guia de enteros 1º mdios

2009Matemática

PLAN DE NIVELACIÓN MÓDULO 1

PLAN DE NIVELACIÓNM

atem

ática

Matemática 2009 Matemática 2009

2

Números EnterosLos números enteros están formados por los números enteros positivos, el cero y los números enteros negativos.

............ –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5.................

Ejemplos: el –4 se lee “menos cuatro” o “negativo cuatro”, el +2 se lee “más dos” o bien “dos”.

Observación: Los números enteros positivos se pueden escribir sin el signo “+”. Ejemplo: +4 se puede escribir 4.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero, en la recta numérica, corresponde a la distancia entre ese número y el cero. Éste se representa por el siguiente símbolo | |. Matemáticamente, el valor absoluto de un número x es x, si x es un número positivo o cero y (– x), si x es un número negativo.

Ejemplos:

a) |–3| = 3 b) | 3| = 3 c) |–106| = 106d) |–2| = 2 e) |254| = 254 f) |–23| = 23

Observación: La noción de distancia se asocia al valor absoluto de un número.

Orden en los números enteros

El conjunto de los números enteros es ordenado, es decir, dados dos números enteros distintos, siempre uno de ellos es mayor que el otro.

Matemática 2009 Matemática

3

Mayor que y menor que:

1) Si un número x es mayor que un número y, se escribe x > y.

2) Si un número x es menor que un número y, se escribe x < y.

Ejemplos: Observa el orden de menor a mayor de números enteros en los siguientes ítemes

a) –7, –2, 5, 1: –7 < –2 < 1 < 5 b) –8, |–5|, –2, |–2|: –8 < –2 < |–2| < |–5|

Adición de números enteros

Regla para sumar números enteros:

1) Si los sumandos tienen igual signo, se suman sus valores absolutos y el resultado conserva el signo de los sumandos.

2) Si dos sumandos tienen diferentes signos, se restan los valores absolutos y el resultado conserva el signo del sumando que tiene el mayor valor absoluto.

Ejemplos: Verifi ca las siguientes adiciones

a) 4 + 6 = 10 d) 7 + –4 = 3 g) –12 + 3 = –9

b) 2 + 7 = 9 e) –2 + –5 = –7 h) –11 + 15 = 4

c) 3 + –8 = –5 f ) –5 + 5 = 0 i ) 7 + –4 = 3

En la adición de números enteros se cumplen las siguientes propiedades:

• Existe un elemento neutro, que es el 0. • Conmutatividad. a + 0 = a a + b = b + a 5 + 0 = 5 3 + 8 = 8 + 3

a + b = c

sumandos suma

Términos de la adiciónEn la adición de números enteros, se pueden identifi car los siguientes términos:

Mat

emát

ica


4

• Asociatividad. • Existe un elemento inverso u opuesto. (a + b) + c = a + (b + c) a + (–a) = 0 7 + (–7) = 0 (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7) (–a) + a = 0 (–8) + 8 = 0

Sustracción de números enteros

Opuesto de un número entero:

Un signo negativo delante de un paréntesis signifi ca el opuesto del valor que está en el interior del paréntesis.

– (a) = –a – (–a) = a

La sustracción de números enteros corresponde a la suma del opuesto, es decir, cada vez que haya una resta puedes resolverla como la suma del opuesto:

a – b = a + –b

Considerando que la resta equivale a la suma del opuesto, observa los siguientes ejemplos:

a) 12 – (–5) = 12 + 5 = 17 b) –4 – (10) = –4 + –10 = –14 c) 6 – (14) = 6 + (–14) = –8

Multiplicación de números enterosEn una multiplicación de números enteros, se pueden identifi car los siguientes términos:

a · b = c

Factores Producto

Si los signos de los factores de una multiplicación de números enteros son diferentes, el signo del producto es negativo.

Matemática 2009 Matemática

5

Si los signos de los factores de una multiplicación de números enteros son iguales, el signo del producto es positivo.

Observación: Una multiplicación se puede escribir como una adición iterada.

Ejemplo: 4· x = x + x + x + x.

Ejemplos: Observa los siguientes productos (multiplicaciones):

a) –5 · 20 = –100 b) 4 · 15 = 60 c) –7 · –12 = 84 d) 8 · –90 = –720

Propiedad distributiva

En los números enteros se cumple: a · (b + c) = a · b + a · c. Esta propiedad se llama propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

Observación: Esta propiedad también se cumple por la derecha, es decir, también se cumple que (a + b) · c = a · c + b · c

Ejemplos: Verifi ca la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición

a) 2 · (12 + 8) = 2 · 20 = 40 c) 15 · (2 + –5) = 15 · –3 = –45

b) 2 · 12 + 2 · 8 = 24 + 16 =40 d) 15 · 2 + 15 · –5 = 30 + –75 = 30 – 75 = –45

División de números enteros

En una división de números enteros se pueden identifi car los siguientes términos: a : b = c

dividendo divisor cociente

La división es la operación inversa de la multiplicación, es decir, si a · b = c, entonces sabemos que c : a = b y que c : b = a. A partir de esta relación se puede deducir que las reglas de los signos en la división de números enteros es equivalente a la regla de los signos de la multiplicación.


6

Ejemplos: Observa las siguientes divisiones

a) –9 : 3 = –3 b) –30 : –5 = 6 c) 100 : 10 = 10 d) –1.000 : 100 = –10e) 0 : –6 = 0 f ) 27 : –9 = –3 g) –15 : –1 = 15 h) 30 : –30 = –1

Prioridad de las operaciones

1º PARÉNTESIS

2º POTENCIAS

3º MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN ORDEN DE IZQUIERDA A DERECHA

4º ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN ORDEN DE IZQUIERDA A DERECHA

Ejemplos: Verifi ca los siguientes ejercicios combinados

a) 6 + 24 · (–3) = 6 + (–72) = 6 – 72 = –66b) –27 + 45 : 32 = –27 + 45 : 9 = –27 + 5 = –22c) –15 : (–2 + 7) = –15 : 5 = –3d) (–10) · 10 – 8 : (–2) = –100 – (–4) = –100 + 4 = –96e) –35 – (–3) · (–5) = –35 – 15 = –50

Ejercicios Propuestos

1. Ordena de menor a mayor y representa en la recta numérica los siguientes números enteros:

a) {–5, –10, –1, –3} b) {–199, –200, –188, –201} c) {1, –1, 0, 2} d) {|–3|, –3, |–2|, –2}

Completa con >, < o =, según corresponda: a) –3 –5 b) –10 10 c) 2 –1 d) 0 –1

Determina el número entero que le corresponde a: a) |–10| =

b) |10| =

c) |–18| =

d) |20| =

e) |–2| =

f) |–3| + |3| =

g) |–3 + 3| =

h) |–200| + |100| =

2. Resuelve las siguientes adiciones: a) –8 + 2 = b) 6 + –3 = c) –10 + –1 = d) 20 + –40 = e) –20 + –40 = f) –20 + 40 = g) –1 + 2 + –3 = h) –70 + 90 =

Guía de Nivelación N°2: Números Enteros (Z)

3

. Completa la siguiente tabla:

a b a + b a + –b

2 –3

–5 6

10 –20

–32 18

Nombre:_________________________________Curso:1°____ Fecha:________

Matemática 2009 Matemática 2009 4. Determina el producto de: a) –3 ∙ 5 = b) 2 ∙ –10 = c) –4 ∙ –3 = d) –10 ∙ –3 = e) 20 ∙ 4 = f) –1 ∙ –1 ∙ –1 ∙ –1 = g) –1 ∙ –1 ∙ –1 = h) –3 ∙ 3 ∙ –3 =

• Resuelve los siguientes cuocientes: a) –100 : –10 = b) 20 : –4 = c) –81 : 27 = d) –105 : 5 = e) (15 + 5) : –5 = f) (24 – 30) : –2 =

• Calcula usando la prioridad de las operaciones: a) 21 – 6 + 2 ∙ 5 = b) (21 – 7) + 2 ∙ 4 = c) (21 – 7 + 2) ∙ 5 = d) 32 + –2 ∙ 6 : 3 = e) (7 – 4 ∙ 2 – 2) : –3 = f) (–4 + 5 ∙ 4) : (–2 : 1) =

5. Escribe el número entero que corresponde

a) 10 °C bajo cero. b) Ahorro de $ 2.000. c) 3 pisos bajo el nivel del suelo. d) Debo $ 15.000. e) En un curso faltaron 3 alumnos.

a la siguiente frase:

6. Completa las siguientes oraciones:

a) El opuesto de –10 es: b) El valor absoluto de –8 es: c) El número entero que es 3 unidades menor que –1 es: d) El número entero que es 20 unidades mayor que –2 es:

7. Expresa el número entero que le corresponde a:

a) – (–4) = b) – (5 + 3) = c) – (–5 + 2) = d) – (–14 + 10) = e) – (52 + –60) = f) – (30 + –15) =

8. Completa la siguiente tabla:

a b – (a + b) – (a – b)–4 –1–6 5

2 –7–3 8

6. Si a = –2, b = 1 y c = –1, determina el valor de las siguientes expresiones algebraicas:

a) a + b + c = b) a – b + c = c) a – b – c = d) –(a) + –(b) = e) –a ∙ (a + b – c) = f) – (a + b) = g) a ∙ b ∙ c = h) –a ∙ b ∙ c =

9. Resuelve los siguientes ejercicios combinados: a) 9 – 6 ∙ 7 – 5 b) 56 : (14 : –2) c) (56 : –14) : 2 d) (12 + –8) : (–6 + 5) e) –25 + 12 ∙ –4 f) 54 : (9 : –3) + 3

Matemática 2009 Matemática 2009 PLAN

DE N

IVELACIÓN

Cpech Preuniversitario, Edición 2009 9

Actividades Propuestas

Números Enteros


atem

ática

2

009


Cpech Preuniversitario, Edición 200910

5. Resuelve los siguientes problemas:

a) La suma de tres números enteros es igual a –2. Dos sumandos son números opuestos entre sí. ¿Cuál es el valor del otro sumando?

b) ¿Cuál es el número entero que está a la misma distancia en la recta numérica de –3 y 5?

c) ¿Cuál es el número entero que está a la misma distancia en la recta numérica de –50 y 10?


DE N

IVELACIÓN

11

7. Resuelve:

a) El producto de dos números enteros es 480. Si uno de sus factores es –48, ¿cuál es el otro factor?

b) El opuesto de la suma de –10 y un número es 2. ¿Cuál es el número?

c) La temperatura baja 2 °C cada hora. ¿Cuántos grados habrá bajado en 6 horas?

d) A las 4:00 a.m. la temperatura en cierta ciudad es –10 °C. Si después de cada hora transcurrida la temperatura sube 2 °C, ¿cuál es la temperatura a las 8:00 a.m.?

8. Busca los grupos de números que estén ubicados en forma vertical, horizontal o diagonal, cuyo producto sea –100 y enciérralos con una línea.

–5 6 –2 4 10 9 2 –2 10 –10 1 –2 –5 4 5 –5 –5 3 –2 5 –2 –5 2 20

SOLUCIONARIO PLAN DE NIVELACIÓNM

atem

ática

2

009


12

Solucionario


Números Enteros

1. a) {–10, –5, –3, –1} b) {–201, –200, –199, –188} c) {–1, 0, 1, 2} d) { –3, –2 |–2|, |–3|}

• a) > b) < c) > d) >

• a) 10 b) 10 c) 18 d) 20 e) 2 f) 6 g) 0 h) 300

2. a) –6 b) 3 c) –11 d) –20 e) –60 f) 20 g) –2 h) 20

3. a b a + b a + –b

2 –3 –1 5–5 6 1 –11

10 –20 –10 30–32 18 –14 –50

4. a) –15 b) –20 c) 12 d) 30 e) 80 f) 1 g) –1 h) 27

• a) 10 b) –5 c) –3 d) –21 e) –4 f) 3

• a) 25 b) 22 c) 80 d) 28 e) 1 f) –8

Matemática 2009 SO

LUCIO

NARIO

PLAN D

E NIVELACIÓ

N

13

Actividades Propuestas

1. a) –10 b) 2.000 c) –3 d) –15.000 e) –3

2. a) 10 b) 8 c) –4 d) 18

3. a) 4 b) –8 c) 3 d) 4 e) 8 f) –15

4. a b –(a + b) –(a – b)

–4 –1 5 3

–6 5 1 11

2 –7 5 –9

–3 8 –5 11

5. a) –2 b) 1 c) –20

6. a) –2 b) –4 c) –2 d) 1 e) 0 f) 1 g) 2 h) –2

7. a) –10 b) 8 c) 12ºC d) –2ºC

8. Revisión de Profesor o Profesora

9. a) –38 b) –8 c) –2 d) –4 e) –73 f) –15


atem

ática

2

009



Números RacionalesÉstos están formados por los números enteros y todos los números que se pueden escribir como una fracción cuyos numerador y denominador son números enteros, pero el denominador es diferente de cero.Ejemplo de números racionales son:

– 0,3 –18 –51,2 -8 2

7 –7 0,5555...

Observación: Signo de una fracción: –ab

= a

–b = – ab

Todo decimal tiene una parte entera y una parte decimal

51,17

0,35

Período de la parte decimal de número

parte

entera

partedecimal

Números decimales periódicos

Número decimal periódico Notación fraccionaria

0,7 79

0,3 39 =

13

3,5 3 59

– 0,35 –3599


DE N

IVELACIÓN


Transformación de un número decimal periódico a notación fraccionaria

1. El numerador queda formado por la diferencia entre el número decimal completo sin la coma y la parte entera.

2. El denominador queda formado por tantos 9 como cifras tenga el período.

Ejemplos: 1) 0,3 = 3 – 0

9 = 39 =

13 2) 1,3 =

13 – 19 =

129 =

43

Números decimales semiperiódicos

Número decimal semiperiódico

Notación fraccionaria

0,07 790

0,25 2390

0,34 3190

0,118 117990

Transformación de un número decimal semiperiódico a notación fraccionaria

1. El numerador de la fracción queda formado por la diferencia entre el número decimal completo sin la coma y la parte entera más el anteperíodo.

2. El denominador de la fracción queda formado por tantos nueves (9) como cifras tenga el período y tantos ceros (0) como cifras tenga el anteperíodo.

Recuerde que se llama antperíodo a los números que hay entre la coma decimal y el período.


atem

ática

2

009



Ejemplo:

anteperíodo

0,225 = 225 – 2

990 = 223990

Orden y densidad en los números racionales

El conjunto de los números racionales es denso, debido a que entre dos números racionales cualesquiera siempre podemos intercalar otros.

Para comparar decimales, resulta conveniente expresar todos los números con la misma cantidad de cifras decimales.

Ejemplo: Para ordenar de menor a mayor los siguientes números racionales

0,38 ; 0,38 y 0,38

los expresamos mediante

0,3888... ; 0,3838... y 0,3800...

Ahora resulta muy fácil saber que el orden, de menor a mayor, según la comparación de sus cifras decimales es:

0,38 ; 0,38 ; 0,38 .

Adición y Sustracción de Números Racionales

Sean a, b, c, d diferentes de cero

ab ±

cd =

a · d ± b · cb · d con b · d = m.c.m. (b, d)

Multiplicación y División de Números Racionales

• Para multiplicar fracciones debes multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

ab ·

cd =

a · cb · d con b y d ≠ 0


DE N

IVELACIÓN


• Para dividir dos fracciones, el dividendo se multiplica por el inverso multiplicativo o recíproco del divisor:

ab

: cd

= ab

· dc

con b, c y d ≠ 0

Observación: Todo número racional tiene un elemento inverso multiplicativo o recíproco.

ba es el recíproco de

ab , porque:

ab ·

ba = 1, con a y b ≠ 0

Potencias de 10 aplicadas a notación numérica

Ejemplo:

2.358 = 2 · 1.000 + 3 · 100 + 5 · 10 + 8

UM

C

D

U

Luego, se escribe en cada caso el exponente que corresponda:

2.358 = 2 · 103 + 3 · 102 + 5 · 101 + 8 · 100

Al escribir el número 2.358 de esta forma decimos que lo hemos escrito como una suma de ponderados de potencias de 10.

Notación científi ca

Para expresar un número en notación científi ca, éste se debe descomponer en dos factores:

El primero de ellos es un número mayor o igual a 1 y menor que 10, y el segundo factor es una potencia de 10.

Ejemplo:

70.000.000 = 7 · 107


atem

ática

2

009




Números Racionales

1. Escribe los siguientes decimales como fracción:

a) – 0,4

b) 0,41

c) – 2,01

d) 6,38

e) 0,28

f) –0,421

g) 0,302

h) 5,23

i) 2,171

2. Escribe >, <, =, según corresponda.

a) 713

37

b) –43

–32

c) –0,4 –1,2

d) –6,2 –25

e) 0,34 0,34

f) –0,3 –0,5

g) 0,7 910

h) 0,2 29


DE N

IVELACIÓN


3. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de números racionales.

a) 12

+ –816

=

b) –1,36 + –0,456 =

c) 4 18

+ –1 12

=

d) –35

– –37

=

e) –6,23 – 8,5 =

f) –2 14

– 2 18

=

g) 89,4 – –15,2 =

h) –0,0015 + 0,005 =

i) –4 14

+ 2 23

+ 0,5 =

j) 13

– 29

+ 0,5 =

k) 0,16 + 0,16 =

4. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de números racionales:

a) 5 ∙ –9,6 =

b) ( 56 )

2

=

c) –5 ∙ 0,1 =


atem

ática

2

009



d) 23

∙ –25

=

e) – 34

∙ – 4 13

∙ 3 25

=

f) – 45

∙ –15

∙ –5 =

g) 0,3 ∙ 16 ∙ 9 =

h) 12

: 5 =

i) –14

: 38

=

j) – 4 : 13

=

k) –9 : –1227

=

l) –52

5

=

m)

–56

10 =

n) (1,01)3

5. Completa el siguiente cuadrado mágico, de modo que el producto de los números de las horizontales, verticales y diagonales sea 1.000.

– 5 – 8

10

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NARIO

PLAN D

E NIVELACIÓ

N


Solucionario


Números Racionales

1. a) –4 9

b) 4199

c) –199

99

d) 63299

e) 2690

f) –379 900

g) 299990

h) 51899

i) 21599

2. a) > b) > c) > d) < e) < f) > g) < h) =

3. a) 0

b) –1,816

c) 218

d) –635

e) –14,73

f) –358

g) 104,6

h) 0,0035

i) –1312

j) 1118

k) 0,328

SOLUCIONARIO PLAN DE NIVELACIÓNM

atem

ática

2

009



4. a) –48

b) 2536

c) –0,5

d) –415

e) 22120

f) –4 5

g) 12

h) 110

i) –23

j) –12

k) 814

l) –25 2

m) –112

n) 1,030301

5. – 5 – 8

10–50

4 –12,5 –20

– 2

25

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NARIO

PLAN D

E NIVELACIÓ

N


Mis notas

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