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ÍNDICE

Motivação e Definição…………………………………………………………………..1

Diagramas de Bode............................................................................................................2

Factores Básicos....................................................................................................3

Constante...................................................................................................3

Factor derivativo e Integral........................................................................4

Factores de 1ª ordem..................................................................................5

Factores de 2ª ordem..................................................................................7

Sistemas de Fase mínima e Não-Mínima........................................................................11

Diagramas Polares...........................................................................................................12

Factores Básicos..................................................................................................12

Factor derivativo e Integral......................................................................12

Factores de 1ª ordem................................................................................13

Factores de 2ª ordem................................................................................14

Formas Gerais dos Diagramas Polares................................................................16

Critério de Estabilidade de Nyquist.................................................................................18

Aplicação à Análise de Estabilidade...................................................................20

Pólos e Zeros Sobre o Eixo Imaginário...............................................................24

RESPOSTA EM FREQUÊNCIA

João Miguel Guerreiro Dias Alves Lourenço

Capítulo I Resposta em Frequência-Diagrama de Bode

Controlo de Sistemas II 1

RESPOSTA EM FREQUÊNCIA A resposta em frequência de um sistema é definida como a resposta em regime estacionário, quando aquele é sujeito a uma entrada sinusoidal. As principais vantagens deste tipo de abordagem decorrem de: 1. Facilidade com que a resposta em frequência de um sistema pode ser obtida; 2. Possibilidade de determinar a função de transferência de determinados sistemas; 3. Possibilidade de analisar a estabilidade absoluta e relativa de um sistema, mesmo

quando se desconhece a sua função de transferência em cadeia fechada; 4. Possibilidade de projectar um sistema de controlo, ainda que se desconheça a função

de transferência. 5. O projecto de sistemas de controlo no domínio da frequência permite ao projectista

controlar a largura de banda e minimizar os efeitos do ruído a que o sistema está sujeito.

6. Existência de uma relação, no mínimo indirecta, entre a resposta em frequência e a

resposta transitória. É importante notar que pelo facto de se analisar um sistema de controlo no domínio da frequência, não significa que alguma vez, este esteja sujeito a entradas sinusoidais. Vamos agora verificar que as características da resposta em frequência de um sistema podem ser obtidas directamente da função de transferência sinusoidal, isto é, a função de transferência na qual substituímos S por jω, sendo ω a frequência angular (ω=2πf [rad/s]). Considere um sistema linear e invariante no tempo com função de transferência G(s), entrada r(t) e saída c(t), representado da seguinte forma:

G s n sd s

n ss p s p s pn

( ) ( )( )

( )( )( )....( )

= =+ + +1 2

1.1

Suponhamos que o sistema vai ser sujeito a uma entrada sinusoidal de amplitude A e frequência ω, isto é,

r(t)= A sin(ωt) L R s As

→ =+

( ) ωω2 2 1.2

Podemos então concluir que a saída do sistema em transformadas de Laplace é dada por,

C s G s R s G s As

( ) ( ) ( ) ( )= =+ωω2 2 1.3

Se expandirmos em fracções parciais vamos obter:



C s Aos j

Aos j

As p

Ans pn

( )_

=+

+−

++

+ ++ω ω

1

1

L 1.4

em que Ao_

é o complexo conjugado de Ao. Calculando a transformada inversa ,

c t Ao e Ao e A e A e An ej t j t p t p t pnt( )_

= + + + + +− − − −ω ω 1 21 2 K 1.5 e, tendo em atenção que, estando a estudar sistemas estáveis, p1, p2, ...,pn são números cujas partes reais são positivas, podemos concluir que os termos que lhes estão associados se extinguem ao fim de um certo tempo. Desta forma a resposta em regime estacionário resulta em,

c t Ao e Ao ej t j t( )_

= +− ω ω 1.6

em que AoAG j

j=

−−( )ω2

e AoAG j

j

_ ( )=

ω2

é o seu complexo conjugado. Se substituirmos

estas expressões em 1.6 vamos obter 1 :

c tA

jG j e

Aj

G j ej t j t( ) ( ) ( )=−

− +−

2 2ω ωω ω =AG(jω)sin(ωt +Φ(ω)) 1.7

Assim, a partir do momento em que o regime transitório se torna desprezável, a resposta do sistema é sinusoidal. Se comparamos a saída com a entrada deduz-se que,

G(jω)=A G j

Ac tr t

( ) ( )( )

ω= e que arg(G(jω))=Φ(ω) 1.8

Sendo G(jω) designado por resposta em frequência do sistema com função de transferência G(s). Pelo conhecimento de G(jω) sabemos a relação de amplitudes e a desfasagem2 entre o sinal de saída e o de entrada, quando este último é sinusoidal com frequência ω. Seguidamente apresentam-se duas das representações possíveis da resposta em frequência: 1. Diagrama de Bode; 2. Diagramas Polares.

DIAGRAMA DE BODE O Diagrama de Bode de G(jω) é composto por dois gráficos. O primeiro representa a curva do módulo de G(jω) em decibeis3(20 x logG(jω)) e o segundo representa a curva da fase. Sendo ambos função da frequência em escala logarítmica. As principais vantagens da representação em diagrama de Bode são as seguintes:

1 Se G(jω)=G(jω) ejΦ(ω) o seu conjugado é G(-jω)=G(jω) e-jΦ(ω) . sin(ωt)=(ejωt - e-jωt)/2j 2 Uma fase positiva (Φ(ω)>0)é denominada avanço de fase e uma fase negativa((Φ(ω)<0) é denominada atraso de fase. 3 Usualmente designado por ganho.



1. Uma vez que a amplitude de G(jω) é expressa em decibeis (dB), produtos e divisões de factores elementares G(jω) transformam-se em adições e subtracções de ganhos, respectivamente. As fases são igualmente adicionadas ou subtraidas4.

2. As curvas do ganho de G(jω) podem ser aproximadas por segmentos de recta, o que permite um esboço rápido e simples, sem o recurso a cálculos muito complicados.

3. O facto da frequência estar representada numa escala logarítmica permite uma análise

das características da resposta em frequência, tanto nas altas como nas baixas frequências.

Factores Básicos Os factores básicos5 constituintes de uma função de transferência são : 1. Constante K 2. Factores integrativo e derivativo ( )jω ±1

3. Factores de primeira ordem T j

T+

±ω 1

4. Factores de segunda ordem ( )j jn n

n

ω ξω ω ωω

2 2

2

12+ +

±

Uma vez conhecidos os diagramas de Bode de cada um destes factores básicos, e tendo em conta que uma função de transferência resulta do seu produto, podemos construir o diagrama de Bode de qualquer função de transferência adicionando as curvas correspondentes aos vários factores que a constituem. Vamos agora obter o diagrama de Bode de cada um destes factores básicos, o que irá permitir construir o diagrama de qualquer função de transferência. • Constante K KdB = 20 log10K = constante 1.9

fase=arg(K) = Φ(ω)=0 0

180 0ºº

KK

><

1.10

Como se pode verificar o ganho e a fase não variam com a frequência. As duas situações possíveis são mostradas nas figuras seguintes. Se K>1, o ganho é positivo; se K<1, o ganho é negativo. Em qualquer dos casos a curva do ganho é uma recta com declive nulo.

4 G(jω)=(G1(jω)/ G2(jω)) ej(Φ

1(ω)-Φ

2(ω)) em que G1(jω)=G1(jω) ejΦ

1(ω) e G2(jω)=G2(jω) ejΦ

2(ω)

G(jω)dB=20*log(G1(jω)/ G2(jω)) = 20*logG1(jω)+20*logG2(jω) arg(G(jω))=Φ(ω)=Φ1(ω) - Φ2(ω) 5 Os factores foram normalizados para que apresentassem um ganho estacionário unitário, ou 0 dB.



K > 1

K < 1

ω0

|A(ω)|dB

ω0º

Φ(ω)

-180º

K>0

K<0

Figura 1.1 - Diagrama de Bode do factor constante

• Factor integrativo e derivativo 1 1

jω

±

Quando a função de transferência tem um pólo na origem, o ganho (dB) é dado por: 1/jωdB= 20 log1/jω= 20 log 1 - 20 log ω2 = -20 log ω e a fase : Φ(ω) = ∠1 - ∠jω = 0º - 90º = - 90º Como o eixo da frequência é apresentado numa escala logarítmica, o ganho é representado como uma recta com um declive negativo de -20dB/dec6, que intercepta o eixo da frequência em ω=1. Relativamente à fase, observa-se que esta é sempre igual a -90º e, consequentemente, independente da frequência.

10-1 100 101-20

0

20

Frequência (rad/s)

Ganho dB

10-1 100 101-91

-90

-89

Frequência (rad/s)

Fase (graus)

10-1 100 101-20

0

20

Frequência (rad/s)

Ganho dB

10-1 100 10189

90

91

Frequência (rad/s)

Fase (graus)

Figura 1.2 - Diagrama de Bode do factor integrativo Figura 1.3 - Diagrama de Bode do factor derivativo Para o factor derivativo ( jω), o ganho é dado por: jωdB= 20 logjω= 20 log ω2 = 20 log ω e a fase : Φ(ω) = Φ(jω) = 90º 6 Chama-se década (dec) ao intervalo entre duas frequências na relação de 1 para 10 (ω1 e 10ω1 para qualquer ω1), ou seja, com a diferença de 1 no logaritmo. Numa escala logarítmica qualquer década tem sempre a mesma distância na horizontal.



As curvas do ganho e da fase são simétricas relativamente às do factor integrativo. Assim o ganho apresenta um declive positivo de 20dB/dec7 e a fase é sempre igual a 90º, independentemente da frequência.

• Factores de primeira ordem T j

T+

±ω 1

Vamos agora estudar a evolução do ganho para T j

T+

ω,

20 log T j

T+ ω

= 20 log T j

TT

TT T

+=

+= + −

ω ωω20 20 20

2 22 2log log log

Para baixas frequências ω <<T ( para facilidade de compreensão considere ω→0), o ganho pode ser aproximado por, 20 202log logT T− = 0 dB uma vez que ω2 é desprezável relativamente a T2 . Significa, então, que para frequências inferiores a T, o ganho aproxima-se assimptóticamente do eixo dos 0 dB. Para as altas frequências ω >>T ( para facilidade de compreensão considere ω→∞ ), o ganho pode ser aproximado por, 20 202log logω − T =20 log ω - 20 log T uma vez que T2 é desprezável relativamente a ω2. Pode-se assim concluir que para frequências superiores a T o ganho é representado por uma recta com um declive de 20 dB/dec. Em ω =T temos a intercepção entre as duas rectas. Este resultado pode ser obtido se igualarmos as duas expressões anteriores. Como o ganho é aproximado assimptóticamente partindo da hipótese de que a frequência é muito superior ou inferior a T, facilmente se pode concluir que será nesta frequência, designada por frequência de canto, que estamos a cometer o maior erro de aproximação. O ganho para ω =T é dado por,

20 log T j

T T

+

=

ω

ω= 20 20 20 2 20 20 22 2log log log log logT T T T T+ − = − = =

=3.03 dB Este valor permite concluir que o erro cometido na frequência de canto é aproximadamente igual a 3 dB. O erro é simétrico relativamente a ω =T. Uma oitava8 abaixo (ω =T/2) e acima (ω =2T) da frequência de canto, o erro é sensivelmente igual a 1 dB. Com base no que foi referido até este ponto, pode-se esboçar a curva do ganho do seguinte modo: 1. Determinar a frequência de canto ω =T.

7 20log(10ω1) -20log (ω1) = 20 log 10 + 20 log (ω1) -20log (ω1) = 20 dB, o que mostra que o ganho cresce 20 dB numa década. 8 Chama-se oitava ao intervalo entre duas frequências na relação de 1 para 2 (ω1 e 2ω1 para qualquer ω1), ou seja, com a diferença de 0.301 no logaritmo.



2. Desenhar a recta horizontal em 0 db e a recta com declive de 20 db/dec, interceptando-se estas na frequência de canto.

3. Se necessário, a curva exacta é obtida por adição do erro à aproximação assimptótica

em determinadas frequências. Geralmente uma curva suave pode ser esboçada se tivermos em conta que o erro na frequência de canto é 3 db e 1 db uma oitava acima e abaixo daquela frequência.

A fase por sua vez será dada por:

Φ( )ωω

=

−tg

T1

Para ω <<T temos Φ(ω) ≅0º e para ω >>T , temos Φ(ω) ≅90º, na frequência de canto, ω=T, Φ(T) = 45º. Como se pode verificar na figura seguinte, pode-se aproximar a curva exacta por vários segmentos de recta. Esta aproximação consiste em, duas rectas horizontais, uma a 0º para frequências inferiores a 0.1T , outra a 90º para frequências superiores a 10T e finalmente um segmento de recta que liga aquelas duas e que passa por 45º quando ω=T. Embora os erros devido à aproximação possam ser apreciáveis9, esta deve ser utilizada, uma vez que facilita bastante a contrução da curva da fase.

Relativamente a T

T j+ ω o ganho é dado por,

20 log T

T j+ ω= 20 log

TT j

T

TT T

+=

+= − +

ω ωω20 20 20

2 22 2log log log

como se pode observar o ganho deste factor é o simetrico do anterior, o que permite concluir que as aproximações assimptóticas para as baixas e altas frequências são: ω <<T 20 20 2log logT T− = 0 db ω >>T 20 20 2log logT − ω =20 log T - 20 log ω

10-2 10 T-1 10 T1 102

0

10

20

30

10-2 10 T-1 10 T1 1020

20

40

60

80

T

T

Frequência (rad/sec)


Fase (graus)

Ganho dB

10-2 10 T-1 T 10 T1 102

-30

-20

-10

0

10-2 -1 T 1 102

-80

-60

-40

-20

0

10 T 10 T



Fase (graus)

Ganho dB

Figura 1.4 - Diagrama de Bode de (T+jω)/T Figura 1.5 - Diagrama de Bode de T/(T+jω)

Como se pode concluir destas expressões, a curva do ganho é simétrica à do último factor analisado e apresenta um declive de -20 db/dec. A frequência de canto situa-se em ω=T. Os erros devido às aproximações assimptóticas são simétricos aos obtidos anteriormente, isto é, - 3 db em ω=T e -1 db uma oitava abaixo e acima da frequência de canto. A fase por sua vez será dada por: 9 Sempre inferiores a 6º.



Φ( )ωω

= −

−tg

T1

Para ω <<T temos Φ(ω) ≅0º e para ω >>T , temos Φ(ω) ≅-90º, na frequência de canto, ω=T, Φ(T) = - 45º.

• Factores de segunda ordem ( )j jn n

n

ω ξω ω ωω

2 2

2

12+ +

±

Vamos agora considerar o factor de segunda ordem, ω

ω ξω ω ωn

n nj j

2

2 22( ) + +

.

Considerando apenas a situação em que 0 < ξ < 1, uma vez que em caso contrário o factor tem dois pólos reais distintos10, o que significa que o D.B. pode ser obtido considerando o factor quadrático como o produto de dois factores de 1ª ordem. O ganho é dado por,

( ) ( )202

20 20 22

2 22 2 2 2 2

log( )

log logω

ω ξω ω ωω ω ω ξω ωn

n nn n nj j+ +

= − − +

Para baixas frequências, ω << ωn , e tendo em conta que ω é desprezável face a ωn e ( )2

2ξωωn é desprezável face ωn

4 , a expressão anterior pode ser aproximada por,

20 20 40 40 02 4log log log logω ω ω ωn n n n− = − = db Pode-se assim concluir que a assimptota correspondente às baixas frequências é uma segmento de recta horizontal em 0 db. Para frequências elevadas, ω >> ωn , e uma vez que ωn é desprezável face a ω e ( )2

2ξωωn

é desprezável face a ω4, 20 20 40 402 4log log log logω ω ω ωn n− = − que é a equação de uma recta no Diagrama de Bode, passando por 0 db quando ω = ωn e com declive igual a - 40 db/dec. Desta forma,pode-se concluir que a frequência de canto do factor quadrático é ωn . A fase deste factor é dada por

Φ( )ωξωω

ω ω= −

−

−tg n

n

12 2

2

mas, uma vez que a função tg(ω) não é injectiva em todo o seu domínio, é usual

considerar a restrição ao intervalo −

π π2 2

, na sua inversão, o que implica que sempre que

10 Quando ξ = 0, o termo de segunda ordem tem dois pólos imaginários puros em ± j ωn . Para ξ < 0, o sistema tem pólos com parte real positiva, o que indica instabilidade.



se utiliza a expressão anterior numa calculadora vulgar, a fase do termo quadrático vai variar entre 0º e -90º, o que não é correcto. Para obviar este problema pode-se transformar o termo quadrático no produto de dois simples.

ωξω ω

ω

ξω ω ξ ξω ω ξn

n n

n

n n n ns s s j s j

2

2 2

2

2 22 1 1+ +=

+ + − + − −( )( )

Se fizermos s = jω, podemos obter a fase como

Φ( )ωω ω ξ

ξωω ω ξ

ξω= −

+ −

−

− −

− −tg tgn

n

n

n

12

121 1

que é uma expressão equivalente à anterior. Recorrendo a esta expressão concluímos que para ω << ωn temos Φ(ω) ≅0º e para ω >>ωn, temos Φ(ω) ≅-180º, na frequência de canto, ω=ωn, Φ(ωn) = -90º. Tal como para os factores de primeira ordem, vamos aproximar por segmentos de recta a curva da fase. Esta aproximação consiste, em duas rectas horizontais, uma a 0º para frequências inferiores a 0.1ωn, outra a -180º para frequências superiores a 10ωn e finalmente um segmento de recta que liga aquelas duas e que passa por -90º quando ω=ωn . As curvas exactas do ganho e da fase podem diferir bastante das aproximações, como se pode verificar na figura seguinte, em que se visualizam as aproximações assimptóticas e as curvas do ganho e da fase para vários valores de ξ, o que se justifica pelo facto daquelas não dependerem somente da frequência natural não amortecida (ωn), mas também do factor de amortecimento (ξ), que não aparece nas aproximações. Próximo à frequência de canto (ωn ) observa-se uma sobrelevação, designada por pico de ressonância, sendo a sua amplitude determinada pelo coeficiente de amortecimento. Pode-se assim concluir que o erro depende de ξ, isto é, é tanto maior quanto menor for ξ.

10 ωn-1 ωn 10 ωn

1

-40

-20

0

20

10 ωn-1 ωn 10 ωn

1

-150

-100

-50

0

Ganho db

Fase (graus) Frequência (rad/s)

Frequência (rad/s)

ξ=0.05

ξ=0.7

ξ=0.3

ξ=0.05

ξ=0.3

ξ=0.7

-180

Figura 1.6 - Diagramas de Bode do termo ω

ξω ωn

n ns s

2

2 22+ + para vários valores de ζ



Uma vez compreendida a importância do pico de ressonância, torna-se necessário determinar a frequência em que ocorre, denominada frequência de ressonância, assim como a expressão que o relaciona com o coeficiente de amortecimento. Como o pico de ressonância corresponde a um máximo, a frequência correspondente é obtida igualando a zero a derivada do módulo do factor quadrático em ordem a ω,

( ) ( )d

d j jd

dn

n n

n

n nω

ωω ξω ω ω ω

ω

ω ω ξω ω

2

2 2

2

2 2 2 220

20

( ) + += ⇔

− +

=

resolvendo a equação anterior vamos obter como soluções, ωr = 0, e ω ω ξr n= −1 2 2 em que esta última, como a frequência é uma grandeza real, só é válida para 1 ≥ 2ξ2 ou ξ ≤ 0.707. Este facto significa que, para todos os valores de ξ superiores a 0.707, a frequência de ressonância é nula e o pico de ressonância é unitário. A primeira solução apenas indica que o declive da curva do módulo versus frequência é nulo para ω = 0, o que não corresponde a um máximo quando ξ é inferior a 0.707. Se substituirmos ωr no módulo do factor de segunda ordem e simplificarmos, obtém-se,

Mr =−

1

2 1 2ξ ξ, ou ( )M dbr = − −20 2 1 2log ξ ξ

o pico de ressonância. Substituindo a frequência de ressonância na expressão da fase verifica-se que,

Φ( ) ºωξ

ξξ

ξr tg sen= −

−

= − +

−

− −12

12

1 290

1

Na figura seguinte podemos observar que quando ξ tende para zero, Mr tende para infinito e que para valores de ξ superiores a 0.707 o pico de ressonância é unitário. As expressões do ganho e da fase do factor

( )j jn n

n

ω ξω ω ωω

2 2

22+ +

, podem ser obtidas

por simples troca de sinais das expressões anteriores, sendo as respectivas curvas simétricas às da figura 1.6. Exemplo: Construa o diagrama de bode do sistema representado pela seguinte função de transferência:

G SS S

( )( )( )

=+ +

510 1

Resolução G j db( ) log log logω ω ω= − + − +20 5 20 1 20 102 2 2 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Coeficiente de amortecimento

Pico de ressonância

Figura 1.7



Φ( )ωω ω

= −

−

− −tg tg1 1

1 10

Recorrendo às aproximações assimptóticas: ω << 1 G j dbdb( ) log log log .ω = − − = −20 5 20 1 20 10 6 02 1 < ω < 10 G j db( ) log log log . logω ω ω= − − = − −20 5 20 10 20 6 02 20 ω >> 10 G j db( ) log log log . logω ω ω ω= − − = −20 5 20 20 1398 40 Analisando estas expressões verifica-se que a aproximação consiste, num patamar a 6 db, um segmento de recta com uma inclinação de - 20 db/dec e finalmente uma recta com uma inclinação de -40 db/dec. Nas duas figuras seguintes podem ser vistas as curvas aproximadas, figura 1.8, e as curvas exactas, figura 1.9.

10-2 10-1 100 101 102

-80

-60

-40

-20

0

10-2 10-1 100 101 102

-150

-100

-50

0Frequência (rad/sec)


Fase (graus)

Ganho dB

1/(S+10)

5/((S+1)(S+10)) 1/(S+1)

10-1 100 101 102-100

-50

0


Ganho dB

10-1 100 101 102

-90

-180

0


Fase (graus)

Figura 1.8 - Diagrama de Bode aproximado da função de Transferência do exemplo

Figura 1. 9 - Diagrama de Bode da função de transferência do exemplo

Capítulo I Resposta em Frequência-Diagramas Polares


SISTEMAS DE FASE MÍNIMA E NÃO-MÍNIMA Os sistemas cuja função de transferência não tem pólos ou zeros no semi-plano complexo direito são designados de fase mínima. Em situação contrária, isto é, com pólos e/ou zeros no semi-plano complexo direito, são designados de fase não-mínima. Os sistemas de fase mínima têm uma característica muito importante, que é, perante o conhecimento do módulo de G(jω) é sempre possível determinar completamente a sua fase, e vice-versa. Os sistemas de fase não-mínima não têm esta relação única, módulo-fase. Por exemplo consideremos a seguinte função de transferência:

G jj Tj

( )ωωω

=++ 1

cujos diagramas de Bode estão representados nas figuras seguintes, para valores de T iguais a 10 e -10, respectivamente.

Comparando os dois diagramas podemos observar que, quer T seja negativo ou positivo a curva do ganho é idêntica. Contudo, a fase de G(jω) difere para T negativo e positivo. Para além das propriedades já referidas, deve-se assinalar que: 1. Para uma função de transferência de fase mínima G(S) com m zeros e n pólos,

excluindo os pólos na origem, a fase é igual a (-90)*(n-m) quando S=jω e ω→∞. 2. Para dois sistemas com a mesma característica de módulo, o de fase mínima apresenta

uma menor variação de fase que o de fase não-mínima. Tendo em conta o ponto 1 e que para qualquer sistema a inclinação da assimptota quando ω→∞ é igual a -20x(n-m) db/dec, é sempre possível determinar se um sistema é de fase mínima ou não.

10-1 100 101 1020

10

20


Ganho dB

10-1 100 101 1020

90

180


Fase (graus)

Figura 1.10 - Diagrama de Bode de

G jjj

( )ωωω

=−+101

10-1 100 101 1020

10

20


Ganho dB

10-1 100 101 102-60

-40

-20

0


Fase (graus)

Figura 1.9 - Diagrama de Bode de

G jjj

( )ωωω

=++101



DIAGRAMAS POLARES11 O diagrama polar de uma função de transferência G(s) consiste numa representação no plano complexo da amplitude e da fase de G(jω) em coordenadas polares, quando a frequência varia entre zero e infinito. Para qualquer ponto do diagrama polar, qualquer que seja a frequência ω = ω1, a amplitude e a fase são obtidas medindo o comprimento do vector que liga a origem ao ponto e o ângulo que este vector faz com o eixo real positivo, respectivamente. A fase é considerada positiva (negativa) quando medida no sentido cw12 (ccw13). As projecções de G(jω) nos eixos real e imaginário correspondem às suas partes real e imaginária, respectivamente, como se pode verificar no gráfico seguinte. Como vantagens da utilização dos diagramas polares podemos destacar, o seguinte: 1. A possibilidade de num só gráfico

visualizar as características da resposta em frequência de um sistema em todas as frequências

2. O diagrama polar constitui a base para a

aplicação do critério de estabilidade de Nyquist, como iremos verificar posteriormente.

Como desvantagens podemos referir que a frequência não está explicitamente representada no diagrama e que, na sua construção, a contribuição dos vários factores que compõem a função de transferência não é clara. Vamos agora obter os diagramas polares correspondentes aos vários factores constituintes de uma função de transferência. • Factor Derivativo e Integral (jω)±1 O diagrama polar de G(jω)=jω é o eixo imaginário real uma vez que, |G(jω)|= ω e ∠G(jω)= 90º

O diagrama polar de G jj

( )ωω

=1

é o eixo

imaginário negativo porque,

G jj

j( )ωω ω

= = −1 1

ou G j( )ωω

=1

∠ = ∠ − ∠ = − = −G j j( ) º º ºω ω1 0 90 90

11 O Diagrama polar é muitas vezes denominado Diagrama de Nyquist. 12 Sentido do movimento dos ponteiros do relógio. 13 Sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio.

Img

Re|G(jω)|Im(G(jω))

Re(G(jω))

∠G(jω)

Figura 2.11 - Diagrama Polar

-1 -0.5 0 0.5 1-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100 ω=∞

ω=0+

ω=0

ω=∞

jω

1/jω

Eixo Imaginário

Eixo Real



Analisando as últimas expressões conclui-se que, quando ω→0 o G(jω)→∞ e quando ω→∞ o |G(jω)|→0.

• Factores de 1ª Ordem T j

T+

±ω 1

Para G(jw)= T

T j+

ω=

T j TT

TT

j TT

2

2 2

2

2 2 2 2−+

=

+−

+ωω ω

ωω

o módulo é,

G jT

T( )ω

ω=

+2 2

e a fase Φ(ω)= -tg-1(ω/T) Para as frequências 0, ∞, T, vamos ter:

ωωω

= ⇒==

010

Re( ( ))Im( ( ))

G jG j

G jG j

( )( ) º

ωω

=∠ =

10

ωω

ω= ⇒

=

= −

TG j

G j

Re( ( ))

Im( ( ))

1212

G jG j

( )( ) º

ωω

=∠ = −

12

45

ωωω

→ ∞ ⇒==

Re( ( ))Im( ( ))

G jG j

00

G j

G j( )

( ) ºω

ω=

∠ = −090

Como se pode observar na figura , o gráfico polar deste termo é uma semi-circunferência com centro em (0.5 , 0) e raio igual a 0.5.

Para o termo G jT j

TjT

( )ωω ω

=+

= +1 o módulo e a fase são dados por,

G jT

T( )ω

ω=

+2 2

e Φ(ω)= tg-1(ω/T)

sendo o seu diagrama polar uma recta vertical, paralela ao eixo imaginário positivo, com início no ponto (1,0), como se pode observar na figura ao lado.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Eixo Real

Eixo Imaginário

ω=0ω=∞

ω=T

0 0.5 1 1.5 2-10

0

10

20

30

40

50

ω=0

Eixo Imginário

Eixo Real



• Factores de 2ª Ordem ( )j jn n

n

ω ξω ω ωω

2 2

2

12+ +

±

Vamos considerar inicialmente o factor

G(jω)=ω

ω ξω ω ωn

n nj j

2

2 22( ) + +=

ωω ω ξω ω

n

n n j

2

2 2 2( )− +=

ω ω ω ξω ωω ω ξω ω

n n n

n n

j2 2 2 3

2 2 2 22

2( )

( ) ( )− −

− +

cujo módulo e a fase são dados por

|G(jω)|= ω

ω ω ξω ωn

n n

2

2 2 2 22( ) ( )− +

Φ( )ωξωω

ω ω= −

−

−tg n

n

12 2

2= −

+ −

−

− −

− −tg tgn

n

n

n

12

121 1ω ω ξ

ξωω ω ξ

ξω

Para as altas e baixas frequência temos

ωωω

= ⇒==

010

Re( ( ))Im( ( ))

G jG j

G jG j

( )( ) º

ωω

=∠ =

10

ωωω

→ ∞ ⇒==

−

−

Re( ( ))Im( ( ))

G jG j

00

G j

G j( )

( ) ºω

ω=

∠ = −0180

O diagrama polar deste factor inicia-se em (1,0) e termina em (0,0), tendendo para este último ponto por valores negativos14, para uma variação de ω de zero a infinito. Examinando a expressão* deduz-se que o eixo imaginário é intersectado em ω = ωn , sendo esta frequência caracterizada por,

ω ωω

ωξ

= ⇒=

= −

n

G j

G j

Re( ( ))

Im( ( ))

012

G j

G j

( )

( ) º

ωξ

ω

=

∠ = −

1290

Torna-se assim claro que a forma exacta do diagrama, ver figura*, depende do coeficiente de amortecimento ξ, embora a forma aproximada seja a mesma, quer o sistema seja subamortecido (0<ξ<1), ou sobreamortecido15 (ξ >1). Para um sistema subamortecido, o ponto do diagrama que mais dista da origem possui uma frequência igual à de ressonância, sendo o valor do pico de ressonância igual à razão entre a distância entre este ponto e a origem e a distância entre a origem e o ponto correspondente à frequência nula. Para o factor,

14 Para ω→∞, o diagrama polar é tangente ao eixo real negativo. 15 Para ξ maior que um, o diagrama assemelha-se a uma semicircunferência

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0 ω=∞ ω=0

ξ=0.3

ξ=0.5

ξ=5

ξ=1

1/2ξ

1/2ξ

1/2ξ

1/2ξ

Eixo Imaginário

Eixo Real



G(jω)=( )j j jn n

n

n

n

n

n

ω ξω ω ωω

ω ωω

ξω ωω

2 2

2

2 2

2 22 2+ +

=−

+

cujo módulo e a fase são dados por,

|G(jω)|= ( ) ( )ω ω ξω ω

ωn n

n

2 2 2 2

2

2− +

Φ( )ωξωω

ω ω=

−

−tg n

n

12 2

2=

+ −

+

− −

− −tg tgn

n

n

n

12

121 1ω ω ξ

ξωω ω ξ

ξω

Para as altas e baixas frequência temos

ωωω

= ⇒==

010

Re( ( ))Im( ( ))

G jG j

G jG j

( )( ) º

ωω

=∠ =

10

ωωω

→ ∞ ⇒= −∞= +∞

Re( ( ))Im( ( ))

G jG j

G jG j

( )( ) º

ωω

= ∞∠ = 180

sendo a fase de -180º, para ω→∞, justificada por um crescimento mais rápido do módulo da parte real do que da parte imaginária. Tal como o factor anterior, também este vai intersectar o eixo imaginário em ω = ωn, sendo esta frequência caracterizada por,

ω ωωω ξ

= ⇒==

n

G jG j

Re( ( ))Im( ( ))

02

G jG j

( )( ) º

ω ξω

=∠ =

290

Na figura ao lado pode-se observar a forma geral do diagrama polar deste termo para frequências não muito superiores a zero16 .

16 Para quem tem dúvidas relativamente ao facto de que a fase tende para -180º quando a frequência tende para infinito, sugerimos que prolongue a curva e desenhe vários vectores entre a origem e aquela. Agora, se medir o ângulo entre o eixo real positivo e os vectores, facilmente concluirá que quanto maior o vector (mais elevada a frequência) mais perto aquele estará dos 180º.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Eixo Imaginário

Eixo Real

2ξ



Formas Gerais dos Diagramas Polares Suponha uma função de transferência da forma :

( )G j

K j T j T

j j T j T

b j b ja j a j

a bm m

n n

( )( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

ωω ω

ω ω ω

ω ωω ω

λ=+ +

+ +

=+ ++ +

−

−

1 1

1 11 2

0 11

0 11

L

L

L

L

em que n ≥m, K>0, Ti≥0 para i=1,2,3, ...ou a,b,c,..., e λ é o tipo do sistema, ou seja, o número de pólos na origem. Com base nestes parâmetros passa-se a analisar a forma do diagrama polar para as baixas e altas frequências, respectivamente. • Proximidade da Origem (ω→0) Quando a frequência está próxima de zero, a função de transferência G(jω) é dada por,

lim ( ) lim( )ω ω λω

ω→ →=

0 0G j

Kj

O módulo e fase são, respectivamente,

G jK

( ),,ω

λλ

==

∞ >

00

e ∠ = − ×G j( ) ºω λ90 Com base nestes resultados podemos concluir que: 1. Para λ=0, o diagrama tem início no eixo real a uma distância K da origem e a tangente

ao diagrama polar em ω = 0, é perpendicular ao eixo real. 2. Para λ=1, e uma vez que o módulo é infinito e a fase -90º (quando ω→0), o diagrama

polar aproxima-se assimptóticamente de uma recta paralela ao eixo imaginário negativo, em que esta é determinada calculando o limite de Re(G(jω)) quando ω→0.

3. Para λ=2, o diagrama polar aproxima-se assimptóticamente de uma recta paralela ao

eixo real negativo, porque o módulo e a fase de G(j 0) são respectivamente, infinito e -180º. (*Assimptota é obtida, através do limite de Im(G(jω)) quando ω→0*).

• Proximidade do Infinito (ω→∞) Quando a frequência tende para infinito G(jω) é dado por,



lim ( ) lim( ) ( )( ) ( )

lim( )( )ω ω ω

ωω ωω ω

ωω→∞ →∞

−

− →∞=

+ ++ +

≅G jb j b ja j a j

b ja j

m m

n n

m

n0 1

1

0 11

0

0

L

L

uma vez que as potências de ordem inferior a n e m são desprezáveis quando comparadas com as de ordem n e m. O módulo e fase são, respectivamente,

G jb a n m

n m( )

/ ,,

ω ==

>

0 0

0

e Φ( ( )) º ( )G j n mω = − × −90 Com base nestes resultados podemos concluir que: 1. Para n = m, o diagrama polar termina num ponto sobre o eixo real positivo. 2. Para n-m=1, a curva converge para a origem e é tangente ao eixo imaginário negativo. 3. Para n-m=2, a curva converge para a origem e é tangente ao eixo real negativo. Outros dois aspectos importantes na construção de um diagrama polar, são, por um lado, a determinação dos pontos em que o eixo real e imaginário são cruzados pelo diagrama e as respectivas frequências, e por outro o conhecimento da forma exacta do diagrama polar na vizinhança do ponto -1+ 0 j. Como nota final impõe-se dizer que, contrariamente às representações logarítmicas, nos diagramas polares as curvas de sistemas complexos não se obtêm por adição das curvas dos factores simples. Assim, se : G(jω)=G1(jω) G2(jω) em que G1(jω)=|G1(jω)| Φ(G1(jω)) e G2(jω)=|G2(jω)| Φ(G2(jω)) então |G(jω)|= |G1(jω)| |G2(jω)| e Φ(G(jω))= Φ(G1(jω)) + Φ(G2(jω)) Consequentemente, se se deseja obter o diagrama polar de G1(jω) G2(jω), é mais conveniente esboçar o primeiro diagrama de Bode e posteriormente convertê-lo num polar, do que desenhar os diagramas polares de G1(jω) e G2(jω) e posteriormente multiplica-los no plano complexo por forma a obter o diagrama polar de G1(jω) G2(jω).



CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST No semestre passado, foram discutidos dois métodos para determinar a estabilidade de um sistema linear. O critério de Routh-Hurwitz e o Lugar Geométrico das Raízes, que se baseavam na determinação das raízes da equação característica. O critério de Nyquist é um método gráfico que permite determinar a estabilidade de um sistema em cadeia fechada, partindo da análise da resposta em frequência de um sistema em cadeia aberta. Este facto é importante na medida em que nem sempre as expressões matemáticas de alguns componentes são conhecidas e a obtenção da resposta em frequência recorrendo a testes experimentais não é muito complicada. Se por um lado fornece a mesma informação relativamente à estabilidade absoluta, como o critério de Routh-Hurwitz, por outro, indica o grau de estabilidade (estabilidade relativa) de um sistema estável, e o grau de instabilidade de um sistema instável. Também nos indica como a estabilidade pode ser melhorada, se necessário. Vamos considerar um sistema em cadeia fechada na forma canónica, como se representa na figura seguinte:

G(S)

H(S)

R(S) C(S)

B(S)

E(S)+-

A função de transferência em cadeia fechada é dada por,

C SR S

G SG S H S

( )( )

( )( ) ( )

=+1

em que, F(S)=1+G(S) H(S) é designada por equação característica. Considerando que : G(S)=N1/D1 e H(S)=N2/D2 deduz-se que,

G S H SN ND D

F SN ND D

D D N ND D

C SR S

N DD D N N

( ) ( ) , ( ) ,( )( )

= = + =+

=+

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2 1 21

Se compararmos estas três expressões verificamos que : • Os pólos de G(S)H(S) e de F(S) são os mesmos; • O numerador de F(S) é idêntico ao denominador de C(S)/R(S), isto é, os zeros de F(S)

são os pólos de C(S)/R(S). O que permite afirmar, que num sistema estável, os zeros de F(S), equação característica, não podem estar no SPCD ou sobre o eixo imaginário. Para introduzir o critério de Nyquist, vamos considerar algumas transformações do plano complexo S no plano F(S). Suponha uma função F(S) dada por,



F(S)=S - S0 em que S0 é um número, possivelmente complexo. Como se pode observar na figura*, o contorno C1 no plano S vai ser transformado no contorno Γ1, no plano F(S), calculando F(S) para os pontos de C1 e marcando o resultado no plano F(S).

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

3

4

Contorno C1 Contorno Γ1

Analisando a figura nota-se que: • O contorno C1 envolve o zero de F(S), S0, no sentido cw; • O ângulo do vector S - S0 sofre uma variação de -360º; • O Contorno Γ1 engloba a origem do plano F(S) e circula em redor desta no sentido cw. Consideremos agora a função,

F SS S

( ) =−1

0

que é a inversa da anterior. Se o contorno C1 for transformado no plano F(S) através desta função, o vector S - S0 não se altera. Uma vez que F(S) é o inverso deste vector, a sua magnitude é o inverso da observada na figura* e a sua variação do ângulo é a simétrica.

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Pode-se concluir que : • O contorno C1 envolve o pólo de F(S), S0, no sentido cw; • O ângulo do vector S - S0 sofre uma variação de -360º, o que significa que o ângulo de

1/(S - S0) varia 360º; • O Contorno Γ2 engloba a origem do plano F(S) e circula em redor desta no sentido

ccw. Como terceiro exemplo, suponha que a transformação F(S) é dada por,



F SS S

S S S S( )

( )( )( )

=−

− −0

1 2

Como se observa na figura*, enquanto o ponto s circula ao longo do contorno C2, os ângulos de cada um dos vectores, (S - S1), (S - S2) e (S - S3), variam -360. No entanto, como F(S) resulta do produto do vector (S - S1), contribui com -360º, pelo inverso do produto dos vectores (S - S2) e (S - S3), cada um contribui com 360º, conclui-se que o ângulo desta função varia 360º. Assim, o contorno Γ2, que resulta da transformação de C2 no plano F(S), vai circundar a origem uma vez.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Observando as figuras * e * conclui-se que: • O contorno C2 envolve os pólos e o zero de F(S), no sentido cw; • O Contorno Γ2 engloba a origem do plano F(S) e circula em redor desta no sentido

ccw. Através destes exemplos tornou-se possível verificar que existe uma relação entre o numero de pólos e zeros envolvidos pelo contorno C no plano S e o numero e sentido de envolvimentos da origem no plano F(S). Este resultado é confirmado pelo teorema conhecido como o Principio do argumento de Cauchy e é a base para o critério de estabilidade de Nyquist.

VER Teorema: Sendo F(S) uma razão de polinómios (com P pólos e Z zeros), a um contorno fechado em S, com sentido cw, que não passe sobre pólos e ou zeros e que os envolva a todos, corresponde um contorno fechado em F(S), que circulará N=Z-P vezes em torno da origem no sentido cw17. Aplicação à Análise de Estabilidade Como referido anteriormente, para um sistema em cadeia fechada ser estável, a sua equação característica não pode ter zeros no semiplano complexo direito, assim se definirmos, um contorno que engloba todo o semiplano complexo direito (todos os pólos e zeros de F(S) no SPCD estão no interior deste contorno) e F(S) como a equação característica, podemos, recorrendo ao teorema anterior, determinar se o sistema em cadeia fechada é estável ou não (Z=N+P). Vamos então caracterizar, ver figura*, um contorno que deve conter todo o SPCD no seu interior e que usualmente, é designado por contorno de Nyquist: • Eixo imaginário de -∞ a +∞; 17 Considera-se que rotações no sentido cw são positivas e rotações no sentido ccw são negativas.



• Semicírculo de raio infinito no SPCD; • Contorno não pode passar por pólos e zeros e circula no sentido cw.

S

R→∞

+j∞

-j∞

Re

Img



Dado que, para um sistema ser fisicamente realizável, o grau do polinómio do denominador da função de transferência em cadeia fechada deve ser igual ou superior ao do numerador,

[ ]lim ( ) ( )S

G S H S→∞

+ =1 constante.

Este resultado significa que a transformação do semicírculo de raio infinito no plano F(S) é um ponto fixo sobre o eixo real. O efeito, de considerar a transformação no plano F(S) do contorno de Nyquist ou somente de todo o eixo imaginário, é idêntico. Por outras palavras, todo o contorno no plano F(S) ocorre quando o ponto s circula entre -∞j e +∞j no plano S, pelo que se pode concluir que o contorno em F(S) mais não é do que a representação no plano complexo da função 1+G(jω)H(jω) quando ω varia entre -∞ e +∞. Deste modo, a representação de 1+G(jω)H(jω), é obtida por um lado, desenhando o diagrama polar, que corresponde a uma variação de frequências entre 0 e +∞, por outro, não esquecendo que a curva para as frequências negativas é simétrica à curva para as frequências positivas, com o eixo real como eixo de simetria. Vamos agora aplicar o teorema anterior a uma situação concreta, em que F(S) é a equação característica de um sistema em cadeia fechada e o contorno C é um contorno de Nyquist, como representado na figura*, e engloba todo o semiplano complexo direito. Aplicando o principio do argumento de Cauchy, Z é o número de zeros da equação característica do sistema no SPCD, o que significa que Z tem de ser zero para que o sistema seja estável. P é o número de pólos da equação característica ou da função de transferência em cadeia aberta, G(S)H(S), no SPCD. Sendo,

( )( )( )F S

SS S S

( ) = ++

+ − +1

6 12 2 2

2

2

com pólos em: -2, 1+j, 1-j. Observando a figura* nota-se que a transformação do contorno de Nyquist, figura*, no plano F(S), envolve duas vezes a origem no sentido ccw, isto é N=-2, mas como P=2, F(S) tem dois pólos no SPCD, podemos concluir que o sistema em cadeia fechada é estável, Z=-2+2=0

-2 -1 0 1 2 3-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Re

ImF(S)

-3 -2 -1 0 1 2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Re

ImG(S)H(S)

Nas figuras anteriores o traço continuo corresponde a ω negativo, e o interrompido a ω positivo.



Suponha que F(S), a equação característica, é substituída pela função de transferência em cadeia aberta, G(S)H(S). O gráfico resultante, figura*, tem a mesma forma que o de F(S) mas foi deslocado para a esquerda uma unidade. Assim em vez de se representar 1+G(jω)H(jω) e contar o número de envolvimentos à origem, obtém-se o mesmo resultado representando G(jω)H(jω) e contando o número de envolvimentos ao ponto -1. Após tudo o que foi exposto até este momento, podemos definir o Critério de Estabilidade de Nyquist como: Considere o contorno de Nyquist como estabelecido anteriormente e a sua transformação no plano G(S)H(S), contorno ΓI. Suponha ainda que G(S)H(S) não possui nem pólos nem zeros no eixo imaginário e que lim ( ) ( )

SG S H S

→∞=constante. Então,

Z = N + P em que Z = número de zeros de 1+G(S)H(S) no SPCD ou o número de pólos do sistema em cadeia fechada; N= número de envolvimentos do ponto -1 no sentido cw18 pelo contorno ΓI ; P= número de pólos de G(S)H(S) no SPCD. Ao examinar o Critério de Estabilidade de Nyquist observa-se que três situações podem ocorrer: 1. Não existem envolvimentos do ponto -1. Significa que o sistema é estável se não

existirem pólos de G(S)H(S) no SPCD, se existirem, o sistema é instável.

NP Sistema EstavelP Sistema Instavel=

= ⇒≠ ⇒

000,

2. Existem envolvimentos de -1 no sentido ccw (-N). Nesta situação o sistema é estável se o número de envolvimentos for igual ao número de pólos de G(S)H(S) no SPCD, em caso contrário o sistema é instável.

NN P Sistema EstavelN P Sistema Instavel

<= ⇒≠ ⇒

0,| || |

3. Se existir um ou mais envolvimentos de -1 no sentido cw então o sistema é instável. N>0 ⇒ Sist. Instável

Vamos agora resolver um exemplo de aplicação. Exemplo: Considere um sistema com a seguinte função de transferência em cadeia aberta:

G S H SS

( ) ( ) =−1

3. Determine se o correspondente sistema em cadeia fechada é

estável? Resolução:

G j H jj

j( ) ( )ω ω

ω ωω

ω=

−=

−+

−+

13

39 92 2

G j H j G j H j tg( ) ( ) ; ( ) ( ) ºω ωω

ω ωω

=+

∠ = − +

−1

3180

32 31

18 Envolvimentos no sentido ccw, significa que N é negativo.



lim ( ) ( ) ; lim ( ) ( )ω ω

ω ω ω ω→ →∞

= − = − −0

13

0G j H j G j H j j

Partindo destes valores e tendo em conta que G(-jω)H(-jω) é o conjugado G(jω)H(jω), podemos construir o gráfico de G(jω)H(jω), figura *, quando a frequência varia entre -∞ e +∞. Analisando esta figura observa-se que o contorno não envolveu o ponto -1, N=0. Por sua vez a função de transferência em cadeia aberta possui um pólo no SPCD, P=1. Podemos então concluir, recorrendo ao Critério de Estabilidade de Nyquist, que o sistema em cadeia fechada é instável, uma vez que tem um pólo no SPCD. Z=N+P=0+1=1. Pólos e Zeros sobre o eixo Imaginário Vamos agora considerar uma situação que não verifica as condições do Critério de estabilidade de Nyquist. Algumas funções de transferência em cadeia aberta possuem pólos e ou zeros no eixo imaginário, o que, e segundo a nossa definição do contorno de Nyquist, viola o princípio da não existência de pólos e ou zeros sobre o contorno de Nyquist. Por conseguinte, torna-se necessário alterar o contorno de Nyquist de modo a satisfazer este princípio e assim permitir a análise de estabilidade do sistema. consequência Para ilustrar esta situação vamos recorrer a um exemplo em que a função de transferência tem um pólo na origem19. Considere a seguinte função de transferência em cadeia aberta:

G S H SK

S S T S T( ) ( )

( )( )=

+ + 1

O contorno de Nyquist da figura *, é modificado, na vizinhança de S = 0, para evitar passar sobre a origem, como mostrado na figura *, para permitir a análise de estabilidade. Assim o contorno de Nyquist modificado consiste em, • Eixo imaginário de -∞ até 0-. • Semicírculo de raio infinitesimal, no SPCD, descrito S=ε ejθ, em que θ varia entre -π/2

e π/2. • Eixo imaginário de 0+ a +∞.

19 Embora algumas funções de transferência também possam possuir pólos e ou zeros no eixo imaginário, esta situação não é usual. O procedimento usado tambem é aplicavel a sistemas com pólos e ou zeros imaginários puros.

-0.4 -0.2 0-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Re

Im

ω=0+

ω=0−

ω=+∞

ω=−∞

GH



• Semicírculo de raio infinito, no SPCD. Ao permitirmos que o semicírculo que envolve a origem tenha um raio infinitesimal, ε→0, asseguramos a inclusão de todos os pólos e zeros no SPCD.

S

θε

1

2

3

4

5+j∞

-j∞

j0+

j0-

j0+

j0-

Vamos agora analisar a transformação do semicírculo que envolve a origem, ver figura , em G(s)H(S). Para a porção semicírcular do caminho de Nyquist modificado representado por S=ε ejθ, em que ε→0 e − ≤ ≤π θ π/ /2 2, a função de transferência em cadeia aberta é dada por,

G(S)H(S)= KS

Ke

Ke

Kej

j j1 1 1 1= = =−

ε ε εθθ ψ , K1=

KT T1

em que K1/ε→∞ quando ε→0, e ψ = -θ varia entre π/2 e -π/2 quando S caminha no sentido ccw entre ε ∠-π/2 e ε ∠π/2. Assim, como mostrado na figura , os pontos correspondentes a ω→0- e ω→0+ são ligados por um semicírculo de raio infinito no primeiro e quarto quadrantes. Igualmente na figura , pode-se observar a transformação dos pontos 2, 3 e 4 do contorno de Nyquist, figura , no plano GH. Se aplicarmos o critério de estabilidade de Nyquist a este exemplo, verifica-se que, o ponto -1 nunca é envolvido, G(S)H(S) não tem pólos no SPCD, o que implica que Z=P+N=0 e o sistema em cadeia fechada é estável . Funções de transferência que contenham o termo Sm no denominador têm a seguinte forma geral, quando ε→0,

G(S)H(S)= KS

Ke

Ke

Kem

mm

m jmmm

jm mm

jm= = =−

ε ε εθθ ψ

em que m=1,2,3,4,.... . Com o raciocínio usado no exemplo precedente, conclui-se a partir da equação anterior, que quando S percorre o semicírculo de 0- a 0+, são traçados m semicírculos, no sentido cw, de raio infinito relativamente à origem, no plano G(S)H(S). Se m = 2, quando θ varia entre π/2 e -π/2 no plano S com raio ε, G(S)H(S) é sujeito a uma rotação de 2x180º=360º. Quando a curva G(jω)H(jω) passa sobre o ponto -1+j0, o número N de envolvimentos é indeterminado. Esta situação corresponde à existência de zeros de F(S) no eixo

0

0Re

Im

-1+0j

1

2

3

4

5ω=0+

ω=0−

ω=+∞

ω=−∞

GH



imaginário. Se F(S) possuir zeros imaginários puros significa que a resposta do sistema em cadeia fechada terá, em estado estacionário, uma componente sinusoidal que é independente da entrada, logo o sistema será criticamente estável.

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