Grafos PlanaresGrafos Planares

Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes

Abril - 2009

Grafos Planares

Um grafo planar é um grafo que admite uma representação gráfica na qual as arestas só se encontrem (possivelmente) nos vértices aos quais são incidentes.

Grafos Planares

Exemplos clássicos de grafos planares são dados pelos grafos que representam os poliedros.

Abaixo um poliedro regular, o cubo e o grafo que o representa (um grafo regular):

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Para compreender melhor como se passa de um sólido a um grafo, imagine que o sólido seja muito flexível e que você o segure de modo a esticar uma de suas faces, com suas arestas, sobre um plano. Todas as outras faces e arestas do sólido formarão um desenho no interior dessa primeira face.

Grafos Planares Quantas arestas pode ter, no máximo,

um grafo planar? Uma representação gráfica de um grafo

com pelo menos um ciclo separa o plano em regiões (no mínimo uma dentro do ciclo e outra fora dele; no caso das árvores, que não possuem ciclos, temos uma única região: toda árvore é planar)

Essas regiões são chamadas faces; não devemos nos esquecer de que uma das faces é tudo que sobra do plano – é a face ilimitada.

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A figura a seguir mostra duas representações do mesmo grafo, ilustrando que qualquer face pode ser colocada como face ilimitada.

g

f

ed a

bcd c

f g

a

e b

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O número de faces de um grafo será designado por f.

A representação gráfica de um grafo planar na qual as arestas só se encontram uma com outra nos vértices não é única. Um grafo planar sempre a possui e ela se chama forma topológica ou grafo plano.

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Veja, porém, que podemos representar K4 pelo menos de duas maneiras, a primeira admitindo cruzamento de arestas e a segunda não:

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Para grafos planares, vale a relação de Euler, já conhecida do estudo dos poliedros convexos:

Teorema 1: Em um grafo planar conexo vale

f - m + n = 2

Grafos Planares Teorema 2: Em um 1-grafo planar conexo G

vale m ≤ 3n – 6; a igualdade vale se G é planar maximal

Demostração: Se formos contar as arestas de cada face, contaremos duas vezes cada aresta do grafo. Como cada face tem no mínimo 3 arestas (a igualdade valendo para as triangulares), temos ao menos 3f/2 arestas no grafo. Mas o grafo possui m arestas, logo

3f ≤ 2m

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A igualdade se verifica se todas as faces forem triangulares (grafo maximal planar).

Tomando a fórmula de Eulerf - + n = 2

E substituindo, temos3f – 3m + 3n = 62m – 3m + 3n ≥ 6

m ≤ 3n – 6.

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Este teorema nos mostra que K5 não é planar. De fato, K5 (e de resto todos os grafos completos com mais do que 4 vértices) não obedece ao teorema, pois teremos

10 > (3x5) - 6

Grafos Planares Porém há grafos não planares para os quais

a relação m ≤ 3n – 6 também vale: a condição é necessária, mas não é suficiente.

K3,3 : 9< (3x6) – 6 e K3,3 não é planar.

Em um grafo planar bipartido conexo G vale m ≤ 2n – 4.

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K3,3 não é planar, pois 9 > (2x6) – 4.

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O problema das 4 coresEm 1852, Frederick Guthrie, aluno de Augustus de Morgan (que formulou suas famosas leis vinculadas à união e interdeção de conjuntos), trouxe a este um problema proposto por seu irmão Francis Guthrie.Na verdade tratava-se de uma conjectura, hoje um teorema.Todo mapa pode ser colorido com 4 cores.

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Colorir um mapa é colorir as regiões de maneira que regiões fronteiriças não sejam coloridas com a mesma cor.

Exercício

Construa um grafo com a sequência de graus

(4, 4, 3, 3, 3, 3):

a) Que não seja planarb) B) que seja planar

Referência

Boaventura Neto, P.O., Jurkiewicz, S. Grafos: Introdução e Prática. São Paulo: Editora Blucher, 2009.