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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

MEMORIAS ACADÉMICASHOMOLOGÍA SINGULAR

EN HONOR DE

AGRIPINO GARCÍA ARMAS

HOMOLOGIA SINGULAR

Agripino Garcıa Armas

Indice general

0.1. Presentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. CONCEPTOS PRELIMINARES 71.1. Categorıas y funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. TEORIA DE HOMOTOPIA ELEMENTAL 132.1. Homotopıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Equivalencia homotopica y espacios contraibles . . . . . 202.3. Cofibracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4. H-Espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5. H-Coespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6. Construccion de James . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.7. Desviacion de aplicaciones entre H-espacios . . . . . . . . . . . 412.8. Sucesion exacta de Barrat- Puppe . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3. TEORIA DE HOMOLOGIA 473.1. Axiomas de Eilenberg -Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. Homologıa de complejo de cadenas . . . . . . . . . . . . . . . 513.3. Homomorfismo inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4. Homotopıa de cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5. Teorema de modelos acıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4. HOMOLOGIA SINGULAR 734.1. Complejo singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2. Invariabilidad bajo homotopıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3. Subdivision baricentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.4. Susecion de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5. APLICACIONES ELEMENTALES 995.1. Teorema de punto fijo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2. Grado de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3

4

6. HOMOLOGIA CELULAR 1076.1. Espacio celular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7. RELACION ENTRE LOS GRUPOS DE HOMOTOPIA YHOMOLOGIA 1117.1. Teorema de Hurewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.2. Teorema de Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8. FIBRACIONES 1138.1. Fibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.2. Haces fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9. ANILLO DE COHOMOLOGIA SINGULAR 1259.1. Cohomologıa singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10.HOMOLOGIA DE ESPACIOS FIBRADOS 13110.1. Pareja Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.2. Sucesion espectral de una fibracion . . . . . . . . . . . . . . . 13610.3. Cuadrados de Steenrod y relaciones de Adem . . . . . . . . . 136

5

0.1. Presentacion

Estas notas tienen por objeto presentar la homologıa singular y algunasaplicaciones a resultados clasicos, surgieron de un curso que el autor dicto enel segundo semestre del ano 1998 en la Escuela Academico Profesional deMatematicas para los estudiantes del octavo semestre en la Universidad Na-cional Mayor de San Marcos.

Considero que el material que aquı se presenta, debe ser del conocimientode todo estudiante de Licenciatura en Matematica, justificando ası la apari-cion de estas notas.

6

0.2. Introduccion

El objeto de la Topologıa Algebraica es hallar modelos algebraıcos de losespacios topologicos . Ası , si X es un espacio topologico , un modelo puedeser un grupo,T (X), y si f : X → Y es una aplicacion continua es naturalrequerir que induzca un homomorfismo T (f) : T (X)→ T (Y ) tal que:

1. Si Xf−→ Y

g−→ Z, T (g f) = T (f) T (g) : T (X) −→ T (Z)

2. Si idX : X −→ X es la aplicacion identidad ,T (idX) : T (X) −→ T (X)sea el homomorfismo identidad.

Bajo estas condiciones si f : X −→ Y es homeomorfismo entoncesT (f) : T (X) −→ T (Y ) es isomorfismo. Luego T (X) 6= T (Y ) implica queX no es homeomorfo a Y.

Un problema que siempre se presenta es : Dados un subconjunto A deun espacio topologico X y una aplicacion continua g : A −→ Y existe unaaplicacion continua f : X −→ Y tal que f |A= g ?

Existen, en casos particulares, soluciones famosas .

Teorema de extension de Tietze. Sea A un subconjunto cerrado deun espacio topologico X y g : A→ R una aplicacion continua, entonces existef : X → R una aplicacion continua tal que f |A= g

Un espacio X es conectable por trayectorias si para cualesquiera x, y ∈ Xexiste ϕ : [0, 1] −→ X una aplicacion continua tal que ϕ(0) = x y ϕ(1) = y

La conectabilidad por trayectorias puede plantearse como un problema deextension. Sea A = 0, 1 , X = [0, 1] entonces Y es conectable por trayecto-rias sı y solo si para cada par de puntos x, y de Y , la aplicacion ϕ : A −→ Yes tal que ϕ(0) = x y ϕ(1) = y puede extenderse a f : X −→ Y

Por medio del modelo T(X)el problema de extension induce un problemade extension algebraıca

T (X)T (i) T (g)T (A) T (f)

−−→T (Y )

Capıtulo 1

CONCEPTOSPRELIMINARES

1.1. Categorıas y funtores

Introducimos el lenguaje de categorıas y funtores por dos razones: Laprimera es que se encuentra con frecuencia estos conceptos cuando lee losarticulos de la referencia y la segunda es que resulta la formulacion masconveniente de muchos de los resultados de estas notas estan dadas en estecontexto

Definicion 1.1.1 Una categorıa C consiste de:

1. Una clase de objetos, denotado por Obj(C)

2. Para cualquier par de objetos A,B, un conjunto de morfismos de Aa B,denotado por MorC(A,B). Si f ∈ MorC(A,B), A se denomina

dominio de f y B el rango de f, se escribe f : A→ B o Af→ B

3. Para cualquier terna ordenada de objetos A,B,C se da una ley de com-posicion

MorC(A,B)×MorC(B,C)→MorC(A,C)

(f, g) 7−→ g f

satisfaciendo las siguientes dos axiomas:

1. Si f ∈MorC(A,B),g ∈MorC(B,C), h ∈MorC(C,D) entonces

h (g f) = (h g) f

7

8 Categorıas y Funtores

2. Existe un morfismo identidad idA ∈ MorC(A,A) tal que para cuales-quiera f ∈MorC(A,B), g ∈MorC(C,A) se verifica

f idA = f, idA g = g

este morfismo identidad es unico, en efecto,

idA = idAid,A = id,A

Ejemplo 1 Categorıa de conjuntos, C = ConjLos objetos de esta categorıa son los conjuntos y los morfismos las aplicacio-nes entre conjuntos con la composicion usual

Ejemplo 2 Categorıa de grupos abelianos, C = GALos objetos de esta categorıa son los grupos abelianos y los morfismos loshomomorfismos de grupos con la composicion usual

Ejemplo 3 Catregorıa de espacios topologicos , C = TOPLos objetos de esta categorıa son los espacios topologicos y los morfismos lasaplicaciones continuas con la composicion usual

Ejemplo 4 Sea G un grupo y la categorıa que contiene a G como unicoobjeto y morfismos los elementos de G multiplicando a la izquierda

Definicion 1.1.2 Sean C y D dos categorıas. Un funtor covariante T deC a D, escrito, T : C → D, asocia a cada objeto A ∈ C un objeto T (A) ∈ Dy a cada morfismo f : A → B de C un morfismo T (f) : T (A) → T (B)de Dtal que

1. T (f g) = T (f) T (g) para todo morfismo Af→ B

g→ C

2. T (idA) = idT (A) para todo A ∈ Obj(C)

Un funtor contravariante T de C a D, escrito, T : C → D asocia a cadaobjeto A ∈ C un objeto T (A) ∈ D y a cada morfismo f : A → B de C unmorfismo T (f) : T (B)→ T (A) tal que

1. T (f g) = T (g) T (f) para todo morfismo Af→ B

g→ C en C

2. T (idA) = idT (A) para todo A ∈ Obj(C)

Ejemplo 5 Funtor identidad , id : C → Cid(A) = A para todo A ∈ Obj(C) y id(f) = f para todo f ∈MorC(A,A)

conceptos preliminares 9

Ejemplo 6 Si T : C → D y S : D → E dos funtores , la composicionS T : C → E definido por (S T )(A) = S(T (A) y (S T )(f) = S(T (f)) esun funtor

Ejemplo 7 Para cualquier D ∈ Obj(D) fijado tenemos el funtor constanteT : C → D tal que T (A) = D para todo A ∈ Obj(C) y T (f) = idD para todof ∈MorC(A,B)

Ejemplo 8 Sea C la categorıa de conjuntos, n un numero natural,T : C → Ctal que T (A) = An para todo ∈ Obj(C), T (f) = fn para todo f ∈MorC(A,B)es un funtor

Ejemplo 9 Sea C la categorıa de espacios topologicos , T : C → C tal queT (X) =

∑X = suspencion de X = espacio de identificacion de X × I al

identificar X×0 y X×1 a puntos , X ∈ Obj(C), T (f) =∑f :∑X →

∑Y

es un funtor, denominado funtor suspension denotado por∑

Ejemplo 10 Sea C la categorıa de espacios topologicos , T : C → C tal queT (X) = Ω(X) = espacio de lazos de X = curvas que empiezan y terminanen un punto fijo x0 para X ∈ Obj(C) , T (f) = Ω(f) : Ω(X) → Ω(Y ) paraf ∈MorC(X, Y ) ,es un funtor denominado funtor lazo denotado por Ω

Ejemplo 11 Sea C la categorıa de espacios vectoriales sobre un campo K ,T : C → C tal que T (A) = A∗ = Hom(A,K) para A ∈ Obj(C) y T (f) = f ∗ :B∗ → A∗ , para f ∈MorC(A,B) es un funtor contravariante

Definicion 1.1.3 Si f : A→ B, g : B → A son morfismos en una categorıaC tales que g f = id entonces g se denomina inverso izquierdo de f, y finverso derecho de g.

Si f admite un inverso izquierdo g y tambien un inverso derecho h entonces

g = g(fh) = (gf)h = h

en este caso a f se denomina una equivalencia o isomorfismo

Se dice que A es equivalentes a B si existe un isomorfismo f ∈Mor(A,B).Una equivalencia en la categorıa Conj es una aplicacion biyectiva, una

equivalencia en la categorıa TOP es un homeomorfismo y en la catregorıaGA es un isomorfismo en el sentido usual.

Proposicion 1.1.1 Sea T : C → D un funtor covariante. Si f ∈MorC(A,B)es un isomorfismo entonces T (f) ∈MorD(T (A), T (B)) es un isomorfismo yT (f−1) = T (f)−1


Demostracion Como f es un isomorfismo tiene un inverso denotado porf−1 tal que f f−1 = id y f−1f = id tenemos T (f)T (f−1) = T (f f−1) =T (id) = id y T (f−1)T (f) = T (f−1f) = T (id) = id,luego T (f−1) = T (f)−1

Definicion 1.1.4 Sean S, T : C → D funtores covariantes . Una transfor-macion natural Φ de T a S escrito Φ : T → S consiste de un sistema demorfismos ΦA ∈ MorD(T (A), S(A)) uno para cada objeto A ∈ Obj(C) talque para cualquier morfismo f ∈MorC(A,B) el siguiente diagrama

T (A)T (f)→ T (B)

ΦA ↓ ↓ ΦB

S(A)S(f)→ S(B)

conmuta

Una transformacion natural Φ : T → S tal que ΦA es una equivalenciaen D para cada A ∈ Obj(C) se denomina una equivalencia natural

Ejemplo 12 Sea C una categorıa arbitraria , D = Conj, para A ∈ Obj(C)fijo tenemos el funtor CA : C → D definido de la siguiente manera : CA(X) =MorC(A,X) para cada X ∈ Obj(C) y CA(f) = f −− = composicion de fpor la izquierda , para f ∈MorC(X, Y )Sea T : C → D un funtor arbitrario , a ∈ T (A) fijoDefinamos

Φa : CA → T

ΦaX : CA(X) = MorC(A,X)→ T (X)

g 7−→ Φag = T (g)(a)

tenemos

(ΦaY CA(f))(g) = Φa

Y (CA(f)(g))

= ΦaY (f g)

= T (f g)

= (T (f) ΦaX)(g)

Ejemplo 13 Sea C la categorıa de espacios vectoriales sobre K , si V esobjeto de C , V ∗ dual de V y V ∗∗ doble dual de V son objetos de C, existe unaaplicacion lineal iV : V → V ∗∗dada por iV (v) = v donde v(ϕ) = ϕ(v) , v ∈ V, ϕ ∈ V ∗ i es una transformacion natural del funtor identidad id : V → V al

conceptos preliminares 11

funtor ∗∗ : C → C o sea i : Id→ ∗∗ en efecto, , sea f : V → W un morfismoen C , el siguiente diagrama conmuta

ViV→ V ∗∗

f ↓ ↓ f ∗∗

WiW→ W ∗∗

(f ∗∗iV )(v)(α) = (f ∗∗(α))(v) = f ∗∗v(α) = v(f ∗(α)) = (f ∗(α))(v) = α(f(v)) =

f(v)(α) = (iW f)(v)(α)

Proposicion 1.1.2 (Lema de Yoneda) Si T : C → Conj es un funtor cova-riante y Φ : CA → T una transformacion natural entonces existe un unicoelemento a ∈ T (A) tal que Φ = Φa , es decir, a = ΦA(idA)

Demostracion.- Como Φ es una transformacion natural , el diagrama

CA(A)CA(f)→ CA(X)

ΦA ↓ ↓ ΦX

T (A)T (f)→ T (X)

conmuta para cualquier f ∈MorC(A,X)En particular

ΦX(CA(f)(idA)) = (T (f)ΦA)(idA)

Como CA(f)(idA) = f idA = fTenemos

ΦX(f) = T (f)(a)

= ΦaX(f)

donde a = ΦA(idA)Ahora supongamos que existe otro b ∈ T (A) tal que Φ = Φb luego

a = ΦA(idA) = ΦbA(idA) = T (idA)(b) = idT (A)(b) = b

Definicion 1.1.5 Si T : C → Conj es un funtor covariante y A ∈ Obj(C)entonces u ∈ T (A) es un elemento universal si Φu es una equivalencianatural

No es cierto que todo funtor covariante T : C → Conj admita un ele-mento universal , si lo admite diremos que T es representable y el par (A, u)representa al funtor T . El par (A, u) es unicamente determinado salvo equi-valencia como veremos a seguir


Proposicion 1.1.3 Sea T : C → Conj un funtor representable con elementouniversal u ∈ T (A) . Si c ∈ Obj(C) y c ∈ T (C) entonces existe un unicomorfismo f : A → C tal que T (f)(u) = c . Si c es elemento universal , f esuna equivalencia

Demostracion. Si c es un elemento universal existe g : C → A tal queT (g)(c) = Φc

C(g) = u entonces

T (g f)(u) = T (g) (T (f)(u)) = T (g)(c) = u

luego g f = idA por la universalidad de u

T (f g)(c) = T (f) (T (g)(c)) = T (f)(u) = c

luego f g = idC por la universalidad de c

Capıtulo 2

TEORIA DE HOMOTOPIAELEMENTAL

2.1. Homotopıa

Definicion 2.1.1 Sean X, Y espacios topologicos , f, g : X → Y aplicacio-nes continuas . Diremos que f es homotopico a g si existe una aplicacioncontinua H : X × I → Y tal que H(x, 0) = f(x) y H(x, 1) = g(x) paracualquier x ∈ X

A la aplicacion H se denomina una homotopıa entre f y g . denotadopor f ' g o H : f ' g

Para cada 0 ≤ t ≤ 1 se denota H(x, t) por Ht(x) que da origen a unafamilia de aplicaciones continuas Ht : X → Y

Definicion 2.1.2 Una aplicacion f : X → Y se denomina nulo homotopi-co si f es homotopico a una aplicacion constante

Definicion 2.1.3 Sea A un sub conjunto de X y f, g : X → Y aplicacionescontinuas. Diremos que f es homotopico a g realtivo a A , denotado porf ' g rel A si existe una homotopıa

H : X × I → Y

tal queH(x, 0) = f(x), para cualquier x ∈ XH(x, 1) = g(x), para cualquier x ∈ X

H(a, t) = f(a), para cualquier a ∈ A, t ∈ I

13

14 homotopıa

Si f ' g rel A se tiene f(a) = g(a) para todo a ∈ A . Si A = φ , f ' grel A es equivalente a f ' g : X → Y

Definicion 2.1.4 Una aplicacion f : X → Y se denomina nulo homotopi-co relativo a A si f es homotopico a una aplicacion constante relativo a A

Proposicion 2.1.1 La homotopıa relativo a A es una relacion de equivalen-cia en el conjunto de aplicaciones de X en Y

Demostracion

Reflexiva: f ' f rel A, para f : X → Y , en efecto, definamos H :X × I → Y por H(x, t) = f(x)Simetrıa: Si H : f ' g rel A .Veamos que g ' f rel A, en efecto, definamos

F : X × I → Y

por

F (x, t) = H(x, 1− t)

Transitiva : Si H : f ' g rel A y F : g ' h rel A. Veamos G : f ' h relA , en efecto,definamos

G : X × I → Y

por

G(x, t) =

H(x, 2t) si 0 ≤ t ≤ 1

2

F (x, 2t− 1) si 12≤ t ≤ 1

G es continua , puesto que la restriccion a cada uno de los conjuntos cerradosX × [0, 1

2] y X × [1

2, 1] es continua

Esas clases de equivalencia se denominan clases de homotopıa relativo aA . Denotemos por [X, Y ]A al conjunto de estas clases de homotopıa . Dadof : X → Y usaremos [f ]A para denotar un elemento de [X, Y ]A determinadopor f.Para espacios X e Y la notacion [X, Y ] significa [X, Y ]φ.Una pregunta que surge inmediatamente es ¿se le puede dar una estructurade grupo al conjunto [X, Y ]A? , en las secciones posteriores daremos respuestaa esta pregunta

Proposicion 2.1.2 Sean f0, f1 : X → Y homotopicos relativos a A ⊂ X yg0, g1 : Y → Z homotopicos relativos a B ⊂ Y tal que f1(A) ⊆ B , entoncesg0 f0 ' g1 f1 rel A

teorıa de homotopıa elemental 15

Demostracion .- Sean H : f0 ' f1 rel A y G : g0 ' g1 rel B , la composicion

X × I H→ Yg0→ Z

es g0 H : g0 f0 ' g0 f1relA, y la composicion

X × I f1×idI→ Y × I F→ Z

es G (f1 × idI) : g0 f1 ' g1 f1 rel f−1(B). Como A ⊆ f−1(B) hemosprobado que g0 f0 ' g0 f1 rel A y g0 f1 ' g1 f1 rel A por la transitividadde la relacion de homotopıa resulta g0 f0 ' g1 f1 rel A

Definicion 2.1.5 Un espacio con punto base es un espacio topologico Xcon un punto fijo elegido x0 ∈ X llamado punto base

Sean X e Y espacios con punto base x0, y0 respectivamente .Una aplicacioncontinua f : X → Y preserva punto base si, f(x0) = y0

Definicion 2.1.6 Sean X e Y espacios con punto base x0, y0 respectivamentey f, g : X → Y aplicaciones que preservan punto base , f es homotopico a gsi, f ' g rel x0 . El conjunto de las clases de equivalencia de aplicacionesque preservan punto base de X en Y por la relacion de homotopıa relativoal punto base x0 se denotan [X, Y ]. Para cualquier aplicacion que preservapunto base f : X → Y , [f ] denota la clase de homotopıa determinada por f

Proposicion 2.1.3 Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

1. la aplicacion continua f : Sn → Y es nulo homotopico

2. Existe una aplicacion continua F : Dn+1 → Y tal que F |Sn= f

3. Sea p0 un punto arbitrario de Sn , f : Sn → Y es nulo homotopicorelativo a p0

Demostracion.-(1) ⇒ (2) Sea c : Sn → Y , c(y) = y0 para todo y ∈Sn . Como f es nulo homotopico existe una homotopıa H : f ' c tal queH(y, 0) = f(y) y H(y, 1) = c(y) = y0 para todo y ∈ Sn . Definamos

F (x) =

y0 si 0 ≤‖ x ‖≤ 1

2

H( x‖x‖ , 2− 2 ‖ x ‖) si 1

2≤‖ x ‖≤ 1

como H(y, 1) = y0, F esta bien definida y es continua pues la restricciona cada uno de los conjuntos cerrados x ∈ Rn+1 : 0 ≤‖ x ‖≤ 1

2 y x ∈

Rn+1 : 12≤‖ x ‖≤ 1 es continua . Como H(y, 0) = f(y) para todo y ∈ Sn ,

16 homotopıa

F |Sn= f(2) ⇒ (3)Para f : Sn → Y por (2) existe F : Dn+1 → Y tal que F |Sn= f .Definamos una homotopıa H : Sn × I → Y por

H(x, t) = F ((1− t)x+ tp0)

tenemos H(x, 0) = F (x) = f(x) y H(x, 1) = F (p0) para x ∈ Sn. ComoH(p0, t) = F ((1− t)p0 + tp0) = F (p0) para t ∈ I resulta que H es una homo-topıa relativo a p0 de f a una aplicacion constante . (3)⇒ (1) es inmediato

La categorıa homotopica de espacios con punto base es la cate-gorıa cuyos objetos son espacios con punto base y los morfismos las clases dehomotopıa [f ], la composicion es definido por [f ] [g] = [f g] la proposicion2.1.2 garantiza que esta bien definida

Definicion 2.1.7 El n-esimo grupo de homotopıa de un espacio X conpunto base Πn(X) es definido por

Πn(X) = [Sn, X]

para n ≥ 0

Π0(X) no es un grupo en general , Π1(X) se denomina grupo funda-mental de X.

Una aplicacion f : Y1 → Y2 que preserva punto base induce para cualquierespacio X con punto base una aplicacion

f∗ : [X, Y1]→ [X, Y2]

definida porf∗[ϕ] = [f ϕ]

Esta aplicacion esta bien definida , en efecto, si ψ : X → Y1 es tal que ψ ' ϕpor la proposicion 2.1.2 f ψ ' f ϕ luego f∗[ψ] = [f ψ] = [f ϕ] = f∗[ϕ]

Proposicion 2.1.4 Sean X, Y, Y1,Y2, Y3 espacios topologicos con punto ba-se. Se cumplen las siguientes afirmaciones :

1. Si f, g : Y1 → Y2 son aplicaciones que preserva punto base y g ' f ,entonces g∗ = f∗

2. Si id : X → X es la aplicacion identidad , entonces id∗ : [X, Y ] →[X, Y ] es la aplicacion identidad


3. Si f : Y1 → Y2,g : Y2 → Y3 son aplicaciones que preservan punto baseentonces (g f)∗ = g∗ f∗

Demostracion.- Las afirmaciones 1,2 y 3 son consecuencias inmediatas dela definicion

Una aplicacion f : X1 → X2 que preserva punto base induce para cual-quier espacio Y con punto base una aplicacion

f ∗ : [X2, Y ]→ [X1, Y ]

definido porf ∗([ϕ] = [ϕf ]

esta aplicacion esta bien definida

Proposicion 2.1.5 Sean X, X1, X2, X3 , Y espacios con punto base. Secumplen las siguientes afirmaciones:

1. Si f, g : X1 → X2 son aplicaciones preservando punto base, g ' fentonces g∗ = f ∗

2. Si id : X → X es la aplicacion identidad , entonces id∗ : [X, Y ] →[X, Y ] es la aplicacion identidad

3. Si f : X1 → X2,g : X2 → X3 son aplicaciones preservando punto base,entonces (g f)∗ = f ∗ g∗

Demostracion.-Las afirmaciones 1,2 y 3 son consecuencias inmediatas de ladefinicion

Sean X e Y espacios topologicos con punto base x0 , y0 respectivamente, definamos el sub espacio X ∨ Y de X × Y como

X ∨ Y = (X × y0) ∪ (x0 × Y )

El producto smash , X ∧ Y es definido por

X ∧ Y =X × Y

(X × y0) ∪ (x0 × Y )

denotaremos por x ∧ y los elementos de X ∧ Y donde x ∈ X , y ∈ Y

Proposicion 2.1.6 Sean X, Y, Z espacios topologicos con punto base , en-tonces

18 homotopıa

1. [X ∨ Y, Z] ∼= [X,Z]× [Y, Z]

2. [X, Y × Z] ∼= [X, Y ]× [X,Z]

Demostracion.- (1)Sean iX : X → X ∨ Y y iY : X → X ∨ Y lasinclusionesDefinamos

θ : [X ∨ Y, Z]→ [X,Z]× [Y, Z]

porθ([ϕ]) = (i∗X([ϕ]), i∗Y ([ϕ])

para [ϕ] ∈ [X ∨ Y, Z]. Veamos que θ es sobre , en efecto, sea ([ϕ1], [ϕ2]) ∈[X,Z] × [Y, Z] donde ϕ1 : X → Z y ϕ2 : Y → Z aplicaciones preservandopunto base , entonces existe una unica aplicacion ϕ : X ∨ Y → Z tal queϕ |X= ϕ1 y ϕ |Y = ϕ2 luego θ([ϕ]) = ([ϕ1], [ϕ2])Veamos que θ es inyectiva, en efecto, supongamos que θ([ϕ]) = θ([ψ]) en-tonces i∗X([ϕ]) = i∗X([ψ]) e i∗Y ([ϕ]) = i∗Y ([ψ]) esto es, existen homotopıasH : ϕ |X' ψ |X y F : ϕ |Y' ψ |YDefinamos

G : (X ∨ Y )× I → Z

por

G(x, t) =

H(x, t) para x ∈ X

F (x, t) para x ∈ Yes una homotopıa de ϕ a ψ luego [ϕ] = [ψ]

(2).- Sean pY : Y × Z → Y y pZ : Y × Z → Z las proyecicionesDefinamos

θ : [X, Y × Z]→ [X, Y ]× [X,Z]

porθ([ϕ]) = (pY ∗([ϕ]), pZ∗([ϕ]))

para [ϕ] ∈ [X, Y ×Z] de la misma manera que (1) se prueba que θ es biyectiva

Como consecuencia de la parte 2 de la proposicion 2.1.5 tenemos

Πn(X × Y ) = Πn(X)× Πn(Y )

para n ≥ 0

Dados los espacios topologicos X e Y , es denotado por Map(X, Y ) elespacio de funciones continuas con la topologıa compacta abierta


Si X e Y son espacios con punto base, el espacio de funciones continuas quepreservan punto base, es denotado por Y X y es un sub espacios de Map(X, Y )

Proposicion 2.1.7 Sean X un espacio topologico de Hausdorff con puntobase x0, Y un espacio topologico de Hausdorff localmente compacto con pun-to base y0 , Z espacio topologico con punto base z0. Entonces la aplicacionasociada reducida

Φ : ZX∧Y → ZY X

induce una aplicacion biyectiva

Φ∗ : [X ∧ Y, Z]→ [X,ZY ]

DemostracionLa aplicacion Φ∗ esta definida por Φ∗[f ] = [Φ(f)]

Veamos que Φ∗ esta bien definida , en efecto, Sea g ' f , existe una homotopıaH : (X ∧ Y )× I → Z tal que H(x ∧ y, 0) = g(x ∧ y) ,H(x ∧ y, 1) = f(x ∧ y), H(x0 ∧ y, t) = z0, H(x ∧ y0, t) = z0. Sea p : X × Y → X ∧ Y la aplicacioncociente . La composicion

X × Y × I p×idI→ (X ∧ Y )× I H→ Z

es tal que H p × idI(x0, y, t) = H(x0 ∧ y, t) = z0 y H p × idI(x, y0, t) =H(x ∧ y0, t) = z0,la cual induce una aplicacion

H : (X × I) ∧ Y → Z

la aplicacion asociadaΦ(H) : X × I → ZY

es una homotopıa entre Φ(g) y Φ(f) pasando a clases de homotopıa tenemosΦ∗[g] = [Φ(g)] = [Φ(f)] = Φ∗[f ]

Veamos que Φ∗ es sobre , en efecto, sea [g] ∈ [X,ZY ] donde g : X → ZY .Como Φ es sobre existe f : X ∧ Y → Z tal que Φ(f) = g ,por lo tanto existe[f ] ∈ [X ∧ Y, Z] tal que Φ∗[f ] = [Φ(f)] = [g]

Veamos que Φ∗ es inyectiva ,en efecto, supongamos Φ∗[f ] = Φ∗[g] o seaΦ(f) ' Φ(g) entonces existe una homotopıa H : X × I → ZY tal queH(x, 0) = Φ(f)(x) y H(x, 1) = Φ(g)(x). Como Φ es sobre existe una aplica-cion G : (X×I)∧Y → Z tal que ΦG) = H. Sea q : X×Y ×I → (X×I)∧Yla aplicacion definida por q(x, y, t) = (x, t) ∧ y, la composicion

X × Y × I q→ (X × I) ∧ Y G→ Z

20 equivalenica homotopica

es tal que G q(x0, y, t) = z0 y G q(x, y0, t) = z0 .Como p : X × Y × I →(X ∧ Y ) × I es una aplicacion cociente Gq induce una aplicacion F : (X ∧Y ) × I → Z tal que F p = G q y F : f ' g , luego pasando a clasestenemos [f ] = [g]

Corolario 2.1.1 Sea X un espacio con punto base , entonces

Πn(X) ∼= Π0(ΩnX) ∼= Π1(Ωn−1X)

para n ≥ 0

2.2. Equivalencia homotopica y espacios

contraibles

Definicion 2.2.1 Dado un funtor T : TOP → GA diremos que es un fun-tor de homotopıa si T (f) = T (g)cuando f ' g

Definicion 2.2.2 A una aplicacion continua f : X → Y se denomina unaequivalencia homotopica si existe una aplicacion continua g : Y → Xtal que g f ' idX y f g ' idY . La aplicacion g se denomina inversohomotopico de f

Un espacio X es homotopicamente equivalente a Y si, existe una equi-valencia homotopica entre X e Y . En este caso se dice que X tiene el mismotipo de homotopıa que Y y se denota X ' Y

Si T es un funtor de homotopıa entonces los grupos T(X) y T(Y) sonisomorfos

Definicion 2.2.3 Un espacio topologico se denomina contraible si la apli-cacion identidad es homotopico a alguna aplicacion constante de X en X

Ejemplo 14 Sea Y un espacio topologico con punto base y0. Una trayecto-ria en Y es una aplicacion continua λ : I → Y , a λ(0) se denomina puntoinicial y a λ(1) punto final. Al conjunto

P (Y, y0) = λ : I → Y : λ(0) = y0

con la topologıa compacta abierta se denomina espacio de trayectorias deYP (Y, y0) es contraible al camino constante cy0, en efecto , bastara definir unaaplicacion continua


H : P (Y, y0)× I −→ P (Y, y0)

tal que H (f, 0) = f , H (f, 1) = cy0 para cualquier f como I es localmentecompacto la topologia compacta abierta es admisible , luego la aplicacionevaluacion e : P (Y, y0) × I −→ Y es continua. Consideremos la aplicacioncontinua

ϕ : I × P (Y, y0)× I −→ Yϕ (s, f, t) = e (f, s (1− t))

para todo s ∈ I , t ∈ I f ∈ P (Y, y0) la aplicacion asociada a ϕ es:

H : Θ (ϕ) : P (Y, y0)× I −→ Y I

Θ (ϕ) (f, t) (s) = ϕ (s, (f, t))= e (f, s (1− t))= f (s (1− t))

tenemos

H (f, 0) (s) = f (s)H (f, 0) (s) = f (0) = y0

como H(f, t)(0) = f(0) = y0.Podemos considerar a H : P (Y, y0) × I −→P (Y, y0) como la aplicacion buscada .

El espacio

Ω (Y, y0) = f ∈ P (Y, y0) /f (0) = y0 = f (1)

se denomina espacio de lazos basado en y0.

Ejemplo 15 El intervalo cerrado I es contraible; en efecto, definamos unahomotopıa

H : I × I → I

por F (s, t) = 1− (1− s)(1− t)

de la misma manera In es contraible y cualquier espacio homeomorfo aello es contraible por ejemplo el disco Dn

Ejemplo 16 El cono CX sobre X es contraible , en efecto , definamos unahomotopıa

H : CX × I → CX

por H(< x, s >, t) =< x, 1− (1− s)(1− t) >

22 cofibracion

Proposicion 2.2.1 Cualquiera dos aplicaciones de un espacio arbitrario aun espacio contraible son homotopicos

Demostracion Sea X un espacio arbitrario , Y un espacio contraible , esto es,idY ' c , donde c : Y → Y es una aplicacion constante . Sean f0, f1 : X → Ydos aplicaciones arbitrarias, entonces

f0 = idY f0 ' cf0 = cf1 ' idY f1 = f1

Proposicion 2.2.2 Un espacio es contraible sı y solo si tiene el mismo tipode homotopıa que un espacio de un solo punto

Demostracion Supongamos que X es contraible, por la definicion 2.2.3 exis-te una homotopıa H entre la aplicacion identidad idX : X → X y la constantec : X → X , c(x) = x0 para todo x ∈ X , si j : x0 ⊆ X es la inclusion lacomposicion cj = idx0 y H : idX ' jc,luego c : X → x0 es una equiva-lencia homotopicaSupongamos que X es del mismo tipo de homotopıa que un espacio de unsolo punto P entonces existen aplicaciones f : X → P y g : P → X tales queidX ' g f y como g f es constante , X es contraible.

Corolario 2.2.1 Cualesquiera dos espacios contraibles tienen el mismo tipode homotopıa

Definicion 2.2.4 Un sub espacio A de X se denomina retracto de X si laincluson i : A → Xtiene un inverso izquierdo , es decir, existe una aplicacioncontinua r : X → A tal que r i = idA

A un sub espacio A de X se denomina retracto debil de X si i : A → X tieneun inverso homotopico izquierdo , es decir, existe una aplicacion continuar : X → A tal que ri ' idA

2.3. Cofibracion

Lo concerniente a los problemas de extension de aplicaciones continuases tema central en topologıa . Dado un sub espacio A de X y una aplicacioncontinua f : A → Y existe una aplicacion continua g : X → Y tal queg |A= f? . Si Y = A y f = idA existe una retraccion X → A ?El estudio de estos problemas se facilita enormemente si la inclusion i : A →X satisface la condicion de cofribacion


Definicion 2.3.1 Una aplicacion continua µ : A→ X es una cofribacionsi, para cualquier espacio topologico Y y dadas las aplicaciones continuasf : X → Y y G : A× I → Y tales que

G(a, 0) = f(µ(a))

para cualquier a ∈ A, existe una aplicacion continua F : X × I → Y tal queF (x, 0) = f(x)y F (µ(a), t) = G(a, t) para cualquier x ∈ X , a ∈ A, t ∈ I ,esto es , el siguiente diagrama conmuta

Aµ→ X

f→ Y↓ F

‖ X × I ‖↑

A → A× I G→ Y

En la seccion 2.2 hemos introducido el concepto de espacio de trayectoriasPY = Y I , definamos la aplicacion ρ= : PY → Y por ρ0(λ) = λ(0) paraλ ∈ PYUna definicion equivalente a la dada en 2.3.1 es la siguiente:Una aplicacion continua µ : A→ X es una cofribacion si µ tiene la siguientepropiedad para todo espacio topologico Y. Dadas una aplicacion continuaf : X → Y y una homotopıa g : A→ PY tal que ρ0g = fµ. Entonces existeuna homotopıa h : X → PY tal que ρ0h = f y hµ = g

Ag→ PY

µ ↓ h ↓ ρ0

Xf→ Y

Un caso especial es, cuando A es un sub espacio de X , es decir , cuando(X,A) es una pareja de espacios

Definicion 2.3.2 Una pareja de espacios (X,A) es un par cofibrado si,la inclusion i : A → X es una cofibracion

Proposicion 2.3.1 (X,A) es un par cofibrado si y solo si X × 0∪A× I esun retracto de X × I

Demostracion.Supongamos que es un par cofibrado . Veamos la exis-tencia de una aplicacion continua r : X × I → X × 0 ∪ A × I tal que

24 cofibracion

r |X×0∪A×I= id, en efecto, como la inclusion i : A → X es una cofibracion,el siguiente diagrama conmuta

X × 0 ∪ A× I id→ X × 0 ∪ A× I↓ ‖

X × I r→ X × 0 ∪ A× I

luego r es la retraccionSupongamos que r : X × I → X × 0 ∪ A × I es una retraccion , sean Y unespacio topologico, f : X → Y y G : A × I → Y tales que G |A×0= f |A.Veamos la existencia de una aplicacion continua H : X × I → Y tal que elsiguiente diagrama

X × 0 ∪ A× I f∪G→ Y↓ ‖

X × I H→ Y

conmute , en efecto, tomando H como la composicion

X × I → X × 0 ∪ A× I → f ∪GY

tenemos el resultado

Proposicion 2.3.2 Sean µ : A → X, ν : A → Y y Φ : X → Y aplicacionescontinuas tales que Φµ = ν. Supongamos que Φ admite inverso izquierdo ,entonces µ es cofibracion si ν es cofibracion

Demostracion .- Sea Y un espacio topologico , Ψ : Y → X inverso izquierdode Φ. Dado el diagrama conmutativo

Ag→ PA

µ ↓ ↓ ρ0

Xf→ Z

Veamos la existencia de una aplicacion continua h : X → PA tal queh µ = g, ρ0 h = f , en efecto, en el diagrama

A = Ag→ PA

ν ↓ µ ↓ ↓ ρ0

YΨ→ X

f→ Z

tenemos f Ψ ν = f µ = ρ0 g pues Ψ ν = µ. Com ν es una co-fibracion existe L : Y → PA tal que L ν = g y ρ0 L = f Ψ. Pon-gamos h = L Φ : X → PA, tenemos h µ = L Φ µ = L ν = g y


ρ0 h = ρ0 L Ψ = f Ψ Φ = f .

Dada una aplicacion µ : A → X la aplicacion cilindro M(µ) es definidacomo el push out

M(µ)j← X

H ↑ ↑ µA× I σ1← A

Tenemos el siguiente diagrama

AH→ PM(µ)

µ ↓ ↓ ρ1

Xj→ M(µ)

donde H esta definido por H(a)(t) = H(a, t) y ρ1(f) = f(1). El diagramaresulta conmutativo, en efecto, ρ1(H(a)) = H(a)(1) = H(a, 1) = Hσ1(a) =j µ(a) para todo a ∈ A o sea ρ1 H = j µSi µ es una cofribacion , existe h : X → PM(µ) tal que hµ = H y ρ1h = j.Ahora ,ρ1 h µ = ρ1 H luego µ es un encaje , esto prueba la siguiente

Proposicion 2.3.3 Si µ : A→ X es una cofibracion entonces µ es un encaje

De acuerdo a esta proposicion sin perdida de generalidad podemosrestringirnos al caso cuando A es un sub espacio de X y µ la inclusion

Proposicion 2.3.4 Si A es contraible y j : A → X es una cofibracion,entonces la aplicacion cociente p : X → X

Aes una equivalencia homotopica

Demostracion.- Sea a0 punto base de A : Como A es contractible, existeuna homotopıa H : A × I → A tal que H(a, 0) = idA y H(a, 1) = a0 paratodo a ∈ A. Veamos la existencia q : X

A→ X tal que p q ' id y q p ' id ,

en efecto, tenemos el siguiente diagrama conmutativo

Aµ→ X

id→ X↓ F

‖ X × I ‖↑

Aj0→ A× I jH→ X

Como j es cofibracion , existe F : X×I → X tal que F (j×1) = j H yF j0 = idX tenemos Ft : X → X definido por Ft(x) = F (x, t), en particularF0(x) = F (x, 0) = x = 1X(x) y F1(a) = F (a, 1) = j H(a, 1) = a0 constante

26 H-espacios

para todo a ∈ A , Luego F1 induce una aplicacion continua q : XA→ X que

hace conmutativo al diagrama

XF1→ X

p ↓ qXA

luego F : X × I → X es una homotopıa entre la identidad y q p enefecto, F (x, 0) = x y F (x, 1) = F1(x) = q p(x)

Definamos una aplicacion continua

G :X

A× I → X

A

porG(p(x), t) = p Ft(x)

G es una homotopıa entre la identidad y p q

2.4. H-Espacios

Los espacios topologicos considerados en esta seccion son los espaciostopologicos con punto base y las aplicaciones continuas son las que preservanpunto base. Y X denota el espacio de funciones que preservan punto base conla topologıa compacta abierta y [X, Y ] el conjunto de clases de homotopıaque preservan punto base de aplicaciones que preservan punto base de X enY. Queremos dotar de una estructura algebraica a este conjunto para ello esnecesario introducir los espacios de Hopf

Definicion 2.4.1 Un espacio topologico Y con punto base y0 es un H- es-pacio si existe una aplicacion continua

µ : Y × Y → Y

llamada multiplicacion, tal que si c : Y → Y es una constante , c(y) = y0,entonces es una identidad salvo homotopıa , es decir, las composiciones

Y(c,idY )→ Y × Y µ→ Y

Y(idY ,c)→ Y × Y µ→ Y

homotopicas a la identidad idY


Un H-espacio Y es homotopicamente asociativo si el diagrama

Y × Y × Y µ×idY→ Y × Y↓ idY × µ ↓ µY × Y µ→ Y

conmuta salvo homotopıa

Un H-espacio Y es homotopicamente conmutativo si el diagrama

Y × Y T→ Y × Y↓ µ ↓ µY = Y

conmuta salvo homotopıa ,donde T (x, y) = (y, x)

Una aplicacion ν : Y → Y es un inverso homotopico si el diagrama

Y × Y µ→ Yµ← Y × Y

↑ (ν, idY ) ‖ ↑ (idY , ν)

Yc→ Y

c← Y


Definicion 2.4.2 Un H-espacio es un H-grupo si µ es homotopicamenteasociativo con inverso homotopico

Proposicion 2.4.1 Sea Y un H-grupo y sea X un espacio de Hausdorff conpunto base . Entonces Y X es un H-grupo

Demostracion.- Sea µ : Y × Y → Y la multiplicacion con inverso ho-motopico σ : Y → Y y sea ψ : Y X × Y X → Y X el homeomorfismo.Lamultiplicacion µ en Y X

µ : Y X × Y X → Y X

se define comoµ = µidX ψ

donde µidX : (Y × Y )X → Y X , µidX (g) = µ g . El inverso homotopico

σ : Y X → Y X

se define como σ = σidX . La multiplicacion µ es asociativa con inverso ho-motopico σ por consiguiente Y X un H-grupo

28 H-espacios

Ejemplo 17 Espacio de lazos . Sea Y un espacio topologico con puntobase y0 su espacio de lazos Ω(Y ) tiene una estructura de H-grupo , en efecto,la multiplicacion

µ : ΩY × ΩY → ΩY

esta definida por

µ(α, β) =

α(2t) 0 ≤ t ≤ 1

2

β(2t− 1) 12≤ t ≤ 1

para todo α, β ∈ ΩY , µ es continua. Si c : ΩY → ΩY es la aplicacionconstante α0 : I → Y , α0(t) = y0. Veamos que µ(α0, β) ' β y µ(β, α0) ' βpara todo β ∈ ΩY , en efecto, la homotopıa

H : ΩY × I → ΩY

es definida por

H(β, s)(t) =

β( 2t

1+s) 0 ≤ t ≤ 1+s

2

y01+s

2≤ t ≤ 1

Para ver que µ es homotopicamente asociativo debemos construir unahomotopıa entre µ (µ, idΩY ) y µ (idΩY , µ), en efecto, la homotopıa

H : ΩY × ΩY × ΩY × I → ΩY

esta definida por

H(α, β, γ, s)(t) =

α( 4t

1+s) 0 ≤ t ≤ 1+s

4

β(4t− 1− s) 1+s4≤ t ≤ 2+s

4

γ(4t−2−s2−s ) 2+s

4≤ t ≤ 1

El inverso homotopico ν : ΩY → ΩY esta dada por ν(α)(t) = α(1 − t).Veamos µ (ν, idΩY ) ' c y µ (1ΩY , ν) ' c ,en efecto, la homotopıa

H : ΩY × I → ΩY

esta definida por

H(α, s)(t) =

α(2(1− s)t) 0 ≤ t ≤ 1

2

α(2(1− s)(1− t)) 12≤ t ≤ 1

Definicion 2.4.3 Si X e Y son H - espacios y f : X → Y una aplicacioncontinua preservando punto base , diremos que f es una H-aplicacion si eldiagrama

X ×X µX→ X↓ f × f ↓ fY × Y µY→ Y



Si este diagrama conmuta estrictamente , diremos que f es homomorfismo. Es claro que cualquier homomorfismo es una H-aplicacion pero el reciprocono es verdad en general

Teorema 2.4.1 Si Y es un H-grupo, entonces [X, Y ] es un grupo para cual-quier espacio X con punto base

Demostracion.- Definamos una operacion binaria

∗ : [X, Y ]× [X, Y ]→ [X, Y ]

∗([f ], [g]) = [f ∗ g]

donde f ∗ g = µ (f × g) 4X

Veamos que esta operacion esta bien definida, en efecto, sean f′, g′

:X → Y aplicaciones continuas tales que f

′ ' f , g′ ' g entonces existen

homotopıas F : f′ ' f y G : g

′ ' g. Definamos la aplicacion

M : X ×X × I → Y × Y

porM(x, y, t) = (F (x, t), G(y, t))

M es una homotopıa entre f′ × g′ y f × g, luego

f′ ∗ g′ = µ (f

′ × g′) 4X

' µ (f × g) 4X

= f ∗ gVeamos la propiedad asociativa , en efecto

(f ∗ g) ∗ h = µ ((f ∗ g)× h) 4= µ ((µ (f × g) 4)× h) 4= µ ((µ× id) (f × g × h) (4× id)) 4' µ ((id× µ) (f × g × h) (id×4)) 4= µ (f × µ (g × h) 4) 4= µ (f × (g ∗ h)) 4= f ∗ (g ∗ h)

Veamos la existencia del elemento neutro; en efecto, sea c : X → Y laaplicacion constante c(x) = y0 para todo x ∈ X

f ∗ c = µ (f × c) ∗ 4= µ i1 f' idY f= f

30 H-coespacios

donde i1 : Y → Y × Y definida por i1(y) = (y, y0) . De la misma manera seprueba que c ∗ f ' f

Veamos la existencia del inverso, en efecto, sea σ : X → Y el inversohomotopico

(σ f) ∗ f = µ ((σ f)× f) 4= µ (σ × id) 4 f' c

de la misma manera se prueba f ∗ (σ f) ' c

Proposicion 2.4.2 Sea Y un H-grupo, X e Y espacios con punto base, unaaplicacion f : X → Z preservando punto base induce un homomorfimo degrupos

f ∗ : [Z, Y ]→ [X, Y ]

Demostracıon.- La aplicacion f ∗ : [Z, Y ] → [X, Y ] esta definida porf ∗[g] = [g f ]. Veamos que esta bien definida, en efecto, si h ' g entoncesexiste una homotopıa H : Z×I → Y tal que H(z, 0) = h(z) y H(z, 1) = g(z)la composicion

X × I f×idI→ Z × I H→ Y

es la homotopıa entre h f y g f , luego

(g ∗ h) f = µ (g × h) 4 f= µ (g × h) (f × f) 4= µ (g f × h f) 4= g f h f

Corolario 2.4.1 Si f es una equivalencia homotopica entonces f ∗ es un iso-morfismo de grupos

Demostracıon.-Si f es una equivalencia homotopica , existe una apli-cacion continua g : Z → X tal que g f ' idX y f g ' idZ . Como(g f)∗ = f ∗ g∗, id∗X = id , (g f)∗ = (idX)∗ y (f g)∗ = (idZ)∗ tenemos elisomorfismo

2.5. H-Coespacios

Sean X e Y espacios con punto base x0 y y0 respectivamente . Su productocartesianoX×Y es un espacio con punto base x0×y0 . El producto reducidoo cuna de X e Y , X ∨ Y , es un sub espacio de X × Y

X ∨ Y = X × y0 ∪ x0 × Y


Sean f : X → Z, g : Y → Z aplicaciones continuas preservando puntobase . Definamos la aplicacion

< f, g >: X ∨ Y → Z

por

< f, g > (x, y) =

f(x) si y = y0

g(y) si x = x0

Sean f : X → Y , g : Z → Q aplicaciones continuas preservando puntobase .Definamos la aplicacion preservando punto base

f ∨ g : X ∨ Z → Y ∨Q

por(f ∨ g)(x, z) = (f(x), g(z))

Definicion 2.5.1 Un espacio topologico X con punto base x0 es un H-coespcio si existe una aplicacion continua

ν : X → X ∨X

llamada comultiplicacion tal que si c : X → X es la aplicacion constantecon valor el punto basico, c(x) = x0 para todo x ∈ X , entonces es unacoidentidad salvo homotopıa , es decir, las composiciones

Xν→ X ∨X (idX ,c)→ X

Xν→ X ∨X (c,idX)→ X

son homotopicos a la identidad idX

Un H- espacio X es homotopicamente coasociativo, si el diagrama

Xν→ X ∨X

↓ ν ↓ ν ∨ idXX ∨X iX∨ν→ X ∨X ∨X


Una aplicacion ι : X → X es un coinverso homotopico si el diagrama

X ∨X ν← Xν→ X ∨X

↓ (idX , ι) ‖ ↓ (ι, idX)

Xc← X

c→ X

32 H-coespacios

es conmutativo salvo homotopıa.

Un H- espacio X es homotopicamente coconmutativo, si el diagrama

X = X↓ ν ↓ ν

X ∨X T→ X ∨X

es conmutativo salvo homotopıa , donde T (x, y) = (y, x)

Definicion 2.5.2 Un H- coespacio es un H-cogrupo si ν es homotopica-mente coasociativo con coinverso homotopico

Definicion 2.5.3 Si X e Y son H-coespacios y f : X → Y es una aplicacioncontinua preservando punto base, diremos que f es un H-coaplicacion si eldiagrama

XνX→ X ∨X

↓ f ↓ f ∨ fY

νY→ Y ∨ Y


Proposicion 2.5.1 Sea X un espacio de Hausdorff con punto base . Supon-gamos que X es H-cogrupo con comultiplicacion ν : X → X ∨X . EntoncesY X es un H-grupo

Demostracion Sea ν : X → X ∨ X la comultiplicacion con coinversohomotopico ι : X → X y sea ψ : Y X × Y X → Y X∨X el homeomorfismo . Lamultiplicacion µ en Y X

µ : Y X × Y X → Y X

se define como

µ = idνY ψ

donde idψY : Y X∨X → Y X , idνY (f) = idY fν. El inverso homotopico σ

σ : Y X → Y X

se define como σ = idιYLa multiplicacion µ es asociativo con inverso σ por consiguiente Y X un H-grupo


Ejemplo 18 S1 se identifica con I∂I

= [0,1]0,1 ,S

1 es un H-cogrupo con la co-

multiplicacion ν : S1 → S1 ∨ S1 definido por

ν(t) =

(2t, ∗) 0 ≤ t ≤ 1

2

(∗, 2t− 1) 12≤ t ≤ 1

y un coinverso homotopico ι(t) = 1− t

Corolario 2.5.1 ΩnY es un H-espacio para n ≥ 1

Proposicion 2.5.2 Sean X e Y espacios con punto base . Supongamos queX es H-cogrupo. Entonces X ∧ Y es H-cogrupo

Demostracion.Sea ν : X → X ∨ X la comultiplicacion en X con coin-verso ι : X → X . La comultiplicacion ν

ν : X ∧ Y → (X ∧ Y ) ∨ (X ∧ Y )

esta definida porν = g (ν ∧ idY )

donde g : (X ∨X) ∧ Y → (X ∧ Y ) ∨ (X ∧ Y ) es un homeomorfismo

El coinversoι : X ∧ Y → X ∧ Y

esta definida porι = ι ∧ idY

La comultiplicacion ν es homotopicamente asociativo con coinverso ι, luegoX ∧ Y es un H-cogrupo

Sea X un espacio con punto base . La n-esima suspencion de X esdefinido por

ΣnX = Sn ∧X

Por la proposicion 2,5,2 como S1 es un H-cogrupo

ΣnX = (S1 ∧ S1 ∧ ... ∧ S1) ∧X = S1 ∧ Σn−1X

es H-cogrupo ,hemos probado la siguiente

Proposicion 2.5.3 Sea X un espacio con punto base . Entonces ΣnX es unH-cogrupo para n ≥ 1

34 H-coespacios

Teorema 2.5.1 Sea Y un espacio con punto base y X un H-cogrupo . En-tonces [X, Y ] es un grupo

Demostracion.Definamos una operacion binaria

• : [X, Y ]× [X, Y ]→ [X, Y ]

•([f ], [g]) = [f • g]

donde f • g = 5 (f ∨ g) ν

Veamos que esta operacion esta bien definida, en efecto, sean f′, g′: X →

Y aplicaciones continuas tales que f′ ' f , g

′ ' g entonces f′ ∨ g′ ' f ∨ g,

luego f • g = 5 (f ∨ g) ν ' 5 (f′ ∨ g′) ν=f

′ • g′ pasando a clases setiene la igualdad . El elemento neutro es la clase de la aplicacion constante.El inverso de [f ] es [f ι]

Proposicion 2.5.4 Sea X un H-cogrupo, la aplicacion f : Y → Z preser-vando punto base induce un homomorfismo de grupos

f∗ : [X, Y ]→ [X,Z]

Demostracion.- La aplicacion

f∗ : [X, Y ]→ [X,Z]

esta definida porf∗[g] = [f g]

Veamos que esta bien definida , en efecto, si g′ ' g tenemos f g′ ' f g y

pasando a clases de homotopıa obtenemos la igualdad Veamos que f∗ es unhomomorfismo , en efecto,

f (g • h) = f 5 (g ∨ h) ν' 5 (f g ∨ f h) ν= f g • f h

Corolario 2.5.2 Si f es una equivalencia homotopica entonces f∗ es un iso-morfismo

Demostracion.- Como f es una equivalencia homotopica existe una apli-cacion g : Z → Y tal que g f ' idY y g f ' idZ , luego (g f)∗ = g∗ f∗ =(idY )∗ = id y (f g)∗ = f∗ g∗ = (idZ)∗ = id de aquı resulta que f∗ es unisomorfismo


Lema 2.5.1 Sea X un conjunto con dos multiplicaciones ∗ Y • satisfaciendo:

1. Existe e ∈ X tal que

x ∗ e = x • e = x = e • x = e ∗ x

para todo x ∈ X

2. (x ∗ x′) • (y ∗ y′) = (x • y) ∗ (x′ • y′), para todo x, x

′, y, y

′ ∈ X entonces∗ y • son iguales y ambas son asociativas y conmutativas

Demostracion. Veamos que las operaciones ∗ y • son iguales, en efecto,

x ∗ y = (x • e) ∗ (e • y) = (x ∗ e) • (e ∗ y) = x • y

Veamos que ∗ es conmutativo, en efecto,

x ∗ y = (e • x) ∗ (y • e) = (e ∗ y) • (x ∗ e) = y • x = y • x

de la misma manera se prueba que • es conmutativoVeamos que ∗ es asiciativo, en efecto,

x ∗ (y ∗ z) = (x • e) ∗ (y • z) = (x ∗ y) • (e ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z

de la misma manera se prueba que • es asociativo

Teorema 2.5.2 Sean X un H-cogrupo, Y un H- grupo entonces las dos multi-plicaciones en [X, Y ] inducidas por ν y µ son iguales y ambas son asociativasy conmutativas

Demostracion.-Sean [f ], [g] ∈ [X, Y ], la multiplicacion inducida por νesta dada por [f•g] es la clase de homotpopıa representada por la composicion

Xν→ X ∨X f∨g→ Y ∨ Y

5Y

La inducida por µ esta dada por [f ∗ g]es la clase de la homotopıa repre-sentada por la composicion

X4→ X ×X f×g→ Y × Y µ→ Y

para hacer uso del lema 2.5.1 es suficiente probar que, para [f ], [f′], [g], [g

′] ∈

[X, Y ], se cumple la siguiente igualdad

([f ] ∗ [f′]) • ([g] ∗ [g

′]) = ([f ] • [g]) ∗ ([f

′] • [g

′])

36 H-coespacios

lo que es lo mismo

(f ∗ f ′) • (g ∗ g′) ' (f • g) ∗ (f′ • g′)

esto es, el siguiente diagrama

Xν→ X ∨X 4∨4→ (X ×X) ∨ (X ×X)

(f×f ′ )∨(g×g′ )→ (Y × Y ) ∨ (Y × Y )µ∨µ→ Y ∨ Y 5→ Y

‖ ‖

X4→ X ×X ν×ν→ (X ∨X)× (X ∨X)

(f∨g)×(f′∨g′ )→ (Y ∨ Y )× (Y ∨ Y )

5×5→ Y × Y µ→ Y

debe conmutar salvo homotopıa . Para ello bastara probar que los siguientesdiagramas conmutan

1.

Xν→ X ∨X 4×4→ (X ×X) ∨ (X ×X) = (X ×X × x0 × x0) ∪ (x0 × x0 ×X ×X)

≈↓ id× T × id‖ (X × x0 ×X × x0) ∪ (x0 ×X × x0 ×X)

X4→ X ×X ν×ν→ (X ∨X)× (X ∨X)

donde T (x, y) = (y, x) . Consideremos ν(x) = (x′, x′′) ∈ X∨X ⊂ X×X

(ν × ν) 4(x) = (µ× µ)(x, x) x ∈ X= (ν(x), ν(x))= (x

′, x′′, x′, x′′)

= id T id(x′, x′, x′′, x′′)

= id T id (4∨4)(x′, x′′)

= id T id (4∨4) ν(x)

2.

(X ×X) ∨ (X ×X)(f×f ′ )∨(g×g′ )→ (Y × Y ) ∨ (Y × Y )

↓ id T id ↓ id T id

(X × x0 ×X × x0) ∪ (x0 ×X × x0 ×X)(f,f

′,g,g′

→ (Y × y0 × Y × y0) ∪ (y0 × Y × y0 × Y )↓ ↓

(X ∨X)× (X ∨X)(f∨g)×(f

′∨g′ )→ (Y ∨ Y )× (Y ∨ Y )

es inmediata la conmutatividad

Teorıa de Homotopıa elemental 37

3.

(Y × Y × y0 × y0) ∪ (y0 × y0 × Y × Y ) = (Y × Y ) ∨ (Y × Y )µ∨µ→ Y ∨ Y 5→ Y

↓ id T id(Y × y0 × Y × y0) ∪ (y0 × Y × y0 × Y ) ‖

↓(Y ∨ Y )× (Y ∨ Y )

5×5→ Y × Y µ→ Y

µ (5×5) id T id(y, y′, y0, y0) = µ (5×5)(y, y0, y

′, y0)

= µ(y, y′)

= 5(µ(y, y′), y0)

= 5 (µ ∨ µ)(y, y′, y0, y0)

de la misma manera se prueba

µ (5×5) id T id(y0, y0, y, y′) = 5 (µ ∨ µ)(y0, y0, y, y

′)

Proposicion 2.5.5 Sea X un H-cogrupo homotopicamente conmutativo , Yun espacio con punto base , entonces [X, Y ] es un grupo abeliano

Demostracion.-Sean [f ], [g] ∈ [X, Y ] :Veamos f • g ' g • f ,en efecto,

f • g = 5 (f ∨ g) µ' 5 (f ∨ g) T µ' 5 (g ∨ f) µ= g • f

Corolario 2.5.3 Sea X un espacio con punto base, el n-esimo grupo de ho-motopıa

Πn(X) = [Sn, X]

es un grupo abeliano para n ≥ 2

2.6. Construccion de James

Sea X un espacio con punto base ∗ , para cada k ≥ 0. Definamos

Jk(X) =xk

∼donde Xk = X × . . .×X︸︷︷︸

k−veces

y ∼ es la relacion de equivalencia generada

por

(x1, x2, x3, ..., xi−1, ∗, xi+1, ..., xk) ∼ (x1, x2, ....., xj−1, ∗, xj+1, ..., xk)

38 construccion de James

para cualquier 1 ≤ i, j ≤ k, esto es, el punto base ∗ conmuta en la k-upla concualquier elemento. Los elementos de Jk(X) son denotadas por [x1, x2, ..., xk]

Si k = 0 , Jk(X) = ∗Si k = 1, Jk(X) = X

La inclusion Xk−1 ⊂ Xk , (x1, x2, ..., xk−1) → (x1, x2, ..., xk−1, ∗) induceuna aplicacion

ik : Jk−1 → Jk

tal que el diagramaXk−1 → Xk

qk−1 ↓ qk ↓Jk−1(X)

ik→ Jk(X)

conmuta donde qk : Xk → Jk(X) es la aplicacion cociente . Sea C subconjuntocerrado de Jk−1(X) , como qk−1 es continua q−1

k−1(C) es cerrado en Xk−1 .Veamos que ik(C) es cerrado en Jk(X)para ello basta probar que q−1

k (ik(C))es cerrado en Xk, en efecto,

q−1k (ik(C)) = ∪ki=1Ei

donde Ei = (x1, ..., xi−1, ∗, xk+1, ...xk) ∈ Xk : (x1, ..., xi−1, xk+1, ...xk) ∈q−1k−1(C) es cerrado en Xk debido a que Ei = X i−1×∗×Xk−i∩π−1

i (q−1k−1(C)) ,

πi : Xk → Xk−1, πi(x1, ...., xk) = (x1, ...xi−1, xi+1, ..xk) es la proyeccion coor-denada . Luego ik aplica Jk−1(X) homeomorficamente sobre el sub espaciocerrado ik(jk−1(X)) de Jk(X) , podemos identificar Jk−1(X) con un sub es-pacio cerrado de Jk(X)Tenemos

∗ = X0 ⊂ X1 ⊂ X2 ⊂ ......Xk ⊂ Xk+1 ⊂ ....

Definicion 2.6.1 Definimos la Construccion de James por

J(X) = ∪k≥0Jk(X)

J(X) es un espacio topologico con la topologıa debil y cada Jk(X) es un subespacio cerrado de J(X)

Proposicion 2.6.1 Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto conpunto base , entonces J(X) es un H- espacio estrictamente asociativo con lasiguiente propiedad universal: Cualquier aplicacion f : X →M en un H- es-pacio estrictamente asociativo M, puede extenderse a una unica H- aplicacion


f : J(X)→M , esto es, el siguiente diagrama conmuta

J(X)

q ↑ f

Xf→M

Demostracion .- Tenemos el siguiente diagrama conmutativo

Xn ×Xm = Xn+m qn+m→ Jn+m(X)qn × qm µnm

Jn(X)× Jm(X)

esto es µnm (qn× qm) = qmn . Com X es localmente compacto de Hausdorffqn × qm es una aplicacion cociente

µnm([x1, .., xn], [y1, ..., ym]) = [x1, ..., xn, y1, ..., ym]

µnm induce una unica aplicacion

µ : J(X)× J(X)→ J(X)

tal que el diagrama

Jn(X)× Jm(X)µnm→ Jn+m(X)

↓ ↓J(X)× J(X)

µ→ J(X)

conmuta para cualquier n,m . Sea C un conjunto cerrado en J(X). Veamosque µ−1(C) es cerrado en J(X) × J(X), en efecto, C ∩ Jn+m(X) es cerradoen Jn+m(X) para cualquier n,m y µ−1

nm(C ∩ Jn+m(X)) es cerrado en Jn(X)×Jm(X) luego

µ−1(C) ∩ (Jn(X)× Jm(X)) = µ−1nm(C ∩ Jn+m(X))

es cerrado en Jn(X) × Jm(X) lo que prueba que µ es continua , luegoJ(X) es un H-espacio con multiplicacion µ : J(X)× J(X)→ J(X)Podemos definir

f : J(X)→M

porf([x1, x2, ..., xk]) = f(x1)f(x2)....f(xk)

f es una H-aplicacion que hace conmutativo el siguiente diagrama

J(X)

q ↑ f

Xf→M

40 construccion de James

esto es , f q = f

Observacion .- La proposicion sigue siendo valida si reemplazamos aM por un H-espacio homotopicamente asociativo en este caso el diagramaresulta ser homotopicamente conmutativo

Denotemos por X(n) = X ∧ . . . ∧X︸︷︷︸n−veces

Proposicion 2.6.2 Para cada n

Jn(X)

Jn−1(X)≈ X(n)

Demostracion.- Sean qn : Xn → Jn(X), pn : Xn → X(n) las aplicacionescociente. La aplicacion pn : Xn → X(n) se factoriza atraves de Jn(X) , estoes existe una aplicacion p′n : Jn(X) → X(n) tal que el siguiente diagramaconmuta

Xn pn→ X(n)

qn p′nJn(X)

o sea p′nqn = pn , p′n es una aplicacion cociente . Como p′n(Jn(X)) = ∗ ,p′n induce una aplicacion

p′′n :Jn(X)

Jn−1(X)→ X(n)

es un homeomorfismo por ser inyectiva, sobre y una aplicacion cociente

Definicion 2.6.2 Dado un espacio X con punto base ∗. Definamos la Sus-pencion de Freudental E : X → ΩΣX como la aplicacion adjunta a laaplicacion identidad ΣX → ΣX

Esto es, dado x ∈ X , E(x) es un lazo en ΣX dada por E(x)(t) = [x, t] ∈ΣX . La aplicacion E suele pensarse como la inclusion de X en ΩΣX

Considerando M = ΩΣX y f = E en el diagrama anterior obtenemosuna unica H- aplicacion

λ : J(X)→ ΩΣX

tal que el siguiente diagrama conmuta

J(X)↑ λX → ΩΣX


Aun mas en el caso que X es un CW-complejo, que sera definido en elproximo capıtulo, λ : J(X)→ ΩΣX resulta ser una equivalencia homotopica

Teorema 2.6.1 (Teorema de James) Si X es un CW- complejo conectablepor trayectorias ,entonces

1. λ : J(X)→ ΩΣX es una equivalencia homotopica debil

2. Existe una equivalencia homotopica

Σ(J(X)) ' ∨k≥0ΣX∧k

conocida como la Descomposicion de James

2.7. Desviacion de aplicaciones entre H-espacios

Dados X, Y H-espacios conviene saber si una aplicacion arbitraria f :X → Y es o no un H-aplicacion, con este proposito se introduce una nuevaaplicacion D(f) : X ×X → Y conocida como la desviacion de f.

Definicion 2.7.1 Sea X un espacio con punto base x0 el fat-wedge, FWk(X)de X es el sub espacio de Xk = X × . . .×X︸︷︷︸

k−veces

FWk(X) = (x1, x2, ..., xk) ∈ Xk : xj = x0 para algun j

Si k = 1, FW1(X) = x0

Si k = 2, FW2(X) = X ∨X

Si k ≥ 3 tenemos X ∨X ∨ ... ∨X ⊂ FWk(X)

Definicion 2.7.2 Un espacio X tiene categorıa n si la aplicacion diagonal∆n+1 : X → Xn+1 se factoriza atraves de FWn+1(X), esto es, si existe unaaplicacion

γn+1 : X → FWn+1(X)

tal que el siguiente diagrama

X∆n+1

−→ Xn+1

γn+1 jFWn+1(X)

donde j : FWn+1(X) → Xn es la aplicacion inclusion ,es homotopica-mente conmutativo

42 desviaciones de aplicaciones

Observacion .-Una condicion equivalente para que un espacio con puntobase tenga categorıa n es que tenga un cubrimiento abierto de exactamenten abiertos contraibles en X

Lema 2.7.1 Si A tiene categorıa n entonces tiene categorıa m para todom ≥ n

Demostracion.- Bastara probar que A tiene categorıa n+1 para afirmarque A tiene categorıa m para m > n. Veamos que la diagonal 4 : A→ An+2

se factoriza atraves de FWn+2 , en efecto, sea t : An+1 → An+2 la inclusiont(a1, a2, ..., an+1) = (a1, a2, ..., an+1, an+1) tenemos t 4′ = 4 4′ : A→ An+1

es la aplicacion diagonal. Como A tiene categorıa n existe una aplicacionγn+1 : A → FWn+1(A) que hace homotopicamente conmutativo el siguientediagrama

A∆n+1

→ An+1

γn+1 i1 FWn+1(X)

o sea i1γn+1 ' ∆

′entonces existe una homotopıa H : A × I → An+1

tal que H(a, 0) = i1γn+1(a) y H(a, 1) = ∆

′(a) .Como t(FWn+1) ⊂ FWn+2

pongamos γn+2 = tγn+1 como queremos que el diagrama

A∆→ An+2

γn+2 i2 FWn+2(X)

homotopicamente conmute o sea i2 γn+2 ' 4, definamos una homotopıa

H : A× I → An+2

por

H = t H

tenemos

H(a, 0) = t H(a, 0) = t i1γn+1(a) = i2 t γn+1(a) = i2 γn+2(a)

H(a, 1) = t H(a, 1) = t 4′(a) = 4(a)

esto prueba que i2 γn+2 ' 4


Hemos definido anteriormente que una aplicacion f : X → Y entre H-espacios es una H- aplicacion si el diagrama siguiente es homotopicamenteconmutativo

X ×X f×f→ Y × YµX ↓ ↓ µYX

f→ Y

esto es, f µX ' µY (f × f)

Definicion 2.7.3 Sean X un H- espacio , Y un H-grupo y f : X → Y unaaplicacion , la desviacion de f es la aplicacion

D(f) : X ×X → Y

dada por

D(f)(x1, x2) = f(x2)−1.f(x1)−1f(x1.x2)µY (fµX(x1, x2), µY (f(x2)−1, f(x1)−1)

donde µX es la multiplicacion en X y µY la multiplicacion en Y

La desviacion tiene las siguientes propiedades :

1. f es una H- aplicacion si, y solo si D(f) ' ∗

2. Sea Z un H- grupo y g : Y → Z una H- aplicacion , entonces

D(gf) = gD(f)

Definicion 2.7.4 Las desviaciones superiores Dn(f) : Xn → Y se definenpor induccion como sigue:D1(f) = fD2(f) = D(f)...Dn(f)(x1, x2, ..., xn) = (Dn−1(f)(x1, ..., xn−2, xn))−1×Dn−1(f)(x1, ..., xn−1))−1×Dn−1(f)(x1, ..., xn−2, xn−1.xn))

Proposicion 2.7.1 La restriccion de Dn(f) a FWn(X),Dn(f) |FWn(X), esuna aplicacion nulohomotopico

44 sucesion exacta

Demostracion .- Veamos por induccion en n. Para n = 1 , D1(f) |FW1(X)

es la aplicacion que manda punto base en el punto base es una aplicacionnulohomotopico.Ahora supongamos por hipotesis de induccion que el resultado vale pa-ra n o sea Dn(f) |FWn(X) es nulohomotopico . Veamos para n + 1 o seaque Dn+1(f) |FWn+1(X) es nulohomotopico, en efecto, sea (x1, x2, .., xn+1) ∈FWn+1(X) tenemos

Dn+1(f)(x1, x2, ..., xn+1) = (Dn(f)(x1, ..., xn−1, xn+1))−1×

(Dn(f)(x1, ..., xn))−1 ×Dn(f)(x1, ..., xn−1, xn.xn+1)

por hipotesis de induccion el primer o segundo factor son nulohomotopicoslos dos terminos restantes se cancelan salvo homotopıa

2.8. Sucesion exacta de Barrat- Puppe

Sean A y B conjuntos de puntos con punto base a0,y b0 respectivamente, f : A→ B una funcion que preserva punto baseDenotaremos Ker(f) = f−1(b0) la pre- imagen del punto base b0

Una sucesion de conjunto con punto base y aplicaciones que preservanpunto base

....→ An+1fn+1→ An

fn→ An−1fn−1→ ...

se denomina exacta si cada aplicacion fn preserva punto base y Ker(fn) =Im(fn+1)

Sean X e Y espacios topologicos que preservan punto base y [X, Y ] denotael conjunto de las clases de homotopıa de aplicaciones que preservan puntobase bajo la relacion de homotopıa que preservan punto base .

Proposicion 2.8.1 Sea f : X → Y una aplicacion preservando punto basey j : Y → Y ∪f CX la inclusion, entonces la sucesion

[Y ∪f CX,Z]j∗→ [Y, Z]

f∗→ [X,Z]

es exacta para cualquier espacio Z con punto base

Demostracion .- Veamos Im(j∗) ⊂ Ker(f ∗) , en efecto, sea [h] ∈ Im(j∗)entonces existe [g] ∈ [Y ∪f CX,Z] tal que j∗[g] = [g j] = [h] o sea h ' g j.


Para que [h] ∈ Ker(f ∗) ⇐⇒ f ∗[h] = [h f ] = [constante] o sea h f 'constante relativo al punto base , pero h f ' g j f ' constante relativoal punto base .Por lo tanto, bastara probar que j f ' Constante raltivo alpunto base , en efecto, tenemos el diagrama siguiente conmutativo

X × I p→ CXi0 ↑ ↓ iX

jf→ Y ∪f CX

donde i0(x) = (x0, 0), p : X × I → CX la proyeccion. La composicioni p es una homotopıa entre j f y la aplicacion constante relativo al puntobase

Veamos Ker(f ∗) ⊂ Im(j∗), en efecto, sea [ϕ] ∈ Ker(f ∗) entonces f ∗[ϕ] =[ϕ f ] = [constante] o sea ϕ f ' constante , existe una homotopıa

H : X × I → Z

tal que H(x, 0) = ϕ f(x), H(x, 1) = z0 , H(x0, t) = z0 . Para que [ϕ] ∈Im(j∗) sı, y solo si exite [h] ∈ [Y ∪f CX,Z] tal que j∗[h] = [h j] = [ϕ] osea h ' jϕ tenemos el siguiente diagrama conmutativo

X × I H→ Zq ↓ ↑ HCX = CX

o sea H q = H donde q es la aplicacion cociente . Tenemos la aplicacionϕ ∪H : Y ∪ CX → Z y el siguiente diagrama conmuta

Y ∪ CX ϕ∪H→ Zp ↓ ↑ ϕ

Y ∪f CX = Y ∪f CX

y ϕ |Y = ϕ o sea ϕ j = ϕ esto ‘prueba [ϕ] ∈ Im(j∗

Dada una aplicacion continua F : X → Y existe una sucesion de espaciosy aplicaciones

Xf→ Y

j→ Y ∪fCXk→ (Y ∪fCX)∪jCY

l→ ((Y ∪fCX)∪jCY )∪kC(Y ∪fCX)→ ....

Proposicion 2.8.2 Tenemos las siguientes afirmaciones:

1. (Y ∪f CX) ∪j CY es homotopicamente equivalente a la ΣY

46 sucesion exacta

2. ((Y ∪f CX)∪j CY )∪k C(Y ∪f CX) es homotopicamente equivalente ala ΣX

Demostracion .-(1)

(Y ∪fCX)∪jCYCY

' Y ∪fCXY

' CXX

= ΣX

(2)

((Y ∪fCX)∪jCY )∪kC(Y ∪fCX)

C(Y ∪fCX)' ((Y ∪fCX)∪jCY )

Y ∪fCX' CY

Y

' ΣY

Proposicion 2.8.3 El siguiente diagrama es homotopicamente conmutativo

(Y ∪f CX) ∪j CY → ((Y ∪f CX) ∪j CY ) ∪k C(Y ∪f CX)'↓ ↓'ΣX

Σf→ ΣY

Como consecuencia de las proposiciones anteriores tenemos el siguiente :

Teorema 2.8.1 (Barrat- Puppe) Sean X,Y espacios topologicos con puntobase y f : X → Y , una aplicacion preservando punto base. Entonces existeuna sucesion exacta larga

...→ [ΣY ∪fCX,Z]→ [ΣY, Z]→ [ΣX,Z]→ [Y ∪fCX,Z]→ [Y, Z]→ [X,Z]

para cualquier Z espacio topologico con punto base

Capıtulo 3

TEORIA DE HOMOLOGIA

Comenzaremos este capıtulo enunciando los axiomas de Eilenberg-Steenrodpara luego construir un funtor de homologıa de la categorıa de parejas de es-pacios topologicos a la categorıa de grupos abelianos que verifiquen estosaxiomas y como consecuencia tendremos la homologıa singular

3.1. Axiomas de Eilenberg -Steenrod

Sea (X,A) una pareja de espacios topologicos, esto es, A un sub espaciode X y f : (X,A) → (Y,B) una aplicacion de parejas de espacios , esto es,es una aplicacion continua f : X → Y tal que f(A) ⊆ B

A la categorıa cuyos objetos son parejas de espacios topologicos y losmorfismos aplicaciones de parejas se denomina Categorıa de parejas deespacios y se denota TOP 2

Si f, g : (X,A) → (Y,B) son aplicaciones de parejas . Se dice que fes homotopico a g y denotado por f ' g si existe una aplicacion continuaF : X × I → Y tal que F (x, 0) = f(x), F (x, 1) = g(x) y F (A× I) ⊆ B, estoes , la homotopıa F es una aplicacion

F : (X,A)× I = (X × I, A× I)→ (Y,B)

Definicion 3.1.1 Una Teorıa de Homologıa h∗ es una familia de funto-res covariantes de la categorıa de parejas de espacios topologicos a la categorıade grupos abelianos

hn : TPO2 → GA

para n ∈ Z, junto con transformaciones naturales

47

48 Axiomas de Eilenberg-Steenrod

∂ : hn(X,A)→ hn−1(A)

para cualquier n ∈ Z y cualquier pareja de espacios (X,A) llamado ho-momorfismo de conexion , satisfaciendo los siguientes axiomas:

1. Axioma (Naturalidad) Para cualquier aplicacion f : (X,A)→ (Y,B)el diagrama siguiente conmuta

hn(X,A)fn→ hn(Y,B)

↓ ∂ ↓ ∂hn−1(A)

(f |A)n−1→ hn−1(B)

2. Axioma (exactitud )Para cualquier pareja de espacios (X,A) existeuna sucesion exacta larga

...→ hn+1(X,A)∂n+1→ hn(A)

in→ hn(X)jn→ hn(X,A)

∂n→ ..

donde i : (A, φ) → (X,φ) y j : (X,φ) → (X,A) son las aplicacionesinclusion

3. Axioma (homotopıa )Si f, g : (X,A) → (Y,B) son aplicaciones ho-motopicas , f ' g, entonces f∗ = g∗ : h∗(X,A)→ h∗(Y,B)

4. Axioma (Escision) Si U es un sub conjunto abierto de X cuya clausu-ra ,U , esta contenido en el interior de A, Int(A),( esto es, U ⊆ V ⊆ Apara algun conjunto abierto V)entonces la inclusion j : (X − U,A −U)→ (X,A) induce un isomorfismo

j : hn(X − U,A− U)→ hn(X,A)

para cada n ∈ Z

5. Axioma(dimension) Sea P un espacio que consiste de un solo punto,entonces hn(P ) = 0 para n 6= 0

Una teorıa de homologıa generalizada es una teorıa de homologıah∗ que satisface los primeros cuatro axiomas excepto el axioma dimension

Una teorıa de homologıa ordinaria es una teorıa de homologıa h∗ quesatisface los cinco axiomas

Teorıa de Homologıa 49

En este caso , h∗(X,A) se denomina la homologıa de la pareja (X,A)con coeficientes en G = h0(P ) y es denotado por H∗(X,A;G). EscribiremosH∗(X,A) para la homologıa entera H∗(X,A;Z)

Proposicion 3.1.1 El axioma 3 es equivalente a la siguiente afirmacion:Sean j0, j1 : (X,A) → (X,A) × I aplicaciones definidas por j0(x) = (x, 0),j1(x) = (x, 1) entonces j0∗ = j1∗

Demostracion .- Supongamos que se cumple el axioma 3 y sean j0, j1 :(X,A)→ (X × I, A× I)las aplicaciones definidas por j0(x) = (x, 0), j1(x) =(x, 1) .Veamos j0∗ = j1∗ , en efecto, definamos una aplicacion continua

F : (X,A)× I → (X,A)× I

porF (x, t) = (x, t)

tenemos F (x, 0) = (x, 0) = j0(x) ,F (x, 1) = (x, 1) = j1(x) y F (A×I) ⊂ A×I. Luego F : j0 ' j1 y por el axioma 3 tenemos j0∗ = j1∗

Ahora supongamos que las aplicaciones f, g : (X,A) → (Y,B) son ho-motopicos f ' g y se cumple la afirmacion . Veamos f∗ = g∗, en efecto,como f ' g existe una aplicacion continua F : (X,A) × I → (Y,B) tal queF (x, 0) = f(x) , F (x, 1) = g(x) y F (A× I) ⊂ Btenemos

F j0(x) = F (x, 0) = f(x)

F j1(x) = F (x, 1) = g(x)

luego como j0∗ = j1∗ tenemos

f∗ = (F j0)∗ = F∗j0∗ = F∗j1∗ = (Fj1)∗ = g∗

Proposicion 3.1.2 El axioma 4 es equivalente a la siguiente afirmacion:Sean X1 , X2 sub espacios de X tales que X1 es cerrado y X = Int(X1) ∪Int(X2). Entonces la inclusion i : (X1;X1 ∩ X2) → (X;X2) induce un iso-morfismo

i∗ : hn(X1;X1 ∩X2)∼=−→hn(X;X2)

Demostracion .- Supongamos que se cumple el axioma 4 y que X1 yX2 son subespacios de X tales que X1 es cerrado y X = Int(X1) ∪ Int(X2).Veamos i∗ : hn(X1;X1 ∩ X2) → hn(X;X2) es un isomorfismo , en efecto,

50 Axiomas de Eilenberg-Steenrod

pongamos A = X2 y U = X − X1, luego como X1 es cerrado en X , U esabierto en X, la clausura de U

U ⊆ CX1 ⊆ C(Int(X1)) ⊆ Int(X2) ⊆ Int(A)

comoX − U = X − (X −X1) = X1

A− U = X2 − (X −X1) = X1 ∩X2

la inclusion i : (X − U ;A − U) = (X1;X1 ∩X2) → (X − A) = (X,X2) poraxioma 4 induce un isomorfismo

i : hn(X;X1 ∩X2)→ hn(X,X2)

para cada n

De la misma manera se prueba la implicacion que falta

Definicion 3.1.2 Una teorıa de cohomologıa h∗ es una familia de fun-tores contravariantes de la categorıa de parejas de espacios topologicos a lacategorıa de grupos abelianos

hn : TPO2 → GA

para n ∈ Z, junto con transformaciones naturales

∂ : hn(X,A)← hn−1(A)

para cualquier n ∈ Z y cualquier pareja de espacios (X,A) llamado homo-morfismo de conexion , satisfaciendo los siguientes axiomas

1. Axioma (Naturalidad) Para cualquier aplicacion f : (X,A)→ (Y,B)el diagrama siguiente conmuta

hn(X,A)fn→ hn(Y,B)

↓ ∂ ↓ ∂hn−1(A)

(f |A)n−1

→ hn−1(B)

2. Axioma (exactitud )Para cualquier pareja de espacios (X,A) existeuna sucesion exacta larga

...← hn+1(X,A)∂n+1

→ hn(A)in→ hn(X)

jn→ hn(X,A)∂n→ ..

donde i : (A, φ) → (X,φ) y j : (X,φ) → (X,A) son las aplicacionesinclusion


3. Axioma (homotopıa ) Si f, g : (X,A) → (Y,B) son aplicacioneshomotopicas , f ' g entonces f ∗ = g∗ : h∗(X,A)← h∗(Y,B)

4. Axioma (Escision) Si U es un sub conjunto abierto de X cuya clausuraU esta contenido en el interior de A, Int(A),( esto es, U ⊆ V ⊆ A paraalgun conjunto abierto V)entonces la inclusion j : (X − U,A − U) →(X,A) induce un isomorfismo

j∗ : hn(X − U,A− U)← hn(X,A)

para cada n ∈ Z

5. Axioma (dimension) Sea P un espacio que consiste de un solo punto,entonces hn(P ) = 0 para n 6= 0

Una teorıa de cohomologıa generalizada es una teorıa de cohomologıa h∗

que satisface los primeros cuatro axiomas execpto el axioma de la dimensionUna teorıa de cohomologıa ordinaria es una teorıa de cohomologıa h∗

que satisface los cinco axiomas

En este caso , h∗(X,A) se denomina la cohomologıa de la pareja (X,A)con coeficientes en G = h0(P ) y es denotado por H∗(X,A;G). EscribiremosH∗(X,A) para la cohomologıa entera H∗(X,A;Z) que estudiaremos en elproximos capıtulos

3.2. Homologıa de complejo de cadenas

Definicion 3.2.1 Un complejo de cadenas C = (Cq, ∂q) es un par desucesiones: una de grupos abelianos (Cq)q∈Z y otra de homomorfismos ∂q :Cq → Cq−1 tal que ∂q−1∂q = 0 para toda q ∈ Z.

Con frecuencia un complejo de cadenas es representado por un diagramade la forma

....∂q+2→ Cq+1

∂q+1→ Cq∂q→ Cq−1

∂q−1→ .....

A los elementos de Cq se denominan q-cadenasEn las aplicaciones de estas nociones usualmente se considera Cq = 0 si

q < 0 ,esto es,

C : ....Cq∂q→ Cq−1 → ......

∂2→ C1∂1→ C0 → 0

en este caso se denomina complejo de cadenas no negativo

52 complejo de cadenas

Definicion 3.2.2 Un complejo de cadenas aumentado es un complejode cadenas no negativo con un epimorfismo η : C0 → Z tal que η ∂1 = 0.

A un complejo de cadenas C = (Cq, ∂q) esta asociada de modo naturalciertos subgrupos de Cq en cada dimension q.

Zq(C) = Ker∂q

Bq(C) = Im∂q+1

A los elementos de Zq(C) se denominan q- ciclos del complejo C y a losde Bq(C) q-bordes del complejo C.

Definicion 3.2.3 De la condicion ∂q∂q+1 = 0 , para todo q, tenemos Bq(C) ⊂Zq(C). Al grupo cociente

Hq(C) =Zq(C)

Bq(C)

Se denomina el q-esimo grupo de homologıa del complejo CLos elementos de Hq(C) se denominan clases de homologıa y si z ∈ Zq(C) ,la clase de homologia a la cual z pertenece es denotada por z +Bq(C)

Definicion 3.2.4 Dados dos complejos de cadenas (cq, ∂q) y C ′ = (c′q, ∂′q).

Una aplicacion de cadenas φ : C → C ′ es una familia de homomorfismosφ = (φq)q∈Z donde φq : Cq → C ′q es tal que ∂′q φq = φq−1 ∂q, para todaq ∈ Z

Podemos imaginar a una aplicacion de cadenas φ : C → C ′ como unaescalera

...→ cq+1∂q+1→ cq

∂q→ cq−1 → ....↓ φq ↓ φq ↓ φq−1

...→ c′q+1

∂′q+1→ c′q∂′q→ c′q−1 → ...

sujeto a la condicion que cada cuadrado de este diagrama constituye unasubdiagrama conmutativo

Proposicion 3.2.1 Sean φ : C → C ′ , φ′ : C ′ → C ′′ dos aplicaciones decadenas , entonces φ′ φ : C → C ′′ es una aplicacion de cadenas


Demostracion .Sean C = (Cq, ∂q)q∈Z , C ′ = (C ′q, ∂′q)q∈Z y C ′′ = (C ′′q , ∂

′′q )q∈Z,

como φ = (φq) y φ′ = (φ′q) .Definamos

(φ φ′)q = φ′q φq

∀q ∈ Zluego

(φ φ′)q−1∂q = φ′q−1 (φq−1 ∂q)= (φ′q−1 ∂′q) φq= ∂′′q (φ′q φq)= ∂′′q (φ′ φ)q

Definicion 3.2.5 Sea C = (Cq, ∂q) un complejo de cadena .Un sub com-plejo de cadena es una sucesion de subgrupos Dq ⊂ Cq y de homomorfismo∂′q : Dq → Dq−1 tal que ∂′q = ∂q |Dq

Una sucesion de subgrupos Dq ⊂ Cq define un subcomplejo sı y solo si esestable en relacion a los ∂q, es decir ,∂q(Dq) ⊂ Dq−1

Definicion 3.2.6 Dado un subcomplejo D ⊂ C el complejo cociente E =CD

es el complejo de cadena E = (Eq, ∂q)q∈Z donde

Eq =CqDq

y ∂q : Eq → Eq−1

se obtiene de ∂q pasando al cociente ( visto que ∂q(Dq) ⊂ Dq−1)

A los elementos de Eq = CqDq

denotaremos por c + Dq donde c ∈ Cq y ∂qactua segun la formula

∂q(c+Dq) = (∂q(c)) +Dq−1

Se verifica inmediatamente que ∂q−1 ∂q = 0

La operacion de suma esta dada por:

c+Dq + c′ +Dq = (c+ c′) +Dq

Proposicion 3.2.2 Dada una aplicacion de cadenas φ : C → C ′

1. (φq(Cq)) define un subcomplejo de C ′

2. (Ker(φq))define un subcomplejo de C

54 complejo de cadenas

Demostracion Sean C = (Cq, ∂q) , C ′ = (C ′q, ∂q) y Gq = φq(Cq)(1).- Veamos ∂′q(Gq) ⊂ Gq−1, en efecto, sea x ∈ ∂′q(Gq) entonces existe y ∈ Gq,y = φq(z) para algun z ∈ Cq tal que x = ∂′q(y) de aquı x = ∂′q(y) =∂′q(φq(z)) = φq−1 ∂q(z) ∈ Gq−1

(2).- Veamos ∂′q(Ker(φq)) ⊂ Ker(φq−1) , en efecto, sea x ∈ ∂′q(Ker(φq)),x = ∂′q(y) para algun y ∈ Ker(φq), φq(y) = 0 tenemos

φq−1(x) = φq−1 ∂′q(y) = ∂′q φq(y) = ∂′q(0) = 0

Estos subcomplejos seran denotadas por:

Ker(φ) = (Ker(φq), ∂q) y Im(φ) = (φq(Cq), ∂′q)

Definicion 3.2.7 Una sucesion

Af→ B

g→ C

de grupos abelianos y homomorfismos es una sucesion exacta en B siIm(f) = Ker(g)

Una sucesion exacta de la forma

0→ Af→ B

g→ C → 0

se denomina una sucesion exacta corta

Definicion 3.2.8 Una sucesion exacta corta se denomina escindible o se-parable si una de las siguientes condiciones equivalentes se tiene

1. Existe un homomorfismo h : B → A tal que h f = idA

2. Existe un homomorfismo γ : C → B tal que g γ = idC

Definicion 3.2.9 Un complejo de cadena C es un complejo acıclico siHq(C) = 0 para toda q

Definicion 3.2.10 Si C = (Cq, ∂q) ,C ′ = (C ′q, ∂′q) ,C ′′ = (C ′′q , ∂

′′q ) son com-

plejos de cadenas, φ = (φq) : C → C ′, ψ = (ψq) : C ′ → C ′′ aplicaciones decadenas . Diremos que la sucesion

Cφ→ C ′

ψ→ C ′′

es exacta si la sucesionCq φ−→ C ′q ψ−→C

′′q

es exacta para cada q, es decir, Im(φq) = Ker(ψq)

homologıa de complejo de cadenas 55

Ejemplo 19 Si D es un subcomplejo de C , i = (iq) donde iq : Dq → Cq lasinclusiones, i : D → C es una aplicacion de cadenas.

Ejemplo 20 Sea E = CD

el complejo cociente , j = (jq) donde jq : Cq → Eqlas proyecciones entonces j : C → E = C

Des una aplicacion de cadenas.

Proposicion 3.2.3 La sucesion 0→ Di→ C

j→ CD→ 0 es exacta.

Demostracion.- Para cada q la sucesion de grupos abelianos 0→ Dqiq→

Cqjq→ Cq

Dq→ 0 es exacta.

Consideremos dos pares de complejos de cadena D ⊂ C , D′ ⊂ C ′, unaaplicacion de cadenas φ : C → C ′ tal que φ(D) ⊂ D′ induce una aplicacionen el cociente

φq :CqDq

→C ′qD′q

Proposicion 3.2.4 Si φ : (C,D) → (C ′, D′) es una aplicacion de pares decadenas entonces φ : C

D→ C′

D′es una aplicacion de cadenas

DemostracionVeamos la conmutatividad del siguiente diagrama

CqDq

φq→ C′qD′q

↓ ∂q ↓ ∂′qCq−1

Dq−1

φq−1→ C′q−1

D′q−1

en efecto

∂′q φq(c+Dq) = ∂′q(φq(c)) +D′q−1 = φq−1 ∂q(c) +D′q−1 = φq−1 ∂q(c+Dq)

3.3. Homomorfismo inducido

Sea φ = (φq) : C = (Cq, ∂q)→ C ′ = (C ′q, ∂′q) una aplicacion de cadenas ,la

relacion ∂′qφq = φq−1∂q implica φq(Zq(C)) ⊂ Zq(C′) y φq(Bq(C)) ⊂ Bq(C

′)luego φq : Cq → C ′q para cada q, induce de modo natural un homomorfismode grupos de homologıa

Hq(φ) : Hq(C)→ Hq(C′)

Hq(φ)(cq +Bq(C)) = φq(cq) +Bq(C′)

denominado homomorfismo inducido

56 homomorfismo inducido

Proposicion 3.3.1 El homomorfismo inducido tiene las siguientes propie-dades:

1. Si φ : C → C es la identidad ,entonces Hq(φ) es la identidad

2. Si φ : C → C ′ es nula ,entonces Hq(φ) es nula.

3. Si φ : C → C ′ y ψ : C ′ → C ′′ son aplicaciones de cadenas entonces

Hq(ψ φ) = Hq(ψ) Hq(φ)

Por comodidad denotaremos por φ? en lugar de H(φ) para el homomor-fismo inducido en homologıa por φ

Demostracion (1).- φ?q(cq +Bq(C)) = φq(cq) +Bq(C) = cq +Bq(C)

(2).- φ?q(cq +Bq(C)) = φq(c) +Bq(C′) = Bq(C

′) pues φ es nula

(3).- (ψφ)?q(cq+Bq(C)) = (ψφ)q(cq)+Bq(C′′) = ψ?q(φ?q(cq+Bq(C)) =

ψ?q φ?q(cq +Bq(C)

Proposicion 3.3.2 Sean φ ,ψ : C → C ′ aplicaciones de cadenas, entoncesψ + φ : C → C ′ es una aplicacion de cadenas,y

(ψ + φ)? = ψ? + φ?

Demostracion Sean C = (Cq, ∂q),C′ = (C ′q, ∂

′q) ,φ = (φq),ψ = (ψq).Veamos

ψ+φ es una aplicacion de cadenas, en efecto, ∂′q(ψq+φq) = ∂′qψq+∂′qφq =ψq−1 ∂q + φq−1 ∂q = (ψq−1 + φq−1) ∂q

Veamos (ψ + φ)? = ψ? + φ?, en efecto,

(ψ + φ)?q(cq +Bq(C)) = (ψq + φq)(cq) +Bq(C′)

= ψq(cq) + φq(cq) +Bq(C′)

= ψ?(cq +Bq(C)) + φ?(cq +Bq(C))

Teorema 3.3.1 Si 0 → Ai→ B

j→ C → 0 es una sucesion exacta decomplejos de cadenas, entonces

.......→ Hq(A)i?→ Hq(B)

j?→ Hq(C)∆→ Hq−1(A)

i?→ .........

es una sucesion exacta larga de grupos de homologia


Demostracion Para definir el homomorfismo conexion ∆. Consideremosel siguiente diagrama

↓ ↓ ↓0 → Aq+1

iq+1→ Bq+1jq+1→ Cq+1 → 0

↓ ∂q+1 ↓ ∂′q+1 ↓ ∂′′q+1

0 → Aqiq→ Bq

jq→ Cq → 0↓ ∂q ↓ ∂′q ↓ ∂′′q

0 → Aq−1iq−1→ Bq−1

iq−1→ Cq−1 → 0↓ ∂q−1 ↓ ∂′q−1 ↓ ∂′′q−1

0 → Aq−2iq−2→ Bq−2

jq−2→ Cq−2 → 0↓ ↓ ↓

sea cq + Bq(C) ∈ Hq(C) con cq ∈ Zq(C) o sea ∂′′q (cq) = 0 Como jqes epimorfismo existe bq ∈ Bq tal que jq(bq) = cq. Tenemos 0 = ∂′′q (cq) =∂′′q jq(bq) = jq−1∂

′q(bq) o sea ∂′q(bq) ∈ Ker(jq−1) = Im(iq−1) lo que implica que

existe aq−1 ∈ Aq−1 tal que iq−1(aq−1) = ∂′q(bq). Veamos que ∂q−1(aq−1) = 0,en efecto, 0 = ∂′q−1∂

′q(bq) = ∂′q−1iq−1(aq−1) = iq−2∂q−1(aq−1) y como iq−2 es

monomorfismo se tiene ∂q−1(aq−1) = 0Definamos

∆(c+Bq(C)) = aq−1 +Bq−1(A)

Veamos que ∆ esta bien definida, en efecto, si c′q = cq +Bq(C) existe b′q ∈ Bq

tal que j′q(bq) = c′q y iq−1(a′q−1) = ∂′q(b′q) como c′q − cq = ∂′′q (cq+1) para algun

elemento cq+1 ∈ Cq+1 y jq+1 es sobre existe bq+1 ∈ Bq+1 tal que jq+1(bq+1) =cq+1

Ahora

jq(b′q − bq − ∂′q+1(bq+1) = jq(b

′q)− jq(bq)− jq∂′q+1bq+1

= c′q − cq − ∂′′q+1jq+1(bq+1)= c′q − cq − ∂′′q+1(cq+1)= c′q − cq − c′q + cq = 0

luego b′q− bq − ∂′q+1(bq+1) ∈ Kerjq = Im(iq) o sea b′q − bq − ∂′q+1(bq+1) =iq(aq) para algun aq ∈ AqPor otra parte

iq−1(a′q−1 − aq−1 − ∂q(aq)) = iq−1(a′q−1)− iq−1(aq−1)− iq−1∂q(aq)= iq−1(a′q−1)− iq−1(aq−1)− ∂′qiq(aq)= ∂′q(bq)− ∂′q(bq)− ∂′q(b′q − bq − ∂′q+1(bq+1))= 0

58 homomorfismo inducido

como iq−1 es monomorfismo a′q−1−aq−1 = ∂q(aq) o sea a′q−1 = aq−1+Bq−1(A)loque prueba que ∆ esta bien definida

Veamos la exactitud en Hq(B) o sea Im(i?) = Ker(j?), en efecto,j?qi?q = (jqiq)? = 0 esto prueba Im(i?) ⊂ Ker(j?) Para la otra inclusiontomemos un elemento bq + Bq(B) ∈ Ker(j?q),∂′q(bq) y j?q(bq + Bq(B)) = 0,probemos que bq +Bq(B) ∈ Im(i?), en efecto,tenemos

0 = j?q(bq +Bq(B)) = jq(bq) +Bq(C)

de donde se deduce jq(bq) ∈ Bq(C), esto es , jq(bq) = ∂′′q+1(cq+1) para alguncq+1 ∈ Cq+1 .Como jq+1 es sobre existe bq+1 ∈ Bq+1 tal que jq+1(bq+1) = cq+1

luego

jq(bq) = ∂′′q+1(cq+1)= ∂′′q+1jq+1(bq+1)= jq(∂

′q+1(bq+1))

de aqui se deduce que bq−∂′q+1bq+1 ∈ Ker(jq) = Im(iq) luego bq−∂′q+1bq+1 =iq(aq) para algun aq ∈ Aq

iq−1∂q(aq) = ∂′qiq(aq)= ∂′q(bq − ∂′q+1bq+1)= ∂′q(bq)= 0

y como iq−1 es monomorfismo ∂q(aq) = 0 o sea aq es un ciclo,pasandoa clases aq + Bq(A) ∈ Hq(A) luego i?q(aq + Bq(A)) = bq + Bq(B) o seabq + Bq(B) ∈ Im(i?) Veamos la exactitud en Hq(C) o sea Im(j?) =Ker(∆) .Para probar la inclusion Ker(∆) ⊂ Im(j) tomemos un elemen-to cq +Bq(C) ∈ Ker(∆), ∂q(cq) = 0. Veamos cq +Bq(C) ∈ Im(j), en efecto ,0 = ∆(cq +Bq(C)) = aq−1 +Bq−1(A) donde jq(bq) = cq y iq−1(aq−1) = ∂′q(bq)luego aq−1 ∈ Bq−1(A) ,esto es , aq−1 = ∂′q(aq) para algun aq ∈ Aq

jq(bq − iq(aq)) = jq(bq)− jqiq(aq)= jq(bq)= cq

de donde

j?((bq − iq(aq)) +Bq(B)) = jq(bq − iq(aq)) +Bq(C)= cq +Bq(C)


o sea cq +Bq(C) ∈ Im(j?). Para probar la inclusion Im(j?) ⊂ Ker(∆) bastaprobar ∆j? = 0, en efecto ,sea bq +Bq(B) ∈ Hq(B), ∂′q(bq) = 0, luego

∆j?(bq +Bq(B)) = ∆(jq(bq) +Bq(B))= aq−1 +Bq−1(A)= Bq−1(A) pues aq−1 = 0

Veamos la exactitud en Hq−1(A) o sea Im(∆) = Ker(i?). Para probarIm(∆) ⊂ Ker(i?) basta probar i?∆ = 0, en efecto,sea cq + Bq(C) ∈ Hq(C),∂′′(cq) = 0

i?∆(cq +Bq(C)) = i?(aq−1) +Bq−1(B)= iq−1(aq−1) +Bq−1(B)= ∂′(bq) +Bq−1(B)= Bq−1(B)

Para probar que Ker(i?) ⊂ Im(∆)tomemos un elemento arbitrario aq−1+Bq−1(A) ∈ Ker(i?q), ∂q−1(aq−1) = 0 veamos aq−1 + Bq−1(A) ∈ Im(∆), enefecto, 0 = i?q(aq−1 + Bq−1(A)) = iq−1(aq−1) + Bq−1(B) esto implica queiq−1(aq−1) ∈ Bq−1(B), esto es, iq−1(aq−1) = ∂′q(bq) para algun bq ∈ Bq

Tenemos∂′′q jq(bq) = iq−1∂

′q(bq)

= jq−1iq−1(aq−1)= 0

pasando al cociente tenemos jq(bq) + Bq(C) ∈ Hq(C) luego ∆(jq(bq) +Bq(C)) = aq−1 +Bq−1(A) lo que prueba Ker(i?) ⊂ Im(∆)

Proposicion 3.3.3 -Si

0→ Ai→ B

j→ C → 0↓ f ↓ g ↓ h

0→ A′i′→ B′

j′→ C ′ → 0

es un diagrama conmutativo de aplicaciones de cadenas con filas exactas,entonces

..→ Hq(B)j?→ Hq(C)

∆→ Hq−1(A)i?→ Hq−1(B) → ..

↓ g? ↓ h? ↓ f? ↓ g?..→ Hq(B

′)j′star→ Hq(C

′)∆′→ Hq(A

′)i′star→ Hq(B

′) → ..

es tambien un diagrama conmutativo

60 homotopia de cadenas

Demostracion. Como i′f = gi por la proposicion 1.5 i′?f? = (i′f)? =(gi)? = g?i?, de la misma manera h?j? = j′?g? .Veamos ∆h? = f?∆ ,en efecto,

f?∆(cq +Bq(C)) = f?(aq−1 +Bq−1(A))= fq−1(aq−1) +Bq−1(A′)= ∆(hq(cq) +Bq(C

′))= ∆h?(cq +Bq(C))

3.4. Homotopıa de cadenas

Si C = (Cq, ∂q) y C ′ = (C ′q, ∂′q) son complejos de cadena podemos deter-

minar un nuevo complejo de cadena

Hom(C,C ′) = (Hom(C,C ′)q, ∂′′q )

donde Hom(C,C ′)q =∏

m∈Z Hom(Cm, C′q+m) , esto es, un elemento f de este

grupo es una sucesion

f = fm : Cm → C ′q+m

de homomorfismos.

∂′′q : Hom(C,C ′)q → Hom(C,C ′)q−1

esta definido por

∂′′q (f) = ∂′q+mfm − (−1)qf −m− 1∂mq∈Z

resulta ∂′′q ∂′′q+1 = 0 , Z0(Hom(C,C ′)) consiste de todas las aplicaciones de

cadenas C → C ′ , esto es, una aplicacion de cadenas f : C → C ′ es un 0-ciclo, decir que dos aplicaciones de cadenas f, g : C → C ′ son homologas significaque existe H ∈ Hom(C,C ′)1 tal que ∂′′1 = f − g a esta nocion se denominahomotopıa de cadenas

Definicion 3.4.1 Dadas dos aplicaciones de cadenas

f, g : C = (Cq, ∂q)→ C ′ = (C ′q, ∂′q)

una homotopıa de cadenas H de f a g ,denotada por H : f ' g es unasucesion de homomorfismos H = (hq) donde hq : Cq → C ′q+1 tal que , paratodo q.

∂′qhq + hq−1∂q = fq − gq


Diremos que f y g son homotopicos si tal H existe

Proposicion 3.4.1 La relacion de homotopıa de cadenas ' es una relacionde equivalencia

DemostracionReflexiva: 0 : f ' f

Simetrica:H : f ' g ⇒ −H : g ' f

Transitiva:H : f ' g y T : g ' k ⇒ H + T : f ' k

Denotaremos por [f ] la clase de homotopıa de f

Proposicion 3.4.2 Si f ' g : C → C ′ y f ′ ' g′ : C ′ −→ C ′′ entoncesf ′f ' g′g

Demostracion Si H : f ' g tenemos f ′H : f ′f ' f ′gSi H ′ : f ′ ' g′ tenemos H ′g : f ′g ' g′g por la transitividad de la relacion deequivalencia ' resulta f ′f ' g′gSi se verifica la relacion dada en la proposicion 1.9 diremos que la relacionde homotopıa es compatible con la composicion

Proposicion 3.4.3 Si f, g : C → C ′ son homotopicos de cadena entonces

f? = g? : H?(C)→ H?(C′)

Demostracion Sea cq +Bq(C) ∈ Hq(C) , ∂q(cq) = 0

(f?q − g?q)(cq +Bq(C)) = fq(cq)− gq(cq) +Bq(C′)

= (∂′q+1hq + hq−1∂q)(cq) +Bq(C′)

= (∂′q+1hq(cq) + hq−1∂q(cq)) +Bq(C′)

= ∂′q+1hq(cq) +Bq(C′)

= Bq(C′)

Definicion 3.4.2 Una aplicacion de cadenas f : C → C ′ es una equivalen-cia homotopica si existe g : C ′ → C aplicacion de cadena tal que fg ' idC′y gf ' idC

Proposicion 3.4.4 Si f : C → C ′es una equivalencia homotopica entoncesf? : H?(C)→ H?(C

′) es un isomorfismo


Demostracion . Como fg ' idC′ y gf ' idC se tiene f?g? = (fg)? =(idC′)? = id y g?f? = (gf)? = (idC)? = id lo que prueba que f? es unisomorfismo

Definicion 3.4.3 Un complejo de cadenas C es contractible si idC ' 0o equivalentemente C ' 0

Proposicion 3.4.5 Si C es contractible entonces H?(C) = 0

Demostracion . Como idC ' 0 tenemos

id = (idC)? = 0? = 0 : H?(C)→ H?(C)

Proposicion 3.4.6 Si H y G son grupos abelianos y tenemos

Hf→ G

g→ H

son tales que gf = idH , entonces G = f(H)⊕Ker(g) y f : H∼=→ f(H)

Demostracion .Dado x ∈ G , x− fg(x) ∈ Ker(g) luego x = fg(x) + y, y ∈ Ker(g) .Veamos f(H) ∩Ker(g) = 0, en efecto, z = f(t) para algunt ∈ H y g(z) = 0 luego 0 = g(z) = gf(t) = idH(t) = t de aquı z = f(0) = 0 .Ahora veamos que f es monomorfismo , esto es, Ker(f) = 0, en efecto , seay ∈ Ker(f),f(y) = 0 de aquı y = idH(y) = gf(y) = g(0) = 0 luego y = 0

Proposicion 3.4.7 Sea C un complejo acıclico , esto es, H?(C) = 0 en-tonces C ' 0 sı y solo si para todo q , Zq(C) es un sumando directo deCq

Demostracion (⇒) Sea H : idC ' 0 ,es decir ,H = (hq) y los hq verificanla igualdad ∂qhq−1 +hq−2∂q−1 = idCq−1 . Para cada bq−1 ∈ Bq−1(C) = Im∂q =Ker∂q−1 , ∂q−1(bq−1) = 0, ∂qhq−1(bq−1)+hq−2∂q−1(bq−1) = idCq−1(bq−1) = bq−1

luego ∂qhq−1(bq−1) = bq−1 o sea ∂qhq−1 |Bq−1(C)= idBq−1(C) por la proposicion1.13

Cq = hq−1(Bq−1(C))⊕ Zq(C)

lo que prueba Zq(C)es un sumando directo de Cq(⇐)Sea Zq(C) un sumando directo de Cq . Veamos C ' 0 , en efecto, existetq−1 : Bq−1(C)→ Cq con ∂qtq−1 = idBq−1(C) es decir,

Cq = tq−1(Bq−1(C))⊕ Zq(C)= tq−1(Bq−1(C))⊕Bq(C)


Definamos para cada q , hq : Cq → Cq+1 tal que ∂q+1hq + hq−1∂q = idCq , enefecto, definamos

hq |Bq(C) = tqhq |tq−1(Bq−1(C)) = 0

Para cada bq ∈ Bq(C) = Zq(C), ∂q(bq) = 0, luego

∂q+1hq(bq) + hq−1∂q(bq) = ∂q+1tq(bq)= bq

Para cada x ∈ tq−1(Bq−1(C)) ,x = tq−1(bq−1) para algun bq−1 ∈ Bq−1(C) =Zq−1(C) luego

∂q+1hq(x) + hq−1∂q(x) = hq−1∂q(x)= hq−1∂q(tq−1(bq−1))= hq−1(bq−1)= tq−1(bq−1)= x

esto prueba ∂q+1hq + hq−1∂q = idCq

Definicion 3.4.4 Si f : C = (Cq, ∂q) → C ′ = (C ′q, ∂′q) es una aplicacion de

cadenas definamos un nuevo complejo de cadena Cf , la Aplicacion Conode f

(Cf )q = C ′q ⊕ Cq−1, ∂′′q (y, x) = (∂′q(y) + fq−1(x),−∂q−1(x))

Tenemos

∂′′q+1 ∂′′q (y, x) = ∂′′q+1(∂′q(y) + fq−1(x),−∂q−1(x))= (∂′q+1(∂′q(y) + fq−1(x)) + fq(−∂q−1(x)), ∂q(−∂q − 1(x)))= (∂′q+1 ∂′q(y) + ∂′q+1 fq−1(x)− fq∂q−1(x), ∂q(∂q−1(x)))= (0, 0)

Si C ′ = 0 ,f = 0 entonces C+ = Cf se denomina Suspension de C

C+q = Cq−1, ∂+

q = −∂q−1

luegoHq(C

+) = Hq−1(C)

A la aplicacion cono de la identidad , idC : C → C, Cid, se denominaCono de C y se denota Con(C)


Tenemos una sucesion exacta corta de complejo de cadenas

0→ C ′i→ Cf

p→ C+ → 0

las aplicaciones de cadenas dadas por

i(y) = (y, 0), p(y, x) = x

Lema 3.4.1 Si Cf ' 0 entonces i ' 0 y p ' 0

Demostracion .- Supongamos que Cf ' 0, esto es, idCf ' 0 entoncesexiste para cada q ∈ Z un homomorfismo

h′q : (Cf )q → (Cf )q+1

tal que∂′′q+1h

′q + h′q−1∂

′′q = id

Definamos un homomorfismo para cada q ∈ Z

hq : C ′q → (Cf )q+1

porhq(y) = h′q(y, 0)

tenemos

∂′′q+1hq(y) + hq−1∂′q(y) = ∂′′q+1h

′q(y, 0) + h′q−1(∂′q(y), 0)

= ∂′′q+1h′q(y, 0) + h′q−1(∂′′q (y, 0))

= (∂′′q+1h′q + h′q−1∂

′′q )(y, 0)

= id(y, 0)= (y, 0)= iq(y)

luego H = (hq)q∈Z : i ' 0Para la segunda parte definamos un homomorfismo para cada q ∈ Z

hq : (Cf )q → C+q+1

porhq = pq+1 h′q

tenemos

∂+q+1 hq + hq−1 ∂′′q = ∂+

q+1 pq+1 h′q + p h′q−1 ∂′′q= pq ∂′′q+1 h′q + pq h′q−1 ∂′′q= pq(∂

′′q+1 h′q + h′q−1 ∂′′q )

= pq id= pq

luego H = (hq)q∈Z : p ' 0


Proposicion 3.4.8 Si el cono de la aplicacion f : C = (Cq, ∂q) → C ′ =(C ′q, ∂

′) es contractible entonces f es una equivalencia homotopica

Demostracion Suponiendo Cf ' 0. Veamos la existencia de una aplica-cion de cadenas g : C ′ → C tal que g f ' idC y f g ' idC′ en efecto ,haciendo uso del lema 3.4.1 tenemos i ' 0,entonces existe una homotopıa decadenas H = (hq)q∈Z : i ' 0. Definamos para cada q ∈ Z

gq : Cq → C ′q y ϕq : C ′q → C ′q+1

por

hq(y) = (ϕq(y), gq(y))

tenemos

(y, 0) = iq(y)= ∂′′q+1 hq(y) + hq−1 ∂′q(y)= ∂′′q+1(ϕq(y), gq(y)) + (ϕq−1(∂′q(y)), gq−1(∂′(y)))= (∂′q(ϕq(y) + fq(gq(y)),−∂q(gq(y))) + (ϕq−1(∂′q(y)), gq−1(∂′q(y)))= (∂′q+1(ϕq(y) + fq gq(y) + ϕq−1(∂′q(y)), gq−1(∂′q(y))− ∂q(gq(y)))

por igualdad de pares

∂′q+1(ϕq(y) + fq gq(y) + ϕq−1(∂′q(y)) = y

gq−1(∂′q(y))− ∂q(gq(y)) = 0

luego

∂′q+1 ϕq + ϕq−1 ∂′q = id− fq gq

gq−1 ∂′q = ∂q gqesto prueba que existe una aplicacion de cadenas g = (gq)q∈Z : C ′ → C quees inverso derecho de f o sea f g ' id

Por otra parte por el mismo lema tenemos p ' 0 entonces existe unahomotopıa de cadenas H = (hq)q∈Z : p ' 0. Definamos para q ∈ Z

g′q : C ′q → Cq y ψq : Cq → Cq+1

por

hq(y, x) = g′q(y) + ψq−1(x)


tenemos

x = pq(y, x)

= (∂+q+1hq + hq−1∂

′′q )(y, x)

= ∂+q+1(g′q(y) + ψq−1(x)) + hq−1(∂′q(y) + fq−1(x),−∂q−1(x))

= ∂+q+1(g′q(y) + ψq−1(x)) + g′q−1(∂′q(y) + fq−1(x)) + ψq−2(−∂q−1(x))

= ∂+q+1 g′q(y) + ∂+

q+1 ψq−1(x) + g′q−1(∂′q(y) + g′q−1 fq−1(x))− ψq−2 ∂q−1(x)= (−∂q g′q + g′q−1 ∂′q)(y) + (−∂q ψq−1 + g′q−1 fq−1 − ψq−2 ∂q−1)(x)

luego

∂q ψq−1 + ψq−2 ∂q−1 = g′q−1 fq−1 − id

∂q g′q = g′q−1 ∂′qesto prueba la existencia de una aplicacion de cadenas g′ : C ′ → C inversoizquierdo de f o sea f g′ = idVeamos que g = g′, en efecto

g′ = g′ id = g′ (f g) = (g′ f) g = id g = g

Definicion 3.4.5 Un complejo de cadenas C = (Cq, ∂q) es libre si Cq eslibre para cada q ∈ Z

Proposicion 3.4.9 En un complejo libre C = (Cq, ∂q) el grupo de ciclosZq(C) es un sumando directo de Cq

Demostracion Los subgrupos de un grupo libre son libres por lo tantoBq(C) es libre entonces existe un homomorfismo g tal que la composicion

Bq−1(C)g−→ Cq

∂q−→ Bq−1(C)

∂q g = idBq(C). De la proposicion 3.4.6 Zq(C) es un sumando directo deCq

Proposicion 3.4.10 Si f : C −→ C ′ es una aplicacion de cadenas entoncesel homomorfismo conexion de la sucesion exacta

0 −→ C ′i−→ Cf

p−→ C+ −→ 0

coincide con f∗ : H∗(C) −→ H∗(C′)


Demostracion Consideremos el diagrama

0 → C ′qiq−→ Cfq

pq−→ C+q = Cq−1

↓ ∂′q ↓ ∂′′q ↓ ∂+q = ∂q−1

0 → C ′q−1

iq−1−→ Cfq−1

pq−1−→ C+q−1 = Cq−2

↓ ↓ ↓

Veamos que ∆ = f∗ , en efecto, sea cq−1+Bq−1(C) ∈ Hq−1(C), ∂q−1(cq−1) = 0,tenemos

∂′′q (c′q, cq−1) = (∂′q(c′q) + fq−1(cq−1),−∂q−1(cq−1))

= (∂′q(c′q) + fq−1(cq−1), 0), pues ∂q−1(cq−1) = 0

= iq(∂′q(c′q) + fq−1(cq−1))

luego aplicando la definicion del homomorfismo conexion 4 tenemos

∆(cq−1 +Bq−1(C)) = fq−1(cq−1) + ∂′q(c′q) +Bq−1(C ′)

= fq−1(cq−1) +Bq−1(C ′) pues ∂′q(c′q) ∈ Bq−1(C ′)

= f∗(cq−1 +Bq−1(C))

o sea 4 = f∗

Proposicion 3.4.11 Si f∗ : H∗(C) → H∗(C′) es isomorfismo donde f :

C → C ′ es una aplicacion de cadenas ,entonces Cf es acıclico

Demostracion .- Veamos que H∗(Cf ) = 0 , en efecto, consideremos lasucesion exacta de homologıa asociada a la sucesion exacta corta de complejode cadenas

0→ C ′i→ Cf

p→ C+ −→ 0

.→ Hq+1(C+)∆→ Hq(C

′)i∗→ Hq(Cf )

p∗→ Hq(C+)

∆→ Hq−1(C ′)‖ f∗ ‖ f∗

.→ Hq(C) Hq−1(C)

por la exactitud y como f∗ es isomorfismo Hq(C′) = Im(f∗) = Ker(i∗) y

Im(p∗) = Ker(f∗) , tenemos la sucesion exacta

Ker(f∗)→ Hq(Cf )→ Im(p∗)

veamos que Ker(i∗) = 0 , en efecto, sea c′q +Bq(C′) ∈ Ker(i∗) ,∂′q(c

′q) = 0

68 modelos acıclicos

0 = i∗(c′q +Bq(C

′)) = iq(c′q) +Bq(Cf )

de donde resulta iq(c′q) = 0 y como iq es monomorfismo c′q = 0 o sea

Ker(i∗) = 0Veamos Imp∗ = 0, en efecto , como f∗ es isomorfismo Kerf∗ = 0 luegoImp∗ = Kerf∗ = 0, luego obtenemos la sucesion exacta

0 −→ Hq(Cf ) −→ 0

por lo tanto H∗(Cf ) = 0

Proposicion 3.4.12 Si f : C → C ′ es una aplicacion de cadenas entrecomplejos de cadenas libres tal que f∗ : H∗(C) −→ H∗(C

′) es isomorfismoentonces f es una equivalencia homotopica

Demostracion Para que f sea equivalencia homotopica de acuerdo conla proposicion 3.4.8 basta probar Cf ' 0 , en efecto, como f∗ es isomorfismopor la proposicion 3.4.11, Cf es acıclico . Como la suma de dos grupos libreses libre tenemos (Cf )q = C ′q ⊕ Cq−1 es libre, luego por la proposicion 3.4.9Zq(Cf ) es sumando directo de (Cf )q. Concluimos por la proposicion 3.4.7 queCf ' 0

3.5. Teorema de modelos acıclicos

Definicion 3.5.1 Una categorıa con modelos es una categorıa Cjunto con un conjuntoM de objetos de C llamado modelos . Sea T : C →

GA un funtor covariante de la categorıa C a la categorıa de grupos abelianosUna base para T es un conjunto gjJ tal que gj ∈ T (Mj) para ciertoMj ∈M de modo que para todo objeto X de C el conjunto

T (f)gjj∈J,f∈Hom(Mj ,X)

es una base de T (X)

Diremos que T es un funtor libre con modelos en M si tiene una basecon modelos en MSea ahora ∂GA la categorıa de complejos de cadena y

T : (C,M)→ ∂GA

un funtor ,diremos que T es libre con modelos enM si cada funtor Tq eslibre con modelos en M para toda q


Diremos que T es aciclico en dimensiones positivas si Hq(T (M)) = 0 siq > 0 y M ∈M

Teorema 3.5.1 (Teorema de los modelos acıclicos )Sea C una categorıa con

modelos M. Sean T, T : C → ∂GA tales que T es libre y no negativo y T esacıclico en dimensiones positivas . Entonces toda transformacion natural

α : H0(T )→ H0(T )

esta inducido por una transformacion natural ϕ : T → T y si ϕ y ϕson dos transformaciones naturales inducen la misma transformacion naturalH0(T )→ H0(T ) entonces son naturalmente homotopicas , esto es, existe una

transformacion natural ∆ : T → T tal que ∆(X) es una homotopıa entreϕ(X) y ϕ(X) para todo objeto X

Demostracion.-(Existencia) Para cada objeto X de C definiremos una

aplicacion de cadenas ϕ(X) : T (X) → X de modo que si h : X → Y es unmorfismo en C entonces debe conmutar el siguiente diagrama

T (X)T (h)→ T (Y )

ϕ(X) ↓ ↓ ϕ(Y )

T (X)T (h)→ T (Y )

sea T (h) ϕ(X) = ϕ(Y ) T (h) Como T es libre y no negativo para cadaq ≥ 0 fijemos una base gjj∈J de Tq de modo que gj ∈ Tq(Mj) para algunMj ∈ M , esto es, cada grupo abeliano Tq(X) tiene como base al conjuntoTq(f)(gj)j∈Jq ,f∈Hom(Mj ,X)

El homomorfismoϕq(X) : Tq(X)→ Tq(X)

que queremos definir quedara determinado por

ϕq(X)(Σi,jni,jTq(fi,j)(gj)) = Σi,jni,jTq(fi,j)(ϕq(Mj)(gj)) ∗

si especificamos ϕq(Mj)(gj)j∈Jq

definiremos ϕq(X) por induccion en q tal que

ϕq−1(X) ∂ = ∂ ϕq(X)

Para q = 0 cualquier elemento de T0(Mj) es ciclo , en particular los gjcon j ∈ J0 son ciclos . Definamos ϕ0(Mj)(gj) ∈ T0(Mj) de tal manera que


[ϕ0(Mj)(gj)] = α(Mj)([gj]) extendemos a ϕ0(X) por ∗ . Veamos que ϕ inducea α, en efecto, si g ∈ g ∈ T0(X) entonces [ϕ0(X)(g)] = α(X)([g])

si j ∈ J1 entonces ϕ0(Mj)(∂gj) es una frontera en T0(Mj) podemos definir

ϕ1(Mj)(gj) ∈ T1(Mj) tal que

∂(ϕ1(Mj)(gj)) = ϕ0(Mj)(∂gj)

y extendemos por ∗ a ϕ1(X) : T1(X)→ T (X)supongamos que ϕi esta definido para i < q, q > 0 bastara definir ϕq(Mj)(gj)para j ∈ Jq tal que

∂(ϕq(Mj)(gj)) = ϕq−1(Mj)(∂(gj)) ∗ ∗

luego ϕq(X) queda determinado por ∗. El termino del lado derecho es un

ciclo en Tq−1(Mj) , por hipotesis Hq(T (Mj)) = 0, luego es una frontera porlo que ϕq(Mj(gj) podemos definir de tal manera que se cumple ∗∗ y por ∗tenemos definido ϕq(X) . Esto completa la demostracion de la primera parte

Unicidad.- Para cada objeto X de C definimos una homotopıa de cadenasD(X) : T (X) → T (X) de modo que si h : X → Y es un morfismo en Centonces conmuta el siguiente diagrama

T (X)T (h)→ T (Y )

D(X) ↓ ↓ D(Y )

T (X)T (h)→ T (Y )

o sea T (h) D(X) = D(Y ) T (h)el homomorfismo

Dq(X) : Tq(X)→ Tq+1(X)

que queremos definir quedara determinado por

Dq(X)(Σi,jni,jTq(fi,j)(gj)) = Σi,jni,jTq(fi,j)(Dq(Mj)(gj)) ∗ ∗∗

definiremos Dq(X) por induccion en q tal que

∂q+1Dq(X) +Dq−1(X)∂q = ϕq(X)− ϕ(X)

por hipotesis ϕ y ϕ inducen la misma transformacion naturalH0(T )→ H0(T ) entonces para j ∈ J0 ,ϕ0(Mj)(gj)− ϕ0(Mj)(gj) debe ser una

frontera , podemos definir D0(Mj)(gj) ∈ T1(Mj) tal que

∂D0(Mj)(gj) = ϕ0(Mj)(gj)− ϕ0(Mj)(gj)


y extendemos a D0(X) por ∗ ∗ ∗

supongamos definido Dr(X) para r < q , q > 0, bstara definir Dq(Mj)(gj)para j ∈ Jq tal que

∂q+1Dq(Mj)(gj) +Dq−1(Mj)∂q(gj) = ϕ0(Mj)(gj)− ϕ0(Mj)(gj)

luego Dq(X) queda determinado por ∗ ∗ ∗ , el termino ϕ0(Mj)(gj) −ϕ0(Mj)(gj)−Dq−1(Mj)∂q(gj) es un ciclo en Tq(Mj) , en efecto,

∂(ϕq(Mj)(gj)− ϕq(Mj)(gj)−Dj−1(Mj)∂q(gj)) =

= ∂(ϕq(Mj)(gj))− ∂q(ϕq(Mj)(gj))− ∂q(Dj−1(Mj)∂q(gj))= ϕq−1(Mj)∂q(gj)− ϕq−1(Mj)∂q(gj)− (ϕq−1(Mj)− ϕq−1(Mj)+

−Dq−2(Mj)∂q−1)∂q(gj)= −ϕq−1(Mj)∂q(gj) + ϕq−1(Mj)∂q(gj) +Dq−2(Mj)∂q−1∂q(gj)+

ϕq−1(Mj)∂q(gj)− ϕq−1(Mj)∂q(gj)= 0

por hipotesis Hq(T (Mj)) = 0 y como acabamos de probar que es un cicloresulta ser un borde por lo que Dq(Mj)(gj) podemos definir de tal maneraque

∂q+1(Dq(Mj)(gj)) = ϕq(Mj)(gj)− ϕq(Mj)(gj)Dq−1(Mj)∂q(gj)

y por ∗ ∗ ∗ definido Dq(X) : Tq(X)→ Tq+1(X) lo que completa la demos-tracion de la segunda parte

Capıtulo 4

HOMOLOGIA SINGULAR

4.1. Complejo singular

En este capıtulo construiremos un funtor covariante de la categorıa depares de espacios topologicos a la categorıa de grupos abelianos que verificantodos los axiomas de Eilenberg- Steenrod

En Rq+1 consideremos el subconjunto

∆q = (x0, x1, x2, .......xq) ∈ Rq+1 :

q∑i=0

xi = 1, xi ≥ 0

∆q es el q-simplejo estandard

Definamos transformaciones para i = 0, 1, ..., q

εiq : ∆q−1 → ∆q

εiq(x0, x1, ....., xq−1) = (x0, x1, ..., xi−1, 0, xi, ..., xq−1)

No es dificil verificar que:

εiq εjq−1 = εjq εi−1

q−1 si 0 ≤ j < i ≤ q

Definicion 4.1.1 Para q ≥ 0, q-simplejo singular en un espacio topologi-co X es una aplicacion continua

σq : ∆q → X

73

74 complejo singular

Para q > 0 , 0 ≤ i ≤ q , la i-cara de σq , ∂iσq, es el (q − 1)- simplejosingular σq εiq o sea

∂iσq = σq εiqSea ∆q(X) el grupo abeliano libre generado por los q-simplejos singulares

en X, denominado el grupo de q-cadenas singulares de X

Cualquier elemento c ∈ ∆q(X) tiene un unica representacion como unacombinacion lineal finita de q-simplejos singulares σq

c =∑

cσσq con cσ ∈ Z

Para q < 0 pondremos ∆q(X) = 0Definamos

∂q : ∆q(X)→ ∆q−1(X)

por

∂q(σq) =

q∑i=0

(−1)iσq εiq

Lema 4.1.1 ∂q−1∂q = 0

Demostracion .- Basta verificar en los generadores

∂q−1 ∂q(σq) = ∂q−1(∑q

i=0(−1)iσq) εiq)=

∑i,j(−1)j+i(σq εiq ε

jq−1)

=∑

j<i(−1)j+iσq εjq εi−1q−1 +

∑i≤j(−1)j+iσq εiq ε

jq−1

en el primer sumando reemplazamos i− 1 por j y j por i

=∑

i≤j(−1)j+i+1σ εi εj +∑

i≤j(−1)j+iσ εi εj= 0

como consecuencia inmediata del lema 4.1.1

Proposicion 4.1.1 ∆(X) = (∆q(X), ∂q) es un complejo de cadenas , deno-minado complejo singular de X

Definamos ε : ∆0(X) → Z por ε(α) = 1. Entonces ε da un agregado alcomplejo ∆(X)

homologıa singular 75

Definicion 4.1.2 Al grupo de homologıa del complejo de cadenas ∆(X)

Hq(X) = Hq(∆(X))

se denomina el q-esimo grupo de homologıa singular de X

Si f : X → Y es una aplicacion continua , f induce un homomorfismo

∆q(f) : ∆q(X)→ ∆q(Y )

al considerar

∆q(f)(σq) = f σqdonde σq : ∆q → X es un simplejo singular de X y el diagrama

∆q (X)f∆q(f)−→ ∆q (Y )

↓ ∂q ↓ ∂′q∆q (X)

∆q−1(f)−→ ∆q (Y )

conmuta, en efecto

∆q−1(f)(∂q(σq) = ∆q−1(f)(∑q

j=0(−1)jσq εj)=

∑qj=0(−1)j∆q−1(f)(σq εj)

=∑q

j=0(−1)jf σq εj= ∂′q ∆q(f)(σq)

como consecuencia tenemos la siguiente :

Proposicion 4.1.2∆(f) : ∆(X)→ ∆(Y )

es una aplicacion de cadenas

Como ∆(f) : ∆(X) → ∆(Y ) es una aplicacion de cadenas por seccion3,3 del capıtulo 3 ∆(f) induce un homomorfismo en homologıa Hq(∆(f)) :Hq(X)→ Hq(Y ) que sera denotado simplemente por f∗

Proposicion 4.1.3 Sean f : X → Y , g : Y → Z aplicaciones continuas ,idX : X → X la identidad , entonces

1. Hq(g f) = Hq(g) Hq(f) para todo q

2. Hq(idX) = id∆q(X) para todo q


Demostracion

Hq(g f)(σq) = g f σq= Hq(g)(f σq)= Hq(g) Hq(f)(σq)

Hq(idX)(σq) = idX σq = σq = id∆q(X)(σq).

Notacion: denotaremos por f] en lugar de ∆(f)

El complejo singular es un funtor

∆ : TOP → ∂GA

de la categorıa de espacios topologicos en la categorıa de complejos de cadenas

Tenemos un funtorH : ∂GA→ GA

que asocia a cada complejo de cadenas su grupo de homologıa

La composicion de los funtores ∆ con H es un funtor

H ∆ : TOP → GA

que a continuacion extenderemos a

H ∆ : TOP 2 → GA

que verificara los axiomas de Eilemberg - Steenrod

Proposicion 4.1.4 Sea (X,A) un pareja de espacios topologicos i : A→ Xes la aplicacion inclusion. Entonces i]q : ∆q(A)→ ∆q (X) es monomorfismo ∀q.

Demostracion .-VeamosKer (i]q) = 0. En efecto, sea σ ∈ Ker (i]q) entonces0 = i]q (σ) = iσ o sea iσ = 0 y como i es monomorfismo σ = 0.

Proposicion 4.1.5 Sea (X,A) una pareja de espacios topologicos .Si ∂q :∆q (X) −→ ∆q−1 (X)entonces ∂q (∆q(A)) ⊂ ∆q−1(A)

Demostraacion Sea σ ∈ ∂q (∆q(A)). Veamos σ ∈ ∆q−1(A),en efecto,σ = ∂q (σ′) para algun σ′ ∈ ∆q(A). tenemos


∂q (σ′) =∑q

j=0 (−1)j (σ′εj) ∈ ∆q−1(A)

de donde resulta σ ∈ ∆q−1(A).

Tenemos ∆(A). =(∆(A), ∂q |∆(A).

)q∈Z es un subcomplejo de ∆ (X)

Denotemos por ∆ (X,A) al complejo cociente ∆(X)∆(A)

o sea

∆q (X,A) = (∆q (X,A) , ∂q)

El homomorfismo ∂q (∆q(A)) ⊂ ∆q−1(A) induce en el cociente el homo-morfismo

∂q : ∆q (X,A) −→ ∆q (X,A)

tal que ∂q−1 ∂q = 0

Al complejo de cadenas ∆(X)∆(A)

se denomina complejo singular del par

(X,A)

Definicion 4.1.3 Al grupo de homologıa del complejo de cadenas ∆ (X,A), Hq (∆ (X,A)), se denomina q-esimo grupo de homologıa relativade X modulo A y se denota

Hq (X,A) = Hq (∆ (X,A))

Si A = φ , ∆ (X,A) = ∆ (X)

Teorema 4.1.1 El funtor

H ∆ : TOP 2 → GA

es una teorıa de homologıa , denominada homologıa singular

Demostracion.- Verificaremos en las secciones siguientes cada uno delos axiomas de Eilenberg - Steenrod

Para cada q ∈ Z ,tenemos una sucesion exacta corta de homomorfismos degrupos

0 −→ ∆q (A) −→ ∆q (X) −→ ∆q(X)

∆q(A)−→ 0

que da origen a una sucesion exacta corta de aplicaciones de cadenas


0 −→ ∆ (A) −→ ∆ (X) −→ ∆ (X,A) −→ 0

que a su vez por el teorema 3.3.1 del capitulo 3 da origen a una sucesionexacta larga homologıa

....... −→ Hq+1 (A) −→ Hq+1 (X) −→ Hq+1 (X,A) −→ Hq (A) −→ ....

denominada sucesion de homologıa del par (X,A)

Dada una aplicacion f : (X,A) → (Y,B) de parejas cada rectangulo delsiguiente diagrama conmuta

Hq+1(A) → Hq+1(X) → Hq+1(X,A) → Hq(A)(f |A)∗ ↓ f∗ ↓ f∗ ↓ ↓ (f |A)∗Hq+1(B) → Hq+1(Y ) → Hq+1(Y,B) → Hq(B)

Si consideramos una terna de espacios topologicos B ⊂ A ⊂ X ,escrito(X,A,B) . La sucesion exacta corta

0 −→ ∆ (A,B) −→ ∆ (X,B) −→ ∆ (X,A) −→ 0

de complejos de cadenas induce una sucesion exacta larga en homologıa.. −→ Hq+1 (A,B) −→ Hq+1 (X,B) −→ Hq+1 (X,A) −→ Hq (A,B) −→

..denominada sucesion de homologıa de la terna (X,A,B) .

Proposicion 4.1.6 Si X = pto es un espacio topologico formado por unsolo punto, entonces

Hq (X) =

Z si q = 00 si q 6= 0

Demostracion Para q ≥ 0 existe un solo simplejo singular en X , σq :

∆q −→ X ,para q > 0 y 0 ≤ j ≤ q tenemos ∆q−1εjq→ ∆qX, σq εjq =

σq−1, consideremos el complejo de cadenas

∆ (pto) : .... −→ ∆2 (pto) −→ ∆1 (pto) −→ ∆0 (pto) −→ 0

donde cada ∆q (pto) es un grupo ciclico infinito generado por σq.

El operador borde esta dada por


∂(σq) =∑q

j=0 (−1)j(σq εjq

)=

∑qj=0 (−1)j σq−1

o sea para q impar y par tenemos

∂(σ2q−1) = σq−1 − σq−1 + σq−1 − σq−1 + .......+ σq−1 − σq−1 = 0

∂(σ2q) = σq−1 − σq−1 + σq−1 − σq−1 + .......+ σq−1 − σq−1 = σq−1

Luego

Zq(pto) =

(σq ∼= Z) si q es impar o cero

0 si q es par mayor que cero

Bq(pto) =

(σq ∼= Z) si q es impar

0 si q es par

Hq(pto) =Zq(pto)

Bq(pto)=

Z si q = 00 si q ≥ 1

Definicion 4.1.4 Sean X un espacio topologico y P un punto , γ : X −→P una aplicacion constante; el homomorfismo inducido γ∗ : H∗(X) −→H∗(P ) se denomina aumentacion

Proposicion 4.1.7 Sea f : X −→ Y una aplicacion continua y si el si-guiente diagrama conmuta

Xf−→ Y

↓ γX ↓ γYP = P

entonces a nivel de inducido conmuta

H∗Xf∗−→ H∗Y

↓ γX∗ ↓ γY∗H∗P = H∗P

Ademas f∗(Ker(γX∗ )

)⊂ Ker

(γY∗)

Demostracion sea y ∈ f∗(Ker(γX∗ ) entonces y = f∗(x) para algun

x ∈ Ker(γX∗ ,γX∗ (x) = 0 luego γY∗ (y) = γY∗ (f∗(x)) = γX∗ (x) = 0 o seay ∈ Ker(γY∗ )


Definicion 4.1.5∼Hq (X) = Ker

(γX∗)

se denomina homologia reducidade X

Proposicion 4.1.8 Se tiene la siguiente relacion

Hq(X) =

Hq(X)

⊕Z si q = 0

Hq(X) si q 6= 0

Demostracion Si q 6= 0 tenemos ,γX∗ : Hq(X) −→ Hq(P ) = 0 luego

Hq(X) = Ker(γ(∗X)) = Hq(X)

Si q = 0 la aplicacion inclusion Pi→ X es un inverso derecho de γX∗ o sea

γX i = idP de donde resulta γX∗ i∗ = id Por la proposicion 3.4.6 tenemos

Hq(X) = Im(i∗)⊕Ker(γX∗ ) = Z ⊕ Hq(X)

Proposicion 4.1.9 .-Sea X un espacio con punto base x0 entonces

H0(X) = H0(X, x0)

Demostracion Consideremos la sucesion de homologıa del par (X, x0)

H1(X, x0) −→ H0(x0)i∗−→ H0(X)

j∗−→ H0(X, x0) −→ 0↓∼= ↓∼=Z Z⊕

∼H0 (X)

por el teorema fundamental del algebra tenemos

H0(X)j∗−→ H0(X, x0) −→ 0

↓ ∼=∼H0 (X) ∼= Z⊕

∼H 0(X)Z

= H0(X)Ker(j∗)=Im(i∗)

Proposicion 4.1.10 Sea X un espacio topologico , ∆ (X)es un complejo de cadenas aumentada

Demostracion .-Sea

∆ (X) : .. −→ ∆q (X) −→ .............. −→ ∆1 (X)∂1−→ ∆0 (X)

ηX−→ Z

donde ηX esta definido por ηX (σ0) = 1. Veamos que ηX ∂1 = 0 ,

en efecto, ηX∂1 (σ1) = ηX(∑1

j=0 (−1)j σ1 εj)

=∑1j=0 (−1)j ηX(σ1 εj) = ηX(σ1ε

0)− ηX(σ1 ε1) = 1− 1 = 0

OBSERVACION Z puede considerarse como un complejo de cadenasZ = (Cq, ∂q) donde Cq = 0 ∀q 6= 0 y C0 = Z ,∂q = 0 ∀q


Proposicion 4.1.11 Se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. ηP∗ γX∗ = ηX∗ donde P es un punto

2. ηP∗ es isomorfismo

3. Ker(γX∗ ) = Ker(ηX∗ )

Demostracion .- Consideremos el siguiente diagrama

∆0 (X)ηX−→ Z

↓ γX\ ηP

∆0 (X)

donde γX : X −→ P es la aplicacıon constante. Tenemos

ηPγX\ (σ0) = ηP (γXσ0)= 1= ηX (σ0)

de donde obtenemos ηP∗ γX∗ = ηX∗Para demostrar que ηP∗ es isomorfismo basta probar ηP : ∆ (P ) −→ Z esuna equivalencia homotopica, en efecto, definiendo ξ0 : Z −→ ∆0 (P ) porξ0 (1) = σ0 y considerando ξq = 0 para q 6= 0, tenemos ξ = (ξq) : Z −→∆ (P ) es una aplicacion de cadenas inverso a ηP

Proposicion 4.1.12 Sea X un subespacio convexo no vacio de Rn entoncesla aumentacion ηX : ∆ (X) −→ Z es una equivalencia homotopica. En par-

ticular∼Hq (X) = 0

Demostracion .- Bastara definir una aplicacion de cadenas∧P : Z −→

∆ (X) tal que ηX∧P' id ,

∧P ηX ' id ., en efecto, sea P ∈ X ,definamos

una aplicacion de cadenas

∧P : Z −→ ∆ (X)

por∧P (m) = mP, m ∈ Z


(los 0-simplejos pueden identificarse con los puntos de X)

Veamos ηX∧P' id, en efecto, ηX

∧P (m) = ηX (mP ) = mη (P ) = m

Veamos∧P ηX ' id,en efecto, debemos definir un homomorfismo

Pq : ∆q(X) −→ ∆q+1(X)

tal que

∂q+1 Pq + Pq−1 ∂q = id∆(X)−∧P ηX

lo que equivale probar las siguientes dos afirmaciones

1. ∂q+1 Pq = id∆(X) − Pq−1 ∂q para q > 0

2. ∂1 P0 = id∆(X) − (∧P ηX)0

Sea σ ∈ ∆q(X) definamos Pq(σ) = P • σ donde

P • σ : ∆q+1 → X

esta dada por

P • σq (x0, x1, .., xq+1) =

P si x0 = 1

x0P +(

(1− x0)σq

(x1

1−x0, .., xq+1

1−x0

))si x0 6= 1

luego

(P • σq) εi(x0, x1, ..., xq) = (P • σq)(x0, x1, ..., xi−1, 0, xi,..., xq)

=

σ(x0, ..., xq) si i = 0P si i = 1, q = 0P • (σ εi−1)(x0, ..xq) si i > 0, q > 0

para q > 0

∂q+1 Pq (σq) = ∂q+1 (P • σq)=

∑q+1i=0 (−1)i (P • σq) εi

= (P • σq)ε0 −∑q+1

i=0 (−1)i (P • σq)εi= σq − Pq−1 ∂q (σq)

luego ∂q+1Pq = id− Pq−1∂q ,aquı∧P η = 0.

para q = 0

∂1 P0 (σ0) = ∂1 (P • σ0)

=∑1

i=0 (−1)i (P • σ0)εi

= (P • σ0)ε0 − (P • σ0)ε1

= σ0 − (∧P η)0 (σ0)


pues (P • σ0)ε1 = P =∧P (1) =

∧P (ηX(σ0)) = (

∧P ηX)(σ0)

luego ∂1P0 = id− (∧P η)0

Corolario 4.1.1 Si X es un subespacio convexo no vacio de Rn entonces∼Hq (X) = 0 ∀q.

Demostracion .-Como ηX : ∆ (X) −→ Z es una equivalencia ho-

motopica ηX∗ : Hq(∆(X))∼=−→ Hq(Z ) , por otra parte , Hq(Z) = 0 para q 6=

0 y Z para q = 0 , y como∼Hq (∆(X)) = Hq(∆(X)) para q 6= 0 resulta

∼Hq (∆(X)) = 0 para q 6= 0

∼H0 (∆X) ⊕ Z =H0(∆X) ∼= H0(Z) = Z resulta

∼H0 (X) = 0

Corolario 4.1.2 Los complejos de cadenas ∆(∆q) y ∆(∆q×I) son acıclicos

4.2. Invariabilidad bajo homotopıa

Teorema 4.2.1 Si f, g : X −→ Y son aplicaciones continuas homotopicas,f ' g, entonces f∗ = g∗ : H∗(X)→ H∗(Y )

Demostracion .-De acuerdo a la proposicion 3.4.3 para demostrar quef∗ = g∗es suficiente probar f], g] : ∆(X)→ ∆(Y ) son aplicaciones homotopi-cos de cadenas,f∗ ' g∗ , en efecto, como f ' g existe una aplicacion continuaH : X × I → Y tal que H(x, 0) = f(x) , H(x, 1) = g(x) lo que es lo mismocada triangulo del diagrama siguiente es conmutativo

Xg0 ↓ f

X × I H→ Yg1 ↑ gX

o sea H g1 = g , H g0 = f donde g0(x) = (x, 0) , g1(x) = (x, 1) deaquı resulta

g] = (H g1)] = H g1] f] = (H g0)] = H] g0]

basta probar g0] ' g1] : ∆(X)→ ∆(X × I) para tener g] ' f]

Por induccion en q construiremos un homomorfismo

Tq : ∆q(X)→ ∆q+1(X × I)

tal que

84 invariabilidad bajo homologıa

1. ∂q+1Tq + Tq−1∂q = g0] − g1]

2. Para toda aplicacion f : X → Y el diagrama siguiente conmuta

∆q(X)Tq→ ∆q+1(X × I)

f] ↓ ↓ (f × idI)]∆q(Y )

Tq→ ∆q+1(Y × I)

Sea σq ∈ ∆q(X) un q- simplejo singular de X , σq : ∆q → X tenemos

σq] : ∆q(∆q)→ ∆q(X)

para iq ∈ ∆q(∆q) generador tenemos

iq 7−→ σq)](iq) = σq

Si el siguiente diagrama fuese conmutativo

∆q(∆q)σq]→ ∆q(X)

Tq ↓ ↓ Tq∆q+1(∆q × I)

(σq×idI)]→ ∆q+1(X × I)

tendriamosTq(σq) = Tq σq](iq) = (σq × idI)] Tq(iq)

Tq(σq) quedara definido si definimos Tq(iq) para iq ∈ ∆q(∆q) generador

Para q = 0 , ∆0 = ∗ , ∆1 = I

T0 : ∆o(∆0)→ ∆1(∆0 × I)

i0 7−→ T0(i0) = idI

Supongamos definido

Tk : ∆q(X)→ ∆q+1(X × I)

para 0 < k < q y todo X tal que

1. ∂q+1 Tk + Tk−1 ∂k = g0] − g1]

2. Para toda aplicacion f : X → Y el diagrama siguiente conmuta

∆k(X)Tk→ ∆k+1(X × I)

f] ↓ ↓ (f × idI)]∆k(Y )

Tk→ ∆k+1(Y × I)


Definamos Tq para q = k + 1 , la cadena

c = g0](iq)− g1](iq)− Tq−1(∂q(iq)) ∈ ∆q(∆q × I)

es un ciclo

∂q(c) = ∂q g0](iq)− ∂q g1](iq)− ∂q Tq−1(∂q(iq))= g0](∂q(iq))− g1](∂q(iq))− (g0](∂q(iq))− g1](∂q(iq))− Tq−2 ∂q−1(∂q(iq)))= 0

c ∈ Ker(∂q) = Im(∂q+1) puesto que Hq(∆q × I) = 0 para q > 0 podemosescoger b ∈ ∆q+1(∆q × I) tal que ∂q+1(b) = c . Definimos Tq(iq) = b

(∂q+1 Tq + Tq−1 ∂q)(iq) = ∂q+1(Tq(iq)) + Tq−1(∂q)(iq))= ∂q+1(b) + Tq−1 ∂q(iq)= c+ Tq−1 ∂q(iq)= g0](iq)− g1](iq)− Tq−1(∂q(iq)) + Tq−1 ∂q(iq)= g0](iq)− g1](iq)

4.3. Subdivision baricentrica

Definicion 4.3.1 El Baricentro de un q-simplejo estandard ∆q es el punto

Bq =(

1q+1

, 1q+1

, ............, 1q+1

)=∑q

i=0ei

q+1

donde ei = (0, ...., 0, 1, 0, ......, 0) son los vertices de ∆q

Definicion 4.3.2 Para cualquier espacio topologico X definamos homomor-fismos

βq : ∆q (X) −→ ∆q (X) q ≥ 0

como sigue :

β0 = id∆0(X)

βq (iq) = Bq.βq−1 (∂(iq))βq (σq) = σq (βq (iq))

donde σq : ∆q −→ X es un q- simplejo singular arbitrario, iq : ∆q −→ ∆q esla aplicacion identidad.

Al homomorfismo βq, q ≥ 0, se denomina subdivision baricentrica

Proposicion 4.3.1 La sucesion

86 subdivision baricentrica

βq : ∆q (X) −→ ∆q (X) q ≥ 0

es una aplicacion de cadenas natural

DemostracionSea f : X −→ Y una aplicacion continua . Veamos la conmutatividad

del siguiente diagrama

∆q (X)f]−→ ∆q (Y )

↓ βq ↓ βq∆q (X)

f]−→ ∆q (Y )

f] βq = βq f], en efecto

(f] βq)σq f (βq (σq))f(σq(βq(iq)))βq (f σq)(βq f])(σq)

Veamos por induccion en q que βq es una aplicacion de cadenas, esto es, debeconmutar el siguiente diagrama

∆q (X)βq−→ ∆q (X)

↓ ∂q ↓ ∂q∆q−1 (X)

βq−1−→ ∆q−1 (X)

∂q βq = βq−1 ∂q en efecto, para q = 0 es evidenteSupongamos que el resultado vale para k < q,esto es , ∂k βk = βk−1 ∂kVeamos que el resultado se tiene para q, en efecto , primero probaremos laconmutatividad del siguiente diagrama.

∆q (∆q)βq−→ ∆q (∆q)

↓ ∂q ↓ ∂q∆q−1 (∆q)

βq−1−→ ∆q−1 (∆q)

en efecto, sea iq ∈ ∆q(∆q), en la demostracion de la proposicion 3.6.12 se vio

∂(P • σ) = σ − P • ∂(σ)

aplicando esta igualdad tenemos


∂ (Bq • βq−1 (∂ (iq))) = βq−1 (∂ (iq))−Bq−1 • ∂ (βq−1 (∂q(iq)))= βq−1 (∂(iq))−Bq−1 • βq−2 ∂(∂(iq))= βq−1 (∂(iq))

Sea σq ∈ ∆q (X)

∂q βq (σq) = ∂q (σq (βq (iq)))= ∂q σq] (βq (iq))= σq] ∂q (βq (iq))= σq ∂q (βq (iq))= σq ∂q (Bq • βq−1 (∂q (iq)))= σq βq−1 (∂q (iq))= σq] (βq−1 (∂q (iq)))= βq−1 ∂q] (∂q (iq))= βq−1 ∂q (σq)

Proposicion 4.3.2 Si σ : ∆q −→ Rk es un simplejo lineal con verticesP0, P1, P2, ......, Pqentonces

1. ‖ P − P ′ ‖≤max ‖ P − Pi ‖ ∀P P ′ ∈ σ (∆q)

2. ‖ σ ‖≤max ‖ Pi − Pj ‖

Demostracion .-Tenemos P ′ =∑q

i=0 x′iPi con x′i ≥ 0∑q

i=0 x′i = 1. Luego

‖ P − P ′ ‖ = ‖ P −∑q

i=0 x′iPi ‖

= ‖∑q

i=0 x′i(P − Pi) ‖

≤∑q

i=0 ‖ x′i(P − Pi) ‖=

∑qi=0 x

′i ‖ P − Pi ‖

= ‖ P − Pi ‖

de donde ‖ P − P ′ ‖≤max ‖ P − Pi ‖(2)Como ‖ σ ‖= max ‖ σ (x)− σ (x) ‖ / x, y ∈ ∆qaplicando dos veces 1 se obtiene ‖ σ ‖ ≤max ‖ Pi − Pj ‖

Proposicion 4.3.3 Si σ : ∆q −→ Rk es un simplejo lineal entonces βq (σq)contiene solo simplejos lineales de diametro ≤ q

q+1‖ σ ‖

En particular βnq (iq) = βq βq .........βq (iq) contiene solo simplejos linealesde diametro ≤ ( q

q+1)n ‖ σ ‖ .


Demostracion1.- Dados τ : ∆q −→ Rl , P ∈ Rl y f : Rl −→ Rk aplicacion lineal setiene : f (P • τ) = f (P ) • (f τ) .2.- Si τ : ∆q −→ Rl es lineal con vertices Q0, Q1, ..................., Qq entoncesP • τ : ∆q+1 −→ Rl es lineal con vertices P,Q0, Q1.........., Qq.Ahora:

βq (σq) = σq(βq (iq))= σq (Bq.βq−1∂q (iq))= σq(Bq).σq(βq−1∂q (iq))= σq(Bq).βq−1σq∂q (iq)

= σq(Bq).βq−1σq

(∑qj=0 (−1)j (σqε

j))

=∑q

j=0 (−1)j σq (Bq) • βq−1 (σqεj)

de aquı resulta que β (σ) contiene solo simplejos de la forma σ′ = σq(Bq) • τdonde τ esta contenido en algun βq−1 (σqε

j) . El diametro de σ′ es igual a‖ P −Q ‖ donde P y Q son vertices de σ′ esos vertices son vertices de τo uno de ellos es σqBq .Si P y Q son vertices de τ entonces

‖ σ′ ‖= ‖ P −Q ‖≤‖ τ ‖ ≤ q−1q‖ σ εj ‖

≤ q−1q‖ σ ‖

≤ qq+1‖ σ ‖

Si P = σq(Bq) por 1 de la proposicion 3.7.5 tenemos

‖ σ′ ‖= ‖ P −Q ‖≤‖ P − Pi ‖

para algun i , luego como σ(Bq) =∑q

j=01q+1

Pj

‖ σ ‖≤ ‖ σB − Pi ‖ =‖∑q

j=01q+1

Pj − Pi ‖=‖∑q

j=01q+1

(Pj − Pi) ‖≤∑q

j=01q+1‖ Pj − Pi ‖

≤ 1q+1‖ σ ‖

Proposicion 4.3.4 La subdivision baricentrica

βq : ∆q (X) −→ ∆q (X)

tiene la siguiente propiedad para todo q ≥ 0 , ε > 0 existe un numero realN = N(ε, q) tal que βn(iq) para n ≥ N contiene simplejos σ de diametro < ε


Demostracion .- Sean q ≥ 0 y ε > 0 por la proposicion 3.7.6 βn(iq)contiene simplejos lineales σde diametro ≤ ( q

q+1)n ‖ iq ‖.

Por otra parte limn→∞( qq+1

)n = 0, entonces existe N = N(ε, q) para q ≥ 0

,ε > 0 tal que para todo n ≥ N βn(iq) contiene simplejos σ con ‖ σ ‖ ε

Proposicion 4.3.5 β ' Id , donde β es la subdivision baricentrica

Demostracion .-Por induccion en q definiremos los homomorfismos

Tq : ∆q(X)→ ∆q+1(X)

tal que∂q+1 Tq + Tq−1 ∂q = βq − id∆q(X)

Para q = 0 considerar Tq = 0Supongamos definido para k < q los

Tk : ∆k(X)→ ∆k+1(X)

tal que ∂k+1 Tk + Tk−1 ∂k = βk − id∆k(X)

Definamos para qTq : ∆q(∆q)→ ∆q+1(∆q)

porTq(iq) = Bq • (iq − βq(iq)− Tq−1(∂q(iq))

En generalTq : ∆q(X)→ ∆q+1(X)

porTq(σq) = σq](Tq(iq))

Proposicion 4.3.6 Sean f, g : ∆(X) −→ ∆(X) aplicaciones de cadenas na-turales e iguales en dimension cero entonces existe una homotopıa de cadenasnatural H : f ' g

Demostracion .- Para hacer uso de la proposicion consideremos la apli-cacion j : X −→ I × X dada por j(x) = (0, x). las composiciones j] f yj] g son iguales en dimension cero por la proposicion mencionada existe unahomotopıa de cadenas natural H : j] f ' j]

La proyeccion en el segundo factor p : I × X → X , p(t, x) = x para(t, x) ∈ I ×X induce una aplicacion de cadenas

p] : ∆(I ×X)→ ∆(X)


∆q+1(X) → ∆q(X)∂q→ ∆q−1(X) →

hq ↓ hq−1

∆q+1(I ×X)∂q+1′→ ∆q(I ×X) → ∆q−1(I ×X) →

p] ↓ p] ↓ p] ↓∆q+1(X)

∂q+1→ ∆q(X)∂q→ ∆q−1(X) →

∂q+1 pq+1] hq + pq] hq−1∂q = pq] ∂′q+1 hq + pq] hq−1 ∂q= pq](∂

′q+1 hq + hq−1 ∂q)

= pq](jq] fq − jq] gq)= pq] jq] fq − pq] jq] gq)= id] fq − id] gq= fq − gq

puesto que pq jq(x) = pq(0, x) = x = id(x)luego p] H : f ' g

Corolario 4.3.1 β ' Id , donde β es la subdivision baricentrica.

Demostracion .-Como, β0 = id por la proposicion β ' id

Lema 4.3.1 (Numero de Lebesgue) Sea (X, d) un espacio metrico compac-to y Uα un cubrimiento abierto de X . Entonces existe un numero realλ > 0 llamado numero de Lebesgue del cubrimiento, tal que cada bolaesta contenido por lo menos en un Uα

Demostracion .-Para cada y ∈ X , elijamos r (y) > 0 tal que B(y, r (y))

⊂ Uα para algun α y del cubrimiento abiertoB(y, r(y)

2

)extraemos un

subcubrimiento finito

B

(yi,

r (yi)

2

)/i = 1, ....., n

Sea λ = mim

r(y1)

2, .... r(yn)

2

, λ > 0 es el numero de Lebesgue. Para cual-

quier B(y, r) dado tenemos y ∈ B(yi,

r(yi)2

)Para algun i , y para cualquier z ∈ B(y, λ)

d(z, yi) ≤ d(z, y) + d(y, yi) < λ+ r(yi)2≤ r (yi)


es decir, B(y, λ) ⊂ B(yi,

r(yi)2

)dado que el ultimo conjunto esta en algun

Uα se tiene el resultado.

Sea ϑ una coleccion de subconjuntos de un espacio topologico X y ∆q (ϑ) elsub complejo de ∆(X) generado por aquellos q-simplejos σ : ∆q → X talque σ(∆q) ⊂ U para algun U ∈ ϑComo βq y Tq son naturales β(∆(ϑ)) ⊂ ∆(ϑ) y T (∆(ϑ)) ⊂ ∆(ϑ)

Proposicion 4.3.7 Sea ϑ = Uα tal que X = ∪int(Uα)/Uα ∈ ϑ paracualquier q-simplejo σ : ∆q → X existe n ≥ 0 tal que

βn (σ) ∈ ∆ (ϑ)

Demostracion .-ComoX = ∪αint (Aα) , tenemos

∆q ⊂ ∪ασ−1(int (Aα)) , en efecto

σ∆q ⊂ ∪αint (Aα)

entonces

∆q ⊂ σ−1(∪αint (Aα)) = ∪ασ−1(int (Aα))

Como ∆q es metrico compacto por el lema 3.7.1 existe un numero real λ > 0llamado numero de Lebesgue del cubrimiento σ−1(int (Aα)tal que cualquiersubconjunto de ∆q cuyo diametro es menor que λ esta contenido por lomenos en un σ−1(int (Aα) por la proposicion 3.7.7 existe N tal que paran ≥ N βn (iq) ∈ ∆q(∆q) consiste solo de simplejos de diametro < λ .Porconsiguiente βn (iq) consiste de simplejos cada uno de los cuales esta en algun,σ−1int (Aα) entonces βn (σ) = σβn (iq) consiste de simplejos cada uno delos cuales esta en algun int (Aα) ⊂ Aα. Por lo tanto βn (σ) ∈ ∆ (ϑ)

Proposicion 4.3.8 Sea ϑ = Uα tal que X = ∪int(Uα)/Uα ∈ ϑ, lainclusion i] : ∆ (ϑ) −→ ∆ (X) es una equivalencia homotopica de cadenas.En particular i? : Hq (ϑ) ∼= Hq (X) para toda q

Demostracion .- Como ∆ (ϑ) y ∆ (X) , son complejos de cadenaslibres para probar que i] : ∆ (ϑ) −→ ∆ (X) es una equivalencia homotopicade cadenas es suficiente probar H (ϑ) ∼= H(X), en efecto, la sucesion exactacorta de complejo de cadenas

0 −→ ∆ (ϑ) −→ ∆ (X) −→ ∆(X)∆(ϑ)

−→ 0


d induce una sucesion exacta larga en homologıa

.... −→ Hq+1

(∆ (X)

∆ (ϑ)

)∆−→ Hq (∆ (ϑ))

i?−→ Hq(∆ (X)) −→ Hq

(∆ (X)

∆ (ϑ)

)−→

para obtener el isomorfismo basta probar Hq(∆(X)∆(ϑ)

) = 0 para todo q , en

efecto, sea [z] ∈ Hq(∆(X)∆(ϑ)

) es una clase homologica donde z ∈ ∆(X) es un

ciclo tal que ∂(z) ∈. Veamos z = ∂(y) + u donde y ∈ ∆(X) , u ∈ ∆(ϑ) , enefecto, como βn ' id existe T tal que ∂ T + T ∂ = id− βn evaluando enz tenemos ∂ T (z) + T ∂(z) = z − βn(z) luego

z = ∂ T (z) + T ∂(z) + βn(z)

por la proposicion 3.7.9 βn(z) ∈ ∆(ϑ) , como ∂(z) ∈ ∆(ϑ) y T (∂(z)) ∈T (∆(ϑ)) ⊂ ∆(ϑ) tenemos T (∂(z)) ∈ ∆(ϑ) luego [z] = 0

Definicion 4.3.3 Sean X1 , X2 sub espacios del espacio topologico X , a laterna de espacios (X;X1, X2) se denomina terna escisiva si la inclusioni : ∆(X1, X2) induce isomorfismo en homologıa

Corolario 4.3.2 Si X = int(X1)∪int(X2) entonces (X;X1, X2)es una ternaescisiva

Proposicion 4.3.9 Sean U ⊂ A ⊂ X tal que U ⊂ int(A) entonces la inclu-sion j : (X − U,A− U)→ (X,A) induce isomorfismo en homologıa

Demostracion.- (X; int(X − U), int(A)) es una terna escisiva , comoX = int(X − U) ∪ int(A) , ϑ = int(X − U), int(A) es un cubrimiento deX . Por la proposicion 3.7.10

∆(X) ' ∆(ϑ) = ∆(X − U) + ∆(int(A))

como A = int(A−U)∪ int(A) , ϑ′ = int(A−U), int(A) es un cubrimientode A la proposicion 3.7.10

Delta(A) ' ∆(ϑ′) = ∆(A− U) + ∆(int(A))

∆(X,A) = ∆(X)∆(A)

' ∆(ϑ)∆(ϑ′)

= ∆(X−U)+∆(int(A))∆(A−U)+∆(int(A))

= ∆(X−U)∆(A−U)

= ∆(X − U,A− U)

luego H∗(X,A) = H∗(X − U,A− U)


4.4. Susecion de Mayer-Vietoris

Sean X un espacio topologico, X1, X2 dos sub espacios de X , denotaremosesta situacion por (X;X1, X2) y llamaremos una triada, sean iν : X2 → X ,ν = 1, 2 las incluciones .Queremos establecer la relacion entreH∗ (X) , H∗ (X1),H∗ (X2) yH∗ (X1 ∩X2) .

Proposicion 4.4.1 Una triada (X;X1, X2) es una triada escisiva silas siguiente afirmaciones son equivalentes

1. i1∗ : H∗ (X1, X1 ∩X2) ∼= H∗ (X1 ∪X2, X2)

2. i2∗ : H∗ (X2, X1 ∩X2) ∼= H∗ (X1 ∪X2, X1)

3. (i1∗i2∗) : H∗ (X1, X1 ∩X2)⊕H∗ (X2, X1 ∩X2) ∼= H∗ (X1 ∪X2, X1 ∩X2)

4. i∗ : H∗ (∆ X1, X2) ∼= H∗ (∆ (X1 ∪X2)) = H∗(X1 ∪X2)

5.∼i∗: H∗

(∆X1,X2∆(X1∩X2)

)∼= H∗

(∆(X1∪X2)∆(X1∩X2)

)= H∗(X1 ∪X2, X1 ∩X2)

6. p∗ : H∗(X,X1 ∪X2) = H∗

(∆(X)

∆(X1∪X2)

)∼= H∗

(∆(X)

∆X1,X2

)donde ∆ X1, X2 es el subcomplejo de ∆ (X1 ∪X2) generado por ∆ (X1) ,∆ (X2) ies la inclucion y p la proyeccion.

Demostracion Veremos (1) ⇐⇒ (4) ⇐⇒ (2) , (4) ⇐⇒ (5) ⇐⇒(3)(5) ⇐⇒ (6) tenemos las siguientes sucesiones exactas de aplicaciones decadenas

(a) 0 −→ ∆(X1)∆(X1∩X2)

−→ ∆(X1∪X2)∆(X2)

−→ ∆(X1∪X2)∆X1,X2 −→ 0

(b) 0 −→ ∆ X1, X2 −→ ∆ (X1 ∪X2) −→ ∆(X1∪X2)∆X1,X2 −→ 0

(c) 0 −→ ∆X1,X2∆(X1∩X2)

−→ ∆(X1∪X2)∆(X1∩X2)

−→ ∆(X1∪X2)∆X1,X2 −→ 0

(d) 0 −→ ∆(X1∪X2)∆X1,X2 −→

∆(X1∪X2)∆X1,X2 −→

∆(X)∆(X1∪X2)

−→ 0

Veamos (1) =⇒ (4) pasando (b) a homologıa obtenemos

...→ Hq(∆ X1, X2)i∗−→ Hq(∆ (X1 ∪X2)) −→ Hq(

∆(X1∪X2)∆X1,X2 )→ ....

para que resulte i∗ isomorfismo, es necesario probar que

Hq(∆(X1∪X2)∆X1,X2 ) = 0 ∀q

En efecto, pasando (a) a homologıa obtenemos

94 sucesion de Mayer- Vietyoris

−→ Hq(∆(X1)

∆(X1∩X2)) −→ Hq(

∆(X1∪X2)∆(X2)

) −→ Hq(∆(X1∪X2)∆X1,X2 ) −→

usando la hipotesis obtenemos la siguiente sucesion exacta corta

0 −→ Hq(∆(X1∪X2)∆X1,X2 ) −→ 0

Veamos (4) =⇒ (1) pasando (a) a homologıa obtenemos

−→ Hq(∆(X1)

∆(X1∩X2))

i1∗−→ Hq(∆(X1∪X2)

∆(X2)) −→ Hq(

∆(X1∪X2)∆X1,X2 ) −→

para probar que i1∗es un isomorfismo basta probar que

Hq(∆(X1∪X2)∆X1,X2 ) = 0 ∀q

En efecto pasando (b) a homologıa obtenemos

...−→ Hq(∆ X1, X2)i∗−→ Hq(∆ (X1 ∪X2)) −→ Hq(

∆(X1∪X2)∆X1,X2 ) −→ ......

usando la hipotesis obtenemos la sucesion exacta corta

0 −→ Hq(∆(X1∪X2)∆X1,X2 ) −→ 0

(4)⇔ (5)⇔ (6) se demuestra de la misma manera.(2)⇔ (4) se demuestra de lo anterior por simetrıa.Veamos (3)⇒ (5) Tenemos el siguiente diagrama conmutativo

∆(X1)∆(X1∩X2)

⊕ ∆(X2)∆(X1∩X2)

(i1,i2)−→ ∆X1,X2∆(X1∩X2)

(i1, i2) i∆(X1∪X2)∆(X1∩X2)

pasando a homologıa obtenemos el siguiente diagrama conmutativo

Hq(∆(X1)

∆(X1∩X2))⊕Hq(

∆(X2)∆(X1∩X2)

)(i1,i2)∗−→ Hq(

∆X1,X2∆(X1∩X2)

)

(i1, i2)∗ ∼= i∗Hq(

∆(X1∪X2)∆(X1∩X2)

)

por hipotesis (i1, i2)∗ resulta que i∗es isomorfismo.(5)⇒ (3) Considerando el mismo diagrama conmutativo se tiene el resulta-do.

Teorema 4.4.1 Para cualquier triada la sucesion


(?) 0 −→ ∆ (X1 ∩X2)(j1,−,j2)−→ ∆ (X1)⊕∆ (X2)

(i1,i2)−→ ∆ X1, X2 −→ 0

es exacta donde iν , jν son las inclusiones. Si la triada es escisiva entonces lasucesion de homologıa de (?) tiene la forma

.... −→ Hq (X1 ∩X2) −→ Hq (X1)⊕Hq (X2) −→ Hq (X1 ∪X2) −→ .....

y es natural.

Esta sucesion exacta se denomina la sucesion de MAYER VIETORISde (X,X1, X2) .

Demostracion .-Veamos la exactitud de la sucesion (?) . En efecto (i1, i2)es epimorfismo por la definicion de ∆ X1, X2 ,(j1,−, j2)es monomorfismo y (i1, i2) (j1,−, j2) = 0.Veamos Ker (i1, i2) ⊂Im (j1,−, j2) En efecto, sea (c1, c2) ∈ Ker (i1, i2) entonces 0 = (i1, i2) (c1, c2) =i1 (c1)+i2 (c2) esto significa que c1 y -c2 son la misma cadena de ∆ (X) ,comoc1 ∈ ∆ (X1) y c2 ∈ ∆ (X2) se tiene c = c1 = −c2 ∈ ∆X1∩X2 tenemos (j1,−, j2) (c) =(c1, c2) o sea (c1, c2) ∈ Im (j1,−, j2) .La sucesion (?) induce una sucesion exacta larga en homologıa.

....−→ Hq(∆ (X1)⊕∆ (X2)) −→ Hq(∆ X1, X2) −→Hq−1 (∆ (X1 ∩X2)) −→ ..

Como (X;X1, X2) es una terna escisiva, por la proposicion 2.48

Hq(∆ X1, X2) = Hq (X1 ∪X2)

luego

....−→ Hq(X1)⊕Hq(X2) −→ Hq(X1 ∪X2) −→ Hq−1 (∆ (X1 ∩X2)) −→ ..

es una sucesion exacta.Naturalidad : Si f : X −→ Y es una aplicacion continua tal que

f (Xν) ⊂ Yν , ν = 1, 2 donde (X;X1, X2) , (Y ;Y1, Y2) son ternas excisivasel siguiente diagrama conmuta

.. −→ Hq (∆ (X1 ∩X2)) −→ Hq(X1)⊕Hq(X2) −→ Hq(X) −→ ..↓ f? ↓ f? ⊕ f? ↓ f?

.. −→ Hq (∆ (Y1 ∩ Y2)) −→ Hq(Y1)⊕Hq(Y2) −→ Hq(Y ) −→ ..


Proposicion 4.4.2 (Axioma de Escision) . Sea U ⊂ A ⊂ X tal que U ⊂int(A) entonces la inclusion j : (X − U,A− U) −→ (X,A) induce isomor-fismo en homologıa.

Demostracion .-Como U ⊂ int(A) ,tenemos int(A)c ⊂ Uc,de donde

X = int(A)∪ int (U c) ,luego (X, int(A) , int (U c)) es una terna escisiva por laproposicion 2.28 (b) se tiene el isomorfismo en homologıa.

Ejemplo 21 Hq (Sn) =

Z⊕ Z q = n = 0

Z q = n, n ≥ 10 q 6= n

Veamos por induccion en n.Para n = 0 y q = 0 tenemos

H0 (S0) = H0 (pto ∪ pto)∼= H0 (pto)⊕H0 (pto)∼= Z⊕ Z

Para n = 0 y q 6= 0 tenemos

Hq (Sn) ∼= Hq (pto)⊕Hq (pto)∼= 0

Ahora supongamos que el resultado vale para n− 1,o sea

Hq (Sn−1) =

Z q = n− 10 q 6= n− 1

Veamos para n .En efecto , sean a = (0, ..,0, 1) , b = (0, ..,0,−1) ,X1 = Sn − a X2 = Sn − b .Tenemos Sn − a ≈ Rn , Sn − b ≈Rn , X1 ∩ X2 ≈ Sn−1 X1 ∪ X2 ≈ Sn.Consideremos la sucesion de MayerVietoris.

.. −→ Hq (X1)⊕Hq (X2) −→ Hq (X1 ∪X2) −→ Hq−1 (X1 ∩X2) −→ ..l∼= l∼= l∼=

Hq (Rn)⊕Hq (Rn) Hq (Sn) Hq−1 (Sn−1)

para q > 1 se tiene la siguiente sucesion exacta

0 −→ Hq (Sn) −→ Hq−1 (Sn−1) −→ 0

de donde resulta


Hq (Sn) ∼= Hq−1 (Sn−1)

para q = 1 tenemos

0 −→ H1 (Sn)∆−→ H0 (Sn−1)

j?−→ H0 (Rn)⊕H0 (Rn)

como Sn−1 es conexo por caminos ,para n > 1H0 (Sn−1) ∼= Z Tenemos j? esmonomorfismo y Im∆ = Ker j? = 0 de donde resulta la sucesion exacta

0 −→ H1 (Sn) −→ 0

luego H1 (Sn) = 0 para n > 1.Ahora para n = 1 conideremos la sucesion exacta

0 −→ H1 (S1)∆−→ H0 (S0)

j?−→ Z⊕ Z

tenemos H1 (S1) ∼= Im∆ = Ker j∗.Consideremos(1, 0) , (0, 1)generadores de Z⊕ Z , como i∗j∗ = 0 debe cumplirse j∗ (1, 0) = (1,−1) yj∗ (0, 1) = (1,−1) .Luego

j∗ (1, 0) = j∗ ((x, 0) + (0, y))= x (1,−1) + y (1,−1)= (x+ y,− (x+ y))= (0, 0)

de donde x = −y . Por lo tanto Kerj∗ esta generado por (1,−1) o seaKerj∗ ∼= Z resultando H1 (S1) ∼= Z.

Capıtulo 5

APLICACIONESELEMENTALES

5.1. Teorema de punto fijo de Brouwer

Sean

Dn+1 = x ∈ Rn+1/‖x‖ ≤ 1 el disco uniatrioSn = x ∈ Rn+1/‖x‖ = 1 la esfera unitaria

Proposicion 5.1.1 Sn no es un retracto de Dn+1

Demostracion .-Supongamos que Sn es un retracto deDn+1,entonces existe una retraccion r : Dn+1 −→ Sn,o sea r |Sn= idSn .Pasandoa homologıa tenemos el siguiente diagrama conmutativo

Hq (Sn)i∗−→ Hq (Dn+1)

id r∗Hq (Sn)

como Hq (Sn) ∼= Z para q = n, Hq (Dn+1) = 0 ∀q 6= 0.Tenemos para q = n 6= 0 el siguiente diagrama conmutativo

Zi∗−→ 0

id r∗Z

la cual es una contradiccion.

99

100 grado de Brouwer

Definicion 5.1.1 Sea X un espacio topologico, f : X −→ X una apli-cacion continua. Un punto p ∈ X es un punto fijo de la aplicacion f sif (p) = p.

Proposicion 5.1.2 (Teorema de punto fijo de Brouwer) Toda aplicacion f :Dn+1 −→ Dn+1 tiene un punto fijo.

Demostracion .- Supongamos que f no tiene punto fijo, entonces x 6=f (x) y consideremos el segmento de recta que une x con f (x) y lo prolon-gamos hasta intersectar Sn esto nos define una retraccion r : Dn+1 −→ Sn

la cual contradice la proposicion anterior.

Proposicion 5.1.3 Para n 6= m , Sn y Sm no sonhomotopicamente equivalentes

Demostracion .-Como n 6= m podemos suponer que 0 ≤ n < m .TenemosHn(Sm) = 0 y Hn (Sn) = Z. .Si Sn fuese homotopicamente equivalente aSm tendrıamos 0 = Hn(Sm) = Hn (Sn) = Z. la cual es una contradiccion.

Proposicion 5.1.4 Para n 6= m ,Rn y Rm no son homeomorfos.

Demostracion .- Supongamos que Rn y Rm son homeomorfos entoncesexiste un homeomorfismo f : Rn −→ Rm, sea x = f(0) donde o ∈ Rnes el ori-gen de coordenadas . Tenemos que Rn−0 homeomorfo a Rm−f(0) y co-mo Rn−0es homeomorfo Sn−1 y Rm−f(0)es homeomorfo Sm−1 resultaSn−1 es homeomorfo Sm−1para n 6= m la cual es una contradicion a la pro-posicion 3.4.

5.2. Grado de Brouwer

Sea f : Sn −→ Sn, n ≥ 1, una aplicacion continua , pasando a ho-mologıa tenemos f∗ : Hn(Sn) −→ Hn(Sn) un homomorfismo , elijamos ungenerador α ∈ Hn(Sn) ∼= Z ,tenemos f∗ (α) = rα para algun entero r. Six ∈ Hn(Sn) x = mα ,luego f∗ (x) = f∗ (mα) = mf∗ (α) = mrα = rx. Enparticular tenemos f∗ (−α) = r(−α). Por consiguiente el entero r no dependede la eleccion del generador α del grupo Hn(Sn) ∼= Z .

Definicion 5.2.1 El entero r se denomina el grado de la aplicacion f yse denota deg (f) = r.

Proposicion 5.2.1 Si dos aplicaciones f, g : Sn −→ Sn son homotopicas,f ' g, entonces deg (f) = deg (g)

Aplicaciones elementales 101

Demostracion Como f ' g tenemos f∗ = g∗ luego f∗ (α) = rα =r′α = g∗ (α) o sea (r − r′)α = 0 lo que implica deg (f) = r = r′ = deg (g)

Proposicion 5.2.2 Sean f, g : Sn −→ Sn aplicaciones continuas ,entoncesdeg (fg) = deg (f) deg (g)

Demostracion .-Sea f, g : Sn −→ Sn pasando a homologıa tene-mos (fg)∗ : Hn(Sn) −→ Hn(Sn) , luego para x ∈ Hn(Sn) tenemos deg (fg)x =(fg)∗ (x) =

= f∗ (g∗ (x)) = f∗ (deg (g)x) = deg (g) f∗ (x) = deg (g) deg (f)x.

Proposicion 5.2.3 Si f : Sn −→ Sn es una aplicacion de grado r entonces∑f :

Sn+1 −→ Sn+1 tiene grado r.

Demostracion Consideremos el siguiente diagrama conmutativo

Hn(Sn) σ−→ Hn+1(Sn+1)

f∗ ↓ (∑f)∗ ↓

Hn(Sn) σ−→ Hn+1(Sn+1)

donde σ es el isomorfismo suspension .Para x ∈ Hn+1(Sn+1) tenemos deg(∑f)x =

(∑f)∗ (x) = σf∗σ

−1 (x) = σ (deg (f)σ−1 (x)) = deg (f)σσ−1 (x) = deg (f)x luegodeg(

∑f) = deg (f) = r.

Proposicion 5.2.4 Si f : Sn −→ Sn es una equivalencia homotopica en-tonces deg (f) = ±1

Demostracion Como f es una equivalencia homotopica existe g : Sn −→Sn una aplicacion continua tal que fg ' idSn y gf ' idSn luego por la propo-sicion 3.6 deg (f) deg (g) = deg (idSn ) = 1 de donde resulta que deg (f) = 1y deg (g) = 1 o deg (f) = −1 y deg (g) = −1 Por lo tanto deg (f) = ±1.

Corolario 5.2.1 Si f : Sn −→ Sn es un homeomorfismo entonces deg (f) =±1

Proposicion 5.2.5 Sea f : Sn −→ Sn, n ≥ 1 una aplicacion continua defi-nida por

f(x1, x2, ....., xn+1) = (−x1, x2, ..., xn+1)

entoncesdeg(f) = −1


Demostracion .-En Sn consideremos los puntos z = (0, 0, ....., 1) , z′ =(0, 0, .....,−1) U = Sn − z, V = Sn − z′ tenemos U ∪ V = Sn, U ∩ V =Sn−1, f (U) ⊂ U, f (V ) ⊂ V. En el ejemplo del capitulo 2 vimos H1 (S1) ∼=Im∆ = Kerj∗, Hq (Sn) ∼= Hq−1 (Sn−1) . Por la naturalidad de la sucesion deMayer- Vietoris tenemos el siguiente diagrama conmutativo con filas exactas.

0 −→ H1 (S1)∆−→ H0 (U ∩ V )

↓ f∗ ↓ (f |U∩V )∗

0 −→ H1 (S1)∆−→ H0 (U ∩ V )

Un generador α ∈ H1 (S1) es representado por el ciclo c + d donde ∂c =x− y = −∂d y ∆ (α) por x− y.

∆f∗ (α) = (f |U∩V )∗ (∆ (α)) = (f |U∩V )∗ (x− y) = y−x = −∆ (α) = ∆ (−α)

como ∆ es monomorfismo f∗ (α) = −α, de donde se deduce que deg (f) =−1.Ahora supongamos que el resultado vale para n−1.Veamos para n. En efectopara n ≥ 2,en la sucesion de Mayer Vietoris ∆ es un isomorfismo y tenemosel siguiente diagrama conmutativo.

Hn (Sn)∆−→ Hn−1 (U ∩ V )

i∗−→ Hn−1 (Sn−1)↓ f∗ ↓ (f |U∩V )∗ ↓ f∗

Hn (Sn)∆−→ Hn−1 (U ∩ V )

i∗−→ Hn−1 (Sn−1)

tenemos

f∗ (α) = ∆−1 ((f |U∩V )∗∆ (α)) = ∆−1i∗f∗i−1∗ ∆ (α)

= −∆−1i∗i−1∗ ∆ (α)

= −∆−1∆ (α)= −α

de donde deg (f) = −1.

Proposicion 5.2.6 Sea fi : Sn −→ Sn, i = 1, 2, ..., n+ 1 aplicaciones conti-nuas definidas por fi (x1, ......, xn+1) =(x1, .....,−xi, ........, xn+1) entonces deg (fi) = −1.

Demostracion La aplicacion continua g : Sn −→ Sndefinida por gi (x1, ..., xi, ..., xn+1) =(xi, x2, ..., xi−1, x1, xi, ..., xn+1) es un homomorfismo ,por el corolario 3.1 deg (g) =±1.Si consideramos h : Sn −→ Sn la aplicacion definida como en la proposi-cion 3.9 deg(h) = −1. Tenemos fi = ghg,de donde deg (fi) = deg (g) deg (h) deg (g) =(±)2 (−1) = −1.


Proposicion 5.2.7 Sea A : Sn −→ Sn una aplicacion continua definida porA (x1, x2, ....., xn+1) = (−x1,−x2, .....,−xn+1)

entonces deg (A) = (−1)n+1 .

Demostracion .-Tenemos A = f1 · f2 · ... · fn+1 donde fi, 1 ≤ i ≤ n + 1esta definida como en la proposicion 3.13 . Por lo tanto deg(A) = (−1)n+1 .

Proposicion 5.2.8 Dado un entero m existe una aplicacion f : Sn −→Sn, n ≥ 1 tal que deg(f) = m.

Demostracion .-Veamos por induccion en n.Para n = 1,definamos f :S1 → S1 por f (z) = zm,∀z ∈ S1.El homomorfismo inducido en homo-logıa f∗ : H1(S1) −→ H1(S1) es tal que f∗(x) = mx,para x ∈ H1(S1) dedonde deg(f) = m. Supongamos que el resultado vale para n−1,esto es exis-te f : Sn−1 −→ Sn−1tal que el deg(f) = m. Veamos para n. En efecto, comoexiste f : Sn−1 −→ Sn−1consideremos la suspension de f,

∑f : Sn −→ Sn

por la proposicion 3.7 m = deg(f) = deg(∑f). O sea existe f tal que

deg(f) = m.

Proposicion 5.2.9 Sean g, f : Sn −→ Snaplicaciones continuas tales quef(x) 6= g(x) ∀x ∈ Sn,entonces g ' Af.

Demostracion .-La aplicacion continua F : Sn × I −→ Sn,definida por

F (x, t) = (1−t)Af(x)+tg(x)‖(1−t)Af(x)+tg(x)‖

da la homotopıa entre g y Af.

Proposicion 5.2.10 Sea f : S2n −→ S2n una aplicacion continua entoncesexiste x ∈ S2n tal que f(x) = x o existe x ∈ S2n tal que f(x) = −x.

Demostracion .- Supongamos que para todo x ∈ S2n ,

f(x) 6= x y f(x) 6= −x ,por la proposicion 3.15 f ' A y f ' AA =idSn y por la proposicion 3.5 −1 = deg(A) =

deg(f) = deg(A) deg(A) = deg(idSn) = 1 pero esto es una contradiccion.

Proposicion 5.2.11 No existe aplicacion continua f : S2n −→ S2n tal quex y f(x) sean ortogonales para todo x ∈ S2n.


Demostracion .- Supongamos que existe una aplicacion continua f :S2n −→ S2n tal que 〈x, f(x)〉 = 0 .Por otra parte por la proposicion 3.17existe x ∈ S2n tal que f(x) = x o existe x ∈ S2n tal que f(x) = −x .Ahora si x ∈ S2n tal que f(x) = x tenemos 0 = 〈x, f(x)〉 = 〈x, x〉 =‖x ‖2= 1,pero esto es una contradiccion.Ahora si existe x ∈ S2ntal que f(x) =−x tenemos 0 = 〈x, f(x)〉 = 〈x,−x〉 = − ‖ x ‖2= −1 pero esto tambien esuna contradiccion. Esto prueba la proposicion.

Definicion 5.2.2 Un campo vectorial sobre Sn es una aplicacion continuaV que asigna a cada x ∈ Sn un vector V (x) ∈ Rn−1tal que 〈V (x), x〉 = 0.

Proposicion 5.2.12 No existe campo vectorial sobre S2n

Demostracion Supongamos que existe un campo vectorial no cero Φ so-bre S2n entonces Ψ (x) = Φ(x)

‖Φ(x)‖ es un campo vectorial sobre S2n de longitud1 , la cual contradice a la proposicion

EJERCICIOS

1. Si una sucesion exacta corta de homomorfismos de grupos

0 −→ Af−→ B

g−→ C −→ 0

se descompone , entonces B ∼= A⊕B

2. Para cualquier sucesion exacta corta de homomorfismos de grupos

0 −→ Af−→ B

g−→ C −→ 0

son equivalentes

(a) La sucesion exacta corta se descompone

(b) El homomorfismo f tiene inverso izquierdo

(c) El homomorfismo g tiene inverso derecho

3. Si en el siguiente diagrama de homomorfismos de grupos

Af−→ B

g−→ Ch−→ D

↓ α ↓ β ↓ γ ↓ δA′

f ′−→ B′g′−→ C ′

h′−→ D′


los dos renglones son exactas y los tres cuadrados conmutativos ,α epimorfismoy δ monomorfismo, entonces tenemos

Im (β) = g′−1 (Im (γ))

Ker (γ) = g (Ker (β))

Por lo tanto , si γ es un epimorfismo tambien lo es β , y si β es unmonomorfismo tambien lo es γ.

4. Si en el siguiente diagrama de homomorfismo de grupos

Af−→ B

g−→ Ch−→ D

k−→ E↓ α ↓ β ↓ γ ↓ δ ↓ εA′

f ′−→ B′g′−→ C ′

h′−→ D′k′−→ E ′

los dos renglones exactos y los cuatro cuadrados conmutativos y los ho-momorfismos α, β, δ, ε son isomorfismos, entonces el homomorfismoγ es isomorfismo

5. Si en el siguiente diagrama de homomorfismo de grupos

0 −→f

A −→ Bg−→ C −→ 0

↓ α ↓ β ↓ γ0 −→ A′

f ′−→ B′g′−→ C ′ −→ 0

los dos renglones exactos y los dos cuadrados conmutativos, entonces

(a) si α, γ son monomorfismos, tambien los es β .

(b) Si α , γ son epimorfismos , tambien lo es β

6. Consideremos el siguiente diagrama de homomorfismo de grupos

f

A −→ Bg−→ C −→ 0

↓ hD

donde el renglon es exacta y hf = 0. Probar que existe un homomor-fismo k : D −→ C unicamente determinado que satisface kg = h.


7. Consideremos el siguiente diagrama de homomorfismo de grupos

D↓ h

0 −→f

A −→ Bg−→ C

donde el renglon es exacta y gh = 0. Probar que existe un homomor-fismo k : D −→ A unicamente determinado que satisface fk = h.

8. Si f : X −→ Y es homotopico a una aplicacion constante .Probarf∗q = 0 ∀q

9. Supongamos que X tiene m componentes conexas. Calcular∼H0 (X) .

10. Sean X e Y espacios topologicos ,Y conexo por caminos, f : X −→ Yuna aplicacion continua .Probar f∗ : H0(X) −→ H0(Y ) es epimorfismo.Si X es tambien conexo por caminos f∗ es isomorfismo.

11. Sea x0 ∈ X , r : X −→ x0 es una retraccion .Probar que∼Hq

(X) ∼= Ker(r∗q)

12. Si X es conexo por caminos y A ⊂ X,A 6= φ. Calcular H0(X,A)

13. Sea (Xk)k una familia de componentes conexas por caminos de X ,Ak = Xk ∩ A Probar Hq(X,A) ∼= ⊕kHq(Xk, Ak).

14. Sea f ' f ′ : (X,A) −→ (Y,B) tal que f ′(X) ⊂ B . Probar f∗q :Hq (X,A) −→ Hq (Y,B) es el homomorfismo nulo ∀q.

15. Sea S2 la esfera unitaria de R3, A = (0, 0, x3) / ‖ x3‖ ≤ 1 .Calcular los grupos de homologıa de X = S2 ∪ A.

16. Sea Sn−1 = x ∈ Sn/xn+1 = 0 .Calcular Hq (Sn, Sn−1)

17. Sea∑X suspension de X ,i : X →

∑X la inclusion . Probar ∀q se

tiene la sucesion exacta corta

0 −→ Hq+1 (∑X) −→ Hq+1(

∑X,X) −→ Hq (X) −→ 0.

Capıtulo 6

HOMOLOGIA CELULAR

6.1. Espacio celular

Es posible descomponer un espacio X cuya homologıa se quiere calcularen simples pedazos cuyas propiedades homologicas son conocidas y de esemodo deducir informacion acerca de la homologıa de X.En esta seccion discutiremos la descomposicion celular de un espacio y pro-baremos que ello puede ser usado para simplificar el calculo de la homologıade X.Un ejemplo importante de descomposicion celular son las CW- descomposi-ciones .

Definicion 6.1.1 Una filtracion de un espacio topologico X es una suce-sion de subespacios Xn ⊂ X ,n ∈ Z tal que Xn ⊂ Xn+1 ∀n.

Una filtracion se denomina celular si :4.1.1.- Hi (X

n, Xn−1) = 0 para i 6= n4.1.2.- ∆ (X) = ∪n∈Z∆ (Xn)

OBSERVACION X = ∪n∈ZX

n , puesto que ∆o (X) = ∪n∈Z∆o (Xn)

Definicion 6.1.2 Un espacio junto con una filtracion celular se denominaun espacio celular

Definicion 6.1.3 Si X , Y son espacios celulares a una aplicacion continuaf : X −→ Y tal que f (Xn) ⊂ Y n ∀n , esta se

denominaaplicacion celular

107

108 espacio celular

Definicion 6.1.4 Sea X un espacio celular escribamos

WnX = Hn(Xn, Xn−1)

y definamos ∂n : WnX → Wn−1X como la composicion

Hn (Xn, Xn−1) ∆−→Hn−1 (Xn−1) i∗−→Hn−1 (Xn−1, Xn−2)

Proposicion 6.1.1 W (X) = (WnX, ∂n) es un complejo de cadenas

denominado complejo celular

Demostracion .-Veamos que ∂n−1∂n = 0 . En efecto, consideremos elsiguiente diagrama

Hn−2 (Xn−2)∆′′ j∗

Hn (Xn, Xn−1)∂n−→ Hn−1 (Xn−1, Xn−2)

∂n−1−→ Hn−2 (Xn−2, Xn−3) ∆

′ i∗Hn−1 (Xn−1)

donde ∆′,∆

′′son los homomorfismos de conexion , i, j son las inclusiones

de pares ∂n−1∂n = j∗∆′′i∗∆

′, pero ∆

′′i∗ = 0,luego ∂n−1∂n = 0.

Proposicion 6.1.2 Hn (Xp, Xq) = 0 para p ≥ q ≥ n o n > p ≥ q

Demostracion .-Veamos por induccion en p-q , en efecto ,para p−q = 0tenemos Hn (Xp, Xq) = 0 ∀n.Para p− q > 0 la sucesion de homologia

de la terna (Xp;Xq+1, Xq)contiene lo siguiente

Hn (Xp+1, Xq) −→ Hn (Xp, Xq) −→ Hn (Xp, Xq+1)

el termino de la izquierda es cero por 4.1.1. igual que el termino de laderecha por hipotesis de induccion , luego el termino de medio es cero.

Proposicion 6.1.3 Hn(X,Xq) = 0 para q ≥ n

homologıa celular 109

Demostracion .-Sea [z] ∈ Hn (X,Xq) .Veamos [z] = 0. En efecto, z ∈∆n (X) es un ciclo representante. Como ∆n(X) = ∪n∆n(Xp) existe p ≥ qtal que z ∈ ∆n(Xp) entonces [z] ∈ Im(Hn (Xp, Xq) −→ Hn (X,Xq)) luego[z] = 0

Proposicion 6.1.4 Hn(Xq, Xr) ∼= Hn(X,Xr)Si q > n y q ≥ r

Demostracion .-Consideremos la homologıa de la terna (X;Xq, Xr)

0 = Hn+1(X,Xq) −→ Hn(Xq, Xr) −→ Hn(X,Xr) −→ Hn(X,Xq) = 0

para q > n por la proposicion ...tanto el termino de la izquierda como dela derecha son iguales a cero.Luego Hn(Xq, Xr) ∼= Hn(X,Xr)

OBSERVACION 4.9 H (X,X−1) ∼= H(X,X−2) ∼= H (X,X−3) ∼= ...se tiene de la sucesion de homologıa de una terna apropiada.

Teorema 6.1.1 Para cualquier espacio celular X existe un isomorfismo

natural

H (WX) ∼= H (X;X−1)

Demostracion .-Para k ≤ n− 2 consideremos el diagrama

Hn+1 (Xn+1, Xn) 0↓ ∂n+1 ↓

0 −→ Hn

(Xn, Xk

)−→ Hn (Xn, Xn−1) −→ Hn−1

(Xn−1, Xk

)↓ ∂n ↓

Hn

(Xn+1, Xk

)Hn−1 (Xn−1, Xn−1)

↓0

donde las dos columnas y la fila del medio son porciones de la sucesion dehomologia de las ternas apropiadas, los ceros que aparecen son justificadospor la proposicion ya dada debido a la naturalidad de ∆ los dos triangulosson conmuatativos. Ahora

110 espacio celular

Hn

(Xn+1, Xk

) ∼= Hn

(Xn+1, Xk

)∼=

Hn(Xn,Xk)Ker(α)

∼=Hn(Xn,Xk)

Im∆∼= Imi∗Im(i∗∆)

∼= Ker∆Im∂n+1

∼= Kerj∗∆Im∂n+1∼= Ker∂nIm∂n+1∼= Hn (WX)

entonces Hn (WX) ∼= Hn (Xn+1, X−1) si n > 0 , H0 (WX) ∼= H0 (X,X−2)∼= H0 (X,X−1)

Capıtulo 7

RELACION ENTRE LOSGRUPOS DE HOMOTOPIA YHOMOLOGIA

7.1. Teorema de Hurewicz

Sea X un espacio con punto base x0 y [f ] ∈ Πn(X) , la aplicacion f :Sn → X induce un homomorfismo de grupos

f∗ : Hn(Sn) ∼= Z → Hn(X)

sea ι el generador de Hn(Sn) ∼= Z . Definamos

hn : Πn(X)→ HnX)

por hn[f ] = f∗(ι) . esta aplicacion esta bien definida , puesto que si f ' gentonces f∗ ' g∗

Proposicion 7.1.1 La aplicacion hn : Πn(X) → Hn(X) es un homorfismode grupos para n ≥ 1

Demostracion Sean [f ], [g] ∈ Πn(X) por definicon [f ] [g] = [f.g] es laclase de homotopıa representada por la composicion

Sn ν−→Sn ∨ Snf ∨ g−−−→X ∨X5−→X

tomando homologıa tenemos

Hn(Sn)ν∗−→Hn(Sn∨Sn) = Hn(Sn)⊕Hn(Sn)(f ∨ g)∗−−−−−→Hn(X∨X) = Hn(Sn)⊕Hn(Sn)5∗−→→ Hn(Sn)

111

112 teorema de Whitehead

como ν∗(ι) = (ι, ι)

hn([f ] [g]) = f∗ + g∗ = hn([f ]) + hn([g])

Al homomorfismo hn se denomina la aplicacion de Hurewicz

Teorema 7.1.1 (Hurewicz) Sea X un CW-complejo conectable por trayec-torias . Supongamos que Πi(X) = 0 para 1 ≤ i < n con n ≥ 2 entonceshn : Πn(X)→ Hn(X) es un isomorfismo

Definicion 7.1.1 Un espacio X es m -conexo si X es conectable por tra-yectorias y Πi(X) = 0 para i ≤ m

Corolario 7.1.1 Sea X un CW-complejo . Supongamos que Π1(X) es trivialy Hi(X) = 0para i < n , entonces X es (n-1)-conexo y Πn

∼= Hn

7.2. Teorema de Whitehead

Teorema 7.2.1 (Whitehead) Sea f : X → Y una aplicacion entre CW-complejos simplemente conexo. supongamos que f∗ : Hn(X) ∼= Hn(Y ) esisomorfo para todo n entonces f es una equivalencia homotopica

Demostracion

Definicion 7.2.1 Una aplicacion f : X → Y es una equivalencia homoto-pica debil si, f∗ : Πn(X, x0) ∼= Πn(Y, f(x0)) es isomorfismo para cada n ≥ 0

Una aplicacion f : X → Y es una equivalencia homologica si, f : Hn(X) →Hn(Y ) es un isomorfismo para todo nEl teorema de Whitehead establece que una equivalencia homologica entreCW-espacios simplemente conexos es una equivalencia homotopica

Capıtulo 8

FIBRACIONES

8.1. Fibraciones

Dualizamos la definicion y la teorıa dada al estudio de fibraciones lascuales, son salvo homotopıa, generalizaciones del espacio de cubrimiento.

Definicion 8.1.1 Una aplicacion continua p : E → B es una fibracionsi tiene la siguiente propiedad, para todo espacio topologico X, dada unaaplicacion continua f : X → E y una homotopıa G : X × I → B tal queGρ0 = f . Entonces existe una homotopıa H : X × I → E tal que Hρ0 = f ypH = G

X f−→ E

↓ σ0 ↓ pX × I G−→ B

A esta propiedad se denomina propiedad de levantamiento de homo-topıa (PLH)

El subespacio p−1(b) se denomina fibra de p sobre b ∈ B ,B es el espaciobase y E el espacio total de la fibracionCuando el espacio X = In son los cubos a la fibracion p : E → B se denominafibracion de Serre

Definicion 8.1.2 Sean p : E → B y p′

: E′ → B

′aplicaciones continuas

, una aplicacion f : E → E′

se denomina aplicacion fibrada si aplica fibrasen fibras, esto es si existe una aplicacion continua f : B → B

′que hace

113

114 fibraciones

conmutativo el siguiente diagrama

E′

f−→ E

↓ p′ ↓ pB′

f−→ B

Ejemplo 22 Sea B un espacio topologico con punto base b0 . Sea

PB = w : I → B/w(0) = b0

espacio de trayectorias de B con la topologıa compacta abierta. La aplicacion

q : PB → B

definida por q(w) = w(1) es una fibracion con fibra el espacio de lazos de B,ΩB

ΩB = w : I → B/w(0) = w(1)En efecto, sea X un espacio topologico y el diagrama conmutativo

X f−→ PB

↓ σ0 ↓ qX × I H−→ B

queremos construir una homotopıa G : X × I → PB tal que Gσ0 = f yH = qG para ello definamos una aplicacion continua

F : X × I × I → B

por

F (x, t, s) =

f(x)(s(t+ 1)) para 0 ≤ s ≤ 1

t+1

H(x, s(t+ 1)− 1) para 1t+1≤ s ≤ 1

para s = 0, F (x, t, 0) = f(x)(0) = b0. Definamos una aplicacion continua

G : X × I → PB

dada porG(x, t)(s) = F (x, t, s)

luego

q−1(b0) = w ∈ PB/q(w) = b0= w ∈ PB/w(1) = b0= w ∈ PB/w(1) = w(0)= ΩW

fibraciones 115

PB es contraible , en efecto, definamos una homotopıa

H : PB × I → PB

porH(w, s) = w((1− s)t)

tenemos H(w, 0) = w(t), H(w, 1) = w(0) = b0

Definicion 8.1.3 Sea G un grupo abeliano y n > 0 un entero. Un espacioK(G, n) es un espacio X tal que Πq(X) = 0 si q 6= 0 y Πn(X) = G . A estosespacios se les denomina espacios de Elenberg- Mac Lane

Tenemos K(G, n) = ΩK(G, n+ 1)

Lema 8.1.1 Sea G un grupo abeliano y n > 1 un entero. Existe una fibra-cion

K(G, n− 1)→ E → K(G, n)

donde E es contraible

Demostracion.- En el ejemplo anterior pongamosX = K(G, n) entoncestenemos

ΩK(G, n)→ PK(G, n)→ K(G, n)

una fibracion . Como n > 1, ΩK(G, n) = K(G, n− 1)

Proposicion 8.1.1 Sea n > 0 , 0→ A→ B → C → 0 una sucesion exactade grupos abelianos . Existen fibraciones

1. K(A, n)→ K(B, n)→ K(C, n)

2. K(B, n− 1)→ K(C, n− 1)→ K(A, n)

3. K(C, n− 1)→ K(A, n)→ K(B, n) cuyas sucesiones exactas de homo-topıa se reducen a

0→ A→ B → C → 0

Demostracion .- Veamos la existencia de la fibracion

K(A, n)→ K(B, n)→ K(C, n)

sean Y y X los espacios K(B, n) y K(C,N) respectivamente , sea f : Y → Xuna aplicacion tal que f∗ : Πn(Y )→ Πn(X) es el epimorfismo B → C . Sea

E = (y, α) ∈ Y ×XI/f(y) = α(0)

116 fibraciones

y p : E → X definido por p(y, α) = α(1) es claro que p es continua y sobre.Veamos que p es una fibracion, en efecto, sea Z un espacio topologico y dadoel diagrama conmutativo

Z g−→ E

↓ j0 ↓ pZ × I H−→ X

esto es, Hj0 = pg. Construiremos una aplicacion continua H : Z× I → E talque Hj0 = g y pH = H, para ello consideremos las proyecciones p1 : E → Yy p2 : E → XI y definamos la aplicacion continua

α : Z × I → XI

por

α(z, t)(s) =

H(z, t+ s− 1) sit ≤ s, t+ s ≥ 1p2g(z)(t+ s) sit ≤ s, t+ s ≤ 1p2g(z)(2s) sit ≥ s, 0 ≤ s ≤ 1

2

H(z, 2s− 1) sit ≥ s, 12≤ s ≤ 1

es facil ver que α esta bien definida y que es continua . Si (z, t) ∈ Z×I se tieneα(z, t)(0) = p2g(z) = (0) = f(p1g(z)) porque (p1g(z), p2g(z)) = g(z) ∈ E.Entonces hay una funcion continua

H : Z × I → E

definida porH(z, t) = (p1g(z), α(z, t))

Es facil de ver que pH = H y H(z, 0) = g(z)Ahora sea

j : Y → E

definida porj(y) = (y, αy)

donde αy ∈ XI es constante en f(y) . Veamos que j es una equivalenciahomotopica , en efecto, j es continua y p1i = 1Y . Sea

β : XI × I → XI

definida por β(α, T )(S) = α(TS) y

F : E × I → E

definida porF (y, α, t) = (y, β(α, t)

fibraciones 117

Entonces F (y, α, 0) = (y, β(α, 0) = (y, αy) = yp1(y, α) y F (y, α, 1) = (y, β(α, 1) =(y, α) , luego jp1 = 1E. Entonces E es un K(B, n) . Viendo la sucesion exactade la fibracion p : E → X , es claro que la fibra es un espacio K(A, n) y queesta sucesion se reduce a =→ A→ B → C → 0Los otros se demuestra de la misma manera

Proposicion 8.1.2 Sea i : A → X una cofibracion , entonces

1iZ : ZX → ZA

es una fibracion

Demostracion.- Dado el diagrama conmutativo

Y f−→ ZX

↓ σ0 ↓ 1iZY × I G−→ ZA

Veamos la existencia de una aplicacion continua H : Y × I → ZX tal que1iZH = G y Hσ0 = f , en efecto, tomando adjunto de las aplicaciones deldiagrama anterior tenemos el siguiente diagrama

X × Y → Z↓ ↑

X × Y × I ← A× Y × I

de la propiedad de extension de homotopıa de la pareja (X × Y,A × Y ) =(X,A)× (A, φ) existe la aplicacion

H : X × Y × I → Z

tomando adjunto se tiene H.

Corolario 8.1.1 La aplicacion

p : XI → X

definida por p(w) = w(1) es una fibracion

Definicion 8.1.4 Un punto base x0 de X se denomina no degenerado six0 → X es una cofibracion

118 fibraciones

Proposicion 8.1.3 Sea p : E → B una fibracion , entonces para cualquierespacio localmente compacto Z la aplicacion

p1Z : EZ → BZ

es una fibracion

Demostracion .- Dada el diagrama conmutativo

X f−→ EZ

↓ σ0 ↓ p1Z

X × I G−→ BZ

Veamos la existencia de una aplicacion continua H : X × I → EZ tal quep1ZH = G y Hσ0 = f , en efecto, tomando adjunto de las aplicaciones deldiagrama anterior tenemos el siguiente diagrama

Z ×X → E↓ ↓ p

Z ×X × I → B

como p es una fibracion existe una aplicacion H : Z ×X × I → E que haceconmutativo el diagrama . Tomando adjunto obtenemos la aplicacion H

Proposicion 8.1.4 Sean p : E → B y q : B → C dos fibraciones , entoncesla composicion qp : E → C es una fibracion

Demostracion Consideremos el siguiente diagrama conmutativo

X g−→ E

↓ p‖ X × I

X pg−→ B

σ0 F ↓ qX × I C

como q es fibracion existe la aplicacion F : X × I → B tal que qF = G yFσ0 = pg y como p es tambien fibracion la aplicacion H : X×I → E tal quepH = F y Hσ0 = g, luego qpH = G y Hσ0 = g lo que prueba la proposicion

fibraciones 119

Definicion 8.1.5 Sean p : E → By f : A→ B aplicaciones continuas

E = a, e) ∈ A× E/p(e) = f(a)

y p : E → A es tal que p(a, e) = a , se dice que p es una aplicacion

inducida por p a traves de f y se denota por E = f ∗E

E f−→ E

↓ p ↓ pA f−→ B

Si f : f ∗E → Ees tal que f(a, e) = e resulta que f es una aplicacion fibrada

Proposicion 8.1.5 Si p : E → B es una fibracion y g : A → B es unaaplicacion continua , entonces la aplicacion inducida p : E → A por p atraves de g es una fibracion

Demostracion Para X un espacio topologico consideremops el siguientediagrama conmutativo

X f−→ E g−→ E

↓ σ0 ↓ p ↓ pX × I F−→ A g−→ B

donde σ0(x) = (x, 0). veamos la existencia de F : X × I → E tal que

F (x, 0) = f(x) y pF = F , en efecto, este diagrama se reduce al siguientediagrama conmutativo

X ↓ gf−−→ E

↓ σ0 ↓ pXI gF−→ B

como p es una fibracion , existe una aplicacion continua ↓ H : X × I → Etal que ↓ H(x, 0) =↓ gf(x) y p ↓ H = gF . Definamos

↓ F : X × I →↓ E

por↓ F (x, t) = (F (x, t), ↓ H(x, t))

↓ F esta bien definida y es tal que

↓ p ↓ F (x, t) =↓ p(F (x, t). ↓ H(x, t))F (x, t)

↓ Fσ0(x) =↓ F (x, 0) = (F (x, 0), ↓ H(x, 0)) = (↓ pf(x), ↓ gf(x)) = f(x)

pues ↓ pf(x) es la proyeccion de f(x) en el primer factor y ↓ gf(x) es laproyeccion de f(x) en el segundo factor.

120 haces fibrados

8.2. Haces fibrados

Definicion 8.2.1 Un haz es una terna ξ = (E, p,B) donde p : E → B esuna aplicacion continua , el espacio B se denomina espacio base , el espacioE se denomina espacio total y la aplicacion p se denomina proyeccion del haz

Para cada b ∈ B, p−1(b)se denomina fibra del haz sobre b ∈ B

Definicion 8.2.2 Un morfismo de haces (f, f) : ξ → ζ es un par deaplicaciones continuas f : E(ξ) → E(ζ) y f : B(ξ) → B(ζ) tal que eldiagrama conmuta

E(ξ) f−→ E(ζ)

↓ p(ξ) ↓ p(ζ)

B(ξ) f−→ B(ζ)

conmuta

Ejemplo 23 La proyeccion del producto cartesiano

p : B × F → B

(x, y) 7−→ x

es un haz con fibra F denominado haz trivial

Definicion 8.2.3 Un haz fibrado p : E → B es un haz localmente trivial confibra fija F , esto es, para cada x ∈ B existe una vecindad abierta U de x talque p−1(U) es un haz trivial , en otras palabras , existe un homeomorfismoϕU : p−1(U)→ U × F tal que el diagrama

U × F ϕ−→ p−1(U)

↓ Π1 ↓ pU = U

esto es , p(ϕ(x, y) = x para x ∈ U , y ∈ FAl igual que variedades podemos usar el concepto de cartas para describirun haz fibrado

Definicion 8.2.4 Una carta (U,ϕ) para un haz p : E → B es un con-junto habierto U de B y un homeomorfismo ϕ : U × F → p−1(U) tal quep(ϕ(x, y)) = x para x ∈ U , y ∈ F

Un atlas es una coleccion de cartas (Uα, ϕα) tal que Uα es un cubrimientoabierto de B

firaciones y sucesiones 121

Proposicion 8.2.1 Un haz p : E → B es un haz fibrado con fibra F sı ysolo si tiene un atlas

Demostracion Es evidente

Proposicion 8.2.2 Sea p : E → B un haz fibrado , entonces p es unafibracion de Serre

Demostracion Veamos que p : E → B tiene la propiedad de levantamientode homotopıa para In , en efecto dado el diagrama

In × 0 g−→ E

↓ ↓ pIn × I G−→ B

queremos construir una homotopıa H : In × I → E que hace conmutativolos dos triangulos , esto es, H |In×0= g y pH = G . Sea (Uα, ϕα) un atlas. Como Uα es un cubrimiento abierto de B , G−1(Uα) es un cubrimientoabierto de In × I esto es

∪αG−1(Uα) = In × I

como In×I es compacto, existe un conjunto finito de abiertosG−1(α1), ..., G−1(Uαk)tal que

∪kk=1G−1(Uαk) = In × I

subdividamos In en cubos pequenos que denotamos por C e I en intervalosIj = [] , 0 ≤ j ≤ m, cada producto C×Ij es aplicado de G en Uαk para algun1 ≤ k ≤ K . Ordenemos los cubos pequenos C por C1, C2, ..., Ct y definamosun orden Ci × Ij por

C1×I0, C2×I0, ..., Ct×I0, ...., C1×I1, C2×I1, ..., Ct×I1, ......, C1×Im, C2×Im, ..., Ct×Im

como G(Ci × Ij) ⊆ Uαkij para algun 1 ≤ kij ≤ K el problema de levanta-

miento puede resolverse por induccion construiendo H |Ci×Ij con la propiedaddeseadaComencemos con el primer caso . Dado el diagrama conmutativo

C1 × 0 g |C1−−→p−1(Uαk1,0

) ⊆ E

↓ ↓ p ↓ pC1 × I0 G |C1×I0−−−−−→

Uαk1,0⊆ B

122 haces fibrados

como p : p−1(Uαk1,0) → Uαk1,0

es un haz trivial , existe el levantamiento

H |C1×I0

Sea ξ = (E, p,B) un haz fibrado con fibra F y un atlas Uα, ϕα) lacomposicion

ϕ−1α ϕβ : (Uα ∩ Uβ)× Fϕβ−→

p−1(Uα ∩ Uβ)ϕ−1α−−→

(Uα ∩ Uβ)× F

tiene la propiedad que

ϕ−1α ϕβ(x, y) = (x, gαβ(x, y))

para cualquier x ∈ Uα ∩ Uβ, y ∈ Fconsideremos la aplicacion continua gαβ : (Uα ∩ Uβ) × F → F . Fijando x,gαβ(x,−) : F → F dada por y 7−→ gαβ(x, y) es homeomorfismo con inversodada por gβα(x,−). Esto da origen a una funcion de transicion

gαβ : Uα ∩ Uβ → Hom(F, F )

donde Hom(F, F ) denota el grupo de homeomorfismosde F en F, y satisfacela ecuacion

gαβ(x)gβγ(x) = gαγ(x)

para x ∈ Uα ∩ Uβ ∩ Uγ) Si α = β = γ

gαα(x)gαα(x) = gαα(x)

luego gαα(x) = (x) para x ∈ UαSi α = γ

gαβ(x)gβα(x) = gαα(x) = x

luego gβα(x) = gαβ(x)−1 para x ∈ Uα ∩ Uβconsideremos en Hom(F, F ) la topologıa compacta abierta . Veamos que lasfunciones de transicion

gβα : Uα ∩ Uβ → Hom(F, F )

son continuas , en efecto,seaWK,U un abierto sub basico del espacioHom(F, F ). Bastara probar que g−1

αβ (WK,U) sea abierto en Uα ∩ Uβ,para ello , sea x0 ∈g−1αβ (WK,U) probemos que existe una vecindad V de x0 tal que x0 ∈ V ⊆g−1αβ (WK,U) o que gαβ(V ×K) ⊆ U . Como U es abierto g−1

αβ (U) es abierto en

(Uα ∩ Uβ)× F con x0 ×K ⊆ g−1αβ (U), pues gαβ : (Uα ∩ Uβ)→ F es continua

. Como g−1αβ (U) es abierto para cada y ∈ K existen vecindades abiertas V

de y N de y tal que V × N ⊆ g−1αβ (U) , como Ny/y ∈ Kes un cubrimien-

to abierto de K , existe un subcubrimiento finito N(y1), ..., N(ym) de K .consideremos V = ∩mj=1 ,luego V ×K ⊆ g−1

αβ (U) o sea gαβ(V ×K) ⊂ U

firaciones y sucesiones 123

Definicion 8.2.5 Sea G un grupo topologico y X un espacio topologico . UnaG-accion por la derecha sobre X es una aplicacion

µ : X ×G→ X

(x, y) 7−→ x.g

para x ∈ X , g ∈ G tal que

1. x,1 = x

2. (x.g).h = x.(gh)

A X se denomina G-espacio(derecha)

Definicion 8.2.6 Sean X e Y G- espacios . Una aplicacion f : X → Y esuna G-aplicacion si f(x.g) = f(x).g para x ∈ X y g ∈ G

Sea XG

el conjunto de las G-orbitas xG , x ∈ X con la topologıa cocientePara g ∈ G fijo la aplicacion x 7−→ x.g es un homoemorfismo , en efecto,tiene como inverso a la aplicacion x 7−→ x.g−1

La aplicacion Π : X → XG

es una aplicacion abierta, en efecto, sea U un subconjunto abierto de X

Π−1(Π(U)) = ∪g∈GU.g

es abierto , puesto que es la union de conjuntos abiertos.

Estamos interesados en que Π : X → XG

sea un haz fibrado con fibra G esdecir un haz principal , estamos buscando condiciones para que esto suceda .Sea x ∈ X

Gentonces Π−1(x) = x.g/g ∈ G = G

Hxdonde Hx = g ∈ G/x.g =

x, para tener una fibra constante G es necesario asumur que la G-accionsobre X sea libre , esto es, x.g = x ⇒ g = 1 para x ∈ X . En este caso sedice que X es un G-espacio libreComo un haz fibrado es localmente trivial , existe siempre una seccion localdel espacio base al espacio total entonces una de las condiciones es que Π :X → X

Gtenga una seccion local, esto es, para cualquier x ∈ X

Gexiste una

vecindad abierta U de x con una aplicacion continua sx : U → X tal queΠsx = 1UDefinamos

ϕx : U ×G→ Π−1(U)

por(y, g) 7−→ sx(g).g

124 haces fibrados

para cuaquier y ∈ U . Tenemos que ϕx es biyectivaLo que queremos es que ϕx sea homeomorfismo para ello es necesario bus-car alguna condicion para que se cumpla, con ese objetivo consideremos laaplicacion

τ : X∗ → G

tal quex.τ(x, y) = y

para todo (x, y) ∈ X∗ donde X∗ = (x, x.g) : x ∈ X, g ∈ G ⊆ X ×Xa la aplicacion τ se denomina la aplicacion traslacion(es unica)

Proposicion 8.2.3 Las siguientes afirmaciones son equivalentes

1. Para cada x ∈ XG

la aplicacion ϕx : U ×G → Π−1(U) donde U es unavecindad de x es un homeomorfismo

2. Existe un atlas Uα, ϕα de XG

tal que los homeomorfismos satisfacen

ϕα : Uα ×G→ Π−1(Uα)

satisfacen la condicion

ϕα(y, gh) = ϕα(y, g).h

esto es, ϕα es un homeomorfismo de G-espacios

3. la aplicacion traslacion es continua

Demostracion(1)⇒ (2) Es evidente(2)⇒ (3)La traslacion para G-espacios libres es unica (3)⇒ (1)

Definicion 8.2.7 Un G-haz principal es un G-espacio libre X tal que

Π : X → X

G

tiene una seccion local y una de las condiciones de la proposicion anterior.

Capıtulo 9

ANILLO DE COHOMOLOGIASINGULAR

9.1. Cohomologıa singular

Sean A y G grupos abelianos, denotemos por Hom(A,G) al grupo abe-liano de homomorfismos de A en G. En particular , si (X,A) es una parejade espacios . Definamos

∆n(X,A;G) = Hom(∆n(X,A), G))

yδn : ∆n(X,A;G)→ ∆n+1(X,A;G)

porδn(f)(c) = f∂n+1(c)

donde c ∈ ∆n+1(X,A) y f ∈ ∆n(X,A;G)

Proposicion 9.1.1 (∆n(X,A;G), δn) es un complejo de cocadenas

Demostracion .- Basta probar que δn+1δn = 0 ,en efecto,

δn+1δn(f)(c) = δn(f)∂n+2(w) = f∂n+1∂n+2(c) = 0

∂q : ∆q → ∆q−1 para toda q ≥ 0 y ∂n+1∂n+2 = 0 , c ∈ ∆n+2 , f ∈ ∆n(X,A;G)

Definicion 9.1.1 Al grupo abeliano

Hn(X,A;G) =Zn(X,A;G)

Bn(X,A;G)

donde Zn(X,A;G) = Ker(δn : ∆n(X,A;G)→ ∆n+1(X,A;G)), Bn(X,A;G) =Im(δn−1 : ∆n−1(X,A;G) → ∆n(X,A;G)) se denomina el n-esimo grupode cohomologıa singular de (X,A) con coeficientes en G

125

126 cohomologıa

Si0→ A→ B → C → 0

es una sucesion exacta de grupos abelianos y G es un grupo abeliano, lasiguiente sucesion

0→ Hom(C,G)→ Hom(B,G)→ Hom(A,G)

es exacta y si es escindible resulta que la sucesion

0→ Hom(C,G)→ Hom(B,G)→ Hom(A,G)→ 0

es exactaSi (X,A) es una pareja de espacios , la sucesion

0→ ∆q(X,A;G)→ ∆q(X,G)→ ∆q(A,G)→ 0

es exacta escindible puesto que ∆q(X,A) es libre , luego la sucesion

0→ ∆q(X,A;G)→ ∆q(X;G)→ ∆q(A,G)→ 0

es exacta e induce una sucesion exacta en cohomologıa

..→ Hq(X,A;G)→ Hq(X;G)→ Hq(A;G) ∂−→Hq+1(X,A;G)→ ...

el homomorfismo de conexion ∂ se define en forma analoga al homomorfismode conexion para homologıa.

Sean C y D complejo de cadenas , f, g : C → D aplicaciones de cadenas, f ' g, G un grupo abeliano enlas aplicaciones de cocadena

F ], g] : Hom(D,G)→ Hom(C,G)

son homotopicos de cadena , F ] ' g] , en efecto, si T : f ' g entoncesT ] : F ] ' g]

Una aplicacion de parejas f : (X,A) → (Y,B) induce un homomorfismof ∗ : H∗(Y,B;G) → H∗(X,A) y si g : (Y,B) → (Z,C) es otra aplicacion deparejas , entonces (gf)∗ = f ∗g∗

Proposicion 9.1.2 Si f, g : (X,A) → (Y,B) son aplicaciones de parejashomotopicas entonces f ∗ = g∗ : H∗(Y,B;G)→ H∗(X,A;C)

Demostracion.- Si f ' g entonces f] ' g], luego f ] ' g] de aquı resultaf ∗ = g∗

cohomologıa singular 127

Proposicion 9.1.3 Sea una pareja de espacios tales que U ⊆ A entonces lainclusion i : (X − U,A− U) → (X,A) induce isomorfismo en cohomologıa

I∗ : H∗(X,A;G)→ H∗(X − U,A− U)

Demostracion .-Por corolario i] : ∆q(X − U,A − U) → ∆q(X,A) induceisomorfismo en homologıa i∗ : Hq(X − U,A− U)→ Hq(X − U,A− U) paracada q . Como ∆q(X − U,A − U) y ∆q(X,A) son grupos abelianos libres ies una equivalencia homotopica Hq(X,A;G) ∼= Hq(X − U,A− U ;G)

Hq(−;G) es un funtor contravariante de la categorıa de parejas de espa-cios en la categorıa de grupos abelianos. Existen transformaciones naturales

δ : Hq(A,G)→ Hq(X,A;G)

hacen que verifique los axiomas de Eilenberg- Steenrod que define una teorıade cohomologıa , esto es:

1.-..→ Hq(A;G)→ Hq+1(X,A;G)→ Hq+1(X,G)→ ...2.- Si f ' g : (X,A)→ (Y,B) entonces f ∗ = g∗ : Hq(Y,B;G)→ Hq(X,A;G)3.- Si U ⊆ U ⊆ A, la inclusion i : (X − U,A − U) → (X,A) induce isomor-fismo Hq(X,A;G)→ Hq(X − U,A− U ;G)4.- Si P es un espacio de un solo punto entonces Hq(P,G) = G si q = 0 y es0 si q 6= 0

Hemos definido el grupo de cocadenas ∆q(X,A;G) = Hom(∆q(X,A);G).Si φ es una cocadena en ∆q(X,A;G) y c es una cadena en ∆q(X,A)el valorde φ en c , φ(c) es un elemento de G denotado usualmente por 〈φ, c〉 o seaφ(c) = 〈φ, c〉 . Este apareamiento produce un homomorfismo

〈, 〉 : ∆q(X,A;G)×∆q(X,A)→ G

para cada p.

Tenemos

〈φ1 + φ2, c〉 = 〈φ1, c〉+ 〈φ2, c〉

〈φ, c1 + c2〉 = 〈φ, c1〉+ 〈φ, c2〉

Los operadores borde y coborde son adjuntos, esto es,

〈δφ, c〉 = 〈φ, ∂c〉

128 cohomologıa

Aun mas, si f : (X,A→)(Y,B) es una aplicacion de parejas , φ ∈ ∆q(X,A;G), c ∈ ∆q(X,A) entonces

〈δφ, f](c)〉 = 〈δf ](φ), c〉

Una cocadena φ ∈ ∆q(X,A;G) es un cocıclo sı solo si 〈δ(φ), c〉 = 0 para todoc ∈ ∆q+1(X,A) o equivalentemente 〈φ, ∂c〉 = 0

Si φ ∈ ∆q(X,A;G) es un coborde , φ = δψ donde ψ ∈ ∆q−1(X,A;G)entonces 〈φ, c〉 = 〈δψ, c〉 = 〈ψ, ∂c〉Sean [φ] ∈ Hn(X,A;G) y [c] ∈ Hn(X,A) definamos un apareamiento

〈, 〉 : Hn(X,A;G)⊗Hn(X,A)→ G

por

〈[φ], [c]〉 = 〈φ, c〉

esta definicion no depende de la eleccion de φ y c, en efecto, si φ− ψ = δ(γ)y c− d = ∂(e) tenemos

〈φ, c〉 − 〈ψ, d〉 = 〈φ− ψ, c− d〉= 〈δ(γ), ∂(e)〉= 〈γ, ∂∂(e)〉= 0

este apareamientose denomina Indice de Kroneckerse puede ver como un homomorfismo

α : Hn(X,A;G)→ Hom(Hn(X,A);G)

α([φ])([c]) = 〈φ, c〉

Proposicion 9.1.4 α es un isomorfismo si Hn−1(X,A) = 0 o es libre

Demostracion Veamos que α es sobre, en efecto, sea f ∈ Hom(Hn(X,A);G)la composicion

Zn(X,A) p−→Hn(X,A) f−→G

se extiende a un homomorfismo F : ∆n(X,A)→ G

Ahora〈δF, c〉 = 〈F, ∂c〉

= 0

cohomologıa singular 129

donde c ∈ ∆n+1(X,A)luego [F ] ∈ Hn(X,A;G)

α([F ])([c]) = 〈F, ∂c〉= F (c)= f([c])

o sea α[F ] = fVeamos Ker(α) = 0 en efecto, sea [φ] ∈ Ker(α) entonces α([φ])([c]) = 0

para todo [c] ∈ Hn(X,A) . Como Hn−1(X,A) = Zn−1(X,A)Bn−1(X,A)

es libre o cero

φ∂−1 : Bn−1(X,A) → G puede extenderse a g : Zn−1(X,A) → G entoncespuede extenderse a ψ : ∆n−1(X,A)→ G . Luego

〈δ(ψ), [c]〉 = 〈ψ, ∂[c]〉= φ∂−1(∂[c])= 〈φ, [c]〉

es decir δ(ψ) = φEn general tenemos

Proposicion 9.1.5 Dada una pareja de espacios (X,A) y un grupo G lasucesion

0→ Ext(Hn−1(X,A);G)→ Hn(X,A;G)α−→Hom(Hn(X,A);G)→ 0

es exacta escindible

130 cohomologıa

Capıtulo 10

HOMOLOGIA DE ESPACIOSFIBRADOS

En este capıtulo introducimos el metodo de la sucesion espectral para elestudio de la homologıa de una fibracion la cual se obtendra a partir de lapareja exacta de Massey

10.1. Pareja Exacta

En la discucion algebraica de esta seccion supondremos que estamos tra-bajando en la categorıa de gruabelianos graduados

Definicion 10.1.1 Una pareja exacta es un par D, E de grupos abelianosjunto con homomorfismos α, β, γ tales que el triangulo

D α−→ Dγ β

E

es exacta en cada vertice

.Si d = βγ : E → E entonces dd = βγβγ = 0 , pues γβ = 0. Ası (E, d)es

un complejo de cadenas , dondeKer(d) = γ−1(α(D)), en efecto , x ∈ Ker(d) ⇐⇒ d(x) = 0 ⇐⇒ βγ(x) =0⇐⇒ γ(x) ∈ Ker(β) = Im(d) = α(D)⇐⇒ x ∈ γ−1(α(D))Im(d) = β(Ker(α)) , en efecto, y ∈ Im(d) ⇐⇒ existe x ∈ E tal qued(x) = y ⇐⇒ βγ(x) = y ⇐⇒ y ∈ β(Ker(α)) pues γ(x) ∈ Im(γ) = Ker(α)

131

132 homologıa de espacios fibrados

Si E1 = H(E, d) = Ker(d)Im(d)

= γ−1(α(D))β(Ker(d))

, D1 = α(D) ⊆ D, α1 = α |D1 ,

β1(α/(x)) = [β(x)], donde x ∈ D , γ1[y] = γ(y) donde y ∈ EVeamos β(x) es un cıclo , en efecto, d(β(x)) = βγβ(x) = 0. Veamos que β1(z)con z ∈ D1 depende solo de z, en efecto, si α(x) = α(y) entonces α(x−y) = 0o sea x− y ∈ Ker(α), luego

β(x)− β(y) = β(x− y) ∈ β(Ker(α)) = Im(d)

o sea β(x)− β(y) = d(u) para algun u ∈ E. Pasando a clases tenemos

[β(x)]− [β(y)] = [β(x− y)] = [d(u)] = 0

β1(α(x)) = [β(x)] = [β(y)] = β1(α(y))

Veamos γ(y) ∈ D1 , en efecto, βγ(y) = d(y) = 0 , pues y es cıclo ,luegoγ(y) ∈ Ker(β) = Im(α) = α(D) = D1

Veamos γ(y) = 0 sı y es una frontera, en efecto, si y = d(x) para algunx ∈ E entonces y = βγ(x), luego γ(y) = γβγ(x) = 0, pues γβ = 0

Proposicion 10.1.1D1

α1−→ D1

γ1 β1

E1

es una pareja exacta

Demostracion .- Imγ1 ⊆ Ker(α1) , en efecto, α1γ1[z] = αγ(z) = 0 . Vea-mos Ker(α1) ⊆ Imγ1 , en efecto, sea x ∈ Ker(α1) entonces α1(x) = 0 conx ∈ D1 = Im(α) = Ker(β) de donde resulta β(x) = 0. Como α1 = α |D ,x ∈ Kerα1 = Ker(α) = Im(γ) entonces existe y ∈ E tal que γ(y) = x ,luego α(y) = βγ(y) = β(x) = 0 , pasando a clases [y] ∈ E1, γ1[y] = γ(y) = xlo que prueba x ∈ Imγ1

Veamos Im(α1)Ker(β1), en efecto, β1α1(x) = [β(x)] = 0 pues x ∈ D1 =Ker(β)

Veamos Ker(β1) ⊆ Im(α1) , en efecto, sea z ∈ Ker(β1) entonces β1(z) =0 con z ∈ D1 = α(D)o sea z = α(x) , con x ∈ D luego 0 = β1(α(x)) = [β(x)]de donde β(x) ∈ Im(d) entonces existe y ∈ E tal que d(y) = βγ(y) = β(x)luego β(γ(y)− x) = 0 o sea γ(y)− x = x0 con x0 ∈ Ker(β) = Im(α) = D1

luego z = α(x) = α(γ(y)− x) = α1(x0) = α(x0) ∈ Im(α1)

pareja exacta 133

Veamos Im(β1) ⊆ Ker(γ1) , en efecto,

γ1β1(α(x)) = γ1[β(x)] = γβ(x) = 0

Veamos Ker(γ1) ⊆ Im(β1) , en efecto, se [z] ∈ Kewr(γ1) o sea γ(z) =γ1[z] = 0 o sea z ∈ Ker(γ) = Im(β) entonces existe x ∈ D tal que β(x) = zpasando a clases [z] = [β(x)] = β1(α(x)) ∈ Im(β1)

A la pareja exacta de la proposicion se denomina pareja derivada de lapareja exacta original.

El proceso de derivacion puede ser indefinido, produciendo una sucesioninfinita de parejas exactas

Dnαn−→ Dn

γn βnEn

donde dn = αn(D) ⊆ D, αn = α.....α , αn = α |Dn

En =γ−1(αn(D))

β(Ker(αn))

definamosβn(αn(x)) = β(x) + β(Ker(αn))

Veamos que esta bien definida, en efecto, si αn(x) = αn(y) tenemos x− y =Ker(αn) y β(x)− β(y) ∈ β(Ker(αn)) luego

γn(z + β(Ker(αn))) = γ(z) ∈ αn(D) = Dn

definamosdn : En → En

por dn = βnγn tenemos

dn(z + β(Ker(αn))) = βnγn(z + β(Ker(αn)))= βn(γ(z))= βn(αn(z))= β(x) + β(Ker(αn))

pues γ(z) = αn(x) con x ∈ DAsı (En, dn) es un complejo de cadenas cuyo grupo de homologıa es En+1

. De esta manera obtenemos una sucesion espectral denomina sucesion es-pectral de la pareja exactaAsociada a cada sucesion espectral existe un importante grupo lımite E∞

E∞ =γ−1(∩n≥0Im(αn))

β(∪n≥0Ker(αn))

134 homologıa de espacios fibrados

Definicion 10.1.2 Una sucesion espectral es una sucesion En, dn : n ∈Z+ donde En son grupos abelianos , dn : En → En endomorfismos tales que

dndn = 0 y En+1 = H(En, dn) = Ker(dn)Im(dn)

, n = 0, 1, 2....

Un homomorfismo de una sucesion espectral En, dn : n ∈ Z+ a otrasucesion espectral E ′n, d

′n : n ∈ Z+ es una sucesion de homomorfismos

fn : En → E′

n

tal que1.-d

′nfn = fndn

2.-fn+1 es inducido por fn en homologıa , para todo n ∈ Z+

Ejemplo 24 Pareja exacta de un complejo de cadenas filtrado y la sucesionespectral asociada.

Sea (C, ∂) un complejo de cadenas, Cp una filtracion de C o sea unafamilia de sub complejos de C tal que

... ⊂ Cp−1 ⊂ Cp ⊂ Cp+1 ⊂ .... ⊂ C

supongamos Cp = 0 para p < 0

∪pCp = C

de la sucesion exacta corta

0→ Cp−1 i−→ Cp j−→ Cp

Cp−1→ 0

obtenemos una sucesion exacta larga en homologıa

...→ Hp+q(Cp−1) α−→ Hp+q(C

p)β−→ Hp+q(

Cp

Cp−1)

γ−→ Hp+q−1(Cp−1)→ ...

de aquı obtenemos una pareja exacta bigraduada

Dp,q = Hp+q(Cp) , Ep,q = Hp+q(

Cp

Cp−1 )

αp,q : Dp,q = Hp+q(Cp)→ Dp+1,q−1 = Hp+q(C

p+1)

βp,q : Dp,q = Hp+q(Cp)→ Ep,q = Hp+q(

Cp

Cp−1)

pareja exacta 135

γp,q : Ep,q = Hp+q(Cp

Cp−1)→ Dp−1,q = Hp+q−1(Cp−1)

tenemos

...→ Dp−1,q+1

αp−1,q+1−→ Dp,qβp,q−→ Ep,q

γp,q−→ Dp−1,q → ...

La diferencial de la pareja exacta es

d = βγ : Ep,q = Hp+q(Cp

Cp−1)→ Ep−1,q = Hp+q−1(Cp−1)

E∞p,q =γ−1(∩r≥0Im(αr : Dp−1−r,q+r → Dp−1,q))

β(∪r≥0Ker(αr : Dp,q → Dp+r,q−r))

afirmamos que esta sucesion espectral converge a H∗(C, ∂), en efecto,definamos una filtracion de H∗(C, ∂).

FpH∗(C, ∂) = Im(ip : H∗(Cp)→ H∗(C)

y definamos

ϕ : FpHp+q(C, ∂)→ E∞p,q

como sigue: dado x ∈ FpHp+q(C, ∂), x = ip(y) para algun y ∈ Hp+q(Cp) =

Dp,q , βp,q(y) ∈ Ep,q. Como γp,qβp,q(y) = 0 el elemento βp,q(y) representa unaclase en E∞p,q. Luego

ϕ(x) = [βp,q(y)]

Veamos que ϕ esta bien definido. Tenemos

Ker(ip) ⊂ Ker(αr : H∗(Cp)→ H∗(C

p+r))

si r es suficientemente grande , en efecto, sea u ∈ Ker(ip), u0 ∈ Cp un ciclorepresentante de u entonces u0 = ∂v0 para algun v0 ∈ C .

Como ∪Cp = C , v0 ∈ Cp+r para algun r y ası u ∈ Ker(αr). Ahora si zes otro elemento con ip(z) = x entonces y − z ∈ Ker(ip) y por lo anteriory − z ∈ Ker(αr) para algun r entonces β(y)− β(z) es cero en E∞.

Veamos que ϕ es sobre, en efecto, [u] ∈ E∞p,q = γ−1(0)β(∪r≥0Ker(αr))

= Ker(γ)β(∪r≥0Ker(αr))

, pues ∩r≥0Im(αr) = 0, debido a que Cp = 0 si p es suficientemente pequeno.Como Ker(γ) = Im(β) existe y ∈ Dp,q = Hp+q(C

p) tal que β(y) = u, luegoexiste ip(y) ∈ FpHp+q(C, ∂) tal que

ϕ(ip(y)) = [β(y)] = [u]

136 cuadrado de Steenrod

Veamos Ker(ϕ) = Fp−1Hp+q(C, ∂) , en efecto, sea x ∈ Fp−1Hp+q(C, ∂) ,existe y ∈ H∗(Cp−1) tal que x = ip−1(y) = ip(α(y)), luego ϕ(x) = [β(α(y))] =0 o sea x ∈ Ker(ϕ), lo que prueba

Fp−1Hp+q(C, ∂) ⊆ Ker(ϕ)

Sea x ∈ Ker(ϕ), ϕ(x) = 0 en E∞ , ip(y) = x entonces β(y) = β(z) paraalgun z tal que αr(z) = 0 para algun r . Tenemos y− z ∈ Ker(β) = Im(α) ,y − z = α(u) para algun u

x = ip(y)= ip(z) + ip(α(u))= ip(α(u)) pues ip(z) = 0 ya que Ker(ip) ⊆ Ker(αr)= ip−1(u) pues ipα = ip−1

luego x ∈ Fp−1Hp+q(C, ∂), por el teorema fundamental de isomorfismo

FpHp+q(C, ∂)

Fp−1Hp+q(C, ∂)∼= E∞p,q

10.2. Sucesion espectral de una fibracion

Teorema 10.2.1 Sea p : E → B una fibracion con fibra F, B simplemen-te conexa, p,q,r ≥ 2 son enteros entonces existen grupos abelianos Ep,q

r yhomomorfismos dp,qr : Ep,q

r → Ep−r,q+r−1r tal que

1. Ep,qr = 0 si p < 0 o q < 0

2. Ep,q2 = Hp(B,Hq(F ))

3. Ep,qr+1 = Ker(dp,qr )

Im(dp+r,q−r+1r )

4. Ep,q∞ = Jp,q

Jp−1,q+1

donde Hn(E) = Jn,0 ⊃ Jn−1,1 ⊃ Jn−2,2 ⊃ ..... ⊃ J0,n ⊃ J−1,n+1 = 0

10.3. Cuadrados de Steenrod y relaciones de

Adem

Definicion 10.3.1 una operacion cohomologica de tipo (q,G;n,G′) es

una transformacion natural

Θ : Hq(−, G)→ Hn(−, G′)

operaciones cohomologicas 137

esto es, si X es un espacio topologico

ΘX : Hq(X,G)→ Hn(X,G′)

es homomorfismo y si, f : X → Y una aplicacion continua, el diagramasiguiente conmuta

Hq(X,G)ΘX−→ Hn(X,G

′)

f ∗ ↓ ↓ f ∗

Hq(Y,G)ΘY−→ Hn(Y,G

′)

Construiremos una familia de operaciones cohomologicas Siq∞i=0 deno-minado cuadrados de Steenrod

Siq : Hq(−, Z2)→ Hq+i(,Z2)

satisfaciendo las siguientes propiedades

1. Siq es homomorfismo, Si0 es la identidad

2. Si dim(x) = i ,Siqx = x2

3. Si i > q ,Siqx = 0 , (q = dim(x))

4. Si u ∈ H∗(X,A) , v ∈ H∗(Y,B) y A × Y,X × B es un par escisivoen X × Y entonces

Siq(u× v) = Σki=0S

iqu× Sk−iq v

Para cualquier complejo de cadenas C sea T : C ⊗ C → C ⊗ Claaplicacion de cadenas que cambia los factores

T (x⊗ y) = (−1)dim(x)dim(y)y ⊗ x

escribamos 4(X) para 4(X,Z2)

Lema 10.3.1 Existe una familia funtorial de homomorfismos

Dj : 4(X)→4(X)⊗4(X)

de grado j tal que:

1. D0 es de cadena y conmuta con la aumentacion

138 cuadrado de Steenrod

2. Para j > 0 , ∂Dj +Dj∂ +Dj−1 + TDj−1 = 0 Si Dj y D′j son dossucesiones , existe una familia de homomorfismos funtoriales Ej

Ej : 4(X)→4(X)⊗4(X)

de grado j tal que

3. E0 = 0

4. Si j ≥ 0 , ∂Ej+1 + Ej+1∂ + Ej + TEj +Dj +D′j = 0

Demostracion.- Usaremos la teorıa de modelos acıclicos. Sea R el anillode grupo de Z2 sobre el campo Z2 , R es Z2[t] modulo ,la relacion t2 + 1 = 0, los elementos de R son a + bt con a, b ∈ Z2. Construiremos una resolucionR- libre y acıclico de Z2

0← Z2ε−→ C0 ← C1 ← C2 ← ....

cq tiene un generador dq y ∂qdq = (1 + t)dq−1 , ∂q−1∂qdq = (1 + t)2dq−2 = 0 .Veamos que es acıclico . Supongamos

∂q((a+ bt)dq) = (a+ bt)(1 + t)dq−1 = 0

luego a+ b = 0 , (a+ bt)dq = ∂q+1(adq+1) y ε(d0) = 1

consideremos el funtor 4(X) ⊗Z2 C, es aumentado y libre sobre R conmodelos 4qq≥0 y base ζq ⊗ dj. Consideremos 4(X) ⊗ 4(X) como rmodulo , dejando que t actue como T entonces 4(X)⊗4(X) es aumentadoy acıclico con modelos 4qq≥0 . Por el teorema de modelos acıclicos existeuna aplicacion de cadenas

ϕ : 4(X)⊗ C →4(X)⊗4(X)

que preserva aumentacion.

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