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1 ÍNDICE 1 ¿QUÉ ONDA? (a modo de introducción) 4 ¡AGUAS! (o sea, advertencias) 5 UNIDAD I LOS NÚMEROS NATURALES Y LOS NÚMEROS ENTEROS I.1. El sistema de los números naturales 6 Introducción 6 I.1.1. El conjunto N de los números naturales y las operaciones de adición y multiplicación 7 I.1.2. El concepto de operación binaria 8 I.1.3. Propiedades básicas de la adición y de la multiplicación 11 I.1.4. Sistema decimal y sistema binario de numeración 22 I.1.5. Orden en N 27 I.1.6. La resta y la división con naturales no están bien definidas 27 I.1.7. Definición del sistema de los números naturales 30 Ejercicios y problemas de la sección I.1 31 I.2. El sistema de los números enteros 39 Introducción 39 I.2.1. El conjunto de los números enteros 40 I.2.2. Adición de números enteros 46 I.2.3. Propiedades de la adición de números enteros 48 I.2.4. Resta de números enteros 52 I.2.5. Símbolos de agrupación y reducción de expresiones que los contengan 58 I.2.6. Orden de los números enteros 62 I.2.7. Multiplicación de números enteros 63 I.2.8. Propiedades de la multiplicación 65

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1

ÍNDICE 1

¿QUÉ ONDA? (a modo de introducción) 4

¡AGUAS! (o sea, advertencias) 5

UNIDAD I

LOS NÚMEROS NATURALES Y LOS NÚMEROS ENTEROS

I.1. El sistema de los números naturales 6

Introducción 6 I.1.1. El conjunto N de los números naturales y las operaciones de adición y

multiplicación 7

I.1.2. El concepto de operación binaria 8

I.1.3. Propiedades básicas de la adición y de la multiplicación 11

I.1.4. Sistema decimal y sistema binario de numeración 22

I.1.5. Orden en N 27

I.1.6. La resta y la división con naturales no están bien definidas 27

I.1.7. Definición del sistema de los números naturales 30

Ejercicios y problemas de la sección I.1 31

I.2. El sistema de los números enteros 39

Introducción 39

I.2.1. El conjunto de los números enteros 40

I.2.2. Adición de números enteros 46

I.2.3. Propiedades de la adición de números enteros 48

I.2.4. Resta de números enteros 52

I.2.5. Símbolos de agrupación y reducción de expresiones que los contengan 58

I.2.6. Orden de los números enteros 62

I.2.7. Multiplicación de números enteros 63

I.2.8. Propiedades de la multiplicación 65

2

I.2.9. Símbolos de agrupación y reducción de expresiones que los contengan 66

I.2.10. Divisibilidad 67

I.2.11. El sistema de los números enteros 74

Ejercicios y problemas de la sección I.2 75

UNIDAD II

FRACCIONES Y NÚMEROS REALES 87

INTRODUCCIÓN 87

II.1 Fracciones y números racionales 88

II.1.1. Conjunto F de las fracciones 88

II.1.2. Adición y resta de fracciones 98

II.1.3. Multiplicación de fracciones 107

II.1.4. División de fracciones 109

II.1.5. Combinación de operaciones con fracciones 114

II.1.6. Orden de las fracciones 116

II.1.7. Fracciones y fracciones decimales 118

II.1.8. Los números racionales 131

Ejercicios y problemas de la sección II.1 133

II.2 Aritmética de las proporciones

Introducción 145

II.2.1. Razones y proporciones 145

II.2.2. Proporcionalidad directa e inversa 147

II.2.3. Regla de tres 153

II.2.4. Porcentaje 155

Ejercicios y problemas de la sección II.2 158

3

II.3 Números reales

II.3.1. Los números irracionales 171

II.3.2. El conjunto de los números reales 177

Ejercicios y problemas de la sección II.3 178

UNIDAD III

INTRODUCCIÓN A LA TERMINOLOGÍA Y A LAS OPERACIONES

ALGEBRAICAS BÁSICAS

III.1. Introducción a la terminología algebraica 180

Introducción 180

III.1.1. Usos algebraicos de las letras 181

III.1.2. Dominio de una letra 184

III.1.3. Traducción recíproca entre la lengua materna y el lenguaje algebraico 186

III.1.4. Vocabulario algebraico simple 188

III.1.5. Términos semejantes y manejo de expresiones que contienen símbolos de

agrupación 189

Ejercicios y problemas de la sección III.1 197

III.2. Operaciones algebraicas básicas 202

III.2.1. Adición y resta de polinomios 202

III.2.2. Multiplicación de potencias y de monomios 204

III.2.3. Multiplicación de polinomios 206

III.2.4. División de potencias de monomios 208

III.2.5. División de polinomios 211

Ejercicios y problemas de la sección III.2 214

BIBLIOGRAFÍA 219

4

¿QUÉ ONDA? (a modo de presentación)

Bueno, pues ya estás en la Uni, o con todas sus letras para que no haya confusión, en la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, lo que amerita una felicitación porque es la ley en educación media y media superior en los alrededores, anexos, conexos y similares (nomás nos faltó S.A. de C.V.).

No creemos que sea buena idea tratar de explicar en una página, y menos si ésta es la primera, qué es la matemática, cuál es su contenido, sus métodos, su importancia social, los sesudos mandamientos didácticos requeridos para que esté al alcance de todos ustedes y todo ese choro, tenemos un semestre para empezar a hablar de todo ello con más detalle. Claro que siempre es conveniente tener un panorama del campo de trabajo para estar prevenidos ante los retos que nos esperan.

Quizá los términos, no más exactos, pero sí los que te resultan más familiares para explicar lo que vas a encontrar en el libro son éstos: aritmética y los primeros temas de álgebra; así que no estás ante un desconocido y hasta intimidante material misterioso, por el contrario, ya has convivido y a veces hasta batallado a jalones y toda la cosa con esto; pero ello no quiere decir que sea más pan con lo mismo, le damos su lugar a lo que ya has aprendido, como debe ser, pero avanzamos en detalles más finos y de mayor fondo al respecto.

En las secciones que lo consideramos necesario iniciamos con una breve introducción acerca de los contenidos de la misma y los propósitos generales que se persiguen en ella.

No hemos podido evitar que justo la primera unidad sea la que tiene una mayor dosis de eso que ustedes llaman teoría (nunca falta la famosa pregunta: “profe, ¿en el examen van a venir nomás ejercicios o también teoría?”); pero sí hemos evitado presentarla en las formas con poco significado que se usan en muchos textos, no se trata de teorizar para complicar las cosas, sino de elaborar una buena herramienta intelectual para descifrar esta materia con fama de difícil: el libro consta de tres unidades; la número uno tiene dos secciones, en la primera aparece una buena dosis de teoría, en la segunda aumenta un poco; sigue la unidad dos y los detalles teóricos disminuyen; la recompensa del esfuerzo anterior es que de ahí en adelante continúan a la baja, permitiéndonos poner la atención en otros aspectos, como el de las aplicaciones.

Un detalle importante es que este es un libro de hule, en el sentido de que, dentro de ciertos límites, se puede estirar o encoger tanto en extensión como en profundidad para adecuarse a la situación particular de los grupos académicos, o de las diferentes ganas con que puede ser abordado por los estudiantes, algunos se quedarán con el mínimo posible, otros irán más lejos.

Con todo son pocos los pasajes de apreciable dificultad, aunque no se trata de darte la suave, neta, habrá partes donde tendrás que esforzarte, la vida es dura, aunque afortunadamente las matemáticas no lo son tanto, así que con algo de esfuerzo de los profes y de ustedes podrán tener un primer semestre chido, que son los propósitos de los que le echamos montón a la elaboración de este material y seguramente también de los demás colegas.

Miguel Pérez Cabrera Coordinador del rollo

P.D. A algunos profesores no les pareció muy sano el uso de un lenguaje poco ‘académico’que aparece en algunas partes del libro, no se trata de molestar a nadie ni de sumarnos al maltrato que en muchos medios se le da a nuestro idioma, pero esto está entre lo que se nos ‘pega’ de los estudiantes, bueno, de las y los estudiantes, y no es tan malo ponernos a traducir con ellos el lenguaje que usan.

5

¡AGUAS! (o sea, advertencias)

En realidad podríamos quedarnos un buen rato en esto, pero nos limitaremos a unas pocas observaciones:

Una de las características de este libro es el lenguaje usado, a algunas personas les preocupa que sea “tan matemático”, se refieren al uso frecuente de términos como ‘postulado’, ‘definición’, ‘teorema’ y algunos otros; no se vayan con la finta, sólo son palabras usuales de nuestra materia que equivocadamente se han estado dejando de lado desde hace algún tiempo; esa tendencia tiene varios inconvenientes, entre ellos la situación absurda de que les parezcan unas rarezas a los carnales y carnalas que llegan a carreras profesionales en las que se emplean las matemáticas, por ejemplo las ingenierías o las de ciencias naturales.

Ya hemos mencionado que el texto está hecho para que resulte posible estirarlo o

encogerlo de acuerdo a las necesidades de cada grupo académico, notarán que hay partes en marcos punteados y con letra más pequeña, esas son optativas, pensamos que un curso, digamos normal, sería el que atienda todo excepto esas partes, pero se puede recortar aún más si se requiere; en casos graves, bueno, es un decir, el curso se puede reducir a unas pocas páginas de “teoría” y una buena selección de ejercicios y problemas. A propósito de éstos últimos, son bastante abundantes, así que su uso requiere hacer una selección razonable de los que ustedes tienen que resolver. Por supuesto, sobre lo que hemos dicho en este párrafo, le corresponde al profe hacerte el paro.

De hecho el manejo del texto será más sencillo si los profesores estamos al tiro en cuanto

a hacer las indicaciones pertinentes, en los lugares pertinentes, en los momentos pertinentes, aunque suene impertinente tanta repetición.

Y basta de verbo, porque les espera una larga lectura.

¿Sale?

6

UNIDAD I

LOS NÚMEROS NATURALES Y LOS NÚMEROS ENTEROS I.1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES INTRODUCCIÓN

Desde la secundaria –realmente desde antes– se conocen distintas clases de números, ya saben, el choro de los números naturales, los números enteros y todo eso, cada una de estas tribus numéricas tienen sus propias características, algunas de ellas las identificamos bien pero otras las confundimos; incluso si nos zambullimos en uno de esos montones de números podemos mezclar unas cosas con otras (no es difícil encontrar a quien se le vaya el avión y quiera sumar con las reglas de la multiplicación). Bueno, pues una forma de meter orden en este embrollo es estudiar cada uno de los tipos de números mediante “algo” que se llama sistema numérico, uno de los propósitos de esta unidad es precisamente describir en qué consiste eso.

En lenguaje gastronómico, diríamos que el ingrediente principal del sistema numérico es otro “algo” que se llama operación binaria. El lector verá que ya sabe con qué se come esto porque todas las operaciones usuales, suma, multiplicación, etc. son ejemplos de esta cosa; ciertamente las operaciones básicas son operaciones binarias muy importantes pero distan de ser las únicas; se verá que es posible “inventar” un gran número de operaciones, unas útiles y otras que para fines prácticos son perfectamente inútiles, pero que, sin embargo, son valiosas para ilustrar ideas importantes.

En esta unidad hablaremos de ciertos conjuntos, operaciones, propiedades de éstas y otras ideas que ya son pan comido para el lector, en este sentido sólo pretendemos hacer un recordatorio, pero también vamos a agregar detalles finos que resultarán nuevos.

Finalmente, como para que el lector se divierta, bueno, hay que ser optimistas ¿no?, aprovechamos esta unidad para que practique sus operaciones básicas, para lo que le recetaremos algunos ejercicios y problemas.

En seguida se presenta el temario de esta sección, todo ello gira en torno a dos ideas y una actividad básica: sistema numérico, operación y manipulación de operaciones básicas, incluyendo el planteamiento y resolución de problemas.

TEMARIO DE I.1: I.1. El sistema de los números naturales I.1.1. El conjunto N y las operaciones de adición y multiplicación I.1.2 El concepto de operación binaria I.1.3. Propiedades básicas de las operaciones de adición y multiplicación I.1.4. Sistema decimal y sistema binario de numeración I.1.5. Orden en el conjunto N I.1.6. La resta y la división con naturales no están bien definidas I.1.7. Definición del sistema de los números naturales Ejercicios y problemas de números naturales

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I.1.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES Y LAS OPERACIONES DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN

Hay una diferencia clara entre un esqueleto y los huesos que lo constituyen colocados

simplemente en un montón. Estamos pensando que en el primero se notan relaciones entre los huesos que no se perciben en el segundo (cuál va unido con cuál, de qué manera uno influye en el funcionamiento de otro, etc.); hay una diferencia parecida entre un sistema de números y el simple conjunto de los mismos. En las próximas secciones nos proponemos hacer algunas observaciones acerca del montón de los números naturales que hacen de éste un sistema de números.

Esta suposición no es arbitraria, los lectores de estas notas manejan estos números desde que eran chiquitos (los lectores, no los números).

Pero por las dudas recordaremos que a los números se les suelen dar ciertos nombres según la operación en que participan:

No es raro que en el aula se discuta si 0 es o no un número natural, en términos matemáticos es casi cuestión de gustos; en nuestro caso tal vez habría que recurrir al hecho histórico y veríamos que el conocimiento del 0 y su manejo no han sido tan desenvuelto como ha ocurrido con los otros elementos del conjunto N, en la mayoría de las culturas su uso ha sido tardío o nunca lo llegaron a concebir; todo esto quizá le quite su carácter “natural”. No obstante nosotros lo incluimos en N por su importancia, no tanto como elemento de un conjunto, sino más bien como parte de un sistema de números.

sumandos suma

17 + 4 = 21 (17) (4) = 68

factores producto

En cuanto al conjunto mismo de los números naturales (al ‘montón’ de ellos):

{ }...,,,,,,,,,,,,,N 1211109876543210=

supondremos que es de todos conocido en el aula y no trataremos de dar mayores explicaciones sobre ellos.

Casi a la par que los alumnos se han familiarizado con los números naturales, también lo han hecho con dos operaciones que se efectúan con ellos (entre otras), la adición y la multiplicación, y tampoco abundaremos en explicaciones al respecto.

8

I.1.2. EL CONCEPTO DE OPERACIÓN BINARIA La adición y la multiplicación son ejemplos de lo que se llama operación binaria. En cada una de aquéllas se puede ver que esta idea consiste en cierta correspondencia entre parejas de números naturales, por un lado, y por otro, números naturales que se dice son resultado de la operación, por ejemplo:

Esta misma idea se encuentra con otras operaciones, por ejemplo en la resta:

Si pensamos una vez más en la idea de las correspondencias entre parejas de números que participan en las operaciones usuales y sus resultados podemos hacer algunas precisiones:

- Si decimos a un grupo de personas “sumen 2 y 4”, puede ser que unos piensen en 2+4 y otros en 4+2, afortunadamente unos y otros llegarán al mismo resultado; pero si les decimos “dividan 2 y 4” puede haber problemas, porque si unos piensan 2÷4 hallarán un resultado diferente de los que piensen 4÷2; para evitar tales situaciones confusas conviene adoptar algún acuerdo que permita saber de qué caso se habla, por ejemplo: escribir primero –de izquierda a derecha− el número que se mencione primero, cuando existe un acuerdo de este tipo se dice que las parejas de números que se mencionen son parejas ordenadas. Una situación parecida es la de los apellidos de una persona, ambos constituyen una pareja ordenada, ¿no es así?.

- Imaginemos que en un supermercado compramos algo de $1000 y otra cosa de $1200, y

que la caja registradora nos indicara que debemos o bien $2200 o bien $3000 porque las adiciones pudieran tener dos resultados, es decir, supongamos que ambos resultados fueran legítimos; o también imaginemos por un momento que la caja no marcara un resultado (si marcara 0 si habría un resultado) porque fuera igualmente legítimo que algunas adiciones no tuvieran resultado. Ambas situaciones serían desconcertantes, nuestra experiencia nos dice que es muy conveniente que las operaciones tengan exactamente un resultado, ni más ni menos.

52 es decir

pareja de naturales natural que se toma como resultado

47 + 5 47 + 5 = 52

pareja de naturales natural que se toma como resultado

47 − 5 42 es decir 47 − 5 = 42

pareja de naturales natural que se toma como resultado

(47) (5) 235 es decir (47) (5) = 235

9

Podemos poner estas ideas brevemente en una definición, ¿qué es eso?

Al leer el siguiente cuadro imagine a C como algún conjunto de números:

Notamos que el procedimiento exige lo siguiente (OB son las iniciales de “operación

binaria”, con frecuencia ocuparemos iniciales para bautizar resultados importantes): OB1) Que sea aplicable a parejas de números, no a un número ni a tres ni a más. OB2) Que se especifique el conjunto que se va a emplear (la clase de números que se

van a usar para hacer la operación con ellos). OB3) Que se den las reglas (instrucciones) que permitan establecer las correspondencias

entre cada pareja y su resultado. OB4) Indicar una forma de expresar la operación; el símbolo que se use se llama

operador binario.

Para reforzar nuestra idea de operación binaria, daremos algunos ejemplos.

Ejemplo1. Supongamos que en una materia se acuerda que para evaluar cada periodo habrá dos oportunidades, y que la calificación definitiva será la mayor de ambas. Esta situación se puede expresar como una operación: OB1) Se manejarán parejas de números, las dos calificaciones. OB2) El conjunto C que se va a emplear es: { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0C =

OB3) Si a y b representan dos elementos de C, expresaremos la operación de elegir calificación en la forma aMb; expresiones como éstas se pueden leer de alguna manera particular, por ejemplo “el mayor de los números a y b” .

OB4) Regla (provisional): aMb significa elegir el mayor de los números a y b.

He aquí algunas muestras de aplicación de la operación. 2 M 7 = 7 8 M 10 = 10 7 M 6 = 7

ACTIVIDAD:

Halla el elemento asociado a cada pareja, en las siguientes expresiones: i) 7 M 2 ii) 3 M 9 iii) 4 M 3 iv) 8 M 6

Definición: Una operación binaria sobre un conjunto C es un procedimiento que permite hacerle corresponder a cada pareja ordenada de elementos de C exactamente un elemento de C.

Una definición explica el significado de algo, como lo hace un diccionario

10

Es fácil observar que la regla no permite ciertas correspondencias, por ejemplo, 7 M 7 =?, así que hay parejas sin un resultado asociado, entonces se dice que la operación no está bien definida. En nuestro ejemplo esto se corrige fácilmente ampliando la regla, ¿cómo? (hay que efectuar la corrección porque más adelante se usa nuevamente el ejemplo). Ejemplo: 2.

OB2) Conjunto: { }...,9,7,5,3,1=P OB4) Representación: a#b, siendo a y b elementos de P. OB3) Regla: a cualquier pareja de elementos de P, se le hace corresponder un nuevo elemento, a saber, el que resulta de restar el segundo número del doble del primero, es decir: a#b = 2a – b.

Algunas muestras de esta operación:

3 # 5 = 2(3) – 5 =1 5 # 3 = 2(5) – 3 = 7 1 # 7 =2(1) – 7 = ¿?

ACTIVIDAD:

Halla el elemento asociado en las siguientes expresiones u objeta la situación: i) 11 # 15 ii) 20 # 18 iii) 1 # 3 iv) 1 # 2

Como se ve, nuevamente la regla no es satisfactoria. Sólo para continuar ejemplificando

la cambiaremos por a#b =2a + b. ¿Se obtiene una operación bien definida? ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones, si lo tienen: 5 # 1, 1 # 5, 4 # 3. Ejemplo: 3.

OB2) Conjunto: el formado por todos los números naturales con excepción de 0 y 1. OB4) Representación: a∇b, siendo a, b números naturales diferentes de 0 y 1. OB3) Regla: Multiplicar a por sí mismo hasta completar b factores.

Así que:

5∇3 = 5·5·5 = 125 2∇4 = 2·2·2·2 = 16 ACTIVIDAD:

Halle el elemento asociado en las siguientes expresiones: i) 7∇3, ii) 3∇5, iii) 8∇4 iv) Si incluimos 1 en el conjunto, ¿sigue bien definida la operación ∇? si no, ¿qué se

podría hacer para reparar el problema?

Como podemos darnos cuenta, nuestro primer ejemplo puede ser útil, el segundo (con la modificación indicada) parece perfectamente inútil y el tercero es una operación muy conocida escrita de otro modo (¿la identificaste?); pero aquí sólo importa que son tres situaciones que se apegan al concepto de operación binaria.

11

I.1.3 PROPIEDADES BÁSICAS DE LA ADICIÓN Y DE LA MULTIPLICACIÓN DE NATURALES.

Estas dos operaciones tienen ciertas características que facilitan notablemente su manejo

y el lector las ha usado tanto que le parecerán sin interés alguno, sin embargo no es completamente seguro que se las haya comprendido del todo, como en matemáticas son de gran importancia más vale revisarlas con detalle; aprovechando lo habituales que estas propiedades resultan las presentaremos como postulados.

PROPIEDAD DE CERRADURA DE UN CONJUNTO DE NÚMEROS

Esta propiedad puede ser omitida porque ya está incluida en la definición de operación binaria, pero también puede ser conveniente insistir en ella; hace referencia a que el resultado de la operación sea de la misma clase que los números operados; con mayor precisión, un conjunto es cerrado bajo una operación, si los resultados invariablemente son elementos del mismo conjunto, nótese que ésta es simplemente una de las características de una operación bien definida.

Nota:

¿Es correcto usar símbolos matemáticos para escribir las cosas o es mejor decirlas en el lenguaje de todos los días? Que cada grupo académico agarre su patín, con frecuencia usaremos ambas y que en cada grupo se decida al respecto; dejaremos como opcional la versión simbólica y se pondrá con letra más pequeña y en un marco punteado. De cualquier manera nos limitaremos a unos pocos símbolos y sólo les daremos un carácter taquigráfico, como para escribir con brevedad; el profesor que así lo decida abundará más en lo que aquí mencionaremos brevemente. Cabe advertir que el uso propiamente matemático de los símbolos es más rico que ésto, lo que nos proponemos es sólo hacer una introducción a esa simbolización.

Símbolo Nombre Escritura Se lee Letra mayúscula Usualmente: conjunto A “Conjunto A” o simplemente “A”

∈ Pertenencia x∈A x pertenece a A

∀ Cuantificador universal ∀x Para cualquier elemento x

∃ Cuantificador existencial ∃x Existe algún elemento x

Llamaremos postulados a las afirmaciones sobre las que tenemos razones suficientemente buenas como para aceptar sin más que son correctas y que no provocarán errores si se usan escrupulosamente.

12

Claramente hay “operaciones” con números naturales para los que no se cumple esta

propiedad, los casos de la resta o de la división son ilustrativos, el conjunto N no es cerrado bajo tales operaciones; esto equivale a decir que éstas no están bien definidas en el conjunto N:

ACTIVIDAD:

¿En cuáles de las operaciones aMb, a#b (ya modificada) y a∇b, se tiene la propiedad de cerradura? Discute esto con tu profesor.

Propiedad de Cerradura Para la adición de números naturales: A1. El conjunto N es cerrado bajo esta operación, porque cualquier adición de naturales

tiene como resultado un número natural, o más brevemente, la suma de dos naturales es otro natural.

M1. Para la multiplicación de números naturales: El conjunto N es cerrado bajo esta operación, porque cualquier multiplicación de naturales tiene como resultado un número natural, o más brevemente, el producto de dos naturales es otro natural.

Unas veces 8 ÷ 4 = 2

naturales natural

Otras veces 4 ÷ 8 = 0.5

naturales no es natural

Propiedad de cerradura: A1. N es cerrado bajo la adición de naturales porque:

∀a, b ∈N ocurre que a + b ∈N o simplemente: ∀a, b ∈N, a + b ∈ N

M1. N es cerrado bajo la multiplicación de naturales porque:

∀a, b ∈ N, ocurre que ab ∈ N o simplemente: ∀a, b ∈ N, ab ∈N

Unas veces 8 − 4 = 4

naturales natural

Otras veces 4 − 8 = − 4

naturales no es natural

13

CONMUTATIVIDAD

Esta es una característica de algunas operaciones que permite desechar la exigencia de que en una operación binaria la pareja de números que se van a operar sea ordenada, porque en esas operaciones el orden no modifica el resultado.

Cabe insistir en la idea de conmutatividad, veamos los siguientes ejemplos:

470414203284

+

470432841420

+

00955248832

06071753412 ×

009552522

00357

051341275 ×

Propiedad Conmutativa (a y b representan números naturales) Para la adición de números naturales: A2. El orden de los sumandos no altera la suma: a + b = b + a Para la multiplicación de números naturales: M2. El orden de los factores no altera el producto: a ⋅ b = b ⋅ a

Propiedad Conmutativa: A2. Para la adición: ∀a, b є N ocurre que: a + b = b + a o simplemente: ∀ a, b є N, a + b = b + a M2. Para la multiplicación: ∀a, b є N ocurre que a·b = b·a o simplemente: ∀ a, b є N, a b = b a

Tenemos que subrayar que, en general, en cualquier operación nos podemos preguntar si tiene o no las propiedades bien conocidas que encontramos en la adición y en la multiplicación (u otras).

14

Aquí tenemos dos ejemplos, en cada uno se presentan dos procedimientos. En el caso de la suma, a simple vista no se notan diferencias, mientras que en la multiplicación son totalmente diferentes excepto en el resultado, bien pensado, el hecho de que los procedimientos distintos conduzcan al mismo resultado es muy notable, sólo nuestra larga experiencia al respecto lo hace parecer como una simpleza. ACTIVIDAD:

¿Cuáles de las operaciones: M, #, ∇, son conmutativas ( o al menos parecen serlo)? Justifica tus respuestas y discútelas con tu profesor.

ASOCIATIVIDAD

El carácter binario hace que una “cadena” de adiciones, como: 9 + 5 + 2

tenga que efectuarse por pasos, primero sumamos dos números y al resultado lo sumamos con el que sigue, pero esto puede hacerse de más de una forma. Esto se ilustra en los siguientes diagramas, en ellos se “conectan” los números que se van a operar, en cada forma primero se hacen las operaciones de las conexiones más bajas:

Ahora bien, en general, no cualquier operación se comporta en este aspecto tan bien como

la suma , vamos a echarle un ojo a la resta:

¿Cuál es el resultado “correcto”?, se podría decir que el que va de izquierda a derecha,

pero entonces se estará escogiendo un orden privilegiado para efectuar operaciones, lo que se hará en ocasiones tomando algunas precauciones, pero eso es otro cantar, todos sabemos que nada así tenemos que hacer en cadenas de adiciones:

3

2

4

6

9 – 5 – 2 = ?

Una forma Otra forma

Cada forma conduce a un resultado distinto

9 + 5 + 2 = 16

14

16

7

16

Una forma Otra forma

Cada forma conduce al mismo resultado

15

ACTIVIDAD: Como ejercicio, ilustra al menos dos posibles caminos para hallar los resultados de las siguientes expresiones.

i) 10+15+14+28 ii) 4+7+11+6+5 iii) 1+3+5+7+9+11

En los textos no encontraremos diagramas como los anteriores para indicar el orden de las operaciones. Cuando se trabaja con cadenas de dos o más operaciones, por ejemplo, 2+3+6 ó 2·3+6, donde se tiene que efectuar primero alguna operación y después otra, conviene tener una forma de indicar cuál se efectuará antes, al respecto se usa la:

Por ejemplo, en el caso de 9 + 5 + 2 tenemos: ( )

( )⎩⎨⎧

=+=++=+=++167925916214259

La asociatividad entonces radica en que: En cambio, para 9 – 5 – 2 vemos que: ( )

( ) ( ) ( )259259 que así 639259224259

−−≠−−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−=−−=−=−−

La resta de naturales no es asociativa, con esto se quiere decir que si seguimos un orden

para efectuar una cadena de restas, obtendremos un resultado diferente al que se obtiene si se sigue otro orden, excepto por uno que otro churro, en resumen:

A3. Propiedad asociativa de la adición de naturales La suma es asociativa porque el resultado no depende del orden en que se opere cuando se tiene que aplicar la operación sucesivamente dos o más veces.

Regla del Paréntesis RP1. En una ‘cadena’ de operaciones se indica el orden en que éstas deben efectuarse

encerrando entre paréntesis la que se debe efectuar primero.

A3. Propiedad asociativa de la adición de naturales (a, b, c representan números naturales

cualesquiera). (a + b) + c = a + (b + c)

(9 + 5) + 2 = 9 + (5 +2) un camino posible otro camino posible

ambos caminos conducen al mismo resultado

16

Claro, la multiplicación de naturales también es asociativa, va un ejemplo que de paso permite completar la regla del paréntesis (léase de los niveles bajos hacia los altos).

Con la regla del paréntesis escribimos simplemente:

)54()32(5)4)32((resumen en 120206)54()32(

1205)46(5)4)32((⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

⎩⎨⎧

=⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅

Como se ve, en el primer procedimiento unos paréntesis están dentro de otros; también se

ve que primero se hace la operación del que está más adentro, esta observación completa la regla del paréntesis:

Es pertinente subrayar dos aspectos importantes de la asociatividad, tanto para la adición

como para la multiplicación:

De hecho podemos escribir la asociatividad de ambas operaciones en la forma:

A3. a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) M3. a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

RP2. Si unos paréntesis están dentro de otros, primero se atiende el más interior.

- En una cadena de adiciones o de multiplicaciones estamos en libertad de cambiar de lugar a voluntad los paréntesis.

- En las mismas operaciones, lo anterior también significa que estamos en libertad de quitar todos los paréntesis, precisamente porque así posteriormente podemos ponerlos donde se quiera.

120

20 6

120

24

6

(2) (3) (4) (5) = 120

17

ACTIVIDAD: ¿Es asociativa la división? ¿Es asociativa cada una de las operaciones M, #, ∇? En cada caso justifica tu respuesta y comenta con tu profesor. Haciendo uso de la regla de los paréntesis, efectúa las siguientes operaciones: i) 7+19+10+2 ii) 25+15+3+8+17 iii) 8·2·4·6 iv) 13·5·10·4·8 EXISTENCIA Y UNICIDAD DE ELEMENTOS NEUTROS

En la definición de operación no se dice que a cada par de números se le asocia “otro” número, sino “un” número, porque este puede ser uno de los números operados, por ejemplo:

5 + 0 = 5 0 + 3 = 3 4 · 1 = 4 1 · 879 = 879 ¿Se puede escribir para la suma un ejemplo sin el 0, o en la multiplicación algún ejemplo sin el 1?

La respuesta es negativa, estas características son peculiares de los números citados, en ese sentido son únicos, es decir:

En este sentido, ¿existe en N un elemento neutro para la resta? La respuesta es que no exactamente, tenemos que introducir un matiz, diríamos que para la resta sólo existe neutro por la derecha, por ejemplo:

3 – 0 = 3 mientras que 0 – 3 ≠ 3 ACTIVIDAD: ¿Existe neutro para cada una de las operaciones M, #, ∇? Justifica tu respuesta y comenta con tu profesor. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO A LA ADICIÓN

Cada una de las propiedades anteriores corresponden a una operación, adición o multiplicación, la que sigue se refiere a combinaciones de ambas. Entre las combinaciones de adición y multiplicación hay dos especialmente importantes que podemos ilustrar en el siguiente ejemplo:

A4. 0 es el único natural con la propiedad de que para cualquier otro natural a: 0 + a = a y también a + 0 = a , a 0 se le llama neutro aditivo. M4. 1 es el único natural con la propiedad de que para cualquier otro natural a :

1·a = a y también a·1 = a , a 1 se le llama neutro multiplicativo.

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DMA. a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) primer procedimiento segundo procedimiento

ambos procedimientos conducen al mismos resultado

- Supongamos que compramos tres camisas de cierto tipo, y dos más de otro, pero todas ellas de un mismo precio, por ejemplo de $ 230.00.

¿Cómo calculamos el importe total de las cinco camisas? Usualmente de una de las formas siguientes: Primera forma: Primero sumamos 3 camisas + 2 camisas y luego multiplicamos $230.00 por el resultado; usando la regla del paréntesis esto se hace en la forma: 230 (3 +2) = 230 ⋅ 5 = 1150 Segunda forma: Primero multiplicamos $230 por cada número de camisas y después sumamos los resultados, es decir: (230 · 3) + (230 · 2) = 690 + 460 = 1150 Como esperábamos, los resultados coinciden, esto ilustra una relación general entre la multiplicación y la adición que se puede indicar en la forma:

Esta es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición: en una

situación dada se puede recurrir indistintamente a un procedimiento o al otro, porque conducen al mismo resultado.

Ejemplo:

Siempre podemos preguntarnos si un par de operaciones poseen una propiedad como ésta, digamos: ¿Será distributiva M, respecto a ∇?

Ensayemos con ejemplos numéricos: ¿4M (2 ∇ 3) = (4M2) ∇ (4M3)? La expresión de la izquierda da: 4M (2 ∇ 3) = 4M8 = 8 La expresión de la derecha da: (4M2) ∇ (4M3) = 4 ∇ 4 = 256 Los resultados no coinciden, así que no encontramos la propiedad en cuestión.

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Ejemplo: Definamos otra operación con naturales como sigue:

⎩⎨⎧

−−= igualesson si y que mismo el

y números los demenor elΔ bababa

Ahora preguntamos: ¿ a M (b Δ c) = (a M b) Δ (a M c) ? Probemos algunos ejemplos numéricos. ¿Se obtiene en verdad la siguiente igualdad?

4 M (3 Δ2) = (4 M 3) Δ (4 M 2) Lado izquierdo: 4 M 2 = 4 Lado derecho: 4 Δ 4 = 4 Conclusión, efectivamente se tiene la igualdad: 4 M (3 Δ 2) = (4 M 3) Δ (4 M 2) ¿Será coincidencia? Otros ejemplos indican que no lo es, pero se requiere otro tipo de

argumentos para lograr plena seguridad de que M es distributiva respecto a ? ACTIVIDAD: Usaremos las cuatro operaciones M, ∇, # , Δ, para hacer diferentes combinaciones que nos permitan ver si son distributivas unas respecto a otros; verifica en cada caso si son válidas las igualdades o no:

4 M(6 #2) = (4M6) # (4M2) 4 # (5 Δ8) = (4 # 5) Δ (4 # 8)

7 ∇ (2 Δ 3) = (7 ∇ 2) Δ (7 ∇3) JERARQUÍA DE OPERACIONES

La propiedad distributiva plantea otra cuestión, para verla regresamos a la expresión

( ) ( )caba ⋅+⋅ La regla del paréntesis indica que primero debemos efectuar las multiplicaciones y después la suma, esa instrucción es necesaria porque si quitamos los paréntesis ocurren cosas como la que se ilustra en seguida, tomemos la expresión:

3·4 + 3·5

Si efectuamos operaciones en diferentes órdenes se pueden obtener varios resultados:

20

Ejemplo: Vamos a tomar dos expresiones idénticas, enseguida introduciremos paréntesis en lugares

diferentes y veremos qué pasa: 3 · 4 + 3 · 5 (3 · 4) + (3 · 5) = 12 +15 = 27 3 · 4 + 3· 5 3 · (4 + 3) · 5 = 3 · 7 · 5 = 105

De acuerdo a la regla de jerarquía, la expresión 3 · 4 + 3 · 5 se manejará como en el primer caso, la operación de mayor nivel se efectúa antes que la otra. ACTIVIDAD:

En las siguientes expresiones realiza las operaciones indicadas. i) =+⋅ 632 ii) =++ )24(33

Nota: los siguientes ejemplos incluyen la resta, por lo pronto su jerarquía es la misma que la de la suma:

iii) =⋅−⋅+ 234205 iv) =−⋅+⋅ 191834

Jerarquía de operaciones. Para economizar paréntesis convendremos en que en una cadena de multiplicaciones

y adiciones, efectuaremos primero las multiplicaciones y después las adiciones, a menos, precisamente, que halla paréntesis que indiquen otra cosa. Por esto se dice que la multiplicación es una operación de mayor nivel que la adición.

105

21

7

3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 = ?

12

15

75

multiplicación

adición

La operación de mayor nivel se efectúa antes que la otra

21

A continuación daremos algunos ejemplos donde se utilizan propiedades para justificar algunas afirmaciones que permiten realizar operaciones en diferentes formas.

- 3·5·2 = 3·(5·2), la igualdad se justifica por la propiedad asociativa de la multiplicación. - (587)(1) = 587, la igualdad se justifica por la propiedad del elemento neutro

multiplicativo. - 3+4+7 = (3+4)+7, la igualdad se justifica por la propiedad asociativa de la adición. - 3(2+7) = 3·2+3·7, la igualdad se justifica por la propiedad distributiva de la multiplicación

con respecto a la suma. - 34+42 = 42+34, la igualdad se justifica por la propiedad conmutativa de la adición. - 3527·425343 = 425343·3527, la igualdad se justifica por la propiedad conmutativa de la

multiplicación.

En el siguiente ejemplo damos una columna de expresiones, se afirma que cada una es igual a la de abajo; en medio de ambas se escribe la justificación de la igualdad (cada propiedad no corresponde a una expresión o a la otra, es la que permite pasar de una a otra, afirmando que son iguales, por eso escribimos la propiedad entre ambas expresiones).

4+9(1)+3(4+2)= por elemento neutro multiplicativo

4+9+3(4+2)= por propiedad distributiva de la multiplicación ante la adición 4+9+3·4+3·2= por propiedad de cerradura de la multiplicación 4+9+12+6= por propiedad asociativa de la adición (4+9)+(12+6)= sólo se obtuvieron las sumas 13+18= sólo se obtuvo la suma 31

ACTIVIDAD: Justifica las siguientes igualdades, con el nombre de la propiedad utilizada.

- 3·4·5 = 3(4·5) - (4·5)·4 =4·(4·5) - 324·1= 324 - 5(7+8) = 5·7+5·8 - 3(5+0)= 3·5 - 9·17=17·9 - (4·5)·4 = 4·(5·4)

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A continuación te presentamos el desarrollo de una serie de operaciones para una expresión dada originalmente. Se afirma que ésta es igual a la segunda, que ésta a su vez es igual a la tercera, etc., entre una y otra expresión vas a colocar el nombre de la propiedad que justifica la correspondiente igualdad:

(4+3)+2(1+2) = 1. _______________________________

(4+3)+2·1+2·2 = 2. _______________________________ (4+3)+2+4 = 3. _______________________________ (4+3)+(2+4) = 4. _______________________________ (4+3)+(4+2)=

5. sólo se obtuvieron las sumas________ 7+6=

6. _______________________________ 13

Para los siguientes ejercicios, realiza las operaciones indicadas, justificando en cada afirmación la propiedad utilizada.

- 4 + 7 + (0+3)5 = - 5 + 2(4+0) + 3(2+1) =

I.1.4 SISTEMA DECIMAL Y SISTEMA BINARIO DE NUMERACIÓN.

Hemos dicho que entre las características de los números naturales está su aparición histórica espontánea y temprana en diversas culturas, pero claro, una cosa es el concepto y otra su representación. Como se sabe, hay una gran diversidad de representaciones de los naturales; seguramente en algunas civilizaciones su matemática no llegó muy lejos porque no encontraron un buen sistema de numeración (¡no confundir con lo que más adelante llamaremos sistema numérico!), de hecho en muchos casos el problema fue que no lograron concebir el número 0, parece que es difícil ponerle número a la ‘nada’.

Entre los diversos sistemas de numeración sobresalen los posicionales, llamados así por el papel que la posición en que se colocan los dígitos juega un papel importante, por ejemplo, el número 111 pudiera ser ‘tres’ para los romanos, mientras que para los árabes es ‘ciento once’; claro, para los primeros cada 1 es ‘uno’, en cambio para los segundos el 1 de la derecha es ‘uno’, el que le sigue a la izquierda es ‘diez’ y el otro es ‘cien’.

Pero elaborar un sistema posicional es complicado, requiere tener una aritmética bastantea avanzada, de hecho exige tener gran claridad sobre todo lo que hemos dicho hasta aquí; así que hay aquí un problema de ida y vuelta: un buen sistema de numeración necesita una buena aritmética y una aritmética desarrollada requiere de un sistema de numeración bastante elaborado. Vamos a ilustrar todo esto recordando con brevedad algo del sistema decimal de numeración y agregando un par de palabras para el caso del sistema binario de numeración.

23

Sistema decimal de numeración

Los sistemas posicionales de numeración tienen entre sus cualidades versatilidad para efectuar con ellos operaciones y suponen una aritmética muy eficaz, en particular suponen el conocimiento y manejo de las propiedades antes reseñadas, por ejemplo, la representación decimal de 31204 consiste en:

410021023101410331204 +×+×+×+×=

Se puede observar que la construcción de un sistema posicional requiere una aritmética

desarrollada, esto se nota con mayor detalle en los llamados algoritmos de las operaciones, digamos, los “mecanismos” que están atrás de nuestras sencillas formas de hacer operaciones, por ejemplo veamos lo que hay atrás de la diminuta suma:

209 + 18

209 + 18 = (2×102 +0×101+9 )+(1×101+8) escritura decimal desarrollada = 2×102 +0×101+9 +1×101+8 propiedad asociativa de la adición = 2×102 +0×101+1×101 +9 +8 conmutativa de la adición = 2×102 +(0×101+1×101) +(9 +8) propiedad asociativa de la adición = 2×102 +(0+1)×101 +(9 +8) propiedad distributiva = 2×102 +1×101 + 17 sólo se efectúan sumas = 2×102 +1×101 + 1×101 + 7 17 se escribe en forma desarrollada = 2×102 + (1+1) ×101 +7 propiedad distributiva = 2×102 + 2×101 + 7 sólo se efectúan sumas = 227 forma posicional

Examinando con lupa y con paciencia este procedimiento, podrán reconocerse los pasos de la forma usual de sumar, desde las formas de acomodar los sumandos (una columna de unidades, otra de decenas, etc), hasta sumar los primeros sumandos de derecha a izquierda, “llevar 1” a la fila que sigue a la izquierda, etcétera.

Remacharemos el concepto del algoritmo de la adición con otro ejemplo:

Se recordará que las características de la representación decimal de numeración son: − Se emplean diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 − Se introduce otro número que es la base del sistema, en nuestro caso, 10 − Se emplean la adición, la multiplicación y una variante de ésta, la potenciación.

24

457+285 = (4×102 +5×10+7)+(2×102+8×10+5) escritura decimal desarrollada = 4×102 +5×10+7+2×102+8×10+5 prop. asociativa de la adición

= 4×102 +5×10+2×102+7+8×10+5 prop. conmutativa de la adición = 4×102 +2×102+5×10+7+8×10+5 prop. conmutativa de la adición = 4×102 +2×102+5×10+8×10+7+5 prop. conmutativa de la adición = (4 +2)×102+(5+8)×10+(7+5) prop. distributiva = 6×102+13×10+12 prop. de cerradura de la adición = 6×102+(1×10+3)×10+(1×10+2) escritura desarrollada de13 y 12 = 6×102+(1×10×10+3×10)+1×10+2 prop. distributiva = 6×102+(1×102 +3×10)+1×10+2 prop. de cerradura de la multiplicación = 6×102+1×102+3×10+1×10 +2 prop. asociativa de la adición = (6+1)×102+(3+1)×10 +2 prop. distributiva = 7×102+4×10+2 prop. de cerradura de la adición = 742 forma posicional

ACTIVIDAD:

Para reforzar el algoritmo de la suma, realiza las siguientes sumas en forma desarrollada: - 8+12 = - 102+154 = - 242+379 =

Bien se sabe que las diversas civilizaciones crearon varios sistemas de numeración.

Dicen los que saben, que los egipcios tenían básicamente un sistema decimal; que los babilonios usaban más bien dos sistemas, uno decimal y otro sexagesimal, es decir, usaban como base el 60; mientras que los mayas preferían como base el 20. En fin, cualquier natural excepto 0 y 1 sirve como base para un sistema de numeración, por ejemplo, una base muy actual por ser de uso persistente en la computación es el 2, el correspondiente sistema se llama binario. Vamos a agregar unos párrafos al respecto para destacar las características de un sistema de numeración posicional y la importancia que para esto tienen las propiedades de las operaciones:

¿Cómo se escriben en forma binaria desarrollada y posicional: 1, 2, 3, 4, 5, 9, 31?

Dígitos: 0, 1. Sólo éstos deben aparecer en un número binario posicional. Base: 2. Aparece en la forma desarrollada pero no en la posicional. Se usa la adición, la multiplicación y la potenciación.

Cuando los romanos escribían II y los árabes escribían 2 hablaban del mismo número, pero usaron símbolos diferentes para representarlo. Convengamos en llamar numerales a los símbolos usados para representar números, II y 2 son dos numerales para el ‘dos’

25

En la tabla se muestran los resultados, los subíndices indican la base, por lo tanto no era necesario escribírselo a los decimales, 510 es simplemente “nuestro” 5, en cambio 1002 no es “nuestro” 100, sino el 4 escrito en binario.

A la inversa, averigüemos qué número en sistema decimal es el binario101012: Ejemplo: 101012 = 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·2 + 1 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 2110

Número decimal Binario desarrollado Binario posicional 110 1 12 210 1·2 + 0 102 310 1·2 + 1 112 410 1·22 + 0·2 + 0 1002 510 1·22 + 0·2 + 1 1012 910 1·23 + 0·22 + 0·2 + 1 10012 3110 1·24 + 1·23 + 1·22 + 1·2 + 1 111112

De manera análoga a lo que hicimos con la adición en el sistema decimal, y que nos permitió hacernos del algoritmo de la suma, mostraremos en forma desarrollada la adición de numerales binarios. Esto puede permitir al alumno hacerse del algoritmo de la suma de números binarios. En este ejemplo se nota la importancia de las propiedades estudiadas cuando aún no se tiene un procedimiento abreviado para hacerlo. La tablita resaltada a la derecha es la tabla de sumar binaria (+2), y no es broma, consulta a tu profesor. 10112+11002 = (1×23 + 0×22 + 1×2 + 1) + (1×23 + 1 ×22 + 0×2 + 0) forma binaria desarrollada = 1×23 + 0×22 + 1×2 + 1 + 1×23 + 1 ×22 + 0×2 + 0 asociativa de la adición = 1×23 + 0×22 + 1×2 + 1×23+ 1 + 1 ×22 + 0×2 + 0 conmutativa de la adición = 1×23 + 0×22 + 1×23+ 1×2 + 1 + 1 ×22 + 0×2 + 0 conmutativa de la adición = 1×23 + 1×23+ 0×22 + 1×2 + 1 + 1 ×22 + 0×2 + 0 conmutativa de la adición = 1×23 + 1×23+ 0×22 + 1×2 + 1 ×22 + 1 + 0×2 + 0 conmutativa de la adición = 1×23 + 1×23+ 0×22 + 1 ×22 + 1×2 + 1 + 0×2 + 0 conmutativa de la adición = 1×23 + 1×23+ 0×22 + 1 ×22 + 1×2 + 0×2 + 1 + 0 conmutativa de la adición = (1×23+1×23)+(0×22+1×22)+(1×2+0×2)+(1+0) asociativa de la adición = (1+1)×23 + (0+1)×22 + (1+0) ×2 + (1+0) distributiva = (10)×23 + (1) ×22 + (1)×2 + 1 adición de números binarios = (1×2 + 0)×23 + 1 ×22 + 1×2 + 1 forma binaria desarrollada = 1×2×23 + 0×23+ 1 ×22 + 1×2 + 1 distributiva = 1×24 + 0×23+ 1 ×22 + 1×2 + 1 definición de exponente = 101112 de la forma desarrollada se pasa a la posicional

+2 0 1 0 0 1 1 1 102

26

ACTIVIDAD: Convierte los siguientes numerales de base dos en numerales de base diez. i) 101012 ii) 110112 iii) 1100112 iv) 1111112 v) 11100012 Convierte los siguientes numerales de base diez en numerales de base dos. i) 35 ii) 59 iii) 128 iv) 306 v) 415

Va otro ejemplo, es un largo rollo sólo para sumar 10112 + 1012, que en el sistema decimal y

con nuestro benigno procedimiento usual es simplemente 11 + 5 = 16 (¡!).

)120221()121220321(210121011 +×+×++×+×+×=+ forma desarrollada

120221121220321 += ×+×++×+×+× asociativa

112021221220321 ++×+×+×+×+×= conmutativa

)11(2)01(22)10(321 ++×++×++×= asociativa, distributiva

21021221321 +×+×+×= se hacen sumas en binario con la tabla de sumar

02121221321 +×+×+×+×= se desarrolla 102

02)11(221321 +×++×+×= distributiva

02210221321 +×+×+×= se hacen sumas en binario con la tabla

02)021(221321 +×+×+×+×= se desarrolla 102

020221221321 +×+×+×+×= distributiva

02022)11(321 +×+×++×= distributiva

02022210321 +×+×+×= se suma en binario

02022)021(321 +×+×+×+×= se desarrolla 102

020220321321 +×+×+×+×= distributiva

02022032)11( +×+×+×+= distributiva

02022032210 +×+×+×= se suma en binario

02022032)021( +×+×+×+×= se desarrolla 102

020220320421 +×+×+×+×= distributiva 210000= notación posicional

Realiza las siguientes adiciones en aritmética binaria. i) 1102 + 1112 ii) 1012 + 1102 iii) 1112 + 1002

27

I.1.5 ORDEN DE LOS NÚMEROS NATURALES

Si algo resulta fácil es comparar parejas de naturales y decir cuál de ellos es el menor (o el mayor). Sabemos que 3 es menor que 7, ¿podemos explicar por qué?, esto ya no es tan fácil. Lo más probable es que haya varias opiniones; si nos ponemos de acuerdo en un criterio aplicable a cualquier pareja de naturales habremos definido un orden de los números naturales; así como hay reglas para operar naturales, también la hay para ordenarlos, es decir, para tomar dos de ellos y determinar cuál es el menor.

De una buena vez recordemos que la forma simbólica de expresar que “a es menor que b” es: a < b, y que también se admite escribirlo en la forma b > a (“b mayor que a” expresa la misma idea que “a menor que b”).

Ahora pasemos a buscar la regla; la idea más usual se basa en la suma y es la siguiente: dados dos naturales, el menor es al que debe sumársele un natural para obtener el otro, es decir, por ejemplo:

Tomemos 7 y 2: a 7 no podemos sumarle un natural para obtener 2, en cambio a 2 podemos sumarle 5 para obtener 7, es decir, 2 + 5 = 7, entonces decimos que 2 < 7.

Hay que observar que 0 no puede entrar en el trato, porque como, por ejemplo, 2 + 0 = 2, tendríamos que decir que 2 < 2, que no se lleva bien con nuestra experiencia.

Ahora podemos poner esto en una definición, por supuesto no nos enseña nada, sólo nos

permite explicar una cosa que ya sabemos hacer:

I.1.6. LA RESTA Y LA DIVISIÓN CON NATURALES NO ESTÁN BIEN DEFINIDAS RESTA:

La idea es que esta operación sea la inversa de las suma en el siguiente sentido: dados los números naturales a y b llamados sumandos, se les puede hacer corresponder un número c llamado suma:

Definición: Si a y b representan dos naturales cualesquiera, la expresión a < b se lee “a es

menor que b”, y significa que existe un natural c ≠ 0 tal que a + c = b

Definición: Si a, b∈ N , a < b significa que ∃ c ∈N, c ≠ 0, tal que a + c = b

sumandos suma

a + b = c

28

La resta será una operación en la que se da la suma y un sumando, haciéndoles corresponder como resultado el otro sumando, es decir, representando la resta en la forma usual se tendría:

De aquí que ensayemos la siguiente definición; para que no te parezca rara piensa en la

forma en que desde la primaria comprobabas las restas, sólo aplicabas esta regla:

Ejemplos:

324 – 7 = 317 porque 7 + 317 = 324. 7 – 324 = c ¿? no existe un natural c tal que 324 + c = 7

Verifica que: 5 –(3–2) ≠ (5–3)–2 porque 5–(3–2) = 5–1 = 4 y (5–3)–2= 2–2 = 0

Así de rápido vemos que la operación resta, no está bien definida para los naturales por

que hay casos en los que no puede asignarse un resultado (un natural por supuesto). Como sabemos también se dice que el conjunto N no es cerrado bajo la operación resta. También está en duda que se cumplan las propiedades que hemos estado estudiando, ¿cuál no se cumple según el último ejercicio de arriba? ACTIVIDAD: Con base a los ejemplos anteriores, contesta lo siguiente:

- Si 3∈N y 6∈N, entonces 3–6 ∉ N. ¿por qué? Justifica tu respuesta. - 6–3 ≠ 3–6, ¿por qué? Justifica tu respuesta. - 7–(4–3) ≠ (7–4)–3, ¿por qué? Justifica tu respuesta.

c − a = b del mismo modo c – b = a

suma un sumando el otro sumando

Sean a, b, c números naturales relacionados como sigue:

a – b = c significa que b + c = a entonces c se llama diferencia de a menos b; a se llama minuendo y b se llama sustraendo

29

DIVISIÓN

Se procede como con la resta, la idea es definir esta operación como inversa de la multiplicación en el sentido de que el producto entre un factor, dé el otro factor:

⎪⎩

⎪⎨⎧

abc

bac

tambiény

Intentemos la definición:

Ejemplos:

48 ÷ 6 = 8 porque 6⋅8 = 48, en este caso se dice que 6 divide a 48. 6 ÷ 48 = c (¿?) no hay un número natural c, tal que 48 ⋅ c = 6 , ahora decimos que 48 no divide a 6. 15 ÷3 = 5 porque 5·3=15, decimos que: 3 divide a 15. 9 ÷2 = c (¿?), no existe un natural c, tal que 2⋅c = 9, entonces 2 no divide a 9. La división no está bien definida en N, o lo que viene siendo lo mismo, N no es cerrado

bajo la división.

Observación: Si existe al menos un elemento para los cuales una propiedad no se verifica, esto es suficiente para decir que la propiedad no se cumple.

Dicho sea de paso, si hacemos algunos ensayos veremos que algunas de las propiedades

vistas antes no se cumplen:

- 3÷6 ≠ 6÷3, ya que 3÷6 no da un natural y 6÷3 = 2; la propiedad conmutativa no se aplica en la división de números naturales.

- 6÷(3÷2) ≠ (6÷3) ÷2, ya que 6÷(3 ÷2) no es un natural y (6÷3) ÷2 = 2÷2 = 1, lo que

indica que la propiedad asociativa no se verifica en la división de los números naturales.

Si a · b = c, entonces

factores producto

Sean a, b, c números naturales relacionados como sigue: a ÷ b = c significa que b·c = a

entonces c se llama cociente de a entre b, mientras que a se llama dividendo y b el divisor.

30

ACTIVIDAD: Con base a los ejemplos, contesta lo siguiente:

Si 17 y 9 son naturales, entonces 17÷9 no es natural. ¿Por qué? Justifica tu respuesta. 12 ÷3 ≠ 3 ÷12 ¿por qué? Justifica tu respuesta. 18 ÷(6 ÷3) ≠ (18 ÷ 6) ÷3 ¿por qué? Justifica tu respuesta. 35 ÷ 7 = 5 ¿por qué?

I.1.7. DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES

Esta definición resume los aspectos más importantes de lo dicho desde el principio, por un lado proporciona un panorama de conjunto de ello; por otro lado, es un modelo de las cuatro etapas que tenemos que cubrir para construir otros sistemas numéricos.

Definición El sistema de los números naturales, indicado en la forma (N, +, · , <) está constituido

con las siguientes partes: I) El conjunto N. II) Dos operaciones con números naturales llamadas adición (+) y multiplicación (⋅)

) III) Cualesquiera que sean los números naturales a, b, c se cumplen las siguientes propiedades: .

Propiedad Operación Suma (+) Operación Multiplicación (⋅) Cerradura a + b es un natural a ⋅ b es un natural Conmutativa a + b = b + a a ⋅ b = b ⋅ a Asociativa a+b+c = (a+b)+c = a+(b +c) a ⋅ b ⋅ c = (a⋅b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) Existencia y unicidad de neutros aditivo y multiplicativo

0 es el único natural con la propiedad de que a + 0 = a y también 0 + a = a

1 es el único natural con la propiedad de que a⋅1= a y también 1· a = a

Distributiva de “⋅” respecto a

“+”

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

IV) El orden en N

a < b significa que existe un natural c≠ 0 tal que a + c = b

Esta relación, igual que las operaciones, tiene propiedades que omitiremos aquí.

31

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN I.1

1.- Sea a @ b = a2+2b, obtén 5 @ 3

2.- Sea a ⊗ b = 2b – a definido en N, ¿es ⊗ una operación bien definida en N?

3.- Propón una operación binaria arbitraria, bien definida y haz un ejercicio numérico con ella.

4.- Sea C= {x ⏐x es un dígito} y a Θ b = 2b − a . ¿Es Θ una operación cerrada en C?

5.- Sea a Θ b = 3( a + b ) definida en N. ¿Es Θ una operación conmutativa?

6.- Sea a ∇ b = menor de los números a y b, ¿es asociativa la operación ∇ en N?

7.- Escribe en tres formas equivalentes la suma de naturales 5+8+3+1+9 empleando paréntesis.

8.- Escribe en tres formas equivalentes la multiplicación de naturales 2(4)(1)(3)(5) empleando signos de agrupación.

9.- Escribe en tres formas equivalentes la suma de naturales 2 + 9 + 3 + 4 + 7 empleando la propiedad conmutativa.

10.- Expresa la siguiente multiplicación en tres formas equivalentes empleando la propiedad conmutativa. 2(1)(3)(5)(4)

11.- Efectúa las siguientes sumas de naturales realizando primero las operaciones indicadas en los

paréntesis. ¿Qué ocurre con el resultado? ¿Qué propiedad justifica la observación?

5+(4 + 3)+ 5 + (4 + 2) =

(5 + 4) + (3 + 5 +4) + 2 =

5 + (4 +3+5)+(4 + 2) =

12.- Un rectángulo mide 24 m. de largo y 8 m. de ancho. Obtén el perímetro empleando dos

procedimientos distintos. ¿Qué propiedad justifica que ambos procedimientos son

equivalentes?

32

13.- Indica entre renglón y renglón qué propiedad de la suma o multiplicación de números

naturales justifica el paso de una expresión.

0+3(2+4)+2(1)

0+6+12+2(1)

0+6+12+2

0+(6+12)+2

0+18+2

18+2+0

18+(2+0)

18+2

14.- En una avenida se han colocado postes de 30 cms. de diámetro separados 20 metros entre sí

para colocar lámparas de alumbrado. ¿Cuál es la longitud de la avenida si al colocar un

poste al inicio y otro al final , el número de postes usados es de 120?

15.- En una bodega de artesanías existen 12 anaqueles con 4 entrepaños cada uno , en cada

entrepaño hay 5 cajas con 20 figuras de cerámica . Al manipular la mercancía se destruye

el contenido de 2 cajas. ¿Cuál es el número de figuras en buen estado que queda en la

bodega?

16.- Escribe en forma desarrollada los siguientes numerales, cuya base indica el subíndice.

a) 2048

b) 3025

c) 1010102

17.- Efectúa la siguiente suma: 1012 + 10102

18.- Si la edad de Ángel René es 11011002 años y la de Alejandro es 1110002 años, ¿quién de los

dos es más grande?

33

19.- Halla el valor de las siguientes expresiones usando la jerarquía de las operaciones.

a) 58 + 39 × 11 × 33 +24 =

b) 31 × 2 + 48 × 12 + 3 × 11 =

c) 45 × 9 + 3 + 7 + 2 × 4 =

d) 2 + 16 × 8 + 9 ×3 + 8 =

e) 96 × 8 + 4 + 15 ×10 =

20.- Halla el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones. Argumenta tus

respuestas empleando la definición de la relación de orden.

a) 5>4

b) 2<2

c) 7<11

d) 10>15

21.- ¿Por qué se dice que N no es cerrada bajo la división?

22.- ¿En qué otra forma podemos expresar que la división no está bien definida en N?

23.- En la expresión siguiente: 540-80 = 460

a) ¿Cuál es el minuendo?____________¿cuál es el sustraendo?_____________ ¿cuál es la

diferencia?____________

b) ¿Qué propiedad se aplicaría si se invierte el minuendo y el sustraendo? ¿se cumple dicha

propiedad?

c) ¿Qué condición deben cumplir el minuendo y el sustraendo para que la diferencia de dos

números sea un número natural?

d) Si el sustraendo se suma con la diferencia , ¿qué se obtiene?________________________

e) Si del minuendo se resta la suma del sustraendo con la diferencia, ¿qué

resulta?_____________________________________

24.- Enuncia qué propiedad distingue al sistema de los números enteros con respecto a los

números naturales.

34

25.- Deseo comprar un artículo cuyo precio conozco y el dinero no me alcanza ¿cómo calculo la

cantidad de dinero que me hace falta?

26.- Coloca dentro del paréntesis el número desconocido:

a) [68 − ( )] – 20 = 33

b) (598 – 346) − ( ) = 1

c) ( ) − (58 − 7) = 16

d) (359 – 29) − ( ) = 32

e) [( ) − 38] – 25 = 16

f) [( ) − 38] – 43 = 6

g) (19 – 9 ) − ( ) = 7

h) ( ) − (10 − 7) = 12

i) 14 – [( ) − 5] = 3

j) (20 – 8) – 6 =

27.- El presupuesto de la ciudad de Puebla para el programa de verano es de $ 7,000,000.00 ; en

junio se gastaron $2,500,000.00, en julio $750,000.00 menos que en junio y si en agosto se

gastaron $1,150,000.00 ¿cuál es el presupuesto de septiembre?

28.- El año pasado en una biblioteca se compraron libros por un total de $15,000.00, este año se

gastaron $27,850.00 ¿cuánto más se invirtió este año?

29.- Dos tanques comunicados se utilizan para recibir y expender combustible líquido. Con una

existencia inicial de 150 litros por la mañana se reciben 70 litros, se venden 90 litros y

finalmente se reciben otros 40 litros. ¿cuántos litros quedarán al cabo de estas operaciones

por la tarde?

30.- La comisión de turismo de una ciudad balnearia lleva el control de los pasajeros que entran

y salen. Habiendo ya en la ciudad 4850 personas, llegan 5400 en tren, 2951 en automóvil y

6835 en ómnibus. Pero al mismo tiempo parten 3250, 3645 y 3140 pasajeros en esos

medios de transporte. ¿Qué cantidad de veraneantes han quedado en ese momento?

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31.- En la expresión siguiente : a ÷ b = c

a) ¿Cuál es el dividendo?____ ¿cuál es el divisor?_____ ¿cuál es el cociente?_____

b) ¿La división : a ÷ b = c cumple la propiedad conmutativa? , es decir :¿ a ÷ b = b ÷ a?

c) ¿Si sustituyes a y b por los valores de números naturales , ¿se cumple siempre la

propiedad de cerradura?________¿por qué?__________________________________

32.- ¿Qué condiciones debe cumplir la división de números naturales para satisfacer la propiedad

de cerradura ?

33.- ¿La división de números naturales puede tener residuo?_____________________¿por

qué?_______________________________________________________________

34.- Muestra con el siguiente ejemplo que la división no es asociativa

4864 ÷÷

35.- Con los números 18, 6 y 3 formula un ejemplo donde ilustre que la división no cumple la

propiedad asociativa.

36.- ¿Qué número multiplicado por 8 tiene como producto 96?, usa la respuesta para obtener el

cociente de la división de 96 entre 8 y da otro ejemplo.

× 8 = 96 porque 96 ÷ 8 =

÷ 4 = 2 porque 4 × 2 = 8 ÷ 2 = porque 2 × = 8 8 ÷ = 8 porque × 8 = 8 8 ÷ 0 = porque 0 × =

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37.- ¿En qué caso el producto de dos números? a) Nos da por resultado el neutro aditivo. b) Nos da por resultado uno de los factores.

38.- Escribe entre renglón y renglón , qué propiedad de la suma o producto justifica el paso de

una expresión a otra. 5 + 3(1) + 3 ( 2 + 3) + 0 5 + 3 + 6 + 9 + 0 5 + 3 + 6 + 0 + 9 (5 + 3 ) + ( 6 + 0 ) + 9 8 + 6 + 9 ( 8 + 6 ) + 9 14 + 9 ε N

39.- Indica qué ley está ejemplificada en cada una de las siguientes igualdades:

a) xy = yx b) (x + y) + z = x + (y + z) c) xy + xz = x (y + z) d) x + a = a + x e) (2a) b =2(ab) f) a + 0 = a g) a = 1⋅a

40.- Escribe las siguientes operaciones de manera más simplificada usando la propiedad

distributiva. a) 5 × 9 + 5 × 12 + 5 × 15 b) 16 × 3 + 24 × 3 + 30 × 3 c) 4 × 26 + 8 × 26 + 15 × 26

41.- Encuentra el factor desconocido.

a) 17 × = 170 b) × 53 = 636 c) 78 × = 6552 d) 21 × = 441 e) × 75 = 1800

42.- Efectúa las operaciones indicadas:

a) 3(7 + 2) + 6(4 + 1) d) 0(12 + 8) + 13 (3 + 2) b) 15 (7 + 3 ) + 8 (6 + 9) e) 5(11 + 4) + 12 (6 + 4) c) 4(6 + 24) + 0 (17 + 25)

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43.- Halla los siguientes productos y luego establece una regla general para obtener con mayor

rapidez el resultado:

a) 54 ×10 c) 83 × 1000 e) 7543 × 1 000 000 b) 54 × 100 d) 732 × 10 000 f) 24 × 10 000 000

44.- Calcula el número de filas en que se encuentran dispuestas 396 bolsas de arroz, si en cada

una de ellas hay 18 bolsas. 45.- Aldo y Jorge reunieron $ 840.00, si Jorge dio cinco veces lo de Aldo, ¿cuánto aportó cada

uno? 46.- ¿Qué alteración sufre el producto de 88 × 5 si el 88 se multiplica por 4 ; si se divide por 11? 47.- Compara el número de barriles apilados en filas de 10 barriles de largo, 3 de ancho y 3 de

alto con el número de barriles apilados en filas de 10 de largo, 1 de ancho y 9 de alto. 48.- Un jugador de fútbol firmó un contrato con un club por una temporada. Su contrato fue por

U.S. $ 85,000 por una temporada y un premio de U.S $ 13,000 por cada partido ganado por su equipo. ¿Cuál es la expresión que representa sus ingresos si ganó 8 partidos durante la temporada? a) 85,000 (8 +13,000) c) (85,000 + 13,000) 8 e) 13,000 + (8 × 85,000) b) 85,000 + (8 × 13,000) d) (85,000 + 8) 13,000 f) 8 (85,000 + 13,000)

49.- Un almacén tiene 7 empleados cuyos sueldos son:

2 empleados ganan $ 370.00 diarios cada uno. 3 empleados ganan $ 415.00 diarios cada uno. 2 empleados ganan $ 520.00 diarios cada uno. ¿Cuánto debe pagar el dueño del almacén a sus empleados durante un mes de 30 días si tiene 6 días festivos, en los cuales debe pagar el triple del salario diario? (supóngase que los 7 empleados trabajan los 6 días festivos)

50.- Un estudiante ve en promedio dos horas diarias de televisión y resuelve en promedio 5

problemas de matemáticas durante dos horas. ¿Cuántos problemas de matemáticas podría resolver ese estudiante en 150 días, si en lugar de ver televisión resolviera problemas de matemáticas?

51.- ¿En cuánto aumenta un número natural si se disminuye en 1 la cifra de las unidades y se

aumenta en 1 la cifra de las unidades de millar?

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52.- Efectúa : 3 × 8 (4 + 3) + 5(8 –2) 53.- ¿Por cuánto hay que multiplicar el exceso de 382 sobre 191 para obtener 4,202 como

producto?

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I.2 EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS

INTRODUCCIÓN

Aquí cumpliremos la amenaza hecha en la presentación general, subiremos un poquito el estudio de aspectos teóricos, ni modo carnales. El corazón de esta sección es la idea de número negativo, hoy no es cosa del otro mundo, si 3°C es una temperatura de tres grados sobre cero, −3°C es una temperatura de tres grados bajo cero. Pero échenle cuentas, pareciera que los números naturales son conocidos por los humanos desde siempre; tenemos noticias de las fracciones desde los días de los babilonios, por allá del siglo XX ... antes de Cristo, chin eso está muy lejos; ya en el siglo VI, también antes de Cristo, los griegos conocían los números irracionales, números rarísimos de los que diremos dos o tres palabras más adelante; mientras hay que esperar hasta el siglo VI, pero después de Cristo, para hallar la huella de los números negativos. Ahora bien, dicen los que saben que si a la humanidad le lleva mucho tiempo elaborar una idea, también le costará trabajo construirla a un individuo.

Por supuesto, la idea de número natural no nació en nada parecido a una escuela, sino en el trajín diario del anteantepasado (sic) que pintó tres rayas en la pared de una cueva para numerar las pieles que preventivamente acumulaba el grupo cavernícola para la época de frío, al lado de otras dos rayas correspondientes a las pieles que ya tenían, más otra raya por la que trajo aquél, lo que de paso encerraba una suma, en fin, imagina cómo debió ser aquello; de una forma parecida debieron venir a este mundo las fracciones: en la parcela, la calle o el mercado. Pero pensamos que con las posteriores clases de números ha habido un cambio importante, su elaboración corre cada vez más por cuenta de especialistas, quizá precisamente sean los negativos donde esto empezó.

Hacemos estos comentarios porque la lectora y el lector (hay que indicar ambos géneros, ¿verdad?) deben estar prevenidos ante una que otra cosa rara que se dirá en esta unidad y que tiene poco que ver con la experiencia de la vida diaria. Un ejemplo simple: “si tienes en tu tarjeta $100,000 y compras un disckman de $900, un microondas de $1000, unos zapatos de $300, un auto de $160,000 y un helado de nuez de $15 y pagas con la tarjeta, ¿cuánto te queda?”. Algunos libros dicen que este ‘problema’ no se puede resolver sin números negativos. Pero resulta que desde hace 30 segundos ya sabes que le debes un varo al banquero y en otro minuto más puedes saber exactamente cuanto sin echar mano de un garabato como −62,215. Pero también es cierto que conforme va subiendo la complejidad de ciertos problemas, quizá para el contador, tal vez para el biólogo y seguramente para el ingeniero, por decir algo, se hace patente la potencia y la necesidad de la idea de número negativo, y resulta comprensible estudiar estos números con detalle.

Bien, enseguida te presentamos el temario de ésta parte, son varios temas, pero las ideas importantes giran en torno a: la resta de enteros, particularmente a la idea de inverso aditivo, un novedoso y muy útil teorema que bautizamos como el ‘teorema de la resta’ y la llamada ‘suma algebraica’, que no es necesariamente una suma con letras y todo eso, sino cierta manera de manejar combinaciones de sumas y restas, que por cierto te resultará bastante familiar porque es cosa usual en la secundaria. Ojo, mucho ojo con estas ideas, en ellas está la clave para comprender esta sección.

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Temario I.2.1. El conjunto de los números enteros I.2.2. Adición de números enteros I.2.3. Propiedades de la adición de números enteros I.2.4. Resta de números enteros I.2.5. Símbolos de agrupación y reducción de expresiones que los contengan I.2.6. Orden de los enteros I.2.7. Multiplicación de enteros I.2.8. Propiedades de la multiplicación de enteros I.2.9. Símbolos de agrupación y reducción de expresiones que los contengan (continuación) I.2.10. Divisibilidad I.2.11. El sistema de los números enteros

Ejercicios y problemas de números enteros

I.2.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)

Con los números naturales han quedado resueltos una gran cantidad de problemas, relativos al cómputo ó conteo de elementos de conjuntos y a operaciones con ellos, lo cual suele ser suficiente para un amplio campo de necesidades. Pero también han quedado abiertos otros problemas más que analizaremos con más detalle.

Los números naturales nos permiten operar con ellos siempre y cuando las operaciones que realicemos sean la adición o la multiplicación, ya que la adición o la multiplicación de dos números naturales cualesquiera es siempre otro número natural; sin embargo, la vida diaria nos conduce frecuentemente a situaciones en las que es preciso restar dos números naturales y, si nos limitamos a trabajar sólo con números naturales, entonces no siempre tendría sentido ni utilidad nuestro sistema numérico, ya que la resta de dos números naturales no resulta ser siempre un número natural. Veamos las siguientes expresiones:

10 – 32 = – 22 15 – 18 = – 3, etc.

Con los números naturales no podemos efectuar restas en las cuales el minuendo es menor que el sustraendo.

Esta situación, repetimos, le reduce utilidad a nuestro sistema numérico de los números naturales ya que, con más frecuencia de lo que parece, tendremos ante nosotros situaciones incluso de la vida real que nos conducen a restar a un número natural a otro número natural b donde este último es mayor que a.

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Por ejemplo, consideremos la siguiente situación:

La temperatura de un líquido es de 12°C, si se baja esta temperatura 17°C, entonces el líquido se congela. ¿Cuál es la temperatura de congelamiento de dicho líquido?

12oC – 17oC = – 5°C

La temperatura de congelamiento del líquido es 5°C bajo cero.

Situaciones como la anterior sugieren la conveniencia de ampliar nuestro sistema de los números naturales introduciendo nuevos números, para poder describir y resolver problemas que se nos presentan en nuestra vida cotidiana, y con mayor frecuencia en la actividad de muchos profesionales, que dan lugar a expresiones como las siguientes:

10 – 32, 20 – 45, 5 + x = 3, 7 + x = 1

A estos nuevos números que se requieren para poder efectuar esta clase de operaciones se les denominó números enteros negativos, los cuales se empezaron a introducir en la India alrededor del año 600 d.C., pero no tuvieron aceptación durante todo un milenio, lo que da una idea de lo difícil que resulta aceptarlos como números. No fue sino hasta mediados del siglo XVI, que finalmente se comprendió que si en las situaciones prácticas se les daba a los números negativos una interpretación inversa a la que tenían los correspondientes números naturales, la solución de los problemas en términos de números negativos tendrían tanto sentido como el que tenían los números naturales cuando éstos resultaban aplicables. Es fácil pensar situaciones que se pueden expresar con números naturales y que originan situaciones en algún sentido inversas que admiten representación con los enteros negativos, por ejemplo: Temperaturas sobre cero y temperaturas bajo cero

Ganancias monetarias y pérdidas monetarias.

Fechas después de Cristo y fechas antes de Cristo

Alturas sobre el nivel del mar y alturas bajo el nivel del mar

Depósitos de dinero y retiro de dinero

De lo mencionado en los párrafos anteriores, se desprende que lo que originó la

necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales con nuevos números fue: El conteo en dos sentidos opuestos

La indefinición de la resta en N

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Con respecto al primer aspecto, nos limitaremos a recalcar que para cada número natural se introdujo un nuevo número representado con el mismo símbolo, pero con un guión antepuesto para diferenciarlo del natural, esto es:

En general, para cada número natural n introdujimos un número – n. En lo que a la indefinición de la resta se refiere, podemos poner nuestra atención

primeramente en casos de la forma 0 – n, siendo n un número natural, es decir tratemos de resolver primero este tipo de restas, en cuyo caso la noción de resta nos permite relacionar a cada n con el correspondiente –n en una forma muy razonable, como se indica enseguida:

0 – 0 = – 0, significaría que 0 + (– 0) = 0

0 – 1 = – 1, significaría que 1 + – 1 = 0

0 – 2 = – 2, significaría que 2 + (– 2) = 0 · · ·

0 – n = – n, significaría que n + ( – n ) = 0

Los números naturales y los números enteros negativos integran un nuevo conjunto de números al que se le llama conjunto de los números enteros, el cual se representa con la literal Z.

Z = {0, –0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, ... }

Como todos los naturales están en el conjunto Z se dice que N está incluido en Z o que N es un subconjunto de Z lo que suele indicarse en la forma: Inversos Aditivos

Las ideas anteriores se pueden establecer con mayor precisión como sigue:

Postulado de los inversos aditivos (PI) Para cada número entero n, existe exactamente un entero, denotado por – n, tal que n + (–n) = 0 y también (–n) + n = 0.

Postulado de los inversos

∀n∈Z ∃ –n∈Z, único, tal que n + (–n) = 0 y (–n) + n = 0

-0 –1 –2 –3 –4 –5 …

0 1 2 3 4 5 …

Z⊂N

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La expresión –n se lee usualmente “menos n”, pero con mucha frecuencia resulta más conveniente leerla como “inverso aditivo de n”, de hecho el guión “−” se usa para indicar una resta, caso en el cual resulta muy natural la primera lectura, pero ahora el guión representa otra idea y, en efecto, es la de “inverso aditivo de”.

Observación:

Se dice que el postulado anterior es de existencia y de unicidad, ya que afirma que para cada entero existe un inverso aditivo y agrega que sólo hay uno, es decir, hay exactamente uno.

Así que, en particular, el inverso de 3 es –3, lo que significa que 3 + (–3) = 0, también –7 es el inverso aditivo de 7, en el sentido de que (–7) + 7 = 0 La Demostración

Con frecuencia sentimos la necesidad de hacer o de decir cosas que confirmen que es correcta alguna afirmación o acción nuestra: si decimos ante un grupo de personas que el equipo de fútbol A es mejor que el B, usualmente agregamos enseguida apreciaciones o hechos que apoyen nuestra afirmación; lo mismo puede ocurrir si sostenemos que la guerra en Irak no tenía que ver con salvar al mundo de las armas de destrucción masiva; digamos que usualmente tratamos de “demostrar” nuestras afirmaciones. En otros niveles, el fiscal trata de demostrar la culpabilidad de un acusado y el defensor trata de demostrar su inocencia; el investigador médico tiene que demostrar que cierto medicamento no tiene secuelas nocivas; mientras que el ingeniero quiere demostrar, más para sí que para otros, que el puente diseñado no se va a derrumbar.

En matemáticas esta necesidad de “hacer ver” que tal o cual afirmación es verdadera es muy imperiosa; la conocida y a veces un tanto mítica fama de la exactitud de las matemáticas o de que éstas “no mienten”, es algo que nace de esa casi obsesiva tendencia de los matemáticos a demostrar cada cosa que dicen en su labor. Esta tendencia a justificar las afirmaciones es tan característica de la matemática, que no puede faltar un primer y leve encuentro de quienes están estudiando matemáticas con tal actividad, están interactuando con el mundo matemático y apropiándose de algo de éste.

Así como se le ha llamado postulado a una afirmación que se acepta como verdadera sin exigir que se demuestre, se le llama teorema a una afirmación que se acepta como verdadera porque en algún momento se ha demostrado que lo es. En lo que a la demostración se refiere, el matemático marcha al revés de como lo hace la zorra, ésta tiene fama de astuta porque se protege borrando sus huellas con la cola mientras avanza; la astucia del matemático, por el contrario, depende en buena parte de que no pierda de vista sus huellas, de procurar tener bien presente lo que ya ha hecho, para apoyar en ello lo que sigue, en breve veremos algunos ejemplos de esto. Claro, en términos generales, la demostración matemática no es cosa simple, por lo que la guía

Definición: Si la suma de dos enteros es cero se dice que éstos son inversos aditivos, cada uno de

ellos es el inverso aditivo del otro.

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del profesor en tal terreno será especialmente importante; en particular, varias demostraciones se pondrán en un marco de línea punteada y el profesor decidirá si conviene abordarla en el aula o no, de cualquier manera el término “teorema” nos debe poner sobre aviso de que estamos ante una afirmación que posee demostración aunque no la efectuemos.

Nuestro primer teorema puede parecer un tanto extraño, pero podrá descartar otra cosa también extraña, ¿qué es eso que hemos llamado –0?. Observación:

Aquí y en otras partes usaremos el hecho de que un número puede escribirse de varias formas diferentes: si en la carátula de un reloj vemos 2 y en la de otro está II, sabemos que hablamos del mismo número; encontramos esta misma idea cuando escribimos 5 −3 = 8 ÷ 4, en ambos lados tenemos 2; de hecho:

Demostración del teorema 1:

Compara las expresiones: 0 + (–0) = 0 y 0 + 0 = 0. Son dos adiciones cuya suma es cero, así que la primera dice que 0 y –0 son inversos y la segunda dice que 0 y 0 son inversos, de modo que si –0 y 0 fueran diferentes, 0 tendría dos inversos, cosa prohibida por el postulado de los inversos, así que lo que realmente debe ocurrir es que –0 y 0 son dos representaciones diferentes del mismo número, es decir –0 = 0 (ojo: esto significa que 0 es su propio inverso). █ Observación: De aquí en adelante usaremos este rectangulito negro para indicar que hemos concluido una demostración.

En adelante prácticamente desecharemos el símbolo –0, que simplemente es 0, además, para evitar referirnos a un número que sea a la vez positivo y negativo aceptaremos que el cero no es de una clase ni de otra, es decir, el cero es el único entero que no es positivo ni negativo.

En resumen, hay tres clases de números enteros: • Los enteros positivos, todos ellos números naturales. • El cero, natural también. • Los enteros negativos. Ejemplos:

Teorema 1 –0 = 0

Es decir, –0 es otra forma de escribir 0

Notación: Dado un entero n, positivo o negativo, su inverso aditivo puede representarse con el

mismo símbolo antecedido del guión ‘–’, es decir, en la forma –n.

uno de los significados del símbolo “=” es que lo que está a sus lados es el mismo número

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El inverso de 4 se representa con “4 antecedido por el guión”, es decir, – 4. El inverso de – 7 es 7, pero de acuerdo a la notación establecida también se puede

representar con “el mismo –7 antecedido del guión”, esto es, – (– 7), así que 7 = – (–7). El inverso de – (– 7) se puede escribir – (– (– 7)), es decir, – 7 = – (– (– 7)).

ACTIVIDAD:

Escribir el inverso aditivo de cada uno de los siguientes números: i) – 8 ii) 4 iii) – 2 iv) –(–[–10]) v) 3 vi) – 56 vii) –(–123) viii) – 2135

Observación:

La escritura –(–n) = n se puede leer “menos menos n es igual a n”, pero tiene mayor significación si se lee “el inverso del inverso de n es el mismo n”, con lo que se quiere decir que, si tomamos un entero, su inverso es otro, pero el inverso de éste es el original. Demostración del Teorema 2:

Compara –n + n = 0 y – n + (–(–n)) = 0

La primera expresión dice que n es inverso aditivo de – n, la segunda indica que –(–n) es inverso de –n; si n y –(–n) fueran diferentes, –n tendría dos inversos, cosa no permitida por el postulado de los inversos, así que en realidad debe ser que –(–n) = n. █ VALOR ABSOLUTO

Nos tomaremos la libertad de decir que cada número entero está formado por dos elementos: un elemento cuantitativo y un elemento cualitativo, por ejemplo, si –1000 representa una pérdida de $1000, el elemento cuantitativo es la cantidad 1000 sin importar que se trate de una pérdida o de una ganancia, por así decirlo, un billete de mil pesos tiene un valor de mil pesos al margen de que alguien los gane o los pierda; mientras que el elemento cualitativo es el que le da a la cantidad la cualidad de pérdida o de ganancia, función que desempeña el signo. En caso de que n sea positivo se puede escribir + n o simplemente n. Al elemento cuantitativo de un entero es a lo que se le llama valor absoluto del número y siempre se representa con un número natural.

Teorema 2 Si n es cualquier entero entonces –(– n) = n

Teorema 2 ∀n∈Z, – (–n) = n

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Para decirlo con precisión: Por ejemplo:

|3| = 3, porque 3 es natural, así que su valor absoluto es éste mismo.

|0| = 0, se interpreta como el caso anterior.

|– 5| = 5, porque –5 es negativo, así que su valor absoluto es el inverso de éste, lo que también se puede escribir en la forma:

ACTIVIDAD:

Halla el valor absoluto de los siguientes números y justifica tu respuesta.

i) | −9| ii) | 13| iii) | –143| iv) |– (–246)| v) |–{–(–65)} | vi) | −1| + |–5| vii) | |–5|+|–3|+|–2| | viii) |−8+8|

I.2.2 ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS ¿Cómo obtener la suma de dos enteros?. Estamos ante la tarea de definir una operación binaria, recordemos que sus partes importantes son: el conjunto de números que se van a emplear, en este caso Z; la forma de representar la operación, lo usual es usar la muy conocida cruz “+”; las reglas para obtener el resultado, lo que ya no está tan fácil, podemos darnos una idea al respecto a través del modelo de “pérdidas ó ganancias”. Esto es, para definir cuál es el resultado de la adición de dos números enteros, podemos pensar en los números positivos como ganancias y en los negativos como pérdidas, y calcular un resultado razonable como efecto conjunto de ambas.

|–5|= – (–5) = 5 inverso aditivo de

Definición: La expresión |n| se lee “valor absoluto de n” y significa lo siguiente:

| n | = n, si n es natural (es decir, el valor absoluto de un natural es el mismo natural) | n | = – n, si n es entero negativo (el valor absoluto de un entero negativo es su inverso)

47

1. Si gano $ 100.00 y después gano $ 55.00, ¿ gané o perdí?, ¿cuánto?. La respuesta es gané $ 155.00. Esta situación la representamos como: 100 + 55 = 155

2. Si pierdo $ 80.00 y luego pierdo $ 40.00, ¿gané o perdí?, ¿cuánto?. La respuesta es perdí

$ 120.00. Esta situación la representamos como: – 80 + (– 40) = –120 3. Si gano primero $ 60.00 y luego pierdo $ 25.00, al final ¿gané o perdí?, ¿cuánto?. La respuesta

es gané $ 35.00. Esta situación la representamos como: 60 + (– 25) = 35 4. Si gano primero $ 30.00 y luego pierdo $50.00, al final ¿gané o perdí?, cuánto?. La respuesta

es perdí $ 20.00. Esta situación la representamos como: 30 + (– 50) = – 20

Considerando las situaciones anteriores y complementando con otras semejantes, haremos la siguiente definición, la parte más conocida es S1, pero es fácil ver que no funciona bien en ciertos casos, por lo que se agregan otras reglas: Ejemplos:

i) Realicemos la siguiente adición: (–34) + 8

según (a) se toman los valores absolutos de los sumandos y al que tiene mayor valor absoluto se le resta el que tiene menor valor absoluto. |–34| = 34, |8| = 8

34 – 8 = 26 y según (b) el resultado toma el signo del sumando de mayor valor absoluto, es decir: (–34) + 8 = –26.

Definición S1. Para obtener la suma de dos números enteros se aplica la regla (a) que se da en seguida y

que proporciona el valor absoluto de la suma y la regla (b) para determinar su signo: (a) Se obtienen los valores absolutos de los sumandos, si los sumandos son del mismo

signo se suman sus valores absolutos y si son de signos contrarios, al mayor valor absoluto se le resta el menor. (b) En cualquier caso del resultado de (a) se toma con el mismo signo del sumando de

mayor valor absoluto. Esta regla funciona en los casos más comunes, pero tiene que completarse con otras:

S2. Si los sumandos son iguales se aplica la regla (a) y el resultado se toma con el mismo signo de ellos

S3. El cero se conserva como neutro aditivo: m + 0 = m y también 0 + m = m

S4. m + (–m) = 0 y también (–m) + (m) = 0

48

ii) Otra operación más: 10 + (–4) =

Procediendo como en el caso anterior los valores absolutos de |10| = 10 y |– 4|=4 y como los números son de signos diferentes restamos sus valores absolutos según (a) 10–4= 6 y según (b) la suma de 10 + (–4)= 6

Debemos de realizar las operaciones de una forma más compacta, al respecto proponemos la siguiente forma, es sólo para explicar las reglas, se entiende que ya en la práctica los pasos intermedios no se escriben: 10 + (–4) =

= +[| 10 | – | –4|] = + [10 – 4] = 6

iii) (–20) + (–5) = –[|–20| + |–5|]

= – [20 + 5] = – 25

iv) 13 + 4 = + [| 13 | + | 4 |] = + [13 + 4] = 17

ACTIVIDAD: Realiza las siguientes operaciones:

i) 25 + (–17) ii) (–24) + 20 iii) (–15) + (–27) iv) 45 + 36 v) (–11) + (–11) vi) (–18) + 0

I.2.3 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Dado que el conjunto Z es una ampliación del conjunto N, se puede esperar que la adición de números enteros tenga las propiedades de la adición de números naturales, esto en efecto ocurre, aunque habrá que agregar una propiedad más a la lista.

Ahora bien, las propiedades de las operaciones con números naturales fueron presentadas como postulados, se mencionó que esto quiere decir que se aceptan como verdaderas sin necesidad de dar pruebas de que lo son, esto está bien como un inicio, pero no se puede continuar siempre así, concretamente ahora que topamos con las propiedades de las operaciones con los enteros, se requiere demostrar que efectivamente se cumplen, y lo debemos tener bien presente aunque no lo hagamos:

49

A1. Cerradura La suma de dos números enteros cualesquiera es un número entero.

Demostración:

Como en general hay cuatro casos posibles para la suma (las cuatro reglas de la definición), se debe mostrar que cada uno lleva a la misma conclusión:

Sean dos enteros m y n, sabemos que |m| y |n| son números naturales, supondremos además que |m| >|n|, esto no limita la generalidad de lo que diremos:

1. Si m y n son del mismo signo, tomamos |m| + |n|, la suma m + n será este número o su inverso (¿por qué?), en cualquier caso tenemos un entero. Si m y n son de signos contrarios, entonces se toma |m|–|n|, y m + n será este número o bien su inverso (¿por qué?), en ambos casos tenemos un entero.

2. Si hay que sumar m y m, se hace la suma mm + y la suma buscada será este número o su inverso (¿por qué?), en cualquier caso se tiene un entero.

3. Si m es un entero, m + 0 =m también lo es. 4. Para cualquier entero m, m + (–m) = 0 es un entero

Así que en efecto siempre obtenemos un entero, como se quería probar. █

A2. Conmutativa Si m y n son enteros cualesquiera, entonces: m + n = n + m

A1. Cerradura: ∀ m, n ∈ Z, m + n ∈ Z

A2. Conmutativa: ∀ m, n ∈ Z, m + n = n + m

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Se recomienda omitir la demostración.

Demostración: Como en el caso anterior, se toma m y n; |m| y |n| son naturales supondremos que |m| > |n|.

1. Si m y n son del mismo signo, se toma |m| + |n| y la suma m+n será este número o su inverso; mientras que n+m será, respectivamente, |n| + |m| o su inverso (¿por qué?), pero |m|+|n| = |n|+|m|, así que en ambos casos obtenemos el mismo resultado. Si los enteros son de signos contrarios, entonces tanto para m+n como para n+m se toma |m|-|n|, en ambos casos con el signo de m, por lo tanto las dos sumas son iguales. Los tres casos restantes son inmediatos, escríbelos. █

A3. Asociativa Para números m, n, p enteros cualesquiera: m + n + p = (m + n) + p = m + (n + p)

A4. Existencia y unicidad de neutro aditivo: n + 0 = 0 y también 0 + n = 0

La existencia se incluye en la definición de suma. Puede resultar un poco desconcertante insistir en que

se tiene que demostrar la unicidad, es decir, que no hay otro entero que se comporte como el 0 en la suma, pero ya hemos tenido oportunidad de notar la importancia de la unicidad. Nuestras dos primeras demostraciones se basan en la unicidad del inverso y algo así ocurre con frecuencia; de cualquier modo omitiremos la demostración de la unicidad del elemento neutro aditivo.

A5. Existencia y unicidad de inverso aditivo. Es el postulado establecido al principio: cada entero tiene exactamente un inverso

aditivo, que también es un entero.

A3. Asociativa: ∀m, n, p ∈ Z, m + n + p = (m + n) + p = m + (n + p)

51

Así que la adición de enteros tiene una propiedad más respecto a la de naturales, la A5.

A continuación daremos algunos ejemplos donde se muestra el uso de las propiedades de la adición.

i. 3+5+9 = 3+(5+9) la igualdad esta justificada por la propiedad asociativa de la

adición. ii. 16+4530=4530+16 se justifica por la propiedad

conmutativa de la adición. iii. –48335+48335=0 se justifica por la propiedad del

elemento inverso. iv. 17+20=37 se justifica por la propiedad de

cerradura. v. 0+(–82) = –82, se justifica por la propiedad del elemento neutro.

ACTIVIDAD:

i) El conjunto de los números enteros negativos (N− ) es cerrado bajo la operación adición. Justifica tu respuesta.

ii) El conjunto de los números enteros negativos (N– ) es cerrado bajo la operación multiplicación. Justifica tu respuesta.

iii) ¿Qué elemento de Z representa el neutro aditivo? iv) ¿Qué elemento de Z representa el neutro multiplicativo?

Como en el caso de los números naturales, te presentamos el desarrollo de una serie de aplicaciones de operaciones; en cada afirmación que se hace justifica colocando en los espacios el nombre de la propiedad utilizada

v) – 3 + 4 + 3 = −3 + 3 + 4 1.__________________

= (–3 +3) + 4 2.__________________ = 0 + 4 3.__________________ = 4 4.–––––––––––––––––––

vi) 3 + (– 7 ) + (–3)= 3 + [ (–7) + (–3) ] 1. _____________________

= 3 + [ (–3) + (–7) ] 2. _____________________ = [ 3 + (–3)] + (–7) 3. _____________________

52

= 0 + (–7) 4. _____________________ = –7 5. _____________________

I.2.4. RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Nuevamente tenemos que definir una operación binaria. Ahora estamos en la parte central de la sección de los números enteros. Como recordaremos, una de las limitaciones que habíamos encontrado en el sistema de los números naturales, era la imposibilidad de efectuar restas m − n con naturales cuando m < n ya que en tal caso m – n no es un número natural; esto es, el conjunto de los números naturales no es cerrado respecto a la resta. Hasta ahora hemos resuelto el problema para un caso muy particular agregando los números enteros negativos, las restas de la forma 0 – n cuyo resultado es –n, es decir:

0 – n = –n porque n + (–n) = 0.

Como se verá, no hay necesidad de agregar más números, los agregados bastarán para efectuar cualquier resta.

Empezaremos definiendo la resta, así que nuevamente tenemos que afrontar la labor de definir una operación binaria, pero ahora lo haremos en una forma bien conocida: Ejemplos:

9 −12 = −3 porque 12 + (−3) = 9 −7 − (−2) = −5 porque −2 + (−5) = −7 Acto seguido, establecemos un teorema de la mayor importancia que, entre otras cosas,

nos proporciona otra forma de restar: Demostración:

De acuerdo con lo que hemos dicho que es la resta, sólo tenemos que convencernos de que si le sumamos m + (–n) a n obtenemos m. n + [ m + ( – n )] = n + [( – n ) + m ] (estamos usando la propiedad conmutativa) = [ n + ( – n )] + m (ahora la asociativa)

Definición: Si m y n son dos enteros, entonces m – n es la resta de m menos n y la diferencia es un

entero r que sumado con n da m, es decir: m – n = r significa que n + r = m

Teorema de la resta (TR) Si m y n son enteros, entonces: m – n = m + (–n)

Es decir, restarle un entero a otro es lo mismo que sumarle el inverso aditivo del que se va a restar al otro.

53

= 0 + m (ésta es la propiedad de los inversos) = m (y ésta es la del neutro)

Así que, en efecto, m + (–n) es el resultado de restar m – n. █ ¿Aún recuerda el lector las razones que nos pusieron a estudiar los enteros?, aquí nos

interesa la imposibilidad de efectuar ciertas restas si nos limitamos a los números naturales, ahora se ve que con los enteros es posible hacer cualquier resta, y con el teorema de la resta resulta más fácil que con la definición, por ejemplo:

Las del estilo de 5 – 14, en efecto ahora sabemos que 5 – 14 = 5 + (–14) = –9 O también: 8 – 5 = 8 + (–5) = 3.

Observa el siguiente ejemplo:

En estos casos usualmente hay una confusión con las reglas de los signos para la multiplicación: “menos por menos da más”, pero aquí ni siquiera hay multiplicación, es una resta. Tampoco se debe confundir con: –(–n) = n. Simplemente ese caso es un efecto del teorema de la resta.

En general el TR da de inmediato: m – (–n) = m + n

Y para hablar en términos generales, observemos que cualquier suma de enteros es otro entero (cerradura), y por el TR cualquier resta se puede cambiar por una suma: m – n = m + (–n), por ello cualquier resta de enteros es otro entero, es decir:

Ya hemos alcanzado un propósito inicial (tenemos un conjunto de números con los que resulta posible efectuar cualquier resta), también hemos avanzado en el otro, podemos contar en dos sentidos opuestos, particularmente en ciertas situaciones cotidianas, pero iremos mucho más lejos que esto construyendo todo un aparato aritmético para los números enteros. ACTIVIDAD: Utilizando el teorema de la resta, muestra que:

i) 15 – 13 = 2 ii) 571 – 358 = 213 Utiliza el teorema de la resta para realizar: iii) 95 – 76

8 – (–7) = 8 + 7 = 15

Z es cerrado respecto a la resta

54

iv) 13 – (–20) v) 11 – 16 vi) ¿Es el conjunto de los números enteros negativos (N– ) cerrado bajo la operación

resta? vii) ¿Es el conjunto de los números enteros positivos (N+ ) cerrado bajo la operación

resta? viii) ¿Es la resta, como operación binaria, conmutativa? Utiliza un ejemplo numérico

para justificar tu respuesta. ix) ¿Es la resta, como operación binaria, asociativa? Utiliza un ejemplo numérico para

justificar su respuesta? x) ¿Existe elemento neutro en Z para la operación resta?

SUMA ALGEBRAICA (SA)

Este es un nombre usual pero ciertamente es un tanto engañoso, no se refiere a sumas de expresiones que contengan literales, sino, en palabras simples, a “cadenas” de restas o de sumas y restas que se van a efectuar con ciertas reglas que se verán en lo que sigue, pero desde ahora nos permitiremos llamarles a tales expresiones sumas algebraicas: Por ejemplo:

– 8 + 6 – 3 – (–5) – 7 1 – 6 – ( – 5 ) + ( – 8 ) – 2

Con lo que tenemos hasta ahora es posible manejar esta clase de expresiones en varias

formas diferentes, tomaremos la primera como ejemplo:

La presencia de las restas nos dice que no es válido aplicar aquí la propiedad asociativa, no estamos autorizados a efectuar las operaciones en cualquier orden porque obtendremos para cada uno un resultado diferente, con excepción de algunas coincidencias, ante esto se toma un acuerdo:

Así que una primera forma de manejar la expresión dada, consiste en efectuar en el orden dicho las adiciones y sustracciones.

SA1. En las sumas algebraicas, las operaciones se efectúan de izquierda a derecha

-7

0

-5

-2

– 8 + 6 – 3 – (–5) – 7 = –7

55

Para manejar la expresión original, – 8 + 6 – 3 – (–5) – 7, en una segunda forma empezamos anotando otra regla:

Entonces escribimos la expresión original en la forma:

– 8 + 6 – 3 + 5 – 7

Ahora escribimos la expresión sólo con sumas, por medio del TR, y las efectuamos:

– 8 + 6 – 3 – (–5) – 7 = –8 + 6 – 3 + 5 – 7 = – 8 + 6 + (–3) + 5 + (–7) = –7

Pero resulta que se puede agregar una forma más de manipular la ya tediosa expresión,

esta forma es realmente el “caballito de batalla” en la práctica y propiamente hablando es a lo que se llama suma algebraica. Enseguida veremos de qué se trata, opcionalmente se puede omitir lo que sigue, únicamente retomando las reglas SA3 y SA4 que se dan más adelante.

La idea es apoyarse en el teorema de la resta para obtener otras reglas un poco más directas que las de la suma, aunque su interés es puramente operacional, veamos por ejemplo algunas etapas del procedimiento anteriormente efectuado para manejar la expresión:

–8 + 6 – 3 + 5 – 7: Empezamos con esta regla:

SA2. Conviene evitar los signos adjuntos, en particular sabemos que m – (– n) = m + n

Una tercera forma de manipular la expresión dada es bastante incómoda: expresarla sólo mediante restas, claro, con el TR, y efectuarlas una a una ya sea usando la definición o el propio teorema:

– 8 + 6 – 3 – (–5) – 7 = –8 + 6 – 3 + 5 – 7 = – 8 – (–6) – 3 – (–5) – 7 = –7

SA3. Dada una suma algebraica, después de aplicar SA2, obtendremos una expresión donde sólo hay números positivos, con la posible excepción del primero de la izquierda, en cualquier caso nos referiremos a ellos como “números sin signo” pero antecedidos por un signo + o –, no diferenciaremos si el signo corresponde al número o indica una operación.

56

En el caso del primer paso de las operaciones que estamos usando como ejemplo tenemos:

–8 + 6 = –2

así que al 8 le antecede un – y al 6 un +.

Ahora haremos una serie de adaptaciones de las reglas de la definición de suma, observe la suma de arriba, veremos como se efectúa con la definición de suma y haremos una adaptación:

Pasamos al segundo paso de nuestras operaciones: –2 – 3 = –2 + (–3)

Ahora el paso que sigue: −5 + 5 = 0

Siguiendo así obtenemos las siguientes adaptaciones de la reglas de la suma:

Definición de suma Sumandos de signos diferentes: al de mayor

valor absoluto se le resta el menor, y se toma el resultado con el signo del sumando de mayor

valor absoluto.

Adaptación Si a los números, sin signo, les anteceden

signos distintos, al mayor se le resta el menor, tomando el resultado con el signo

que le antecede al mayor.

Lado derecho: definición de suma Sumandos de signos iguales: se suman valores absolutos y el resultado se toma con el mismo signo de ellos.

Lado izquierdo: adaptación Si a los números les anteceden signos iguales, se suman y el resultado se toma con el mismo signo que les antecede.

Definición de suma Si los sumandos son inversos aditivos la suma es 0.

Adaptación Si los números son iguales y les anteceden signos contrarios su suma es 0.

Definición: suma algebraica SA4. Una suma algebraica se efectúa como sigue:

a. Si a los números les anteceden signos iguales, se suman y el resultado se toma con el signo que les antecede. Si les anteceden signos diferentes, al mayor se le resta el menor y el resultado se toma con el signo que le antecede al mayor.

b. Si los números son iguales y les anteceden signos iguales, se suman y el resultado se toma con el signo que les antecede.

c. Si un número es cero, la suma es el otro con el signo que le antecede. d. Si los números son iguales y les anteceden signos contrarios su suma es 0.

57

Las reglas SA1, SA2, SA3, SA4 definen la suma algebraica, mucho de ello rara vez es explicitado, por lo que hay mucha confusión al respecto.

La suma algebraica tiene varias ventajas operacionales, una de ellas es una especie de “asociatividad”, en el sentido de que:

Por ejemplo, retomemos nuestra expresión anterior, avancemos por un camino distinto al de antes y corroboremos que llegamos al mismo resultado:

Pero la suma algebraica también imita a la conmutatividad, en el sentido de que: Sirve otra vez nuestro ejemplo:

– 8 + 6 – 3 + 5 – 7 = 5 – 8 – 7 + 6 – 3 = –7 ACTIVIDAD: Efectuar las operaciones indicadas como sumas algebraicas:

i) 6 + 3 – 4 + 2 ii) 7 – 4 + 5 – 2 + 8 –6 iii) 18 + 13 –16 – 11 + 5 – 7 + 8

Se pueden seguir varios caminos al operar y por todos ellos se obtiene el mismo resultado

Si se cambian de lugar los números junto con el signo que les antecede el resultado no cambia

-2 3 – 8 + 6 – 3 + 5 – 7

-7

1

58

I.2.5. SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Y REDUCCIÓN DE EXPRESIONES QUE LOS CONTENGAN

Es cierto que los paréntesis se usan con varios propósitos, por ejemplo para indicar

multiplicación, pero su uso realmente importante es indicar el orden en que debe efectuarse una serie de operaciones, y así los hemos estado usando, por ejemplo, consideremos el orden que se muestra en el siguiente diagrama para efectuar las sumas:

Recuerda que se debe procede por alturas, primero se atienden las conexiones más bajas,

después las intermedias y así hasta llegar a la más alta, esto mismo se indica con paréntesis como sigue:

{[(7 + 10) + 3] + (7 + 4)} + 2

Como se sabe, las reglas básicas de jerarquía son:

Procediendo paso a paso tenemos lo siguiente (compara con el diagrama):

7 +10 +3 +7 +4 +2 = {[(7 +10) +3 ] + (7 + 4) } +2 = {[ 17 +3] +11 } +2 = (20 + 11) + 2 = 31 +2 = 33

7 + 10 + 3 + 7 + 4 + 2

33

31

11

20

17

RP1. Dar primacía a las operaciones que están dentro de los paréntesis RP2. Si unos de ellos están metidos en otros, se atienden primero los más interiores

59

Ahora bien, se acostumbra ocupar además de los paréntesis otros símbolos de agrupación, en general los más usados son:

Por ejemplo, hay quienes dicen que los paréntesis deben ir dentro de corchetes y, si es el caso, éstos deben ir dentro de llaves, pero esto no pasa de ser preferencia de algunos profesores; lo único cierto es que el uso de diferentes símbolos de agrupación puede hacer más fácil distinguir el orden en que hay que ir operando y ésta es la razón de que se usen varios tipos de tales símbolos; por ejemplo, la última expresión se puede escribir como sigue (omitimos la expresión original):

[{(7 +10) + 3} + (7 + 4)] + 2 = [{17 + 3} + 11] +2 = [20 +11] + 2 = 31 + 2 = 33

Cancelación de símbolos de agrupación.

Las reglas vistas son suficientes para manejar expresiones que contengan símbolos de agrupación mientras se trabaje sólo con números, sin embargo en el terreno del álgebra eso no siempre es posible, por ejemplo, es claro que nada se puede hacer con:

[(a + b) – c] – (c – b)

porque no se pueden efectuar las operaciones dentro de los paréntesis, ahora bien, tiene ciertas ventajas introducir aquí las reglas que serán usadas en álgebra, éstas tienen como fin cancelar los símbolos de agrupación para poder efectuar operaciones. Observaciones:

Símbolos de agrupación paréntesis ( ) corchetes [ ] llaves { }

Todos ellos tienen la misma función y con excepción de reglas de uso locales que se les pueden asignar en un aula, su uso es indistinto.

Reglas para Cancelar Símbolos de Agrupación. Aquí k, m, n, p representan números enteros C1). + (m – n + p) = (m – n + p) = m – n + p C2). k + (m – n + p) = k + m – n + p C3). – (m – n + p) = – m + n – p C4). k – (m – n + p) = k – m + n – p C5). Si unos símbolos de agrupación están dentro de otros, conviene empezar la cancelación a partir de los más interiores

60

• (C1) dice que si al símbolo de agrupación le antecede un signo +, tranquilamente se pueden omitir éste y los paréntesis, incluso el + puede no estar escrito, es sólo un convenio de notación.

• (C2) se le parece a (1), también le antecede un + a los símbolos de agrupación y se omiten los paréntesis, pero no se puede omitir el + porque aquí indica suma y no un simple signo antepuesto al paréntesis, además es un teorema.

• (C3) tampoco consiste en un simple signo antepuesto al paréntesis, es el inverso aditivo de

una suma algebraica, aunque sólo se le conoce como la regla según la cual, “si al símbolo de agrupación le antecede un signo ‘–’, el símbolo de agrupación se puede suprimir con la condición de que se cambie por su opuesto el signo de cada número que esté dentro de los símbolos de agrupación”. Es un teorema.

• (C4) se parece a (3) en cuanto a que a los símbolos de agrupación les antecede un ‘–’ y al

efecto de quitar el símbolo de agrupación, pero no se refiere al inverso de una suma algebraica, sino a una resta, al número k se le está restando una suma algebraica. También es un teorema.

Si prefieres, en vez de la demostración general de C3, puedes seguir el procedimiento con

el ejemplo numérico siguiente:

Deseamos demostrar que – (3 − 4) = −3 + 4

Como ejemplo ilustrativo veremos la demostración de (C3): Demostración: Finalmente la expresión (m – n + p) es un número, y – (m – n + p) es su inverso, por lo que:

(m – n + p) + [– (m – n + p)] = 0 (*) Por otro lado resulta que: (m – n + p) + (– m + n – p) = 0 (**) Nos convenceremos de esto último: (m – n + p) + (– m + n – p) = (m +(– n) + p) + [(–m) + n + (–p)] (teorema de la resta) = m + (–n) + p + (–m) + n + (–p) (asociativa) = m + (–m) + (–n) + n + p + (–p) (conmutativa) = [m + (−m) ] + [(–n) + n ] + [ p + (–p)] (asociativa) = 0 + 0 + 0 (propiedad de inversos aditivos) = 0 (asociativa y propiedad del neutro aditivo)

Ahora comparamos (*) y (**), tanto –(m – n + p) como –m + n – p aparecen como inversos aditivos de (m – n + p) (porque las sumas son 0), como el postulado de los inversos prohíbe que haya dos inversos, debe ocurrir que: –(m – n + p) = –m + n – p, como se quería demostrar █

61

Prueba: La expresión 3 − 4 es un número entero y – (3 − 4) es su inverso aditivo. Luego: ( 3 − 4 ) + [ – (3 − 4 )] = 0 por la propiedad de inversos aditivos. (1) Por otro lado, resulta que: (3 − 4 ) + [ –3 + 4 ] = 0 (2) En efecto: (3 − 4) + [ –3 + 4] = (3 + (−4)) + [(–3) + 4 =] teorema de la resta = 3 + (−4) + (−3) + 4 propiedad asociativa de la adición = 3 + (–3) + 4 + (–4) propiedad conmutativa de la adición. = [ 3 + (–3)] + [ 4 + (–4)] propiedad asociativa de la adición = 0 + 0 propiedad de inversos aditivos = 0 propiedad del neutro aditivo.

Ahora, comparando (1) y (2), tenemos que – (3 + 4 ) y −3 +(−4) serían inversos de 3 + 4, porque sumándole a esto cualquiera de las dos expresiones se obtiene 0, pero un entero no puede tener dos inversos, así que en realidad deben ser el mismo número, es decir:

– (3 + 4 ) = (–3) + (–4 )

Ejemplo: Efectuar las siguientes operaciones, tanto con base en la regla del paréntesis como mediante la cancelación de símbolos de agrupación:

(–7 + 4 – { 1 – (2 – 9)} – [4 – (–10)]) – 6 Primera forma: (–7 + 4 – { 1 – (2 – 9)} – [4 – (–10)]) – 6 = (–7 + 4 – {1 – (–7)} – [14]) – 6 = (–7 + 4 – {8}– 14) – 6 = – 31 Segunda forma:

Nos limitaremos a cancelar los símbolos de agrupación y al final efectuaremos la suma algebraica: (–7 + 4 – { 1 – (2 – 9)} – [4 – (–10)]) – 6 = (–7 + 4 – {1 – 2 + 9} – [4 + 10]) – 6 = (–7 + 4 – 1 + 2 – 9 – 4 – 10) – 6 = –7 + 4 – 1 + 2 – 9 – 4 – 10 – 6 = – 31 ACTIVIDAD: Efectúa las siguientes operaciones, tanto con base en la regla del paréntesis como mediante la cancelación de signos de agrupación.

i) 38 + [ 23 – (13 + 10)]

62

ii) 73 –[ (18 – 14) – (37 – 12)] iii) 45 – [ 34 + { 14 – (13 – 11)}]

I.2.6. ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Este apartado se destina a adoptar un acuerdo para decidir cuándo un entero es menor que otro, y simplemente tomaremos el que estamos empleando desde el principio:

Es decir, como en el caso de los naturales, el número menor es al que se le puede sumar “algo” positivo para que iguale al otro.

Notemos que la definición de resta nos permite escribir el criterio del orden m + p = n en la forma n – m = p, y sabemos que p es positivo, así que: m < n significa que existe un entero positivo p tal que m + p = n, pero esto significa que n – m = p, es decir que la diferencia del número que se dice que es mayor menos la del que se dice menor, debe ser positiva; podemos anotar esto como otro criterio para ordenar enteros (la definición lo hace mediante la suma, el siguiente teorema recurre a la resta): Ejemplos:

Hablando más en general es claro que:

• Cero es menor que cualquier entero positivo. Lo sabemos desde los naturales.

Definición: Sean dos enteros m y n, para indicar que m es menor que n escribiremos m < n, o

también n > m, y se entenderá como sigue: m < n significa que existe un entero positivo p tal que m + p = n

Teorema (TO): m < n significa que n – m es positivo

Definición de orden

–10 < 3 porque existe 13 tal que –10 + 13 = 3 – 45 < –5 porque existe 40 tal que – 45 + 40 = –5 3 < 5 porque existe 2 tal que 3 + 2 = 5

Teorema TO –10<3 porque 3 – (–10) = 13 es positivo –45<–5 porque –5– (– 45) = 40 es positivo 3 < 5 porque 5 – 3 = 2 es positivo

63

• Cualquier negativo es menor que cero, porque si se le suma su inverso, que es positivo, se obtiene cero, por ejemplo: –7 < 0 porque existe 7 tal que –7 + 7 = 0.

• Finalmente observemos que –2 < –1 porque existe 1 tal que –2 + 1 = –1; también –3

< –2 porque existe 1 tal que –3 + 1 = –2; asimismo – 4 < –3 porque existe 1 tal que – 4 + 1 = –3, etc, si los valores absolutos de dos enteros difieren en 1, el menor es el de mayor valor absoluto, de tal forma que si los ordenamos de mayor a menor de derecha a izquierda quedan en la forma: … –4, –3, –2, –1, de hecho se ve que si comparamos dos negativos cualesquiera es menor el de mayor valor absoluto, digamos, –789456 < –2.

Ahora podemos escribir los elementos de Z de menor a mayor de izquierda a derecha:

Z = { … – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, … }

De modo parecido podemos representar a los enteros como puntos de una recta:

I.2.7 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Una vez establecidas la suma y la resta de enteros podemos tratar de definir la multiplicación, otra vez el problema de definir una operación binaria, ¿se recuerdan las partes importantes de ésta?: el conjunto, en este caso Z; la forma de representarla, aquí retomaremos las usuales (como los paréntesis) y la que suele ser la difícil, las reglas para obtener el resultado. ¿Cómo conviene multiplicar enteros?, una forma de responder la pregunta es simplemente retomar la definición bien conocida en la secundaria, en cuyo caso vaya hasta la definición de multiplicación dada líneas adelante: otra forma de contestar es pensar el problema a la luz de lo que sabemos de la multiplicación de naturales, para esto sigue en los párrafos de letra pequeña. Que en cada aula se decida lo que consideren conveniente. Consideremos los siguientes casos:

• Dos enteros positivos: (4) (3). Lo razonable es multiplicarlos como naturales: (4) (3) = 12

• Un entero negativo y otro positivo: (– 4) (3). Podemos recurrir a una conocida propiedad de la multiplicación

de naturales, por ejemplo: (4) (3) es igual a sumar el cuatro tres veces, es decir: (4) (3) = 4 + 4 + 4 = 12, la aplicación de esta idea a nuestro ejemplo resulta muy natural:

(– 4) (3) = (– 4) + (– 4) + (– 4) = –12

• Pero no pasa lo mismo con (4) (–3), ¿sumar el cuatro menos tres veces?, no parece que se pueda aplicar la misma idea. Pero podemos recurrir a otro criterio, es deseable que la multiplicación sea conmutativa, como en el caso de los naturales, entonces se debe tener:

4 (–3) = (–3) 4 = –12, es decir también obtendríamos: 4 (–3) = –12

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

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• Ahora dos negativos, digamos, (– 4) (–3), este caso es menos fácil, pero podemos combinar dos ideas empleadas antes: por un lado usar los casos para los que ya tenemos una respuesta y por otro considerar la conveniencia de que se cumplan para la multiplicación de enteros propiedades que tiene la multiplicación de naturales, pero ahora tendremos en cuenta la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma, recordémosla: a(b + c) = ab + ac.

Un “truco” que da buen resultado es el siguiente: calculemos, por ejemplo:

–4(–3 + 5) Una forma es con la regla del paréntesis: –4(–3 + 5) = –4 ( 2) = –8 (segundo caso). Otra forma sería la propiedad distributiva, si se ha de cumplir tendríamos:

(a) Sería la propiedad distributiva si ha de funcionar para los enteros. (c) Sería un resultado de acuerdo al segundo caso que examinamos antes.

(d) Es lo que debe resultar porque ya lo obtuvimos con la regla del paréntesis. (b) Para que en efecto se obtenga (d) el producto de (–4)(–3) debe se 12, es decir, lo que indica este

ejemplo es que lo conveniente es que: (–4) (–3) = 12

No parece difícil sintetizar esto en unas reglas, se podrá notar que la multiplicación por cero requiere su propia regla, así obtenemos la siguiente:

Nótese que la segunda regla es la bien conocida “regla de los signos”:

(+) (+) = + (–)(–) = + (–)(+) = – (+)(–) = –

Sin embargo con frecuencia todo lo demás no se tiene muy claro.

(a) (b) (c) (d)

(–4)(–3 + 5) = (–4)(–3) + (–4)(5) = (–4) (–3) + (–20) = – 8

Definición de Multiplicación de Enteros: El producto de dos enteros se calcula como sigue

M1. En cualquier caso se multiplican los valores absolutos de los factores M2. Si los factores son del mismo signo, el producto buscado es el obtenido en M1 (por lo tanto es positivo), y si son de signos contrarios es el inverso de ése (por lo tanto es negativo). M3. Si m es cualquier entero: m · 0 = 0 y también 0 · m = 0

(4)(3) = 12 (–4)(–3) = 12

(–4)(3) = –12 (4)(–3) = –12

En resumen

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Esta definición es bastante simple comparada con la de la suma, también es más fácil demostrar que se cumplen todas las propiedades de la multiplicación de naturales y una más, pero aquí nos limitaremos a enunciarlas brevemente: Ejemplos:

a. (+4)(+2) = +[ ⎢+4 ⎢· ⎢+2⎢] = + [ 4 · 2] = +8 b. (–5)·(–2) = + [ ⎢–5 ⎢·⎢–2 ⎢] = + [ 5 · 2] = +10 c. (–2)·( 7 ) = – [⎢–2 ⎢· ⎢ 7 ⎢] = – [ 2 · 7] = –14 d. ( 6 )·(–8) = – [ ⎢ 6 ⎢· ⎢–8 ⎢] = – [ 6 · 8] = – 48

I.2.8. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN La propiedad que se agrega es:

M1. Propiedad de cerradura: Si m, n, son dos enteros cualesquiera, entonces m·n es un entero

M2. Propiedad conmutativa: Si m, n, son dos enteros cualesquiera, entonces m·n = n·m

M3. Propiedad asociativa: Sean m, n y p enteros cualesquiera, entonces m·n·p = (m·n)·p = m·(n·p)

M4. Existencia y unicidad de neutro multiplicativo Sea m un entero cualesquiera, entonces:

1 es el único entero con la propiedad de que 1·m = m y también m·1 = m:

M5. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma Para tres enteros cualesquiera m, n y p se cumple que:

m·(n + p) = m·n + m·p

M6. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la resta Para tres enteros cualesquiera m, n y p se cumple que:

m·(n – p) = m·n – m·p

Demostración de M6 m · ( n – p) = m · ( n + (– p) ) = m · n + m · (–p) = m · n + (–(m·p)) = m · n – m · p █

TR M5 regla de los signos TR

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I.2.9. SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Y REDUCCIÓN DE EXPRESIONES QUE LOS CONTENGAN

Este es un tema visto antes, aquí se complementa agregando la multiplicación, el manejo de tales expresiones sigue siendo posible con la regla del paréntesis, agregando la jerarquía entre multiplicación por un lado, y suma y resta por el otro:

Ejemplo:

–[–(–7 + 1) + 4(2–6) – 2(–3 – 5)] = –[–(–6) + 4(–4) – 2(–8)] = –[6 + (–16) – (–16)] = –[6 – 16 + 16] = –[6] = –6

Vale la pena señalar que el paso de la segunda expresión a la tercera (respecto al signo

“=”) consistió en efectuar las multiplicaciones independientemente de la suma y de la resta; el paso de la tercera a la cuarta es el TR.

Como antes se dijo, en general, no es posible aplicar este procedimiento en álgebra, asimismo, conviene introducir ya el que resulta pertinente. Recordemos que el otro procedimiento se basa en cancelar primero todos los símbolos de agrupación y al final efectuar la suma algebraica resultante; para hacer esto se aplican las mismas reglas vistas antes y se agregan las distributivas respecto a la suma y a la resta. Ejemplo:

–[–(–7 + 9) + 4(2+6) – 2(–3 – 5)] = –[7 – 9 + 8 + 24 – (–6 – 10)] = –[7 –9 + 8 + 24 + 6 + 10] = –7 + 9 – 8 – 24 – 6 – 10 = –46

× + -

La multiplicación es de mayor nivel que la suma y que la resta, estas últimas son del mismo nivel. La operación de mayor nivel se efectúa antes que las de menor nivel. Las del mismo nivel se efectúan en el orden en que estén escritas, de izquierda a derecha.

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Los paréntesis de la segunda expresión se introducen porque se aplicó M5 y M6 independientemente de la suma y de la resta; primero se multiplica y luego se suma y se resta, en el interior de los paréntesis están los correspondientes productos, los que ahora si hay que sumar y restar, es lo que se hace en la tercera expresión.

ACTIVIDAD: Realiza las operaciones indicadas en esta última forma, es decir, elimina los símbolos de agrupación multiplicando (propiedad distributiva), después efectúa las sumas y las restas.

i) –(7 – 5) + 3(–7– 8) ii) ( 11–7 ) – (15 –22) iii) –3(–1 – 6) – ( – 9 – 2) iv) – {–[ 2 – (–3 –4) – 7] –8}– 12

I.2.10. DIVISIBILIDAD División de Enteros

Después de haber visto tres de las cuatro operaciones básicas, es natural abordar la cuarta; podemos empezar de inmediato con un intento de definición sin mucho detalle, la idea es conservar la definición que ya se ha intentado con los naturales (sin mucho éxito):

Sean dos enteros m y n, dividir m entre n se indica en la forma m ÷ n y su regla es la siguiente:

m ÷ n = c significa que n·c = m

Pero de inmediato se ve que la presunta definición no es satisfactoria, en efecto, sólo se aplica en algunos casos, así que seguimos como con los naturales, pero esta vez trataremos de ir más allá y exploraremos algunas de las cosas que se pueden decir para los casos en los que sí se puede efectuar la división, que dicho sea de paso, resulta ser una gran cantidad de cosas, de las que sólo diremos unas pocas palabras.

¿Cuándo decimos que puede efectuarse la división m ÷ n ?, cuando existe aquél número entero c tal que n·c = m, si hay tal entero c es natural decir que n divide a m y otras frases parecidas, de aquí las siguientes:

Definiciones. Si m y n son números enteros, y si existe otro entero c tal que n·c = m, entonces

decimos que n divide a m, o que m es divisible entre n. También se dice que n es divisor de m y que m es múltiplo de n.

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Cabe hacer una aclaración acerca de los nombres, estamos hablando de multiplicaciones como 8·6 = 48 (n·c = m) y ya se dijo hace mucho que 8 y 6 (n y c) se llaman factores de 48 (m), y ahora les hemos puesto otros nombres:

En efecto los números participantes en una multiplicación tienen todos esos nombres,

pero mientras que los de arriba se usan cuando se multiplican cualquier clase de números, los de abajo se emplean sólo cuando se trata de números enteros.

Vamos a escribir algunos otros divisores de 48 y también algunos múltiplos suyos:

Divisores de 48

porque existe el c dicho (el número en negritas es c)

Múltiplos de 48

porque existe el c dicho (el número en negritas es c)

–2 (–2)(–24) = 48 – 96 (48)(–2) = –96 –1 (–1)(– 48) = 48 – 48 (48)(–1) = – 48 ¿0? (0)(¿qué número?) = 48 0 (48)(0) = 0 1 (1)(48) = 48 48 (48)(1) = 48 2 (2)(24) = 48 96 (48)(2) = 96 12 (12)(4) = 48 144 (48)(3) = 144 24 (24)(2) = 48 192 (48)(4) = 192 48 (48)(1) = 48 240 (48)(5) = 240

Observaciones: • Para un número dado existen divisores y múltiplos negativos y positivos. • ¿Ya se ve que 0 no puede ser divisor de algún entero diferente de 0? • El 1 por el contrario es divisor de cualquier número. • A partir de la fila vacía se ve una forma de generar una buena cantidad de múltiplos de un

número, basta multiplicarlo por algún natural.

Por otra parte, también se puede observar que si un número n (por ejemplo 2) divide a un número m (por ejemplo 48), también (–1)(n) (por ejemplo (–1)(2) = –2) divide a m (en nuestro ejemplo a 48), esto hace que todo lo que se diga acerca de divisibilidad de los positivos resulte

Divisores de 48 múltiplo de 8 y 6

8 · 6 = 48

Factores de 48 producto de 8 y 6

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válido para los negativos, así que, para simplificar las cosas, de aquí en adelante sólo nos ocuparemos de lo relativo a divisibilidad de números no negativos.

Para hacer otras observaciones comienza por llenar la siguiente tabla, para cada número de la primera columna, encuentra todos sus divisores (positivos) y sus primeros cinco múltiplos (positivos):

número divisores (o factores) múltiplos 1 2 3 4 5 8 9 10 11 12

Como se ve: es posible escribir todos los divisores, pero sólo se pueden escribir algunos múltiplos; ciertos números tienen sólo dos divisores mientras que otros tienen más; el 1 no está en un caso ni en otro; haremos las siguientes:

Si un entero se expresa como producto de otros diferentes de él mismo, diremos que se ha factorizado, queda claro entonces que sólo se pueden factorizar los compuestos, un entero puede tener varias factorizaciones diferentes, en particular todos los factores pueden ser números primos, en tal caso diremos que ésta es una factorización prima, al respecto tiene lugar el siguiente teorema (omitimos la demostración).

Definiciones: Si un entero (positivo) tiene exactamente dos divisores (positivos), 1 y el mismo

número, se dice que es un número primo, si tiene más de dos (positivos) se le llama número compuesto. Como 1 no está en ninguno de los dos casos no pertenece a ninguna de las dos clases.

Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo número compuesto tiene exactamente una factorización prima. Las

factorizaciones que sólo difieren en el orden de los factores se consideran la misma factorización.

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Ejemplos:

Diferentes formas de factorizar un número

24 = 2 ×12 24 = 3 ×8 24 = 4 ×6 24 = 2 ×3 ×4 24 = 2 ×2 ×6 24 = 2 ×2 × 2 ×3 ( Factorización prima ) 24 = 23 ×3 100 = 2 ×50 100 = 4 ×25 100 = 5 ×20 100 = 2 ×2 ×25 100 = 2 ×2 ×5 × 5 ( Factorización prima ) 100 = 22 ×52

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Un número entero puede ser divisor de varios números dados, en tal caso se dice que es su divisor común (o su común divisor); de la misma forma un número puede ser múltiplo de varios números dados, entonces se dice que es su múltiplo común (o su común múltiplo); de entre los divisores de un número habrá uno que es el mayor; éste recibirá el nombre de máximo común divisor de los números dados; análogamente, al menor de los múltiplos de los números dados se le llama mínimo común múltiplo de ellos. Ejemplos Número Divisores 60 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 48 1 2 3 4 6 8 12 16 24 48

Definiciones: Al mayor divisor común de varios números se le llama máximo común divisor de

ellos, y es el mayor entero que los divide (exactamente) a todos (mcd). Al menor múltiplo común de varios números se le llama mínimo común múltiplo de

esos números, y es el menor entero divisible (exactamente) entre cada uno de ellos (mcm).

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Hemos resaltado los divisores comunes: 1, 2, 3, 4, 6, 12 El máximo común divisor es: 12 y se abrevia mcd(60, 48) = 12 Análogamente:

Resaltamos los múltiplos comunes: 24, 54, 72, ... El mínimo común múltiplo es 24, se abrevia mcm(8, 6) = 24

Bueno, pero va a ser muy incómodo que para encontrar el mcd o el mcm de números dados estemos haciendo la tabla, cuando sean varios números y además grandes va a ser un embrollo. En realidad hay un procedimiento bien conocido para determinar el máximo común divisor de un conjunto de números, se hace lo siguiente lo siguiente:

Ejemplos: 1. El máximo común divisor de 400 y 360

400 = 2 ×200 = 2 ×2 ×100 = 2 ×2 ×2 ×50 = 2 ×2 ×2 ×2 ×25 = 2 ×2 ×2 ×2 ×5 ×5

400 = 24 ×52 360 = 2 ×180

= 2 ×2 ×90 = 2 ×2 ×2 ×45 = 2 ×2 ×2 ×3 ×15 = 2 ×2 ×2 ×3 ×3 ×5

Número Algunos múltiplos 8 8 16 24 32 45 54 56 64 72 80 ⋅ ⋅ ⋅ 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 ⋅ ⋅ ⋅

1. Se factorizan cada uno de los números dados en sus factores primos. 2. Se multiplican los factores comunes de menor exponente, el producto es el mcd

buscado.

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360 = 23 ×32 ×5 También acostumbra escribir esto en la siguiente forma:

Obsérvese que los factores comunes de 400 y 360 son el 2 y el 5, de estos factores se toman los de menor exponente y se multiplican entre sí.

m.c.d. ( 400, 360 ) = 23 × 5 = 40

40 es el máximo común divisor de 400 y 360. 2. El máximo común divisor de 15, 81 y 9

15 = 3 ×5 81 = 3 ×27 = 3 × 3 × 9 = 3 × 3 × 3 × 3 = 34 9 = 3 × 3 = 32

El factor común de 15, 81 y 9 es el tres, tomamos el de menor exponente, luego entonces:

mcd ( 15, 81, 9 ) = 3

3. El máximo común divisor de 56, 128, 34 y 76:

56 = 2 × 28 = 2 ×2 × 14 = 2 × 2 × 2 × 7 = 23 × 7 128 = 2 × 64 = 2 × 2 × 32 = 2 × 2 × 2 × 16 = 2 × 2 ×2 × 2 × 8 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 4 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27

34 = 2 × 17 76 = 2 ×38 = 2 × 2 × 19 = 22 × 19

El factor común de 56, 128, 34 y 76 es el dos, tomamos el de menor exponente, luego entonces:

mcd ( 56, 128, 34, 76 ) = 2

360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 360 = 23325

400 2 200 2 100 2 50 2 25 5 5 5 1 400 = 2452

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Para determinar el mínimo común múltiplo de un conjunto de números, haremos lo siguiente: Ejemplos 1. El mínimo común múltiplo de 40 y 36

40 = 2 × 20 = 2 × 2 × 10 = 2 × 2 × 2 × 5 = 23 × 5 36 = 2 ×18 = 2 × 2 ×9 = 2 ×2 × 3 × 3 = 22 × 32 m.c.m ( 40, 36 ) = 23 × 32× 5 = 360

2. El mínimo común múltiplo de 15, 81 y 9

15 = 3 ×5 81 = 3 × 27 = 3 ×3 ×9 = 3 ×3 × 3 × 3 = 34 9 = 3 ×3 = 32

mcm ( 15, 81, 9 ) = 34 ×5 = 405

3. El mínimo común múltiplo de 56, 12, 34 y 76

56 = 2 ×28 = 2 ×2 ×14 = 2 ×2 × 2 ×7 = 23 ×7 12 = 2 ×6 = 2 ×2 ×3 = 22 ×3

34 = 2 ×17 76 = 2 ×38 = 2 ×2 ×19 = 22 ×19

mcm ( 56, 128, 34, 76 ) = 23 ×3 ×7 ×17 ×19 = 54264

ACTIVIDAD: Determine el máximo común divisor de:

i) 45, 30 y 60 ii) 175, 245 y 315 iii) 81, 54 y 189

Determine el mínimo común múltiplo de: i) 18, 36 y 40

1. Se factorizan cada uno de los números dados en sus factores primos. 2. Se multiplican los diferentes factores de mayor exponente.

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ii) 200, 120 y 360 iii) 60, 100 y 260

I.2.11. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Resumen: El sistema de los números enteros, indicado en la forma (Z, +, · , <) está

constituido con las siguientes partes: I) El conjunto Z II) Dos operaciones con números enteros llamadas adición (+) y multiplicación (.) III) Cualesquiera que sean los números enteros a, b, c se cumplen las siguientes

propiedades:

Propiedad Operación Suma ( + ) Operación Multiplicación (.)

Cerradura m + n es un entero m ⋅ n es un entero Conmutativa m + n = n + m m ⋅ n = n ⋅ m Asociativa m+ n+ p = (m+n)+p = m+(n+p) m⋅n⋅p = (m⋅n)⋅p = m⋅(n⋅p) Existencia y unicidad de neutro aditivo y multiplicativo respectivamente

0 es el único natural con la propiedad de que m + 0 = m y también 0 + m = m

1 es el único entero con la propiedad de que m⋅1= m y también 1· m = n

Existencia y unicidad del

inverso aditivo.

Cada entero tiene exactamente un inverso aditivo, que también es un entero: el inverso de n es – n y el inverso de – n es n.

Distributiva de . respecto a +

m ⋅ (n + p) = m ⋅ n + m ⋅ p

. IV) El orden en Z

m < n significa que existe un entero positivo p tal que m + p = n

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN I.2 1.- ¿Qué es el inverso aditivo de un entero? 2.- ¿Es 0 (cero) un entero positivo?, ¿ por qué? 3.- ¿Cómo deben ser dos enteros para que su suma sea el neutro aditivo? 4.- ¿Cómo debe ser un sumando para que la suma sea igual al otro sumando? 5.- Completa la tabla de ejercicios y contesta:

+ −4 −2 0 3 5 −5 −4 0 2 3 5

a) ¿Es la suma de dos números un entero? b) El resultado que se obtiene en la suma de −4 con 3 es la misma que se obtiene al sumar 3

con –4, es decir, − 4 + 3 = 3 + (− 4)? c) ¿Cuál es la propiedad de la suma que te permite cambiar el orden de los sumandos? d) El resultado que se obtiene efectuando (2 + 3) + ( −4) es el mismo que se obtiene al sumar

[ ]4)(32 −++ ? e) ¿Recuerdas el nombre de la propiedad que te permite reagrupar de diversas maneras

varios sumandos y obtener el mismo resultado?, ¿cuál es? f) ¿Qué conclusión puede sacar de los resultados –5 + 0 ; −4 + 0; 0+0 ; 2+0 y 3 + 0 ?

6.- Halla el inverso aditivo de cada uno de los siguientes números . a) –7 b) h c) − m 7.- Si el opuesto de un cierto número es negativo, ¿qué puedes decir de ese número? 8.- ¿Qué es el valor absoluto de un entero? 9.- Determina el valor absoluto de los siguientes números empleando la definición de éste.

a) –15 c) − m b) b d) −17

10.- Determina si es verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones:

a) ⏐−h⏐= h b) −⏐7⏐= 7

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c) −0 = ⏐0 ⏐

11.- Expresa las siguientes sumas de enteros como una suma algebraica: a) 5 + (−3) + 8 + (−9) + (−2) + 1 b) 6 + (−4) + (−3) + 7 + (−5) c) 7 + 3 +(−6) + (−9) + 8 + (−12) d) (−5) + 4 + (−8 ) + (−3) + (−15) + 25

12.- Expresa las siguientes sumas algebraicas como una de enteros:

a) 4 – 3− 2 + 7 –1 b) –6 + 8 – 9 –12 +10 c) 7 – 9 + 10 – 6 – 8 + 9 d) 13 + 7 – 9 – 4 + 8 – 6

13.- Indica las siguientes restas como un suma de enteros:

a) 19 – 8 = b) m – n c) 9 – h d) x – 8 14.- Encuentra la suma de enteros.

a) 27 + (− 62) + (− 15 ) = b) (− 27) + (− 16) + (18 ) = c) 116 + 24 + (−12 ) = d) –126 + (−54 ) + 136 = e) 92 + (−18 ) + 54 =

15.- Encuentra el valor que falta en las siguientes sumas:

a) 27 + + ( −15) = −36 b) –16 + 54 + 18 = c) −126 + ( −54) + = 12 d) +(−86) + 66 = − 42 a) 92 + (−18 ) + 54 =

16.- Encuentra la suma de los siguientes enteros:

a) –9 + (–11 ) = b) – 24 + 0 = c) –19 + 27 = d) – 26 + ( – 23 ) = e) – 13 + ( – 47 )

17.- Miguel compra 120 naranjas a $ 6.00 la docena y las vende a $ 1.00 cada naranja. Si se le

dañaron 35 naranjas, ¿A cuánto asciende la ganancia o la pérdida? 18.- Si Rubén es mayor que Fernando y Alberto es mayor que Rodrigo, sabiendo que Fernando y

Alberto son mellizos ¿cómo es Rubén con respecto a Rodrigo?

19.- Evalúe cada expresión si x = –3 , y = 6 , y z = – 11.

a) x + y + ( – 1) c) –23 + x + z e) –15 + (–x) + y b) – z + (– 8) + y d) 1 + (– y) + z f) –¦x + y + (–8)¦

77

20.- Los siguientes son resultado de algún examen de admisión de una universidad cuyo sistema de calificación establece que por cada dos respuestas malas se anule una buena.

CARMEN FEDERICO COSME ARTURO HUGO EFRAIN 1 V 11 X 1 v 11 X 1 X 11 X 1 v 11 X 1 X 11 v 1 v 11 v 2 V 12 V 2 v 12 v 2 X 12 X 2 v 12 X 2 X 12 X 2 v 12 v 3 V 13 V 3 X 13 v 3 X 13 v 3 X 13 X 3 X 13 v 3 v 13 X4 X 14 V 4 X 14 v 4 X 14 v 4 X 14 v 4 X 14 v 4 X 14 v 5 V 15 X 5 X 15 X 5 v 15 X 5 X 15 X 5 X 15 X 5 v 15 X6 V 16 X 6 v 16 v 6 v 16 X 6 X 16 X 6 X 16 X 6 X 16 v 7 X 17 V 7 X 17 v 7 v 17 v 7 v 17 v 7 v 17 X 7 v 17 v 8 V 18 V 8 v 18 X 8 X 18 v 8 v 18 v 8 X 18 X 8 X 18 v 9 V 19 V 9 v 19 X 9 v 19 X 9 v 19 X 9 X 19 X 9 v 19 X10 V 20 X 10 v 20 v 10 X 20 X 10 X 20 X 10 X 20 X 10 v 20 X

a) Si solamente son admitidos los aspirantes por encima de 5 puntos, ¿quiénes lograron ingresar a la universidad?

b) ¿Quiénes de ellos sacaron un puntaje negativo?, ¿ cuál fue ese puntaje? c) Ordena los puntajes obtenidos en orden descendente. d) ¿Es posible que un aspirante pueda obtener como puntaje 0? Explica. e) ¿Cuál es el puntaje más alto y más bajo que puede sacar una persona que presente el

examen de admisión? f) ¿Pueden dos personas obtener el mismo puntaje y sin embargo no tener el mismo

número de respuestas buenas y malas? Explica. 21.- Completa la siguiente tabla de resta y con base en ella

responde : a) ¿Es siempre la diferencia de dos números

enteros otro número entero? b) ¿Son iguales los resultados que se obtienen al

restar 3 de 5 que 5 de 3? c) ¿El resultado que se obtiene de la operación

(5–3)–(–2) es el mismo que se obtiene al resolver ( )[ ]235 −−− ?, ¿qué puedes deducir de esta observación?

d) ¿Existe un elemento neutro para la resta en Z?

– –4 –2 0 3 5

–5

–4

0

3

5

78

22.- Indica entre renglón y renglón qué propiedad de la suma o producto justifica el paso de una expresión a otra.

5 + [ 3 + (–2)] 3 + 5 (–1) + 2 (3) =

= 5 + 9 + (–6) + 5 (–1) + 2 (3) = 5 + 9 + (–6) + (–5) + 6 = 5 + 9 + (–5) + (–6) + 6 = 5 + (–5) + 9 + (–6) + 6 = [ 5 + (–5)] + 9 + [ (–6) + 6] = 0 + 9 + 0 = [ 0 + 9] + 0 = 9 + 0 = 9

23.- Clasifica como verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones explicando la

razón de la elección. a) La suma de dos enteros positivos es siempre un entero positivo. b) La suma de dos enteros negativos es algunas veces un entero positivo. c) La resta de dos enteros positivos es siempre un entero positivo. d) La resta de dos enteros negativos es otro entero negativo.

24.- Determina el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones. Argumenta tu

respuesta usando la definición de la relación de orden.

Proposición Verdadera o falsa Justificación –5 > 3 –8 < –8 4 > –2 0 < 7 0 > –10

25. Efectúa las siguientes operaciones:

a) 19 –(–1)–(–6) d) 20 – 19 –(–7) g) –9–7–3 b) 24 –(–5)–(–12) e) 12 – 7 – 1 – (–8 ) h) 6– (–6) – 6 –(–6) c) –152 – ( – 241) – (–13) f) 263 – (– 259) – ( – 13 ) i) 277 – ( –5 ) – (– 7) + 8

26.- Suprime los paréntesis y luego calcula:

a) 8 – (2 + 4) d) –7 – (1 + 7 + 9) g) –1– ( – 3 + 7) – 8 b) 25 – ( – 15 + 2 + 4) e) (7 – 8) – (7– (– 8 ) ) h) – (– 6 – 5 + (– 4) ) c) (7 – 8 + 11) – (– 6 – 7 ) f) 8 – 7 – (4 + 8 – (–6) ) i) – (11 – 7) – (12 – 9)

79

27.- Elimina el símbolo de agrupación operando según se indica en el encabezado de la tabla.

Operación

Si hacemos primero la operación dentro del paréntesis , obtenemos:

Si hallamos los inversos aditivos de cada entero dentro del paréntesis, obtenemos:

4 – (7 – 4 – 5 ) 2 – (8 –11) 1 – (11 + 6 + (–4))

28.- En los ejercicios siguientes resta el primer número del segundo.

a) 10 de 13 b) –30 de –18 c) 891 de 274 d) –774 de –568 e) –9 de –2 f) 540 de –263

29.- Encuentra el número que hace verdadera a la igualdad correspondiente :

a) – 27 – 6 – = 15 b) –54 – ( +17) + ( –12) = c) – 6 – 30 – = – 16 d) – 54 – (–16) = 20 e) –219 –167 =

30.- Resuelve las operaciones indicadas:

a) 11 + 9 + (–8) + (–15) + 24 g) 21 + (–20) + 12 + (–15) + 9 b) 190 + (–130)+ (–218) + 100 h) 1989 + ( – 2 345) + 3 189 c) (–450) + (–678) – (–789) i) 98 – (–123) – (– 100 ) + 434 d) –106 – (– 95) j) 195 – (– 87) e) (54 – 67) – (77 + 54) k) – 6 – 19 + 4 – 8 + 20 f) 18 – 14 + 15 + 7 – 26 l) (13 + 65) – ( 78 – 80)

31.- Determina el valor de las siguientes expresiones. a) ⏐–8⏐ b) ⏐9 ⏐ c) ⏐– 6 – 8⏐ d) ⏐ 7 + (–2) ⏐+ ⏐–9 ⏐ – ⏐11⏐ 32.- Encuentra el valor o los valores de “x” para los cuales: a) ¦x¦= 5 b) ¦x¦=12 c) ¦x + 5¦= 7 d) ¦x –3¦= 10

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33.- Completa con números el siguiente cuadro mágico, si la suma de sus filas, sus columnas y sus diagonales es de –10.

5

– 9

2

0

–3

–2

– 4

–7

–10

34.- Completa con números el siguiente cuadro mágico, si la suma de sus filas, sus columnas y

sus diagonales es la misma. Suponiendo que la suma es –2.

4

– 6

– 7

2

–3

– 8

5

– 5

35.- En una estación meteorológica la temperatura que se registra a las 6 p.m. es de – 8°C. De las

6 a 9 p.m., la temperatura se incrementó en 12° C. ¿Cuál es la temperatura a las 9 p.m.? 36.- Ordena en forma ascendente:

a) -89 , 0 , 15 , -36 , 120 b) –4 , 0 –10 , 7 , 4 , 9 c) 234 , - 234 , 54 , -54 , -76 , 0 d) 54 , -23 , -12 , -9 , 8 , 2

37.- Escribe cada lista de enteros en forma descendente.

a) –1 , – 9 , – 5 , 0 , – 4 b) –11 , 0 , 7 , – 10 , 2 , – 8 c) –3 , – 5, 3 , 1 , –10 d) –5 , 8 , –1 , – 6 , 6 , 2

38.- Nabucodonosor II , Rey de Babilonia , reinó de – 605 a – 562 , él destruyó Jerusalén en –

586. ¿Cuál fue la duración de su reinado?

81

39.- Escribe el símbolo de desigualdad o igualdad que corresponda en las siguientes proposiciones.

a) –6 –2(3) b) –9 –12 c) –8 – (– 4) d) 0 – (– 6) e) –8 –4 f) –15 – (–15) g) 6 – (– 6 ) h) –21 – 27

40.- Completa las siguientes proposiciones:

a) Cualquier entero positivo es _____________________que cero. b) Cualquier entero negativo es ____________________que cero. c) Cualquier entero positivo es _____________________que cualquier entero negativo.

41.- Efectúa las operaciones indicadas eliminando los signos de agrupación. 42.- Efectúa las siguientes multiplicaciones.

a) (– 5) (– 6) (8 ) (–3) f) (6 )( 8) j) (7) ( – 9) b) (–7) (9) g) (– 9 ) (– 6) k) (7 )(– 3) (–1) c) (–6) (2) h) (20) (– 1) l) (23971)(0) d) (–1) (–2) (–20)(40) i) (–11)(–3)(–1)(8)(–2)(0) m) (– 4)(–3)(2 )(–1) e) (−178) (-413)

43.- Deduce un procedimiento para multiplicar un número cualquiera por 11, 101 , 1 001 , etc, y

úsalo para calcular los siguientes productos:

a) 46 × 11 b) 381 × 101 c) 369 × 1 001 d) 73 × 11 e) 64 × 101 f) 392 × 10 001 g) 101 × 101 h) 115 × 100 001

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]

{ }[ ] [ ]{ }

{ }[ ][ ] ( )[ ]{ }

( ) ( )[ ]{ }( )[ ] =+−+−++

=−+−−−−=−−−−−++−−

=−+−+−+=++−−++−−−+−

=−−−−+−−−+=−−−−−−−

=+−+−+−+++−+

)3(3)1(53235)j11)(91183248i)

3)(1172)1)((1)12(311h)1)2(4938520g)

5)(41)(38)(196)(91)(67)(15f)2)(3711144)(5698e)

5)6(7)(92)(34)(6d))13(292)(48c)

52)(460b))23(2540)a

82

44.- Halla el valor de las siguientes expresiones:

a) [– 4 × ( –3 + 11)] × (–1) c) –5 × ( –3 + 7 – 9) + 7 × [ 6 – 4 × ( –3)] b) –50 + ( –11 + (–2) × 6 + 4 × 5 ) d) (–2 ) × (–5) – [ (–2 + 7) – (–5 –8) ]

45.- Completa la siguiente tabla de multiplicación y con base en los resultados obtenidos contesta

las siguientes preguntas: X ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ...

Sección II

Sección I

-3 -2 -1

Sección III Sección IV

0 1 2 3 ... 46.- La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y la resta es útil en la

elaboración de cálculos mentales; Observa: 347 × 9 = 347 × ( 10 – 1) = 3 470 – 347 = 3123

4 211 × 99 = 4 211 × ( 100 – 1) = 421 100 – 4 211 = 416 889 47.- Halla el valor del número que reemplaza la letra e indica la propiedad de multiplicación

utilizada.

a) (-6) (2) = b b) 5a = (3) (5) c) – 8b = – 8 d) 5(d + (–2)) = –10 + (–10) e) –6 r = 24 f) 7y = 49 g) (s+2)5 = –25 h) 2 (3 + 3m) + (–5) ( m + 1) = 0

48.- Plantea los productos que se deducen de los siguientes enunciados:

a) Un cuervo recorre 88 kilómetros en un hora, ¿cuántos kilómetros recorrerá en un día? b) Un caballo que recorre 72 kilómetros en una hora, se encuentra en el punto 0 y se

desplaza hacia el Oeste. ¿Dónde se hallaba el caballo hace tres horas? 49.- Discute si se cumplen o no las siguientes propiedades para la división de enteros. Si no se

cumplen presenta un ejemplo que lo demuestre.

a) Cerradura b) Asociativa c) Conmutativa

a) ¿Tiene cada resultado de la sección I un opuestoo inverso aditivo en la sección II?

b) ¿Cuál es el signo de todos los resultados en lasección II?

c) Verifica los resultados de la sección II concalculadora.

Observa nuevamente la tabla y responde: a) ¿Cuál es el signo de todos los resultados de la

sección III de la tabla? b) ¿Puedes explicar por qué los productos son los

mismos en las secciones II y IV? c) Verifica los resultados de la sección III con

calculadora.

83

50.- Observa y completa la siguiente tabla.

1 5 × 2 = 10 Por lo tanto 10 ÷ 2 = 5 2 – 4 × 2 = –8 Por lo tanto 3 Por lo tanto 20 ÷ (– 2 ) = –10 4 – 2 ÷ 2 = −1 Por lo tanto 5 – 6 ÷ 2 = −3 Por lo tanto 6 2 × 2 = 4 Por lo tanto 7 Por lo tanto – 15 ÷ 3 = −5

51.- Responde las siguientes preguntas que hacen referencia al cero dentro de la división:

a) ¿Puedes encontrar un número que multiplicado por 40 te dé 0?. Indica la división que se deduce de esta pregunta.

b) ¿Puedes encontrar un número que multiplicado por 0 te dé 40? ¿Tiene 40 ÷ 0 solución? c) Ensaya la división de otros números por 0. ¿Es posible la división? d) ¿Puedes nombrar números que multiplicados por 0 te den 0?¿Qué puedes decir de la

división 0 ÷ 0 ? 52.- Efectúa cada una de las siguientes divisiones:

0 ÷ 28 0 ÷ 0 8 ÷ 0 0 ÷ (−50) (−50) ÷ 0 53.- Efectúa las siguientes divisiones:

a) – 48 ÷ 6 d) –276 ÷ (–4 ) g) 705 ÷ (– 5 ) j) –3 ÷ (–1 ) b) –924 ÷11 e) 364 ÷ (– 52 ) h) –108 ÷ (–12 ) k) 216 ÷ (– 24 ) c) 432 ÷9 f) 625 ÷ (– 5 ) i) 4 872 ÷ (– 4) l) – 6 773 ÷ (– 521)

54.- Halla los valores desconocidos en las siguientes divisiones:

a) ? ÷(–2 ) = – 7 d) 24 ÷ ? = −1 g) (–36) ÷ (–1) =? j) ? ÷ ? = (− 1) b) ? ÷ ? = 5 e) 36 ÷ ? = – 9 h) ? ÷ (–9 ) = 4 k) ? ÷ (–9) = 9 c) ? ÷ (–7 ) = 2 f) 0 ÷ ? = 0 i) 0 ÷ (–11) = ? l) 8÷ ? = 8

55.- Si A • B significa 2

BA+ , calcula el valor de:

a) (–5) • (–3) c) (–1) • 9 e) 11 • (–11) b) (–21) • ( –1) •3 d)( –21) • (–1• 3) f) (7•1) • 0

56.- Obtén el valor de cada una de las siguientes expresiones:

a) 10 × 6 ÷ 15 d) 8 ÷ (−4) × 2 – 2 × 6 – 5 g) 16 ÷ 4 ×2 b) 20 ÷ 5 × 2 e) 16 × 9 ÷ (–6) h) (4 – 14) ÷ (–2)–7(2 – 8) c) (26 +2) ÷ (–4) – 10( 8 – 12) f) 15 – 2(–5) – (20 – 4) ÷ 8

84

57.- Cuando una persona camina, gasta 5 veces más tiempo que cuando corre. Cuando corre hace

100 metros en 20 segundos. ¿Qué distancia hará si camina durante 100 segundos? 58.- Efectúa cada una de las siguientes operaciones

a) – 13 + ( 850 ÷ 5) b) 35 + 56 ÷ 8 c) 250 ÷ ( –25) + 5 d) – 6 ÷ (–2) –2 ( –8 ) e) – 6 – 12 ÷ (–3) f) – 6 + 9 ÷ (–3) + 5 ÷5 g) 180 ÷ 15 –3 + 21 h) –12 ÷ 3 – ( 4) ( 2) i) –142 ÷ 71 + 8 ÷ (– 4 ) j) –5 ( – 4 + 8) ( – 1) k) –10 + 12 ( –2 ) + 6 ÷ ( –1 ) l) (– 3) ( – 45) – 9 ( –19 ) + (– 10 ) m) –38 (45 ) + [(–9 +19) ÷ ( –10)] n) 8 (15 – 23 – 2) + [–4 ( –5) (–1 )] o) –9 ( –3 + ( –4)) + (–3) (–3)

59.- Haz una lista de todos los divisores positivos de 72. 60.- Determina todos los números primos entre 1 y 100, usando la Criba de Eratóstenes. 61.- Elabora una lista de todos los divisores comunes de 144 y 198. 62.- Indica cuáles de los siguientes números son primos y cuales no lo son: 1, 2, 19, 39, 101, 151, 200, 1000 y 1325. 63.- Considerando las cifras pares ( 0 , 2 , 4 , 6 y 8) construye todos los números de dos cifras que sean:

a) Divisibles por 2 y 3 b) Múltiplos de 3 y 4 c) Múltiplos de 2, 4 y 8

64.- ¿Cuál es el número más pequeño que hay que sumar a 34 para obtener un número divisible por 25? 65.- Se llama número perfecto al que es igual a la suma de sus divisores , sin incluir al número

mismo; por ejemplo: el conjunto de los divisores del 6 es D6 = { }6,3,2,1 y la suma de los divisores distintos de 6 es: 1 + 2 + 3 = 6 . Por lo que 6 es un número perfecto. Encuentra el siguiente número perfecto.

66.- Escribe todos los números de dos cifras que sean múltiplos de 25. 67.- Si n es algún número diferente de cero, los únicos dos divisores conocidos (sin hacer

ninguna operación previa) son________ y _________. 68.- El número _______ es divisor de todos los números. 69.- Escribe todos los números de tres cifras que sean múltiplos de 125. 70.- ¿Por qué la suma de varios números pares es también par?

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71.- Todos los números primos, exceptuando el 2, son impares. Explica cómo se llega a esta conclusión.

72.- Si dos número no tienen divisores comunes, se llaman primos relativos. Localiza todas las

parejas de números primos relativos que están entre el 2 y el 15. 73.- “El producto de dos números primos dará otro número primo” ¿Está de acuerdo con la

afirmación anterior?, ¿por qué? 74.- Encuentra tres números primos cuya suma sea 16. 75.- Factoriza los siguientes números. a) 16 b) 77 c) 200 d) 81 e) 214 f) 375 g) 2310 76.- Halla 3 divisores comunes de los siguientes números.

a) 40 , 24 , 18 b) 100 , 15 , 125 77- Determine el m.c.d y el m.c.m de los números dados:

a) 15 y 18 b) 72 y 60 c) 132 y 77 d) 100 y 1200 e) 5, 7 y 9 f) 11, 13 y 26 g) 60 , 144 y 84 h) 620, 180 y 1 200 i) 325 , 625 y 820 j) 121 y 1331

78.- Expresa como potencia el m.c.d y el m.c.m. de cada uno de siguientes pares de números.

a) 23 × 33 ×5 y 22 × 32 × 52 b) 210 y 26 c) 2 × 3 ×5 y 22 × 32 × 72 d) 2 × 35 y 33 × 52 e) 2 × 3 × 132 y 3 × 5 ×13 f) 32 × 72 y 52 × 112

79.- ¿En qué se parece el m.c.d y el m.c.m.? 80.- ¿En qué se diferencian el m.c.d y el m.c.m? 81.- El cine “Variedades” y el cine “Coliseo” proyectaban películas en forma continua y ambos

cines comenzaban su primera función a la 1:00 p.m. Si la película proyectada en el cine “Variedades “ duraba dos horas y la proyectada en el cine “coliseo” duraba 80 minutos, ¿a qué hora volverán a comenzar las dos películas al mismo tiempo?

82.- Tres carretes de hilo contienen 1810 cm. , 1972 cm y 1988 cm. ; se desea dividirlos en

partes iguales de la mayor longitud posible. Encuentra la longitud de cada parte y cuántas partes salen de cada carrete.

83.- En un velódromo parten simultáneamente tres ciclistas de la línea de meta. Uno de los

ciclistas da una vuelta cada 30 segundos , otro cada 27 segundos y el tercero cada 24 segundos. ¿A los cuántos segundos cruzan la línea de meta los tres ciclistas juntos por primera vez?, ¿cuántas vueltas tiene que dar cada ciclista en ese momento?

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84 .- Un pastor sólo sabe contar sus ovejas de 2 en 2 , de 3 en 3 , de 4 en 4 o de 5 en 5 . Observa que al contar sus ovejas de 2 en 2 le sobra una, de 3 en 3 le sobra una , igual que de 4 en 4 también le sobra una, pero si cuenta de 5 en 5 no le sobra ninguna. ¿Cuál es el menor número de ovejas que tiene el rebaño?.

85.- Si en el salón de clases los alumnos pueden formar equipos de trabajo de 3 , 4 o 6

estudiantes sin que falte o sobre alguno, ¿cuántos estudiantes como mínimo hay en el grupo?

86.- Localiza las parejas a, b de enteros positivos tales que su m.c.m. sea igual a 80. 87.- Dos libros tienen respectivamente 960 y 1216 páginas. Están formados por capítulos con el

mismo número de páginas entre 50 y 70. ¿Cuál es el número de páginas de cada capítulo? 88.- Se quieren acomodar 2185 botellas de aceite y 1615 botellas de leche en cajas, de manera

que contengan el mismo número de botellas sin que sobre ninguna y sin mezclarlas. ¿cuál será el mayor número posible de botellas que se puedan acomodar por caja?, ¿cuántas cajas se necesitan?

89.- Los profesores Miguel , Moisés y Hugo hacen exámenes a sus alumnos periódicamente,

Miguel cada 12 días, Moisés cada 15 días y Hugo cada 10 días. El día 1° de marzo los tres aplicaron el examen en forma conjunta. ¿Cuál será la fecha más próxima en que lo vuelvan a aplicar juntos?

90.- En una línea de autobuses, a las 8:00 a.m. salen tres corridas a distintos sitios, la primera sale

cada 15 minutos, la segunda cada 30 minutos y la tercera cada 24 minutos. ¿A qué hora volverán a salir las tres corridas de la terminal simultáneamente?

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UNIDAD II FRACCIONES Y NÚMEROS REALES INTRODUCCIÓN

Ya lo hemos dicho antes, el terreno de las fracciones se puede considerar terreno conocido. Partimos de la idea de fracción como un trozo de la unidad, incluso la ilustramos con lo que nos enseñaron desde la primaria, con circulitos divididos en rebanadas iguales y recursos parecidos; con eso nos bastará para explicarnos por qué las operaciones con fracciones se hacen como se hacen.

Sólo hay dos momentos teóricos un tanto incómodos pero ‘nomás tantito’, la vida es dura carnales (o carnalas y carnales). Uno de ellos es la división, hasta ahora no hemos logrado que se pueda efectuar siempre con números enteros, aquí hallaremos la forma de hacer eso y mucho más, pero el precio será darle algunos rodeos al asunto de la división; de hecho copiando algunas truquitos hechos en torno a la resta en la unidad anterior. El otro rollo teórico consiste en explicar con brevedad por qué en la mayoría de textos, a las fracciones se les llama números racionales, veremos que hay una diferencia un tanto sutil pero que para propósitos prácticos pueden considerarse la misma cosa.

Un aspecto importantísimo de este tema es precisamente que las fracciones son los números prácticos por excelencia, ahora sí que tienen que ver tanto con la vida cotidiana como con la actividad del comerciante, del herrero, del ingeniero, del administrador, del albañil o del científico. Requieren especial atención las llamadas fracciones decimales, ya sabes, las del puntito, que justamente tienen un alto valor práctico.

Hay un tercer momento teórico en esta unidad, pero es aparte de las fracciones, se trata justamente de los números que no son fracciones en el sentido que hemos dicho antes, por ser un tema relativamente complicado sólo lo tocaremos brevemente al final de la unidad, básicamente se trata de los llamados números irracionales. Con ayuda de las fracciones decimales describiremos de una vez por todas a las diversas clases de números antes estudiadas, con lo que obtendremos un sólo gran conjunto conocido como el conjunto de los números reales.

En esta unidad tienes que poner especial atención a: la operación de división, allí deberás comprender el concepto de inverso multiplicativo y algo que bautizaremos como “el teorema de la división”; las fracciones decimales y qué tienen que ver estas con la división; la proporción, cosa también conocida por ustedes, sobre todo conocen a dos parientes cercanos suyos, la regla de tres y el tanto por ciento; finalmente, apoyándote en las fracciones decimales, tendrás que describir los diferentes tipos de números vistos en toda la unidad. TEMARIO DE LA UNIDAD II II.1. Fracciones y números racionales

II.1.1 Conjunto F de las fracciones

II.1.2. Adición y resta de fracciones

II.1.3. Multiplicación de fracciones

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II.1.4. División de fracciones

II.1.5. Combinación de operaciones con fracciones

II.1.6. Orden de las fracciones

II.1.7. Fracciones y fracciones decimales

II.1.8. Los números racionales

Ejercicios y problemas de fracciones

II.2 Aritmética de las proporciones

Introducción

II.2.1. Razones y proporciones.

II.2.2. Proporcionalidad directa e inversa.

II.2.3. Regla de tres.

II.2.4. Porcentaje.

Ejercicios y problemas de razones y proporciones

II.3 Números reales

II.3.1. Los números irracionales.

II.3.2. El conjunto de los números reales.

Ejercicios y problemas de números reales

II.1 FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES II. 1.1 EL CONJUNTO DE LAS FRACCIONES

El conocimiento de los números fraccionarios es anterior, en muchos siglos, al de los números negativos y nació por la necesidad de resolver cuestiones de la vida cotidiana para las cuales se necesita medir, comprar, vender, pesar y un gran etcétera.

En el papiro Rhind (año 1700 a. C.) se narra que los egipcios ya operaban con fracciones, casi exclusivamente con fracciones de numerador 1. En Babilonia se usaban fracciones sexagesimales, es decir, de denominador igual a 60 y potencias de éste, sus huellas han quedado en las unidades angulares y del tiempo (60 segundos hacen un minuto, 60 de éstos hacen una hora). Pero no se requiere ir tan atrás para toparnos con las fracciones, la interacción con ellas es de todos los días, véase lo siguiente solo por mencionar algo:

−En las noticias nos informan que hasta el pasado 9 de Septiembre de 2002, los Yankees de N.Y. encabezaban la Liga Americana con un porcentaje de 0.627 y, a su vez, Atlanta hace lo mismo en la Liga Nacional con un porcentaje de 0.638 − También es común algo como: el peso recuperó ayer 3.55 centavos en su paridad con el dólar... la divisa estadounidense se cotizó en $9.79

89

− En un libro de cocina encontramos la siguiente receta: 1 ½ tazas de nata de leche ¼ de taza de leche fría 2 ½ tazas de harina ½ cucharadita de sal ¾ de Kg. de jamón cocido

32 de taza de puré de tomate

3 huevos yerbas de olor y pimienta al gusto.

− Y en otros libros aparecen fórmulas cómo:

A = bh21 V = 3

43 rπ )32(

95

−= FC

Con la primera se obtiene el área de un triángulo; con la segunda se calcula el volumen de una esfera y con la tercera se determina a cuántos grados centígrados equivale cierto número de grados Fahrenheit.

El punto es que las fracciones son parte de nuestra vida cotidiana.

Con todo lo visto sobre los enteros podemos efectuar sumas, productos y restas sin restricción alguna, y son muchos los problemas que podemos resolver, pero la división sigue siendo posible sólo a veces; si le seguimos la huella a este hecho veremos que acarrea muchas limitaciones: Fácilmente podemos darnos cuenta que los enteros aún resultan insuficientes para abordar una enorme cantidad de cuestiones que se presentan en la vida profesional, científica y tecnológica; para no ir lejos, los enteros no bastan para los detalles menudos que requerimos en la vida cotidiana, ya sea calcular el cambio que nos deben dar en el micro si pagamos con una moneda de $10.00 (como información para los que usan limusina, cobran $3.50), o para tomar las medidas y hacer las cuentas para ponerle piso con loza rectangular a una habitación, incluyendo los gastos, claro, si hay suerte podían requerirse sólo enteros pero será las menos de las veces.

LA IDEA DE FRACCIÓN

Sin rodeos, la idea básica es que la fracción es un trozo de la unidad, y las formas en que nos dieron las primeras explicaciones al respecto desde la primaria aún conservan a estas alturas su utilidad.

90

¿Recuerdan el círculo que representa la unidad y cómo ciertas divisiones la separan en partes? Bien, ¿cómo se “construye” un “número” que represente la parte sombreada? Ya lo saben, sólo queremos insistir en dos o tres detalles: la representación deseada se elabora con dos números enteros, los enteros serán la materia prima para construir las fracciones. Uno de los números es 3 y el otro es 4, éste último indica en cuántas partes iguales se dividió la unidad y 3 nos dice cuántas de ellas estamos tomando en cuenta; la forma usual en que se escribe la

representación numérica de la parte sombreada es 43 , ya sabemos cómo se lee y todo eso, pero

hay que subrayar que la pareja de números es ordenada, porque si los intercambiamos en la

forma34 resulta algo que leemos e interpretamos de otro modo. Concluimos con una primera

idea: Esta idea aún es bastante burda, por ejemplo, vale la pena aclarar que exigimos que p y q

sean naturales porque nuestra interpretación de fracción no se aplica fácilmente a todos los

enteros, ¿qué significa 43

−− ?, ¿dividir la unidad en menos cuatro partes iguales y tomar menos

tres de ellas? (¡!). Aunque en menor medida, pero en el mismo sentido, podemos poner algunas

objeciones a expresiones como 02,

00,

12,

23,

44 .

La primera de ellas no presenta dificultades con la interpretación: dividir la unidad en

cuatro partes y tomar en cuenta las cuatro, simplemente nos quedamos con un entero, ¿no es cierto?; pero podemos objetar que ya no es una fracción, entendida ésta como un trozo de la unidad; bueno, pero se escribe en la forma que se dijo que se escriben las fracciones, alguien le dio a este problema una solución salomónica diciendo que tales expresiones también son fracciones sólo que impropias, haciendo lo mismo para los dos casos que siguen, nosotros usualmente les llamaremos fracciones a secas. Ya sabemos como se arregla la dificultad de interpretación de la segunda expresión: se toma más de una unidad, cada una se divide en las partes indicadas y se toman las que se requieran. La tercera está peor, pero el acuerdo es dejar la unidad de una pieza y tomar dos de ellas (dos enteros). Para las dos últimas expresiones la neta es que no tienen significado en matemáticas, por lo pronto así lo aceptaremos y en lo que sigue tendremos oportunidad de ver a qué se debe. De cualquier manera, ya en plena manipulación de fracciones pocas veces tendremos necesidad de recurrir a la interpretación comentada.

Es más importante hacer algunos ajustes que nos permitan formar fracciones con (casi)

cualesquiera parejas de enteros, lo que nos remite al siguiente tema.

Una interpretación: una fracción o número fraccionario es una pareja ordenada de números

naturales p y q escrita en la forma qp , donde q indica en cuántas partes iguales se ha dividido

la unidad y p señala cuántas de ellas se están considerando.

91

EQUIVALENCIA DE FRACCIONES

Un punto de partida conveniente es notar que nuestra interpretación de las expresiones de

la formaqp hace posible que una misma cantidad se pueda representar con varias fracciones, la

figura muestra dos representaciones de la parte sombreada, dependiendo de qué divisiones de la unidad se tomen en cuenta:

86

43

=

La siguiente figura ofrece más posibilidades, por ejemplo: para la primera fracción toma en cuenta bloques de dos columnas. Explica cuáles divisiones justifican las fracciones restantes. A tales fracciones se les llama equivalentes.

...2416

128

64

32

====

Hemos usado un diagrama circular y otro rectangular, otra clase especialmente útil es la de

los diagramas lineales, en ellos está la idea de recta numérica; en la siguiente figura consideraremos la parte resaltada:

1612

86

43

==

Si nos fijamos sólo en las divisiones indicadas con trazos medianos y cortos (olvidando

los más grandes) obtenemos 86 , ¿cómo obtenemos las otras dos fracciones?.

unidad

92

Pero resultará bastante ingrato que para saber si dos fracciones son equivalentes, haya que

hacer nuestros dibujitos, contar las partes y todo esto; una observación nos puede alivianar el trabajo.

Como ejemplo regresemos a las fracciones de la ilustración anterior.

...2416

128

64

32

====

Tomamos dos de ellas, digamos 2416y

32 , multiplicamos el numerador de una por el

denominador de la otra, (2)(24) = 48; hacemos lo mismo con el numerador y el denominador restantes, (3)(16) = 48, los productos resultaron iguales. Esto no es un mero churro, probemos

con 128y

32 , por un lado (2)(12) = 24 y también (3)(8)= 24. Todavía hay cuatro posibilidades

más, comprueba que la igualdad de los “productos cruzados” se cumple en todos los casos. Lo que podemos llamar la regla de los productos cruzados sirve bien para hacer una definición de fracciones equivalentes sin las vaguedades y dificultades de la interpretación anterior, si bien ésta seguirá teniendo cierta utilidad.

Ahora, podemos plantear una proposición que nos resultará fundamental

Ejemplos:

a) 2124

78

= , porque (8)(21) = (7)(24), es decir, en ambos casos es168.

b) Recíprocamente: como (4)(3) = (6)(2), entonces 32

64

= , por cierto que ésta no es la

única opción, ¿qué otras equivalencias podemos escribir con la misma información?

Definición:

Sean dos fracciones sry

qp , al decir que son equivalentes queremos decir que: ps = qr

Brevemente: sr

qp

= , significa que p⋅s = q⋅r

Cuando el símbolo “=” se aplica entre fracciones se debe leer “equivalente a”, con frecuencia se lee “igual a”, lo importante es no perder de vista lo que significa.

Una interpretación: dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma Cantidad.

93

He aquí ejemplos de dos casos muy importantes:

c) 43

43

=−− porque (−3)(4) = (−4)(3), en términos de nuestra interpretación de fracciones

equivalentes resulta que 43

−− ¡representa la misma cantidad que

43 !

d) De la misma forma: 4

343

−=

− porque (−3)(−4) = (4)(3), digamos que da lo mismo que

el “−” esté arriba o abajo, entonces a cualquiera de estas dos fracciones las podemos representar

de una misma forma, la usual es 43

− ; la diferencia entre esta expresión y las otras dos es que el

signo está a la altura de la raya de “quebrado”, como indicando que toda la fracción es negativa; insistimos: la tercera expresión puede representar por igual a cualquiera de la dos primeras.

ACTIVIDAD

Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes o no.

i) ii) iii) iv) v)

Ahora podemos definir el conjunto de “nuevos números” con que vamos a trabajar, se le llama el conjunto de las fracciones y se representa por F.

3 94 12

=5 202 8

− = −7 49

6 42−

=−

0 02 10

=0 08 3

=−

qp

qp

qp

qp

qp

qp

qp

qp

−=−

−=−

−=

−=

−− y también definimosy también

:nesObservacio

F es el conjunto de expresiones de la forma qp , siendo p y q números enteros y q ≠ 0

p es el numerador de la fracción y q es su denominador

Con frecuencia la primera línea se escribe en los libros como sigue, coméntalo con el profe:

F = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠∈ 0,, qqpqp Z

94

Regresemos a las fracciones equivalentes. En un ejemplo anterior vimos que 44 venía

representando una unidad (dividimos la unidad en cuatro partes y las tomamos todas), es claro que pasa lo mismo con todas las fracciones con numerador y denominador iguales; también se

mencionó que la fracción 12 se identificaría con 2 unidades; así que los números enteros se

pueden “disfrazar” de fracciones: De esta forma los enteros quedan como unas fracciones más, por esto se dice que el

conjunto Z está contenido en, o que es parte de F. Por lo demás cada una de estas fracciones es equivalente a muchas fracciones:

Ejemplos:

⋅⋅⋅−

=−

=−

=⋅⋅⋅=−

=−

=−

=−

36

24

12

48

36

24

12

⋅⋅⋅=−

=−

=−

=⋅⋅⋅=−

=−

=−

33

22

11

33

22

11

03

02

01

030

20

10

→⋅⋅⋅=−

=−

=−

=⋅⋅⋅===

133

22

11

33

22

11

→⋅⋅⋅=−−

=−−

=−−

=⋅⋅⋅===

⋅⋅⋅=−−

=−−

=−−

=⋅⋅⋅===36

24

12

36

24

12

Hemos resaltado dos casos por razones que se verán más adelante.

Lo que suele expresarse en la forma Z ⊂ F

Definición: Cada entero se va a identificar con una fracción como se indica enseguida

⋅⋅⋅−−−

⋅⋅⋅13

12

11

10

11

12

13

… -3 -2 -1 0 1 2 3 …

95

Recordemos también que hay dos formas de generar fracciones equivalentes a una

fracción dada: o bien multiplicando sus dos componentes por un mismo número o bien dividiendo ambos entre un mismo número:

En cada caso aplica la regla de los productos cruzados y verás la equivalencia. Por supuesto, solamente escribimos la misma expresión intercambiando las partes, con

ello queremos subrayar dos cosas:

- En el primer caso, tenemos una fracción qp , multiplicamos por n arriba y abajo y lo

que nos queda es una fracción equivalente a la original.

- En el segundo caso tenemos una fracción nqnp , si cancelamos n arriba y abajo

obtenemos una fracción que es equivalente a la original. Ejemplos.

i) ya que 3(10) = 5(6)

ii) ya que (− 3)(15) = (5)(− 9)

Para el segundo caso:

i) cancelamos y obtenemos ya que 6(5) = 10(3)

ii) cancelamos y obtenemos ya que –10(2) = 4(−5)

El segundo caso es la base de lo que se llama simplificación de una fracción. La idea de

simplificar una fracción “lo más posible” consiste en encontrar una fracción equivalente a ella con numerador y denominador lo más pequeños posible, dicho con precisión:

3 2 3 65 2 5 10

⋅= =

3 3( 3) 95 3(5) 15− − −

= =

6 3(2)10 5(2)

=6 3

10 5=

10 2(5)4 2(2)

− = −10 54 2

− = −

Teorema: En lo que sigue p, q y n son enteros, ni n ni q son 0, entonces:

nqnp

qp

= y también qp

nqnp

=

96

Ejemplos:

43

−no está en su forma irreducible por tener como denominador un número negativo. No

es difícil cumplir con el requisito del denominador positivo, basta multiplicar el numerador y denominador por −1, así se obtiene una fracción equivalente con la característica deseada.

43

)1)(4()1)(3(

43 −

=−−

−=

1510− no es una fracción irreducible porque los componentes de la fracción tienen al cinco

como factor común.

Para simplificar una fracción a su mínima expresión, procedemos de la siguiente manera: 1. Se factorizan el numerador y el denominador de la fracción en factores primos 2. Se eliminan los factores comunes a ambos componentes 3. Si el denominador es negativo, se multiplican numerador y denominador por -1

Ejemplos:

Definición:

Simplificar una fracción qp a sus mínimos términos o escribirla en forma irreducible,

significa hallar una fracción equivalente a ella con denominador positivo y tal que mcd(q,p ) =1

415

222532

830

−=××××

−=−

137

1)13)((1)7(

137

(13)(2)27

2614 −

=−−

−=

−=

−×

=−

2125

73225522

84100

=××××××

=

97

Más ejemplos con otra notación:

43

)1)(4()1)(3(

43 −

=−−

−=

31

)2)(3)(3()3)(2(

186

==

ACTIVIDAD

1. Escribe 3 fracciones equivalentes a cada una de las siguientes expresiones:

i) ii) iii) iv) v)

2. Comprobar que las dos fracciones de cada par son equivalentes:

i) ii) iii) iv v)

3. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes entre sí?

, , ,

4. Simplifica cada fracción a su mínima expresión:

i) ii) iii) iv) v)

RECTA NUMÉRICA Esta idea fue introducida para representar los enteros como puntos de una recta, y

ciertamente aún tenemos puntos disponibles para poner otros números; vamos a ocuparlos para las fracciones, en muchas partes de lo que sigue son un buen apoyo las imágenes geométricas. La presentación es la que ya usamos para los diagramas lineales, por ejemplo, vamos a imaginar que le ponemos una lupa a la región cercana a 0 y 1 para verla con más detalle, esto se ilustra en la

10 (2)(5) 25 (5)(1) 1

− = − = −

23

25

− 1010

91

05

2 2 y 3 -3

− 4 8 y 1 2

−−

0 0y 7 6

5 10y 3 -6−

6 -18 y 5 15

33 9

33 229 2

−−

2 332 9⋅⋅

2 332 29

++

5776

144504

−3964

872583964

87258180150

1 8 ( 2 ) (3 ) (3 ) 36 (3 ) ( 2 ) 1

= =

98

siguiente figura. Ahí representamos algunas de las fracciones que se encuentran entre 0 y 1, incluidos éstos como ejemplos, escribimos las que corresponden a los trazos medianos y pequeños y los resaltamos; pero ahora estamos ocupando cada punto para representar a una infinidad de fracciones, en efecto, estamos “metiendo” en cada punto todas las fracciones equivalentes entre sí, como ejemplo agregamos la última fila de fracciones.

¿Qué fracciones corresponden a los trazos más grandes?, échale lápiz. Más aún, échale imaginación y piensa en un trocito del trozo de recta que tomamos, por ejemplo al de la región en las cercanías del 3/8 y 4/8, ¿ya lo localizaste?, auméntalo como hicimos antes; ahora imagínalo dividido en unas diez partes iguales, ¿ya?; ahora toma una de esas partecitas y auméntala; ... ¿cuántas veces se podrá repetir éste procedimiento? Más adelante volveremos a esto.

II.1.2. ADICIÓN Y RESTA DE FRACCIONES

Una vez familiarizados con el conjunto de las fracciones, pasamos al siguiente nivel, es decir, decidir cómo conviene operar con las fracciones, pero antes una: Observación:

Hay buenas razones para decir que una moneda de $20 y un billete de $20 no son iguales: no tienen la misma forma, ni el mismo color, etc.; ni siquiera sirven exactamente para lo mismo, el billete no sirve en las máquinas tragamonedas ni para echar “volados”, etc. Sólo para ciertos intercambios mercantiles da lo mismo uno que el otro, dicho de otro modo, en esas circunstancias son “equivalentes”; algo así pasa con las fracciones equivalentes, tienen sus diferencias pero para ciertas cosas da lo mismo una u otra, en cuanto que representan “la misma cantidad”, con esta idea en mente establecemos el siguiente postulado que será de la mayor utilidad:

Ahora vamos sobre la adición de fracciones, pero distinguiremos dos casos, cuando las

fracciones tienen el mismo denominador y cuando tienen denominadores diferentes.

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1 0/1 2/16 ¼ 6/16 ½ 10/16 ¾ 14/16 16/16

unidad

Postulado S (inicial de sustitución) En cualquier expresión que contenga fracciones, cualquiera de ellas se puede cambiar

por una equivalente a una a sí misma.

99

Fracciones con el mismo denominador:

A estas alturas todos ustedes saben sumar fracciones, unos más otros menos, partamos de

eso: calcula en cinco segundos las dos siguientes sumas:

727

725)

917

725) ++ ba

casi seguramente sólo calcularon con tal rapidez una suma, la segunda; y no hay que pensar mucho para ver que el procedimiento que efectuaron mentalmente fue el siguiente:

7212

7275

=+

La relativa naturalidad con que se hizo esta operación nos anima a hacer la siguiente

Ejemplos:

1225

121510

1215

1210

=+

=+

1017

108)(9

108

109 −

=−+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−

Es muy fácil comprobar que esta adición es asociativa, así podemos hacer sumas como:

166

69

615

69

68

67

69

68

67

69

68

67

−=−

=+−

=+−

+−

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−

Ejemplos (no se requiere que apliques explícitamente la asociatividad):

i) ii) iii)

ACTIVIDAD.

Realiza las siguientes sumas:

i) ii) iii) iv)

Fracciones con denominadores distintos:

3 (-1) 2+ = 7 7 7

8 5 3 1+ = - =-9 9 9 3

−5 (-3) (-2) -10 5+ + =

4 4 4 4 2− −

=

8 3+11 11

8 3 ( 2)+7 7 7− −

+18 (-13) ( 12)+5 5 5

−+

18 (-3) ( 12)+15 15 15− −

+

Definición:

Si q

rpqr

qp

qp +

=+ entonces ,fraccionesson qry

100

Empecemos con un ejemplo sencillo: 25

37

+

Como tenemos que ajustarnos a la definición de suma de fracciones adoptada, la idea es buscar una fracción que “valga lo mismo” que la primera y otra que “valga lo mismo” que la segunda, de modo que la suma de ellas “valga lo mismo” que la suma de las originales pero de tal forma que las nuevas tengan un mismo denominador.

Esto por supuesto nos debe recordar la equivalencia de fracciones, por ejemplo, por

tanteo encontramos, respectivamente: 1230y

1228 , primero comprueba que son respectivamente

equivalentes a las originales, ahora ocupamos el Postulado S, según éste podemos cambiar las originales por equivalentes y podemos escribir.

629

1258

123028

1230

1228

25

37

==+

=+=+

48476

43421

876 definición

esequivalent

originales

Of course, muchos de ustedes habrán usado un camino más fácil: la primera fracción

equivalente se puede obtener multiplicando sus componentes por 2 (el denominador de la segunda fracción); la segunda fracción equivalente resulta de multiplicar los elementos de la segunda fracción por 3 (denominador de la primera fracción), vamos a escribir esto paso a paso:

629

61514

235327

237

25

37

=+

=⋅

⋅+⋅=

⋅⋅

+⋅⋅

=+

48476

43421

876 definición

esequivalent

originales

533

22

así obtenemos el mismo resultado que antes.

Para no repetir el mismo rollo cada vez que se quiera sumar, observemos las secciones de la expresión anterior que tienen llave en la parte superior:

48476876 definiciónoriginales

235327

25

37

⋅⋅+⋅

=+ ,

Basta escribir simbólicamente esto, para obtener el siguiente teorema; la demostración es

completamente semejante a lo hecho en el ejemplo anterior.

Ejemplos

Teorema:

Si sq

rqspsr

qp

sr

qp

⋅⋅+⋅

=+entonces ,fraccionesson y

101

1513

150130

1504090

5.305.83.30

308

53

==+

=+

=+

285

287)(12

7.41)7(3.4

41

73

41

73

=−+

=−+

=−

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

49

96216

9672)(144

6.1612)(6(16)9)(

1612

69

−=−

=−+−

=−+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

Otros ejemplos:

i) ii) iii)

(¿Qué se podrá decir del neutro y del inverso aditivo?).

Pero tiene el inconveniente que sólo permite sumar dos fracciones. ¿Qué hacer entonces

cuando tenemos algo como: 94

61

43

++ o cadenas aún más largas de sumas?, la respuesta es fácil,

empleamos la propiedad asociativa y sumamos de dos en dos, efectuando las operaciones en cualquier orden, pero no resulta cómodo; hay una forma más usual basada, claro, en la equivalencia y en el Postulado S, lo comentaremos con la expresión anterior.

- Buscamos cualquier número divisible entre 4, 6 y 9, es decir cualquier múltiplo

común de éstos, uno fácil de hallar es: (4)(6)(9) = 216, pretendemos construir tres fracciones respectivamente equivalentes a las tres dadas y que tengan todas como denominador a 216.

- ¿Cómo saber por qué número hay que multiplicar los componentes de ¾ para que en el

denominador resulte 216? Claro, dividiendo 216 entre 4: 216 ÷ 4 = 54, en efecto,

216162

544543

=⋅⋅ . Para no variar, ¿cómo sabemos por qué número hay que multiplicar los

componentes de 1/6 para que el denominador resulte 216? Pues sí, dividiendo 216

entre 6: 216 ÷ 6 = 36, ciertamente: 62136

366361

=⋅⋅ . ¿Se va entendiendo la idea?, de esta

forma podemos escribir:

4 1 4 2 5 1+5 2 5 2

⋅ + ⋅=

⋅5 3 5(4) 3(7)+

7 4 7 4− − +

=⋅

8 (-7) 3( 8) 9( 7)+9 3 9 3

− − + −=

Esta forma de sumar es bastante buena, entre otras cosas se puede comprobar con facilidad que tiene todas las propiedades vistas en la parte de números enteros.

102

{soperacione hacemos

suma de definición

S Postuladoy iaequivalenc

216

294

216

244361543

216

244

216

361

216

543

249

244

36

36

6

1

544

543

9

4

6

1

4

3=

⋅+⋅+⋅=

⋅+

⋅+

⋅=

⋅+

⋅+

⋅=++

4444444 84444444 76

44444 344444 21

- Insistimos, lo único especial de 216 es que es divisible entre cada denominador, ¿por

qué? Porque así se puede hacer cada división para encontrar el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción, así que en lugar de 216 pudimos tomar cualquier otro con tal característica.

- Si tomamos la primera y cuarta secciones de la expresión anterior obtenemos otra

regla simplificadora, veamos:

Esta forma de operar se basa en encontrar un mismo denominador para todas las fracciones dadas, al que se le llama común denominador, por eso al procedimiento se le puede llamar “método del común denominador”, por supuesto, usualmente resulta menos engorroso usar el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir: mcm(4, 6, 9) = 36, en efecto:

3649

36446193

94

61

43

=⋅+⋅+⋅

=++

Este resultado no es igual al obtenido antes pero es equivalente a él (sacando sexta).

En resumen, las sumas de fracciones se pueden hacer hasta de tres formas: con la definición, con el teorema de la suma de fracciones y con el método del común denominador, aunque estrictamente hablando la definición sólo es aplicable en los pocos casos en que las fracciones originales tienen el mismo denominador, por ejemplo:

Aplicando la definición:

Cualquier múltiplo común de los denominadores 4, 6 y 9

numerador de resultado de dividir 216 cada fracción entre cada denominador

216

244361543

9

4

6

1

4

3 ⋅+⋅+⋅=++

1217

2434

24430

244

2430

61

45

==+

=+=+

103

Aplicando el teorema:

Aplicando el método del común denominador:

Usaremos el mínimo común denominador, pero recuerda que se puede usar cualquier común denominador.

314

3131523

11

35

121

352 =

⋅+⋅+⋅=++=++

En este caso hemos hecho uso de la definición que asocia a cada entero una fracción:

1nn = , recurso que emplearemos con frecuencia.

Pero la ventaja del método del común denominador es que se aplica con cierta facilidad a cualquier cadena de sumas.

Ejemplos

511

4088

4010212086

42

21

56

==⋅+⋅+⋅

==++

3667

36122827

31

97

43

=++

=++

2438

244640

24)4(1)3(2)8(5

61

82

35 −

=−++−

=−++−

=−

++−

Fracciones mixtas

Como se sabe, son aquellas fracciones que resultan de sumar un entero y una fracción

(propia), por ejemplo, para sumar523 + se tiene que poner su ropaje de fracción al entero, que es

13 , así escribimos:

517

52

13

523 =

+=+=+

5215 , alguna ahorrativa persona decidió no

escribir el signo + de la operación inicial y obtener la parte resaltada con el esquema que se indica a continuación, si además esas operaciones se hacen mentalmente se obtiene el resultado de inmediato:

1217

2434

24430

641465

61

45

==+

=⋅

⋅+⋅=+

1217

12215

12135

61

45

=+

=⋅+⋅

=+2

104

→+523 la expresión

523 se llama fracción mixta.

Ejemplos:

ACTIVIDAD

1) Dadas las siguientes fracciones mixtas, escríbelas en forma de fracción impropia.

i) ii) iii) iv)

2) Dadas las siguientes fracciones impropias escríbelas en forma de fracción mixta.

i) ii) iii) iv) v)

3) Realiza las siguientes operaciones.

i) ii) iii)

LA RESTA

En lo que a la resta de fracciones se refiere, hay varios caminos que se pueden seguir, pero para ahorrar tiempo tomaremos uno que repite paso a paso lo que hicimos en la suma, los resultados son:

5 1 5 5 + 23 2 3 2

= +7 3 7 31+ 4

5 7 5 7− −

= +

357

576

1122

2163

72

173

−115

−112

910212

3 36 24 6

+ +5 2 3 12 1

10 5 4 2−

+ + +1 ( 3) 2 ( 1)5 29 18 3 2

− −+ + +

Definición:

Si q

rpqr

qp

qp −

=− entonces ,fraccionesson qry

+

×

523

517

105

Calma, calma, vamos demasiado rápido, igual que con las otras clases de números, la

resta de fracciones no es asociativa, así que en casos como el ejemplificado hay que hacer algunas afinaciones:

- La última cadena de operaciones recuerda a la suma algebraica de enteros, la

definición aquélla se extiende palabra por palabra a estos casos. - Como antes, aquí se conviene en operar de izquierda a derecha. - Igualmente, cuando haya signos adjuntos los reducimos a uno, mira el siguiente

ejemplo:

Paso (a): por definición 45

45 −

=− , también pudimos poner el signo - al 4,

pero es muy conveniente dejar siempre positivos los denominadores. Paso (b): teorema sobre la resta anotado arriba Pasos (b) y (c): la suma algebraica de fracciones de hecho se transforma en una suma algebraica de enteros en los numeradores.

Ejemplos:

6 1 6 2 1 7 12 7 57 2 7 2 14 14

⋅ − ⋅ −− = = =

9 10 5 9 10 5 6 34 4 4 4 4 2

− − − −− − = = =

Teorema:

Si sq

rqspsr

qp

sr

qp

⋅⋅−⋅

=−entonces ,fraccionesson y

Ejemplo del método del común denominador:

365

36446193

94

61

43

=⋅−⋅−⋅

=−−

(a) (b) (c)

1223

12)15(8

43)5(342

45

32

45

32

=−−

=⋅

−⋅−⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

106

544

524

57320

5)1(7)1(3)5(4

57

534

57

534 ==

+−=

+−=+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

ACTIVIDAD

1) Realiza las siguientes sumas.

i) ii) iii) iv)

v) vi) vii)

2) Resuelve los siguientes problemas.

i) Si se juntan tres placas de acero de espesor respectivamente, ¿qué espesor

se obtiene?

ii) Una calle tiene metros de longitud y otra metros de longitud. ¿Cuántos

metros tienen las dos calles juntas y cuanto le falta a cada una de ellas para tener 80 metros?

iii) Tres obreros tienen que tejer 200 metros de tela. Uno de ellos teje metros y otro

teje metros. ¿Cuántos metros tiene que tejer el tercero?

II.1.3. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

9 1 3 9 5( 1) 27 ( 5) 27 5 32 225 3 5 3 15 15 15 15

⋅ − − − − +⎛ ⎞− − = = = = =⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

3 710 10

+2 76 8

+1 3 2 42 4 5 3

− + −3 745 5

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

3 5 14 5 34 6 2

− + −3 32 47 14

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 1 5 14 8 6 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 3 7, , 4 8 16

2503

5458

2537

2257

1457

28114

2816)(98

1428)(2)(147

148

27

148

27

==−−

=⋅

−−⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

207

6021

60244542

602445)(42

606(4)3)(15)(7)(6)(

156

43

107

−=

−=

−+−

=−−−−

=−−−−

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−

107

Nuevamente tenemos que definir una operación binaria, así que otra vez la pregunta:

¿cómo multiplicar fracciones?, una forma simple de obtener una respuesta es ensayar con fracciones “impropias” cuyo resultado se conozca de antemano y buscar ahí una regla, por ejemplo:

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

==⋅⋅

=⋅→⋅

444 3444 21

444 8444 76

enteroen sconvertimoy operamos

enterosson fracciones éstas

20120

1145

20obtener para originales scomponente loscombinar cómo buscamos Ahora2045

14

15

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

===⋅⋅

=⋅→⋅

818

324

1346

8 dé que originales scomponente los den combinació alguna Buscamos842

14

36

mossimplificay operamos

enterosson fracciones éstas

444 3444 21

44 844 76

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

===⋅

=⋅→⋅

818

1296

34128

originales elementos los den combinació consabida la Buscamos842

312

48

mossimplificay operamos

enterosson fracciones éstas

44 344 21

4484476

En cada llave comparamos las primeras columnas, por ejemplo, en la segunda:

1346

14

36 que así 8, obtiene se ambasen

1346y

14

36

⋅⋅

=⋅⋅⋅

Veamos si hemos observado lo mismo, los ejemplos hechos sugieren la siguiente:

Ejemplos.

Definición:

Si sqrp

sr

qp

⋅⋅

=⋅qp entonces fraccionesson

sry

108

i) ii) o estos otros iii) iv)

Una aplicación especial de la multiplicación es la de calcular una fracción de una

cantidad, con frecuencia se cree que esto se hace por medio de la división (que es la operación que sigue), pero propiamente hablando es algo que se hace multiplicando. Ejemplos:

¿Cuánto es 21 de 8? Pues 4, claro, pero lo que nos interesa es determinar la operación

con fracciones que arroja este resultado, pues es la siguiente:

414

28

18

218

21

===⋅=⋅ , así que multiplicamos.

Este rodeo puede parecer inútil, pero ahora mismo veremos que conforme se van

complicando las cantidades se va notando su conveniencia.

¿Cuánto es 21 de

41 ? Es:

81

41

21

=⋅

¿Cuánto es 2317 de

359 ? Es:

805153

359

2317

=⋅

Una aplicación:

Luis decide cobrar $ 3000 por realizar la compostura de un automóvil y solicita le den

como adelanto los 43 de esa cantidad, ¿cuánto le tienen que dar?

Para resolver este problema necesitamos preguntarnos ¿cuánto es 43 de 3000?.

Como ya vimos la operación que arroja este resultado es la siguiente: Por supuesto, le tendrían que dar $2500 de adelanto.

ACTIVIDAD

Una buena señal de que la definición es satisfactoria es que tiene todas las propiedades que tiene la multiplicación de los números vistos antes

218

218

34

72

34

72

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

25

410

45

12

452 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

103

206

52

43

==⋅

157

32

53

67

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅−

25004

9000300043

==⋅

109

Efectúa las siguientes operaciones

Resuelve los siguientes problemas.

i) En una escuela hay 324 alumnos donde el número de alumnas es 181 del total.

¿Cuántos varones hay en la escuela?

ii) Una persona decide repartir su capital de la siguiente manera: 31 para su esposa,

103 para su hija y el resto a partes iguales para sus otros cuatro hijos, ¿cuánto le

corresponde a cada uno de los herederos?

II.1.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES

Para esta operación podíamos proceder como en la multiplicación, pero vamos a tener que ponerle un poco de teoría al asunto porque es un tema central en esta unidad; es donde hallaremos una forma de resolver un problema que venimos arrastrando desde el principio, aquél de no poder efectuar cualquier división de enteros, ni modo, la vida es dura. Para esto copiaremos las ideas que en la parte de enteros nos permitieron resolver cualquier resta de naturales y de ganancia cualquiera de enteros (y fue mayor la ganancia).

La clave en el caso de los enteros fue el teorema de la resta:

m – n = m + (−n)

Para llegar a esto requerimos: 1. Definir la resta, sólo tomamos la que conocemos desde la primaria (la forma en que se

comprueba la resta). 2. Ya habíamos postulado y definido lo relativo a los inversos aditivos: la suma de una

pareja de inversos es el neutro aditivo.

m + (−m) = 0

Inversos aditivos Neutro aditivo

53

67

⋅− ( )2

34

513 −⋅ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−

654

52

112

110

3. Notamos que la resta se podía expresar mediante su operación opuesta, la suma.

Calcaremos esto para la división: a. Empezamos definiendo la división para fracciones (como se comprueba la división de

naturales desde la primaria):

qp

ut

ut

sr

qp

=⋅=÷sr que significa

Ejemplo: 35

84140

1235

74 porque

1235

74

35

==⋅=÷ .

Lo que acabamos de hacer sería de lo más engorroso, el cociente tendría que encontrarse

por tanteo (como lo hacíamos con los enteros 10÷5 =¿?), después multiplicar y luego simplificar el resultado (sacamos 28 ava), no se pierda de vista que la importancia de esta página es teórica, no práctica.

b. Vamos por partes: ¿Cuál es el neutro multiplicativo?: una fracción que multiplicada por otra nos de la misma

o de perdida una equivalente, claro, la primera que se nos ocurre es 11 pero recordemos que

⋅⋅⋅==33

22

11 y otras más, de hecho cualquiera de éstas junto, con el Postulado S sirve para lo que

pedimos (por eso subrayamos que tomaremos un neutro, ¡hay muchos!), por ejemplo:

321mitad sacamos

37

614

22

37

==⋅ ,

como sea ya tenemos un buen número de neutros multiplicativos.

Resta transformada en suma

m – n = m + (−n)

Definimos los inversos multiplicativos: dos fracciones son inversos multiplicativos si su producto es un neutro multiplicativo.

111

Ahora sí, hay que buscar parejas de fracciones cuyo producto sea un neutro

multiplicativo, cosa que afortunadamente resulta fácil.

ACTIVIDAD

Halla un número que multiplicado con el número dado dé como resultado el neutro multiplicativo. i) ii) iii) iv) v)

c. Finalmente copiamos el teorema de la resta para escribir lo que bautizaremos como el

teorema de la división (si quieres demostrarlo no resulta difícil).

La misma fracción neutro multiplicativo

qp

rqrp

rr

qp

=⋅⋅

=⋅

Teorema: Para cada fracción

éste) a eequivalentalgún (o 11 que tal existe ,0 , =⋅≠

pq

qp

pqp

qp

A las fracciones pq

qp y se les llama inversos multiplicativos, uno del otro.

Se cambia resta por suma

Se cambia n por su inverso aditivo

m – n = m + (-n)

Teorema de la división La división se cambia por multiplicación

rs

qp

sr

qp

⋅=÷

Cambiamos sr

por su inverso multiplicativo

45

78

−13

52

−51

112

Esta forma de dividir será reconocida por la mitad de los estudiantes, la otra mitad recordará una abreviación de ella: la de las multiplicaciones en diagonal

La forma de dividir que hemos elaborado puede efectuarse en todos los casos, es decir, el

conjunto F de las fracciones es cerrado bajo la división y, como los enteros son fracciones “impropias”, entonces con ayuda de las fracciones puede efectuarse cualquier división de enteros, que era uno de los propósitos que queríamos conseguir.

Ejemplos:

1235

27

65

72

65 −

=⋅−

=÷− , ya en la rutina es preferible multiplicar las diagonales.

248

41

18

14

1848 ==⋅=÷=÷ , este rodeo no puede ayudar para ver como funciona la

operación que hemos armado.

73

71

13

17

1373 −

=⋅−

=÷−

=÷−

Observación:

En el tercer ejemplo, 73− no debe leerse “-3 entre 7” sino “-3 sobre 7” y por lo pronto no

es una división, es el cociente de una división, como ya se ha dicho muchas veces, es el número que multiplicado por 7 da −3:

división. una deón comprobaci la es esimplement ,3737 porque

73

37 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ejemplo:

Se tienen 450 litros de jugo de naranja y se desea envasarlos en botellas de 43 de litro de

capacidad, ¿cuántas botellas serán necesarias para envasar esta cantidad?

Esto lo podemos expresar como sigue: 6003

180034450

43450 ==×=÷

Es decir necesitamos 600 botellas.

rqsp

sr

qp

⋅⋅

113

Un problema más:

Un ciclista recorre 4335 km en

212 horas, ¿cuál es su velocidad promedio?

Aquí podemos recurrir a la expresión tdv = que es equivalente a tdv ÷= , como

queremos la velocidad, solamente tenemos que sustituir valores, así que: Que simplificando nos da:

ACTIVIDAD

1) Efectúa las siguientes divisiones.

i) ii) iii) iv)

2) Resuelve los siguientes problemas.

i) Un tanque tiene una capacidad de 700 litros pero se encuentra vacío y cerrado su desagüe. Si se abren tres llaves al mismo tiempo y una de ellas vierte 36 litros en 3 minutos, otra 48 litros en 6 minutos y la tercera 15 litros en 3 minutos, ¿en qué tiempo se llenará?

ii) ¿Cuántos trozos de madera de metro de longitud se pueden obtener de una tabla de 24 metros de longitud?

iii) Un obrero tiene que realizar un trabajo en 8 días, ¿qué parte del trabajo puede hacer

en 1 día , en días, en ?

20286

25

4143

212

4335 =÷=÷=v

hkmv

10314=

41

21

÷ 34

75

÷− )92(

97

−÷−325

214 ÷−

41

431

213

114

II.1.5. COMBINACIÓN DE OPERACIONES CON FRACCIONES

Hemos visto que si en una cadena de operaciones hay adiciones, restas y multiplicaciones,

se efectúan primero éstas últimas, se dice que son de mayor nivel que aquéllas y con esto se entiende que se deben efectuar primero, a menos que haya símbolos de agrupación que indiquen otra cosa. En cambio las adiciones y las restas son del mismo nivel y el acuerdo es que se efectúen en el orden en que aparezcan de izquierda a derecha (la suma algebraica está basada en esta regla, pero su uso es un tanto diferente); la multiplicación y la división también son del mismo nivel y se ajustan a la misma regla. Resumiremos en la siguiente regla de jerarquía:

Ejemplos:

Realiza las operaciones indicadas:

i). 81

243

2469

123

83

1212

83

121

61

83

==−

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

ii)

1201267

30181

47

301180

418

301

16

41

12

3016

412

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

iii) 288295

512

2459

512

24757856

562

825

413

37

=÷=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

Problemas: iv) Tres obreros tienen que tejer 200 metros de tela. Uno teje 53

72 metros y otro

3415

metros. ¿Cuánto tiene que tejer el tercero?

Nivel 1: + -

Nivel 2: · ÷ J1. Las operaciones de mayor nivel se efectúan antes que las de nivel inferior

J2. Las operaciones del mismo nivel se efectúan en el orden en que están escritas, de izquierda a derecha

Una jerarquía de operaciones

115

Solución: Considerando las condiciones iniciales del problema, se tiene:

23865146

23834813

2381278747600

23810512682200

3415

7373200

3415

7253200

=

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

Luego, el tercer obrero tejerá: 14623865

v) ¿Cuál es la velocidad de un automóvil que en 5372 horas recorre 202

376

kilómetros?

Solución: Considerando las condiciones iniciales del problema, se tiene:

Como horakmsv

tdv 40

1877480

18737748037

37187

377480

3725

376202, ==

××

=÷=÷==

Luego, la velocidad del automóvil es: 40

horakms

ACTIVIDAD:

Realiza las operaciones indicadas:

i) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

201

57

35

41

601

307

ii) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

127

421

326

81

27

iii) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

45

58

81

43

21

Problemas:

iv) ¿Cuántas varillas de 41 de metro de longitud se pueden obtener de una varilla de

125 metros de largo?

116

v) Si una llave vierte 343 litros y otra 2

51 litros de agua por minuto, ¿en cuánto tiempo

llenarán un depósito de 5921 litros de capacidad?

vi) Si una cuerda de 40 metros de longitud se corta en tres partes iguales de 532 metros de

longitud, ¿cuánto falta a lo que queda para tener 3183 metros?

II.1.6 ORDEN DE LAS FRACCIONES

Como antes, el propósito es establecer una regla para determinar cuándo una fracción es menor que otra, con la que podamos poner a las fracciones en fila de menor a mayor.

Para hablar con mayor fluidez haremos un par de definiciones:

Se sabe que, por ejemplo: 4

343

43

43

−=

−==

−−

43- quey , de aquí que:

En cuanto al orden, mantendremos la idea básica adoptada desde los naturales: una

fracción es menor que otra si se le puede adicionar una fracción positiva de modo que la suma sea la otra.

Si intentas aplicar esta idea para determinar cual de las fracciones 1415

1819 y es menor

verás que no es fácil, así que su uso consiste sólo en proporcionar una base para demostrar teoremas que permitan responder más fácilmente preguntas como aquélla, no los demostraremos, pero uno de ellos dice: una fracción es menor que otra si la diferencia de ésta última menos aquélla es positiva. Esta opción ya la hallamos en los enteros y resulta más fácil de manejar que la anterior.

Sin embargo es aún más conveniente el siguiente teorema que hace buena pareja con la equivalencia:

Definiciones: Si el numerador y el denominador de una fracción son del mismo signo, se dice que es positiva; si son de signos diferentes será negativa. Si el numerador es cero, la fracción no es positiva ni negativa

Teorema:

rqspsr

qp

sqsr

qp

⋅<⋅< que significa

entonces positivos, y con ,fraccionesson y Si

También se puede escribir q·r > p·s

117

¡Cuidado con la forma de escribir esto!, digamos que el producto menor debe ser el que

contiene al numerador de la fracción menor. Además, para comparar dos fracciones que no tengan sus denominadores positivos antes, hay que cambiarlas por otras equivalentes que tengan esa característica (recurriendo al Postulado S). Ejemplos:

En los siguientes ejemplos vamos a investigar qué fracción es mayor o menor, de acuerdo al teorema:

i) 67y

54

Solución:

Como (4)(6) < (5)(7) entonces 67

54

<

ii) ¿Es cierto que56

23

< ?.

Solución:

Vemos que (3)(5) no es menor que (2)(6), entonces tampoco es cierto que 56

23

< ,

en otras palabras, lo que realmente ocurre es que 56

23

> .

iii) 43

21

<−

. Si intentamos aplicar el teorema se obtiene que (1)(4) no es menor que

(-2)(3) y concluiríamos que es falso que 43

21

<−

. ¡Pero lo razonable es que la

fracción negativa sea menor que la positiva! Lee el teorema, resulta que no se aplica a éste caso, primero hay que quitar el “−” del denominador, así que cambiamos la pregunta

original por esta otra: 43

21

<− , donde en efecto: (−1)(4)<(2)(3).

iii) El profesor Moy tenía $60.00 y gastó $ 18.00. ¿Qué parte de su dinero gastó y qué parte ahorró?, ¿cuál de las partes en mayor? Solución:

Gastó: 103

00.60$00.18$

= Ahorró: 107

00.60$00.42$

= Por lo tanto107

103

<

iv) Cuando vendo algo por $24.00 y éste me había costado $16.00 ¿Qué parte del costo es la ganancia, y qué parte de la venta es esa ganancia? ¿Cuál parte es mayor?

Solución:

Del costo: 21

00.16$00.8$

=

118

De la venta: 31

00.24$00.8$

=

Comparando ambos resultados:

31

21

>

ACTIVIDAD: Dadas las siguientes fracciones, investigar cuál es mayor:

i) 74y

83

ii) 101y

203

iii) Si te deben las 53 de $500.00 y te pagan las

32 de $300.00 ¿Qué parte de lo que

te debían, te pagaron y qué parte te adeudan? ¿Qué parte es mayor, lo que te pagaron o lo que te adeudan?

II.1.7. FRACCIONES Y FRACCIONES DECIMALES

Vamos otra vez a las fracciones equivalentes, partimos de la siguiente figura:

Hay varias formas de representar la parte sombreada, dependiendo de las divisiones que se tomen en cuenta:

Considerando sólo las divisiones verticales continuas: 52

Considerando además las verticales punteadas: 104

Agregando la horizontal punteada: 208

Digamos que la división más gruesa es la primera y de ahí avanzamos a otras más finas, bien, la idea de las fracciones decimales es que siempre se admita como división más gruesa la de diez partes, que en el ejemplo es la segunda; y que si se quiere otra más fina no se valga pasar a una como la que está en tercer lugar, sino que se salte hasta la de 100 divisiones; que la inmediata siguiente más fina sea la de 1000 divisiones, y así sucesivamente, cada nueva división multiplica por 10 la anterior. De las tres fracciones anteriores sólo la segunda es una fracción decimal; si

119

tuviéramos paciencia para ello podíamos representar la parte sombreada con otra fracción

decimal que sería 10040 ; la que le sigue a ésta y también serviría, solo que ni con paciencia la

representaríamos, es 1000400 . Por comodidad para escribir los denominadores se usan exponentes

para no escribir tantos ceros, recuerde que el exponente coincide con el número de ceros, por ejemplo:

100 = 102 1000=103 1000000=106 100000000=108

Por lo tanto, lo que distingue a una fracción decimal de otras que no lo son es su

denominador, tiene que ser una potencia de 10. A alguien se le ocurrió otra forma de representar fracciones decimales que resulta muy

cómoda, para ello se usa la siguiente

Ejemplos:

510852 = 0.00852 (el cero a la izquierda del punto puede omitirse).

Tanto 510852 como 0.00852 se llaman fracciones decimales, para distinguir ambas formas

no hay inconveniente en utilizar alguna expresión usual, a la primera podríamos llamarle “forma de ‘quebrado’” y a la segunda “decimal con punto”.

A la inversa: 41.23 = 2104123

Definición:

Una fracción de la forma n10p , donde p es un entero y n es un natural, se llama fracción

decimal. También se admite como tal a una de la forma 1p , para mantener el modelo

aceptaremos que 100 = 1.

Regla P (inicial de punto) Una fracción decimal puede representarse escribiendo su numerador y separando sus cifras con un punto, llamado punto decimal, de tal forma que a su derecha quede un número de cifras igual al exponente que tiene el 10 en el denominador. Si las cifras no fueran suficiente, se completan con ceros escritos entre el punto y las cifras disponibles.

120

Ejemplos: Escribir en notación decimal:

i) 9.0109

= ii) 43.010043

= iii) 005.01000

5= iv) 0017.0

1000017

=

Escribir en forma de fracción:

i) 220.431 = 310220431 ii) 14.06 = 210

1406 iii) 0.87645 = 510

87645

ACTIVIDADES:

Escribir con notación decimal:

i) 1000

24 ii) 10

187 iii) 10000

1

Escribir en forma de “quebrado”:

iv) 1.15678 v) 0.0015 vi) 2.00016

SUMA DE DECIMALES CON PUNTO

Las fracciones decimales son, claro, fracciones, lo que quiere decir que se operan como ya hemos visto; pero una vez escritas en la forma con punto habrá que encontrar las respectivas formas de hacer operaciones. Una opción es dar por hecho que ustedes ya saben cómo hacerlo, de cualquier manera incluiremos algunas ideas al respecto, por lo pronto para la suma, va un ejemplo usando sólo lo que ya hemos justificado.

4484476484764444 84444 76 forma otra la a quebrado'' de

3

rdenominadocomún con suma

3

quebrado'' a puntocon notación de

23 913.2102913

102510403

10251

1040351.2403.0 ==

+=+=+

Ahora bien, ese resultado se obtiene si sumamos como se suman enteros, cuidando que al

acomodar los sumandos en columnas queden alineados los puntos decimales y que en la misma línea quede el punto en la suma:

913.251.2403.0

121

Ya conociendo la suma podemos relacionar las dos escrituras decimales:

44444444 844444444 76

4444444444444 84444444444444 76

44444444444 844444444444 76

44444444 844444444 76444 8444 76

q

p

qn

pn=

+++×+×+×

×+

×

×+

×+

××+

××

=+×

+×+×+×+×+×==

=

=

310

7210

0110

1010411002102

310

7

10210

10021010

2101310

3104310

310100310

3102102

310

7310

100310

2101310

3104310

4100310

5102

310

71002101310441005102310

204107107.204

regla

paso siguiente el ecómodament másefectuar para útil escritura una

fracciones de suma

numerador del decimal desarrolloP regla

En conclusión, tenemos una extensión de la notación desarrollada del sistema decimal:

204.107 = 321

012

107

100

101104100102 +++×+×+×

Ejemplo:

10000

81000

7100

3106107102 27.6378 01 ++++×+×=

Ejemplo:

Comprueba utilizando notación desarrollada con base 10 que:

27.6378 = 2 × 101 + 7 × 100 + 10000

81000

7100

3106

+++

ACTIVIDAD:

Utilizando notación de base 10 desarrollada, comprueba que:

i) 235.172 = 2 × 102 + 3 × 10 + 5 × 100 + 1000

2100

7101

++

ii) 0.0001 = 10000

11000

0100

0100

+++

122

CONVERSIÓN DE FRACCIONES A FRACCIONES DECIMALES

Tomemos por ejemplo las fracciones 209,

257,

53,

43,

21 , es claro que no son decimales,

¿por qué?, sin embargo es posible hallar fracciones decimales equivalentes a ellas, en efecto, si sólo debemos obtener abajo el famoso 10 con algún exponente, entonces:

a) 5.05251

==⋅⋅

=105

21 , resaltamos la fracción original y la decimal equivalente

b) 75.52

5323

22

2

2 ==⋅

⋅==

10075

43

sólo multiplicamos arriba y abajo por 25, así que puedes saltar el rodeo de los dos pasos intermedios, los escribimos para observar algo más adelante, resaltamos la fracción original y la decimal equivalente.

c) 6.02523

==⋅⋅

=106

53

d) 225.02540

259552

5952

923

2

3 ==⋅

⋅=

⋅⋅⋅

=⋅

=1000225

409

e) ¿?32

767

=⋅

=

f) ¿?2117

1915419

=⋅⋅

=

ACTIVIDAD:

Convertir las siguientes fracciones comunes a fracciones decimales aplicando el criterio dado anteriormente:

i) 53

ii) 207

iii) 41

Observaciones:

- Advierte que estamos obteniendo fracciones decimales como 0.5, 0.75, 0.6, etc. sin

nada parecido a la división, sólo con lo que hemos visto. - En los ejemplos (e) y (f) no hay forma de obtener una fracción decimal equivalente a

la fracción dada.

123

- Ahora es cuando necesitamos los pasos intermedios que antes podías saltar, descompusimos los denominadores en sus factores primos: por un lado, puedes notar que eso nos ayuda a saber por qué número hay que multiplicar arriba y abajo; pero más importante aún, los ejemplos ilustran el siguiente

Así que si nos ponemos a escribir sin mayor cuidado fracciones, la gran mayoría de ellas

no tendrán representación decimal.

Observación: Hasta aquí siempre que hemos hablado de división, nos hemos referido a algo que

podemos llamar con más propiedad división exacta:

x ÷ y = z significa que y ⋅ z = x

así la diferenciaríamos de la llamada división con residuo por ejemplo:

xzy delugar en general,en 35211311

205353 =⋅=+⋅=+⋅→ xrzy

No nos detendremos a justificar esta operación ni cómo se adaptó a la división de

decimales con punto, pero retomaremos el hecho de que sabemos que Aunque no demos la justificación, recordemos las reglas para dividir decimales con

punto:

Teorema: Sólo se pueden expresar como fracciones decimales aquellas fracciones cuyo denominador tiene como factores primos exclusivamente: 2, 5 o ambos. Subrayamos, si además de estos números aparecen otros primos en el denominador, no será posible la expresión en forma decimal

La división con residuo es otra forma de transformar fracciones en fracciones decimales, cuando esto es posible

Procedimiento de la división con residuo: 1. Se multiplica el divisor y el dividendo por la potencia que convierta al dividendo en

entero. 2. El punto decimal del cociente se coloca alineado con el punto decimal del divisor. 3. Se efectúa la división con residuo tal como ésta se realiza con números naturales cuando

esta división es posible (cuando es exacta, se acostumbra decir).

124

Ejemplos, a la vez de división y de conversión de una fracción en fracción decimal.

75.04375.0

02000.34

43

=→→

Ejemplos:

Insistiendo en la conversión de una fracción a fracción decimal, se tiene:

52 →

4.0

0205 → 4.0

52

=

207 → 20

35.0

010070 → 35.0

207

=

ACTIVIDAD:

Hallar la fracción decimal equivalente utilizando a la vez la división.

i) 83

ii) 4011 iii)

209

APROXIMACIONES DECIMALES Y FRACCIONES PERIÓDICAS Ahora bien, ciertamente sólo unas pocas fracciones se pueden expresar como fracciones

decimales, pero para las otras se pueden encontrar decimales cuyo valor es cercano al de ellas, ¿qué tan cercano? Todo lo que se quiera. ¿Cómo se logra esto?, con la división con residuo, por supuesto.

Ejemplos:

...3

8030

80

2727.00000.311

125

...20

3010

5040

6020

30

14285714.000000000.17

para 113 aproximamos a diezmilésimos, pudimos parar antes o continuar más allá, según se

requiera, entre más cifras, mejor será la aproximación a 113 .

Se puede observar que si continuamos, simplemente se seguirán repitiendo las cifras 2 y 7, o mejor dicho se repetirá el bloque de cifras 27 . El guión colocado encima de las cifras es para indicar que no es el número 27 sino un bloque de las dos cifras 2 y 7, en ese orden, se dice

que el bloque es el periodo de 3 ÷ 11, o de 113

Sobre el 71 , aplicamos el proceso de división y encontramos que en cada etapa,

tenemos dos opciones para residuo: o es cero o es distinto de cero. i) Si es cero ahí concluye la división.

ii) Si es distinto de cero, el residuo tiene que ser menor que el divisor, por lo que

tendría que ser un entero de 1 a 6, de modo que a lo más en seis etapas no se repetirá el residuo, en la séptima etapa forzosamente se repetirá uno de esos seis números y todo lo hecho antes se tendrá que hacer nuevamente, así se explica la existencia del periodo.

Más adelante veremos que también el recíproco es cierto, si el decimal tiene un

periodo, se puede expresar con un ‘quebrado’.

126

Ejemplos: Convertir las siguientes fracciones comunes en fracciones decimales:

31

→ 3...333.0

110

10...000.1 → 3.0

31

=

334 → 33

...1212.0

7040

70...0000.4 → 12.0

334

=

ACTIVIDAD:

Convertir las fracciones comunes en fracciones decimales:

i)72

ii) 117 iii)

145

Una vez relacionadas las fracciones qp con las división p ÷ q, podemos ver una de la

objeciones a que q sea cero, por ejemplo:

→→÷=n3003

03

¿cuánto debe valer n para que multiplicando por 0 de 3?

Por supuesto eso es imposible, no hay forma de efectuar esa división.

Ahora sí podemos escribir qpqp

÷= , es decir que “p sobre q” es igual a “p entre q”,

siendo ésta última la división con residuo, y eso es cierto en los casos en que la fracción se puede representar con decimales. Cuando sólo se puede conseguir una aproximación decimal

de la fracción dada entonces qp ≈ [cifras obtenidas mediante p ÷ q] (≈ se lee

“aproximadamente igual a”). Ahora bien, si ya se tiene el periodo se conviene en escribir, por

ejemplo, 27.0113

= , porque conociendo el periodo en cierto sentido se conocen todas las

cifras de la división. Más adelante diremos algo más al respecto.

127

Otro caso:

→→÷=n0000

00

¿cuánto puede valer n para que al multiplicar por cero resulte 0? Prueba,

verás que la respuesta es: “lo que se quiera”, ¿pero de qué sirve una operación cuyo resultado puede ser el que le guste a cada persona?.

FRACCIONES COMPUESTAS

Este es otro tema que resulta de la relación entre fracción y división, ésta se puede expresar diciendo que el guión “–” de quebrado juega el mismo papel que el símbolo ÷, es decir, indica división:

qpqp

÷= , entonces tenemos representaciones como las siguientes:

a) rqsp

srqp

srqp

sr

qp

⋅⋅

=→÷ : tenerdebe sedivisión la efectuandoy ,

Por razones claras p y s se llaman extremos, mientras que q y r se llaman medios, de aquí una regla obvia para simplificar el tipo de expresiones en cuestión:

b) rqp

rqp

→÷ , por la división de que se trata el resultado es: rqp

=rq

p⋅

Esto requeriría su propia regla, que no es difícil escribir pero que cuando se tengan varias reglas puede ser complicado recordarlas, quizá sea más conveniente convertir el entero r en fracción y usar la regla anterior:

rqp

rqp

rqp

⋅⋅

==1

1

Del mismo modo:

El numerador del resultado es el producto de los extremos y su numerador es el producto de los medios.

Por esto se dice que la división entre 0 no está definida. De hecho no hay forma de arreglar esto.

128

c) qrp

rq

p

rqp

rqp

⋅⋅

=⋅

=→÷1

:forma laen escribiría se ,q

rp 1

Ejemplos:

Simplificar aplicando las reglas anteriores:

i) 83

32

÷ →

8332

= 971

916

3.38.2

==

ii) 243

÷ → 83

423

243

=⋅

= ó → 83

4.23.1

1243

=⋅⋅

=

iii) 7÷52 →

235

275

527

=⋅

= ó → 2

352175

5217

=⋅⋅

=

ACTIVIDAD: Simplificar:

i) 163

87

÷ ii) 151713

÷ iii) 10 ÷43

abreviada)notaciónen1.501.5000...(23

==

)20.10.1222...(9011

−=−=−

El tipo de expresiones introducidas se llaman fracciones compuestas, se pueden caracterizar como cocientes indicados de fracciones y la principal tarea con ellas es reducirlas a fracciones comunes tan simples como se pueda.

129

Vamos a examinar el problema complementario acerca del periodo, veremos como convertir a ‘quebrado’ un decimal periódico:

Ejemplo 1 Sea a = 0. 7 multiplicamos esto por 10 10a = 7.7 a esto le restamos la expresión original 10a − a = 9a = 7.7777 − 0.7777... = 7

de modo que 97:que lopor ,79 == aa

Ejemplo 2

Sea b = 13.182 esta vez multiplicamos por 1000 1000 b = 13182.182 … a esto le restamos la expresión original 999 b = 13169

y obtenemos b = 999

13169

Ejemplo 3

Sea c = 4.15 243 100c = 415. 243 100000 c = 415243. 243 a esto le restamos la expresión anterior 99900 c = 415239

y obtenemos: c = 99900415239

ACTIVIDAD:

Halla los números racionales de las siguientes expresiones decimales periódicas:

i) Sea 17.0=a

ii) Sea 1234.21=b

iii) Sea 765.3=c

130

Propiedad de densidad de las fracciones Partiremos de la siguiente cuestión: Dados dos enteros, ¿cuántos enteros existen entre ellos?. Pues depende de cuáles sean los

enteros. Si son 3 y 9 la respuesta es 5; si son -2 y 0 sólo hay uno; si son 2 y 3 no hay tales enteros. Ahora, dadas dos fracciones, ¿cuántas fracciones hay entre ellas?

Por ejemplo:

¿Cuántas fracciones hay entre 2

15y23 ? Si dijiste 11 piénsalo otra vez, un diagrama

lineal te ayudaría bien.

¿Cuántas fracciones hay entre 25y

41 ?. No son 9, ¿verdad?.

¿Cuántas fracciones hay entre 42y

41 ?

No importa cuáles fracciones tomes, la respuesta es siempre la misma: entre ellas hay

muchas otras. Este asunto nos remite a uno de los diagramas usados al introducir la recta numérica,

vamos a reproducirlo aquí y a agregarle la ampliación de otra pequeña parte:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1 0/1 2/16 ¼ 6/16 ½ 10/16 ¾ 14/16 16/

unidad

4/8 9/16 64/128 65/128 66/128 67/128 68/128 69/128 70/128 71/128 72/128

131

¿Notas cuál marca corresponde a 9/16?, ¿cómo obtuvimos ese 9/16? Después dividimos el intervalo elegido en 8 partes iguales, para hacerlo tuvimos que refinar las subdivisiones, por eso convertimos a 128 avos empezando por 4/8=64/128 y 9/16=72/128.

¿Se nota que podríamos continuar así indefinidamente?

¿Qué entero le sigue inmediatamente a 6? Obvio ¿no es cierto? ¿Qué fracción le sigue inmediatamente a ½ (es decir a 4/8)?, ¿será 2/2?, no, ésto es un número entero y antes está, por ejemplo, ¾; pero antes de este está, por ejemplo, 5/8; pero antes está ... ¡cielos!

Esta situación algo extraña es otra manifestación de la característica de las fracciones de

permitir intercalar otras fracciones entre dos cualesquiera de ellas.

II.1.8. LOS NÚMEROS RACIONALES

Prácticamente hemos concluido lo que teníamos que decir sobre fracciones, sólo falta un detalle de carácter teórico. Antes hemos estudiado dos sistemas numéricos, el de los naturales y el de los enteros; la presente unidad vendría siendo el estudio del sistema de las fracciones, ahora bien, quizá entonces se hayan notado ciertas diferencias entre lo que hemos hecho con las fracciones por un lado y los sistemas antes mencionados por el otro, sobre todo la abundancia, es decir, la no unicidad de:

- neutros aditivos: 1

020

10

−== , etc.

- neutros multiplicativos: 22

11

33

22

11

−−

=−−

=== , etc

- inversos aditivos de una fracción dada, por ejemplo de 43 , a saber:

86

43

43

−−

=−

=− , etc.

Densidad de las fracciones: Esta es una propiedad relacionada con el orden entre las fracciones:

F∈∀sr ,

qp , tales que

sr <

qp , F∈∃

yx tal que:

sr <<

yx

qp

Propiedad de Densidad de las Fracciones: Entre dos fracciones cualesquiera siempre hay una infinidad de otras fracciones Dada una fracción no existe una fracción que le siga inmediatamente

0 ½ 3/4 2/2 4/8 5/8 6/8 7/8 8/8

132

- inversos multiplicativos, por ejemplo para 43 se tienen:

34

34

−−

= , etc.

A pesar de esto se trabaja cómodamente usando el Postulado S, pero para mantener el

modelo usado con naturales y enteros sería conveniente lograr la unicidad en cuestión, y hay formas de hacerlo, una que no choca bruscamente con las costumbres de los alumnos, de hecho la tienen varios de ustedes, es la de trabajar sólo con fracciones totalmente simplificadas, por ejemplo, si se exige este requisito sólo se podría usar como neutro aditivo la primera de las

fracciones anotadas en la página anterior 1

020

10

−== etc; análogamente para el neutro

multiplicativo y para los inversos. En la mayoría de los libros más comunes no se usa el término fracción sino el de número

racional, bien, resulta que no son exactamente lo mismo. Puesto en forma sencilla, los números racionales son ciertas fracciones especiales, concretamente las fracciones simplificadas al máximo y que no tengan denominadores negativos.

Enseguida damos una lista de fracciones, se han resaltado las que son números racionales:

286105

21

11

10

43-

79 ,

78105,

33,

75,,,

40,,,

43,,

63

−−−−

−−

En particular, la frase “fracciones equivalentes” tiene un significado bien definido,

mientras que “racionales equivalentes” no tiene sentido, no los hay.

Definición: Se le llama número racional a cada fracción simplificada totalmente y con

denominador positivo, el conjunto de todas ellas se representa por Q.

Definición: El conjunto de los números racionales es

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>=∈= 0,1),(,. qqpmcdqpqp ZQ

Para nuestros propósitos solamente en unas pocas ocasiones será conveniente

distinguir entre fracción y número racional, e incluso no será indispensable, puedes seguir trabajando sin esta complicación, repetimos, de carácter teórico; pero no sobra recordar que la distinción en cuestión se reduce a diferenciar entre fracción y fracción simplificada, cosa que se hace con el propósito de mantener el concepto original de sistema numérico.

133

FEDERICO

quesode168

126

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN II.1 1. De la expresión que tiene en mente el Sr. Federico, conteste lo siguiente:

a) Identifique el numerador y el denominador. b) ¿Qué significa el numerador? c) ¿Qué significa el denominador? d) Si invierte la posición del numerador y del

denominador, ¿qué ocurre? Explíquelo.

2. ¿ Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes?

a) 1412,

,86,

43 b)

75,

53 c)

3212,

166,

83 d)

3015,

,21,

1510,

105

3. CACEROLA DE ATÚN CON PAPAS ASTILLADAS

Cantidad de cada ingrediente:

1 lata ( 2110 oz. Se lee 10 onzas y media)

de crema de champiñones.

63 de taza de leche.

1 lata ( 7 oz.) de atún.

88 de taza de papa cortada en astillas.

55 de taza cocida de arverjas verdes.

41 de papa cortada en astillas.

Instrucciones para mezclar y combinar. 1.- Caliente el horno a 350° 2.- Vacíe la sopa en un recipiente de aluminio o en un refractario.

3.- Agregar la leche. 4.- Agregue el atún , 1 taza de papas astilladas

y las arverjas a la mezcla de la sopa y la leche.

Mezcle suavemente.

5.- Esparza 82 de papas astilladas.

Instrucciones de cocción y cómo saber

cuándo está listo el plato.

6.- Hornee de 31 a

21 hora , hasta que la sopa

hierva y el borde de la cacerola tome un color castaño.

Forma de servir. Puede servirse con una ensalada de espinacas,

galletas y 84 de un vaso de leche.

Numero de porciones. 3 ó 4 porciones.

134

W K A O L P J C Y E R F S I D M N Q B U T G H V

202

122

84

208

72

95

117

291

121

33

3024

43

62

83

6042

32

204

74

81

753

135

213

92

82

60

12

80

32

16

6

29

1

32

16

13

5

60

12

5

5

18

6

8

3

14

4

24

12

75

3

13

5

8

4

12

12

58

2

5

1

8

4

7

2

2

1

16

2

4. Halle una fracción equivalente a 3612 tal que :

a) El numerador sea 3 b) El denominador sea 5 veces el denominador original. c) El numerador valga la tercera parte del numerador original.

5. Considerando la receta “ Cacerola de Atún con papas astilladas” :

a) Identifica en la receta de la cacerola de atún todas las fracciones equivalentes. b) ¿Cuáles de ellas representan la unidad?

6. Identifica el mensaje escondido en la pancarta, para ello ubique la fracción equivalente y

escriba la letra. 6. Determina el valor de cada literal para que las equivalencias indicadas sean ciertas.

7. Sombrea 85 de la gráfica que se presenta:

22781)j50

75)i

409512)h9

59)g8

8)f

40w

84)e100

310)d

54

25)c

32

6)b

2172)a

−==

−===

−=

−−

=−

===

yrphkk

jxym

135

8. ¿Cuál círculo tiene aproximadamente la misma fracción sombreada que el rectángulo?

9. Convierte a fracciones comunes a las siguientes expresiones:

1011)

313)

5211)

218)

4312)

659) fedcba

10. Obtén tres fracciones equivalentes para cada una de las fracciones dadas.

99h)7

15g)783f)

85e)4

5d)32c)1

3b)21a) −

−−−

11. Dos niñas y dos niños midieron la longitud del salón de clase contando el número de pasos que requerían para recorrerlo. La siguiente tabla muestra cuáles fueron sus observaciones:

NOMBRE NÚMERO

DE PASOS

Araceli Sánchez Estela Vázquez José Toxqui Arnulfo Analco

12 8 10 15

12. Simplifica las siguientes fracciones a su mínima expresión.

a) ¿Quién de ellos da los pasos más largos? b) Si entendemos que por cada 8 pasos que da Estela ,

Araceli da 12, ¿Podría deducir cuántos pasos da Estela por cada 4 pasos de Araceli?

c) Pensando en el problema, ¿qué indican las expresiones

108,

1512,

1012

?

d) 30 pasos de Arnulfo ¿a cuántos pasos de José

equivalen? e) ¿A cuántos pasos de Estela corresponden 96 pasos de

Araceli?

20064)l

35001050)k

27090)j

220)i

864)h

1815)g

93)f

6251253

)e11

21)d9

18)c155)b

186)a

−−

136

13. Efectúa las siguientes sumas de fracciones:

14. Efectúa las siguientes sumas de fracciones: 15. Una aleación está compuesta por 24 partes de cobre, 4 de estaño y 1 de zinc. ¿Cuántos

kilogramos de cada metal habrá en 348 kg. de aleación? 16. La distancia de una ciudad a otra es de 210 km. ; si el primer día Hugo recorre los de

esa distancia, el segundo día los 212 y el tercero los

307 , ¿a qué distancia estará del punto

de llegada? 17. Una pecera con sus peces costó $480.00, sabiendo que el precio de los peces fue la tercera

parte del costo total ¿Cuál es el precio de la pecera y cuál el precio de los peces?

18. Un comerciante ha comprado 800 kg. de papas, 91120 kg. de trigo y

43170 kg. de arroz,

¿cuántos kilogramos de mercancía ha comprado en total? 19. Cuatro bultos pesan respectivamente

¿cuántas libras pesan entre los cuatro?

=+++

=++++

++++=++

=++=+++

186

1821

182

187)d

655

6519

658

653

6512)c

111

1112

110

117

113)f

93

97

95)b

54

53

52)e

70

72

76

71)a

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

−=++

=+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++

=+++

512

93

37

65)

4222

2112

75)

2714

187)

10821

546

168

242)

20812

816

413)

2711

216)

fe

dc

ba

73

lbs165ylbs21140,lbs

32150,lbs

43180

137

20. Para la receta del ponche se necesitan 4

18 tazas de jugo de naranja, 317 tazas de jugo de

lima y 85 tazas de jugo de limón. ¿cuántas tazas en total de jugo se necesitarán para la

receta del ponche?

21. En la siguiente gráfica señala la suma de 41y

61

22. Halla dos fracciones con denominadores 7 y 9 respectivamente tales que su suma sea 23. Cada tres gramos de cereales contienen 10 calorías, este hecho podemos anotarlo como

a) ¿Qué fracción expresa el hecho de que cada 2 gramos de cerdo contienen 16 calorías? b) Suma las dos fracciones anteriores. c) Si una persona come 3 gramos de cereales y 4 gramos de cerdo, ¿cuántas calorías habrá

consumido? 24. Pablo va al supermercado y hace algunas compras. Toma un carrito y deposita en él una caja

de huevos que ocupa 81 del espacio del carrito , un paquete de pan ocupa

125 , una bolsa

de arroz grande 104 y 5 libras de panela cada una de ellas ocupa

101 del espacio total. ¿Qué

fracción ocupa toda la mercancía adquirida?, ¿ocupa la mercancía más o menos espacio del que ocupa el carrito?

25. En un laboratorio se mezclan 4

15 mililitros de una solución A con 845 mililitros de solución

B .¿Cuál es el volumen de la mezcla resultante? 26. Localiza en la recta numérica los siguientes números racionales:

a) 42,

40,

46,

46,

43,

41 −− b)

510,

52,

53,

50,

57,

51 −−−

6373

103

138

27. En la recta numérica ubica los siguientes números racionales.

a) 112

b) 178

c) 118

d) -58

e) -18

28. Del ejercicio anterior:

a) Identifica la fracción mayor. ¿Por qué?________________________________ b) Identifica la fracción menor ¿Por qué?________________________________

c) De las fracciones: −112

y 85

− ¿ cuál es mayor. ¿Por qué? ________________

29. Representa en la recta numérica las siguientes fracciones equivalentes:

1800600,

31,

186,

31,

62,

62)

1000110001,

100100,

2020,

11,

22,

11)

1000,

20,

30,

20,

10,

10)

63,

63,

42,

42,

21,

21)

4024,

2012,

106,

106,

53,

53)

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−−

−−

e

d

c

b

a

-2 -1 0 1 2

139

30. Indica el número racional correspondiente a cada punto.

31. Grafica los siguientes números racionales 32. Determina cuál es el número entero más cercano al número dado. 33. Escribe el inverso aditivo de las siguientes fracciones:

34. Calcula el valor de las siguientes restas de fracciones:

A B C D

-3 -2 -1 0 1 2 3 A B C D

-1 0 1 A B C D

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

87,

86,

85,

83,

81)1,

44,

431,

41)

41,2,

45,

43,

42)

311,

32,

31,

321)

−−−−−

−−−

dc

ba

654)f

414)e

511)d

31)c

871)b

835)a

−−

−−

70)f

54)e

54)d

237)c

94)b

53)a −

−−

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟⎟

⎞⎜⎝⎛ −−−

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=−

36894)e

65

432)d

31

43

58)c

21

52

73)b

75

79)a

140

35. Sobre la unidad que escojas sombrea:

a) La tercera parte b) La quinta parte c) Lo que le falta a 87 para ser la unidad

d) Lo que le falta a 60% para ser 100% e) Lo que le falta a para ser la unidad 36. Martha Quintero prepara mantequilla para vender , midiéndola en onzas, (8 onzas equivalen a

media libra.) a) Martha trae 32 onzas de mantequilla, ¿cuántas libras son? b) Varias personas se acercan para comprar; la primera compra un cuarto de libra , la

segunda seis y media onzas y la tercera un octavo de libra . ¿cuántas libras le quedan a Martha por vender?

c) ¿Cuántas onzas aproximadamente vendió Martha y cuántas le quedan por vender? 37. Dado un cordel, Juan toma la mitad, de lo que queda Pedro toma la mitad; de lo que queda

María toma la mitad; de lo que queda Carmen toma dos de cinco partes y finalmente quedan 30 cms. ¿cuál era la longitud del cordel?

38. En un colegio el alumnado tiene su receso de un cuarto de hora. Si el descanso termina a las

diez y media, ¿a qué hora empieza el receso? Escribe la operación que hiciste para resolver el problema.

39. Completa la serie de los siguientes números , indicando cómo se obtiene cada número a

partir del anterior.

??,

??,

??,

43,,1,

45,

23,

47)c

??,

??,

??,

??,

21,

41,

40,

41,

21)b

??,

??,

??,

??,

51,

52,

53,

54)a −−

40. Chepe recorre en su silla de ruedas de milla para llegar a su colegio. Amparo camina de milla para llegar al mismo sitio. ¿quién recorre una distancia mayor?, ¿cuánto más?

41. Jaime vive a 3

14 km. de la biblioteca. Si a 43 km. del camino de su casa a la biblioteca se

encuentra un supermercado para comprar algunos comestibles. ¿A qué distancia de la biblioteca se encuentra dicho supermercado?

42. Blanca América asa un pollo para el almuerzo durante una y media horas. Antes de servirlo lo

deja enfriar durante un tercio de hora . ¿A qué hora debe asar el pollo si necesita servir el almuerzo a las 12:30 p.m.?

43. Eduardo compró doce y media libras de arroz para preparar la comida y gastó una y media

libras. ¿cuánto arroz le queda? Si cada día usa la misma cantidad, ¿para cuántos días le alcanzará el arroz restante?

125

53

52

141

AB

D C

44. En una finca de 500 hectáreas de superficie se cultivan 3 de cada 20 hectáreas y se rentan una

de cada diez hectáreas. Si el terreno ocioso se vendiera a $5,000.00 la hectárea ¿cuál sería el importe de la venta?

45. Halla el inverso multiplicativo de cada una de las siguientes fracciones, si existe:

46. Halla el inverso multiplicativo o recíproco de cada fracción: 47. Efectúa las operaciones que se indican:

20

21

158)d5

711

53

117)c

41

34

55)b

636)a ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

48. Una de ocho partes de un cuarto de litro de helado contiene 145 calorías, ¿cuántas calorías

contiene 321 de litro de helado?

49. Lázaro afirma que multiplicar por una fracción equivale a dividirla entre dos, ¿es cierto

esto? Explica dando ejemplos. 50. Si una libra de zanahorias corresponde a 12 zanahorias iguales, ¿cuántas zanahorias habrá en

un tercio de libra? 51. Cada una de las secciones A, B, C y D , corresponde a un cuarto del estacionamiento.Los

lugares para personas minusválidas ocupan un medio de la sección A. ¿Qué parte del estacionamiento es para personas minusválidas?

52. Expresa cada división de fracciones como una multiplicación sin resolverla. 3

443e)

32

85)d

38

56)c

54

97)b

52

43)a ÷÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−÷÷÷

1)1111)

107)

60)

16)

133) −

−− fedcba

52)i

83)h

74)g

98)f

922)e

853)d

1071)c

1211)b

43)a

21

142

53. Encuentra en cada caso el valor desconocido para que la igualdad sea cierta. 54. Divide y reduce a su mínima expresión las siguientes fracciones:

55. Efectúa las siguientes operaciones de fracciones.

13

6

4

3

8

7h)

2

3

6

1

6

5g)

34

3

12

17

12

5f)

26

3

9

13

9

4e)

9

14

6

3

7

10d)

15

4165

4

7c)

3

4

8

9

8

3b)

6

7

3

4

3

5a)

÷+÷+×−×−

=×−=×+=×+=×+

56. Escribe el símbolo < , > ó = que corresponda en lugar de .

a) 95

− 127

− ; b) 1730

35

; c) 35

7

10; d)

65

− −68

e) −58

−7

10.

57. Escribe en orden de mayor a menor.

a) 15

13

14

, , ; b ) − − −74

78

57

, , c ) − − −

512

615

34

, ,.

58. Escribe el símbolo < , > ó = en lugar de . La variable representa un entero positivo.

a) x5

x7

; b) y24

y

12; c)

36d

26d

; d) 5a

3a

59. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.

56

58

53

52

59

55

512

54

, , , , , , ,

60. Expresa como fracciones decimales los siguientes números decimales:

=÷=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −÷−=÷=÷−=÷

431

325)e

65

313)d

107

2013)c

23

85)b

51

53)a

8154

23)23

53)

49

49)1

54) =÷−=÷

−=÷=÷

yd

nc

stb

nma

143

a) 0.068 b) 1.3 c) 0.987 d) 36.1

e) 0.000 096 f) 1.007 g) 100. 1 h) 0.099

61. Expresa como números racionales los siguientes decimales periódicos.

a) 24.0 b)0. 235 c) 0. 0087 d) 0. 01287

62. El siguiente cuadro muestra los valores posicionales de los siguientes números: 24.5 y 6.263.

Escríbelos en forma decimal desarrollada.

mill

ares

Cen

tena

s

doce

nas

unid

ad

punt

o de

cim

al

déci

mas

cent

ésim

as

milé

sim

as

1000 100 10 12 4 5

6 2 6 3

11 0

11 0 0

11 0 0 0

2( ) + 4( ) + 5( ) = 24.5 6( ) + 2( ) + 6( ) +3( ) = 6.263

63. Suma las siguientes fracciones y en seguida comprueba efectuando la suma como números

decimales.

a) 3

105

100,

b) 3

1005

10005643

100000, ,

c) 35

100012100

910

110000

, , ,

64. Encuentra un número racional entre 0 y 1.

144

65. Encuentra 5 números racionales entre 0 y ½

66. Encuentra otros 5 números racionales diferentes del problema 2 situados entre 0 y ½

67. Obtén un número racional que se encuentre entre:

a) 12

y 1 b) 34

y 1 c) 78

y 1

d) 1516

y 1 e) 3132

y 1

68. Considera el conjunto de todos los números racionales mayores que 1. ¿tiene este conjunto un

elemento mínimo?, ¿por qué?

69. Considera el conjunto de todos los números racionales menores que 3. ¿Tiene este conjunto

un elemento máximo?, ¿por qué?

70. ¿Hay un entero positivo mínimo?, ¿cuál es?

71. ¿Hay un número racional positivo mínimo?, ¿cuál es?

145

II.2 ARITMÉTICA DE LAS PROPORCIONES INTRODUCCIÓN

Ahora estamos en uno de los temas de mayor uso cotidiano, incluso se emplea con frecuencia sin que se sepa que se trata de las proporciones; la lista de usos que se les da sería larga, por ejemplo, se relaciona: con lo que ha hecho cualquier persona que ha elaborado un diagrama o un dibujo que no se vea “desproporcionado” comparado con los con los objetos reales que se han representado; con lo que hacemos cuando se comparan los trabajos que hacen diferentes personas y sus salarios para ver si se corresponden o algunos están “desproporcionados”; cuando calculamos cuántas horas más tendríamos que trabajar para terminar la tarea tantos días antes; etc. Particularmente reconocerás aquí al caballito de batalla que es la “regla de tres” y al siempre presente porcentaje. II.2.1. RAZONES Y PROPORCIONES

Hay dos operaciones que se prestan para comparar cantidades, la resta y la división, por ejemplo, consideremos dos segmentos CDAB y y las expresiones de la derecha:

¿Qué significa la primera expresión, ya sea escrita como en el cuadro o en la forma 3CDAB += ? Que el segmento AB es 3 unidades mayor que el CD .

¿Cómo se interpreta la segunda?, se ve más claro si se escribe en la forma CD2AB = , significa que el segmento AB es 2 veces el segmento CD .

Estamos comparando cantidades de dos maneras diferentes, la que nos interesa aquí es la segunda, en el ejemplo la base de la comparación es la expresión

3

6

CD

AB=

a la que se le da el nombre de proporción, como se ve, su aspecto es el de una equivalencia de fracciones, y básicamente así es, con ciertas diferencias, como sea, los términos que se usan al hablar de proporciones son especiales y veremos algunos de ellos.

2,3

6

CD

AB

3CDAB,36CDAB

==

=−−=−

CD

AB :decir es

:sea o

D

A C

B

La división indicada en forma de “quebrado”de dos cantidades que se comparan se

llama razón, por ejemplo CD

AB , también se acostumbra representar la comparación en la forma

AB : CD , en ambos casos se lee “ AB es a CD ”. Al numerador o a la cantidad que se escribe a la izquierda de los dos puntos se le llama antecedente, la otra es el consecuente

146

Ejemplo:

La razón que existe entre el año escolar y el cuatrimestre: se escribe 4

12 o bien 12 : 4,

esta razón se lee “12 es a 4”, es decir, hay 12 meses del año por cada 4 de un cuatrimestre. Tiene importancia distinguir cuál es la cantidad que se menciona primero; observa que la razón entre un

cuatrimestre y el año es de 124 o bien 4:12, que se lee “4 es a 12”, es decir hay 4 meses en un

cuatrimestre por cada 12 de un año. Observa que si hay 4 meses en un cuatrimestre por cada 12 de un año, entonces hay 8 meses en dos cuatrimestres por cada 24 que hay en dos años, o 12 meses en tres cuatrimestres por cada 36 meses en 3 años; todos estos casos son realmente la misma comparación y sólo es consecuencia de la equivalencia de fracciones, observa:

3612

248

124

==

Como ya se dijo antes, 3

6

CD

AB= , es una proporción, y además de esta forma y de su lectura

usual (“ AB sobre CD es equivalente a 6 sobre 3”), se puede escribir y leer, respectivamente, AB : CD :: 6:3, es decir, “ AB es a CD como 6 es a 3”. ¿Cómo es 6 a 3?, el primero es el doble del segundo, pues así AB es a CD , el primero el doble del segundo.

En el caso del año y del cuatrimestre tenemos, por ejemplo, la proporción: 31

124

= o bien

4:12 :: 1:3, o sea, 4 es a 12 como 1 es a 3. Ya que 1 es la tercera parte de 3, así 4 (el cuatrimestre) es la tercera parte de 12 (el año).

Un problema frecuente al trabajar con proporciones es que se conozcan tres de sus cuatro

elementos y que se tenga que calcular el restante, por ejemplo, si en el caso de los segmentos no tuviera divisiones el segundo, o sea, si no supiéramos cuanto mide, pero sí se conocieran los otros tres números tendríamos:

36

CD6

= , aquí ya se ve que CD =3, pero de una manera más general podemos emplear la

característica de las fracciones equivalentes y escribir (CD )(6) = (6)(3) (igualdad de los

productos cruzados) y de aquí: CD = 6

)3)(6( = 3.

Definición: Si dos razones son equivalentes o “iguales”, a la equivalencia o “igualdad” de ambas

se le llama proporción.

147

De forma parecida, si en el caso de los cuatrimestres queremos calcular cuántos hay en 7 años, procedemos como sigue: claro que la respuesta es inmediata, pero lo que queremos es ilustrar un procedimiento para asuntos menos simples, x es el número de cuatrimestres buscado.

2812

)4)(84(x)4)(84()12(x124

127x

====⋅

que así , entonces

II.2.2. PROPORCIONALIDAD DIRECTA Y PROPORCIONALIDAD INVERSA

Hay dos clases de problemas importantes relacionados con las proporciones, ilustraremos cada clase con un ejemplo:

Ejemplo 1: Un automóvil viaja a 120 kilómetros/hora ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 1, 2, 3, y 4 horas respectivamente manteniendo esa velocidad? Llena la tabla.

Ejemplo 2:

Un automóvil tiene que recorrer 360 km con velocidad constante, ¿a qué velocidades debe viajar para recorrer la distancia en 3, 4, 5, 6 horas, respectivamente? Llena la tabla.

t (tiempo en horas) 1 2 3 4 d (distancia en km)

t (tiempo en horas) 3 4 5 6 v (velocidad en km/h)

120 km/h (fijos)

          0                120                240                360               480

          0                120                240                360 

148

¿Cómo habrás hecho para calcular los números de las tablas?, posiblemente como sigue:

              

        

En cada una de las últimas expresiones se tiene una fórmula con tres cantidades, dos de ellas son variables, es decir toman varios valores en el problema, y una es constante, siempre tiene un mismo valor; a la izquierda las variables son el tiempo t de viaje del auto y la distancia d que recorre en ese tiempo; a la derecha las variables son también el tiempo t y la velocidad v a la que debe viajar el auto para recorrer los 360 km en ese tiempo.

Ejemplo 1 Multiplicaste cada tiempo por 120 km/h, en la forma: (120)(1) = 120 (120)(2) = 240 etc. En general: 120·t = d

o también

120td

=

Esta fórmula puede ser útil para hacer algunos cálculos. Si el auto lleva viajando 75 minutos, ¿qué distancia ha

recorrido?: 12025.1d

= así que:

d = (120)(1.25) = 150 km

Ejemplo 2 Dividiste 360 entre cada tiempo:

904

3601203

360== etc.

En general: vt

360= o también:

360vt =⋅

Del mismo modo, si el auto viajó a 80 km/h, ¿en qué tiempo recorre los 360 km?: t (80) = 360, por lo tanto:

hrs 5.480

360t ==

t =4.5 hrs

149

Las dos últimas fórmulas que aplicamos son las que más claramente señalan que estamos

hablando de proporciones, ambas fórmulas lo son; por cierto, examina bien los subíndices para que las distingas claramente, tienen una diferencia importante: si unes con una recta los índices iguales de la proporción del lado izquierdo te quedan dos rectas paralelas; si haces lo mismo con la proporción de la derecha te quedan dos rectas cruzadas.

Los ejemplos anteriores corresponden a dos clases de situaciones muy abundantes, la del ejemplo 1 es la proporcionalidad directa y la del ejemplo 2 es la proporcionalidad inversa; enseguida se detallan las características básicas de la proporcionalidad:

La fórmula 120td

= nos dice que si se

divide una distancia entre el tiempo que le corresponde se obtendrá invariablemente 120; si representamos con d1 una distancia particular y con t1 el tiempo que le corresponde entonces ocurrirá eso; y si d2 es otra distancia y t2 su correspondiente tiempo pasará lo mismo, es decir tendremos que:

120t

d

t

1 = y 120td

2

2 =

esto quiere decir que

2

2

1

1

td

td

=

Ejemplo: si la distancia recorrida en el viaje fue de 200 km, ¿qué tiempo duró ese recorrido? De la tabla original tomamos cualquier par de datos, por ejemplo 2 y 240, estos serán t2 y d2;

entonces d1 es 200 y 2

240t

200

1

= , de aquí

se obtiene (t1)(200) = (200)(2), es decir:

2200400t1 ==

De este lado la situación es parecida. La fórmula t·v = 360 indica que siempre que se multiplique un tiempo de viaje por la velocidad con que se viajó, el resultado será 360. Entonces, si t1 es uno de esos tiempos y v1 la velocidad con que se efectuó el viaje; y si también t2 es otro tiempo y v2 la correspondiente velocidad, tendremos:

t1·v1 = 360 y t2·v2 = 360 por lo tanto: t1·v1 = t2·v2, así que

1

2

2

1

vv

tt

=

Ejemplo: si el viaje tardó 3.5 hrs., ¿a qué velocidad viajó? Tomamos como t2 y v2 cualquier par de datos de la tabla original, por ejemplo 4 y 90; t1 será 3.5,

entonces: 1v

9045.3

= , así que:

(v1)(3.5) = (90)(4) o sea

5.3)4)(90(v1 = =102.85

150

Proporción directa 1. Participan dos variables, digamos x, y. 2. Al aumentar una de las variables también

aumenta la otra (al disminuir una disminuye la otra), más precisamente, si una de las variables se multiplica (o se divide) por un número, la otra variable resulta multiplicada (o dividida) por el mismo número. En este caso se dice que x y y son directamente proporcionales o que una varía en proporción directa a la otra.

3. La característica anterior se refleja en que el

cociente x

y siempre es el mismo para cada x

y el correspondiente valor de y (en nuestro ejemplo fue la velocidad, 120), este valor fijo se llama constante de proporcionalidad; todo esto se expresa en una fórmula de la forma:

alidad)proporcionde(constanteky

x=

4. Supongamos que la variable x toma dos

valores x1 y x2 y que los correspondientes valores de y son y1 y y2, entonces:

2

1

2

1

2

2

1

1

xx

yy

xy

xy

== también o

5. En términos generales, la proporción directa

entre dos variables x y y puede ser representada en tres formas:

a. Una tabla que ejemplificaremos con:

x 1 2 3 4 y 2 4 6 8

b. Una fórmula del tipo:

tetanconsxy

= (relaciona con la tabla)

c. Una fórmula del tipo:

2

1

2

1

2

2

1

1

yy o

xx

xy

xy

==

Proporción inversa 1. Participan dos variables, digamos x, y. 2. Al aumentar una de las variables la otra

disminuye, más precisamente, si una de las variables se multiplica por un número, la otra variable resulta dividida por el mismo número. En este caso se dice que x y y son inversamente proporcionales o que una varía en proporción inversa a la otra.

3. La característica anterior se refleja en que el

producto x·y siempre es el mismo para cada x y el correspondiente valor de y (en nuestro ejemplo fue la distancia, 360), este valor fijo se llama constante de proporcionalidad; todo esto se expresa en una fórmula de la forma:

alidad)proporcionde(constantekyx =⋅

4. Supongamos que la variable x toma dos valores x1 y x2 y que los correspondientes valores de y son y1 y y2, entonces:

1

2

2

1

1

2

2

1

xx

yy

xy

xy

== también o

5. En términos generales, la proporción inversa

entre dos variables x y y puede ser representada en tres formas:

a) Una tabla que ejemplificaremos con:

x 1 2 3 4 y 8 4 8/3 2

b) Una fórmula del tipo:

tetanconsyx =⋅ (relaciona con la tabla)

c) Una fórmula del tipo:

1

2

21

2

2

1

xx

yxy

xy

== 1y o

151

Ejemplo:

Si un centímetro cúbico de un trozo de cobre pesa 8 grs. ¿ Cuál es el peso de 2, 3 y 4

centímetros cúbicos?. Completa la tabla.

V ( Volumen en cm3) 1 2 3 4 P ( Peso en grs. ) 8

Solución: A partir de la tabla se puede observar que a mayor volumen obtuviste mayor peso, esto

indica que la proporción es directa, por lo que se puede plantear la proporción correspondiente en la forma:

2

2

1

1

PV

PV

= 2P

281

= (1) (P2) = (8) (2)

P2 = (8) (2)/1

P2 = 16

3

3

1

1

PV

PV

= 3P

381

= (1) (P3) = (8) (3)

P3 = (8) (3)/1

P3 = 24

4

4

1

1

PV

PV

= 4P

481

= (1) (P4) = (8) (4)

P4 = (8) (4)/1

P4 = 32  

152

Ejemplo: Si 60 obreros hacen una obra en un día. ¿Cuántos obreros son necesarios para ejecutarla en 2, 3, 4, 5, ó 6 días? Completa la tabla.

Número de días 1 2 3 4 5 6 Número de obreros 60

Solución:

De la tabla se puede observar que al aumentar el número de días, disminuye el número de obreros, por lo que la proporción es inversa, la cual se puede plantear en la forma:

1

2

2

1

xx

yy

=

12

y60

2

= (60) (1) = (2) (y2) y2 = (60) (1)/2 y2 = 30

1

3

3

1

xx

yy

=

13

y60

3= (60) (1) = (3) (y3) y3 = (60) (1)/3 y2 = 20

1

4

4

1

xx

yy

=

14

y60

4= (60) (1) = (4) (y4) y4 = (60) (1)/4 y2 = 15

1

5

5

1

xx

yy

=

15

y60

5= (60) (1) = (5) (y5) y5 = (60) (1)/5 y2 = 12

   

1

6

6

1

xx

yy

=

16

y60

6= (60) (1) = (6) (y6) y6 = (60) (1)/6 y2 = 10

153

II.2.3. REGLA DE TRES SIMPLE, DIRECTA O INVERSA

Resulta que la famosa regla de tres es simplemente una proporción y usualmente así se desarrolla en los textos, es como si sólo le cambiaran algunos nombres a las cosas pero todo se manejara igual. Lo que haremos aquí es elaborar unas reglas que realmente describan lo que popularmente se llama regla de tres.  Regla de tres directa                   

A la derecha, nos hemos limitado a acomodar las variables en la forma usual, bautizamos

las diagonales e hicimos lo necesario para reproducir el resultado de la derecha, es fácil ver que se obtiene el resultado correcto independientemente del lugar donde se quiera colocar la incógnita: usualmente todo esto resulta más fácil que armar la proporción y despejar la incógnita, esa es la justificación del uso de la regla en lugar de la proporción.

Adaptación: regla de tres directa (simple) Acomodamos valores conocidos o desconocidos de las variables involucradas como sigue: Valor de una variable valor correspondiente de la otra variable x1 y1 x2 y2 escogemos incógnita, digamos y1 diagonal de la incógnita diagonal de datos regla: El valor de la incógnita se encuentra multiplicando los datos de la diagonal de datos y dividiendo el resultado entre el dato de la

diagonal de la incógnita: 2x

2y1x ⋅=1y

Proporción Consideremos una proporción directa

2

2

1

1

xy

xy

=

escogemos incógnita, por ejemplo y1, y la despejamos en la forma usual:

y1·x2 = x1 ·y2 así que 2

21

xyx ⋅

=1y

esto se obtiene así

154

Regla de tres simple inversa:

La regla funciona sin importar el lugar donde esté la incógnita.

Ejemplo de regla de tres directa: Si 15 metros de una cierta tela cuesta 300 pesos, ¿cuánto se pagará por 25 metros?

Solución: 15 metros $300.00 25 metros $x

x = 50015

30025=

× La respuesta es $500.00

 Ejemplo de regla de tres inversa.

Si ocho obreros tardan 15 días en construir un muro, ¿cuántos días tardarán en construirlo 12 obreros?

Solución:

Proporción Inversa

1

2

2

1

xy

xy

=

Escogemos incógnita, por ejemplo x2: Despejamos en la forma usual:

x2·y2 = y1·x1 así que 2

11

yxy ⋅

=2x

esto se obtiene así

Adaptación: regla de tres inversa Se acomodan los valores conocidos o desconocidos en la misma forma que en la regla de tres directa: Valores de una variable valores adecuados de la otra variable x1 y1 línea de datos x2 y2 línea de la incógnita regla: la incógnita es el producto de los datos de la línea de datos, entre el dato de la línea

de la incógnita 2

11

y

xy=2x

8 Obreros 15 días

12 Obreros x días

x = 1012

)8)(15(= días

155

II.2.3. TANTO POR CIENTO

Seguramente el porcentaje es algo bastante familiar para todos, para no variar es otro

aspecto de las proporciones y está pensado con propósitos de comparación, por ejemplo, si en un grupo de 20 alumnos, 4 usan lentes, podemos decir que:

- usa lentes 1 alumno de cada 5 - usan lentes 2 alumnos de cada 10 - usan lentes 4 alumnos de cada 20 - usarían lentes 12 alumnos de cada 60 - usarían lentes 20 alumnos de cada 100 - usarían lentes 40 alumnos de cada 200

Los últimos tres casos son hipotéticos pero sólo se usan como una forma de comparación

de la parte de los que usan lentes respecto del total de alumnos del grupo. Resaltamos la comparación respecto a 100 porque es el caso que nos interesa, de hecho se dice que el símbolo % era originalmente algo como “c/c” para abreviar “cada cien”, en nuestro ejemplo anterior habría que escribir 20 c/c para indicar que usan lentes 20 de cada cien alumnos; independientemente de que sea cierto o no este origen del símbolo %, no se puede negar que es un detalle ilustrativo.

Si bajamos la escala y consideramos al 100 como una unidad, entonces habría que hacerle

100 subdivisiones, cada una de 100

1 , en tal caso para representar la parte de los que usan lentes

habrá que tomar 20 de éstas, es decir 100

20 , como que es más comprensible el enfoque anterior,

pero este segundo tiene más ventajas operativas, como vamos a ver. Más allá de las ideas motivadoras como las anteriores, tenemos que pasar al rollo

matemático, empezaremos preguntándonos: ¿Qué significa matemáticamente el símbolo %?.

Respuesta: De hecho es un operador, e indica que el número que se le anteponga debe dividirse entre 100

- 54% significa 100

54

- 27.31% significa 100

31.27

- %21 significa

100

2/1

Ahora bien, cada una de estas fracciones es una fracción decimal, así que se puede

escribir en la forma con punto: 54% = .54 27.31% = 0.2731 ½ % = 0.5/100 = 0.005

156

Queda claro que una expresión como “cincuenta por ciento” puede escribirse en varias

formas:

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

forma segunda la deción simplifica 21

puntocon formasu aanterior fracción la deormación transf50.0

% signo del osignificad 10050

% símbolo el usando % 50

cientopor cincuenta

La idea atrás de cada caso sería, respectivamente: 50 de cada cien. Cambiando la escala, 50

centésimos de los cien que tiene la unidad. De manera menos expresiva, 50 centésimos a secas, sin explicitar que se compara con los cien centésimos. Finalmente una de dos, o directamente entendemos que consideramos una mitad del todo, o bien, interpretamos 1 de cada 2.

Ya familiarizados con % pasamos a su aplicación a una cantidad, va otra pregunta: ¿Qué significa algo como 25 % de 80”?

Respuesta: 100

25 de 80, pero para calcular una fracción de una cantidad se multiplica la

fracción por la cantidad, es decir:

25 % de 80 = 100

25 de 80 = (0.25)(80) = 20

Generalizando esto obtenemos una fórmula simple e importante: Así obtenemos la formula básica del porcentaje:

Quizá la primera expresión es la más significativa, su desventaja es que no siempre se presta para operar, es entonces cuando sobresalen las otras formas

razón de porcentaje base porcentaje de la base Rp B PB

(0.25)(80) = 20

Rp·B = PB

157

Esta expresión nos deja claro que en el fondo sólo hay tres problemas de porcentaje, los

que resultan de despejar cada una de las partes de la fórmula conociendo las otras dos:

- ¿Cuánto es 30% de 40?: (30%)(40) = PB , es decir, PB = (0.30)(40) = 12

- ¿12 es qué por ciento de 40?: Rp(40) = 12, es decir, %303.04012Rp ===

- ¿12 es 30% de qué número?: (30%)B = 12, o bien, (0.30)B = 12, es decir,

4030.0

12B ==

De hecho la fórmula básica del porcentaje es una opción para resolver problemas de

porcentaje, pero quizá sea más cómodo aplicar la regla de tres; vamos a dar unos procedimientos equivalentes a los tres casos anteriores, respectivamente:

- 12100

)30)(.40(%30x

%10040=→

⎩⎨⎧

- %3040

)100)(12(xx12

%10040==→

⎩⎨⎧

- 40%30

%)100)(12(x%100x

%}3012==→

⎩⎨⎧

Ejemplo:

En un costal se tienen 20 naranjas; Para hacer un litro de jugo se ocuparon 8 naranjas.

¿Qué porcentaje de ellas se utilizó en la preparación del jugo?

Solución:

20 naranjas 100% 8 naranjas x %

x = %4020(100)(8)

=

158

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN II.2

1. En un colegio hay 30 estudiantes en sexto, 45 en séptimo, 25 en octavo, 20 en noveno, 32 en décimo y 28 en undécimo. Calcula:

a) La razón entre el número de estudiantes de sexto grado y el total de estudiantes. b) La razón entre el número de estudiantes de grado impar y el total de estudiantes. c) La razón entre el número de estudiantes de grado par y el total de estudiantes. d) La razón entre el número de estudiantes de grado octavo y el de estudiantes de noveno de

estudiantes. 2. Calcular la razón entre la medida del lado de un triángulo equilátero y su perímetro.

3. Para dibujar el croquis de una ciudad se utilizó una escala 1: 500 1

500⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ¿qué significa esta

expresión? 4. Dibuja cuadrados de 1, 2, 3, 4, 5 cm de lado. Encuentra la razón entre la diagonal y el lado.

¿Qué puedes concluir de esta razón? 5. Dibuja triángulos equiláteros de 1, 2, 3, 4, 5 cm de lado, traza la altura y encuentra la razón

entre la altura y la longitud de medio lado. ¿Qué puedes concluir de esta razón? 6. Si una persona duerme diariamente 8 hrs.

a) ¿Cuál es la razón entre las horas que duerme y las que permanece despierto? b) ¿Cuál es la razón entre el total de horas diarias y el de las horas que duerme?

7. Dar la razón. No reducir a su mínima expresión.

1. Violoncelos a violines

2. Contrabajos a arpas

3. Cornos ingleses a flautines

4. Arpas a violines

5. Violas a Violoncelos

6. Flautas a arpas

7. Flautines a fagotes

8. Saxofones a clarinetes.

Cuerdas 34 violines 10 violoncelos 12 violas 9 contrabajos 2 arpas

Viento 2 oboes 1 corno inglés 2 flautas 1 flautin 5 fagots 6 clarinets 2 saxofones

159

8. Sofía pasó una hora estudiando para una prueba de historia y 25 minutos para una de matemáticas. Escribe la razón para comparar las horas de estudio de historia con las de matemáticas.

9. Un monumento tiene 70 veces el tamaño de una persona que mide 1.75m. ¿Cuánto mide el monumento y cuál es la razón que existe entre la medida de la persona y el monumento?

10. Escribe las razones en forma de fracción. Después redúcelas a su mínima expresión:

a) 5 a 15 b) 8 a 12 c) 9 a 3 d) 12 a 15 e) 24 a 8 11. Contesta las siguientes preguntas:

a) En la razón xy

, ¿cuál es el antecedente?, ¿Cuál es el consecuente?

b) ¿Qué nombre recibe la igualdad de dos razones?

c) En la proporción xy

= uv

, ¿cuáles son los medios y cuáles los extremos?

12. Utiliza los productos cruzados para verificar si las siguientes expresiones son proporciones.

a) 56

1012

= b) 9

10184

= c) 17

71

= d) 54

45

=

e) 2524

54

= f) 89

3236

= g) 4

101025

= h) 10

10001

10=

13. Escribe R si la solución de la proporción es razonable., si no es razonable escribe el valor

correcto.

a) 62 8

=a

, a = 4 b) 1520

456=

x, x = 60, c)

179 36

=n

, n = 68

14. Usa el cálculo mental para averiguar si las razones son equivalentes. Escribe en tu cuaderno sí

o no.

a) 43

87

, , b) 525

10100

, , c) 2 323

110

.,

15. Escribe tres razones equivalentes a cada una de las razones dadas:

a) 23

, b) 160

, c) 51

, d) 57

, e) 6085

160

16. Con la ayuda de esta gráfica, halla los valores aproximados de las razones siguientes:

a) ABBC

, b) ADDE

, c) AFEF

, d) CEAF

.

17. Resuelve los siguientes problemas:

A. Por cada 4 pesos que gana una persona, 1 peso lo destina a alimentación. Si el salario mensual de esta persona es de 320,000, ¿cuánto gasta en alimentación?

B. Por cada 100 habitantes bolivianos , 20 son analfabetas. Si la población de Bolivia es

de 7 065 000, ¿cuántos analfabetas hay en Bolivia? C. En un país de cada 100 personas, 25 ingresan a la universidad. ¿Cuál es la población

universitaria si la población de ese país es de 12 000 000 de habitantes? 18. Escriba una razón equivalente a:

a) 37

cuyo antecedente sea 15 b) 16

cuyo consecuente sea 18

19. Escribe el símbolo = ó ≠ en cada . Usa la propiedad de las proporciones.

1) 45

1215

2) 52

3514

, 3) 4

1537

, 4) 86

2822

, 5) 9

1634

,

20. Halle el valor de la literal y comprueba la proporción.

a)24 4

3x= b)

53 42

=y

c) 12 18

=m

d) t

1452

= e) 1227

8=

m

21. Resuelve cada proporción y verifica la solución.

a)23

112

=+a

b) n +

=1

926

c) 43

321

=−x

d) 15

225

=+x

e)x −

=3

6129

f) 54

18

=+y

A B C D E F

161

22. Halla el número que falta para que cada par de razones sean iguales.

a) 18

24 x= , b)

1510 x

= , c) 13

12 x= , d)

1420 x

= , e) 13

216 x=

23. Encuentra los valores de X y Y en cada igualdad de razones.

a)23 18

6= =

XY

, b) 45

2820

= =X

Y, c)

15 100

2= =

XY

, d) 1

12 602

= =X

Y

e) Y

X 910010

3== , f)

13

2021

= =X

Y, g)

58 1000

10= =

XY

h) 18

3160

= =X

Y

24. Un terreno de 420 m2. de superficie se divide en dos lotes de tal manera que uno es

34

del

otro. ¿Cuánto mide cada lote? 25. Dos grupos A y B tienen un total de 105 alumnos. ¿Cuántos alumnos tiene cada grupo si la

razón de A a B es 78

?

26. La relación entre dos números es de 5 a 2 . Encuentra los números sabiendo que su suma es

49.

27. La razón de dos números es de 83

y su diferencia 55. Halla los números.

28. Halla dos números conociendo su razón 34

y su suma, 2100.

29. Halla dos números cuya razón sea 34

y la suma de sus cuadrados es 625.

30. Escribe la palabra mayor o menor de manera que las siguientes proposiciones sean

verdaderas. a) Si compro más cosas en la tienda________________________________ será el costo b) Si camino a mayor velocidad _________________________ será el tiempo de llegada. c) Si más hombres trabajan por día en una obra ____________ es la cantidad de trabajo

hecho en ese mismo día. d) Si elevo la temperatura de una esfera metálica ___________________ será su volumen e) Entre más alto sea un objeto _________________________________ será su sombra.

162

31. Si un edificio proyecta una sombra de 20 m. de largo, al mismo tiempo que una persona que mide 1.70 m. de estatura proyecta una sombra de 0.80 m., ¿calcula la altura del edificio?

32. Para la recolección de la cosecha se ha estudiado la relación que existe entre los trabajadores

y el tiempo que tardan en hacer la recolección. Los resultados se presentan en la siguiente

tabla.

NÚMERO DE TRABAJADORES 1 3 6 12 15 20 24

TIEMPO EMPLEADO (EN HORAS) 60 20 10 5 4 3 2.5

a) Identifica cuál es la magnitud independiente y cuál la dependiente.

b) Analiza de acuerdo a la tabla de datos si las magnitudes son inversamente proporcionales.

c) Haz la gráfica cartesiana, definiendo correctamente los ejes y distribuyendo la escala de

valores en forma apropiada.

d) Analiza de acuerdo con la gráfica si las magnitudes son inversamente proporcionales.

33. Con el fin de planificar los gastos diarios, una familia contabilizó el tiempo que tarda

prendida la parrilla de la estufa y el tiempo que tarda el gas en consumirse.

Los datos obtenidos se presentan en la tabla siguiente:

TIEMPO DIARIO ENCENDIDA LA PARRILLA

( HORAS ) 1 2 3 4 5 6 7

DURACIÓN DEL CILINDRO DE GAS

( DÍAS ) 18 9 4.5 3.6 3 2.3 1.3

a) ¿Cuál es la magnitud dependiente y cuál la independiente?

b) ¿Son estas magnitudes inversamente proporcionales?

c) Haz la gráfica cartesiana correspondiente. No olvides determinar correctamente los

ejes y distribuir los valores en forma apropiada.

d) ¿Corresponde la gráfica a las magnitudes inversamente proporcionales?

163

34. Completa las siguientes tablas:

a)

X 1 3 24

Y 12 2.4 0.5

b)

T(h) 6 9 15

V(km/h) 7.5 90 45 15

c) De las tablas anteriores encuentra la constante de proporcionalidad de cada una

35. Un tubo cuya sección es de 3.5 cm2 llena un tanque en 16 horas. Otro tubo cuya sección es

de 5 cm2., ¿qué tiempo tardará en llenar el mismo tanque?

36. Para tender la red de alcantarillado entre dos puntos se necesitan 6,000 tubos de 2.40 m. de

largo. ¿Cuántos tubos de 4.00 m se necesitarán para tender el mismo alcantarillado?

37. Un grupo de personas de la tercera edad hacen un paseo al campo y tienen provisiones para

30 días. Si el grupo se encuentra con 40 personas más, ¿para cuántos días les alcanzarán las

provisiones?

38. Veinticuatro obreros hacen una obra en 48 días, ¿en cuántos días la harán 12 obreros menos?

39. Si y varía directamente con x. a) y es 24 cuando x es 3 .Encuentre y cuando x es 4 b) y es –12 cuando x es –6 , Encuentre y cuando x es 7 c) y es 3 cuando x es 21. Encuentre y cuando x es 35 d) y es –4 cuando x es 36 . Encuentre x cuando y es 6

164

40. ¿Cuáles tablas expresan variaciones inversas? Por cada variación inversa indica la constante de variación.

1.- x y 2.- x y 3.- x y 4.- x y 5.- x y

3 6 1 1 3 6 5 20 ½ -2

-2 -9 -1 -1 6 12 -10 -10 -1 1

36 ½ 0 0 -3 -6 -4 -25 - -3/4 4/3

-18 -1 2 2 -6 -12 1/2 200 1 -1

41. ¿Cuáles tablas expresan variaciones directas? Por cada variación directa indica la constantes

de variación.

1.- X y 2.- x y 3.- x y 4.- x y 5.- x Y

1 6 1 2 -2 8 5 20 -1 2

2 12 3 4 -1 4 10 15 -2 4

3 18 5 6 1 -4 15 10 -3 6

4 24 7 8 2 -8 20 5 -4 8

42. ¿Cuáles fórmulas describen variaciones inversas? Por cada variación inversa indica la

constante de variación. a) r • t = 60 b) c= 3.14d c) x . y = −8 d) 36 = b • h e) x • y = 1

f) xy

=20 g)

6sr = h) a

b=

− 22 i) sp=

4 j) ⋅

51 y = x

43. Encuentra el valor que deben tener las letras que aparecen en cada una de las siguientes

proporciones para hacerlas verdaderas.

a) a: 5 : : 6 : 13 o sea ;136

5=

a a =

b) 8: 7 : : b: 10 o sea 107

8 b= ; b =

c) 4: 5 : : 6 : c o sea =54

c6 ; c =

d) d :2 : : 11 : 7 o sea 7

112

=d ; d =

165

44. Un ciclista ha recorrido 150 Km. en 5 horas, ¿cuánto recorrerá en 7 horas?. Si ya lo resolviste

aritméticamente, represéntalo geométricamente. 45. Un hombre gana cierta cantidad por hora. Si por 5 horas gana 150 pesos, ¿cuánto ganará si

trabaja 7 horas?. Resuélvelo geométricamente. 46. Si 4 agendas cuestan 80 pesos, ¿cuánto costarán 15 agendas? 47. Una torre de 25.05 m. da una sombra de 33.40 m., ¿cuál será, a la misma hora, la sombra de

una persona cuya estatura es 1.80 m.? 48. Los 2/5 de capacidad de un estanque son 500 litros, ¿cuál será la capacidad de los 3/8 del

mismo estanque? 49. Un corazón adulto sano bombea 5 litros de sangre por minuto, ¿cuántos litros bombea en 8

horas?. 50. Un árbol tiene 26 m. de altura, ¿qué altura tendrá un dibujo del árbol hecho a escala 1:500. 51. Haga un croquis de su salón en la escala 1:250. 52. Una cuadrilla de obreros concluye una obra en 20 días trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos

días la habrían terminado trabajando 8 horas diarias?. 53. Si 4 hombres terminan una obra en 12 días, ¿cuántos días les llevarían a 7 hombres terminar

la misma obra?. 54. Sabiendo que 30 obreros emplean 8 días para hacer una obra, ¿cuánto tiempo necesitan 12

obreros para hacer el mismo trabajo? 55. Si 9 obreros tardan en pavimentar un tramo de carretera en 24 días, ¿cuántos días tardarán en

hacer el mismo trabajo 12 obreros?. 56. Un tanque de agua tarda en llenarse en 120 minutos con 3 llaves (surtidores). ¿Cuántos

surtidores se deben emplear si debe llenarse en 40 minutos?. 57. Nueve hombres pueden hacer una obra en 5 días, ¿cuántos hombres sobrarían para hacer la

obra en 15 días?. 58. 8 hombres han cavado en 20 días una zanja de 25 m. de largo, 2 de ancho y uno de

profundidad. ¿En cuánto tiempo hubieran cavado la zanja 6 hombres menos?. 59. A la velocidad de 30 Km. por hora un automóvil emplea 8 ¼ horas en ir de una ciudad a otra.

¿Cuánto tiempo menos se hubiera tardado al triple de la velocidad?.

166

60. Si tres hombres trabajan 8 horas diarias y hacen 80 metros de una obra en 10 días, ¿cuántos

días necesitan 5 hombres trabajando las mismas horas en hacer la misma obra?. 61. Una guarnición de 1600 hombres tienen víveres para 10 días. Si se refuerza con 400 hombres

más. ¿Cuántos días durarán los víveres?. 62. Un auto recorre 150 Km. con 12 litros de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina se necesitan

para recorrer 500 Km.? 63. Los miembros de una línea de carga estiman que pueden cargar 8 cajas en 20 minutos. A este

ritmo, ¿Cuántas cajas pueden cargar en una hora? 64. En un mapa, 1 cm. Representa 3.27 Km. Si en este mapa hay una distancia de 24.5 cm. entre

dos ciudades. Cuál es la distancia real entre ellas? 65. Un reloj se atrasa 2 minutos cada 15 horas. ¿Cuánto se atrasará en dos horas? 66. Una escuela tiene un reglamento que indica que en viajes escolares, 2 adultos deben

acompañar a cada grupo de 15 estudiantes. ¿Cuántos adultos se necesitan para llevar a 180 estudiantes de viaje?

67. Para hacer cemento se necesitan 4 palas de arena por cada 5 de grava. ¿Cuántas paladas de

grava se necesitan para 64 de arena? 68. La razón entre estudiantes extranjeros y americanos en un colegio es de 2 a 35. ¿Cuántos

estudiantes extranjeros asisten a este colegio si hay 1575 estudiantes americanos? 69. Completa la tabla que se muestra considerando que un automóvil viaja a 80 km. por hora.

Tiempo (en horas) 1 2 3 4 5 6 7Kilómetros recorridos 80 ? ? ? ? ? ?

70. Un impuesto indirecto se paga de acuerdo con el precio de venta de los artículos al

consumidor o a la consumidora. Completa la tabla siguiente.

Precio P (en $) 20 40 60 80 100 120 140Impusto I ( en I) 2 4 ? ? ? ? ?

71. Completa la tabla que indica que el número de ladrillos pegados por un obrero, varía de

acuerdo con el tiempo

Tiempo (en horas) 1 2 3 4 5 6 7Ladrillos pegados 20 ? ? ? ? ? ?

167

72. Un automóvil recorre 348 km. en 4 horas a velocidad constante. ¿Qué distancia recorrerá en

6 horas? 73. Una empresa transportadora cobra $5,800 por cada 1000kg de carga. Por transportar 48,000

kg al mismo destino, ¿cuánto cobrará? 74. Un telar teje 425 metros de tela en 5 horas. ¿Cuántas horas demorará en tejer 1000 metros de

tela? 75. Un automóvil consume 25 litros de gasolina en 120 km de recorrido. Al recorrer 180 km,

¿cuántos litros consumirá? 76. ¿Cuál es la razón de área de un cuadrado de lado 16 metros con otro cuadrado de lado 3

metros? 77. ¿Cuáles de los siguientes pares de magnitudes están directamente correlacionadas?.

Expliquen

a) La cantidad de dinero que lleva una pareja al supermercado y lo que puede comprar con él.

b) El consumo de luz en casa y el costo que debe pagar mensualmente c) El precio de un artículo y el número de éstos que puede comprar un señor d) La cantidad de kilómetros recorridos por un taxista y la cantidad de combustible que

gasta. e) La cantidad de kilómetros recorridos por un taxista y el combustible que resta por

quemarse. 78. Las magnitudes relacionadas en las tablas de datos son directamente proporcionales;

encuentra los valores que faltan: Proporcionalidad y saltos de rana

Brincos de la rana 1 3 5 8 10 12 15Espacio recorrido 2.4 ? ? ? ? ? ?

Proporcionalidad y perímetro

Longitud del lado (en cm) 0.8 5.6 7.4 12.9 15.4 16.1 18Perímetro del triángulo equilatero (en cm) ? ? ? ? ? ? ?

168

79. Completa las siguientes tablas

De las tablas anteriores, determina la constante de proporcionalidad de cada una. 80. La siguiente tabla muestra los deportes preferidos por 100 estudiantes.

47 Futbol

16 Baloncesto

29 Patinaje

8 Voleybol

a) ¿Cuántos estudiantes escogieron fútbol como su deporte favorito?, ¿qué porcentaje

corresponde a esa cantidad? b) ¿Qué porcentaje escogió patinaje como su deporte favorito?, ¿ y voleibol? c) ¿Cuánto mayor es el porcentaje que escogió fútbol como su deporte favorito que el

porcentaje que escogió patinaje?

No de limones Cuestan3 1 Peso152725

Cantidad 1 Cantidad 2 8 7 162432

35

Tiempo Dis tancia1/2 P .M. 11/2Km1 P.M.2 P.M.21/2 P . M .41/2 P.M. 131/2Km5 P. M.

No de pesos No de dólares23 392

315010176

Cantidad Cantidad 13 39 303

20252

169

81. Por una casa cuyo valor es de $8,500,000 se paga un impuesto de $125,000 anual ¿cuál será el precio de una casa por la cual se paga $180000 de impuesto anual?

82. Una fábrica de tejidos elabora 1250 sacos en 3 meses, ¿Cuál será la producción en año y

medio? 83. Escribe como porcentaje:

a) 9 de 100 b) 10 de 100 c) 16 de 100 d) 99 de 100 e) 43 de 100 84. Escribe en forma de porcentaje:

2019)

53)

251)

5043)

21)

108)

10017) gfedcba

85. Escribe en forma de fracción y halla su mínima expresión.

a ) 10 % b ) 57 % c ) 75 % d ) 6 % e) 1 % f ) 72 % g ) 22 % h) 67% 86. ¿A qué número entero es igual 100%?, ¿A qué fracción es igual 150%? 87. Escribir cada decimal en forma de tanto por ciento.

a) 0.62 b) 0.8 c) 0.015 d) 1.5 e) 0.465 f) 0.001 g) 0.05 h) 0.005 88. Completa la tabla :

Por ciento Fracción Decimal Fracción Simplificada 20%

16/20 0.15 4/5 50/100

89. Completa la tabla:

Cantidad % = tasa Porcentaje Capital Tasa de interés Interés o rédito 750 14% 3% 27 2400 96

170

90. La probabilidad de ganar la lotería es 0.01%. ¿Cómo interpreta este hecho? 91. En un colegio se van a graduar 250 estudiantes, el 18% de ellos optó por estudiar medicina.

¿Cuántos estudiantes se dedicarán a la medicina? 92. ¿A cuánto equivale el 50% del 50% de 200? 93. El precio de un artículo se incrementa en el 10% y al nuevo valor se le rebajó un 10%. ¿En

qué porcentaje varió su precio? 94. Si la canasta familiar de un país aumentó en un 20% y un padre de familia gastaba

$250.00 en ella, ¿cuánto debe invertir ahora? 95. El salario de un empleado aumentó en un 30% , si el empleado ganaba $ 4500.00, ¿cuál es

su nuevo salario? 96. ¿Qué tanto por ciento es? a) 25 de 5 b) 50 de 25 c) 80 de 90 d) 90 de 80 e) 36 de 24 f)0.5 de 2 97. Escriba el símbolo > ó < para comparar los siguientes porcentajes :

a) 3% de 345 ______5% de 325 b) 45% de 67 _______ 50% de 53

c) 18% de 27 _______62% de 48 d) 75% de 49 _________80% de 62

171

II.3. LOS NÚMEROS REALES II.3.1 LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Los racionales son una clase de números muy decente, nos ayudan a desempeñarnos en la casa, en la tienda, en el taller, en la fábrica, en actividades especializadas como la ingeniería, y podríamos alargar mucho esta lista. Pero si aumentamos el grado de especialización, digamos en varias áreas del trabajo científico, particularmente en el trabajo del matemático, entonces resulta necesario un examen más fino de los números. En la misma preparatoria, digamos en el estudio de la geometría analítica y del cálculo diferencial e integral, tendremos necesidad de otra clase de números; por lo pronto haremos una breve referencia a éstos como una coronación lógica del camino que hemos transitado en el estudio de los números.

Los enteros negativos pueden considerarse un tanto extraños; mientras los naturales o las

fracciones positivas dejaron sus huellas en antiguas civilizaciones muy anteriores a nuestra era, los negativos van emergiendo lentamente apenas alrededor del siglo VI, lo que da fe de lo difícil que debe ser ese concepto, sin embargo ahora cualquier cronista deportivo los maneja sin mayor dificultad. Pero entonces son aún más extraños los llamados números irracionales cuya existencia nos proponemos comentar aquí; por un lado, aún ahora, no sólo están lejos de ser comprendidos por los cronistas, sino también por muchas personas que han tenido una educación matemática estimable; pero, por otro lado, a diferencia de los negativos, se sabía de su existencia alrededor de quinientos cincuenta años antes de nuestra era.

Allá por el siglo VI a.C. el buen Pitágoras que creía saber todo lo que a números se refería

se topo con algo que le pareció muy extraño, digamos que sólo quería calcular la medida de la diagonal de un cuadradito cuyos lados medían 1 (una unidad).

¿Cuánto vale d?, la respuesta estaba en una sencilla aplicación de su famoso teorema (el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos), simplemente había que escribir:

d2 =12 + 12 y despejar d, es decir: d2 =2, así que d es un número cuyo cuadrado es 2.

1d

172

Recordemos cómo se comprueba una raíz cuadrada, por ejemplo, 39 = , se tiene que

comprobar que 3·3 = 9 o bien 32 = 9, es decir, la raíz cuadrada de 9 es un número cuyo cuadrado es 9; como d2 = 2, ocurre que d2 = , así que la d no es más que la raíz cuadrada de 2.

El caso es que Pitágoras tenía que encontrar un número cuyo cuadrado fuera 2; pero cuando Pitágoras decía “número”, se refería a lo que hemos llamado número racional, es decir,

algo que en nuestra escritura actual tiene la forma qp , siendo p y q enteros y todo eso.

Aprovechando que tenemos a la mano una calculadora de bolsillo vamos a tratar de

encontrar un “quebrado” cuyo cuadrado sea 2, siguen unos ensayos:

d 7

10 56

79 70

99 13995

19792

d2 2.04081 1.99011 2.00020 2.00001

Para esto procedimos casi al tanteo, tomamos como aproximación las primeras cinco cifras decimales y entre varios ensayos éstos fueron los mejorcitos. Podemos cambiar el método de las adivinanzas por uno de búsqueda ordenada, y podemos encontrar muchas aproximaciones aún mejores, pero no le haremos al loco tratando de hallar la fracción cuyo cuadrado es 2 porque, a diferencia de Pitágoras, ya sabemos que jamás podremos encontrar un número racional cuyo cuadrado sea exactamente 2, simplemente no lo hay. Después de sesudas consideraciones el matemático griego llegó a esta conclusión, lo que no fue muy de su agrado, no sólo resultó que no conocía todos los números como creía, sino peor aún, él era un filósofo muy competente que hablaba de muchas cosas, pero resulta que a final de cuentas todas estaban basadas en los números, claro en los que conocía, y la medida de la diagonal no era alguno de ellos, era otra cosa que él desconocía. Aquí le vamos a cortar al relato, para nosotros simplemente Pitágoras encontró un número desconocido que no era racional, para él, por varias circunstancias, hagan de cuenta que se topó con el quinto pasajero, ya saben, un alien, que resultó causarle gran espanto y muchos problemas.

Puede valer la pena incluir aquí un argumento para desechar la posibilidad de que haya una fracción

cuyo cuadrado sea 2. En lo que sigue usaremos lo que se ilustra en la tabla: Número impar 3 5 7 9 11

su cuadrado 9 25 49 81 121 Es decir, los cuadrados de los impares siempre son impares, claro ésto se puede demostrar y no es difícil.

Ahora veamos qué ocurre si suponemos que q

p es la fracción cuyo cuadrado es 2, pasaría que

173

Revisemos rápidamente un número famoso, π, ésta “p” griega se utiliza para representar

“las veces que cabe al diámetro de una circunferencia sobre la propia circunferencia”, échale un ojo a la figura que sigue.

En la tabla adjunta se resumen algunas estimaciones que a través de la historia se han

hecho del valor del famoso número.

Lugar y época

Egipto, S. XVII a. de C La Biblia

India S. V China S. V Inglaterra, 1874

Valor estimado

de π 16049.3

81256

3

3.1416 14159.3112355

≈ 707 cifras decimales

exactas

Imagina que cortas un alambre de la misma medida que el diámetro d y le das la forma de un arco que se pueda acomodar bien sobre la circunferencia, entonces lo podrías colocar aproximadamente 3 veces y un poquito más sobre la circunferencia, el ‘poquito’ es, según algunos cerca de 0.1416, la tabla da algunos valores estimados, esos son valores propuestos para π. (Lecturas Universitarias. Antología de Matemáticas. UNAM, 1971)

d

174

Los quebrados de la tabla dan fe de la búsqueda de un número racional que sea “el número de veces que el diámetro cabe en la circunferencia”, esta búsqueda tampoco podía tener éxito, hoy se sabe que π tampoco es un número racional.

También es ilustrativo lo de las 707 cifras decimales exactas; con las computadoras de

hoy se pueden calcular muchas más, por aquí tenemos el dato de que se han llegado a calcular 1,260,321,336 dígitos (¡!), pero no con el fin de hallar el valor exacto de π, desde el momento que no es un racional no se podrá representar en forma convencional con una fracción decimal. Veamos más de cerca esto.

Ya hemos dicho lo que son los números racionales. En cuanto a su representación decimal

los hay básicamente de dos tipos: los decimales finitos, es decir los que tienen un número

determinado de cifras decimales como: 625.3829 o 75.0

43

== , y los periódicos infinitos,

sus cifras decimales son ilimitadas, siempre se pueden conseguir más, pero éstas tienen un

periodo, por ejemplo 641.21229

= o 571428.17

11= .

También vimos el enfoque inverso, un decimal finito siempre se podrá expresar como

quebrado, por ejemplo 5.12 se transforma en 100512 ; ya hemos visto que lo mismo se hace con

cualquier decimal periódico. Ejemplos.

Escribe cada decimal finito en forma de “quebrado”. i) 0.374

Solución: Consideramos el 0.374 como “ trescientos setenta y cuatro milésimas”, ó

0.374 = 1000374

ii) 8.2

Solución: Se tiene, ocho enteros dos décimos, es decir:

8.2 = 8 + 541

10082

102

==

175

iii) Escribe el siguiente decimal periódico infinito en forma de “quebrado”.

85.0

Solución: Sea 85.0=n , de modo que ...85858585.0=n , multiplicamos ambos lados de la igualdad ...85858585.0=n por 100. ( Utilizamos 100 ya que hay dos dígitos en la parte que se repite).

...85858585.0=n ( 1 ) 100 ...85858585.0=n (100) 100 ...858585.85=n ( 2 ) Restamos la expresión de ( 1 ) de la última expresión ( 2 ). 100 ...858585.85=n ( 2 ) ...85858585.0=n ( 1 ) dando como resultado: 99 n = 85 ( Recordemos que: 100 n – n = 99 n )

Por lo que: n = 9985

ACTIVIDAD:

Convierte cada decimal finito en un cociente de enteros. Escriba cada una en sus términos

más simples: i) 0.4 ii) 0.85 iii) 0.934 iv) 0.7984 Convierta cada decimal repetitivo en un cociente de enteros. Escriba cada uno en sus

términos más simples: i) 0.8 ii) 0.54 iii) 3. 09 Vamos a convenir en admitir al 0 como periodo, entonces podemos escribir, por ejemplo,

075.0...75000.043

== , así también los decimales finitos pueden ser considerados como

decimales periódicos infinitos, sólo que con periodo 0, entonces:

176

Regresando al asunto de π, vemos que por más cifras decimales que se obtengan, siempre

quedarán pendientes más y más y sin periodo, ésta es una característica de 2 y de π, pero si de inventar números que sean decimales infinitos sin periodo se trata, podemos encontrar muchos, basta hacer algún truco que haga imposible la aparición de un periodo, por ejemplo (explica en cada caso cuál es el truco):

0.101001000100001… 0.010110111011110… 87.11222111122222… ¿Habrá muchos irracionales?, he aquí una idea al respecto. Hemos mencionado cinco

ejemplos ( 2 , π y los tres decimales de arriba). Resulta que la suma de una fracción con un racional siempre da un irracional. Por ejemplo:

Tomamos π + ¾ = x, despejamos al irracional: π = x − ¾ , se sabe que la resta de dos racionales siempre es un racional, entonces si x fuera racional π sería racional, cosa imposible, así que x debe ser irracional.

Ahora échale lápiz, si a cada racional le sumamos cada uno de nuestros cinco irracionales

obtenemos un buen de irracionales; si cada uno de éstos se le suma otra vez a cada racional, resulta otro gran montón de irracionales, etc. Auque la cosa no es tan fácil como la estamos platicando, ya George Cantor, matemático él, demostró que hay muchísimos más racionales que irracionales. Imagina que metemos en un costal todos los racionales junto con todos los irracionales, ahora mete la mano y sin ver saca un número, hay tan poquitas fracciones comparativamente que sería casi imposible sacar una.

Hoy se sabe que los radicales (raíz cuadrada, raíz cúbica, raíz cuarta, etc. ) están entre los

más conocidos generadores de números irracionales; la mayoría de radicales que se nos ocurran no serán números racionales, por ejemplo son irracionales:

44333 32432532

Así que los irracionales son monstruosos chorizos infinitos de dígitos que aparecen,

digamos, sin ton ni son (no hay periodo), y que forman un monstruoso conjunto que casi no permite que se noten las fracciones; tienen la mayor importancia teórica, aunque casi nula importancia práctica por lo difícil que resulta manejarlos, para eso están las fracciones, quizá parte de la facilidad en el manejo de éstas se deba a lo relativamente pocas que son y a lo relativamente fácil que es hallar aproximaciones decimales suyas (por división).

Todo número racional es un decimal infinito periódico.

Definición: A todos los decimales infinitos no periódicos se les llama números irracionales.

177

Si nos trasladamos a la recta numérica, podemos recordar la propiedad de densidad de las

fracciones (o de los racionales), según ésta pareciera que los racionales se apretujan en la recta unos con otros hasta no dejar huecos entre sí, pero si observáramos (imaginariamente, claro) con un super microscopio ¡veríamos unos “pocos” puntos con su fracción asignada y una enorme cantidad de puntos sin número!, ahora bien, si acomodamos en ellos a los irracionales resultaría completamente llena la recta, cada punto con su número y cada número con su punto. Claro, no hay tal microscopio, pero la mente y una buena herramienta matemática permite “ver” más que eso, cosa que ya no nos corresponde.

II.3.2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Ahora bien, juntemos a los números irracionales con los racionales y tendremos al llamado conjunto de los números reales.

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩

⎪⎨⎧

periódicos no infinitos decimales :esIrracional

dassimplifica fraccionesenterosnaturales

infinitos periódicos decimales :RacionalesReales Números

El sistema de los números reales se indica en la forma (R, +, ·, <) y consta de cinco partes:

I. El conjunto R de los números reales. II. Las operaciones de adición y multiplicación, imagínalas como operaciones con

fracciones decimales, sólo que se tienen que hacer adecuaciones para tratar cadenas infinitas de dígitos (que no haremos aquí).

III. Las propiedades ya vistas antes para ambas operaciones: cerradura, conmutativa,

asociativa, existencia y unicidad de elementos neutros para ambas operaciones, existencia y unicidad de elementos inversos para ambas operaciones, distributividad de la multiplicación respecto a la suma. Todas esas propiedades describen a los racionales. Para describir a los irracionales se requiere una propiedad más que supera los límites de este curso, pero la idea de su misión es que debe asegurar que en la recta no quede punto alguno sin su número real asociado, ni queden reales sin su punto.

IV. Una relación para ordenar a los reales, es decir, un criterio con el cual, si tomamos dos

números reales, podamos decidir cual de éstos es el menor; o dicho de otro modo, un criterio para poner a los reales en fila de menor a mayor.

178

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN II.3

1. Identifica cada uno de los siguientes números como racionales o irracionales:

a) 0.0101 b) 0. .01 c) 0.4040040004… d) 1.415 e) 1.415555… f) 0.004004004…

2. Supón que x, y, z son números reales cualesquiera, describe con ellos las propiedades que ya

hemos visto para las clases anteriores de números y que enlistamos en el punto III en la

página anterior.

Por ejemplo, la conmutativa para la multiplicación se escribe: x·y = y·x

3. Muy al principio nos referimos al símbolo “⊂”, una expresión como A⊂B se lee “el conjunto

A es una parte del conjunto B”, y significa precisamente que A es un conjunto más pequeño

que B y que está metido en éste:

a) ¿Cómo se lee cada una de las siguientes expresiones y cuál de ellas es verdadera?:

N ⊂ Z ó Z⊂ N

b) En la página anterior presentamos un esquema hecho con llaves con las clases de

números que hemos estudiado aquí, las enlistaremos sin ningún orden especial: Z, R,

N, Q, has una cadena con ellos conectándolos con el símbolo “⊂”, de modo que quede

indicado cuál es una parte de cuál.

4. Al empezar a hablar de los irracionales construimos una tabla de fracciones cuyos cuadrados

están cercanos a 2 (página 172), el procedimiento fue más o menos el siguiente, tomamos un

quebrado, por ejemplo 23 , hicimos la división 3÷2 = 1.50000 (siempre tomaremos cinco

dígitos), elevamos al cuadrado: (1.50000)2 = 2.24000, que se pasa mucho de 2. Así que la

fracción buscada debe ser menor que la tomada. Entonces multiplicamos la anterior arriba y

abajo por ejemplo por 10, 2030 , una fracción menor es, por ejemplo,

2028 =1.40000, elevamos

al cuadrado, (1.40000)2 = 1.96000, que está por debajo de 2, así que la fracción buscada debe

ser mayor que la tomada. Entonces multiplicamos arriba y abajo por alguna potencia de 10

(10 ó 100 ó 1000, etc). Auxiliándote de una calculadora de bolsillo busca algunas fracciones

que se aproximen a 3 , es decir fracciones cuyo cuadrado esté cerca de 3, así llena la

179

siguiente tabla ( 3 también es irracional, así que no hay fracción cuyo cuadrado sea

exactamente 3). Acomoda tus resultados en la tabla que incluimos aquí:

Fracción: q

p

Cuadrado: 2

qp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

5. Enseguida damos una tabla con una lista de números, en la columna de cada uno de ellos

marca las clases de números a las que pertenece, se dan algunos ejemplos: -7 3/4 2+π 3 5 2 9/6 4 -7/8 22 + 0/5 3/0 0/1 1

N *

Z *

F *

Q *

I *

R * *

6. “Acorralando” a 2 con fracciones decimales:

Para empezar consíguete una calculadora. Como se ha dicho, √2 no es igual a alguna fracción decimal, pero podemos obtener un aproximación decimal suya acorralándola entre fracciones decimales cada vez más finas:

Primera aproximación: 1< 2 porque 12 < 2 también 2 < 2 porque 2 < 22 en resumen 1< 2 <2 Segunda aproximación: Ahora dividimos en diez partes iguales el intervalo entre 1 y 2:

210

20,

10

19,

10

18,

10

17,

10

16,

10

15,

10

14,

10

13,

10

12,

10

11,

10

101 ==

Probando fracción por fracción buscamos las más cercanas a 2 por arriba y por abajo, encontramos en resumen que:

1015

21014

resumen en 100

2252 porque

10

152 y 2

100

1962

10

14 porque 2

10

14<<<<<=< ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Tercera aproximación:

Dividimos en diez partes iguales el intervalo entre 10

15

10

14y :

1015

100150

,100149

,100148

,100147

,100146

,100145

,100144

,100143

,100142

,100141

,100140

1014

== Encuentra las dos fracciones que acorralan aún más de cerca 2 , después efectúa la 4° y 5° aproximación.

180

TERCERA UNIDAD III.1. INTRODUCCIÓN A LA TERMINOLOGÍA Y A LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS BÁSICAS INTRODUCCIÓN

La obra más antigua que se conserva sobre álgebra es la de Diofanto de Alejandría (siglo IV d.c.). El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (siglo IX D.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día.

La aritmética surgió tempranamente de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo, de contar sus posesiones, de llevar un control de sus mercadeos y otras necesidades más o menos inmediatas. El origen del álgebra es muy posterior, como se ha mencionado transcurrieron muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número, que es el fundamento del álgebra. Digamos que el garabato “3” es un número particular, sabemos, por ejemplo, qué resulta si lo sumamos con 17 o si lo multiplicamos con 23; mientras que si decimos que x es un número entero, no sabremos qué resulta de sumarlo con 17 ni de multiplicarlo por 23, pero sí sabremos en ambos casos que el resultado será un entero; sabremos que no necesariamente al dividir 12 entre éste se obtendrá un entero, y si lo fuera será divisor de 12, lo que sí ocurrirá necesariamente es que tenga un inverso aditivo y que ya que lo hayamos localizado no habrá otro, etc, al decir “x es un número entero” sabremos bastante acerca de las características que tendrá aunque no se sepa de qué número hablamos; si nos dijeran que “x es un número racional” sabremos qué características de las mencionadas antes se conservan y qué otras se agregan. Todo esto y más es lo que significa el “concepto abstracto de número”.

Como ya hemos estudiado todo eso, tenemos la mayor parte de camino andado para comprender y manejar el álgebra, esa es una de las ventajas que proporciona el estudio de los números. TEMARIO: III.1. Introducción a la terminología algebraica. III.1.1. Usos algebraicos de las letras. III.1.2. Dominio de una letra. III.1.3. Traducción recíproca entre la lengua materna y el lenguaje algebraico. III.1.4. Vocabulario algebraico simple. III.1.5. Términos semejantes y manejo de expresiones que contienen símbolos de agrupación.

181

III.2. Operaciones algebraicas básicas. III.2.1. Adición y resta de polinomios. III.2.2. Multiplicación de potencias y de monomios. III.2.3. Multiplicación de polinomios. III.2.4. División de potencias de monomios. III.2.5. División de polinomios. Ejercicios de operaciones con expresiones algebraicas. III.1.1. USOS ALGEBRAICOS DE LAS LETRAS

Quizá no sea muy provechoso tratar de explicar tan tempranamente, es decir, al empezar el tema, qué es y qué no es el álgebra, para qué sirve y para qué no; tal vez sea más beneficioso empezar a desarrollar con algún detalle sus ideas básicas e ir atando cabos en el camino.

De entrada sabemos que el álgebra trabaja con números y con letras que representan números, y en ese sentido ya sabemos bastante, pero hay que hacer algunas precisiones al respecto.

Los principales ingredientes del álgebra elemental son:

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

incógnitas Las 3.

esdependient b)

ntesindependie a) variablesLas 2.

relativas b)

reales) (números absolutas a)constantes Las 1.

Ahora hay que ver con qué se come cada cosa de éstas, con unos ejemplos fáciles se puede explicar chido esto.

De entrada, las constantes absolutas que hacen referencia a cantidades que no cambian

con el tiempo ni dependen de la situación en la que se apliquen, es sólo otra forma de llamar a los números reales, nada pasa si nos referimos a ellos en una u otra forma.

Ahora supongamos que el curso de química en el grupo I-A se va a evaluar como sigue: la

calificación puede ser desde 0 hasta 10 y se determinará en esta forma: cuatro de los diez puntos se van a dividir por partes iguales entre ocho prácticas; dos puntos más dependerán de las asistencias, la puntualidad, la participación y esas cosas que por brevedad llamaremos “cumplimiento”; los cuatro puntos restantes se dividirán por partes iguales entre diez preguntas de un examen (no nos preocuparemos de ajustar a un entero las calificaciones decimales que se obtengan):

182

- ¿Cuál es la calificación de un carnal que tuvo 4 prácticas, 5 aciertos en el examen y sus 2 puntos por cumplimiento? Hagamos el cálculo con detalle.

Esto es aritmética, un cálculo particular para cierta persona. - Elaboremos una expresión que represente la calificación de una persona que entregó x

prácticas, tuvo 5 aciertos en el examen y sus dos puntos por cumplimiento.

2y104x

84

++ o bien 0.5x + 0.4y +2

Esto ya corresponde a lo que normalmente llamamos álgebra, ¿no es así? Sobresalen dos

rasgos: por un lado, la expresión no representa la calificación de una persona concreta, sino de cualquiera que tenga sus 2 puntos por cumplimiento, ¿de acuerdo?; por otro lado, en este caso no podemos calcular un valor numérico, lo que realmente interesa aquí es el procedimiento operativo, la rutina de pasos que se sigue para calcular calificaciones.

De manera muy natural les podemos llamar a estas letras variables, no tienen valor fijo:

para un alumno pueden ser x=7, y=10 , para otro x=4, y=8, para aquél x=5, y=9, etc. Ahora supongamos que las proporciones de los puntajes varían de un grupo a otro como

indica la tabla: - Expresemos para cada grupo el procedimiento a seguir para asignar calificación a los

alumnos con x prácticas, y aciertos en el examen y que cumplieron satisfactoriamente:

0.5x + 0.4y + 2 1x + 0.4y + 0 1x + 0.5y + 1 - Calcula la calificación de un alumno del I-C que entregó 4 prácticas, tuvo 4 aciertos y

que cumplió.

grupo prácticas examen cumplimiento I-A 4 puntos entre

8 prácticas 4 puntos entre10 preguntas

2 puntos

I-B 6 puntos entre6 prácticas

4 puntos entre10 preguntas

0 puntos

I-C 5 puntos entre5 prácticas

4 puntos entre8 preguntas

1 punto

Valor de una n° de prácticas valor de un n° de aciertos cumplimiento Práctica entregadas acierto

62)5(104)4(

84

=++ (¡panzazo!)

183

- Elaboremos una expresión que sea el modelo de las diversas modalidades para calcular las calificaciones:

¿Qué les parece lo siguiente?: ax + by + c a, b y c toman valores dependiendo del grupo académico de que se trate.

Éstas últimas letras también son variables ‘pero nomás tantito’ porque una vez que se escoja grupo adoptan un valor fijo, o como se dice en matemáticas, un valor constante. Estamos hablando de letras que al pasar de una situación a otra (de un grupo a otro en este ejemplo) pueden cambiar su valor, pero en la situación misma tienen un valor inmutable, para conciliar las dos características se les llama constantes relativas.

Ahora suponemos que Lety es del grupo I-A y que su calificación fue 8.3. Si tuvo sus

puntos de cumplimiento y 7 aciertos en el examen, ¿cuántas prácticas entregó? Ahora por tanteo o con lo que recuerdas de ecuaciones puedes hallar el valor de x, por lo

pronto no estamos interesados en eso, lo que nos importa es que aquí la letra x no es una ‘variable’, de hecho no puede tener muchos valores, sólo ocupa el lugar de un número desconocido que se quiere conocer, aquí la letra es una incógnita.

Intentemos un resumen:

Observaciones: - Se entiende que es impreciso aquello de “las primeras letras” o “las últimas”; más aún,

si preferimos usar una de las primeras letras como variable nada lo impide, sólo que entonces hay que aclarar que así se va a hacer; pero por default haremos como hemos dicho, en todo caso esto no crea mayores problemas.

- Ya en el terreno puramente operativo lo usual es que no sea importante distinguir qué papel juega cada letra, sólo en algunas partes resulta importante y al llegar a ellas lo subrayaremos.

0.5x + 0.4y+2 0.5x + 0.4(7) + 2 = 8.3 0.5x + 4 8 = 8 3

Las letras se usan en álgebra elemental como:

1. Variables: representan números cualesquiera de un conjunto dado, la costumbre es usar las últimas letras del abecedario: x, y, z

2. Constantes relativas: en general toman diversos valores pero en una situación dada tienen valores fijos: usualmente se usan las primeras letras del abecedario: a, b, c

3. Incógnitas: representan números desconocidos que se pretende conocer, también suelen usarse las últimas letras del abecedario

184

Ejemplos:

La fórmula d = ½ at2 sirve para calcular en ciertas condiciones la distancia que ha recorrido un objeto que se mueve con aceleración constante a al cabo de un tiempo t. Ya lo dijimos, a es una constante, imaginemos a un grupo de automovilistas con el pie fijo en el acelerador, cada uno con alguna aceleración, podemos decir que la fórmula se aplica a todos ellos y a ninguno: a puede tener cualquiera de los valores que se dan en el grupo, pero cuando aplicamos la fórmula a uno de ellos a queda fija mientras dure ese movimiento.

La misma fórmula sirve para ilustrar otra cosa, ¿qué distancia d ha recorrido el objeto?, lo

que cualquiera respondería eso depende, ¿de qué? Del tiempo t que el objeto se haya estado moviendo, de aquí que se diga que d es una variable dependiente; por cierto que el tiempo es una variable independiente por excelencia, cambia y cambia sin dejarse controlar; claro, las más de las veces las cosas son de otro modo, en la mayoría de los casos nosotros elegiremos cuál es la variable independiente y cuál es dependiente según el problema.

Por cierto ½ y 2 son constantes absolutas, o sea, números reales.

Muchos recordarán la famosa ecuación de segundo grado, se escribe:

ax2 + bx + c = 0 Aquí x es una incógnita y el hecho de usar constantes a, b, c significa que no las

consideramos también cantidades desconocidas, sino que en la práctica serán números bien determinados.

Recordemos la fórmula para calcular el área de un triángulo: A = 2

bh , en ésta, A

representa el área, b la base y h la altura del triángulo. Si usamos esta escritura, ¿cómo clasificarías a cada componente de la fórmula?

Y en la fórmula para calcular la longitud de una circunferencia 2C rπ= , en donde C representa la longitud, r el radio ¿cómo clasificarías cada componente? III.1.2. DOMINIO DE UNA LETRA

Vamos a escribir cualquier chorizo de letras y números, 3x2+7xy – ½, ¿qué valor pueden tener las letras? Es común escuchar, “cualquiera”, y en la mayoría de casos así es, pero no siempre, por ejemplo, regresemos a las calificaciones de grupo I-A:

0.5x + 0.4y + 2 Por el contexto del problema los valores que puede tomar x son:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} porque los alumnos pueden entregar 0 prácticas,1, 2 y así hasta 8 prácticas (claro, podemos inventar una práctica a medias, en cuyo caso x podría ser la mitad de lo que vale una práctica, o algo así, por lo pronto no lo tomaremos en cuenta), entonces x no puede ser 3781 o π.

185

Algo semejante pasa con los valores que puede tener y, se ve que puede tomar los valores: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (también desechando medios puntos y cosas así).

En ocasiones las letras no podrán tomar algunos valores, no por el contexto del problema,

sino por razones matemáticas, por ejemplo:

En 3

5−+

xx , x no puede ser 3 porque el denominador se convertiría en 0 y ya se ha dicho

que una cosa como 08 no tiene significado en matemáticas, diríamos que en tal expresión x

puede ser cualquier número real excepto 3. Otra vez con la raíz cuadrada, ¿cómo se comprueba, por ejemplo, que es correcta la

expresión √9 = 3?, así (3)(3) = 9 ¿Será correcto ?24 =− , claro que no, entonces tal vez lo sea 24 −=− , tampoco porque (−2)(−2) no da – 4, de hecho no hay resultado para esa operación,

porque al multiplicar un número por sí mismo tendremos factores de signos iguales y la ley de signos de la multiplicación no podrá dar un negativo. Por esa razón, mientras se trabaje con números reales no hay forma de calcular raíz cuadrada de números negativos. Esto conduce a que si escribimos:

xx −8 o En el primer caso x no puede ser un número negativo, en el segundo x no puede ser mayor

que 8 porque el resultado sería negativo, que es lo que no se vale. En resumen, ya sea por el contexto del problema o por razones matemáticas, puede ser

inadmisible que una letra tome ciertos valores, entonces hay que especificar qué valores sí puede tomar.

Ya mencionamos los dominios de x y y en el ejemplo de las calificaciones. Para la fracción mencionada arriba el dominio es el conjunto de todos los números reales,

excepto 3. Para la primera de las raíces el dominio de x es el conjunto de todos los números reales no

negativos. Para la segunda raíz es el conjunto de todos los reales menores que 8. En el ejemplo de las calificaciones son posibles otros dominios más amplios, por ejemplo

considerando medios puntos, en los otros no podemos ampliar más los dominios, hemos dejado fuera la menor cantidad posible de números; cuando hacemos ésto se dice que se toma el dominio natural o el mayor dominio de la letra, muchas veces el dominio natural de las letras es el conjunto completo de los números reales.

Definición: Al conjunto de valores que puede tomar una letra se le llama dominio de esa letra.

186

ACTIVIDAD En las siguientes expresiones indica el domino para cada una de ellas.

i) xy

ii) ii) x yx y

+−

iv) 2x + v) 2x +

vi) 3 4x − ⟩

III.1.3 TRADUCCIÓN RECÍPROCA ENTRE LA LENGUA MATERNA Y EL

LENGUAJE ALGEBRAICO En álgebra es muy importante saber traducir las proposiciones verbales comunes (se dice que están dados en lenguaje natural ) a proposiciones con lenguaje algebraico (utilizando los ingredientes ya estudiados del álgebra). Para la solución de problemas, la traducción de las proposiciones verbales comunes a un lenguaje algebraico es fundamental, ya que nos permite una mejor comprensión del problema. A continuación daremos algunos ejemplos de enunciados verbales comunes traducidos a lenguaje algebraico.

Algunas palabras que indican adición son: suma aumentar mayor que más incrementar más grande que Algunas palabras que indican sustracción son: resta menos menor que diferencia disminuir perder Algunas palabras que indican multiplicación son: producto veces triple multiplicado doble cuádruplo Algunas palabras que indican división son: cociente mitad razón dividido entre tercera cuarta

3x3x

−+

187

Ejemplos: Expresión verbal Expresión Algebraica Un número cualquiera. z La suma de dos números. x + y La diferencia de dos números. y – z

La suma de dos números dividida entre su diferencia. zyzy

−+

El cubo de un número. x3 El doble del cubo de un número. 2x3 La suma de los cuadrados de dos números. x2 + y2

El cuadrado de la suma de dos números. ( w + z )2

La tercera parte del cubo de un número. 3

3x

¿Cuál es el número que agregado a 3 suma 8? w + 3 = 8

¿Cuál es el número que elevado al cubo da 27? z3 = 27

A continuación daremos algunos ejemplos de expresiones algebraicas, traducidas al lenguaje común.

Ejemplos

Expresión Algebraica Expresión verbal

2yx − La mitad de la diferencia de dos números cualesquiera,

o, la semidiferencia de dos números cualesquiera.

( x + y )3 El cubo de la suma de dos números cualesquiera.

w3 + y3 La suma de los cubos de dos números cualesquiera.

188

3 ( z – y ) Tres veces la diferencia de dos números cualesquiera, o, el triple de la diferencia de dos números cualesquiera.

( p + q ) ( p – q ) El producto de la suma por la diferencia de dos números cualesquiera.

ACTIVIDAD: Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales.

i) El producto de dos números

ii) El cuadrado de la suma de dos números

iii) El perímetro p de un triángulo cuyos lados son a, b, c.

iv) La diferencia de los cuadrados de dos números

v) ¿Cuál es el número que disminuido en 5 da por diferencia 13?

vi) El triple de un número es igual al doble del otro.

III.1.4. VOCABULARIO ALGEBRAICO BÁSICO

El álgebra como cualquier otra disciplina tiene una terminología que sirve de lenguaje común a todo aquel que la utiliza. Además esta terminología permite el desarrollo de conceptos elementales y complejos . Algunos de los conceptos básicos son: Expresión Algebraica. Es un grupo de números y letras combinados entre sí mediante

operaciones.

Ejemplos: 2x2 + 3y + 5 , ba + 2c + 4d , 3xy + 2z− x

Término Algebraico. Expresión algebraica que no contiene adiciones ni restas.

Ejemplos: 2x , 2ab, −5a3b , zxy2− , yx 32 ,

73xy , xy,

2−xz

En un término algebraico podemos distinguir el coeficiente numérico y la parte literal.

Coeficiente Numérico y parte literal de un término. El primero es el factor numérico de un

término, la parte restante de éste es su parte literal, véase la siguiente tabla:

189

ACTIVIDAD:

Para cada término escribe su factor numérico.

i) 5x ii) iii) −4x iv) 2(x + y) v) x3 vi) 3xy vii)

III.1.5. TÉRMINOS SEMEJANTES Y MANEJO DE EXPRESIONES QUE CONTIENEN SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Reducción de términos semejantes

ACTIVIDAD:

En los siguientes pares de expresiones indica los incisos en los cuales los términos son

semejantes y en cuales no.

i) 3x, 2x2 ii) − ab, ab iii) 4x2y, − 2xy2 iv) 8ab, 3ba v) 2 21 , 34

x x

Expresión Coeficiente numérico Parte literal

yx23 3 x2y

−5ab2 −5 ab2

5 2 x 25 x

7

3xy

73

xy

2

3

xy 2

1−

xy3

xz2 1 xz2

Dos o más términos son semejantes si difieren a lo más en sus coeficientes numéricos

2

21 x

2)(43 ba −−

190

La propiedad distributiva permite reducir una suma algebraica de dos o más términos semejantes a uno sólo (aquí se emplea “suma algebraica” en el sentido usado en la parte de números). Ejemplos:

a) 22222 4)1253(1253 xxxxx −=−+=−+

b) yayayayaya 22222

1431

21

72

21

72

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−=+−

En resumen:

Ejemplos:

1. 3a x−2 + 5a x−2 = 8a x-2

2. yzxyzxyzxyzx 2222

81

81

41

21

=−−

Puede ocurrir que no todos los términos de la expresión dada sean semejantes, pero que

sea posible formar grupos de términos semejantes, en cada uno de los cuales sea posible una reducción:

3. 222222222222 763476563745 abbaababbabababaabbaabbasemejantessemejantes

+=+++−=−+++4484476444 8444 76

4. 3 5 2 5a ab a a ab+ − = +

5. 2 2 2 2 2 25 7 6 6x y xy x y xy x y xy− + − = −

Símbolos de agrupación

Los símbolos de agrupación en álgebra tienen los mismos usos básicos que en el caso numérico, asimismo se manejan con las mismas reglas. Sólo hay diferencias en algunos detalles entre los usos numérico y algebraico de símbolos de agrupación, uno de ellos es su uso más generalizado para indicar multiplicación, pero por lo pronto nos detendremos en otro, el de subrayar que cierta expresión se considera como un todo.

Para reducir una suma algebraica de términos semejantes a un solo término, se efectúa la correspondiente suma algebraica de los respectivos coeficientes numéricos y al resultado se le agrega la parte literal de los términos

191

Por ejemplo, la expresión:

( 2x + 4y – z ) + ( 3x – 2y + 3z )

indica que estamos sumando sólo dos expresiones, las que están dentro de los paréntesis, en cambio, si cancelamos los paréntesis con la regla usual cuando a éstos les antecede un ‘+’ obtenemos una suma algebraica de varias partes:

2x + 4y – z + 3x – 2y + 3z De igual modo, enseguida damos una resta de dos expresiones

( 6a − 5b + 2c ) – ( 2a − 3b + 2c )

Desde que estudiábamos los números enteros advertimos que para simplificar expresiones con símbolos de agrupación bastaba la regla del paréntesis, pero que también se podían usar ciertas reglas para cancelar los símbolos de agrupación y finalmente reducir la suma algebraica resultante; mientras que en el caso algebraico lo más común es el uso del segundo de los procedimientos mencionados, aquí es el lugar apropiado para ver con más detalle ese caso.

Los dos ejemplos siguientes ilustran las dos reglas básicas para cancelar símbolos de

agrupación, si a ellas se agrega la de atender primero el símbolo de agrupación más interior, si es que hay unos símbolos dentro de otros, podemos manejar expresiones algebraicas: ( 2x + 4y – z ) + ( 3x – 2y + 3z ) = 2x + 4y – z + 3x – 2y + 3z = 2x + 3x + 4y – 2y – z + 3z = 5x + 2y + 2 ( 6a − 5b + 2c ) – ( 2a − 3b + 2c ) = 6a – 5b + 2c – 2a + 3b – 2c = 6a – 2a − 5b + 3b + 2c – 2c = 4a – 2b Ejemplos:

Eliminar los símbolos de agrupación y reducir términos semejantes. 1. 2x − { 3x + [ 4x − ( x – 2y ) + 3y ] − 4y } + 2y

Solución: 2x − { 3x + [ 4x − ( x – 2y ) + 3y ] − 4y } + 2y = = 2x − { 3x + [ 4x − x + 2y + 3y ] − 4y } + 2y = 2x − { 3x + [ 3x + 5y ] − 4y } + 2y = 2x − { 3x + 3x + 5y − 4y } + 2y

= 2x − { 6x + y } + 2y = 2x − 6x − y + 2y = − 4x + y

192

2. 4s − [ 2s − ( 3s – t ) + 2t ]

Solución: 4s − [ 2s − ( 3s – t ) + 2t ] = 4s − [ 2s − 3s + t + 2t ] = 4s − [ − s + t + 2t ] = 4s − [ − s + 3t ] = 4s + s – 3t = 4s – 2t 3. 2a − { 2a − [ 2a − ( 2a − b ) − b ] − b} − b

Solución: 2a − { 2a − [ 2a − ( 2a − b) − b] − b}− b = 2a − { 2a − [ 2a − 2a+ b − b] − b}− b = 2a − { 2a − b} − b = 2a − 2a + b – b = 0

Una Clasificación de Expresiones Algebraicas

Como hemos visto existen distintas clases de números que se distinguen entre sí por ciertas propiedades que tienen unos mientras que otros no, con las expresiones algebraicas pasa algo parecido. En particular, atendiendo a la propiedad de cerradura, resultó que sólo con ciertos conjuntos se pueden efectuar siempre ciertas operaciones; resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Siempre es posible (de modo que el resultado sea un número de la misma clase que los operados) Sumar Multiplicar restar dividir extraer raíces y otras operaciones

N N Z Z Z F F F F R R R R R

Con las expresiones algebraicas pasa lo mismo, por ejemplo, si se suman dos expresiones

del tipo ax3+ bx − c (con más o menos términos pero con exponentes naturales), el resultado será otra del mismo tipo; mientras que si se dividen dos de ellas no hay garantía de que el resultado sea otra del mismo tipo. Enseguida haremos una caracterización breve de algunas expresiones en este contexto, adelantamos que aquí sólo estudiaremos el más simple de esos tipos.

193

POLINOMIOS

Primera aproximación: Es una suma algebraica con más de un término, con la condición de que las variables

estén afectadas sólo con exponentes naturales, con el convenio de que x0 = 1 (ya antes hemos convenido en que 100 = 1, más adelante se justificarán estos acuerdos). El problema con semejante definición radica en que puede ser que muchos de ustedes sólo conocen tales exponentes, en realidad en matemáticas se manejan cosas como las siguientes:

221

221

2 44 xxx−− Así que tendremos que adelantarnos en otra cosa: ahí donde hay un exponente negativo

puede haber una división, donde hay un exponente fraccionario puede haber un radical (raíz cuadrada, cúbica, etc), ya se estudiarán estas cosas, por lo pronto sólo las mencionamos, por ejemplo, se verá que:

244161

414 2

1

22 ====−

De aquí la primera aproximación a la definición de polinomio: Un polinomio es una suma algebraica (en el sentido definido desde los enteros) de

términos en los que la variable no aparece como divisor ni afectada por un radical. Las siguientes expresiones son polinomios:

39x2xy6xy311x7x2 22 −−++−

Pero las que siguen no lo son:

y43y3ay7xy7

x2x2 23 −−−+−

Segunda aproximación:

La definición anterior se apega al significado usual de poli = muchos, pero por razones matemáticas en las que no conviene detenernos aquí, un solo término se considerará como un polinomio si las variables se ajustan a los requerimientos anteriores; así, por ejemplo, cada una de las siguientes expresiones son polinomios:

En cambio la que sigue si es polinomio, explica por qué.

y5b

yxxa3

xyx4 3233

−−

−+−

194

xx2yx76 223 −

Pero aún falta el trago más amargo, partimos, por ejemplo, de los polinomios: 392631172 22 −−++− xxyxyxx

El primero tiene tres términos y el segundo tiene cuatro, si nos quedamos sólo con 396con o primero del 112 2 −+ xyx del segundo, seguiremos teniendo polinomios; de

acuerdo a lo que acabamos de decir, aún tenemos polinomios si ahora nos quedamos sólo con los términos 2x2 ó 6xy; pues bien, también está establecido el convenio de que si nos quedamos sólo con 11 o con 39, ¡también seguiremos teniendo polinomios!, es decir, un número real se considera en álgebra un polinomio, líneas adelante completaremos la idea.

En resumen: Hagan de cuenta que los polinomios son el equivalente de los números enteros, en

particular siempre que se sumen, que se multipliquen o que se resten dos de ellos el resultado es otro de ellos, no es así cuando se dividen o se les aplica un radical (compara con la tabla acerca de los números y sus operaciones incluida antes).

EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE NO SON POLINOMIOS

Por otro lado, una expresión como 92

173 3

−+−

xxx es el equivalente de lo que en el caso

numérico escribíamos qp , es una fracciones algebraicas y no es un polinomio, tampoco lo es

algo como 522 −+ xx , ni como 2x+3 o como 5sen(x)+ 4x2−7x, entre otras, algunas de estas clases de expresiones se estudiarán en semestres posteriores.

Pues bien, aquí sólo nos ocuparemos de estudiar las operaciones entre polinomios, que es

la parte más sencilla del álgebra. Los términos, muy usuales en la secundaria, de monomio, binomio o trinomio los

usaremos más para expresiones algebraicas cualesquiera que para polinomios, es decir serán, respectivamente, expresiones algebraicas de uno, dos y tres términos. Se entiende que entonces también pueden ser polinomios con dichos números de términos.

Definición: Un polinomio es una suma algebraica de términos en los que las variables no aparecen

como divisores ni afectados por radicales, también lo son un sólo término cuyas variables se ajusten a los requerimientos anteriores o bien cualquier constante, incluidos los números reales.

195

Grado de un Polinomio

Si el polinomio consta únicamente de un término, su grado es la suma de los exponentes

de las variable, si solo hay una variable se toma su exponente, por ejemplo:

33x es de grado 3

32

23 zx es de grado 5

4354 yxa− es de grado 7, recuerda que sólo cuentan los exponentes

de las variables.

Ya dijimos que una constante se considera como polinomio, el grado de una constante es cero (esto tiene que ver con el convenio de que x0 =1, entonces 3 = 3⋅1 = 3x0 , como el exponente de la variable es 0 ese será el grado).

En verdad que el siguiente caso no es un trabalenguas, es sólo una definición: si el polinomio tiene más de un término, su grado es el grado del término de mayor grado.

Ejemplos:

3x3 + 8x4 – 2 Polinomio de 4° grado −9y3 – 5y – 8y2 Polinomio de 3er grado − 2m + 5m5 – 2m2 – m3 Polinomio de 5° grado, sólo si la m está jugando el papel de variable

Ejemplos:

3x3y2z – 5xyz2 – 8 Polinomio de 6° grado ap2c – 5a3p5c+ 3apc Polinomio de 5° grado, si p es una variable

EVALUACIÓN DE POLINOMIOS

Evaluar un polinomio para algún valor de la o de las variables significa obtener el número que resulta de cambiar las letras por los valores que se les dé.

196

Ejemplos:

i) La altura alcanzada por un paquete de juegos artificiales está dada por el polinomio –16t2 + 140t (altura en metros (m), tiempo (t) en segundos). Si la mecha está programada para detonar un paquete con diseño en forma de araña en siete segundos después del lanzamiento, ¿a qué altura explota el paquete?

Solución:

Debemos evaluar el polinomio con t = 7 para encontrar la altura de la explosión. −16t2 + 140t = −16 (7)2 + 140 (7) = −16 (49) + 140 (7) = −784 + 980 = 196 Luego, los juegos artificiales explotarán a 196 metros.

ACTIVIDAD:

i) Proporciona un ejemplo de un polinomio con cuatro términos en la variables x, de grado cinco, escrito en potencias descendientes, sin término de cuarto grado.

ii) Se tiene un terreno de forma cuadrangular cuyos lados son de tres metros

respectivamente. Luego, el exponente en la expresión, A = 32 m2 , en particular del 32 es 2. Explica porqué el grado de 32 no es 2. ¿Cuál es su grado?

197

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN III.1

1. Identifica en las siguientes expresiones, las variables y las constantes.

a) 9m2n +18mn b) 9 4 8 1

7

3 2d b dx y

− + −+

c) ( )rp

2

22 3 −

d) 5x4 + 13

z4 + y3

e) n = 8000-40p f) v = xt

g) A = P(1+r)n

2. Completa la siguiente tabla:

Términos Número de factores Coeficiente numérico(-3)x 2 ya 2 b 2

(4 +y)4y(1/3)(x+a) (x+b)(1/2)(x-a)(x+a)(1/8)(x+a)(x+b)(x+c)3 ab(2 ab+7)

3. Indica con un sí o un no, cuales de las siguientes expresiones representan expresiones

algebraicas a) 8ab_________ b) 8 + 7________ c) 8(x-3y) __________

d) x2 y3 z________ e) |1

32−+

yyx __________ f)

xxx

232

91

2 +− ______

4. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno:

Expresión algebraica número de términos variable constante operaciones signo de agrupación

5x 4 + 6x - 13(a 2 b + 1)

16x 2 + (18x - 9)a -1

9m 2 n + 18m 2 nx 3 + (y +z) 3

19a 3 - 3 + ba 2 + 2(ab + b) 2

(a+b) + (x+Y) 5. Indica el grado absoluto de los siguientes polinomios

a) −5x2 + 3x4 b) 2y2 - 3y + 1 c) 16x4y2 + 5x2y3 d) 2x4y2 − 3x2y4 e) 5x3y - x5 + xy6

198

6. Identifica el grado respecto a x, el grado respecto a y, y el grado de cada uno de las siguientes expresiones:

a) − 3 b) 4x2y c) − 6xy d) 24x3y6 e) 9xy4 f) 10x8y3 g) − 12xy4 h) 24xy5

7. Indica el grado de las siguientes expresiones, respecto a cada uno de los factores literales.

a) 6x4 + 4x − 3x2 + 1 b) 5x2 + 3x + y c) −2 a3x − 3 ax2 − 5x + a

8. Sea el monomio x? y? de grado 10. Escribe todos lo monomios en donde el grado con respecto a x sea mayor que el grado con respecto a y.

9. Sea el monomio x? y? de grado 6. Escribe todos lo monomios en donde el grado con

respecto a y sea mayor que el grado con respecto a x.

10. Determina cuáles de las siguientes expresiones son monomios. Justifica la respuesta.

a) 2x

b) 3x2 c) −5x d) 100x − 2

e) 2x−2 f) 2x − 4 g) −12

x h) 2x

11. Clasifica las siguientes expresiones en monomios, binomios, trinomios.

a) x2 + 2ax + y2 b) x3 + 3x2 + 5xy2 + y2 c) m2n3 + mn4 + n5 d) 16x4 e) x − 1 f) 4x2 + 2x + x2y5

12. Escribe seis expresiones algebraicas que sean monomios con los siguientes datos: Constantes: 1, 2, −3, 5; Variables: x, y

13. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla.

Polinomios desordenadosOrdenados ascendentemente respecto a una variable

Ordenados ascendentes respecto a una variable

14x -5 + 3x 2 - 6x 4

a 2 + a 3 + 1 -5 a 6 +7a 4

-1 + 2y 4 - y 3 +y + y 2

2x 6 - x + 5x 5 - 3x 2 + 3x 4 + x 3

6m 3 + 4m - 3m 2 + 1y+2y 2 -y 3

2x 6 - 3x 2 - x 4 +5

199

14. Si x y y representan números reales, simboliza las siguientes expresiones: a) La suma de los números b) El producto de los números c) La diferencia de los números d) El cubo de la diferencia e) La diferencia de los cubos f) La suma de los cuadrados de los números g) El cociente de los números h) El doble producto de los números

15. x y x son números reales y x > x. Representa la relación que se establece en cada caso.

a) El doble del mayor es igual al triple del menor. b) El mayor excede al menor en 5. c) El menor es igual al mayor disminuido en 12. d) La suma de los dos números es 24. e) El mayor es igual al cuadrado del menor disminuido en 1.

16. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

a) El triple de un número más 5. b) La suma de la mitad de un número y el triple de otro número. c) El cubo de la diferencia de un número menos 6. d) El cuadrado de un número más 7. e) El cubo de la suma de un número más 2. f) Dos veces un número disminuido en tres unidades. g) Cuatro veces la suma del cuadrado de un número más 6. h) El cuadrado de la suma de dos números. i) Cinco veces un número disminuido en 6 unidades. j) La raíz cuadrada de un número más 8 es igual a 12. k) Seis veces un número más cuatro es igual a dos veces otro número menos cuatro. l) Un tercio del cuadrado de un número es igual a doce. m) La raíz cuadrada de la suma de un número y 10 es igual a 5.

200

17. Traduce a lenguaje verbal las siguientes expresiones algebraicas:

a) 6x + 3 b) 4 ( x2 − 3 ) c) 5x + 3y = 9 d) 3x2 + 8 = 0 e) x3 − 4 f) x 23 8 18+ = g) 2 ( x5 + 6 )

h) 41 x +

72 y2 + 8 = 0

i) ( x + 2z )4

j) 21 x + 10 =

43 x + 6

18. Analiza cada pareja de términos algebraicos e identifica los que sean semejantes a) −3x2y, 3xy2 b) 2 a, 2 a2 c) −7 a2b3, 11 a2b3 d) 4m2n, 2m2n e) 9y, 8y f) 8 ab7 , a2b2 g) 3r, 5r2 h) −2xy2, 5xy2 i) 3x, −2y

19. Completa las siguientes expresiones para incluir únicamente términos semejantes. a) 2x2 + ( ) x2 = 0 b) ( ) b3 + 24 a2b3 = 0

c) −7( ) + 7x2y3 = 0 d) − ax2 + ( ) = 0

20. Completa los términos de las expresiones algebraicas siguientes, para que únicamente incluyan términos semejantes.

a) ( )x +3x = 16( ) b) ( )m2 + 12( ) + 5m2 = 20( ) c) ( )y + ( )y +( )y = 42( ) d) a2( ) + a2b2 + a?b? = ( )2( )2

201

21. Reducir términos semejantes:

i. 7xy3 - 8xy3 + 21 xy3 +

51 xy3 - 2xy3

ii. 12 abc + 56 abc -18 abc - 7 abc

iii. – 3 xyz + 35 mn +

76 xyz - 6 mn - 4 xyz

iv. m2np + 45 m2np - 16 abc + 9 abc +

53 m2np

v. 4ax – 2ax – 7ax – 12ax

vi. amamamamam326

45

83

−−−+

22. Si a = 12

, b = −1, c = 34

y d = 18

; calcula el valor numérico de las siguientes

expresiones:

a) 2 a2 + 3 b) 4 a + 2 a + c2 c) a – 2 b2 + 1 d) 2d – 3 + 4 a + b3

23. Evaluar cada una de las siguientes expresiones algebraicas considerando que x = 1, a = 2, b = 0 y c = -2 a) (x - y)2 b) x2 - y2 c) (a + b + c) (a - b + c) d) a5 - a4b + b4 -c e) (x + a) (x + b) f) x2 + y2

24. Escribe una expresión algebraica tal que cuando las partes literales sean remplazadas por -

1, 2 y 3 respectivamente, tenga como valor numérico 10.

25. Dado b = 2, c = 3 y m = 12

, halla el valor numérico de: 4m 3 212bc

26. Dado b = 2, n = 31 , m =

12

y p = 41 , resuelve:

npmb 225

27. Dado a = 1, b = 2 y m = 12

, resuelve 324

32 mba

202

III.2. OPERACIONES ALGEBRAICAS BÁSICAS CON POLINOMIOS III.2.1. ADICIÓN Y RESTA DE POLINOMIOS

Para sumar dos o más polinomios procedemos como en el siguiente ejemplo: Al polinomio 726x- sumarle 153 22 −+−+ yyx :

( ) ( )

( ) ( ) ( )44 844 76444444 8444444 76

4444 84444 764444 84444 7644444 844444 76

semejantes rminosreducen té sesignos) loscon (cuidado paréntesis introducen se

términosloslugar de cambiamosparéntesisquitar para regla)polinomios (dosadición la indica se

873712563

712563726153726153

222

222222

−+−=−−+++−=

=−−++−=−+−−+=−+−+−+

yxyyxx

yyxxyxyxyxyx

Observa la penúltima expresión, ahí hay tres grupos de términos semejantes. Ésta

ordenación horizontal se puede cambiar por una ordenación vertical de modo que resulten columnas de términos semejantes, esto es lo que se hace en la siguiente forma que se parece a la que se usa frecuentemente en la suma numérica: lo de los paréntesis se vuelven columnas.

ACTIVIDAD:

Sumar: 3x2 – 4xy + y2; - 5xy + 6x2 – 3y2; - 6y2 – 8xy – 9x2

Sumar: a3b – b4 + ab3; - 2a2b2 + 4ab3 + 2b4; - 3a2b2 + 6b4 – 10 + 2ab3

Resta de polinomios Se procede como en el caso de la suma, por ejemplo:

Del polinomio 3x2 + 5y – 1 restar −6x2 + 2y – 7:

3x2 + 5y − 1 observa que sólo se suman los coeficientes numéricos, sin alterar

−6x2 + 2y − 7 los exponentes, porque sólo es una reducción de

−3x2 + 7y - 8 términos semejantes.

203

( ) ( )

( ) ( ) ( )4484476444444 8444444 76

4444 84444 764444 84444 7644444 844444 76

semejantes rminosreducen té sesignos) loscon (cuidado paréntesis introducen se

términosloslugar de cambiamosparéntesisquitar para regla)polinomios (dos resta la indica se

67971-2563

712563726153726153

222

222222

++=+++++=

=+−−++=+−+−+=−+−−−+

yxyyxx

yyxxyxyxyxyx

La observación es que los grupos de términos semejantes también se pueden escribir en

columnas en lugar de hacerlo en fila, así se obtiene lo siguiente. Nota que la diferencia respecto a la suma es que los signos de los términos del sustraendo se cambiaron por los signos contrarios, como efecto de que a dicho sustraendo le antecedía un ‘−’, el de la resta.

3x2 + 5y −1 Observa que sólo se suman los coeficientes numéricos, sin

6x2 − 2y + 7 alterar los exponentes, porque sólo es una reducción de

9x2 - 7y + 6 términos semejantes.

Ejemplos:

1. Restar 6x de – 8x = - 8x + ( - 6x ) = - 14x 2. Restar 4a2b de – 5a2b = - 5a2b + ( - 4a2b ) = - 9a2b

ACTIVIDAD:

1. De 7x3y4 restar – 8x3y4

2. De ½ ab restar – ¾ ab

3. A 2x – 3y restarle – x + 2y

4. Restar 3a2 + ab – 6b2 de – 5b2 + 8ab + a2

ACTIVIDAD:

Poniendo atención al procedimiento anterior se nota que realmente la resta fue cambiada por una suma, con la condición de cambiar los signos del sustraendo, en el fondo no es más que el teorema de la resta, esto es:

Si el inverso de – 6x2 + 2y −7 es − (– 6x2 + 2y −7) = 6x2 − 2y + 7 se tiene lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) 63297226152372261523

sutraendo del inversocambiossin sustraendominuendo

+−=+−+−+=−+−−−+ yxyxyxyxyx44844764847644 844 7648476

En general, si A y B representaran polinomios tendremos que: A – B = A + (− B) Compárese con el teorema de la resta introducida en la parte de los enteros: m – n = m + (-n)

La resta se cambia por suma

Signos cambiados respecto al sustraendo

204

Escribe un polinomio que describa la situación, indicando claramente qué representa cada

literal. i) Área de un rectángulo, si el largo mide el doble de su ancho. ii) Área de un rectángulo, si el largo mide 10m más que su ancho. iii) Área de un triángulo, si la altura mide el triple de su base. iv) El salario de Moisés en los dos primeros días, es x pesos por día y (x–12) pesos

por los tres días siguientes. Dar una expresión que muestre el salario de Moisés de los cinco días de trabajo.

v) El profesor Miguel cortó el césped de un jardín rectangular de x metros de largo por 50 metros de ancho y el profesor Rodolfo hizo lo mismo en otro de (x+20) metros de largo por 60 metros de ancho. Dar una expresión que muestre el área total del césped cortado.

III.2.2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Conviene abordar esta operación por casos

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS Y DE MONOMIOS

Producto de Potencias

Ya hemos estado usando la operación de potenciación, precisaremos algunas ideas:

Para multiplicar potencias de la misma base procedemos como sigue:

( ) ( ) ( ) ( )}

729333333333333333 23

)paréntesis losescribir (sin asociativa propiedad

factores 23factores 2factores 324 ==⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ +

+

444444 3444444 21

448447648476

Lo que nos importa es la relación entre la expresión original y la penúltima:

( ) ( ) 3424 333 +=⋅

Procediendo en general en la misma forma se obtiene fácilmente la siguiente:

Exponente

8133333factores 4

4 =⋅⋅⋅=48476

cuarta potencia de 3 base

205

Por ejemplo:

x5 . x4 = x9

Multiplicación de Monomios El siguiente ejemplo muestra como se efectúa la operación:

( )( )

4444444 34444444 21

4444 84444 76

44 844 76444444 8444444 76

444 3444 21

exponentes deley ,paréntesis cadaen soperacioneefectúan se

asociativa

aconmutativparéntesis losquitan se ,asociativa

operación la indica se

2352223

222322232223

zyx12z)yy)(xx)(34(

zyyxx34yx3yzx4yx3yzx4

−=⋅−=

=⋅−=−=−

Ejemplos.

1 (2 a2 b3) (4ab3) = 8 a3b6 2. (- 2x2)(3x2)= - 6x2 3 (8 a3 b3 ) (- 2 a2b4 = - 16a5b7 4 (- 3 a2b3) ( - 6 a5b-2) = 18a7 b

Multiplicación de un monomio por un polinomio Para obtener el producto de un monomio por un polinomio aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición y a la resta, así como el caso de multiplicación de monomios.

Ley de exponentes (diremos Ley M, inicial de multiplicación) Si m y n son enteros positivos y x es un número real entonces: nmnm xxx +=

En efecto:

321444444444 3444444444 21

444 8444 764847648476

expontes de definición paréntesis los dosquitar topueden se ,asociativa

factores factores factores

)()( nmnmnm

xxxxxxxxxxxxxxx nm ++

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

206

Ejemplos.

(2x3 + 4x2 + 6x – 10) 5x = (2x3 )(5x) +(4x2)(5x) + (6x)(5x) – (10)(5x)

=10x4 +20x3 + 30x2 – 50x

3am (m2 –2mn +n2) = 3am(m2) + 3am(-2mn) + 3 am (n2)

= 3 am3 – 6 am2n + 3amn2 (6 a4b – 9 a3b2 + 12 a2 b3 –3 ab4 +15) ( -3 a2 b2) = -18 a6 b3 +27 a5b4 –36 a4b5+ 9 a3 b6 – 45 a2 b2

Multiplicación de Polinomios En el producto de polinomios se aplica repetidamente la propiedad distributiva de la

multiplicación con respecto a la adición y a la resta, por ejemplo multiplicaremos:

3x2 − 5xy + 2y por 2x2 − y + 3xy

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )222234

222222334

2223222234

2

operación la indica se

2

152116

152)65(349106

61592534106

32

32

semejantes términosde gruposen sacomodarlo para términosloslugar decambian se

bloque sóloun como polinomio primer al doconsideran -,y a respecto de vadistributi

yxyxyyxyxx

yxyxyxyyxyxyxyxx

xyyxyxyxyyxyxyxx

xy2y 5xy - 3xy2y 5xy - 3xx2y 5xy - 3x

xyyx2y 5xy - 3x

222

2

−−++−

=−−++−++−+

=+−+−+−+−

=+++−+

=+−+

+⋅

444444444444444 8444444444444444 76

44444444444 844444444444 76

44444 844444 76

El segundo renglón muestra que cada término de un polinomio (en este caso el segundo)

debe multiplicar a todos los términos del otro polinomio; el cuarto renglón nos permite ver que posteriormente se forman grupos de términos semejantes, que después se reducen. Todo esto se puede hacer de otro modo: acomodamos un polinomio debajo de otro y hacemos lo que hemos descrito, procurando que los grupos de términos semejantes formen columnas de términos semejantes; conforme se van efectuando mentalmente las operaciones se van formando las columnas de términos semejantes, es decir:

207

Ejemplos.

1. Multiplicar ( 3x + 2 ) por ( x – 5 )

3x +2 x - 5

3x2 + 2x -15x – 10

3x2 –13x – 10 2. Multiplicar (2x2 + 5x –6) por (2x + 5)

2x2 + 5x –6 2x + 5

4x3 + 10x2 – 12x 10x2 + 25x – 30

4x3 + 20x2 +13x - 30 3. Multiplicar (3 a2 + 5ab +2b2) por (4 a – 5b)

3a2 + 5ab +2b2 4 a – 5b

12 a3 –20 a2b + 8ab2 -15 a2b +25ab2 –10b3

12 a3 –35 a2b +33ab2 –10b3

Ejemplo: Un depósito de agua rectangular se usa como criadero de peces y tiene 10 metros más de largo que de ancho, alrededor del depósito hay una orilla de dos metros. Encuentra una expresión que represente el área total. Solución:

2222234

2223

222

234

2

2

yx15y2xy11yxyxx6

yx15xy6yx9

y2xy5yx3

yx4yx10x6

3xy y - 2x

2y 5xy - 3x

−−++−

−+

−+−

+−

+

+

Producto de 2x2 por el polinomio de arriba. Producto de -y por el polinomio de arriba. Producto de 3xy por el polinomio de arriba. Suma de columnas de términos semejantes.

2 m

x x + 10

208

El problema pide encontrar las dimensiones de toda el área. Si x representa el ancho del depósito, entonces el largo del depósito estará representado por x+10. Si tomamos en cuenta la orilla, el ancho estará representado por x + 2 + 2 y el largo del depósito será:

x + 10 + 2 + 2 Sabemos que el área del rectángulo es largo por ancho, entonces la expresión que representa el área total es: ( x + 4)(x + 14). ACTIVIDAD:

i) Una piscina es 7 metros más larga que ancha. Está rodeada de un camino de concreto de 1.5 de ancho. ¿Cuál es la dimensión total?

ii) Una cancha de básquetbol mide 10 metros más de largo que de ancho. A su alrededor hay un corredor de tres metros, también alrededor hay 20 gradas y cada una de ellas mide 70 centímetros. Encuentra una expresión que determine la dimensión total.

III.2.3. DIVISIÓN DE POLINOMIOS

También vamos a subdividir este tema en casos, de hecho en forma análoga a lo que hicimos en la multiplicación.

División de potencias y de monomios

Como antes, avanzaremos con ejemplos numéricos:

( )( )( )

253

qp

nqnp

2

5

222221

222122

2222222

2222222 −

=

→=⋅⋅=⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅

=

4444 84444 76444 8444 76 reglay asociativaexponente de definición lapor

Es inmediata la observación de la relación entre los exponentes originales y los que se muestran después de la flecha:

252

5

222 −=

Ley de exponentes (diremos Ley D, inicial de división).

Si x es un real, x ≠ 0, m y n son naturales positivos y m>n, entonces nmn

m

xxx −=

209

Ejemplos:

3363

6

aaaa

== −

srysy

ry −=

División de un monomio entre un monomio

Otra forma de expresar la Ley D: nmxnx

mxnmnmx −=>≠∈∀ ,positivos, naturalesson ,,0xR,

Demostración:

( ) ( )( )

nmx

nm

xxx

n

xxx

xxxxxx

nxxx

m

xxxnx

mx

nmn

−=

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

−48476

43421

4847648476

43421

48476 factores

1

factores factores

factores factores factores

El paso del segundo ‘eslabón’ al tercero se debe a la ley asociativa, en el numerador se puede hacer un grupo de x’ igual al del denominador y otro más porque suponemos que m>n. La justificación del paso del tercer

‘eslabón’ al cuarto es más delicado, de entrada se aplicó el teorema qp

nqnp

= para cancelar los paréntesis de n

factores, pero este teorema se refería al caso en el que p, q, n son enteros, cosa que aquí ya no se puede asegurar. Sin embargo es posible extender el teorema a reales cualesquiera después de hacer lo mismo con la definición de

equivalencia qrpssignificasr

qp

== de dos expresiones de la forma tr

, 0tt,r ≠∈ R, , que ya no

son las fracciones de que hablamos en la segunda unidad, dejaremos esto sólo como observación, pero realmente éste será el caso común en lo que sigue.

La exigencia de que el exponente del numerador sea mayor que el del denominador se debe a que si fueran iguales o el del denominador fuera mayor, y aplicáramos la Ley D, obtendríamos cosas del tipo de:

2535

30

3

3

2222ó2

22 −− === , ahora bien, ni hemos dicho qué significa un exponente 0, como en 20, o

negativo, como en 2-2, ni hemos visto si con tales exponentes extraños aún funcionan las mismas leyes que estamos estudiando, ni éste es propiamente el lugar para introducir tales cosas. Por el lado del exponente cero, no se presenta como algo realmente necesario; por otro lado, ya hemos advertido que los exponentes negativos

involucran cosas como 22

x1x =− , que no es un polinomio, y por lo pronto sólo estudiamos polinomios.

210

Empezamos con un ejemplo:

ba5ba5b

baa

420

ba4ba20 31225

2

2

5

2

25

=== −−

444 8444 76 fracciones deción multiplica la 'deshacemos'

Tal vez te resulte cómodo usar la cancelación de algo del numerador con lo mismo en el

denominador para efectuar este tipo de ejercicios, lo que sería una forma alternativa válida, sólo se estaría usando un recurso empleado para obtener la anterior ley D, es decir:

usualmente el paso intermedio se efectúa mentalmente.

Ejemplos:

ba34ba

34

ab3ba4 21213

23

−=−=−

−−

también lo puedes pensar mediante el tipo de cancelación que mencionamos arriba.

xzyxzxyzyx 9

654

654 332212

32

322

−=−=−

−−−

División de un polinomio entre un monomio

Ejemplo:

dividir 3 a3 – 6 a2 b +9 ab2 entre 3 a

ba5ba4

bbaa45ba4ba20 3

2

32

2

25

=⋅

=

La división de dos monomios se puede resumir en el siguiente modelo:

3

2

2

1

1

21

321m

n

m

n

m

nn

mmm

rqq

pp

qprqp

= , es decir, se obtienen las divisiones de potencias que sean posibles

y se efectúan; cada una de los índices m es mayor que cada uno de los índices n (véase el último marco punteado).

211

22223223

b3ab2aa3

ab9a3

ba6a3a3

a3ab9ba6a3

+−=+−=+−

44444444 844444444 76 fracciones de algebraica suma una 'deshacemos'

La ejemplificación de la división de un monomio entre un polinomio es bastante clara

como para no tener que explicitar reglas o un modelo. Ejemplo:

Dividir an + a m-1 entre a2

3n2n2

1m

2

n

2

1mn

aaa

aaa

aaa −−

−−

+=+=+

ACTIVIDAD:

i) Calcula el largo de un terreno rectangular que mide 4x3 de ancho y la medida de su área está representada por 8x9.

ii) El área de una ventana rectangular está dada por la expresión 6x7–9x8 y su largo por 3x4. ¿Calcula cuánto mide su ancho?

División de polinomios

No justificaremos el procedimiento, pero es idéntico al de la división con residuo entre números, en este se acostumbra efectuar mentalmente ciertas restas y no se escriben, mientras que en el caso que nos interesa es importante escribir todo:

Para obtener el cociente de dos polinomios, se siguen los siguientes pasos: 1. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene

así el primer término del cociente. 2. Se multiplica este primer término del cociente por el divisor y el producto obtenido se

resta del dividendo.

3. El polinomio obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo dividendo y se repiten con él los pasos 2 y 3.

4. Se continúa este proceso hasta obtener como residuo cero o bien un polinomio de grado

menor que el grado del polinomio del divisor.

212

Ejemplos:

1. Dividir 3x2 +2x – 8 entre x + 2. No es importante colocar en un lugar preciso los términos del cociente.

2. Dividir 5y2+2y3 -1+2y entre y +3 Si las potencias de la letra del dividendo o del divisor no crecen o decrecen

ordenadamente, de izquierda a derecha, como ocurre en este caso con el dividendo, es conveniente empezar por ordenarlas, usualmente se hace de manera que decrezcan de izquierda a derecha, es decir, hay que dividir:

2y3 + 5y2 + 2y - 1 entre y + 3

y +35yy21y2y5y2

2

23

+−−++

-2y3 –6y2 -y2 + 2y y2 + 3y 5y -1 -5y –15 -16

3. Dividir x3 + y3 entre x + y Cuando hay más de una letra en los polinomios, se escoge una de ellas para ordenarlos,

sin hacer caso de la otra, además si faltan potencias conviene dejar vacío el lugar que les correspondía para facilitar las operaciones.

paso 1 paso 3 paso 2 paso 4

restar para signos loscambiarán se8,4x4)2)(-(x

cociente del términosegundo el obtiene se asíx

4x-

restar para signos loscambiarán se 3x ) 2 x(

cociente. del minoprimer tér el obtiene se así 3x,

−−=+

−=

+=+

=

,4

x62

x3

x

2x3

x +243823 2

−−+

xxx

-3x2 - 6x -4x - 8

4x + 8 0

213

x + y

22

33

yxyxyx

+−+

-x3 –x2y 0 - x2y x2y +xy2

0 +xy2 -xy2 –y3

0 0 ACTIVIDAD:

i) Evaluar el polinomio –16t2 + 14ot con t = 9 para encontrar la altura a la que el petardo explotará si está programado para detonar 9 segundos después del lanzamiento.

ii) Evaluar el polinomio 0.005 V2 – 0.35 V + 28 con V = 65 para encontrar el costo

de operar un automóvil a 85 km / h.

iii) La capacidad pulmonar de una mujer, en litros, se puede estimar con el polinomio 0.041 e – 0.018 A – 2.69 (estatura (e) en centímetros, edad (A) en años).

iv) Encontrar la capacidad pulmonar de una mujer de 27 años que mide 170 cm.

v) Las edades de tres hermanos son múltiples consecutivos de cinco. La suma de sus

edades hace dos años fue de 69. Encontrar las edades actuales.

vi) Expresar el perímetro de la figura de abajo como un polímero y simplifique.

iv) Una persona viaja durante 2 horas a razón de (45 + x) km / h y después a (200 + x) km / h , otras 2 horas. Representar la distancia total viajada.

x2 - 4 x2 - 4

3x + 2

3x + 2

214

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN III.2 1. Suma cada par de monomios:

a) 3x2, 5x2 b) 16x5, 7x5 c) 2x3y2, 21x3y2 d) 5x3, 6y3 e) 15abc, 14abc f) xy, 5xy g) ab, 11ba h) m2n2, 19n2m2 2. Resuelve los siguientes ejercicios

a) sumar -2x + 4y con 6x + 9y b) sumar -7x + 9x2 con 4x2 + 18x c) sumar x - 1 con 3x - 3 d) sumar 4c2d - 8cd con - 9c2d + 5cd2 3. Efectúa la suma de los siguientes polinomios

a) a3 - 6 a2 + 8 a - 9; 7 a2 + 9 a3 +16 a - 24; 3 - a3; 16 + a2 -a b) 24x2y2 - 6xy + 19x - 24y;-4x + 9y + 16x2y2 - 5xy, x - y c) 10x4 - 3x3 - 2x2; 4x4 - 10x3 - 9x; 64x4 - 11x + 25; - 20x4 +113 d) 12x2 + 11x - 9; - 10x2 + 23x - 1; 16x2 + 24x - 32; 11x2 + 5x + 3 e) 49m2n + 16mn2; n3 + 14m2n - 5mn2; - n3 + 16m2 - 3mn2 - 53m2n f) 10w2v - 5wv2 - 4w3 + 16v3; - 10vw2 - 5w2v + v2 - w2 g) 0,1 a - 2b + 0,8c; -3 a + 1,5b - 1,3c; a - b + 0,2c; - c + a + b h) a - (b + c); - b - (a - c=; c - (2 a +b); a + b + c

i) 12

a - b; 3 a - 12

;13

b - a

j) b2 - b + 1; -b + (2b2 - 3); 3b2 - (b + 16); b + 12

4. Completa en tu cuaderno los términos que faltan en la suma de polinomios: -4 a3 + 7 a2b - 12 ab2 + 13b3 + + + + + + + 3 a3 + 2 a2b - 6 ab2 + 5b3 a) b) -5 a3 + 23 a2b- 21 ab2 + 23b3 - 2 a3 + 25 a2b - 27 ab2 + 28b3 5. Completa los términos que faltan en la suma de polinomios.

14x3 + 12x2 + 17x + 11 ? - 2b + ? + ? + ? + ? + ? ? - 18b + ? a) b) 38x3 + 58x2 + 25x + 14 9 a + ? + 21c

?? ? ?

? ? ? ?

215

6. Suprime los signos de agrupación y reduce los términos semejantes de las siguientes expresiones:

a) 3 a - (5b - c) + (2 a + 3b - 4c) b) -9x - [6y +( 4x - 2y)] c) -10m -{-5n - [4m + (12m - 3n)] + 2n]} d) -7p + {6q + [11s + (-3p - 17q) - 7s] + 5p]} e) (7x + 2y) - {-3z + [9x - (-3y - 4z) +5z]+8} f) -{ -[-11 a + (12 a - 3b +8)] + 5}

7. Efectúa las siguientes operaciones: a) (-12x5y) - (-9x5y) = b) (-21x y4) - (14xy4) = c) (7x3z2) - (8x3z2) = d) (-19ab) - (-7ab) = 8. Realiza las operaciones indicadas:

a) de - a2b restar a2b b) restar x3y de -x3y c) de -x2y2 restar x2y2 d) restar -a2b3 de a2b3 e) de y9 restar -y9 f) restar m2n de m2n

9. Realiza las siguientes operaciones a) de -2 a2b restar 41 a2b b) Restar x3y de -x3y c) de -6x2y2 restar 11x2y2 d) Restar -24 a2b3 de 16 a2b3 e) de 49y9 restar -23y9 f) Restar 46m2n de 16 m2n 10. Realiza las siguientes operaciones. De: a) 2x – 3y restar –x + 2y b) x – y + z restar x – y + 2z

c) x2 + y2 – 3xy restar -y2 + 3x2 –4xy d) x3 – x2 + 6 restar 5x2 –4x +6

e) x4 +9xy3 – 11y4 restar -8x3y – 6x2y2 + 20y4 f) 5m3 – 9n3 +6m2n –8mn2 restar 14mn2 –21m2n + 5m3 - 18 11. Restar: a) x –y de: 2x + 3y b) x2 – 5x de: -x2 + 6

c) 6 a2b – 8 a3 de: 7 a2 b + 5 ab2 d) 3 a2 + ab – 6b2 de 5b2 + 8ab +a2 e) m2 – n2 - 3mn de -5m2 – n2 +6mn f) xy2 – 6y3 +4 de 6x3 – 8xy2 – 12

12. Resuelve los siguientes ejercicios.

a) De la suma de a +b con a – b restar 2 a –b b) Restar a – b –2c de la suma de 3 a –4b + 5c con -7 a + 8b –11 c) De la suma de 8x +9 con 6x –5 restar -2x + 3y d) Restar a4 – 3 a3 + 5 de la suma de 5 a3 +14 a2 – 19 a +8 con a3 + 9 a - 1 e) De la suma de x2 + 5 con 2x –6 restar la suma de x-4 con –x + 6

216

13. Observemos el siguiente cuadro: Queremos calcular su área. Fíjate en el dibujo y contesta las preguntas.

El lado del cuadrado grande mide x + 100, su área es. _____________________ . El cuadrado mas pequeño tiene área igual a ______________________________ El cuadrado mediano tiene área igual a _________________________________ Hay dos rectángulos de área igual a ____________________________________ El área de los dos rectángulos juntos es _________________________________ El área de todo el cuadrado es___________________ _____________________

14. En el siguiente esquema no hemos puesto el valor de x con la intención de que los encuentres

y llenes la tabla. Si algunas operaciones te perecen difíciles hazlas en tu cuaderno. La letra A representa el área del cuadro grande.

x A10152025

15. Propón una expresión que sirva para calcular: el perímetro y el área de cada región. Recuerda

que el área del rectángulo es igual al producto de su largo por su ancho.

x 100

x

100

5 x

5

x

5ab

2ab 2m

m

3m

3m

217

16. Encuentra un polinomio que represente la superficie total del rectángulo sólido de la figura y otro que represente su volumen.

17. Multiplica los siguientes monomios: a) (3 a2b) (-2 ab) b) (-5 a3b) (3bc) c) (4m3n) (2 am) d) (32 a2) (-6abc) e) (11m2n5) (-11mn) f) (7x2y2) (10xy4) g) (a) (a) h) (-x) (y) i) (-ab) (a2) 18. Multiplica los siguientes monomios: a) ( 3 a) (2 a) b) (4x) ( 2 y) c) (−ab) (a2) d) (3a2b) (−2 ab) e) (5 a3b) (2bc) f) (5m2n5) (4mn) g) ( 1

2a2) (−abc) h) ( 7 m2n)( 1

2am)

19. Completa los términos algebraicos o monomios

a) ×??

2

33

15?3

?

yxxyx

b) ×229

?3??

yxy

x

c) ( ? a3 b2) (4 a2) = − 12 a? ?

20. Realiza las siguientes operaciones

a) (x + 1) (x + 2) (x - 3) b) (m5n - 5mn2) (- 2mn) c) (- 9x3 + 4x2 + 6x - 7) ( 3x2y) d) (4x3 - 6x2y + 9xy2 + 8x3) ( - 4xy) e) ( 5 a3 - 2 a2b - 4 ab2 + b3) ( -3 ab) f) (a2b + 3 ab2 - 5 ab3) ( - 2ab) g) (- 2mn2 + 4mn + 5mn2) (- 8m2n4) h) (- 5xy3 + 6xy2 - x2y) ( 2xy) i) (7r2s2 + 9rs4 + 10rs3) (- r3s )

21. Resuelve los siguientes ejercicios.

a) (5x - 2) (6x2 + 2x - 1) b) (x - 4) (x + 4) c) (x + 3)2 d) (3x + 4) (x2 - 2x + 1) e) (m4 + m2 n2 + n4) (m2 – n2) f) (a2 +a +1) (a2 – a – 1) g) (x3 + 2x2 – x) (x2 – 2x + 5) h) (m3 – 3m2n + 2mn2) (m2 –2mn – 9n2) i) (2y3 + y – 3y2 –4) (2y + 5) j) (3x3 –a3 +2ax2) (-2 a2 – x2 – 3ax)

x

5

2x

218

22. Elimina símbolos de agrupación y reducir términos semejantes

a. 7y - ( 4x + 2y - 4 ) - 2 ( - 8x + 6 - 7y ) + x - 9y b. ( )[ ]{ }axzxxaza 3624642663 +−+−−++−−− c. 2a- ( )[ ]{ }b a y b y a y a y a+ − + + − + + − + − −4 6 7 12 5 6 12 24 8 10 d. x2 - 3y + 2 ( -7y +8x2 ) - 5 ( 4x2 + 1/10 y + 9 ) - 6 + 9y e. - 2 ( )[ ]{ } 27768657213 +−−++−+−−+−+ cacacbacacb

23. Efectúa las siguientes divisiones:

a) 3418

4324

yx

yx−

b) 1521

5 4

3 2

a bb c

c) 13 17 283 2x x x

x− +

d) −+ −18 24 48

6

2 2 3 2 2 3x y x x x yxy

e) x x

x

2 7 786

− −+

f) x x

x

2 18 1757

− −+

g) (4x3 - x2 - 2x + 6) ÷ (x - 2)

h) (2x3 - x - 6) ÷ (x + 2)

i) (2x3 + x2 - 3x + 1) ÷ (x2 + x -1)

j) (4x3 - 2 a2 + 7 a - 1) ÷ (a2 - 2 a + 3)

k) (3x4 + x3 - 2x2 - x +6) ÷ (x2 - 1) 24. Obtén el cociente de los siguientes polinomios.

1. Dividir x3 + 3x + x4 + 2 + 3x2 entre x + x2 + 1 2. Dividir 6x2 – 7 + 6x4 + 32 x + 7x3 entre 5x – 2 + 3x2 3. Dividir – 15 x2 + 2 + 6x4 + 2x – 7 x3 entre 3x + 1 4. Dividir x5 – x4 + 10 – 27 x + 7 x2 entre x2 + 5 – x 5. Dividir m6 – n6 entre m2 – n2

219

BIBLIOGRAFÍA 1. Aritmética y Preálgebra

Ponce Vázquez, Rosa E. Rivera Rivas, Humberto Editorial: Mc Graw Hill México, 1995

2. Introducción al Álgebra Phares, G. O´Daffer Editorial. Addison Wosley - Lungman México, 1998

3. La Biblia de las Matemáticas Chavez Reyez, Carmen. León Quintanar, Adriana Editorial. Letrarte, S.A. Colombia, 2001

6. Álgebra

Rojano Cevallos, Teresa. Filloy Yagüe, Eugenio Grupo Editorial Iberoamérica. S.A. de C.V. México, 2001

7. Álgebra Dr. Aurelio Baldor. Publicación cultural México, 2000

8. Álgebra Intermedia Gustafson R. David International Thomson Editores, S. A. de C.V. México, 1997

9. Fundamentos de Matemáticas Básicas Aponte, Gladis. Pagán, Estela. Pons, Francisca Addison Wesley Longman México, 1998

10. Aritmética y Álgebra. Matemáticas con aplicación. Acevedo / Valadez / Sánchez McGraw Hill

11. Álgebra Bosh, Carlos y Gómez W., Claudia Ed. Santillana