Geometria analítica: descobrindo a reta

que tange duas circunferências e

entendendo a construção geométrica.

Sobre

Ontem estava pensando em algumas funções interessantes para implementar

em um editor de imagem vetorial e me veio em mente traçar guias tangenciando

circunferências simultaneamente. Fiz uma busca rápida e encontrei apenas a

construção geométrica (clique para abrir em nova aba) no blog “O baricentro da

mente”.

A construção

A construção é relativamente simples, começamos com duas circunferências,

sendo que uma não pode conter (completamente) a outra. No exemplo temos os

pontos A(3,3) e B(16,2) como centros de circunferências com raios 3 e 1,

respectivamente.

Outra circunferência é criada para auxiliar o desenho, sendo que ela possui o

mesmo centro que a maior e o raio resultante da subtração do raio maior e do

menor. No exemplo teremos uma circunferência com centro em A e raio 2.

Depois traçamos o ponto médio (C) entre os centros, no exemplo C(9,5 ; 2,5).

Depois basta construir uma circunferência com centro em C e diâmetro AB.

Usando o ponto A e os pontos de intercessão dos dois círculos auxiliares,

traçamos duas retas, até a intercessão com o círculo maior.

Traçando os segmentos BD e BE e depois prolongando retas paralelas até os

pontos em laranja (intercessões na circunferência maior) temos as duas retas

que tangenciam simultaneamente as duas circunferências.

A lógica da coisa

Toda construção geométrica não passa da representação de processos algébricos

na forma de desenho. Essa forma que apresentei visa simplificar a construção

“transformando” a circunferência menor em um ponto.

Para que uma reta tangencie uma circunferência em um ponto P é preciso que o

ângulo entre a reta e o segmento que parte do centro até P seja reto. Observe na

figura acima a reta que passa pelos pontos de tangência F e E, considerando a

formação do ângulo reto nesses pontos podemos afirmar que as semi-retas que

partem do centro das circunferências até o ponto de tangência são paralelas

entre si e perpendiculares à reta tangente.

A reta que passa pelos pontos B e D é paralela à reta tangente, sendo

perpendicular as retas vermelhas, mas com o diferencial de passar pelo centro

da circunferência menor. A subtração dos raios existe simplesmente para

deslocar a reta e permitir que ela passe pelo centro.

Agora precisamos resolver mais um problema: como determinar o ponto onde

passa a reta tangente no círculo criado pela subtração dos raios?

Uma propriedade interessante das circunferências é que unindo um ponto

qualquer do perímetro com o segmento do diâmetro o triângulo formado será

retângulo. Veja no exemplo acima.

Aqui está a grande sacada dessa construção: considerando o segmento AB o

diâmetro de uma circunferência de centro C temos que qualquer ponto de

intercessão no perímetro dessa circunferência formará um triângulo retângulo.

Olhando por outra ótica: a reta que contém o cateto DB é tangente à

circunferência de centro A e passa por B. Acompanhe abaixo:

Agora basta criar uma reta paralela a reta do cateto BD e movê-la na reta que

contém AD uma distância correspondente ao raio do círculo de centro em B.

A matemática da coisa

Dadas as circunferências c e d, com centros em A(1,7) e B(4,2) e raios 2 e 2 2,

respectivamente, encontre que tangencia simultaneamente as circunferências.

Podemos desenhar o círculo auxiliar com centro em B, que deve ter raio

2 2 − 2 = 2 e marcar o ponto médio M entre os centros:

𝑀 1 + 4

2 ,

7 + 2

2 → 𝑀 2,5 ; 4,5

Podemos agora definir o raio da circunferência de diâmetro AB e centro em M:

𝑟 = 𝑥𝑎 − 𝑥𝑏 2 + 𝑦𝑎 − 𝑦𝑏 2

2

𝑟 = 34

2

As equações que representam a circunferência de centro em M e a

circunferência auxiliar de centro em B são:

𝑒: 𝑥 − 4 2 + 𝑦 − 2 2 = 2

𝑓: 𝑥 −5

2

2

+ 𝑦 −9

2

2

= 34

4

Desenvolvendo as equações, temos:

𝑒: 𝑥² − 8𝑥 + 𝑦² − 4𝑦 = −18

𝑓: 𝑥² − 5𝑥 + 𝑦² − 9𝑦 = 18

Subtraindo as equações:

𝑡: − 3𝑥 + 5𝑦 = 0

A reta “t” resultante está destacada de laranja na imagem abaixo e ela possui os

dois pontos de intercessão das circunferências “e” e “f”:

Isolando uma variável da reta e substituindo em “e” ou “f”, temos:

𝑦 =3𝑥

5

𝑥2 − 8𝑥 + 3𝑥

5

2

− 4 3𝑥

5 = −18

𝑥′ = 5 𝑒 𝑥′′ = 45

17

𝑦′ = 3 𝑒 𝑦′′ = 27

17

𝐷 5 , 3 𝑒 𝐶 45

17 ,

27

17

Para descobrir as retas que tangem a circunferência auxiliar “e” basta encontrar

as retas que contém os segmentos AC e AD, exemplificarei apenas para AD.

A equação da reta “s” que contém AD – que está destacada de laranja é:

𝑠: 𝑥 + 𝑦 = 8

Agora é hora de “subir” a reta de forma que ela tangencie as duas

circunferências originais, vamos começar traçando o caminho por onde se dará

o deslocamento, a reta “v”, que contém o segmento BD:

𝑣: 𝑥 − 𝑦 = 2

O segmento que representa o deslocamento (representado pela fecha vermelha)

possui o mesmo comprimento que o raio da circunferência “c”, já que ele é a

parte do raio da circunferência “d” reduzida para formar a circunferência “e”,

ambas concêntricas.

Podemos imaginar o deslocamento como um vetor e decompor em um

deslocamento vertical e outro horizontal, logo:

𝑑𝑡² = 𝑑𝑣² + 𝑑ℎ²

Tomando o deslocamento vertical como sendo x, e considerando a equação geral

da reta, temos:

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Para cada aumento de A vezes na horizontal (x) há um aumento de B vezes na

vertical (y), logo:

𝑑ℎ = 𝑥

𝑑𝑣 = 𝐵 𝑥

𝐴

E para descobrir x:

𝑑𝑡² = 𝑥² 1 + 𝐵²

𝐴²

Esses valores informam o deslocamento em vertical ou horizontal sobre um

caminho retilíneo, e é notável que um deslocamento vertical apenas soma (ao

subir) ou subtrai (ao descer) um valor 𝑑𝑣 no termo isolado (C). Já um

deslocamento horizontal soma (para a esquerda) ou subtrai (para a direita) um

valor 𝑑𝑥 ∗ 𝐴 no termo isolado (C).

Voltando ao exemplo temos que mover a reta “s” sobre a reta “v”, sendo suas

equações na forma geral:

𝑠: 𝑥 + 𝑦 − 8 = 0

𝑣: 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0

Como o deslocamento ocorre sobre a reta “v” e possui o comprimento de 2,

temos:

2 ² = 𝑥² 1 + (−1)²

(1)²

𝑥 = 1 ; 𝑑𝑣 = 1 ; 𝑑ℎ = 1

Considerando a reta “s” deslocada para a direita e para cima:

𝑠′: 𝑥 + 𝑦 − 8 – 𝑑𝑥 ∗ 𝐴 − 𝑑𝑣 = 0

𝑠′: 𝑥 + 𝑦 − 10 = 0

E ai a reta que tange as duas circunferências citadas!

Um caminho provavelmente mais simples seria após descobrir a reta que tange

a circunferência auxiliar e o centro da menor circunferência manter o

coeficiente angular (A), substituir na equação de um dos círculos originais,

reduzir a equação para duas raízes e eliminar a possibilidade que não tange.

Em anexo está um modelo interativo no Geogebra com essa construção.