Variância (ANOVA) com um único fator

• m grupos de observações

Xi1, Xi2

, …, Xi ni i.i.d. N(i, i

2), i = 1, .., I

• todas as observações independentes entre si.

• em geral, a análise é feita supondo que as variâncias de todos os grupos são iguais.

Teste para a igualdade das médias

• H0: = 2 = …= I

H1: nem todas as médias são iguais

• Estatísticas de interesse:

erros) dos quadrados dos (soma)(

os) tratamentdos quadrados dos (soma)()(

total)quadrados dos (soma)(

geral) (média ...

grupos) dos (médias ,...,1,.

2.

2...

2...

2..

1..

ii j ij

i iii j i

i j ij

I

i j ij

i

j iji

XXSQE

XXnXXSQTr

XXSQT

nn

XX

Iin

XX

Teste para a igualdade das médias

• Teorema SQT = SQTr + SQE Sob a hipótese nula, SQTr e SQE são independentes, com

distribuições 2I–1 e 2

N–I, respectivamente, onde

N = n1+…+nI é o número total de observações. Logo,

QME = SQE/(N–I) é um estimador não viciado da variância 2

.

INIF

INSQEI

SQTr

QME

QMTrF

,1~1

Tabela ANOVA

Fonte de Variação

Graus de liberdade

Soma dos Quadrados

Média dos Quadrados

F

Tratamentos

(Entre)

I–1 SQTr QMtr QMTr/QME

Erros

(Intra)

N–I SQE QME

Total N–1 SQT

Exemplo

Regressão Linear Simples

• Modelo:

Yi = 0 + 1xi + i, i = 1, …, n, onde1, 2, …, n i.i.d. N(0, 2)

• Problemas– Estimação pontual e intervalar de 0 e 1

– Testes de hipótese (o mais importante: teste de “relevância do modelo”).

– Predição

Estimação Pontual

• A estimação de máxima verossimilhança de 0 e 1

resulta da minimização de (Yi – 0 – 1xi)2

Os estimadores acima são os ENVUMV de 0 e 1

• O ENVUMV de 2 é:

XY

S

S

XX

YYXX

xx

xy

i

ii

10

21

ˆˆ

)(

))((ˆ

2

)ˆˆ(

2

)ˆ(

2

210

22

n

xY

n

YY

n

SSES iiii

Exemplo

Xi Yi

1 2

2 3

3 7

Relevância do Modelo

• Teste de utilidade do modelo

H0: 1 = 0 vs. H1: 1 0

• Pode-se empregar um teste relativo à distribuição de 1 (teste t) ou um teste ANOVA (generalizável para regressão múltipla)

• Estatísticas relevantes

2

2

210

2

)(

)ˆ(

)ˆˆ()ˆ(

YYSQT

YYSQR

xYYYSQE

i

i

iiii

Teste de Relevância do Modelo

• Teorema SQT = SQR + SQE Sob a hipótese nula, SQR e SQE são independentes, com

distribuições 21 e 2

n–2, respectivamente. Logo

A razão R2 = SQR/SQT é chamado de coeficiente de determinação.

2,12~

2

1

nF

nSQE

SQR

S

QMRF

Tabela ANOVA

Fonte de Variação

Graus de liberdade

Soma dos Quadrados

Média dos Quadrados

F

Regressão 1 SQR QMR QMR/S2

Erros n–2 SQE S2

Total n–1 SQT

Inferências relativas aos coeficientes

• Baseadas nas estatísticas abaixo:

22

00

211

~/

ˆ

~/

ˆ

n

xxi

n

xx

tnSxS

tSS

Intervalos de Predição

• Para predizer o valor de Y quando x = x*• Baseados em

22

10 ~)*(1

1

*)ˆˆ(

n

xx

t

Sxx

nS

xYT