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INCLUINDO FRACTAIS NO ENSINO DE GEOMETRIA DA EDUCAÇÃO

BÁSICA

Antônio do Nascimento Gomes; José Antonio Salvador; Pedro Luiz

Aparecido Malagutti

(UFSCar – Universidade Federal de São Carlos)

CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior;

SEE-SP – Secretaria Estadual de Educação de São Paulo

Eixo Temático 9: Materiais Pedagógicos no Ensino e na Formação de

Professores.

Objetivos e Metodologia

Neste trabalho descrevemos algumas experiências que fazem parte da

pesquisa de nosso Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas, da

Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) e estão sendo desenvolvidas

pelo primeiro autor juntamente com seus orientadores em uma escola

pública da cidade. Os envolvidos também fazem parte de um projeto da

Universidade que busca a formação de uma rede colaborativa entre

estudantes de graduação, professores da Rede Pública, alunos do Mestrado

Profissional e docentes da Universidade 1.

As seguintes etapas/objetivos constituem basicamente o plano de trabalho

durante o curso de Mestrado: catalogação e análise de livros didáticos e

paradidáticos, jogos, filmes e outras mídias digitais; construção de um

material de apoio (atividades lúdicas e práticas); estudo da Geometria Fractal

e interligação desta com os conteúdos específicos de Geometria Euclidiana

do Ciclo II do Ensino Fundamental 2; pesquisas com professores e alunos

(através de entrevistas).

Também são considerados objetivos de fundamental importância: a

mobilização de professores para que façam uso das mais variadas formas

de apresentação de um conteúdo de modo que este possa ser mais atraente

para os alunos e mais prazeroso ao professor; e a mobilização dos alunos

com estratégias e temas variados para que a relação binária professor-aluno

e aluno-aluno seja comutativa e se torne mais confiante e amigável

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promovendo o melhor rendimento dos estudantes.

O primeiro momento do trabalho foi uma investigação acerca de teorias de

aprendizagem e conteúdos específicos de matemática elementar que são

trabalhados na pesquisa. Além disso, o Estudo da Geometria Fractal e sua

potencialidade: o vínculo entre a matemática elementar e temas como

Ciências, Arte e Natureza.

Buscamos neste estudo um levantamento bibliográfico e as contribuições

dos autores referentes a metodologias diferenciadas de ensino, e um vasto

conteúdo matemático que deve ser ensinado neste nível e suas formas de

apresentação em diversos livros e outros materiais já existentes.

Por outro lado, o trabalho possui uma parte dedicada às bases

fundamentais mais avançadas desta geometria escolar de oitava série, sua

história, concepções e abordagens, bem como uma análise da abordagem

da mesma nos cursos atuais de Licenciatura em Matemática.

Vale destacar em BARBOSA [2], sobre as figuras fractais: “Mandelbrot as

denominou fractais, baseando-se no latim, do adjetivo fractus, cujo verbo

frangere correspondente significa quebrar, criar fragmentos irregulares,

fragmentar. Decorre que quando se diz Geometria Fractal refere-se ao

estudo dos fractais.”

Uma atenção especial é dada às legislações existentes no âmbito

educacional, a saber, os Parâmetros Curriculares Nacionais [6] e a Proposta

Curricular do Estado de São Paulo [9], que são os norteadores do trabalho

docente em âmbito nacional e estadual. É imprescindível que o produto final

do projeto seja de fácil aplicabilidade por professores, e portanto, não esteja

na contramão das tendências nacionais e estaduais, e tampouco fora do

contexto profissional do docente.

Ainda aguardamos a devolutiva de questionários enviados a um grupo de

professores procurando estabelecer a posição ocupada pela Geometria na

concepção deles e detectar alguns fatores que causariam o sucesso ou

fracasso de suas atividades em sala de aula.

A análise de livros didáticos nos dá um perfil do que os autores mais lidos e

usados pensam da Geometria e seu ensino e como a colocam em suas

publicações. Não temos o objetivo aqui de eleger os melhores livros, mas

sim, estudar que tipo de material está disponível para os professores e

alunos das escolas da rede pública paulista.

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Por fim, a análise de avaliações já realizadas e índices de rendimento de

alunos poderá mostrar rumos a seguir ou ações a serem tomadas no tocante

a que conteúdos dar maior ênfase no processo de ensino-aprendizagem.

Mesmo sabendo da subjetividade de tais índices e avaliações, quando feitas

sem comprometimento dos alunos, poderemos delinear ações futuras com

alguma previsibilidade.

Concomitantemente a estes processos mais introspectivos de estudo e

pesquisa, elaboramos e adaptamos atividades que foram aplicadas com os

alunos de 5ª e 8ª séries do Ensino Fundamental. A partir daí, o projeto se

foca nas análises da aplicação destas atividades, planejamento das

atividades e aplicações seguintes juntamente com sua análise.

Adotamos as idéias de Schneuwly e Dolz, além de outros autores, que

trouxeram discussões acerca de Seqüências Didáticas. Um trabalho deste

tipo consiste na apresentação de “um conjunto de atividades ordenadas,

articuladas e estrategicamente elaboradas, que atendem a objetivos

específicos e que pretendem sanar uma dificuldade dos alunos ou contribuir

para a apropriação de um novo conteúdo” (CENPEC, 2006). Nesta

perspectiva, tanto o trabalho do professor pode ser mais estruturado e

orientado, quanto o aprendizado dos alunos pode ser mais respeitado e

gerar mais frutos, dado que o ritmo da sala e de cada aluno em particular é

respeitado.

Trabalhar com seqüências didáticas consiste em basicamente 3 etapas,

que vão se repetindo e tendo um grau de elaboração e dificuldade maior: 1)

levantamento de conhecimentos prévios, 2) apropriação de novos

conhecimentos e 3) sistematizações e avaliações.

O que fizemos nas atividades aqui expostas pode ser organizado em uma

seqüência didática, com as etapas abaixo:

- levantamento de conhecimentos prévios: através da construção do Cartão

Fractal Triangular;

- apropriação de novos conhecimentos: com a construção das “faces” e

montagem do Balão Fractal;

- sistematizações e avaliações: socialização dos trabalhos e discussões;

preenchimento de tabelas – descoberta/confirmação de regularidades.

Charlot traz a luz um conceito de fundamental importância para o

desenvolvimento do projeto: o de mobilização. Uma das questões centrais

do projeto é entender a falta de motivação dos alunos (e professores) em

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apreender (e ministrar) determinados conteúdos e combatê-la, através de

atividades motivadoras. A leitura de Charlot extrapola este conceito no

sentido de que mobilização parece ser mais pertinente: não queremos

somente que o aluno se sinta atraído de forma exterior pela atividade ou

conteúdo, mas sim que se mobilize de alguma forma, interna e

externamente, para a realização de tal tarefa ou apreensão de tal conteúdo.

É neste contexto que atividades do tipo destas estão inseridas. O aluno se

mobiliza a trabalhar com a atividade que a princípio parecia simples mas se

mostra elaborada no decorrer do seu desenvolvimento, onde habilidades

matemáticas são requeridas e ele se sente desafiado.

Ainda segundo Charlot, o conceito de mobilização implica a idéia de

movimento: “Mobilizar é por em movimento; mobilizar-se é por-se em

movimento (...) mobilizar-se é engajar-se em uma atividade (...) porque

existem “boas razões” para fazê-lo.” (CHARLOT, 2000, P. 54-55)

No caso, a “boa razão” para o aluno pode ser este desafio de concluir com

êxito a tarefa, inclusive na parte estética, para o posterior reconhecimento

por parte do grupo.

Caracterização das turmas pesquisadas

O seguinte quadro mostra as características principais das turmas

pesquisadas bem como o ambiente em que se inserem.

Cidade: São Carlos

Estado: São Paulo

Escola: EEPAMG

Níveis: Fundamental (ciclo I e II) e Médio

Turmas pesquisadas: 3

Série: 5ª (2 turmas) e 8ª

Turno: Matutino

Média de alunos por sala: 33

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Outras particularidades: Escola situada em um distrito a 10 km

do perímetro urbano que atende a

alunos de fazendas e do distrito; há

uma considerável rotatividade de

alunos visto que os familiares

necessitam se mudar com freqüência;

os alunos utilizam transporte escolar

municipal precário e levam grande

tempo para se locomover entre suas

casas e a escola

Quadro 1 – caracterização das turmas

Desenvolvimento da atividade Construção do Balão Fractal:

Objetivo

O objetivo da atividade é a construção do sólido denominado Balão Fractal.

Este sólido, desenvolvido pelos autores, é uma variação do conhecido

Cartão Fractal Triangular, de fácil construção e que guarda semelhanças

com o Triângulo de Sierpinski, fractal clássico presente na literatura.

Figura 1 – O Triângulo de Sierpinski, em uma construção feita pelos alunos.

O Balão, por sua vez, é composto de 4 partes iguais e cada uma destas é

composta da junção de dois cartões triangulares conforme ilustra a figura 2.

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Figura 2 – O Balão Fractal montado

Pretendeu-se com esta atividade a integração dos alunos, estagiários e

professor na confecção dos balões que serviram como parte da decoração

da Festa Junina da escola, que se aproximava e devido a sua dimensão,

reúne toda a comunidade escolar e todos trabalham para a sua organização

e sucesso.

A atividade foi realizada com alunos de 5ª e 8ª séries do Ensino

Fundamental e exploramos os seguintes tópicos: Múltiplos e Divisores;

Frações; Medidas; Perímetro e Área.

Materiais Usados:

- folhas de papel reaproveitado 3 (revista) ou sulfite (sugestão de medidas:

16 x 20 cm);

- folhas de papel cartão colorido (sugestão de medidas: 32 x 48 cm);

- tesoura, régua, lápis, grampeador;

Construção 1 – O Cartão Fractal Triangular no papel reaproveitado ou sulfite

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Figura 3 – O Cartão Fractal Triangular

1- Dobre uma folha retangular de largura L e comprimento C ao meio de

forma que a dobra tenha dimensões L e C/2.

2- Divida esta nova folha dobrada em 4 partes congruentes, de comprimento

C/4 e largura L/2. Isto pode ser feito facilmente com dobras ou com a régua

e o lápis.

3- Recorte a largura do retângulo inferior esquerdo (j) e dobre-o para dentro

(lembrando que um dos lados deste retângulo possui a dobra inicial).

4- Repita o procedimento com os retângulos restantes na parte esquerda da

folha enquanto possível.

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(1) (2)

Figura 4. (1) Primeira dobra, a divisão em 4 retângulos congruentes, o segmento j, que

deverá ser cortado e o retângulo em destaque, que será dobrado internamente. (2) situação

final: os retângulos em destaque são sucessivamente dobrados internamente, do maior para

os menores: marrom, verde e azul.

Esta construção nos permite obter, ao desdobrarmos a folha, o cartão

exposto na figura 3.

Construção 2 – As “faces” do Balão Fractal e sua montagem

O aluno observa aqui, com experiências realizadas com a construção

anterior e através de um modelo pronto, como o balão será montado, e

percebe que são necessários dois triângulos para cada “face” do balão, e

que estes triângulos devem ser construídos a partir de dobras e cortes em

uma mesma folha.

1- Dobre o papel cartão de largura inicial L e comprimento inicial C ao meio

de modo a obter um novo retângulo de dimensões C e L/2 (figura 5).

2- Construa os segmentos de medida C/4 a partir de cada lateral. Construa

também o segmento de medida L/4 (metade do retângulo já dobrado).

Figura 5 – primeira dobra, primeiros traços e os segmentos i e n, que serão recortados e

dobrados internamente.

3- Recorte estes segmentos (i e n) até a metade e dobre internamente o

retângulo resultante.

4.1- Repita o processo para o retângulo central.

4.2- Nos retângulos laterais restantes do passo anterior, divida-os em 4

retângulos congruentes (suas medidas serão a metade de cada lado) e

recorte os centrais.

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Figura 6 – ilustração dos passos 4.1 e 4.2

5 – Repita o processo 4.1 e 4.2 no retângulo central e nos laterais restantes.

Figura 7 – configuração final, onde os retângulos coloridos são recortados e dobrados

internamente, na ordem: marrom, azul, verde.

Figura 8 – uma das faces do Balão Fractal

A exploração matemática dos conceitos e dos cálculos realizados podem

ser organizadas por meio de tabelas a serem preenchidas pelos estudantes.

É neste preenchimento que o professor organiza questionamentos e as

conclusões dos alunos.

Aqui, ao tratar das medidas nos sucessivos passos da construção, os

conteúdos relacionados anteriormente são explorados.

Segue-se modelos de tabelas preenchidos com os dados referentes as

sugestões de medidas acima.

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DADOS INICIAIS DA FOLHA

COMPRIMENTO (cm) 20

LARGURA (cm) 16

PERÍMETRO (cm) 72

ÁREA (cm2) 320

PASSO 1 2 3

COMPRIMENTO DO

BURACO 4

10 5 2,5

LARGURA DO

BURACO

8 4 2

PERÍMETRO DO

BURACO

36 18 9

ÁREA DO BURACO 80 20 5

PERÍMETRO

RESTANTE

92 102 107

ÁREA RESTANTE 240 200 180

Tabela 1– Cartão Fractal Triangular

DADOS INICIAIS DA FOLHA

COMPRIMENTO (cm) 48

LARGURA (cm) 32

PERÍMETRO (cm) 160

ÁREA (cm2) 1536

PASSO 1 2 3

BURACO

CENTRAL

COMPRIMENTO 24 12 6

LARGURA 16 8 4

PERÍMETRO 80 40 20

ÁREA 384 96 24

BURACOS

LATERAIS

COMPRIMENTO - 6 3

LARGURA - 4 2

PERÍMETRO - 20 10

ÁREA - 24 6

PERÍMETRO RESTANTE 240 280 300

ÁREA RESTANTE 1152 960 768

Tabela 2– Face do Balão Fractal

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As investigações presentes no preenchimento das tabelas consiste em

colocar no papel os dados das efetivas dobras e cortes feitos, além do

cálculo de áreas e perímetros. Além disso, pode ser trabalhado o

comportamento da figura nos próximos passos, que não foram feitos

concretamente, afinal espera-se que o aluno perceba as regularidades

presentes.

Resultados e Discussão:

Os alunos envolvidos com a atividade já tinham conhecimento prévio do

assunto Geometria Fractal devido a outras atividades desenvolvidas

anteriormente, a saber: apresentação do tema através de vídeos e slides,

construção do Triângulo de Sierpinski (figura 1) e estudo de suas

regularidades.

O aluno consegue facilmente observar os padrões e regularidades

presentes nas figuras, o qual chamamos de auto-semelhança. Também é

nítido o interesse destes pela beleza das figuras geradas por computador.

A construção do triângulo fractal foi feita para suscitar a curiosidade dos

alunos em descobrir como aquela figura se transformaria num balão e

também como teste para que treinassem medições e recortes na folha

menor antes de passarem ao processo de construção do balão, que é mais

complexo e exige mais atenção.

Na quinta série, a construção do Triângulo Fractal traz a tona as

dificuldades de alguns alunos com o uso da régua, a saber:

- posicionamento da régua para medir determinado segmento;

- desconhecimento do fato que esta medida é na verdade o número de

espaços de 1 centímetro que a régua acusa;

- o aluno não consegue posicionar a régua de forma adequada nos pontos

para a construção dos segmentos.

Atividades de medição com régua não estão presentes, em geral, no

cotidiano dos alunos, e requerem um treinamento que talvez não tenha sido

sistematizado nas séries iniciais, daí a dificuldade encontrada nos

estudantes.

Além disso, observamos que o aluno: não identifica o processo iterativo e,

desatencioso, recorta outra parte do papel, inutilizando-o. Apesar do

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momentâneo desânimo do aluno quando isto acontece, é possível reverter a

situação.

As dificuldades de medição foram notadas tanto na 5ª como na 8ª séries

em cerca de 20 % dos alunos envolvidos, e os cortes errados, em 5 % dos

alunos, também das duas séries.

Apesar da aparente distância entre os alunos de 5ª e 8ª séries, as

dificuldades observadas e também o êxito na execução da tarefa foi muito

semelhante.

Primeiras conclusões:

Com esta atividade e outras já realizadas, podemos elencar alguns pontos

de interesse para estudo:

- os alunos gostam e se interessam pelas figuras apresentadas, ou seja, é

possível mobilizá-los através de um apelo visual;

- a construção, que sob alguns aspectos é cansativa/repetitiva é concluída

com êxito pela extrema maioria dos alunos, inclusive por alguns que

geralmente não participam efetivamente das aulas no dia a dia em atividades

vistas como tradicionais;

- poucos alunos apresentam problemas mais sérios com a construção, que

quando usada de forma diagnóstica, dá ao professor a chance de entender a

dificuldade apresentada pelo aluno e trabalhar para saná-la;

- a álgebra que traduz as observações de padrões em fórmulas não é

apreendida pelos alunos neste momento como deveria;

- o trabalho com a álgebra até a sétima série, o momento em que ela é

destaque, deve ser intensificado ou abordado de outras formas para que o

problema não persista na oitava série;

- os alunos não apresentam dificuldade no trato com múltiplos e divisores.

Os próximos passos do presente estudo serão a análise dos dados

coletados nas entrevistas e a organização do trabalho final.

Notas:

1- Projeto intitulado “Produtos educacionais no Mestrado Profissional em

Ensino de Ciências e Matemática: itinerários de desenvolvimento e

implementação, a partir da rede de pesquisa participante Escola-

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Universidade”, sob financiamento da CAPES, através do Edital Observatório

da Educação.

2- De acordo com a legislação estadual paulista vigente, a denominação

Ciclo II do Ensino Fundamental se refere ao período da 5ª a 8ª séries ou 6º

ao 9º ano.

3- o papel reaproveitado, como as folhas de revista, por exemplo, são úteis

quando a atividade é feita somente com dobras; para a atividade feita com

medições usando a régua, é aconselhável utilizar um papel limpo, onde as

marcações são mais visíveis.

4- O termo buraco é usado para representar a região da folha que é

recortada e dobrada internamente.

Referências Bibliográficas:

[1] BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Coleção

do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2005.

[2] BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de

aula. Coleção Tendências em Educação Matemática. Belo Horizonte:

Autêntica.

[3] CHARLOT, Bernard. Da relação com o saber. Porto Alegre: Artmed,

2000.

[4] FUNDAÇÃO VOLKSWAGEN/CENPEC. Ler e Escrever – Desafio de

todos. São Paulo: Cenpec, 2006.

[5] KEMMIS, Stephen; WILKINSON, Mervyn. A pesquisa-ação participativa e

o estudo da prática. In: DINIZ-PEREIRA, Júlio Emílio. A pesquisa na

formação e no trabalho docente. Belo Horizonte: Autêntica, 2002, p. 43-66.

[6] Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais. Disponível

em:

< http://www.dominiopublico.gov.br/ >. Acesso em: 15 agosto 2008.

[7] PIETROPAOLO, Ruy César. Caderno do Professor. Matemática: EF, 5ª a

8ª séries; 1º ao 4º bimestres. São Paulo: SEE, 2008.

[8] Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas -

PPGECE/UFSCar. Disponível em: < http://www.ppgece.ufscar.br >. Acesso

em: 23 agosto 2008.

[9] Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Matemática. Disponível em:

p.779714

< http://www.rededosaber.sp.gov.br/contents/SIGS-

CURSO/sigscFront/default.aspx?SITE_ID=25&SECAO_ID=595 >. Acesso

em: 15 agosto 2008.