notas de aulas andr´e arbex hallack setembro/2006 · 2009. 8. 5. · bola aberta de mesmo centro,...

Analise no IRn

Notas de aulas

Andre Arbex Hallack

Setembro/2006

Indice

1 Nocoes Topologicas no IRn 1

1.1 O espaco vetorial IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Topologia usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Norma de uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Aplicacoes Diferenciaveis 19

2.1 Definicao: diferenciabilidade de uma aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Exemplos de aplicacoes diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 A desigualdade do valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 O Teorema da Aplicacao Inversa 51

3.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 O Teorema da Aplicacao Injetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 O Teorema da Aplicacao Sobrejetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4 O Teorema da Aplicacao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5 O Teorema da Aplicacao Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

i

3.6 As classes de diferenciabilidade Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.7 Aplicacao: superfıcies regulares no IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.9 O Teorema do Posto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4 Integrais Multiplas 75

4.1 A definicao de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Caracterizacao das funcoes (Riemann-) integraveis . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3 Integrabilidade em domınios mais gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4 Somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Referencias 89

Capıtulo 1

Nocoes Topologicas no IRn

1.1 O espaco vetorial IRn

Consideremos o conjunto IRn = (x1, x2, . . . , xn) ; xi ∈ IR , i = 1, 2, . . . , n das n-uplas de

numeros reais.

Dados x = (x1, x2, . . . , xn) , y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn e α ∈ IR, definimos:

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

α.x = (αx1, αx2, . . . , αxn)

Estas operacoes fazem do IRn um espaco vetorial de dimensao n sobre o corpo IR dos

numeros reais.

Produto interno no espaco IRn:

Definimos o PRODUTO INTERNO CANONICO < , > : IRn × IRn → IR pondo:

< x, y > = x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn ∀ x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ IRn

Normas:

A partir do Produto Interno Canonico acima definido, construımos a NORMA(?)

EUCLI-

DIANA ‖ ‖e : IRn → IR pondo:

‖x‖e =√< x, x > ∀ x ∈ IRn

1

2 CAPITULO 1

Obs.: Outras duas normas(?)

se destacam no IRn:

A NORMA DO MAXIMO ‖ ‖m : IRn → IR dada por

‖x‖m = max |x1| , |x2| , . . . , |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn

A NORMA DA SOMA ‖ ‖s : IRn → IR dada por

‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn

E facil mostrar(?)

que estas duas normas nao provem de produto interno algum no IRn.

Para todo x ∈ IRn temos(?)

:

‖x‖m ≤ ‖x‖e ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m

Metricas, bolas e conjuntos limitados:

A partir de qualquer norma ‖ ‖ no IRn podemos construir, de modo natural, uma metrica

d : IRn × IRn → IR (nocao de distancia), pondo:

d(x, y) = ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ IRn

Seguem definicoes de certos lugares geometricos basicos:

Definicao 1.1. Consideremos uma norma ‖ ‖ no IRn. Dados um ponto a ∈ IRn e um

numero real r > 0, definimos:

(i) BOLA ABERTA de centro a e raio r: B(a; r) = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ < r

(ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r: B[a; r] = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ ≤ r

(iii) ESFERA de centro a e raio r: S[a; r] = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ = r

Obs.: E claro que os lugares geometricos acima definidos dependem da norma ‖ ‖considerada.

A seguir definimos uma relacao de equivalencia entre normas:

Definicao 1.2. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao ditas EQUIVALENTES quando,

sempre que for dada uma bola aberta, considerando uma das normas, e possıvel obter uma

bola aberta de mesmo centro, considerando a outra norma, contida na primeira.

Nocoes Topologicas no IRn 3

A “equivalencia”, assim definida, alem de SIMETRICA (por definicao), e REFLEXIVA E

TRANSITIVA, sendo portanto uma RELACAO DE EQUIVALENCIA(?)

.

Proposicao 1.3.(?)

Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao equivalentes se, e somente se,

existem constantes k, l > 0 tais que:

l. ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ k. ‖x‖2 ∀ x ∈ IRn

Ja vimos antes que ‖x‖m ≤ ‖x‖e ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m , para todo x ∈ IRn.

Portanto as normas Euclidiana, do Maximo e da Soma sao EQUIVALENTES!

Definicao 1.4. Um conjunto X ⊂ IRn e limitado (“em relacao a norma ‖ ‖”) quando existir

uma constante c > 0 tal que ‖x‖ ≤ c para todo x ∈ X.

E imediato que se duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao equivalentes entao um conjunto

X ⊂ IRn e limitado em relacao a norma ‖ ‖1 se, e somente se, X e limitado em relacao a

norma ‖ ‖2.(?)

Proposicao 1.5.(?)

Um conjunto X ⊂ IRn e limitado (em relacao a qualquer norma equi-

valente a Norma do Maximo) se, e somente se, todas as suas projecoes

X1 = π1(X), X2 = π2(X), . . . , Xn = πn(X)

sao conjuntos limitados em IR.

1.2 Sequencias

Definicao 1.6. Dizemos que uma sequencia (xk) no IRn converge para o limite a ∈ IRn

(“em relacao a norma ‖ ‖”) quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter um ındice

k0 ∈ IN tal que k > k0 ⇒ ‖xk − a‖ < ε. Neste caso escrevemos: a = lim xk ou xk → a.

De modo equivalente temos que, para cada ε > 0 , os termos xk estao na bola aberta

B(a; ε) (em relacao a norma considerada), para todo k suficientemente grande.

Uma consequencia importante da definicao acima e que, se duas normas no IRn sao

equivalentes, entao a convergencia de uma sequencia independe de qual das nor-

mas equivalentes e considerada(?)

.

4 CAPITULO 1

Consequencias imediatas:(?)

(i) limxk = a ⇔ lim ‖xk − a‖ = 0

(ii) Toda sequencia convergente e limitada.

(iii) Se lim xk = a entao toda subsequencia de (xk) converge para a.

(iv) O limite de uma sequencia convergente e unico.

Uma sequencia (xk) no IRn equivale a n sequencias de numeros reais, ou seja, para todo

k ∈ IN , xk =(x

(k)1 , x

(k)2 , . . . , x

(k)n

), onde x

(k)i = πi(xk) = i-esima coordenada de xk. Essas n

sequencias sao ditas as Sequencias DAS COORDENADAS de (xk).

Proposicao 1.7.(?)

Uma sequencia (xk) no IRn converge (em relacao a qualquer norma

equivalente a Norma do Maximo) para o ponto a = (a1, a2, . . . , an) se, e somente se, para

cada i = 1, 2, . . . , n tem-se limx(k)i = ai , ou seja, cada coordenada de xk converge para a

coordenada correspondente de a.

Corolario 1. Dadas as sequencias convergentes (xk), (yk) no IRn e (αk) em IR, sejam

limxk = a, lim yk = b e limαk = α. Entao:

(i) lim(xk + yk) = a+ b

(ii) limαk.xk = α.a

(iii) lim < xk, yk > = < a, b >

A seguir dois importantes resultados, onde usamos o fato de IRn ter dimensao finita:

Teorema 1.8. (Bolzano-Weierstrass)(?)

Toda sequencia limitada (em relacao a qualquer

norma equivalente a Norma do Maximo) em IRn possui uma subsequencia convergente.

Prova: Exercıcio (Sugestao: use o mesmo resultado em IR para as sequencias das coorde-

nadas, juntamente com a proposicao anterior)

Teorema 1.9. Duas normas quaisquer no espaco IRn sao equivalentes.

Demonstracao:

Sejam ‖ ‖s : IRn → IR a Norma da Soma, dada por

‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn| ∀ x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn

e ‖ ‖ : IRn → IR uma norma qualquer no IRn.


Temos:

(i) Por transitividade, se mostrarmos que ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, entao o teorema

estara demonstrado.

(ii) Para a Norma da Soma valem os resultados anteriores, pois ela e equivalente a Norma

do Maximo.

Consideremos a Base Canonica β = e1, e2, . . . , en do IRn.

Para todo vetor x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn, temos:

‖x‖ = ‖x1e1 + . . .+ xnen‖ ≤ |x1| . ‖e1‖+ . . . |xn| . ‖en‖ ≤ b.(|x1|+ . . .+ |xn|) = b. ‖x‖s

onde b = max ‖e1‖ , . . . , ‖en‖ (repare que este b esta bem definido, pois tomamos o

maximo em um conjunto finito de numeros reais).

Logo ‖x‖ ≤ b. ‖x‖s para todo x ∈ IRn. (1)

Resta mostrarmos que existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn.

De fato: se isto nao ocorrer temos que para todo k ∈ IN e possıvel obter um xk ∈ IRn

tal que ‖xk‖s > k. ‖xk‖ (pois k nao serviria como tal a > 0 ).

Tomemos, para cada k ∈ IN, uk =xk

‖xk‖s

(note que a sequencia (uk) esta bem definida,

pois ‖xk‖s > 0 ∀k )

Como ‖uk‖s = 1 para todo k (verifique), temos que (uk) e limitada em relacao a Norma

da Soma.

Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, (uk) tem uma subsequencia (ukj) convergente (na

Norma da Soma) para um ponto u ∈ IRn.

Temos entao que∥∥ukj

∥∥s→ ‖u‖s. Logo ‖u‖s = 1 , o que significa que u 6= 0.

Agora, dado ε > 0, e possıvel obter kj0 tal que∥∥ukj0

− u∥∥

s<

ε

2be

1

kj0

<ε

2.

Logo

‖u‖ ≤∥∥ukj0

− u∥∥ +

∥∥ukj0

∥∥ ≤ b.∥∥ukj0

− u∥∥

s+

1

kj0

.∥∥ukj0

∥∥s< b.

ε

2b+

ε

2= ε .

Assim ‖u‖ = 0 ⇒ u = 0 (contradicao!)

Entao, obrigatoriamente, existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn. (2)

Por (1) e (2), ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, qualquer que seja a norma ‖ ‖ no IRn.

6 CAPITULO 1

Por transitividade, temos entao que duas normas quaisquer no IRn sao equivalentes.

Obs.: A luz deste ultimo teorema, temos tambem que os resultados anteriores sao

validos para qualquer norma considerada no IRn.

Proposicao 1.10. (IRn e Banach)(?)

Uma sequencia (xk) no IRn e convergente (em

relacao a qualquer norma ‖ ‖ considerada) se, e somente se, ela e uma Sequencia de Cauchy.

Prova: Exercıcio (Sugestao: use a norma do maximo, a proposicao 1.7 e o resultado ja

conhecido para sequencias de numeros reais)

Prove tambem o resultado acima sem usar o que ja foi provado para sequencias de numeros

reais(?)

.

1.3 Topologia usual

Conjuntos abertos:

Definicao 1.11. Um ponto a e dito um PONTO INTERIOR a um conjunto X ⊂ IRn

quando existe ε > 0 tal que B(a; ε) ⊂ X. Se denotarmos por intX o conjunto dos pontos

interiores a X (INTERIOR de X), e imediato que intX ⊂ X. Se a ∈ intX entao X e dito

uma VIZINHANCA de a.

Um conjunto A ⊂ IRn e dito ser ABERTO (em IRn) quando A = intA.

Um conjunto B ⊂ X e dito ser um conjunto ABERTO EM X quando existe um conjunto

aberto (em IRn) A tal que B = X ∩ A .


(i) φ e IRn sao abertos.

(ii) A intersecao A = A1 ∩ . . . ∩ Al de uma colecao FINITA de abertos e um aberto.

(iii) A reuniao A =⋃λ∈L

Aλ de uma colecao arbitraria Aλλ∈L de abertos e um aberto.

(iv) Toda bola aberta B(a; r) e um conjunto aberto.

(v) Para todo X ⊂ IRn tem-se: intX =⋃

A ⊂ X

A aberto

A


Conjuntos fechados:

Definicao 1.12. Um ponto a e dito um PONTO ADERENTE a um conjunto X ⊂ IRn

quando existe uma sequencia (xk) em X ( xk ∈ X ∀ k ) tal que xk → a . Se denotarmos por

clX o conjunto dos pontos aderentes a X (FECHO de X), e imediato que X ⊂ clX.

Um conjunto F ⊂ IRn e dito ser FECHADO (em IRn) quando F = clF .

Um conjunto B ⊂ X e dito ser um conjunto FECHADO EM X quando existe um conjunto

fechado (em IRn) F tal que B = X ∩ F .

Dado X ⊂ IRn , definimos frX = clX ∩ cl (IRn\X) (FRONTEIRA de X).

Sejam Y ⊂ X ⊂ IRn . Dizemos que Y e DENSO em X quando X ⊂ clY (todo ponto

de X e limite de uma sequencia de pontos de Y ).


(i) a ∈ clX ⇔ toda vizinhanca de a possui algum ponto de X.

(ii) F ⊂ IRn e fechado ⇔ A = IRn\F e aberto.

(iii) φ e IRn sao fechados.

(iv) A reuniao F = F1 ∪ . . . ∪ Fl de uma colecao FINITA de fechados e um fechado.

(v) A intersecao F =⋂λ∈L

Fλ de uma colecao arbitraria Fλλ∈L de fechados e um fechado.

(vi) Toda bola fechada B[a; r] e um conjunto fechado.

(vii) Toda esfera S[a; r] e um conjunto fechado.

(viii) Qn e denso no IRn.

(ix) Para todo X ⊂ IRn tem-se: clX =⋂

F ⊃ X

F fechado

F

Pontos de acumulacao:

Definicao 1.13. Um ponto a e dito um PONTO DE ACUMULACAO de um conjunto

X ⊂ IRn quando existe uma sequencia (xk) em X\ a ( xk ∈ X , xk 6= a ∀ k ) tal que

xk → a . Denotamos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulacao de X.

Se a ∈ X nao e ponto de acumulacao de X, entao a e um PONTO ISOLADO de X.

Se todos os pontos de X sao isolados, X e chamado um conjunto DISCRETO.

8 CAPITULO 1


(i) a ∈ X ′ ⇔ toda vizinhanca de a possui algum ponto de X\ a.

(ii) a ∈ X ′ ⇔ toda bola aberta B(a; r) possui uma infinidade de pontos de X.

(iii) Se X ′ 6= φ entao X e infinito.

(iv) O conjunto X ′ dos pontos de acumulacao de X e fechado.

(v) Se X ⊂ IRn e infinito e limitado, entao X ′ 6= φ (Bolzano-Weierstrass)

1.4 Limites e continuidade

Estudaremos agora nocoes de limites e continuidade para aplicacoes f : X → IRn ,

com X ⊂ IRm . Podemos sempre identificar aplicacoes como esta atraves de suas funcoes

coordenadas:

A cada aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn correspondem n funcoes f1, f2, . . . , fn : X → IR

dadas por fi = πi f ( i = 1, . . . , n ), ditas as FUNCOES COORDENADAS da aplicacao f .

Para todo x ∈ X temos f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) .

Escrevemos f = (f1, f2, . . . , fn).

Limites:

Definicao 1.14. Sejam f : X ⊂ IRm → IRn e a ∈ X ′ (a e ponto de acumulacao de X).

Dizemos que b ∈ IRn e o LIMITE DE f(x) QUANDO x TENDE PARA a e escrevemos

b = limx→a

f(x)

quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter δ > 0 tal que

x ∈ X, 0 < ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− b‖ < ε

Proposicao 1.15.(?)

Sejam f : X ⊂ IRm → IRn e a ∈ X ′ .

A fim de que limx→a

f(x) = b ∈ IRn e necessario e suficiente que, para toda sequencia (xk)

em X\ a com xk → a se tenha f(xk) → b .

Proposicao 1.16.(?)

Seja a um ponto de acumulacao de X ⊂ IRm. Dada a aplicacao

f : X → IRn , cujas funcoes coordenadas sao f1, f2, . . . , fn : X → IR , tem-se

limx→a

f(x) = b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ IRn se, e somente se, limx→a

fi(x) = bi ∀ i = 1, 2, . . . , n.


Continuidade:

Definicao 1.17. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e CONTINUA NO PONTO a ∈ X


x ∈ X, ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(a)‖ < ε

Se f como acima e contınua em todos os pontos do conjunto X, dizemos simplesmente que

f e uma aplicacao CONTINUA.

Proposicao 1.18.(?)

Seja f : X ⊂ IRm → IRn . A fim de que f seja contınua em a ∈ X

e necessario e suficiente que, para toda sequencia (xk) em X com xk → a se tenha

f(xk) → f(a) .

Proposicao 1.19.(?)

Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e contınua se, e somente se, para

cada A aberto do IRn (ou para cada F fechado do IRn ), sua imagem inversa f−1(A) e

um conjunto aberto em X (ou f−1(F ) e um conjunto fechado em X).

Proposicao 1.20.(?)

A composta de duas aplicacoes contınuas e contınua.

Proposicao 1.21.(?)

Seja a ∈ X ⊂ IRm. Dada a aplicacao f : X → IRn , cujas funcoes

coordenadas sao f1, f2, . . . , fn : X → IR , tem-se: f e contınua em a se, e somente se, cada

uma das suas funcoes coordenadas fi = πi f : X → IR e contınua no ponto a.

Corolario 1. Dadas f : X → IRm e g : X → IRn , seja h = (f, g) : X → IRm × IRn dada

por h(x) = (f(x), g(x)) . Entao h e contınua se, e somente se, f e g sao ambas contınuas.

Uma consequencia deste corolario: se f, g : X ⊂ IRm → IRn e α : X → IR sao contınuas

entao sao tambem contınuas (f + g) : X → IRn dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) ,

(α.f) : X → IRn dada por (α.f)(x) = α(x).f(x) , < f, g > : X → IR dada por

< f, g > (x) = < f(x), g(x) >.

Obs.: Se, para obtermos f(x) (onde temos f : X ⊂ IRm → IRn e f = (f1, f2, . . . , fn) ),

para cada funcao coordenada aplicada em x ( fi(x) ) submetemos as coordenadas do ponto

x = (x1, . . . , xm) a operacoes definidas por funcoes contınuas, entao f e contınua.

Exemplos: f(x, y) = (( senx).y, x2y3, ex cos y) define uma funcao contınua f : IR2 → IR3.

A funcao determinante det : Mn(IR) → IR e contınua.

10 CAPITULO 1

Continuidade uniforme:

Ao estudarmos a continuidade de uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn num ponto do

domınio X, o δ obtido para cada ε (veja a definicao) depende, em geral, nao apenas do ε

dado, mas tambem depende do ponto onde estamos analisando a continuidade de f .

Quando, para cada ε dado, for possıvel obter um δ que dependa apenas de ε e portanto

sirva (como na definicao) para TODOS OS PONTOS DE X, temos um fenomeno conhecido

como Continuidade Uniforme:

Definicao 1.22. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e dita UNIFORMEMENTE CONTINUA


x, y ∈ X, ‖x− y‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(y)‖ < ε

Resultados relacionados com a continuidade uniforme:(?)

(i) Uma aplicacao f = (f1, . . . , fn) : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua se, e somente

se, suas funcoes coordenadas f1, . . . , fn : X → IRn o sao.

(ii) Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua se, e somente se, para todo

par de sequencias (xk), (yk) em X, com lim(xk − yk) = 0 tem-se lim[f(xk)− f(yk)] = 0 .

(iii) Se f : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua entao, para todo a ∈ X ′ , existe o

limite limx→a

f(x) .

Uma fonte natural de aplicacoes uniformemente contınuas:

Definicao 1.23. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e dita LIPSCHITZIANA quando existe

uma constante k > 0 (chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ DE f) tal que

‖f(x)− f(y)‖ ≤ k. ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ X

Alguns resultados:

(i) Toda aplicacao lipschitziana e uniformemente contınua.(?)

(ii) Toda transformacao linear A : IRm → IRn e lipschitziana (mostre), logo uniformemente

contınua e portanto contınua.

(iii) Se ϕ : IRm× IRn → IRp e uma aplicacao bilinear (linear em cada componente) entao ϕ

e lipschitziana em cada parte limitada de IRm × IRn = IRm+n.

Portanto toda aplicacao bilinear e contınua.

Exemplos: multiplicacao de numeros reais ( ϕ(x, y) = x.y ); Produto Interno Canonico

( < x, y > = x1y1 + . . .+ xnyn ); multiplicacao de matrizes ( ϕ(A,B) = A.B )


(iv) As projecoes πi : IRm → IR , dadas por πi(x) = xi ∀ x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ IRm

( i = 1, 2, . . . ,m ), sao lineares, logo lipschitzianas e portanto contınuas.

Homeomorfismos:

Definicao 1.24. Dados os conjuntos X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , um HOMEOMORFISMO entre

X e Y e uma bijecao contınua f : X → Y cuja inversa f−1 : Y → X tambem e contınua.

Diz-se entao que X e Y sao conjuntos homeomorfos.

Resultados imediatos:

(i) O inverso de um homeomorfismo e um homeomorfismo.

(ii) A composta de dois homeomorfismos e um homeomorfismo.

(iii) Se dois conjuntos X e Y sao homeomorfos, eles possuem a mesma estrutura topologica,

ou seja, um homeomorfismo “leva” abertos de X em abertos de Y e seu inverso “leva”

abertos de Y em abertos de X.(?)

Exemplos:

1) Qualquer aplicacao linear invertıvel A : IRn → IRn e um homeomorfismo.

2) As translacoes Ta : IRm → IRm , onde Ta(x) = x+ a, a ∈ IRm (fixado).

3) As homotetias Hλ : IRm → IRm , onde Hλ(x) = λ.x, 0 6= λ ∈ IR (fixado).

4) Duas bolas abertas quaisquer no IRm sao homeomorfas, o mesmo ocorrendo com duas

bolas fechadas arbitrarias no IRm ou duas esferas no mesmo espaco.(?)

5) Toda bola aberta no IRm e homeomorfa ao espaco IRm.(?)

6) Seja f : X ⊂ IRm → IRn uma aplicacao contınua. Seu GRAFICO e o conjunto G ⊂IRm × IRn formado pelos pontos (x, f(x)) , com x ∈ X . O domınio X e o grafico G da

aplicacao contınua f sao homeomorfos.

12 CAPITULO 1

7) Sejam Sm =x ∈ IRm+1 ; < x, x > = 1

⊂ IRm+1 a esfera unitaria m-dimensional e

p = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Sm seu POLO NORTE.

A PROJECAO ESTEREOGRAFICA ϕ : Sm\ p → IRm e um homeomorfismo.

1.5 Compacidade

Definicao 1.25. Um conjunto K ⊂ IRn sera dito um conjunto COMPACTO quando for

limitado e fechado.

Buscaremos agora novas caracterizacoes para os compactos do IRn:

Teorema 1.26.(?)

Um subconjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, toda sequencia

(xk) ⊂ K possui uma subsequencia convergente para um ponto de K.

Teorema 1.27.(?)

(Propriedade de Cantor) Dada uma sequencia “decrescente” de conjuntos

compactos e nao-vazios K1 ⊃ K2 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . . , sua intersecao K =∞⋂i=1

Ki (limitada e

fechada) nao e vazia.

Lema 1.28.(?)

Todo conjunto X ⊂ IRn e separavel, isto e, possui um subconjunto enumeravel

E = x1, x2, . . . , xl, . . . ⊂ X, E denso em X.


Lema 1.29. (Lindelof) Considere um conjunto arbitrario X ⊂ IRn . Toda cobertura aberta

X ⊂⋃

Aλ admite uma subcobertura enumeravel.

Chegamos entao ao resultado que nos interessa:

Teorema 1.30. Um conjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, toda cobertura aberta de

K admite uma subcobertura finita.

Demonstracao:

(⇐)(?)

(Sugestao: Faca como foi visto no curso de Analise na Reta).

(⇒) Borel-Lebesgue:

Suponhamos que K seja compacto (limitado e fechado).

Seja K ⊂⋃

Aλ uma cobertura aberta de K.

Pelo Lema de Lindelof, ela admite uma subcobertura enumeravel

K ⊂∞⋃i=1

Aλi= Aλ1 ∪ Aλ2 ∪ . . .

Para cada i = 1, 2, 3, . . . ∈ IN ponha

Ki = K⋂

(IRn\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi))

Ki ⊂ K (limitado) ⇒ Ki e limitado.

Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλie aberto ⇒ IRn\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi

) e fechado. Como K e fechado, temos

entao que Ki e fechado.

Assim, para todo i ∈ IN, Ki e limitado e fechado.

Observemos agora que K ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . .

Dado x ∈ K, existe λi′ tal que x ∈ Aλi′(pois K ⊂

∞⋃i=1

Aλi) ⇒ x 6∈ Ki′

Logo∞⋂i=1

Ki = φ .

Pela Propriedade de Cantor, podemos concluir que existe i0 tal que Ki0 = φ e teremos

φ = Ki0 = K⋂ (

X\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0))⇒ K ⊂ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0

)

Portanto toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita.

14 CAPITULO 1

Destacamos a seguir os principais resultados relativos a compacidade:

Teorema 1.31. Seja K ⊂ IRm um conjunto compacto. Se f : K → IRn e uma aplicacao

contınua, entao sua imagem f(K) e um conjunto compacto do IRn.

Corolario 1.(?)

(Weierstrass) Toda funcao real contınua f : K → IR definida num compacto

K ⊂ IRm atinge seu maximo e seu mınimo em K, isto e, existem pontos x1, x2 ∈ K tais que

f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) para qualquer x ∈ K.

Corolario 2.(?)

Seja K ⊂ IRm compacto. Toda aplicacao contınua f : K → IRn e fechada,

ou seja, se F ⊂ K e fechado, entao f(F ) ⊂ IRn e fechado.

Corolario 3.(?)

A inversa de uma bijecao contınua definida num compacto e uma funcao

contınua, isto e, toda bijecao contınua definida num conjunto compacto e um homeomorfismo

sobre sua imagem.

Teorema 1.32.(?)

Toda aplicacao contınua f : K → IRn definida num conjunto compacto

K ⊂ IRm e uniformemente contınua.

1.6 Conexidade

Definicao 1.33. Uma CISAO de um conjunto X ⊂ IRn e uma decomposicao X = A ∪ B ,

onde A e B sao disjuntos ( A ∩B = φ ) e abertos em X.

Todo conjunto X ⊂ IRn admite a chamada CISAO TRIVIAL X = X ∪ φ .

Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO quando so admite a cisao trivial. Caso contrario

ele e dito DESCONEXO.


Proposicao 1.34.(?)

Uma decomposicao X = A ∪ B e uma cisao de X se, e somente

se, nenhum dos conjuntos A, B contem um ponto aderente ao outro, ou seja, se tivermos

clA ∩B = φ = A ∩ clB .

Destacamos a seguir o principal resultado relativo a conexidade:

Teorema 1.35. Seja X ⊂ IRm um conjunto conexo. Se f : X → IRn e uma aplicacao

contınua, entao sua imagem f(X) e um conjunto conexo do IRn.

Corolario 1.(?)

(Teorema do Valor Intermediario) Seja f : X → IR uma funcao real

contınua, definida num conjunto conexo X ⊂ IRm . Se existem a, b ∈ X e d ∈ IR tais que

f(a) < d < f(b) , entao existe c ∈ X tal que f(c) = d .

Veremos a seguir uma serie de resultados sobre conexidade:

Proposicao 1.36.(?)

(Teorema da Alfandega) Seja X ⊂ IRn . Se um conjunto conexo

C ⊂ IRn contem um ponto a ∈ X e um ponto b 6∈ X , entao C contem algum ponto da

fronteira de X.

Sugestao: use que IRn = intX ∪ frX ∪ int (IRn\X)

Lema 1.37.(?)

Seja X = A ∪ B uma cisao do conjunto X ⊂ IRn . Se Y ⊂ X e conexo e

nao-vazio entao ou Y ⊂ A ou Y ⊂ B .

Proposicao 1.38.(?)

Se X ⊂ IRn e conexo e X ⊂ Y ⊂ clX , entao Y e conexo.

16 CAPITULO 1

Corolario 1. Se X ⊂ IRn e conexo e Y e formado a partir de X adicionando-se alguns ou

todos os pontos de seu fecho, entao Y e conexo.

Teorema 1.39. A reuniao de uma famılia de conjuntos conexos com um ponto em comum e

um conjunto conexo.

Corolario 1.(?)

A fim de que X ⊂ IRn seja conexo e (necessario e) suficiente que, para

quaisquer a, b ∈ X , exista um conjunto conexo Cab com a, b ∈ Cab ⊂ X .

Corolario 2.(?)

Dados X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , o produto cartesiano X × Y ⊂ IRm+n e

conexo se, e somente se, X e Y sao conexos.

Definicao 1.40. (Componentes conexas) Seja X ⊂ IRn . Para cada ponto x ∈ X , definimos

a COMPONENTE CONEXA do ponto x em X como sendo a reuniao Cx de todos os

subconjuntos conexos de X que contem o ponto x.

E imediato que Cx e o maior subconjunto conexo (veja o teorema anterior) de X que

contem o ponto x.

Segue tambem que, dados dois pontos x, y ∈ X , suas componentes conexas Cx, Cy em

X, ou coincidem ou sao disjuntas(?)

.

Assim, a relacao “x e y pertencem a mesma componente conexa em X” e uma relacao

de equivalencia em X(?)

e as componentes conexas dos pontos de X o dividem em classes de

equivalencia, as quais denominaremos as COMPONENTES CONEXAS de X.


Proposicao 1.41.(?)

Seja h : X → Y um homeomorfismo. Se Cx e a componente conexa

do ponto x em X, entao Dy = h(Cx) e a componente conexa do ponto y = h(x) em Y .

Portanto, um homeomorfismo h : X → Y estabelece uma bijecao entre as componentes

conexas de X e as componentes conexas de Y .(?)

(Exemplos)

Um CAMINHO num conjunto X ⊂ IRn e uma aplicacao contınua f : I → X definida

num intervalo I ⊂ IR.

Dizemos que os pontos a, b ∈ X PODEM SER LIGADOS POR UM CAMINHO EM X

quando existe um caminho f : I → X tal que a, b ∈ f(I)

Por exemplo, se X e convexo entao cada dois pontos a, b ∈ X podem ser ligados por um

caminho em X, a saber, o caminho retilıneo [a, b] = t.a+ (1− t).b ; t ∈ [0, 1] .

Se a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho f : I → X entao existe um caminho

ϕ : [0, 1] → X tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b.(?)

Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO POR CAMINHOS quando cada dois pontos

a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X.

Por exemplo: todo conjunto convexo e conexo por caminhos.

Teorema 1.42. Todo conjunto conexo por caminhos e conexo. (Exercıcio)

Obs.: Nem todo conjunto conexo e conexo por caminhos:

Exemplo: X = (x, sen 1/x) ; x ∈ (0,+∞) ∪ (0, 0) ⊂ IR2 e conexo mas nao e conexo

por caminhos.

Isto nao ocorre se o conjunto em questao for aberto:

Teorema 1.43. Se A ⊂ IRn e aberto e conexo entao A e conexo por caminhos.

Prova: Exercıcio.

18 CAPITULO 1

1.7 Norma de uma transformacao linear

Seja A : IRm → IRn uma transformacao linear.

Fixadas duas normas: ‖ ‖m em IRm e ‖ ‖n em IRn , existe c > 0 tal que

‖Ax‖n ≤ c. ‖x‖m ∀ x ∈ IRm

Temos entao: ‖x‖m = 1 ⇒ ‖Ax‖n ≤ c e podemos definir ...

Definicao 1.44. Fixadas duas normas: ‖ ‖m em IRm e ‖ ‖n em IRn , definimos

uma norma(?)

em L(IRm; IRn) = Mn×m(IR) = IRnm pondo, para cada transformacao linear

A : IRm → IRn ∈ L(IRm; IRn) :

‖A‖ = sup ‖Ax‖n ; ‖x‖m = 1

Proposicao 1.45. Nas condicoes da definicao acima, temos:

‖A‖ = sup ‖Ax‖n ; ‖x‖m ≤ 1

= inf c > 0 ; ‖Ax‖n ≤ c. ‖x‖m ∀ x ∈ IRm

Obs.: Note que para cada par de normas fixadas, em IRm e IRn, temos uma norma

em L(IRm; IRn) = Mn×m(IR) = IRnm . De qualquer jeito, nao vamos esquecer que as normas

obtidas neste ultimo espaco sao todas equivalentes.

Proposicao 1.46.(?)

Nas mesmas condicoes da definicao anterior, temos:

‖Ax‖n ≤ ‖A‖ . ‖x‖m ∀ x ∈ IRm

‖AB‖ ≤ ‖A‖ . ‖B‖ se B ∈ L(IRp; IRm) e A ∈ L(IRm; IRn)

Obs.: Na segunda parte da proposicao acima, consideramos a mesma norma em IRm .

Capıtulo 2

Aplicacoes Diferenciaveis

2.1 Definicao: diferenciabilidade de uma aplicacao

Definicao 2.1. Uma aplicacao f : U → IRn , definida no aberto U ⊂ IRm diz-se diferenciavel

no ponto a ∈ U quando existe uma transformacao linear T : IRm → IRn tal que, para todo

v ∈ IRm com a+ v ∈ U , temos

f(a+ v) = f(a) + T (v) + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0

A diferenciabilidade de f no ponto a significa que podemos obter uma “boa aproximacao

linear”para f numa vizinhanca de a. Essa boa aproximacao de f(a+ v) por f(a)+T (v) numa

vizinhanca de a e expressa pela condicao limv→0

r(v)

‖v‖= 0.

Pondo ρ(v) =r(v)

‖v‖se v 6= 0 e ρ(0) = 0 , podemos exprimir a diferenciabilidade de f no

ponto a por:

f(a+ v) = f(a) + T (v) + ρ(v) · ‖v‖ com limv→0

ρ(v) = 0

Alguns resultados imediatos:

Seja f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel no ponto a ∈ U .

Entao existe uma transformacao linear T : IRm → IRn tal que, para todo v ∈ IRm com

a+ v ∈ U :

f(a+ v) = f(a) + T (v) + ρ(v) · ‖v‖ com limv→0

ρ(v) = 0

19

20 CAPITULO 2

(i) f e contınua em a

Antes do proximo resultado apresentaremos o conceito de derivada direcional.

Seja f : U → IRn definida num aberto U ⊂ IRm.

A derivada direcional de f num ponto a ∈ U , relativamente a um vetor v ∈ IRm e, por

definicao:∂f

∂v(a) = lim

t→0

f(a+ tv)− f(a)

t∈ IRn quando existir tal limite

Se f = (f1, f2, . . . , fn) , onde fi : U → IR (i = 1, . . . , n) sao as funcoes coordenadas de

f , entao∂f

∂v(a) =

(∂f1

∂v(a) , . . . ,

∂fn

∂v(a)

)

Quando v = ej e o j-esimo vetor da base canonica do IRm, escrevemos∂f

∂xj

(a).

(ii) T (v) =∂f

∂v(a) ∀ v ∈ IRm

Aplicacoes Diferenciaveis 21

Consequencias de (ii):

(A) A derivada direcional de f em a , se f e diferenciavel em a, depende linearmente

do vetor relativamente ao qual e considerada.

(B) A transformacao linear T : IRm → IRn que da a boa aproximacao para f perto de

a e unica e chamada a derivada de f no ponto a , que indicaremos por f ′(a) ou Df (a).

(C) Podemos obter a matriz que representa a transformacao linear f ′(a) em relacao as

bases canonicas de IRm e IRn, que sera uma n×m matriz chamada a matriz jacobiana de f

no ponto a e indicada por Jf(a). Sua j-esima coluna e dada por

f ′(a).ej = T (ej) =∂f

∂xj

(a) =

(∂f1

∂xj

(a) , . . . ,∂fn

∂xj

(a)

)∈ IRn

onde ej e o j-esimo vetor da base canonica do IRm (j = 1, 2, . . . ,m).

Entao:

Jf(a) = [f ′(a)] =

∂f1

∂x1

(a)∂f1

∂x2

(a) . . .∂f1

∂xm

(a)

∂f2

∂x1

(a)∂f2

∂x2

(a) . . .∂f2

∂xm

(a)

......

...

∂fn

∂x1

(a)∂fn

∂x2

(a) . . .∂fn

∂xm

(a)

(iii) Temos: f(a+ v) = f(a) + f ′(a)(v) + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0

Se f = (f1, f2, . . . , fn) e r = (r1, r2, . . . , rn) , a condicao acima e equivalente a

fi(a+ v) = fi(a) +

[∂fi

∂x1

(a)∂fi

∂x2

(a) . . .∂fi

∂xm

(a)

]· v + ri(v) com lim

v→0

ri(v)

‖v‖= 0

para todo ∀ i = 1, 2, . . . , n.

Temos entao o ...

22 CAPITULO 2

Teorema 2.2. A aplicacao f : U → IRn e diferenciavel no ponto a ∈ U se, e somente se,

cada uma das suas funcoes coordenadas f1, f2, . . . , fn : U → IR e diferenciavel em a.

Corolario 1. A aplicacao f = (g, h) : U → IRn × IRp , dada por f(x) = (g(x), h(x)) e

diferenciavel no ponto a ∈ U se, e somente se, cada uma das aplicacoes g : U → IRn e

h : U → IRp e diferenciavel em a.

Em caso afirmativo, temos: f ′(a) = (g′(a), h′(a)) : IRm → IRn × IRp.

2.2 Exemplos de aplicacoes diferenciaveis

A) Aplicacoes constantes: Uma aplicacao constante e diferenciavel em todo ponto e sua

derivada em qualquer ponto e a transformacao linear nula O .

B) Transformacoes lineares: Qualquer transformacao linear T : IRm → IRn e diferen-

ciavel em todos os pontos a ∈ IRm e DT (a) = T ′(a) = T ∀ a ∈ IRm.

C) Aplicacoes bilineares: Qualquer aplicacao bilinear ϕ : IRm×IRn → IRp e diferenciavel

em cada ponto (a, b) ∈ IRm × IRn e ϕ′(a, b) = Dϕ(a, b) : IRm × IRn → IRp e a transformacao

linear dada por:

ϕ′(a, b) (v, w) = ϕ(v, b) + ϕ(a, w) ∀ (v, w) ∈ IRm × IRn


D) Aplicacoes k-lineares: Qualquer aplicacao k-linear µ : IRm1× IRm2× . . .× IRmk → IRp

e diferenciavel em cada ponto (a1, a2, . . . , ak) e

Dµ(a1, . . . , ak) (v1, . . . , vk) = µ(v1, a2, . . . , ak) + µ(a1, v2, a3, . . . , ak)+. . .+ µ(a1, . . . , ak−1, vk)

Exemplo: det : IRn2

= IRn × IRn × . . .× IRn → IR e n-linear e portanto e diferenciavel em

cada n× n matriz real A. Dada A = (A1, A2, . . . , An) , onde cada Ai = (ai1 ai2 . . . ain) e

a i-esima linha de A, temos que det′(A) : IRn2 → IR e a transformacao linear dada por

det′(A)(V ) =n∑

i=1

det(A1, . . . , Ai−1, Vi, Ai+1, . . . , An) ∀ n× n matriz real V

24 CAPITULO 2

E) A derivada da “analise na reta” :

Sejam f : U (aberto) ⊂ IR → IR e a ∈ U .

Dizemos que existe a derivada de f em a quando existir o limite

limt→0

f(a+ t)− f(a)

t= f ′(a) ∈ IR

Ja vimos que f e derivavel em a se, e somente se, existir uma constante c ∈ IR tal que,

para todo t ∈ IR onde a+ t ∈ U , tenhamos

f(a+ t) = f(a) + c · t + r(t) com limt→0

r(t)

t= 0

Em caso afirmativo, temos ainda que f ′(a) = c.

Se considerarmos a transformacao linear T : IR → IR dada por T (x) = c.x ∀x ∈ IR e

observarmos que limt→0

r(t)

t= 0 ⇔ lim

t→0

r(t)

|t|= 0 podemos entao concluir que

f e derivavel em a ⇔ f e diferenciavel em a

F) Caminhos diferenciaveis:

Um caminho em IRn e uma aplicacao f : I → IRn cujo domınio e um intervalo I ⊂ IR.

O vetor velocidade (vetor tangente) do caminho f : I → IRn em um ponto a ∈ int I e

definido por:

df

dt(a) = lim

t→0

f(a+ t)− f(a)

t∈ IRn desde que esse limite exista


Temos f = (f1, f2, . . . , fn) , fi : I → IR , i = 1, 2, . . . , n.

O caminho f possui vetor velocidade em um ponto a se, e somente se, cada fi for derivavel

(ou seja, diferenciavel) em a. Isto ocorrera portanto se, e somente se, f for diferenciavel em

a. (ver teorema 2.2).

Teremos, em caso afirmativo:

df

dt(a) =

df1

dt(a)

...

dfn

dt(a)

=

f ′1(a)

...

f ′n(a)

que pode ser “visto” tanto como um vetor em IRn (o vetor velocidadedf

dt(a) de f em a)

quanto como uma transformacao linear de IR em IRn (a derivada de f em a, dada por

f ′(a)(t) =df

dt(a) · t ).

Aplicacao: Dada uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn diferenciavel em a ∈ U ,

tentaremos obter, via caminhos, uma interpretacao para f ′(a)(v) , onde v ∈ IRm.

Dado v ∈ IRm, consideremos um caminho α : (−ε, ε) → U ⊂ IRm dado por

α(t) = a+ tv

Temos que ∃ dα

dt(0) = lim

t→0

α(0 + t)− α(0)

t= lim

t→0

a+ tv − a

t= v (v e o vetor veloci-

dade de α em t = 0)

Geometricamente, a imagem do caminho α e uma curva (neste caso um segmento de reta)

em U , passando pelo ponto a e tendo v como vetor tangente em a.

Vamos agora olhar para o caminho γ = f α : (−ε, ε) → f(U) ⊂ IRn , correspondente a

aplicacao de f ao caminho α (composicao).

Geometricamente, a imagem do caminho γ e uma curva em f(U) , passando por f(a).

Temos:

∃ dγ

dt(0) = lim

t→0

(f α)(t)− (f α)(0)

t= lim

t→0

f(a+ tv)− f(a)

t=

∂f

∂v(a) = f ′(a)(v)

26 CAPITULO 2

Portanto, f ′(a)(v) e o vetor velocidade de γ em t = 0 (geometricamente, e o vetor tangente

a imagem de γ, em f(a) ):

G) Funcoes de uma variavel complexa:

Seja f : U ⊂ C → C funcao de uma variavel complexa z definida num aberto U ⊂ C.

f e derivavel em z0 ∈ U quando existe o limite

limh→0

f(z0 + h)− f(z0)

h= f ′(z0)

Temos que f e derivavel em z0 se, e somente se, existe uma constante complexa

c = a+ ib tal que, se z0 + h ∈ U , temos

f(z0 + h) = f(z0) + c · h+ r(h) com limh→0

r(h)

h= 0

Em caso afirmativo, temos ainda f ′(z0) = c = a+ ib.

Seja f : U (aberto) ⊂ C → C derivavel em z0 ∈ U com f ′(z0) = a+ ib ∈ C.

Pela associacao C ↔ IR2 , que faz corresponder a cada complexo x+ iy o par (x, y) e

vice-versa, podemos enxergar f como uma aplicacao definida num aberto U ⊂ IR2 e tomando

valores em IR2: f : U ⊂ IR2 → IR2 , z0 = (x0, y0)

f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) ⇒ f(x, y) = (u(x, y), v(x, y))

Consideremos a transformacao linear T : IR2 → IR2 correspondente a multiplicacao pelo

numero complexo c = a+ ib


Dado h ∈ IR2 tal que z0 + h ∈ U temos:

f(z0 + h) = f(z0) + T (h) + r(h) com limh→0

r(h)

‖h‖= 0

Portanto f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) vista como aplicacao f : U ⊂ IR2 → IR2 e diferen-

ciavel no ponto z0 = (x0, y0) e temos ainda:

H) Inversao de matrizes:

Seja U = GL(IRn) o conjunto das n× n matrizes invertıveis.

Temos que o conjunto U ⊂ IRn2

e aberto em IRn2

(espaco das n × n matrizes), pois

U = det−1 (IR \ 0) e det e uma funcao contınua.

Seja f : U → IRn2

dada por f(X) = X−1 (inversao da matriz X) ∀ X ∈ U .

Esta aplicacao f e diferenciavel em toda matriz A ∈ U e sua derivada em cada matriz

A ∈ U e a transformacao linear f ′(A) : IRn2 → IRn2

dada por:

f ′(A)(V ) = −A−1 · V · A−1

I) Funcoes reais de m variaveis:

Seja f : U ⊂ IRm → IR uma funcao real de m variaveis definida num aberto U ⊂ IRm.

Temos: f e diferenciavel em a ∈ U se, e somente se, existe uma transformacao linear

T : IRm → IR (funcional linear) tal que, sempre que a+ v ∈ U , temos:

f(a+ v) = f(a) + T (v) + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0

Em caso afirmativo, temos T = f ′(a) ∈ (IRm)∗ , derivada de f em a.

Equivalentemente, f e diferenciavel em a ∈ U se, e somente se, existirem constantes

A1, A2, . . . , Am tais que, para todo v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a+ v ∈ U , tem-se:

f(a+ v) = f(a) + A1v1 + A2v2 + . . .+ Amvm + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0

28 CAPITULO 2

Como Jf(a) =

[∂f

∂x1

(a)∂f

∂x2

(a) . . .∂f

∂xm

(a)

], chegamos a outra definicao equivalente:

f e diferenciavel em a ∈ U se, e so se, existirem as derivadas parciais∂f

∂x1

(a), . . . ,∂f

∂xm

(a)

e, para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a+ v ∈ U tivermos

f(a+ v) = f(a) +∂f

∂x1

(a).v1 + . . .+∂f

∂xm

(a).vm + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0

(i) A diferencial:

Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IR uma funcao diferenciavel em a ∈ U .

Sua derivada f ′(a) , em a, e uma transformacao linear f ′(a) : IRm → IR, ou seja, um

funcional linear sobre IRm, que denotaremos por df(a) e chamaremos a diferencial de f

no ponto a:

df(a) = f ′(a) : IRm → IR , df(a) ∈ (IRm)∗

Para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm, temos: df(a)(v) =∂f

∂v(a) =

m∑j=1

∂f

∂xj

(a).vj

Nosso interesse agora sera, uma vez que df(a) ∈ (IRm)∗, exprimir df(a) como combinacao

linear de funcionais que formem uma base de (IRm)∗. Para tal, utilizaremos a base dual da

base canonica de IRm:

Sejam B = e1, e2, . . . , em a base canonica do IRm e B∗ sua base dual, em (IRm)∗.

Temos B∗ = π1, π2, . . . , πm , onde πj : IRm → IR e dado por πj(x1, . . . , xm) = xj , para

todo j = 1, 2, . . . ,m (πj e a projecao na j-esima coordenada).

E comum denotarmos πj por xj . Logo B∗ = x1, x2, . . . , xm (aqui cada xj e um

funcional linear).

Para todo j = 1, . . . ,m temos que xj = πj : IRm → IR e uma transformacao linear, logo

diferenciavel em todos os pontos de IRm e sua derivada (diferencial) em cada ponto e a propria

transformacao linear xj .

Portanto: xj = dxj(x) ∀ x ∈ IRm, ∀ j = 1, . . . ,m. Logo escreveremos xj = dxj , para

todo j = 1, . . . ,m.

Assim, B∗ = dx1, dx2, . . . , dxm e a base dual da base canonica do IRm.

Para todo j = 1, . . . ,m temos: df(a)(ej) =∂f

∂xj

(a) e pela relacao entre B e B∗ , temos:

df(a) =∂f

∂x1

(a).dx1 +∂f

∂x2

(a).dx2 + . . . +∂f

∂xm

(a).dxm


Conseguimos portanto escrever df(a) como combinacao linear dos funcionais da base B∗

(que sao tambem diferenciais), dual da base canonica B de IRm.

(ii) Uma util condicao suficiente:

Teorema 2.3. Se uma funcao f : U (aberto) ⊂ IRm → IR possui derivadas parciais em todos

os pontos de uma vizinhanca de a ∈ U e cada uma delas e contınua no ponto a ∈ U , entao

f e diferenciavel em a.

30 CAPITULO 2

(iii) Um exemplo interessante:

Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma funcao contınua definida num aberto U ⊂ IR2.

Considere o conjunto S = gr f = (x, y, f(x, y)); (x, y) ∈ U ⊂ IR3 (grafico de f).

Seja g : U → S a aplicacao dada por g(x, y) = (x, y, f(x, y)).

Temos g = (g1, g2, g3) , sendo suas funcoes coordenadas dadas por:

g1(x, y) = x , g2(x, y) = y , g3(x, y) = f(x, y)

Ja vimos que g e um homeomorfismo de U em S, ou seja, S e topologicamente identico a

um “pedaco” U do plano (S e uma superfıcie).

Consideremos agora f diferenciavel em a ∈ U .

E imediato entao que g e diferenciavel em a (olhe para as funcoes coordenadas de g).

Fixemos v ∈ IR2.

O caminho α : (−ε, ε) → U dado por α(t) = a+ tv e geometricamente um segmento de

reta passando por a e tem v como um vetor tangente em a (vetor velocidade em t = 0)

Temos entao (veja Aplicacao do exemplo F) que g α : (−ε, ε) → S e um caminho cuja

imagem e uma curva em S, passando por g(a) e tendo neste ponto g′(a)(v) como vetor tan-

gente:


Procedendo desta forma para cada vetor v ∈ IR2, temos que g′(a)(v) fornece um vetor

tangente a uma curva na superfıcie S, no ponto g(a)

Vamos dar uma olhada para

Jg(a) = [g′(a)] =

∂g1

∂x(a)

∂g1

∂y(a)

∂g2

∂x(a)

∂g2

∂y(a)

∂g3

∂x(a)

∂g3

∂y(a)

=

1 0

0 1

∂f

∂x(a)

∂f

∂y(a)

(matriz de g′(a) em relacao as bases canonicas)

Temos que a dimensao da imagem de g′(a) e igual a 2 e portanto o conjunto dado por

Tg(a)(S) =g(a) + g′(a)(v), v ∈ IR2

e um plano (plano tangente ao grafico S de f em

g(a) = (a, f(a)) ).

32 CAPITULO 2

2.3 Exercıcios

1. (Derivadas direcionais) Sendo f ′(x)(h) = limt→0

f(x+ th)− f(x)

te admitindo a existencia

das derivadas em questao, calcule:

a) f ′(z)(h), com z = (4,−1), h = (1, 2) e f : IR2 → IR2 dada por f(x) = (x2 + y, x+ y2).

b) ϕ′(x)(v), onde x, v ∈ IRm sao vetores quaisquer e ϕ : IRm → IR e definida por

ϕ(x) = f(x).g(x), sendo f, g : IRm → IR funcionais lineares.

c) ξ′(x)(h), onde h ∈ IRm e um vetor arbitrario e ξ : U → IR e definida do seguinte modo

no aberto U ⊂ IRm : sao dadas f, g : U → IRp diferenciaveis e ξ(x) = < f(x), g(x) > , para

todo x ∈ U , e o produto interno dos vetores f(x) e g(x).

2. (Diferenciabilidade) Seja E o espaco das matrizes n× n (se achar conveniente, identifique

E com IRn2

). Defina f : E → E pondo f(X) = X3 para cada matriz X. Mostre que f e

diferenciavel em todos os pontos de E (use o metodo do exercıcio anterior para determinar o

candidato a f ′(X)).

3. (Diferenciabilidade) Sejam U ⊂ IRm e f, g : U → IRn diferenciaveis no ponto a ∈ U ,

com f(a) = g(a). Mostre que f ′(a) = g′(a) se, e so se, limv→0

f(a+ v)− g(a+ v)

‖v‖= 0.

4. (Diferenciabilidade e matriz Jacobiana) Seja f : IR3 → IR4 dada por

f(x, y, z) = (x2 − y2, xy, xz, zy)

a) Prove que f e diferenciavel em todos os pontos de IR3 e calcule sua matriz jacobiana.

b) Mostre que a derivada f ′(x, y, z) : IR3 → IR4 e uma transformacao linear injetora, exceto

no eixo Oz (isto e, para x = y = 0).

c) Determine a imagem de f ′(0, 0, z) : IR3 → IR4.

5. (Derivada) Seja f : U → IRn diferenciavel no aberto U ⊂ IRm. Se, para algum b ∈ IRn, o

conjunto f−1(b) possui um ponto de acumulacao a ∈ U entao f ′(a) : IRm → IRn nao e injetiva.

6. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR2 → IR2 definida por f(x, y) = (ex cos y, ex sen y).

Considere a transformacao linear T = f ′(3, π/6) : IR2 → IR2, e os vetores h = (1, 0) e k = (1, 1).

Qual e o angulo formado pelos vetores T 100(h) e T 101(k) ?

7. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR2 → IR3 dada por

f(x, y) = (x2, y2, (x+ y)2)

Mostre que f ′(x, y) : IR2 → IR3 tem posto 2, exceto na origem (isto e, f ′(x, y)(e1) e f ′(x, y)(e2)

sao linearmente independentes salvo quando x = y = 0).


8. (Derivada) Seja f : IRm → IRm diferenciavel, com f(0) = 0. Se a transformacao linear f ′(0)

nao tem valor proprio 1 entao existe uma vizinhanca V de 0 em IRm tal que f(x) 6= x para

todo x ∈ V − 0.

9. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR3 → IR3 dada por

f(x, y, z) = (x+ y + z, x2 + y2 + z2, x3 + y3 + z3)

Mostre que f ′(x, y, z) : IR3 → IR3 e uma aplicacao biunıvoca, salvo se duas das coordenadas

x, y, z sao iguais.

10. (Derivada; matriz Jacobiana) Mostre que a derivada da aplicacao f : IR2 → IR2, dada por

f(x, y) = (ex + ey, ex + e−y) e uma transf. linear invertıvel f ′(x, y) : IR2 → IR2 para todos os

pontos z = (x, y) ∈ IR2. Diga se f , considerada como uma funcao complexa, e holomorfa.

11. (Diferenciabilidade) Seja E = IRn2

o espaco vetorial formado pelas matrizes n× n. Indi-

cando com X∗ a transposta de uma matriz X, considere a aplicacao f : E → E definida por

f(X) = XX∗. Descreva a derivada f ′(X) : E → E. Mostre que f ′(X)(H) e simetrica, para

cada H ∈ E e que se X e ortogonal (isto e, X∗ = X−1) entao, para toda matriz simetrica S,

existe pelo menos uma matriz H tal que f ′(X)(H) = S.

12. (Maximos e mınimos relativos interiores) Seja U ⊂ IRm aberto. Se f : U → IR atinge um

maximo (ou mınimo) relativo no ponto x ∈ U , e f e diferenciavel no ponto x, entao f ′(x) = 0

(transformacao linear nula).

13. (Condicoes necessarias, nao suficientes) Obtenha aplicacoes f : U(aberto)⊂ IRm → IRn

tais que:

a) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas nao existem todas as derivadas

direcionais (f nao e diferenciavel neste ponto).

b) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas f nao e contınua nesse ponto

(f nao e diferenciavel neste ponto).

c) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto mas f nao e contınua nesse ponto

(f nao e diferenciavel neste ponto).

d) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U , f e contınua nesse

ponto, mas a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, nao depende

linearmente de v (f nao e diferenciavel neste ponto).

e) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U , f e contınua nesse ponto,

a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, depende linearmente de v,

mas f nao e diferenciavel neste ponto.

34 CAPITULO 2

14. (Derivada do determinante) Seja E = IRn2

o espaco vetorial das matrizes n× n. Sabemos

que a funcao determinante det : E → IR e diferenciavel em toda matriz A ∈ E (ver exemplo

D nas notas de aula). Verifique, para as matrizes 4× 4, a validade da expressao

∂ det

∂xij

(A) = (−1)i+j detA[i,j], onde A[i,j] e a n−1×n−1 matriz obtida eliminando-se a i-esima

linha e a j-esima coluna da matriz A (a expressao foi obtida tambem no exemplo D), escolhendo

uma variavel xij.

15. (Caminhos diferenciaveis) Determine as equacoes parametricas das retas tangentes as

seguintes curvas em IR3 nos pontos especificados:

a) g : t→ (x, y, z) = (t, t2, t3) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.

b) f : t→ (x, y, z) = (t− 1, t2, 2) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.

c) h : t→ (x, y, z) = (2 cos t, 2 sen t, t) nos pontos correspondentes a t = π/2 e t = π.

16. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Consideremos o problema de obter um caminho

y = y(t) : I ⊂ IR → IRp tal que:

y(n)(t) = F (t, y(t), y′(t), y′′(t), ..., y(n−1)(t))

y(0) = η1

y′(0) = η2

...

y(n−1)(0) = ηn

Sao dados

F : IRnp+1 → IRp

η1, η2, ..., ηn ∈ IRp

Mostre que podemos resolver este problema resolvendo um sistema de equacoes de primeira

ordem, que equivale ao problema da forma:

x′1(t) = f1(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))

x′2(t) = f2(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))

...

x′n(t) = fn(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))

x1(0) = η1

x2(0) = η2

...

xn(0) = ηn

x1, x2, ..., xn : I ⊂ IR → IRp

Sao dados

f1, f2, ..., fn : IRnp+1 → IRp

η1, η2, ..., ηn ∈ IRp

Mostre agora que podemos reduzir o problema acima a um outro, na forma:

x′(t) = f(t, x(t))

x(0) = η0

x : I ⊂ IR → IRnp

Sao dados

f : IRnp+1 → IRnp

η0 ∈ IRnp


Finalmente, se quisermos, podemos ainda reduzir o problema acima a um outro, autonomo

(“independente” de t):w′(t) = g(w(t))

w(0) = ηw : I ⊂ IR → IRnp+1

Sao dados

g : IRnp+1 → IRnp+1

η ∈ IRnp+1

17. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Usando a ideia do exercıcio anterior, reduza cada pro-

blema abaixo a um formado por uma unica equacao de primeira ordem:

a) y′′ + y′2 = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y = y(t) : I ⊂ IR → IR

b) (1− t2)y′′ − 2ty′ + 2y = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y = y(t) : I ⊂ IR → IR

c) y′′′ − 2y′′ + 3y′ − y = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y′′(0) = c, y = y(t) : I ⊂ IR → IR

18. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Consideremos o problema:x′(t) = f(t, x(t))

x(0) = x0

Sao dados

f : IRn+1 → IRn, contınua

x0 ∈ IRn

a) Mostre que x = x(t) : I ⊂ IR → IRn e solucao do problema acima se, e somente se:

x(t) = x0 +

∫ t

0

f(s, x(s)) ds , para todo t ∈ I

b) Um importante resultado (Teorema de Picard) assegura que, se f e lipschitziana em relacao

a variavel x (existe uma constante k > 0 tal que ||f(t, x)− f(t, y)|| ≤ k ||x− y||, para todos

(t, x), (t, y) ) numa vizinhanca de (0, x0) entao existe uma solucao para o problema acima,

definida numa vizinhanca de t = 0 de modo unico. Mais ainda, o Teorema de Picard fornece

uma sequencia de caminhos x1, x2, ... : I → IRn que converge para a solucao, sequencia esta

dada por:

x1(t) = x0 , x2(t) = x0 +

∫ t

0

f(s, x1(s))ds , ..., xn+1(t) = x0 +

∫ t

0

f(s, xn(s))ds ,...

Use a sequencia acima para obter a unica solucao x = x(t) : IR → IRn do problema:x′(t) = A(x(t)) (x′ = Ax)

x(0) = x0

A : IRn → IRn, linear, n× n matriz de coef. constantes

x0 ∈ IRn

OBS.: Boas justificativas para o estudo de sistemas lineares de coeficientes constantes

x′ = Ax se encontram nao so no fato de que uma serie de problemas sao desta natureza,

bem como em um outro resultado importante, o Teorema de Hartman, que de um certo modo

36 CAPITULO 2

diz que, dado um problema x′ = f(x), f ∈ C1 (note que f nao e necessariamente linear), se

x0 e ponto singular (f(x0) = 0) e os autovalores de Df(x0) tem todos parte real nao nula

(neste caso x0 e dito ser um ponto singular hiperbolico), entao o comportamento das solucoes

x = x(t) numa vizinhanca de x0 pode ser aproximado pelo comportamento das solucoes do

sistema linear x′ = Df(x0)x (repare que este e linear) numa vizinhanca de 0 (origem do IRn).

19. (Funcoes reais de m variaveis) Mostre que se uma funcao f : U(aberto)⊂ IRm → IR possui

derivadas parciais em todos os pontos de uma vizinhanca de a ∈ U e m−1 delas sao contınuas

no ponto a, entao f e diferenciavel em a.

20. (Graficos de funcoes, planos tangentes) Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma funcao contınua

definida num aberto U ⊂ IR2. Tomando S = (x, y, f(x, y))|(x, y) ∈ U ⊂ IR3 (grafico de f),

sabemos que g : U → S dada por g(x, y) = (x, y, f(x, y)) e um homeomorfismo entre U e S (de

uma olhada em (iii) do exemplo I nas notas de aula). Se f e diferenciavel em um ponto a ∈ Uentao e imediato que g tambem e diferenciavel em a e sabemos que existe o Plano Tangente a

S (grafico de f) no ponto g(a): Tg(a)(S).

Seja f : IR2 → IR a funcao dada por f(x, y) = x2 + y2.

Faca um esboco de S (grafico de f).

Fixemos um ponto a ∈ IR2, digamos a = (2, 1). Dado um vetor v ∈ IR2, consideremos o

caminho γ = γ(t) : IR → IR2 dado por γ(t) = a + tv (geometricamente a imagem de γ e uma

reta em IR2, passando por a e tendo em a vetor tangente igual a v). Sabemos que (g γ)(IR)

e uma curva em S (lembremos que g(x, y) = (x, y, f(x, y)), conforme acima) e que o vetor

tangente a (g γ)(IR) no ponto g(a), dado por (g γ)′(0) = g′(a)(v), e um vetor tangente a S

em g(a) (g(a) + g′(a)(v) ∈ Tg(a)(S)).

Dados os vetores v1 = e1 = (1, 0), v2 = e2 = (0, 1), v3 = (2, 1), v4 = (1, 3), v5 = (3,−2)

em IR2, utilizando a Matriz Jacobiana de g em a = (2, 1), calcule g′(a)(vi), i = 1, ..., 5 (alguns

vetores tangentes a S em g(a) = (2, 1, 5)), faca um esboco considerando os vetores tangentes

g′(a)(v1) e g′(a)(v2) e finalmente verifique que todos esses cinco vetores tangentes a S em

g(a) = (2, 1, 5) sao coplanares, como era de se esperar.

21. (Graficos de funcoes, planos tangentes) Com as mesmas consideracoes do exercıco ante-

rior para uma funcao f : U ⊂ IR2 → IR definida num aberto U ⊂ IR2, determine os Planos

Tangentes a S (grafico de f) nas situacoes abaixo (faca os esbocos):

a) f1(x, y) = x2 + y2. Determine T(0,0,f1(0,0))(S) e T(1,2,f1(1,2))(S).

b) f2(x, y) = x2 − y2. Determine T(0,0,f2(0,0))(S) e T(1,2,f2(1,2))(S).

c) f3(x, y) = (4− (x2 + y2))1/2

. Determine T(0,0,f3(0,0))(S) e T(1,1,f3(1,1))(S).


2.4 A Regra da Cadeia

Teorema 2.4. (Regra da Cadeia) Sejam U ⊂ IRm e V ⊂ IRn conjuntos abertos,

f : U → IRn uma aplicacao diferenciavel no ponto a ∈ U , com f(U) ⊂ V e g : V → IRp

uma aplicacao diferenciavel no ponto b = f(a) ∈ V .

Entao a aplicacao composta g f : U → IRp e diferenciavel no ponto a e temos ainda que

(g f)′(a) = g′(b) f ′(a) : IRm → IRp

38 CAPITULO 2

Algumas consequencias:

(A) Interpretacao geometrica para f ′(a)(v):

Corolario 1. Seja f : U ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel em a ∈ U . Dado v ∈ IRm,

seja α : (−ε, ε) → U um caminho em U , diferenciavel em t = 0 (existe vetor velocidade em

t = 0), com α(0) = a e α′(0) = v.

Entao f ′(a)(v) e o vetor velocidade do caminho f α : (−ε, ε) → IRn em t = 0 (geometri-

camente e o vetor tangente a curva (f α) (−ε, ε) em f(a) ).

(B) Derivada da aplicacao inversa:

Corolario 2. Seja f : U → IRn diferenciavel em a ∈ U ⊂ IRm e suponha que f admite uma

inversa g = f−1 : V → IRm , V ⊂ IRn (f(U) = V, g(V ) = U, f g = idV e g f = idU)

que e diferenciavel no ponto b = f(a).

Entao f ′(a) : IRm → IRn e um isomorfismo cujo inverso e g′(b) : IRn → IRm e em particular

temos que m = n.


(C) Regra da Cadeia e derivadas parciais:

Corolario 3. No teorema anterior, suponha f = (f1, f2, . . . , fn) e g = (g1, g2, . . . , gp).

Entao para cada i = 1, . . . , p e j = 1, . . . ,m , temos:

∂(gi f)

∂xj

(a) =n∑

k=1

∂gi

∂yk

(b) · ∂fk

∂xj

(a)

(D) Regras de diferenciacao:

Corolario 4. Sejam f, g : U → IRn diferenciaveis no ponto a ∈ U (aberto) ⊂ IRm e λ um

numero real. Entao:

f + g : U → IRn e diferenciavel em a , com (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a)

λf : U → IRn e diferenciavel em a , com (λf)′(a) = λ · f ′(a)

Se ϕ : IRn × IRn → IRp e uma aplicacao bilinear entao a aplicacao ϕ(f, g) : U → IRp ,

definida por x 7→ ϕ(f(x), g(x)) e diferenciavel no ponto a , com

[ϕ(f, g)] ′(a)(v) = ϕ (f ′(a)(v), g(a)) + ϕ (f(a), g′(a)(v))

40 CAPITULO 2

Algumas aplicacoes:

(i) “Derivada do produto”: Sejam f, g : U ⊂ IR → IR diferenciaveis (derivaveis) em

a ∈ U . Entao fg : U → IR dada por fg(x) = f(x) · g(x) e derivavel em a com

(fg) ′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a)

(ii) Seja f : IRm → IR dada por f(x) = ‖x‖2 = < x, x > . Entao

f ′(a)(v) = 2 < v, a > ∀ v, a ∈ IRm

(iii) Seja n : IRm → IR dada por n(x) = ‖x‖ = < x, x >1/2 (norma proveniente de um

produto interno). Entao

n′(a)(v) =< v, a >

< a, a >1/2∀ v ∈ IRm, a 6= 0 ∈ IRm


2.5 A desigualdade do valor medio

Tentaremos agora generalizar o Teorema do Valor Medio de Lagrange, estudado no

curso de analise na reta.

Teorema 2.5. (Generalizacao do TVM de Lagrange da “Analise na Reta”)

Seja f : U ⊂ IRm → IR diferenciavel em todos os pontos do segmento de reta aberto

(a, a + v) = a+ tv , 0 < t < 1 ⊂ U e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado

[a, a+ v] ⊂ U seja contınua.

Entao existe t0 ∈ (0, 1) tal que f(a+ v)− f(a) = f ′(a+ t0v)(v)

OBS.: Apesar de conseguirmos acima generalizar o Teorema do Valor Medio de La-

grange para funcoes (contradomınio = IR), o mesmo nao pode ser feito para aplicacoes

f : U ⊂ IRm → IRn em geral, conforme ilustra o contra-exemplo abaixo.

Contra-Exemplo:

Seja f : IR → IR2 a aplicacao (caminho) dada por f(t) = (cos t, sen t) ∀ t ∈ IR

Para todo t ∈ IR , temos: f ′(t) = (− sen t, cos t) 6= (0, 0)

Agora f(2π)− f(0) = (0, 0) 6= f ′(t).2π ∀ t ∈ IR

OBS.: Conforme veremos a seguir, o teorema do valor medio, quando temos uma aplicacao

f : U ⊂ IRm → IRn , n > 1, aparece sob a forma de desigualdade.

Isto nao impede que dele seja extraıda uma serie de resultados significativos, conforme

veremos adiante.

42 CAPITULO 2

Teorema 2.6. (“Versao fraca” da Desigualdade do Valor Medio)

Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferenciavel em cada ponto do segmento de

reta aberto (a, a+ v) e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado [a, a+ v] ⊂ U seja

contınua.

Entao existem uma constante real θ > 0 e um ponto ci0 ∈ (a, a+ v) tais que

‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ θ. ‖f ′(ci0)(v)‖ ≤ θ. ‖f ′(ci0)‖ . ‖v‖

Em particular, se ‖f ′(x)‖ ≤M para todo x ∈ (a, a+ v) , temos

‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ θ.M. ‖v‖ se ‖f ′(x)‖ ≤M


Teorema 2.7. (“Versao completa” da Desigualdade do Valor Medio)

Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferenciavel em cada ponto do segmento de

reta aberto (a, a+ v) e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado [a, a+ v] ⊂ U seja

contınua.

Se ‖f ′(x)‖ ≤M para todo x ∈ (a, a+ v) entao ‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ M. ‖v‖.

Demonstracao: veja em Lima, E.L. - Analise no Espaco IRn - Capıtulo 5, Teorema 2, pag.

27 (1a Edicao).

OBS.: Se a norma considerada em IRn provem de um produto interno, entao podemos

garantir ainda que existe um ponto ci0 ∈ (a, a+ v) tal que

‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ ‖f ′(ci0)(v)‖ ≤ ‖f ′(ci0)‖ . ‖v‖

A demonstracao neste caso fica mais simples e pode ser encontrada em Bartle, R.G. - Ele-

mentos de Analise Real - Capıtulo 7 (Secao 40), pags. 329-330 (2a Edicao).

Algumas consequencias:

(A) Uma fonte natural de aplicacoes Lipschitzianas:

Corolario 1. Seja U ⊂ IRm aberto e convexo. Se f : U → IRn e diferenciavel, com

‖f ′(x)‖ ≤ M para todo x ∈ U entao f e Lipschitziana, com ‖f(y)− f(x)‖ ≤ M. ‖y − x‖quaisquer que sejam x, y ∈ U .

OBS.: Para concluırmos que f e Lipschitziana basta a “Versao fraca”(Teo 2.6)

44 CAPITULO 2

(B) Generalizacao de um resultado canonico:

Corolario 2. Se f : U → IRn e diferenciavel no aberto e conexo U ⊂ IRm e f ′(x) = O

(transformacao linear nula) para todo x ∈ U entao f e constante.

(C) Um lema muito util:

Corolario 3. Sejam U ⊂ IRm aberto, [a, a+ v] ⊂ U e f : U → IRn diferenciavel em cada

ponto do segmento aberto (a, a+ v) com f∣∣[a,a+v]

contınua.

Seja T : IRm → IRn uma transformacao linear.

Se ‖f ′(x)− T‖ ≤M ∀ x ∈ (a, a+ v) entao ‖f(a+ v)− f(a)− T (v)‖ ≤M. ‖v‖


(D) “Extensao” :

Corolario 4. Sejam U ⊂ IRm aberto e c ∈ U . Se a aplicacao contınua f : U → IRn e

diferenciavel em U\ c e existe o limx→c

f ′(x) = T ∈ L(IRm; IRn), entao f e diferenciavel no

ponto c, com f ′(c) = T .

2.6 Exercıcios

1. (O vetor gradiente) Seja f : U ⊂ IRm → IR uma funcao definida num aberto U ⊂ IRm.

Se f e diferenciavel em um ponto a ∈ U entao existe um unico vetor ua ∈ IRm tal que

df(a)(v) = f ′(a)(v) =< ua, v > para todo v ∈ IRm (onde <,> e o produto interno canonico

em IRm). Justifique.

Tal vetor ua e chamado o vetor gradiente de f em a, sera denotado por grad f(a), ou ∇af e e

dado por:

gradf(a) =

(∂f

∂x1

(a),∂f

∂x2

(a), ...,∂f

∂xm

(a)

)

Consideremos o caso em que grad f(a) 6= 0 (vetor nulo).

Estudaremos agora o crescimento de f a partir do ponto a e do vetor gradiente de f em a.

46 CAPITULO 2

a) Mostre que o gradiente aponta para uma direcao segundo a qual a funcao f e crescente

(os vetores v que apontam para direcoes ao longo das quais a funcao f cresce sao aqueles tais

que∂f

∂v(a) =< grad f(a), v > e positivo, ou seja, sao aqueles que formam um angulo agudo

com grad f(a) ).

b) Mostre que, dentre todas as direcoes ao longo das quais a funcao f cresce, a direcao do

gradiente e a de crescimento mais rapido, ou seja, se v for um vetor tal que ‖v‖ = ‖ grad f(a)‖

entao∂f

∂v(a) ≤ ∂f

∂ grad f(a)(a).

2. (Gradiente) Para cada uma das funcoes f : U(aberto)⊂ IR2 → IR dadas abaixo, faca:

a) Um esboco do grafico de f .

b) Considerando um ponto a ∈ U dado, tente, a partir de seu esboco e sem calcular o grad f(a),

descobrir a direcao ao longo da qual f tem o crescimento mais rapido a partir do ponto a dado.

c) Calcule o gradiente de f no ponto a e verifique se sua tentativa na letra b) acima foi bem

sucedida.

i) f1(x, y) = x2 + y2 no ponto a = (1, 2).

ii) f2(x, y) = (4− x2)1/2

no ponto a = (1, 1).

iii) f3(x, y) = (9− (x2 + y2))1/2

no ponto a = (2, 2).

3. (Regra da Cadeia)

a) Se f(x, y) = x2 + y2 e g(t) = (3t+ 1, 2t− 3), seja F (t) = (f g)(t).Calcule F ′(t) diretamente e aplicando a Regra da Cadeia.

b) Se f(x, y, z) = xyz e g(s, t) = (3s+ st, s, t), seja F (s, t) = (f g)(s, t).

Calcule∂F

∂se∂F

∂tdiretamente e aplicando a Regra da Cadeia.

4. (Regra da Cadeia) Seja f = f(z) : A(aberto)⊂ C → C uma funcao complexa de uma

variavel complexa z = x + iy. Sabemos que f(z) = u(x, y) + iv(x, y), onde u, v : U → IR sao

as funcoes coordenadas de f (pela identificacao de C com IR2, dada por z = x+ iy → (x, y)).

Para que f seja derivavel em um ponto z0 = x0 + iy0 = (x0, y0) ∈ A, e necessario que as

Equacoes de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas em z0, isto e:

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0) e

∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0)

Agora, se z0 6= 0 entao z0 = r0eiθ0 , de modo que z0 pode ser representado por suas coordenadas

polares (r0, θ0). Desse modo, cada ponto z = x + iy = (x, y) numa vizinhanca de z0 tambem

pode ser representado por suas coordenadas polares: z = reiθ. Temos entao x = r cos θ e

y = r sen θ.


Portanto (x, y) = m(r, θ) = (m1(r, θ),m2(r, θ)) = (r cos θ, r sen θ), onde m e a aplicacao de

mudanca de variaveis (de coordenadas polares para coordenadas retangulares).

Pondo U = u m e V = v m, temos:

u(x, y) = u(m(r, θ)) = (u m)(r, θ) = U(r, θ)

v(x, y) = v(m(r, θ)) = (v m)(r, θ) = V (r, θ)

Temos portanto f(z) = U(r, θ) + iV (r, θ) numa vizinhanca de (r0, θ0). Utilizando a Regra

da Cadeia, obtenha as Equacoes de Cauchy-Riemann em coordenadas polares (supondo f

derivavel em z0 = r0eiθ0 = (r0, θ0), z0 6= 0):

∂U

∂r(r0, θ0) =

1

r0

∂V

∂θ(r0, θ0) e

∂V

∂r(r0, θ0) = − 1

r0

∂U

∂θ(r0, θ0)

5. (Regra da Cadeia) Seja f : U → IRn\ 0 diferenciavel no aberto conexo U ⊂ IRm. A fim de

que seja ‖f(x)‖ =constante, e necessario e suficiente que f ′(x)(v) seja perpendicular a f(x),

para todo x ∈ U e todo v ∈ IRm (considere a norma euclidiana e o produto interno canonico).

6. (Regra da Cadeia) Sejam U(aberto)⊂ IRm e p ∈ IRm\U . Prove que a funcao f : U → IR

dada por f(x) = ‖x− p‖, para todo x ∈ U (funcao distancia a p) e diferenciavel em U e

obtenha df(a)(v) = f ′(a)(v), onde a ∈ U e v ∈ IRm.

7. (Regra da Cadeia: mudanca de coordenadas e EDPs) Suponhamos que se queira obter

solucoes para a equacao da onda :

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2, onde c ∈ IR, c 6= 0, e u = u(x, t) : U(aberto)⊂ IR2 → IR

Introduzindo a mudanca de variaveis (ξ, η) = m(x, t), onde

ξ = m1(x, t) = x+ ct

η = m2(x, t) = x− ct, temos:

(ξ, η) = (x+ ct, x− ct) = (m1(x, t),m2(x, t)) = m(x, t)

Fazendo v(ξ, η) = u(x, t), temos u = v m.

Impondo a equacao acima, mostre que chegamos a∂2v

∂ξ∂η= 0 .

Obtenha v = v(ξ, η), solucao geral desta ultima equacao, “volte” atraves da mudanca de

variaveis m para obter u = u(x, t), solucao da equacao inicial, e verifique algumas solucoes

particulares.

48 CAPITULO 2

8. (Pontos crıticos, valores regulares, etc.) Seja f : U → IRn uma aplicacao diferenciavel

definida num aberto U ⊂ IRm.

Pontos crıticos de f : dizemos que um ponto a ∈ U e um ponto crıtico de f quando a

derivada f ′(a) : IRm → IRn nao e sobrejetiva. Neste caso dizemos que a imagem f(a) ∈ IRn do

um ponto crıtico a e um valor crıtico de f .

Valores regulares de f : um ponto c ∈ IRn que nao e um valor crıtico de f (ou seja, nao e

imagem por f de nenhum ponto crıtico de f) e dito um valor regular de f .

a) Se f : U ⊂ IRm → IR e uma funcao diferenciavel, entao caracterize seus pontos crıticos.

Um resultado importante (veremos mais tarde) nos garante que se f : U ⊂ IRm → IR e

uma funcao diferenciavel, f ∈ C1(U) (o que equivale a dizer que as derivadas parciais de f sao

contınuas) e c ∈ f(U) e um valor regular de f , entao o conjunto

M = f−1(c) = x ∈ U ; f(x) = c

e uma VARIEDADE DIFERENCIAVEL DE DIMENSAO m− 1, o que significara que:

• M e localmente homeomorfo ao espaco IRm−1

• M e “suave” (sera de classe C1)

Dois casos serao de nosso maior interesse:

i) m = 2 : neste caso temos f : U ⊂ IR2 → IR e M = f−1(c) tera dimensao 1 : M sera uma

curva (de nıvel c)

ii) m = 3 : neste caso temos f : U ⊂ IR3 → IR e M = f−1(c) tera dimensao 2 : M sera uma

superfıcie (de nıvel c)

Por enquanto nos restringiremos ao segundo caso (superfıcies).

b) Para cada uma das superfıciesM dadas abaixo, faca: um esboco deM , verifique as condicoes

para que o resultado acima enunciado possa ser valido e descreva qual a superfıcie dada.

i) f1(x, y, z) = x− 2y + 3z, M1 = f−11 (3)

ii) f2(x, y, z) = x2 + y2 + z2, M2 = f−12 (4)

iii) f3(x, y, z) = x2 + y2 + z, M3 = f−13 (−1)

iv) f4(x, y, z) = x2 + y2, M4 = f−14 (1)

c) Mostre agora que, nas condicoes do resultado apresentado anteriormente, o vetor gradiente

da funcao f no ponto a ∈ M = f−1(c) e perpendicular a variedade M em a, ou seja, para

todo caminho diferenciavel γ : (−ε, ε) → M em M (sua imagem e uma curva contida em M)


passando pelo ponto a ∈M , o vetor grad f(a) (gradiente de f em a) e perpendicular ao vetor

tangente a curva γ(−ε, ε) em a. Dizemos tambem que o gradiente e perpendicular ao espaco

tangente a M no ponto a (Ta(M), que tem a mesma dimensao de M).

(Sugestao: olhe para a composicao f γ e aplique a Regra da Cadeia)

d) Para cada uma das superfıcies M da letra b) escolha um ponto a ∈M e tente, sem calcular

o gradiente de f em a obter a direcao do gradiente (visualmente mesmo!). Agora calcule o

gradiente de f em a e verifique a validade da letra c) anterior.

9. (Mais superfıcies) Seja f : U(aberto)⊂ IR2 → IR diferenciavel e tal que f ∈ C1(U).

Ja fizemos uma serie de consideracoes a respeito de S = (x, y, f(x, y)) ; (x, y) ∈ U(grafico de f) (ver iii do exemplo I nas notas de aula).

a) Mostre, indo na direcao do resultado utilizado no exercıcio anterior, que S e a imagem

inversa de um valor regular c de uma funcao h = h(x, y, z) de classe C1.

Consequencia importante deste fato: o vetor gradiente de h em um ponto b = (a, f(a)) ∈ S

(obtenha gradh(b)) e o vetor normal ao plano tangente a S em b = (a, f(a)) (Tb(S)).

b) Obtenha as equacoes dos planos tangentes aos graficos das seguintes funcoes nos pontos

especificados abaixo (tente fazer um esboco):

i) f1(x, y) = x2 + y2 no ponto b1 = (−1, 3, 10)

ii) f2(x, y) = x2 − y2 no ponto b2 = (0, 2,−4)

iii) f3(x, y) = cos y no ponto b3 = (2, π,−1)

10. (Desigualdade do valor medio) Seja U ⊂ IRm um aberto e f : U → IRn. Suponha que

U contem os pontos a, b e o segmento de reta [a, b] que os une, e que f e diferenciavel em

todo ponto de [a, b]. Mostre que existe uma transformacao linear L : IRm → IRn tal que

f(b)− f(a) = L(b− a).

11. (Desigualdade do valor medio) Sejam α > 1 e c ∈ IR. Se f : U → IRn, definida no aberto

U ⊂ IRm cumpre a condicao ‖f(x)− f(y)‖ ≤ c‖x− y‖α para quaisquer x, y ∈ U entao f e

constante em cada componente conexa de U .

12. (Desigualdade do valor medio) Sejam U ⊂ IRm aberto, [a, b] ⊂ U, f : U → IRn contınua

em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Mostre que para cada y ∈ IRn existe cy ∈ (a, b) tal que

< f(b)− f(a), y > = < f ′(cy)(b− a), y >.

50 CAPITULO 2

13. (Desigualdade do valor medio) Seja U ⊂ IRm convexo. Dada f : U → IRn diferenciavel,

considere as seguintes afirmacoes:

a) ‖f ′(x)‖ ≤ c para todo x ∈ U ;

b) ‖f(x)− f(y)‖ ≤ c ‖x− y‖ para quaisquer x, y ∈ U ;

c) f e uniformemente contınua ;

d) Para todo x0 ∈ clU , existe limx→x0

f(x) ;

e) Se U e limitado entao f(U) e limitado.

Mostre que a ⇔ b ⇒ c ⇒ d ⇒ e mas as demais implicacoes sao todas falsas.

14. (Desigualdade do valor medio) Seja U ⊂ IRm aberto conexo. Se f : U → IRn e diferenciavel

e f ′(x) = T (constante) para todo x ∈ U entao existe a ∈ IRn tal que f(x) = T (x) + a.

Capıtulo 3

O Teorema da Aplicacao Inversa

Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel.

A essencia do estudo de diferenciabilidade se traduz no fato de que podemos obter in-

formacoes significativas sobre o comportamento de f numa vizinhanca de um ponto a ∈ U

atraves de sua derivada f ′(a) neste ponto (lembremos que f ′(a) : IRm → IRn e uma

transformacao linear).

Por exemplo: sob certas condicoes, temos:

(i) f ′(a) injetiva(m≤n)

=⇒ existe uma vizinhanca V de a tal que f e injetiva em V .

(ii) f ′(a) sobrejetiva(m≥n)

=⇒ existe uma vizinhanca V de a que e “levada” (aplicada) por f

sobre uma vizinhanca W de f(a).

(iii) f ′(a) bijetiva(m=n)

=⇒ existe uma vizinhanca V de a que e “levada” biunivocamente

por f sobre uma vizinhanca W de f(a).

3.1 Preliminares

Lema 3.1. Se T : IRm → IRn e uma transformacao linear (T ∈ L(IRm; IRn) ) INJETIVA

entao existe r > 0 tal que

‖T (x)‖ ≥ r. ‖x‖ ∀ x ∈ IRm

Este e o Exercıcio 7.7 da pagina 70 do Curso de Analise, vol. 2 (Elon) - exercıcio 17 da

primeira lista de exercıcios do Capıtulo 1 (Nocoes Topologicas no IRn).

51

52 CAPITULO 3

A aplicacao derivada e a Classe C1 :

Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel.

Definimos a APLICACAO DERIVADA DE f como a aplicacao

f ′ : U → L(IRm; IRn)

x 7→ f ′(x)

Agora questionamos: dado a ∈ U , quando a aplicacao derivada f ′ e contınua em a ?

Para cada x ∈ U vamos identificar f ′(x) com sua Matriz Jacobiana:

Jf(x) =

∂f1

∂x1

(x)∂f1

∂x2

(x) . . .∂f1

∂xm

(x)

∂f2

∂x1

(x)∂f2

∂x2

(x) . . .∂f2

∂xm

(x)

......

...

∂fn

∂x1

(x)∂fn

∂x2

(x) . . .∂fn

∂xm

(x)

onde fi : U → IR (i = 1, . . . , n) sao as funcoes coordenadas de f : f = (f1, f2, . . . , fn).

Observamos entao que

∂fi

∂xj

: U → IR

x 7→ ∂fi

∂xj

(x)

i = 1, . . . , n

j = 1, . . . ,m

sao as funcoes coordenadas da aplicacao derivada (de f) f ′ : U → L(IRm; IRn).

Ora, sabemos que uma aplicacao e contınua em um ponto se, e somente se, suas funcoes

coordenadas sao contınuas nesse ponto.

Podemos entao concluir: a aplicacao derivada f ′ : U → L(IRm; IRn) e contınua em um

ponto a ∈ U se, e somente se, as funcoes∂fi

∂xj

: U → IR sao contınuas em a , para todos

i = 1, . . . , n e j = 1, . . . ,m.

Dizemos que f pertence a classe C1(U) se, e somente se, sua aplicacao derivada

f ′ : U → L(IRm; IRn) e contınua (em todos os pontos de U).

O Teorema da Aplicacao Inversa 53

Veremos agora mais um lema fundamental para os resultados que nos interessam:

Lema 3.2. (Lema de Aproximacao) Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao

diferenciavel e tal que sua aplicacao derivada f ′ : U → L(IRm; IRn) e contınua em a ∈ U .

Entao, dado ε > 0 , podemos obter δ > 0 tal que

x1, x2 ∈ B [a; δ] ⇒ x1, x2 ∈ U e ‖f(x1)− f(x2)− f ′(a)(x1 − x2)‖ ≤ ε. ‖x1 − x2‖

Prova:

3.2 O Teorema da Aplicacao Injetiva

Teorema 3.3. Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel.

Se a ∈ U e tal que f ′(a) : IRm → IRn e uma transformacao linear INJETIVA (em

particular m ≤ n ) e a aplicacao derivada f ′ e contınua em a, entao existe um numero δ > 0

tal que a restricao de f a B[a; δ] e injetiva.

Mais ainda, podemos garantir que a inversa da restricao f∣∣B[a;δ]

e uma aplicacao contınua

de f (B[a; δ]) em B[a; δ].

Demonstracao:

54 CAPITULO 3

Obs.: Note que, apesar de termos um homeomorfismo entre B[a; δ] e f (B[a; δ]) , nao

podemos garantir que f (B[a; δ]) seja uma vizinhanca de f(a) .

Por esta razao nao podemos fazer nenhuma afirmacao sobre a diferenciabilidade da inversa

em f(a).

A seguir veremos um resultado que nos ajudara a ir nessa “direcao”.

3.3 O Teorema da Aplicacao Sobrejetiva


Se a ∈ U e tal que f ′(a) : IRm → IRn e uma transformacao linear SOBREJETIVA

(em particular m ≥ n ) e a aplicacao derivada f ′ e contınua em a, entao existem numeros

c > 0 e α > 0 tais que, se y ∈ IRn e ‖y − f(a)‖ ≤ α/2c entao existe um x ∈ U tal que

‖x− a‖ ≤ α e f(x) = y , ou seja, f (B[a;α]) e uma vizinhanca de f(a).


Demonstracao:

56 CAPITULO 3

Obs.: A sobrejetividade de f ′(a) (e a continuidade de f ′ em a) nos garante portanto que

f(a) e ponto interior de f (B[a;α]), sem garantir porem a injetividade de f numa vizinhanca

de a (como era garantido no Teorema da Aplicacao Injetiva).


Antes de combinarmos estes dois importantes resultados (Teoremas das Aplicacoes In-

jetiva e Sobrejetiva) para obter o Teorema da Aplicacao Inversa, veremos uma importante

consequencia do Teorema da Aplicacao Sobrejetiva:

Corolario 1. (Teorema da Aplicacao Aberta) Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao

tal que f ∈ C1(U) , ou seja, f e diferenciavel e a aplicacao derivada f ′ e contınua (em todo

x ∈ U).

Se f ′(x) e sobrejetiva para todo x ∈ U entao f e uma aplicacao aberta, isto e, f(A) e

um conjunto aberto para todo A (aberto) ⊂ U .

Prova:

3.4 O Teorema da Aplicacao Inversa

O que faremos agora sera combinar os dois teoremas anteriores (Aplicacoes Injetiva e So-

brejetiva) para produzir o Teorema da Aplicacao Inversa.

Apresentaremos tal resultado em duas partes:


Se a ∈ U e tal que f ′(a) : IRm → IRn e um ISOMORFISMO (transformacao linear

bijetiva - em particular m = n ) e a aplicacao derivada f ′ e contınua em a, entao existe um

numero δ > 0 tal que B[a; δ] e homeomorfa (“por f”) a f (B[a; δ]), f (B[a; δ]) e vizinhanca

de b = f(a) e f−1 = g : f (B[a; δ]) → B[a; δ] e diferenciavel em b = f(a) .

Em particular: g′(b) = [f ′(a)]−1.

58 CAPITULO 3

Demonstracao:


Mais ainda, se f ∈ C1(U) (aplicacao derivada contınua em U) entao existem vizinhancas

abertas V de a e W de b = f(a) tais que f e um DIFEOMORFISMO entre os abertos V

e W e g = f−1 : W → V ∈ C1(W ).

(f : V → W difeomorfismo significa que e bijecao diferenciavel com inversa diferenciavel)

Demonstracao:

60 CAPITULO 3

3.5 O Teorema da Aplicacao Implıcita

Teorema 3.6. Sejam Ω (aberto) ⊂ IRm × IRn = IRm+n e (a, b) ∈ Ω , de forma que

a = (a1, a2, . . . , am) ∈ IRm e b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ IRn. Seja f : Ω → IRn uma aplicacao,

f = f(x, y) = f(x1, . . . , xm, y1, . . . , yn) , tal que f ∈ C1(Ω) e f(a, b) = r ∈ IRn .

Se

det

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (y1, y2, . . . , yn)(a, b)

]6= 0

(ou equivalentemente: se L : IRn → IRn dada por L(v) = f ′(a, b)(0, v) e um isomorfismo),

entao existe uma vizinhanca V de (a, b) em IRm × IRn tal que:

(x, y) ∈ V ∩ f−1(r) ⇔ y = ϕ(x) e x ∈ U ,

onde ϕ : U (aberto) ⊂ IRm → IRn , U e vizinhanca de a, ϕ(a) = b , ϕ ∈ C1(U) e

ϕ′(x) = −[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (y1, y2, . . . , yn)(x, ϕ(x))

]−1

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (x1, x2, . . . , xm)(x, ϕ(x))

]∀ x ∈ U .

“Descricao Esquematica”:


Demonstracao:

62 CAPITULO 3

3.6 As classes de diferenciabilidade Ck

Definicao 3.7. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e dita ser de classe Ck

(k = 1, 2, . . .) no aberto U ⊂ IRm quando existem e sao contınuas em U todas as derivadas

parciais de ordem ≤ k das funcoes coordenadas de f . Notacao: f ∈ Ck(U) .

Dizemos que f e de classe C0 se f e contınua.

Dizemos que f e de classe C∞ em U quando f ∈ Ck(U) para todo k = 0, 1, 2, . . . .

Obs.: Dizer que f ∈ Ck(U) (k = 1, 2, 3, . . .) equivale a dizer que f e diferenciavel e sua

aplicacao derivada f ′ : U → L(IRm; IRn) e uma aplicacao de classe Ck−1 em U .

Mais tarde, ao estudarmos derivadas de ordem superior, veremos que a condicao acima

ainda e equivalente a dizer que f e k vezes diferenciavel e sua derivada de ordem k, f (k) , e

contınua em U .

O resultado a seguir e um corolario da Regra da Cadeia e fica como exercıcio:

Proposicao 3.8. A composta de duas aplicacoes de classe Ck e tambem de classe Ck.

Exercıcio: Usando o resultado acima, mostre que a inversao de matrizes:

i : GL(IRn) → GL(IRn)

A 7→ A−1

e uma aplicacao de classe C∞ em GL(IRn).

Consequencias importantes (MOSTRE COMO!) dos resultados acima:

Podemos obter, no Teorema da Aplicacao Inversa, f−1 ∈ Ck(W ) , desde que tenhamos

f ∈ Ck(U) (k = 1, 2, . . .) .

Consequentemente, no Teorema da Aplicacao Implıcita, tambem obtemos ϕ ∈ Ck(U) se

f ∈ Ck(Ω) (k = 1, 2, . . .) .


3.7 Aplicacao: superfıcies regulares no IR3

Definicao 3.9. Um subconjunto S ⊂ IR3 e uma SUPERFICIE REGULAR quando, para

cada ponto p ∈ S existem uma vizinhanca V de p em IR3 e uma aplicacao χ : U → V ∩ Sdefinida num aberto U ⊂ IR2 tal que:

(1) χ ∈ C∞(U) (χ e “suave”);

(2) χ e um homeomorfismo;

(3) Para todo q ∈ U , a derivada χ′(q) : IR2 → IR3 tem posto 2, isto e, χ′(q) e injetora.

Obs.: Uma aplicacao χ como acima e dita uma PARAMETRIZACAO LOCAL de S em

(uma vizinhanca de) p. Temos χ = χ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) .

(u, v) ∈ U sao ditas COORDENADAS LOCAIS de S em (uma vizinhanca de) p.

Se p = χ(u0, v0) , χ(u0, v) e χ(u, v0) sao ditas CURVAS COORDENADAS por p.

Dado q ∈ U , temos: Jχ(q) =

∂x

∂u(q)

∂x

∂v(q)

∂y

∂u(q)

∂y

∂v(q)

∂z

∂u(q)

∂z

∂v(q)

Portanto χ′(q) tem posto 2 se, e somente se, χ′(q) e injetora e isto ocorre se, e somente

se, as colunas da matriz acima sao vetores L.I. no IR3 , ou equivalentemente, um dos deter-

minantes abaixo e nao-nulo em q :

det

[∂(x, y)

∂(u, v)

]=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , det

[∂(y, z)

∂(u, v)

], det

[∂(x, z)

∂(u, v)

]

64 CAPITULO 3

Exemplos:

(A) Todo plano π ⊂ IR3 e uma superfıcie regular.

(B) Esfera S2 ⊂ IR3. S2 =

(x, y, z) ∈ IR3 ; x2 + y2 + z2 = 1.


Obs.: Nao e possıvel obter uma unica parametrizacao para toda a esfera (global), pois

a esfera e um compacto do IR3 e a parametrizacao deve ser um homeomorfismo entre um

aberto U ⊂ IR2 e sua imagem.

Podemos, porem, mapear toda a esfera com apenas duas parametrizacoes:

66 CAPITULO 3

(C) Cilindro: C =

(x, y, z) ∈ IR3 ; x2 + y2 = 1.

(D) Este exemplo vem sob a forma de proposicao (e um caso geral):

Proposicao 3.10. Seja f : U (aberto) ⊂ IR2 → IR uma funcao “suave”(C∞).

Entao o grafico de f : G = (u, v, f(u, v)) ; (u, v) ∈ U e uma superfıcie regular.


(E) Finalmente relacionamos superfıcies regulares com o Teorema da Aplicacao Implıcita:

Proposicao 3.11. Seja f : Ω (aberto) ⊂ IR3 → IR uma funcao “suave”(C∞).

Se r ∈ IR e um VALOR REGULAR de f , ou seja, f−1(r) nao possui pontos crıticos de

f , entao o conjunto S = f−1(r) e uma superfıcie regular.

68 CAPITULO 3

3.8 Exercıcios

1. Nas condicoes do Teorema da Aplicacao Injetiva (Teorema 3.3), apesar de termos, pela f ,

um homeomorfismo entre B[a; δ] e f(B[a; δ]) , NAO PODEMOS GARANTIR que f leve

uma vizinhanca de a em uma vizinhanca de f(a). Ilustre isto atraves de um contra-exemplo.

2. Nas condicoes do Teorema da Aplicacao Sobrejetiva (Teorema 3.4), apesar de termos

f(B[a;α]) como vizinhanca de f(a) , NAO PODEMOS GARANTIR que f seja injetiva

numa vizinhanca de a. Ilustre isto atraves de um contra-exemplo.

3. Use a Teoria do Capıtulo 3 para mostrar que as projecoes πi : IRm → IR , dadas por

πi(x1, x2, . . . , xm) = xi sao aplicacoes abertas.

4. Se f : U → IR3 e de classe C1 e tem posto 3 em todos os pontos do aberto U ⊂ IR4

entao |f(x)| nao assume valor maximo para x ∈ U .

(Obs.: O posto de f em x e o posto de f ′(x) )

5. Seja f : U → C uma funcao holomorfa, de classe C1, no aberto U do plano complexo.

Se f ′(z0) 6= 0 entao z0 possui uma vizinhanca, restrita a qual f tem uma inversa derivavel

(como funcao complexa), de classe C1.

(Sugestao: “olhe” f como f : IR2 → IR2 e use o Teorema da Aplicacao Inversa)

6. Seja f : IR2 → IR2 dada por f(x, y) = (x+ y, 2x+ ay) .

(a) Calcule Df (x, y) e mostre que Df (x, y) e invertıvel se, e somente se, a 6= 2 .

(b) Examine a imagem do quadrado unitario (x, y) ; x, y ∈ [0, 1) quando a = 1, 2, 3.

7. Seja f : IR2 → IR2 a aplicacao que leva o ponto (x, y) no ponto (u, v) dada por

u = x, v = xy .

A aplicacao e um-a-um (injetora) ? f e aplicada sobre todo o IR2 ?

Mostre que se x 6= 0 , entao f leva uma vizinhanca de (x, y) , de modo um-a-um, sobre uma

vizinhanca de (x, xy).

Em que regiao do plano uv a aplicacao f leva o retangulo (x, y) ; 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 ?

Que pontos do plano xy sao levados pela f no retangulo (u, v) ; 1 ≤ u ≤ 2 , 0 ≤ v ≤ 2 ?

8. Seja f : IR2 → IR2 dada por f(x, y) = (y, x+ y2) .

Mostre que f ∈ C1(IR2) e que f e invertıvel em alguma vizinhanca de qualquer ponto do IR2.

Esboce a imagem, pela f , das retas x = 0, 1,−1, 2,−2 e y = 0, 1,−1, 2,−2.

Determine a inversa g = f−1 : IR2 → IR2 e verifique que Dg(f(x0, y0)) = [Df (x0, y0)]−1.


9. Mostre que a composta de duas aplicacoes de classe Ck e tambem de classe Ck.

(Sugestao: INDUCAO, utilizando a observacao logo apos a definicao de classe Ck , alem da

Regra da Cadeia)

Utilizando o resultado acima e o fato de que a inversao de matrizes e uma aplicacao de

classe C∞ em GL(IRn) , conclua que no Teorema da Aplicacao Inversa (Teorema 3.5)

temos f−1 ∈ Ck(W ) , desde que tenhamos f ∈ Ck(U) (k = 1, 2, . . .) . Conclua tambem

que, no Teorema da Aplicacao Implıcita (Teorema 3.6), tambem obtemos ϕ ∈ Ck(U) se

f ∈ Ck(Ω) (k = 1, 2, . . .) .

10. Seja χ : U (aberto)⊂ IR2 → IR3 tal que:

(1) χ ∈ C1(U)

(2) χ : U → χ(U) e BIJECAO;

(3) Para todo q ∈ U , a derivada χ′(q) : IR2 → IR3 tem posto 2, isto e, χ′(q) e injetora.

Use o Teorema da Aplicacao Inversa para mostrar que χ−1 : χ(U) → U e contınua (o que

implica em χ ser um homeomorfismo).

Sugestao: Para cada ponto p ∈ χ(U) , escolha uma projecao adequada π : IR3 → IR2 ,

use o Teorema da Aplicacao Inversa em π χ e conclua que χ−1 e contınua em p .

11. Uma IMERSAO do aberto U ⊂ IRm no IRp e uma aplicacao diferenciavel f : U → IRp

tal que, para cada x ∈ U , a derivada f ′(x) : IRm → IRp e uma transformacao linear injetiva

(em particular m ≤ p ⇒ p = m+ n ).

A inclusao i : IRm → IRm × IRn dada por i(x) = (x, 0) ∀ x ∈ IRm e o exemplo canonico

de imersao: i e imersao e i ∈ C∞ (verifique).

O objetivo deste exercıcio (dirigido) e mostrar que toda imersao de classe Ck (k ≥ 1) se

comporta localmente (de certa forma) como o exemplo canonico acima.

Seja f : U (aberto)⊂ IRm → IRm+n = IRm × IRn uma imersao de classe Ck (k ≥ 1) .

Dado a ∈ U vamos mostrar que existem abertos V1 3 a no IRm , V2 3 0 no IRn (de modo

que (a, 0) ∈ V1 × V2 (aberto)⊂ IRm × IRn ), W 3 f(a) no IRm+n e existe um difeomorfismo

h : W → V1 × V2 tais que h ∈ Ck(W ) e

(h f)(x) = (x, 0) ∀ x ∈ V1

1) Seja E = f ′(a)(IRm) (imagem de f ′(a) ) ⊂ IRm+n . Conclua que dimE = m e

portanto existe (pelo menos um) subespaco F ⊂ IRm+n com dimF = n e IRm+n = E ⊕ F .

Fixemos uma base β = v1, v2, . . . , vn , base ordenada de F .

70 CAPITULO 3

2) Considere ϕ : U × IRn → IRm+n dada por

ϕ(x, y) = ϕ(x, (y1, . . . , yn)) = f(x) + y1v1 + y2v2 + . . .+ ynvn

e mostre que ϕ ∈ Ck(U × IRn) e ϕ′(a, 0) : IRm+n → IRm+n e um ISOMORFISMO.

3) Use o Teorema da Aplicacao Inversa (Teo 3.5) para obter o difeo h : W → V1× V2 que

atenda as condicoes descritas anteriormente.

Obs.: Podemos obter um resultado mais flexıvel, ou seja, uma composicao que fornece

uma outra inclusao (imersao canonica). Basta considerar ξ : IRm+n → IRm+n dada por

ξ(z1, . . . , zm+n) = (zl1 , . . . , zlm+n) e fazer h = ξ h : W → ξ(V1 × V2) . Assim teremos

(h f)(x) = ξ(x, 0) . ξ representa uma reordenacao na base canonica do IRm+n. Este tipo de

reordenacao sera muito util a frente.

12. De acordo com o enunciado do Teorema da Aplicacao Implıcita (Teorema 3.6), obtenha a

expressao da derivada da aplicacao implıcita, ou seja, mostre que

ϕ′(x) = −[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (y1, y2, . . . , yn)(x, ϕ(x))

]−1

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (x1, x2, . . . , xm)(x, ϕ(x))

]∀ x ∈ U

Sugestao: Use que f(x, ϕ(x)) = r (constante) se x ∈ U e aplique a Regra da Cadeia.

13. Seja F : IR5 → IR2 dada por F (u, v, w, x, y) = (uy + vx + w + x2, uvw + x + y + 1) .

Note que F (2, 1, 0,−1, 0) = (0, 0).

(a) Mostre que podemos resolver F (u, v, w, x, y) = (0, 0) e obter (x, y) = ϕ(u, v, w) para as

solucoes desta equacao, numa vizinhanca de (2, 1, 0) .

(b) Se (x, y) = ϕ(u, v, w) e a solucao na parte (a), obtenha a matriz jacobiana Jϕ(2, 1, 0) .

14. O objetivo agora e obter o Teorema da Aplicacao Implıcita no seu contexto mais geral.

Consideremos Ω (aberto)⊂ IRm+n , c ∈ Ω e f = f(z1, . . . , zm+n) : Ω → IRn uma aplicacao

tal que f ∈ Ck(Ω) (k ≥ 1) e f(c) = r ∈ IRn . Suponhamos ainda que

det

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (zj1 , . . . , zjn)(c)

]6= 0

(observe que agora as variaveis zj1 , . . . , zjn nao sao necessariamente as ultimas)

Notacao: zl1 , . . . , zlm serao as outras variaveis (que nao zj1 , . . . , zjn ) em z = (z1, . . . , zm+n) .

Nosso objetivo e mostrar que existe uma vizinhanca aberta V de c em IRm+n tal que

z ∈ V ∩ f−1(r) ⇔ (zj1 , . . . , zjn) = ϕ(zl1 , . . . , zlm) e (zl1 , . . . , zlm) ∈ U ,

onde ϕ : U (aberto) ⊂ IRm → IRn , (cl1 , . . . , clm) ∈ U , ϕ(cl1 , . . . , clm) = (cj1 , . . . , cjn) e

ϕ ∈ Ck(U).


Roteiro:

1) Seja ξ : IRm+n → IRm+n dada por ξ(z1, . . . , zm+n) = (zl1 , . . . , zlm , zj1 , . . . , zjn)

( ξ representa uma reordenacao na base canonica do IRm+n de modo que as ultimas variaveis

passam a ser zj1 , . . . , zjn )

Tomando η = ξ−1 , considere g = f η : ξ(Ω) ⊂ IRm+n → IRn .

Mostre que ξ(Ω) e aberto, g ∈ Ck(ξ(Ω)) e, se considerarmos (x, y) = (x1, . . . , xm, y1, . . . , yn)

no IRm+n tem-se, para todo i, s = 1, . . . , n :

∂gi

∂ys

(ξ(c)) =∂fi

∂zjs

(c) (use a Regra da Cadeia em g = f η )

Portanto

det

[∂ (g1, g2, . . . , gn)

∂ (y1, y2, . . . , yn)(ξ(c))

]= det

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (zj1 , . . . , zjn)(c)

]6= 0

2) Utilize entao o Teorema 3.6 considerando a aplicacao g = f η : ξ(Ω) → IRn , uma vez

que para g temos

det

[∂ (g1, g2, . . . , gn)

∂ (y1, y2, . . . , yn)(ξ(c))

]6= 0

3) Com o resultado a respeito de g obtido acima, “volte para f”, concluindo a demonstracao

do Teorema da Aplicacao Implıcita na sua forma mais geral.

Obs.: Descreva ainda a expressao para ϕ′(zl1 , . . . , zlm) , dado (zl1 , . . . , zlm) ∈ U .

15. Seja f : IR3 → IR2 dada por f(x, y, z) = (x+ y + z, x− y − 2xz)

(a) Mostre que podemos resolver f(x, y, z) = (0, 0) , obtendo (x, y) = ϕ(z) para as solucoes

desta equacao, numa vizinhanca de z = 0 .

(b) Mostre que Jϕ(0) =

[−1/2

−1/2

](c) Explicite a solucao de (x, y) = ϕ(z) e verifique o resultado da parte (b).

(d) Repita os procedimentos das letras (a), (b) e (c), so que agora obtendo (y, z) = ψ(x)

numa vizinhanca de x = 0 para as solucoes da equacao f(x, y, z) = (0, 0) .

16. Ao demonstrarmos o Teorema da Aplicacao Implıcita (Teorema 3.6), utilizamos forte-

mente o Teorema da Aplicacao Inversa (Teorema 3.5). Mostre que ambos os resultados sao

EQUIVALENTES, demonstrando o Teorema da Aplicacao Inversa a partir do Teorema da

Aplicacao Implıcita.

72 CAPITULO 3

17. Uma SUBMERSAO do aberto U ⊂ IRq no IRn e uma aplicacao diferenciavel f : U → IRn

tal que, para cada x ∈ U , a derivada f ′(x) : IRq → IRn e uma transformacao linear sobrejetiva

(em particular q ≥ n ⇒ q = m+ n ).

Uma projecao s : IRm+n → IRn dada por s(z1, . . . , zm+n) = (zj1 , . . . , zjn) ∀ z ∈ IRm+n e

um exemplo canonico de submersao: s e submersao e s ∈ C∞ (verifique).

O objetivo deste exercıcio (dirigido) e mostrar que toda submersao de classe Ck (k ≥ 1)

se comporta localmente (de certa forma) como o exemplo canonico anteriormente descrito.

Seja f : Ω (aberto)⊂ IRm+n → IRn uma submersao de classe Ck (k ≥ 1) .

Dado c ∈ Ω vamos mostrar que existem abertos V 3 c e W do IRm+n e um

difeomorfismo G : W → V de classe Ck(W ) tais que

(f G)(z1, . . . , zm+n) = (zj1 , . . . , zjn) ∀ (z1, . . . , zm+n) ∈ W

1) Como f ′(c) : IRm+n → IRn e sobrejetora, entao Im f ′(c) = IRn . Considerando entao

z = (z1, . . . , zm+n) ∈ IRm+n , existem (mostre) variaveis zj1 , . . . , zjn tais que

det

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (zj1 , . . . , zjn)(c)

]6= 0

Vamos separar a demonstracao em duas partes:

1a PARTE) Caso particular: js = m+s ∀ s = 1, . . . n , ou seja, as variaveis zj1 , . . . , zjn

representam as ultimas n coordenadas de z ∈ IRm+n = IRm × IRn :

2) Sendo c = (a, b) ∈ Ω ⊂ IRm × IRn , consideremos H : Ω → IRm × IRn dada por

H(x, y) = (x, f(x, y)) , H ∈ Ck(Ω) e H ′(c) e isomorfismo.

3) Exatamente como na demonstracao do Teorema da Aplicacao Implıcita (Teo 3.6),

obtenha o difeomorfismo G = H−1 : W → V conforme desejamos: (f G)(x, y) = y .

2a PARTE) Caso geral: as variaveis zj1 , . . . , zjn tais que det

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (zj1 , . . . , zjn)(c)

]6= 0

nao sao necessariamente as n ultimas:

4) Assim como no exercıcio 14 desta mesma lista, considere ξ : IRm+n → IRm+n dada por

ξ(z1, . . . , zm+n) = (zl1 , . . . , zlm , zj1 , . . . , zjn) e, tomando η = ξ−1 , considere a aplicacao

g = f η : ξ(Ω) ⊂ IRm+n → IRn

5) Aplique a 1a parte a g (mostre antes, como o feito no exercıcio 14, que isto e possıvel) e

finalmente use novamente ξ e η para concluir a demonstracao - o aberto W a ser obtido sera

uma vizinhanca de (d1, . . . , dm+n) , sendo dlk = clk para todo k = 1, . . . ,m e djs = fjs(c)

para todo s = 1, . . . , n ).


3.9 O Teorema do Posto

Teorema 3.12. (Teorema do Posto)

Seja f : U(aberto) ⊂ IRm+n → IRm+p uma aplicacao de classe Ck (k ≥ 1) que tem posto

m em cada ponto de U , ou seja: f ′(x)(IRm+n) tem dimensao m para cada x ∈ U .

Entao, para cada a ∈ U , existem difeomorfismos α e β , ambos de classe Ck , sendo

α de um aberto de IRm+n sobre uma vizinhanca de a e β de uma vizinhanca aberta de f(a)

sobre um aberto de IRm+p , tais que

β f α (x, y) = (x, 0) ∀ (x, y) ∈ IRm × IRn no domınio de α

Demonstracao:

74 CAPITULO 3

Capıtulo 4

Integrais Multiplas

4.1 A definicao de integral

Definicao 4.1. (Blocos) Um BLOCO m-DIMENSIONAL e um produto cartesiano

A =m∏

i=1

[ai, bi] = [a1, b1]× . . .× [am, bm] ⊂ IRm (ai < bi ∀ i)

de m intervalos compactos [ai, bi] , cada um dos quais se chama uma ARESTA do bloco A.

O VOLUME m-dimensional do bloco A =m∏

i=1

[ai, bi] e, por definicao,

vol. A =m∏

i=1

(bi − ai) .

Definicao 4.2. (Particoes) Uma PARTICAO do bloco A =m∏

i=1

[ai, bi] e um subconjunto

finito do tipo P = P1 × . . .× Pm , onde cada Pi e uma particao do intervalo [ai, bi] .

Uma particao P = P1 × . . . × Pm do bloco A determina uma decomposicao de A em

sub-blocos do tipo B = I1 × . . .× Im , onde cada Ii e um intervalo da particao Pi .

Cada um desses sub-blocos B e dito um BLOCO DA PARTICAO P e escreve-se B ∈ P .

Se P e uma particao de um bloco A, segue que o volume do bloco A e soma dos volumes

de todos os blocos em que a particao P decompoe A

vol. A =∑B∈P

vol. B .

A NORMA |P | de uma particao P =∏Pi e o maior comprimento de um subintervalo

de qualquer das particoes Pi, ou seja, e o maior comprimento das arestas dos blocos B ∈ P .

75

76 CAPITULO 4

Definicao 4.3. (Refinando particoes) Dadas P e Q, particoes do bloco A, dizemos que Q e

MAIS FINA do que P , ou equivalentemente, que Q REFINA P , quando P ⊂ Q .

Se P = P1 × . . . × Pm e Q = Q1 × . . . × Qm , temos P ⊂ Q se, e somente se,

P1 ⊂ Q1 , . . . , Pm ⊂ Qm .(?)

Neste caso ( P ⊂ Q ), cada bloco da particao Q esta contido num unico bloco da particao

P e cada bloco de P e a reuniao dos blocos de Q nele contidos.

Se P =∏Pi e Q =

∏Qi sao particoes do bloco A, a reuniao P ∪ Q NAO E, em

geral, uma particao de A.

Mas existe uma particao P +Q =∏

(Pi ∪Qi) que refina P e Q simultaneamente.

Definicao 4.4. (Somas inferiores e superiores)

Seja f : A→ IR uma funcao real limitada, definida num bloco A ⊂ IRm.

Dada uma particao P do bloco A, a cada bloco B ∈ P associaremos os numeros

mB = inf f(x) ; x ∈ B e MB = sup f(x) ; x ∈ B

com os quais definimos

s(f ;P ) =∑B∈P

mB · vol. B (SOMA INFERIOR de f relativamente a particao P )

S(f ;P ) =∑B∈P

MB · vol. B (SOMA SUPERIOR de f relativamente a particao P )

Dada qualquer particao P , e imediato que s(f ;P ) ≤ S(f ;P ) .

E imediato tambem que se m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ A , entao

m · vol. A ≤ s(f ;P ) ≤ S(f ;P ) ≤ M · vol. A

qualquer que seja a particao P do bloco A.

Proposicao 4.5. Se P e Q sao particoes do bloco A ⊂ IRm com P ⊂ Q e f : A → IR e

uma funcao limitada, entao

s(f ;P ) ≤ s(f ;Q) ≤ S(f ;Q) ≤ S(f ;P )

Proposicao 4.6. Seja f : A→ IR limitada. Dadas particoes P e Q do bloco A, tem-se

s(f ;P ) ≤ S(f ;Q) .

Integrais Multiplas 77

Definicao 4.7. (Integral Inferior e Integral Superior)

Seja f : A→ IR uma funcao limitada no bloco A. Definimos:

−

∫A

f(x) dx = supP

s(f ;P ) (INTEGRAL INFERIOR de f )

−∫A

f(x) dx = infP

S(f ;P ) (INTEGRAL SUPERIOR de f )

E imediato dos resultados anteriores que se m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ A entao

m · vol. A ≤−

∫A

f(x) dx ≤−∫A

f(x) dx ≤ M · vol. A

Definicao 4.8. (Funcoes (Riemann-)integraveis)

Uma funcao f : A→ IR , limitada no bloco A ⊂ IRm , e dita INTEGRAVEL quando sua

integral inferior e sua integral superior forem iguais.

Esse valor comum e chamado a INTEGRAL de f em A e denotado por∫A

f(x) dx

Teorema 4.9.(?)

A fim de que uma funcao limitada f : A → IR seja integravel no bloco

A ⊂ IRm e necessario e suficiente que, para cada ε > 0 dado, se possa obter uma particao P

do bloco A tal que S(f ;P )− s(f ;P ) < ε .

Definicao 4.10. (Oscilacao)

Se f : X → IR e limitada em X ⊂ IRm , definimos a OSCILACAO de f em X como

wX = w(f ;X) = sup |f(x)− f(y)| ; x, y ∈ X .

Se indicamos por mX e MX respectivamente o ınfimo e o supremo de f em X, temos

wX = MX −mX .

Teorema 4.11. Toda funcao contınua f : A→ IR e integravel.

78 CAPITULO 4

Teorema 4.12.(?)

Sejam f, g : A→ IR funcoes integraveis no bloco A ⊂ IRm . Entao

(a) A funcao f + g e integravel e∫A

[f(x) + g(x)] dx =

∫A

f(x) dx+

∫A

g(x) dx

(b) Para todo c ∈ IR , a funcao c · f e integravel e∫A

(c · f)(x) dx = c ·∫

A

f(x) dx

(c) Se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ A entao

∫A

f(x) dx ≥ 0 .

(d) A funcao |f(x)| e integravel e∣∣∣∣∫A

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫A

|f(x)| dx .

Em particular, se |f(x)| ≤ K para todo x ∈ A entao∣∣∣∣∫A

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ K · vol. A .

(e) (Valor medio para integrais) Se f e contınua, existe c ∈ A tal que∫A

f(x) dx = f(c) · vol. A .

Uma consequencia interessante do Teorema acima:

Toda funcao (limitada) f : A→ IR pode ser escrita como a diferenca f = f+ − f− entre

duas funcoes nao-negativas naturais:

f+ : A→ IR e chamada a PARTE POSITIVA de f ( f+(x) = max f(x), 0 ).

f− : A→ IR e chamada a PARTE NEGATIVA de f ( f+(x) = −min f(x), 0 ).

Temos:

f+(x) =|f(x)|+ f(x)

2, f−(x) =

|f(x)| − f(x)

2e f(x) = f+(x)− f−(x) ∀ x ∈ A .

Segue do Teorema acima que f e integravel se, e somente se, f+ e f− sao ambas

integraveis.


4.2 Caracterizacao das funcoes (Riemann-) integraveis

Embora ja tenhamos no Teorema 4.9 uma caracterizacao para as funcoes integraveis em

blocos, nos interessa ainda obter uma caracterizacao que “funcione melhor” no sentido de

fornecer condicoes (necessarias e suficientes) de integrabilidade que sejam mais simples de se

analisar.

Para tal, introduziremos os conceitos de oscilacao de uma funcao em um ponto e de con-

juntos de medida nula, com os quais iremos trabalhar nessa nova caracterizacao que estamos

buscando.

Oscilacao de uma funcao em um ponto:

Seja f : X ⊂ IRm → IR uma funcao limitada. Fixemos x ∈ X .

Para cada δ > 0 , consideremos

wf (x; δ) = wf [X ∩B(x; δ)] = w(f ;X ∩B(x; δ) )

(oscilacao de f no conjunto X ∩B(x; δ) )

Nos interessa fazer δ → 0 .

E claro que wf (x; δ) , como funcao de δ , e monotona (nao-decrescente).

E tambem obvio que 0 ≤ wf (x; δ) ≤ wf = wf (X) ∀ δ > 0 .

⇓

Existe o limite

wf (x) = limδ→0

wf (x; δ) = infδ>0

wf (x; δ) ,

que definimos como a OSCILACAO DE f NO PONTO x.

Algumas propriedades:

• wf (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X .

• wf (x) = 0 se, e somente se, f e contınua no ponto x.(?)

• Se x ∈ intY e Y ⊂ X , entao wf (x) ≤ wf (Y ) .(?)

80 CAPITULO 4

Conjuntos de medida nula:

Definicao 4.13. (Conjuntos de medida nula)

Dizemos que um conjunto X ⊂ IRm tem MEDIDA NULA quando, para cada ε > 0 ,

e possıvel obter uma cobertura (enumeravel) X ⊂⋃k∈IN

Ak de X por blocos m-dimensionais

abertos Ak tais que a soma de seus volumes e∑

k

vol. Ak < ε .

Observacoes:

- Um BLOCO m-DIMENSIONAL ABERTO e um produto cartesiano

A =m∏

i=1

(ai, bi) = (a1, b1)× . . .× (am, bm) ⊂ IRm (ai < bi ∀ i)

de m intervalos abertos e limitados (ai, bi) , e cujo volume e dado por vol. A =m∏

i=1

(bi−ai) .

- Na definicao de conjunto de medida nula podemos usar tambem blocos fechados.

- Todo conjunto finito tem medida nula.

- Todo conjunto enumeravel tem medida nula.

- O conjunto de Cantor K ⊂ IR (nao-enumeravel) tem medida nula.

Algumas propriedades:

• Todo subconjunto de um conjunto de medida nula tem tambem medida nula.

• Toda REUNIAO ENUMERAVEL de conjuntos de medida nula e ainda um conjunto

de medida nula.(?)

• Seja A ⊂ IRm um bloco m-dimensional.

Dada qualquer cobertura enumeravel A ⊂⋃k∈IN

Ak de X por blocos abertos Ak tem-se∑k

vol. Ak ≥ vol. A > 0 . Em particular, A nao tem medida nula.(?)

• Se X ⊂ IRm tem medida nula, entao intX = φ .(?)


Caracterizacao das funcoes integraveis (em blocos)

Teorema 4.14. (Lebesgue)

Uma funcao f : A→ IR , limitada no bloco m-dimensional A ⊂ IRm , e integravel (em A)

se, e somente se, o conjunto Df dos seus pontos de descontinuidade tem medida nula.

Demonstracao:

(⇐) Suponhamos que Df = x ∈ A ; f e descontınua em x tenha medida nula.

Seja dado ε > 0 .

Se w = supf A − inff A e a oscilacao de f em A, temos que existe uma colecao

enumeravel Dk de blocos m-dimensionais abertos Dk tais que

Df ⊂⋃k

Dk e∑

k

vol. clDk <ε

2w.

Por outro lado, dado x ∈ A\Df (f e contınua em x), temos que existe δx > 0 tal que

wf [A ∩B(x; δx) ] <ε

2 vol. A.

Consideremos entao um blocom-dimensional aberto Cx tal que x ∈ Cx e clCx ⊂ B(x; δx).

E imediato que A ⊂⋃k

Dk ∪⋃

x 6∈Df

Cx e cobertura aberta do conjunto compacto A .

Essa cobertura admite portanto uma subcobertura finita

A ⊂ Dk1 ∪ . . . ∪Dkm ∪ Cx1 ∪ . . . ∪ Cxl

Consideremos agora a particao P do bloco A obtida “prolongando-se as faces dos blocos

da subcobertura acima”.

82 CAPITULO 4

Vamos denotar por Bα os blocos da particao P que estao contidos em algum clDk

original e por Bβ os demais blocos da particao P .

Temos entao:

S(f ;P )− s(f ;P ) =∑

i

wi · vol. Bi =∑

α

wα · vol. Bα +∑

β

wβ · vol. Bβ ≤

=∑

α

w · vol. Bα +∑

β

ε

2 vol. A· vol. Bβ =

= w ·∑

α

vol. Bα +ε

2 vol. A·∑

β

vol. Bβ <

= w ·∑

vol. clDk +ε

2 vol. A· vol. A <

< w · ε

2w+

ε

2 vol. A· vol. A = ε

Segue do Teorema 4.9 que f e integravel.

(⇒) Suponhamos agora que a funcao limitada f : A→ IR seja integravel.

Seja Df o conjunto dos pontos de descontinuidade de f .

Queremos mostrar que Df tem medida nula.

Para cada k ∈ IN , definimos: Dk =

x ∈ A ; wf (x) ≥

1

k

.

Temos entao:

Df =⋃k

Dk .

Se mostrarmos que cada Dk tem medida nula, e claro que Df tambem tera medida nula.

Fixemos portanto k ∈ IN .

Seja dado ε > 0 .

Como f e integravel, e possıvel obter uma particao P do bloco A tal que

∑B∈P

wB · vol. B <ε

2k.


Vamos denotar por Bα os blocos da particao P que tem algum ponto de Dk no seu

interior.

Consideremos tambem o conjunto F =⋃

B∈P

frB .

E claro que

Dk ⊂⋃α

Bα ∪ F .

O conjunto F =⋃

B∈P

frB tem medida nula(?)

(verifique) e portanto existe uma colecao

enumeravel Cβ de blocos m-dimensionais tais que

F ⊂⋃β

Cβ e∑

β

vol. Cβ <ε

2.

Para cada um dos blocos Bα , temos wBα ≥1

kpois cada um desses blocos tem um ponto

de Dk no seu interior.

Temos entao

1

k

∑α

vol. Bα ≤∑

α

wBα · vol. Bα ≤∑B∈P

wB · vol. B <ε

2k,

de onde tiramos: ∑α

vol. Bα <ε

2.

Juntando os resultados obtidos, obtemos finalmente:

Dk ⊂⋃α

Bα ∪⋃β

Cβ , com

∑α

vol. Bα +∑

β

vol. Cβ < ε .

Logo Dk tem medida nula (para todo k ∈ IN ) e podemos concluir portanto que

Df =⋃k

Dk tem medida nula.

84 CAPITULO 4

4.3 Integrabilidade em domınios mais gerais

Volume segundo Jordan (Conjuntos J-mensuraveis)

Definicao 4.15. (Funcoes caracterısticas)

A FUNCAO CARACTERISTICA do subconjunto X ⊂ Y e a funcao χX : Y → IR dada

por χX(x) =

1 se x ∈ X0 se x 6∈ X

Definicao 4.16. (Conjuntos J-mensuraveis e seus volumes)

Um conjunto limitado X ⊂ IRm e dito J-MENSURAVEL quando, tomando-se um bloco

m-dimensional A ⊂ IRm com X ⊂ A , a funcao caracterıstica χX : A→ IR; e integravel.

Neste caso (X J-mensuravel) definimos o VOLUME de X pondo

vol. X =

∫A

χX(x) dx

Teorema 4.17. Um conjunto limitado X ⊂ IRm e J-mensuravel se, e somente se, sua

fronteira frX tem medida nula.

Demonstracao:


Exemplos e observacoes:

• E imediato a partir do Teorema anterior que o fato de um conjunto X ⊂ IRm ser

J-mensuravel (bem como o valor de seu volume) independe do bloco A ⊃ X tomado na

definicao.

• Todo bloco m-dimensional A ⊂ IRm e J-mensuravel e seu volume segundo Jordan

coincide com o volume antes definido apenas para blocos m-dimensionais no IRm .(?)

• Considerando que toda variedade diferenciavel M ⊂ IRm de classe C1 e dimensao

< m tem medida nula (por exemplo, as superfıcies regulares que estudamos anteriormente,

sao variedades diferenciaveis de classe C∞ e dimensao 2 no IR3 ), podemos concluir:

Um conjunto limitado X ⊂ IRm cuja fronteira e uma reuniao enumeravel de variedades

diferenciaveis de classe C1 e dimensoes < m e J-mensuravel.

Em particular, toda bola (aberta ou fechada) no IRm e J-mensuravel, pois sua fronteira e

uma esfera de dimensao m− 1 .

• Se X ⊂ IRm e J-mensuravel, temos:

vol. X = 0 ⇔ X tem medida nula ⇔ intX = φ(?)

Em geral, X ⊂ IRm pode ter medida nula sem ser J-mensuravel.(?)

Em geral, X ⊂ IRm pode ter interior vazio sem ter medida nula.(?)

Teorema 4.18. Sejam X, Y subconjuntos J-mensuraveis do bloco A ⊂ IRm . Entao:

a) X ∪ Y , X ∩ Y e A\X sao J-mensuraveis;

b) vol. (X ∪ Y ) + vol. (X ∩ Y ) = vol. X + vol. Y .

Corolario 1. Se X e Y sao J-mensuraveis e int (X ∩ Y ) = φ entao

vol. (X ∪ Y ) = vol. X + vol. Y .

86 CAPITULO 4

Integracao em domınios J-mensuraveis

Definicao 4.19. (Integrabilidade em domınios J-mensuraveis)

Seja f : X → IR uma funcao limitada no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm .

Consideremos um bloco A ⊂ IRm que contenha X e a extensao de f a uma funcao

f : A→ IR dada por f(x) =

f(x) se x ∈ X

0 se x ∈ A\X.

Dizemos que f : X → IR e INTEGRAVEL quando a funcao f : A→ IR dada acima for

integravel e definimos ∫X

f(x) dx =

∫A

f(x) dx

Teorema 4.20. (Caracterizacao das funcoes integraveis)

Seja X ⊂ IRm um conjunto J-mensuravel.

Uma funcao limitada f : X → IR e integravel se, e somente se, o conjunto Df de seus

pontos de descontinuidade tem medida nula.

Demonstracao:

Se f e descontınua em x ∈ X , entao f tambem e descontınua em x. Daı segue Df ⊂ Def .

Se f e descontınua em x, entao x ∈ Df ou x ∈ frX . Logo Def ⊂ Df ∪ frX .

Podemos escrever portanto

Df ⊂ Def ⊂ Df ∪ frX .

Como frX tem medida nula (X e J-mensuravel), temos que

Df tem medida nula ⇔ Def tem medida nula

e o resultado segue.

Note que, a partir da demonstracao acima, a integrabilidade de f nao depende do bloco

A ⊃ X tomado para a construcao da extensao f .

Mostra-se tambem que o valor da integral nao depende do bloco A ⊃ X tomado para a

construcao da extensao f .(?)


Teorema 4.21. Sejam f, g : X → IR integraveis no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm .

Entao:

(a) A funcao f + g : X → IR e integravel e∫X

[f(x) + g(x)] dx =

∫X

f(x) dx+

∫X

g(x) dx

(b) Para todo c ∈ IR , a funcao c · f : X → IR e integravel e∫X

(c · f)(x) dx = c ·∫

X

f(x) dx

(c) Se f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ X entao

∫X

f(x) dx ≥∫

X

g(x) dx .

Em particular, se m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ X entao

m · vol. X ≤∫

X

f(x) dx ≤ M · vol. X .

(d) A funcao |f(x)| e integravel e∣∣∣∣∫X

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫X

|f(x)| dx .

Em particular, se |f(x)| ≤ K para todo x ∈ X entao∣∣∣∣∫X

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ K · vol. X .

(e) (Valor medio para integrais) Se f e contınua e X e conexo, entao existe c ∈ X tal que∫X

f(x) dx = f(c) · vol. X .

Teorema 4.22. Sejam X, Y ⊂ IRm conjuntos J-mensuraveis. Uma funcao f : X ∪ Y → IR

e integravel se, e somente se, suas restricoes a X e a Y sao integraveis. Em caso afirmativo,

temos ∫X∪Y

f(x) dx+

∫X∩Y

f(x) dx =

∫X

f(x) dx+

∫Y

f(x) dx

Corolario 1.(?)

Seja f : X → IR integravel no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm .

Se Y ⊂ X e J-mensuravel e X\Y tem interior vazio, entao

∫X

f(x) dx =

∫Y

f(x) dx .

88 CAPITULO 4

4.4 Somas de Riemann

Definicao 4.23. (Decomposicoes pontilhadas)

Seja X ⊂ IRm um conjunto J-mensuravel.

Uma DECOMPOSICAO de X e uma colecao finita D = X1, X2, . . . , Xk de conjuntos

J-mensuraveis tais que X = X1 ∪ . . . ∪Xk e int (Xi ∩Xj) = φ se i 6= j .

A NORMA da decomposicao D e o numero ‖D‖ = maior diametro dos conjuntos Xi ∈ D .

Uma DECOMPOSICAO PONTILHADA de X e um par D∗ = (D, (ξi) ) , onde

D = X1 ∪X2 ∪ . . . ∪Xk e uma decomposicao de X ,

ξ1 ∈ X1 , ξ2 ∈ X2 , . . . , ξk ∈ Xk .

Definicao 4.24. (Somas de Riemann)

A SOMA DE RIEMANN de f relativamente a decomposicao pontilhada D∗ = (D, (ξi) )

e definida por ∑(f ;D∗) =

k∑i=1

f(ξi) · vol. Xi .

Teorema 4.25. (A integral como limite de somas de Riemann)

Seja f : X → IR uma funcao limitada no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm .

A fim de que f seja integravel e necessario e suficiente que exista o limite I = lim‖D‖→0

∑(f ;D∗) .

No caso afirmativo, temos ∫X

f(x) dx = lim‖D‖→0

∑(f ;D∗) .

Demonstracao: (Ver Elon: Curso de Analise, vol. 2)

Obs.: A existencia do limite acima significa que, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter

δ > 0 tal que ∣∣∣∣ ∫X

f(x) dx −∑

(f ;D∗)

∣∣∣∣ < ε

seja qual for a decomposicao D de X com ‖D‖ < δ e seja qual for a maneira D∗ de pontilhar

essa decomposicao.

Referencias

[1] Bartle, Robert G., Elementos de Analise Real

[2] Lima, Elon L., Curso de Analise, vol. 2

[3] Lima, Elon L., Analise no Espaco IRn

89

notas de aulas andr´e arbex hallack setembro/2006 · 2009. 8. 5. · bola aberta de mesmo centro,...

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