geometria
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1º Bimestre
(SISTEMAS DE COORDENADAS)
LISTA DE EXERCÍCIOS
01) O ponto P, divide o segmento AB numa certa razão k. Calcular k, conhecendo-se
respectivamente os pontos pelas suas abscissas x=3, xa=6 e xb=-2 . K=-3/5
02) Dados ( ABP)=5, xp=2, xb=5, calcular xa . xa=17
03) Obter a abscissa do ponto P, tal que PA.PB=PC.PD. Dados: xa=-2, xb=0, xc=3, xd=5
xp=3/2
04) Achar a distância QP tais que (ABP)=-1/2 e (ABQ)=1/2 sendo xa=2 e xb=8. Resp.8
05) Sendo xa=3 e xb=8, calcular as abiscissas dos pontos C e D que dividem AB em 3 partes
iguais. Resp.14/3 e 19/3
06) Sendo A (2,3) e B (1,5), calcular as coordenadas cartesianas de P em P/2+A/2=B.
resp.P(0,7)
07) Dados os pontos A(2,y), B(-8,4) e C(5,3), determinar y para que ABC seja um triângulo
retângulo com ângulo reto no vértice A. y=-2 ou y=9
08) Encontre o ponto P(x,y) equidistante dos pontos A(0,-5), B(-1,2) e C(6,3). P=(3,-1)
09) Dois vértices opostos de um quadrado são os pontos (1,2) e (-5,6). Determine a área do
quadrado. Resp.:26
10) Sejam A(2,-1), B(1,-2) e C(-1,3) os pontos médios dos lados de um triângulo. Achar os vértices
desse triângulo. Resp.:(4,-6), (-2,2) , (0,4)
11) Determinar as coordenadas dos pontos A e B que dividem o segmento P(3,-1 e Q(0,8) em 3
partes iguais. Resp.: (2,2) e (1,5)
12) Até que ponto da reta o segmento de extremos A(1,-1) e B(4,5) deve ser prolongado no
sentido de A para B para que o comprimento quintuplique? Resp.:(16,29)
13) O batricentro de um triângulo ABC é o ponto G(4,0) e M(2,3) o ponto médio de BC. Achar as
coordenadas do vértice A. Resp.:(8,-6)
14) Provar que ao pontos A(2,0,1), B(3,1,5) e C(4,2,9) são colineares.
15) Verificar se os pontos A(2,1,2), B(1,2,-1) e C(-1,0,-1) são vértices de algum triângulo retângulo.
16) Provar que o triângulo A(1,2,0) B(4,0,-1) e C(2,-1,2) é isósceles.
17) Achar as coordenadas do ponto P que divide o segmento AB na razão 2. Dados A(2,5,-1) e
B(3,0,-2). Resp.:(4,-5,-3)
18) Até que ponto se deve polongar o segmento de reta de extremidades A(1,-1,2) e B(4,5,6) para
que se triplique o seu comprimento no sentido de A para B? Resp.(10,17,14)
19) O ponto P pertence ao eixo z e equidista dos pontos A(2,3,0) e B(0,1,2). Encontrar
P. Resp.: (0,0,-2)
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ÁLGEBRA VETORIAL
01) Dado um paralelogramo ABCD, se M e N são pontos médios de AB e DC respectivamente,
então AMCN é paralelogramo.
02) Sejam A, B, C, D quatro pontos do espaço tridimensional, M e N os pontos médios dos
segmentos AC e BD. Pede-se determinar a soma S= AB+AD+CB+CD em função de MN.
03) Dado o tetraedro OABC em que AO=a; OB=b. e OC=c e M é o ponto médio do lado BC, pede-
se determinar o vetor AM em função de a, b, c.
04) Dados os vetores a., b, c e um ponto O do espaço tridimensional, constroem-se a partir de O
os pontos A=O+a ; B=O=b ; C=O=c ; G=O=v . Pede-se determinar o vetor v tal que
GA+GB+GC=O . Resp.: v=a/3+b/3+c/3
05) Provar que o segmento da reta que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é
papalelo ao terceiro lado e igual a metade deste lado.
06) Provar que o segmento da reta que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é
paralelo as bases e igual a semi diferença destas.
07) Mostrar que os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso são vértices de um
paralelograno.
08) Demonstrar que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um
trapézio é paralelo as bases e igual à sua semi soma.
09) Os vetores a e b sãoperpendiculares, o vetor c forma com dois deles ângulos iguais a 60º,
sabendo-se que |a| = 3 ; |b| =5 e |c| = 8 . Calcule (a+b+c)ª . Resp.: 162
10) Num triângulo retângulo provar o teorema de pitágoras.
PRODUTO DE VETORES Produto escalar 01) Os vetores a e b formam um ângulo de 2/3π, sabendo-se que |a|=3 ; e |b|=4 calcule:
a a b
b a b
c a b a b
d a b
e a b
) .
)( )
)( ).( )
)( )
)( )
+
− +
−
+
2
2
2
3 2 2
3 2
02) Dados os vetores unitários a , b e c satisfazendo a condição a+b+c=0 calcular a.b+a.c+b.c Resp.: -3/2 03) Os vetores a , b e c formam dois a dois ângulos de 60º. Determinar o módulo do vetor p,
sabendo-se que p= a+b+c e |a|=4 ; |b|=2 ; |c|=6 . Resp.:10
04) Dado |a|=3 e |b|=5, determinar o valor de x para o qual os vetores a+xb e a-xb são
perpendiculares. Resp.: ± 3/5
3
05) Demonstrar que o vetor p=(a.c)b-(a.b)c é perpendicular ao vetor a.
06) Demonstrar que o vetor p ba a b
a= −
( . )
| |2
é perpendicular ao vetor a.
07) Os vetores a e b formam um ângulo φ = π/6 ; calcular o ângulo α dos vetores p e q , sabendo-
se que p=a+b e q=a-b e |a|= 3 , E |b|=1. Resp.: cos=2
7
08) Calcular o ângulo obtuso formado pela medianas traçadas dos vértices dos ângulos agudos de
um triângulo retângulo isósceles. Resp.: cos α =-4/5
09) Provar que em um triângulo qualquer o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados
dos outros, subtraído do duplo produto destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
10) Demonstrar que a mediana relativa à base de um triângulo isósceles é perpendiculara `a base.
11) Provar que todo ângulo inscrito em um semi-círculo é reto.
12) Provar que as diagonais de um losango são perpendiculares.
13) Provar que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos
quadrados de seus quatro lados.
14) Provar que num triângulo retângulo a medida de cada cateto é média proporcional entre as
medidas da hipotenusa e da projeção desse cateto sobre a mesma. dica(b am2 = )
15) Provar que num triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa é média proporcional entre os
segmentos que ela determina sobre a hipotenusa. dica (h mn2 = )
16) Dados os vetores a(4,-2,4) ; b(6,-3,0) calcular:
a a b
b a b
c a b a b
d a b
e a b
) .
)( )
)( ).( )
)( )
)( )
+
− +
−
+
2
2
2
3 2 2
3 2
17) Dados os pontos A(-1,3,7) ; B(2,-1,0) ; C(0,1,-5) calcular:
a) |AB|
b) |AC|
c) (2AB-CB).(2BC+BA)
18) Dados os vértices A(1,-2,2) : B(1,4,0) : C(-4,1,1) ; D(-5,-5,3) de um quadrilátero, demonstrar
que as suas diagonais são perpendiculares.
19) Determinar para que valores de x os vetores a(x,-3,2) b(1,2,-x) são perpendiculares. resp. -6
20) Dado um triângulo de vértices A(-1,-2,4) ; B(-4,-2,0) C(3,-2,1) determinar o ângulo interno do
vértice A.
21) Dado um triângulo de vértices A(3,2,-3) ; B(5,1,-1) C(1,-2,1) determinar o ângulo externo
relativo ao vértice A.
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22) Determinar as coordenadas do vetor v paralelo ao vetor u = (2,1,-1) sabendo-se que v.u=3
Resp.: (1,1/2-1/2)
23) Determinar as coordenadas do vetor v, sabendo-se que v é ortogonal aos vetores a(2,3,-1) e
b(1,-2,3) e que satisfaz à condição v.(2i-j+k)=6. Resp.: (3,-3,-3)
24) O vetor v é ortogonal aos vetores a(1,2,0) e b(1,4,3) e forma um ângulo obtuso com o versor j
do eixo Oy, calcular as coordenadas de v se |v|=14. Resp.: v(12,-6,4)
25) Dados os vetores a(3,-1,5) b(1,2,-3, determinar as coordenadas do vetor v ortogonal ao eixo
Oz e que satisfaz às condições: v.a=9 e v.b=-4 . Resp.:v(2,-3,0)
26) Dados os vetores a(2,-1,3); b(1,-3,2) e c(3,2,-4). Achar um vetor x tal que x.a =-5 ; x.b = -11 e
x.c=20. Resp.: (2,3,-2)
27) Dados u(2,1,-3) e v(1,2,1), toma-se w=u+λv. Determinar λ ∈ℜ para que w e u sejam
ortogonais. Interpretar o problema geometricamente.
28) Dados u(1,2,1) e v(2,6,-1), determinar os vetores x e y tais que u=x+y sendo x paralelo a v e y
perpendicular a v. Resp.: x(26/41,78/41,-13/41) y(15/41,4/41/54/41)
29) Determinar os cossenos diretores de um vetor se α e β são respectivamente 60º e 30º .
Resp.: (1
2
3
20, , )
30) Determinar os cossenos diretores de um vetor se α=45º e β=60º e γ é agudo.
Resp( 22
12
12
, , )
31) Encontrar os cossenos diretore do vetor v(5,-1,2). Resp.: (30
6
30
30
30
15, ,− )
Produto Vetorial
01) Dados |a|=10 ; |b|=2 e a.b=12 . Calcular |axb|.
02) Dados |a|=3 ; |b|=26 e |axb|=72. Calcular a.b .
03) Os vetores a e b são perpendiculares, |a|=3 ; |b|=4 . Calcular:
a) |(a+b)x(a-b)|
b) |(3a-b)x(a-2b)|
04) Demonstrar a identidade | | ( . ) | | .| |axb a b a b2 2 2 2+ = .
05) Se a+b+c=0 provar que axb+bxc+cxa=3axb .
06) Dados os vetores u=(0,1,-1) ; v=(1,-1,0) w=(-1,0,1) . Calcular:
a) uxv
b) wxu
c) ux(v+w)
07) Dados os vetores a=(3,-1,-2); b=(1,2,-1) . Calcular:
a) axb
b) (2a-b)x(2a+b)
5
08) Dados os pontos A=(2,-1,1) ; B=(1,2,-1) e C=(3,2,1) , calcular .
a) ABxBC
b) (BCx2CA)xCB
09) Dados os vértices A=(1,2,0) ; B=(3,0,-3) e C(5,2,6). calcular a área do triângulo ABC.
Resp.: 14
10) Dados os vértices A=(1,-1,2) ; B=(5,-6,2) e C=(1,3,-1) de um triângulo, calcular o comprimento
da altura traçada do vértice B sobre o lado AC. Resp.: 5
11) Calcular a área do paralelogramo ABCD cujas as diagonais são as imagens dos vetores
AC=u=(3,1,-2) e DB=v=(1,-3,4). Resp.:5 3
12) Calcular o seno do ângulo formado pelos vetores a=(2,-2,1) e b=(2,3,6).
13) Determinar um vetor unitário u ortogonal aos vetores a=(1,1,0) e b=(0,1,1)
Resp.: ± −3
31 1 1, ,� �
14) Determinar as coordenadas do vetor v sabendo-se que é ortogonal aos vetores a=(1,-2,3)
b(2,3,-1) e que satisfaz à condição v.(2i-j+k)=6. Resp.: (3,-3,-3)
15) O vetor v é ortogonal aos vetores a=(3,2,2) e e b(18,-22,-5) e forma um ângulo obtuso com o
eixo Oy. Calcular as coordenadas de v e |v|=14. Resp.: (-4,-6,12)
16) Dado o vetor u=(2,1,0) , pede-se determinar o vetor v ortogonal ao eixo Oz, sabendo-se que ,
|uxv|=6 e u.v=2. Resp.: (-2/5,14/5,0)
17) Dados os vetores u=(1,-1,0); v=(0,0,2) e w=( 2,-3,0), pede-se determinar o vetor a paralelo a w
e que satisfaz à condição axu=v. Resp.: (4,-6,0)
18) Dados os vetores u=(-1,1,2) e v=(2,0,1) determinar o vetor a que satisfaz à relação v=uxa e
que seja ortogonal ao vetor w=(2,4,-3). Resp.: (1,-2,-2)
19) O vetor v perpendicular aos vetores a=(4,-2,-3) e b=(0,1,3) forma com o eixo Oy um ângulo
obtuso. Calcular as coordenadas de v se |v|=26. Resp.: (-6,-24,8)
20) Um vetor m perpendicular ao eixo Oz e ao vetor a=(8,-15,3) forma com o eixo Ox um ângulo
agudo, calcular as coordenadas de m se |m|=51. Resp.: (45,24,0)
21) Dados os vetores u=(1,1,1) e v=(a,b,0), determinar a e b sabendo-se que |uxv|=1 e que o
vetor uxv forma ângulos iguais com os eixos coordenados Ox e Oy. Resp.: a=1
6 e
b=−1
6 .
22) Determinar um vetor a que satisfaz às condições a.(3i+2j)=6 e ax(2j+3k)=2i . Resp.: (0,3,7/2)
23) Resolva o sistema: vx(-i+2j+k)=8i+8k
v.(2i+k)=2 resp.: (2,4,-2)
24) A área de um triângulo ABC = 6 . Sabe-se que A(2,1,0) ; B(-1,2,1) e que o vértice C pertence
ao eixo Oy. Calcule as coordenadas de C. Resp.: (0,3,0) ou (0,1/5,0)
25) Dados os a(0,1,-1) ; b(2,0,0) ; c(0,2,-3) determinar um v tal que v//c e vxa=b. Resp.: (0,4,-6).
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Produto Misto
01) Demonstrar a identidade:
a) [(a+b)(b+c)(c+a)} = 2(abc)
b) [ab(c+pa+qb)] = (abc)
02) Demonstrar que os vetores a, b, c que comprovam a relação axb+bxc+cxa=0 são complanares.
03) Os vetores a, b e c formam um triedro positivo e são perpendiculares. Calcular (abc) se |a|=4;
|b|=2 ; |c|=3. Resp.: 24
04) O vetor c é perpendicular aos vetores a e b que formam um ângulo de 30º . Calcular (abc) se
|a|=6 , |b|=3, |c|=3 . Resp.: 27
05) Dados os vetores a(1,-1,3) ; b(-2,2,1) c(3,-2,1) calcule:
a) (abc)
b) (acb)
c) (bca)
06) Verificar se os vetores a ,b, c são complanares para:
a) a=(2,3,-1) b=(1,-1,3) c=(1,9,-11)
b) a=(3,-2,1) b=(2,1,2) c=(3,-1,-3)
c) a=(2,-1,2) b=(1,2,-3) c=(3,-4,7)
07) Demonstrar que os quatro pontos abaixo são complanares.
A=(1,2,-1) ; B=(0,1,5) ; C=(-1,2,1) e D=(2,1,3)
08) Calcular o volume do tetraedro de vértices A(2,-1,1) ; B(5,5,4) ; C(3,2,-1) ; D(4,1,3). Resp.:3
09) Dado o tetraedro de vétices A(2,3,1) ; B(6,3,7) ; C(4,1,-2) ; D(-5,-4,8), calcular o comprimento
da altura relativa ao vértice D. Resp.: 11
10) Dado um tetraedro de volume v=5 e de vértices A(2,1,-1) ; B(3,0,1) ; C(2,-1,3), calcular as
coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que ele se acha sobre o eixo Oy.
Resp.: (0,-7,0)
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Geometria Analítica Plana
01) Achar os vetores diretores das retas:
a) 2x-y+4=0
b) 3x+2y=0
c) 5x+y-5=0
02) Escrever as equações paramétricas , simétricas e cartesiana das retas que:
a) passa pelo ponto A(3,2) e tem a direção do vetor u(5,4).
b) passa pelos pontos A(5,3) e B(1,-3).
c) passa pela origem e tem a dire,ão do vetor u(2,3).
03) Verificar quais dos pontos M(3,1) ; N(2,3) ; O(6,3) ; P(-3,3) ; Q(3,-1) ; R(-2,1) pertencem à reta
2x-3y-3=0 .
04) Os pontos A, B, C, D e E pertencem à reta 3x-2y-6=0 suas abscissas são respectivamente
4,0,2,-2 e 6 . Achar suas ordenadas.
05) Os vértices de um quadrilátero são A(0,0) ; B(2,4) ; C(6,7) e D(8,0) . Determinar as equa,ões
de seus lados.
06) Mostrar que os pontos A(-5,2) ; B(1,4) e C(4,5) são colineares, determinando a equação da
reta que passa por dois destes pontos.
07) Achar a equação de uma reta, conhecendo-se seu coeficiente angular e coeficiente linear.
a) m= 2/3 , e n=3
b) m=3 , n=0
08) Determinar os valores de m e n para que a reta (m+2n-3)x +(2m-n+1)y + 6m+9=0 seja
paralela ao eixo das abscissas e determina sobre o eixo das ordenadas um segmento de
grandeza -3 ( partindo da origem das coordenadas) . Escrever a equação dessa reta.
Resp.:m=7 e n=-2 y+3=0
09) Determinar os valores de m e n para que a reta (2m-n+5)x +(m+3n-2)y + 2m+7n+19=0 seja
paralela ao eixo das ordenadas e determina sobre o eixo das abscissas um segmento de
grandeza +5 ( partindo da origem das coordenadas) . Escrever a equação dessa reta. Resp.:
m=-4 e n=2 x-5=0
10) Achar a equação da reta que passa pelo ponto P(8,6) e que forma com os eixos coordenados
um triângulo retângulo de 12 unidades de área. Resp.: 3x-8y+24=0 e 6x-4y-24=0
11) Achar a equação da reta que passa pelo ponto P(12,6) e que forma com os eixos coordenados
um triângulo retângulo de 150 unidades de área. Resp.: 3x+4y-60=0 e x+3y-30=0 e x-
12y+60=0 e 3x-y-30=0
11) Escrever a equação cartesiana da reta r que passa passa pelo ponto P(1,-2) e é paralela à reta
s de equação 2x+y-1=0 .
12) Determinar a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto P(1,-3) e é paralela à reta
4x+2y-3=0 .
8
13) Dada a reta r que passa pelos pontos A(-1,2) e B(2,3) . Pede-se as coordenadas dos pontos de
intersecção dessa reta com os eixos coordenados.
14) Determinar as equações das retas que passam pelos vértices A(4,-3) ; B(0,2) e C(-2,-1) de um
triângulo ABC e que são paralelas aos lados opostos.
15) Estudar a posição relativa entre as retas:
a) x+5y-35=0 e 3x+2y-27=0
b) 2x-4y+3=0 e x-2y+1=0
c) 3x+5y-4=0 e 6x+10y+7=0
16) Determinar a e b para que as retas ax-2y-1=0 e 6x-4y-b=0 sejam:
a) concorrentes
b) paralelas
c) coincidentes
17) Dados os pontos médios M(2,1) , N(5,3) e P(3,-4) dos lados de um triângulo ABC, pedem-se as
equações dos seus três lados.
18) As equações dos lados de um quadrilátero são 3x-8y+36=0 ; x+y-10=0 ; 3x-8y-19=0 e
x+y+1=0 . Mostrar que a figura é um paralelogramo e determinar as coordenadas de seus
vértices.
19) Escrever a equação cartesiana da reta r que passa passa pelo ponto P(1,-2) e é perpendicular
à reta s de equação 2x+y-1=0 .
20) Dada a reta 2x+3y+4=0 , achar a equação da reta que passa pelo ponto M(2,1) e que :
a) é paralela à primeira
b) é perpendicular à primeira
21) Dados dois lados 2x-3y+5=0 ; 3x+2y-7=0 de um triângulo e um de seus vértices A(2,-3), formar
as equações dos outros dois lados.
22) Dadas as equações x-2y=0 ; x-2y+15=0 de dois lados de um retângulo, e a equação
7x+y-15=0 de uma de suas diagonais, achar os vértices do retângulo.
23) Achar a projeção de P(-6,4) sobre a reta 4x-5y+3=0 . Resp.: (-2,-1)
24) Achar um ponto Q simétrico do ponto P(-5,13) em relção à reta 2x-3y-3=0 . Rsp.: (11,-11)
25) Dados dois pontos P(2,3) e Q(-1,0), achar a equação da reta que passa pelo ponto Q e que é
perpendicular ao segmento PQ.
26) Determine k de modo que a equação x-ky+1=0 represente uma reta:
a) paralela à reta que passa por A(1,-2) ; B(6,-7)
b) perpendicular à que passa por A(3,-1) , B(-2,-5) .
27) Achar o ângulo entre as retas:
a) 5x-3y+4=0 e 7
1
2
4 +=
− yx
b) 5x-y+7=0 e 3x+2y=0
9
c) 3x+2y+4=0 e 5x-2y+3=0
28) Dadas as equações 3x+4y-1=0 ; x-7y-17=0 ; 7x+y+31=0 dos lados de um triângulo,
demonstrar que esse triângulo é isósceles. (resolver comparando ângulos)
29) O ponto A(-4,5) é o vértice de um quadrado em que uma das dagonais é representada pela
reta 7x-y+8=0 , achar as equações dos lados e da Segunda diagonal.
30) Dados dois vértices opostos A(-1,3) , C(6,2) de um quadrado, achar as equações dos lados.
31) Mostrar que os pontos A(2,-3) , B(5,-1) , C(1,5) D(-2,3) são vértices de um retângulo. Achar o
ângulo entre as diagonais.
32) O ponto A(2,5) é o vértice de um quadrado em que um dos lados tem como suporte a reta x-
2y-7=0 . Calcular a área desse quadrado. Resp.: 45
33) Dadas as equações 3x-2y-5=0 , 2x+3y+7=0 de dois lados de um retângulo e sendo um de seus
vértices o ponto A(-2,1) , calcular a área desse retângulo. Resp.: 6
34) Calcular a distância entre as retas paralelas.
a) 3x-4y-10=0 e 6x-8y+5=0
b) 4x-3y+15=0 e 8x-6y+25=0
c) 5x-12y+26=0 e 5x-12y-13=0
d) 24x-10y+39=0 e 12x-5y-26=0
35) Dois lados de um quadrado coincidem com as retas 5x-12y-65=0 , 5x-12y+26=0 . Calcular sua
área. Resp.: 49
36) Achar a equação da reta pertencente ao feixe x-2y-5+m(3x-2y+1)=0 e:
a) passa pelo ponto A(3,-1)
b) passa pela origem das coordenadas
c) é paralela ao eixo das abscissas
d) é perpendicular à reta 2x-3y+7=0
e) é paralela à reta 4x+3y-5=0
f) é paralela ao eixo das ordenadas
37) Achar a equação da reta que passa pelo ponto de intersecção das retas 3x-2y+5=0 , 4x+3y-
1=0 e que determina sobre o eixo das ordenadas um segmento de grandeza q=-3.
Resp.:74x+13y+39=0
38) Dadas as equações x+2y-1=0 , 5x+4y-17=0 , x-4y+11=0 dos lados de um triângulo, formar as
equações das alturas, sem calcular as coordenadas de seus vértices. Achar a equação da reta
que passa pelo ponto de intersecção das retas 2x+7y-8=0 e 3x+2y+5=0 e que faz um ângulo
de 45º com a reta 2x+3y-7=0. Resolver o problema sem calcular as coordenadas do ponto de
intersecção. Resp.: -x+5y-13=0 , -85x-17y-221=0
Falta digitar G A no espaço