ARRANJO SIMPLES

PROFº: VALDÉCIO FÉLIX

HC HENRIQUE CASTRICIANO

ED ESCOLA DOMÉSTICA

Choquitomóvel

Temos o destino que merecemos. O nosso destino está de acordo com os nossos méritos.

Albert Einstein

AGRUPAMENTOS

O princípio fundamental da contagem (PFC) é a

principal técnica para a resolução de problemas de

contagem. Muitas vezes, porém, se só utilizarmos o

PFC, a resolução desses problemas pode se tornar

trabalhosa.

Vamos, então, desenvolver métodos de

contagem de determinados agrupamentos, baseados

no PFC, os quais significarão a resolução de muitos

problemas.

AGRUPAMENTOS

Inicialmente, faremos o estudo dos

agrupamentos simples – grupos de p elementos

distintos, escolhidos entre n disponíveis (p ≤ n). São

eles: Arranjos, permutações e combinações.

Arranjos Dado um conjunto com n elementos distintos,

chama-se arranjo dos n elementos, tomados p a p, a

qualquer sequência ordenada de p elementos distintos

escolhidos entre os n existentes.

Se ligue Bichão !!!

Como podemos contar a quantidade de

arranjos formados por p elementos,

escolhidos entre n disponíveis?

Vamos utilizar o PFC:

O 1º elemento da seguência pode ser escolhido de n

formas possíveis.

O 2º elemento da seguência pode ser escolhido de (n – 1)

maneiras distintas, pois já fizemos a escolha anterior e não

há repetição de elementos.

Vamos utilizar o PFC:

Feitas as duas primeiras escolhas, há (n – 2) maneiras

distintas de escolher o 3º elemento da sequência, pois não

pode haver repetição.

•

•

•

Para escolher o p-ésimo elemento, a partir das (p – 1)

escolhas anteriores, sobram n – (p – 1) = n - p + 1opções.

Assim, pelo PFC, a quantidade de arranjos possíveis

(indicada por An,p) é:

Daí, temos:

)1(...)2).(1.(, pnnnnA pn

.123...)1()()!( pnpnpn

1

Podemos obter uma expressão

equivalente a se multiplicarmos e

dividirmos tal expressão por:

1

123...)1).((

123...)1).(()1(...)2).(1.(,

pnpn

pnpnpnnnnA pn

!n

Ops, Bichão!!!

Notando que o numerador da expressão

acima é n!, obtemos uma expressão para An,p: (n

≥ p). Então, temos:

)!(

!,

pn

npAn

Ex1: A UFVC, possui 18 professores de

Matemática. Entre eles, serão escolhidos: Um

diretor, um vice-diretor e um coodernador

pedagógico do curso. Quantas são as

possibilidades de escolha?

RESOLUÇÃO:

4896!15

!15.16.17.18

)!318(

18

)!(

!3,18,

A

pn

nA pn

18 Posib. 17 Posib. 16 Posib.

= 4896

Ou

Ex2: Felipe Aguiar, foi convidado para

participar de um concurso, um dos desafios

consta em resolver a seguinte equação:

A resposta correta encontrada por ele foi:

a) 2

b) 3

c) 6

d) 8

.62, nA

RESOLUÇÃO:

6)!(

!2,,

npn A

pn

nA

6)!2(

)!2)(1(

6)!2(

!

n

nnn

n

n

RESOLUÇÃO:

6)!(

!2,,

npn A

pn

nA

6)!2(

!

n

n

6)!2(

)!2)(1(

n

nnn

6)!2(

)!2)(1(

n

nnn

convém)-(não 2''

3'

06

6)1(

2

n

n

nn

nn

Ex3: Considerando as letras da palavra LÓGICA ,

sem repetição, calcular:

a) Quantos anagramas (palavras com ou sem

sentido) podemos formar, usando todas as

letras?

b) Quantos anagramas começam com LA?

c) Quantos anagramas começam com

consoantes?

d) Quantos anagramas podem ser formados com

d) Quantos anagramas podem ser formados com

as letras GILO, juntas, e nessa ordem?

e) Quantos anagramas começam e terminam por

vogal?

RESOLUÇÃO:

a) A palavra LÓGICA possui 6 letras. Portanto, o número

total de anagramas será calculado por:

anagramas

A

7201.2.3.4.5.6!6

!66,6

RESOLUÇÃO:

b) Devemos procurar os anagramas que começam com

LA, seguido das letras G, O, C, I, por exemplo. Daí,

fixamos LA e calculamos

anagramas

A

241.2.3.4!4

!44,4

5,5A

c) As consoantes são L, G, C. começando por L (por

exemplo), temos: . Dá mesma forma vai ocorrer com

os anagramas que começam por G e por C. então,

temos:

!44,4 A

360120.3!5.3.3 5,5 A

RESOLUÇÃO:

d) Como as letras GILO devem ficar juntas, e nessa

ordem, podem ser consideradas como um só elemento.

Logo, podem ser formados

4,4A

e) Para as duas vogais (início e final do anagrama) temos

anagramas e para as outras letras temos:

anagramasA 6!33,3

2,3A

2,3A

OLGICA

4,4A

Daí temos:

anagramas 14424.6. 4,42,3 AA

Permutação Simples Permutação simples de n elementos distintos

é qualquer grupo ordenado desses n elementos.

Permutando os 3 elementos distintos de A =

{x, y, z}, por exemplo, temos: (x, y, z); (x, z, y),

(y, z, x), (z, x, y) e (z, y, x). Obtemos o número

de permutação simples igual a 6.

Note que para a 1ª posição há três

possibilidades (qualquer das letras), para a 2ª

posição sobram duas letras (2 possibilidades) e

para a 3ª temos só uma letra ainda não usada.

Permutação Simples Para o calculo do número de permutações

simples, temos:

!nPn

1 ... 2)– (n 10)– (n n P seja,Ou n

Portanto, o número de permutações simples

de n elementos distintos é igual a n fatorial.

Permutação Simples Ops, Bichão!!!

A permutação simples é um caso particular

do arranjo. Provando, temos:

!!0

!

)!(

!

,

,

,

nn

A

nn

nA

AP

nn

nn

nnn

Permutação Simples

Ex1: Vamos formar os anagramas obtidos da

palavra M,O,A,B.

Lembre-se: Uma anagrama corresponde a

qualquer permutação dessas letras, de modo a

formar ou não uma palavra. Exemplo:

24 P!4 P

!n P

44

n

Portanto, para não perdermos tempo, faça:

MOAB MABO BOMA AMOB ... BAMO

Permutação Simples

Ex2: Considere os anagramas formados com G, R,

A, N, I, Z, O. Quantos começam e terminam por

vogal?

Para iniciar o anagrama, temos três

possibilidades (A, I, O).

Definida a vogal do início, sobram duas

opções para a vogal que irá ocupar a última

letra do anagrama.

RESOLUÇÃO:

Permutação Simples

Definidas as extremidades, as outras

cinco letras (uma vogal e quatro consoantes)

podem ocupar qualquer posição no anagrama,

num total de P5 = 5! = 120 possibilidades.

Daí, temos:

3 . 2 . P5 = 6 . 120 = 720 possibilidades.

RESOLUÇÃO:

Permutação Simples Ex3: Astolfo e Clepilda têm três filhos: Godofredo,

Ralison e Sebastiana. A família quer tirar uma foto

de recordação de uma viagem feita a “Brejinho” na

qual todos aparecem lado a lado.

a) De quantas formas distintas os membros

da família podem se distribuir?

b) Em quantas possibilidades o casal aparece

lado a lado?

Permutação Simples RESOLUÇÃO:

a) P5 = 5! = 120

b) Para que (Astolfo e Clepilda) apareçam

juntos (lado a lado), devemos considerá-los

como uma “única pessoa” que irá permutar

com as três, num total de P4 = 4! = 24

possibilidades. Porém, para cada uma dessas

24 possibilidades, Astolfo e Clepilda podem

trocar de lugar entre si, de P2 = 2! Maneiras

diferentes. Assim, temos: P4 . P2 = 24 . 2 = 48.