ExperimentoGuia do professor

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geometria e medidas

Ministrio da Cincia e Tecnologia

Ministrio da Educao

Governo FederalSecretaria de Educao a Distncia

Cortar cubos

Objetivos da unidadeApresentar a Relao de Euler aos alunos.

Guia do professor

SinopseNeste experimento, cada aluno ter, inicialmente, um cubo de espuma floral, que obedece a Relao de Euler VA+F= 2 VA+F = 2, onde VA+F= 2 VA+F = 2 o nmero de vrtices, VA+F= 2 VA+F = 2 o nmero de arestas e VA+F= 2 VA+F = 2 o nmero de faces do slido. O objetivo ser fazer cortes planos nesse poliedro na tentativa de violar a relao mencionada no slido resultante, ou seja, fazer VA+F= 2 VA+F = 2. Deste modo, seus alunos estaro verificando a relao a cada corte feito, de modo que ela se fixe cada vez mais.

ContedosGeometria Espacial, Relao de Euler.

ObjetivosApresentar a Relao de Euler aos alunos.1.

DuraoUma aula simples.

Cortar cubos

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?djheZkeNeste experimento, estudada a Relao de Euler para poliedros, a qual relaciona o nmero de vrtices, o nmero de arestas e o nmero de faces de um poliedro. Essa relao foi descoberta em 1758 por Leonhard Euler (1707 1783), matemtico suo que teve 886 trabalhos publicados, a maioria deles no nal de sua vida, quando j estava completamente cego. Euler foi muito importante no apenas para a matemtica, mas tambm para a fsica, a engenharia e a astronomia. O principal objetivo desse trabalho o estudo da Relao de Euler. O desenvolvimento do experimento consiste em procurar, de maneira expe-rimental, poliedros para os quais a conhecida Relao de Euler seja vlida e outros para os quais essa relao no se verica. Atravs dessa relao, possvel analisar e descrever as possibilidades de tipos de poliedros a partir de algumas informaes sobre seus elementos, por exemplo, podemos mostrar que existem apenas cinco poliedros regulares convexos.

Cej_lWeO estudo da Relao de Euler importante, pois permite o reconhecimento de alguns poliedros ou classes de poliedros, a partir de alguma informao sobre seus vrtices ou sobre suas arestas ou faces. Alm disso, conside-ramos que a maneira experimental a mais adequada para se trabalhar esse assunto no Ensino Mdio. O envolvimento do aluno na descoberta traz o entusiasmo e a curiosidade, e propicia a aprendizagem de maneira prazerosa.

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E[nf[h_c[djeComentrios iniciais

Foi escolhido neste experimento fazer cortes em cubos confeccionados com espuma oral. Esse tipo de representao do poliedro no envolve somente suas faces, mas propicia um bom trabalho com elas. Podem ser utilizados tambm, na confeco dos poliedros, pedaos de sabo ou massa para modelar. Esto apresentadas, no incio do experimento, denies de polgono e poliedro, polgono convexo e poliedro convexo, exemplos e contraexemplos, como tambm o enunciado do teorema que evidencia a Relao de Euler, a qual se quer testar experimentalmente. Pretendemos, neste guia, apresentar uma demonstrao dessa relao. Existem muitas denies para poliedro. Neste contexto, ser consi-derada como poliedro a gura obtida pela reunio de um nmero nito de polgonos, chamados faces, com determinadas condies sobre seus lados, os quais so chamados de arestas e vrtices, a saber: cada lado de um dos polgonos que o forma lado de um, e apenas um, outro pol-gono; e a interseco de duas faces distintas pode ser uma aresta comum, um vrtice ou vazia.

;jWfW' Corte dos cubos I

Nesta primeira etapa, sero feitos cortes em cubos para a obteno de outros poliedros. importante orientar o aluno na forma como se deve cortar o cubo. Como o objetivo obter outros poliedros, os cortes devero ser planos. Nesta primeira etapa, os poliedros a serem obtidos devem ser convexos. Os nmeros obtidos na contagem dos elementos de cada poliedro encontrado devem ser dispostos em uma tabela para posterior discusso dos resultados. A questo : cortando cubos e outros poliedros de modo a serem obtidos apenas poliedros convexos, possvel violar a Relao de Euler? Uma vez trabalhado com poliedros convexos, evidentemente sem violar a relao de Euler, segue a Etapa 2.

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;jWfW( Corte dos cubos II

Nesta segunda etapa, os alunos devem proceder como na primeira, porm agora os poliedros a serem obtidos devem ser no convexos. E a questo : ser que desta vez foram encontrados poliedros para os quais no seja vlida a Relao de Euler? Ou seja, a Relao de Euler vlida tambm para poliedros no convexos? esperado que desta vez sejam encontrados poliedros no convexos que obedecem Relao de Euler, porm outros nos quais esse fato no ocorre.

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o poliedro satisfaz a Relao de Euler. Como visto, os poliedros convexos construdos no experimento satisfazem essa relao. Assim, pode ser provado que todos os poliedros convexos satisfazem esta relao. Tambm foram construdos poliedros no convexos que satisfazem a relao e outros que no satisfazem. Os poliedros que atendem Relao de Euler recebem o nome de poliedros eulerianos.

ExemplosPara prismas com lados no polgono da base, o nmero de vrtices ser igual a , e o nmero de faces igual a e o nmero de arestas igual a . Neste caso,

.

Para pirmides com lados no polgono da base, teremos

.

Prismas e pirmides satisfazem, portanto, a Relao de Euler. Outros poliedros convexos tambm podem ser testados pelos alunos. En m, observamos que para diversos poliedros convexos ela verdadeira. E para os poliedros no convexos? Apresentamos como exemplo um poliedro no convexo para o qual vale a Relao de Euler. Nele,

.

fig. 1.

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Ento a pergunta seria: em qual universo de poliedros vamos procurar aqueles para os quais a Relao de Euler no se veri ca? Aps os alunos terem encontrado poliedros no eulerianos, o professor pode apresentar uma gama de poliedros eulerianos e no eulerianos, para que encontrem alguma regularidade entre os que no satisfazem e alguma entre os que satisfazem. A gura que segue mostra alguns poliedros que no so eulerianos. No nal deste texto, em Variaes, esto apresentados alguns deles com suas plani caes.

fig. 2

P

P

P

P

=k_WZefhe\[iieh * % '&

Para o poliedro , temos:

.

O poliedro veri ca:

.

Para o terceiro,

.

E, para o quarto,

.

Deve ser observado que poliedros que tenham algum furo no satisfazem a Relao de Euler, como os exemplos anteriores. Para um poliedro , o nmero denominado caracte-rstica de Euler-Poincar do poliedro. Observamos que poliedros que satisfazem a relao de Euler possuem caracterstica de Euler-Poincar igual a 2. J para os demais exemplos apresentados, o poliedro tem caracterstica 2 e o poliedro possui caracterstica igual a 4. Os poliedros e tm caracterstica de Euler igual a zero.Encontre outros poliedros e determine suas caractersticas de Euler- Poincar. Encontre um poliedro com trs furos e com caracterstica de Euler-Poincar igual a 4.

Poincar (1854 - 1912) foi o primeiro matemtico a compreender que o Teorema de Euler um teorema de Topologia, e no de Geometria. Observou que o nmero um invariante topolgico do poliedro . Para entendermos esse conceito, precisamos da seguinte de nio: Duas guras e so ditas homeomorfas se existir uma transformao contnua com a inversa tambm contnua. De forma intuitiva, um poliedro, ao imagin-lo de borracha, que ao ser in ado se transforma em uma esfera homeomorfo a ela. Por exemplo, os poliedros convexos: o cubo, o tetraedro e o poliedro no convexo da gura

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que segue so homeomorfos esfera. Observamos que a caracterstica de Euler-Poincar desses poliedros igual a 2.

J os poliedros que seguem so homeomorfos ao toro, isto , ao serem in ados se transformam no toro, uma gura como a cmara de ar de um pneu. Neste caso, a caracterstica de Euler-Poincar destes poliedros igual a zero.

fig. 3

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Se um poliedro convexo, ento ele homeomorfo esfera, pois, consi-derando um ponto O em seu interior e uma esfera de centro neste ponto contendo o poliedro, uma reta que passa pelo ponto O intersecta o poliedro em exatamente 2 pontos, e , como mostra a ilustrao. Assim, deforma-mos o poliedro de forma que o ponto levado no ponto da esfera e o ponto levado no ponto da esfera, onde e so as intersees da reta com a esfera. Logo, considerando todas as retas passando pelo ponto , podemos transformar o poliedro de modo contnuo em uma esfera com centro no ponto .

fig. 4

V A + F = 16 32 + 16 = 0

V A + F = 12 24 + 12 = 0

Toro

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Teorema de Euler para poliedros

Existem diferentes demonstraes do Teorema de Euler para poliedros con-vexos. Por exemplo, em [LIMA et al, 2000] encontramos uma demonstrao que envolve projees paralelas; j em [POMPEO; DOLCE] apresentada uma demonstrao desse teorema em que usada induo matemtica. Para poliedros mais gerais homeomorfos esfera, apresentamos, a seguir, em linhas gerais, a ideia da demonstrao do Teorema de Euler que basicamente devida a Cauchy (1789 - 1857). Para uma anlise mais rigorosa e justi cativa mais precisa a respeito dessa demonstrao, ver [LIMA, 1997] ou [LIMA, 1985].

TeoremaPara todo poliedro homeomorfo esfera vale a relao , onde o nmero de vrtices, o nmero de arestas e o nmero de faces do poliedro.

fig. 5

B

B

O

A

A

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DemonstraoConsideremos um poliedro homeomorfo esfera, com faces, arestas e vrtices. Vamos inicialmente retirar uma de suas faces. A nova gura ter o mesmo nmero de vrtices, o mesmo nmero de arestas, porm faces. Provaremos que, para essa nova gura, vale a relao

.

Nessa nova gura existem arestas que pertencem a apenas uma face, so as chamadas arestas livres. Vamos considerar a gura obtida ao se esticar de modo conveniente essa nova gura a partir de suas arestas livres, achatando-a at que ela se torne uma gura plana. A ilustrao seguinte mostra o processo de esticar e achatar um poliedro, do qual foi retirada a face superior, at transform-lo em uma gura plana.

1 2 3

4 5

fig. 6

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Nas ilustraes seguintes, so apresentados alguns poliedros com suas respectivas guras planas. Na primeira, foi retirada uma face quadrada; na segunda, uma face retangular e, na terceira, uma face pentagonal.

A gura plana ter o mesmo nmero , , e , de vrtices, arestas e faces, respectivamente. Vamos traar, nos polgonos da gura plana, diagonais que no se cortam, obtendo uma decomposio de cada uma de suas faces em trin-gulos. A ilustrao que segue mostra a decomposio da gura plana correspondente ao cubo em tringulos.

fig. 7

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Observamos que, a cada diagonal traada, a gura plana ter o mesmo nmero de vrtices e aumenta-se o nmero de arestas e o nmero de faces em uma unidade cada um. Assim, o nmero de seus vrtices menos o nmero de suas arestas mais o nmero de suas faces igual a

,

ou seja, . Portanto, o resultado permanece inalterado. Vamos, ento, supor que todas as faces da gura plana so tringulos. Note que podem existir apenas os seguintes tipos de tringulos: com apenas uma aresta livre, com duas arestas livres ou sem arestas livres. A seguir, retiramos da gura uma a uma as faces triangulares.

fig. 8

V, A e F

V, A e F

com valores V, A e (F 1)

V, A e F

com valores V, (A + 5)

e (F + 5)

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A retirada dos tringulos deve ser feita seguindo os seguintes critrios:Se no existir tringulos com duas arestas livres, retiramos um tringulo com uma aresta livre, diminuindo uma aresta e uma face. Para a gura que resta, o nmero de vrtices menos o nmero de arestas mais o nmero de faces igual a , ou seja, . Assim, neste caso, o resultado permanece inalterado. Alm disso, a gura continua tendo somente tringulos dos tipos citados anteriormente. o caso dos dois primeiros passos da ilustrao anterior. Se existe tringulo com duas arestas livres, retiramos este tringulo, dimi- nuindo um vrtice, duas arestas e uma face. Na gura restante, o nmero de vrtices menos o nmero de arestas mais o nmero de faces igual a , ou seja, . Novamente, o resul tado permanece inalterado e a gura continua tendo somente trin-gulos dos trs tipos citados. o caso do terceiro passo da ilustrao anterior.Se, depois de retirar um tringulo com uma aresta livre, a gura voltar a ter tringulos com duas arestas livres, estes tringulos devem ser retirados,

1

2

3

4fig. 9

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ou seja, s retiramos tringulos com apenas uma aresta livre quando no existir tringulo com duas arestas livres.

O procedimento deve continuar at que reste apenas um tringulo. Como, para o tringulo, o nmero de vrtices menos o nmero de arestas mais o n-mero de faces igual a 1, e em todas as retiradas este resultado permanece inalterado e igual a , conclumos que , ou seja, , onde o nmero de vrtices, o nmero de ares-tas e o nmero de faces do poliedro P inicial, o que completa a prova.

LWh_W[iPea aos alunos que desenhem uma plani cao dos poliedros criados por eles, para que sejam confeccionados em cartolina. Como exemplo, apresentamos plani caes de dois poliedros com mesma caracterstica de EulerPoincar igual a zero.

fig. 10

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Outra variao possvel, como uma aplicao da Relao de Euler, pedir aos alunos que obtenham o resultado: existem apenas cinco poliedros regulares convexos. Um poliedro convexo regular se todas as faces so polgonos regulares congruentes e em todos os vrtices concorrem o mesmo nmero de arestas.

fig. 11

V A + F = 12 24 + 12 = 0

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8_Xb_e]hWWAzambuja Filho, Zoroastro. Demonstrao do Teorema de Euler para poliedros convexos. Revista do Professor de Matemtica. So Paulo, n.3, p. 15-17, 1983.

Eves, Howard. Introduo Histria da Matemtica. 4 ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004.

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Vdeo de aula: Poliedros. Aula ministrada pelo Prof. Eduardo Wagner sobre a demonstrao do Teorema de Euler para poliedros convexos disponvel em . Acesso em 2 de agosto de 2010.

Ficha tcnica

Matemtica MultimdiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemtica, Estatstica e Computao Cientfica (imecc unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira da CostaVice-Reitor e Pr-Reitor de Ps-GraduaoEdgar Salvadori De Decca

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Ministrio da Cincia e Tecnologia

Ministrio da Educao

Governo FederalSecretaria de Educao a Distncia

AutorasClaudina Izepe Rodrigues,Eliane Quelho Frota Rezende e Maria Lcia Bontorim de Queiroz

RevisoresMatemticaAntnio Carlos do PatrocnioLngua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiangela Soligo

Projeto grfico e ilustraes tcnicasPreface Design