conceptos de homolog ia...

CONCEPTOS DEHOMOLOGIA SIMPLICIAL

Jose Cristobal Molina CortesProyecto Curricular de Matematicas

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANISCO JOSE DE CALDASFACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICASBOGOTA DC

2016

CONCEPTOS DEHOMOLOGIA SIMPLICIAL

Jose Cristobal Molina CortesTrabajo de Grado

DirectorCarlos Orlando Ochoa Castillo

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANISCO JOSE DE CALDASFACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICASBOGOTA DC

2016

Dedicado aHernan Molina Sanabria mi Padre

Indice general

Introduccion 2

1. Complejos Simpliciales 31.1. Simplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Orientacion de Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Grupos de Homologıa Simplicial 132.1. Cadenas, Ciclos, Fronteras y Grupos de Homologıa . . . . . . 132.2. Ejemplos de Grupos de Homologıa . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Estructura de Grupos de Homologıa 283.1. El Teorema de Euler-Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Introduccion

La topologıa es una abstraccion de la geometrıa, se trata de conjuntos quetienen una estructura de continuidad y un concepto de cercanıa de puntos yconjuntos. Esta estructura, se determino originalmente a partir de las propie-dades estudiadas en el ambiente euclıdeo. Aunque los origenes historicos dela topologıa algebraica son un poco diferentes, esta y la topologıa conjuntistacomparten un objetivo en comun: determinar la naturaleza de los espaciostopologicos mediante propiedades que son invariantes bajo homeomorfısmos.La topologıa algebraica describe la estructura de un espacio topologico me-diante la asociacion con una estructura algebraica, por lo general un grupoo una sucesion de grupos.

2

Capıtulo 1

Complejos Simpliciales

En este capıtulo se introducen los conceptos y propiedades basicas de loscomplejos simpliciales que permiten una introduccion a la teoria de homologıasimplicial, y de esta manera definir un grupo de homologıa.

1.1. Simplejos

Un conjunto A = {a0, a1, ..., ar} de r+ 1 puntos de Rn, con n ≥ r se dicegeometricamente independiente si ningun plano (r− 1)-dimensional loscontiene, equivalentemente, si los vectores a1 − a0, a2 − a0, ..., ar − a0 sonlinealmente independientes.

Ejemplo 1.1. En la figura 1.1, el conjunto A = {a0, a1, a2} es geometri-camente independiente ya que solo un plano de dimension mayor o igual a2 contiene todos los puntos, mientras que el conjunto B = {b0, b1, b2} noes geometricamente independiente ya que una recta, es decir, un plano dedimension 1 contiene todos sus puntos.

(a) (b)

Figura 1.1: Independencia Geometrica

3

4 CAPITULO 1. COMPLEJOS SIMPLICIALES

Definicion 1.1. Sea {a0, a1, ..., ar} un conjunto de puntos de Rn geometrica-mente independiente. Un simplejo o r-simplejo, σr, generado por {a0, a1, ..., ar},es el conjunto de todos los puntos x en Rn, para los que existen numeros realesno negativos λ0, λ1, ..., λr, tales que:

x =∑r

i=0 λiai, con∑r

i=0 λi = 1.

Los numeros λ0, λ1, ..., λr son las coordenadas baricentricas del punto x, y elbaricentro de σr es br = 1

r+1

∑ri=0 ai. Los puntos a0, a1, ..., ar son los vertices

del r−simplejo σr; ası σr es el conjunto

σr = {∑r

i=0 λiai ∈ Rn :∑r

i=0 λi = 1, λi ≥ 0},

Se nota σr = 〈a0a1...ar〉 y se dice que r es la dimension de σr.

Un punto a en Rn es un 0−simplejo.

σ0 = {λa ∈ Rn : λ = 1, λ ≥ 0} = {a}

Un segmento es un 1−simplejo.

σ1 ={

Σ1i=0λiai ∈ Rn : Σ1

i=0λi = 1, λi ≥ 0}

={

Σ1i=0λiai ∈ Rn : λ0 = 1− λ1, 0 ≤ λ1 ≤ 1

}= {x ∈ Rn : x = (1− λ1)a0 + λ1a1, 0 ≤ λ1 ≤ 1}

y este conjunto representa el segmento de recta que une los puntos a0 y a1.

Un triangulo es un 2−simplejo.

σ2 ={

Σ2i=0λiai ∈ Rn : Σ2

i=0λi = 1, λi ≥ 0}

= {x ∈ Rn : x = λ0a0 + λ1a1 + (1− λ0 − λ1)a2, 0 ≤ λ0 + λ1 ≤ 1, λi ≥ 0}y este conjunto representa un triangulo de Rn con vertices a0,a1 y a2.

1.1. SIMPLEJOS 5

Ahora se definen los simplejos estandar que se notan por ∆n ⊂ Rn,como ∆n = 〈e0e1...en〉, donde e0 = 0 y {ei}ni=1 es la base canonica. De formaexplıcita,

∆n = {(λ1, λ2, ..., λn) ∈ Rn : λi ≥ 0,n∑i=1

λi ≤ 1}.

Un simplejo σk es una cara de un simplejo σr, k ≤ r, si cada vertice deσk es un vertice de σr.

Proposicion 1.1. ∆n ⊂ Rn, es compacto.

Demostracion. Sea {xk}∞k=1 una sucesion de elementos en ∆n que converge ax, luego xk = (x1,k, x2,k, ..., xn,k) con

∑ni=1 xi,k ≤ 1 y x = (x1, x2, ..., xn). Ası,

dado ε > 0 existe N ∈ N tal que ‖ xm − x ‖< ε si m ≥ N .Como | xi,m − xi |≤‖ xm − x ‖< ε para i = 1, ..., n y m ≥ N , entonces{xi,k}∞k=1 es una sucesion en R que converge a xi, y esto es para i = 1, ..., n.Como xi,k ≥ 0 para todo k ∈ N entonces xi ≥ 0.Se ve que

∑ni=1 xi ≤ 1, en efecto:

n∑i=1

xi,k ≤ 1

lımk→∞

n∑i=1

xi,k ≤ lımk→∞

1

n∑i=1

lımk→∞

xi,k ≤ 1

Y ası∑n

i=1 xi ≤ 1, luego x ∈ ∆n entonces ∆n es cerrado.

Sea y = (y1, y2, ..., yn) ∈ ∆n, ‖ y ‖2=∑n

i=1 y2i , del hecho que 0 ≤ yi ≤ 1

para cada i = 1, 2, ..., n se tiene que y2i ≤ yi, luego∑n

i=1 y2i ≤

∑ni=1 yi ≤ 1,

entonces

‖ y ‖≤ 1⇒ ∆n ⊆ B(0, 2) por tanto ∆n es acotado.

Ası ∆n es compacto.

Teorema 1.1. σn = 〈a0a1...an〉 es homeomorfo a ∆n.

Demostracion. Sea f : ∆n 7−→ σn definida por f(λ) =∑n

i=0 λiai, paraλ =

∑ni=1 λiei ∈ ∆n y λ0 = 1 −

∑ni=1 λi, f es una funcion biyectiva con-

tinua con inversa continua, en efecto:


Sean λ, α ∈ ∆n tal que λ 6= α y se supone que f(λ) = f(α), luego:n∑i=0

λiai =n∑i=0

αiai

ya que λ0 = 1−∑n

i=1 λi y α0 = 1−∑n

i=1 αi, entonces

(1−n∑i=1

λi)a0 +n∑i=1

λiai = (1−n∑i=1

αi)a0 +n∑i=1

αiai

n∑i=1

λi(ai − a0) =n∑i=1

αi(ai − a0)

Pasando a restar la sumatoria de la derecha y factorizando los terminos(ai − a0), se tiene

n∑i=1

(λi − αi)(ai − a0) = 0

(λ1 − α1)(a1 − a0) + (λ2 − α2)(a2 − a0) + ...+ (λn − αn)(an − a0) = 0

Como λ 6= α, entonces λi 6= αi para algunos i ∈ {1, ..., n}, entonces losvectores a1 − a0, a2 − a0, ..., an − a0 son linealmente dependientes, lo cual esuna contradiccion, por tanto f(λ) 6= f(α), ası f es inyectiva.f es sobreyectiva ya que si x =

∑ni=0 xiai ∈ σn, entonces

∑ni=0 xi = 1 con xi ≥

0, luego∑n

i=1 xi ≤ 1 y∑n

i=1 xiei ∈ ∆n, y aplicando f tenemos:

f(n∑i=1

xiei) =n∑i=0

xiai

y ası, para x =∑n

i=0 xiai ∈ σn existe y =∑n

i=1 xiei ∈ ∆n tal que f(y) = x.Por tanto, todo elemento de σn es imagen de un elemento en ∆n y ası f essobreyectiva.Luego f es biyectiva.f es continua, efectivamente:Sea x =

∑ni=1 xiei ∈ ∆n; Como ∆n es cerrado, entonces existe una sucesion

(xm) en ∆n que converge a x.Si xm =

∑ni=1 xi,mei, entonces xi,m −→ xi para i = 1, 2, ..., n, luego.

lımk→∞

f(n∑i=1

xi,kei) = lımk→∞

[n∑i=1

xi,kai + (1−n∑i=1

xi,k)a0]

=n∑i=1

xiai + (1−n∑i=1

xi)a0

= f(x)

1.1. SIMPLEJOS 7

Entonces f es continua.Sea A ⊆ ∆n cerrado, como ∆n es compacto entonces A es compacto, yf(A) es compacto por ser f continua, en particular f(A) es cerrado. Ya que(f−1)−1 = f , entonces f−1 es continua.Y ya que f es una funcion biyectiva continua con inversa continua entoncesf es un homeomorfismo.

Proposicion 1.2. σn = 〈a0a1...an〉 es convexo y compacto.

Demostracion. Sean x =∑n

i=0 λiai y y =∑n

i=0 µiai elementos de σn. Paraβ∈[0, 1], se tiene que

βx+ (1− β)y =n∑i=0

(βλi + (1− β)µi)ai

pero

n∑i=0

(βλi + (1− β)µi) = βn∑i=0

λi + (1− β)n∑i=0

µi = β+(1− β) = 1

ademas (βλi+(1−β)µi) ≥ 0 entonces βx+(1−β)y ∈ σn y ası σn es convexo.

La compacidad se sigue del homeomorfismo entre σn y ∆n.

Definicion 1.2. Un complejo simplicial es una familia finita K de sim-plejos que satisfacen las siguientes condiciones:

1. Si un simplejo σk pertenece a K y τm es una cara de σk entoncesτm ∈ K.

2. Si σk y σr son elementos de K entonces σk ∩ σr = ∅ o σk ∩ σr es unacara de σk y σr.

La dimension de K es el entero positivo mas grande r tal que K tiene unr-simplejo.La union de los miembros de K se nota por |K| y se llama la realizaciongeometrica de K o el poliedro asociado con K.

Definicion 1.3. Si existe un complejo simplicial K cuyo poliedro |K| eshomeomorfo a un espacio topologico X, entonces se dice que X es un espaciotriangulable, y el complejo K se llama una triangulacion de X.

Definicion 1.4. La clausura de un r−simplejo σr, Cl(σr), es el complejoque consta de σr y todas sus caras.


Definicion 1.5. Si K es un complejo y r un entero positivo, el r−esqueletode K es el complejo que consta de todos los simplejos de K de dimensionmenor o igual que r.

Ejemplo 1.2. Se considera el 3−simplejo σ3 = 〈a0a1a2a3〉. El 2−esqueletode la clausura de σ3 es el complejo K cuyos simplejos son las caras propiasde σ3. La realizacion Geometrica de K es la frontera de un tetraedro y eshomeomorfo a la 2−esfera.

S2 =

{(x1, x2, x3) ∈ R3 :

3∑i=1

x2i = 1

}

1.2. Orientacion de Complejos

Un r−simplejo orientado, r ≥ 1, se obtiene a partir de un r−simplejoσr = 〈a0a1...ar〉 por la eleccion de un ordenamiento de sus vertices. La cla-se de equivalencia de permutaciones pares del orden elegido determina laorientacion positiva simpleja +σr mientras que la clase de equivalencia depermutaciones impares determina la orientacion negativa simpleja −σr. Uncomplejo simplicial orientado se obtiene a partir de un complejo simpli-cial mediante la asignacion de una orientacion a cada uno de sus simplejos.

Si los vertices a0, a1, ..., ap son de un p−simplejo σp, entonces el sımbo-lo +〈a0a1...ap〉 denota la clase de permutaciones pares del orden indicadoa0, a1, ..., ap y −〈a0a1...ap〉 denota la clase de permutaciones impares. Si sedesea la clase de permutacion par determinando la orientacion positiva sim-pleja, entonces se escribe:

+σp = 〈a0a1...ap〉

o+σp = +〈a0a1...ap〉

Como ordenar vertices requiere mas de un vertice, no es necesario preocupar-se por la orientacion de un 0−simplejo. Para esto, es coveniente considerarun 0−simplejo orientado como positivamente.

Ejemplo 1.3. (a) En el 1−simplejo σ1 = 〈a0a1〉, si el orden se obtiene pora0 < a1, entonces

+σ1 = 〈a0a1〉, −σ1 = 〈a1a0〉

Si se imagina que el segmento 〈aiaj〉 es dirigido desde ai hasta aj, entonces〈a0a1〉 y 〈a1a0〉 tienen direcciones opuestas.

1.2. ORIENTACION DE COMPLEJOS 9

(b) En el 2−simplejo σ2 = 〈a0a1a2〉, asignando el orden a0 < a1 < a2.Entonces 〈a0a1a2〉, 〈a1a2a0〉 y 〈a2a0a1〉 denotan +σ2, mientras que 〈a0a2a1〉,〈a2a1a0〉 y 〈a1a0a2〉 denotan −σ2, ver Figura 1.2; Entonces

+σ2 = +〈a0a1a2〉, −σ2 = −〈a0a1a2〉 = +〈a0a2a1〉.

(a) (b)

Figura 1.2:

Definicion 1.6. Sea K un complejo geometrico orientado con simplejos σp+1

y σp cuyas dimensiones difieren en 1. Se asocia a cada par (σp+1, σp) unnumero de incidencia [σp+1, σp] definido de la siguiente manera: Si σp noes una cara de σp+1, entonces [σp+1, σp] = 0. Si σp es una cara de σp+1, seetiquetan los vertices a0, a1, ..., ap de σp tal que +σp = +〈a0a1...ap〉. Sea vel vertice de σp+1 que no esta en σp, entonces +σp+1 = ±〈vaoa1...ap〉. Si+σp+1 = +〈va0a1...ap〉, entonces [σp+1, σp] = 1. Si +σp+1 = −〈va0a1...ap〉,entonces [σp+1, σp] = −1.

Ejemplo 1.4. (a) Si +σ1 = 〈a0a1〉, entonces [σ1, 〈a0〉] = −1 y [σ1, 〈a1〉] = 1.(b) Si +σ2 = +〈a0a1a2〉, +σ1 = 〈a0a1〉 y +τ 1 = 〈a0a2〉, entonces [σ2, σ1] = 1y [σ2, τ 1] = −1.

Definicion 1.7. En un complejo orientado K. Sea {σpi }αp

i y {σp+1i }

αp+1

i de-notando los p−simplejos y (p+ 1)−simplejos de K, donde αp y αp+1 denotanel numero de simplejos de dimension p y p+ 1 respectivamente. La matriz

η(p) = (ηij(p))

donde ηij(p) = [σp+1i , σpj ], es la matriz de incidencia de orden p de K.

Ejemplo 1.5. Sea K el complejo formado por los simplejos de dimensionmenor o igual que 2, de Cl(σ3) con σ3 = 〈a0a1a2a3〉. Que se muestra en laFigura 1.3. K tiene 4 (0−simplejos), 6 (1−simplejos) y 4 (2−simplejos).


Figura 1.3: Tetraedro

Como

η1i(0) = [σ11, σ

0i ] = [〈a0a1〉, σ0

i ] =

−1 i = 11 i = 20 i = 3, 4

η2i(0) = [σ12, σ

0i ] = [〈a0a2〉, σ0

i ] =

−1 i = 11 i = 30 i = 2, 4

η3i(0) = [σ13, σ

0i ] = [〈a0a3〉, σ0

i ] =

−1 i = 11 i = 40 i = 2, 3

η4i(0) = [σ14, σ

0i ] = [〈a0a4〉, σ0

i ] =

−1 i = 21 i = 30 i = 1, 4

η5i(0) = [σ15, σ

0i ] = [〈a0a5〉, σ0

i ] =

−1 i = 21 i = 40 i = 1, 3

η6i(0) = [σ16, σ

0i ] = [〈a0a1〉, σ0

i ] =

−1 i = 31 i = 40 i = 1, 2

La matriz de incidencia de orden 0 de K, η(0) es:−1 1 0 0−1 0 1 0−1 0 0 10 −1 1 00 −1 0 10 0 −1 1

1.2. ORIENTACION DE COMPLEJOS 11

y ran(η(0)) = 3, ran(η(0)) :=rango de la matriz η(0)Como

η1i(1) = [σ21, σ

1i ] = [〈a0a1a2〉, σ1

i ] =

1 i = 1, 4−1 i = 20 i = 3, 5, 6

η2i(1) = [σ22, σ

1i ] = [〈a0a1a3〉, σ1

i ] =

1 i = 1, 5−1 i = 30 i = 2, 4, 6

η3i(1) = [σ23, σ

1i ] = [〈a0a2a3〉, σ1

i ] =

1 i = 2, 6−1 i = 30 i = 1, 4, 5

η4i(1) = [σ24, σ

1i ] = [〈a1a2a3〉, σ1

i ] =

1 i = 4, 6−1 i = 50 i = 1, 2, 3

La matriz de incidencia de orden 1 de K, η(1) es:1 −1 0 1 0 01 0 −1 0 1 00 1 −1 0 0 10 0 0 1 −1 1

y ran(η(1)) = 3

Teorema 1.2. Sea K un complejo orientado, σp un p−simplejo de K y σp−2

una (p− 2)−cara de σp. Entonces∑[σp, σp−1][σp−1, σp−2] = 0, σp−1 ∈ K.

Demostracion. Se etiquetan los vertices v0, ..., vp−2 de σp−2 tal que +σp−2 =〈v0...vp−2〉. Entonces σp tiene 2 vertices adicionales a y b, se asume que +σp =〈abv0...vp−2〉.Los terminos diferentes de cero ocurren en la suma para 2 unicos valores deσp−1, es decir:

σp−11 = 〈av0...vp−2〉, σp−12 = 〈bv0...vp−2〉

Ahora se tratan cuatro casos determinados por la orientacion de σp−11 y σp−12 .

CASO I. Sean

+σp−11 = +〈av0...vp−2〉, +σp−12 = +〈bv0...vp−2〉.


Entonces[σp, σp−11 ] = −1, [σp−11 , σp−2] = +1,

[σp, σp−12 ] = +1, [σp−12 , σp−2] = +1.

Luego[σp, σp−11 ][σp−11 , σp−2] + [σp, σp−12 ][σp−12 , σp−2] = 0

CASO II. Sean

+σp−11 = +〈av0...vp−2〉, +σp−12 = −〈bv0...vp−2〉.

Entonces[σp, σp−11 ] = −1, [σp−11 , σp−2] = +1,

[σp, σp−12 ] = −1, [σp−12 , σp−2] = −1.


CASO III. Sean

+σp−11 = −〈av0...vp−2〉, +σp−12 = +〈bv0...vp−2〉.

Entonces[σp, σp−11 ] = +1, [σp−11 , σp−2] = −1,

[σp, σp−12 ] = +1, [σp−12 , σp−2] = +1.


CASO IV. Sean

+σp−11 = −〈av0...vp−2〉, +σp−12 = −〈bv0...vp−2〉.

Entonces[σp, σp−11 ] = +1, [σp−11 , σp−2] = −1,

[σp, σp−12 ] = −1, [σp−12 , σp−2] = −1.


Y ası queda demostrado el teorema.

Capıtulo 2

Grupos de HomologıaSimplicial

2.1. Cadenas, Ciclos, Fronteras y Grupos de

Homologıa

Sea K un complejo simplicial orientado. Si p es un entero positivo, unacadena p-dimensional, o p-cadena, es una funcion cp con dominio en lafamilia de los p-simplejos orientados de K y codominio los enteros tal que,para cada p-simplejo σp, cp(−σp) = −cp(+σp). Una 0-cadena es una funcionde los 0-simplejos de K a los enteros.Una p-cadena elemental es una p-cadena cp para la cual existe un p-simplejoσp tal que cp(τ

p) = 0 para cada p-simpejo τ p distinto de σp. Una p-cadenaelemental se nota por g·σp donde g = cp(+σ

p) ∈ Z. Con esta notacion, unap-cadena dp se expresa como una suma finita formal

dp =∑

gi·σpide p-cadenas elementales donde el ındice i varıa sobre todos los p-simplejosde K.

Lema 2.1. Con la operacion de adicion puntual inducida por los enteros, lafamilia de p-cadenas forman un grupo abeliano que se denomina el grupode p-cadenas de K, y se nota por Cp(K).

Demostracion. Sean cp =∑fiσ

pi y dp =

∑giσ

pi p-cadenas sobre K. Luego

cp + dp =∑

fiσpi +

∑giσ

pi =

∑(fi + gi)σ

pi

cp + dp ∈ Cp(K).Si +σpα es un p-simplejo orientado tal que

13

14 CAPITULO 2. GRUPOS DE HOMOLOGIA SIMPLICIAL

cp(+σpα) = fα, dp(+σ

pα) = gα

Entonces(cp + dp)(+σ

pα) = fα + gα

(cp + dp)(−σpα) = −(fα + gα) = −(cp + dp)(+σpα)

Y ası cp + dp ∈ Cp(K).Las propiedades asociativa y conmutativa se tienen por ser Z un grupo abe-liano. El elemento identidad es la p−cadena trivial y el inverso aditivo de cpen Cp(K) es la p−cadena −cp.Por tanto Cp(K) es un grupo abeliano.

EL grupo de p−cadenas Cp(K) es isomorfo a la suma directa copias delgrupo (Z,+) de enteros sobre la familia de p−simplejos de K. Esto es, si Ktiene αp p−simplejos, entonces Cp(K) es isomorfo a la suma directa de αpcopias de Z.Un isomorfimo es obtenido por la siguiente correspondencia:

αp∑i=1

gi·σpi ←→ (g1, g2, ..., gαp)

Definicion 2.1. Si g·σp es una p−cadena elemental con p ≥ 1, la fronterade g·σp, se nota ∂(g·σp), y se define por:

∂(g·σp) =∑

[σp, σp−1i ]g·σp−1, σp−1i ∈ K

El operador frontera ∂ se extiende por linealidad a un homomorfismo

∂ : Cp(K) −→ Cp−1(K).

En otras palabras, si cp =∑gi·σpi es una p−cadena arbitraria, entonces se

define:∂(cp) =

∑∂(gi·σpi ), σpi ∈ K

∂(cp) =∑∑

[σi, σp−1j ]gi·σp−1j , σp−1j ∈ K, σpi ∈ K

La frontera de una 0−cadena se define por cero.

Teorema 2.1. Si K es un complejo orientado y p ≥ 2, entonces la compo-sicion ∂∂ : Cp(K) −→ Cp−2(K) en el diagrama

Cp(K) ∂−→ Cp−1(K) ∂−→ Cp−2(K)

Es el homomorfismo trivial.

2.1. CADENAS, CICLOS, FRONTERAS Y GRUPOS DE HOMOLOGIA15

Demostracion. Sea c ∈ Cp(K), p ≥ 2 tal que c =∑

σpi ∈K

gi·σpi . Ahora seaplica la composicion sobre c.

∂∂(c) = ∂(∑σpi ∈K

∂(gi·σpi ))

∂∂(c) = ∂(∑σpi ∈K

∑σp−1j ∈K

[σpi , σp−1j ]gi·σp−1j )

∂∂(c) =∑σpi ∈K

∑σp−1j ∈K

[σpi , σp−1j ]∂(gi·σp−1j )

∂∂(c) =∑σpi ∈K

∑σp−1j ∈K

[σpi , σp−1j ]

∑σp−2r ∈K

[σp−1j , σp−2r ]gi·σp−2r

∂∂(c) =∑σpi ∈K

∑σp−1j ∈K

∑σp−2r ∈K

[σpi , σp−1j ][σp−1j , σp−2r ]gi·σp−2r

Cambiando el orden de las sumatorias y agrupando, se tiene:

∂∂(c) =∑σpi ∈K

∑σp−2r ∈K

gi·σp−2r

∑σp−1j ∈K

[σpi , σp−1j ][σp−1j , σp−2r ]

Luego por teorema 1.2, se tiene que∑

σp−1j ∈K[σpi , σ

p−1j ][σp−1j , σp−2r ] = 0 para

cada σp−2r ∈ K.Por tanto

∂∂(c) = 0

Definicion 2.2. Sea K un complejo orientado. Si p es un entero positivo,un p−ciclo sobre K, es una p−cadena zp tal que ∂(zp) = 0.La familia de p−ciclos es el kernel del homomorfismo ∂ : Cp(K) −→ Cp−1(K)y es un subgrupo de Cp(K). Este subgrupo, se nota por Zp(K), y se llamael grupo de p− ciclos de K.El grupo Z0(K) de 0−ciclos es el grupo C0(K) de 0−cadenas.

Definicion 2.3. Si p ≥ 0, una p−cadena bp es una p−frontera sobre K, op−frontera, si existe una (p+ 1)−cadena cp+1 tal que ∂(cp+1) = bp.La famila de p−fronteras es la imagen del homomorfismo ∂(Cp+1(K)) y esun subgrupo de Cp(K). Este subgrupo se llama el grupo p−frontera de K yse nota por Bp(K).Si n es la dimension de K, entonces no existen p−cadenas sobre K para


p > n. En este caso se dice que Cp(K) es el grupo trivial {0}.En particular, no existen (n+ 1)−cadenas sobre K, esto es, Cn+1(K) = {0}y ası Bn(K) = {0}.

Teorema 2.2. Si K es un complejo orientado, entonces Bp(K) ⊂ Zp(K)para cada entero p tal que 0 ≤ p ≤ n, donde n es la dimension de K.

Demostracion. ◦ Si p = 0 entonces Z0(K) = C0(K) por definicion ycomo ∂ : C1(K) −→ C0(K), luego B0(K) = ∂(C1(K)) ≤ C0(K)entonces

B0(K) ⊂ Z0(K)

◦ Si p = n entonces Bn(K) = {0} y ası

Bn(K) ⊂ Zn(K)

◦ Si 0 < p < n. Sea bp ∈ Bp(K), luego existe cp+1 una (p + 1)−cadenatal que ∂(cp+1) = bp. Ahora se aplica el homomorfismo frontera a bp.

∂(bp) = ∂(∂(cp+1)) = ∂∂(cp+1)

y por teorema 1.3 se tiene ∂∂(cp+1) = 0, entonces bp ∈ Ker(∂) =Zp(K) y ası

Bp(K) ⊂ Zp(K)

Se piensa intuitivamente de un p−ciclo como una combinacion lineal dep−simplejos los cuales hacen un circuito completo. Los p−ciclos que encierranagujeros son los ciclos interesantes y son los unicos que no son frontera de(p+ 1)−cadenas.

Definicion 2.4. Dos p−ciclos wp y zp sobre un complejo K son homologos,notado wp ∼ zp, si existe una (p+ 1)−cadena cp+1 tal que

∂(cp+1) = wp − zp.

Si un p−ciclo tp es la frontera de una (p + 1)−cadena, se dice que tp eshomologo a cero y se escribe tp ∼ 0.Esta relacion de homologıa por p−ciclos es una relacion de equivalencia yparticiona Zp(K) en clases de homologıa.

[zp] = {wp ∈ Zp(K) : wp ∼ zp}

2.2. EJEMPLOS DE GRUPOS DE HOMOLOGIA 17

La clase de homologıa [zp] es la clase lateral

zp + Bp(K) = {zp + ∂(cp+1) : ∂(cp+1) ∈ Bp(K)}

Aquı las clases de homologıa son los miembros del grupo cociente Zp(K)

Bp(K). Se

puede usar la estructura del grupo cociente y adicionar clases de homologıa.

Definicion 2.5 (Grupo de Homologıa). Si K es un complejo orientado yp un entero positivo, el p−grupo de homologıa de K es el grupo cociente

Hp(K) =Zp(K)

Bp(K).

2.2. Ejemplos de Grupos de Homologıa

Ejemplo 2.1. Sea K la clausura de un 2−simplejo 〈a0a1a2〉 con la orientacioninducida por a0 < a1 < a2, ası K tiene 0−simplejos 〈a0〉, 〈a1〉 y 〈a2〉, y1−simplejos orientados positivamente 〈a0a1〉, 〈a1a2〉 y 〈a0a2〉 y 2−simplejosorientados positivamente 〈a0a1a2〉.Una 0−cadena sobre K es una suma de la forma:

c0 = g0· 〈a0〉+ g1· 〈a1〉+ g2· 〈a2〉

Donde g0, g1 y g2 son enteros. Aquı C0(K) = Z0(K) es isomorfo a la sumadirecta Z⊕ Z⊕ Z, esto es, tres copias del grupo de los enteros.Una 1−cadena sobre K es una suma de la forma:

c1 = h0· 〈a0a1〉+ h1· 〈a1a2〉+ h2· 〈a0a2〉

Donde h0, h1 y h2 son enteros. Ası C1(K) es isomorfo a Z⊕Z⊕Z. Ademas

∂(c1) = [〈a0a1〉, 〈a0〉]h0· 〈a0〉+ [〈a0a1〉, 〈a1〉]h0· 〈a1〉+ [〈a0a1〉, 〈a2〉]h0· 〈a2〉+[〈a1a2〉, 〈a0〉]h1· 〈a0〉+ [〈a1a2〉, 〈a1〉]h1· 〈a1〉+ [〈a1a2〉, 〈a2〉]h1· 〈a2〉+[〈a0a2〉, 〈a0〉]h2· 〈a0〉+ [〈a0a2〉, 〈a1〉]h2· 〈a1〉+ [〈a0a2〉, 〈a2〉]h2· 〈a2〉+

∂(c1) = −h0· 〈a0〉+ h0· 〈a1〉 − h1· 〈a1〉+ h1· 〈a2〉 − h2· 〈a0〉+ h2· 〈a2〉

∂(c1) = (−h0 − h2)· 〈a0〉+ (h0 − h1)· 〈a1〉+ (h1 + h2)· 〈a2〉 (1)

Aquı c1 es 1−ciclo si y solo si h0, h1 y h2 satisfacen las siguientes ecuaciones.

−h0 − h2 = 0 , h0 − h1 = 0 , h1 + h2 = 0


Del sistema obtenemos que h0 = h1 = −h2 del modo que los 1−ciclos soncadenas de la forma:

h· 〈a0a1〉+ h· 〈a1a2〉 − h· 〈a0a2〉 (2)

Donde h es cualquier entero. Ası Z1(K) es isomorfo al grupo Z de enteros.

El unico 2−simplejo de K es 〈a0a1a2〉, ası las unicas 2−cadenas son los ele-mentos h· 〈a0a1a2〉 donde h es un entero. Entonces C2(K) ∼= Z.Como

∂(h· 〈a0a1a2〉) = [〈a0a1a2〉, 〈a0a1〉]h· 〈a0a1〉+ [〈a0a1a2〉, 〈a1a2〉]h· 〈a1a2〉+[〈a0a1a2〉, 〈a0a2〉]h· 〈a0a2〉

∂(h· 〈a0a1a2〉) = h· 〈a0a1〉+ h· 〈a1a2〉 − h· 〈a0a2〉 (3)

entonces ∂(h· 〈a0a1a2〉) = 0 es solo cuando h = 0. Ası Z2(K) = {0}, luegoH2(K) = {0}.De las ecuaciones (2) y (3) se observa que 1−ciclos y 1−fronteras tienen lamisma forma, ası que Z1(K) = B1(K), entonces H1(K) = {0}.De la ecuacion (1) se observa que un 0−ciclo

g0· 〈a0〉+ g1· 〈a1〉+ g2· 〈a2〉 (4)

es una 0−frontera si y solo si

g0 = −h0 − h2, g1 = h0 − h1, g2 = h1 + h2

Entonces g0+g1 = −g2, luego para 0−fronteras, 2 coeficientes son arbitrariosy el tercero es determinado por los dos primeros. Ası B0(K) ∼= Z⊕ Z.De las ecuaciones (1) y (4) se tiene que

h0 = h1 + g1 h2 = g2 − h1 g1 + g2 = h0 + h2

Luego

∂(h0· 〈a0a1〉+ h1· 〈a1a2〉+ h2· 〈a0a2〉) = (−g1−g2)· 〈a0〉+g1· 〈a1〉+g2· 〈a2〉 (5)

Trabajando ahora con la expresion del lado izquierdo de la igualdad se ob-serva que:∂(h0· 〈a0a1〉+ h1· 〈a1a2〉+ h2· 〈a0a2〉)

= ∂(g1· 〈a0a1〉+ h1· 〈a0a1〉+ h1· 〈a1a2〉+ g2· 〈a0a2〉 − h1· 〈a0a2〉)

= ∂(g1· 〈a0a1〉+ g2· 〈a0a2〉) + ∂(h1· 〈a0a1〉+ h1· 〈a1a2〉 − h1· 〈a0a2〉)

= ∂(g1· 〈a0a1〉+ g2· 〈a0a2〉) + ∂(∂(h1· 〈a0a1a2〉))


∂(h0· 〈a0a1〉+ h1· 〈a1a2〉+ h2· 〈a0a2〉) = ∂(g1· 〈a0a1〉+ g2· 〈a0a2〉)

Ahora reemplazando en la ecuacion (5) y sumando g0· 〈a0〉 se tiene:

∂(g1· 〈a0a1〉+ g2· 〈a0a2〉) + (g0 + g1 + g2)· 〈a0〉 = g0· 〈a0〉+ g1· 〈a1〉+ g2· 〈a2〉

Esto significa que cualquier 0−ciclo es homologo a un 0−ciclo de la format· 〈a0〉, con t un entero. Aquı cada clase 0−homologica tiene un representantet· 〈a0〉 tal que H0(K) es isomorfo a Z.

Resumiendo los calculos, se tiene que:

H0(K) ∼= Z, H1(K) = {0}, H2(K) = {0}

Ejemplo 2.2. (Cinta de Mobius) Si M denota la triangulacion de lacinta de mobius, como se ve en la figura 2.1. Con la orientacion inducida porel orden b0 < b1 < b2 < b3 < b4 < b5. No hay 3−simplejos en M , entonces

Figura 2.1:

∂(C3(M)) = B2(M) = {0}.

2− simplejos = {〈b0b3b4〉, 〈b0b1b4〉, 〈b1b4b5〉, 〈b1b2b5〉, 〈b0b2b5〉, 〈b0b2b3〉}

Entonces:C2(M) ∼= Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z

1− simplejos = {〈b0b1〉, 〈b0b2〉, 〈b0b3〉, 〈b0b4〉, 〈b0b5〉, 〈b1b2〉, 〈b1b4〉, 〈b1b5〉,〈b2b3〉, 〈b2b5〉, 〈b3b4〉, 〈b4b5〉}.Luego C1(M) es isomorfo a la suma directa de 12 copias de Z

0− simplejos = {〈b0〉, 〈b1〉, 〈b2〉, 〈b3〉, 〈b4〉, 〈b5〉}

Entonces C0(M) es isomorfo a la suma directa de 6 copias de Z. Ahora

w = g0·〈b0b3b4〉+g1·〈b0b1b4〉+g2·〈b1b4b5〉+g3·〈b1b2b5〉+g4·〈b0b2b5〉+g5·〈b0b2b3〉


Es un 2−ciclo si ∂(w) = 0. Luego

∂(w) = g0 · 〈b0b3〉 − g0 · 〈b0b4〉 + g0 · 〈b3b4〉 + g1 · 〈b0b1〉 − g1 · 〈b0b4〉 + g1 ·〈b1b4〉+g2 · 〈b1b4〉−g2 · 〈b1b5〉+g2 · 〈b4b5〉+g3 · 〈b1b2〉−g3 · 〈b1b5〉+g3 · 〈b2b5〉+g4 · 〈b0b2〉 − g4 · 〈b0b5〉+ g4 · 〈b2b5〉+ g5 · 〈b0b2〉 − g5 · 〈b0b3〉+ g5 · 〈b2b3〉

∂(w) = g1 · 〈b0b1〉+ (g4 + g5) · 〈b0b2〉+ (g0− g5) · 〈b0b3〉+ (−g0− g1) · 〈b0b4〉 −g4 · 〈b0b5〉 + g3 · 〈b1b2〉 + (g1 + g2) · 〈b1b4〉 + (−g2 − g3) · 〈b1b5〉 + g5 · 〈b2b3〉 +(g3 + g4) · 〈b2b5〉+ g0 · 〈b3b4〉+ g2 · 〈b4b5〉

Ası g0 = g1 = g2 = g3 = g4 = g5 = 0

∂ : C2(M) −→ C1(M)

Ker(∂) = {0} = Z2(M) y ası H2(M) = {0}

Como Ker(∂) = {0} entonces ∂ es un homomorfismo inyectivo.

Luego C2(M) ∼= ∂(C2(M)) = B1(M).

Siw = h0 · 〈b0b1〉+ h1 · 〈b0b2〉+ h2 · 〈b0b3〉+ h3 · 〈b0b4〉+ h4 · 〈b0b5〉+ h5 · 〈b1b2〉+h6 · 〈b1b4〉+ h7 · 〈b1b5〉+ h8 · 〈b2b3〉+ h9 · 〈b2b5〉+ h10 · 〈b3b4〉+ h11 · 〈b4b5〉es un 1−ciclo entonces:∂(w) = (−h0−h1−h2−h3−h4)·〈b0〉+(h0−h5−h6−h7)·〈b1〉+(h1+h5−h8−h9)·〈b2〉+(h2+h8−h10)·〈b3〉+(h3+h6+h10−h11)·〈b4〉+(h4+h7+h9+h11)·〈b5〉

h0 + h1 + h2 + h3 + h4 = 0

h0 − h5 − h6 − h7 = 0

h1 + h5 − h8 − h9 = 0

h2 + h8 − h10 = 0

h3 + h6 + h10 − h11 = 0

h4 + h7 + h9 + h11 = 0

Luego

−h4 = h0 + h1 + h2 + h3; h7 = h0 − h5 − h6; h9 = h1 + h5 − h8

h10 = h2 + h8; h11 = h3 + h6 + h2 + h8


Tenemos que h4, h7, h9, h10 y h11 estan en funcion de h0, h1, h2, h3, h5, h6 y h8,entonces

Z1(M) ∼= Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z

H1(M) = Z1(M)/B1(M)

H1(M) ∼=Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ ZZ⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z

Por tanto H1(M) ∼= Z.

Para determinar H0(M), se observa que dos 0−cadenas 〈bi〉 y 〈bj〉 arbitrarias(i, j variando de 0 a 5) son homologas, por ejemplo:g · 〈b0〉 ∼ g · 〈b1〉 ya que:

∂(g · 〈b0b4〉−g · 〈b1b4〉) = −g · 〈b0〉+g · 〈b4〉+g · 〈b1〉−g · 〈b4〉 = g · 〈b1〉−g · 〈b0〉

Luego:∂(g3 · 〈b0b2〉 + (g2 + g4) · 〈b0b3〉 + (g1 + g5) · 〈b0b4〉 − g1 · 〈b1b4〉 + (g3 − g2) ·〈b2b3〉+ g4 · 〈b3b4〉+ g5 · 〈b4b5〉) = g1 · 〈b1〉+ g2 · 〈b2〉+ g3 · 〈b3〉+ g4 · 〈b4〉+ g5 ·〈b5〉 − (g1 + g2 + g3 + g4 + g5) · 〈b0〉+ g0 · 〈b0〉 − g0 · 〈b0〉

y ası se tiene que para cualquier 0−ciclo g0 · 〈b0〉 + g1 · 〈b1〉 + g2 · 〈b2〉 +g3 · 〈b3〉+g4 · 〈b4〉+g5 · 〈b5〉 existe su homologo (g0 +g1 +g2 +g3 +g4 +g5) · 〈b0〉

Luego H0(M) = {[k · 〈b0〉]; k ∈ Z} por tanto

H0(M) ∼= Z

Ejemplo 2.3. (Plano Proyectivo) El plano proyectivo se obtiene de undisco finito identificando cada par de puntos diametricalmente opuestos. Unatriangulacion P del plano proyectivo, con la orientacion indicada por losarreglos, se muestra en la figura 2.2.

No hay 3−simplejos en P, entonces B2(P) = {0}. Al calcular Z2(P), seobserva que cada 1−simplejo σ1 de P es cara de exactamente dos 2−simplejosσ21 y σ2

2. Se observa que cuando σ1 es 〈a3a4〉, 〈a4a5〉 y 〈a5a3〉, ambos numerosde incidencia [σ2

1, σ1] y [σ2

2, σ1] son +1.

[〈a1a3a4〉, 〈a3a4〉] = [〈a2a3a4〉, 〈a3a4〉] = 1

[〈a1a4a5〉, 〈a4a5〉] = [〈a0a4a5〉, 〈a4a5〉] = 1

[〈a2a5a3〉, 〈a5a3〉] = [〈a0a5a3〉, 〈a5a3〉] = 1


Figura 2.2:

Para las otras elecciones de σ1, un numero de incidencia es −1 y otro es +1,por ejemplo:

[〈a0a1a2〉, 〈a0a1〉] = −[〈a0a3a1〉, 〈a0a1〉]

[〈a0a1a2〉, 〈a0a2〉] = −[〈a0a2a4〉, 〈a0a2〉]

[〈a0a1a2〉, 〈a2a1〉] = −[〈a1a5a2〉, 〈a2a1〉]

Una 2−cadena w ∈ C2(P) es una combinacion lineal de la forma

w = g1 · 〈a0a1a2〉+ g2 · 〈a0a4a5〉+ g3 · 〈a0a2a4〉+ g4 · 〈a2a3a4〉+ g5 · 〈a2a5a3〉+g6 · 〈a1a5a2〉+ g7 · 〈a1a4a5〉+ g8 · 〈a1a3a4〉+ g9 · 〈a0a3a1〉+ g10 · 〈a0a5a3〉

Con gi ∈ Z. w es un 2−ciclo si ∂(w) = 0, entonces

∂(w) = (g1 − g9) · 〈a0a1〉 + (g3 − g1) · 〈a0a2〉 + (g9 − g10) · 〈a0a3〉 + (g3 −g2) · 〈a4a0〉+ (g2 − g10) · 〈a5a0〉+ (g6 − g1) · 〈a2a1〉+ (g8 − g9) · 〈a1a3〉+ (g7 −g8) · 〈a1a4〉+ (g6 − g7) · 〈a1a5〉+ (g5 − g4) · 〈a3a2〉+ (g4 − g3) · 〈a4a2〉+ (g5 −g6) · 〈a2a5〉+ (g4 + g8) · 〈a3a4〉+ (g5 + g10) · 〈a5a3〉+ (g2 + g7) · 〈a4a5〉

ası g1 = g2 = g3 = ... = g9 = g10 = g, luego

∂(w) = 2g · 〈a3a4〉+ 2g · 〈a4a5〉+ 2g · 〈a5a3〉

por tanto w es un 2−ciclo solo cuando g = 0, ası Z2(P) = {0} y H2(P) = {0}.


Se observa que cualquier 1−ciclo es homologo a un multiplo de

z = 1 · 〈a3a4〉+ 1 · 〈a4a5〉+ 1 · 〈a5a3〉

En efecto

v = h1 · 〈a0a1〉 + h2 · 〈a0a2〉 + h3 · 〈a0a3〉 + h4 · 〈a4a0〉 + h5 · 〈a5a0〉 + h6 ·〈a2a1〉+h7 · 〈a1a3〉+h8 · 〈a1a4〉+h9 · 〈a1a5〉+h10 · 〈a3a2〉+h11 · 〈a4a2〉+h12 ·〈a2a5〉+ h13 · 〈a3a4〉+ h14 · 〈a5a3〉+ h15 · 〈a4a5〉

es un 1−ciclo si ∂(v) = 0, luego

∂(v) = (h4 + h5− h1− h2− h3) · 〈a0〉+ (h1 + h6− h7− h8− h9) · 〈a1〉+ (h2−h6 + h10 + h11 − h12) · 〈a2〉 + (h3 + h7 − h10 − h13 + h14) · 〈a3〉 + (h8 − h4 −h11 + h13 − h15) · 〈a4〉+ (h9 − h5 + h12 − h14 + h15) · 〈a5〉

de dondeh5 = h1 + h2 + h3 − h4h6 = h7 + h8 + h9 − h1

h12 = h1 + h2 − h7 − h8 − h9 + h10 + h11

h15 = h8 − h4 − h11 + h13

h14 = h10 + h13 − h3 − h7ası un 1−ciclo v es de la forma

v = h1 · 〈a0a1〉 + h2 · 〈a0a2〉 + h3 · 〈a0a3〉 + h4 · 〈a4a0〉 + (h1 + h2 + h3 −h4) · 〈a5a0〉 + (h7 + h8 + h9 − h1) · 〈a2a1〉 + h7 · 〈a1a3〉 + h8 · 〈a1a4〉 + h9 ·〈a1a5〉 + h10 · 〈a3a2〉 + h11 · 〈a4a2〉 + (h1 + h2 − h7 − h8 − h9 + h10 + h11) ·〈a2a5〉+h13 · 〈a3a4〉+(h10+h13−h3−h7) · 〈a5a3〉+(h8−h4−h11+h13) · 〈a4a5〉

si v ∼ k · z con k ∈ Z, entonces existe w ∈ C2(P) tal que

∂(w) = v − k · z

de donde se obtiene

g1 − g9 = h1g3 − g1 = h2g9 − g10 = h3g3 − g2 = h4

g2 − g10 = h1 + h2 + h3 − h4


g6 − g1 = h7 + h8 + h9 − h1g8 − g9 = h7g7 − g8 = h8g6 − g7 = h9g5 − g4 = h10g4 − g3 = h11

g5 − g6 = h1 + h2 − h7 − h8 − h9 + h10 + h11g4 + g8 = h13 − k

g5 + g10 = h10 + h13 − h3 − h7 − kg2 + g7 = h8 − h4 − h11 + h13 − k

reorganizando, se obtine el siguiente Sistema

g1 − g9 = h1g3 − g2 = h4g3 − g1 = h2g4 − g3 = h11g5 − g4 = h10g6 − g7 = h9g7 − g8 = h8g8 − g9 = h7g9 − g10 = h3

g4 + g8 = h13 − kcon solucion

g1 = (h1 − h2 − h11 − h7 + h13 − k)/2g2 = (h1 − 2h4 + h2 − h11 − h7 + h13 − k)/2

g3 = (h1 + h2 − h11 − h7 + h13 − k)/2g4 = (h1 + h2 + h11 − h7 + h13 − k)/2

g5 = (h1 + h2 + h11 + 2h10 − h7 + h13 − k)/2g6 = −(h1 + h2 + h11 − 2h9 − 2h8 − h7 − h13 + k)/2

g7 = −(h1 + h2 + h11 − 2h8 − h7 − h13 + k)/2g8 = −(h1 + h2 + h11 − h7 − h13 + k)/2g9 = −(h1 + h2 + h11 + h7 − h13 + k)/2

g10 = −(h1 + h2 + h11 + h7 + 2h3 − h13 + k)/2

y ası, existe w = Σ10i=1giσ

2i ∈ C2(P), tal que para v = Σ15

i=1hiσ1i ∈ Z1(P), hi y

gi enteros con las caracterısticas antes mencionadas, se tiene que

∂(w) = v − k · z, k ∈ Z

entonces H1(P) = {[k · z] : k es un entero}. Sin embargo, cuando k = 2g,g ∈ Z.

z = 2g · 〈a3a4〉+ 2g · 〈a4a5〉+ 2g · 〈a5a3〉


de modo que z ∈ B1(P), y esto particiona {[k · z] : k es un entero} en dosclases de equivalencia, [0 · z] y [1 · z]. Por tanto H1(P) = Z2.

Sea

u = f1 · 〈a0〉+ f2 · 〈a1〉+ f3 · 〈a2〉+ f4 · 〈a3〉+ f5 · 〈a4〉+ f6 · 〈a5〉

una 0−cadena.Para que u sea frontera de una 1−cadena v = Σ15

i=1hiσ1i se debe cumplir que

f1 = h4 + h5 − h1 − h2 − h3f2 = h1 + h6 − h7 − h8 − h9f3 = h2 − h6 + h10 + h11 − h12f4 = h3 + h7 − h10 − h13 + h14f5 = h8 − h4 − h11 + h13 − h15f6 = h9 − h5 + h12 − h14 + h15

de donde obtenemos f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = 0, y ası

B0(P) ∼= Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z

comoZ0(P) ∼= C0(P) ∼= Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z

entonces

H0(P) ∼=Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ ZZ⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z

y ası H0(P) ∼= Z.

Ejemplo 2.4. (Esfera S2) Se considera el 3−simplejo σ3 = 〈a0a1a2a3〉. Elcomplejo orientado K es el 2−esqueleto de la clausura de σ3 con la orientacioninducida por a0 < a1 < a2 < a3. K denota la triangulacion de la esfera S2 ytiene 4 (0−simplejos), 6 (1−simplejos) y 4 (2−simplejos), ver figura 2.3.Si la 2−cadena

w = h1 · 〈a0a1a2〉+ h2 · 〈a0a1a3〉+ h3 · 〈a0a2a3〉+ h4 · 〈a1a2a3〉

con hi ∈ Z, es un 2−ciclo, entonces ∂(w) = 0

∂(w) = (h1 +h2) · 〈a0a1〉+ (h3−h1) · 〈a0a2〉+ (−h2−h3) · 〈a0a3〉+ (h1 +h4) ·〈a1a2〉+ (h2 − h4) · 〈a1a3〉+ (h3 + h4) · 〈a2a3〉

Luego h1 = −h2 = h3 = −h4, y ası un 2−ciclo es una 2−cadena w dela forma


Figura 2.3:

w = h · 〈a0a1a2〉 − h · 〈a0a1a3〉+ h · 〈a0a2a3〉 − h · 〈a1a2a3〉, con h ∈ Z.

Por tanto Z2(S2) ∼= Z. Como B2(S

2) = {0} entonces

H2(S2) =

Z2(S2)

B2(S2)∼= Z

Una 1−cadena

v = g1 · 〈a0a1〉+ g2 · 〈a0a2〉+ g3 · 〈a0a3〉+ g4 · 〈a1a2〉+ g5 · 〈a1a3〉+ g6 · 〈a2a3〉

con gi ∈ Z, es un 1−ciclo si ∂(v) = 0

∂(v) = (−g1−g2−g3)·〈a0〉+(g1−g4−g5)·〈a1〉+(g2+g4−g6)·〈a2〉+(g3+g5+g6)·〈a3〉

luego

−g1 − g2 − g3 = 0g1 − g4 − g5 = 0g2 + g4 − g6 = 0g3 + g5 + g6 = 0

de donde

g3 = −g1 − g2g5 = g1 − g4g6 = g2 + g4

Luego Z1(S2) ∼= Z⊕ Z⊕ Z.

Si v =∑giσ

1i ∈ C1(S

2) fuese frontera, entonces


g1 = h1 + h2g2 = h3 − h1g3 = −h2 − h3g4 = h1 + h4g5 = h2 − h4g6 = h3 + h4

Resolviendo se tiene

g3 = −g1 − g2g6 = g2 + g4g5 = −g3 − g6

Luego B1(S2) ∼= Z⊕ Z⊕ Z y ası

H1(S2) =

Z1(S2)

B1(S2)∼=

Z⊕ Z⊕ ZZ⊕ Z⊕ Z

= {0}

Z0(S2) = C0(S

2) ∼= Z⊕ Z⊕ Z⊕ ZUn 0−ciclo

z = f1 · 〈a0〉+ f2 · 〈a1〉+ f3 · 〈a2〉+ f4 · 〈a3〉, con fi ∈ Z

es 0−frontera si

f1 = −g1 − g2 − g3f2 = g1 − g4 − g5f3 = g2 + g4 − g6f4 = g3 + g5 + g6

de dondef1 + f2 + f3 + f4 = 0

entonces B0(S2) ∼= Z⊕ Z⊕ Z y ası

H0(S2) =

Z0(S2)

B0(S2)∼=

Z⊕ Z⊕ Z⊕ ZZ⊕ Z⊕ Z

∼= Z.

Capıtulo 3

Estructura de Grupos deHomologıa

En este capıtulo se hace una introduccion a la estructura de los grupos dehomologıa, desarrollando algunos de los principales resultados que permitenuna mejor caracterizacion y entendimiento de la teorıa.

El siguiente teorema muestra que los grupos de homologıa de un comple-jo son independientes de la eleccion de la orientacion para sus simplejos.

Teorema 3.1. Sea K un complejo geometrico con dos orientaciones, K1

y K2 los complejos geometricos orientados de K. Entonces los grupos dehomologıa Hp(K1) y Hp(K2) son isomorfos para cada dimension p.

Demostracion. Para un p−simplejo σp de K, sea iσp la orientacion positivade σp en el complejo Ki i = 1,2. Luego hay una funcion α definida sobrelos simplejos de K tal que α(σp) es ±1 y

1σp = α(σp)2σp

Se define una sucesion ϕ = {ϕp} de homomorfismos

ϕp : Cp(K1) −→ Cp(K2)

por

ϕp(∑

gi · 1σpi ) =∑

α(σpi )gi · 2σpi

donde∑gi · 1σpi representa una p−cadena sobre K1.

28

29

Para una p−cadena elemental g · 1σp sobre K1 con p ≥ 1,

ϕp−1∂(g · 1σp) = ϕp−1(∑

σp−1∈K

g · [1σp, 1σp−1]1σp−1)

=∑

σp−1∈K

α(σp−1)g · [1σp, 1σp−1]2σp−1

◦ Si [1σp, 1σp−1] = 0, entonces 1σp−1 no es una cara de 1σp

1σp = α(σp)2σp, 1σp−1 = α(σp−1)2σp−1

Luego 2σp−1 no es una cara de 2σp

entonces [1σp, 1σp−1] = α(σp)α(σp−1)[2σp, 2σp−1]

◦ Si [1σp, 1σp−1] = ±1, 1σp−1 es una cara de 1σp y

α(σp)± 1 α(σp−1) = ±1

∗ α(σp) = ±1 y α(σp−1) = ±1, luego

1σp = ±2σp 1σp−1 = ±2σp−1

Entonces [1σp, 1σp−1] = α(σp)α(σp−1)[2σp, 2σp−1]

∗ α(σp) = ±1 y α(σp−1) = ∓1, luego

1σp = ±2σp 1σp−1 = ∓2σp−1

Entonces [1σp, 1σp−1] = α(σp)α(σp−1)[2σp, 2σp−1]

Entonces

ϕp−1∂(g · 1σp) =∑

σp−1∈K

α(σp−1)α(σp)α(σp−1)g · [2σp, 2σp−1]2σp−1

=∑

σp−1∈K

α(σp)g · [2σp, 2σp−1]2σp−1

= α(σp)g ·∑

σp−1∈K

[2σp, 2σp−1]2σp−1

= ∂(α(σp)g · 2σp)= ∂(ϕp(g · 1σp))

Ası la relacion ϕp−1∂ = ∂ϕp se mantiene en el siguiente diagrama

Cp(K1)ϕp --

∂��

Cp(K2)

∂

Cp−1(K1) ϕp−1 00 Cp−1(K2)

30 CAPITULO 3. ESTRUCTURA DE GRUPOS DE HOMOLOGIA

Si zp ∈ Zp(K1), entonces ∂(ϕp(zp)) = ϕp−1(∂(zp)) = ϕp−1(0) = 0. Asıϕp(zp) ∈ Zp(K2), por tanto ϕp(Zp(K1)) es un subconjunto de Zp(K2).Si ∂(cp+1) ∈ Bp(K1) entonces ϕp∂(cp+1) = ∂ϕp+1(cp+1), luego ϕp∂(cp+1) estaen Bp(K2).Ası ϕp mapea Bp(K1) en Bp(K2) e induce un homomorfismo ϕ∗p del grupo co-cienteHp(K1) = Zp(K1)/Bp(K1) al grupo cocienteHp(K2) = Zp(K2)/Bp(K2)definido por

ϕ∗p[zp] = [ϕp(zp)]

para cada clase de homologıa [zp] en Hp(K1)

Intercambiando los roles de K1 y K2 se tiene una sucesion de homomor-fismos

ψp : Cp(K2) −→ Cp(K1)

Con 2σp = α(σp)1σp

ψp(∑

gi · 2σpi ) =∑

α(σpi )gi · 1σpi

donde∑gi · 2σpi representa una p−cadena sobre K2

De igual manera para una p−cadena elemental g · 2σp sobre K2 con p ≥ 1 setiene que

ψp−1∂(g · 2σp) = ∂ψp(g · 2σp)ψp y ϕp son inversos para cada pSea g · 1σp una p−cadena elemental sobre K1

ψp(ϕp(g · 1σp)) = ϕp(α(σp)g · 2σp)= α(σp)α(σp)g · 1σp

= g · 1σp

Sea g · 2σp una p−cadena elemental sobre K2

ϕp(ψp(g · 2σp)) = ϕp(α(σp)g · 1σp)= α(σp)α(σp)g · 2σp

= g · 2σp

Por tanto ϕp y ψp son inversosAhora se demuestra que ϕ∗p es un isomorfismoϕ∗p es un homomorfismoSean [zp] y [wp] dos clases de homologıa en Hp(K1), luego

ϕ∗p[zp] = [ϕp(zp)] ϕ∗p[wp] = [ϕp(wp)]

31

ϕ∗p[zp + wp] = [ϕp(zp + wp)]

= [ϕp(zp) + ϕp(wp)]

= [ϕp(zp)] + [ϕp(wp)]

= ϕ∗p[zp] + ϕ∗p[wp]

ϕ∗p es inyectiva

Sea [zp] en Hp(K1) tal que ϕ∗p([zp]) = 0, luego

[ϕp(zp)] = 0⇔ ϕp(zp) ∈ Bp(K2)

Como ψp mapea Bp(K2) en Bp(K1), entonces ψp(ϕp(zp)) ∈ Bp(K1), luegozp ∈ Bp(K1), [zp] = 0 y Kerϕ∗p = {0}.Por tanto ϕ∗p es 1− 1.

ϕ∗p es sobreyectiva

Sea [wp] ∈ Hp(K2) tal que

wp +Bp[K2] = [wp], wp ∈ Zp(K2)

como ψp(Zp(K2)) ⊆ Zp(K1), entonces ψp(wp) ∈ Zp(K1). LuegoPara [wp] ∈ Hp(K2) existe ψp(wp) ∈ Zp(K1) tal que

ϕ∗p[ψp(wp)] = [ϕp(ψp(wp))] = [wp]

Por tanto ϕ∗p es sobreyectiva.

Y ası ϕ∗p : Hp(K1)→ Hp(K2) es un isomorfismo para cada dimension p.

Definicion 3.1. Sea K un complejo. Dos simplejos S1 y S2 estan conectadossi cumplen alguna de las siguientes condiciones:

S1 ∩ S2 6= ∅

Existe una sucesion σ1, σ2, ..., σp de 1−simplejos de K tal que S1∩σ1 esun vertice de S1, S2∩σp es un vertice de S2 y, para 1 ≤ i < p, σi∩σi+1

es un vertice en comun de σi y σi+1

Este concepto de conexion produce una relacion de equivalencia cuyas clasesde equivalencia se llaman las componentes combinatorias de K. El complejoK se dice que es conectado si solo tiene una componente combinatoria.


Figura 3.1:

Ejemplo 3.1. Sea K el 2−esqueleto de la clausura de σ3 = 〈b0b1b2b3〉, elpoliedro que se muestra en la figura 3.1. Todos los p−simplejos del poliedroestan conectados. Por ejemplo, 〈b0〉 y 〈b1b2〉 estan conectados. El poliedro esconectado ya que solo tiene una componente combinatoria.

Teorema 3.2. Sea K un complejo con r componentes combinatorias. Enton-ces H0(K) es isomorfo a la suma directa de r copias del grupo Z de enteros.

Demostracion. SeaK ′ una componente combinatoria de K y 〈a′〉 un 0−simplejoen K ′.

Dado un 0−simplejo 〈b〉 en K ′, existe una sucesion de 1−simplejos

〈ba0〉, 〈a0a1〉, 〈a1a2〉, ..., 〈apa′〉

de b a a′ tal que cada dos 1−simplejos sucesivos tienen un vertice en comun.

Si g es un entero, se define una 1−cadena c1 sobre la sucesion de 1−simplejosasignando g o −g a cada simplejo (dependiendo su orientacion), de modo que∂(c1) es g · 〈b〉 − g · 〈a′〉 o g · 〈b〉+ g · 〈a′〉.

c1 = g · 〈ba0〉+ g · 〈a0a1〉+ g · 〈a1a2〉+ ...+ g · 〈apa′〉

∂(c1) = −g · 〈b〉+ g · 〈a0〉 − g · 〈a0〉+ ...+ g · 〈ap〉 − g · 〈ap〉+ g · 〈a′〉= g · 〈a′〉 − g · 〈b〉

Por tanto cualquier 0−cadena g · 〈b〉 es homologa a una de las 0−cadenasg · 〈a′〉 o −g · 〈a′〉

3.1. EL TEOREMA DE EULER-POINCARE 33

De aquı cualquier 0−cadena sobre K ′ es homologa a una 0−cadena elementalh · 〈a′〉 donde h es algun entero.

Aplicando este resultado a cada componente combinatoria K1, K2, ..., Kr deK, hay un vertice ai de Ki tal que cualquier 0−ciclo sobre Ki es homologoa una 0−cadena de la forma hi · 〈ai〉, donde hi es un entero. Entonces, paracualquier 0−ciclo c0 sobre K, existen enteros h1, h2, ..., hr tal que

c0 ∼r∑i=1

hi · 〈ai〉

Supongase que dos 0−cadenas∑hi · 〈ai〉 y

∑gi · 〈ai〉 representan la misma

clase de homologıa. Entonces∑(gi − hi) · 〈ai〉 = ∂(c1)

Para alguna 1−cadena c1. Como ai y aj pertenecen a diferentes componentescombinatorias cuando i 6= j, entonces la ecuacion no es verdadera a menosque gi = hi para cada i. Por tanto cada clase homologica [c0] en H0(K) tieneun unico representante de la forma

∑hi · 〈ai〉. La funcion∑

hi · 〈ai〉 → (h1, ..., hr)

Es el isomorfismo requerido entre H0(K) y la suma directa de r−copias deZ.

3.1. El Teorema de Euler-Poincare

Si |K| es un poliedro rectilıneo homeomorfo a la 2−esfera S2 con V verti-ces, E aristas y F caras 2−dimensionales, entonces

V − E + F = 2

Este resultado fue descubierto en 1752 por Leonard Euler (1707-1783).

Definicion 3.2. Sea K un complejo orientado. Una familia {z1p , ..., zrp} dep−ciclos es linealmente independiente con respecto a la homologıa, o lineal-mente independiente modBp(K), significa que no existen enteros g1, g2, ..., grno todos cero tales que la cadena

∑giz

ip es homologa a 0. El entero mas gran-

de r para el cual existen r p−ciclos linealmente independientes con respectoa la homologıa se nota por Rp(K) y es el numero de Betti de dimension pdel complejo K.


Teorema 3.3. (El teorema de Euler-Poincare) Sea K un complejogeometrico orientado de dimension n, y para p = 0, 1, ..., n sea αp el numerode p−simplejos de K. Entonces

n∑p=0

(−1)pαp =n∑p=0

(−1)pRp(K)

donde Rp(K) denota el numero de Betti de dimension p de K.

Demostracion. Como K es el unico complejo en consideracion, la notaciones simplificada omitiendo esta referencia en la notacion de grupos.Notese que Cp, Zp y Bp son espacios vectoriales sobre el campo de los nume-ros racionales.

Sea {dip} un conjunto maximal de p−cadenas tales que cada combinacionlineal no propia de dip no es un ciclo, y sea Dp un subespacio lineal de Cpgenerado por {dip}. Entonces Dp ∩ Zp = {0} de modo que, como un espaciovectorial, Cp es la suma directa de Zp y Dp. Luego

αp = dimCp = dimDp + dimZp

dimZp = αp − dimDp, 1 ≤ p ≤ n.

Donde la abreviacion “dim”denota la dimension de espacio vectorial.Para p = 0, 1, ..., n− 1, sea bip = ∂(dip+1).

∂ : Cp+1 → Cp, ∂(cp+1) = Bp � Cp

∂ : Cp → Cp−1, Ker(∂) = Zp � Cp

Bp � Zp � Cp (�:= subgrupo)

Como la interseccion entre Zp+1 y el generado de {dip+1} es el grupo trivial,entonces Dp+1 ⊕ Zp+1 = Cp+1

Sea bp ∈ Bp entonces existe cp+1 ∈ Cp+1 tal que

bp = ∂(cp+1)

como cp+1 = h1d1p+1 + h2d

2p+1 + ...+ zp+1, luego

bp = ∂(cp+1) = ∂(h1d1p+1 + h2d

2p+1 + ...+ zp+1)

= ∂(h1d1p+1 + h2d

2p+1 + ...) + ∂(zp+1)

= ∂(h1d1p+1 + h2d

2p+1 + ...)

= h1∂(d1p+1) + h2∂(d2p+1) + ...

= h1b1p + h2b

2p + ...

3.1. EL TEOREMA DE EULER-POINCARE 35

Por tanto {bip} genera Bp

{bip} es Linealmente Independiente.Sean hi ∈ Q, i ∈ I (I un conjunto de ındices) y {bip} tales que0 = h1b

1p + h2b

2p + h3b

3p + ..., luego

0 =∑

hi∂(dip+1)

=∑

∂(hidip+1)

= ∂(∑

hidip+1)

Entonces∑hid

ip+1 ∈ Zp+1, y ya que Dp+1∩Zp+1 = {0} entonces

∑hid

ip+1 =

0 y ası hi = 0, ∀i ∈ I. Por tanto {bip} es Linealmente independienteEntonces el conjunto {bip} forma una base para Bp.

Sea {zip}, i = 1, ..., Rp el conjunto maximal de p−ciclos linealmente inde-pendiente modBp. Estos ciclos generan un subespacio Gp de Zp, en efecto:Sean ap =

∑giz

ip y dp =

∑hiz

ip elementos en el generado de {zip}.

ap + dp =∑

(gi + hi)zip

Si ap + dp fuera homologo a cero entonces existe cp+1 ∈ Cp+1 tal que∑

(gi +hi)z

ip = ∂(cp+1) y como {zip} es linealmente independiente modBp entonces

gi = −hi, ∀i ∈ I, y esto contradice el hecho de que fue arbitraria la eleccionde ap y dp.Por tanto Gp = el generado de {zip}, es un subespacio de Zp y Gp∩Bp = {0}Ahora Zp = Gp ⊕Bp, 0 ≤ p ≤ n− 1 y ası

dimZp = dimGp + dimBp

Como Rp = dimGp. Entonces

Rp = dimZp − dimBp = αp − dimDp − dimBp, 1 ≤ p ≤ n− 1.

Como {1 · σp+1i } el conjunto de p+ 1−cadenas elementales es una base para

Cp+1 y ∂ : Cp+1 → Cp es un homomorfismo entonces {∂(1 · σp+1i )} es una

base para ∂(Cp+1) = Bp, luego

∂(1 · σp+1i ) =

∑σpj∈K

[σp+1i , σpj ]σ

pj

=∑

ηij(p) · σpj


donde (ηij(p)) = η(p) es la matriz de incidencia de dimension p. Ası

dimBp = ran(η(p))

Puesto que el numero de dip+1 es el mismo que el numero de bip, entonces

dimDp+1 = dimBp = ran(η(p)), 0 ≤ p ≤ n− 1

entonces

Rp = αp − dimDp − dimBp

= αp − ran(η(p− 1))− ran(η(p)), 1 ≤ p ≤ n− 1

Notese tambien que

R0 = dimZ0 − dimB0 = α0 − ran(η(0))

Rn = dimZn = αn − dimDn = αn − ran(η(n− 1))

En la suma alternante∑n

p=0(−1)pRp, todos los terminos ran(η(p)) se cance-lan y se tiene que

n∑p=0

(−1)pRp =n∑p=0

(−1)pαp

Definicion 3.3. Si K es un complejo de dimension n, el numero

χ(K) =n∑

p=0

(−1)pRp

es la caracterıstica de Euler de K.

Definicion 3.4. Un poliedro rectilıneo en el espacio tridimensional Eucli-diano R3, es un solido acotado por polıgonos convexos propiamente unidos.Los polıgonos acotados son caras, la interseccion de las caras son aristas, yla interseccion de las aristas son vertices. Un poliedro simple es un poliedrorectilıneo cuya frontera es homeomorfa a la 2−esfera S2. Un poliedro regulares un poliedro rectilıneo cuyas caras son polıgonos regulares planos y cuyosangulos del poliedro son congruentes.

Teorema 3.4. (Teorema de Euler) Si S es un poliedro simple con Vvertices, E aristas y F caras, entonces

V − E + F = 2.

Conclusiones

La teorıa de Homologıa representa un puente entre el algebra, la topologıay la geometrıa, y consiste en la asociacion de un espacio topologico con unasucesion de grupos abelianos. Esta asociacion permite hacer una descripcionmas simple acerca de la estructura del espacio topologico y con ello ayudaren la clasificacion de los espacios topologicos.

Para la construccion de grupos de Homologıa Simplicial de un espacio to-pologico X, es necesario que el espacio topologico X admita una triangula-cion, es decir, que sea homeomorfo a un Complejo Simplicial K. Una vez yase haya definido su triangulacion, se definen las p−cadenas Cp(K), una suce-sion de grupos abelianos libres que son generados por la combinacion linealde los p−simplejos de K sobre los enteros. Ahora se hace la construccion deuna sucesion de homeomorfismos frontera ∂p sobre las p−cadenas de K.

. . .∂p+2−−→ Cp+1(K)

∂p+1−−→ Cp(K)∂p−→ Cp−1(K)

∂p−1−−→ Cp−2(K)∂p−2−−→ . . .

Con la propiedad que ∂p ◦ ∂p+1 es el homomorfismo trivial.Los homeomorfismos frontera generan nuevos grupos. El grupo de p−ciclosZp(K) = Ker(∂p) de K y el grupo de p−fronteras Bp(K) = ∂p+1(Cp+1(K))de K, de modo que Bp(K) ⊆ Zp(K) ⊆ Cp(K). Se define el p−grupo deHomologıa Hp(K) de K como el grupo cociente.

Hp(K) =Zp(K)

Bp(K).

Estos grupos permiten hacer una clasificacion de los espacios topologicostriangulables, y establecer si dos espacios son homeomorfos. Por ejemplo:Los grupos de Homologıa de la esfera S2 son:

H0(S2) ∼= Z H1(S

2) ∼= {0} H2(S2) ∼= Z

y los grupos de Homologıa de la Cinta de Mobius M son:

H0(M) ∼= Z H1(M) ∼= Z H2(M) ∼= {0}

37


Como los grupos de Homologıa no son los mismos entonces se puede decirque la Esfera y la Cinta de Mobius no son espacios homeomorfos.

Bibliografıa

[1] Fred H. Croom, Basic Concepts of Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York (1978)

[2] Czes Kosniowski, Topologıa Algebraica, editorial Reverte, S.A.,Barcelona Espana, (1986)

[3] James R. Munkres, Elements of algebraic Topology, Addison-Wesley,(1984)

[4] John B. Fraleigh, Algebra Abstracta, Addison-Wesley, (1988)

[5] Erwin O. Kreiszig, Introductory Functional Analysis with Applica-tions, Wiley, (1978)

[6] Walter Rudin, Principios de Analisis Matematico, McGraw Hill, 3aEdicion (1988)

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