Facultad de Ciencias Exactas, Fısicas y Naturales

Universidad Nacional de Cordoba

Guıa de Trabajos Practicos

de Analisis Matematico II

Ano 2014

1

Capıtulo 1

Funciones de Varias Variables

1. Topologıa

Sean p ∈ Rn y r ∈ R, r > 0.

Llamaremos Entorno al conjunto de puntos de Rn cuya distancia a p es menor que r, o sea,

Br(p) = x ∈ Rn/d(x, p) < r

Llamaremos Entorno Reducido al conjunto de puntos de Rn cuya distancia a p es menor quer excluyendo al punto p, o sea,

Br(p)− p = x ∈ Rn/0 < d(x, p) < r

Ejercicios

1. Obtenga Br(p) y Br(p)− p en los siguientes casos. Interprete geometricamente.

a) En R, p = 2, r = 12

b) En R2, p = (0, 2), r = 12

c) En R3, p = (0, 2, 1), r = 12

Sean A ⊂ Rn y p ∈ Rn. Se dice que:

p es Punto Interior de A si existe un entorno de p contenido en A. O sea, si∃r > 0/Br(p) ⊂ A.

p es un Punto Lımite o Punto de Acumulacion de A si a todo entorno reducido dep le pertenecen puntos de A. O sea, ∀r > 0(Br(p)− p) ∩ A 6= ∅.p es Punto Frontera de A si a todo entorno de p le pertenecen puntos de A y delcomplemento de A (denotado Ac). O sea si ∀r > 0, Br(p) ∩ A 6= ∅ y Br(p) ∩ Ac 6= ∅.p es Punto Aislado de A si p ∈ A y existe un entorno reducido de p incluıdo en Ac. Osea ∃r > 0/Br(p)− p ⊂ Ac.

p es Punto Exterior de A si existe un entorno de p contenido en Ac. O sea, si∃r > 0/Br(p) ⊂ Ac.

2

Ejercicios

1. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R2 diciendo si sonpuntos interiores, exteriores, de acumulacion, frontera o aislados.a) A = (x, y) ∈ R2 : 3 ≤ x ≤ 5b) B = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 2 ∪ (0, 2), (−1, 3)c) C = (x, y) ∈ R2 : x+ y ≤ 2d) D = (x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 2

2. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R.

a) A = x ∈ R : |x| < 2b) B = x ∈ R : −1 < x < 3

2

c) C = x ∈ R : |x− 2| < 1 ∪ 53. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R3

a) A = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < 1 ∪ (0, 2, 0)b) B = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 9

4. Dado el conjunto A = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + 4y2 + z2

9< 1, caracterice los siguientes

puntos:

a) p1 = (0, 0, 2)b) p2 = (1, 0, 0)c) p3 = (0, 0, 7

2)

Sea A ⊂ Rn, se dice que:

A es un conjunto Abierto si todo punto de A es un punto interior de A.

A es un conjunto Cerrado si todos los puntos frontera de A pertenecen a A.

Ejercicios

1. Decida si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, ambas o ninguna de las doscosas.a) A = (x, y) ∈ R2 : ||(x, y)− (0, 1)|| ≤ 1b) B = (x, y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 36c) C = (x, y) ∈ R2 : (x, y) 6= (2, 1)d) D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 2e) E = (x, y) ∈ R2 : y ≤ 2x+ 1f ) F = (x, y, z) ∈ R3 : z < x+ y

3

2. Dominio, graficas y curvas de nivel

Ejercicios

1. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = 2x3 + y2 − xyb) f(x, y) = 3x−y

2y−4x

c) f(x, y) = x2 ln(y − 2x)

d) f(x, y) = sen−1(x+ y)

e) f(x, y) =√

4x2 + 9y2 − 36

f ) f(x, y) = 3√xy

g) f(x, y) = xyx2−y2

h) f(x, y) =√

3x+ 3y + ln(sen y)

Resolucion: La expresion√

3x+ 3y + ln(sen y) tiene sentido siempre que la can-tidad debajo de la raız sea no negativa y el argumento de ln sea positivo.Es decir,

3x+ 3y ≥ 0 y sen y > 0

Esto sucede cuando y ≥ −x e y ∈ (2kπ, (2k + 1)π) con k ∈ N. O sea,

Df = (x, y) ∈ R2 : y ≥ −x ∧ y ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ N

2. Esboce la grafica de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = senx

b) f(x, y) = y2

c) f(x, y) =√

16− x2 − 16y2

d) f(x, y) = sen(x2 + y2)

e) f(x, y) = 4− x2 − y2

f ) f(x, y) = y2 − x2

g) f(x, y) = 1x2+y2

h) f(x, y) = 6− x− 3y

Sea f : Rn → Rm una funcion, un conjunto de nivel es el conjunto de puntos x ∈ Rn tal que

su imagen por f es un punto fijo y0 ∈ Rm, es decir

x ∈ Rn : x ∈ Df ∧ f(x) = y0

Ejercicios

1. Esquematice las curvas de nivel de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = x− yb) f(x, y) = x2 + 2y2

c) f(x, y) = xy

d) f(x, y) = x2 − y2

e) f(x, y) = sen(x2 + y2)

f ) f(x, y) = x2

y

Resolucion: Calculemos las curvas de nivel para k = −2, 0, 1/2. Debemos calcularlos conjuntos de puntos (x, y) tales que y 6= 0 y f(x, y) = k. Es decir, x2/y = k, o

4

bienky = x2

Estas son parabolas con vertice en (0, 0) sin dicho vertice, excepto el caso k = 0. Enefecto,

k = −2 tenemos la parabola y = −12x2 sin el vertice.

k = 0 tenemos 0 = x2, es decir la recta x = 0.k = 1/2 tenemos la parabola y = 2x2 sin el vertice.

Una funcion f : Rn → Rm puede definir un conjunto S de diferentes maneras

Explıcitamente, si S es el grafo de f , es decir

S = (x, f(x)) ∈ Rn+m : x ∈ dom(f))Parametricamente, si S es la imagen de f , o sea

S = y ∈ Rm : y = f(x) para algun x ∈ dom(f))Implıcitamente, si S es un conjunto de nivel de f , es decir

S = x ∈ Rn : f(x) = y0 para algun y0 ∈ Rm

Ejercicios

1. Identifique el conjunto S ∈ R2 definidoa) explıcitamente por f(x) = x2

b) parametricamente por f(x) = (cos x, senx)c) implıcitamente por f(x, y) = x+ y = 3

2. Identifique el conjunto S ∈ R3 definidoa) explıcitamente por f(x, y) = x2 + y2

b) parametricamente por f(x) = (cos x, senx, x)c) parametricamente por f(x, y) = (x cos y, x sen y, x2)

3. Ejercicios Adicionales

1. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = 3x−y3x2+(y−1)2

b) f(x, y) = x2 ln(3y + 6x− 3)

c) f(x, y) =√

18− 3x2 − 4y2

d) f(x, y) = 3√x+ 3y2

2. Esboce la grafica de las siguientes funciones:

a) f(x, y) =√

1 + x2 + y2

b) f(x, y) = x2c) f(x, y) =

√1− x2 + y2

d) f(x, y) =√

1− 2x2

5

3. Esquematice las curvas de nivel de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = x− y2

b) f(x, y) = y − cosx

c) f(x, y) = xy

d) f(x, y) = x2 + 9y2

4. Identifique el conjunto S ∈ R2 definidoa) explıcitamente por f(x) = −2

√1− 9x2

b) parametricamente por f(x) = (3 cosx, 2 senx)c) implıcitamente por f(x, y) = x2 + 4y2 = 9

4. Ejercicios de Aplicacion

1. Una placa delgada de metal, localizada en el plano xy, tiene una temperatura T (x, y) enel punto (x, y). Las curvas de nivel de T se llaman isotermicas debido a que en todos lospuntos sobre una isotermica, la temperatura es la misma. Dibuje algunas isotermicas sila funcion temperatura esta dada por

T (x, y) =100

1 + x2 + 2y2

2. Si V (x, y) es el potencial electrico en un punto (x, y) del plano xy, entonces las curvas denivel de V se llaman curvas equipontenciales, ya que el potencial electrico de todos lospuntos sobre dicha curva es el mismo. Dibuje algunas curvas equipotenciales si V (x, y) =

c/√r2 − x2 − y2, donde c es una constante positiva.

5. Autoevaluacion

1. Defina punto lımite, frontera, aislado e interior.2. Un punto puede ser lımite y frontera al mismo tiempo? o lımite y aislado? o frontera y

aislado?3. Defina conjunto abierto y cerrado. De un subconjunto de R2 que no sea ni abierto ni

cerrado.4. Como se puede definir un conjunto S explıcitamente? o para metricamente? o implıci-

tamente?5. Sea S ⊂ R3, determine las dimensiones de n y m tal que la funcion f : Rn → Rm defina

a S parametricamente o explıcitamente o implıcitamente.6. Siempre un conjunto S puede definirse de las tres formas?7. Sea S una esfera centrada en el origen de radio 1, puede definirse explıcitamente?8. Defina conjunto de nivel.

6

Capıtulo 2

Lımites y Continuidad

1. Lımites

Sean f : Rn → Rm una funcion, x0 un punto de acumulacion del dom(f) y L un punto de Rm.

Diremos que existelımx→x0

f(x) = L

sii dado un entorno cualquiera B(L, ε) con centro en L, existe un entorno reducidoB(x0, δ)− x0 de centro x0 tal que si x ∈ (B(x0, δ)− x0) ∩ domf entonces f(x) ∈ B(L, ε)Es decir,

lımx→x0

f(x) = L sii ∀ε > 0∃δ > 0/x ∈ (B(x0, δ)− x0) ∩ domf =⇒ f(x) ∈ B(L, ε)

Ejercicios

1. Calcule los siguientes lımites. Si no existen, explique por que.

a) lım(x,y)→(0,0)

x− yx2 + y2

b) lım(x,y)→(0,0)

8x2y2

x4 + y4

c) lım(x,y)→(0,0)

2xy

x2 + 2y2

d) lım(x,y)→(0,0)

(x+ y)2

x2 + y2

e) lım(x,y)→(−2,1)

x2 + xy + y2

x2 − y2f ) lım

(x,y)→(1,2)xy + y2

g) lım(x,y)→(0,0)

x2 + y2

y

h) lım(x,y)→(0,0)

y3

x2 + y2

Resolucion: Calculemos primero los lımites iterados

lımx→0

lımy→0

y3

x2 + y2= lım

x→0

0

x2= 0

Mientras que

lımy→0

lımx→0

y3

x2 + y2= lım

x→0

y3

y2= lım

x→0y = 0

7

La existencia de estos lımites no nos asegura que el lımite exista. Probemos ahoraaproximandonos al (0, 0) por las rectas y = mx,

lımx→0

(mx)3

x2 + (mx)2= lım

x→0

m3x3

x2(1 +m2)= lım

x→0

m3x

1 +m2= 0

Otro camino para calcular el lımite es hacer el siguiente cambio de coordenadas

x = r cos(θ)y = r sen(θ)

Si (x, y)→ (0, 0) entonces r → 0, luego

lım(x,y)→(0,0)

y3

x2 + y2= lım

r→0

r3 sen3(θ)

r2 cos2(θ) + r2 sen2(θ)= lım

r→0

r3 sen3(θ)

r2= lım

r→0r sen3(θ) = 0

Este ultimo lımite es cero ya que | sen3(θ)| ≤ 1 para cualquier valor del angulo θ.Nuestro candidato a lımite es L = 0. En efecto, ya que y2 ≤ x2 + y2, tenemos que

0 ≤ |y3|x2 + y2

=|y|y2

x2 + y2≤ |y|(x

2 + y2)

x2 + y2= |y|

Es decir

0 ≤ |y3|x2 + y2

≤ |y|

Tomando lımite en dicha desigualdad, ya que los extremos tienen lımite igual a cero,

se cumple que lım(x,y)→(0,0)

y3

x2 + y2= 0.

2. Calcule los lımites de las siguientes funciones vectoriales

a) lım(x,y)→(0,0)

(xy√x2 + y2

,y2√x2 + y2

)

b) lım(x,y)→(0,1)

(xy3

x2 + y2, 2x+ 1

)c) lım

(x,y)→(3,2)(sen(xy), tan( y

x))

8

2. Continuidad

Sean f : Rn → Rm una funcion y x0 un punto de acumulacion del dom(f), x0 ∈ domfDiremos que f es continua en x0 sii dado un entorno cualquiera B(f(x0), ε) con centro enf(x0), existe un entorno B(x0, δ) de centro x0 tal que si x ∈ B(x0, δ) ∩ domf entonces f(x) ∈B(f(x0), ε)Es decir,

f es continua en x0 sii ∀ε > 0∃δ > 0/x ∈ B(x0, δ) ∩ domf =⇒ f(x) ∈ B(f(x0), ε)

Nota: Si x0 es un punto aislado del domf , la condicion anterior se cumple trivialmente; luegof es continua en todo punto aislado del dominio.

Ejercicios

1. Indique en que puntos las siguientes funciones NO son continuas.

a) f(x, y) =2xy

x− y

b) f(x, y) =x2 + y2 + 1

x2 + y2 − 1

c) f(x, y) =x6 + x3y3 + y6

x3 + y3

d) f(x, y) = sen−1(x2 + y2)

e) f(x, y) =

2x2 − y2

2x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

f ) f(x, y) =

xy√x2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

g) f(x, y) =

(

x2y

x2 + y2,− 3x2y

x2 + y2

)si (x, y) 6= (0, 0)

(0, 0) si (x, y) = (0, 0)

h) f(x, y, z) = ln

(x+ y

x+ z

)Resolucion: Recordemos que la funcion logaritmo es continua en su dominio, es

decir en aquellos puntos (x, y, z) tales quex+ y

x+ z> 0. Esto sucede si x + y y x + z

tienen igual signo. O sea si x > −y y x > −z o si x < −y y x < −z.

2. Dada la funcion f(x, y) =x2 + y2 − x3y3

x2 + y2, con (x, y) 6= (0, 0). Defina f(0, 0) de manera

que f sea continua en todo punto de R2.

9

3. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = tan(xy)

b) f(x, y, z) =1

x2 + y2 + z2

c) f(x, y) = exy sen(x+ y)

d) f(x, y) = 3x2 + 2y − sen(xy)

e) f(x, y) =

xy2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0) ∧ (x, y) 6= (1, 1)

1 si (x, y) = (0, 0)

1/4 si (x, y) = (1, 1)

f ) f(x, y) =

xy

x2 + y2si |x| ≥ 1

2/5 si (x, y) = (12, 0)

3. Ejercicios Adicionales

1. Calcule los siguientes lımites.

a) lım(x,y)→(1,2)

2x2 − xy4x2 − y2

b) lım(x,y)→(0,0)

x2y2

x2 + y4

c) lım(x,y,z)→(0,0,0)

xyz2

x2 + y2 + z2

d) lım(x,y)→(0,1)

x(y − 1)2√x2 + (y − 1)2

e) lım(x,y)→(0,0)

sen

(xy2√x2 + y2

)

2. Defina la funcion f(x, y) =x3 − y3

x− y(x 6= y) a lo largo de la recta x = y de manera que

la funcion resultante sea continua en todo punto.

3. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x, y) =

x4y5

(x2 + y2)2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

10

b) f(x, y) =

x2 − y2

x− ysi x 6= y

x− y si x = y

c) f(x, y) = 3x2 + 2y − sen(xy)

4. Autoevaluacion

1. Cuando una funcion f : Rn → Rm es continua en un punto? Por que se exige que x0 seaun punto de acumulacion? Que ocurre si x0 es un punto aislado?

2. Defina lımite de una funcion para x→ x0.

3. Si el lımite existe, es unico?

4. Sea D ⊂ R4 un conjunto finito de puntos. Sea f : D → R2 una funcion, es f continuaen D?

11

Capıtulo 3

Derivadas parciales y la diferencial

1. Derivadas Parciales

Sean f : R2 → R una funcion y (a,b) un punto interior del dom(f),

Diremos que f tiene derivada parcial con respecto a x en (a,b) si existe el siguiente lımite

∂f

∂x(a, b) = lım

h→0

f(a+ h, b)− f(a, b)

h

Similarmente, diremos que f tiene derivada parcial con respecto a y en (a,b) si existe elsiguiente lımite

∂f

∂y(a, b) = lım

h→0

f(a, b+ h)− f(a, b)

h

Si z = f(x, y), otras notaciones para las derivadas parciales son

∂f

∂x= fx = f1 =

∂z

∂x∂f

∂y= fy = f2 =

∂z

∂yLlamaremos Gradiente de f al siguiente vector

∇f(x0) = (fx(x0), fy(x0))

Ejercicios

1. Calcule las derivadas parciales de f , g y k en el punto (0, 0) usando la definicion.

f(x, y) =

2x3 − y3

x2 + 3y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

g(x, y) =

y4

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

k(x, y) =

xy

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

12

Resolucion: Debemos calcular el siguiente lımite

∂k

∂x(0, 0) = lım

h→0

k(0 + h, 0)− k(0, 0)

h

Reemplazando con los valores de la funcion, tenemos que

∂k

∂x(0, 0) = lım

h→0

(0+h)0h2+02

− 0

h= lım

h→0

0

h= lım

h→00 = 0

De una manera similar se calcula la derivada respecto de y.

2. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones y evaluelas en el punto indi-cado.

a) f(x, y) = 2x− 3y en (3, 2)

b) f(x, y) = sen(x− y) en (3, 3)

c) f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 en (0, 1, 2)

d) f(x, y) =x− yx+ y

en (1, 2)

3. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones.

a) f(x, y) = xy ln(x+ y)

b) f(s, t) =s√

s2 + t2

c) z = arctan(y/x)

d) f(x, y) = xy

4. Muestre que las siguientes funciones satisfacen la ecuacion diferencial dada.

a) z = xey, x∂z

∂x=∂z

∂y

b) z =x+ y

x− y, x

∂z

∂x+ y

∂z

∂y= 0

c) z =√x2 + y2, x

∂z

∂x+ y

∂z

∂y= z

d) u = e−a2k2t sen kx, ut = a2uxx.

e) u = 1/√x2 + y2 + z2, uxx + uyy + uzz

13

Sean f : Rn → Rm una funcion vectorial y x0 un punto interior de dom(f).

Si f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)) entonces

∂f

∂xi(x0) =

(∂f1∂xi

(x0), . . . ,∂fm∂xi

(x0)

)Ejercicios

1. Encuentre las derivadas parciales de las siguientes funciones vectoriales y evaluelas enlos puntos indicados.

a) f(x, y) = (x2y, xy, yx) en (2, 3)

b) f(x, y, z) = (tan(xz), ex2y, z cot(3y)) en (2, π, π/2)

2. Encuentre las derivadas parciales de las siguientes funciones vectoriales.

a) f(x, y, u, v) = (3xu− v2, 5y4uv)

b) f(u, v) = (u cos v, u sen v)

c) f(r, u, v) = (r cosu sen v, r senu sen v, rcosv)

Sean f : R2 → R una funcion y (a, b) un punto interior de dom(f).

Una ecuacion del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el puntoP = (a, b, c = f(a, b)) es

z − c = fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b)

Mientras que un vector normal al plano es N = (fx(a, b), fy(a, b),−1). Luego la ecuacionvectorial de la recta normal a la superficie en el punto P es

(x, y, z) = (a, b, c) + t(fx(a, b), fy(a, b),−1)

Ejercicios

1. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal al grafico de las si-guientes funciones en el punto dado.

a) f(x, y) = x2 + y2 en (−2, 1)

b) f(x, y) = cos(x/y) en (π, 3)

c) f(x, y) = x2 en (2, 1)

d) z = ln(2x+ y) en (−1, 3)

2. Encuentre las coordenadas de todos los puntos de la superficie z = x4− 4xy3− 24y2− 2en los cuales el plano tangente a la superficie es horizontal.

14

Sean f : Rn → Rm una funcion y x0 ∈ Rn un punto interior de dom(f). Si

f(x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))

entonces llamaremos matriz Jacobiana o matriz derivada de f en x0 a la siguiente matrizde tamano m× n

f ′(x0) =

∂f1∂x1

(x0) . . .∂f1∂xn

(x0)

......

∂fm∂x1

(x0) . . .∂fm∂xn

(x0)

Ejercicios

1. Obtenga la matriz jacobiana de las siguientes funciones

a) f(x, y, z) = (x2y, ln(z2y2), y/z, cos(xy))

b) f(x, y) = 3x2 + y3 − 3

c) f(x, y) = (tan(3xy), ex2+y2)

d) f(x) = (cos x, senx, x)

2. La diferencial

Sean f : Rn → Rm una funcion y x0 ∈ Rn un punto interior de dom(f). La funcion f se dice

diferenciable si existe una funcion lineal L : Rn → Rm tal que

lımx→x0

f(x)− f(x0)− L(x− x0)

||x− x0||= 0

L se llama diferencial de f en x0 y se denota L = dx0f .

Teoremas

Si f : Rn → Rm es una funcion diferenciable en x0 entonces dx0f es unica y su matrizes la matriz jacobiana o derivada de f , o sea,

dx0f(x) = f ′(x0).x

Sean f : D ⊂ Rn → Rm una funcion y D un subconjunto abierto de Rn. Si todas lasderivadas parciales de f existen y son continuas en D entonces f es diferenciable entodo punto de D. En tal caso se dice que f es continuamente diferenciable en D.

Si f : Rn → Rm es diferenciable en x0 entonces f es continua en x0

15

Ejercicios

1. Muestre que las siguientes funciones son continuamente diferenciables en su dominio.

a) f(x, y) = ex cos(xy)

b) f(x, y, z) =x+ y

y + z

c) f(x, y) = (2x3 − y, ln(y2))

2. Utilize la diferencial de f en un punto adecuado para aproximar los valores de la funcionen el punto dado.

a) f(x, y) = sen(πxy) + ln(y) en (0,01; 1,05)

b) f(x, y) =√

20− x2 − 7y2 en (1,95; 1,08)

c) f(x, y, z) = arctan(x+yz

) en (1,51; 1,48; 3,01)

3. Muestre que en (0, 0) la funcion

f(x, y) =

3x3

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

es continua, tiene derivadas parciales pero NO es diferenciable.

Resolucion: Dejaremos como ejercicio mostrar que f es continua en (0, 0).

Comencemos calculando las derivadas parciales

∂f

∂x(0, 0) = lım

h→0

3h3

h2+02− 0

h= 3

De la misma manera

∂f

∂y(0, 0) = lım

h→0

3,03

02+h2− 0

h= 0

Analicemos ahora si f es diferenciable. Debemos calcular el siguiente lımite

lım(x,y)→(0,0)

f(x, y)− f(0, 0)− 3x− 0y√x2 + y2

Reemplazando los valores de f tenemos que

lım(x,y)→(0,0)

3x3

x2+y2− 0− 3x− 0y√x2 + y2

= lım(x,y)→(0,0)

3x3 − 3x(x2 + y2)

(√x2 + y2)3

= lım(x,y)→(0,0)

−3xy2

(√x2 + y2)3

Finalmente este ultimo lımite no existe ya que si me aproximo al (0, 0) por diferentesrectas y = mx obtengo diferentes valores para ese lımite.

16

4. Muestre que en (0, 0) la funcion

f(x, y) =

(x2 + y2) sen

(1√

x2 + y2

)si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

es diferenciable pero sus derivadas parciales NO son continuas.

5. Muestre que en (0, 0) la funcion f(x, y) =√x2 + y2 es continua pero NO es diferenciable.

Sean f : Rn → R una funcion y x0 ∈ Rn un punto interior de dom(f). Sea v ∈ Rn un

vector de norma 1, o sea ||v|| = 1. Se define la derivada de f en x0 en la direccionde v como

∂f

∂v(x0) = lım

t→0

f(x0 + tv)− f(x0)

t

Si f es diferenciable en x0 entonces

∂f

∂v(x0) = ∇f(x0).v

Ejercicios

a) Para cada una de las siguientes funciones calcule el vector gradiente en el puntodado y la derivada direccional en la direccion del vector v.

1) f(x, y) =√x− y en (5, 1), v = (12, 5)

2) f(x, y) = xexy en (−3, 0), v = 2i + 3j

3) f(x, y, z) = x tan−1(yz) en (1, 2,−2), v = i + j− k

b) Obtenga una ecuacion de la recta tangente a la curva de nivel de f(x, y) = x2 − y2que pasa por el punto (2,−1).

c) Encuentre la ecuacion del plano tangente a la superficie de nivel de la funcionf(x, y, z) = cos(x+ 2y + 3z) en el punto (π/2, π, π).

d) Determine en que direccion se produce la maxima razon de cambio de f en el puntodado

1) f(x, y) = ln(x2 + y2), en (1, 2)

2) f(x, y) = cos(3x+ 2y), en (π/6,−π/8)

3) f(x, y, z) = x+ y/z, en (4, 3,−1)

17

e) Mostrar que la funcion f definida por

f(x, y) =

|x|y√x2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

tiene derivada direccional en todas direcciones en el punto (0, 0) pero no es diferen-ciable en ese punto.

3. Funcion Compuesta - Regla de la Cadena

Sean f : Rn → Rm y g : Rm → Rr dos funciones. Se define la funcion compuesta

g f : Rn → Rp a la funcion definida por

g f(x) = g(f(x))

Ejercicios

a) Calcule la funcion compuesta en los siguientes ejemplos, en el orden adecuado.

1) f(x, y) =

(x

x+ y, x, xy2

)y g(a, b, c) = (ln(a+ b), b+ c, c2)

2) f(t) = (t2 + 3, cos t) y g(x, y) = 3√x+ y3

3) h(x, y, z) = x+ 3y + ln(z + 1) y f(t) = (6t2, t+ 5, 8)

Teorema (Regla de la Cadena) Sean f : Rn → Rm y g : Rm → Rr dos funciones y sea

x0 en el dominio de f . Si f es diferenciable en x0 y g es diferenciable en f(x0) entoncesg f es diferenciable en x0 y se cumple que

(g f)′(x0) = g′(f(x0)).f ′(x0)

Ejercicios

a) Aplique la regla de la cadena a las funciones del ejercicio anterior.

18

Teorema (Regla de la Cadena para calcular derivadas parciales)

Caso 1 Sea z = f(x, y) una funcion derivable respecto de x e y. Supongamos quex = g(t) e y = h(t) son funciones derivables respecto de t. Entonces,

dz

dt=∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂y

dy

dt

Caso 2 Sea z = f(x, y) una funcion derivable respecto de x e y. Supongamos quex = g(u, v) e y = h(u, v) son funciones derivables respecto de u y v. Entonces,

∂z

∂u=∂f

∂x

∂x

∂u+∂f

∂y

∂y

∂uy

∂z

∂v=∂f

∂x

∂x

∂v+∂f

∂y

∂y

∂v.Dejamos como ejercicio para el lector dar la regla general.

Ejercicios

a) Derive usando la regla de la cadena

1) Calcule

(∂w

∂x

)z

sabiendo que w = f(x, y, z) e y = g(x, z)

2) Calcule∂w

∂t, si w = f(x, y), x = g(r, s), y = h(r, t), r = k(s, t) y s = n(t).

3) Calcule∂z

∂u,∂z

∂vy∂z

∂wsi z = f(x, y) = f(g(u, v, w)).

4) Obtenga∂2z

∂s2,∂2z

∂s∂ty∂2z

∂t2si z = f(x, y) y x = 2s+ 3t e y = 3s− 2t.

b) Derive usando la regla de la cadena y compare con el resultado que obtiene reem-plazando las variables y derivando directamente.

1) Calcule∂u

∂tsi u =

√x2 + y2 y las variables son x = est e y = 1 + s2 cos t.

2) Hallar∂w

∂tsi w = x2 + y2 + z2 y las variables son x = et cos t, y = et sen t y

z = et.

3) Hallar∂w

∂tsi w = e2x+3y y las variables son x = ln t, y = ln(t− 11).

c) Sea u = u(η, ξ). Haciendo el cambio de variables ξ = x + ct y η = x pruebe que la

ecuacion∂u

∂t= c

∂u

∂xes equivalente a

∂u

∂η= 0.

19

d) Sea f una funcion de u y v. Si u = ln(x2 + y2) y v = ln(x2 − y2) transforme la

expresion1

x

∂f

∂x− 1

y

∂f

∂y.

Funcion Inversa

Definicion: Sea F : Rn → Rn una funcion. Se dice que F es inversible si existe unafuncion G : Rn → Rn tal que F G = G F = Id.

Si F es biyectiva entonces tiene inversa.Mas aun, si F es diferencible en x0 y F ′(x0) es una matriz inversible entonces G esdiferencible en F (x0) y G′(F (x0)) = (F ′(x0))−1.

Ejercicios

a) Calcule la funcion inversa en los siguientes casos.

1) F (x, y) = (x+ 3y − 1, 2x+ 4y + 2)

2) F (r, θ) = (r cos θ, r sen θ)

3) F (r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z)

b) Calcule la matriz jacobiana de las funciones inversas del ejercicio anterior.

Teorema de la funcion Implıcita Sea F : D ⊂ R3 → R una funcion con deriva-

das Fx, Fy, Fz continuas en un entorno de (x0, y0, z0) y tal que F (x0, y0, z0) = 0 yFz(x0, y0, z0) 6= 0. Entonces, la ecuacion F (x, y, z) = 0 define a z como funcion de xe y en un entorno de (x0, y0, z0) y las derivadas parciales estan dadas por las siguientesecuaciones,

∂z

∂x= −

∂F

∂x∂F

∂z

∂z

∂y= −

∂F

∂x∂F

∂z

Ejercicios

a) Derive implıcitamente suponiendo que y es funcion de x.

1) x2 − xy + y3 = 8

2) 2y2 + 3√xy = 3x2 + 17

b) Suponga que z depende de x e y y calcule sus derivadas parciales derivando implıci-tamente

20

1) y2zex+y − sen(xyz) = 0

2) xy2z3 + x3y2z = x+ y + z

4. Extremos Libres y Ligados

Sean f : Rn → R una funcion

f tiene un maximo local en x0 si existe un entorno E de x0 tal que f(x) ≤ f(x0),∀x ∈ N ∩ dom(f).

f tiene un mınimo local en x0 si existe un entorno E de x0 tal que f(x) ≥ f(x0),∀x ∈ N ∩ dom(f).

Teorema Supongamos que f es diferenciable. Si f tiene extremo local en un puntox0 del interior del dominio de f entonces ∇f(x0) = 0.

Un punto x0 del dominio de f se llama punto crıtico si ∇f(x0) = 0.

Un punto crıtico de f que no es ni maximo ni mınimo se llama punto silla.

Ejercicios

a) Encuentre y clasifique los puntos crıticos de las siguientes funciones.

1) f(x, y) = x3 + 3xy − 3x2 − 3y2 + 4

2) f(x, y) = x2 + 2y2 − 4x+ 4y

3) f(x, y) = xy − x+ y

4) f(x, y) =x

y+

8

x− y

5) f(x, y) = xye−x2−y4

6) f(x, y) = e−x sen2(y)

b) Encuentre los maximos y mınimos de las funciones dadas en los dominios indicados

1) f(x, y) = x− x2 + y2 en el rectangulo cerrado 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.

2) f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2 en el triangulo cerrado de vertices (−1, 1), (2, 1) y(−1,−2).

3) f(x, y) = sen x cos y en el triangulo cerrado de vertices (0, 0), (0, 2π) y (2π, 0).

c) Use multiplicadores de Lagrange para obtener los extremos de las siguientes funcio-nes sujetas a la condicion dada.

21

1) f(x, y) = x3y5 con la condicion x+ y = 8.

2) f(x, y, z) = x+ y − z para los puntos en la esfera x2 + y2 + z2 = 1.

3) f(x, y, z) = x+ 2y − 3z sobre el elipsoide x2 + 4y2 + 9z2 ≤ 108.

d) Encuentre la distancia del origen al plano x+ 2y + 2z = 3 de tres maneras:

1) Usando argumentos geometricos.

2) Reduciendo el problema a uno de dos variables sin restricciones.

3) Usando multiplicadores de Lagrange.

5. Ejercicios Adicionales

a) Calcule las derivadas parciales y direccionales de las siguientes funciones en el puntodado o justifique si no existen. De ser posible, de la ecuacion del plano tangente endicho punto.

1) z = ln(2x+ y) en P = (−1, 3) en la direccion u = (1, 2).

2) f(x, y) = ex cos(xy) en P = (1/2, π) en la direccion u = (3/5, 4/5).

3)

f(x, y) =

x2 + 1

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

en P = (0, 0) en la direccion u = (1, 1).

4)

f(x, y) =

y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

1 si (x, y) = (0, 0)

en P = (0, 0) en la direccion u = (1, 1).

b) Sea f(x, y, z) = |r|−n donde r = xi + yj + zk. Muestre que ∇f =−nr|r|n+2

.

c) Encuentre y clasifique los puntos crıticos de las siguientes funciones.

1) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy

2) f(x, y) =xy

2 + x2 + y2

3) f(x, y) = xy − 2x en el rectangulo −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

22

d) Encuentre la maxima y la mınima distancia del punto (2, 1,−2) a la esfera x2 +y2 +z2 = 1.

e) Encuentre la menor distancia del punto (3, 0) a la parabola y = x2 de dos maneras:

1) transformando el problema en otro que dependa de una sola variable.

2) usando multiplicadores de Lagrange.

6. Ejercicios de Aplicacion

Derivadas Direccionales

a) La temperatura en los puntos del plano (x, y) esta dada por T (x, y) = x2 − 2y2.

1) Dibuje algunas isotermas.

2) ¿En que direccion deberıa moverse una hormiga situada en el punto P = (2,−1)si desea refrescarse tan rapido como sea posible?

3) ¿A que tasa experimentara el descenso de temperatura la hormiga si se muevedesde el punto P en la direccion (−1,−2).

b) La ley de los gases para una masa fija m de una gas ideal a la temperatura absolutaT , a presion P y con volumen V es PV = mRT , donde R es la constante de gas.Muestre que

∂P

∂V

∂V

∂T

∂T

∂P= 1

c) La energıa cinetica de un cuerpo de masa m y velocidad v es K = 12mv2. Muestre

que

∂K

∂m

∂2K

∂v2= K

Diferenciales

d) Las aristas de una caja rectangular son medidas con un error maximo del 1 %. Usediferenciales para estimar el error maximo porcentual al calcular el volumen de lacaja y el area de una cara de la caja.

e) SiR es la resistencia total de tres resistoresR1, R2, R3 colocados en paralelo, entonces

1

R=

1

R2

+1

R2

+1

R3

23

Si las resistencias se miden como R1 = 25 ohms, R2 = 40 ohms y R3 = 50 ohms, conerrores de a lo suma 0,5 % en cada caso, estime el error maximo en el valor calculadode R.

Regla de la cadena

f ) Utilice diferenciales para calcular la cantidad de metal de una lata cilındrica cerradade 10cm de alto y 4cm de diametro, si el metal de la pared es de 0,05cm de espesormientras que el metal de la tapa y el fondo es de 0,1cm de espesor.

g) El radio de un cilindro circular recto decrece en una razon de 1,2cm/s, en tanto quesu altura aumenta a una tasa de 3cm/s. ¿A que tasa cambia el volumen del cilindro,si el radio es de 80cm y la altura de 150cm.

h) La longitud l, el ancho w y la altura h de una caja cambian con el tiempo. Enun cierto tiempo, las dimensiones son l = 1m y w = h = 2m y ademas l y w seincrementan a una tasa de 2m/s, en tanto que h disminuye a una tasa de 3m/s. Enese instante, calcule las tasas de cambio de

1) El volumen.

2) El area de la superficie.

3) La longitud de una diagonal.

i) El voltaje V en un circuito electrico simple disminuye lentamente conforme la baterıade agota. La resistencia R aumenta lentamente conforme el resistor se calienta.Utilice la Ley de Ohm, V = IR, para calcular como esta cambiando la corriente I enel momento cuando R = 400Ω, I = 0,08A, dV/dt = −0,01V/s y dR/dt = 0,03Ω/s.

Extremos

j ) Una caja de carton, sin tapa, debera tener un volumen de 32000cm3. Calcule lasdimensiones que minimicen la cantidad de carton a utilizar.

k) La base de un acuario, de volumen V , esta hecho de esquisto y sus lados de cristal.Si el esquisto cuesta cinco veces mas que el cristal (por unidad de area), determinelas dimensiones del acuario que minimicen el costo de los materiales.

7. Autoevaluacion

a) ¿Cuantas derivadas parciales de orden 4 tiene una funcion de 2 variables? ¿Y cuantasde orden n?

b) Si estas derivadas paricales son continuas, ¿cuantas de ellas son distintas?

24

c) Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

1) Existe una funcion f(x, y) cuyas derivadas parciales son fx(x, y) = x + 4y yfy(x, y) = 3x− y.

2) Si f(x, y) = ln y, entonces ∇f(x, y) = 1/y

3) Si existen fx(a, b) y fy(a, b) entonces f es diferenciable en (a, b).

4) Si f tiene un mınimo local y es diferenciable en (a, b) entonces ∇f(a, b) = 0.

d) Utilice diferenciales para aproximar el numero (1,98)3√

(3,01)2 + (3,97)2.

e) ¿Como se relacionan las derivadas direccionales y el gradiente de f(x, y)?

f ) ¿En que direccion se produce la maxima derivada direccional de f(x, y)?

g) ¿En que direccion se produce la mınima derivada direccional de f(x, y)?

h) ¿En que direccion la derivada direccional de f(x, y) es 0?.

25

Capıtulo 4

Integrales Multiples

1. Curvas y Superficies

1. Identifique y grafique las siguientes curvas en R2.

a) y = 3x+ 2

b) x+ y = 2

c) x = y2 − 2y + 1

d) 9x2 + 4y2 = 36

e) 3x2 − 6x+ 3y2 = 6

f ) y = −√

1− (x+ 2)2

g) 2x− y + 3 = 0

h) x2 − y2 − 6y = 10

i) y2 − 3x2 = 12

j ) y = −√x− 2

2. Identifique y grafique las siguientes superficies en R3.

a) x−42

= y+54

= z−1−3

b) x = y+22

= z+23

c) 4x2 + 9y2 + 36z2 = 36

d) 4z2 − x2 − y2 = 1

e) z = y2

f ) x = y2 + z2

g) 2x2 + z2 = 4

h) x2 + 4z2 − y = 0

i) z2 = 3x2 + 4y2 − 12

j ) x2 + 6x+ y2 − 4z2 + 8z = 19

k) x2 − y2 + 4y + z = 4

3. Dibuje la region acotada por las siguientes superficies.

a) z =√x2 + y2 y x2 + y2 = 1 para 1 ≤ z ≤ 2.

b) z = x2 + y2 y z = 2− x2 − y2.

26

2. Integrales Dobles

1. Calcule las siguientes integrales iteradas

a)∫ 2

0

∫ 1

0x2y3dydx

b)∫ 2

0

∫ 1

0x

y2+1dydx

c)∫ 3

0

∫ 1

0

√x+ ydxdy

d)∫ ln 2

0

∫ ln 5

0e2x−ydxdy

e)∫ π0

∫ x−x cos ydydx

2. Dibuje la region R de integracion y calcule la integral doble

a)∫∫

Rx sen ydA con R = (x, y)/0 ≤ y ≤ π/2, 0 ≤ x ≤ cosx

b)∫∫

R1xdA con R = (x, y)/0 ≤ y ≤ e, y2 ≤ x ≤ y4

c)∫∫

Rex+ydA con R acotada por las rectas y = 0, y = x, x = 1.

d)∫∫

RyexdA con R la region triangular con vertices (0, 0), (2, 4) y (6, 0).

e)∫∫

R4y3dA con R acotada por las curvas y = x− 6, y2 = x.

3. Calcule el volumen de los siguientes solidos usando integrales dobles

a) Bajo el paraboloide z = 3x2+y2 y encima de la region acotada por y = x y x = y2−y.

b) Acotado por el cilindro x2 + z2 = 9 y los planos x = 0, y = 0, z = 0, x+ 2y = 2 enel primer octante.

c) Acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y x+ y + z = 1.

4. Dibuje la region de integracion y cambie el orden de integracion. Resuelva cuando seaposible.

a)∫ 1

0

∫ 2−yy2

f(x, y)dxdy

b)∫ 1

0

∫ π/4arctanx

f(x, y)dxdy

c)∫ 1

0

∫ 1√y

√x3 + 1dxdy

d)∫ 3

0

∫ 9

y2y cos(x2)dxdy

27

Integrales mediante un Cambio de coordenadas.

Si T una funcion de Rn en Rn biyectiva y continua. Sea D un subconjunto del dominio de T .Si f es continua y acotada en T (D) entonces∫∫

T (D)

f(x, y)dA =

∫∫D

f T |detT ′|dA

Ejercicios

1. Sea R la region del primer cuadrante del plano xy acotada por las hiperbolas xy = 1,xy = 9 y las rectas y = x, y = 4x. Utilice la transformacion x = u

v, y = u

vcon u > 0,

v > 0, para escribir∫ ∫

Rdxdy como una integral sobre una region adecuada D del plano

uv. Calcule la integral obtenida.

2. Calcule la integral encerrada por las curvas x2 + 2y2 = 1, x2 + 2y2 = 4, y = 2x, y = 5x,x ≤ 0, y ≤ 0 usando la transformacion u = x2 + 2y2, v = y

x

Cambio a coordenadas polares

Sea T : R2 → R2 la siguiente funcion biyectiva

T (r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ)) = (x, y)

Si f es continua en una region polar de la forma

D = (r, θ)/α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θdonde 0 ≤ β − α ≤ 2π, entonces∫∫

T (D)

f(x, y)dA =

∫ β

α

∫ h2(θ)

h1(θ)

f(r cos θ, r sen θ))rdrdθ

Observacion: NO olvidar el factor adicional r en el termino de la derecha.

Ejercicios

1. Cambie la integral dada a coordenadas polares y evaluela.

a)∫∫

RydA, donde R es la region en el primer cuadrante acotada por el cırculo x2+y2 =

9 y las rectas y = 0, y = x.

b)∫∫

RxydA, donde R es la region en el primer cuadrante entre los cırculos x2 + y2 = 4

y x2 + y2 = 25.

c)∫∫

R1√x2+y2

dA, donde R es la region que esta dentro del cardioide r = 1 + sen θ y

fuera del cırculo r = 1.

28

d)∫∫

RxdA, donde R es la region en el primer cuadrante que esta entre los cırculos

x2 + y2 = 4 y x2 + y2 = 2x.

e)∫ 1

0

∫ √1−x20

ex2+y2dydx

f )∫ 2

0

∫ √2x−x20

√x2 + y2dydx

3. Integrales Triples

Ejercicios

1. Calcule las siguientes integrales iteradas en el orden adecuado.

a)∫∫∫

EzdV , donde E esta acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 0, y + z = 1 y

x+ z = 1.

b)∫∫∫

E(x+2y)dV , donde E esta acotada por el cilindro parabolico y = x2 y los planos

z = x, y = x y z = 0.

c)∫∫∫

ExdV donde E esta acotada por el paraboloide x = 4y2 + 4z2 y el plano x = 4.

d)∫∫∫

Esen(πy3)dV donde E es la piramide con vertices los puntos (0, 0, 0), (0, 1, 0),

(1, 1, 0), (1, 1, 1) y (0, 1, 1).

Cambio a coordenadas cilındricas

Sea T : R3 → R3 la siguiente funcion biyectiva

T (r, θ, z) = (r cos(θ), r sen(θ), z) = (x, y, z)

Si f es continua en la region

D = (r, θ, z)/α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ), g1(r, θ) ≤ z ≤ g2(r, θ)donde 0 ≤ β − α ≤ 2π, entonces∫∫∫

T (D)

f(x, y, z)dV =

∫ β

α

∫ h2(θ)

h1(θ)

∫ g2(r,θ)

g1(r,θ)

f(r cos θ, r sen θ, z)rdzdrdθ

Observacion: NO olvidar el factor adicional r en el termino de la derecha.

Ejercicios

1. Calcule∫∫∫

EydV , donde E es el solido que esta entre los cilindros x2 + y2 = 1 y

x2 + y2 = 4, encima del plano xy y debajo del plano z = x+ 2.

2. Determine el volumen de la region E acotada por los paranoloides z = x2 + y2 y z =36− 3x2 − 3y2.

29

3. Evalue∫∫∫

Ex2dV , donde E es el solido que esta entre el cilindro x2 + y2 = 1 encima del

plano z = 0 y debajo del cono z2 = 4x2 + 4y2.

Cambio a coordenadas esfericas

Sea T : R3 → R3 la siguiente funcion biyectiva

T (r, θ, φ) = (r cos(θ) sen(φ), r sen(θ) sen(φ), r cos(φ)) = (x, y, z)

Si f es continua en la region D∫∫∫T (D)

f(x, y, z)dV =

∫∫∫D

f(r cos(θ) sen(φ), r sen(θ) sen(φ), r cos(φ))r sen(φ)drdθdφ

Observacion: NO olvidar el factor adicional r sen(φ) en el termino de la derecha.

Ejercicios

1. Describa todos los puntos (x, y, z) del espacio cuyas coordenadas esfericas satisfacen lassiguientes ecuaciones,

a) θ = π/2b) φ = π/2

c) r = 3d) r = 2 cos(φ)

e) r = 2 cos(θ)f ) φ = π/3

g) θ = π/6

2. Evalue∫∫∫

E(x2 + y2 + z2)dV , donde E es la bola centrada en el origen de radio 3.

3. Encuentre∫∫∫

Exe(x

2+y2+z2)2dV , donde E es el solido que esta entre las esferas x2 +y2 +z2 = 1 y x2 + y2 + z2 = 4 en el primer octante.

4. Evalue∫∫∫

E

√x2 + y2 + z2dV , donde E es el solido acotado debajo del cono φ = π/6 y

encima de la esfera r = 2.

5. Determine el volumen del solido que esta encima del cono φ = π/3 y debajo de la esferar = 4 cos(φ).

6. Escriba las siguientes integrales en a) coordenadas cartesianas, b) coordenadas cilındri-cas y c) coordenadas esfericas. Elija las coordenadas mas convenientes para calcular laintegral.

a) Determine el volumen del solido que esta arriba del cono z =√x2 + y2 y debajo de

la esfera x2 + y2 + z2 = 1.

b)∫∫∫

Ex2dV , donde E esta entre las esferas r = 1 y r = 3 y encima del cono φ = π/4.

7. Elija coordenadas convenientes para calcular las siguientes integrales.

30

a)∫ 1

−1

∫ √1−x2−√1−x2

∫ 2−x2−y2x2+y2

(x2 + y2)3/2dzdydx

b)∫ 1

0

∫√1−y20

∫√x2+y2

x2+y2 (xyz)dzdxdy

c)∫ 3

−3

∫ √9−x2−√9−x2

∫ 9−x2−y20

z√

(x2 + y2 + z2)dzdydx

4. Ejercicios Adicionales

1. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.

a)∫ 2

−1

∫ 6

0x2 sen(x− y)dxdy =

∫ 6

0

∫ 2

−1 x2 sen(x− y)dxdy

b)∫ 1

−1

∫ 1

0ex

2+y2 sen ydxdy = 0

c) La integral∫ 2π

0

∫ 2

0

∫ 2

rdzdrdθ representa el volumen encerrado por el cono z =

√x2 + y2

y el plano z = 2.

2. Describa la region cuya area esta dada por la siguiente integral∫ π

0

∫ 1+sen θ

1

rdrdθ

3. Describa el solido cuyo volumen esta dado por la siguiente integral∫ 2π

0

∫ π/6

0

∫ 3

1

r2 senφdrdφdθ

y evalue dicha integral.

4. Calcule las siguientes integrales

a)∫∫

DxydA, donde D es la region acotada por y2 = x3 y x = y.

b)∫∫

D(xy + 2x + 3y)dA, donde D es la region del primer cuadrante acotada por x =

1− y2, y = 0 y x = 0.

c)∫∫∫

Ey2z2dV , donde E esta acotada por el paraboloide x = 1 − y2 − z2 y el plano

x = 0.

d)∫∫∫

EzdV , donde E esta acotada por lod planos y = 0, z = 0, x+ y = 2 y el cilindro

y2 + z2 = 1 en el primer octante.

5. Ejercicios de Aplicacion

1. Si la funcion f(x, y) representa la densidad de masa (en unidades de masa por unidad dearea) de una lamina delgada, entonces la masa de la lamina en una regionD esta dada por

31

la integral doble sobre la region D, es decir m =∫ ∫

Df(x, y)dA. Ademas las coordenadas

del centro de masa estan dadas por

x =1

m

∫∫D

xf(x, y)dA

y =1

m

∫∫D

yf(x, y)dA

El significado fısico del centro de masa es que la lamina se comporta como si toda la

masa estuviera concentrada en ese punto.

Calcule la masa y las coordenadas del centro de masa de las siguientes laminas cuyadensidad es f(x, y) y que ocupan la region D,

a) f(x, y) = x+ y y D es la region triangular con vertices (0, 0), (2, 1) y (0, 3).

b) f(x, y) = y y D es la region acotada por la parabola y = 9− x2 y el eje x.

c) f(x, y) = xy y D es la region en el primer cuadrante acotada por la parabola y = x2

y la recta y = 1.

d) D es la parte del disco x2 + y2 ≤ 1 en el primer cuadrante y la densidad de masa esproporcional al cuadrado de la distancia desde el origen, para cualquier punto.

e) D es la parte del disco x2 + y2 ≤ 1 en el primer cuadrante y la densidad de masa esproporcional al cuadrado de la distancia desde el eje x, para cualquier punto.

2. Si una carga electrica se distribuye en una region D y la densidad de carga (en unidadesde carga por unidad de area) esta dada por una funcion f(x, y), entonces la carga totalQ se obtiene a atraves de la integral doble sobre la region D. Calcule la carga electrica

distribuıda en las siguientes regiones D si la densidad de carga es f(x, y) (medida encoulombs por metro cuadrado)

a) D es el rectangulo 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2 y f(x, y) = x2 + 3y2.

b) D es el disco unitario x2 + y2 ≤ 1 y f(x, y) = 1 + x2 + y2.

3. El momento de Inercia de una lamina con funcion densidad de masa f(x, y) y que ocupauna region D alrededor del eje x se puede calcular como

Ix =

∫∫D

y2f(x, y)dA

De manera similar, el momento de Inercia alrededor del eje y es

Iy =

∫∫D

x2f(x, y)dA

32

Asimismo, se calcula el momento de inercia alrededor del origen o momento polar deinercia a

I0 =

∫∫D

(x2 + y2)f(x, y)dA

Observe que I0 = Ix + Iy.Calcule los momentos de Inercia para las laminas del ejercicio 1.

4. Todas las aplicaciones mencionadas para integrales dobles pueden extenderse a integralestriples. En efecto si un objeto solido que ocupa una region E tiene una densidad de masaf(x, y, z) entonces su masa es m =

∫∫∫Ef(x, y, z)dV y las coordenadas del centro de

masa son

x = 1m

∫∫∫Exf(x, y, z)dV ; y = 1

m

∫∫∫Eyf(x, y, z)dV ; z = 1

m

∫∫∫Ezf(x, y, z)dV

Calcule la masa y las coordenadas del centro de masa para los siguientes objetos solidos

que ocupan una region E y tienen una densidad de masa f(x, y, z)

a) E esta acotado por el cilindro parabolico z = 1− y2 y los planos x+ z = 1, x = 0 yz = 0 y la densidad es constante.

b) E es el tetraedro acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y x + y + z = 1, conf(x, y, z) = y.

5. Los momentos de Inercia alrededor de los ejes coordenados son

Ix =∫∫∫

E(y2 + z2)f(x, y, z)dV ; Iy =

∫∫∫E

(x2 + z2)f(x, y, z)dV ;Iz =

∫∫∫E

(x2 + y2)f(x, y, z)dV

Calcule los momentos de Inercia de un ladrillo regular de dimensiones a, b y c con masa

M y densidad constante.

6. Autoevaluacion

1. Defina coordenadas polares y enuncie el teorema que permite calcular una integral doblecartesiana en coordenadas a polares.

2. Defina coordenadas cilındricas y enuncie el teorema que permite calcular una integraltriple cartesiana en coordenadas a cilındricas.

3. Defina coordenadas esfericas y enuncie el teorema que permite calcular una integraltriple cartesiana en coordenadas a esfericas.

33

Capıtulo 5

Curvas - Integral de Lınea

Una curva en Rn es una funcion γ : A ⊂ R→ Rn continua.

Muchas veces suele llamarse curva a la imagen del conjunto A por γ, es decir a γ(A) ⊂ Rn y ala funcion γ una parametizacion de la curva.

Ejercicios

1. Identifique las curvas dadas por las siguientes parametizaciones.

a) γ(t) = (sen t, 3, cos t)

b) γ(t) = (t2, t, 2)

c) γ(t) = (sen t, sen t,√

2 cos t), ayuda: muestre que la curva esta contenida en el planox = y.

d) γ(t) = (sen t, t, cos t), ayuda: muestre que la curva esta contenida en el cilindrox2 + z2 = 1.

e) γ(t) = (t cos t, t sen t, t), ayuda: muestre que la curva esta contenida en el conoz2 = x2 + y2.

2. Muestre que la curva γ(t) = (sen t, cos t, sen2 t) es la curva interseccion de las superficiesz = x2 y x2 + y2 = 1. Use este hecho para realizar la grafica de la curva.

3. Parametrice las curvas del ejercicio 1 de la seccion 1 del capıtulo anterior.

Una curva γ : A ⊂ R→ Rn se dice suave si γ(t) 6= 0 para todo t ∈ A.

Dada una curva γ : A ⊂ R→ R3 suave, se define:

Vector Tangente Unitario a T (t) = γ′(t)|γ′(t)|

Vector Normal principal a N(t) = T ′(t)|T ′(t)|

Vector Binormal a B(t) = T (t)×N(t)

La Curvatura κ(t) = |T ′(t)||γ′(t)| = |γ′(t)×γ′′(t)|

|γ′(t)|3

34

Dada una curva γ : A ⊂ R→ R3 suave, se define:

La Torsion es una funcion τ(t) tal que B′(t) = −τ(t)N(t)|γ′(t)|Los vectores T y N determinan un plano que pasa por el punto γ(t) llamado planoosculador.

Ejercicios

1. Calcule los vectores Tangente, Normal y Binormal, la curvatura, la torsion y el planoosculador de las curvas del ejercicio 1.

2. Calcule la longitud de las curvas del ejercicio 1, para t ∈ [0, 2π].

3. Encuentre la parametizacion por longitud de arco de las curvas del ejercicio 1.

Sea γ : [a, b]→ Rn una curva suave y sea f : D ⊂ Rn → R una funcion continua cuyo dominio

contiene a la curva. Se llama Integral de lınea de f a lo largo de la curva γ a∫γ

fdγ =

∫ b

a

f(γ(t))|γ′(t)|dt

Ejercicios

1. Calcule las siguientes integrales sobre la curva γ dada.

a)∫γxy4dγ, donde γ es la mitad derecha del cırculo x2 + y2 = 16.

b)∫γxzdγ, donde γ(t) = (6t, 3

√2t2, 2t3) con 0 ≤ t ≤ 1.

c)∫γxyzdγ, donde γ(t) = (2t, 3 sen t, 3 cos t) con 0 ≤ t ≤ π/2.

d)∫γx2zdγ, donde γ(t) = (sen 2t, 3t, cos 2t) con 0 ≤ t ≤ π/4.

e)∫γxy2zdγ, donde γ es el segmento de recta desde el punto (1, 0, 1) hasta (0, 3, 6).

Sea γ : [a, b]→ Rn una curva suave y sea F : D ⊂ Rn → Rn una funcion continua cuyo dominio

contiene a la curva. Se llama Integral de lınea del campo vectorial F a lo largo de lacurva γ a ∫

γ

F · dγ =

∫ b

a

F(γ(t)) · γ′(t)dt

Observacion: Si tenemos un campo vectorial en R3 tal que F (x, y, z) =(P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) entonces una notacion alternativa para esta integral es,∫

γ

F · dγ =

∫γ

Pdx+Qdy +Rdz

35

Ejercicios

1. Calcule las integrales vectoriales del campo F a lo largo de la curva γ dada.

a) F (x, y) = x2yi− xyj y γ(t) = (t3, t4), con 1 ≤ t ≤ 1.

b) F (x, y, z) = (y + z)i− x2j− 4y2k y γ(t) = (t, t2, t4), con 1 ≤ t ≤ 1.

c) F (x, y, z) = sen xi + cos yj + xzk y γ(t) = (t3,−t2, t), con 1 ≤ t ≤ 1.

d) F (x, y) = ex−1i + xyj y γ(t) = (t2, t3), con 1 ≤ t ≤ 1.

2. Calcule∫γx2ydx+ (x2 − y2)dy para las siguientes curvas γ

a) el segmento de recta desde (1, 1) hasta (2, 4).

b) el segmento de parabola y = x2 desde (1, 1) hasta (2, 4).

3. Calcule∫γ(x− y)dx+ (y − x)dy para las siguientes curvas γ

a) el segmento de recta desde (1, 0) hasta (0, 1).

b) el arco sobre el cırculo x2 + y2 = 1 desde (1, 0) hasta (0, 1).

1. Aplicaciones

1. Analogamente a las aplicaciones de integrales dobles y triples, podemos decir que si lafuncion integrando representa la densidad de masa de un alambre en forma de la curvaγ, entonces la masa m del alambre esta dada por la integral de la funcion escalar f alo largo de la curva.

Por otro lado, las coordenadas del centro de masa estan dadas por

x = 1m

∫γxf(x, y)dγ; y = 1

m

∫γyf(x, y)dγ

En los siguientes casos, calcule la masa del alambre γ y las coordenadas del centrode masa, si su densidad de masa es f .

a) γ la parte del cırculo x2 + y2 = 4 con x ≥ 0 y la densidad f es constante.

b) γ es la helice γ(t) = (t, cos t, sen t) con 0 ≤ t ≤ 2π y la densidad en cualquier puntoes igual al cuadrado de su distancia al origen.

c) γ la parte del cırculo x2 + y2 = r2 con x ≥ 0, y ≥ 0 y la densidad es f(x, y) = x+ y.

2. Si un alambre que tiene densidad lineal f esta a lo largo de una curva plana γ, susmomentos de Inercia alrededor de los ejes x e y se definen como

Ix =∫γy2f(x, y)dγ; Iy =

∫γx2f(x, y)dγ

36

Determine los momentos de inercia para un alambre que tiene la forma de una heliceγ(t) = (2 sen t, 2 cos t, 3t) con 0 ≤ t ≤ 2π con densidad constante.

3. Supongamos que el campo vectorial F representa un campo de fuerza continuo de R3

(por ejemplo un campo gravitacional o el campo de fuerza electrico), entonces la integralvectorial de F a lo largo de una curva γ representa el trabajo realizado por dicha fuerzaal mover una partıcula a lo largo de la curva γ.

Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza F sobre una partıcula que semueve a lo largo de la curva γ.

a) F (x, y) = (x2, xy) y γ es el cırculo x2 + y2 = 4 orientado en direccion contraria almovimiento de las agujas del reloj.

b) F (x, y) = (x, y + 2) y γ(t) = (t− sen t, 1− cos t) con 0 ≤ t ≤ 2π.

c) F (x, y) = (x sen y, y) y γ es el trozo de parabola y = x2 desde el punto (−1, 1) hasta(2, 4).

d) Un hombre que pesa 160 libras carga un bote de pintura de 25 libras por una escalerade caracol que rodea a un silo que tiene un radio de 20 pies. Si el silo tiene una alturade 90 pies y el hombre le da exactamente 3 vueltas completas, ¿que tanto trabajollevo a cabo el hombre respecto a la fuerza de gravedad al subir hasta la parte masalta?

2. Autoevaluacion

1. La integral de lınea de un campo vectorial, depende de la trayectoria? o solo de lospuntos inicial y final de dicha trayectoria?

2. Si la curva γ es cerrada (es decir, el punto final e inicial coinciden), puede decir cuantovale la integral a lo largo de γ de un campo vectorial F cualquiera?

3. Defina curva suave.

37

Capıtulo 6

Superficies - Integrales de Superficie

Una superficie en Rn es una funcion S : D ⊂ R2 → Rn continua.

Suele llamarse superficie a la imagen de D por S, es decir S(D) ⊂ Rn, mientras que a la funcionS se le llama una parametizacion de S.

Ejercicios

1. Identifique las superficies dadas por las siguientes parametizaciones.

a) f(u, v) = (3 senu cos v, 2 senu sen v, cosu)

b) f(u, v) = (u, v,√

4− x2 − y2)c) f(u, v) = (3 senu cos v, 3 senu sen v, 3 cosu)

d) f(u, v) = (u2, v, u)

e) f(u, v) = (u cos v, u sen v, u)

f ) f(u, v) = (u, v,√

1 + u2 + v2)

2. Parametrice las superficies del ejercicio 2 de la seccion 1 del capıtulo 4 (Integrales Multi-ples).

3. Calcule el area de las superficies del ejercicio 1 para D = (u, v) : 0 ≤ u, v ≤ 2π.

Sea f : Df ⊂ Rn → R una funcion continua y sea S : D ⊂ R2 → Rn una superficie cuya

imagen esta contenida en el dominio de f .

Se llama Integral de superficie de f sobre S a∫∫S

fdS =

∫∫D

f(S(u, v))||Su × Sv||dudv

Ejercicios

1. Calcule la integral de superficie planteada.

a)∫∫

SxzdS con S el triangulo de vertices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).

b)∫∫

S(y2 + z2)dS con S la parte del paraboloide x = 4− y2 − z2 tal que x ≤ 0.

38

c)∫∫

SxyzdS con S la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 que esta arriba del cono

z =√x2 + y2.

Sea un campo vectorial F : R3 → R3 continuo y sea S : D ⊂ R2 → Rn una superficie orientable

con vector normal unitario n.

Se llama Integral vectorial de superficie de F sobre S a∫∫S

F · dS =

∫∫S

F · ndS =

∫∫D

F (S(u, v)) · Su × Svdudv

A esta integral se le llama tambien flujo de F a traves de S.

Ejercicios

1. Calcule el flujo del campo vectorial F a traves de S.

a) F (x, y, z) = (x, xy, xz) y S es el plano 3x + 2y + z = 6 en el primer octante conorientacion hacia arriba.

b) F (x, y, z) = (x2y,−3xy2, 4y3) y S es la parte del paraboloide elıptico z = x2 +y2−9que esta debajo del cuadrado 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 y que tiene orientacion haciaabajo.

c) F (x, y, z) = (−x,−y, z2) y S es la parte del cono z =√x2 + y2 que esta entre los

planos z = 1 y z = 2, con orientacion hacia arriba.

d) F (x, y, z) = sen(xyz)i + x2yj + x2ex/5k y S es la parte del cilindro 4y2 + z2 = 4 queesta encima del plano xy entre los planos x = −2 y x = 2 y que tiene orientacionhacia arriba.

1. Aplicaciones

1. Las integrales de superficie tienen aplicaciones similares a las consideradas en los capıtu-los previos. Por ejemplo, si una lamina delgada tiene la forma de la superficie S y ladensidad de masa esta representada por la funcion escalar f , entonces la masa m de lalamina se obtiene de la siguiente manera

m =

∫∫S

f(x, y, z)dS

y el centro de masa tiene coordenadas

x = 1m

∫∫Sxf(x, y, z)dS; y = 1

m

∫∫Syf(x, y, z)dS; z = 1

m

∫∫Szf(x, y, z)dS

39

a) Calcule la masa y las coordenadas del centro de masa de un embudo delgado de forma

del cono z =√x2 + y2, con 1 ≤ z ≤ 4 si la funcion densidad es f(x, y, z) = 10− z.

b) Determine el centro de masa del hemisferio x2+y2+z2 = a2, z ≥ 0, si tiene densidadconstante.

2. Los momentos de inercia pueden definirse como en los capıtulos previos.

a) Establezca una expresion integral para el momento de inercia Iz alrededor del eje zde una lamina delgada que tiene la forma de una superficie S, si la funcion densidades f .

b) Determine el momento de inercia alrededor del eje z del cono dado en el apartadoa) del ejercicio anterior.

3. La superficie conica z2 = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ a tiene una densidad constante. Calcule lascoordenadas del centro de masa y el momento de inercia alrededor del eje z.

4. Si el campo vectorial F representa el campo de velocidad que describe un flujo de fluıdocon densidad constante, entonces la integral

∫∫SF · ndS representa la razon de flujo a

traves de la superficie S dada en unidades de masa por unidades de tiempo.

Un fluıdo con densidad 1200 fluye con una velocidad v = yi + j + zk. Determinela razon de fluido hacia arriba a traves del paraboloide z = 9 − (x2 + y2)/4, tal quex2 + y2 ≤ 36.

5. El concepto de flujo tambien surge en otras situaciones fısicas. Por ejemplo, si F = Ees un campo electrico entonces la integral vectorial de superficie se conoce como flujoelectrico de E a traves de la superficie S.

Una de las leyes importantes de la electrostatica es la Ley de Gauss, que estableceque la carga neta encerrada en una superficie cerrada S es

Q = ε0

∫∫S

E · dS

donde ε0 es una constante llamada la permisividad del espacio libre.

Utilice la ley de Gauss para calcular la carga electrica contenida en el cubo cuyosvertices son (±1,±1,±1), si el campo electrico es E(x, y, z) = xi + yj + zk.

6. Otra aplicacion tiene que ver con el flujo de calor. Suponga que la temperatura en elpunto (x, y, z) de un cuerpo es u(x, y, z), entonces el flujo de calor esta definido como elsiguiente campo vectorial

F = −K∇udonde K es una constante conocida como la conductividad de una sustancia. La razondel flujo de calor a lo largo de la superficie S esta dado por∫∫

S

F · dS = −K∫∫

S

∇u · dS

40

a) La temperatura en el punto (x, y, z) de una sustancia de conductividad K = 6, 5 esu(x, y, z) = 2y2 + 2z2. Determine la razon de flujo de calor hacia adentro, a travesde la superficie cilındrica y2 + z2 = 6 con 0 ≤ x ≤ 4.

b) La temperatura en un punto sobre la esfera que tiene conductividad K es inversa-mente proporcional a la distancia desde el centro de la esfera, es decir u(x, y, z) =

1/√x2 + y2 + z2. Calcule la razon de flujo de calor hacia afuera de la esfera.

41

Capıtulo 7

Teorıa de Campos Vectoriales

Teorema de Green

Sea γ una curva simple y cerrada en R2, supondremos que γ es suave a trozos y orientadapositivamente y sea D la region acotada por γ. Sean P , Q funciones escalares definidas en R2

con derivadas parciales continuas sobre una region abierta que contiene a D, entonces∫γ

Pdx+Qdy =

∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dA

Ejercicios

1. Compruebe el teorema de Green en los siguientes ejercicios.

a)∫γxdx+ x2y2dy, con γ el triangulo de vertices (0, 0), (1, 1) y (0, 1).

b)∫γ(x+ 2y)dx+ (x− 2y)dy, donde γ consiste del arco de parabola y = x2 del punto

(0, 0) al (1, 1), seguido del segmento de recta desde (1, 1) hasta (0, 0).

c)∫γ(x2 +y2)dx+ 2xydy, donde γ consiste del arco de parabola y = x2 del punto (0, 0)

al (2, 4) y de los segmentos de recta que van desde (2, 4) hasta (0, 4) y desde (0, 4)hasta (0, 0).

2. Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de lınea planteada.

a)∫γ(y + e

√x)dx + (2x + cos y2)dy, donde γ es la frontera de la region encerrada por

las parabolas y = x2 y x = y2.

b)∫γx2ydx− 3y2dy, donde γ es el cırculo x2 + y2 = 1.

c)∫γ

2xydx + x2dy, donde γ es el cartoide con ecuacion en coordenadas polares es

r = 1 + cos θ.

3. Con la ayuda del teorema de Green, muestre que si D es una region que cumple lashipotesis de ese teorema, entonces su area se puede calcular de la siguiente manera:

A(D) =1

2

∫γ

−ydx+ xdy

donde γ es la curva frontera de D.

4. Usando el apartado anterior, calcule las siguientes areas.

42

a) D es la region acotada por el hipocicloide γ(t) = (cos3 t, sen3 t) con 0 ≤ t ≤ 2π.

b) D = (x, y) ∈ R2 : x2

a2+ y2

b2≤ 1

Teorema de Gauss o de la Divergencia

Sea E una region simple solida en R3 cuya superficie frontera S tiene una orientacion positivahacia afuera. Sea F un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parcialescontinuas sobre una region abierta que contiene a E, entonces∫∫

S

F · dS =

∫∫∫E

div(F )dV

Ejercicios

1. Verifique el teorema de Gauss en los siguientes casos.

a) F (x, y, z) = xzi + yzj + 3z2k y E es el solido acotado por el paraboloide z = x2 + y2

y el plano z = 1.

b) F (x, y, z) = 2xi + y2j + z2k y E es la region dada por x2 + y2 + z2 ≤ 1.

2. Utilice el teorema de la divergencia para calcular el flujo de F a traves de S.

a) F (x, y, z) = yez2i + y2j + exyk y S es la superficie frontera del solido acotado por el

cilindro x2 + y2 = 9 y los planos z = 0 y z = y − 3.

b) F (x, y, z) = (x3 + y sen z)i + (y3 + z senx)j + 3zk y S es la superficie frontera del

solido acotado por los hemisferios z =√

4− x2 − y2, z =√

1− x2 − y2 y el planoz = 0.

c) F (x, y, z) = 3xyi+y2j−x2y4k y S es la superficie frontera del tetraedro con vertices(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).

Teorema de Stokes

Sea S una superficie orientada suave a pedazos, cuya frontera es una curva γ suave a pedazos,cerrada y simple con orientacion positiva. Sea F un campo vectorial cuyas funciones compo-nentes tienen derivadas parciales continuas sobre una region abierta de R3 que contiene a S,entonces ∫

γ

F · dγ =

∫∫S

rot(F ) · dS

Ejercicios

1. Compruebe el teorema de Stokes en los siguientes casos.

a) F (x, y, z) = 3yi + 4zj − 6xk y S es la parte del paraboloide z = 9 − x2 − y2 queesta encima del plano xy, orientado hacia arriba.

43

b) F (x, y, z) = yi+zj+xk y S es la parte del plano x+y+z = 1 que esta en el primeroctante, orientado hacia arriba.

2. Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral de superficie.

a) F (x, y, z) = yz3i + sen(xyz)j + x3k y S es la parte del paraboloide y = 1− x2 − z2que esta a la derecha del plano xy, orientado hacia adelante del plano xz.

b) F (x, y, z) = xyzi + xj + exy cos zk y S es el hemisferio x2 + y2 + z2 = 1, z ≤ 0orientado hacia arriba.

c) F (x, y, z) = xi + y2zj + zk y S es el hemisferio x =√

9− y2 − z2 que esta dentrodel cilindro y2 + z2 = 4, que esta orientado en la direccion del eje x positivo.

3. Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral curvilınea, donde γ esta orientadaen sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, si se mira la curva desdearriba.

a) F (x, y, z) = 2zi + 4xj + 5yk y γ es la curva interseccion del plano z = x + 4 y elcilindro y2 + x2 = 4.

b) F (x, y, z) = xzi + 2xyj + 3xyk y γ es la frontera de la parte del plano 3x+ y+ z = 3que esta en el primer octante.

1. Independencia del camino de integracion

Sea F : D ⊂ Rn → Rn (n = 2 o 3) una funcion vectorial con derivadas parciales continuas sobreD un conjunto simplemente conexo. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:∫

γF · dγ es independiente de la trayectoria.

F es un campo conservativo, es decir F = ∇f , para alguna funcion f : D ⊂ R3 → R

si n = 2, ∂F2

∂x= ∂F1

∂yo si n = 3, rot(F ) = ∇× F = 0

Ejercicios

1. Determine si F es o no un campo conservativo. En caso afirmativo encuentre f tal queF = ∇f

a) F (x, y) = (e2x + x sen y)i + x2 cos yj

b) F (x, y) = (yexy + 4x3y)i + (xexy + x4)j

c) F (x, y) = (x2 + y)i + x2j

d) F (x, y, z) = 2xy3z4i + 3x2y2z4j + 4x2y3z3k

44

2. En los casos en que el campo es conservativo, calcule la integral sobre una curva cual-quiera γ que une los puntos A = (0, 0) y B = (1, π/2), si F depende de dos variables. Oentre A = (0, 0, 0) y B = (2, 4, 8) si F depende de tres variables.

2. Autoevaluacion

1. Pruebe e interprete las siguientes afirmaciones

a) Si f : R3 → R, entonces rot(gradf) = 0.

b) Si f : R3 → R3, entonces div(rotF ) = 0.

c) Si f : R3 → R, entonces div(gradf) =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2

45

Capıtulo 8

Ecuaciones diferenciales ordinarias

La siguiente ecuacion diferenciable de primer orden

dy

dx= F (x, y)

se dice separable si F (x, y) =g(x)

h(y).

Para resolverla, la reescribimos de la siguiente manera

h(y)dy = g(x)dx

Integrando en ambos miembros, tenemos∫h(y)dy =

∫g(x)dx

Esta ultima igualdad define a y implıcitamente.

Ejercicios

1. Resuelva las siguientes ecuaciones separables.

a)dy

dx=

xy

x2 + 1

b)dy

dx=

lnx

xy + xy3

c) y′ =x√x2 + 1

yey

2. Resuelva las siguientes ecuaciones con problema de valor inicial.

a) y′ = ex−y, y(0) = 1.

b)dy

dt=ty + 3t

t2 + 1, y(2) = 2.

46

La ecuacion diferenciable de primer orden

dy

dx= F (x, y)

se dice homogenea si al hacer el cambio de variable y = xv, obtenemos la ecuacion separable

v′ =g(v)− v

x

Ejercicios

1. Diga si las siguientes escuaciones son homogeneas

a) x2 + 1 + 2xyy′ = 0

b)√x2 + y2dx+ ydy = 0 con x > 0.

c) y′ = ln(y)− ln(x)

2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogeneas.

a) (x− y)y′ = x+ y

b) xy′ = y + xey/x

c) dydx

= y2−x22xy

1. Ecuaciones Lineales de primer orden

Una ecuacion diferencial lineal es aquella que puede escribirse de la siguiente manera

dy

dx+ P (x)y = Q(x)

donde P y Q son funciones continuas sobre un intervalo.Para resolver esta ecuacion se multiplica por el factor integrante

I(x) = e∫P (x)dx

e integramos ambos miembros de la igualdad.

Ejercicios

1. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales de primer orden.

a) y′ − 3y = ex

b) xy′ + 2y = ex2

47

c) y′ cosx = y senx+ sen 2x, −π/2 < x < pi/2

d) dydx

+ 2xy = x2

e) xy′ + xy + y = e−x, x > 0

2. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales de primer orden con problema de valor inicial.

a) y′ + y = x+ ex, y(0) = 0

b) y′ − 2xy = 2xex2, y(0) = 3

c) x2 dydx

+ 2xy = cosx y(π) = 0

Una ecuacion diferencial de primer orden de la forma

P (x, y) +Q(x, y)dy

dx= 0

se llama exacta si existe una funcion f(x, y) tal que

fx(x, y) = P (x, y) y fy(x, y) = Q(x, y)

Si el dominio de P y Q es simplemente conexo entonces la ecuacion es exacta si y solo si

∂P

∂y=∂Q

∂x

En este caso la solucion esta dada implıcitamente por f(x, y) = C

Ejercicios

1. Determine si la ecuacion diferencial es exacta. Si lo es, resuelvala.

a) 2x+ y + (x+ 2y)y′ = 0

b) sen y + (1 + x cos y)y′ = 0

c) 3xy − 2 + (3y2 − x2)y′ = 0

d) 1y

+ 2yx3

= ( xy2

+ 1x2

) dydx

e) xlnydx− (x+ ylnx)dy = 0

f ) (2x3y2 − 12e2y)dx+ (x4y − xe2y)dy = 0

48

2. Ecuaciones Lineales de Segundo Grado

Una ecuacion diferencial lineal de segundo orden Homogenea tiene la forma

P (x)d2y

dx2+Q(x)

dy

dx+R(x)y = 0

Si P (x) = a, Q(x) = b y R(x) = c son funciones CONSTANTES, proponemos y = erx comosolucion, donde r es una constante, y obtenemos la siguiente ecuacion auxiliar

ar2 + br + c = 0

La solucion esta dada segun el siguiente cuadro:

Raıces de r2 + br + c = 0 Solucion general

r1, r2 soluciones reales distintas y = c1er1x + c2e

r2x

r1, r2 = r unica solucion y = c1erx + c2xe

rx

r1 = α + iβ, r2 = α− iβ, soluciones complejas y = eαx(c1 cos βx+ ic2 sen βx)

Ejercicios

1. Resuelva las ecuaciones direfenciales homogeneas

a) 3y′′ − 8y′ − 3y = 0

b) y′′ = y

c) y′′ − y′ + 2y = 0

d) y′′ = −5y

e) 2y′′ + y′ + 3y = 0

2. Resuelva los problemas con valor en la frontera, si esto es posible.

a) y′′ + 4y′ + 4y = 0, y(0) = 0, y(1) = 3

b) y′′ + 5y′ − 6y = 0, y(0) = 0, y(2) = 1

c) y′′ + 9y = 0, y(0) = 1, y(π/2) = 0

3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales no homogeneas con el metodo de loscoeficientes indeterminados.

a) y′′ + 2y′ + 2y = x3 − 1

b) y′′ − 4y′ + 4y = e−x

49

c) y′′ − 7y′ + 12y = senx− cosx

4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales no homogeneas con el metodo de varia-cion de los parametros.

a) y′′ − 3y′ + 2y = senx

b) y′′ − 2y′ + y = e2x

c) y′′ − y = 1/x

d) y′′ − 3y′ + 2y =1

1 + e−x

3. Aplicaciones

En cada uno de los siguientes problemas, identifique la ecuacion diferencial a resolver yobtenga la solucion requerida.

Ecuaciones de Primer Orden

1. Una barra metalica que tiene una temperatura de 1000 C, se coloca en un cuarto a 00

C. Luego de transcurridos 20 minutos, la temperatura de la barra es de 500 C, hallar:

a) La temperatura de la barra luego de transcurridos 10 minutos.

b) El tiempo necesario para que la barra tenga 250 C .

c) Resolver los puntos anteriores considerando que la temperatura ambiente es de 250

C.

2. Un cuerpo con una temperatura inicial de TC = 500 C se coloca en un cuarto a Tm =1000 C. Si a los cinco minutos TC = 600 C, calcule:

a) TC a los 10 minutos.

b) El tiempo que debe transcurrir para que TC = 900 C.

3. Si se coloca en un medio de cultivo lıquido adecuado a 370 C (originalmente transparente)una colonia de cierto tipo de bacterias y al cabo de 4 hs se observa por turbidimetrıa uncrecimiento equivalente a 10 colonias, ¿cual sera el numero de colonias estimado despuesde un dıa de cultivo?. Suponga crecimiento exponencial.

4. En una ciudad se inicio un censo poblacional y se censaron Q0 habitantes. Al cabo de 10anos se repitio el censo arrojando una cifra de 3280 habitantes y a los 15 anos la cifra fuede 4715 habitantes. Asumiendo crecimiento exponencial de la poblacion, calcule cuantoshabitantes se estima para los proximos censos a los 20 y 40 anos del primero.

5. La velocidad de desintegracion del Radio es directamente proporcional a su masa encada instante. Determinar la ley de variacion de masa del Radio en funcion del tiempo,si para t = 0, la masa es Q0 y para t = 10 anos, la masa Q(t) = 0,99561Q0.

50

6. Una sustancia A se transforma por desintegracion en otra sustancia B, tambien radio-activa. Si A y B son las respectivas constantes de desintegracion, hallar la variacion deB en funcion del tiempo. Suponer que B0 = 0.

7. Se observo que una bolita de naftalina de 1 cm de diametro se evapora de forma talque, luego de 6 meses, su radio disminuyo a 0,25 cm. Encuentre una expresion para lavariacion del radio en funcion del tiempo.

8. La poblacion de un cierto tipo de bacterias se duplica al cabo de 2 hs y a las 3 hs esde 86 colonias. Hallar el nmero de colonias que hubo a t = 0, considerando crecimientoexponencial.

9. Un cuerpo de masa 0,4 kg se suelta (con v0 = 0) desde una altura de 2 m. Teniendo encuenta la resistencia con el aire, su velocidad lımite es de vl = 7,84m/s.

a) Encuentre una expresion para la velocidad del cuerpo en cada instante.

b) Encuentre una expresion para la posicion del cuerpo en cada instante.

10. Una reaccion quımica de segundo orden asume la colision entre dos cuerpos (moleculas)A y B para formar un tercer cuerpo C. Suponiendo que a0 y b0 son las concentracionesiniciales de A y B, respectivamente y c(t) la concentracion de C en el instante t. Entoncesa0 − c(t) y b0 − c(t) son las concentraciones de A y B en el tiempo t y la velocidad dereaccion viene dada por la ecuacion:

dc(t)

dt= κ[a0 − c(t)][b0 − c(t)]

donde κ es la constante especıfica de velocidad. Encontrar c(t) sabiendo que c(0) = 0,considerando los casos a0 = b0 y a0 6= b0.

11. Particularice el caso anterior considerando que se necesitan 2g de A y 1g de B paraformar 3g de C. Si se colocan originalmente 10g de A y 20g de B, a los 20 minutos seformaron 10g de C. Encuentre c(t) y los parametros que aparezcan en la ecuacion.

12. Un tanque contiene 160 L de agua pura. Una solucion salina de 100g de sal/L entra enel tanque a razon de medio litro por minuto, se mezcla bien en el interior y sale a lamisma velocidad.

a) Encontrar una expresion que describa la cantidad de sal en el tanque en funcion deltiempo.

b) Verifique que la concentracion de sal en el tanque tiende a 100g sal/L, cuando ttiende a infinito.

13. Un circuito RL tiene los siguientes parametros:

a) V (fem) = 5[V ]; R = 50[Ω]; L = 1[henry]; I0 = 0[A].

b) V (fem) = 3sen2t[V ]; R = 10[Ω]; L = 5[henry]; I0 = 6[A].

51

En ambos casos calcule la corriente I(t) en el circuito en el instante t.

14. Un circuito RC tiene los siguientes parametros V (fem) = 400cost[V ]; R = 100[Ω];C = 10−2[farad]; Q0 = 0[C]. Determine la corriente en el circuito en el instante t.

Ecuaciones de Segundo Orden

1. Una bola de acero de 128N, est suspendida de un resorte que, como consecuencia delpeso de la bola, sufre un estiramiento de 2.5 cm de su longitud natural. Se pone labola en movimiento con v(0) = 0, desplazandola a 6 cm de su posicion de equilibrio.Despreciando la resistencia del aire, determine:

a) La posicion de la bola a t = π/2 segundos.

b) La frecuencia natural de oscilacion.

c) El perıodo de oscilacion.

2. Una masa de 4N se encuentra suspendida de un resorte el cual se distiende a 1.1 cm desu posicion original. Se pone la masa en movimiento a partir de su posicion de equilibrio,con una v(0) = 4m/s hacia abajo. Determine el movimiento posterior de la masa, si laresistencia del aire es igual a −2xN .

3. Una masa se encuentra suspendida de un resorte cuya constante de fuerza es k =140N/m. Se pone en movimiento a partir de la posicion de equilibrio con una v(0) =1m/s hacia arriba, con una fuerza externa aplicada de F = 5 sen t. Determine el movi-miento posterior de la masa si la resistencia del aire es −90xN .

4. Un circuito RLC tiene: R = 180[Ω]; L = 20[henry]; C = 1/280[farad] y un voltajeaplicado de E(t) = 10 sen t[V ]. Suponiendo que no hay carga inicial en el capacitor,Q0 = 0, pero I(0) = 1[A] cuando se aplica inicialmente el voltaje, determine la cargadel capacitor a tiempo t.

5. Un circuito RLC tiene: R = 10[Ω]; L = 1/2[henry]; C = 10−2[farad] y un voltaje apli-cado de E(t) = 12[V ]. Suponiendo que: Q0 = 0, I(0) = 0 cuando se aplica inicialmenteel voltaje:

a) Determine la corriente del circuito a tiempo t.

b) Resuelva el problema anterior determinando primero la carga en el capacitor.

52

Bibliografıa

[A] Apostol, T. Calculus. Tomo II.[BK] Bers y Karal, Calculo.[R] Rabuffetti Hebe, Introduccion al Analisis Matematico (Clculo II). El Ateneo 2001[B] Bers, Calculo Diferencial e Integral. Volumen II.

[D] Dettman Introduccion al Algebra Lineal y a las Ecuaciones Diferenciales.[F] Fleming, Funciones de Varias Variables.[H] Haaser, La Salle, Sullivan, Analisis Matematico II.[K] Kaplan, Calculo Avanzado.[KKOP] Kreider, Kuller, Ostberg, Perkins, Introduccion al Analisis Lineal. Tomos I y II.[KKO] Kreider, Kuller, Ostberg, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.[L] Lang, Serge, Calculo. Volumen II.[MT] Marsden y Tromba, Funciones Vectoriales.[O] ONeill, Elementos de Geometrıa Diferencial.[PV] Purcell y Varberg, Calculo con Geometrıa Analıtica.[RP] Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo, Analisis Matematico. Volumen II.[S] Simmons, Ecuaciones Diferenciales.[Sp] Spinadel, Calculo II.[W] Willamson, Crowell, Trotter Calculo de Funciones Vectoriales.

52