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GRAFOS PERIPLANARES MAXIMAIS:
SEQÜÊNCIA DE GRAUS HAMETONIANA E MAXREGULARIDADE
Rosa Maria Nader Damião Rodrigues
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM
ENGENHARIA DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO.
Aprovada por:
&&vb +i\ j, Prof blian Markenzon, D. Sc.
A ' A , {//L2 4 / 1 7 L Prof Nair Maria Maia de Abreu, D.Sc.
~ r o f . Cláudia Liphares Sales, Dr.
- Prof Marcus ~ i h c i u s Soledade ?gggi dg~ragão, Ph.D.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
NOVEMBRO DE 1997
RODRIGUES, ROSA MARIA NADER DAMIÃO
Grafos Periplanares Maximais: Seqüência de
Graus Hamiltoniana e Maxregularidade [Rio de
Janeiro] 1997
W, 140 p. 29,7 cm (COPPEíüFRJ, D.Sc.,
Engenharia de Sistemas e Computação, 1997)
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro,
COPPE
1 . Grafos
I. COPPEIUFRJ 11. Título (série)
AGRADECIMENTOS
Às professoras Nair Maria Maia de Abreu e Lilian Markenzon, pela efetiva, generosa e
constante orientação recebida; pela paciência com as minhas teimosias e pelo privilégio
do relacionamento amigo.
Ao professor Nelson Maculan Filho, pelo apoio e confiança.
Aos professores e amigos do Departamento de Análise do Instituto de Matemática da
UFF, pelo estímulo e confiança, concedendo-me o afastamento.
Aos professores Cláudia Linhares Sales, Samuel Jurkiewicz e Marcus Vinicius Soledade
Poggi de Aragão, por concordarem em participar da Banca Examinadora.
Ao nosso grupo de estudo - Nair Maria Maia de Abreu, Lilian Markenzon, Oswaldo
Vernet de Souza Pires e Cláudia Justel - pelas importantes sugestões, ao longo dos
nossos seminários.
A minha mãe, pelo exemplo de determinação, persistência e abnegação sadia.
Ao meu pai, pelo seu amor e carinho.
Ao Jaldo, por não me deixar esquecer de nossas vidas.
Aos meus filhos, Fernanda e Gustavo, pela convivência amiga, alegre, descontraída,
apaixonante. Enquanto profissionais, a Fernanda, pelas valiosas orientações de
assertividade durante minhas crises existenciais; ao Gustavo, pelos inestimáveis auxílios
na lida com o computador.
A todos que me deram amparo - intraflsica e extrafisicamente.
Resumo da Tese apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para
a obtenção do grau de Doutor em Ciências @. Sc.)
GRAFOS PERIPLANARES MAXIMAIS:
SEQUÊNCIA DE GRAUS HAMILTONIANA E MAXREGULARIDADE
Rosa Maria Nader Damião Rodrigues
Novembro11 997
Orientadores: Lilian Markenzon
Nair Maria Maia de Abreu
Nelson Maculan Filho
Programa: Engenharia de Sistemas e Computação
Apresentamos, neste trabalho, um estudo do conceito de periplanaridade,
definido por CHARTRAND e HARARY em 1967. Observando o processo de geração
de grafos periplanares maximais (mops), constatamos o surgimento de algumas
subfmílias especiais de mops, tais como os grafos coroa, leque, serpentina e grega, que
possuem propriedades relevantes, definidas através da construção de suas seqüências de
graus hamiltonianas. Generalizamos a obtenção de subcadeias proibidas as seqüências de
graus harniltonianas de mops e determinamos outras condições necessárias para que esta
seqüência possua um mop como sua realização. O conceito de (n, r)-maxregularidade é
introduzido como extensão do conceito de regularidade usual para grafos e investigamos
o efeito deste novo conceito na classe dos mops. Caracterizamos, então, os mops (n, r)-
maxregulares para cada r, r > 2. Para tal, vértices equilibradores foram definidos.
Finalmente, um estudo de valoração das arestas de um mop, segundo os graus de seus
vértices extremos, é também realizado.
Abstract of Thesis presented to C0PPEAJFR.T as a partial filfillment of the requirements
for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
MAXIMAL OUTERPLANAR GRAPHS:
HAMILTONIAN DEGREE SEQUENCE AND MAXREGULARITY
Rosa Maria Nader Damião Rodrigues
Novemberf 1997
Advisors: Lilian Markenzon
Nair Maria Maia de Abreu
Nelson Maculan Filho
Departament : Computing and Systems Engineering
We present, in this work, a study on the concept of outerplanarity, as defined by
CHARTRAND and HARARY in 1967. By observing the process of generating maximal
outerplanar graphs (mops), we noticed the appearance of some mop special subfamilies,
such as the crown, fan, strearner and lace graphs, which have relevant characteristics,
defined through the construction of their Hamiltonian degree sequences. We generalized
the achievement of substring forbidden to the Hamiltonian degree sequences of mops and
we determined other necessary conditions so that this sequence may have a mop as its
realization. The concept (n,r)-maxregularity is introduced as extension of the concept of
usual regularity for graphs and we investigated the effect of this new concept on the class
of mops. Thus, we characterized the (&r)-maxregular mops for each r, r 2 2. For that,
balancing vertices were defined. Finally, a study of the valuing of the edges of a mop,
according to the degrees of their extreme vertices, is also carried out.
Introdução
I . 1 Apresentação da Tese ................................................................ 1.2 Conceitos Gerais e Nomenclatura ............................................
1.2.1 Grafos .............................................................................
1.2.2 Grafos Cordais ..............................................................
1.2.3 Cadeias .........................................................................
1.2.4 Seqüências de Graus Hamiltonianas ................................
Periplanaridade
11.1 Introdução .............................................................................. 11.2 Grafos Planares ......................................................................
.................................................................. 11.3 Grafos 2-caminhos
.................................................................. 11.4 Grafos 2-redutíveis 11.5 Grafos Periplanares .................................................................. 11.6 Generalizações dos Grafos Periplanares ...................................
Grafos Periplanares Maximais (MOPs)
III . 1 Introdução ..............................................................................
.................................................. III.2 Grafos Periplanares Maximais III.3 Assinatura em Grafos Periplanares Maximais ............................
..... III.4 Realização da Sequência de Graus Hamiltoniana de um MOP
Freqüência de Graus e Seqüência de Graus Hamiltoniana em MOPs
Introdução .............................................................................. Subfamílias Especiais de MOPs .................................................
IV.2.1 Grafo Leque .................................................................. IV.2.2 Grafo Serpentina ....................................................... IV.2.3 Grafo Grega ..................................................................
IV.2.4 Grafo Coroa .................................................................. Subseqüências Proibidas .......................................................
................................................... Outras condições necessárias Realização de MOPs por Freqüência de Graus .........................
Maxregularidade: Conceito e Aplicações a MOPs
V . 1 Introdução ...............................................................................
V.2 Grafos (%r)-Maxregulares ........................................................
V.3 Aplicação a MOPs ....................................................................
.............................. V.3.1 MOPs (n,r )-Maxregulares. 2 1 r 1 4 ........................................... V.3.2 MOPs (r+ 1 ,r ).Maxregulares
............................ V.3.3 MOPs (n,r)-Maxregulares, para r fixo
Equilibradores
VI . 1 Introdução ...............................................................................
VI.2 Definições e Exemplos ............................................................
Equilibradores e Maxregularidade
VI1 . 1 Introdução ...............................................................................
VII.2 Regras Básicas de Construção dos MOPs (%r)-Maxregulares: r 25 VII . 3 MOPs (q5)-maxregulares ........................................................
VII.3.1 MOPs Básicos (q5)-maxregulares ..............................
VII.3.2 MOPs Não-Básicos (n,5 )-Maxregulares ......................
VII.3.3 Caracterização dos MOPs (n,5 )-Maxregulares ...........
VII.4 MOPs (n,r) -Maxregulares. r r 6 ............................................. VII.4.1 MOPs Básicos (n,r).Maxregulares, r r6 ......................
... VII.4.2 Caracterização dos MOPs (%r)-Maxregulares, r 2 6
Tensão em MOPs
VI11 . 1 Introdução ............................................................................... VIII.2 Cálculo das Tensões dos MOPs ............................................. VIII.3 Uma Aplicação da Tensão a Análise de Complexidade ...........
VIII.3.1 Algoritmos da Literatura .............................................
VI11 . 3.2 Algoritmo PERI-TESTE ............................................
Conclusão ..........................................................................................
vii
Capítulo I
Introdução
1.1 Apresentação da Tese
Grafos periplanares constituem uma importante família de grafos planares, sendo
a conceituação de ambos fortemente vinculada as suas representações gráficas. Um grafo
é planar quando pode ser imerso no plano; nesse caso, se uma de suas faces contém
todos os vértices, ele é periplanar. Um grafo periplanar é maximal se a inclusão de
qualquer nova aresta acarreta a perda da periplanaridade.
O conceito de grafo periplanar aparece inicialmente em CHARTRAND e
HARARY (1967), que também estabeleceram a primeira caracterização dessa família
através de seus subgrafos proibidos. Antes disso, entretanto, TANG (1964) já havia
obtido vários resultados válidos para os periplanares biconexos com cinco ou mais
vértices, através dos seus estudos sobre as redes Zcaminhos. A prova da existência e
unicidade do ciclo hamiltoniano nos periplanares biconexos, por exemplo, é uma
conseqüência desse trabalho de TANG.
Os grafos periplanares são de grande interesse na área de grafos, porque, a
exemplo das árvores, formam uma família de instâncias fáceis para vários problemas NP-
Completos sobre grafos. Por exemplo, o problema de encontrar o ciclo hamiltoniano em
grafos quaisquer é sabidamente NP-Completo. Contudo, quase todos os algoritmos de
reconhecimento da periplanaridade da literatura, que são lineares, determinam
simultaneamente o único ciclo hamiltoniano do grafo, quando o grafo é periplanar
biconexo. Esse fato tem estimulado pesquisas no sentido de generalizar grafos
periplanares para estender os resultados de complexidade e obter novas famílias de
grafos planares tratáveis. BAKER (1994), utilizando o conceito de grafos k-periplanares,
decompõe grafos planares e constrói um método para resolver, com algoritmos
aproximativos, vários problemas NP-Completos sobre grafos planares.
HOPCROFT e TARJAN (1974) criaram um algoritmo linear para testar a
planaridade de um grafo. Então, como um grafo G é periplanar se, e somente se, G + K1
(um novo vértice unido com todos os vértices de G) é planar, esse algoritmo pode ser
considerado o primeiro teste linear de reconhecimento para a periplanaridade.
BREHAUT (1977) adaptou esse algoritmo para grafos periplanares, obtendo o primeiro
algoritmo para reconhecer a periplanaridade, com rotinas mais simples e mantendo a
complexidade linear. Baseando-se em caracterizações de grafos periplanares, outros
algoritmos de reconhecimento apareceram, tais como o de SYSLO (1978), o de
MITCHELL (1979) e o de WIEGERS (1987).
O objetivo deste trabalho pode ser caracterizado por três aspectos distintos:
análise crítica e comparativa de resultados já existentes na literatura; registro de novos
resultados obtidos nessa ação comparativa; obtenção de resultados sobre a família dos
periplanares, a partir de novas questões propostas.
Na próxima seção, introduzimos os conceitos básicos da teoria dos grafos,
necessários a compreensão da nossa pesquisa. Estabelecemos ainda a nomenclatura
utilizada neste trabalho.
Iniciamos o capítulo I1 definindo grafos planares, classe que contém os
periplanares. Depois, definimos os grafos 2-caminhos e 2-redutíveis que utilizamos para
uma nova caracterização dos periplanares. Reunimos ainda vários resultados da literatura
evidenciando algumas correlações pertinentes sobre caracterizações e propriedades dos
grafos periplanares. Apresentamos, também da literatura, generalizações dos grafos
periplanares, ou seja, caracterizações de algumas famílias obtidas quando condições
necessárias a periplanaridade são relaxadas.
No capítulo 111, estudamos separadamente os grafos periplanares maximais
(mops). Além de organizar os resultados existentes na literatura, apresentamos um novo
algoritmo, o algoritmo DESENHA_MOP, que determina a realização de uma seqüência
de graus hamiltoniana de um mop, através da sua representação grsca. Com isto,
explicitamos porque a representação de um grafo por listas de adjacência pode ser
substituída por sua sequência de graus hamiltoniana, quando o grafo é um mop.
No capítulo IV, apresentamos resultados sobre sequências de graus
hamiltonianas. São instrumentos teóricos úteis para rejeitar ou ajudar a construir
sequências de graus hamiltonianas de grafos cujas realizações sejam mops, a partir de
uma freqüência de graus dada. Definimos as subfamílias especiais de mops: leque,
serpentina, grega e coroa. Generalizamos, com o teorema 4.1, as subseqüências
proibidas as sequências de graus hamiltonianas de mops e determinamos outras
condições necessárias para que as sequências de graus hamiltonianas possuam mops
como suas realizações. É sabido na literatura que a sequência de graus hamiltoniana de
um mop o caracteriza unicamente. Destacamos, entretanto, que algumas famílias de
mops podem ser também determinadas, única e diretamente, por suas freqüências de
graus.
No capítulo V, estabelecemos um novo conceito aplicável a teoria dos grafos:
(n,r)-maxregularidade. Mostramos que pode ser visto como uma extensão do conceito
usual de (n,r)-regularidade e que é apropriado para famílias de grafos nas quais não
existem grafos (n,r)-regulares. Sendo a família dos mops o nosso objeto de estudo,
caracterizamos os mops (%r)-maxregulares, r 2 2. Para r = 2, exemplificamos com mais
de uma família. Mostramos a unicidade das famílias (%r)-maxregulares, para r = 3 e 4.
O conceito de vértices equilibradores, introduzido no capítulo VI, é utilizado na
caracterização dos mops (%r)-maxregulares, r 2 5, apresentada no capítulo VII. Como
resultado da integração destes dois conceitos, necessária nos casos onde r 2 5, surge o
que denominamos mops básicos (n,r)-maxregulares.
No capítulo VIII, apresentamos um novo algoritmo de reconhecimento da
periplanaridade, o algoritmo PERLTESTE, elaborado a partir dos conhecidos
algoritmos de SYSLO (1978), MITCHELL (1979) e de WIEGERS (1987). Em todos
esses algoritmos aparece o teste de existência de arestas. Como a complexidade deste
teste é conseqüência da estrutura de dados utilizada para armazenar o grafo dado,
apresentamos um estudo particular para mops, considerando-se a estrutura mais simples
- as listas de adjacência. Para isso, definimos tensão de um grafo, valorando todas as
suas arestas com tensão igual ao menor grau dos seus vértices extremos.
1.2 Conceitos Gerais e Nomenclatura
1.2.1 Grafos
Um grafoflnito G consiste de um par ordenado (V,E) de conjuntos tais que
V = {vi, ..., v,,) é finito não-vazio e E c {{x,y)l x, y E V e x f y). Os elementos de V e
E são chamados, respectivamente, vértices e arestas. Em geral, o grafo é representado
por G(V,E) e, por simplicidade, (x, y) representa a aresta (linha) que une os vértices
(pontos) x e y. Esta definição de grafos exclui laços e arestas múltiplas. A or&m e o
tamanho de um grafo G(V,E) são, respectivamente, n = IVI e m = IEl.
Dois vértices, x e y, são adjacentes quando {x,y) E E. O conjunto de adjacência
de um vértice v, Adj(v), é o conjunto formado por todos os vértices do grafo que são
adjacentes a v. O grau de um vértice x, d(x), é a cardinalidade do seu conjunto de
adjacência. Um grafo é (n,r)-regular se todos os seus n vértices possuem o mesmo
grau r.
Sejam A um conjunto, A'gA e P uma propriedade aplicável em A. A' é marimal
em relação a P, quando não existe um subconjunto A satisfazendo P tal que A'c A".
Portanto, um subconjunto maximal não é, necessariamente, o de maior cardinalidade
satisfazendo P. Um conjunto minimal é definido de forma análoga.
G7(V',E') é um subgrafo de G(V,E) quando V' c V e E' E E. No caso
particular de V' = V, G'(V7,E') é um subgrafo gerador de G(V,E). Dado S c V, o
subgrafo induzido por S, representado por Gs, é o subgrafo maximal de G com o
conjunto de vértices S, ou seja, se uma aresta e de G liga dois vértices de S então e é
uma aresta de Gs. Dados o grafo G(V,E) e S c V, o grafo G - S é o subgrafo de G
induzido por V - S, isto é, Gv-S. Para A c E, G - A é o subgrafo de G obtido deste
pela remoção de todas as arestas pertencentes a A.
Sejam os grafos Gl(V1, El) e G2(Vz7E2). São definidas as seguintes operações:
i) Gl u G2 = G(V,E), onde V = Vi u V2 e E = E1 V E2;
ii) Gl n G2 = G(V,E), onde V = V1 n V2 e E = E1 n E2;
iii) Gl + G2 = G(V,E), onde V = V1 u V2 e E = E1 u E2 u ((v,w) I v E V1 e w E V2).
Um grafo é completo, denotado por K,, se quaisquer dois de seus vértices são
adjacentes. Um subgrafb completo maximal de G é chamado c l i p e de G. Um vértice é
simplicial em G se o subgrafo induzido pelo seu conjunto de adjacência em G é uma
clique. Um 2-vértice é um vértice simplicial de grau dois. Sendo Gl(Vi, El) um grafo
qualquer, a inclusão de v em Gl como um vértice simplicial de grau r resulta num grafo
G(V,E), onde V = V1 u (v) e E = El u ((v,w) I w E K,, onde K, é uma clique de Gil.
Na figura 1.1, Gl, G2 e G3 são subgrafos de G, onde GI e G2 são subgrafos
induzidos e cliques maximais. Em Gl e G2, todos os vértices são simpliciais, enquanto
que em G3 nenhum de seus vértices o é. Assim, a é Zvértice em G e Gl, mas não
em G3. Podemos ainda dizer que G foi obtido de G2 pela inclusão do 2-vértice a.
figura 1.1 : subgrafos de G, onde G1 e G2 são subgrafos induzidos e cliques maximais.
Uma seqüência de vértices vl, v2, . . ., vk, tal que (vi, E E, 1 5 i 5 k- 1, é
denominada um caminho de v1 a vk. Os vértices v1 e vk são denominados extremos do
caminho e os demais vértices são internos do caminho. Um caminho simples é um
caminho onde todos os vértices são distintos. Dois caminhos entre o mesmo par de
vértices são considerados caminhos disjuntos quando os vértices internos de um
caminho são todos diferentes dos vértices internos do outro caminho.
Uma distância d(u,v) entre dois vértices u e v de um grafo G pode ser tomada
como o comprimento (número de arestas) do mais curto caminho entre eles, se existe;
caso contrário, d(u,v) = ao. Num grafo conexo, esta distância é uma métrica: dados
quaisquer u, v e w vértices de um grafo, d(u,v) 2 0; d(u,v) = O se, e somente se, u = v;
d(u,v) = d(v,u); d(u,v) + d(v,w) 2 d(u,w).
Um ciclo é um caminho do tipo VI, v2, ..., vk, v1 onde k 23. Se o caminho
vi, v2, ..., vk for simples, o ciclo vi, v2, ..., vk, v1 também é denominado ciclo simples.
Qualquer aresta unindo 2 vértices não adjacentes de um mesmo ciclo recebe o nome de
corda. Por abuso de linguagem, as arestas que unem dois vértices consecutivos de um
ciclo serão denominadas aresta do cicb. Um ciclo simples que contém todos os vértices
do grafo é denominado ciclo hamiltoniano. Um grafo que possui um ciclo hamiltoniano
é denominado grafo hamiltoniano.
Sejam G um grafo hamiltoniano; C um ciclo hamiltoniano de G; (u, v) uma
corda de C; P1 e P2 os dois caminhos, sobre o ciclo C, determinados pela corda (u, v).
Um cruzamento de conexão com (u, v) em relação a C é qualquer corda (wl, w2) tal
que wl pertence ao interior do caminho P1 e w2 ao interior de P2.
Uma subdivisão de aresta de um grafo G é uma operação que transforma
alguma aresta (u, v) de G num caminho u, xl, ..., xk, V, onde k 2 O e os xi são
vértices de grau 2 adicionados a G. Dois grafos são homeomorfos se ambos podem ser
obtidos de um mesmo grafo por subdivisões de arestas. São exemplos de grafos
homeomorfos: quaisquer dois ciclos; Kz3 e &', onde &' é menos qualquer uma
de suas arestas, como ilustrado na figura 1.2.
figura 1.2 : grafos homeomorfos.
Se quaisquer dois vértices de um grafo são ligados por um caminho, o grafo é
conexo. Caso contrário, é desconexo. Num grafo G desconexo, cada subgrafo maximal
conexo é chamado de componente conexo de G. Ponto de articula@o é qualquer
vértice que, se retirado de um grafo, aumenta o seu número de componentes conexos.
Assim, sendo G(V,E) um grafo conexo e v E V um ponto de articulação, G - {v) é
desconexo.
Dados o grafo G(V,E), u e v vértices não adjacentes e S c V, S é um
u-v separador se os vértices u e v pertencem a diferentes componentes conexas de
G-S. Portanto, S é um u-v separador minimal se não existe S' c S tal que S' é
um u-v separador.
Conectividade (de vértice) de um grafo conexo G, denotado por k(G), é o
menor número de vértices que ao serem retirados de G o torna desconexo ou trivial. Um
grafo G é n-conexo se k(G) 2 n. G é biconexo, no caso particular de k(G) r 2.
Como exemplo, todo ciclo simples é biconexo. Os teoremas, a seguir, são encontrados
em HARARY (1969) e caracterizam grafos biconexos. O primeiro deles é conseqüência
imediata da definição; o segundo é uma variação do teorema de MENGER, publicada
por WHITNEY em 1932.
Teorema 1.1 Um grafo G é biconexo se, e somente se, G é conexo e não
contém ponto de articulação.
Teorema 1.2 Um grafo G é biconexo se, e somente se, existem pelo menos 2
caminhos disjuntos ligando cada par de vértices.
Teorema 1.3 Se G é um grafo hamiltoniano, então G é biconexo.
O grafo K2,3, figura 1.2, mostra que a recíproca do teorema anterior não é
verdadeira.
Um isomorfimto entre grafos é uma bijeção entre os seus conjuntos de
vértices que preserva a relação de adjacência dos grafos. Dois grafos são isomorfos se
existe um isomorfismo entre eles.
Um grafo é rotulado em vértices quando a cada vértice está associado um
rótulo(nome). Uma codzficação ou assinatura é uma função sobre os grafos tais que os
valores(rótu1os) atribuídos a G e G' são idênticos se, e somente se, G e G' são
grafos isomoríos.
Blocos de um grafo são os seus subgrafos maximais biconexos ou isomoríos a
K2. Portanto, um grafo biconexo tem exatamente um bloco.
Seja Q uma propriedade apropriada para grafos. Q é de hereditariedade se,
dado um grafo G satisfazendo a propriedade Q, qualquer subgrafo induzido de G
também possui a propriedade Q.
A representação computacional de um grafo se faz por meio de listas de
adjacência ou por sua matriz de adjacência. Dado um grafo G(V,E), a lista de adjacência,
para cada v E V, é definido por adj(v) = (w I (v,w) E E). A matriz de adjacência de G é
dada por &,, = (aij), onde aij = 1, quando vi E adj(vj ), e a;, = 0, caso contrário.
1.2.2 Grafos Cordais
Um grafo é chamado cordzl se qualquer ciclo de comprimento maior que três
possui uma corda. Isto equivale a dizer que um grafo cordal não contém subgrafos
induzidos isomorfos a ciclos de comprimento maior que três. Na figura 1.3, o grafo Gi
é cordal enquanto que G2 não é, pois O ciclo abcda não possui corda.
'31 '32
figura 1.3 : grafos cordal e não cordal, respectivamente.
É imediato concluir que os grafos completos e os caminhos são cordais, enquanto
que os ciclos com mais de 3 vértices não são cordais.
Em 1960, Berge mostrou que a classe dos grafos cordais está contida na classe
dos grafosperfeitos, isto é, na classe dos grafos para os quais o tamanho da maior clique
é igual ao número cromático de qualquer dos seus subgrafos induzidos. O mímero
cromático de um grafo é o menor número de cores com as quais podemos colorir os
vértices do grafo de forma que vértices adjacentes recebam cores distintas.
Ser grafo cordal é uma propriedade de hereditariedade, isto é, todo subgrafo
induzido de um grafo cordal também o é.
Os resultados sobre grafos cordais a seguir podem ser encontrados em
GOLUMBIC (1980) e são, ambos, devidos a DIRAC.
Teorema 1.4 G é cordal se, e somente se, todo conjunto vértice separador induz
um subgrafo completo de G.
Lema 1.1 Seja G cordal.
i) Se G é completo, então qualquer de seus vértices é simplicial;
ii) Se G não é completo, então G possui um par de vértices não adjacentes
que são simpliciais.
L2.3 Cadeias
Um alfabeto E é um conjunto finito de elementos quaisquer. Por simplicidade,
consideramos um conjunto finito de símbolos tais como numerais, letras e outros
caracteres comuns. Uma cadeia ou string ou palavra sobre um alfabeto é uma seqüência
finita de símbolos do alfabeto. Optamos pela notação de cadeia onde os símbolos
aparecem entre colchetes e separados por vírgulas.
O comprimento de uma cadeia w sobre Z, denotado por Iwl, é o número de
ocorrência de símbolos em w. Cadeia vazia, denotada por [ ] ou h, é aquela cujo
comprimento é zero.
ZY: é O conjunto de to& as cadeias, incluindo a vazia, sobre o alfabeto Z:
Portanto, ZY: é um conjunto infinito. Por exemplo, no nosso trabalho, para representar
sequências de graus, a ordem do grafo indicará o alfabeto a ser considerado: dado
um grafo G com n vértices, E = (0,1, 2, . . ., n-1 ) . Embora E* contenha cadeias
sobre (0, 1, 2, . . ., n-1 ) de qualquer comprimento, somente aquelas de comprimento n
serão necessárias para representar as sequências de graus de um grafo com n vértices.
Dada uma cadeia w E ZY: e 1 5 j 5 Iwl, w(i) representa o símbolo que
ocorre na j-ésima posição de w. Isto possibilita considerar, alternativamente, w
como uma função w: f 1, . . ., Iwl) + c*. Assim, torna-se imediata a relação de
igualdade entre cadeias: duas cadeias v e w são iguais se, e somente se, v(i) = w(i),
1 5 i 5 lvI = Iwl.
Dadas duas cadeias x e y sobre o mesmo alfabeto, a operação de concaterqão,
que denotaremos por xoy, é definida por
w = xoy tal que Iwl= 1x1 + bl;
w(i) = x(i), para i = 1, ...,I xl;
~(1x1 + i) = ~ ( i ) , para i = 1, ..., M.
Para qualquer cadeia w e cada número natural i, a cadeia wi é definida como
w0 = [ 1, isto é, a cadeia vazia, e
wi = w i - l ow, para i 2 1.
Numa notação simplificada, entendemos que
[a, bi, c] = [a]. [blio[c] , para i r 1, e
[a, bi, c] = [a, c] , para i = 0.
A operação de concatenação é associativa: (x0y)oz = xoO.).z), para quaisquer
cadeias x, y, z. Isto nos autoriza, por abuso de notação, a escrever xoyoz.
Uma cadeia v é subcadeia de uma cadeia w se, e somente se, existem cadeias x
e y tais que w = xovoy. Portanto, toda cadeia é subcadeia de si própria (basta
considerar x = y = [ I) e a cadeia vazia é subcadeia de qualquer cadeia w (basta
fazer x = w e v = y = [ ] ) .
Dada uma cadeia w = [al, a2, ...,a,,], a cadeia reversa de w é:
wR = [a,,, a,,-1, - - - 7 ai].
Para qualquer cadeia não vazia w, a subcadeia &w de comprimento Iwl - 1 é
definida como
&w(i)=w(i), parai= 1, ..., n-1, se 1~122 ;
& w = [ ] , se Iwl=l.
Quando w é a cadeia vazia, definimos &w = [ 1.
Dada uma cadeia w = xoy, onde 1x1 = k, a operação deslocamento ciclzco
esquerdo, representado por t ( w , k), é definida por
t ( w , k) = yox.
Analogamente, podemos definir a operação deslocamento cíclico direito, onde os
k elementos mais a direita de w são removidos e concatenados, em ordem, na sua
extremidade esquerda. Todo deslocamento cíclico direito pode ser representado por um
deslocamento cíclico esquerdo com resultado equivalente: para uma deslocamento
cíclico direito de k' elementos em w, o correspondente deslocamento cíclico esquerdo é
dado por t ( w , k), onde k = Iwl - k7. Por exemplo, sendo w = [a,b,c,d,e,f,g,h], o
deslocamento cíclico direito, onde os 3 elementos mais a direita de w são deslocados
para a sua extremidade esquerda, resulta numa cadeia w7= [f,g,h,a,b,c,d,e]. Então, w'
pode ser também representada por t ( w, 5). Portanto, sem perda da generalidade,
referências a deslocamentos cíclicos se aplicam indistintamente a deslocamento cíclico
esquerdo ou direito.
L2.4 Seqüências de Graus Hamiltonianas
Uma sequência de inteiros positivos n: = [gl, gz, . . ., g,] é uma seqüência gráfica
se existe um grafo G(V,E) que tenha 71 como a sequência de seus graus. Tal grafo é
chamado de uma realização de n:. Portanto, uma realização de n: é um grafo que teve
seus graus de vértices pré-escritos. Ao contrário, dado um grafo G(V,E), a sequência
formada pelos valores que representam os graus de cada vértice é denominada
seqiiência de graus do grafo dado. A figura 1.4 mostra três realizações não isomorfas
da sequência gráfica [4,3,3,2,2,2,2,2].
figura 1.4: realizações da seqiiência gráfíca [4,3,3,2,2,2,2,2].
Quando G(V,E) é um grafo hamiltoniano, se ui, u2, .. ., u,,, ul é um de seus
ciclos harniltonianos e a sequência de graus D = [dl, d2, ..., d,] é escrita de acordo com
a ordem determinada pelo ciclo hamiltoniano, isto é, di é o grau de ui, 1 < i < n, D é
denominada seqüência de graus hamiltoniana de G(V,E), abreviadamente sgh-G.
Neste caso, considerando-se que o ciclo hamiltoniano pode ser escrito a partir de
qualquer vértice e em dois sentidos, todas as cadeias distintas obtidas de D ou D ~ , por
um deslocamento cíclico, representam a mesma sgh-G. Definimos como cadeias
sinônimas todas as cadeias distintas que representam a mesma sequência de graus
hamiltoniana de um grafo qualquer.
Para fazer referência afreqiiência de um grau específico num grafo G, definimos
a função OG que, a cada grau di, associa a quantidade de vértices de G com este grau, ou
seja, ~ ~ ( d i ) = ni, onde ni é a quantidade de vértices de grau d; em G. Quando o contexto
não deixar dúvida quanto ao grafo que está sendo considerado, o~ pode ser
representada simplesmente por o. Dizemos que o(di); o(d2); ...; o(dk) é a
freqüência í.k graus de G se di, 1 I i I k, são todos os graus distintos que ocorrem no
grafo G.
Capitulo 11
Periplanaridade
11.1 Introdução
Inicialmente, apresentamos os conceitos e resultados básicos sobre planaridade e
os resultados obtidos por Tang (1964) e Wiegers (1987) para os grafos que
denominamos 2-caminhos e 2-redutíveis, respectivamente. Caracterizamos, no teorema
2.4, os grafos 2-caminhos através de subgrafos proibidos e, então, obtivemos uma
nova caracterização para os periplanares, a partir dessas duas famílias, através do
teorema 2.12.
Em seguida, organizamos os resultados conhecidos sobre grafos periplanares,
que recolhemos de várias fontes, como por exemplo (HARARY, 1969, SYSLO, 1978,
MITCHELL, 1979), numa seqüência lógica, unificando a notação e evidenciando
correlações pertinentes. Os grafos periplanares maximais, uma família importante dos
periplanares, serão estudados no próximo capítulo, por constituírem o objeto de pesquisa
dos demais capítulos.
E.2 Grafos Planares
Um grafo G é imersível numa superfície S se existe uma representação de G,
desenhada sobre S, tal que duas arestas não se interceptem, fora das extremidades. Numa
tal representação de G, diz-se que G está zmerso em S. Um grafo é planar quando pode
ser imerso num plano; uma representação plana de um grafo planar é a sua
representação, quando imerso num plano. Portanto, o conceito de planaridade do grafo
está vinculado a sua representação gráfica no plano. Por exemplo, a figura 2.l(i) mostra
uma representação não plana de &, enquanto que as figuras 2.l(ii) e 2.l(iii) ilustram
representações planas desse grafo. Portanto, & é um grafo planar.
figura 2.1 : representações gráfícas de &.
Seja R a representação plana do grafo planar G, imerso no plano P. R divide P
em regiões denominadas faces de R. A única face que não é limitada por arestas de R
chama-se face externa. O número de faces não muda quando a representação plana é
modificada, conforme expresso no próximo teorema. Como ilustração, as figuras 2.1 (ii)
e (iii) mostram 4 faces para &.
Como na fórmula de Euler para poliedros, os números de faces (+), vértices (n) e
arestas (m) de um grafo planar estão relacionados entre si da seguinte forma:
Teorema 2.1 Se G é um grafo planar conexo, então, para qualquer
representação plana de G, 4 = m - n + 2.
O grau de uma face, 6(9, é o número de arestas limitando a face f Como cada
aresta pertence a duas faces, obtemos a seguinte relação:
Lema 2.1 Em qualquer representação plana de um grafo planar biconexo G,
A partir desses resultados, podemos concluir que o número máximo de arestas
para um grafo planar é dado pela desigualdade: m S3n - 6. Toma-se imediato constatar
que KJ e K3,3 são não planares. Este fato fornece uma caracterização dos grafos
planares, devido a KURATOWSKI, expressa pelo seguinte teorema:
Teorema 2.2 Um grafo é planar se, e somente se, não contém um subgrafo
homeomorfo a KS ou K3,3.
Os primeiros algoritmos de reconhecimento de planaridade surgiram a partir
desse teorema. GOLUMBIC (1980), expõe a evolução desses algoritmos desde o criado
pelo próprio KURATOWSKI em 1930, de complexidade exponencial e baseando-se nos
subgrafos proibidos, até o obtido por HOPCROFT e TARJAN em 1974, realizado em
O(n).
Um grafo G é imersível num plano se, e somente se, é irnersível sobre uma esfera.
O resultado, a seguir, é conseqüência de uma projeção estereográfica de um grafo,
imerso na superficie de uma esfera, sobre um plano. Em GIBBONS (1989), encontramos
as provas desses resultados.
Teorema 2.3 Sejam G um grafo planar e fuma face qualquer de G. Então, existe
uma representação plana para G, onde f é a face externa.
II.3 Grafos 2-caminhos
As definições e resultados, a seguir, são baseados no trabalho de TANG (1 964).
Um grafo G(V,E) é denominado grafo 2-caminhos quando existe no máximo
dois caminhos disjuntos de comprimento maior que 1 entre quaisquer dois vértices do
grafo. Se um grafo não é 2-caminhos, o grafo possui pelo menos 5 vértices, uma vez
que deve existir pelo menos um par de vértices com 3 ou mais caminhos disjuntos de
comprimento maior que 1 entre eles. O K2,3 é O menor grafo que não é 2-caminhos.
Conseqüentemente, todos os grafos com IVI 1 4 são 2-caminhos.
Teorema 2.4 G(V, E) é grafo 2-caminhos se, e somente se, G não contém
subgrafo homeomorfo a K2,3, exceto &'.
Prova:
(3) Seja um grafo G(V,E) contendo um subgrafo G' # &' homeomorfo a K2,3.
Então, G' é obtido de K2,3 por subdivisão de arestas. Sabemos que K2,3 é O grafo
de menor ordem que não é 2-caminhos e que a operação subdivisão de arestas
preserva caminhos disjuntos. Então, G' não é 2-caminhos e é constituído por três
caminhos disjuntos de comprimentos maiores que 1 e que ligam dois vértices: u e
v. G é obtido de G' por inclusão de vértices elou arestas. Logo, estes três
caminhos disjuntos de comprimentos maiores que 1, ligando os vértices u e v
também existem em G. Portanto, G não é 2-caminhos.
(c) Seja G um grafo que não possui subgrafo homeomorfo a K2,3, exceto &'.
Suponhamos por absurdo que G não seja 2-caminhos. Então, existem dois
vértices, u e v, que são ligados por pelo menos três caminhos disjuntos de
comprimentos maiores que 1: P1, P2 e P3. Seja G' = Pl u P2 u P3. G' é
homeomorfo a Kz3, é diferente de &' e é subgrafo de G. Uma contradição. I
Teorema 2.5 Todo grafo 2-caminhos é planar.
Prova: Suponhamos G(V,E) um grafo não planar. Então G contém um subgrafo
homeomorfo a K5 ou K3,3. A figura 2.2 mostra que, em ambos os casos, existem
3 caminhos disjuntos de comprimento maior que 1 entre os vértices u e v, a
saber: u, a, v; u, b, v; u, c, v. I
figura 2.2: os grafos K5 e K3,3, respectivamente.
Teorema 2.6 Se G(V,E) é um grafo 2-caminhos biconexo com n 2 3, então
G(V,E) contém um ciclo hamiltoniano e, quando n 2 5, este ciclo é
único.
Prova: Seja G(V,E) um grafo 2-caminhos biconexo com n 2 3.
Vamos provar, inicialmente, a existência do ciclo hamiltoniano.
Sejam Ck O maior ciclo simples em G ( sempre existe, pois G é biconexo) e k o
número de vértices de Ck. Obviamente, 3 4 k r n. Se k = n, Ck é um ciclo
hamiltoniano e o problema da existência fica resolvido. Se k < n, existe pelo
menos um vértice do grafo que está fora do ciclo Ck. Sejam v E V - Ck e P1
um caminho de v até algum vértice w E Ck tal que Ck n P I = {w). Sabemos
que P1 sempre existe, pois G é biconexo. Se todos os caminhos possíveis entre
v e todos os outros vértices de Ck passassem por w, G possuiria w como ponto
de articulação, contrariando a biconexidade de G. Então, existe um caminho P2
de v até um outro vértice u E Ck, u f W, tal que Ck n P2 = {u). Duas
possibilidades podem ocorrer: (u,w) E Ck OU (u,w) P Ck. Se (u,w) E Ck, O
ciclo (Ck - {(u ,~) ) ) V Pl v P2 com mais de k vértices pode ser construído,
contrariando a maximalidade de Ck. Se (u,w) P Ck, três caminhos disjuntos
unindo u a w, todos de tamanho maior que 1, podem ser construídos: os dois
caminhos gerados sobre o ciclo Ck pelos vértices u e w e o outro caminho
formado por Pi u P2, contrariando a hipótese de G ser um grafo 2-caminhos.
Logo k = n, ou seja, G possui um ciclo hamiltoniano.
Para provar a unicidade do ciclo hamiltoniano, admitamos n 2 5. Já provamos
que G contém um ciclo hamiltoniano. Suponhamos a existência de dois diferentes
ciclos harniltonianos Cl e C2. Então, existe uma aresta (u, v) que pertence a Cl
mas não pertence a C2. Neste caso, a aresta (u, v) é uma corda de C2, que o
divide em dois caminhos disjuntos Pzl e P22, unindo u a v. Sejam e A22,
os dois subconjuntos disjuntos de V formados pelos vértices interiores dos
caminhos P21 e Pz2, respectivamente. Assim, C1 passa de u para v através
da aresta (u, v) e vai para outro vértice qualquer que pertence ou a OU a
A22 A partir daí, ou C1 não passa por nenhum vértice do outro conjunto e não
é hamiltoniano, contrariando a hipótese, ou faz um cruzamento de conexão com a
corda (u, v). Se isto ocorrer, consideremos a configuração dada pela figura 2.3,
sem perda da generalidade. Neste caso, entre os vértices u e a existem três
caminhos disjuntos de comprimento maior que 1: u,. . .,x,. . .,a; u,v,. ..,a; u,. ..,b,a.
Uma contradição, pois G é 2-caminhos. Portanto existe um único ciclo
hamiltoniano em G, quando n 2 5. .
figura 2.3: grafo homeomorfo a i&, ilustrando um cruzamento de conexão.
Corolário 2.1 Se G(V,E) é um grafo 2-caminhos biconexo, com n 2 5, então em
G(V,E) não existem cruzamentos de conexão com respeito ao
ciclo hamiltoniano.
Corolário 2.2
Corolário 2.3
Se G(V,E) é um grafo que contém um subgrafo homeomorfo a &,
então ou G(V,E) é isomorfo a Kq OU G(V,E) contém também um
subgrafo homeomoríb a K2,3.
Todo grafo 2-caminhos biconexo com n 2 5 não contém subgrafo
homeomorfo a &.
O grafo da figura 2.4 mostra a importância da biconexidade no corolário anterior.
O grafo possui subgrafo homeomorfo &, embora seja um grafo 2-caminhos.
figura 2.4: grafo 2-caminhos não biconexo.
Teorema 2.7 Em todo grafo 2-caminhos biconexo com n 2 5, m I 2n - 3.
Prova: Por indução.
i) Para n = 5, pelo corolário 2.1, o grafo 2-caminhos com o maior número de
arestas é único, a menos de isomorfismo, como mostra a figura 2.5. E um grafo
biconexo com 7 arestas e, portanto, vale a igualdade: m = 2n - 3;
ii) Suponhamos que o teorema valha para qualquer grafo 2-caminhos biconexo
com 5 < n < k ;
iii) Seja G(V,E) um grafo 2-caminhos conexo com n = k. Então, pelo teorema
2.6, existe um único ciclo harniltoniano C em G. Se o grafo possui somente as
arestas do ciclo, isto é, m = n = k, o teorema vale, desde que n 2 2.
Suponhamos que G # C. Então, C possui uma corda (u, v). Sejam A1 e A2 OS
dois subconjuntos disjuntos de V formados, respectivamente, pelos vértices
interiores dos dois caminhos disjuntos gerados sobre o ciclo C pelos vértices u e
v. Como, pelo corolário 2.1, nenhuma aresta liga um vértice de A1 com outro
de A2, os subgrafos gerados por Al u{u, v) e A2 u{u, v) são grafos
2-caminhos biconexos, com os números de vértices nl e n2 e de arestas ml e
m2, respectivamente, onde n = nl + n2 - 2 e m = ml + mz -1. Pela hipótese de
indução, m1 1 2nl - 3 e m2 I 2n2 - 3. Então, ml + m2 I 2(nl + n2 ) - 6, o
queacarreta m + l I 2(n+2)-6. Logo,mI2n-3.
figura 2.5: grafo 2Caminhos com o maior número de arestas, para n = 5.
Podemos reparar que o grafo & é um grafo 2-caminhos biconexo, mas não
satisfaz a inequação do teorema anterior.
2.4 Grafos 2-redutiveis
WIEGERS (1987) define grafos Zredutíveis da seguinte forma: G(V,E) é um
grafo 2-redutível se, e somente se, E = 0 ou 3v E V com d(v) 2 1 tal que Gv = G - (v)
seja 2-redutível ou 3v E V com d(v) = 2 tal que Gv seja 2-redutível, onde Gv é o grafo
G - (v) acrescido da aresta que une os dois vizinhos de v, caso não exista. Dizemos que
Gv é obtido de G pela redução do vértice v. O grafo da figura 2.6 é exemplo de grafo
2-redutível.
figura 2.6: grafo 2-redutível.
O lema a seguir mostra que para estes grafos também vale a relação entre n e m
estabelecida para os grafos 2-caminhos biconexos.
Lema 2.2 Se G(V,E) é um grafo 2-redutível com n r 2, então m I 2n - 3.
Prova: Por indução.
i) Para n = 2, os grafos Zredutíveis são: ou dois vértices isolados ou dois vértices
unidos por uma aresta. Então, a relação vale, trivialmente;
ii) Suponhamos que o lema valha para qualquer grafo 2-redutível com 2< n k;
iii) Seja G(V,E) um grafo 2-redutível com n = k. Se E = 0, o teorema vale,
pois k é inteiro maior que 2, Se E # 0, então existe v E V com d(v) I 2 tal
que G, = G'(V', E') é Zredutível, onde (V7( = n -1 e podemos ter os
seguintes casos para (E'(: se d(v) = 0, I E'( = m; se d(v) = 1, (E'( = m - 1; se
d(v) = 2 e (vi, v2) P E, onde vi e v2 são OS dois vértices adjacentes a v,
IE'I = m - 1; se d(v) = 2 e (vl, vz) E E, (E'I = m - 2. Pela hipótese de indução,
JE'J r 2JV'J - 3. Portanto, m - 2 I IE'J 12(n - 1) - 3, ou seja, m 1 2 n - 3. . WIEGERS (1987) utiliza o lema a seguir, devido a DIRAC(1953), na
demonstração do teorema 2.8, que caracteriza grafos Zredutíveis através de subgrafos
proibidos.
Lema 2.3 Se G(V,E) é um grafo biconexo com grau mínimo maior ou igual a 3,
então G possui um subgrafo homeomorfo a L.
Teorema 2.8 G(V,E) é um grafo 2-redutível se, e somente se, G não contém
subgrafo homeomorfo a &.
Prova:
(z) Seja G um grafo que possui um subgrafo G' homeomoríb a &. Então, G' é
obtido de & por subdivisão de arestas e, reciprocamente, & é obtido de G' pela
operação redução de vértices, aplicável em qualquer ordem. Então, G' não é
2-redutível. G é obtido de G' por inclusão de vértices elou arestas. Com estas
inclusões, ou G continua podendo ser reduzido ao & OU esta redução é
interrompida por falta de vértice com grau menor ou igual a 2. Em qualquer caso,
G não é 2-redutível.
(c) Seja G um grafo que não possui subgrafo homeomorfo a &. Suponhamos, por
absurdo, que G não seja 2-redutível. Suponhamos G' um grafo nestas condições,
tal que posssua o menor número de vértices, isto é, não seja possível aplicar
redução de vértices a G'. Então, todos os vértices de G' possuem graus maiores
ou iguais a 3. Se G' é biconexo, então temos uma contradição com o lema 2.3.
Se G' não é biconexo, então existe pelo menos um vértice de grau menor que 3,
pela contra-positiva do lema 2.3. Uma contradição com a minimalidade de G'.
Ser 2-redutível é uma propriedade de hereditariedade. Obviamente, se um
subgrafo de G contém algum subgrafo homeomorfo a &, G também o contém.
lI.5 Grafos Periplanares
Um grafo é periplanar (em inglês outerplanar) se possui uma representação
plana com uma das faces contendo todos os vértices, chamada representação periplana.
Por exemplo, a figura 2.7(i) mostra a representação não periplana de um grafo G,
enquanto que as figuras 2.7 (ii) e (iii) exibem representações periplanas desse grafo.
Portanto, o grafo G da figura 2.7 é periplanar.
( i > (4 (Ui) figura 2.7: diferentes representações de um grafo periplanar.
Como conseqüência da definição, todo grafo periplanar é planar. A recíproca,
porém, não é verdadeira. Os grafos I(4 e K2,3 não são periplanares, embora sejam
planares, pois não satisfazem, respectivamente, as condições necessárias indicadas nos
dois próximos lemas. Todas as representações planas desses grafos são como as da
figura 2.8, nas quais um vértice sempre fica no interior do ciclo externo.
( i > (i> figura 2.8: representações planas dos grafos I<4 e K2,3, respectivamente.
O resultado do próximo lema será estendido para qualquer grafo periplanar não
trivial no teorema 2.14.
Lema 2.3 Se G(V,E) é periplanar biconexo, então m 5 2n - 3.
Prova: Se G é periplanar biconexo, uma face é determinada por n arestas (a face que
contém todos os vértices) e as demais por no mínimo 3 arestas cada. Então,
onde 6(5 ) é o grau de cada face e + é o número de faces de G. Aplicando esta
desigualdade ao teorema 2.1, obtemos
6 ( 5 ) - n + 3 >3(m-n+2) . 1
Finalmente, utilizando o lema 2.1, m I 2n - 3. .
Lema 2.5 Se G(V,E) é periplanar biconexo com nenhuma de suas faces triangulares,
3n - 4 então m I ---- 2 .
Prova: Análoga a prova do lema anterior, desde que a desigualdade inicial considerada
seja ti($) > n + 4(4 - 1). 1
O corolário a seguir é conseqüência imediata da definição de periplanar e do
teorema 2.3, razão pela qual muitos autores utilizam-se dele como definição.
Corolário 2.4 Para qualquer grafo periplanar biconexo, existe uma representação
periplana onde a face externa contém todos os vértices.
O próximo teorema justifica o reconhecimento da periplanaridade de um grafo
através do reconhecimento dos seus componentes biconexos. Por isso, muitos estudos
podem ser realizados impondo a restrição de biconexidade, sem reduzir a abrangência
dos resultados para os grafos periplanares mais gerais.
Teorema 2.9 Um grafo é periplanar se, e somente se, cada um dos seus blocos é
periplanar.
CHARTRAND e HARARY (1967) caracterizaram grafos periplanares com um
teorema análogo ao teorema de KURATOWSKI para grafos planares, a partir dos dois
grafos básicos: I(4 e K2,3. Tendo em vista o corolário 2.2, enunciamos o teorema da
seguinte forma:
Teorema 2.10 Um grafo é periplanar se, e somente se, não possui subgrafo
isomorfo a Kq OU homeomorfo a Kz,~, exceto h' onde &' é
o menos qualquer uma de suas arestas.
Prova:
Seja um grafo G, contendo um subgrafo G' isomorfo a & OU homeomorfo a &,3,
exceto &'. G' é isomorfo a & OU é obtido de K2,3 por subdivisão de arestas.
Mas esta operação não transforma em periplanar um grafo não periplanar. Logo
G' não é periplanar. G é obtido de G' por inclusão de vértices elou arestas.
Analogamente, G não é periplanar.
Prova por indução sobre o número de vértices.
i) Para n = 1,2, 3 e 4 o teorema vale, trivialmente.
ii) Suponhamos que o teorema valha para 4 < n < k. Isto é, se G não possui
subgrafo isomorfo a & OU homeomorfo de K2,3, exceto L', então G é
periplanar.
iii) Seja n = k. Suponhamos que um grafo G não contenha subgrafo isomorfo a
I<4 OU homeomorfo K2,3, exceto &', mas que, por absurdo, não seja periplanar.
Então, G é biconexo, caso contrário, cada componente biconexo, claramente com
menos do que n vértices, seria periplanar pela hipótese de indução e,
conseqüentemente, G seria periplanar, pelo teorema anterior. Como G não possui
subgrafo homeomorfo a K2,3, pelo teorema 2.4, G é um grafo 2-caminhos. Logo,
G é planar e possui um ciclo hamiltoniano, pelos teoremas 2.5 e 2.6. Se G é
planar e não é periplanar, então, em qualquer que seja a representação plana,
nenhuma de suas faces contém todos os seus vértices. Seja G uma representação
para G, onde todas as cordas sejam traçadas na região interior ao ciclo
hamiltoniano. Então, G não é uma representação plana de G. Assim, existem
pelo menos duas cordas do ciclo hamiltoniano que se interceptam quando
traçadas na região interior ao ciclo. Seja H o subgrafo formado pelas arestas que
formam o ciclo hamiltoniano e por estas duas cordas. Como ilustrado na figura
2.3, ou H é isomorfo a & (neste caso não é homeomorfo a KL3) ou é
"propriamente" homeomorfo a & (possuindo também um subgrafo homeomorfo
a KS3). Em qualquer caso, uma contradição com a hipótese. Logo, G é
periplanar.
Um outro teorema para caracterizar grafos periplanares pode ser assim
enunciado:
Teorema 2.11 G(V,E) é periplanar se, e somente se, Kl + G(V,E) é planar.
Prova:
( a ) Trivial, desde que seja considerada a representação periplana de G com a face
externa contendo todos os vértices e o novo vértice seja colocado na face
exterior de G.
(e) Suponhamos que K1 + G(V,E), com n vértices, seja planar. Então, G é planar.
Se n = 3, G é periplanar, trivialmente. Se n = 4, G # &. Caso contrário, K1 +
G(V,E) = K5, contradizendo a hipótese. Portanto, se n = 4, G é periplanar. Seja
n 2 5. Suponhamos, por absurdo, que G não seja periplanar. Então G contém
um subgrafo H homeomorfo a I(4 OU &,3, exceto L'. Seja H' = K1 + H.
Então, H' é subgrafo de K1 + G(V,E). Mas, por construção, H' possui um
subgrafo homeomorfo a K5 ou K3,~ (respectivamente, se H contém & OU K2,3).
Uma contradição com a hipótese.
Com o teorema a seguir, determinamos uma nova caracterização para a classe
dos grafos periplanares: é exatamente a interseção entre as classes dos grafos 2-caminhos
e 2-redutíveis.
Teorema 2.12 G(V,E) é periplanar se, e somente se, G(V,E) é 2-caminhos e
2-redutível.
Prova:
( z ) Seja G(V,E) um grafo periplanar. Pelo teorema 2.10, G não possui subgrafo
isomorfo a I(4 e nem homeomorfo a K2,3, exceto &'. Então, pelo corolário 2.2, G
também não possui subgrafo homeomorfo a &. Portanto, pelos teoremas 2.4 e
2.8, respectivamente, G é um grafo 2-caminhos e 2-redutível.
(c) Imediata, pelos teoremas 2.4,2.8 e 2.10.
Portanto, considerando um grafo qualquer, ser 2-caminhos não é condição
suficiente para um grafo ser periplanar. Por exemplo, & é um grafo 2-caminhos mas não
é periplanar. O grafo da figura 2.4 mostra a importância da biconexidade no próximo
resultado.
Teorema 2.13 Seja G(V,E) um grafo biconexo, com n 2 5 vértices. G é
periplanar se, e somente se, G é 2-caminhos.
O teorema 2.13 garante que todo grafo periplanar biconexo satisfaz as condições
do teorema 2.6, quando n 2 5 vértices, e do corolário 2.1, dando origem aos corolários a
seguir? que serão utilizados nas formulações de muitos outros resultados na classe dos
periplanares.
Corolário 2.5 Todo grafo periplanar biconexo possui um único ciclo
hamiltoniano.
Prova: Pelo teorema 2.6, o corolário é imediato para grafos com 5 ou mais vértices. Os
casos restantes, K3, K2,~ e &' (estes são os únicos periplanares biconexos com 3
e 4 vértices), por exaustão, possuem um único ciclo hamiltoniano.
Assim, a face externa contendo todos os vértices de um grafo periplanar
biconexo é determinada de forma única. Por esta razão, num grafo periplanar biconexo,
denominamos arestas externas as arestas do ciclo hamiltoniano e arestas internas todas
as demais.
Corolário 2.6 Em todo grafo periplanar biconexo, não há cruzamento de
conexão em relação ao ciclo hamiltoniano.
O corolário 2,7, a seguir, sintetiza os seguintes resultados anteriores: corolário
2.5 e teorema 1.3.
Corolário 2.7 Seja G um grafo periplanar, com n 2 3 vértices. G é biconexo se,
e somente se, G é hamiltoniano.
A partir da deíinição de grafo periplanar e dos teoremas 1.2 e 2.12, o seguinte
resultado é obtido imediatamente:
Corolário 2.8 Seja G um grafo periplanar, com n 2 3 vértices. G é biconexo se, e
somente se, existem exatamente 2 caminhos disjuntos ligando cada
par de vértices não adjacentes.
O teorema a seguir estende o lema 2.4 a todo grafo periplanar diferente do grafo
trivial. No caso do grafo trivial, isto é, n = 1 e m = O, a desigualdade m I 2n - 3 não se
verifica.
Teorema 2.14 Se G é um grafo periplanar, com n 2 2 vértices e m arestas,
então m I 2 n - 3.
Prova: Seja G um grafo periplanar, com n 2 2 vértices e m arestas. Se m = O, a
igualdade é trivialmente satisfeita. Suponhamos m 2 1. Seja G' um componente
conexo de G e um grafo não trivial, com n' vértices e m' arestas. Sejam BI,
B2, ..., Bh, h 2 1, OS blocos de G' com Q vértices e mi arestas, 15 i r h,
respectivamente. Então, pelo lema 2.4, para cada B; a desigualdade m; r 2ni - 3
é verdadeira. Como a 2 2 e mi 2 1,
Daí, m' I 2[ n' + (h - l)] - 3h, o que acarreta m' r 2n7 - (h + 2). Como h r 1,
temos que h + 2 2 3 e, então, m' I 2n' - 3. Portanto, esta desigualdade vale para
cada componente conexo de G, diferente do grafo trivial, desde que as
quantidades de arestas e de vértices sejam específicas de cada componente.
Somando-se membro a membro as desigualdades correspondentes aos
componentes conexos (que são grafos não triviais) e considerando-se que a
existência de vértices isolados em G aumentaria, apenas, o valor do termo a
direita da desigualdade, fica provado que m 5 2n - 3.
Sabendo-se que cada aresta contribui com o acréscimo de 1 grau para dois
vértices, concomitantemente, o próximo corolário é resultado imediato do teorema
anterior.
Corolário 2.9 Em todo grafo periplanar, ziw(i) 5 4n - 6.
O teorema 2.15, a seguir, estabelece uma condição necessária para a fiequência
de graus de um grafo periplanar qualquer. Específico para grafos periplanares, é um
resultado análogo a um clássico para grafos planares, que pode ser encontrado em
(JURKIEWICZ, 1990).
Teorema 2.15 Num grafo periplanar com n 2 3 vértices, pelo menos três
vértices possuem grau menor ou igual a 3, mais precisamente,
o(1) + o(2) + o(3) 2 3.
Prova: Seja G um grafo periplanar com n 2 3 vértices. Se o(0) + 0, consideramos o
subgrafo periplanar G', obtido de G pela retirada de todos os seus vértices
isolados. Isto não perde a generalidade, pois a relação de adjacência de cada
vértice de G permanece inalterada em G' e, portanto, o(i), i = 1, . . ., n tem o
mesmo valor em G e G'. Suponhamos o(0) = O. Do corolário 2.9, o teorema fica
provado com a solução do seguinte problema:
minimizar o(1) + o(2) + o(3)
ou seja,
minimizar o(1) + o(2) + o(3)
s.a 3o(1) + 2o(2) + o(3) > 6.
o(i)>O,i= 1, ..., n.
Corolário 2.10 Se G é periplanar biconexo com n > 3, então pelo menos quatro
vértices tem grau menor ou igual a 3, isto é, 0(2) + 0(3) 2 4.
Corolário 2.11 Se G é periplanar biconexo e 0(2) = 2, então 0(3) r 2.
TRUSCZYNSKI (1984) prova os dois próximos resultados relativos aos grafos
periplanares.
Lema 2.6 Sejam G um grafo periplanar de ordem n 2 3 e G uma representação
periplana de G. Se (x,y) é uma aresta externa de G, então
d(x) + d(y) 5 n + 1.
Teorema 2.16 Sejam G um grafo periplanar de ordem n r 3 e [dl, dz, . . ., dn] n
uma seqüência de graus de G. Então, z d i < n2 + 7n - 18. A i = I
igualdade é verificada se, e somente se, G é o grafo da figura 2.9
ou G = K1 + Pn.1, onde P,I é um caminho simples com n - 1
vértices.
figura 2.9: grafo periplanar com n = 6 que satisfaz a igualdade do teorema 2.16.
Os grafos citados no teorema anterior são membros de famílias que definimos no
capítulo IV e, como veremos, possuem interessantes propriedades.
Ser periplanar é uma propriedade de hereditariedade. Considerando a
representação de um grafo periplanar G(V,E), cuja face externa contém todos os seus
vértices, qualquer subgrafo G'(V', E') induzido de G, que é obtido de G pela retirada
dos vértices pertencentes a V - V', mantém todos os seus vértices numa face externa
(neste caso, a face externa de G' contém a face externa de G).
II.6 Generalizações dos Grafos Periplanares
Vimos que os grafos periplanares podem ser caracterizados de vários modos.
Então, a cada condição necessária aos periplanares que relaxamos, obtemos uma
generalização para esta família.
Assim, dos teoremas 2.4 e 2.8, temos que as classes dos grafos 2-caminhos e dos
grafos 2-redutíveis são duas generalizações dos periplanares, obtidas quando,
respectivamente, somente os subgrafos homeomorfos a Kz3, exceto h', e somente os
subgrafos homeomorfos a I(4 são subgrafos proibidos. É conseqüência imediata dos
mesmos teoremas que o conjunto dos grafos periplanares seja exatamente a interseção
entre estas duas classes.
Quando a própria definição de periplanar é relaxada, encontramos algumas
generalizações em SYSLO (1986). Neste caso, para um grafo planar G(V,E), se não
existe uma de suas faces contendo todos os seus vértices, qualquer que seja a
representação plana de G, então podemos desejar determinar:
(i) a "maior" face de G, isto é, a face de G de tamanho maximal. Este problema é
facilmente resolvido se G é 3-conexo, já que neste caso G possui um único
conjunto de faces. Temos que, um grafo planar G' é periplanar se, e somente se,
o tamanho da sua maior face é igual a n.
(i) a face que contém um subconjunto fixo W de vértices de G. Deste problema
surge a definição dos grafos W-periplanares: para W E V, o grafo planar G(V,E)
é W-periplanar se G tem uma face contendo todos os vértices de W. A W-
periplanaridade pode ser testada em tempo linear.
(iii) o menor mímero de faces (disjuntas em vértices) em alguma representação
plana de G que contenha todos os vértices de G. Portanto, este é um problema
de cobertura de faces independentes por vértices.
Além dessas, outras duas generalizações dependem da decomposição do grafo
em subgrafos.
Os grafos k-periplanares são, intuitivamente, os que possuem representações
planas com ciclos propriamente disjuntos e aninhados numa profundidade máxima k.
Esta classe pode ser definida da seguinte forma recursiva: seja G uma representação
plana do grafo planar G; todos os vértices sobre a face externa de G são vértices de
nível I ; se f é uma face interior do subgrafo induzido pelos vértices de nível i, então f é
uma face nível i; se Gf é o subgrafo induzido por todos os vértices de G , localizados no
interior da face f, onde f é face de nível i, então os vértices sobre a face exterior de Gf
são vértices de nível i + 1; uma representação plana de um grafo é k-periplana se não tem
vértices de nível maior que k. Um grafo planar é k-periplanar se tem uma representação
k-periplana.
Portanto, o grafo l-periplanar é equivalente ao grafo periplanar. Todo grafo
planar possui uma representação k-periplanar, para algum k. BIENSTOCK e MONMA
(1990) mostram que uma representação k-periplanar, onde o k seja mínimo, pode ser
obtida em tempo linear no número de vértices. Diante disto, BAKER (1994) descreve
uma técnica geral que pode ser usada para obter esquemas de aproximação para vários
problemas NP-Completos sobre grafos planares: decompõe um grafo planar dado em
subgrafos k-periplanares e faz uma combinação das soluções ótimas desses subgrafos,
obtendo uma solução aproximada para o grafo original.
Outra decomposição de um grafo, não necessariamente planar, em grafo
periplanares teve sua origem em problemas de layout. Consiste em fazer a imersão do
grafo num "livro", isto é, dispor todos os vértices sobre a espinha dorsal do livro (uma
linha reta) e suas arestas sobre as folhas (serni-planos), de tal modo que em cada folha as
arestas não se cruzem. É fácil ver que o problema é equivalente a decompor G em grafos
periplanares com todas as representações periplanas subordinadas a mesma localização
dos vértices. O número mínimo de grafos periplanares em tal decomposição é chamado o
número de págznas de G. Então, G é periplanar se, e somente se, o número de páginas
de G é igual a 1.
Capitulo III
Grafos Periplanares Maximais
m.1 Introdução
Destacamos a classe dos grafos periplanares maximais, porque é o nosso objeto
de pesquisa nos próximos capítulos. Apresentamos, neste capítulo, os resultados
conhecidos na literatura sobre esta família, organizando-os, unificando a notação e
evidenciando correlações pertinentes. Entre outras fontes, citamos (HARARY, 1969,
BEYER et al. , 1979, COLBOURN e BOOTH, 1981).
Inicialmente, tratamos das definições e caracterizações da família. Em seguida,
mostramos a importância da sequência de graus hamiltoniana para os grafos periplanares
maximais, na medida em que sua realização é única, a menos de isomorfismo. Com isso,
se D é a sequência de graus hamiltoniana de um grafo periplanar maximal G, qualquer
que seja a cadeia obtida de D ou de D~ por um deslocamento cíclico (qualquer cadeia
sinônima) representa G, isto é, codifica G. Em virtude desse resultado, o problema de
assinaturas para esta família é resolvido em tempo linear. Ressaltamos, ainda, a
importância da regra de obtenção recursiva de grafos periplanares maximais, pela
inclusão ou retirada de um 2-vértice, a partir da sequência de graus hamiltoniana de um
grafo periplanar maximal dado. Por fim, apresentamos um algoritmo para determinar o
grafo periplanar maximal diretamente da sua sequência de graus hamiltoniana, o que é
realizado através do seu traçado. A partir daí, explicitamos a seguinte conclusão de
repercussão computacional: os grafos desta subclasse podem ser representados pelas
suas seqüências de graus harniltonianas, em vez da matriz ou listas de adjacência.
III.2 Grafos Periplanares Maximais
Um grafo periplanar maximal é um graf'o periplanar tal que a inclusão de uma
aresta, entre quaisquer dois vértices não adjacentes, resulta num grafo não periplanar. É
referido, de forma abreviada, por rnop (do inglês, maximal outerplanar graph).
Por definição, o grafo trivial e o K2 são mops. Porém, estes mops estão excluídos
da construção recursiva, proposta a seguir:
Um mop, com n 2 3, pode ser definido pela seguinte recursão:
(i) O grafo K3, é um mop;
(ii) Um rnop com n+l vértices pode ser obtido de algum rnop G, com n vértices,
pela inclusão de um novo vértice adjacente a dois vértices consecutivos sobre o ciclo
hamiltoniano de G.
Trata-se, portanto, de sucessivas inclusões de 2-vértices (definido na seção 1.2. l),
tomando-se a clique K2 de G uma aresta do ciclo hamiltoniano, único em todo mop. O
teorema 3.2, a seguir, mostra porque somente esta forma de incluir um 2-vértice constrói
mops a partir de mops. Assim, neste e nos próximos capítulos, sempre que realizarmos
uma operação deste tipo, estaremos considerando o K2 restrito as arestas do seu ciclo
harniltoniano. Mais adiante veremos que todo rnop pode ser construído deste modo.
Essa construção recursiva deixa claro que existem pelo menos dois vértices de
grau dois em qualquer rnop com 3 ou mais vértices. O teorema 3.2, comprovará este
resultado.
Todos os mops com 3 5 n 5 7 são mostrados na figura 3.1. Podemos observar
que para n = 3,4 e 5, existe um único mop, a menos de isomorfkmo.
figura 3.1 : todos os mops com até 7 vértices.
Na figura 3.2, G é um grafo periplanar maximal e G - {u) é periplanar, mas não
maximal. Portanto, ser periplanar maximal &o é uma propriedade de hereditariedade.
G G-{u)
figura 3.2: um mop G e um subgrafo seu que não é mop.
Teorema 3.1 Se G é periplanar maximal, então G é cordal.
Prova: Seja G periplanar maximal. Suponhamos G não cordal. Então, existe um ciclo C
em G, de comprimento maior que três, que não possui cordas. Sejam u, v e w
vértices consecutivos do ciclo C, isto é, u e w vizinhos de v no ciclo C. Assim,
G', obtido de G pela inclusão da corda (u,w), é periplanar, já que esta corda não
acarreta cruzamento de conexão em relação ao ciclo considerado. Então, G não
é maximal, contrariando a hipótese.
O teorema 3.2, a seguir, caracteriza os mops com 3 ou mais vértices.
Ressaltamos a importância desse resultado, porque os algoritmos de reconhecimento de
grafos periplanares, que analisaremos no capítulo VIII, são construídos a partir dele.
Teorema 3.2 Um grafo G, com n 2 3 vértices, é periplanar maximal se, e
somente se, ou G é um triângulo ou
(i) G tem pelo menos dois 2-vértices;
(ii) nenhuma aresta de G pertence a mais de dois triângulos;
(iii) qualquer 2-vértice u, G-{u) é periplanar maximal.
Prova:
(3) Seja G periplanar maximal, com n 2 3 vértices. G é um triângulo ou
(i) do teorema 3.1 e do lema 1.1, G tem dois vértices sirnpliciais não adjacentes.
Além disso, um vértice simplicial de G tem grau dois, pois, caso contrário, G
possuiria um clique de tamanho 4, contradizendo a periplanaridade de G.
Portanto, G possui pelo menos dois 2-vértices;
(ii) suponhamos que uma aresta (x, z) de G pertença a mais de dois triângulos.
Assim, existem pelo menos três vértices u, v e w, cada um adjacente a x e z.
Sem perda da generalidade, qualquer representação de G possui como
subgrafo um grafo numa das duas representações da figura 3.3, contradizendo a
periplanaridade;
(iii) suponhamos que exista em G um 2-vértice u tal que G - {u) não seja
periplanar maximal. G - {u) é periplanar, pois ser periplanar é propriedade de
hereditariedade. Assim, uma aresta (v, w) pode ser incluída em G - (u), sem
que este grafo perca a periplanaridade. Sejam ul e u2 os dois vértices adjacentes a
u. A aresta (ul, u2) pertence a G - (u), desde que G é um maximal. Portanto, a
aresta (v, w) pode incidir em ul ou em u2, mas não em ambos. Então, a aresta
(V, W) é uma nova corda em G - (u) e, conseqüentemente, em G, contrariando a
maximalidade de G.
(c) Se G é triângulo, então G é periplanar maximal. Seja G, não triângulo,
satisfazendo as condições de i até iii. Por (i), existe u que é 2-vértice em G e,
por (iii), G - {u) é periplanar maximal. Sejam v e w os dois vértices
adjacentes de u. A aresta (v, w) pertence a G, pois u é um 2-vértice, mas não
pertence a mais de dois triângulos em G, por (ii). Ou seja, v e w são vértices
consecutivos no ciclo harniltoniano de G - (u). Então, a regra de recorrência
para construir mops pode ser aplicada a G - {u) para obter G, incluindo o
vértice u como adjacente de v e w. Portanto, G é periplanar maximal.
figura 3.3: grafos com a aresta (x,z) pertencendo a mais de um triângulo.
Esse teorema garante que qualquer mop pode ser reduzido ao K3, por sucessivas
retiradas de 2-vértices. Conseqüentemente, qualquer mop pode ser gerado pela
construção recursiva, definida no início desta seção, bastando considerar o triângulo
obtido como o inicial e realizar n - 3 inclusões sucessivas de 2-vértices, na ordem inversa
da utilizada no processo de redução.
Já estava garantido, pelo corolário 2.11, que a(2) + a(3) 2 4. Com o teorema
anterior, podemos melhorar essa restrição, pois se um grafo periplanar com o maior
número de arestas possível sempre possui pelo menos dois vértices de grau 2,
obviamente o mesmo pode ser garantido para um grafo periplanar que não possua o
número máximo de arestas permitido. O corolário a seguir registra esse fato.
Corolário 3.1 Se G é periplanar biconexo, então G possui 0(2) 2 2.
Lema 3.1 Se G é periplanar maximal, então todo vértice de grau dois é um
2-vértice.
Prova: Seja G periplanar maximal. Suponhamos que v seja um vértice de G de grau 2,
mas não um 2-vértice. Então, seus dois vértices adjacentes, u e w, não são
vizinhos entre si. Seja G' um grafo obtido de G pela inclusão da aresta (u, w). G'
é periplanar, pois: (u, w) não acarreta cruzamento de conexão, caso contrário, v
teria grau 3; na representação periplana de G, onde a face externa contém todos
os seus vértices, a aresta (u, w) de G' pode manter todos os vértices sobre a face
externa de G'. Mas, então, G não é maximal, contrariando a hipótese. Portanto,
todo vértice de grau dois de um mop é 2-vértice.
Num grafo periplanar qualquer, se dois vértices adjacentes possuem grau 2, ou
nenhum deles é 2-vértices ou pertencem a um bloco que é isomorfo a K3. Portanto, o
corolário 3.2, a seguir, segue imediatamente do lema anterior.
Corolário 3.2 Se G é periplanar maximal com n > 3, então não existem dois
vértices adjacentes, ambos de grau dois.
Teorema 3.3 Se G é um grafo periplanar maximal, com n 2 3 vértices, então
G é biconexo.
Prova: Seja G periplanar maximal, com n 2 3, numa representação periplana onde a
face externa contenha todos os seus vértices. Suponhamos G conexo, mas não
biconexo. Então, existe um vértice v tal que G - (v) possui mais de um
componente conexo, onde cada um deles é periplanar. Sejam u e w dois
vértices de componentes distintos, tais que as arestas (u, v) e (u, w) estão
sobre a face externa de G, como mostra a figura 3.4. Assim, a aresta (u, w) pode
ser acrescentada a G sem perda da periplanaridade. Daí, G não é maximal,
contradizendo a hipótese.
figura 3.4: parte de um grafo periplanar, contendo um ponto de articulação.
Tendo em vista o corolário 2.7, o próximo resultado é imediato.
Corolário 3.3 Se G é um grafo periplanar maximal, com n 2 3 vértices , então G
é harniltoniano.
Teorema 3.4
Lema 3.2
G é um grafo periplanar maximal, com n 2 3 vértices, se, e
somente se, G é um grafo periplanar hamiltoniano cordal.
Seja G um grafo periplanar maximal, com n 2 3 vértices sobre a
face externa. Então, G tem n - 2 faces internas.
O resultado a seguir é corolário deste lema.
Coroiário 3.4 Seja G um grafo periplanar maximal, com n 2 3 vértices sobre a
face externa. Então, todas as suas faces internas são triângulos.
A prova do próximo lema baseia-se na rotulagão recursiva, definida por BEYER et al. (1979).
Lema 3.3 Todo grafo periplanar maximal, com n 2 3 vértices, pode ser
reduzido a qualquer um dos seus triângulos, por n - 3 sucessivas
retiradas de 2-vértices.
Prova: Sejam um mop G com n 2 3 vértices e qualquer um de seus triângulos. Seja uma
rotulação dos vértices de G determinada do seguinte modo: os vértices do
triângulo escolhido recebem os rótulos 1, 2 e 3; os demais vértices são rotulados
com números naturais de 4 até n, sucessivamente e na ordem crescente, na
medida em que se tornam adjacentes a dois outros vértices já rotulados. O
teorema 3.2 e o corolário 3.4 garantem que esta rotulação é sempre possível para
mops, uma vez que toda aresta pertence a algum triângulo e no máximo a dois
triângulos. Então, pelo teorema 3.2, após n - 3 retiradas sucessivas de 2-vértices,
segundo a ordem decrescente de seus rótulos, G é reduzido ao triângulo
inicialmente escolhido (cujos rótulos de seus vértices são 1,2 e 3).
Teorema 3.5 Seja G periplanar, com n 2 2 vértices e m arestas. G é
maximal se, e somente se, m = 2n - 3.
Prova: Seja G periplanar com n vértices e m arestas. Se n = 2, G = Kz e o teorema vale
trivialmente. Seja n 2 3.
(a) Seja G maximal. São necessárias: n arestas para formar a face que contém todos
os vértices (a única face que não é triângulo) e mais (n - 2) - 1 arestas para obter
as n - 2 faces internas, garantidas pelo lema 3.1. Daí, n + (n - 2) - 1 = 2n - 3
arestas são necessárias em G, para G ser um grafo periplanar maximal.
(c) Seja m = 2n - 3. Então, pelo teorema 2.14, G tem o número máximo de arestas
permitido para um grafo periplanar, ou seja, se ao grafo G for acrescentado uma
aresta a mais, G deixa de ser periplanar. Portanto, G é periplanar maximal.
Como conseqüência deste teorema e do corolário 2.10, obtemos o seguinte
resultado:
Corolário 3.5 Seja G periplanar, com n 2 2 vértices e m arestas. G é
maximal se, e somente se, x io( i ) = 4n - 6.
A função que determina a média dos graus dos vértices de um mop é dada por 6
qn) = 4 - - A convergência desta função, na medida em que o número de vértices do n ' mop cresce, é dada por:
Lema 3.4 lim qn) = 4. n + m
Teorema 3.6 Se G é periplanar maximal, com n 2 3, então G é 3-cromático.
Prova: Como todo grafo cordal é perfeito, se G é periplanar maximal, então G é perfeito.
Ou seja, o tamanho da maior clique de G é igual ao número cromático de G. Seja
G um grafo periplanar maximal. Pelos corolários 3.4 e 2.2 e teorema 2.10, o
tamanho do maior clique de G é 3. Portanto, três é o número cromático de G.
Deste teorema e do corolário 3.4, obtemos o seguinte resultado:
Corolário 3.6 Todo grafo periplanar maximal é unicamente 3-colorível.
Em geral, os grafos periplanares não maximais possuem mais de uma coloração.
WAKELIN e WOODALL (1992) mostram como caracterizar os grafos periplanares
pelo seu polinômio cromático.
lIL3 Assinatura em Grafos Periplanares Maximais
Encontrar uma codificação ou assinatura para uma determinada família de grafos
é, essencialmente, o mesmo que resolver o problema de isomorfismo de grafos nesta
família. Para isso é necessário buscar processos de rotulação que, de alguma forma,
guardem informações específicas dos grafos, ou seja, que a partir da rotulação inicial dos
vértices evoluam para a rotulação de todo o grafo. Por exemplo, no caso dos grafos
periplanares biconexos, é natural que a existência de um único ciclo harniltoniano seja
uma característica importante a ser aproveitada.
A figura 3.5 mostra dois grafos periplanares biconexos não isomorfos com a
mesma sequência de graus harniltoniana [2,3,2,2,3,2,3,2,2,3]. Então, este exemplo
mostra que se o grafo não é periplanar maximal, só a sua seqüência de graus
harniltoniana não é suficiente para determiná-lo. Entretanto, se informações sobre a
adjacência, construídas para cada vértice e a partir do ciclo hamiltoniano, são
incorporadas a sequência de graus hamiltoniana, toma-se possível determinar o grafo
periplanar (biconexo), a menos de isomorfismo. COLBOURN e BOOTH (1981) e
MANNING e ATALLAH (1992) utilizam este recurso: os dois primeiros, procuram
determinar somente os isomorfismos; os outros, identificam simetrias nessa classe de
grafos.
figura 3.5: dois grafos periplanares não isomorfos com a mesma sgh.
O teorema 3.7, a seguir, garante que um rnop G fica completamente
caracterizado por sua sequência de graus hamiltoniana.
Teorema 3.7 Sejam G um grafo periplanar maximal, com n 2 3, e D =
[dl, d2, ..., d,] a sequência de graus hamiltoniana de G. Se G' é
qualquer rnop obtido como realização de D, então G e G' são
isomorfos.
Prova: Prova por indução:
a) Para n I 5 vértices, o teorema é trivialmente verdadeiro, pois existe um único
rnop com 3 ,4 e 5 vértices, respectivamente, a menos de isomorfismo;
b) Suponhamos que o teorema valha para todos os mops com n vértices, n I k;
c) Sejam D = [dl, d ~ , . . ., dk, dk+l] a sgh de algum rnop G e ul, u2, . . ., uk, uk+l
a correspondente sequência de vértices. Como G é um mop, pelo menos dois
de seus vértices são 2-vértices. Sem perda de generalidade, suponhamos ui
um 2-vértice de G, 1 < i < k +l. Assim, u; é adjacente a ui-1 e ui+l que
são adjacentes entre si. Seja o rnop G" obtido de G pela retirada do 2-
vértice ui. Assim, D" = [dl, d2, . . ., di-i - 1, di+l- 1 ,. . ., dk, dk+l] é a sequência de
graus hamiltoniana de G", que possui k vértices. Mas, pela hipótese de indução,
este rnop é único, a menos de isomorfismo. Conseqüentemente, o rnop
determinado por D é único, a menos de isomoríismo.
A prova do teorema anterior evidencia um método recursivo de obtenção de
seqüências de graus hamiltonianas de mops, pela inclusão ou retirada de um 2-vértice, a
partir da sequência de graus hamiltoniana de um mop dado. Esse procedimento pode ser
enunciado como no corolário a seguir:
Corolário 3.7 Uma seqüência [dl, d2, ..., di-1, 2, di+i ,..., d,] é a seqüência de
graus hamiltoniana de um grafo periplanar maximal se, e somente
se, a sequência [d~ , d2, ..., di-1-1, di+1-l ,..., d,,] é a sequência de
graus hamiltoniana de um grafo periplanar maximal.
O corolário 3.7, num sentido, indica como construir seqüências de graus
hamiltonianas, recursivamente, a partir da sgh-K3 = [2,2,2], tais que possuam mops
como suas realizações, sem o conhecimento gráfico dos respectivos mops. No outro
sentido, o corolário nos possibilita verificar se uma dada sequência de graus, que se
supõe hamiltoniana, pode ter um mop como sua realização gráfica. Para isso, de acordo
com o teorema 3.2, é preciso que cada sequência obtida com a retirada de um valor 2
tenha a(2) 2 2 e que no final do processo, após o corolário ter sido aplicado n - 3
vezes, a sequência [2,2,2] seja obtida.
A figura 3.6 mostra cada passo da construção da sequência de graus hamiltoniana
de um mop, acompanhada da respectiva realização gráfica.
seqüência de graus harniltoniana a b c 2 2 2
figura 3.6: constnição recursiva de sghs de mops e suas respectivas realizações gráficas.
realização gráfica
a A c
a d b c 3 2 3 2
a d b e c 3 2 4 2 3
a d b e f c 3 2 4 3 2 4
a d b e f c g 4 2 4 3 2 5 2
d*
dx2?.%5bf C
BEYER et al. (1979), baseando-se nos dois últimos resultados, apresentam um
algoritmo, de complexidade linear que, para cada sgh, produz o único mop
correspondente. Na medida em que a sgh vai sendo reduzida pelo processo indicado no
corolário 3.7 até restar [2,2,2], é gerada uma rotulação recursiva (cada vértice que vai
sendo retirado da sgh recebe o mais alto rótulo ainda não utilizado de um conjunto I =
(1, 2, ..., n)) para o mop. A partir desta rotulação recursiva, uma representação
(chamada canônica) é obtida para o mop, onde as suas arestas internas ficam
determinadas. Também baseado nesses dois resultados, com a mesma finalidade,
apresentaremos na próxima seção um algoritmo que determina a representação gráfica
do mop, a menos de isomoríismo, obtido diretamente da sua sgh. Neste caso, estamos
atribuindo a sgh uma nova forma de representação do mop.
Como existe um único mop associado a uma dada seqüência de graus
hamiltoniana, o problema de isomoríismo de mops é reduzido ao problema de
reconhecer quando duas cadeias são sinônimas, isto é, representam a mesma sequência
de graus hamiltoniana de um grafo. Para isso, as seguintes observações devem ser
levadas em conta: para um mesmo mop, mais de uma cadeia, representando a sequência
de graus hamiltoniana, pode ser construída, desde que não partam de um mesmo vértice;
mesmo que ambas as cadeias partam de um mesmo vértice, elas podem ser construídas
percorrendo o ciclo hamiltoniano em sentidos opostos.
BEYER et al. (1979) apresentam dois algoritmos para resolver esse problema em
tempo linear, em número de vértices: o primeiro é baseado no Algoritmo Casamento de
Cadeias de MORRIS e PRATT, citado por AHO, HOPCROFT e ULLMAN (1974); o
segundo algoritmo determina um conjunto de dois ou três vértices, que são unicamente
identificados num mop, a partir do qual, quatro ou seis cadeias representativas da
sequência de graus hamiltoniana devem ser construídas (começando por cada vértice e
nas duas orientações do ciclo) para um dos mops, sendo necesssário somente uma
sequência para o outro mop, que deve ser verificado se coincide ou não com alguma das
outras.
Os próximos resultados, que seguem imediatamente do teorema 3.7 e das
observações anteriores, tùndamentam a solução casamento de cadeias do problema de
isomoríismo de mops.
Teorema 3.8 Sejam G e G' grafos periplanares maximais com suas sequências
de graus hamiltonianas D e D', respectivamente. G e G' são
grafos isomorfos se, e somente se, D' é um deslocamento cíclico
e/ou inversão de D.
Considerando $ um marcador separador-de-cadeia, o próximo corolário segue
do teorema 3.8, imediatamente.
Corolário 3.8 Sejam G e G' grafos periplanares maximais com suas seqüências
de graus hamiltonianas D e D', respectivamente. G e G' são
isomorfos se, e somente se, D7 é uma subcadeia de
DoDo[$]oDRoDR.
Finalmente, para construir uma codificação ou assinatura para a família de grafos
periplanares maximais, basta determinar como será escolhida, entre todas as possíveis
cadeias que representam a sequência de graus hamiltoniana de um dado mop, aquela que
será associada ao grafo. Por exemplo, escolher a menor cadeia, lexicograficamente.
IíI.4 Realização da Seqüência de Graus Hamiltoniana de um MOP
Vimos, na seção anterior, que a sgh determina um único mop, a menos de
isomoríismo. Entretanto, a sgh de um rnop pode corresponder a outras realizações: um
rnop (único nesta classe) e outros grafos não mops. Por exemplo, podemos verificar
facilmente que a sequência [2,3,4,3,2,4,4] pode ser a sgh de um mop, único a menos de
isomoríismo. Porém, a figura 3.7 mostra que esta sequência de graus hamiltoniana
possui, além do mop, um grafo não periplanar como sua realização.
figura 3.7: um rnop e um grafo não periplanar como realização de uma mesma sgh.
Por essa razão, qualquer algoritmo que determine se uma dada seqüência de
graus hamiltoniana pode ser a de um rnop não é apropriado para reconhecer se um grafo
é ou não um mop, a partir da sua sgh.
Nos próximos capítulos vamos deíinir famílias de mops, a partir de suas sghs. Por
esta razão, necessitamos dispor de um algoritmo que exiba a realização do mop, em
tempo linear, a partir da sua sgh. No algoritmo DESENHA - MOP, a seguir, optamos por
encontrar uma disposição gráfica para a realização de uma sgh, da qual já se sabe poder
obter um mop.
Algoritmo DESENHA-MOP
Entrada: D = [d(ui), d(~2)7 ..., d(Ufi)l sgh do m0p G; C = [ul, u2, .. ., UJ seqüência de vértices correspondentes;
Saída: disposição gráfica da realização da sgh; Início
dispor graficamente os vértices de C em um ciclo; traçar as arestas desse ciclo; para i = 1 até n faça
se d(uJ = 2 então lista t ui ;
mo = n; enquanto mo # 3 faça
v t lista; mo :=mo - 1; w, z := vértices vizinhos de v em C; % C é considerada seqüência circular % d(w) := d(w) - 1; se d(w) = 2 então
lista t w; d(z) := d(z) - 1; se d(z) = 2 então
lista t z; incluir a aresta (w,z) na disposição gráfica; c := c - {v]
Fim.
Teorema 3.9 O algoritmo DESENHA - MOP determina corretamente o mop
como realização da sequência de graus harniltoniana de um mop,
através da representação gráfica.
Prova: Pelo lema 3.1, num rnop todo vértice de grau 2 é um 2-vértice em um mop.
Como o algoritmo DESENHA-MOP parte sempre de uma sgh de um mop,
identificando-se pela sgh um vértice de grau 2, seus dois vizinhos são sempre
adjacentes entre si, ou seja, sempre existe uma aresta entre eles. Esta é aresta
interna do mop. O algoritmo determina todas as arestas internas baseado em dois
resultados conhecidos: pelo corolário 3.7, tirando-se um 2-vértice, a sgh
resultante é sempre de um mop; pelo teorema 3.2, todo rnop possui pelo menos
dois 2-vértices, ou seja, o vetor lista nunca fica vazio. O algoritmo termina
somente quando a cadeia [2,2,2] é encontrada. I
Teorema 3.10 O algoritmo DESENHLMOP é linear
Prova: O algoritmo começa com o ciclo hamiltoniano de comprimento n e vai reduzindo
este ciclo até encontrar o triângulo. Cada vértice é considerado uma vez e
retirado do ciclo; a pesquisa de seus vizinhos no ciclo pode ser executada em
tempo constante, 0(1), se a sequência de vértices for armazenada em uma lista
circular duplamente encadeada; a retirada do vértice, após seu processamento,
também toma O(1) nessa estrutura. O algoritmo pára em n-3 iterações.
Portanto, o algoritmo DESENHA-MOP é linear. I
Concluímos, então, que a representação do grafo por listas de adjacência pode
ser substituída pela sequência de graus hamiltoniana, sempre que o grafo for um mop.
Neste caso, a sequência de graus hamiltoniana de um rnop é mais uma forma de
representação dos mops.
Capítulo IV
Freqüência de Graus e Seqüências de Graus Hamiltonianas de MOPs
IV.l Introdução
Como concluímos no capítulo anterior, no universo dos grafos
periplanares, as sequências de graus hamiltonianas são mais uma forma de representação
dos mops. Diante disso, a importância dessas sequências é indiscutível e, neste capítulo,
as abordamos em duas vertentes: na primeira, determinamos regras de construção de
seqüências de graus hamiltonianas que definem subfamilias especiais de mops e, na outra,
identificamos condições necessárias - ora subsequências proibidas, ora subseqüências
impostas - a existência de sequências de graus hamiltonianas de mops, a partir de um
dada freqüência de graus.
A figura 4.1 mostra todos os mops com n 5 6, evidenciando sua unicidade até
n = 5. Assim, podemos considerar que os demais mops com mais de 6 vértices são
gerados, por inclusão sucessiva de 2-vértices, a partir desses três mops de ordem 6. São
com esses mops que surgem as ramifícações das subfamilias de mops, algumas das quais
caracterizamos na próxima seção. Podemos estabelecer regras distintas de inclusão de 2-
vértice, tais como: o novo 2-vértice é adjacente aos vértice de mais alto grau do grafo
corrente; o novo 2-vértice é adjacente ao dois vértices vizinhos de maiores
excentricidades (a distância máxima entre um vértice e os demais de um gráfico conexo)
do grafo corrente. As subfamilias de mops são criadas pela repetição sistemática de
determinada regra. Na realidade, os demais mops são obtidos por variações combinadas
destas regras.
figura 4.1: geração dos mops até n = 6.
Por outro lado, conhecendo-se somente a frequência dos graus de n vértices,
podemos construir até n! cadeias distintas. Porém, duas cadeias representam a mesma
sgh, ou seja, são cadeias sinônimas desde que uma seja a reversa elou o deslocamento
cíclico da outra. Assim, de uma dada frequência de graus, supondo-se tratar de um grafo
hamiltoniano, obtemos até seqüências de graus hamiltonianas distintas, para cada 2n
uma das quais podemos verificar, em tempo linear, a existência de um mop como sua
realização. Portanto, determinar se uma dada frequência de graus pode corresponder a
frequência de graus de um mop, por enumeração, torna-se exponencial. Então, a
caracterização de subseqüências proibidas e a formulação de outras condições
necessárias a sgh de um mop constituem instrumentos teóricos que facilitam o trabalho
de rejeitar ou de construir seqüências de graus hamiltonianas realizáveis para mops, a
partir de uma frequência de graus dada.
Entre os resultados apresentados neste capítulo, destacamos o teorema 4.1 que
generaliza a determinação de subcadeias proibidas as sghs de mops. Este teorema mostra
como subcadeias proibidas são obtidas, a partir da sgh de um dado mop. Tendo em vista
que um mesmo mop é identificado por qualquer uma das cadeias sinônimas, o resultado
torna-se ainda mais abrangente.
Na última seção, mostramos que existem casos em que uma dada freqüência de
graus gera somente uma seqüência de graus hamiltoniana realizável para mops. Dizemos
que esse mop fica caracterizado pela sua freqüência de graus. Como exemplo provamos
que encontram-se neste caso os grafos das subfamílias que denominamos leque e
serpentina. Mostramos, ainda, que essas duas subfamílias de mops possuem o tipo
particular de hereditariedade, onde a retirada de qualquer 2-vértice gera um mop da
mesma família.
IV.2 Subfamílias Especiais de MOPs
Definimos, neste trabalho, três novas subfamílias de mops: leque, serpentina e
grega, através de suas sequências de graus hamiltonianas. Apresentamos, ainda, uma
construção recursiva das seqüências de graus hamiltonianas dos grafos Coroa, defuidos
por JUSTEL (1996).
IV.2.1 Grafo Leque
Seja G um mop com n 2 3 vértices. G é um grafo leque, denotado por L,,,
quando é obtido de uma seqüência de graus hamiltoniana gerada pela seguinte regra:
sgh-L, = [2,n -1,2] 0 [31"~.
As figuras 4.2 (i) e (ii) mostram, respectivamente, as realizações gráficas dos
mops sgh-L5 = [2,3,3,2,4] e sgh-h = [2,3,3,3,3,3,3,2,8].
figura 4.2: os grafos leques L5 e Lg.
De outro modo, podemos definir os grafos leques como L, = K1 + P,l, onde Pn-1
é o grafo constituído por um caminho de comprimento n - 1, ou seja, L,, é o grafo
obtido de P,1 pela inclusão de um vértice adjacente a todos os vértices de Pn-1.
IV.2.2 Grafo Serpentina
Seja G um mop com n 2 3 vértices. G é um grafo serpentina, denotado por S,,
quando G é o K3 OU G é obtido de uma sequência de graus hamiltoniana gerada pela
seguinte regra:
se n é par; sgh- S, =
[2,310[4~~10[3,210 [4] [++I , se n é ímpar.
As figuras 4.3(i) e (ii) mostram, respectivamente, as realizações gráficas dos
mops sgh-Ss = [2,3,4,2,3,4] e sgh-Sll= [2,3,4,4,4,3,2,4,4,4,4].
figura 4.3: os grafos serpentinas S6 e SI, .
No próximo capítulo vamos mostrar que, para n # 6, os grafos serpentinas são os
que possuem o maior número de vértices de grau 4 e, pelo lema 3.6, são os que
possuem o maior número de vértices de grau médio. Por este motivo, também são
denominados grafos equilibrados.
IV.2.3 Grafo Grega
Seja G um mop com n 2 6 e n par. G é um grafo grega, denotado por Gn,
quando sgh-G = [2,4,2,4,2,4] ou G é obtido de uma sequência de graus harniltoniana
gerada pela seguinte regra:
k - 4 k - 4 n 1 [2,4,2,5]0 [2,61i 0[2,4,2,5]0 [2,61i, se k = - > 4 e k é par; sgh-Gn = 1 2 -
As figuras 4.4 (i) e (ii) mostram, respectivamente, as realizações gráficas dos
mops sgh-G8 = [2,4,2,5,2,4,2,5] e sghmGl8 = [2,4,2,5,2,6,2,6,2,5,2,4,2,6,2,6,2,6].
C.> figura 4.4: os grafos gregas G8 e Gi8.
Podemos observar, tanto graficamente quanto através das sgh, que os mops S,
podem ser obtidos dos mops gregas Gh pela retirada simultânea de todos os seus n
2-vértices.
IV.2.4 Grafo Coroa
Os grafos k-coroas, definidos por JUSTEL (1996), denotados por Ck, constituem
uma subclasse importante dos mops, cujas seqüências de graus harniltonianas podem ser
construídas recursivamente da seguinte forma.
Considerando que o grafo Ck possui n = 3(zk) vértices, para k 2 0, sua
seqüência de graus harniko~ana é obtida por: sgh-Ck = ~ ( k ) ~ , onde
I "Iy
se k = 0;
c(k) =
[ c(k-1) 0 .Ic(k-1) 0 [ ~ k + 21, se k 2 1,
As figuras 4.5 (i) e (ii) mostram as realizações gráficas dos mops sgh-C1 =
[2,4,2,4,2,4] e sgh-C4 = c(413, onde c(4) = [2,4,2,6,2,4,2,8,2,4,2,6,2,4,2,10],
respectivamente.
( i > (i)
figura 4.5: os grafos coroas C , e Cq.
Podemos observar que o grafo C1 pertence também a família dos grafos
"star n-gon", definido em Golumbic(l980). É o grafo "star 3-gon".
JUSTEL (1996) prova que todo mop é subgrafo de um Ck, para algum k. O
contrário não é verdade, como mostra o grafo da figura 4.6, que é um subgrafo do C3.
Entretanto, se G' é subgrafo biconexo do Ck, com n7 vértices e m' = 2n7- 3 arestas,
então G' é um mop.
J figura 4.6: subgrafo, não mop, de C J .
IV.3 Subsequências Proibidas
Dada a sequência de graus hamiltoniana de um mop qualquer de ordem n,
podemos gerar subcadeias que, necessariamente, não ocorrem como subseqüências nas
seqüências de graus harniltonianas dos demais mops. O teorema 4.1, desta seção, mostra
como obter estas subseqüências proibidas. Embora o resultado possua um caráter
generalizador, não conter uma subcadeia proibida não é suficiente para determinar se
uma dada seqüência de graus hamiltoniana tem um mop como sua realização. Antes,
apresentamos os três próximos lemas, que serão utilizados na prova deste teorema.
O primeiro dos três lemas oferece uma argumentação teórica que substancia os
estudos de casos encontrados em MANVEL (1971), quando resolve o problema de
reconstrução de um mop. O problema de reconstrução de um grafo consiste na
determinação do grafo, conhecendo-se todos os seus subgrafos, obtidos pela retirada de
um dos seus vértices. MANVEL resolveu este problema para a família dos mops,
recuperando a sgh do mop, a partir das seqüências de graus obtidas dos subgrafos dados.
Lema 4.1 Se M é um grafo periplanar maximal e v é um de seus vértices, de grau r,
então M - (v) é um periplanar com r -1 blocos, todos mops.
Prova: Seja v qualquer vértice de um rnop M. Por hereditariedade, M - (v) é um grafo
periplanar. Suponhamos, por absurdo, que B seja um bloco de M - (v), mas que
não seja um mop. Então, B é biconexo (caso contrário, B seria isomorfo a K2 que
é mop) e, dado que B é periplanar, existe uma aresta que pode ser incluída em B,
sem que o grafo resultante perca a periplanaridade. Conseqüentemente, o grafo
M acrescido desta aresta é periplanar, contrariando a maximalidade de M. Logo,
todo bloco biconexo de M - (v) é mop. Vamos mostrar que se r é o grau de v,
então M - (v) possui r - 1 blocos. Sejam xl, x2, . . ., x,, OS vértices adjacentes a v,
ordenados segundo a sgh de M. Então, como todas as faces internas do rnop são
triângulos, existem as arestas (xl, XZ), (~2 , x3), ..., (x,+ Xr) Suponhamos que cada
xi, i = 2, ..., r-1, não seja ponto de articulação entre os blocos Bi-1 e Bi do
grafo M - (v), como indica a figura 4.7. Então, existem dois caminhos disjuntos
de comprimento maior que 1 em Bi.1 u Bi, unindo xi-I e xi+l. Com isto, em M
teríamos um terceiro caminho disjunto, dado por x;+l, x;+z, . . ., x,, V, x1, ..., Xi.1, e
M não seria mop, pelo teorema 3.3. Portanto, x;, i = 2, ..., r-1 são pontos de
articulação de M - (v). Daí, M - (v) é composto de r - 1 blocos que, pela
primeira parte da prova, são todos mops.
figura 4.7: esquema de um rnop M e dos r - 1 blocos de M - (v}, onde v tem grau r.
Podemos observar que no caso de r = 2, o periplanar resultante é um mop,
conforme visto no teorema 3.2 de caracterização de mops.
Lema 4.2 Se D = [dl, d2, ..., dn] é a sequência de graus hamiltoniana de um grafo
periplanar maximal M, com mais de 3 vértices, então existe uma sequência
de retiradas sucessivas de vértices de grau 2 que reduz D ao grafo leque
Prova: A retirada do vértice v, correspondente ao grau dl em D, determina um grafo
M - (v) com dl - 1 blocos mops, pelo resultado anterior. Cada um desses blocos
ou é isomorfo a K2 ou pode ser reduzido, pelo lema 3.3, ao triângulo onde um
dos seus lados é a aresta (xi, xi+l), sendo os vértices xi e xi+l os adjacentes a v em
M, como ilustrado na figura 4.7. Logo, em M, utilizando-se as mesmas sucessões
de retiradas de vértices de grau 2 realizadas nos blocos de M - (v) e, em seguida,
retirando-se todos os vértices de grau 2, que não são adjacentes a v, obtemos o
resultado. I
Por este resultado, quando dl = 2, D é reduzida ao triângulo [2,2,2], que é o
menor grafo leque.
Lema 4.3 Se [dl, d2, ..., d,,] é a sequência de graus hamiltoniana de um mop M,
com mais de 3 vértices, então a cadeia [d2, ..., dn] não representa a
sequência de graus hamiltoniana de nenhum mop.
Prova: Se dl # 4, O resultado é válido, trivialmente, pelo corolário 3.5.
Suponhamos dl = 4. Pelo resultado anterior, [dl, d2, ..., dn] pode ser reduzido a
[dl, 2, 3d1-2, 21. Então, utilizando-se a mesma sequência de operações de
redução em [d2, . . ., dn], obtemos a cadeia [2, 3d1 - 2 , 21. Esta cadeia não pode
representar a sgh de nenhum mop, caso contrário, o mop conteria dois vértices
adjacentes, ambos de grau 2, contrariando o corolário 3.2.
Teorema 4.1 Sejam G(V,E) um grafo periplanar maximal com n 2 3, S a sua
sequência de graus harniltoniana e D = [dl, d2, ..., dn] qualquer
cadeia obtida de S ou sR por um deslocamento cíclico. As
subcadeias obtidas de D, uma pela remoção de dl e outra pela
remoção de dn, são subseqüências proibidas as seqüências de graus
hamiltonianas de todos os grafos periplanares maxirnais, distintos
de G(V,E), com mais de 3 vértices.
Prova: Sejam G um mop qualquer com n vértices e S a sua sequência de graus
harniltoniana.
Para n = 3, o resultado é válido, imediatamente, pelo corolário 3.2.
Seja n > 3. Suponhamos que D = [dl, d2, ..., dn] seja qualquer uma das cadeias
obtidas por um deslocamento cíclico de S ou de sR. Suponhamos, por absurdo e
sem perda de generalidade, que D' seja a sequência de graus hamiltoniana de um
mop G', contendo [d2, ..., dn], tal que G' seja diferente de G. Conseqüentemente,
se n' é o número de vértices de D7, n7 2 n - 1. Temos três casos:
i) se n' = n, D' e D são distintas por um único valor, contrariando o
corolário 3.5;
ii) seja n' = n - 1. Então, D7 = [d2, . . ., dn], contrariando o lema 4.3.
iii) seja n' > n. Então D7= Ao[d2, ..., dn]oB, onde IAoBI 2 2. Pelo corolário 3.7 e
pelo lema 4.2, D' pode ser reduzida ao mop D = Ao[2, 21.B. Seja
n" = IDI. Então, IAoBI = n" - dl i 2 e Z A oB = 4(n" - di) + dl - 4. Daí, graus
A 0 B > dl + 4. Portanto, em no máximo dl - 2 sucessivas retiradas de pra"=
vértices de grau 2, que ocorrem como vizinhos da cadeia formada de valores 3,
obtemos uma seqüência de comprimento maior que três, na qual ocorre a
subsequência [2,2], contrariando o corolário 3.2. . Como exemplo do teorema anterior, podemos considerar os mops da figura 4.8.
O mop Gl gera as seguintes cadeias proibidas para os demais mops: [3,3,2,4]; [2,3,3,2];
[2,4,2,3]; [3,2,4,2]; [4,2,3,3]. Vale observar que a sgh-G2 contém a subseqüência
[2,3,3,4], que foi obtida da sgh-G1 = [2,3,3,2,4] pela exclusão de um elemento que
ocorre fora dos extremos. Portanto, as subcadeias proibidas são geradas somente quando
um dos extremos de uma dada cadeia, que representa a sequência de graus hamiltoniana
de um mop, é retirado.
figura 4.8: mops.
Corolário 4.1
Corolário 4.2
A cadeia [2,2] é proibida como subsequência da sequência de
graus hamiltoniana de qualquer mop diferente do K3.
As cadeias [3,2,3] e [2,3,2] são proibidas como subseqüências
da sequência de graus hamiltoniana de qualquer mop diferente do
L'.
Os corolários 4.1 e 4.2 podem ser vistos como casos particulares do próximo
corolário.
Corolário 4.3
Corolário 4.4
As cadeias [2]0[3]~-~0[2], [31~-~0[2, k- 1] e [3IPo[2, k- 1,2]0[3]~,
onde p + q = k - 4, são proibidas como subseqüências da
sequência de graus hamiltoniana de qualquer mop diferente do Lk,
k 2 3 .
As cadeias [4,2,4,2,4] e [2,4,2,4,2] são proibidas como
subsequências da sequência de graus hamiltoniana de qualquer
mop diferente do Ci.
IV.4 Outras Condições Necessárias
Teorema 4.2 Em todo mop diferente de Lk, 2 < m(2) < &(i). i > 3
Prova: A primeira desigualdade é imediata do teorema 3.2. A outra vem dos corolários
4.1 e 4.2, pois como o valor 3 não pode ser usado para intercalar dois valores
2, nos mops diferentes dos L*, temos que 4 2 ) 5 & ( i ) . . i > 3
Considerando que &(i) = n - 4 2 ) - 0(3), chegamos facilmente à seguinte i > 3
equivalência: m(2) 5 &(i) o m(2) < L - 2 3 ) 1 . Assim, podemos enunciar o i > 3
seguinte corolário do teorema anterior:
Corolário 4.5 Em todo mop diferente de Lk, 2 5 042) 5 L" - ~ ( 3 ) 1
Como m(3) > 0, segue imediatamente do corolário anterior que 4 2 ) < I:]. Esta desigualdade também pode ser obtida diretamente do corolário 4.1, pois numa
seqüência de graus harniltoniana com m(2) > A, ocorreria a subcadeia proibida [2,2]. 2
Como conseqüência, enunciamos os dois corolários a seguir.
Corolário 4.6 Todo mop com m(2) = , n 2 6 e n par, tem 4 3 ) = 0.
Corolário 4.7 Todo mop com m(2) = - , n 2 6 e n ímpar, tem m(3) 5 1. 121 Pelo corolário 4.2, caso o mop possua exatamente dois vértices de grau 2 e
n > 4, temos a ocorrência obrigatória de cada valor 2 em subcadeias da forma [g,2,3]
ou [3,2,g], onde g 2 4, como determina o teorema a seguir.
Teorema 4.3 Seja G um rnop com n > 4 e 0(2) = 2. Então, 0(3) 2 2 e a
subseqüência [2,3] ocorre duas vezes na sgh-G, intercaladas por
cadeias não vazias.
Prova: Seja G um rnop com 0(2) = 2. Então, pelo corolário 2.11, 0(3) 2 2. Se os
vértices adjacentes de cada um dos 2-vértices possuíssem, ambos, graus maiores
que 3, ao retirarmos estes dois 2-vértices do mop, o grafo resultante não teria
vértices de grau 2 e, do teorema 3.2, não seria mop. Pelo corolário 4.2, qualquer
2-vértice não pode ter seus dois vizinhos de grau 3 e nenhum par de vértices de
grau 2 pode ter um vizinho comum de grau 3.
O teorema a seguir mostra que uma seqüência constituída somente de valores 2
e de valores maiores que 4 não pode ser a sequência de graus hamiltoniana de um mop.
Teorema 4.4 Nas seqüências de graus hamiltoniana de qualquer mop ocorrem,
necessariamente, a(2) 2 2 e a(3) + 0(4) 2 2.
Prova: Suponhamos um mop, cuja sequência de graus hamiltoniana seja constituída
somente de 2 e de valores maiores que 4. Então, pelo corolário 2.10, a(2) 2 4.
Consideremos, num primeiro caso, um rnop tal que sua sequência de graus
hamiltoniana seja [2,gi72,g2,2,g3,. . .,2,gt], onde t 2 4 e gi > 4 para 11 i I t.
Pelo corolário 3.7, retirando todos os vértices de grau 2 obtemos um rnop
cuja seqüência de graus hamiltoniana é dada por [gl-2,g2-2,g3-2,. . .,gt-21,
contrariando o teorema 3.2, já que gi - 2 2 3, i= 1, ..., t. Num caso mais geral,
suponhamos que entre quaisquer dois vértices de grau 2 ocorram quantidades
variadas de vértices de graus maiores que 4. Então, quando todos os vértices de
graus 2 forem retirados, os demais vértices passarão a ter, no grafo resultante,
seus graus no máximo duas unidades a menos do que no grafo inicial. Neste
caso, o grafo resultante não possui vértices de graus 2, contrariando o teorema
3.2. ,
Como conseqüência deste teorema, utilizando o mesmo raciocínio de prova e
observando os corolários 4.1,4.2,4.3 e 4.4, que destacam algumas subcadeias proibidas,
obtemos os seguintes resultados para mops com mais de 6 vértices.
Corolário 4.8
Corolário 4.9
Corolário 4.10
Corolário 4.1 1
Se o rnop G possui a(4) = 0, então a(3) 2 2 e a subsequência
[2,3] ocorre duas vezes na sgh-G, intercaladas por cadeias não
vazias.
Se o rnop G possui a(3) = 1 e a(4) = 1, então a(2) 2 3 e as
subsequências [2,3] e [2,4,2] ocorrem uma vez cada na sgh-G,
intercaladas por cadeias não vazias.
Se G possui a(3) = 0, então a(4) 2 2,0(2) 2 4 e a subsequência
[2,4,2] ocorre pelo menos duas vezes na sgh-G, intercaladas por
cadeias não vazias.
Na sequência de graus hamiltoniana de todo rnop ocorre,
necessariamente, [2,3] ou [2,4,2].
Quando duas ou mais cadeias do tipo [2,3], [3,2] e [2,4,2] ocorrem numa
sequência de graus hamiltoniana de algum rnop com mais de 6 vértices, elas aparecem,
necessariamente, intercaladas por cadeias não vazias, pois senão ocorreriam
subsequências proibidas. Obviamente, que esta não é uma condição suficiente.
Os corolários 4.1 e 4.2 justificam o porquê de não existirem mops constituídos
somente de vértices com graus 2 e 3, a menos do rnop &'. O teorema 4.5, a
seguir, mostra o análogo para os graus 2 e 4.
Teorema 4.5 O único mop que admite uma seqüência de graus hamiltoniana
constituída somente de 2 e de 4 é o grafo coroa CI.
Prova: Para 3 I n I 5, o teorema é satisfeito trivialmente, pois os Únicos mops são:
[2,2,2]; [2,3,2,3] e [2,3,3,2,4], respectivamente. Todos os mops com n = 6 são
obtidos do mop [2,3,3,2,4] pela inclusão de um 2-vértice. Então o mop sgh-C1 =
[2,4,2,4,2,4] é o único cuja sequência de graus hamiltoniana é constituída de 2
e 4. Suponhamos que para n > 6 existam mops cujos vértices possuam somente
graus 2 e 4. Então, pelo corolário 4.4, todos os graus 2 ocorrem em subcadeias
da forma [4,4,2]0[4]~0[2,4,4], k > 2, que ao serem retirados pelo corolário 3.7,
gera uma contradição com o teorema 3.2. . IV.5 Realização de MOPs por Freqüência de Graus
É comum identificar os mops por sua sequência de graus hamiltoniana.
Observamos, porém, que certas famílias de mops também podem ser caracterizadas
conhecendo-se apenas a frequência dos graus. Nesta seção, provamos este resultado para
os leques e serpentinas.
Segue-se da definição que o grafo leque L,, possui a seguinte freqüência de graus:
0(2) = 2, 0(3) = n - 3 e o(n-1) = 1. Para essa frequência de graus, existe uma única
sequência de graus hamiltoniana realizável para mops, cuja realização também é única,
como será provado no teorema 4.6. O próximo lema mostra a unicidade da construção
de leques, pois L,, só pode ser obtido do grafo leque L.1.
Lema 4.4 Seja n 2 4. Se o grafo leque L,, é obtido do mop G pela inclusão de um
único 2-vértice, então G é o grafo leque L,,-1.
Prova: Seja G um mop com n-1 vértices tal que L,, possa ser obtido de G pela inclusão
de um 2-vértice. Então, G pode ser obtido de L,,, pela retirada de um de seus 2-
vértices. Como sgh-L,, = [2,n -1,2] 0 [31"~, qualquer que seja o 2-vértice
escolhido em L,, para ser retirado, resulta em sgh- 1 - 1 = [2,n -2,2] 0 [31n4.
Teorema 4.6 G é um mop que possui 0(2) = 2, 0(3) = n - 3 e o(n-1) = 1 se, e
somente se, G é o grafo leque L,,.
Prova:
( ) Para n = 3, 4 e 5 o resultado se verifica trivialmente, pela unicidade dos mops.
Suponha que G possua 0(2) =2, o(n-1) = 1 e 0(3) = n - 3, para n r 6. Com
esta frequência de graus, pelo corolário 4.2, a única sequência de graus
hamiltoniana admissivel para mop é [2,n -1,2] 0 [31n", onde n é o número de
vértices. Então, G é um grafo leque L.
(e) Imediata, por definição do grafo leque L,.
De forma análoga, o grafo serpentina S,, que por definição possui a freqüência de
graus 0(2) = 2, 4 3 ) = 3 e 0(4) = n - 4, também satisfaz aos seguintes fatos: o grafo
serpentina S, é a única realização de mop possível com essa frequência de graus e,
considerando a inclusão de somente um 2-vértice, o grafo serpentina S, só pode ser
obtido do grafo serpentina S,I.
Lema 4.5 Seja n 2 4. Se o grafo serpentina S, é obtido do mop G pela inclusão de
um único 2-vértice, então G é o grafo serpentina S,I.
Prova: Seja G um mop com n-1 vértices, n 2 4, tal que S, possa ser obtido de G pela
inclusão de um 2-vértice. Então, G pode ser obtido de S,, pela retirada de um de
seus 2-vértices. Como,
se n é par; sgh- S, =
[2 ,3 ]0 [4~~~0[3 ,2 ]0 [4] l q + l
, se n é ímpar,
para qualquer n, par ou ímpar, e qualquer que seja o 2-vértice escolhido para ser
retirado de S,, obtemos sgh- S,I .
Teorema 4.7 Seja G um mop com n 2 4. G possui a(2) = 2, a(3) = 2 e
a(4) = n - 4 se, e somente se, G é o grafo serpentina S,.
Prova:
(a) Prova por indução:
i) Para n = 4 e 5 o resultado se verifica trivialmente, pela unicidade dos mops.
ii) Suponhamos que, para 6 5 n 5 k, os grafos serpentinas sejam os únicos mops
que possuam a(2) = 2,0(3) = 2 e a(4) = n - 4.
iii) Seja G' um mop com n' = k + 1 vértices, tal que possua 4 2 ) = 2,043) = 2 e
a(4) = n' - 4. G' é obtido de algum mop G com n = k vértices, pela inclusão de
um 2-vértice. Então, para que seja possível obtermos os n7- 4 vértices de grau 4,
após a inclusão de um 2-vértice, existem somente duas possibilidades para G: G
possui a(4) = n7 - 6 e pelo menos dois vértices vizinhos no ciclo hamiltoniano de
grau 3, ou G possui a(4) = n' - 5 e pelo menos um vértice de grau 3, onde este
tem um de seus adjacentes no ciclo hamiltoniano de grau 2. Pela soma dos graus,
pelos teoremas 3.2 e 4.3 e pelo corolário 4.2, G deve possuir: no primeiro caso,
a(4) = n' - 6 = n - 5 , a(3) = 3 e a(2) = 2, contrariando o fato de nenhum grafo
possuir número ímpar de vértices de grau ímpar; no segundo caso, 4 2 ) = 2,
a(3) = 2 e a(4) = n' - 5 = n - 4, que pela hipótese de indução temos G = S,. Pela
k-4 k-4
definição do grafo serpentina, se n = k é par, sgh-G = [2,3]0 [4]70[2,3]o[4]T.
Como a inclusão deve ser feita entre os vértices de graus 2 e 3, em qualquer das
duas possibilidades o resultado é o grafo SR+l). Se k é ímpar, sgh-G =
' O /-'I+ I . halogamente, a inclusão de um 2-vértices entre os [2,310[4 [3,210[4
vértices de grau 2 e 3, em qualquer das duas possibilidades, resulta no grafo
SWi,. Portanto, G' é o grafo S&+1).
(e) Imediata, por definição do grafo serpentina S,.
Maxregularidade: Conceito e Aplicação a MOPs
V.l Introdução
O conceito de maxregularidade surgiu quando, cientes da inexistência de mops
regulares com mais de 3 vértices, passamos a investigar quais grafos periplanares
maximais possuíam o maior número de vértices de mesmo grau. Embora tenha surgido
numa situação particular, a maxregularidade é uma generalização do conceito de
regularidade usual, aplicável a qualquer família de grafos.
Iniciamos este capítulo definindo grafos (%r)-maxregulares e, em seguida,
aplicamos este novo conceito a classe dos mops, caracterizando todos os mops
(n,r)-maxregulares, para 2 I r I 4. Os mops (n,r)-maxregulares, para r 2 5, serão
determinados no capítulo VII, através de um procedimento construtivo baseado no
conceito de equilibradores, a ser desenvolvido no capítulo VI. Nas duas últimas seções
apresentamos alguns resultados mais gerais sobre mops (n,r)-maxregulares.
V.2 Grafos (n,r)-maxregulares
Sejam P um conjunto de restrições ou propriedades que define uma classe de
grafos, G um grafo de ordem n que satisfaz P e r 5 n - 1. Dizemos que G é
(n,r)-maxregular quando G possui o maior número possível de vértices de grau r, dentre
todos os grafos de ordem n que satisfazem P. Assim, se G satisfaz P, G é (n,r)-
maxregular se, e somente se, %(r) = max{%?(r) I G' é grafo de ordem n que satisfaz P).
Esta definição induz o seguinte problema: para uma dada familia Tp, caracterizada por
P, quais grafos são (n,r)-maxregulares?
Por exemplo, na família dos mops, o grafo Gl da figura 5.1 é um mop (10,2)-
maxregular, pois, pelo teorema 4.2, não existe mop com o(2) > 5, para n = 10.
Obviamente, os mops G2 e G3, da mesma figura, não são (10,2)-maxregulares. Porém,
Gl não é (10,5)-maxregular nem (10,6)-maxregular, porque o(5) = 4 em G2 e o(6) = 2
em G3. Para n = 10, não existem mops com 0(5) > 4 e o(6) > 2, tendo em vista a
biconexidade e a soma dos graus dos vértices dos mops. Daí, G2 é (10,5)-maxregular e
G3 é (10,6)-maxregular. O mop G3, apesar de ter a fiequência do grau 2 superior a do
grau 6, é (10,6)-maxregular mas não é (10,2)-maxregular. Assim, num mop
(n,r)-maxregular pode existir um grau r'# r tal que o(r7) 2 o(r).
figura 5.1: mops (10,2)-maxreguiar, (10,5)-maxreguiar e (10,6)-maxregular, respectivamente.
É interessante observar que estamos apresentando um conceito aplicável a
qualquer que seja a família de grafos, definida por P. A maxregularidade é uma
generalização do conceito de regularidade, pois tornam-se equivalentes quando P é
vazio, ou seja, quando a família Tp é o conjunto de todos os grafos. A maxregularidade
como extensão da definição de regularidade também pode ser vista da seguinte forma: G
é (n,r)-regular (no sentido usual) se, e somente se, G é um grafo (n,r)-maxregular e
o(i) = O. Por exemplo, todos os k-cliques são (k,k-1)-regulares e, portanto, são i # r
(k,k-1)-maxregulares. Em geral, o conceito de maxregularidade torna-se mais apropriado
quando P, que determina a família, impõe limites a soma dos graus nos grafos elou
alocação de arestas, implicando em restrições de graus de vértices vizinhos.
No caso dos grafos planares maximais com 3 ou mais vértices, como n - 1
conseqüência da propriedade P inerente à esta família, temos 2m = zim(i)= 6n - 12. i = 3
Daí, supondo-se G um grafo planar maximal regular, temos 6n - 12 = r.n, o que
12 acarreta n = --- 6 - r ' Portanto, não existem grafos planares maximais regulares para r 2 6
e, para r = 2, 3, 4 e 5, os grafos planares maximais (%r)-regulares possuem,
respectivamente, n = 3, 4, 6 e 12 vértices. O grafo da figura 5.2 ilustra um grafo planar
maximal com 14 vértices, que portanto é 3-conexo como visto em (HARARY, 1969),
onde w(6) = 10. Como num grafo planar 3-conexo com n > 4 existem pelo menos 4
vértices de grau igual ou menor que 5, conforme encontramos em (JURKIEWICZ,
1990), concluímos que G é (14,6)-maxregular.
5.2: grafo planar maximal(14,6)-maxregular.
Como podemos constatar, este conceito de maxregularidade é aplicável em
famílias T p as mais distintas, sobretudo quando P não permite a existência de grafos
regulares. No entanto, restringiremos o nosso estudo à família que estamos estudando,
ou seja, aos mops.
V.3 Aplicação a MOPs
Nossa motivação para o estudo da maxregularidade aplicada aos mops vem do
fato de que essa família não possui grafos regulares, com exceção do Kf, como mostra o
teorema 5.1 da próxima seção.
V.3.1 MOPs (n,r)-maxregulares: 2 < r < 4
Nesta seção, caracterizamos os mops (n,r)-maxregulares, para 2 I r I 4 e n > r.
Mostramos ser muito fácil obtermos diferentes mops (~2)-maxregulares, enquanto que
para r = 3 e 4 os mops (n,r)-maxregulares são unicamente determinados. O próximo
teorema justifica porque o conceito de (%r)-maxregular é adequado a família dos mops.
Teorema 5.1 O K3 é o único grafo periplanar maximal regular, com n 2 3.
Prova: Pelo teorema 3.2, todo mop tem no mínimo dois vértices de grau 2 e, pelo
corolário 3.2, para n > 3, dois vértices consecutivos no ciclo hamiltoniano não
podem ter ambos grau 2. Portanto, a menos que o grafo seja o K3, não podemos
construir um mop regular.
Teorema 5.2 Seja G um grafo periplanar maximal com n 2 3 vértices. G é
(~2)-maxregular se, e somente se, G = K3 ou G possui
0(2) =I$], para n > 3.
Prova: Para n = 3, o teorema vale trivialmente.
Seja G um grafo periplanar maximal com n > 3 vértices.
( ) Suponhamos que G seja (~2)-maxregular. Então, G possui a maior quantidade de
vértices de grau 2 possível para os mops de n vértices. Do corolário 3.2,
4 2 ) 1 - , pois dois vértices adjacentes não podem ser ambos de grau 2. Por 121 outro lado, pelo corolário 3.7 é possível obter um mop cuja seqüência de graus
hamiltoniana apresente valores intercalados por 2. Portanto, se n é par, G possui
n n - 1 exatamente 3 vértices de grau 2; caso contrário, G possui 7 vértices de
grau 2. Portanto, G possui o(2) = - . L21
(c) Seja G com 0(2) = - . Um mop G com esta quantidade de vértices de grau 2 L21 existe, como mostra as definições dos grafos coroa e grega, no capítulo anterior.
Suponhamos que exista um mop G' com 4 2 ) = - + 1. Então, [2,2] é li1 subcadeia da sgh-G', contrariando o corolário 4.1. Logo, não existe mop com
0(2) 2 - + 1. Portanto, G é ($2)-maxregular. i1
Os grafos coroa e grega constituem duas subfmílias interessantes de grafos
periplanares maximais (n,2)-maxregulares: o primeiro deles, como provado em
JUSTEL (1996), porque possui um aspecto de varredura do plano de forma apropriada
para assimilar qualquer outro mop, em virtude da sua definição recursiva em camadas
circulares, ou seja, onde cada Ck (grafo coroa com n = 3.2k vértices) é formado pela
inclusão de um 2-vértice em todas as posições possíveis do grafo Ck-1; O segundo, como
veremos no capítulo VIU, por ser o pior caso, entre os mops, do algoritmo
PERLTESTE, que reconhece a periplanaridade de um grafo biconexo.
O próximo teorema caracteriza os mops (n,3)-maxregulares e mostra que os
grafos leques L,, constituem a única família de mops com tal propriedade.
Teorema 5.3 Seja G um grafo periplanar maximal com n > 3 vértices. As
seguintes afirmações são equivalentes:
(i) G é (n,3)-maxregular;
(ii) G possui 0(2) = 2, o(n-1) = 1 e 0(3) = n - 3;
(iii) G é o grafo leque L,,.
Prova: Seja G grafo periplanar maximal com n > 3 vértices.
(i) 3 (ii)
Suponhamos que G seja um mop (n73)-maxregular. Sabemos que grau(v) = v c G
4n - 6 e que 0(2) 2 2. Assim, se exatamente dois vértices tiverem grau 2, a
soma dos graus dos n- 2 vértices restantes é dada por 4n - 10. Suponhamos que
cada um destes n - 2 vértices tenha grau 3. Então, 3(n - 2) = 4n - 10 e,
conseqüentemente, n = 4. Neste caso, G é único e é (4,3)-maxregular com
0(2) = 2 e 0(3) = 2. Para n > 4, 4n -10 > 3(n - 2) e, então, algum vértice de G
não poderá ter grau 3. Como G contém o maior número possível de vértices de
grau 3 e já possui dois vértices de grau 2, G deve admitir n - 3 vértices de grau 3
e um vértice de grau n - 1. Mops com com estas características existem, como
mostra a definição do grafo leque, no capítulo anterior.
(ii) 3 (iii) Imediata, pelo teorema 4.6.
(iii) (i)
Suponhamos G = L,,. Então G possui 0(2) = 2, o(n-1) = 1 e 0(3) = n - 3. Os dois
vértices de grau 2 existem em qualquer que seja o mop, pelo teorema 3.2. Para n
= 4, existe um único mop I(4' que satisfaz estas condições e que portanto
é ($3)-maxregular. Suponhamos que exista um mop G' com n > 4 vértices tais
que dois vértices tenham grau 2 e os demais n - 2 vértices tenham grau 3. Para
n ímpar, a contradição é imediata, pois não podemos ter quantidade ímpar de
vértices de grau ímpar em qualquer grafo. Por outro lado, para qualquer n > 4,
grau(v) = 4 + 3(n - 2) = 3n - 2 < 4n - 6, contrariando o fato de G' ser um V E G '
mop. Portanto G é ($3)-maxregular.
Corolário 5.1 Seja n'< n. O mop (n,3)-maxregular só pode ser obtido do mop
(n7,3)-maxregular.
Prova: Imediata do teorema anterior e do lema 4.4, aplicado recursivamente n - n'
vezes.
Analogamente, o próximo teorema caracteriza os mops ($4)-maxregulares e
mostra que os grafos serpentinas S, constituem a única família de mops com tal
propriedade, quando n ;t 6.
Teorema 5.4 Seja G um grafo periplanar maximal com n 2 5 vértices. As
seguintes afirmações são equivalentes:
(i) G é (n,4)-maxregular;
(ii) G possui a(2) = a(4) = 3, quando n = 6,
G possui a(2) = 2,0(3) = 2 e a(4) = n - 4, caso contrário;
(iii) G é o grafo coroa Cl, quando n = 6,
G é o grafo serpentina S,, caso contrário.
Prova: Seja G um mop com n 2 5 vértices.
(i) a (ii)
Suponhamos que G seja (n,4)-maxregular.
Seja n = 6. Neste caso, existem apenas os mops Cl, L6 e S6, cujas sghs são,
respectivamente, [2,4,2,4,2,4], [2,3,3,3,2,5] e [2,3,4,2,3,4]. Então, C1 é o único
mop (6,4)-maxregular, com a(2) = a(4) = 3.
Seja n # 6. Para n = 5, existe um único mop, cuja sgh é [2,3,3,2,4], satisfazendo o
teorema. Suponhamos n > 6. Sabemos que a(2) 2 2. Vamos mostrar que
a(2) > 2 implica em a(4) < n - 4. Suponhamos um mop G com a(4) = n - 4 e
a(2) > 2. Temos dois casos para analisar: a(2) = 3 e a(2) = 4. No primeiro caso,
G possui mais um vértice de grau x, tal que x # 2 e x # 4. Então,
grau(v) = 6 + 4(n - 4) + x t 4n - 6, contrariando a soma dos graus de um V € G
mop. No segundo caso, a contradição com o teorema 4.5 é imediata. Portanto, se
G possui a(2) > 2, então G possui a(4) < n - 4. Consideremos, agora, um mop
com a(2) = 2. Pelo corolário 2.11, G terá que possuir também pelo menos dois
vértices de grau 3. Assim, a(4) 5 n - 4. Mops com a(2) = 2, a(3) = 2 e
a(4) = n - 4 existem, como mostra a definição dos grafos serpentinas, no
capítulo anterior. Logo os mops (n,4)-maxregulares possuem a(2) = 2,0(3) = 2
e a ( 4 ) = n - 4 .
(ii) (iii)
Para n = 6, o teorema se verifica trivialmente por enumeração.
Para n # 6, a prova é imediata pelo teorema 4.7.
(Ti) 2 (i)
Só existem três mops com n = 6 e, por enumeração, vemos que o grafo coroa C1
é o único rnop (6,4)-maxregular.
Seja G o grafo serpentina S,, com n 2 5 e n # 6. O grafo S, possui a(4) =
Portanto, em qualquer dos dois casos, S, possui a(4) = n - 4. Ss é o único rnop
que existe com n = 5 e é (5,4)-maxregular, com a(4) = 1. Suponhamos que exista
um rnop G' com a(4) = n - 3, n > 6. Neste caso, a soma dos graus dos três
vértices restantes é 4n - 6 - 4(n-3) = 6, implicando que cada um deles possui grau
2. Então, G' é constituído somente de vértices com graus 2 e 4, contrariando o
teorema 4.5. Portanto, G é (q4)-maxregular.
Corolário 5.2 Seja n'< n. O mop (n,4)-maxregular só pode ser obtido do mop
(n',4)-maxregular.
Prova: Imediata do teorema anterior e do lema 4.5, aplicado recursivamente n - n'
vezes.
Tendo em vista a unicidade, a menos de isomorfísmo, dos mops com até 5
vértices, podemos concluir que &' é, ao mesmo tempo, (4,2)-maxregular e
(4,3)-maxregular e o rnop de 5 vértices, figura 4.2(i), é (5,r)-maxregular para r = 2, 3 e
4, simultaneamente.
V.3.2 MOPs (r+l,r)-maxregulares
O teorema apresentado nesta seção caracteriza os mops (r+l,r)-maxregulares.
Dele resulta um corolário que identifica os grafos (r+l,r)-maxregulares com os
(r+l,3)-maxregulares, provando, portanto, a sua unicidade. Tais resultados serão
utilizados nas provas do capítulo VII.
Teorema 5.5 Seja r 2 2. G é um mop (r +l,r)-maxregular se, e somente se,
G é o grafo leque LI.
Prova: Seja G um mop com n = r + 1 vértices, r 2 2. Para 3 I n I 5, o teorema vale
trivialmente, pois os mops são únicos e todos são L,,. Vamos provar o teorema
para os mops com n > 5.
(e) Seja G = L i . Então, o(r) = 1. Suponhamos que exista um mop G' com dois
vértices, u e v, de grau r. Então, u e v são adjacentes a todos os demais vértices
de G'. Como n > 5, sejam x, y e z três outros vértices quaisquer de G'. Então,
G' contém um subgrafo isomorfo a K2,& formado pelos caminhos uxv, uyv e um,
contrariando o fato de G' ser um periplanar. Logo, G é um mop (%r)-maxregular.
(3) Suponhamos que G seja (r+l,r)-maxregular. Então, o(r) = 1, caso contrário, G
possui um subgrafo isomoríb a K2,& como provado na condição de suficiência.
Seja x o tal vértice de grau n - 1. Como x é adjacente a todos os outros vértices
do grafo, somente seus dois vizinhos no ciclo hamiltoniano podem ter grau 2,
para satisfazer o teorema 3.2. Os demais vértices possuem no mínimo grau 3,
pois são adjacentes a x e aos dois vizinhos do ciclo hamiltoniano. Daí, pelo
corolário 3.5, G possui o(n-1) = 1, o(2) = 2 e o(3) = n - 3. Pelos teoremas
3.5 e 3.4, G = L 1 .
Corolário 5.3 ~ o d o LI, para r 2 3, é ao mesmo tempo (r+173)-maxregular
e (r+ 1 ,r)-maxregular.
Prova: Imediata dos teoremas 5.3 e 5.5. . V.3.3 MOPs (n,r)-maxregulares, para r fmo.
Os resultados desta seção determinam o valor da freqüência dos vértices de
grau r nos mops (n+l,r)-maxregulares, supondo-se conhecer os mops (n,r)-
maxregulares, e serão utilizados no decorrer das caracterizações dos mops (%r)-
maxregulares, onde r r 5.
Lema 5.1 Seja r 2 3. Suponhamos que os mops (%r)-maxregulares possuam
o(r) = x. Se os mops (n+l,r)-maxregulares possuem o(r) = x + 1, então
existe mop (n,r)-maxregular com o(r-1) 2 1.
Prova: Para r = 3 e 4, pela unicidade das famílias (&r)-maxregulares destes casos, o
teorema vale trivialmente. Seja r 2 5. Suponhamos por absurdo que todo
mop (n,r)-maxregular tenha o(r-1) = O e que x e x + 1 sejam, respectivamente,
as quantidades de grau r dos mops (%r)-maxregulares e (n+l,r)-maxregulares.
Então, os mops (n+l,r)-maxregulares não podem ser obtidos dos mops
(%r)-maxregulares pela inclusão de um 2-vértice. Seja G um mop (n+l,r)-
maxregular. Então, existe mop G', com n vértices que possui o(r) = x-1
(portanto, não é (n,r)-maxregular) e com pelo menos dois vértices consecutivos
no ciclo hamiltoniano de grau r-I, para que G possa ser obtido de G' pela
inclusão de um 2-vértice. Sejam u e v dois vértices consecutivos no ciclo
hamiltoniano de grau r-1 em G'. Pelo corolário 4.1 1, existe em G' um 2-vértice
adjacente a um vértice de grau 3 ou 4. Seja w um tal 2-vértice de G'. Então, três
possibilidades podem ocorrer:
i) w não é adjacente a u nem a v; seu outro adjacente possui grau diferente de r;
ii) w não é adjacente a u nem a v; seu outro adjacente possui grau r;
iii) w é adjacente a u ou a v.
Seja G", com n vértices, obtido de G' pela exclusão do vértice w e pela inclusão
de um 2-vértice adjacente a u e v. Então, respectivamente, ocorre o seguinte para
G":
i) o(r) = x +I, contrariando a hipótese de que os mops (%r)-maxregular
possuem o(r) = x;
ii) e iii) o(r) = x e o(r- 1) 2 1, contrariando a suposição.
Portanto, existe um mop (n,r)-maxregular e com pelo menos um vértice de
grau r - 1.
Corolário 5.4 Se todos os grafos periplanares maximais (%r)-maxregulares
possuem o(r - 1) = 0, então os grafos periplanares maximais
(n+l,r)-maxregulares possuem a mesma freqüência de vértices de
graus r, o(r), que os (n,r)-maxregulares.
CAPÍTULO VI
Equilibradores em MOPs
VI.1 Introdução
No capítulo anterior, caracterizamos os grafos (n,r)-maxregulares, 2 I r I 4,
utilizando somente resultados básicos sobre mops. Entretanto, para determinar as
famílias de mops (n,r)-maxregulares, r 2 5, como veremos no próximo capítulo, será
preciso utilizar também a estratégia da manutenção do "equilíbrio entre os graus dos
vértices": quando o grau de um vértice aumenta muito além da média, é necessário que
existam vértices de graus abaixo da média, tendo em vista o somatório dos graus de um
mop ser exato.
Assim, o conceito de equilibradores surgiu da necessidade de estabelecermos uma
regra construtiva para mops ($r)-maxregulares, r 2 5, partindo da distribuição dos 4n - 6
graus pelos n vértices, observando a média aproximada 4. Entretanto, as definições e
resultados que apresentamos são aplicáveis a qualquer mop e permitem estudar as
possibilidades de particionarnento de seus vértices, quando classifícados segundo o
conceito de equilibradores. Cabe ressaltar, ainda, que esse conceito, desenvolvido de
forma apropriada para a família dos mops, pode ser estendido a qualquer outra família de
grafos, e ser útil na sua caracterização, onde a média dos graus seja parâmetro
importante.
Terminamos este capítulo mostrando, no teorema 6.2, que de fato os únicos
mops que não se utilizam de equilibradores são os (n,4)-maxregulares, porque não
possuem vértices de graus superiores a 4.
VL2 Definições, Resultados e Exemplos
Em qualquer mop com n 2 6, todo vértice de grau maior que 4 deve ser
"equilibrado" por vértices de grau inferior a 4. Entretanto, como a soma de todos os seus
graus não é um múltiplo de 4, nem todos os vértices de grau inferior a 4 poderão ser
utilizados como equilibradores. Assim, para os vértices de um mop qualquer G(V,E),
com n 2 6, definimos:
(i) Um vértice x é equilibrado se, e somente se, seu grau é 4, ou seja, d(x) = 4. O
conjunto desses vértices será notado por Q = (x E VI d(x) = 4);
(ii) Consideremos os subconjuntos S e I de V, que, respectivamente, possuem todos
os vértices de grau superior e inferior a 4. Isto é, S = (x E VI d(x) > 4) e
I = (x E VI d(x) < 43. Temos, então, que S, Q e I são subconjuntos disjuntos de
V e a coleção dos não vazios forma uma partição de V.
(iii) Dado X c S e X ;t 0, se existe Y c I, Y # 0 , tal que x €X y c Y =4, 1x1 + IYI
dizemos que Y é equilibrador de X e denotamos Y = EQx. Dizemos, ainda, que
X determina um equilibrador. Se X = S, então EQs é dito ser um equilibrador do
mop G. S sempre determina um equilibrador, como será provado no lema 6.2.
(iv) O conjunto N = I - EQs é constituído pelos vértices denominados
não-equilibradores. O lema 6.3 garante ser N # 0 e determina limites para sua
cardinalidade.
(v) Consideremos os seguintes parâmetros:
õ (2) = a frequência dos vértices de grau 2 em N;
õ (3) = a Erequência dos vértices de grau 3 em N;
Para um dado X c S,
ox(2) = a freqüência dos vértices de grau 2 em EQx;
ox(3) = a freqüência dos vértices de grau 3 em EQx.
Então, temos: IEQx I = ox(2) + ox(3),
o(2) = os(2) + õ (2) e
a(3) = os(3) + õ (3).
(vi) Seja ( V,, V, ,. . ., V, ) a partição de V pelos subconjuntos de vértices de
mesmo grau ri, 1 5 i I k. Por conveniência, consideremos 9 para representar a
união dos conjuntos disjuntos determinados por esta partição. Assim, V =
V, 8 V, @ . . . 8 V, ressalta a ocorrência dos graus dos vértices do mop, com
k
suas respectivas f?reqüências, dada pela equação IVI = C o (r, ) . i = l
Lema 6.1 Se o subconjunto não vazio X c S determina um equilibrador, então
Prova: Seja X c S, X # 0, que determina um equilibrador. O resultado segue das
definições (iii) e (v), de onde obtemos C d(x) - 41x1 = 4JEQxl - C d(y) e x e X Y E EQx
4lEQxl- C d(y) = 4(ox(2) + M 3 ) ) - ( 2 ~ 4 2 ) + 3wx(3)), respectivamente. Y EEQX
Lema 6.2 S sempre determina um equilibrador.
Prova: Seja G(V,E) um mop qualquer. Do teorema 4.4 e dos seus corolários, G possui
uma dentre as três possibilidades seguintes: (i) 0(2) 2 2, 0(3) 2 2 e 0(4) 2 0;
no primeiro caso, tomemos H c I, H = I - {vi, v2, ~ 3 , v4), onde v2, v3, v4 E 1,
d(vl) = d(v2) = 2 e d(v3) = d(v4) = 3. Então, como 111 = [H1 + 4 e C d(z) = z e1
C d(z) + i O, temos que z e H
Logo, existe EQx = H. Se G está em qualquer dos dois últimos casos, tomemos
H c i, H = i - {VI, v2, v3f7 onde VI, v2, v3 E I, d(v1) = d(v2) = 4 ~ 3 ) = 2.
Fazendo, 111 = [H1 + 3 e C d(z) = C d(z) + 6 no cálculo do caso anterior, fica z e1 z eH
provado o lema.
Dos dois últimos lemas, obtemos o seguinte corolário:
Corolário 6.1 C d(x) - 4 1 SI = 2042) + 043) x € S
O próximo lema garante que o conjunto dos não equilibradores N é sempre não
vazio e determina condições para a sua cardinalidade.
Lema 6.3 N = I - EQs ;t 0 e N é constituído por uma entre as quatro seguintes
possibilidades:
somente 3 vértices de grau 2
(õ(2) = 3; õ (3 ) = 0);
2 vértices de grau 2 e 2 vértices de grau 3
( E (2) = 2; õ (3) = 2);
1 vértice de grau 2 e 4 vértices de grau 3
(õ(2) = 1; õ(3) = 4);
somente 6 vértices de grau 3
(C (2) = 0; õ (3) = 6);
Prova: Suponhamos N = 0. Isto acarreta os(2) = o(2) e os(3) = o(3). Então, pelo
corolário anterior e dado que ISI = n - (o(4) + a(3) + 0(2)), obtemos
z d ( x ) + 40(4) + 3o(3) + 20(2) = 4% contrariando a soma dos graus de um x € S
mop. Portanto, N = I - EQs + 0.
Vamos, agora, determinar a cardinalidade de N, que pela definição (v) é dada
por 0 (2) + õ (3).
Da /SI e dado que z d ( x ) = 4n - 6 - (40(4) + 30(3) + 20(2)), obtemos, x € S
pelo corolário anterior, 2 (o(2) - 0, (2)) + (o(3) - os (3)) = 6, o que acarreta
20(2) + õ(3) = 6. Como õ(2) e õ (3 ) são inteiros positivos, a igualdade
anterior se verifica somente para
(i) õ ( 2 ) = 3 e õ ( 3 ) = 0 ;
(ii) õ ( 2 ) = 2 e õ ( 3 ) = 2 ;
(Ui) õ ( 2 ) = 1 e õ ( 3 ) = 4 ;
(iv) õ ( 2 ) = O e õ ( 3 ) = 6 . . No caso dos mops serpentinas, por exemplo, o conjunto N é determinado de
forma única com õ (2 ) = 2 e õ (3 ) = 2, porque sendo S = 0, temos EQs = 0 e,
conseqüentemente, N = I e V = N $ Q. O exemplo a seguir mostra que, num mop
qualquer, EQs e N não são necessariamente únicos.
Embora possamos determinar os conjuntos N de um mop diretamente do lema
6.3, vamos, como exemplo, encontrar um EQs do mop G(V,E) da figura 6.1 e, depois,
obter N pela diferença I - EQs. Podemos escrever V = V2 Q V3 Q V4 $ V5 G3 V6 G3 V7,
onde: V2 = (a, 1); V3 = (b, c, d, e, h, i, j, n, P); V4 = (o);
v , = ( c & V6 = {m) v7 = {q) - Então,
S = V5 $V6$V7 = ( c g, m, q);
Q = V4= (o);
I=V2$V3={a,1 ,b ,c ,d ,e ,h , i , j ,p) .
Do corolário 6.1, 7 = 2 ~ 4 2 ) + os(3). Sendo, esta, uma equação de inteiros não
negativos, obtemos as seguintes possibilidades de solução:
(i) os(2) = 3; os(3) = 1;
(ii) os(2) = 2; 0.43) = 3;
(iii) 042) = 1; os(3) = 5;
(iv) os(2) = O; os(3) = 7.
Como o(2) = 2 e o(3) = 9, a primeira possibilidade é descartada imediatamente,
restando-nos as demais, dentre as quais escolhemos a última. Para (EQsl = 7, uma vez
que temos 9 vértices de grau 3 em G, podemos obter 36 EQs distintos, e,
consequentemente, um N para cada um deles. Por exemplo, tomando-se EQs =
{ b, c, d, e, h, i, j), determinamos N = {a, 1, n, p) .
figura 6.1 : mop, cuja partição S = V5 @V6 @V7 determina uma partição de algum EQs.
Podemos observar ainda que, neste exemplo, considerando-se EQs constituído
somente por vértices de grau 3, os subconjuntos V5 , V6 e V7 não determinam uma
partição de EQs. verificamos, entretanto, que para o mesmo exemplo (figura 6.1),
tomando-se EQs7 constituído por dois vértices de grau 2 e três vértices de grau 3, os
subconjuntos V5 , V6 e V7 determinam equilibradores EQv5, EQv6 e EQv, tais que
EQs'= EQv5 8 EQv6 8 EQvl . Ou seja, a partição S = V5 $V6 @V7 determina a partição
de equilibradores EQs'= EQv5 8 EQv6 8 EQvl . Portanto, para o mop de figura 6.1, a
partição S = V5 $V6 8V7 determina uma partição de equilibradores, para algum
equilibrador do mop. No próximo exemplo, mostramos que isso nem sempre é possível.
Seja o mop G(V,E) da figura 6.2. Nesse mop, temos
V2 = {a, d, f , h, j, m, o); V3 = 0; V4 = {b, i, p) ;
V5 = {c, e7 g); V6={n); V7={1).
Pelo lema 6.3, como não há vértices de grau 3 nesse grafo, temos que a única
possibilidade para N é dada por õ (2) = 3 e õ (3) = O. Escolhendo-se N = {a, d, 0,
temos EQs = (h, i, m, o) c V2. Neste caso, S = V5 @V6 @V7 não determina a
partição correspondente de equilibradores, pois V5 e V7 não determinam equilibradores.
Para que V5 determinasse um equilibrador, a equação resultante 3 = 2 o v5 (2) + 0 v5 (3)
deveria ter solução inteira positiva, o que não é possivel porque o(3) = 0. O mesmo
ocorre para V7.
figura 6.2: mop, cuja partição S = V5 @v6 @V7 não determina uma partição de EQs,
porque V5 e V7 não determinam equilibradores.
O teorema a seguir nos diz que V,, r 2 5, sempre determina um equilibrador,
exceto quando r e o(r) são ambos ímpares e o mop não possui vértice de grau 3.
Teorema 6.1 Seja r 2 5. Vr determina equilibrador num mop G se, e somente
se, uma das alternativas seguintes é verificada:
(i) r ou o(r) é par;
(ii) r e o(r) são ambos ímpares e a(3) # O em G.
Prova: Seja um mop G com r 2 5 e o(r) # O .
( ) Suponhamos que Vr determina equilibrador. Então, pelo lema 6.1, temos
(r - 4)o(r) = 2 o v (2) + o (3), onde o (2) e o (3) são inteiros não
negativos. Daí, o vr (3) = (r - 4)o(r) - 2 0 (2) é um inteiro, implicando em duas
possibilidades para G:
(i) r ou o(r) é par;
(i) r e o(r) são ambos ímpares e o(3) # 0.
(c) (i) Suponhamos que r ou w(r) seja par. Então, - 4)w(r) é inteiro. Daí, 2
existe um EQvr constituído de o - 4b(r)} e wvr(3) = 2
(r - 4) @(r) - 2 0 vr (2). Portanto, V, determina equilibrador.
(ii) Suponhamos que r e w(r) sejam ambos ímpares e que w(3) # 0. Se w(3) 2
(r - 4)o(r), então existe EQvr constituído de w vr (3) = (r - 4)w(r) e w vr (2) = 0.
Se 1 1 w(3) < (r - 4)o(r), então existe EQvr constituído de 0 vr (3) = 2k + 1,
onde k é o maior inteiro não negativo tal que 2k + 1 1 w(3) e w vr (2) =
(r - 4b(r ) - a vr (3) 2
, que é inteiro, porque (r - 4)w(r) -o vr (3) é par. Portanto,
V, determina equilibrador.
O teorema anterior caracteriza a existência dos equilibradores de V,
isoladamente. Porém, isto não é suficiente para garantir que a partição dos vértices de
graus superiores a 4, S = Vrj @ Vrj+, @ . . . @ V, , onde r, > 5, determina a partição de
EQs = EQ v 0 EQ @ . . . @ EQ , para algum EQs. Por exemplo, o mop G(V,E) da
figura 6.3, possui: 0(2) = 9; w(3) = 1; w(4) = 4; w(5) = 3; 4 6 ) = 1; w(7) = 1; 4 9 ) = 1.
Como w(3) = 1, somente a alternativa (i) do lema 6.3 é válida e, então, o conjunto N,
dos vértices não equilibradores de G, possui õ (2) = 3 e õ (3) = O. Portanto, o42) = 6 e
os(3) = 1. Como 0(5), w(7) e w(9) são ímpares, o único vértice de grau 3 em G
pertence, simultaneamente, aos equilibradores de V5, V7 e Vg. Neste caso, então, S =
V5 @ V6 8 V7 @ V9 não determina uma partição de EQs, qualquer que seja EQs.
figura 6.3 : mop, cuja partição S = V5 @V6 @V7 @V9 não determina uma partição de EQs,
embora cada Vi , i = 5,6 ,7 e 9, determine o seu equilibrador correspondente.
O teorema a seguir mostra que os únicos mops que não se utilizam de
equilibradores são os (n,4)-maxregulares, ou seja, os serpentinas e o coroa de n = 6
vértices. Por esta razão, passamos a denominá-los mops equilibrados.
Teorema 6.2 O único mop, com n > 6, que não possui vértices de graus maiores
que 4 é o serpentina S,. Para n = 6, os únicos mops nestas
condições são o serpentina Sg OU O coroa C1.
Prova: Se G possui S = 0, então EQs = 0 . Daí, I = N, isto é, os únicos vértices
que possuem graus menores que 4 são os não-equilibradores. Daí, os graus
dos vértices de G ou são 4 ou são correspondentes ao conjunto dos
não-equilibradores. Pelo lema 6.3 e pelos teoremas 4.4, 4.5 e 4.7, G = S, ou
G = C i .
CAPÍTULO VII
Equilibradores e Maxregularidade
VII.1 Introdução
Nosso objetivo, neste capítulo, é caracterizar os mops (n,r)-maxregulares, para
r 2 5. Os resultados básicos sobre mops não foram suficientes neste caso. Utilizamos,
então, um procedimento construtivo, fundamentado no conceito de equilibradores
estudado no capítulo VI.
Construímos, inicialmente, os mops básicos (n,r)-maxregulares, onde os valores
de n são convenientemente determinados a partir do r. Em seguida, caracterizamos os
mops (n,r)-maxregulares para os demais valores de n. Essa construção é feita em duas
etapas: uma para r = 5 e outra para r 2 6. Como conseqüência desse processo
construtivo, estabelecemos uma classificação para os mops (%r)-maxregulares, r 2 5:
básicos e não-básicos.
O procedimento de construção proposto parte da média dos graus dos n
vértices de qualquer mop, que aproximadamente é 4 e resulta da distribuição da soma
exata dos seus graus, 4n - 6. Esta é uma condição necessária, mas não suficiente, para
realizar mops. Outras condições necessárias para que uma fi-equência de graus tenha um
mop como sua realização, estudadas no capítulo IV, serão também consideradas. Assim,
para caracterizar os mops (n,r)-maxregulares, r 2 5, vamos adotar a seguinte
metodologia:
1". determinar freqüências de graus, que satisfaçam a algumas condições
necessárias para mops;
2". estudar a realização para mops das freqüências de graus encontradas.
VIL2 Regras Básicas de Construção dos MOPs @r)-Maxregulares: r 2 5
Como vimos no capítulo anterior, num mop qualquer n = \SI + 111 + o(4), onde S
e I são, respectivamente, os conjuntos dos vértices de graus superiores e inferiores a 4 e
o(4) é a quantidade de vértices de grau 4. Além disso, o conjunto I sempre pode ser
particionado em equilibradores de S e em não equilibradores, isto é, I = EQs8N,
resultando:
~ ( r ) = n -
Então, dados n e r, r 2 5, se desejamos construir mops ($r)-maxregulares
considerando-se a equação (I), obtemos o o(r) máximo, ao minimizmos a soma
IEQ,~ + /N/ + c o(i). N e EQs (desde que S # 0 ) são ambos não vazios e i > 4 e i z r
constituídos somente de vértices de graus 2 e 3, onde 3 I INI I 6, pelo lema 6.3.
A partir dessas considerações, iniciamos o procedimento de construção,
acrescentando-se as hipóteses simplificadoras S = V, e Q = 0, o que acarreta
C @(i) = O. Com isso e pelo colorário 5.4, obtemos o(r)(r - 4) = C (4 - d(y)). i > 4 e i # r Y c EQs
Assim, temos IEQsl mínima, quando EQs possui o maior número possível de
vértices de grau 2. Dado que
isto acontece quando os(3) é mínimo.
Vamos mostrar, entretanto, que o conjunto EQs pode ser formado somente por
vértices de grau 2, quando r = 5 ou r = 6. Para r 2 7, encontraremos os(2) = o(r) e,
consequentemente, os(3) = (r - 6) @(r).
Pelo teorema 4.2, nos mops diferentes de Lk,
limitando a quantidade de vértices de grau 2 em EQs. De (2), (3) e como w(2) =
0142) + õ(2), a seguinte inequação deve ser satisfeita:
L
Do lema 6.3, õ (2) tem valor máximo igual a 3, enquanto que os(2) pode se tornar tão
grande quanto o(r). Assim, para a formulação das regras básicas devemos desprezar
ainda õ (2), resultando nas inequações:
Então, de acordo com (2) e (5), EQs pode ser formado exclusivamente de vértices de
grau 2, somente quando r = 5 ou r = 6. Quando r 2 7, podemos ter no máximo os(2) =
o(r), o que implica em os(3) = (r - 6)o(r). Vale observar que r = 6 pode ser tratado em
qualquer dos dois casos.
Com base em todas essas considerações, formulamos as duas regras básicas a
seguir, que iniciam o processo de construção dos mops (n,r)-maxregulares. Elas nos
fornecem os equilibradores EQvr de cardinalidade mínima, considerando-se como dado
o valor de o(r).
Regra básica 1: r = 5
O, se m(5) é par; 0 v, (3) = 1, se w(5) é ímpar.
Regra básica 2: r 2 6
vr ( 2 ) =
o v, (3) = (r - 6)o(r).
A partir destas regras, serão, então, construídas freqüências para mops de modo
que seja determinado um valor mínimo para n, incluindo-se aí não só o o(r) dado e a
cardinalidade de EQvr calculada, mas também a cardinalidade de N. Obviamente, neste
caso, S = V, e, sempre que possível, o(4) = O. A esse processo de obtenção de uma
frequência de graus para mops denominamos construção básica e os mops assim obtidos
são chamados mops básicos. Na próxima seção, a determinação dos mops (&r)-
maxregulares inicia-se pela construção básica dos mesmos.
VI13 MOPs (n,5)-Maxregulares
Iniciamos esta seção determinando os valores de n para os quais os mops básicos
(n,5)-maxregulares existem, caracterizando-os. A partir deles, serão caracterizados os
mops (n,5)-maxregulares para os demais valores de n, que chamaremos mops
não-básicos (n,5)-maxregulares.
MOPs Básicos (n,S)-Maxregulares
Consideremos a construção de mops (n,5)-maxregulares pela regra
básica 1. Grosso modo, dois terços dos vértices recebem grau 5 e o restante grau 2.
Evidentemente, pelo teorema 4.4, mops constituídos somente de vértices de grau 2 e 5
não existem. Daí a necessidade da segunda fase, onde a frequência de graus obtida é
transformada numa freqüência de graus realizável para mops.
Seja uma frequência de graus onde a(5) = 2x e a(2) = x. Para tornar esta
freqüência realizável para mop, devemos acrescentar os vértices de um conjunto V',
satisfazendo as seguintes condições:
i) V' deve ser de cardinalidade mínima, para garantir que a(5) = 2x seja máximo em
n - Iv'~ relação ao n obtido. Isto porque, sendo n = 2x + x + IV'I, temos x =
3 '
ii) pelo lema 6.3, V' deve conter N, o conjunto dos não equilibradores;
iii) pelo teorema 4.4, a freqüência obtida com a inclusão de V' deve satisfazer a
desigualdade a(3) + a(4) 2 2;
iv) pelo corolário 3.5, (4 - d(v)) = 6. Então, neste caso, V' deve ser constituído de V E V '
dois vértices de grau 2 e dois vértices de grau 3, implicando V' = N, quando 6 (2) = 2 e
õ (3) = 2. Qualquer outra alternativa para N acarretaria uma cardinalidade maior a V'.
Assim, a frequência de graus até agora obtida totaliza: n = 3x + 4, onde 4 5 ) = 2x,
a(2) = x + 2 e 4 3 ) = 2.
Definimos mops básicos (n,5)-mmegulares como os obtidos da construção
básica, resultante da regra básica 1, tendo n = 3x + 4 vértices, cuja frequência de graus é
dada por 4 5 ) = 2x, a(2) = x + 2 e a(3) = 2. De imediato, pelo teorema 4.2, esta
freqüência de graus é inviável para x = 1. Fazendo k = x + 1, os próximos resultados
mostram que os mops básicos (n,5)-maxregulares existem, somente, para k 2 3 e
k ímpar.
Lema 7.1 Não existe mop com n = 3k + 1 vértices, k 2 2 e k par, possuindo
4 5 ) = 2k - 2; 4 2 ) = k + 1; a(3) = 2.
Prova: Por indução.
i) Seja k = 2. Então, n = 7,0(5) = 1, a(2) = 3 e a(3) = 2. Pelo teorema 4.2, esta
frequência não realiza mop.
ii) Suponhamos, por hipótese de indução, que para k = p 2 6, p par, não exista
mop com n = 3p + 1 vértices possuindo 0(5) = 2p - 2; a(2) = p + 1; a(3) = 2.
iii) Seja k = p + 2. Suponhamos, por absurdo, que exista um mop G possuindo
n = 3(p + 2) + 1, 0(5) = 2(p + 2) - 2; 0(2) = (p + 2) + 1; 0(3) = 2. Pelos
corolários 4.1, 4.2 e 4.8, a subsequência [5,2,3,5] ocorre duas vezes
(possivelmente, numa das vezes ocorra o seu reverso) em sgh-G. Pelo corolário
4.3, em sgh-G não pode ocorrer a subsequência [3,2,5,2,3]. Também não pode
ocorrer a subsequência [5,2,3,5,2,3,5], pois se sgh-G = Ao[5,2,3,5,2,3,5], onde A
é uma cadeia formada somente de 5 e 2, obtemos, pela retirada de todos os
valores 2, uma sgh-G' = A'o[a]o[2,4,2]o[b], onde A' é uma cadeia que não
contém 2, a E (3,4) e b E (4,5). Mas, independente do valor de b, se a = 3 ou
a = 4 temos, respectivamente, pelo corolário 4.3 e pelo teorema 4.3 que G' não é
um mop, contrariando o corolário 3.7. Analogamente, [5,5,2,3,5] não ocorre em
sgh-G. Então, em sgh-G ocorre a subsequência [5,2,5,2,3,5]. Como a
subsequência [2,5,2,5,2,3,5,2] é proibida para mops diferentes de G2 da figura
7.1, temos que em sgh-G ocorre necessariamente uma das duas subsequências
seguintes: [5,2,5,2,5,2,3,5,5] ou [5,5,2,5,2,3,5,2,5]. Suponhamos que sgh-G =
A0[5,2,5,2,5,2,3,~,~]. Retirando seis vezes, sucessivamente, o valor 2 mais a
esquerda de cada sgh resultante, obtemos sgh-G' = Ao[5,2,3]. Pelo corolário
3.7, G' é um mop. Mas G' possui n = 3(p + 2) + 1 - 6, 0(5) = 2(p + 2) - 2 - 4;
0(2) = (p + 2) + 1 - 2; 0(3) = 2. Ou seja, o mop G' possui n = 3p + 1, 0(5) =
2p - 2; 0(2) = p + 1; 4 3 ) = 2, contrariando a hipótese de indução. O mesmo
ocorrese sgh-G=Bo[5,5,2,5,2,3,5,2,5].
figura 7.1: mop G1 e duas subseqiiências proibidas, resultantes da aplicação do teorema 4.1.
MOP
Lema 7.2 Seja G é um grafo periplanar maximal com n = 3k + 1 vértices, k 2 3 e k
ímpar. G é (~5)-maxregular se, e somente se, G possui 0(5) = 2k - 2.
Subsequências Proibidas 1
Prova: Seja G um grafo periplanar maximal com n = 3k + 1 vértices, k 2 3 e k ímpar.
( 3 ) Suponhamos que G seja (n,5)-maxregular. A família de mops definida por
k - 1 k - l
sgh-M = [2,3]0[5,2,5]~ 0[2,3]0 [5,2,512, mostra a existência de mops básicos
(n,5)-maxregulares obtidos para n = 3k + 1, k 2 3 e k ímpar. A figura 7.2 ilustra
o rnop básico de ordem n = 16 desta família. Portanto, qualquer rnop
(3k+l,5)-maxregular, para k 2 3 e k ímpar, possui 4 5 ) = 2k - 2. Logo, G possui
a(5) = 2k - 2.
Suponhamos que G possua a(5) = 2k - 2. Para k 2 3 e k ímpar, mops com essas
características existem, tendo em vista as famílias definidas na primeira parte
desta prova. Suponhamos que exista um rnop G' com 0(5) = 2k - 1. Então, os
k + 2 vértices restantes possuem juntos 2k + 3, contrariando o fato de que 2 é o
menor grau possível de um mop. Portanto, G possui a maior quantidade
possível de vértices de grau 5, ou seja, G é (n,5)-maxregular.
Corolário 7.1
figura 7.2: um rnop básico (16,5)-maxreguiar.
Seja G um grafo periplanar maximal com n = 3k + 1 vértices,
k 2 3 e k ímpar. G é (n,5)-maxregular se, e somente se, G possui
a(5) = 2k - 2; a(2) = k + 1; 4 3 ) = 2 e é básico.
Prova:
( 3 ) Suponhamos que G seja um rnop (n,5)-maxregular com n = 3k + 1, k 2 2 e
k ímpar. Pelo lema 7.2, G possui 0(5) = 2k - 2. O teorema 4.4 e o corolário 3.5
garantem que a freqüência de graus 4 5 ) = 2k - 2, a(2) = k + 1 e a(3) = 2, é a
única possível de ser obtida para mops, quando ~ ( 5 ) = 2k - 2. Então, G é uma
realização desta freqüência e, por definição, um rnop básico (n,5)-maxregular.
(c) Suponhamos que G seja a realização da frequência a(5) = 2k - 2, 0(2) = k + 1 e
a(3) = 2, onde n = 3k + 1, k 2 2 e k ímpar, isto é, G seja básico. Por construção,
G possui 0(5) máximo. Logo, G é (n,5)-maxregular. I
É interessante observar que, embora a frequência de graus determinada pela
construção básica dos (n,5)-maxregulares seja única, podemos construir mops básicos
(n,5)-maxregulares não isomorfos, ou seja, construir sgh distintas, a partir da frequência
de graus obtida pela construção básica. Por exemplo, os mops da família definida por
k - 3 k - 3
sgh-G = [2 ,5 ,2 ,3 ,5 ]0[5 ,2 ,5 ]~0[2 ,5 ,2 ,3 ,5 ]0[5 ,2 ,5 ]~ também satisfazem as condições do
corolário 7.1. A figura 7.3 mostra o rnop de ordem n = 16 desta família.
figura 7.3: rnop básico (16,5)-maxregular, não isomorfo ao da figura 7.2.
Corolário 7.2 Em todos os mops (n,5)-maxregulares com n = 3k + 1 vértices,
k 2 3 e k ímpar,a(4)=0.
Prova: Imediata do corolário 7.1. I
Corolário 7.3 Todo mop com n = 3k + 1 vértices, k 2 2 e k par, possui
0(5) < 2k - 2.
Prova: Pela construção básica de mops (n,5)-maxregulares, teorema 4.4 e corolário 3.5,
todo rnop com n = 3k +I, k 2 3, vértices possui no máximo 0(5) = 2k - 2. Além
disso, existe uma única freqüência de graus atingindo este máximo, dada por
a(5) = 2k - 2; a(2) = k + 1; 0(3) = 2. Pelo lema 7.1, esta frequência não realiza
rnop quando k é par. Portanto, todo rnop com n = 3k + 1 vértices, k 2 2 e k
par, possui 0(5) < 2k - 2.
O lema 7.2 caracteriza os mops (n,5)-maxregulares para n = 3k + 1, k 2 3 e k
ímpar. Precisamos, ainda, descobrir como e quais são as frequências que realizam mops
(45)-maxregulares para os demais valores de n. Algumas informações já obtivemos dos
resultados anteriores, como por exemplo, para k par, necessariamente, um mop
(3k+l,5)-maxregular é não-básico e possui 0(5) < 2k - 2. A próxima seção trata dos
mops não-básicos (n,5)-maxregulares.
ViI.3.2 MOPs Não-Básicos (n,5)-Maxregulares
Os mops básicos (n,5)-maxregulares foram construídos, na seção anterior, pela
utilização da regra básica 1 e possuem n = 3k + 1 vértices, para k 2 2 e k ímpar. Nesta
seção, caracterizamos os mops (45)-maxregulares para os demais valores de n, ou seja,
os mops não-básicos (n,r)-maxregulares. A construção dos mops (3 k+ l,5)-maxregular,
quando k 2 2 e k é par, leva em conta o corolário 7.3 anterior. Na caracterização dos
demais mops (n,5)-maxregulares, consideramos a inclusão de um 2-vértices as possíveis
frequências de graus dos mops (n-l,5)-maxregulares. Neste caso, o valor de 4 5 ) do
mop (n-1,5)-maxregular é tomado como limite inferior para 0(5) do mop (n,5)-
maxregular. Na próxima seção, apresentamos o teorema de caracterização dos mops
(n,5)-maxregulares, que sintetiza todos esses resultados.
Lema 7.3 Seja G um grafo periplanar maximal com n = 3k + 1 vértices, k 2 2 e k
par. G é (n,5)-maxregular se, e somente se, G possui 4 5 ) = 2k - 3.
Prova: Seja G um mop com n = 3k + 1 vértices, k 2 2 e k par.
( ) Suponhamos que G seja (n,5)-maxregular. Pelo corolário 7.3, G possui
0(5) < 2k - 2. Suponhamos que exista um mop G' que possua 0(5) = 2k - 3.
Então, como a soma de todos os graus de G' é 4n - 6, sobram 2k + 13 graus para
serem distribuidos entre os k + 4 vértices restantes. Considerando-se a
biconexidade dos mops e observando-se que 2k + 13 = 2(k + 4) + 5, obtemos
como resultado dessa distribuição, 0(2) = k + 4 - t, 1 5 t 5 5, onde os t vértices
possuem graus maiores que 2, gerados pela decomposição de 5 em t parcelas.
Assim, as 7 possibilidades dessa distribuição nos fornecem as freqüências de
graus, apresentadas na tabela da figura 7.4:
I I
caso 4 2k - 2 k + l I I
caso 5 2k - 3 k + 1
caso 6 1 2k - 3 I I I
figura 7.4: possíveis freqüênci, ; de graus para mops, com 4 5 ) máximo.
Os casos 1, 2 e 3 não são viáveis para mops, pelo teorema 4.4; o caso 4 não é
viável pelo lema 7.1. No caso 7, o teorema 3.2 inviabiliza a freqüência obtida
para k = 2. Nos demais casos, respectivamente, a existência das realizações das
fiequências são mostradas pelas famílias de mops definidas por:
[2,4,2,4,3,2,5], se k = 2 i) sgh-M = k - 4 k - 2
[2,4,2,5]0[5,2,5]20[5,2,4,3,2,5]0[5,2,5]2, se k r 4 e k par;
[2,4,3,3,2,5,3], se k = 2 ii) sgh-M = k - 2 k - 2
[3,2]0[5,2,5]~ 0[5,3,2,4,3]0 [5,2,512, se k 2 4 e k par;
k - 4 k - 4
iii) sgh-M = [3,3,2,5]0[5,2,5]~0[5,3,3,2,5,5,2,3,5]0[5,2,5]~, se k 2 4 e k par;
Os grafos G1, G2 e G3 da figura 7.5 ilustram, respectivamente, os mops de
ordem n = 13 dessas famílias. Portanto, G' pertence a uma destas três famílias,
provando que qualquer mop (3k+l,5)-maxregular, onde k 2 2 e par, possui 4 5 )
= 2k - 3. Logo, G possui a(5) = 2k - 3.
(e) Suponhamos que G possua ~ ( 5 ) = 2k - 3. Mops com essas características
existem, tendo em vista as famílias definidas acima. Pelo corolário 7.3, G é
(n,5)-maxregular.
figura 7.5: mops (3k+l,5)-maxregulares, para k = 4.
Corolário 7.4 Seja G um grafo periplanar maximal com n = 3k + 1 vértices,
k 2 2 e k par. G é (n,5)-maxregular se, e somente se, em G ocorre
uma das seguintes freqüências de graus:
i) ~ ( 5 ) = 2k - 3; ~ ( 2 ) = k + 1; 0(3) = 1; ~ ( 4 ) = 2;
ii) ~ ( 5 ) = 2k - 3; 0(2) = k; ~ ( 3 ) = 3; 0(4) = 1;
iii) ~ ( 5 ) = 2k - 3; 4 2 ) = k - 1; ~ ( 3 ) = 5; 0(4) = 0, para k 2 4.
Prova: Imediata do lema anterior.
Lema 7.4 Seja G um grafo periplanar maximal com n = 3k + 2 vértices, k 2 2. G é
(n,5)-maxregular se, e somente se, G possui ~ ( 5 ) = 2k - 2.
Prova: Seja G um mop com n = 3k + 2 vértices, k 2 2.
(a) Suponhamos que G seja (n75)-maxregular. Se k é ímpar, pelos corolários 5.3 e
5.6 e lema 7.2, G possui ~ ( 5 ) = 2k - 2. Seja k um número par. Suponhamos que
G' seja um mop com 3k + 2 vértices, obtido de um mop G" pela inclusão de um
2-vértice. Se G" não é (3k+175)-maxregular, pelo lema 7.3, G' possui no máximo
~ ( 5 ) = (2k - 4) + 2. Este limite é atingido quando G possui ~ ( 5 ) = 2k - 4, a
sgh-G" contém a cadeia [4,4] e a inclusão do 2-vértice é feita entre os dois
vértices correspondentes a esta cadeia. A figura 7.6 ilustra esta situação, para k =
4. Se G" é (3k+175)-maxregular, pelo corolário 7.4, G possui 0(4) 1 1. Daí, G'
possui no máximo ~ ( 5 ) = (2k - 3) + 1. Este limite é atingido quando G" pertence
a qualquer das duas primeiras famílias definidas no decorrer da prova do lema 7.3
e a inclusão do 2-vértice é feita entre os vértices correspondentes a cadeia [2,4]
que ocorre em sgh-G". Então, para k par, existe mop com 4 5 ) = 2k - 2 e este é
o maior valor possível para a(5). Portanto G possui a(5) = 2k - 2.
Suponhamos que G possua 0(5) = 2k - 2. Mops com essas características
existem. Como exemplo citamos: para k par, os obtidos dos mops pertencentes as
duas primeiras famílias definidas no decorrer da prova do lema 7.3, pela adicão
de um 2-vértice entre os vértices correspondentes a cadeia [2,4]; para k ímpar, os
obtidos dos mops básicos pela inclusão de um 2-vértice entre os vértices
correspondentes a cadeia [2,3]. Suponhamos que exista um mop G' com 4 5 ) =
2k - 1. Daí, considerando-se a biconexidade de G' e sabendo-se que a soma de
todos os graus de seus vértices é 4n - 6, a única freqüência de graus possível
para G' é a(5) = 2k - 1, a(2) = k +2, 4 3 ) = 1, contrariando o teorema 4.4.
Portanto, G é (45)-maxregular.
Corolário 7.5
figura 7.6: mop com 13 vértices, que não é (3k+l,5)-maxregular,
possuindo m(5) = 4 e em cuja sgh ocorre a cadeia [4,4].
Seja G um grafo periplanar maximal com n = 3k + 2 vértices,
k r 2. G é (n,5)-maxregular se, e somente se, em G ocorre uma
das seguintes freqüências de graus:
i) a(5) = 2k - 2; a(2) = k + 2; 4 3 ) = 0; 4 4 ) = 2, para k par.
ii) a(5) = 2k - 2; a(2) = k + 1; a(3) = 2; 4 4 ) = 1;
iii) a(5) = 2k - 2; a(2) = k; a(3) = 4; a(4) = 0.
Prova: Seja G um mop com n = 3k + 2 vértices, k 2 2.
(3) Suponhamos que G seja (n,5)-maxregular. Pelo lema anterior, G possui 4 5 ) =
2k - 2. Daí, como a soma de todos os graus de G é 4n - 6, sobram 2k + 12 graus
para serem distribuidos entre os k + 4 vértices restantes. Considerando-se a
biconexidade dos mops e observando-se que 2k + 12 = 2(k + 4) + 4, obtemos
como resultado dessa distribuição, 0(2) = k + 4 - t, 1 5 t 1 4, onde os t vértices
possuem graus maiores que 2, gerados pela decomposição de 4 em t parcelas.
Assim, as 5 possibilidades dessa distribuição nos fornecem as freqüências de
graus, apresentadas na tabela da figura 7.7:
figura 7.7: possíveis freqüências de graus para mops, com 4 5 ) máximo.
Os casos 1 e 2 não são viáveis para mops, pelo teorema 4.4. O terceiro caso não
realiza mop quando k é ímpar. Caso contrário, suponhamos G' um mop com
0(5) = 2k - 2, m(2) = k + 2 e 0(4) = 2. Como, pelo corolário 4.10, a cadeia
[2,4,2] ocorre duas vezes em sgh-G', podemos obter um mop G" com n =
3k + 4 pela inclusão de dois 2-vértices em G' entre os vértices de grau 2 e 4 em
cada uma dessas ocorrências. Então, fazendo k' = k + 1, G" possui 3k7 + 1
vértices com 0(5) = 2k' - 2, 0(2) = k' + 1, 0(3) = 2 e 0(4) = 0, onde k' é par,
contrariando o lema 7.1. Nos demais casos, a realização das freqüências é
garantida, respectivamente, pelas seguintes famílias de mops: k - 2 k - 2
i) sgh-G = [2,4,2,5]0[5,2,5]20[2,4,2,5]0[5,2,5]2, quando k é par e k 2 2;
k - 2 k - 2 [2,3]0[5,2,5]2~[5,2,3,4,2,5]0[5,2,5]2, se k é p a r e k 2 2 ;
ii) sgh-G = k - 1 k - l
[2,3]0 [5,2,512 0[3,2,4]0 [5,2,512, se k é ímpar e k 2 2;
Ui) sgh-G = I k - 3 k - 1
[2,3,3,5]0[5,2,5]~0[3,2,5,3]0[5,2,5]~, se k é ímpar e k 2 2.
Na figura 7.8, os grafos G1, G2 e G4 ilustram, respectivamente, os mops de
ordem n = 14, dessas famílias; os grafos G3 e G5 são mops de ordem 17
pertencentes as duas últimas famílias, respectivamente. Assim, a freqüência de
graus de G é idêntica a um dos três 'ltimos casos, embora G não pertença
necessariamente a uma destas três famílias.
(c) Imediata, pelo lema anterior.
figura 7.8: mops (3k+2,5) -maxregulares, para k = 4 e k = 5 .
Lema 7.5 Seja G um grafo periplanar maximal com n = 3k vértices, k 2 2. G é
(n,5)-maxregular se, e somente se, G possui a(5) = 2k - 3.
Prova: Seja G um mop com n = 3k vértices, k 2 2.
(a) Suponhamos que G seja (n75)-maxregular. Se k = 2, pelo teorema 5.5, G = Lg,
que possui 0(5) = 2k - 3; a(2) = k ; a(3) = 3. Seja k 2 3. Suponhamos que G'
seja um mop com n = 3 k - 1 vértices, ou seja, n = 3 k' + 2, onde k' = k - 1, obtido
de um mop G" pela inclusão de um 2-vértice. Se G" não é (3k'+2,5)-
maxregular, pelo lema 7.4, G' possui no máximo a(5) = (2k7 - 3) + 2. Este limite
é atingido quando G possui a(5) = 2k' - 3, a sgh-G contém a cadeia [4,4] e a
inclusão do 2-vértice é feita entre os dois vértices correspondentes a esta cadeia.
A figura 7.9 ilustra esta situação, para k' = 4. Se G é (3k7+2,5)-maxregular,
pelo corolário 7.5, G" possui a(4) 5 2. Porém, pelo corolário 4.10, a cadeia
[4,4] não ocorre nas sghs dos mops (3k7+2,5)-maxregulares com a(4) = 2, pois
nelas a(3) = O. Daí, G' possui no máximo a(5) = (2k7 - 2) + 1. Este limite é
atingido quando G" pertence a qualquer das duas primeiras famílias definidas no
decorrer da prova do corolário 7.5 e a inclusão do 2-vértice é feita entre os
vértices correspondentes a cadeia [2,4] que ocorre em sgh-G. Assim, existe
mop com 4 5 ) = 2k7 - 1, ou seja, a(5) = 2k - 3, e este é o maior valor possível
para a(5). Portanto G possui a(5) = 2k - 3.
(c) Suponhamos que G possua n = 3k vértices e 0(5) = 2k - 3. Mops com esta
característica existem. Como exemplo citamos os obtidos dos mops pertencentes
as duas primeiras famílias definidas no decorrer da prova do corolário 7.5, pela
adicão de um 2-vértice entre os vértices correspondentes a cadeia [2,4].
Suponhamos que exista um mop G' com a(5) = 2k - 2. Daí, considerando-se a
biconexidade e a soma dos graus dos mops, G' possui 4 5 ) = 2k - 2, 4 2 ) =
k +2, contrariando o teorema 4.4. Portanto, G é (n,5)-maxregular.
Corolário 7.6
figura 7.9: mop com 14 vértices, que não é (3k+2,5)-maxregular,
possuindo 4 5 ) = 5 e em cuja sgh ocorre a cadeia [4,4].
Seja G um grafo periplanar maximal com n = 3k vértices, k 2 2.
G é 5-maxregular se, e somente se, em G ocorre uma das duas
freqüências de graus:
i)a(5) =2k - 3; 0(2)= k + 1; a(3) = 1; 0(4)= 1, para kímpar;
ii) a(5) = 2k - 3; a(2) = k ; a(3) = 3.
Prova: Seja G um mop com n = 3k vértices, k 2 2.
(3) Suponhamos que G seja (n,5)-maxregular. Pelo lema anterior, G possui a(5) =
2k - 3. Daí, como a soma de todos os graus de G é 4n - 6, sobram 2k + 9 graus
para serem distribuídos pelos k + 3 vértices restantes. Considerando-se a
biconexidade dos mops e observando-se que 2k + 9 = 2(k + 3) + 3, obtemos
como resultado dessa distribuição, a(2) = k + 3 - t, 1 5 t 5 3, onde os t vértices
possuem graus maiores que 2, gerados pela decomposição de 3 em t parcelas.
Assim, as 3 possibilidades dessa distribuição nos fornecem as freqüências de
graus, apresentadas na tabela da figura 7.10:
O caso 1 é inviável para mops, pelo teorema 4.4. O segundo caso não realiza
mops quando k é par. Caso contrário, suponhamos G' um mop com a(5) =
2k - 3, a(2) = k + 1,043) = 1 e a(4) = 1, onde k seja par. Então, pelo corolário
4.9, a cadeia [2,4,2] ocorre uma vez em sgh-G'. Daí, podemos obter um mop
G" pela inclusão de um 2-vértice em G' entre os vértices correspondentes aos
graus 2 e 4 desta cadeia. Então, G" possui 3k + 1 vértices com 4 5 ) = 2k - 2,
0(2) = k + 1, a(3) = 2 e a(4) = 0, onde k é par, contrariando o corolário 7.4.
Nos demais casos, a realização das freqüências é garantida, respectivamente,
pelas seguintes famílias de mops: k - 1 k - 3
i) sgh-G = [3,2]0[5,2,5]~ o[2,4,2,5]o[5,2,5]2, se k é ímpar e k 2 2
caso 1
caso 2
caso 3
k - 2 k - 2
[3,2]0[5,2,5]20[5,2,3,3]o[5,2,5]2, se k é par e k 2 2; ii) sgh-G =
k - 3 k - 3
[3,2]0[5,2,5]20[5,3,2]2 0[5,2,512, se k é ímpar e k 2 2;
figura 7.10: possíveis freqüências de graus para mops, com 4 5 ) máximo.
k + 2
k + l
k
a(5)
2 k - 2
2 k - 3
2 k - 3
Na figura 7.1 1, o grafo Gi ilustra o mop com n = 15 vértices da primeira família;
os grafos G2 e G3 ilustram, respectivamente, os mops de ordem n = 12 e n = 15
da segunda família.
(e) Imediata, pelo lema anterior.
a(3)
O
1
3
a(4)
O
1
O
VII.3.3
Teorema 7.1
figura 7.11: mops (3k,5)-maxregulares, para k = 4 e k = 5.
Caracterização dos MOPs (n,5)-Maxregulares
Seja G um grafo periplanar maxirnal com n 2 6 vértices. G é
(n,5)-maxregular se, e somente se, G possui
2 (i) 4 5 ) = - (n - 4) - 1,
3 se n = 6k+ 1, k 2 l e
(ii) a ( i ) = 1; (n - 4)] , caso contrário
Prova: Seja G um mop com n 2 6 vértices.
( ) Suponhamos que G seja (n,5)-maxregular. Tomemos n = 3k + i, onde k 2 2 e
i = O, 1,2.
Se i = 1, dos lemas 5.6 e 5.7, temos 0(5) = 2k - 2, quando k é ímpar, e 0(5) =
2k - 3, quando k é par. Para k ímpar, fazendo-se k = 2t + 1, t 2 1, obtemos
2 n = 6t + 4 e 0(5) = 4t = - (n - 4) ; para k par, fazendo-se k = 2t, t 2 1, 3
2 obtemos n = 6 t + 1 e 0(5)= 4 t - 3 = -(n - 4)- 1; 3
Se i = 2, do lema 7.4, temos 0(5) = 2k - 2. Daí, 0(5) = 2 ( n - 2 ) - 2 = 3
n Se i = O, do lema 7.5, temos a(5) = 2k - 3. Daí, a(5) = 2- - 3 = 3
2 Logo, G possui 0(5) = -(n - 4)- 1, se n = 6k + 1, onde k é par e k 2 1, ou 3
a(5) = - (n 4) , caso contrário. L: - 1 (e) Imediata, pelos lemas 5.6, 5.7, 5.8 e 5.9, tomando-se n = 3k + i, i = 0, 1,2. . VII.4 MOPs (n,r)-Maxregulares, r 2 6
Analogamente a construção do mops (n,5)-maxregulares, iniciamos esta seção
determinando os valores de n para os quais são encontradas as freqüências de graus
hamiltonianas dos mops básicos (n,r)-maxregulares, r 2 6, através da regra básica 2.
Primeiro, verificamos a realização destas freqüências para o caso particular r = 6, onde
caracterizamos os mops básicos (n,6)-maxregulares. Em seguida, determinamos os mops
básicos (n,r)-maxregulares, para r 2 7 qualquer. Por fim, caracterizamos os mops (n,r)-
maxregulares, r 2 6, para todo n.
VII.4.1 MOPs Básicos (n,r)-Maxregulares, r 2 6
Consideremos a construção de mops (&r)-maxregulares, r 2 6, pela regra
básica 2. Desejamos obter o valor de n o mais próximo possível da soma
a(r) + 0, (2) + a, (3), que, pela regra básica 2, temos w (2) = a(r) e
1 w, (3) = (r - 6)a(r). Daí, n E (r - 4)w(r). Assim, grosso modo, - dos vértices do r - 4
1 r - 6 mop recebem grau r; - dos vértices do mop recebem grau 2; - dos vértices do r - 4 r - 4
mop recebem grau 3. Uma freqüência assim constituída não realiza um mop, tendo em
vista que os vértices não equilibradores, existentes em qualquer mop, não foram ainda
considerados. A seguir, levando-se em conta outras condições necessárias para mops,
determinamos as freqüências de graus para os mops básicos (n,r)-maxregulares, r 2 6.
Seja uma freqüência de graus onde o(r) = x; w(2) = x; o(3) = (r - 6)x . Para
tornar esta freqüência realizável para mop, devemos acrescentar os vértices de um
conjunto V', satisfazendo as seguintes condições:
i) V' deve ser de cardinalidade mínima, para garantir que o(r) = x seja máximo em
relação ao n obtido;
ii) pelo lema 6.3, V' deve conter N, o conjunto dos não equilibradores;
iii) pelo teorema 4.4, a frequência obtida com a inclusão de V' deve satisfazer a
desigualdade o(3) + o(4) 2 2;
iv) pelo corolário 3.5, (4 - d(v)) = 6. Como neste caso o(r) = o(2), dependendo da v € V'
alternativa tomada para N (que é constituído somente de vértices de grau 2 e 3) devemos
ter ainda alguns vértices de grau 4, para satisfazer a condição necessária expressa no
teorema 4.2. Obtemos, então, os quatro casos a seguir:
caso 1: V' contém N, onde õ (2 ) = 3 e õ (3 ) = O. Então, o(r) = x; o(2) = x + 3;
o(3) = (r - 6)x; o(4) 2 3. Seja 4 4 ) = y. Assim, n = (r - 4)x + 3 + y. Portanto,
n - 3 - y x = . Neste caso, x é máximo quando y = 3; r - 4
caso 2: V' contém N, onde õ (2 ) = 2 e õ (3 ) = 2. Então, o(r) = x; o(2) = x + 2;
o(3) = (r - 6)x + 2; o(4) 2 2. Seja o(4) = y. Assim, n = (r - 4)x + 4 + y. Portanto,
n - 4 - y x = . Neste caso, x é máximo quando y = 2; r - 4
caso 3: V' contém N, onde õ (2 ) = 1 e õ (3 ) = 4. Então, o(r) = x; o(2) = x + 1;
o(3) = (r - 6)x + 4; o(4) r 1. Seja o(4) = y. Assim, n = (r - 4)x + 5 + y. Portanto,
n - 5 - y x = . Neste caso, x é máximo quando y = 1. r - 4
caso 4: V' contém N, onde õ ( 2 ) = O e õ (3 ) = 6. Então, o(r) = x; 4 2 ) = x ;
o(3) = (r - 6)x + 6; o(4) = 0. Assim, n = (r - 4)x + 6.
Em qualquer dos quatro casos n = (r - 4)x + 6, x 2 1, e o valor de o(r) = x
n - 6 máximo é dado por x = - r - 4 '
Definimos mops básicos (v)-maxregulares, r 2 6, como os obtidos da
construção básica, resultante da regra básica 2, tendo n = (r-4)x + 6 vértices, x r 1, cuja
frequência de graus é dada por uma das seguintes alternativas:
i) o(r) = x; 4 2 ) = x + 3; o(3) = (r - 6)x; o(4) = 3;
ii) o(r) = x; o(2) = x + 2; 4 3 ) = (r - 6)x + 2; o(4) = 2;
iU) o(r)=x; 0 (2 )=x+1 ; o(3)=( r -6)x+4; o(4)=1;
iv) o(r) = x; o(2) = x ; o(3) = (r - 6)x + 6; 4 4 ) = 0.
Os próximos lemas estudam a realização destas freqüências de graus para o caso
particular r = 6, onde n é par e n 2 7. Verifica-se, então, que os mops básicos (n,6)-
maxregulares existem, exceto para a frequência de graus obtida no primeiro caso e
quando n # 12.
Lema 7.6 Exceto para n = 12, não existe mop com n vértices, n par, com a seguinte
n - 6 frequência de graus: o(6) = - 2
n - 6 + 3 ; 0 ( 3 ) = 0 ; ~ ( 4 ) = 3 . ; o(2) = - 2
" -6 ; o(2)= - Prova: Seja a freqüência de graus dada por o(6) = - 2
n - 6 +3; o(3)=0; 2
o(4) = 3, paran 2 7 e n par.
Para n = 8 e n = 10, qualquer seqüência de graus formada, a partir da frequência
de graus correspondente, contém a cadeia proibida [2,4,2,4,2] e, portanto, não
realiza mop;
Para n = 12, o mop CZ, definido no capítulo anterior por sgh-C1 =
[2,4,2,6,2,4,6,2,4,6], mostra uma realização da frequência de graus neste caso;
Seja n 2 14. Suponhamos que exista um rnop G, cuja frequência de graus
satisfaça a hipótese. Como w(3) = O e w(2) = w(6) + w(4) em G, pelos corolários
4.1 e 4.4 que proíbem as cadeias [2,2] e [2,4,2,4,2], a sgh-G deve ser da forma
[6,2,4,2]0[6,2]Po[6?2~4,2]0[6,2]qo[6,2,42][6,2]r7 onde p, q, r 2 O e p + q + r =
"-I2 . Então, eliminado-se todos os valores 2 de sgh-G de acordo com o 2
corolário 3.7, obtemos um rnop G' diferente do rnop coroa Ci, cuja sgh-G' é
constituída somente de 2 e de 4, contrariando o teorema 4.5. Portanto, esta
freqüência não realiza mop.
Lema 7.7 Seja G um grafo periplanar maximal com n 2 7 vértices. G é rnop básico
(n,6)-maxregular se, e somente se, ou G é o grafo coroa C2, neste caso
n = 12, ou G possui uma das seguintes freqüências de graus, com n par:
n-6 n - 2 i) w(6) = -, w(2) = 7, w(3) = 2 e w(4) = 2; 2
n-6 n - 4 ii) w(6) = 3-, "(2) = 2-? 0(3) = 4 e 0(4) = 1;
n - 6 n-6 iii) w(6) = -, w(2) = - e w(3) = 6, para n 2 10. 2 2
Prova: Seja G um grafo periplanar maximal com n vértices, n 2 7.
(3) Suponhamos que G seja um rnop básico (n,6)-maxregular. Daí, por definição, G
é a realização de uma das seguintes freqüências de graus, obtidas pela regra
básica 2, onde n é par:
n - 6 n caso 1: w(6) = --; w(2) = -; w(3) = 0; w(4) = 3. O rnop coroa Cz, definido no
2 2
capitulo anterior por sgh-C2 = [2,4,2,6,2,4,6,2,4,6], é a única realização desta
frequência de graus, para n = 12, pois qualquer permutação entre 4 e 6
acarretaria a ocorrência da cadeia proibida [2,4,2,4,2]. O lema anterior prova que
esta frequência não realiza mops para os demais valores de n.
n - 6 n - 2 caso 2: w(6) = T , m(2) = , w ( 3 ) = 2 e 4 4 ) = 2; 2
n - 6 n - 6 caso 4: a(6) = -, a(2) = - 2 2 e 0(3)=6.
As famílias de mops, definidas a seguir, mostram a existência de realizações para
as freqüências de graus nos três últimos casos, valendo o caso 4 somente para
n 2 10, quando temos a(2) 2 2. Ou seja, existem os mops básicos para estas três
últimas freqüências. 2 k-3
[2,3,41 O [2,6 {'I 0 [2,4,3], se n = 4k, k 2 2; sgh-G =
Lk- 11 [2,4,3] 0 [2,6] 0 [2,4,3], se n = 4 k + 2, k > 2.
A figura 7.12 ilustra os mops de ordem n = 12 e n = 14 de cada uma destas
famílias, respectivamente. Pela construção básica estas frequências de graus,
n - 6 apropriadas para n par, são as únicas que possuem a(6) = 2, e este é o maior
valor possível para a(6), quando n é par. Portanto, se G possui 12 vértices, temos
que G = C2; para os demais valores de n, G possui uma das três freqüências de
graus enunciadas por este lema. Entretanto, desejamos observar que G não
pertence necessariamente a uma das três famílias definidas no decorrer desta
prova.
(e) Suponhamos que o mop G possua um número par de vértices e que seja ou o
grafo coroa C2, neste caso n = 12, ou possua uma das três frequências de graus
dadas no enunciado deste lema. Então, G é uma realização de uma das
frequências de graus obtidas pela regra básica 2. Daí, por definição, G é um mop
básico (n,6)-maxregular.
figura 7.12: mops básicos (n,6)-rnaxregulares, para n = 12 e n = 14.
Embora as freqüências de graus dos mops básicos (n,6)-maxregulares, com n 2 7
e n par, tenham sido bem caracterizadas pelo lema 7.7, diferentes famílias de mops
realizam as tais freqüências de graus, ou seja, para cada freqüência de graus obtida
existem mops básicos não isomorfos. Este fato é ilustrado com os mops G1, G2 e G3 da
figura 7.13, todos de ordem n = 14, cujas sequências de graus hamiltonianas são: sgh-
G1 = [2,6,2,3,6,2,4,3,2,672767274], sgh-G2 = [2,6,2,3,6,2,4,3,2,6,3,2,6,3] e sgh-G3 =
[2,3,3,6,2,3,6,2,3,3,6,2,3,6]. Podemos observar que estas seqüências de graus
harniltonianas são diferentes das obtidas pelas definições dadas no decorrer da prova do
lema 7.7, para n = 14.
figura 7.13: mops básicos (14,6)-maxregulares,
não isomorfos aos mops da figura 7.9
De acordo com a construção básica, os mops básicos (n,r)-maxregulares, r 2 7,
devem possuir n = (r - 4)k + 6 vértices, para k 2 1. Os próximos lemas estudam a
realização das quatro diferentes freqüências de graus, obtidas na construção básica para
r 2 7 .
Lema 7.8 Não existe mop básico (n,r)-maxregular, onde r 2 7 e n = (r - 4)k + 6,
com uma das freqüências de graus dadas:
para k = l ,2;
n - 6 n - 6 n - 6 ii) o(r) = - o(2) = - r - 4 ' r - 4 ' ~ ( 3 ) = (r - 6)- + 6 e o(4) = 0,
para k = 1.
Prova: Seja r 2 7 e k = 1. Daí, n = r +2.
No caso i), obtemos o(r) = 1, o(2) = 4, o(3) = r - 6 e o(4) = 3. Suponhamos
que exista um mop G' com esta freqüência de graus. Como 4 2 ) = o(4) + o(r),
os valores 2 ocorrem na sgh-G' intercalados pelos valores 4 e r, porque as
cadeias [2,2] e [2,3,2] são proibidas pelos corolários 4.1 e 4.2. Daí, sgh-G' =
[2]0.. . o[4]0.. .0[2]0.. .0[4]0.. .o[2]0.. .0[4]0.. .0[2]0.. .o[r].. . onde os espaços vazios
são preenchidos pelos valores 3 da freqüência de G'. Mas, qualquer que seja a
alocação desses valores 3, e para qualquer que seja r 2 7, temos uma contradição,
tendo em vista as seguintes cadeias proibidas: [2,4,2,3] e [4,2,3,3], pelo corolário
4.3; [2,4,2,4,2], pelo corolário 4.4; [4,3,2,4,3], pelo teorema 4.1 aplicado ao mop
serpentina Sg; todas as cadeias reversas destas anteriores.
No caso ii) obtemos o(r) = 1, o(2) = 1, o(3) = r e o(4) = 0. Esta freqüência
não realiza mop, porque o(2) < 2.
Seja r 2 7 e k = 2. Daí, n = 2r - 2 e o(r) = 2, o(2) = 5, o(3) = 2(r - 6) e
o(4) = 3. Análogamente ao caso i) anterior, se G' é um mop com esta freqüência
de graus, temos duas possibilidades para sgh-G':
1230 ...o[ 410 ...o[ 210 ...o[ 410 ...o[ 210 . . . o [ ] . . . [ ] . . . [ r] . o [ 2 . o [ r] o... ou
[2]0 ...o[ 410 ...o[ 210 ...o[ 410 ...o[ 210 ...o[ r10 ...o[ 210 ...o[ 410 ...o[ 210 ...o[ r] o... onde os
espaços vazios são preenchidos pelos elementos 3. Neste caso também, qualquer
que seja a alocação desses valores 3, e para qualquer que seja r 2 7, temos uma
contradição, tendo em vista as mesmas cadeias proibidas citadas anteriormente.
Lema 7.9 Seja G um grafo periplanar maximal com n vértices. G é básico (n,r)-
maxregular, r 2 7, se, e somente se, n = (r - 4)k + 6, para r 2 7 e k 2 1 e
G possui uma das seguintes frequências de graus:
para k 2 3;
n - 6 n - 6 n - 6 ii) w(r) = - r - 4 ' a(2) = - + 2, w(3) = (r - 6)-- + 2 e w(4) = 2; r - 4 r - 4
n - 6 n - 6 n - 6 iii) o(r) = - a(2) = - + 1, a(3) = (r - 6)- + 4 e 4 4 ) = 1; r - 4 ' r - 4 r - 4
n - 6 n - 6 n - 6 iv) a(r) = - 4 2 ) = - r - 4 ' r - 4 ' a(3) = (r - 6)- r - 4 + 6 e a(4) = 0,
para k 2 2.
Prova:
( ) Suponhamos que G seja um mop básico (n,r)-maxregular, r r 7. Daí, por
definição, G é a realização de uma das frequências de graus, apresentadas na
tabela da figura 7.14, obtidas pela regra básica 2, onde n = (r - 4)k + 6 para r 2 7
e k r l :
figura 7.14: freqüências de graus, obticias pela regra básica 2.
caso I
caso 2
caso 3
caso 4
Nr)
- n - 6 r - 4
- n - 6 r - 4
- n - 6 r - 4
- n - 6 r - 4
n - 6 -+3 r - 4
n - 6 -+2 r - 4
n - 6 - + I r - 4
n - 6 - r - 4
a(3)
n - 6 (r - 6)-
n - 6 (r - 6)- + 2
n - 6 (r - 6)- + 4
n - 6 (r - 6)- + 6
o(4)
3
2
1
O
Pelo lema 7.8, não realizam mop as frequências: do caso 1, para k = 1 e k = 2, e
do último caso, para k = 1. Nas demais situações, as seguintes famílias de mops
garantem a realização das freqüências de graus encontradas:
1 [2,r,2,3,4], para k 2 3 e ímpar sgh-G =
k k - 4 1 ([31r - 0 [2, r])io[2,37472]o([r72] O [31r ') o[r,2,]o[31r - 0[4]0[3]' - 0
1 [2,r,2,3,4], para k > 3 e par;
f k + l k - 1
1 ([31r-' O [2, r])'o[2,3,4]0([3]'. 0 [2, r])To[2,4,3], para k > 1 e ímpar;
sgh-G = k k
I ([31r- [2, r]) '0[2,4,3]0([3]~-~ O [2, r])10[2,4,3], para k > i e par;
k - 1 k - 1 ( [3]'-40[2,r,3]o([3]'. 0 [2, r])To[2,4,3]o([3]'- 0 [2, r]) T, para k > 1 e I
ímpar; sgh-G =
k k - 2 ( [31r-'0[2,r,3]0([3]'-" 0 [2, r]) ~0[2,4,3]0([3]'- 0 [2, r])', para k > 1 e
I par;
k - 3 k - 1 ( [3]'-*0[2,r,3]0([3]'- 0 [2, r])To[3]'-50[2,r,3,3]o([3]'-6 0 [2, r]) i I
para k 2 3 e ímpar; sgh-G =
k - 2 I ([a]'- 0[2, r])lio[3]' 50[27r7373]o([31r 0 [2, r])? O[)]' - 50[2,r,373]
para k > 3 e par;
A figura 7.15 ilustra os mops básicos (n,8)-maxregulares de ordem n = 26 e n =
30, ou seja, para k = 5 e k = 6, de cada uma destas famílias, respectivamente.
figura 7.15: mops (n,8)-maxregulares com freqüências de graus distintas, para n = 26 e n = 30.
Corolário 7.7 Todos os grafos periplanares maximais básicos (n,r)-maxregulares,
r 2 6, com n = (r - 4)k + 6 vértices, k 2 1, possuem o(s) = 0,
paras=5,6, ..., r - 1 e s > r .
Prova: Imediata dos lemas 5.1 1 e 5.13.
Caracterização dos MOPs (n,r)-Maxregulares, r 2 6
O lema a seguir nos dá um limite superior para o(r), r b 6, em qualquer mop de
ordem n > r + 1. A existência de mops possuindo esta quantidade limite de vértices de
grau r será mostrada pelo teorema de caracterização dos mops (n,r)-maxregulares, onde
r 2 6 e n 2 r + 1.
l n - 6 1 Lema 7.10 Se G é um mop com n > r + 1 vértices, onde r > 6, então o(r) < L- r - 41.
Prova: Suponhamos que G seja um mop com n > r + 1 vértices, onde r > 6, possuindo
I - ' + 1. Podemos escrever n = (r - 4)k+ 6 +i , para algum k > 1 e o(') =
i I O < i < r - 5 . Assim, o(r) =Lk+- r - 41 + 1 = k + 1. Então, como a soma dos
graus dos vértices de G é 4n - 6, os rk - 5k + 5 + i vértices restantes possuem
juntos 3rk - 16k + 18 + 4i - r graus. Considerando-se a biconexidade dos mops e
como 3rk - 16k + 18 + 4i - r = 2(rk - 5k + 5 + i) + (r - 6)(k - 1) + 2 + 2i, o menor
valor possível para o(2) é dado por (rk - 5k + 5 + i) - {(r - 6)(k - 1) + 2 + 2i),
acarretando o(3) = (r - 6)(k - 1) + 2 + 2i e o(s) = O, s > 4 e s 3c r. Então, se em
G ocorre exatamente w(2) = r + k - 3 - i, temos que o(2) 2 r + k - 3 - (r - 5) =
k + 2 > o(r), onde o(s) = O, s 2 4 e s # r, contrariando o teorema 4.2. Ainda pela
biconexidade dos mops, cada vértice de grau 3 + t, t > 1, gera mais t vértices de
grau 2. Com isso, a desigualdade 4 2 ) > x o ( i ) se mantém. Assim, se G possui i > 3
algum vértice de grau maior que 3, além dos k + 1 vértices de grau r, temos a
desigualdade o(2) > &(i), contrariando o teorema 4.2. Com maior razão, a i > 3
mesma contradição ocorre supondo o(r) > k + 1. Portanto, quando n > r + 1,
- 61 G possui no máximo Lr - 4 1 vértices de grau r.
Teorema 7.2 Seja G um grafo periplanar maximal com n 2 r + 1 vértices, r 2 6.
G é (n,r)-maxregular se, e somente se, G possui
Prova: Seja G um grafo periplanar maximal com n > r > 6 vértices.
(3) Suponhamos que G seja (n,r)-maxregular.
Se n = r + 1, então G é o mop LI, pelo teorema 5.5. Portanto, G contém um
único vértice de grau r.
Se n = (r - 4)k + 6 onde k 2 1, pelos lemas 7.7 e 7.9, G é básico e possui
Suponhamos n = (r - 4)k + 6 + i, 1 5 i 5 r - 5. Por hipótese, G possui o maior
número possível de vértices de grau r, entre os mops de ordem n. Vamos mostrar
I n - que existe um mop M, com n vértices, possuindo o(r) = L- ti I. Seja G' um r - 41
mop básico (n',r)-maxregular, onde n' = (r - 4)k + 6. Então, pelos lemas 7.7 e
7.9, qualquer que seja a freqüência de graus de G', ocorre o(r) + o(4) = 42) .
Como conseqüência, no ciclo hamiltoniano de G', os adjacentes de todos os
vértices de grau 4 possuem graus 2 ou 3. Seja v um vértice de G' de grau 4.
Então, podemos obter um mop M, com n vértices, pela inclusão sucessiva de i
2-vértices entre v e seu adjacente no ciclo harniltoniano. Neste caso, v terá grau
4 + i I r - 1 em M. Como todos os vértices de grau r em G' permaneceram com
l n - 6 1 seus graus inalterados, M possui o(r) = L- r - 41 . Daí e do lema anterior, como
l n - 6 1 G é (%r)-maxregular, G possui o(r) = L- r - 41.
(c) Suponhamos que G possua n = r + 1 e o(r) = 1. Então, G é o mop LI . Pelo
teorema 5.5, G é (%r)-maxregular. Suponhamos que G possua n > r + 1 vértices
- 61 e o(r) = i%]. Mops com essas características existem, tendo em vista as
famílias definidas no decorrer das provas dos lemas 7.7 e 7.9. Daí e do lema
anterior, G é (n,r)-maxregular. I.
Pelo teorema anterior e por um raciocínio análogo ao utilizado na prova do lema
7.10, podemos observar que nos mops (%r)-maxregulares, r 2 6, não ocorrem vértices de
grau superior a r. O mesmo acontece para os mops (n,r)-maxregulares para r = 4 e 5.
Capitulo VIII
Tensão em MOPs
VIII. 1 Introdução
Iniciamos este capítulo introduzindo o conceito de tensão de uma aresta, que
realça a relação existente entre a aresta e suas extremidades. É um tipo de valoração de
arestas que, neste caso, depende dos graus dos seus vértices extremos. Utilizando esta
valoração de arestas, calculamos a tensão dos mops (a soma das tensões de todas as suas
arestas) pertencentes a cada uma das subfamílias definidas no capítulo IV e dos mops
básicos (n,5)-maxregulares. Para os demais mops (n,5)-maxregulares e para os básicos
(n,r)-maxregulares, r 2 6, determinamos um limite superior para as suas tensões, tendo
em vista a variedade de freqüências de graus e suas possíveis realizações. Determinamos,
ainda, a soma das tensões das arestas internas de algumas dessas famílias de mops.
Provamos que os grafos serpentinas possuem a maior tensão e, como conseqüência, os
gregas a maior tensão interna entre todos os mops de mesma ordem.
Consideremos o grafo G, representado na memória por listas de adjacência. A
operação de acesso a uma aresta qualquer (v,w) de G é uma operação usual em
computação, com a finalidade de verificar a existência da aresta no grafo, recuperar
informações associadas a (v,w) ou mesmo para removê-la. Chamamos esta operação
exzste-aresta. A tensão de uma aresta, por nós definida neste capítulo, modela o custo
computacional do pior caso da operação existe-aresta, tendo em vista que, para executá-
la, é necessário percorrer a lista de adjacência de um de seus vértices extremos. Então, o
escolhido deve ser o de menor grau por ser o que acarreta menor número de
comparações.
Em seguida, como exemplo de utilização da operação existe-aresta, citamos os
algoritmos de reconhecimento da periplanaridade de SYSLO (1978), MITCHELL
(1979) e WIEGERS (1987). Discutimos estes algoritmos e levantamos questões sobre o
estudo de suas complexidades. Apresentamos, então, o Algoritmo PERI-TESTE por nós
construído, que soluciona estes questionarnentos. O algoritmo utiliza uma estrutura de
dados simples e possui o mop grega como seu pior caso.
VIIL2 Cálculo das Tensões dos MOPs
Consideremos um grafo G(V,E,t) valorado por arestas, onde a tensão de uma
aresta e E E é dada pelo menor dos graus dos seus vértices extremos, como definido
pela função
t: E + N
e = (a, b) H rnin(grau(a), grau(b)).
Definimos tensão do grafo G, denotado por T(G), como a soma das tensões de
todas as arestas de G, isto é, T(G) = t(e). No caso particular dos mops, podemos e €E
determinar a tensão interna do grafo, TI(G), obtido quando somente as arestas internas
são consideradas.
No caso particular dos mops, obtemos os seguintes resultados.
Lema 8.1 Num mop, 2a(2) arestas possuem tensão 2 e são necessariamente
externas.
Prova: Pela biconexidade dos mops, as duas arestas incidentes a cada vértice de grau 2
possuem, ambas, tensão 2. Por outro lado sabemos que, se num dado grafo
hamiltoniano existem vértices de grau 2, suas duas arestas incidentes pertencem a
todos os ciclos hamiltonianos do grafo. Portanto, num mop, tais arestas
pertencem ao seu único ciclo hamiltoniano e são, conseqüentemente, externas. I
Este lema nos dá exatamente o número de arestas de tensão 2 de um dado mop.
No entanto, considerando-se somente a freqüência dos graus, não é possível generalizar
tal resultado para as demais tensões. Apesar disso, no próximo lema, conseguimos
estabelecer limites para o número de arestas de tensão 3. Mais adiante, nos lemas 8.8 e
8.9, apresentamos outros limites.
Lema 8.2 Num mop, 2a(3) I x I 30(3), onde x é a quantidade de arestas de
tensão 3.
Prova: Pelo corolário 4.2, cada vértice de grau 3 pode ter como adjacente no máximo
um vértice de grau 2. Como os demais graus de um mop são iguais ou maiores
que 3, podemos ter duas situações limites: cada vértice de grau 3 possui um
vizinho de grau 2, acarretando a primeira desigualdade; todos os vértices de grau
3 possuem adjacentes de grau 3 ou mais, implicando na segunda desigualdade. I
A seguir estabelecemos as tensões e as tensões internas dos mops leque,
serpentina, grega e coroa.
Prova: Seja um grafo leque com n vértices. Temos: 2a(2) = 4 arestas possuem tensão 2;
todas as demais 2n - 7 arestas possuem tensão 3. Logo, T(L) = 8 + 3(2n - 7) =
= 6n - 13. Sabendo-se que quatro arestas externas do grafo leque possuem
tensão 2 e as n - 4 arestas externas restantes possuem tensão 3, obtemos
imediatamente TI&) = 3n - 9.
Lema 8.4 T(SJ = 8n - 24 e TI(&) = 4n - 14, para n 2 6.
Prova: Seja G um grafo serpentina com n 2 6. Temos: 20(2) = 4 arestas possuem tensão
2; para cada vértice de grau 3, uma das suas arestas incidentes possui tensão 2
(portanto, sua tensão já está contabilizada) e as outras duas têm tensão 3, então
quatro arestas possuem tensão 3; as demais 2n - 11 arestas possuem tensão 4.
Logo, T(S,) = 8 + 12 + 4(2n - 11) = 8n - 24. Sabendo-se que quatro arestas
externas do grafo serpentina possuem tensão 2, duas arestas externas possuem
tensão 3 e as n - 6 arestas externas restantes possuem tensão 4, obtemos
imediatamente TI(Sn) = 4n - 14.
Lema 8.5 T(Gk) = 8n - 30 e TI(Gk) = 6n - 30, onde n = 2k, k 2 4.
Prova: Seja um grafo grega de parâmetro k 2 4, isto é, com n = 2k 2 8 vértices. As n
arestas externas têm tensão 2; para cada vértice de grau 4, duas de suas arestas
incidentes são externas e as outras duas têm tensão 4, então quatro arestas
internas têm tensão 4; para cada vértice de grau 5, duas de suas arestas incidentes
são externas, uma delas é incidente ao vértice de grau 4(portanto, sua tensão já
está contabilizada) e as outras duas têm tensão 5, então quatro arestas internas
têm tensão 5; as demais n - 11 arestas internas têm tensão 6. Logo, T(Gk) =
2n + 16 + 20 + 6(n - 11) = 8n - 30. Sabendo-se que as n arestas externas do
grafo grega possuem tensão 2, obtemos imediatamente TI(&) = 6n - 30.
Lema 8.6 T(Ck) = 8n - 610g2 - 18 e TI(Ck) = 6n - 610g2 - 18, onde n = 3.2k,
Prova: Por definição, um grafo coroa com n = 3.2k vértices, k 2 0, possui 3 vértices de
grau 2(k + I), correspondentes ao triângulo mais interno do grafo, e 3.2'-'
vértices de grau 2(k - i + I), para 1 5 i 5 k. Observando a sua construção
recursiva, feita em camadas, verificamos que todos os vértices de uma camada
nova possuem grau 2 e todos os graus dos vértices já existentes ficam
aumentados de duas unidades. Portanto, a partir do triângulo inicial, cada vértice
de grau 2(k - i + I), 1 I i I k, é adjacente a exatamente dois vértices de graus
superiores ao seu (vértices pertencentes as camadas mais internas) e, existindo
outros adjacentes, todos os demais são de graus inferiores. Então, um grafo
coroa Ck possui 3 arestas de tensão 2(k + 1) e 6.2"l arestas de tensão
2(k - i + I), 1 I i I k. Portanto, a tensão do grafo coroa Ck é dado por:
= 8n - 610g2 - - 18, onde n = 3.2k, k 2 0. (11 Sabendo-se que as n arestas externas do grafo coroa possuem tensão 2,
obtemos imediatamente TI(Ck) = 6n - 610g2[:) - 18.
O próximo lema determina a tensão de qualquer mop básico (n,5)-maxreguIar.
Este resultado mostra que, para r = 5, embora a frequência básica de graus possua
diferentes realizações, a tensão de qualquer mop básico (n,5)-maxregular é única. O
mesmo não podemos garantir para os demais mops (~5)-maxregulares. Entretanto, o
lema 8.10 dá um limite superior para a tensão de todos eles.
Lema 8.7 Se G é um mop básico (~5)-maxregular, então T(G) = 8n - 27.
Prova: Seja G um mop básico (n,5)-maxregular. Pelo corolário 7.1, G possui a
frequência de graus: a(5) = 2k - 2; a(2) = k + 1; a(3) = 2, para n = 3k + 1
vértices, k 2 3 e ímpar. Então, independentemente da realização desta freqüência,
G possui: 2(k + 1) arestas de tensão 2, pelo lema 8.1; quatro arestas de
tensão 3, tendo em vista corolário 4.8; as demais 4k - 7 arestas de tensão 5.
Portanto, T(G) = 24k - 19, onde n = 3k + 1.
Quando uma frequência de graus que define uma subfamília de mops possui
diferentes realizações, surge o problema de determinar um limite superior para a tensão
de mops que sejam realizações desta frequência. Neste caso, dada uma frequência de
graus, devemos construir uma relação de adjacência para um suposto rnop de tal forma
que possua a maior tensão possível. Ou seja, qualquer outro rnop com tal freqüência de
graus possui tensão inferior a obtida a partir dessa relação de adjacência. Os dois
próximos lemas serão utilizados para fiindamentar o procedimento de cálculo desse
limite.
Lema 8.8 Num rnop qualquer e para um dado grau r, se x o ( r i ) > 2, no máximo r i > r
2 x o ( r i ) - 3 arestas possuem tensões iguais ou maiores que r; r i > r
se x u ( r i ) = 1, nenhuma aresta possui tensão r. r i > r
Prova: Suponhamos que x o ( r i ) > 2, num rnop G. Então, o maior número de arestas r i t r
interligando estes o(ri) vértices, sem perda da periplanaridade, é dado por r i > r
2 x o ( r i ) - 3. Este número corresponde ao de um "mini-mop", contido em G, r i > r
onde nenhuma outra aresta pode ser incluída (neste caso, com tensão igual ou
maior que r) sem a perda da periplanaridade. Com isso, qualquer outra aresta do
rnop terá um de seus vértices extremos de grau inferior a r, ou seja, sua tensão
será menor que r. Caso x o ( r i ) = 1, nenhuma aresta possui tensão r, por r i > r
definição de tensão.
Corolário 8.1 Seja r o maior grau de uma frequência de graus realizável para
mops. Então, em qualquer rnop que seja realização desta
freqüência, se o(r) 2 2, no máximo 2o(r) - 3 arestas possuem
tensão r; se o(r) = 1, nenhuma aresta possui tensão r.
Prova: Imediata do lema anterior.
Lema 8.9 Sejam a frequência de graus de um mop e qualquer uma de suas
realizações. Suponhamos que yi denote a quantidade de arestas de
tensão ri. Para qualquer que seja o grau r,, se x o ( r i ) > 2, e se existem r i > r ,
2 o(ri) - 3 arestas de tensões superiores a r,, então yj < 2m(rj). r i > r j
Além disso, se y, = 2o(r,) + q, então no máximo 2 x o ( r i ) - 3 - q l i > I )
arestas possuem tensões superiores a rj.
Prova: Seja G um mop realização de uma dada frequência, onde k r 2 vértices possuam
graus maiores que um dado grau r. Pelo lema anterior, no máximo 2k - 3 arestas
possuem tensões maiores que r em G. Suponhamos que G possua 2k - 3 arestas
de tensões maiores que r. Seja v um vértice qualquer de grau r em G (os demais
vértices de G são de graus menores ou iguais a r). A figura 8.1 mostra um
esquema representativo de G, onde o vértice v, de grau r, possui grau menor
do que cada vértice ui, 1 < i < k. Então, somente duas arestas incidentes a v são
também incidentes a vértices ui., (ambas de tensão r). Caso contrário, não existem
2k - 3 arestas (de tensões maiores que r) ligando os vértices ui7, entre si, pois para
que a periplanaridade seja mantida, se a aresta (v,u4) existe, alguma aresta
( ~ i , ~i+i), CU~OS vértices extremos sejam adjacentes a v, não pode existir. Como as
demais r - 2 arestas incidentes a v possuem tensões iguais ou menores que r,
quando uma aresta do tipo (ui, ui+i) é trocada por uma do tipo (v&, mantida a
frequência de graus e a periplanaridade do grafo, há uma diminuição na
quantidade de arestas de tensão superior a r se comparada com a do mop G
(onde 2k - 3 arestas possuem tensões superiores a r). Se considerarmos a
possibilidade de alguns dos vértices ui., possuírem também grau r, o mesmo
raciocínio pode ser feito, observando-se que, em alguns casos, a troca de arestas
pode ser feita entre arestas do tipo (ui, u ~ + ~ ) e do tipo (v,us), ambas de tensão r.
Neste caso, as quantidades de arestas de tensões superiores a r e de arestas de
tensão igual a r não se alteram. Em qualquer hipótese, aplicando-se o mesmo
raciocínio sucessivamente para todos os vértices de grau rj, temos que yj = 20(rj)
é a maior quantidade de arestas de tensão rj, que permite a existência no rnop G
de 2 C o(ri) - 3 arestas de tensão superior a r,. . r i > r j
figura 8.1: Num mop, para a aresta ( v , ~ ) existir, o vértice u3 tem que tornar-se externo.
Portanto, dada uma freqüência de graus realizável para mop, com vértices de
graus superiores a 4 (caso contrário, o rnop seria o serpentina), o procedimento a seguir
resolve o seguinte problema: maxirnizar C ri yi , sabendo-se que C yi = 2n - 3;
yi 5 20(ri), para todo grau ri, exceto o de maior valor e, possivelmente, o de valor
imediatamente inferior. As restrições relativas a estes dois maiores graus, são obtidas por
análise de casos e aplicação dos resultados anteriores. Vale lembrar que, em qualquer
mop, existem exatamente 20(2) arestas de peso 2.
Procedimento TENSAO - LIMITE
(Calcula o limite superior para a tensão de um mop, dada uma freqüência de graus)
Entrada: freqüência de graus realizável para mop;
Saída: limite superior para a tensão, qualquer que seja realização da freqüência de graus;
passo 1 : (pelo corolário 8.1)
Sejam r o maior grau da freqüência e
s o grau imediatamente inferior a r na freqüência;
se o(r) = 1, então consideramos 2 (o(@ + 1) - 3 arestas de tensão s;
senão, consideramos 2o(r) - 3 arestas de tensão r;
passo 2: (pelo lema 8.9)
se o(r) = 1, consideramos que 2w(ri) arestas possuem tensão ri, para todo grau ri < S.
senão, consideramos 20(ri) arestas de tensão ri, para todo grau ri < r;
passo 3: (definição de tensão de um mop)
TENSÃO-LIMITE é a soma das tensões de todas as arestas.
A figura 8.2 mostra dois mops não-básicos (13,5)-maxregulares, possuindo a
mesma frequência de graus, porém de tensões diferentes, isto é, T(G1) = 77 e T(G2) =
76. Aplicando-se o procedimento anterior a freqüência de graus destes mops, obtemos o
valor 77. Podemos observar que a tensão do mop G2 é menor que esse limite, porque
nele existem 2o(4) + 1 arestas de tensão 4 e, conseqüentemente, uma aresta de tensão 5
a menos que em G1.
figura 8.2: mops (13,5)-maxregulares de mesma freqüência de graus, com tensões diferentes.
Nos dois próximos lemas calculamos, respectivamente, o limite superior para a
tensão de todos os mops (n,5)-maxregulares, com o(5) 2 2, e de todos os mops básicos
(n,r)-maxregulares, r 2 6, com o(r) 2 2. Deixamos de calcular o limite das tensões para
os mops com o(r) = 1 pertencentes a estas duas subclasses, porque possuem número de
vértices muito pequenos. Entretanto, se desejarmos, o cálculo poderá ser efetuado,
utilizando procedimento anterior.
Lema 8.10 Se G é um mop (n,5)-maxregular com n vértices, n 2 8, então
T(G) 5 8n - 27.
Prova: Seja G um mop (n,5)-maxregular com n vértices, n 2 8.
Se n = 3k + 1, onde k 2 2 e ímpar, o resultado vale, pelo lema 8.7.
Se n = 3k + 1, com k 2 3 e par, pelo corolário 7.4, G possui uma das seguintes
freqüências de graus:
o(5)=2k-3; o ( 2 ) = k + 2 - j ; (u(3)=2j- 1; o(4)=3-j , para j = 1 7 2 e 3 .
Nos três casos, 0(5) 2 2. Pelo procedimento TENSÃO-LIMITE, obtemos:
2(2k - 3) - 3 arestas de tensão 5;
2(3 - j) arestas de tensão 4;
2(2j - 1) arestas de tensão 3;
2(k + 2 - j) arestas de tensão 2.
Então, T(G) 1 24k - 19 = 8n - 27.
Se n = 3k + 2, onde k r 2, pelo corolário 7.5, G possui uma das seguintes
freqüências de graus:
a(5) = 2k - 2; 4 2 ) = k + 2 - j; 4 3 ) = 2j; a(4) = 2 - j, para j = 0, 1 e 2,
valendo j = O somente para k par.
Nos três casos, 4 5 ) 2 2. Pelo procedimento TENSAO-LIMITE, obtemos:
2(2k - 2) - 3 arestas de tensão 5;
2(2 - j) arestas de tensão 4;
2(2j) arestas de tensão 3;
2(k + 2 - j) arestas de tensão 2.
Então, T(G) 1 24k - 1 1 = 8n - 27.
Finalmente, se n = 3k, onde k 2 3, pelo corolário 7.6, G possui uma das seguintes
frequências de graus:
a (5)=2k-3 ; 0 (2 )=k+ 1 -j; a ( 3 ) = 2 j + l ; a (4)=1 -j, para j = O e l .
Nos três casos, 0(5) 2 2. Pelo procedimento TENSAO-LIMITE, obtemos:
2(2k - 3) - 3 arestas de tensão 5;
2(1 - j) arestas de tensão 4;
2(2j + 1) arestas de tensão 3;
2(k + 1 - j) arestas de tensão 2.
Então, T(G) 124k - 27 = 8n - 27.
Logo, se G é um mop (n,5)-maxregular com n 2 8 vértices, T(G) 1 8n - 27.
Lema 8.11 Seja G um grafo periplanar maximal com n = (r - 4)k + 6 vértices, r 2 6 e
k 2 2. Se G é (n,r)-maxregular e, conseqüentemente, básico, então
T(G) 5 8n - 12 -3r.
Prova: Seja G um mop com n = (r - 4)k + 6 vértices, r 2 6 e k 2 2. Pelos lemas 7.7 e 7.9,
G possui uma das seguintes freqüências de graus:
n - 6 n -6 n - 6 ao-) = x; ~ ( 2 ) = ~ + 3 - j ; o(3)=(r-6)-+2j; r - 4 0(4)=3- j , para
j = 0, 1, 2 e 3, valendo j = O e r = 6, somente quando k = 2; j = O e r 2 7,
somente quando k 2 3.
Em todos esses casos, o(r) 2 2. Pelo procedimento TENSÃO-LIMITE,
obtemos:
n -6 2-- 3 arestas de tensão r; r - 4
2(3 - j) arestas de tensão 4;
2[(r - 6)- + 2j] arestas de tensão 3; r - 4
2 ( 3 + 3 - j) arestas de tensão 2.
Então, T(G) I 8n - 3r - 12.
É imediato verificar que, entre os mops avaliados até agora, o mop serpentina é o
de maior tensão. Contudo, no teorema a seguir mostramos que o grafo serpentina é o
mop de maior tensão entre todos os mops. Como conseqüência, o grafo grega é o que
possui a maior tensão interna.
Teorema 8.1 Os serpentinas S, e o coroa Cl são os grafos periplanares
maximais de tensão máxima.
Prova: Seja G um mop qualquer, com n vértices.
Se G não possui vértices de graus maiores que 4, isto é, S = 0, então G = S, ou
G = Ci, pelo teorema 6.2. Então, T(G) = 8n - 24.
Suponhamos que G possua pelo menos um vértice de grau maior que 4, isto é,
/S/ 2 1. Suponhamos, ainda, que a diversidade de graus acima de 4 em G seja
dada por k 2 1. Então, para 1 5 i 5 k , consideremos o(4 + h;) = x;, onde xi # 0,
k
ISI = Z x , + O e O < hl < ... < h. Consideremos, ainda, 4 4 ) = xo > O. Pelo i = l
k
lema 6.2 e por definição de equilibrador, em G existem m(3) = hixi - 2p e i = l
w42) = p, para algum O 5 p 5 , e, pelo lema 6.3, existem
õ (2) = 3 - q e õ (3) = 2q, para algum O 5 q I 3. Daí, a freqüência de graus
de G pode ser representada genericamente por:
k
o(4 +h;) =xi, para 0 < i i k; w(3) = C h i x i - 2p + 2q; ~ ( 2 ) = p + 3 - q, i = l
~ f = ~ hixi onde O 5 p 5 1 e O i q i 3 .
k k
Portanto, o número de vértices de G é dado por n = z x i + C hixi - p + q + 3. i = O i = l
Calculamos o limite superior para a tensão de todos os possíveis mops que são
realizações desta frequência de graus, incluindo aí o próprio G, aplicando o
procedimento Tensão-Limite. Isto será feito em duas etapas: uma considerando
xk = 1 e outra para xk 2 2.
Suponhamos xk = 1. Pelo procedimento TENSÃOLIMITE, obtemos:
2 ( x ~ - ~ +I)- 3 arestas de tensão 4 + hk.1;
2 a - 2 arestas de tensão 4 + h - 2 ;
2 ~ k - ~ arestas de tensão 4 + hk-3;
2 Q arestas de tensão 4;
hixi - 2p + 2q) arestas de tensão 3; i = l
2(p + 3 - q) arestas de tensão 2.
Daí,
k-1 k
P(G)< (2xk-, - 1)(4+ h,,) + 2 ~ x k , ( 4 + h k , ) + 8 % + 6 C h i x i - 8p+ 8q+ 12 i = 2 i = l
5 8n-26, pois xk=l , h 2 1 e h - 1 2 0 .
Então, T(G) 5 8n - 26 < 8n - 24 = T(Sn).
Suponhamos a 2 2. Pelo procedimento TENSÃO-LIMITE, obtemos:
2 - 3 arestas de tensão 4 + h;
2 xk-1 arestas de tensão 4
2 xk-2 arestas de tensão 4
2 xo arestas de tensão 4;
f k
hixi - 2p + 2q) arestas de tensão 3; I 2(p + 3 - q) arestas de tensão 2.
k-l k
T(G)< (2xk - 3)(4+hk) + 2 x ~ , ~ ( 4 + h , - ~ ) + 8x0 + 6 x h i x i - 8p + 8q+ 12 i = 1 i = l
5 8n- 27, pois h k 2 1.
Logo, T(G) 5 8n - 27 < 4n - 24 = T(Sn).
Portanto, em qualquer das duas hipóteses, temos T(G) 5 T(Sn).
Podemos observar, tanto graficamente quanto através das seqüências de graus
harniltonianas, que os mops serpentinas S, podem ser obtidos dos mops gregas G2n
pela retirada simultânea de todos os seus n 2-vértices. Deste fato, temos o seguinte
resultado:
Teorema 8.2 Os gregas Gb e o coroa C2 são OS grafos periplanares maximais
de tensão interna máxima.
Prova: As arestas internas no mop grega G2n formam os mops S, ou C2 que, pelo
teorema anterior, são os mops de tensão máxima. Ou seja, o grafo induzido pelo
subconjunto de V, formado pelos vértices de G2n ou C2 que não são 2-vértices,
possui uma relação de adjacência que gera a tensão máxima. Por outro lado,
todas as arestas externas de Gz, e de C2 posssuem tensão 2, isto é, a soma das
tensões das suas arestas externas é a menor dentre todas de mops da mesma
ordem. Logo, Gh e C2 possuem tensão interna máxima.
VIIL3 Uma Aplicação da Tensão à Análise de Complexidade
Podemos mencionar uma interessante aplicação em computação do conceito de
tensão de um grafo, por nós definido. Em geral, sempre que um grafo é representado na
memória por listas de adjacência, para executar a operação existe-aresta percorre-se a
lista de adjacência de um de seus vértices extremos. Então, o escolhido deve ser o de
menor grau por ser o mais econômico. Assim, a tensão de um grafo modela o custo
computacional do pior caso, quando todas as arestas do grafo são visitadas.
Nesta seção, apresentamos alguns algoritmos de reconhecimento da
periplanaridade da literatura, todos utilizando-se do teste existe-aresta, embora com
formas diferenciadas de execução, e mostramos o algoritmo PERI-TESTE, como síntese
dos outros, cuja proposta é evidenciar que, mesmo utilizando a mais simples estrutura de
dados, o reconhecimento desta família pode ser feito em tempo e espaço lineares. Neste
caso, mostramos que a tensão de uma aresta modela o custo computacional do seu teste
de existência e, como conseqüência, a tensão interna do mop grega nos dá um limite
superior para o custo computacional do reconhecimento da periplanaridade pelo
algoritmo PERI - TESTE.
Vm.3.1 Algoritmos da Literatura
Os grafos periplanares são reconhecidos em tempo linear. Em geral, os
algoritmos de reconhecimento da periplanaridade da literatura determinam
simultaneamente o único ciclo hamiltoniano do grafo, quando o grafo é periplanar
biconexo. Isto exemplifica como os grafos desta família são instâncias fáceis para um
problema NP-Completo sobre grafos. Vem daí o grande interesse pelo estudo desta
família de grafos.
Em 1974, HOPCROFT e TARJAN criaram um algoritmo linear para testar a
planaridade de um grafo. Podemos considerá-lo como um primeiro teste para reconhecer
a periplanaridade de um grafo dado, tendo em vista o seguinte resultado: um grafo G é
periplanar, se e somente se, G + K1 (um novo vértice unido com todos os vértices de G)
é planar. Contudo, o primeiro algoritmo linear de reconhecimento da periplanaridade foi
o de BREHAUT (1977) que adaptou esse algoritmo de reconhecimento da planaridade
para o caso particular da periplanaridade, obtendo um algoritmo com rotinas bem mais
simples. Depois, com o objetivo de simplificar cada vez mais, outros algoritmos de
reconhecimento apareceram, tais como: SY SLO (1 978), MITCHELL (1 979) e
WIEGERS (1987).
Os algoritmos de reconhecimento da periplanaridade podem ser aplicados aos
componentes biconexos do grafo de entrada, sem perda de generalidade e
comprometimento de suas complexidades, pelo teorema 2.9 e porque a separação de um
grafo em seus blocos pode ser feita em tempo linear.
O algoritmo criado por SYSLO (1978), aplicável aos componentes biconexos do
grafo, tem complexidades de tempo e espaço lineares. Baseia-se na caracterização de
grafos periplanares biconexos segundo a qual um grafo é periplanar se, e somente se, é
um ciclo ou pode ser reduzido a um ciclo. Neste algoritmo, todos os caminhos, cujos
vértices internos possuem grau 2, são reduzidos a uma aresta. Na rotina de redução, a
existência prévia desta aresta é sempre testada. Podemos observar que se todos os
caminhos tiverem comprimento 2, então o teste existe-aresta será realizado no número
máximo de vezes, ou seja, essa operação efetua, de uma só vez, diversas operações do
tipo redução de vértices, descrita na seção 2.6. Por isso, a condição de redução ao ciclo
garante que em nenhuma iteração o grafo obtido contém subgrafo isomorfo a &. Para
detectar a existência de subgrafos homeomorfos a K2,3 , exceto &', SYSLO (1978)
inclui no seu algoritmo um processo de marcação das arestas, que neste caso é
apropriado para grafos biconexos.
Para garantir que o teste existe-aresta da regra de redução seja executado em
tempo e espaço lineares, SYSLO (1978) utiliza o seguinte artifício: faz uma busca em
profundidade para cada componente biconexo, numera os vértices por entrada e
determina quais arestas pertencem a árvore de busca e quais são as arestas de retorno. A
partir desta numeração, ordena as listas de adjacência e cria novas listas de adjacência
constituídas somente de arestas de retorno. Então, os caminhos válidos são os
considerados neste grafo orientado, cuja orientação das arestas foi dada pela busca. A
partir daí, elabora uma regra que em tempo constante responde se a aresta existe no
grafo. Assim, o seu algoritmo torna-se correto e eficiente.
A partir das idéias contidas no algoritmo de SYSLO (1978), MITCHELL (1979)
e WIEGERS (1987) apresentam algoritmos mais simples. Ambos trabalham com o
princípio da redução ao ciclo, porém retirando somente um vértice de grau 2 de cada vez
e utilizam, a cada iteração, um teste de existência de aresta, traduzindo com nitidez a
caracterização de mops dada pelo teorema 3.2.
MITCHELL aplica seu algoritmo aos componentes biconexos, não marca as
arestas testadas, mas constrói uma lista com elas e, então, se consegue chegar no
triângulo (menor ciclo), no final da execução verifica se não há duplicação das arestas na
tal lista; WIEGERS, que aplica seu algoritmo ao grafo inteiro, precisa utilizar três
marcas diferentes para detectar se uma aresta forma mais de dois triângulos no grafo e
reduzir o grafo de entrada ao grafo trivial.
O algoritmo de MITCHELL, que reconhece mops, constrói no passo de
inicialização uma lista de vértices de grau 2 sem exigir que sejam 2-vértices, ou seja, não
realizando o teste existe-aresta entre seus vizinhos. A partir de então, no loop interno,
somente serão incluídos nesta lista os 2-vértices. Com isto, o teste existe-aresta será
executado menos vezes. Porém, o algoritmo não funciona se algum dos vértices
incluídos inicialmente na tal lista não for 2-vértice. Além disso, se o grafo de entrada for
representado por sua matriz de adjacência, o algoritmo tem complexidade tempo linear,
mas espaço n2; caso seja representado por suas listas de adjacência, a complexidade
tempo deixa de ser linear. O grafo da figura 8.3 ilustra um caso onde n - 3 iterações
serão realizadas, antes que o teste de duplicação de arestas responda que o grafo não é
periplanar. Com isso, o teste existe-aresta gasta neste grafo 0(n2) operações
(determinado por n - 3 percursos na lista de adjacência de n - 1 vértices).
figura 8.3: grafo não mop.
Para evitar isto, WIEGERS utiliza o artifício de pintar as arestas visitadas. Além
disso, seu algoritmo tem as vantagens de ser aplicado ao grafo inteiro, biconexo ou não,
e de reconhecer se um grafo é periplanar, não necessariamente maximal. E baseado no
conceito de grafos 2-redutíveis, descrito na seção 2.6. Então, o algoritmo retira
sucessivamente vértices de graus iguais ou menores que 2 para verificar se o grafo de
entrada pode ser reduzido ao grafo trivial, ou seja, se não contém subgrafo homeomorfo
ao h. Neste caso, o teste existe-aresta é utilizado todas as vezes que um vértice de
grau 2 é eliminado do grafo. Para verificar se o grafo de entrada não possui também
subgrafo homeomorfo ao &3, exceto &', WIEGERS utiliza a técnica da coloração
das arestas. Com a coloração das arestas, os passos de redução acumulam informações
sobre o grafo: se o grafo resultante é periplanar, a coloração garante a continuidade do
algoritmo; caso contrário, a coloração indica que o algoritmo deve parar. Portanto, é
um algoritmo correto.
WIEGERS garante a eficiência do seu algoritmo propondo que as listas de
adjacência sejam duplamente encadeadas e, além disso, mantenham ponteiros de
cruzamento entre listas. Ou seja, o vértice y, que aparece na lista de adjacência do
vértice x, aponta para o vértice x, na lista de adjacência do vértice y. Assim, quando x é
eliminado da lista de adjacência de y, associa-se a eliminação de y da lista de adjacência
de x em tempo constante. Com isso, o custo do teste existe-aresta, que é realizado
sempre que um vértice de grau 2 é retirado do grafo, depende somente do menor grau
dos extremos desta aresta. WIEGERS afirma que o teste existe-aresta torna-se linear
porque no momento da redução do grafo, em geral, os dois vizinhos do vértice que está
sendo retirado possui grau menor ou igual que 3. Entretanto, este resultado não é muito
intuitivo, tendo em vista o esquema de grafo apresentado na figura 8.4.
figura 8.4: esquema parcial de um mop.
A coloração proposta por WIEGERS, para ampliar a condição de entrada no seu
algoritmo de grafos biconexos para grafos conexos quaisquer, permite que a existência
de uma mesma aresta seja testada duas vezes (número máximo). Por exemplo, no mop
da figura 8.5 o algoritmo testa duas vezes a existência da aresta (c,d) se os vértices a e b
são os primeiros a serem visitados.
figura 8.5: grafo periplanar não biconexo.
Entretanto, esta coloração, apropriada para grafos não biconexos, pode tornar-se
menos eficiente para grafos biconexos. A figura 8.6 ilustra um caso onde o grafo de
entrada é biconexo e o teste existe-aresta pode ser aplicado, inutilmente, várias vezes
antes que a coloração proposta faça o algoritmo parar. Por exemplo, se os vértices forem
visitados na ordem crescente de numeração, o algoritmo só pára no vértice 15.
figura 8.6: grafo biconexo não mop.
Como conseqüência de todas essas considerações, construímos o algoritmo
PERLTESTE, apresentado na próxima seção, que é uma síntese dos três últimos
algoritmos mencionados.
VIII.3.2 Algoritmo PERLTESTE
Nesta seção apresentamos o algoritmo PERLTESTE propondo que a entrada do
grafo seja feita por listas de adjacência e utilizando uma coloração de arestas segundo a
qual os grafos não periplanares são detectados mais rapidamente, garantindo-lhe
complexidades de tempo e espaço lineares. Mostramos, ainda, que a complexidade de
tempo linear do algoritmo é garantida pela própria estrutura do grafo periplanar, como
conjecturou WIEGERS, quando exibimos a família de mops que se constitui no pior
caso para o algoritmo PERI-TESTE.
O algoritmo PERI-TESTE é aplicável aos componentes biconexos do grafo de
entrada e reconhece um grafo periplanar qualquer, cabendo o teste de maxirnalidade,
através da igualdade m = 2n - 3, somente se o grafo for, ele próprio, um bloco periplanar
com n 2 3. No algoritmo PERLTESTE, apresentado a seguir, a lista LIST contém
todos os vértices de grau 2 do grafo corrente. A cada iteração, um vértice NODE é
retirado de LIST, e é marcado, significando que, após seu processamento, é considerado
fora do grafo corrente. Se NODE não é 2-vértice, a aresta (NEXT, NEAR) é incluída
no grafo como aresta marcada pela cor 1, onde NEXT e NEAR são os vértices
adjacentes a NODE e existentes no grafo corrente, isto é, ainda não marcados; suas
listas de adjacência são atualizadas (só em relação a inclusão de arestas). Esta inclusão
de aresta impede que o grafo corrente se transforme em não biconexo. Caso a aresta
(NEXT, NEAR) exista e possua cor 0, as cardinalidades dos conjuntos adj(NEXT) e
adj(NEAR) devem ser atualizadas, simulando a retirada do nó NODE, e a cor da aresta
deve ser mudada para 1, marcando a primeira visita a aresta. O algoritmo é aplicado
iterativamente enquanto o grafo corrente obedecer as seguintes condições: (i) possuir
mais que três vértices; (ii) tiver o número de arestas e de vértices satisfazendo a
desigualdade do Corolário 3.1; (iii) possuir a cardinalidade de LIST maior ou igual a
dois, de acordo com o Corolário 3.5; (iv) nenhuma aresta for visitada mais que uma vez.
Algoritmo PERI-TESTE { Grafo de Entrada = G(V,E), biconexo } n := IVI; m := IEI; continua := T; para v E V faça marca(v) := F; para e E E faça cor(e) := 0; LIST := {v I nro-adj(v) = 2); enquanto continua faça
se n > 3 então se m 1 2 n - 3 então
se size(L1ST) 2 2 então node t LIST; {selecionar e retirar NODE de LIST) marca (node) := T; near, next := vértices não marcados adjacentes a node; se existe-aresta(next, near) então
se cor((next, near)) = O então nro-adj(next) := nro-adj(next) - 1; se nro-adj(next) = 2 então
LIST := LIST u {next}; nro-adj(near) := nro-adj(near) - 1;
se nro-adj(near) = 2 então LIST := LIST u {near};
senão "Grafo não é periplanar-aresta visitada muitas vezes"; LIST := 0; continua := F;
senão adj(near) := adj(near) u next; adj(next) := adj(next) u near; m := m + 1;
cor ((next, near)) = 1 n : = n - 1 ; m:=m-2;
senão "Grafo não é periplanar - mo de 2-vértices"; LIST := 0 ; continua := F;
senão "Grafo niío é periplanar - mo de arestas"; LIST := 0 ; continua := F;
senão continua := F; se sobrou tnângub em LIST então "Grafo é Periplanar" end.
Se o grafo tem 2n - 3 arestas (máximo permitido num periplanar), cada vértice
de grau 2 que não é 2-vértice acarreta a existência de uma corda que faz cruzamento de
conexão com alguma outra. Por esta razão o acréscimo de uma aresta deve ser
computado, para que esta condição de erro seja detectada numa próxima iteração. Por
exemplo, considerando-se o grafo G1 da figura 8.6, o algoritmo PERI-TESTE pára na
primeira iteração se iniciar visitando o vértice v, pois com a inclusão da aresta (w,u) o
número de arestas passa a ser excessivo, relativamente ao número de vértices. Outra
ocorrência possível em grafos não periplanares, detectada pela coloração das arestas, é a
existência de um vértice de grau 2 não pertencente a face que contém todos os demais
vértices, ou seja, de um subgrafo homeomorfò ao &,3. Neste caso, em alguma iteração,
o algoritmo produz uma aresta interna que pertence a mais de dois triângulos, como
ilustrado no grafo G2 da figura 8.7, onde a aresta (v,x) forma os triângulos uvx, vwx e
VXZ.
figura 8.7: grafos biconexos não mops.
Portanto, o algoritmo PERI-TESTE pára na segunda iteração se um grafo como
o da figura 8.5 for dado como entrada.
Podemos observar que, se o grafo de entrada é periplanar, os algoritmos de
reconhecimento da periplanaridade, que se utilizam do conceito de redução ao ciclo,
testam a existência de todas as arestas internas do grafo de entrada, e somente elas. Além
disso, se o grafo de entrada para o PERLTESTE é periplanar biconexo, o seu único
ciclo harniltoniano é constituído por todas as arestas do grafo que permanecerem com a
cor 0.
Como vimos, a entrada do grafo para o algoritmo PERI - TESTE é feita por listas
de adjacência, garantindo-lhe complexidade de espaço linear. A seguir, mostramos que o
grafo grega é o pior caso para o algoritmo PERI-TESTE, provando que mesmo
utilizando uma estrutura de dados simples, o reconhecimento da periplanaridade pode ser
realizado em tempo linear.
Quando o grafo de entrada é periplanar, o algoritmo PERI - TESTE visita todas
as arestas internas do grafo, uma única vez cada. Assim, considerando-se que o teste
existe-aresta percorre o vértice extremo de menor grau da aresta e que o algoritmo
PERI - TESTE apenas simula a retirada dos vértices no processo de redução (a
atualização das listas de adjacência só é feita quando há acréscimo), o custo do teste
existe-aresta no final da execução é limitada pela soma das tensões das arestas internas
do grafo periplanar dado. Então, para um dado número de vértices n, o pior caso para o
PERI - TESTE é o mop com n vértices que possui a maior tensão interna. Portanto,
entre os mops, o pior caso para o algoritmo PERI-TESTE é o grafo grega,
comprovando a sua complexidade tempo linear. Além disso, como a entrada do grafo é
feita por listas de adjacência, o seu gasto com espaço é também linear.
Capítulo M
Conclusão
Quando CHARTRAND e HARARY (1967) definiram e caracterizaram a família
dos grafos periplanares, já havia alguns resultados, encontrados por TANG (1964) no
seu artigo "Bi-Path Networks and Multicommodity Flows", que se aplicavam aos
periplanares e que eram de fundamental importância para esta família, como a existência
de um único ciclo hamiltoniano para os grafos periplanares biconexos. Na nossa
pesquisa, resgatamos a família de grafos definida por TANG (1964), denominando-a
família de grafos 2-caminhos, e a caracterizamos através de subgrafos proibidos.
Encontramos, então, uma nova caracterização para os periplanares: a interseção entre as
famílias dos grafos 2-caminhos e 2-redutíveis, esta definida por WIEGERS (1987).
Diante disso, apresentamos uma prova alternativa para o teorema de caracterização dos
periplanares, já provado por CHARTRAND e HARARY (1967).
Iniciamos nossa contribuição para o estudo de grafos periplanares maximais,
apresentando o algoritmo DESENHA_MOP, que garante, em tempo linear, a
representação gráfica do mop diretamente da sua sequência de graus hamiltoniana. Com
isso, evidenciamos uma nova possibilidade de representação computacional dos mops,
mais simples que a matriz ou listas de adjacência, dada por sua sequência de graus
hamiltoniana. Tomamos ainda mais acentuada a importância da sequência de graus
hamiltoniana para os mops, cuja correspondência biunívoca já havia sido comprovada
por BEYER et al. (1979). Passamos, então, a investigar uma questão mais abrangente:
dada uma freqüência de graus, é possível construir uma sequência de graus,
supostamente hamiltoniana, que tenha um mop como sua realização? Sabemos que, a
partir de uma dada frequência de graus (supondo-se tratar de um grafo hamiltoniano),
podemos construir até seqüências de graus hamiltonianas distintas, ou seja, cadeias 2n
não-sinônimas. Mesmo conhecendo-se um algoritmo linear que reconhece a existência
de um mop como realização de uma seqüência de graus hamiltoniana, torna-se
exponencial responder ao nosso questionamento, caso o procedimento seja enumerativo.
A partir de então, passamos a determinar condições necessárias para que uma cadeia
represente a sequência de graus hamiltoniana de um mop. Entre os resultados obtidos,
alguns indicam subcadeias que são obrigadas a ocorrer em uma sequência de graus
hamiltoniana satisfazendo uma dada frequência, outros determinam cadeias proibidas
como subseqüências de sequência de graus hamiltoniana de um mop. Para este último
caso, enunciamos o teorema 4.1, cuja significância se deve ao seu caráter generalizador.
Por outro lado, mas ainda como subproduto da unicidade da realização das seqüências
de graus hamiltonianas de mops, definimos diversas subfamílias de mops através de
regras de construção das sequências de graus hamiltonianas. Os grafos leques,
serpentinas, gregas e coroas são algumas dessas subfamílias. Mostramos que pelo menos
duas subfamílias de mops - leques e serpentinas - são também únicas realizações para
suas respectivas freqüências de graus. Sugerimos, a partir daí, a possibilidade da
existência de outros casos, onde a própria frequência de graus determina unicamente um
grafo, tanto para a classe dos mops, quanto para qualquer outra classe de grafos.
Diante da inexistência de grafos regulares na classe dos mops, surge um segundo
questionamento: como caracterizar os grafos dessa família que concentram o maior
número de vértices de um mesmo grau? Definimos, então, grafos (&r)-maxregulares,
conceito que generaliza a regularidade usual em grafos e, portanto, é aplicável a qualquer
classe de grafos. Em geral, a maxregularidade toma-se mais apropriada para as famílias
de grafos caracterizadas por propriedades que imponham limites a soma dos graus dos
vértices de seus grafos elou restrições na sua relação de adjacência, como por exemplo
as árvores, os planares, etc. Sendo a família dos periplanares maximais o nosso objeto de
estudo, caracterizamos todos os mops (n,r)-maxregulares, para r 2 2 e n 2 r + 1.
Assim, dados n e r, somos capazes de exibir uma frequência de graus e sua realização
correspondentes a um mop (n,r)-maxregular. Numa das etapas dessas caracterizações,
ocasião em que passamos a utilizar um procedimento construtivo, surgiu a necessidade
de um novo conceito: os equilibradores. Trabalhamos com a definição de equilibradores
no universo dos mops, porém sugerimos que este conceito também seja ampliado para
outras classes de grafos.
Nos grafos periplanares maximais a relação de adjacência é acentuadamente
dependente dos graus dos vértices. Surge, assim, a nossa terceira investigação:
valorando cada aresta de um rnop pelo menor grau de seus vértices extremos, que grafos
desta família maximizam a soma desses valores atribuídos as arestas? A partir desta
valoração de arestas, que denominamos tensão da aresta, calculamos a tensão e tensão
interna dos mops (n,r)-maxregulares, para alguns dos quais as somas encontradas são os
limites superiores e não a soma exata. Provamos que o rnop serpentina é o que possui a
maior tensão na sua classe e, como conseqüência, o rnop grega é o de maior tensão
interna. Como aplicação deste conceito, mencionamos o cálculo do custo computacional
na pesquisa da existência das arestas de um grafo, quando este é representado na
memória por suas listas de adjacência. Mostramos que o conceito de tensão interna de
um rnop fornece o pior caso para o algoritmo PERI-TESTE de reconhecimento da
periplanaridade, quando o grafo de entrada é um mop. Assim, mostramos que o rnop
grega é o pior caso para esse algoritmo, e provamos a conjectura de WIEGERS (1987):
que o teste existe-aresta toma-se linear em consequência de características intrínsecas
aos grafos periplanares.
Como temas para trabalhos futuros, tendo em vista a generalidade do conceito,
aqui estudado especificamente em periplanares, sugerimos aplicar o conceito de
maxregularidade em outras classes de grafos. Para estas famílias, devemos procurar
classifícar subfamílias coerentes, a semelhança do que realizamos para os mops. As
famílias das árvores e a dos planares são exemplos de nosso interesse. É nossa intenção,
ainda, estender este conceito para grafos orientados.
Propomos, também, a aplicação dos conceitos de tensão e de equilibradores em
estudos gerais de grafos.
AHO, A.; HOPCROFT, J.; ULLMAN, J., 1974, The Design and Analysis of
Computer Algorithms. Addison-Wesley, Reading, Mass.
BAKER, B. S., 1994, "Approximatio Algorithms for NP-Complete Problems on Planar
Graphs", ACM, vo1.41, pp. 153-180.
BEYER, T.; JONES, W.; MITCHELL, SANDRA L., 1979, "Linear Algorithms for
isomorphism of Maximal Outerplanar7', J. Assoc. Comput. Mach., vol. 26, pp.
603-610.
BIENSTOCK, D.; MONMA, C. L., 1990, "On the Complexity of Embedding Planar
Graphs to Minimize Certain Distance Measures", Algorithmica, n.5, pp. 93-109.
BREHAUT, W. M., 1977, "An Efficient Outerplanarity Algorithm, Proc. 8th S. E.
Conf. on Combinatorics, Graph Theory and Computing, Louisiana State
Univ., Baton Rouge, La., pp. 99-1 13. Congressus Numerantium, No. XIX,
Utilitas Math., Winnipeg, Man., 05C99 (68A10).
CHARTRAND, G.; HARARY, F., 1967, 'Wanar Perrnutation Graphs", Ann. Inst.
Fenri Poincare, Vol. 111, pp. 433-438.
COLBOURN, C. J.; BOOTH, K. S., 1981, "Linear Time Automorphism
Algorithms for Trees, Interval Graphs, and Planar Graphs", SIAM J.
Comput., n. 10, pp. 203-225.
DIRAC, G. A., 1953, "A property of 4-Chromatic Graphs", Fund. Math., 40, pp.
42-55.
GOLUMBIC, M. C., 1980, Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs. New
York, Acadernic Press, Inc.
GIBBONS, A., 1989, Algorithmic Graph Theory. Cambridge: Univ. Cambridge
Press.
HARARY, FRANK, 1969, Graph Theory. Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
HOPCROFT, J.; TARJAN, R. E., 1974, Tlfficient Planarity Testing", J. ACM, 21 (4),
pp. 549-568.
JURKIEWICZ, SAMUEL., 1990, Ciclos Hamiltonianos em Grafos Planares. Tese
de M. Sc., COPPEKJFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.
JUSTEL, C. M., 1996, Grafos Periplanares Maximais: Caracterização e
Reconhecimento. Tese de D. Sc., COPPEKJFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.
MANNING, J.; ATALLAH, M. J., 1992, "Fast detection and display of symmetry in
outerplanar graphs", Discrete Applied Mathematics, n.39, p. 13-3 5.
RIANVEL, B., 1972, "Reconstruction of Maximal Outerplanar Graphs", Discrete
Mathematics, n. 2, p.269-278.
MITCHELL, SANDRA L., 1 979, 'linear Algorithms to recognize Outerplanar
and Maximal Outerplanar Graphs", Information Processing Lett., vol. 9, pp.
229-232.
SYSLO, M. M., 1978, "Outerplanar Graphs: Characterizations, Testing, Coding,
and Counting", Buii. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math., 26, pp. 675-684.
SYSLO, M. M., 1986, "On Some Generalizations of Outerplanar Graphs: Results
and Open Problems", LNCS 246, Proc. of Graph-Theory Concepts in
Computer Science, Intem., Workshop WG 86, junho.
TANG, D. T., 1964, %i-Path Networks and Multicomrnodity Flows", IEEE Trans. on
Circuit Theory, n. 1 1.
TRUSCZCZYNSKI, M., 1984, 'mote on Vertex Degrees of Planar Graphs", J. of
Graph Theory, vol. 8, pp. 171-176.
WAKELIN, C. D.; WOODALL, D. R., 1992, "Chromatic Polynornials, Polygon Trees,
and Outerplanar Graphs", J. of Graph Theory, vol. 16, pp. 459-466.
WIEGERS, M., 1987, "Recognizing Outerplanar Graphs in Linear Time", Lecture
Notes in Computer Science, 246.