geração e estimação de processos k-factor garma

Processos k-Factor GARMA

Estimação de Processos k-Factor GARMA

Aishameriane V. Schmidt

Prof. Dr. Cleber BisogninOrientador

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Matemática

Departamento de Estatística

Defesa de Monografia - Dezembro de 2009


Roteiro

1 O fenômeno da longa dependência

2 Objetivos

3 Processos k-Factor GARMA(p,u,λ,q)

4 Estimação

5 Simulações

6 Conclusões

7 Bibliografia


O fenômeno da longa dependência

Longa dependênciaEm séries temporais, a característica de longa dependência dosdados pode ser percebida no domínio do tempo e no domínioda frequência;No domínio da frequência, através da função densidadeespectral;No domínio do tempo, através da função de autocorrelação.

Figura: Função periodograma e função de autocorrelação amostral de um processoARFIMA(p, d , q) onde p = 0 = q e d = 0.4.


O fenômeno da longa dependência

Longa dependênciaEm algumas aplicações, observou-se que os picos na funçãoperiodograma não ocorriam na origem, o que motivou a criaçãode novos processos para modelagem destes problemas.

Figura: Função periodograma dos processos k-Factor GARMA(p,u,λ, q) comp = 0 = q onde: (a) u = 0.4 e λ = 0.2; (b)u = (0.4, 0.45) e λ = (0.2, 0.45).


Objetivos

Objetivos do estudo

i) Gerar o processo k-Factor GARMA;

ii) Estudar os diferentes métodos de estimação dosparâmetros λ e u para o processo k-Factor GARMA paradiferentes valores de k;

iii) Simulações de Monte Carlo;


Objetivos

Objetivos do estudo

i) Gerar o processo k-Factor GARMA;ii) Estudar os diferentes métodos de estimação dos

parâmetros λ e u para o processo k-Factor GARMA paradiferentes valores de k;

iii) Simulações de Monte Carlo;


Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)

Definição dos processos k-Factor GARMA

DefiniçãoSeja {Xt}t∈Z um processo estocástico que satisfaz a equação

φ(B)k∏

j=1

(1− 2ujB + B2)λj (Xt − µ) = θ(B)εt , (1)

onde k é um inteiro finito, |uj | 6 1 e λj é um número fracionário,para j = 1, · · · , k , µ é a média do processo, {εt}t∈Z é um processoruído branco e φ(·) e θ(·) são polinômios de grau p e q. Então,{Xt}t∈Z é um processo auto-regressivo de média móvel k -FactorGegenbauer de ordem (p,u,λ,q), denotado por k -FactorGARMA(p,u,λ,q), onde u = (u1, · · · ,uk )′ e λ = (λ1, · · · , λk )′.



Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q)

Na proposição a seguir, apresentamos alguns resultados sobrek -Factor GARMA(p,u,λ,q) estabelecidos e provados emGiraitis e Leipus (1995) e Woodward et al. (1998).

ProposiçãoSeja {Xt}t∈Z um processo k-Factor GARMA(p,u,λ,q)conforme a Definição 1. Então,

i) o processo {Xt}t∈Z é estacionário se todas as raízes daequação φ(z) = 0 estão fora do círculo unitário, e alémdisso, uj e λj , para 1 6 j 6 k, satisfazem λj < 0.5, quando|uj | < 1 e λj < 0.25, quando |uj | = 1, para j = 1, · · · , k;

ii) o processo estacionário {Xt}t∈Z possui longa dependênciase satisfaz as condições do item i) desta proposição e,além disso, λj > 0, para 1 6 j 6 k;



Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q) (cont.)

Proposição

iii) a função densidade espectral do processo k-FactorGARMA, definido pela expressão (1), é dada por

fX (w) =σ2ε

2π|θ(e−iw )|2

|φ(e−iw )|2k∏

j=1

[2(cos(w)− uj)]−2λj , (2)

onde 0 < w 6 π e Gj = cos−1(uj) são as chamadasfrequências de Gegenbauer. fX (·) é ilimitada nasfrequências Gj = cos−1(uj), j = 1, · · · , k.




Figura: Função densidade espectral dos processos k -Factor GARMA(p,u,λ, q) comp = 0 = q onde: (a) λ = (0.2, 0.2) e u = (−0.4, 0.8); (b) u = (−0.7, 0.3, 0.9) eλ = (0.2, 0.2, 0.2).




(Causalidade) Suposições:

uj distintos;0 < λj < 0.5 quando |uj | = 1 ou0 < λj < 0.25 quando |uj | < 1 para j = 1,2, · · · ,n.

Então {Xt}t∈Z é um processo causal se e somente se φ(z) 6= 0para todo z ∈ C, tal que |z| ≤ 1.

ψ(z) =∑`>0

ψ`z` =θ(z)

φ(z)

k∏j=1

(1− 2ujB+B2)−λj , para todo |z| ≤ 1

(3)




(Causalidade) Suposições:uj distintos;0 < λj < 0.5 quando |uj | = 1 ou0 < λj < 0.25 quando |uj | < 1 para j = 1,2, · · · ,n.

Então {Xt}t∈Z é um processo causal se e somente se φ(z) 6= 0para todo z ∈ C, tal que |z| ≤ 1.

ψ(z) =∑`>0

ψ`z` =θ(z)

φ(z)

k∏j=1

(1− 2ujB+B2)−λj , para todo |z| ≤ 1

(3)




(Invertibilidade) Suposições:

uj distintos;0 < λj < 0.5 quando |uj | = 1 ou0 < λj < 0.25 quando |uj | < 1 para j = 1,2, · · · ,n.

Então {Xt}t∈Z é um processo inversível se e somente seθ(z) 6= 0 para todo z ∈ C, tal que |z| ≤ 1.

π(z) =∑l>0

πlz l =φ(z)

θ(z)

k∏j=1

(1− 2ujB + B2)λj , para todo |z| ≤ 1

(4)




(Invertibilidade) Suposições:uj distintos;0 < λj < 0.5 quando |uj | = 1 ou0 < λj < 0.25 quando |uj | < 1 para j = 1,2, · · · ,n.

Então {Xt}t∈Z é um processo inversível se e somente seθ(z) 6= 0 para todo z ∈ C, tal que |z| ≤ 1.

π(z) =∑l>0

πlz l =φ(z)

θ(z)

k∏j=1

(1− 2ujB + B2)λj , para todo |z| ≤ 1

(4)




Proposição

Seja {Xt}t∈Z um processo k-Factor GARMA(p,u,λ,q)causal. Então a função de autocovariância γx (h), h ∈ Z≤ édada por:

γx (h) = σ2ε

∑j∈Z

ΨjΨj+h, (5)

onde {Ψj}j∈Z≤ são os coeficientes da representaçãoMA(∞) dados pela equação (3).


Estimação

Estimadores utilizados

GPH: Estimador semi-paramétrico que utiliza a funçãoperiodograma;BA: É baseado no uso da função periodograma suavizadode covariâncias;

EMLE: É obtido maximizando-se a função deverossimilhança;W: Utiliza uma aproximação para a matriz de covariâncias.


Estimação

Estimadores utilizados

GPH: Estimador semi-paramétrico que utiliza a funçãoperiodograma;BA: É baseado no uso da função periodograma suavizadode covariâncias;EMLE: É obtido maximizando-se a função deverossimilhança;W: Utiliza uma aproximação para a matriz de covariâncias.


Simulações

SimulaçõesCenário 1a: Estimação paramétrica com o estimador W para oprocesso k -Factor GARMA(p,u,λ,q) com k = 4 e p = 1 = qcomparado com p = 0 = q

Figura: Gráfico do intervalo de confiança a 95% para a média da estimação paramétrica (W) dos parâmetrosna série de um k-Factor GARMA (p,λ, u, q), onde λ = (0.1, 0.2, 0.5, 0.6, 0.8), u = (0.1, 0.2, 0.25, 0.3, 0.4),p = 0 = q e n = 1000.


Simulações

SimulaçõesCenário 1a: Estimação paramétrica com o estimador W para oprocesso k -Factor GARMA(p,u,λ,q) com k = 4 e p = 1 = qcomparado com p = 0 = q

Figura: Gráfico do intervalo de confiança a 95% para a média da estimação paramétrica (W) dos parâmetrosde um k-Factor GARMA (p,λ, u, q), onde λ = (0.1, 0.2, 0.5, 0.6, 0.8), u = (0.1, 0.2, 0.25, 0.3, 0.4),p = 1 = q, φ = 0.3 e θ = 0.5 para n = 1000.


Simulações

SimulaçõesCenário 1b: Vício estimadores semiparamétricos para k = 4

Figura: Gráfico do vício da estimação semiparamétrica do parâmetroλ = λ1, λ2 de um k-Factor GARMA (p,λ,u,q), ondeλ = (0.1,0.2,0.5,0.6,0.8), u = (0.1,0.2,0.25,0.3,0.4) paran = 1000: (a) p = 1 = q, φ = 0.3 e θ = 0.5; (b) p = q = 0.


Simulações

Simulações

Cenário 1c: Estimativa média dos semiparamétricos para k = 4

Tabela: Média, EQM e Variância para as estimativas semiparamétricas do parâmetro λ = λ1, λ2 de umk-Factor GARMA (p,λ, u, q), onde λ = (0.1, 0.2, 0.5, 0.6, 0.8), u = (0.1, 0.2, 0.25, 0.3, 0.4) para n = 1000 eα = 0.80.

α = 0.80GPH.MQ GPH.MM GPH.MPQ

p = 0 = q p = 1 = q p = 0 = q p = 1 = q p = 0 = q p = 1 = qMédia 0,1259 0,4039 0,2131 0,5406 0,1386 0,4283EQM 0,0007 0,0923 0,0128 0,1942 0,0015 0,1078VAR 0,0446 0,0461 0,2371 0,2970 0,0835 0,0898

α = 0.80BA.MQ BA.MM BA.MQP



Simulações

Simulações

Cenário 1c: Estimativa média dos semiparamétricos para k = 4

Tabela: Média, EQM e Variância para as estimativas semiparamétricas do parâmetro λ = λ1, λ2 de umk-Factor GARMA (p,λ, u, q), onde λ = (0.1, 0.2, 0.5, 0.6, 0.8), u = (0.1, 0.2, 0.25, 0.3, 0.4) para n = 1000 eα = 0.89.

α = 0.89GPH.MQ GPH.MM GPH.MPQ


α = 0.89BA.MQ BA.MM BA.MQP



Simulações

SimulaçõesCenário 2: A presença ou não de mínimos locais na FV

Figura: Gráfico da Função de Verossimilhança estimada pelo estimador W para o processo k -Factor GARMA(p, u,λ, q), onde λ = 0.3, u = 0.6, p = 0 = q, n = 1000.


Simulações

SimulaçõesCenário 2: A presença ou não de mínimos locais na FV

Figura: Gráfico da Função de Verossimilhança pelo estimada pelo estimador de máxima verossimilhança parao processo k -Factor GARMA (p, u,λ, q), onde λ = 0.3, u = 0.6, p = 0 = q, n = 1000.


Simulações

SimulaçõesCenário 3: Vício ao quadrado e variância dos estimadoressemiparamétricos para k = 1

Figura: Gráfico do vício ao quadrado (cinza-triângulo) e variância (escuro-círculo) de um k -Factor GARMA(p, u,λ, q), com µ = 0, k = 1, λ = 0.3, u = 0.9, p = 0 = q, n = 1000,α ∈ {0.60, 0.62, 0.64, · · · , 0.88, 0.89} e re = 5000 para o estimador BA em suas três versões: (a) BA.MQ; (b)BA.MM; (c) BA.MQP.


Simulações

SimulaçõesCenário 3: Vício ao quadrado e variância dos estimadoressemiparamétricos para k = 2

Figura: Gráfico do vício ao quadrado (cinza-triângulo) e variância (escuro-círculo) de λ2 de um k -FactorGARMA (p, u,λ, q), com µ = 0, k = 2, λ = {0.1, 0.3}, u = {0.2, 0.9}, p = 0 = q, n = 1000,α ∈ {0.60, 0.62, 0.64, · · · , 0.88, 0.89} e re = 5000 para o estimador BA em suas três versões: (a) BA.MQ; (b)BA.MM; (c) BA.MQP.


Simulações

Simulações

Cenário 4: Comparação dos estimadores paramétricos

Tabela: Estimação paramétrica dos parâmetros do processo GARMA(0,u, λ,0), para diferentes pares de valores de u e λ.

λ = 0.3 e u = 0.6 λ = 0.4 e u = 0.6W EMLE W EMLE

λ u λ u λ u λ uMédia 0,2947 0,6005 0,3089 0,5973 0,3928 0,6001 0,4019 0,6005Vício -0,0053 0,0005 0,0089 -0,0027 -0,0072 0,0001 0,0019 0,0005EQM 0,0007 0,0002 0,0059 0,0011 0,0007 0,0001 0,0005 0,0000

Var 0,0007 0,0002 0,0058 0,0011 0,0007 0,0001 0,0005 0,0000


Conclusões

Conclusões

Convergência em quadrado médio e quase certamentedas representações MA(∞) e AR(∞);

Previsões para os processos k-Factor GARMA (p,u,λ,q);Expressão para a função de autocovariância γx (h)baseada na representação MA(∞);Apresentados dois estimadores da classesemiparamétrica e dois na classe paramétrica;


Conclusões

Conclusões

Convergência em quadrado médio e quase certamentedas representações MA(∞) e AR(∞);Previsões para os processos k-Factor GARMA (p,u,λ,q);

Expressão para a função de autocovariância γx (h)baseada na representação MA(∞);Apresentados dois estimadores da classesemiparamétrica e dois na classe paramétrica;


Conclusões

Conclusões

Convergência em quadrado médio e quase certamentedas representações MA(∞) e AR(∞);Previsões para os processos k-Factor GARMA (p,u,λ,q);Expressão para a função de autocovariância γx (h)baseada na representação MA(∞);

Apresentados dois estimadores da classesemiparamétrica e dois na classe paramétrica;


Conclusões

Conclusões

Convergência em quadrado médio e quase certamentedas representações MA(∞) e AR(∞);Previsões para os processos k-Factor GARMA (p,u,λ,q);Expressão para a função de autocovariância γx (h)baseada na representação MA(∞);Apresentados dois estimadores da classesemiparamétrica e dois na classe paramétrica;


Conclusões

Conclusões

Na estimação semiparamétrica, os estimadores robustosem geral apresentam melhores características;

Necessidade de utilizar valores de α altos para osestimadores semiparamétricos;Os estimadores paramétricos necessitam uma estimativainicial boa;A presença de φ e θ apresentou forte influência nasestimativas semiparamétricas.


Conclusões

Conclusões

Na estimação semiparamétrica, os estimadores robustosem geral apresentam melhores características;Necessidade de utilizar valores de α altos para osestimadores semiparamétricos;

Os estimadores paramétricos necessitam uma estimativainicial boa;A presença de φ e θ apresentou forte influência nasestimativas semiparamétricas.


Conclusões

Conclusões

Na estimação semiparamétrica, os estimadores robustosem geral apresentam melhores características;Necessidade de utilizar valores de α altos para osestimadores semiparamétricos;Os estimadores paramétricos necessitam uma estimativainicial boa;

A presença de φ e θ apresentou forte influência nasestimativas semiparamétricas.


Conclusões

Conclusões

Na estimação semiparamétrica, os estimadores robustosem geral apresentam melhores características;Necessidade de utilizar valores de α altos para osestimadores semiparamétricos;Os estimadores paramétricos necessitam uma estimativainicial boa;A presença de φ e θ apresentou forte influência nasestimativas semiparamétricas.


Bibliografia

Referências BibliográficasBrockwell, P.J. e R.A. Davis (1991). Time Series: Theoryand Methods. New York: Springer-Verlag.

Bisognin, C. (2007). Estimação e Previsão em ProcessosSARFIMA(p,d ,q)x(P,D,Q)s na Presença de Outliers.Tese de Doutorado, Instituto de Matemática, UFRGS.

Ferrara , L. e D. Guégan (2001). “Forecasting with k-factorGegenbauer processes: Theory and Applications". Journal ofForecasting, Vol. 20, pp. 581-601.

Fox, R. e M.S. Taqqu (1986). “Large-sample Properties ofParameter Estimates for Strongly Dependent StationaryGaussian Time Series”. The Annals of Statistics, Vol. 14, pp.517-532.

Geweke, J. e S. Porter-Hudak (1983). “The Estimation andApplication of Long Memory Time Series Model”. Journal of TimeSeries Analysis, Vol. 4(4), pp. 221-238.


Bibliografia

Referências Bibliográficas

Giraitis, L. e R. Leipus (1995). “A Generalized FractionallyDifferencing Approach in Long Memory Modelling”.Lithuanian Mathematical Journal, Vol. 35(1), pp. 53-65.

Gray, H. L., N-F. Zhang e W.A. Woodward (1989). “OnGeneralized Fractional Processes”. Journal of Time SeriesAnalysis, Vol. 10(3), pp. 233-257.

Sowell, F. (1992). “Maximum Likelihood Estimation ofStationary Univariate Fractionally Integrated Time SeriesModels”. Journal of Econometrics, Vol. 53, pp. 165-188.

Woodward, W.A., Q.C. Cheng e H.L. Gray (1998). “Ak -Factor GARMA Long-Memory Model”. Journal of TimeSeries Analysis, Vol. 19(4), pp. 485-504.


Estimação de Processos k-Factor GARMA

Aishameriane V. Schmidt

Prof. Dr. Cleber BisogninOrientador

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Matemática

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