geometria espacial - estudo da esfera - celso brasil

Exercícios resolvidos de Geometria Espacial – Esfera –

C.R.Brasil

Esfera Teoria

Definição

Por definição, uma superfície esférica é o lugar geométrico dos

pontos do espaço que estão à mesma distância de certo ponto - o

centro.

Uma esfera é o lugar geométrico dos pontos do espaço pertencentes

à superfície esférica e ao seu interior.

A esfera surge da revolução de uma semicircunferência. Observe:

https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4872067393347387890

GEOMETRIA ESPACIAL – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – ESFERA

Celso do Rosário Brasil

1

Esse corpo circular possui inúmeras aplicações cotidianas.

Seu volume depende do tamanho do raio, que é à distância do centro da esfera a qualquer ponto da extremidade.

A fórmula matemática utilizada para determinar o volume da esfera é a seguinte:

Localização dos pontos pertencentes a uma Superfície Esférica e a uma Esfera

Superfície Esférica





2

Os pontos A e B pertencem à Superfície Esférica de centro C e raio igual ao comprimento do segmento de reta [CA].

Os pontos E e G pertencem ao exterior da Superfície Esférica de

centro C e raio igual ao comprimento do segmento de reta [CA].

O ponto D pertence ao interior da Superfície Esférica.

Os pontos A, B, C, D e F são pontos pertencentes à esfera

de centro C e raio [CA].

Os pontos E e G pertencem ao exterior da esfera.

Exemplos

Em situações do dia a dia existem muitos os exemplos de superfícies esféricas e esferas que podes encontrar.

Bola de futebol

Bola de Basquetebol




3

Bolas de Bilhar e Snooker

Área da esfera

A área de uma superfície esférica de raio r é igual a:

Volume da e Seu volume depende do tamanho do raio, que é à distância do centro da esfera a qualquer ponto da extremidade.

O volume de uma esfera de raio “r” é igual a:

4

Exercícios resolvidos

01. Uma laranja tem a forma esférica. Assim sendo, qual é,

aproximadamente, a área da casca de uma laranja com 8 cm de

diâmetro?

Adote: π = 3,14.

Solução: Se o diâmetro da laranja vale 8 cm, então, seu raio vale 4 cm. A área da esfera (S) é dada por: 2 2

http://images.search.yahoo.com/images/view;_ylt=A0PDoX_PQUNSjFMACB6JzbkF;_ylu=X3oDMTFydHVubjExBHNlYwNzcgRzbGsDaW1nBG9pZAM1Y2JlN2M2YWMyZTM0ZjkwOTU3ODA2ZTllNjY3ZDIzMgRncG9zAzU2?back=http://images.search.yahoo.com/yhs/search?p=LARANJA&hsimp=yhs-yhsifmclone1&hspart=Babylon&tab=organic&ri=56&w=1024&h=806&imgurl=www.faizani.com/resources/free_wallpapers/images/fruitOrange325.jpg&rurl=http://ejacentro2floripa.blogspot.com/2008/09/caso-da-laranja.html&size=75.4KB&name=EJA+Centro+2:+O+Caso+da+Laranja&p=LARANJA&oid=5cbe7c6ac2e34f90957806e9e667d232&fr2=&fr=&tt=EJA+Centro+2:+O+Caso+da+Laranja&b=31&ni=160&no=56&ts=&tab=organic&sigr=1228jip9k&sigb=13b8gdb44&sigi=123r9bqqd&.crumb=GLFlSQZ9szR&hsimp=yhs-yhsifmclone1&hspart=Babylon

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5

02. Duas esferas metálicas de raios r e 2r são fundidas e moldadas em forma de um cilindro de altura 3r. Qual é o raio R do cilindro?

Solução: Volume da esfera metálica de raio r:

olu e da esfera et lica de raio r

Somar os volumes das esferas

Volume do cilindro será igual ao volume das esferas. olu e do cilindro = π.r².h, onde altura igual a 3r. Vamos determinar o raio R do cilindro. π. R².3r = 1 .π.r³ R² = 12. r³ / 3r R² = 4r² R = 2r Temos que o raio do cilindro é 2r.



6

03. Uma fábrica de bombons deseja produzir 20 000 unidades no formato de uma esfera de raio 1 cm. Determine o volume de cada bombom e a quantidade de chocolate necessária para produzir esse número de bombons. Volume de cada bombom:

A quantidade de chocolate necessária para a produção das 20.000 unidades é de: 4,18 x 20.000 = 83.600 cm³ Sabemos que 1 cm³ = 1 ml, então 83.600 cm³ corresponde a 83.600 ml de chocolate ou 83,6 quilos. Portanto, a fábrica irá gastar 83,6 quilos de chocolate, e o volume de cada bombom será de 4,18 cm³.

04. A esfera da figura está inscrita em um cilindro. Se o volume da esfera

é:

.

Qual é o volume do cilindro?

(a) 8 π c ³ (b) 1 π c ³ (c) 16 π cm³ (d) 3 π c ³ (e) 64 π c ³

Solução:

Igualamos a fórmula do volume de uma esfera, com o valor dado, isso permitirá saber o raio da esfera, que é o raio da circunferência do



7

cilindro... Além disso, duas vezes o raio é a altura do cilindro, vejamos:

05. A área de uma superfície esférica é “S”. Calcule o raio “R” da esfera em função de “S” e dê o valor de “R” quando S = 36 π cm². Solução: 06. O diâmetro de uma esfera é igual ao raio de outra esfera. Qual é a razão entre as áreas das superfícies esféricas? Solução:

𝜋 𝑟3

𝜋 𝑟3 𝑟3 𝒓 𝟐

𝑉 𝜋𝑟2 ℎ

𝑉 𝜋𝑥 2𝑥

Volume do cilindro:

𝑽 𝟏𝟔𝝅 (Resposta: letra c).

𝑆 𝜋 𝑅2 𝜋𝑅2 𝑆 𝑅2 𝑆

𝜋 𝑅

𝑆

𝜋 𝑅

𝑆

𝜋

𝑹 𝑺𝝅

𝟐𝝅

𝑹 𝟑 𝒄𝒎

Quando S = 36 π cm² 𝑹 𝑺𝝅

𝟐𝝅 𝑹

𝟑𝟔𝝅𝒙𝝅

𝟐𝝅 𝑹

𝟑𝟔𝝅𝟐

𝟐𝝅



8

07. A figura abaixo representa um hemisfério. Qual é a área da superfície desse hemisfério? Dados: Diâmetro = 20 m e π= 3,14. 08. Um plano secciona uma esfera a 4 cm do centro 0, determinando uma secção plana de raio 3 cm. Calcule o volume dessa esfera e a área de superfície.

𝑺𝟏

𝑺𝟐

𝟒𝝅𝒓𝟏𝟐

𝟒𝝅𝒓𝟐𝟐

𝒓𝟏𝟐

𝒓𝟐𝟐

𝒓𝟐𝟐

𝒓𝟐𝟐

𝒓𝟐𝟐

𝟒𝒓𝟐𝟐 𝒓𝟐𝟐

𝟒 𝒙𝟏

𝒓𝟐𝟐

𝑺𝟏

𝑺𝟐

𝟏

𝟒

Sejam d1 e r2 o diâmetro da esfera 1 e o raio da esfera 2, respectivamente: ESFERA 1

d1 = r2 2 r1 = r2 𝒓𝟏 𝒓𝟐

𝟐

Razão entre as áreas: Sejam S1 e S2 as áreas das esferas 1 e 2, respectivamente. Logo:

20 m

𝑺 𝜋𝑟2

𝑆 2

𝑆

𝑺 𝟔𝟐𝟖 𝒎

Solução: A área do hemisfério equivale à metade da área de uma esfera de raio r= 10 m:



9

Solução:

09. Na figura a seguir, o raio da esfera mede 10 cm, e a distância do centro desta ao plano β é igual a 8 cm. Calcule a área da secção plana determinada pela intersecção do plano b com a esfera.

Solução: 10- Duas esferas maciças, cujos raios medem 4 cm e 8 cm, são fundidas para moldar uma única esfera. Calcule a medida do raio dessa nova esfera. Solução:

4 cm

3 cm

R 𝑽

𝟒𝝅𝑹𝟑

𝟑 𝑽

𝟒𝝅𝟓𝟑

𝟑 𝑽

𝟒 𝟏𝟐𝟓𝝅

𝟑 𝑽

𝟓𝟎𝟎𝝅

𝟑𝒄𝒎𝟑

𝑆 𝜋 𝑅 𝑆 𝜋5 𝑺 𝟏𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎

R² = 3²+4² R²= 16+9 R²=25 R= 5 cm

𝑆 𝜋𝑟 𝑆 𝜋 𝑺 𝟑𝟔𝝅 𝒄𝒎

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo da figura ao lado, temos:

d²+8²=10²d²=100-64 d=6 cm Assim, a área de secção, determinada pela intersecção do plano e a esfera, é igual a:

8

d

10



10

11- Uma esfera tem raio de medida 13 cm. A intersecção dessa esfera com um plano é um círculo cujo diâmetro mede 10 cm. A distância desse plano ao centro da esfera é: 12. Uma esfera de centro O e raio 15 cm é seccionada por um plano a 12 cm de O. Calcule: a) a área da secção plana, b) a área da superfície esférica, c) o volume da esfera.

𝜋 𝑅3

𝜋 𝑅13

𝜋 𝑅2

3

𝜋 𝑅3

𝜋 3

𝜋 3

𝜋 𝑅3

5 𝜋

𝜋

𝜋 𝑅3

𝜋

𝜋𝑅3 𝜋

𝑅 𝜋

𝜋 𝑅 57 𝑅 57

3 𝑅 6 2

3 𝑹 𝟒 𝟗

𝟑 𝒄𝒎

O volume da nova esfera é igual à soma dos volumes das outras duas. Sendo R a medida do raio da nova esfera, temos:

13 cm d

5 cm

d² + 5² = 13² d²= 169-25d²= 144 d= 12 cm

a) 6 cm b) 9 cm c) 11 cm d) 10 cm e) 12 cm



11

Solução: 13. Um círculo máximo de uma esfera separa-a em dois sólidos chamados de hemisférios ou semiesfera. Calcule o volume e a área de um hemisfério de raio 3 cm. 14. Uma fundição transformou uma esfera maciça de ferro em oito esferas maciças de raio 5 cm. Qual é a medida do raio da esfera original?

O

r

15 cm 12 cm

𝑆 𝜋𝑟 𝑆 𝜋 𝑆 𝟖𝟏𝝅 𝒄𝒎

r²+12² = 15² r²=225-144r=9 cm a) A área da secção plana é dada por:

𝑆 𝜋𝑅2 𝑆 𝜋 52 𝑆 𝜋 5 𝑺 𝟗𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟐

𝑉 𝜋𝑅

𝑉

𝜋 5

𝑽 𝟒 𝟓𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎

b) A área da superfície esférica é dada por:

c) O volume da esfera é dado por:

𝑉

𝜋 𝑟

𝑉

𝜋

𝑉

𝜋 7

𝑽 𝟏𝟖𝝅 𝒄𝒎

Solução: (1) Cálculo do Volume da semiesfera:



12

15. Um ourives banhou em ouro 40 peças esféricas de 5 mm de raio. O custo de cada milímetro quadrado desse banho foi R$ 0,05. Qual foi o custo total (Adote: π=3,14) Solução: 16. Ao cair em uma cavidade em forma de cone circular reto de altura 16 cm e raio da base 12 cm, uma esfera estacionou com seu centro a 2 cm do vértice do cone, conforme mostra a figura.

𝜋𝑅

𝜋5

𝜋𝑅

𝜋

𝑅

3 𝑹 𝟏𝟎 𝒄𝒎

Solução: Sendo R a medida em cm, do raio da esfera original, temos:

𝑆 𝜋 𝑟 𝑆 5 𝑺 𝟑𝟏𝟒 𝒎𝒎

A área de cada superfície esférica é:

A área total banhada em ouro é:

St=40.SSt = 40.314St= 12.560 mm² O custo total foi:

C= 0,05.12560 C = R$ 628,00

2 cm



13

a) A figura abaixo representa uma secção meridiana desse cone, em que a geratriz AB tangencia a esfera no ponto T. Prove que os triângulos ABC e AOT são semelhantes. b) Calcule o volume da esfera.

12 cm

2 cm

A

T

O

12 cm C B

𝑅

𝐴𝐵

Solução: a) Note que o raio da esfera é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência. Assim: O ângulo C é congruente ao ângulo T (I) O ângulo A é comum aos triângulos ATO e ACB. Assim: Os ângulos OAT ≅ CAB (II) As condições de (I) e (II) caracterizam o caso ângulo-ângulo de semelhança de triângulos, portanto: ∆𝑶𝑨𝑻 ~ ∆𝑪𝑨𝑩 b) Sendo R a medida, em cm, do raio da esfera, temos, pela semelhança de triângulos demonstrada no item “a” e pelo Teorema de Pitágoras:

(AB)² = 12²+16² (AB)²= 400 AB = 20

𝑅

𝐴𝐵

𝑅

𝑅

𝑹 𝟏 𝟐 𝒄𝒎

O Volume da esfera é dado por:

V = 4𝜋 1 2 3

3 𝑉

4𝜋 1 728

3 𝑉

6 912𝜋

3

V= 2,304π cm³



14

17. Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20 cm e raio de base r = 2 cm com determinado número de esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. Quanto vale o volume interior ao cilindro e exterior às esferas?

Solução:

h=20 cm

r= 2 cm

𝑉 𝜋𝑟

𝑉

𝜋

𝑉

𝜋

𝑽

𝟑𝟐𝝅

𝟑𝒄𝒎

𝑉 5 𝜋

𝑽

𝟏𝟔𝟎𝝅

𝟑 𝒄𝒎

Primeiro, vamos calcular o volume de cada esfera (Note que o raio do cilindro é igual ao raio de cada esfera). Assim:

Como as esferas são tangentes entre si, o diâmetro de cada uma vale 2.2 = 4 cm, logo, cabem 5 esferas (altura do cilindro = 20 cm) dentro do cilindro. Portanto, o volume total ocupado pelas esferas vale:

Vamos calcular o volume do cilindro:

V= Sb.h V=𝜋 2 𝑽 𝟖𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟑 Logo, o volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale:

V= 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑉 𝜋 −160𝜋

3 𝑉

240𝜋−160𝜋

3 𝑽

𝟖𝟎𝝅

𝟑 𝒄𝒎



15

18. Calcule o volume de uma cunha esférica de raio 3 cm cujo ângulo diedro mede 40°.

40°

3 cm

Solução: A razão entre o volume de uma esfera e a medida do ângulo diedro de uma volta completa (360° ou 2π rad) é igual à razão entre o volume de uma cunha qualquer dessa esfera e a medida de seu ângulo diedro. Assim, o volume V da cunha em questão pode ser calculado através de uma regra de três simples:

Ângulo (em graus) Volume (em cm³)

360°------------------------------------4𝜋 33

3

40°------------------------------------V

𝑉 𝜋

𝑉

𝜋

𝑽 𝟒𝝅 𝒄𝒎



16

19. Calcule a área de um fuso esférico de raio 10 m cujo ângulo

diedro mede

20. No jogo de bola disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura a seguir. Qual é a distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão?

𝜋

5 rad

Solução: A razão entre a área da superfície de uma esfera e a medida do ângulo diedro de uma volta completa (360° ou 2π rad) é igual à razão entre a área de um fuso qualquer dessa superfície e a medida de seu ângulo diedro. Assim, a área “S” do fuso esférico em questão pode ser calculada pela regra de três simples:

𝑆

𝜋5 𝜋

𝜋 𝑆

𝜋

𝜋 𝑺 𝟒𝟎𝝅 𝒎

Ângulo (rad) Área (m²) 2π------------------------------------4π.10²

𝜋

5−−−−−−−−−−−− S



17

21. De uma melancia com o formato de uma esfera de raio 15 cm retirou-se um pedaço em forma de cunha esférica com ângulo diedro de 30°. a) Calcule o volume desse pedaço, b) Calcule a área do fuso esférico referente a esse pedaço, c) Calcule a área desse pedaço.

A B

Solução: Podemos representar a situação acima apresentada da seguinte maneira:

A B

O

O’

8 4

C

Observe que a distância “x” entre os pontos A e B é igual à distância entre os pontos C e O’. Logo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo OCO’. Assim:

x²+4² = 12² x² = 144-16 x²= 128 x= 𝒙 𝟖 𝟐

x



18

22. Os raios de duas esferas concêntricas medem, 15 cm e 9 cm. Calcule a área feita na esfera maior por um plano tangente à outra esfera.

30° 15 cm

𝑉 °

𝜋 75

° 𝑉

5 𝜋

𝑽 𝟑𝟕𝟓 𝒄𝒎

Solução: a) Ângulo (em graus) Volume (cm³)

360°----------------------------------------4𝜋 15 3

3

30°---------------------------------------- V

b) Ângulo (em graus) Área (cm²) 360------------------------------------4π(15)² 30------------------------------------S

𝑆 4𝜋 225 30

360 𝑆

900𝜋 30

360 𝑆

900𝜋

12 𝑺 𝟕𝟓𝝅 𝒄𝒎

𝑆 75𝜋 5𝜋

𝑺 𝟑𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎

c) A área total (S) da superfície da cunha é a soma da área do fuso com as áreas de dois semicírculos de raio 15 cm, isto é:



19

23. Supondo que a circunferência máxima do globo terrestre tenha 40.000 km de comprimento, qual é a área de cada fuso horário, em km²?

s M

d

O r

𝑑2 𝑠2 𝑟2 2 𝑠2 52 𝑠2 5 − 𝒔𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝒐𝒖 𝒔 𝟏𝟐

Solução: Observação: Toda secção plana de uma esfera é um CÍRCULO. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera. Sendo “r” o raio da esfera, “d” a distância do centro da esfera ao plano secante e “s” o raio da secção, temos: d² + s² = r². Na figura acima, temos: r=15 o raio da esfera maior; d=9 o raio da esfera menor e s o raio da secção, logo:

A área da secção é a área do círculo de raio 12.

S= πs² S=π.144 S= 144π cm².



20

24. Um círculo máximo de uma esfera separa-a em dois sólidos chamados de hemisférios ou semiesferas. Calcule o volume e a área de um hemisfério de raio R= 3 cm.

𝟑𝟔𝟎° − − − − − −𝟒𝝅𝑹𝟐

𝜶° − − − − − −− 𝑺𝒇𝒖𝒔𝒐

𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜 𝛼° 𝜋 𝑅2

° 𝑆

5 𝜋 𝜋

2

𝑆

5𝜋

𝜋2

𝑆

5 8

𝜋

𝑆 8

𝜋 𝑺

𝟐

𝟑𝝅 𝟏𝟎𝟖 𝒌𝒎

Solução: Sendo R a medida, em km, do raio da Terra, temos:

C= 2πR 2πR=40.000 πR=20.000 R= 𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎

𝝅

Cada ângulo diedro de cada fuso mede: 𝟑𝟔𝟎°

𝟐𝟒 𝟏𝟓°

A área do fuso é dada por:

3 cm



21

25. Um reservatório de forma esférica (figura abaixo) tem 9 m de raio. Para encher totalmente esse reservatório são necessárias 20 horas. Nessas condições, o reservatório recebe água na razão de quantos m³/h (aproximadamente)? Dado: π=3,14.

𝑉

𝜋𝑅

𝑉 𝜋

𝑉

𝜋 7

𝑉

𝜋

𝑽 𝟏𝟖𝝅 𝒄𝒎

𝑆 𝜋𝑅2

𝑆 𝜋𝑅2 𝑆 𝜋 2 𝑺 𝟏𝟖𝝅 𝒄𝒎𝟐

Solução: (1) O volume do hemisfério é dado por:

(2) A área do hemisfério é dada por:

(3) A área total do hemisfério é dada por:

𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Á𝑟𝑒𝑎ℎ𝑒𝑚𝑖𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑜 Á𝑟𝑒𝑎 𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑆 𝜋 𝜋 𝑺 𝟐𝟕𝝅 𝒄𝒎



22

26. Um reservatório tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro (figura abaixo). Qual será o volume, em litros, de água que enche completamente esse reservatório? Adote: π= 3,14.

𝑉 𝜋 𝑅3

𝑉

3

𝑉

5 7

𝑉

5

𝑽 𝟑𝟎𝟓𝟐 𝟎𝟖 𝒎

5 𝑚

ℎ 𝟏𝟓𝟐 𝟔𝟎 𝒎 /𝒉

Solução: (1) Volume do reservatório:

(2) Vazão no reservatório:

8 m

8 m

8 m



23

27. Quantos mililitros cabem, aproximadamente, na vasilha abaixo? Adote π=23,14.

𝑉 𝑆𝑏 ℎ 𝑉 𝜋𝑟 ℎ 𝑉 𝜋 𝑽 𝟓𝟏𝟐𝝅 𝒎

𝑉

𝜋𝑟

𝑉

𝜋

𝑉

5 𝜋

𝑉

𝜋

:

𝑽

𝟏𝟎𝟐𝟒𝝅

𝟑 𝒎

𝑉𝑟𝑒𝑠𝑟𝑣𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑉ℎ𝑒𝑚𝑖𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑜 𝑉 5 𝜋 𝜋

𝑉

5 𝜋 𝜋

𝑉 5 𝜋

𝑉

5

𝑉

𝑉 ≃ 7 7 𝑚3 𝑉 ≃ 𝟐 𝟔𝟕𝟗 𝟒𝟕𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔

Solução: (1) Volume do cilindro:

(2) Volume do hemisfério:

(3) Volume do reservatório:

5 cm

8 cm

14 cm



24

Solução: A vasilha é formada por dois sólidos:

5 cm

8 cm CILINDRO

ESFERA

14 cm

𝑉 𝜋𝑟2ℎ 𝑉 𝜋 5 2 𝑉 𝜋 5 𝑽 𝟓𝟎𝝅 𝒄𝒎

𝑉 𝜋𝑟

𝑉

𝜋 7

𝑉

𝜋

𝑽

𝟏𝟑𝟕𝟐𝝅

𝟑 𝒄𝒎

𝑉𝑣𝑎𝑠𝑖𝑙ℎ𝑎 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑉 5 𝜋 7 𝜋

𝑉

5 𝜋 7 𝜋

𝑉 5 𝜋

𝑉

5

𝑉

77

𝑽 ≃ 𝟏𝟓𝟗𝟑 𝒄𝒎𝟑

(1) Cálculo do volume do cilindro no qual r= 2,5 cm e h = 8 cm;

(2) Cálculo do volume da esfera de raio r= 7 cm:

(3) Cálculo do volume da vasilha:

Como 1 cm³ = 1 ml, o volume da vasilha é de, aproximadamente, 1593 ml.



25

29. Uma esfera, cuja área da superfície mede 192π cm², circunscreve um cubo. Calcule o volume desse cubo.

28. Uma esfera está inscrita em um cubo cujo volume é igual a 64 dm³. Calcule o volume da esfera.

Solução: Observando a figura ao lado, notamos que a medida da aresta “a” do cubo é o dobro da medida do raio “R”, assim:

a = 2R (1) O volume do cubo vale:

V= 64 dm³ 𝑎 𝑎 3

𝒂 𝟒 𝒅𝒎

(2) Como a=2R 𝑅 𝑹 𝟐 𝒅𝒎 a

a

R

𝑉 𝜋𝑅

𝑉

𝜋

𝑽

𝟑𝟐𝝅

𝟑 𝒅𝒎

(3) Cálculo do Volume da esfera de raio R=2 dm:

D

𝐷 𝑎 𝑅 𝑎 𝑹 𝒂 𝟑

𝟐

Solução: Observe na figura ao lado que a diagonal D do cubo equivale ao dobro do raio R da esfera:

D = 2R Não esqueça que a diagonal do cubo vale:



26

30. Uma esfera está inscrita em um cilindro cuja altura mede 10 cm. Calcule o volume compreendido entre o cilindro e a esfera.

𝑆 𝜋 𝜋𝑅 𝜋 𝑅

𝑅 𝑹 𝟒 𝟑𝒄𝒎

𝟒 𝟑 𝒂 𝟑

𝟐 𝒂 𝟖 𝒄𝒎

(1) De acordo com o enunciado da questão a área da esfera vale:

(2) Como 𝑹 𝒂 𝟑

𝟐, temos:

(3) Assim, o volume do cubo vale: 𝑉 𝑎 𝑉 𝑽 𝟓𝟏𝟐 𝒄𝒎

r r

R

R

H

Solução: Note que na figura ao lado “R” é o raio da esfera, r é o raio da base do cilindro. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo destacado em vermelho, temos: (2R)² = (2r)² + (H)². Além disso, Como a superfície intersecta as bases do cilindro nos seus centros, e o círculo máximo da esfera é congruente às bases do cilindro, então as medidas do raio e da altura do cilindro são iguais, respectivamente, a R e 2R, ou seja o cilindro é equilátero.



27

31. Em uma esfera, está inscrito um cilindro reto cuja altura mede 20 cm e cujo raio da base mede 8 cm. Calcule a área da superfície dessa esfera.

𝑉 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑉 𝜋 5 2 − 𝜋 5 3

𝑉 5 𝜋 −

5 𝜋

𝑉 75 𝜋 − 5 𝜋

𝑽

𝟐𝟓𝟎𝝅

𝟑 𝒄𝒎

Como: H = 10 H = 2r 10=2r r = 5 cm (O raio da base do cilindro e o raio da esfera vale 5 cm). O volume compreendido entre o cilindro e a esfera é dado por:

20 cm 2R

16 cm

𝑅 2 2 2

𝑆 𝜋 𝑅2

𝑆 𝜋 2

𝑆 𝜋

𝑺 𝟔𝟓𝟔𝝅 𝒄𝒎

Solução: De acordo com a figura ao lado, devemos ter:

𝑅2 5 𝑅2 5

𝑅2 𝑅 𝑹 𝟐 𝟒𝟏 𝒄𝒎 Cálculo da área da superfície da esfera:



28

32. Uma esfera foi inscrita em um cubo, conforme a figura abaixo. Calcule o volume dessa esfera e determine a razão entre as áreas da superfície cúbica e da superfície esférica. Considere: π=3,14

r a= 2 cm

𝑉 𝜋 𝑟

𝑉

𝜋

𝑽

𝟒𝝅

𝟑 𝒄𝒎

𝑆 𝑎2 𝑆 2 𝑺 𝟐𝟒 𝒄𝒎𝟐

𝑆 𝜋 𝑟 𝑆 𝜋 2 𝑆 𝜋 𝑐𝑚

𝑆𝑐𝑢𝑏𝑜𝑆𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

𝜋

𝜋

≃ 𝟏 𝟗𝟏

Solução:

Da figura, temos: a = 2r, e a aresta do cubo igual a 2 cm, então r= 1 cm. (1) O volume da esfera é:

(2) A área da superfície cúbica é:

(3) A área da superfície esférica é:

(4) A razão entre as áreas é:



29

33. Uma doceira tem uma panela cilíndrica, cheia até a borda, de massa para fazer brigadeiros. Sabendo que a panela tem formato cilíndrico com 16 cm de altura e 20 cm de diâmetro, quantos brigadeiros esféricos de 2 cm de raio ela poderá fazer? 34. Determine o volume do paralelepípedo abaixo sabendo que o

volume de cada esfera é

cm.

𝑉𝑝=𝜋 𝑟 ℎ 𝑉𝑝=𝜋 10 2 16 𝑽𝒑=𝟏𝟔𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎

𝑉𝑏 𝜋𝑟

𝑉𝑏

𝜋

𝑽𝒃

𝟑𝟐𝝅

𝟑 𝒄𝒎

𝑄𝑏 𝑉𝑝

𝑉𝑏 𝑄𝑏

𝜋

𝜋

𝑄𝑏 𝜋

𝜋 𝑸𝒃 𝟏𝟓𝟎 𝒃𝒓𝒊𝒈𝒂𝒅𝒆𝒊𝒓𝒐𝒔

Solução:

(1) Volume da panela:

(2) Volume do brigadeiro:

(3) Quantidade de brigadeiros:

r r

r r

𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 𝑟 𝑟 𝑟 𝑽𝒑 𝟑𝟐𝒓

Solução: (1) A altura e o comprimento do paralelepípedo são 4 r e a largura 2 r, sendo r o raio de cada esfera. Portanto:

(2) Como o volume de cada esfera é 𝟒

𝟑𝝅

cm, temos: 4

3𝜋

4𝜋𝑟

3 𝑟 𝒓 𝟏 𝒄𝒎

𝑉𝑝 𝑟 𝑉𝑝 𝑽𝒑 𝟑𝟐 𝒄𝒎

Portanto, o volume do paralelepípedo é:



30

35. Se considerarmos uma laranja como uma esfera de raio r composta de 12 gomos exatamente iguais, qual será a medida da superfície total de cada gomo?

𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜 𝜋𝑟 𝛼

° 𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜

𝜋𝑟 °


𝜋𝑟

𝑆𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝜋𝑟

𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜 𝑆𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜋𝑟

𝜋𝑟 𝑺𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍

𝟒𝝅𝒓

𝟑

Solução: Cada gomo pode ser considerado uma cunha esférica segundo um

ângulo de 360°

12 °

A medida da superfície total de cada gomo é igual à área do círculo da face lateral mais a área do fuso esférico: (1) Área do fuso esférico:

(2) Área Lateral:

(3) Área total:



31

36. Calcule o volume da cunha esférica e a área do fuso esférico da figura abaixo.

𝛼 °

r= 4 cm

𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 𝜋𝑟 𝛼

7 ° 𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎

𝜋 °

7 ° 𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎

𝟏𝟐𝟖𝝅

𝟐𝟕 𝒄𝒎

𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜 𝜋𝑟 𝛼


𝜋 °


𝟑𝟐𝝅

𝟗 𝒄𝒎

Solução: (1) O volume da cunha esférica é dado por:

(2) A área do fuso esférico é dada por:



32

37. Uma esfera está inscrita em um cone reto cuja altura mede 8 cm e cujo raio da base mede 6 cm. Calcule o volume dessa esfera. Solução: Da mesma forma como o cubo e o cilindro, também um cone pode inscrever (ou circunscrever) uma esfera. Vamos, inicialmente, considerar uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio R e altura h. Se o cone for equilátero, não há necessidade de utilizar a proporção anterior. Basta lembrar que a medida do raio da esfera é igual 1/3 da medida da altura do cone, ou seja: h = 3r.

r

g

h-r

R

𝒓

𝑹 𝒉− 𝒓

𝒈

Sendo g a medida da geratriz do cone, podemos, por meio de uma semelhança de triângulos, estabelecer a seguinte proporção:

Onde: r=raio da esfera; h=altura do cone, g=geratriz do cone e R= raio da base do cone.

r

R

r

2r

2R

𝑅 2 𝑅 2 𝑟 2 𝑅2 𝑅2 𝑟2

𝑅 𝑟 𝑹 𝒓 𝟑

Assim por meio do Teorema de Pitágoras, temos:

h



33

Agora podemos resolver à questão proposta: Sendo: h= 8 cm e R= 6 cm, a altura e o raio da base do cone. Como g é a medida da geratriz do cone, temos que:

g² = 6² + 8² g²=36+64 g=10 cm. Sendo R a medida do raio da esfera, temos, por meio de uma semelhança de triângulos, que:

ℎ −

−

−

Cálculo do volume da esfera:

Agora, vamos considere uma esfera de raio R, circunscrevendo um cone de raio r e altura h.

No triângulo retângulo em destaque, podemos escrever: R² = r² +(h-r)²



34

38. Em um cone equilátero, cujo volume é igual 72π cm³ inscreve-se uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera. h

2R

R

2r

r

A

B

C ℎ 𝑅 ℎ 𝑅

𝑅3

𝑹 𝟔 𝒄𝒎

Solução: No triângulo retângulo ABC da figura ao lado, temos: (2R)²=R²+h² 𝑅2 𝑅2 ℎ2

Como o volume do cone é igual a 72𝜋 , temos:

72𝜋 =𝜋𝑅2 ℎ

3 7 𝜋

𝜋𝑅2 𝑅 3

3

𝑆 𝜋𝑟 𝑆 𝜋 2 𝑆 𝜋 𝑺 𝟒𝟖𝝅 𝒄𝒎

Assim, a medida da altura do cone é 6 3 cm e, como a medida do raio da esfera é igual a terça parte da medida da altura do cone, o raio da esfera

mede 𝑐𝑚 A área da superfície esférica é igual a:



35

39. Calcule o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de aresta 4 m. 40. Um ludologista fabrica piões usando as medidas indicadas na figura abaixo. Determine o volume de cada pião.

𝐷 𝑅 𝑅 𝐷

𝑹

𝒂 𝟑

𝟐 𝑅

𝑹 𝟐 𝟑 𝒎

𝑉 𝜋𝑅

𝑉

𝜋

𝑉

𝜋

𝑽 𝟑𝟐𝝅 𝟑 𝒎

Solução: Note que a diagonal do cubo equivale ao dobro do raio da esfera. Assim:

2 cm

2 cm

4 cm

𝑽𝒑𝒊ã𝒐 𝟏

𝟐 𝟒𝝅 𝟐 𝟑

𝟑 𝟏

𝟑 𝝅𝟐𝟐 𝟒

𝑽𝒑𝒊ã𝒐 𝟏𝟔𝝅

𝟑 𝟏𝟔𝝅

𝟑

𝑽𝒑𝒊ã𝒐 𝟑𝟐𝝅

𝟑 𝒄𝒎

Solução:

𝑽𝒑𝒊ã𝒐 𝑽𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂

𝟐 𝑽𝒄𝒐𝒏𝒆



36

41. Seja 36π e o volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Então, a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é:

(a) 3

2 (b)

8

3 (c)

2

3 (d)

3

4 (e)

Solução: Na figura aci a “a” é a aresta do cubo; o segui ento BD é a diagonal do cubo. Não esqueça que, nesse caso, a diagonal do cubo = diâmetro da esfera circunscrita ao cubo.

Como a diagonal do cubo vale: ,temos:

Raio da esfera R =

2

A razão entre os volumes da esfera ( é:

Resposta: letra (a)

O

A

B

D

C a



37

42. Um copinho de sorvete, em forma de cone, possui 10 cm de profundidade, e 4 cm de diâmetro no topo, tendo aí colocadas duas conchas semiesféricas de sorvete, também de 4 cm de diâmetro. Se o sorvete derreter para dentro do copinho, podemos afirmar que: (a) Não transbordará (b) transbordará (c) Nada podemos afirmar (d) Os dados são insuficientes (e) As informações são falsas Solução: Volume do cone (copinho):

ℎ

Volume das duas conchas (Volume da esfera):

Observe que:

, logo, não transbordará.

Resposta: letra (a)



38

43. A área lateral de um cilindro equilátero é 36π cm². Determine o volume da esfera inscrita nesse cilindro. Solução: No cilindro equilátero temos: h = 2r, logo: A área lateral do cilindro é dada por: ℎ Volume da esfera:

h= 2r

r

r

r



39

44. Na figura, O é o centro de um círculo, e o volume gerado pela rotação da região assinalada em torno da reta r é 18 π. Calcule a área do triângulo ABC. Solução: O volume V gerado pela rotação da região demarcada em torno da reta r é igual à diferença entre o volume da esfera ( ) de raio r e o dobro do volume do cone ( de raio da base r e altura também r:

− 3

− (

2

)

Portanto, a área do triângulo ABC é:

A B

C

r

O



40

Considere o texto abaixo para as questões 45, 46, 47 e 48. A razão na qual um comprimido de vitamina C começa a dissolver-se depende da área da superfície do comprimido. Uma marca de comprimido tem um forma cilíndrica, comprimento 2 cm, com hemisférios de diâmetro 0,5 cm cada extremidade, conforma figura abaixo. Uma segunda marca de comprimido vai ser em forma cilíndrica com 0,5 c de altura. 45. Determine a área da superfície do primeiro comprimido em cm², sabendo que: o comprimento da circunferência é C= 2πr e a área da superfície esférica é S= 4πr². Solução: A área da superfície do primeiro comprimido 1 é igual à soma da

área da superfície da esfera de raio R = 1

4 , com a área lateral de um

cilindro reto de altura 2

3 e raio da base R=

1

4

1

46. Determine o diâmetro do segundo comprimido de modo que a área da sua superfície seja igual à do primeiro comprimido. Solução: Considerando a área da superfície do segundo comprimido 2 e o diâmetro da sua base d, temos:

2 (

)2

(

)

2 cm

0,5 cm 0,5 cm



41

Condição imposta pelo problema:

47. Determine o volume do primeiro comprimido em cm³,

sabendo que o volume da esfera V é igual a

e o volume do

cilindro V é πR².h. Solução:

1

(

)3

(

)2

48. Determine o diâmetro do segundo comprimido, de modo que seu volume seja igual ao do primeiro comprimido. Solução: Considerando d como diâmetro da base do segundo comprimido, então o seu volume V2 é:

2

Condição imposta pelo exercício:

(

)2



42

49. A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone reto são iguais. Determine o raio da esfera, sabendo que o volume do cone é 12 π cm³ e o raio da base 3 cm. Solução:

ℎ

ℎ

Vamos calcular a geratriz do cone:

g² = h²+r² g²=4²+3² g²=25 g = 5 Considerando:

Á Á 2 2 5

2 50. Um queijo moldado na forma esférica tem 10 cm de raio. Derretido, ele cabe exatamente em uma panela cilíndrica de raio 10 cm. Determine a altura da panela. Solução:

3

ℎ



43

51. As bolas de borracha representadas na figura abaixo são esféricas e têm mesma espessura. Quantas bolas menores podem ser feitas usando a mesma quantidade de borracha para fazer 12 bolas maiores? Solução: 2 2 2 Resposta: Podem-se fazer 48 bolas menores. 52. Determine a área e o volume da esfera inscrita num cubo de aresta “a”. Solução: A esfera é inscrita no cubo. O cubo é circunscrito à esfera. A aresta do cubo é dada por a= 2R (veja questão 28)

r

r

2r



44

(1) Área da esfera inscrita no cubo:

2

2

2

(2) Volume da esfera inscrita no cubo:

=

4 3

=

=

=

53. Determine a área total e o volume de um cubo inscrito a uma esfera de raio R. Solução A esfera é circunscrita ao cubo. O cubo é inscrito na esfera.

a

R

Note que a aresta “a” do cubo é igual ao diâmetro da esfera (2R), logo:

a = 2R

𝑑 𝑅 𝑎 𝑅 𝑹 𝒂 𝟑

𝟐

Note que a diagonal do cubo (d) é igual ao diâmetro da esfera (2R). Não esqueça que a diagonal do cubo vale:

d = 𝑎 . Logo:

d



45

O raio da esfera inscrita ao cubo é dado por: R =

:

(1) Área total do cubo inscrito a uma esfera:

(

)

(2) Volume do cubo circunscrito a uma esfera:

(

)

7

53. Qual é a razão (quociente) entre a área total de um cubo e a área da esfera nele inscrita? Solução

54. Qual é a razão entre os volumes de um cubo e da esfera nele inscrita? Solução

3

3

55. Determine a área e o volume da esfera circunscrita a um cubo de aresta “a”. Solução (1) Área da esfera circunscrita a um cubo:



46

Não esqueça que: 3

2 (veja a questão 29)

(

)

(2) Volume da esfera circunscrita a um cubo:

( )

56. Determine o volume de uma esfera inscrita em um cubo de 1 dm de aresta.

57. Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de 12 cm de aresta.

𝑅 𝑎

𝑹

𝟏

𝟐𝒅𝒎

𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝜋𝑅3

𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

𝜋

3

𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝜋

𝑽𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂

𝝅

𝟔𝒅𝒎

Solução Sendo o raio da esfera(R) igual à metade da aresta do cubo (a):

d

1 dm



47

58. Determine a área lateral e o volume de um cubo circunscrito a uma esfera de 25π cm² de superfície. Solução (1) Área da superfície esférica:

5 5

Sendo

2

5

2

2

(2) Área lateral do cubo: 5 5 (3) Volume do cubo 5

𝑅

𝑹 𝟔 𝟑 𝒄𝒎

𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝜋𝑅3

𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

𝜋 3

Solução Note que a diagonal do cubo (d) é igual ao diâmetro da esfera (2R). Logo:

2R = d 𝑅 𝑎 𝑅 𝑎 3

2

Sendo a = 12 cm, temos:

Volume da esfera:

𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 4𝜋 216 3 3

3 𝑽𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 𝟖𝟔𝟒𝝅 𝟑 𝒄𝒎



48

59. Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja área total mede 54 cm². Solução (1) Área total do cubo 5 (2) Raio da esfera circunscrita

(3) Volume da esfera

3

( )

3

7

60. Uma firma de arquitetura apresentou a maquete de uma construção na forma de uma semiesfera. Nessa maquete, o diâmetro da semiesfera é 20 cm. Sabendo que a escala utilizada

foi 1:400, responda: (Considere = 3,14) a) Qual a área da superfície dessa construção? b) Qual o volume dessa construção? Solução (a) O raio R da semiesfera vale: R= 10 cm ou 40 m* (de acordo com a escala fornecida), sendo assim a área da semiesfera é dada por:

2

(b) O volume da semiesfera é dado por

( 3

) : (

3

) : (

5

) : (

) :

7 7:



49

*Escala =

61. Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais influentes na arquitetura moderna internacional. Ele contribuiu, através de uma doação de um croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade de Santa Maria.

Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 28 m de diâmetro, vazada por 12 partes iguais, quais são aproximadas por semicírculos de raio 3 m. Sabendo que uma lata de tinta é suficiente para pintar 39 m2 de área, qual a quantidade mínima de latas de tinta necessária para pintar toda a cobertura do planetário? (Use π = 3)

a) 20. b) 26. c) 40. d) 52. e) 60.

Solução

A área da cobertura do planetário ACP é igual à metade da área da superfície da esfera ASE subtraído da área dos 12 semicírculos (que é igual à área de 6 círculos Ac).

Temos o raio R da semiesfera igual a 14 m e o raio R1 do círculo igual a 3 m. Assim:



50

Como 1 lata de tinta pinta 39 m2, para pintar todo a cobertura do planetário é necessário:

Alternativa correta é a letra B.



51

geometria espacial - estudo da esfera - celso brasil

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