gentil lopes - números hipercomplexos 2d

7/25/2019 Gentil Lopes - Números Hipercomplexos 2D

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Numeros Hipercomplexos − 2D(Uma Nova Generalizacao dos Numeros Reais )

Gentil Lopes da Silva∗

04 de abril de 2007

∗www.profgentil.com ∴ [email protected]



Algumas Perolas

“Um exame superficial da matematica pode dar uma impressao de que ela e oresultado de esforcos individuais separados de muitos cientistas espalhados porcontinentes e epocas diversas. No entanto, a logica interna de seu desenvolvi-mento nos lembra muito mais o trabalho de um unico intelecto, desenvolvendoo seu pensamento sistematico e consistentemente, usando a variedade das indi-vidualidades humanas somente como um meio. Assemelha-se a uma orquestraexecutando uma sinfonia composta por alguem. Um tema passa de um instru-mento a outro, e quando chegou a hora de um dos participantes abandonar otema, ele e substituıdo por outro, que o executa com precisao irrepreensıvel...”

I.R. Shafarevich

“Nenhuma producao de ordem superior, nenhuma invencao jamais procedeu do

homem, mas emanou de uma fonte ultraterrena. Portanto, o homem deveriaconsidera-la um dom inspirado do Alto e aceita-la com gratidao e veneracao.Nestas circunstancias, o homem e somente o instrumento de uma Potencia Su-perior, semelhante a um vaso julgado digno de receber um conte udo divino”.

Goethe

“A obtencao de um resultado novo em pesquisa e, para o cientista, uma fontede intenso prazer, ligado intimamente ao instinto de criacao e eternidade, pois,independentemente da importancia da contribuicao no contexto da ciencia, oude sua utilizacao, representa algo acrescentado ao conhecimento humano quemarca sua existencia na terra”.

Pierre Curie (Fısico)

“O genio, porque sabe encontrar relacoes novas entre as coisas, revela-nos novasharmonias e nos aproximam do pensamento de Deus.” E = m · c2

Pietro Ubaldi

“Sois de tal modo levados a vos tomar por tipos do Universo, que credes sempreque fora do vosso mundo nao ha mais nada. Pareceis verdadeiramente comesses selvagens que nunca saıram de sua ilha e creem que o mundo nao vai maislonge”.

O Livro dos Mediuns

“Eu penso que seria uma aproximacao relativamente boa da verdade (que edemasiadamente complexa para permitir qualquer coisa melhor que uma apro-ximacao) dizer que as ideias matematicas tem a sua origem em situacoes empıri-cas... Mas, uma vez concebidas, elas adquirem uma identidade e crescimentoproprios governados quase que inteiramente por motivacoes esteticas. . . ”.

J. Von Newmann (1903 − 1957)

“A matematica e um campo demasiadamente arduo e inospito para agradaraqueles a quem nao oferece grandes recompensas. Recompensas que sao damesma ındole que as do artista....Acrescenta ainda que e no ato de criar que o matematico encontra sua cul-minancia e que ‘nenhuma quantidade de trabalho ou correcao tecnica pode sub-stituir este momento de criacao na vida de um matematico, poeta ou musico’”.

Norbert Wiener



“E uma experiencia como nenhuma outra que eu possa descrever, a melhor

coisa que pode acontecer a um cientista, compreender que alguma coisa queocorreu em sua mente corresponde exatamente a alguma coisa que aconteceu nanatureza. E surpreendente, todas as vezes que ocorre. Ficamos espantados como fato de que um construto de nossa propria mente possa realmente materializar-se no mundo real que existe l a fora. Um grande choque, e uma alegria muitogrande”.

Leo Kadanoff

“Apenas aqueles que pensam por metades se tornam ateus, aqueles que seaprofundam em seus pensamentos e veem as maravilhosas relacoes entre as leisuniversais reconhecem um poder criador”.

Max Planck

“O prazer e apenas um artifıcio imaginado pela natureza para obter do servivo a conservacao da vida; mas nao indica a direcao em que a vida e lancada.Ja o deleite anuncia sempre que a vida teve exito, que ganhou terreno, que

alcancou uma vitoria: todo deleite tem um acento triunfal.” Bergson

“Nao sabemos senao em razao da nossa faculdade de recepcao”. Pitagoras

“Tenho agarrado pela garganta as inferiores leis biologicas da animalidade,para estrangula-las e supera-las. Tenho vivido minhas afirmacoes como reali-zacao biologica antes de formula-las em palavras”.

Pietro Ubaldi/As Noures

“A fusao entre fe e ciencia, tao auspiciada, ja se completou em meu espırito:

visao unica na substancia e de uma a outra eu passo unicamente por umamudanca de perspectiva visual ou de focalizacao de meus centros psıquicos”. Pietro Ubaldi/As Noures

“Nao se pode imaginar que tenacidade de resistencia, que massa de inercia rep-resenta o homem medio, justamente o que impoe as normas da vida social”.

Pietro Ubaldi/As Noures

“Um teorema possui vida em abundancia: nasce, cresce, reproduz-se e . . . naomorre”.

Gentil

“Mas a atividade mais feliz e mais bem-aventurada e aquela que produz. Ler e

delicioso, mas ler e uma atividade passiva, enquanto que criar coisas dignas deserem lidas e ainda mais precioso”.

Ludwig Feuerbach

“. . . que o meu pensamento quis aproximar-se dos problemas do espırito pelavia de uma diversa experimentacao de carater abstrato, especulativo, resultantedas conclusoes de processos logicos da mais moderna f ısico-matematica.”

Pietro Ubaldi/Ascensoes Humanas



Sumario

1 Os Numeros Hipercomplexos−2D 91.1 Consideracoes de ordem geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Como se Cria um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Definicao: Numeros Hipercomplexos . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Propriedades das operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Imersao de R em H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Unidade hiperimaginaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.1 Forma algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.2 Exegese da unidade hiperimaginaria . . . . . . . . . . . . 28

1.6 Forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6.1 Rotacao & Oscilacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.7 Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Equacoes 512.1 Resolucao da equacao a

·w = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Radiciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3 Funcoes Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.3.1 Formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3.2 Funcoes trigonometricas com argumentos hipercomplexos . . . 64

5



6

TESOUROS NO CEU− Nao ajunteis tesouros na terra, onde a traca e a ferrugem tudo consomem,

e onde os ladroes minam e roubam. Mas a juntai tesouros no ceu, onde nem a

traca nem a ferrugem consomem, e onde os ladroes nao minam nem roubam.(Mt. 6 : 19 − 20)

− Exegese: Daqui podemos inferir que tudo o que se deteriora com o tempo,

ou que e passıvel de furto, nao pode ser tesouro no ceu. Ao contrario, o que e

atemporal e a prova de furtos, tem chances de ser um tesouro no ceu.

Como por exemplo, cada uma das perolas a seguir:

anm = ( −1 )

n−1

2

m−1

anm = ( −1 )(

n−1

2

m−1 )anm = ( −1 )

µn−1

2m−1

1m + 2m + 3m + · · · + nm =

mj=0

n

j + 1

a(m−j)

a(m−j)

=

jk=0

(−1)k

j

k

(1 − k + j)

m

(x, y, z) ≡ (X, Y ) = ( y − x · sen θ, z − x · cos θ)

anm

=m

j=0

a(n−1

j )1(m−j)

anm

=m

j=0n − 1

j a1(m−j)

i = ⌊n−1

N ⌋ + 1

j = n

−N

⌊n−1N

⌋0, 999 . . . =

9

10 +

9

100 +

9

1000 + · · · = 0 n = f (i, j) = N (i − 1) + j

0 1

(0, 23 )

1 (1, 1)

λ

⇒ λ(t) =

23

+ 13

t, 0 ≤ t < 1;

0, t = 1.

n

2j−1 ∈ N ⇐⇒ n−1

2j−1

e n

2j−1

tem paridades distintas.

Topologia Quantica

O Milagre!:conexo por caminhos

G e n t i l / f e v − 2 0 0 9



Gentil 7

Prefacio

Neste trabalho construimos um novo sistema numerico: os numeros Hiper-complexos−2D (uma nova generalizacao dos numeros reais). Notacao: H.

Este sistema, tal como acontece com C, e construido sobre o R2. Nao rarouma primeira pergunta que se coloca de imediato e se este novo sistema e umcorpo. Respondemos que nao, se o fosse − muito provavelmente − seria des-tituido de interesse uma vez que um corpo ja existe: o proprio C. Entao, umnovo sistema numerico (sobre R2), para que tenha algum interesse, natural-mente deve ter “novas propriedades” nao partilhadas pelo corpo C. De fato,assim acontece com nosso sistema, nele existe um numero, j = (0, 1), o qualpossui duas propriedades que, em conjunto, nao sao partilhadas por nenhumnumero complexo, quais sejam,

j

2

= −1,−1 · j = j

Esta “hiperestranha” propriedade foi obtida com o sacrif ıcio da associatividade,como se ve.

Uma pequena digressao: Ao passarmos de R para C trocamos uma proprie-dade do primeiro conjunto em favor de uma do segundo, qual seja: sacrificamosa ordenacao e, por conta disto, ganhamos um numero com uma propriedade naopartilhada por nenhum numero do “velho conjunto”: i2 = −1. De posse destanova propriedade somos capazes de resolver toda uma nova classe de problemasinsoluveis em R. De fato, esta nova propriedade (da unidade imaginaria) ja nospatenteia o tipo destes problemas a que estamos nos referindo, assim:

Propriedade Problema

C : i2 = −1 x2 + 1 = 0

De igual modo, ao passarmos de R para H (hipercomplexos) trocamos duaspropriedades do primeiro conjunto em favor de duas do segundo, quais sejam:sacrificamos a ordenacao e a associatividade; por conta disto, ganhamos asduas novas propriedades mencionadas anteriormente; propriedades estas (emconjunto), nao partilhadas por nenhum numero real ou mesmo complexo. Deposse desta nova propriedade e de se esperar que sejamos capazes de resolvertoda uma nova classe de problemas insoluveis nos antigos conjuntos. De fato,esta nova propriedade (da unidade hiperimaginaria) ja nos patenteia o tipodestes problemas a que estamos nos referindo, veja:


H :

j2 = −1,

−1 · j = j

x2 + 1 = 0,

−1 · x − x = 0

Ou seja, nao existe nenhum numero complexo x satisfzendo, simultaneamente,as duas condicoes a direita.

Acontece que, como diz o velho adagio popular, “onde passa um boi,passa uma boiada” , quero dizer: se a hiperpropriedade nos faculta um problemainsoluvel em C entao pode nos facultar uma infinidade deles. Vejamos mais umexemplo, o sistema a seguir:



8

x + y = 0

(−1 · x − y) · y = 2

nao tem solucao no corpo complexo C, em H sim.E bem verdade que este e um problema artificial , no sentido de nao ter se

originado de questoes praticas; no entanto, como e impossıvel provar-se quetoda uma classe de problemas† e (ou vira a ser) destituıda de interesse, nossosargumentos − em defesa de H − continuam de pe.

(05.12.2008) Adendo: Das duas equacoes abaixo:

x2 + 1 = 0

(

−1

·x + x)

·x + 1 = 0

Com o numero i resolvemos apenas a primeira, ao passo que, com o numero jresolvemos as duas, estaremos provando isto oportunamente (prop. 6, pag. 26).

Alias − como nos referimos − hiperestranha propriedade me faz lem-brar as hiperestranhas partıculas subatomicas: temos fortes razoes para crerque os numeros hipercomplexos venham a ter utilidade no estranho mundo daspartıculas subatomicas (fısicas nuclear e quantica).

A bem da verdade, em nosso sistema sacrificamos mais uma propriedade iner-ente aos corpos: a distributividade. Mas nem por isto estes sistemas algebricos(nao distributivos) deixam de ter interesse para a ciencia, vejamos a seguintecitacao ([4], pag. 167):

“No tocante aos sistemas quanticos, tudo muda de figura. . . Procedendo-se

analogamente ao caso classico, o reticulado a que se chega, conforme Birkhoff eVon Neuman, nao e a algebra de Boole, porem um reticulado nao distributivo;”

Mais a frente (pag. 169):

“Ele observa, seguindo a trilha de Birkhoff e Von Neuman, que o reticuladodas proposicoes da mecanica quantica nao e distributivo. Mas, em vez de con-siderar as operacoes definidas entre as proposicoes do reticulado como novasoperacoes que se superporiam aos conectivos classicos, trata de mostrar que aposicao mais sensata e a de se aceitar tais operacoes como as operacoes de umanova logica proposicional, nao distributiva, a qual, ao ser aplicada a proposicoesrelativas a fenomenos macroscopicos, recai na logica classica.”

A interpretacao geometrica do produto complexo, como se sabe, e a deuma rotacao; a do produto hipercomplexo, como veremos, combina as trans-formacoes: rotacao, reflexao e oscilacao. O nosso sistema possui divisao.

Uma outra particularidade dos numeros hipercomplexos (H ) e que podemser generalizados para o R3 ver ( [8]).

− Minha gratid˜ ao maior ao bom Deus, por ter me concedido gestar e dar

a luz este trabalho. Isto e, assentar este tijolinho em sua magnanima obra.

Gentil Lopes da Silva.

Boa Vista-RR, 03 de junho de 2009.

†Como e a que se origina da hiperpropriedade de j , como ja exemplificamos.



Capıtulo 1

Os Numeros

Hipercomplexos−2D

“Deus criou os inteiros e todo o

resto e obra do homem.”

(Leopold Kronecker)

1.1 Consideracoes de ordem geral

A ingenuidade expressa na frase em epıgrafe so e perdoavel em funcao deque para Kronecker (1823 − 91) o conceito de numero ainda nao havia sidodevidamente compreendido. Por oportuno, em [6], lemos:

A ambivalencia dos matematic os do seculo XVII I em relacao aos numeros complexos pode maisuma vez ser evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles,afirma

“Como todos os numeros concebıveis sao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica

entao claro que as raızes quadradas de numeros negativos nao po dem ser incluıdas entre os numeros

possıveis [numeros reais]. E esta circunstancia nos conduz ao conceito de tais numeros, os quais,

por sua propria natureza, sao i mpossıveis, e que sao geralmente chamados de numeros imaginarios,

pois existem somente na imaginacao.”

Observe que, na mente de Euler, “todos os numeros concebıveis sao maioresou menores do que zero ou iguais a zero”; o que prova que, tambem Euler, naohavia atinado ainda com uma compreensao necessaria do conceito de numero†.

A bem da verdade, o conceito de numero − assim como o de funcao − veioevoluindo ao longo dos seculos. Enquanto o conceito de funcao hoje encontra-se “fechado”, digo, bem definido, o mesmo ja nao acontece com o de numero,assim creio.

Agora aqui vai um parecer particular meu: o leitor estaria equivocado seacreditasse que os matematicos de hoje estao mais a vontade com o conceitode numero; isto mesmo, acredito que os matematicos, ainda hoje, nao temuma nocao exata do que seja um numero. Com efeito, uma das razoes que mefazem acreditar nisto e que, por exemplo, nao sabem interpretar o significado daigualdade 0, 999 . . . = 1. Em funcao desta igualdade muitos creem que 0, 999 . . .seja um numero. Acreditamos que estao equivocados, por conta de que em [5]provamos que 0, 999 . . . = 0. E agora? Dentro do contexto em questao leiatambem nosso artigo [7].

†Evidentemente que isto em nada diminui os meritos destes grandes matematicos, o quenao nos impede, todavia, de por em evidencia esta curiosa particularidade.

9



10

1.1.1 Como se Cria um Conjunto

O matematico William Rowan Hamilton (1805-1865) ([3]) ao perceber queos numeros complexos poderiam ser representados por pontos no plano, istoe, por pares ordenados (x, y) de numeros reais, teve a ideia de generaliza-lospara pontos no espaco a tres dimensoes. Isto e, para ternos ordenados (x, y, z).Por nada menos que dez anos Hamilton procurou pelos n umeros na terceiradimensao sem lograr sucesso.

O que significa procurar por estes numeros? eles, por acaso, estariam perdi-dos em algum canto da natureza?Certamente que nao. Como ja dissemos o homem, a semelhanca de Deus,tambem tem o poder de criar, e foi isto o que Hamilton intentou.

E como se cria um conjunto numerico?Respondemos: Definindo uma soma e uma multiplicacao∗. Por exemplo:

Numeros Complexos:

(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)(1.1)

pronto! estao criados os numeros complexos. Portanto, o que Hamilton procuroufoi definir uma soma e uma multiplicacao de ternos ordenados.

A soma nunca apresentou problemas, e facil, veja

Numeros 3 −D :

(a, b, c) + (d, e, f ) = (a + d, b + e, c + f )

(a, b, c) · (d, e, f ) = ( ?, ?, ?)

O que Hamilton intentou, sem lograr sucesso, foi preencher as tres interrogacoes

acima.O leitor poderia perguntar: porque Hamilton nao tomou, por exemplo

Numeros 3 −D :

(a, b, c) + (d, e, f ) = (a + d, b + e, c + f )

(a, b, c) · (d, e, f ) = ( ad, be, cf )(1.2)

ou uma outra definicao, dentre as inumeras que sao possıveis? E, de igual modo,porque nao se define a multiplicacao complexa como (a, b) · (c, d) = (ac, bd) ?Esta nao facilitaria bem mais nossa vida que a outra multiplicacao, sem duvida,mais complicada?

Respondemos por uma analogia: Podemos inventar um jogo com regras ar-bitrarias. Se este jogo resultar interessante nao so tera sua sobrevivencia garan-

tida como conquistara muitos adeptos; caso contrario estara fadado ao esqueci-mento.

Ultimamente esta na moda a invencao de esportes. Por exemplo, outro diavi na T.V., que alguem criara o “surf na montanha”, logo apos a reportagemvaticinei a morte do esporte (sem nenhuma graca).

Pois bem, o produto dado em (1.2) resulta desinteressante e por isto naoconquistou adeptos. Por outro lado, o produto definido em (1.1) resultou assazinteressante e, por conta disto, conquistou muitos adeptos.

∗Existem condicoes adicionais sobre estas operacoes. Condicoes “intrınsecas” e“extrınsecas” , diriamos. A mais importante, dentre estas ultimas, − assim cremos − e queresultem de utilidade nas ciencias.



Gentil 11

“Conjuntos” numericos nao sao conjuntos

“No inıcio era o caos . . . e Deus disse:‘Que exista a luz!’ E a luz comecou a

existir.” (Gn 2: 3)

Acreditamos ser de algum proveito ao leitor tecermos alguns comentariossobre a diferenca entre conjunto e estrutura.

Em matematica sao frequentes conjuntos munidos de uma ou mais operacoes,que gozam de certas propriedades. Esses conjuntos com tais operacoes e respec-tivas propriedades constituem aquilo que denominamos estruturas algebricas.

Primeiramente observamos que quando nos referimos − na maioria das vezes− aos “conjuntos numericos” Z, R, C, por exemplo; estamos nos referindo, aestes conjuntos com suas respectivas operacoes, isto e, as estruturas (Z, +, ·),(R, +, ·), etc.

Para que o leitor perceba que nao e sem importancia essa distincao, facamosuma analogia: Suponhamos que os elementos do nosso conjunto M sejam algunsmateriais de construcao, assim: M = {tijolo, cimento, telha, pedra, areia, . . .}.“Sobre” este conjunto podemos construir diversas estruturas, por exemplo:

M

- Edifıcio

- Casa

- Ponte

Ha tanta imprecisao em considerar um “conjunto” numerico como um conjunto, quanto confundir o edifıcio com o conjunto M .

Um outro s ımile: Com um jogo de xadrez tambem podemos jogar damas.Em outras palavras, com o conjunto das pecas de um xadrez podemos construirduas estruturas: dama e xadrez.

Com as cartas de um baralho (conjunto das cartas) podemos ter diversos jogos (estruturas).

Vejamos um exemplo retirado da matematica. Considere o conjunto de pon-tos R2 =

(a, b): a, b ∈ R

cuja versao geometrica e vista a seguir:

R2

0

(x, y)



12

sobre este conjunto podemos construir, por exemplo, tres estruturas, assim:

R2

0

(x, y) − Espaco vetorial

− Numeros complexos

− Anel

Ou ainda,

R2

- Espaco vetorial:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

λ(a, b) = (λa, λb)

- Numeros C :

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

- ANEL:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) · (c, d) = (ab, cd)

Assim o numero de estruturas que podemos construir sobre um mesmo conjunto estara limitado apenas por nossa criatividade.

O objetivo do presente trabalho consiste, precisamente, em estudarmos maisuma estrutura construida sobre R2: Os numeros hipercomplexos (ver pag. 15).

Em matematica e extremamente importante a distincao entre conjunto e es-trutura. Em alguns livros ao inves de conjunto dos numeros reais diz-se sistemados numeros reais, designacao esta mais apropriada, uma vez que nos permiteuma distincao entre conjunto e estrutura.

Em funcao do exposto sugerimos a seguinte notacao:

R =conjunto dos numeros reais; R =sistema dos numeros reais

C =conjunto dos numeros complexos; C =sistema dos numeros complexos

Observe que, de acordo com nossa convencao, C = R2 e C =

R2, +, · )

A Identidade de um Elemento

Uma outra distincao que se faz necessaria e quanto a natureza (identidade)de um elemento.



Gentil 13

Perguntamos: afinal de contas o par ordenado (3, 2) e um vetor ou um

numero complexo?Respondemos: o par ordenado (3, 2), por si so, nao e nem uma coisa nemoutra, e apenas um elemento do conjunto R2. Agora dependendo do contextoem que nos situamos, este elemento pode ser um vetor ou um numero com-plexo.

Se, por exemplo, o par ordenado (3, 2) estiver inserido no contexto deespaco vetorial ele sera um vetor, se estiver inserido no contexto de n umeroscomplexos ele sera um numero complexo.

Uma analogia: E como se fose um mesmo ator desempenhando varios papeis.Mais uma analogia: Nada nos impede de jogarmos dama com as mesmas

pecas do jogo de xadrez. A peca “bispo”, por exemplo, perderia esta designacao(perderia sua identidade) no jogo de dama.

Observe ainda que as tres estruturas apresentadas anteriormente nao diferem

na adicao, mas na multiplicacao. Entao o que vai conferir a identidade de umelemento e a regra de multiplicacao. Estabelecemos agora algumas definicoes:

Definicao 1 (Operacao). Sendo E um conjunto n˜ ao vazio, toda aplicac˜ aof : E × E → E recebe o nome de operac˜ ao sobre E .

Para construirmos um sistema numerico sobre um dado conjunto bastadefinirmos duas operacoes sobre este conjunto, uma das quais sera chamadade adicao e a outra de multiplicacao, simbolizadas por + e ·, respectivamente.Mais formalmente,

Definicao 2 (Sistema numerico). Dado um conjunto E n˜ ao vazio e duas operac˜ oes sobre E,

+ : E × E → E(x, y) x+y→

· : E × E → E(x, y) x·y→

A terna (E, +, ·) e o que entendemos por um sistema numerico (ou estrutura numerica). Usaremos da seguinte notac˜ ao (E, +, ·) = E.

Definicao 3 (Numero). Um “elemento” de um conjunto continuar a a ser chamado de elemento; agora, ao construirmos uma estrutura algebrica sobre este conjunto, este elemento ter´ a adquirido o status de n´ umero. Por exemplo,1 e um elemento do conjunto dos naturais N = {1, 2, 3, . . .} enquanto que 1 e um n´ umero da estrutura N =

N, +, ·.

Continuaremos a usar o sımbolo de pertinencia (

∈) tanto de elemento

para conjunto quanto de numero para estrutura. Por exemplo,

1 ∈ N, 1 ∈NNo primeiro caso 1 e um reles elemento do conjunto dos naturais; enquanto nosegundo caso, 1 tera adquirido o status de numero do sistema numerico dosnaturais.

Apos a definicao de numero queremos colocar em relevo (fazer uma crıtica)a uma citacao do logico e filosofo Bertrand Russel, ei-la:

Um dos erros que retardaram a descoberta de defini coes corretas nessa regiao e a ideia

comum de que cada extensao de numero inclui os generos anteriores como casos especiais.



14

Pensou-se, ao se tratar de numeros positivos e negativos, que os inteiros positivos podiam

ser identificados com os inteiros originais sem sinal. Pensou-se tambem que uma fracao cujodenominador e 1 pudesse ser identificada com o numero natural que e o seu numerador. E

pensou-se que os numeros irracionais, tais como a raiz quadrada de 2, tivessem lugar entre as

fracoes racionais, como maiores do que algumas delas e menores do que outras, de modo que

os numeros racionais e os irracionais pudessem ser tomados juntos como uma classe, chamada

“numeros reais”. E quando a ideia de numero foi mais estendida de forma a incluir os numeros

“complexos”, isto e, numeros envolvendo a raiz quadrada de −1, pensou-se que os numeros

reais pudessem ser considerados como aqueles entre os numeros complexos nos quais a parte

imaginaria (isto e, a parte que era um multiplo da raiz quadrada de −1) fosse zero. Todas

essas suposicoes eram erroneas, devendo ser rejeitadas, como veremos, para que possam ser

dadas definicoes corretas.

Do livro: “Introducao a filosofia matematica” de Bertrand Russell/ZAHAR EDITORES/Rio

de Janeiro.

Seremos forcados a discordar do eminente filosofo. Senao, vejamos:

“Um dos erros que retardaram a descoberta de definicoes corretas nessa regiao e a ideia

comum de que cada extensao de numero inclui os generos anteriores como casos especiais.”

“Pensou-se, ao se tratar de numeros positivos e negativos, que os inteiros positivos podiam

ser identificados com os inteiros originais sem sinal.”

O erro de Russel esta, precisamente, em confundir conjunto com estrutura,ou ainda: elemento com numero. De fato, na construcao dos inteiros a partirdos naturais, temos (por exemplo),

1 ∈ N

1′ = (1, 0) = (1, 0); (2, 1); (3, 2); (4, 3); . . . ∈ Z

De fato, nao temos N ⊂ Z, porquanto 1 ∈ N e 1 ∈ Z. Entretanto, temos

1 ∈N e 1′ ∈ Z+ ⇒ 1 = 1′

Em funcao da existencia do isomorfismo (entre estruturas):

a ∈ N (a, 0) ∈ Z+φ

onde, Z+ = { (a, 0) : a ∈ N }, +, · ). Ou seja, a existencia de uma imers˜ ao

entre estruturas numericas, nos permite sim identificar numeros.

“Pensou-se tambem que uma fracao cujo denominador e 1 pudesse ser identificadacom o numero natural que e o seu numerador.” Isto tambem e verdade.



Gentil 15

1.2 Definicao: Numeros Hipercomplexos

Seja R o conjunto dos numeros reais. Consideremos o produto cartesianoR × R = R2:

R2 =

(x, y) : x, y ∈ R

Vamos tomar dois elementos neste conjunto, (a, b) e (c, d) para dar tresimportantes definicoes:

( i ) Igualdade: dois pares ordenados sao iguais se, e somente se, ocorre oseguinte:

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d.

( ii ) Adicao: chama-se adicao de dois pares ordenados a um novo par ordenado,obtido da seguinte forma:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

( iii ) Multiplicacao: chama-se multiplicacao de dois pares ordenados a um novopar ordenado, obtido da seguinte forma:

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ),

onde, na abscissa do produto, tomamos − se a c ≥ 0, tomamos + caso contrario.

Definicao 4 (Numeros hipercomplexos). Chama-se sistema dos n´ umeros hiper-complexos , e representamos por H, ao sistema de pares ordenados de n´ umeros reais para os quais est˜ ao definidas a igualdade, a adic˜ ao e a multiplicac˜ ao conforme o ıtem acima.

(11.12.2008) Adendo: Poderia-se perguntar: Quais as propriedades que umaestrutura† deveria satisfazer para ser considerada uma estrutura numerica; istoe, para que tenhamos creado alguma especie de numeros?

A este respeito, os matematicos − nao raro − sao guiados por motivacoes“esteticas” (no que nao estao errados) e por “dogmas”, isto e pre-conceitos(no que estao errados). A bem da verdade, no que diz respeito as creacoesmatematicas, as aplicacoes praticas sempre dirao a ultima palavra; de outromodo: a utilidade de uma teoria sempre tera ascendencia sobre as preferenciasou motivacoes dos matematicos.

Digo, se algo deu provas cabal de sua utilidade, nao serao os matematicosque, por algum ou outro capricho, o colocarao no ındex. Veja-se por exemplo,

o caso da func~ao delta ( δ ) de Dirac, na Fsica.

Definicao 5 (Numeros hipercomplexos). Chama-se sistema dos n´ umeros hiper-complexos , e representamos por H, ao sistema de pares ordenados de n´ umeros reais para os quais est˜ ao definidas a igualdade, a adic˜ ao e a multiplicac˜ ao conforme o ıtem acima.

Representaremos cada elemento generico (x, y) ∈ H com o sımbolo w , por-tanto:

w ∈H ⇔ w = (x, y) ∈ ( R2, +, ·)†Digo, um conjunto munido com duas operacoes.



16

Nota: Na pag. 65 mostramos um programa para multiplicar dois hipercom-

plexos.Exemplos:

1o ) Calcule a soma e o produto dos pares dados a seguir:

( i ) w1

= (0, 1), w2

= (0, −1)

( ii ) w1

= (−1, 0), w2

= (0, 1)

( iii ) w1 = (1, −1), w2 = (0, 1)

( iv ) w1 = (0, 1), w2 = (1, 1)

( v ) w1 = (−1, 1), w2 = (1, 1)

Solucao:

( i ) Temos,w1 + w2 = (0, 1) + (0, −1) =

0 + 0, 1 + (−1)

= (0, 0)

O produto e calculado assim:

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(0, 1) · (0, −1) =

0 · 0 − 1 · (−1), |0| · (−1) + 1 · |0| = (1, 0)

( ii ) Temos,

w1 + w2 = (−1, 0) + (0, 1) =− 1 + 0, 0 + 1

= (−1, 1)


(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(−1, 0) · (0, 1) =− 1 · 0 − 0 · 1, | − 1| · 1 + 0 · |0| = (0, 1)

( iii ) Temos,

w1 + w2 = (1, −1) + (0, 1) =

1 + 0, −1 + 1

= (1, 0)


(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(1, −1) · (0, 1) =

1 · 0 − (−1) · 1, |1| · 1 + (−1) · |0|

= (1, 1)

( iv ) Temos,

w1 + w2 = (0, 1) + (1, 1) =

0 + 1, 1 + 1

= (1, 2)


(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(0, 1) · (1, 1) =

0 · 1 − 1 · 1, |0| · 1 + 1 · |1| = (−1, 1)

( v ) Temos,

w1 + w2 = (−1, 1) + (1, 1) =− 1 + 1, 1 + 1

= (0, 2)



Gentil 17


(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(−1, 1) · (1, 1) =− 1 · 1 + 1 · 1, | − 1| · 1 + 1 · |1| = (0, 2)

2o ) Dados w1

= (−1, 1) e w2

= (1, 2), calcule w de modo que w1 · w = w

2.

Solucao: Tomemos w = (x, y), entao,

w1 · w = w2 ⇒ (−1, 1) · (x, y) = (1, 2),

Temos,

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(−1, 1) · (x, y) = − 1 · x ∓ 1 · y, | − 1| · y + 1 · |x| = (1, 2)

− Inicialmente vamos pesquisar a solucao de nossa equacao no semi-plano x > 0;sendo assim, temos: − x + y, y + x

= (1, 2)

Sendo assim, resulta:−x + y = 1

x + y = 2⇒ (x, y) =

1

2, 3

2

− Agora vamos pesquisar uma (possıvel) solucao para a nossa equacao no semi-plano x ≤ 0; sendo assim, temos:

− x − y, y − x

= (1, 2)

Sendo assim, resulta: −x − y = 1

−x + y = 2⇒ (x, y) =

− 3

2, 1

2

Observe que, em H, uma equacao do 1o grau pode ter mais que uma solucao.Evidentemente isto acontece por que H nao e um corpo.

1.3 Propriedades das operacoes

Proposicao 1. A operac˜ ao de adic˜ ao define em H uma estrutura de grupo co-mutativo, isto e, verifica as seguintes propriedades:

A1) Propriedade associativa;A2) propriedade comutativa;

A3) existencia do elemento neutro;

A4) existencia do elemento simetrico (ou oposto).

Prova: Deixamos como exercıcio.

Apenas observamos que, 0 = (0, 0) e o elemento neutro para a adicao. Dadow = (x, y) temos que −w = (−x, −y) e o seu oposto aditivo, isto e,

w + (−w) = 0.



18

Subtracao

Decorre da proposicao anterior que, dados os hipercomplexos w1 = (a, b) ew

2 = (c, d) existe um unico w ∈ H tal que w

1 + w = w

2. Esse numero w e

chamado diferenca entre w2

e w1

e indicado por w2 − w

1.

Proposicao 2. A operac˜ ao de multiplicac˜ ao em H verifica as seguintes pro-priedades:

M1) Propriedade comutativa;

M2) n˜ ao associativa;

M3) existencia do elemento neutro;

M4) existencia do elemento inverso;

M5) n˜ ao distributiva em relac˜ ao a adic˜ ao.

M1) Propriedade comutativa.

Dados w1 = (a, b) e w2 = (c, d) temos:

w1 · w2 = (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

w2 · w1 = (c, d) · (a, b) = ( c a ∓ d b, |c| b + d |a| ),

comparando estas equacoes concluimos pela comutatividade do produto.

M2) Nao associativa. Tomando, por exemplo,

w1 = (0, 1), w2 = (−1, 0), w3 = (1, −1).

Resulta (confira),

(w1 · w2) · w3 = (1, 1)

w1 · (w2 · w3) = (−1, 1)

M3) Existencia do elemento neutro. Existe 1 = (1, 0) ∈ H com a seguintepropriedade: w · 1 = w, ∀ w ∈H. De fato, considerando w = (a, b) temos,

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(a, b) · (1, 0) = (a · 1 ∓ b · 0, |a| · 0 + b · |1| ) = (a, b)

Nota: Da comutatividade da multiplicacao decorre a unicidade do elementoneutro.

Com efeito, assim: sejam u e u dois elementos neutros para a multiplicacao.Sendo assim, ter-se-a, por um lado, w · u = w, para todo w ∈ H; em particularu · u = u (∗). Por outro lado tambem temos w · u = w, para todo w ∈ H; emparticular u · u = u. Esta ultima igualdade pode ser reescrita como u · u = u.Daqui e de (∗) concluimos que u = u.



Gentil 19

M4) Existencia do elemento inverso. Desejamos mostrar que,

∀ w ∈H∗, ∃ w−1 ∈ H / w · w−1 = 1.

De fato, tomando w = (a, b) = (0, 0), procuramos w ′ = (x, y) satisfazendow · w′ = (1, 0); entao:

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(a, b) · (x, y) = (a · x ∓ b · y, |a| y + b |x| ) = (1, 0)

Daqui montamos o seguinte sistema,

a x ∓ b y = 1

|a

|y + b

|x

| = 0

Para resolver este sistema temos quatro possibilidades quanto aos sinais dea e x, de acordo com a tabela a seguir:

a x

+ +

+ −− +

− −

( i )

( ii )

( iii )

( iv )

Entao,

( i ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x − b y = 1

a y + b x = 0

Este sistema, na forma matricial fica, a −b

b a

·

x

y

=

1

0

Cuja solucao e,x = a

a2+b2 , y = −ba2+b2

( ii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x + b y = 1

a y − b x = 0

Este sistema, na forma matricial fica, a b

−b a

·

x

y

=

1

0



20

Cuja solucao e,

x =

a

a2+b2 , y =

b

a2+b2

Esta solucao, nos descartamos, pois contradiz a hipotese de que a e x tem sinaiscontrarios.( iii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x + b y = 1

−a y + b x = 0

Este sistema, na forma matricial fica,

a b

b −

a · x

y = 1

0 Cuja solucao e,

x = aa2+b2 , y = b

a2+b2

Esta solucao, nos descartamos, pois contradiz a hipotese de que a e x tem sinaiscontrarios.

( iv ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x − b y = 1

−a y − b x = 0


−b −a

·

x

y

=

1

0

Cuja solucao e,x = a

a2+b2 , y = −ba2+b2

Esta solucao, coincide com a primeira. Portanto existe,

w′ =

aa2+b2 , −b

a2+b2

(e e unico, pelo que vimos), chamado inverso ou inverso multiplicativo de w,que multiplicado por w = (a, b) da como resultado 1 = (1, 0).

Divisao

Devido a existencia do inverso multiplicativo, podemos definir em H a operacao

de divisao, simbolizada por w1

w2

, estabelecendo que w1

w2

= w1 · w′2

= w1 · w−12

,

onde mudamos de notacao: w′2

= w−12

.

M5) A multiplicacao e nao distributiva em relacao a adicao.Tomando, por exemplo, a = (1, 1), b = (−1, −1) e c = (0, −1), obtemos

a · (b + c) = (−3, −1)

a · b + a · c = (−1, −1)



Gentil 21

1.4 Imersao de R em H

Consideremos agora a subestrutura R de H na qual R e formado pelos paresordenados cujo segundo termo e nulo:

R =

(a, b) ∈ R2 : b = 0

Consideremos agora a aplicacao f , de R em R, que leva cada x ∈ R ao par(x, 0) ∈ R, tipo assim:

R R

H

f

a (a, 0)

b (b, 0)

a + b (a + b, 0)

a · b (a · b, 0)

f : R R

x (x, 0)

Primeiramente notemos que f e bijetora, porquanto:

( i ) todo par (x, 0) ∈ R e o correspondente, segundo f , de x ∈ R (isto querdizer que f e sobrejetora);

( ii ) Dados x ∈ R e x′ ∈ R, com x = x′ os seus correspondentes (x, 0) ∈ Re (x′, 0) ∈ R sao distintos, de acordo com a definicao de igualdade de paresordenados (isto quer dizer que f e injetora).

Em segundo lugar, notemos que f preserva as operacoes de adicao e multi-plicacao pois,

f (a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = f (a) + f (b)

No que concerne a multiplicacao, temos: f (a b) = (a b, 0). Desejamos mostrarque

f (a b) = f (a) · f (b)

Isto e, que

f (a) · f (b) = (a, 0) · (b, 0) = (a b, 0)?

Entao,

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(a, 0) · (b, 0) =

a · b ∓ 0 · 0, |a| · 0 + 0 · |b| = (ab, 0)



22

Devido ao fato de existir uma aplicacao f : R → R que preserva as operacoes

de adicao e multiplicacao, dizemos que R

e R

sao isomorfos.Devido ao isomorfismo, operar com (x, 0) leva a resultados analogos aos obti-dos operando com x; em razao disto, de agora em diante, faremos a identificacaoque se segue:

x = (x, 0), ∀ x ∈ R

Aceita esta convencao, em particular resulta:

0 = (0, 0), 1 = (1, 0), −1 = (−1, 0), a = (a, 0)

Assim o corpo R dos numeros reais passa a ser considerado uma subestruturado sistema H dos numeros hipercomplexos: R ⊢ H.

Demonstraremos agora algumas proposicoes elementares, em H:

Proposicao 3. Para todo w = (a, b) ∈H, vale:

0 · w = 0

Prova: Temos:

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(0, 0) · (a, b) =

0 · a ∓ 0 · b, |0| · b + 0 · |a| = (0, 0)

Proposicao 4. Sejam, w = (a, b), w′ = (c, d) ∈ H, temos:

w · w′ = 0 ⇒ w = 0 ou w′ = 0.

Prova: Temos:

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(a, b) · (c, d) =

a · c ∓ b · d, |a| · d + b · |c| = (0, 0)

Entao, ac ∓ bd = 0

|a|d + b|c| = 0

Devemos considerar quatro possibilidades de acordo com os sinais de a e c:

a c

+ +

+ −− +

− −

( i )

( ii )

( iii )

( iv )

Entao,



Gentil 23


a c − b d = 0

a d + b c = 0

Suponhamos que w = (a, b) = 0 e vamos determinar w′ = (c, d). Neste caso osistema toma a forma,

a −b

b a

·

c

d

=

0

0

Cuja solucao e,

c = 0a2+b2 , d = 0

a2+b2

Portanto, w ′ = 0.


a c + b d = 0

a d − b c = 0

Suponhamos que w = (a, b) = 0 e vamos determinar w′ = (c, d). Neste caso osistema toma a forma

a b

−b a · c

d

= 0

0

Cuja solucao e,

c = 0a2+b2 , d = 0

a2+b2

Portanto, w ′ = 0. E assim prova-se os outros dois casos restantes.

Provaremos agora uma importante propriedade do sistema H:

Proposicao 5. Para todo k ∈ R, e para todo w = (a, b) em H, a seguinte identidade

k

·(a, b) = ( k a,

|k

|b ) = (k a, k b), se k ≥ 0;

(k a, −k b), se k < 0.

se verifica.

Prova: De fato,

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(k, 0) · (a, b) =

k · a ∓ 0 · b, |k| · b + 0 · |a| = ( k a, |k| b )

Esta proposicao nos proporciona um fenomeno que nao ocorre em R ou em C.



24

Corolario 1. Em H a seguinte identidade

−1 · x = −x

e falsa.

Prova: De fato, tomando x = (0, 1), resulta,

−x = −(0, 1) = (0, −1)

−1 · x = (−1 · 0, | − 1| · 1) = (0, 1)

Sendo assim e importante estar atento para o fato de que, ao contrario doque ocorre em R, ou em C, em H e necessario distinguir entre −x e −1 · x.

Observe que, enquanto no primeiro caso temos o oposto aditivo de x, no se-

gundo caso temos o produto de dois hipercomplexos: −1 = (−1, 0) e x = (a, b).

Podemos visualizar isto graficamente, assim:

C

: −x = −1 · x

x

−x

H

: −x = −1 · x

x

−x

−1 · x

Observe, outrossim, que em H nao vale a propriedade de cancelamentopara a multiplicacao; para se convencer disto considere a seguinte igualdade,

1 · (0, 1) = −1 · (0, 1)

Isto se deve ao fato da multiplicacao nao ser associativa.

Definicao 6 (Oposto multiplicativo). Dado w ∈ H definiremos como seu opostomultiplicativo o n´ umero −1 · w.

1.5 Unidade hiperimaginaria

Chamamos unidade hiperimaginaria e indicamos por j o numero hipercom-plexo (0, 1). Este numero possui duas propriedades que, em conjunto, nao saopartilhadas por nenhum numero complexo, quais sejam:

j2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1 · 1, 0) = −1,

por outro lado, como vimos antes, −1 · j = j . Em resumo: j2 = −1

−1 · j = j(1.3)

Nos referiremos a estas duas propriedades como a: hiperpropriedade.



Gentil 25

Problemas insoluveis em C, mas com solucao em H

E de se esperar que, de posse desta propriedade unica de j , consigamos resolvertoda uma classe de novos problemas que nao tem solucao no sistema C.

E de fato isto acontece. Com efeito, estas propriedades ja nos dao umaindicacao do tipo destes problemas, observe:


H :

j2 = −1,

−1 · j = j

x2 + 1 = 0,

−1 · x − x = 0

Ou seja, nao existe nenhum numero complexo x satisfazendo, simultaneamente,as duas condicoes a direita.

Acontece que, como diz o velho adagio popular, “onde passa um boi, passauma boiada” , quero dizer: se a hiperpropriedade nos faculta resolver um prob-lema insoluvel em C entao pode nos facultar uma infinidade deles. Vejamosmais um exemplo, o seguinte sistema:

x + y = 0

(−1 · x − y) · y = 2

nao possui solucao nos complexos, apenas nos hipercomplexos.

1.5.1 Forma algebrica

Dado um numero hipercomplexo qualquer w = (x, y), temos:

w = (x, y) = (x, 0) + (0, y)

Temos,

( i ) (x, 0) = x.

( ii ) Se y ≥ 0, entao (0, y) = y (0, 1) = y j.

Se y ≤ 0 ( |y| = −y ), entao

− j y = y · (− j) = y · ( 0, −1 ) = ( y · 0, |y| · (−1) ) = ( 0, (−y) · (−1)) = (0, y)

Tendo em conta estes resultados podemos escrever,

w = (x, y) =

x + j y, se y ≥ 0;

x − j y, se y ≤ 0.(1.4)

Assim, todo numero hipercomplexo w = (x, y) pode ser escrito sob a formaacima, chamada forma algebrica. O numero real x e chamado parte real de w,o numero real y e chamado parte hiperimaginaria de w.

Neste momento precisamos fazer um esclarecimento assaz importante: Aestas alturas o leitor ja percebeu que a algebra hipercomplexa e “ligeiramente”distinta da algebra real ou complexa. Isto nos obriga a estar (bastante) atentos



26

quanto as notacoes. Por exemplo, consideremos as quatro formas seguintes

x − j y

x − y j

x + j(−y)

x + y(− j)

Vejamos o significado da segunda parcela em cada uma delas:

− jy , significa: o oposto de j que multiplica y

−yj , significa: o oposto de y que multiplica j

j(−y), significa: o oposto de y que multiplica j

y(− j), significa: o oposto de j que multiplica yO leitor pode mostrar, a partir da proposicao 5, que

− jy = −yj = j (−y)

Um milagre aos olhos dos habitantes Complexos

Se, algum dia, um matematico do Universo complexo se defrontar com aseguinte equacao elementar: (−1 · x + x) · x = −1, ele teria duas saıdas: aban-donar o “jogo”, ou consultar um matematico do “universo Hipercomplexo”∗.De fato, esta e uma equacao impossıvel de se resolver dentro dos universosnumericos conhecidos dos matematicos (hodiernos), em razao de que vale:

(−

1·

x + x)·

x = −

1 ⇐⇒

0·

x = −

1

Pois bem, vamos assumir o desafio.

Proposicao 6 (Gentil/04.12.2008). A seguinte equac˜ ao,

(−1 · x + x) · x = −1 (1.5)

possui soluc˜ ao em H.

Prova: Tomando x = (c, d ), temos −1 · x = −1 · (c, d ) = (−c, d ), pelaprop. 5, pag. 23. Portanto,

−1 · x + x = (−c, d ) + (c, d ) = (0, 2d )

Substituindo este resultado em (1.5), obtemos

(0, 2d ) · (c, d ) = −1

O produto acima fica,

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(0, 2d) · (c, d) =

0 · c ∓ 2d · d, |0| · d + 2d · |c| = (−2d2, 2|c|d ) = (−1, 0)

∗No caso eu, que por enquanto, sou o unico habitante deste Universo.



Gentil 27

E facil ver que para c = 0 o problema nao tem solucao. Para c = 0 concluimos

que d = ±√

2/2. Portanto,

x =

0, ±√

2

2

⇒ x =

√ 2/2 j ou x = −√

2/2 j

.

Observe que o numero j foi o responsavel por este milagre!

A tıtulo de curiosidade, observe que, das duas equacoes abaixo:

x2 + 1 = 0

(−1 · x + x) · x + 1 = 0

Com o numero i resolvemos apenas a primeira, ao passo que, com o numero jresolvemos as duas.

− Considerando a equacao,

0 · x = b, b = 0 (1.6)

nos reais, ou complexos; como, nestes universos, vale

0 = −1 · x + x

0 = −1 · (−x) + (−x)

Segue-se que,

0 · x = b ⇐⇒

(−1 · x + x) · x = b

(−1 · (−x) + (−x)) · x = b(1.7)

Em H, embora nao possamos resolver diretamente a equacao (1.6), podemosresolver suas equivalentes, dadas acima.

Se b > 0, resolvemos a segunda das equacoes em (1.7), caso contrario re-solvemos a primeira. Por exemplo, seja a equacao 0 · x = 1, entao,

0 · x = 1 ⇐⇒ (−1 · (−x) + (−x)) · x = 1

Tomando x = (c, d), temos, −x = (−c, −d), logo,

−1 · (−x) + (−x) = −1 · (−c, −d) + (−c, −d) = (c, −d) + (−c, −d) = (0, −2d)

Entao,

(−1 · (−x) + (−x)) · x = 1 ⇒ (0, −2d) · (c, d) = 1

O produto acima fica,

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(0, (−2d)) · (c, d) =

0 · c ∓ (−2d) · d, |0| · d + (−2d) · |c| = (2d2, −2|c|d ) = (1, 0)

E facil ver que para c = 0 o problema nao tem solucao. Para c = 0 concluimosque d = ±√

2/2. Portanto,

x =

0, ±√

2

2

⇒ x =

√ 2/2 j ou x = −√

2/2 j

.



28

1.5.2 Exegese da unidade hiperimaginaria

Sabemos que, dado um numero complexo z, a interpretacao geometrica doproduto i z e a de uma rotacao de 90o − no sentido positivo, isto e anti-horario− do complexo z . Pretendemos saber o que acontece, geometricamente, quandomultiplicamos um hipercomplexo w pela unidade hiperimaginaria j .

Inicialmente recordamos a formula para rotacao − de um angulo θ − de umponto (x, y) no plano:

(x′, y′) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) (1.8)

Desta formula obtemos,

R( 90o ) = (x cos90o − y sen 90o, x sen 90o + y cos90o) = (−y, x) (1.9)

R( −90o ) = (x cos90o + y sen 90o, −x sen90o + y cos90o) = (y, −x) (1.10)

Seja w = (x, y) ∈H, entao

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(0, 1) · (x, y) =

0 · x ∓ 1 · y, |0| · y + 1 · |x| Entao,

j w = (−y, |x| )

Entao,

Se x ≥ 0 ⇒ j w = (−y, x )

Se x ≤ 0 ⇒ j w = (−y, −x ) = −1 · (y, −x )

Comparando estes resultados com as equacoes (1.9) e (1.10), concluimos que

pontos do lado direito do eixo y sao rotacionados de 90o

no sentido anti-horario,assim:

0x

y

wjw

e que pontos do lado esquerdo do eixo y sofrem uma rotacao de 90o no sentidohorario seguida de uma reflexao em torno do eixo y , assim:

0x

y

w

jw

0x

y

w

jw



Gentil 29

“Intersecao” entre H e C

Agora vamos confrontar a multiplicacao (a, b) · (c, d) nos sistemas H

e C

para efeito de comparacao, assim:

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

Comparando as duas regras concluimos que estas multiplicacoes coincidemno semi-plano x ≥ 0.

0x

y

H=C

A “igualdade” H = C na figura acima, significa tao somente isto: Aotomarmos dois pontos nesta regiao sua soma e multiplicacao fornecem o mesmoresultado nestes dois sistemas.

Observe que j encontra-se nesta regiao, o que significa que (no semi-planox ≥ 0) ele tem as mesmas propriedades operatorias que i, enquanto que nosemi-plano x < 0 verifica-se,

j = (0, 1) = (0, 1) = i

Aqui nao vale o axioma:

“Duas quantidades iguais a uma terceira, sao iguais entre si.”

De um modo mais esoterico: i e j habitam um mesmo corpo, todavia, saoespıritos distintos. Sao como gemeos.

Transformacoes geometricas

No universo Complexo, o significado geometrico da operacao de adicao e umatranslac˜ ao, assim:

(x, y) + (a, b) = (x + a, y + b)

O significado geometrico da operacao de multiplicacao e uma rotac˜ ao, assim:

(x, y) · (cos θ, sen θ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ)

Atraves da multiplicacao vejamos como implementar uma outra transformacaogeometrica, a reflex˜ ao em torno do eixo y, por exemplo. De outro modo: dado oponto de coordenadas (x, y) como, atraves da multiplicacao, obter uma reflexaodeste ponto em torno do eixo y? Geometricamente:

0x

y

(x, y)(−x, y)

?

0x

y

(x, y)(−x, y)

θ



30

A figura da direita nos sugere que devemos rotacionar o ponto (x, y) de um

certo angulo θ de tal modo que o produto venha a coincidir com a reflexaodesejada.Para encontrar o “angulo de reflexao” devemos resolver a equacao,

(x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) = (−x, y)

Ou ainda: x cos θ − y sen θ = −x

x sen θ + y cos θ = y

Multiplicando a primeira equacao por x, a segunda por y e somando as duasobtemos cos θ. Multiplicando a primeira equacao por y, a segunda por −x esomando as duas obtemos sen θ, assim:

cos θ = −x2 + y2

x2 + y2 , sen θ =

2xy

x2 + y2

Observe que para obtermos o mesmo resultado nos Hipercomplexos, bastamultiplicar por −1, assim:

−1 · (x, y) = (−x, y)

1.6 Forma trigonometrica

Definicao 7 (Conjugado). Chama-se conjugado do hipercomplexo w = (a, b)

ao hipercomplexo w = (a, −b), isto e:

w = (a, b) ⇔ w = (a, −b)

Definicao 8 (Norma). Chama-se norma do hipercomplexo w = (a, b) ao n´ umeroreal

N (w) = a2 + b2

Definicao 9 (Modulo). Chama-se m´ odulo (ou valor absoluto) do hipercomplexow = (a, b) ao n´ umero real

|w

| = N (w) = a2 + b2

Nota : Alternativamente podemos usar a notacao: ρ, para o modulo.

Deixamos como exercıcio ao leitor, mostrar que w · w = |w|2.Observe que o inverso de w = (a, b) pode ser escrito como,

w−1 = a

a2 + b2,

−b

a2 + b2

⇔ w−1 =

a

|w|2, −b

|w|2

Ou ainda,

w−1 = 1

|w|2 ( a, −b ).



Gentil 31

Definicao 10 (Argumento). Chama-se argumento de um hipercomplexo w =

(x, y), n˜ ao nulo, ao ˆ angulo θ tal que cos θ =

x

ρ, sen θ =

y

ρ

Observe que existe ao menos um angulo θ satisfazendo a definicao, pois

cos2 θ + sen 2θ = x

ρ

2+ y

ρ

2

= x2 + y2

ρ2 = 1.

Fixado o hipercomplexo w = 0, estao fixados cos θ e sen θ, mas o angulo θpode assumir infinitos valores, congruentes dois a dois. Assim o hipercomplexow

= 0 tem argumento,

θ = θ0 + 2 k π; k ∈ Z

onde θ0 e chamado argumento principal de w, e tal que

cos θ0 = x

ρ, sen θ0 =

y

ρ.

e0 ≤ θ0 < 2π. (1.11)

Por vezes trabalharemos com θ0 chamando-o simplesmente argumento de w .

Exemplos:

1o) Para w =√

3 + i, temos ρ =

(√

3)2 + 12 + 02 = 2, entao

cos θ0 =

x

ρ =

√ 3

2

sen θ0 = y

ρ =

1

2

Tendo em conta (1.11), resulta

θ0 = π

6 ⇒ θ =

π

6 + 2kπ

2o) Para w = (0, 1), temos ρ =√

02 + 12 = 1, entao

cos θ0

= x

ρ =

0

1 = 0

sen θ0 = y

ρ =

1

1

Sendo assim, temos

cos θ0 = 0⇒ θ0 = π

2sen θ0 = 1

Temosθ =

π

2 + 2kπ



32

Plano de Argand-Gauss

Podemos representar graficamente um hipercomplexo w = (x, y), no assimchamado plano de Argand-Gauss, do seguinte modo:

O X

Y

x

y

ρ

P

θ0

Note que a distancia entre w = (x, y) e O = (0, 0) e o modulo de w:

|w| =

x2 + y2 = ρ

Nomenclatura:

X OY = plano de Argand-Gauss;

OX = eixo real;

OY = eixo hiperimaginario;

P = afixo de w.

A seguinte inequacao:| − 1 · x + x| > 1

nao possui solucao no campo complexo. No hipercomplexo sim. Com efeito,tomemos x = (a, b), entao:

−1 · x + x = −1 · (a, b) + (a, b)

= (−a, b) + (a, b) = (0, 2b)

Portanto,| − 1 · x + x| = |(0, 2b)| =

02 + (2b)2 = |2b| > 1,

entao,

2|b| > 1 ⇔ |b| > 12 ⇔ b > 12 ou b < −12

Podemos visualizar o conjunto solucao da inequacao proposta, assim:



Gentil 33

x

y

0

1/2

−1/2

Forma trigonometrica

Podemos escrever um hipercomplexo w da seguinte forma,

w = ρ (cos θ, sen θ)

chamada forma trigonometrica de w . Na forma algebrica temos,

w = ρ (cos θ + j sen θ), se sen θ ≥ 0;

ρ (cos θ − j sen θ), se sen θ ≤ 0.

(1.12)

Ver equacao (1.4), pag. 25. De outro modo:

w =

ρ (cos θ + j sen θ), se 0 ≤ θ ≤ π;

ρ (cos θ − j sen θ), se π ≤ θ ≤ 2π.(1.13)



34

Multiplicacao na forma trigonometrica

Sejam w1 = ρ1 (cos θ1 , sen θ1) e w2 = ρ2 (cos θ2 , sen θ2). Temos,

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos θ1 , sen θ1) · (cos θ2 , sen θ2)

= ρ1

ρ2 (cos θ

1 · cos θ

2 ∓ sen θ

1 · sen θ

2, | cos θ

1| · sen θ

2 + sen θ

1 · | cos θ

2|)

Podemos abrir esta equacao em quatro, de acordo com a tabela a seguir:

cos θ1 cos θ2

+ +

+ −− +

− −

( i )

( ii )

( iii )

( iv )

Entao,

( i ) Neste caso temos,

w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 + θ2), sen(θ1 + θ2) ) (1.14)

( ii ) Neste caso temos,

w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2), − sen(θ1 − θ2) )

( iii ) Neste caso temos,

w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2), sen(θ1 − θ2) )

( iv ) Neste caso temos,

w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 + θ2), − sen(θ1 + θ2) ) (1.15)

Nota: Os casos ( ii ) e ( iii ) reduzem-se a um unico ao permutarmos: w1 ↔ w2 .

Corolario 2. Sejam w1 e w2 hipercomplexos, ent˜ ao: |w1 · w2 | = |w1 | · |w2 |.Nota: Esta deducao nao inclui o caso em que cos θ1 = 0 ou cos θ2 = 0 (isto

e, nao vale para pontos no eixo y , como j , por exemplo).

Interpretacao geometrica

Sabemos que a interpretacao geometrica do produto complexo e uma rotacao(positiva, isto e, anti-horaria). Vejamos uma interpretacao geometrica para oproduto hipercomplexo. Este produto depende da posicao relativa dos pontosenvolvidos. Entao,

( i ) Se ambos os pontos situam-se do lado direito do eixo y entao o produtohipercomplexo coincide com o produto complexo, portanto e uma rotacao pos-itiva.

( iv ) Se ambos os pontos situam-se do lado esquerdo do eixo y entao o produto



Gentil 35

hipercomplexo coincide com o produto complexo, a menos de uma reflexao. Em

outras palavras: e uma rotacao seguida de uma reflexao em torno do eixo x.( ii ) Neste caso, para interpretar o produto w1 · w2 , convencionaremos chamaro fator a direita (isto e, w2) de indutor e o fator a esquerda de induzido. Sendoassim interpretamos o produto,

w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2), − sen(θ1 − θ2) )

dizendo que w2 induz uma rotacao (negativa, isto e, horaria) de um angulo θ2

em w1

(induzido) seguida de uma reflexao em torno do eixo x.Em resumo: no produto acima, w

1 sofre uma rotacao (horaria) seguida de

uma reflexao∗.Este mesmo produto comporta uma nova interpretacao se trocarmos os

papeis de indutor e induzido, assim

w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2), − sen(θ1 − θ2) )

= ρ2 ρ1 (cos(θ2 − θ1), sen(θ2 − θ1) ) = w2 · w1

Neste caso dizemos que w1 (indutor) induz uma rotacao (horaria) de θ1 em w2

(induzido).

( iii ) Este caso e tratado de modo analogo ao anterior.Vejamos geometricamente um exemplo de cada um dos produtos acima:

( i ) Sejam w1 = (1, 1) e w2 =

2, −2√

33

. Temos,

w1 =√

2(cos45o, sen45o)

w2 = 4 √ 33

(cos 330o, sen 330o)

Vamos multiplicar estes numeros de duas formas:

• Forma trigonometrica;

w1 · w2 =√

2 · 4

√ 3

3

cos(45o + 330o), sen (45o + 330o)

= 4

√ 6

3 (cos375o, sen375o )

• Forma cartesiana;

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(1, 1) ·

2, −2√

3

3

=

1 · 2 − 1 · − 2√

3

3

, |1| · − 2

√ 3

3

+ 1 · |2|

= 2

3 (3 +

√ 3, 3 −

√ 3)

Graficamente, temos

∗Estamos, de proposito − para simplificar nossa analise −, ignorando o produto dosmodulos.



36

0x

y

w1

w2

1 2

1

2

−1

0x

y

w1

w2

1 2

1

2

−1

w1·w

2

Podemos interpretar o produto acima de dois modos distintos:

1

o

) w2 e o indutor e w1 e o induzido:w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 + θ2), sen(θ1 + θ2) )

=√

2 · 4

√ 3

3

cos(45o + 330o), sen(45o + 330o)

Neste caso o indutor induz uma rotacao de 330o no sentido positivo, assim:

x

y

w1

w2

1 2

1

2

−1

w1 ·w2

2o ) Invertendo os papeis: w1 e o indutor e w2 e o induzido.

w2 · w1 = ρ2 ρ1 (cos(θ2 + θ1), sen(θ2 + θ1) )

= 4

√ 3

3 ·

√ 2

cos(330o + 45o), sen (330o + 45o)

Neste caso o indutor induz uma rotacao de 45o no sentido positivo, assim:

x

y

w1

w2

1 2

1

2

−1

w1 ·w2



Gentil 37

Observe que hipercomplexos positivos se comportam, para a multiplicacao,

como se fossem numeros complexos.

( ii ), ( iii ) Sejam w1 = (1, 1) e w2 = − 2

√ 3

3 , 2

. Temos,

w1 =√

2(cos45o, sen45o)

w2 = 4

√ 3

3 (cos 120o, sen 120o)



w1 · w2 = √ 2 · 4 √ 33

cos(45o − 120o), − sen (45o − 120o)

= 4

√ 6

3 (cos75o, sen75o )


(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(1, 1) · − 2

√ 3

3 , 2

=

1 · − 2√

3

3

+ 1 · 2, |1| · 2 + 1 · − 2

√ 3

3

=

2

3 (3 − √ 3, 3 + √ 3 )

Graficamente, temos

0

x

y

w1

w2

1 2

1

0

x

y

w1

w2

1 2

1

w1 ·w2


1o ) w2 e o indutor e w1 e o induzido:

w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2), − sen(θ1 − θ2) )

=√

2 · 4

√ 3

3

cos(45o − 120o), − sen (45o − 120o)

Neste caso o indutor induz uma rotacao de 120o (no sentido negativo, isto e,horario), seguida de uma reflexao em torno do eixo x, assim:



38

0

x

y

w1

w2

1 2

1

0

x

y

w1

w2

1

1

2

w1

·w2


w2 · w1 = ρ2 ρ1 (cos(θ2 − θ1), − sen(θ2 − θ1) )

= ρ2 ρ1 (cos(θ1 − θ2), sen(θ1 − θ2) )

= 4

√ 3

3 ·

√ 2

cos(120o − 45o), sen (120o − 45o)

O indutor induz uma uma rotacao de 45o no sentido negativo, assim:

0

x

y

w1

w2

1 2

1

w1 ·w2

Multiplicacao por −1Sejam w1 = (1, 1) e w2 = (−1, 0). Temos,

w1 =√

2(cos45o, sen45o)

w2 = 1 (cos 180o, sen180o)





Gentil 39

w1 · w2 = √ 2 · 1

cos(45o − 180o), − sen(45o − 180o)

=√

2(cos−135o, − sen − 135o )


(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(1, 1) · (−1, 0) =

1 · −1 ∓ 1 · 0, |1| · 0 + 1 · | − 1| = (−1, 1)

Graficamente, temos

0

x

y

w1

w21 2

1

0

x

y

w1

w2

w1 ·w2

1 2

1

Vejamos uma possıvel interpretacao para o produto acima:

• w2 como indutor e w1 como induzido:

w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2), − sen(θ1 − θ2) )

=√

2 · 1

cos(45o − 180o), − sen (45o − 180o)

Neste caso o indutor induz uma rotacao de 180o (no sentido negativo, isto e,horario), seguida de uma reflexao em torno do eixo x, assim:

x

y

w1

1 2

1

x

y

w1

w1 ·w2

1 2

1

Observe a diferenca entre os produtos −1 · (1, 1) = (−1, −1), nos Complexos, e−1 · (1, 1) = (−1, 1), nos hipercomplexos. No primeiro caso temos uma rota caode 180o; no segundo caso temos uma rotacao de 180o seguida de uma reflexaoem torno do eixo x; no final resultando numa reflexao em torno do eixo y .



40

( iv ) Sejam w1 = (−1, 1) e w2 = − 2√

33

, −2. Temos,

w1

=√

2(cos135o, sen135o)

w2 = 4

√ 3

3 (cos 240o, sen 240o)



w1 · w2 =√

2 · 4

√ 3

3 cos(135o + 240o), − sen (135o + 240o)

= 4 √ 6

3 (cos375o, − sen 375o )


(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(−1, 1) · − 2

√ 3

3 , −2

=

(−1) · − 2√

3

3

− 1 · (−2), | − 1| · (−2) + 1 · − 2√

3

3

= 2

3 (3 +

√ 3, −3 +

√ 3 )

Graficamente, temos

x

y

w1

w2

1 2

1

−1

−2

x

y

w1

w2

2 3

1

−1

−2

w1 ·w2


1o ) w2 e o indutor e w1 e o induzido:

w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 + θ2), − sen(θ1 + θ2) )

=√

2 · 4

√ 3

3

cos(135o + 240o), − sen (135o + 240o)

Neste caso o indutor induz uma rotacao de 240o no sentido positivo, seguida deuma reflexao em torno do eixo x, assim:



Gentil 41

x

y

w1

w2

1 2 3

1

−1

−2

x

y

w1

w2

2 3

1

−1

−2

w1 ·w2


w2 · w1 = ρ2 ρ1 (cos(θ2 + θ1), − sen(θ2 + θ1) )

= 4

√ 3

3 ·

√ 2

cos(240o + 135o), − sen (240o + 135o)

Neste caso o indutor induz uma rotacao de 135o no sentido positivo, seguida deuma reflexao em torno do eixo x, assim:

x

y

w1

w2

1 2 3

1

−1

−2

x

y

w1

w2

2 3

1

−1

−2

w1 ·w2

Nota: Pudemos observar que um hipercomplexo w > 0 comporta-se comoum numero complexo; isto e, como indutor, produz apenas uma rotacao. Comuma ressalva: se o induzido for um numero negativo, a rotacao se da no sentidonegativo (horario).

Ja um hipercomplexo w < 0 comporta-se como um autentico hipercomplexo;isto e, como indutor, produz uma rotacao seguida de uma reflexao.

1.6.1 Rotacao & Oscilacao

Vamos tomar w1 = ρ(cos θ, sen θ) um parametro indutor e w2 = (x, y) uminduzido arbitrario. Para o calculo do produto w1 · w2 , temos:

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(cos θ, sen θ) · (x, y) =

cos θ · x ∓ sen θ · y, | cos θ| · y + sen θ · |x|



42

Vamos considerar cos θ > 0, sendo assim temos:

w1 · w2 =

ρ(x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ), se x ≥ 0;

ρ(x cos θ + y sen θ, −x sen θ + y cos θ), se x < 0.(1.16)

Convencao: Vamos adotar a seguinte notacao: w ( n )1

·w2 , significa multiplicarw2 , sucessivamente, por w1 n vezes, ou seja:

w ( 2 )1

· w2 = w1 · (w1 · w2)

w ( 3 )1

· w2 = w1 ·

w1 · (w1 · w2)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Para realizar uma simulacao, vamos tomar w1 com ρ = 1 e θ = 20o ew2 = (2, 0). Na figura a seguir temos o esbo co da multiplicacao w (n )

1 · w2 .

0x

y

w2w1

1 2

1

2

• w(n)

1

· w2 (n = 1, 2, 3, . . .)

0x

y

w2

1 2

Vejamos como interpretar, matematicamente, o grafico acima; para istoreproduzimos a equacao (1.8) (pag. 28) aqui:

R (θ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) (1.17)

Desta equacao, obtemos:

R (−θ) =

x cos(−θ) − y sen(−θ), x sen (−θ) + y cos(−θ)

= (x cos θ + y sen θ, −x sen θ + y cos θ ) (1.18)

Comparando estas equacoes com as equacoes (1.16) concluimos que um ponto∗,

ao ser multiplicado sucessivamente por um parametro indutor†, sofre rotacoespositivas enquanto “sua” abscissa for positiva (isto e, enquanto permanece dolado direito do eixo y); quando este ponto atravessa a “faixa” x = 0 o sentidode sua rotacao e invertido; isto e, passa a ser horaria.

Aplicando esta analise ao nosso caso particular concluimos que o ponto (in-duzido) permanecera oscilando indefinidamente.

Na figura seguinte temos a mesma simulacao anterior com o acrescimo deuma “atenuacao” com ρ = 0, 9.

∗Do lado direito do eixo y .†Com cos θ > 0.



Gentil 43

0x

y

w2

1 2

Na figura da direita temos uma plotagem com mais pontos e sem os eixoscoordenados.

Observe que a sequencia

w(n)1

· w2

converge para a origem (em azul).

− Na figura a seguir, ainda com θ = 20o e ρ = 1, 1, tomamos o induzidocomo w

2

= (−

1, −

1).

x

y

w2

w1

1 2

1

2

−1

x

y

w2

1 2

2

−1

Divisao na forma trigonometrica

Sejam w1 = ρ1 (cos θ1 , sen θ1) e w2 = ρ2 (cos θ2, sen θ2). Sendo,

w−12

= 1

ρ2

(cos θ2 , − sen θ2)

Vamos calcular o produto,

w1 · w−12

= ρ1

1

ρ2

(cos θ1 cos θ2 ∓ sen θ1(− sen θ2), | cos θ1 |(− sen θ2) + sen θ1 | cos θ2 | )

= ρ1

ρ2

(cos(θ1

∓θ2),

−|cos θ1

|sen θ2 + sen θ1

|cos θ2

|)

Nesta ultima equacao tome − se cos θ1 cos θ2 > 0, tome + caso contrario.Podemos abrir esta equacao em quatro, de acordo com a tabela a seguir:



44

cos θ1 cos θ2

+ +

+ −− +

− −

( i )

( ii )

( iii )

( iv )

Entao,

( i ) Neste caso temos,

w1 · w2 = ρ1

ρ2

(cos(θ1 − θ2), sen(θ1 − θ2) )

( ii ) Neste caso temos,

w1 · w2 = ρ1

ρ2

(cos(θ1 + θ2), − sen(θ1 + θ2) )

( iii ) Neste caso temos,

w1 · w2 = ρ1

ρ2

(cos(θ1 + θ2), sen(θ1 + θ2) )

( iv ) Neste caso temos,

w1 · w2 = ρ1

ρ2

(cos(θ1 − θ2), − sen(θ1 − θ2) )

Corolario 3. Sejam w1 e w2 hipercomplexos, ent˜ ao: w1

w2 = |w1 |

|w2

|.

Nota: Os casos ( i ) e ( iv ) reduzem-se a um unico ao permutarmos: w1 ↔ w2 .Aqui cabem interpretacoes analogas as do produto.

Rotacao & oscilacao

Para que possamos obter rotacoes e oscilacoes em sentido contrario as damultiplicacao devemos proceder a uma divisao entre dois hipercomplexos.

Vamos tomar w1 = ρ(cos θ, sen θ) um parametro indutor e w2 = (x, y) uminduzido arbitrario. Para o calculo do produto w−1

1 · w2 , temos:

w−11

= 1

ρ · (cos θ, − sen θ)

Entao,(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(cos θ, (− sen θ)) · (x, y) =

cos θ · x ∓ (− sen θ) · y, | cos θ| · y + (− sen θ) · |x| Vamos considerar cos θ > 0, sendo assim temos:

w2

w1

=

1ρ(x cos θ + y sen θ, −x sen θ + y cos θ), se x ≥ 0;

1ρ(x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ), se x < 0.

(1.19)

Para uma analise destes resultados compare com as equacoes (1.17) e (1.18).



Gentil 45

Convencao: Vamos adotar a seguinte notacao: w (−n )1

· w2 , significa di-

vidir w2 , sucessivamente, por w−1

1 n vezes, ou seja:w (−2 )

1 · w

2 = w−1

1 · (w−1

1 · w

2)

w (−3 )1

· w2 = w−11 · w−1

1 · (w−1

1 · w2)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Para realizar uma simulacao, vamos tomar w1 com ρ = 1 e θ = 20o ew2 = (2, 0). Na figura a seguir temos o esboco da multiplicacao w (−n )

1 · w2 .

0x

y

w2w1

1 2

1

2

• w(−n)1

· w2 (n = 1, 2, 3, . . .)

0x

y

w2

Em vermelho temos as multiplicacoes w (−n )1

· w2 e, em azul, − para efeito

de comparacao

−, temos as multiplicacoes w ( n )

1

·w2 (pag. 42).

Rotacao & Oscilacao em torno de um ponto (eixo) arbitrario

Vamos construir agora uma aplicacao, do plano no plano, que nos permitarotacionar um ponto arbitrario (x, y) em torno de um ponto a = (x0 , y0), arbi-trariamente fixado, e este ponto ao cruzar a reta (eixo) x = x0 estara submetidoa, sucessivas, oscilacoes.

Devemos fazer a composicao das seguintes transformacoes:

( i ) Translacao para que o ponto a = (x0 , y0) coincida com a origem. Isto seconsegue com a aplicacao

T −a

(x, y) = (x, y) + (−x0, −y0) = (x − x0 , y − y0)

( ii ) Substituimos este ponto na equacao (1.19), assim:

w2w1

= 1ρ·

(x−x0 ) cos θ+(y−y0) sen θ,−(x−x0 ) senθ+(y−y0 ) cos θ, se x−x0≥0;

(x−x0 ) cos θ−(y−y0) sen θ, (x−x0 ) sen θ+(y−y0 ) cos θ, se x−x0<0.

( iii ) Agora aplicamos, neste ponto, a translacao T a

, para que o ponto retornea sua posicao inicial, assim:

w2w1

= 1ρ·

(x−x0 ) cos θ+(y−y0) sen θ,−(x−x0 ) sen θ+(y−y0) cos θ

+ (x0 , y0 ), se x≥ x0 ;

(x−x0 ) cos θ−(y−y0) sen θ, (x−x0 ) sen θ+(y−y0) cos θ+ (x0 , y0 ), se x< x0 .



46

Facamos algumas simulacoes: Na figura a seguir,

0x

y

(2, 2)

1 2

1

2

3

0x

y

(2, 2)

1 2

1

2

3

Rotacionamos − sucessivamente − o ponto (1, 3) em torno do ponto (2, 2),com θ = 15o. Uma possıvel interpretacao fısica: e como se a “banda” x > 2fosse proibida a “partıcula” , ela oscila indefinidamente. A “partıcula” nao podeprosseguir do lado direito do eixo x = 2.

Na figura a seguir,

0

x

y

(2, 2)

1 2 3

1

2

3

0

x

y

1 2 3

1

2

3

Rotacionamos − sucessivamente − o ponto (3, 3) em torno do ponto (2, 2),com θ = 30o. O ponto fica oscilando, indefinidamente, em torno do eixo x = 2.

− Na figura a seguir,

0

x

y

1 2 3

1

2

3



Gentil 47

Rotacionamos − sucessivamente (em azul) − o ponto (1, 3) em torno do

ponto (2, 2), com θ = 30

o

. Plotamos − para efeito de comparacao − juntamentecom o grafico da figura anterior.Pontos do lado direito da faixa x = 2 sao rotacionados no sentido negativo

enquanto pontos do lado esquerdo sao rotacionados no sentido positivo.

Forma Polar de um numero hipercomplexo

Aqui vamos apenas assinalar uma outra forma - por vezes util - de repre-sentacao de um numero hipercomplexo: a forma polar, assim designada,

w = ρ θ

1.7 PotenciacaoDefinicao 11. Sejam w um n´ umero hipercomplexo e n um n´ umero natural.Potencia de base w e expoente n e o n umero wn tal que:

w0 = 1;

wn = wn−1 · w, ∀ n, n ≥ 1.

Desta definicao decorre que:

w1 = w0 · w = 1 · w

w2 = w1 · w = w · w

w3 = w2 · w = (w · w) · w

w4 = w3 · w =

(w · w) · w · w

Proposicao 7. A seguinte identidade e v´ alida

jn =

−1, se n e par ;

j, se n e ımpar .

Prova: Inducao sobre n.

1o

) n par.Para n = 2 j a mostramos que a proposicao e verdadeira. Suponhamos a

validade da mesma para n = k, isto e, jk = −1. Mostremos que a proposicaocontinua valida para o proximo par n = k + 2:

jk+2 = ( jk · j) · j = (−1 · j) · j = j · j = j 2 = −1

2o) n ımpar. Analogo.

Lema 1. Seja w = (x, y) ∈ H, temos

w2 = ( x2 − y2, 2 |x| y ) (1.20)



48

Prova: Temos,

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(x, y) · (x, y) =

x · x ∓ y · y, |x| · y + y · |x| = (x2 − y2, 2 |x| y )

Vamos ainda calcular a terceira potencia de um numero, assim:

Lema 2. Seja w = (x, y) ∈H, temos

w3 =

(x2 − y2) x ∓ 2|x| y2, |x2 − y2|y + 2x2 y

(1.21)

Prova: Temos,

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

((x2 − y2), 2 |x| y) · (x, y) =

(x2 − y2) · x ∓ 2 |x| y · y, |(x2 − y2)| · y + 2 |x| y · |x| Simplificando temos o resultado desejado.

Observe que em (1.21) tomamos “−” se (x2 − y2)x ≥ 0, tomamos “+” casocontrario.

Dado w = (x, y) ∈ H observamos, em (1.20), que a ordenada de w2 tem omesmo sinal de y. Isto significa que ao multiplicarmos um hipercomplexo porele mesmo o resultado permanece no mesmo semi-plano (y

≥ 0 ou y < 0) de w.

A mesma observacao vale para w3. Vamos mostrar que isto vale para qualquerpotencia de w.

Proposicao 8. Seja w = (x, y) ∈H. Temos,

Se wn = (x′, y′), ent˜ ao sign (y′) = sign (y), ∀ n ≥ 2.

Prova: Inducao sobre n. Para n = 2 a proposicao decorre do lema (1).Suponhamos a proposicao verdadeira para n = k. Isto e,

wk = (a, b), onde sign(b) = sign(y) (hipotese de inducao)

E mostremos que vale para n = k + 1. Isto e,

wk+1 = (x′, y′) ⇒ sign(y′) = sign(y) (tese de inducao)

Entao,

wk+1 = wk · w = (a, b) · (x, y)

= ( a x ∓ b y, |a| y + b |x| )

Temos y′ = |a| y + b |x|, donde decorre a tese, tendo em conta a hip otese deinducao.



Gentil 49

Potenciacao na forma trigonometrica

Para os numeros hipercomplexos vale uma versao (mais fraca) da lei de DeMoivre,

Proposicao 9. Dados o hipercomplexo w = ρ (cos θ, sen θ ), n˜ ao nulo, e onatural n ≥ 2, temos:

wn = ρn (cos n θ, sen n θ ) (1.22)

desde que: cos θ ≥ 0, cos2θ ≥ 0, . . . , cos(n − 1)θ ≥ 0.

Prova: Princıpio da Inducao Finita. Para n = 2, a proposicao e verdadeira(devido a equacao (1.14), pag. 34).

Admitamos a validade da proposicao para n = k − 1:

wk−1 = ρk−1

cos(k − 1) θ, sen(k − 1) θ

onde, cos θ ≥ 0, cos2θ ≥ 0, . . . , cos

(k − 1) − 1

θ ≥ 0.

E provemos que vale para n = k:

wk = wk−1 · w = ρk−1

cos(k − 1) θ, sen(k − 1) θ · ρ (cos θ, sen θ )

Pela equacao (1.14) podemos escrever:

wk = (ρk−1 · ρ )

cos

(k − 1) θ + θ

, sen

(k − 1) θ + θ

= ρk (cos k θ, sen k θ )

A formula (1.22) vale, por exemplo, para

−π

2 ≤ (n − 1) θ ≤ π

2 ⇔ − π

2(n − 1) ≤ θ ≤ π

2(n − 1) (1.23)

Exemplos: Calcular as seguintes potencias:

a) ( j + 1)2 b) ( j − 1)2 c) ( j+1 )2

( j−1 )2 d)

j+1j−1

2e) (1+ j)3 f) (1 − j)3

Solucao:

a) Temos, j + 1 = (0, 1) + (1, 0) = (1, 1). Entao,

( j + 1)2 = (12 − 12, 2 |1| · 1) = (0, 2)

Observe que,

( j + 1)2 = j 2 + 2 · j · 1 + 12

b) Temos, j − 1 = (0, 1) + (−1, 0) = (1, −1). Entao,

( j − 1)2 =

12 − (−1)2, 2 |1| · (−1)

= (0, −2)

Portanto,

( j − 1)2 = −( j + 1)2



50

c) Temos,

( j + 1 )2

( j − 1 )2 =

(0, 2)

(0, −2) = (0, 2) ·

0

02 + (−2)2,

−(−2)

02 + (−2)2

= (0, 2) · 0, 1

2

= −1

d) Temos,

j + 1

j − 1 =

(1, 1)

(−1, 1) = −1 ⇒ j + 1

j − 1

2= 1

e) Temos, 1 + j = (1, 0) + (0, 1) = (1, 1). Entao (ver lema (2), pag. 48),

w3 =

(x2 − y2) x ∓ 2|x| y2, |x2 − y2|y + 2x2 y

(1 + j)3 =

(12 − 12) · 1 ∓ 2|1| 12, |12 − 12| · 1 + 2 · 12 · 1

= (−2, 2)

f) Temos, 1 − j = (1, 0) + (0, −1) = (1, −1). Entao,

w3 =

(x2 − y2) x ∓ 2|x| y2, |x2 − y2|y + 2x2 y

(1 − j)3 =

(12 − (−1)2) · 1 ∓ 2|1| · (−1)2, |12 − (−1)2| · (−1) + 2 · 12 · (−1)

= (−2, −2)



Capıtulo 2

Equacoes

2.1 Resolucao da equacao a · w = b

Vamos resolver a equacao, a · w = b , onde a = (a, b) = 0 e b = (c, d) saodados e w = (x, y) e a incognita. Isto e, procuramos x e y tais que,

(a, b) · (x, y) = (c, d)

Entao,

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(a, b)·

(x, y) = a·

x ∓

b·

y, |

a| ·

y + b· |

x| = (c, d)

Temos o seguinte sistema:

a x ∓ b y = c

|a| y + b |x| = d

Para resolver este sistema temos diversas possibilidades a considerar:

1a ) Vamos inicialmente considerar a = 0 e x > 0. Sendo assim, o sistemareduz-se a:

a x − b y = c

a y + b x = dEste sistema, na forma matricial fica,

a −b

b a

·

x

y

=

c

d

Cuja solucao e,

x = a c+b da2+b2 , y = a d−b c

a2+b2

Substituindo a = 0, nesta solucao, oblemos: x = db , y = −c

b . Observe que esta

solucao so e valida se db = x > 0 (faz parte da hipotese).

51



52

2a ) Vamos agora considerar a = 0 e x < 0. Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x − b y = c

a y − b x = d


−b a

·

x

y

=

c

d

Cuja solucao e,x = a c+b d

a2−b2 , y = a d+b ca2−b2

Substituindo a = 0, nesta solucao, obtemos: x =

−db , y =

−cb . Observe que

esta solucao so e valida se −db = x < 0 (faz parte da hipotese), isto e, se d

b > 0.Conclusao: Se a = 0 so existe solucao se d/b > 0 e, neste caso, duas solucoes,

assim:

S =d

b, −c

b),− d

b, −c

b)

Concluimos que, em H, uma equacao a · w = b, do 1o grau, pode ter duassolucoes, como e o caso da equacao (0, 1) · w = (1, 2); como pode ter nenhuma,como e o caso da equacao (0, −1) · w = (1, 2).

3a ) Vamos agora considerar x = 0 e a > 0. Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x − b y = c

a y + b x = d


b a

·

x

y

=

c

d


a2+b2 , y = a d−b ca2+b2

Ora,

x = a c + b d

a2 + b2 = 0 ⇔ a c + b d = 0

Isto e, se: a c + b d = 0 ⇒ S =

0, a d−b ca2+b2

4a ) Vamos agora considerar x = 0 e a < 0. Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x − b y = c

−a y + b x = d


b −a

·

x

y

=

c

d



Gentil 53

Cuja solucao e,

x = −a c+b d

−a2+b2 , y =

a d

−b c

−a2+b2

Ora,

x = −a c + b d

−a2 + b2 = 0 ⇔ −a c + b d = 0

Isto e, se: a c = b d ⇒ S =

0, a d−b c−a2+b2

. Observe que se −a2 +b2 = 0,

isto e, |a| = |b| entao a equacao nao possui solucao com x = 0.

Podemos resumir o que foi visto ate aqui, da seguinte forma:

a = 0

db > 0 ⇒ S =

db , − c

b ),− d

b , − cb )

db < 0 ⇒ S = ∅

a > 0 ∧ ac + bd = 0 ⇒ S =

0, a d−b ca2+b2

a < 0 ∧ ac − bd = 0 ⇒ S =

0, a d−b c−a2+b2

, |a| = |b|

◮

◮

◮

(a, b) · (x, y) = (c, d)

5a ) Vamos agora considerar x = 0 e a = 0. Este caso se desdobra em quatro

outros, de acordo com a tabela a seguir:

a x

> 0 > 0

> 0 < 0

< 0 > 0

< 0 < 0

( i )

( ii )

( iii )

( iv )

Entao,


a x − b y = c

a y + b x = d


b a

·

x

y

=

c

d


a2+b2 , y = a d−b ca2+b2



54


a x + b y = c

a y − b x = d


−b a

·

x

y

=

c

d

Cuja solucao e,x = a c−b d

a2+b2 , y = a d+b ca2+b2

( iii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x + b y = c

−a y + b x = d


b −a

·

x

y

=

c

d


a2+b2 , y = −a d+b ca2+b2

( iv ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x − b y = c

−a y − b x = d


−b −a

·

x

y

=

c

d

Cuja solucao e,x = a c−b d

a2+b2 , y = −a d−b ca2+b2

Juntando estas quatro ultimas possibilidades, temos:

(a, x)x =

a c + b d

a2 + b2 , y =

a d − b c

a2 + b2 (> 0 , > 0) (2.1)

x = a c − b d

a2 + b2 , y =

a d + b c

a2 + b2 (> 0 , < 0) (2.2)

x = a c + b d

a2 + b2 , y =

−a d + b c

a2 + b2 (< 0 , > 0) (2.3)

x = a c − b d

a2 + b2 , y =

−a d − b c

a2 + b2 (< 0 , < 0) (2.4)



Gentil 55

Observe que, como os produtos em C e H coincidem no semi-plano x ≥ 0, entaodevem coincidir quando a ≥ 0 e x ≥ 0. Em (2.1) temos a solucao complexa.

Analise: Estes resultados nos mostram que uma equacao do 1o grau em H

pode ter ate duas solucoes. De fato, se a > 0 podemos ter como solucao de nossaequacao (2.1) e (2.2); se a < 0 podemos ter como solucao de nossa equacao (2.3)e (2.4). Em qualquer dos casos as solucoes sempre estarao em lados opostos doeixo y .

Das solucoes anteriores concluimos que, para a = 0, teremos duas raızesdistintas quando a seguinte condicao for satisfeita:

( a c + b d > 0 ) ∧ (a c − b d < 0 ) (2.5)

Nao teremos duas raızes distintas quando,

( a c + b d < 0 ) ∨ (a c − b d > 0 ) (2.6)

Observe que para a c + b d = 0 ou a c − b d = 0 o quadro da pag. 53 pode nosfornecer uma solucao com x = 0.

Exemplos: Resolva, em H, as seguintes equacoes:

( a ) (1, 1) · (x, y) = (3, 1).

Solucao: Como, a c + b d = 4 > 0 ∧ a c − b d = 2 > 0, teremos uma unica raizdada em (2.1):

x = a c + b d

a2 + b2 =

1 · 3 + 1 · 1

12 + 12 = 2, y =

a d − b c

a2 + b2 =

1 · 1 − 1 · 3

12 + 12 =

−1,

portanto, w = (2, −1).

( b ) (−1, 1) · (x, y) = (3, 1).

Solucao: Como, a c + b d = −2 < 0 ∧ a c − b d = −4 < 0, teremos uma unicaraiz dada em (2.2):

x = a c − b d

a2 + b2 =

−1 · 3 − 1 · 1

(−1)2 + 12 = −2, y =

−a d − b c

a2 + b2 =

−(−1) · 1 − 1 · 3

(−1)2 + 12 = −1

portanto, w = (−2, −1). Esta nao e a solucao em C. Temos,

U = H ⇒ S= { (−2, −1) }U = C ⇒ S= { (−1, −2) }

( c ) (−1, 1) · (x, y) = (1, 2).

Solucao: Como, a c + b d = 1 > 0 ∧ a c − b d = −3 < 0, teremos duas raızesdadas em (2.3) e (2.4), entao:

x = a c+b da2+b2

= −1·1+1·2(−1)2+12

= 12

, y = −a d+b ca2+b2

= −(−1)·2+1·1(−1)2+12

= 32

,

x = a c−b da2+b2 = −1·1−1·2

(−1)2+12 = −32 , y = −a d−b c

a2+b2 = −(−1)·2−1·1

(−1)2+12 = 12 ,



56

Entao:

U = H ⇒ S= {12

, 32

,− 3

2, 1

2

}U = C ⇒ S= {1

2 , −32

}


Ao propor a equacao a · w = b estamos procurando um numero w (indutor)que nos leve do ponto a ao ponto b. Ou ainda, um numero w que nos permita,atraves de uma multiplicacao, justapor o numero a ao numero b. Considerandoa equacao (−1, 1) · w = (1, 2), no sistema H temos dois caminhos para ir doponto (−1, 1) ao ponto (1, 2), enquanto no sistema C temos apenas um caminho,por sinal diferente dos dois de H. As solucoes na forma polar ficam:

U = H ⇒ S= { 1, 58 71, 57o; 1, 58 161, 57o }U = C ⇒ S= { 1, 58 288, 43o }

Nos complexos justapomos os pontos a e b por uma rotacao do primeiro,no sentido anti-horario, de 288, 43o como na figura a seguir:

x

y

a

b

1 2−1

1

2

x

y

a

b

1 2−1

1

2

288, 43o

- Solucao em C: Rotacao positiva

Para interpretar os produtos a · w, hipercomplexos, isto e,

a · w = 1, 41 135, 00o · 1, 58 71, 57o (2.7)

a · w = 1, 41 135, 00o · 1, 58 161, 57o (2.8)

Devemos reconsiderar a tabela,

cos θ1 cos θ2

+ +

+ −− +

− −

( i )

( ii )

( iii )

( iv )

para multiplicacao na forma trigonometrica. Observe que cos θ1 = cos 135o < 0,



Gentil 57

de formas que estamos situados nas linhas ( iii ) e ( iv ) da tabela. Nestes casos,

temos:( iii ) w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2), sen(θ1 − θ2) )

( iv ) w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 + θ2), − sen(θ1 + θ2) )

A multiplicacao em ( iii ) nos diz que o indutor dado pela solucao (2.7) induzuma rotacao de 71, 57o no sentido horario, como na figura a seguir:

x

y

a

b

1 2−1

1

2

x

y

a

b

1 2−1

1

2

71, 57o

- Solucao em H: Rotacao negativa

A multiplicacao em ( iv ) nos diz que o indutor dado pela solucao (2.8)induz uma rotacao de 161, 57o no sentido anti-horario, seguida de uma reflexaono eixo x, como na figura a seguir:

x

y

a

b

1 2−1

1

2

x

y

a

b

1 2−1

1

2

161, 57o

- Solucao em H: Rotacao & Reflexao

Vamos agora permutar os pontos a e b no problema em ( c ):( d ) (1, 2) · (x, y) = (−1, 1).

Solucao: Como, a c + b d = 1 > 0 ∧ a c − b d = −3 < 0, teremos duas raızesdadas nas equacoes (2.1) e (2.2), entao:

(a x)x = a c+b d

a2+b2 = 1·(−1)+2·112+22

= 15

, y = a d−b ca2+b2 = 1·1−2·(−1)

12+22 = 3

5,

x = a c−b da2+b2

= 1·(−1)−2·112+22

= −35

, y = a d+b ca2+b2

= 1·1+2·(−1)12+22

= −15

,

Neste caso, nossa equacao do primeiro grau, possui duas solucoes, ambas



58

diferentes da solucao complexa.

U = H ⇒ S= {15 , 3

5

,− 3

5 , −15

}U = C ⇒ S= {1

5, 3

5

}


Para voltar do ponto (1, 2) para o ponto (−1, 1) em C, novamente (e sempre),temos apenas um caminho; em H continuamos com dois caminhos, por sinal umdeles e o mesmo nos dois sistemas. As solucoes na forma polar ficam:

U = H ⇒ S= { 0, 63 71, 57o ; 0, 63 198, 43o }

U = C ⇒ S= { 0, 63 71, 57o

}Nos complexos justapomos os pontos a e b por uma rotacao do primeiro,

no sentido anti-horario, de 71, 57o como na figura a seguir:

x

y

a

b

1 2−1

1

2

x

y

a

b

1 2−1

1

2

71, 57o

- Solucao em C: Rotacao positiva

Multiplicando esta solucao pela anterior, em C, temos

15 , 3

5

· 12 , −3

2

= 1

O que mostra que estes caminhos sao inversos.Para interpretar os produtos a · w, hipercomplexos, isto e,

a · w = 2, 24 63, 43o · 0, 63 71, 57o (2.9)

a · w = 2, 24 63, 43o · 0, 63 198, 43o (2.10)

na tabela considerada no exemplo anterior, nos situamos nas duas primeiraslinhas, porquanto cos θ1 = cos71, 57o > 0. Nestes casos, temos:

( i ) w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 + θ2), sen(θ1 + θ2) )

( ii ) w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2), − sen(θ1 − θ2) )

A multiplicacao em ( i ) nos diz que o indutor dado pela solu cao (2.9) induzuma rotacao de 71, 57o no sentido anti-horario, como na figura a seguir:



Gentil 59

x

y

a

b

1 2−1

1

2

x

y

a

b

1 2−1

1

2

71, 57o

- Solucao em H: Rotacao positiva

A multiplicacao em ( ii ) nos diz que o indutor dado pela solucao (2.10)

induz uma rotacao de 198, 43o

no sentido horario, seguida de uma reflexao noeixo x, como na figura a seguir:

x

y

a

b

1 2−1

1

2

x

y

a

b

1 2

1

2

198, 43o

- Solucao em H: Rotacao & Reflexao

Vamos multiplicar as solucoes em H:15

, 35

· 12

, 32

=− 4

5, 3

5

15

, 35

· − 32

, 12

=

0, 1

− 3

5, −1

5

·

12

, 32

=

− 3

5, 4

5

− 35 , −

15 · −

32 ,

12

=

1, 0

Estes dois ultimos caminhos sao inversos.



60

2.2 Radiciacao

Definicao 12. Dado um n´ umero hipercomplexo w, chama-se raiz enesima de w, e denota-se, n

√ w, a um n´ umero hipercomplexo w

k tal que wn

k= w. Ent˜ ao,

n√

w = wk ⇐⇒ wn

k= w

Exemplos: Calcular,

a)√

1 b)√ −1 c)

√ j d)

√ 1 + j e)

√ −1 + j f) 3√

1

Solucao: a) Devemos resolver a seguinte equacao,

√ 1 = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = 1.

Podemos nos valer do lema 1 (pag. 47), assim,

w2 = ( x2 − y2, 2 |x| y ) = (1, 0)

Temos, x2 − y2 = 1

2 |x| y = 0

Da segunda equacao inferimos que x = 0 ou y = 0, da primeira inferimos quex = 0, logo y = 0, no que resulta x = ±1. Portanto, sao em numero de duas asraızes quadradas de 1:

√ 1 = (1, 0) ⇒ √ 1 = 1.√ 1 = (−1, 0) ⇒ √

1 = −1.

b) Por definicao de raiz quadrada, temos

√ −1 = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = −1.

Ou ainda,w2 = ( x2 − y2, 2 |x| y ) = (−1, 0)

Temos,

x2 − y2 = −1

2 |x| y = 0Da segunda equacao inferimos que x = 0 ou y = 0, da primeira inferimos quey = 0, logo x = 0, no que resulta y = ±1. Portanto, sao em numero de duas asraızes quadradas de -1:

√ −1 = (0, 1) ⇒ √ −1 = j.√ −1 = (0, −1) ⇒ √ −1 = − j.

c) √

j =?. Temos, j = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = j.



64

2.3 Funcoes Transcendentes

Podemos definir algumas das funcoes complexas no contexto dos hipercom-plexos.

2.3.1 Formula de Euler

Consideremos a formula de Euler,eix = cos x + i sen x

No contexto dos hipercomplexos definimos,

ejx = cos x + j sen x (2.18)

Vejamos em que uma formula se diferencia da outra. A primeira pode servista como uma funcao de R em C, a segunda de R em H. Por exemplo, a funcaode Euler (complexa) transforma o intervalo [ 0, 2π ] no cırculo unitario, enquanto

que a funcao dada por (2.18) transforma este mesmo intervalo no semi-cırculo(unitario) superior ( 2× ), assim:

¬ ¬ ¬0 π

2 π 3π2

2π

eix C

−1 1

−1

1

¬ ¬ ¬0 π

2 π 3π2

2π

ejx H

−1 1

1

Observe que,

ejx = cos x + j sen x = cos x + j | sen x|Porquanto,

j sen x = sen x

· j = sen x

·(0, 1) = (sen x

·0,

|sen x

| ·1)

= |sen x| · (0, 1) = j | sen x|Logo,

ejx = cos x + j sen x = ej(−x)

Ainda:e−jx = cos x − j sen x

2.3.2 Funcoes trigonometricas com argumentos hipercomplexos

Definimos,cos w = ej w + e−j w

2 , sen w = ej w − e−j w

2 j ,



Gentil 65

Hiperfractais

No que concerne as aplicacoes, os numeros complexos invadiram tambem asArtes atraves dos fractais, tais como os a seguir

Um tema a ser explorado (deixamos aqui a sugestao): os hiperfractais, que saoos fractais gerados no contexto dos hipercomplexos, ao inves dos complexos.

Programa para multiplicar dois hipercomplexos: (a, b) · (c, d)

Nota: Para a famılia de calculadoras H P − 48, 49, 50, . . .

≪ → a b c d

≪ IF a ∗ c ≥ 0

THEN

a ∗ c − b ∗ d

EVALABS(a) ∗ d + b ∗ ABS(c) EVAL

R→C

ELSE a ∗ c + b ∗ d EVALABS(a) ∗ d + b ∗ ABS(c) EVAL

R→C

END

≫≫



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Referencias Bibliograficas

[1] Ubaldi, Pietro. As No´ ures: Tecnica e recepc˜ ao das correntes de pensamento.Traducao de Clovis Tavares. 4. ed. Rio de Janeiro: FUNDAPU, 1988.

[2] Fundamentos de matematica elementar (por) Gelson Iezzi (e outros). SaoPaulo, Atual Ed., 1977- v.6

[3] Boyer, Carl Benjamin. Hist´ oria da Matem´ atica . Sao Paulo - Edgar Blucher,1974.

[4] Newton C. A. da Costa. Ensaio sobre os fundamentos da l´ ogica . Sao Paulo:HUCITEC: Ed. da Universidade de Sao Paulo, 1980.

[5] Silva, Gentil Lopes. Palestra: 0, 999 . . . = 1 ? www.dmat.ufrr.br/gentil, 2008.

[6] Carmo, Manfredo Perdigao do, et all., Trigonometria/N´ umeros complexos .Rio de Janeiro − IMPA/VITAE, 1992.

[7] Silva, Gentil Lopes. Sobre as v´ arias definic˜ oes de n´ umeros Complexos www.dmat.ufrr.br/gentil, 2009.

[8] Silva, Gentil Lopes. N´ umeros Hipercomplexos − 3D(Uma Nova General-izac˜ ao dos N´ umeros Complexos www.dmat.ufrr.br/gentil, 2007.

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gentil lopes - números hipercomplexos 2d

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