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fVAN FÁBIO MOTA DE MENEZES
TÉCNICAS DE REORDENAÇÃO PARA SOLUÇÃO DE SISTEMAS ESPARSOS
TESE DE DOUTORADO
Departamento de Engenharia Civil PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANl IRO
Rio de Janeiro, Junho de 1995
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Ivan Fábio Mota de Menezes
' -TECNICAS DE REORDENAÇAO PARA -SOLUÇAO DE SISTEMAS ESPARSOS
Tese apresentada a.o Departamento de
Engenharia Civil da PUC-Rfo como parte
dos requisitos para obtenção do título de
Doutor em Ciências em Engenharia Civil.
Ênfase: Estruturas
Orientador: Marcelo Gattass
Departamento de Engenharia Civil
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Rio de Janeiro, 28 de Junho de 1995
62,~ VI S'l3 t
1t: )( L10
À minha querida Bene ( in memorian)
Agradecimentos
Aos meus pais, pelo carinho, pelo apoio e, principalmente, pelo exemplo, que me
permitiu seguir adiante nos momentos mais difíceis.
\o professor Marcelo Gattass, pela orientação segura, pelo apoio constante e pela
confian•;a depositada no decorrer deste trabalho.
Ao professor Subrata M ukherjee, pela colaboração científica e pelo suporte oferecido
na Uni\ersídade de Cornell.
Ao amigo Gláucio Paulino, da Universidade de Cornell, pelo apoio, pelas inúmeras
discussões técnicas e pela co-orientação deste trabalho.
À equipe de suporte do TeCGraf (Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica),
pela presteza e eficiência na solução dos problemas de ordem técnica.
Aos amigos e colegas da PUC-Rio, pelos momentos de descontração, fundamentais
em qualquer ambiente de trabalho.
A todas as pessoas que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização
deste tra ,alho. Em especial, aos amigos Luiz Cristovão, Marcelo Tilio e Waldemar Ceies,
pelai div<~rsas discussões e sugestões dadas.
Aos amigos Afonso, Alkimin, Assis, Paulo, Rafael ( in memorian) e Ricardo, pela
convivên< ia agradável durante este período de pós-graduação. A certeza de poder
contar com a nossa amizade, em qualquer situação, foi fundamental para a realização
dest<' trabalho.
Am funcionários do Departamento de Engenharia Civil e do TeCGraf, pela eficiência
e pela amizade. Em especial à Ana Roxo, Yedda, D. Neuza, Santa.na e Claudinei.
À I iseane Morosini, pela paciência, compreensão, carinho e incentivo dado em todas
as etapas deste trabalho.
Ao CNPq e ao TeCGraf, pelo apoio financeiro.
li
Resumo
Este tn,ba.lho a.presenta. técnicas de reordenação para minimização de banda, perfil e frente
de malhas de elementos finitos. Um conceito unificado relacionando as malhas de elemen
tos finitos, os grafos associados e as matrizes correspondentes é proposto. As informações
geométricas, disponíveis nos programas de elementos finitos, sã.o utilizadas para aumentar
a eficiêr..cia dos algoritmos heurísticos. Com base nestas idéias, os algoritmos sã.o classifi
cados em topológicos, geométricos, híbridos e espectrais. Um Grafo de Elementos Finitos
- Finile Element Graph (FEG) -- é definido como um grafo nodal (G), um grafo dual
( G') ou um grafo de comunicação ( Gº), associado a uma dada malha de elementos finitos.
Os algoritmos topológicos mais utilizados na literatura técnica, tais como, Reverse-Cuthill
Mc.Kee (RCM), Collins, Gibbs-Poole-Stockmeyer (GPS), Gibbs-King (GK), Snay e Sloan,
sã.o inve:;tigados detalhadamente. Em particular, o algoritmo de Collins é estendido para
consider.1çã.o de componentes não conexos nos grafos associados e a numeração é invertida
para uma posterior redução do perfil das matrizes correspondentes. Essa nova versão é
denominl.da Modified Reverse Collins (MRCollins). Um algoritmo puramente geométrico,
denomin.1do Coordinate Based Bandwidth and Profile Reduction (CBBPR), é apresentado.
Um nove algoritmo híbrido (HybWP) para redução de frente e perfil é proposto. A ma
triz Laplaciana [L(G), L(G* ou L(Gº)], utilizada no estudo de propriedades espectrais de
grafos, é ·:onstruída a partir das relações usuais de adjacências entre vértices e arestas. Um
algoritmc automático, baseado em propriedades espectrais de FEGs, é proposto para reor
denação< e nós e/ ou elementos das malhas associadas. Este algoritmo, denominado Spectral
FEG Res:quencing (SFR), utiliza informações globais do grafo; não depende da escolha de
um vértice pseudo-periférico; e não utiliza o conceito de estrutura de níveis. Um novo
algoritmo espectral para determinação de vértices pseudo-periféricos em grafos também é
proposto. Os algoritmos apresentados neste trabalho sã.o implementados computacional
mente e testados utilizando-se diversos exemplos numéricos. Finalmente, conclusões são
apresentadas e algumas sugestões para trabalhos futuros são propostas.
ll1
Abstract
This W<•rk presents resequencing techniques for minimizing bandwidth, profile and wave
frout of finite element meshes. A unified approach relating a finite element mesh, its as
sociated graphs, and the corresponding matrices is proposed. The geometrical information
ava.ilable from conventional finite element program is also used in order to improve heuristíc
algorithms. Following these ideas, the algoríthms are classified in topological, geometrical,
hyhrid, ind spectral. A Finite Element Graph (FEG) is defined here as a nodal graph (G),
a dual graph (G*) ora communication graph (G•) associated with a generic finíte element
me:;h. The most widely used topological algoríthms, such as R.everse-Cuthíll-McKee (RCM),
Collins, Gibbs-Poole-Stockmeyer (GPS), Gibbs-King (GK), Snay, and Sloan, are investi
gated in detail. ln particular, the Collins algorithm is extended to consider nonconnected
components ín the assocíated graph and the orderíng provided by thís algorithm is reverted
for impMved profile. This new version is called Modified Reverse Collins (MRCollins). A
purely g~ometrical algorithm, called Coordinate Based Bandwidth and Profi/e Reduction
(CBBPR), is presented. A new hybrid reorderíng algorithm (HybWP) for wavefront and
profile reduction is proposed. The Laplacian matrix [L( G), L( G*) or L( Gº)), used for the
study of spectral properties of an FEG, is constructed from usual vertex and edge con
nectivitits o{ a graph. An automatic algorithm, based on spectral properties of an FEG,
is propos ~d to reorder the nodes and/ or elements of the associated finite element meshes.
The new algorithm, called Spectral FEG Resequencing (SFR), uses global information in
the grapl ; it does not depend on a pseudoperipheral vertex ín the resequencing process;
and it does not use any kind of levei structure of the graph. A new spectral algorithm
for findin~ pseudoperipheral vertices in graphs is also proposed. The algorithms presented
herein ar•~ computationally implemented and tested against severa! numerical examples.
Finally, conclusions are drawn and directions for future work are given.
IV
Sumário
Resum»
Abstract
Lista de Figuras
Lista de Tabelas
Lista de Símbolos
1 Introdução
l 1 ltevisão Bibliográfica
1 2 Objetivos e Escopo do Trabalho
2 !v1alhas, Grafos e Matrizes
3 Algoritmos Clássicos de Reordenação
3.1 Vértices Pseudo-Periféricos .
3.'.? Algoritmos Topológicos .
3.:1 Algoritmos Geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 A 1goritmos Híbridos . . ............................
V
iii
iv
viii
X
xiii
1
3
4
5
9
9
12
21
22
4 Algoritmos Espectrais de Reordenação 25
4.1 Propriedades Espectrais de Grafos . 25
4.2 Algoritmo SFR .......... . 28
·t.3 Tratamento de Grafos Não Conexos . 32
4.4 Um Exemplo Simples ..... . 33
1.5 Implementação Computacional 36
·L6 Algoritmo SGPD . . . . . . . . 43
S. Reordenação usando Simulated Annealing 45
0.1 .\lgoritmo SA ................ . 47
6 Exen1plos Numéricos 49
6.1 Biblioteca Padrão de Exemplos 49
6. 2 l :xemplos Práticos de Elementos Finitos 58
6 .. 3 Comparação entre SFRsturm e SFRs1M 62
6.4 Análise de Tempo de Execução 65
6. 'i Estratégia de Pré-ordenação .. 68
6.G Aplicação do Algoritmo SGPD . 69
6 " .. Algoritmo FWR: Resultados Preliminares 71
6.8 A'goritmo SA: Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
VI
7 Conclusões e Sugestões
7.1 Principais Contribuições
7.2 Sugestões para Trabalhos Futuros
A - Conceitos Básicos da Teoria de Grafos
B -- Terminologia para Matrizes Esparsas
Referências Bibliográficas
vii
74
74
77
78
81
83
Lista de Figuras
2.1 Correspondência entre Malhas, Grafos e Matrizes. . . . . . . . . . . . . . . 7
·tl Diagrama de Blocos do Algoritmo SFR. ....... .
4.2 Exemplo para Ilustrar o Algoritmo SFR (Parte 1/2).
4.2 Exemplo para Ilustrar o Algoritmo SFR (Parte 2/2).
30
34
35
4.3 Contra-exemplo proposto por Grimes et a/. [69]. . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1 Mínimos Locais em uma Curva Típica de Energia. . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1 Domo Lattice (101 Nós e 280 Elementos). . .
6.2 Estação Espacial (304 Nós e 1428 Elementos).
6.3 Painel de Fuselagem com Fratura (1262 Nós e 2018 Elementos).
6.4 Lâmina de Turbina de Gás (1820 Nós e 944 Elementos) ..
6 .5 Ferramenta Mecânica (471 Nós e 592 Elementos).
6.6 :Estrutura Offshore (492 Nós e 1437 Elementos) ..
6. 7 Disco de Turbina com 12 Lâminas (1152 Nós e 504 Elementos).
6.'i F·~rramenta Mecânica (Grafo Nodal). .
6.9 Ft!rramenta Mecânica (Grafo Dual) ...
Vlll
59
59
60
60
62
63
63
66
66
6.10 Ferramenta Mecânica (Grafo de Comunicação). . ........ .
6.11 Malhas de Elementos Finitos para Avaliação do Algoritmo FWR.
66
71
9.1 Exemplo para Ilustrar a Terminologia de Matrizes Esparsas. . . . . . . . . 82
lX
Lista de Tabelas
:l.1 Algoritmo para Determinação de Vértices Pseudo-Periféricos em Grafos. 11
3.2 Algoritmo Reverse Cuthill-McKee . ....
:J.3 Algoritmo de Gibbs-Poole-Stockmeyer ..
:~.4 Algoritmo de Gibbs-King. . . . . . .
Algoritmo Modífied Reverst Collins . .
a.6 o\lgoritmo de Snay. . . .
3. 7 Estratégia do Banqueiro.
3.8 Algoritmo de Sloan. . . .
3.9 Algoritmo Front Width Reduction.
3 10 Algoritmo Coordinate Based Bandwidth and Profile Reduction.
12
13
14
15
17
17
19
21
22
3.11 Algoritmo Hybrid Wavefront and Profile Reduction. . . . . . . . . . . . . . 24
4' 1 Algoritmo Spectral FEG Resequencing. . . . . . . . . . . . . . .
4. '2 Primeira Alternativa para Tratamento de Grafos Não Conexos ..
4.:l S.!gunda Alternativa para Tratamento de Grafos Não Conexos ..
4.4 1\~rceira Alternativa para Tratamento de Grafos Nã.o Conexos.
4.ét D•iscriçã.o Geral do Programa SFRsrM. . . . . . . . . . . . ..
X
31
32
33
33
39
4.6 Parâmetros Default do Programa SFRsrM·
4. 7 Algoritmo da Seqüência de Sturm .....
4.8 Descrição Geral do Programa SFRsturm·
4.9 Parâmetros Defau/t do Programa SFRsturm·
4.10 Algoritmo Spectral Graph Pseudoperipheral and Pseudodiameter . .
.1.1 Requisitos Básicos para Utilização da Técnica de SA.
(í.2 Algoritmo Simulated AnneaJing. . .......... .
6.l Grafos Conexos da Biblioteca de Exemplos de Everstine (Parte 1/5).
6.1 Grafos Conexos da Biblioteca de Exemplos de Everstine (Parte 2/5).
6.1 Grafos Conexos da Biblioteca de Exemplos de Everstine (Parte 3/5).
61 Grafos Conexos da Biblioteca de Exemplos de Everstine (Parte 4/5).
6 1 C:rafos Conexos da Biblioteca de Exemplos de Everstine (Parte 5/5).
6.2 Ferfis obtidos com os Exemplos Não Conexos da Biblioteca de Everstine.
6.3 Exemplos Práticos de Elementos Finitos.
6.4 SF'Rstunn X SFRsrM· ......... · .
6 .. ) Desempenho dos Algoritmos com Relação ao Tempo de Execução.
6.tJ Estratégia de Pré-ordenação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.í· Aplicação do Algoritmo SGPD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 La.rgura.s de Frente Obtidas com o Algoritmo FWR.
XI
39
41
42
42
43
47
48
51
52
53
54
55
57
61
64
67
68
70
72
6.9 Resultados Preliminares obtidos com o Algoritmo SA. . . . . . . . . . . . . 73
7.1 Classificação dos Algoritmos de Reordenação. . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Xll
Lista de Símbolos
Página
A Ma.triz de coeficientes dos sistemas de equações lineares 1
6 Vetor dos termos independentes 1
:i: Vetor das incógnitas 1
n Ordem dos sistemas de equações 1
P Ma.triz de permutação 2
G Grafo nodal 6
G* Grafo dual 6
G• Grafo de comunicação 6
(JK Grafo ordenado e não dirigido, associado a uma dada matriz K 8
\'K Conjunto de vértices do grafo QK 8
DK Conjunto de arestas do grafo GK 8
V; Vértice ido conjunto VK 8
k;; Componente ij da matriz K 8
L( s) Estrutura de níveis de um grafo, com raíz no vértice s
.4dj ( v) Conjunto de adjacência do vértice v
ll!I Número de elementos do conjunto V
A Matriz de adjacência
D Matriz de grau
l, Matriz Laplaciana
Af Matriz de incidência vértice-aresta
grau( t ") Grau do vértice v
\ Autovalor de uma matriz
o Raio espectral de uma matriz
( >., , 712) Segundo autopar da matriz Laplaciana
XIII
11
12
12
25
25
25
25
26
27
27
27
Capítulo 1
Introdução
O problema de reordenação de sistemas esparsos de equações lineares para redução de
banda, perfil ou frente, tem sido objeto de pesquisa há muito tempo. Diversos livros
sobre o Método dos Elementos Finitos (MEF), tais como, Desai e Abel (1972) [40], Irons
e Ahmac (1980) [84], Bathe (1982) [18], Hughes (1987) [82] e Zienkiewicz e Taylor (1989) [16::!], ob:;ervam a importância deste assunto.
Em geral, tais sistemas esparsos surgem quando métodos numéricos são empregados
na solução de problemas físicos reais, para os quais as soluções analíticas são matematica
mente in1 ratáveis. Dentre os diversos métodos numéricos existentes, o MEF se destaca por
ser o mais utilizado na literatura técnica, levando a sistemas de equações lineares da forma
A a: = b, (1.1)
onde A é uma matriz conhecida de ordem n x n, b é um vetor também conhecido de ordem
n e :r é o vetor das incógnitas de ordem n, que corresponde a uma aproximação da solução
real do problema.
Dependendo do tipo de problema a ser analisado ou do método numérico a ser
empregadJ, a matriz dos coeficientes (A) pode se apresentar com diferentes configurações
em n·laçâ•> à simetria e esparsidade. Em geral, no MEF, a matriz A é esparsa, simétrica e
positwa-d·~finida.
A maioria dos algoritmos disponíveis na literatura técnica, para solução de sistemas
de equações lineares provenientes do MEF, se baseia no método padrão de eliminação
de Gauss JU variações deste método visando uma minimização do número de operações.
De acordo com a forma como as equações são armazenadas e a eliminação de Gauss é
processada, os algoritmos são classificados em: banda, perfil e frontal. Os algoritmos do
tipo bandh e perfil foram os primeiros a se desenvolverem, acompanhando desde o início
a evolução dos métodos numéricos, enquanto que os algoritmos frontais somente surgiram
na literatura em 1970, através do trabalho original de B. M. Irons [83].
1
A característica fundamental da técnica frontal é o fato de que a matriz dos coefi
cientes não precisa ser montada explicitamente. Ou seja, enquanto os algoritmos de banda
e perfil esperam a montagem completa desta matriz para que o processo de eliminação de
Gauss se inicie, os algoritmos frontais trabalham com a montagem e a eliminação de Gauss
simultaneamente [83]. Esta característica se torna ainda mais importante em problemas de
grande ;:iorte ou quando o limite de memória disponível é excedido.
Para tirar vantagem da esparsidade da matriz dos coeficientes (A), os algoritmos do
tipo banda ou perfil procuram armazenar a mínima quantidade de zeros, com relação ao
processe de eliminação de Gauss. Observe-se que a presença, nesta matriz, de um elemento
não-nul<• a;j significa que os graus de liberdade i e j estão conectados, isto é, pertencem a um
mesmo demento. Portanto, a esparsidade da matriz dos coeficientes, e por conseguinte, a
diciênci.t dos algoritmos de banda e perfil dependem, exclusivamente, da numeração nodal
na malhi de elementos finitos.
Entretanto, para os algoritmos frontais, a quantidade de memória requerida é definida
pelo tamanho da máxima largura de frente. O termo largura de frente (ou frente de onda) é
aqui usado para se referir ao número corrente de graus de liberdade ativos. As equações são
pro<'essadas elemento por elemento. Quando um elemento é processado, todos os seus graus
de liberdade se tornam ativos. Um grau de liberdade ativo é colocado na frente até que
possa ser eliminado, isto é, até que o último elemento ao qual ele pertença seja processado.
Portanto. a eficiência dos algoritmos frontais depende, exclusivamente, da numeração dos
elemento" na malha de elementos finitos.
Rf-ordenar um sistema de equações lineares (Equação 1.1) é equivalente a se de
terminar uma matriz de permutação P que conduza a uma ordenação conveniente dos
coeficient·~s da matriz A, através da seguinte transformação
(P APT) (Póll) = Pb. (1.2)
Por definição, cada linha ou coluna da matriz de permutação possui apenas um elemento
não nulo e igual a unidade. Além disso, através da propriedade de ortogonalidade da
matriz de permutação, pT = p-i (a identidade é o exemplo mais simples de uma matriz
de permutação). Por ser impraticável a verificação das n! ordenações possíveis para um
sistema dt n equações, diversos algoritmos heurísticos foram desenvolvidos. Além disso,
o problemi de se determinar uma ordenação ótima para um sistema esparso de equações
foi mostrado ser do tipo NP-completo [126, 56) e, portanto, os algoritmos heurísticos se
rnnstit.uerr. na única solução prática para esta classe de problemas.
2
1.1 Revisão Bibliográfica
Duff [43] apresentou uma revisão bibliográfica sobre matrizes esparsas, cobrindo a literatura
<tté 197{, em que cita mais de 600 referências. Everstine [48] realizou uma revisão dos
algoritmos de reordenação publicados até 1978. Chinn et ai. [30] cobriu a literatura técnica
até 1981, em um trabalho no qual enfatiza o problema da largura de banda de grafos e
matrizes. Armstrong utilizou técnicas de simulated annealing para obtenção da largura de
banda mínima [10] ou perfil e largura de frente mínimos [11]. Os resultados apresentados
por Armstrong têm sido utilizados para aferir o desempenho de novos algoritmos. George
[65] apre~entou uma revisão das técnicas de reordenação de nós e elementos no contexto de
geração hutomática de malhas de elementos finitos.
D versos trabalhos sobre técnicas de reordenação no MEF foram publicados recen
temente. Shephard et ai. (1988) [141] desenvolveu o algoritmo Node Queue, que utiliza
a estrutura de dados topológica da malha (finite quadtree e finite octree mesh generators)
para reordenar os nós ou elementos da malha. A vantagem de se utilizar esta estrutura de
dados ao invés da tabela de conectividades, para obtenção das informações de adjacência,
eE.tá na redução substancial de memória .. Sloan (1989) [146] apresentou um algoritmo e o
correspondente código FORTRAN para redução de perfil e largura de frente de matrizes
esparsas. Livesley e Sabin (1991) [104) estudaram algoritmos para redução de banda em
malhas dt' elementos finitos bi e tri-dimensionais, com geometria retangular. Este estudo
demonstrou que o algoritmo de Gibbs et al. (1976) [66] apresenta um pobre desempenho
nestas malhas, especificamente naquelas que se aproximam de um cubo. Livesley e Sabin
também criaram um novo algoritmo que produz melhores numerações para esta classe de
problemaE. Kaveh (1991) [91] propôs um sistema para reordenação de nós e elementos.
Em seu ti abalho, quatro algoritmos foram apresentados para seleção de nós iniciais no
proce;;so de numeração da malha. J .. c. Luo (1992) [105] desenvolveu um algoritmo para
redução d" banda e perfil de matrizes esparsas. Um grafo associado à matriz do sistema é
decomposto em diversos grupos através de estruturas de níveis. Estes grupos sã.o usados
para a colistruçã.o de uma partição com máxima profundidade, na qual cada nível pos
sua aproximadamente a mesma largura. Com relação ao algoritmo de Gibbs et a/. [66],
o algoritm·) de Luo é mais complicado e, geralmente, produz menor banda e maior per
HI. Koo ar.d Lee (1992) [95] desenvolveram um algoritmo para redução de perfil baseado
t'm um esquema de ordenação frontal e teoria de grafos. Neste trabalho, foi utilizado um
esquema indireto ( two-step approach), no qual os elementos sã.o primeiramente ordenados
utilizando-:ie o algoritmo de Cuthill-McKee (1969) [36}. Em seguida, os nós sã.o ordenados
baseado no conceito de largura de frente e relações de adjacência da teoria de grafos. Uma
3
proposta anterior para ordenação indireta de elementos em uma malha de elementos finitos
foi apresentada por Fenves and Law (1983) [50]. Medeiros et ai. (1993) [110] publicaram
um algc.•ritmo para redução de perfil e frente, baseado em algumas idéias dos métodos de
Gibbs-King [67, 93] e Sloan [146]. Através de testes numéricos, foi mostrado que o algoritmo
de Meddros et ai. produz melhores resultados do que os algoritmos Reverse Cuthill-Mckee
[36, 62], Gibbs-King [67, 93) e Sloan [146).
1.2 Objetivos e Escopo do Trabalho
Esta tes1~ apresenta dois objetivos principais:
• De~envolver um enfoque moderno e unificado das técnicas de reordenação para redução
de banda, perfil e frente, apresentando uma revisão crítica da literatura;
• Ap:esentar melhorias em diversos algoritmos existentes e propor novos algoritmos.
A organização deste trabalho é apresentada a seguir. O capítulo 2 propõe um
enfoque prático e unificado envolvendo malhas de elementos finitos, grafos associados e
matrizes :orrespondentes. No capítulo 3, alguns dos mais conhecidos algoritmos clássicos
de reordenação são discutidos; uma nova versão do algoritmo de Collins [32] é apresentada
e novos algoritmos são propostos. No capítulo 4, técnicas espectrais aplicadas a problemas
de reordenação são apresentadas e novos algoritmos espectrais são propostos. O capítulo 5
apref.enta uma visão geral da técnica de simulated annealing aplicada a problemas de reor
denação. No capítulo 6, diversos exemplos numéricos são apresentados para validação dos
algontmo" propostos. No capítulo 7, algumas conclusões são apresentadas e sugestões para
trabalhos futuros são propostas. Os conceitos básicos sobre teoria de grafos e a terminologia
utilizada para matrizes esparsas são apresentados nos apêndices A e B, respectivamente.
4
Capítulo 2
Malhas, Grafos e Matrizes
O objetivo deste capítulo é apresentar uma abordagem prática e unificada envolvendo as
malhas de elementos finitos, os grafos associados e as matrizes correspondentes. Algumas
definiçâts básicas da teoria de grafos estão apresentadas no apêndice A1 .
Existe uma correspondência intrínseca entre a matriz de rigidez do método dos ele
mentos f nitos e a topologia da malha. Tais propriedades topológicas podem ser exploradas
através ela associação de grafos a malhas e matrizes [62, 119, 120]. A permutação de li
nha.' e colunas numa dada matriz, corresponde a uma renumeração dos vértices do grafo
associadc•, ou a uma renumeração dos nós da malha.
De uma maneira simplifica.da, uma malha de elementos finitos pode ser definida
como um conjunto de nós e elementos interconectados. Dois ou mais nós sã.o adjacentes
quando pertencem a um mesmo elemento. Dois elementos sã.o adjacentes quando possuem
uma fronteira em comum, podendo esta fronteira ser uma superfície (face), e/ou uma curva
( 11resta), .i/ou um nó (vértice). As técnicas de reordenação abordadas neste trabalho sã.o
aplicá.veis a malhas de elementos finitos genéricas e arbitrárias, isto é,
• Malhas com qualquer configuração geométrica ou topológica;
• Malnas com elementos finitos de dimensões diferentes, por exemplo, elementos unidi
memionais (1-D) retos ou curvos, elementos bidimensionais (2-D) planos ou curvos e
elementos tridimensionais (3-D) cúbicos ou piramidais;
• Malhas de elementos finitos com diferentes formas geométricas, por exemplo, elemen
tos triangulares e elementos quadrilaterais;
• Malbas de elementos finitos com diferentes funções de interpolação, por exemplo,
lineares, quadráticas e cúbicas.
1 Para informações mais detalhadas sobre a teoria de grafos, ver o livro clássico de Harary (72}, ou mais
rec<:ntement<, o livro de Buckley e Harary [24).
5
A Figura (2.la) mostra uma malha de elementos finitos composta por elementos trian
gulares de 3 nós (T3) e elementos quadrilaterais de 4 nós (Q4). Um conjunto de graus
de liberdade é associado a cada nó da malha. Por questão de simplicidade, porém sem
qualqun perda de generalidade, considera-se apenas um grau de liberdade por nó (como
ocorre, por exemplo, em problemas de potencial).
Seja um Grafo de Elementos Finitos - Finite Element Graph (FEG) - isto é, um
grafo a.<sociado a uma malha de elementos finitos [123, 124]. Neste trabalho, os termos
nós e elementos referem-se às malhas de elementos finitos, enquanto os termos vértices e
art8tas 'eferem-se aos grafos, mais especificamente, aos FEGs.
Alguns exemplos de FEGs sã.o: grafo nodal (G), grafo dual (G*) e grafo de co
municação (G•). A associação de grafos com malhas de elementos finitos faz com que
as técnkas de reordenação se tornem bem mais eficientes. A teoria de grafos tem sido
utilizadé. em diversas áreas de aplica.çã.o, por exemplo, elementos finitos, otimização, com
putação gráfica e computação paralela [91, 62, 119, 120, 79]. Portanto, a reordenação é
apenas tma das áreas onde a teoria de grafos pode ser aplicada.
A conectividade nodal (relação de adjacência entre os nós) da malha da Figura (2.la)
pode ser representada pelo grafo nodal (G) mostrado na Figura (2.lb). Cada vértice do
grafo nodal corresponde a um nó da malha e cada aresta do grafo nodal corresponde a um
par de n<Ís adjacentes, ou seja, nós que pertencem a um mesmo elemento. As técnicas de
reordena1;ã.o baseadas no grafo nodal são adequadas para minimização da largura de banda
e/ou do perfil das matrizes correspondentes (por exemplo, matriz de rigidez global).
A conectividade dos elementos (relação de adjacência entre elementos) também pode
ser representada por meio de grafos. A Figura (2.lc) mostra o grafo dual ( G*por meio asso
ciado à malha de elementos finitos da Figura (2.la). Cada vértice do grafo dual corresponde
a um elewento da malha e cada aresta do grafo dual corresponde a um par de elementos
que apres•mtam pelo menos uma fronteira comum (podendo esta fronteira ser uma face ou
uma aresta).
A Figura (2.ld) mostra o grafo de comunicação (Gº) associado à malha de elementos
finitos da Figura (2.la). Cada vértice do grafo de comunicação corresponde a um elemento
da malha e cada aresta do grafo de comunicação corresponde a um par de elementos que
apresentam pelo menos um nó comum. As técnicas de reordenação baseadas nos grafos
dual ou dt comunicação são adequada8 para minimização da largura de frente da8 malhas
de elementos finitos.
6
3\ 6
© CD ® 9- 4
® ® ®
2 7
(a) Malha de Elementos Finitos
;------------,------------;1
L------1
'
'
1 ,
, , -------(------
1 ,'
I_ - -- -----~ ---~-:_---------··
* (e) Grafo Dual G
r-X
X
X
X
1-
X
X
X
X
, '
X X
X
X
1
8
5
X X X
X X X X
X X X X X
X X X X
(e) Matriz K
(b) Grafo Nodal G
~------------,------------;, 1 , 1
1
( 1 ,, , 1 1 1 , l _____________ , ____________ _
- . (d) Grafo de Comunicac;ao G
., X
X X
X X X X X X
X
X X X
X X X X_.
Figura 2.1: Correspondência entre Malhas, Grafos e Matrizes.
7
A principal vantagem do grafo dual, em relação ao grafo de comunicação, está na
reduçã.i de memória requerida, uma vez que, o grafo dual é menos denso, isto é, possui
menos J.restas (comparar Figuras 2.lc e 2.ld). Por outro lado, em alguns casos, o grafo dual
apreser ta a desvantagem de não poder representar completamente a conectividade de uma
malha, ou seja, em certas situações, malhas de elementos finitos inicialmente conexas, são
associa.ias a grafos duais não conexos. Isso pode ocorrer, por exemplo, quando elementos
finitos de dimensão n estão conectados através de fronteiras de dimensão n-1 (por exemplo,
do.1s elementos Q4 conectados por um único nó), ou quando a malha possui elementos de
dirnensoes diferentes (por exemplo, elementos planos quadrilaterais conectados a elementos
urndimcnsionais). Portanto, para se evitar grafos duais não conexos, em muitas situações
sãc- utíl zados os grafos de comunicação, apesar do aumento do esforço computacional. É
sempre possível definir novos grafo8 com características intermediárias entre G* e G". No
entanto. os grafos dual e de comunicação são os que representam as relações de adjacência
entre elementos da maneira mais natural [123].
A correspondência entre grafos (especificamente grafos nodais) e matrizes
(Figuras 2.lb e 2.le) pode ser estabelecida considerando-se matrizes simétricas de ordem
n e diagonal não nula. O grafo ordenado e não dirigido associado a uma dada matriz K é representado por QK == (vK,EK). Este grafo possui n vértices numerados de 1 a n e
{{ v,, Vj} E EK ~ k;j = kji # O, i -=/ j} onde k;j são as componentes da matriz K e v;
representa o vértice ido conjunto VK. A Figura (2.le) mostra a matriz correspondente
ao grafo nodal da Figura (2.lb). Cada vértice do grafo nodal corresponde a um nó da
malha d<c Figura (2.la) e a um elemento da diagonal da matriz K. Cada aresta do grafo
nodal (v;, vi) corresponde a um par de graus de liberdade adjacentes da malha de elementos
finitos (graus i e j) e a um par de elementos não nulos da matriz K (k;i e kj;).
Uma vez estabelecidas as relações entre malhas, grafos e matrizes, o problema de
reordena(ão pode ser colocado de uma maneira unificada, ou seja: reordenar nós ou ele
memos d~ uma malha de elementos finitos, corresponde a reordenar os vértices do grafo
a.~sociado (G, G*, ou Gº) ou permutar línhas e colunas das matrizes correspondentes.
8
Capítulo 3
Algoritmos Clássicos de Reordenação
Neste capítulo, alguns algoritmos clássicos de reordenação são discutidos. Uma descrição
formal destes algoritmos é apresentada. As informações geométricas, disponíveis nos pro·
gram.~s de elementos finitos, são utilizadas para aumentar a eficiência dos algoritmos
heuriiticos.
Os algoritmos de reordenação são classificados em topológicos, geométricos e híbridos.
Os algoritmos topológicos mais conhecidos na literatura, tais como, Reverse Cuthill-McKee
(RCM) [36, 62], Gibbs-Poole-Stockmeyer (GPS) [66], Gibbs-King (GK) [67, 93], Collins
[:32], ~:nay [151] e Sloan [145, 146] são investigados. Em particular, o algoritmo de Collins
[:12] é estendido para consideração de componentes não conexos nos grafos associados, e a
numeração final é invertida para uma posterior redução do perfil. Um novo algoritmo para
reduçi.o da largura de frente, baseado no método direto de reordenação de elementos, é
propm:to. Um algoritmo puramente geométrico para redução de banda e perfil é apresen·
to.do. Finalmente, um novo algoritmo híbrido para redução de frente e perfil de matrizes
espars.ts é proposto.
3.1 Vértices Pseudo-Periféricos
Após a publicação do famoso artigo de Cuthill e McKee {1969) [36), a teoria de grafos
tornou-se uma metodologia padrão para minimização de banda, perfil e frente de matrizes
esparsas. No entanto, o sucesso da maioria dos algoritmos depende da escolha de vértices
iniciais Foi observado que os vértices periféricos - aqueles para os quais a excentricidade
é igual ao diâmetro do grafo - são excelentes para serem utilizados como vértices iniciais
nos algoritmos de reordenação [66, 62). Porém, a localização de tais vértices nos grafos é
bastant~ cara computacionalmente [148, 23]. Por esta razão, a maioria dos algoritmos uti
liza vér,ices pseudo-periféricos - aqueles que apresentam altas excentricidades. Exemplos
9
de tais algoritmos são: Reverse Cuthill-McKee (RCM) [36, 62], Gibbs-Poole-Stockmeyer
(GPS) [66], Gibbs-King (GK) [67, 93], Snay [151], Sloan [146), Medeiros et ai. [110), Fenves
e Law !50], Hoit e Wilson [77] e Livesley e Sabin [104]. Diversos artigos foram publica
dos especificamente sobre algoritmos para determinação de vértices pseudo-periféricos, por
exemph, Cheng (1973) [29], Gibbs et ai. (1976) [66], George e Liu (1979) [61], Pachl (1984)
{118], Smyth (1985) [150], Kaveh (1990) [90] e Grimes et ai. [69].
Observe-se, entretanto, que o conceito de vértices pseudo-periféricos não se restringe
ao prob.ema de reordenação de sistemas esparsos de equações. Este conceito tem aplicações
em diversas áreas como a geografia [154] e o mapeamento de ma.lhas de elementos finitos
(ver refrrência [138], página 1417), dentre outras.
lima versão modificada do algoritmo de Gibbs et ai. [66) para determinação de
vértices pseudo-periféricos em grafos é apresentada neste trabalho. Esta versão consiste na
incorporação das estratégias de sho11; circuite shrinking, propostas por George e Liu [61] e
Sloan [J.15), respectivamente, para aumentar a eficiência do algoritmo origina.!.
Os principais passos deste algoritmo estão apresentados na Tabela (3.1 ).
10
Tabela 3.1: Algoritmo para Determinação de Vértices Pseudo-Periféricos em Grafos.
(1) Selecionar um vértices com grau mínimo;
(2) Gerar uma estrutura de níveis L(s), com raiz em s;
(3) Ordenar os vértices do último nível, na ordem crescente de seus graus,
e gerar um subconjunto Q contendo apenas um vértice de cada grau
;empates são decididos arbitrariamente);
(4) ·nicializar a variável min_width como sendo um número suficientemente grande;
(5) Para cada vértice i em Q, na ordem crescente de graus, gerar a estrutura de níveis
com raiz em i. Se o comprimento desta estrutura for maior do que
o comprimento de L(s) e a largura desta estrutura for menor do que min_width,
então fazer s == i e voltar para o Passo (3). Caso contrário,
(comprimento de L(i) for igual ao comprimento de L(s)),
se a largura desta estrutura for menor do que min_width, então fazer
e= i, L(e) = L(i) e min_width =largura da estrutura de níveis corrente;
(6) 1erminar com o vértice inicial se sua estrutura de níveis L(s)
(caso o usuário esteja interessado em um simples vértice pseudo-periférico), ou
1 erminar com o vértice inicial s, o vértice final e
e suas estruturas de níveis L(s) and L(e), respectivamente
(caso o usuário esteja interessado nos vértices extremos de um pseudo-diâmetro). -------------------------------------
11
3.2 Algoritmos Topológicos
3.2.1 Algoritmo RCM
O algoritmo original de Cuthill-Mckee (CM), publicado em 1969 [36), foi desenvolvido para
reduçãc da largura de banda de matrizes simétricas e esparsas. Sem dúvidas, é o algoritmo
mais conhecido na literatura técnica.
O algoritmo RCM (Reverse Cuthill-Mckee) [36, 62) difere da versão original no fato
de que a numeração final é invertida. Esta observação foi feita por George [60], em sua tese
de doutorado. Tal inversão, preserva a largura de banda e jamais aumenta o perfil [60].
(1 algoritmo RCM, cujos principais passos estão apresentados na Tabela (3.2), pode
ser desc1ito da seguinte forma [48]: (i) dentre todos os vértices de grau mínimo, selecionar
aquele C<tpaz de gerar uma estrutura de níveis de menor largura. Este procedimento cor
respondt a se determinar um vértice pseudo-periférico no grafo associado (ver Tabela 3.1 );
( ii) atribuir o rótulo 1 ao vértice inicial; ( iii) atribuir os rótulos 2, ... , \V\ aos vértices
adjacent•~S ao último vértice numera.do, em ordem crescente de grau, até que todos os nós
sejam numerados; (iv) inverter a numeração atribuindo o rótulo (i) ao rótulo (\V\- i + 1),
parai= 1,2, ... , \V\.
Tabela 3.2: Algoritmo Reverse Cuthill-McKee.
(1) Determinar um vértice pseudo-periférico ( v );
(2) Renumerar este vértice;
(3) Para i = 1, ... , \V\, renumerar todos os vértices pertencentes
ao conjunto Adj(v;), em ordem crescente de seus graus;
( 4) Repetir o algoritmo para cada componente conexo;
(5) Inverter a numeração final atribuindo o rótulo (i)
ao rótulo (\V\ - i + l}, parai= 1, 2, ... , \V\.
12
3.2.2 Algoritmo GPS
O .Jgor tmo GPS (Gibbs-Poole-Stockmeyer) foi desenvolvido em 1976 [66]. Diferentemente
do algoiitmo RCM, que utiliza um único vértice pseudo-periférico, o GPS utiliza os vértices
extremos de um pseudo-diâmetro. Ele é considerado um dos algoritmos mais eficientes para
redução de banda. A idéia deste algoritmo consiste em se combinar as estruturas de níveis
com raí ies em cada vértice extremo do pseudo-diâmetro, de tal maneira que se obtenha
uma nora estrutura de níveis com uma largura menor. A partir deste ponto, o GPS é
sirnílar w RCM. Informações mais detalhadas sobre o GPS podem ser encontradas em
\48. 66, 57' 68, 101 ].
A Tabela (3.3) mostra os principais passos do algoritmo GPS.
Tabela 3.3: Algoritmo de Gibbs-Poole-Stockmeyer.
(1) Determinar os extremos de um pseudo-diâmetro;
(2) Minimizar a largura de nível;
(3) Numerar o grafo de maneira similar ao algoritmo RCM;
( 4) Repetir o algoritmo para cada componente conexo.
3.2.3 Algoritmo GK
Baseado ('m trabalhos anteriores de Gibbs et ai. [66] e King [93], Gibbs propõs um novo
algoritmo para redução do perfil de matrizes simétricas e esparsas. O algoritmo GK (Gibbs
Kíng) também utiliza os extremos de um pseudo-diâmetro como vértices iniciais. Para
ma.iores ddalhes sobre o algoritmo GK, ver, por exemplo, referências [48, 67, 68, 93, 101].
Os principais passos do algoritmo GK estão mostrados na Tabela (3.4). Note-se que
os dois primeiros passos dos algoritmos GPS e GK são idênticos.
13
Tabela 3.4: Algoritmo de Gibbs-King.
(1) Determinar os extremos de um pseudo-diâmetro;
(2) Minimizar a largura de nível;
(3) Numerar o grafo de acordo com o critério de King (93);
( 4) Repetir o algoritmo para cada componente conexo.
3.2.4 Algoritmo MRCollins
O algoritmo original de Collins foi publicado em 1973 [32). É considerado suficientemente
rápido para uso prático, particularmente para problemas pequenos. A quantidade de
memórif. requerida pelo algoritmo de Collins é mínima. Desenvolvido inicialmente com
o objeti\o de reduzir a largura de banda, o algoritmo de Collins, entretanto, jamais produz
resultados inaceitáveis para o perfil. De acordo com Gibbs et ai. [68), uma desvantagem
do algoritmo de Collins é a sua incapacidade de tratar grafos não conexos.
Uma versão mais eficiente do algoritmo de Collins é apresentada neste trabalho. Ela
é denominada MRCollins (Modified Reverse Collins) e suas principais características sã.o:
• Corcsideraçã.o de componentes não conexos;
• Uso da numeração inversa para uma posterior redução do perfil;
• Uso de informações gerais de adjacência ao invés das tabelas de conectividade do
mét·:>do dos elementos finitos. Isso facilita a combinação de tipos diferentes de ele
mentos finitos em uma mesma ma.lha;
• Nenmma restrição ao número de nós por elemento (o algoritmo original utiliza no
máxmo4);
• Reestruturação global do código (existem alguns erros tipográficos na versão original).
Os ::irincipais passos do algoritmo MRCollins estão descritos na Tabela (3.5).
14
Tabela 3.5: Algoritmo Modified Reverse Collins.
(1) Selecionar um vértice do grafo;
(2) Renumerar este vértice e considerá-lo como vértice de referência;
(3) Renumerar cada vértice (que ainda não tenha sido numerado) adjacente ao
vértice de referência em ordem crescente;
(4) Computar a máxima diferença entre os novos números atribuídos
e o número do vértice de referência;
(5) Se esta diferença ( +1) for maior ou igual a largura de banda produzida pelas
numerações anteriores (incluindo a original), abandonar a numeração corrente,
selecionar um novo vértice inicial do grafo e voltar para o Passo (2);
(6) Se ainda existirem vértices não numerados no componente conexo corrente,
então considerar o próximo vértice como sendo o vértice de referência e
voltar para o Passo (3);
(7) Repetir o algoritmo para cada componente conexo;
(8) Inverter a numeração atribuindo (i) para (!VI - i + 1) comi= 1, 2, ... , jVj.
15
3.2.5 Algoritmo de Snay
Este algoritmo foi proposto por Snay [151] para redução de perfil de matrizes simétricas e
esparsfü. Apesar de não ser muito conhecido na comunidade de engenharia, ele é bastante
utilizadn no campo da geodésia.
O algoritmo original de Snay utiliza um conjunto de dez vértices iniciais, de acordo
com a referência [151]. O perfil é calculado pa.ra cada um destes vértices iniciais e escolhe
se a numeração que conduza a.o menor perfil. Jonge [87] adotou uma estratégia diferente,
que comiste na utilização de um único vértice inicial. Em seu trabalho [87], foi mostrado
que. partindo-se de um único vértice pseudo-periférico pode-se obter perfis próximos aos
do algoritmo original, com diferenças da ordem de 1 % a 10%, e com um reduzido tempo de
CPU. No presente trabalho, utiliza-se a estratégia proposta por Jonge e o vértice pseudo
periférico obtido através do algoritmo descrito na Tabela (3.1).
A estratégia do banqueiro ( banker's strategy), bastante utilizada em algoritmos de
reordenação, foi derivada de uma situação denominada dilema do banqueiro (banker's
dílemma) (151, 87], na qual um banqueiro tem que distribuir lotes de terra para os moradores
de uma 'ila. Antes de alguém receber um lote, os débitos existentes devem ser quitados.
O proces~o de transferência do lote e a quitação dos débitos, leva um dia pa.ra ser efetuado,
para cada morador.
Di.i.riamente o banqueiro pode atender a apenas um morador. Cada dia no banco
estão os moradores que possuem algum débito com o morador escalado para ser atendido,
e os mora.lores que já estiveram no banco, mas ainda não receberam um lote de terra. Este
último gncpo, que diariamente retorna ao banco na esperança de ser atendido, é conhecido
como mor,tdores esperançosos (hopefu0. Como o banqueiro ficará com má reputação a cada
dia em que a multidão se aglomera na porta do seu banco, ele tenta atender a.o morador que
possui alg11m tipo de débito com o menor número de moradores. Esta estratégia tem por
:ih jeti vo rr inimizar o número pessoas que passarão a ficar esperando na porta do banco.
Diante do exposto, pode-se estabelecer a analogia entre o dilema do banqueiro e o
problema de reordenação. A vila de moradores corresponde a.o grafo associado a uma dada
matriz; os moradores correspondem ao conjunto de vértices do grafo e os débitos entre os
moradores correspondem às arestas do grafo. A ordem em que os moradores são atendidos
(Or.responde à numeração do grafo.
16
lJrn morador que foi atendido no j-ésirno dia esperou (j - i) dias, caso o primeiro
morador do grupo com o qual ele mantinha algum débito tenha sido atendido no i-ésimo dia.
Isto implica numa j-ésirna largura de banda de j-i + 1. O perfil da matriz, desconsiderando
se os te:·mos da diagonal, corresponde a.o tempo total de espera dos moradores. O número
de mondores ( + 1) que estão esperando no i-ésimo dia é igual a uma largura de frente dei.
Os principais passos do algoritmo de Snay estão apresentados na Tabela (3.6).
Tabela 3.6: Algoritmo de Snay.
( 1) Determinar um vértice pseudo-periférico;
( 2) Renumerar os vértices do grafo de acordo com a estratégia do banqueiro
(descrita na Tabela 3.7);
(3) Repetir o algoritmo para cada componente conexo.
É conveniente estabelecer a seguinte notação a ser utilizada na descrição da es
tratégia do banqueiro (Tabela 3.7): V é o conjunto de todos os vértices; L é o conjunto dos
vértices numerados; H é o conjunto dos vértices esperançosos ( hopefuQ; e C é o conjunto
dos >'érti.:es candidatos.
Tabela 3.7: Estratégia do Banqueiro.
(1) Numerar o vértice inicial como v =} L = {v };
(2) H = Adj(L)
C = H U (Adj(H) - L);
(3) Numerar o próximo vértice y E e com mínimo IQI, onde
IQI = l{q E Adj(y)lq tf. H}I. se y tf. H; ou
IQI = l{q E Adj(y)lq tf. H}I 1. se y EH;
(4) L=LU{y};
(5) Se V = { } parar; caso contrário, voltar para o Passo (2).
De acordo com Jonge [87), os algoritmos de King [93], Snay [151] e Levy [100) uti
lizam a. estratégia do banqueiro. Eles diferem entre si na maneira pela qual um determinado
morador é definido corno um candidato a ser atendido. No critério de King [93), os can
didatos são apenas os moradores esperançosos. No critério de Snay [151], os candidatos são
17
os moradores esperançosos e todos aqueles que têm algum débito com estes moradores. No
criiério de Levy [100], todos os moradores são candidatos. Formalmente, o conjunto C no
Pai<so ('.!) da estratégia do banqueiro passa a ser dado por:
• King: C == H
• Snay: C == H u (Adj(H) - L)
• Le>'y: C == V - L
3.2.6 Algoritmo de Sloan
Sloan [H 5, 146) propôs um dos mais eficientes algoritmos para redução de perfil e largura
de frente de matrizes simétricas e esparsas. O algoritmo utiliza corno vértices iniciais os
extremos de um pseudo-diâmetro.
Seguindo a observação de Jonge [87), o algoritmo de Sloan também utiliza a es
tratégia do banqueiro (ver Tabela 3. 7). Além disso, a definição de vértices esperançosos e
candidatos é a mesma utilizada no algoritmo de Snay. No entanto, em vez de utilizar estes
termos, Sloan utiliza os termos ativos, pré-ativos, pós-ativos e inativos para se referir aos
vértices do grafo.
A idéia do algoritmo de Sloan consiste em se adicionar informações globais aos
vértices, ao invés de se utilizar apenas informações locais como nos algoritmos anteriores .
.E~ta., informações globais são as distâncias topológicas entre o vértice corrente e o vértice
final do pteudo-diâmetro.
Os vértices são numerados de acordo com o critério de Sloan, isto é, após k vértices
terem sidc numerados, escolhe-se o vértice k + 1 como sendo aquele (y) que minimiza a
seguinte q•iantidade
P(y) == W1 IQI - W2 d(e,y),
onde d( e, y) é a distância topológica mencionada anteriormente, JQI está indicado no
Passo (3) da Tabela (3.7) e W1 e W2 são pesos inteiros tomados como 2 e 1, respecti
vamente. Observe-se que, para W1 == 1 e W2 == O, os algoritmos de Sloan e Snay são
idênticos.
18
Os principais passos do algoritmo de Sloan estão mostrados na Tabela (3.8). Para
maioref detalhes sobre este algoritmo, ver referências [145, 146].
Tabela 3.8: Algoritmo de Sloan.
(1) Determinar os extremos de um pseudo-diâmetro;
(2) Renumerar os vértices do grafo de acordo com o critério de Sloan;
(3) Repetir o algoritmo para cada componente conexo.
3.2. 7 Algoritmo FWR
Nesta seção, um novo algoritmo para redução da largura de frente de uma malha de ele
mentos f.nitos é proposto. O algoritmo, denominado FWR (FrontWidth Reduction), produz
numeraç5es de elementos que são adequadas para um esquema de solução do tipo frontal.
De acordo com Akin e Pardue [2], os algoritmos existentes para numeração de ele
meutos podem ser classificados em dois grupos: ( i) indiretos, que consiste em se numerar
os eleme:itos baseado numa numeração nodal prévia, isto é, os elementos são numerados
na ordem crescente da numeração nodal; e ( ii) diretos, que consiste na numeração dos
elemento,, diretamente a partir das relações de adjacência dos próprios elementos.
Ot' acordo com Sloan e Randolph [144], a idéia do enfoque indireto é que, embora nos
algoritmos frontais as equações sejam montadas elemento por elemento, elas são eliminadas
m) por nó Portanto, se os nós forem numerados de uma maneira tal que a largura de frente
global (às vezes referida como largura de frente do sistema [2]) seja reduzida, então, quando
os eJ.•men tos forem renumerados na ordem crescente da numeração nodal, os algoritmos
fronta.is preservam a máxima largura de frente tão próxima quanto possível, durante o
processo ce eliminação de Gauss. Conseqüentemente, a eficiência dos algoritmos indiretos
para redu,;ão da largura de frente dependente da eficiência dos algoritmos de reordenação
nodal.
Al~uns exemplos de algoritmos indiretos são: Akin e Pardue [2], Razzaque [132],
Sloan e Randolph [144] e Duff et al. (45]. Akin e Pardue (2] utilizam o algoritmo de Cuthill
McKee [36] no processo de reordenação nodal, seguido de um reordenador de elementos
haseado no conceito de grau do elemento. Razzaque [132] utilizou um algoritmo para
reduçi;o dt banda no processo de reordenação nodal. Os elementos são reordenados na
19
ordem crescente da numeração nodal. Sloan e Randolph [144] e Duff et al. [45] mantiveram
a mesrr a estratégia para numeração dos elementos, porém utilizaram um algoritmo para
redução de perfil no processo de reordenação nodal.
i\ idéia básica dos algoritmos diretos para reordenação de elementos consiste na
cor;stru(;ão de listas de adjacências apropriadas, a partir das quais o processo de reor
dena.ção prossegue de maneira similar à utilizada na reordenação nodal. Alguns exemplos
de algontmos diretos são: Bykat [27], Pina [127], Fenves e Law [50] e Duff et ai. [45). Pina
[127] propôs um algoritmo baseado no conceito de grau corrente de um nó. Os elementos
são numerados de tal maneira a manter a largura de frente a mínima possível. No trabalho
proposk por Bykat [27], os elementos são numerados utilizando-se o algoritmo padrão de
Cuthill-McKee. Duff et ai. [45] utilizaram um algoritmo para redução de perfil, baseado
no ;;lgontmo de Sloan [146], para reordenação dos elementos.
A idéia do algoritmo FWR é reordenar os elementos de maneira a minimizar a
forgrJra à frente corrente. Ou seja, após a numeração do k-ésimo elemento, escolhe-se
o próximo elemento (k + 1) tal que a quantidade correspondente ao número de graus de
liberdadf que serão adicionados na frente, menos a quantidade de graus de liberdade que
poderão ;;er retirados da frente, seja minimiza.da..
A relação de adjacência entre elementos é definida de acordo com o trabalho de
Duff et ai. [45], em que, dois elementos são adjacentes quando possuem pelo menos um
nô comun. De acordo com Paulino ti ai. [123], esta definição corresponde à utilização do
grafo de < omunicação no processo de reordenação.
O algoritmo FWR consiste na solução de dois problemas globais: (i) seleção do
elemento inicial; e (ii) processo de reordenação de elementos. O primeiro problema é
resolvido utilizando-se o algoritmo para determinação de vértices pseudo-periféricos em
grafos, det.crito na Tabela (3.1 ).
A '.''a.bela (3.9) ilustra. os principais passos do algoritmo FWR.
20
Tabela 3.9: Algoritmo Front Width Reduction.
)) Selecionar um elemento inicial E. Numerar este elemento como l;
1'2) Todos os elementos adjacentes a E ou adjacentes aos elementos que são
adjacentes a E são colocados na lista de candidatos;
( 3) Se a lista de candidatos está vazia, Parar.
(4) Se (k) elementos tiverem sido numerados, selecionar o elemento (k + 1)
como sendo o elemento E da lista de candidatos, que
minimiza o crescimento da largura de frente;
( 5) Retirar o elemento E da lista de candidatos;
(6) Voltar para o Passo (2);
(7) Repetir os Passos (1-6) para cada componente conexo.
3.3 Algoritmos Geométricos
3.3.1 Algoritmo CBBPR
Um novo algoritmo, denominado CBBPR ( Coordinate Based Bandwidth and Profile Re
d11ctwn) ,; proposto nesta seção. Ele é baseado em coordenadas Cartesianas, mas pode
ser facilmente adaptado para qualquer outro sistema de coordenadas, como, cilíndricas ou
esféricas. Para estruturas do tipo cascas cilíndricas, as coordenadas cilíndricas (r, O, z) são
mai~ apropriadas (119]. Já para estruturas reticuladas em forma de domos ou semi-esferas,
as coordenadas esféricas (R, O, ef>) são mais apropriadas (119]. Exemplos de estruturas em
forma de domo estão mostradas nas referências [71, 119]. Um exemplo típico de reor
dena<.ào nodal usando-se coordenadas cilíndricas é um edifício alto, de forma cilíndrica,
onde a reordenação seria feita por pavimento (fixando-se r e variando-se O), para um dado
valor da coordenada z.
O algoritmo CBBPR é bastante simples e sua eficiência é altamente dependente da
geometria da malha de elementos finitos e da orientação desta malha com relação ao sistema
de coordenadas. Embora não exista qualquer garantia de que este algoritmo produza boas
numerações, ele pode ser uma alternativa viável, especialmente para malhas regulares, em
que uma d.mensão prevalece sobre as demais (por exemplo, edifícios altos e barragens).
21
Üs principais passos do algoritmo CBBPR estão apresentados na Ta.bela (3.10).
Observe-se que apenas as informações geométricas sã.o requeridas.
Tabela 3.10: Algoritmo Coordinate Based Bandwidth and Profile Reduction.
(1) Determinar as dimensões do domínio nas direções Cartesianas;
(2) Ordenar os vértices de acordo com as coordenadas na maior direção.
Em caso de empate, selecionar a próxima direção com maior dimensão;
(3) Calcular o perfil;
(4) Inverter a numeração e recalcular o perfil;
(5) Selecionar a numeração que produz o menor perfil.
3.4 Algoritmos Híbridos
Os algor tmos híbridos utilizam as informações topológicas e geométricas presentes nas
malhas de elementos finitos para redução de banda, perfil ou frente de matrizes simétricas
e esparsa;.
Af informações geométricas podem ser utilizadas para aumentar a eficiência dos
a.lgoritmcs. Por exemplo, no algoritmo RCM, descrito anteriormente, a.o invés de se utilizar
um vértice pseudo-periférico, poder-se-ia utilizar como vértice inicial aquele que apresenta
coordenadas Cartesianas mínimas (x, y, ez). De acordo com Paulino [119], esta estratégia
cc.nd11z a melhores larguras de banda e perfis em diversos exemplos.
Es'a idéia pode ser estendida para o contexto de pré-processadores gráficos interati
vos de malhas de elementos finitos [119]. Neste caso, o usuário seleciona.ria. o vértice inicial
numa malha complexa, apontando-o diretamente na tela do computador.
Deatro do escopo da aplicação de técnicas de geometria computacional para re
ordenação de nós e elementos, uma nova geração de algoritmos de reordenação pode ser
desenvolvida [112].
22
3.4.1 Algoritmo HybWP
Nesta stçâ.o, um novo algoritmo híbrido para reordenação de nós e elementos numa ma.lha
genérica de elementos finitos é apresentado. O algoritmo, denominado HybWp (Hybrid Wa1Jefront and Profile), baseia-se no trabalho de AI-Na.sra e Nguyen [6], sobre decomposição
de domíiio na análise por elementos finitos usando computação paralela.
Nós e elementos sã.o renumerados naturalmente em um processo integrado. Observe
se ql1e não se trata de um algoritmo indireto de reordenação, tal como utilizado em trabalhos
ankriores (por exemplo, Fenves e Law [50], Koo e Lee [95), Pina [127), Razzaque [132) e
Sloan e Randolph [144]). Além disso, o algoritmo híbrido não depende de um vértice
pseudo-periférico e envolve a aritmética de números inteiros e reais, na manipulação de
dados topológicos e geométricos, respectivamente. O algoritmo HybWP é eficiente para a
reduçâ.o de perfil (adequado para algoritmos de soluçâ.o do tipo perfil) e redução de largura
de frente (adequado para algoritmos de soluçâ.o do tipo frontal).
Q; principais passos do algoritmo HybWP estâ.o mostrados na Tabela (3.11). De
acordo com Al-Nasra e Nguyen [6], o objetivo de se adicionar pesos extras aos nós situados
ao longo da maior direção (ver Passo 4 da Tabela 3.11) é garantir que a numeraçâ.o se
desenvolv.:i. ao longo da menor dimensão do problema.
23
Tabela 3.11: Algoritmo Hybrid Wavefront and Profile Reduction.
(1) Determinar o máximo comprimento em cada direção ( Llxmax. LlYmax• Az,,..,, );
(2) Determinar o eixo Cartesiano que corresponda a maior dimensão;
(3) Determinar os pesos iniciais w{ de cada nó i (i = 1, .. ., n), onde
wf = número de elementos finitos conectados ao nó i, e
n = número total de nós da malha;
(4) Determinar o peso extra wf de cada nó i (i = 1,. . .,n), de acordo com as
seguintes fórmulas (Assumir que o eixo y tenha sido escolhido no Passo 2)
wE - (~) (~ -1) para malhas 2D i - A Y maz 6.Xma.i-
WE - (~) (~ + ~ - 2) para malhas 30 i - à Y ma:r AXmc.r .6.Zmaz
Ay; = Y; - Ymin• Yi é a coordenada nodal e Ymin é a coordenada mínima
ao longo do eixo de maior dimensão;
(5) Determinar os pesos corrigidos w; = w{ + wf de cada nó i (i = 1, ... , n);
(6) Determinar o nó com menor peso corrigido. Renumerar este nó;
( 7) Para cada elemento conectado a este nó, fazer:
1' a) renumerar este elemento;
(b) renumerar os nós conectados a este elemento;
( c) reduzir em 1 os pesos corrigidos de todos os nós conectados a este elemento;
Os nós são renumerados na ordem inversa, ou seja, Nó(i) <- n - i + l; (8) Determinar o nó com mínimo peso corrigido dentre todos os nós visitados
(isto é, nós para os quais os pesos tenham sido reduzidos pelo menos de 1}.
Se não existir nenhum nó neste estágio, voltar para o Passo (6), considerando
os nós restantes da malha que ainda não tenham sido renumerados;
(9) Repetir os Passos (7-8) até que todos os elementos tenham sido renumerados;
(10) Repetir os Passos (1-9) para cada componente conexo.
24
Capítulo 4
Algoritmos Espectrais de Reordenação
Ne8te capítulo, novos algoritmos baseados em propriedades espectrais de grafos são propos
tos. Inicialmente, uma base teórica sobre propriedades espectrais de grafos é apresentada.
Em seguida, um novo algoritmo para minimização de perfil e frente de matrizes simétricas
e esparsas é proposto. Os aspectos numéricos relacionados à implementação computacional
deste alf,oritmo são descritos. Duas versões do algoritmo espectral são apresentadas. Fi
naJmenk, um novo algoritmo espectral para determinação de vértices pseudo-periféricos
em ,grafo> é proposto.
4.1 .Propriedades Espectrais de Grafos
Seja G = (V, E) um grafo não dirigido1• V = { v1, Vz, .•• , v,.} é um conjunto de vértices
com !VI = n, onde 1 · 1 denota a cardinalidade do conjunto. E = { ei, e2, .•• , em} é um
conjunto de arestas com IEI = m, onde as arestas são pares de vértices de V, distintos e
não ordenados.
Dado um grafo G, devidamente ordenado, existem algumas matrizes que podem ser
a.ssociadaf a G, tais como, a matriz de adjacência (A), a matriz de grau (D), a matriz de
íncid•~ncia vértice-aresta ( M) e a matriz Laplaciana ( L ). Em particular, as propriedades
espectrais da matriz Laplaciana serão examinadas detalhadamente. ·--·-------------
1 Apenas os conceitos e definições relevantes para este trabalho serão mencionados. Maiores detalhes
iobre 1.écnic•is espectrais aplicadas à teoria de grafos podem ser encontrados no livro de Cvetkovié el ai.
25
\ matriz de adjacência A(G) = [a;j]nxn de um grafo ordenado G é definida como
a;j = f 1,
1 o, se V; é adjacente a Vj, isto é, {v;,vJ} E E;
caso contrário. (4.1)
li matriz de grau D(G) = [d;j)nxn é uma matriz diagonal contendo os graus de cada
vértice, isto é,
l grau(v;), sei=j; d;j =
O, caso contrário,
onde grau( vi) é o número de arestas incidentes em v; ou, equivalentemente,
grau(v;) = IAdj(v;)I,
onde Adi(v;) é o conjunto de vértices adjacentes a v;.
A matriz Laplaciana L( G) = [l;j]nxn é definida como
L(G) = D(G) - A(G);
portanto. as componentes de L( G) são dadas por
-1, se v; é adjacente a Vj, isto é, {v;,v;} E E;
grau(v;), se z = Ji
O, caso contrário.
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Recentemente, Merris (113] publicou um artigo bastante completo apresentando
diversos resultados sobre matrizes Laplacianas associadas a grafos.
A matriz de incidência vértice-aresta M( G) = [m;j]nxm é definida da seguinte forma:
in:ici;ilme1 te, as arestas de G sã.o orientadas arbitrariamente. Então
1, se e; aponta na direção de v;;
-1, se Cj aponta na direção oposta a v;;
O, caso contrário.
(4.6)
~ote-se que duas linhas distintas de M terão entradas não nulas na mesma coluna, se, e
somente st, existir uma aresta conectando os vértices correspondentes. Estas entradas na
ma.trii seri.o dadas por 1 e -1. Pode ser mostrado que
(4.7)
26
Da mesma forma, pode ser facilmente mostrado que L é independente da orientação ado
tada para as arestas de G. A forma quadrática associada à matriz L pode ser obtida
como
zTLz=zTMMTz=(MTz)T(MTz)= L: (x;-x;) 2 , (4.8) {v;,v,)EE
iJSn
onde x; denota a i-ésima componente do vetor. De acordo com Anderson e Morley, o
nome matriz Laplaciana surgiu a partir de uma analogia com o operador Laplaciano discreto
utilizadl' na análise numérica [7]. Considere-se, por exemplo, uma malha retangular, sujeita
a condiçôes de contorno do tipo Neumann, usada no Método das Diferenças Finitas (MDF);
nes1 e caw, o operador Laplaciano e a matriz Laplaciana coincidem. Para maiores detalhes
sobre o :\fDF, ver, por exemplo, Forsythe e Wasow [55], seção 20.7, ou Lapidus e Pinder
(99], seçi,o 5.2.l.
A partir da Equação (4.8), conclui-se que a matriz Laplaciana (L) é simétrica,
singular :a soma dos elementos de qualquer linha ou coluna é nula), positiva semi-definida
e representa o grafo G a menos de isomorfismo2; a matriz Laplaciana também apresenta
importantes propriedades, como (para maiores detalhes, ver referências (7, 51, 52, 53)):
• Se .\é um autovalor de L(G) então
O :5 À :5 n. (4.9)
• A multiplicidade do autovalor À = O corresponde ao número de componentes conexos de<;.
• Se ) = n é um autovalor de L(G), então G é conexo.
• Se O é conexo, então À2 > O, onde À2 é o segundo menor autovalor.
• llm limite superior para À2 é dado por
Ài :S (-n-) min l;;. n -1 •
• Seja p (L( G)) o raio espectral da matriz Laplaciana L( G). Então
p ( L( G)) :S max (grau ( v;) + grau ( v; )), .. , considerando todos os pares de vértices { v;, v;} conectados por uma aresta.
(4.10)
( 4.11)
2 Dois grafos G1 = (Vi, E1) e G2 = (V2, E2) são isomorfos se existe uma função biunívoca f: Vi -+ V2
<1ue pr1>serva adjacência, isto é, E2 = {{f(v;),/(v;)} 1 {v;, v;} E Ei}.
27
• S•üa G um grafo conexo. Então
p(L(G))::; 2 max (grau(v;)), 1::;: i::; n . •
( 4.12)
Considere-se um grafo G conexo e não-dirigido. Seja os autovalores de L( G) orde
nados de tal maneira que
( 4.13)
O menor autovalor é À1 = O e o autovetor associado (111) apresenta todas as suas com
ponente; normalizadas iguais a 1. As propriedades espectrais do segundo autovalor À2 e
seu corn!spondente autovetor (112 ) foram estudadas por Fiedler [51, 53). Ele denominou À2
como a ·~onectividade algébrica ( algt:braic connectivity) do grafo G, a qual está relacionada
com as wnectividades usuais entre vértices e arestas de G. Para determinados grafos que
apresentam uma simples topologia, existem soluções analíticas para À2 [51, 7]. Por exemplo,
;12 "= l para um grafo estrela; À2 = 2 para um cubo de dimensão n; e À2 = 2 [1 - cos (jt'1)]
para um grafo na forma de um circuito. As componentes de y2 podem ser associadas aos
vértices :ie G e consideradas como funções peso. Fiedler [53] denominou esta função de
pondera~ão de avalíação característica (characteristic valuation) de G.
Técnicas espectrais aplicadas a grafos já foram utilizadas por diversos pesquisadores,
especialmente no campo da partição de domínio [74, 128, 142]. Juvan e Mohar [88] estu
daram os algoritmos espectrais para problemas de ordenação em grafos. Eles utilizaram o
vetor de Fiedler (112) para problemas de redução de banda, p-sums e cutwidth. Entretanto,
o usü de algoritmos espectrais para redução de perfil e frente foi proposto, pela primeira
vez, por Paulino et al. [123, 124].
4.2 Algoritmo SFR
Nesta seçúo, um novo algoritmo parn redução de perfil e frente de matrizes simétricas e
espar'as é proposto. O algoritmo, denominado Spectral FEG Resequencing (SFR), baseia
se em propriedades espectrais da matriz Laplaciana (L) de um grafo associado a uma
dada malta de elementos finitos. O algoritmo SFR apresenta algumas características que
o diferencia dos demais: ( i) utiliza informações globais do grafo; ( ii) não utiliza o conceito
de vértice pseudo-periférico; (iii) não utiliza nenhum tipo de estrutura de níveis do grafo;
(iv) consiste em uma análise de autovalor para determinação do segundo autopar da ma
triz La.pia.e iana; e ( v) sua implementação é relativamente simples e se baseia numa teoria
algébrica bem estabelecida.
28
Algoritmos de reordenação anteriores, como, RCM [36, 62], Levy [100], GPS [66], GK [67, 93], Snay [151] Sloan (145, 146] e Medeiros et ai. [110], utilizam informações
locais do grafo, ou seja, informações de adjacência entre os vértices do grafo, no processo
d1· reordenação. Conceitualmente, o algoritmo SFR difere dos demais no sentido de que
ek se baseia em propriedades globais do grafo. Dois outros algoritmos de reordenação
basead·)S em informações globais, mas que também utilizam informações locais do grafo,
foram propostos por Armstrong (10, 11 ]. Foram utilizadas técnicas de simulated annealing
para obtenção do mínimo global da largura de banda [10] ou do perfil e largura de frente
[l J ] de matrizes simétricas e esparsas.
A maioria dos algoritmos de reordenação, baseados na teoria de grafos, utiliza
vértice> pseudo-periféricos como vértices iniciais (por exemplo, RCM [36, 62], GPS [66], GK [67, 93], Snay [151] e Sloan [145, 146]). O algoritmo SFR não utiliza o conceito de
vértices pseudo-periféricos.
li. maioria dos algoritmos, baseados na teoria de grafos, utiliza o conceito de estrutura
de níveis em grafos, (por exemplo, RCM [36, 62], GPS [66], GK {67, 93], Fenves e Law {50], Hoit e Wilson [77], Kaveh [91), Koo e Lee [95), Levy [100], Livesly e Sabin [104), Luo [105], Sna.y {H·l], Sloan e Randolph [144], Sloan {145, 146] e Medeiros et a/. {110]). O algoritmo
SFR nà<• utiliza nenhum tipo de estrutura de níveis.
O maior esforço computacional no algoritmo SFR se concentra na solução de um
prohlem.t de autovalor, onde o segundo autopar (À, y 2) da matriz Laplaciana deve ser deter
minado. Portanto, a maior parte computacional do algoritmo SFR se baseia na aritmética
de ponto flutuante. Este aspecto o distingue dos demais, que se baseiam na aritmética de
inte.-ros (por exemplo, RCM [36, 62], GPS [66], GK [67, 93], Sloan [145, 146] e Medeiros et
ai. [110]).
A implementação computacional do algoritmo SFR é bastante simples e depende
diretamente da existência de um algoritmo para solução de problemas de autovalor. Hoje
em dia, 1:,,s softwares de elementos finitos possuem algoritmos para solução de problemas
de a.utov1dor como parte de sua biblioteca. Além disso, existem bibliotecas de softwares
bastante 2onhecidas, como, IMSL (Jnternationa/ Mathematica/ and Statistíca/ Library) e
IBM (lnfornational Business Machines) ESSL (Engineering and Scientific Subroutine Li
brnry) qut' possuem sub-rotinas para solução de problemas de autovalor disponíveis para o
usuár.io.
29
Considere-se uma malha consistente de elementos finitos [58], isto é, uma malha
pa.ra a qual não existe nenhuma inconsistência geométrica ou topológica no modelo (por
exemplo, nós repetidos ou elementos coincidentes). Partindo-se desta malha, a Figura ( 4.1)
mostra um diagrama de blocos que sumariza o algoritmo espectral proposto. Um aspecto
importante deste método é que a numeração dos nós ou dos elementos da malha pode
sei dividida em duas tarefas completamente independentes (Figura 4.1). Os algoritmos
ai1erio1es encontrados na literatura (por exemplo, [50, 95]) não atingem este nível de
independência.
Malha de Elementos Finitos
l Reordenacão
Nodal
G
l Reordenação de Elementos
T Matriz Laplaciana L( . )
Segundo Autopar de L( . )
G•
Vetor de Permutação de Nó ou Elemento
1
Figura 4.1: Diagrama de Blocos do Algoritmo SFR.
De acordo com a Figura (4.1), o algoritmo de reordenação proposto baseia-se em
propriedades espectrais da matriz Laplaciana (L) de um FEG (G, G* ou G•) associado a
urna dada malha de elementos finitos. Observe-se que um problema de reordenação de nós
ou elementos de uma malha pode sempre ser convertido em um problema de reordenação dos
vértices do FEG associado. O algoritmo SFR é baseado no autovetor de L correspondente
à conectiv dade algébrica do grafo (>.2), isto é, o segundo autovetor (y2). As componentes
deste auto <etor possuem a avaliação característica dos vértices do grafo de elementos finitos.
Diferenças entre as componentes de y2 caracterizam as distâncias topológicas entre os
l'értices do grafo. Portanto, as componentes de y2 podem ser tomadas como pesos a serem
30
atribmdos aos vértices no processo de reordenação. Os principais passos do algoritmo SFR,
para grafos conexos, estão apresentados na Tabela ( 4.1 ). Os casos de grafos não conexos
serão considerados na próxima seção.
Tabela 4.1: Algoritmo Spectral FEG Resequencing.
(1) Construir um grafo de elementos finitos (G, G* ou Gº) correspondente
a uma dada malha de elementos finitos;
(2) Construir a matriz Laplaciana [L(G), L(G*) ou L(Gº)]
associada ao grafo selecionado no item anterior;
(3) Calcular o segundo autopar (>.2, Jh) de L( · );
(4) Reordenar os vértices na ordem crescente das componentes de y2.
Alguns resultados teóricos que justificam a idéia do algoritmo SFR podem ser en
contrados nas referências [17, 88]. Juvan e Mohar [88] mostraram alguns limites superiores
para a largura de banda e problemas do tipo p-sums em função dos autovalores da matriz
Laplaciana. Mais recentemente, Barnard et ai. [17] apresentaram justificativas teóricas
para o algoritmo espectral de redução de perfil, mostrando que o autovetor y2 resolve uma
versão contínua de um problema discreto relacionado com a minimização de perfil. J usti
ficativas teóricas mais profundas para este problema estão sendo investigadas por George
e Pothen [64].
N,1. solução numérica do problema de autovalor, os autovalores são calculados com
relação a um fator de escala arbitrário. Uma troca de sinal deste fator de escala conduz a
uma ordenação inversa dos vértices do grafo. Como o algoritmo SFR é global, a seleção do
sinal deste fator de escala não deve afetar significantemente os resultados obtidos. Neste
trabalho, o sinal do fator de escala será obtido arbitrariamente.
Devido ao rápido avanço tecnológico, a geração de malhas de elementos finitos
utilizando-se computação gráfica interativa, tem-se tornado uma prática bastante comum
[119, 120]. Paulino (119] desenvolveu, com sucesso, um módulo independente de reor
denação nodal, para pré-processadores de pórticos espaciais. Paulino e Gattass (120] ge
neralizaram esta idéia para malhas genéricas de elementos finitos. Portanto, o esquema
proposto na Figura (4.1) e Tabela (4.1) pode também ser implementado em um módulo
independe,1te de um pré-processador ou de um programa para geração de malhas.
31
4.3 Tratamento de Grafos Não Conexos
Tr(·s té1.nicas para o tratamento de grafos não conexos são apresentadas nesta seção. A
primeim é uma técnica conhecida no tratamento desta classe de grafos. A segunda é uma
técnica •mplícita no algoritmo SFR A última é uma alternativa teoricamente viável.
A primeira alternativa para o tratamento de grafos não conexos está apresentada na
Tabela ( 4.2). Ela consiste em se adicionar um passo extra no final da Tabela ( 4.1 ). Toda
vez que o FEG associado ao problema for não conexo, o algoritmo reconhece este caso e
repde todos os passos anteriores para cada componente conexo. Esta técnica é bastante
comum" já foi adotada nos algoritmos GPS [66] e GK [67, 93]. Outros algoritmos que
também se utilizam desta estratégia são o GENRQT (general refined quotient tree) e o
GENlD (general one-way dissection), contidos no pacote SPARSPAK [62].
T"bela 4.2: Primeira Alternativa para Tratamento de Grafos Não Conexos.
(1-4) Mesmos da Tabela (4.1};
(5) Repetir o algoritmo para cada componente conexo.
A >egunda alternativa para tratamento de grafos não conexos é dada na Tabela (4.3).
Ela tamb,;m consiste em se adicionar um passo extra no final da Tabela ( 4.1 ). Trata-se de
uma técnica numérica para tratamento de grafos não conexos no processo de reordenação.
Resultados preliminares mostram que, na maioria dos casos, os autovalores nulos repetidos
produzem uma numeração sequencial em cada componente conexo do grafo. Em outras
palavras, .:ada componente é numerado separadamente e não há mistura de numeração en
tre componentes. Todavia, esta técnica é essencialmente baseada em resultados numéricos.
Outros re~ultados numéricos mostram também que, em geral, o uso do autovetor corres
pondente ao primeiro autovalor não nulo, não conduz a bons resultados em termos de perfil
"' largura de frente, e também não separa os componentes do grafo. Estas observações po
dem ter implicações nos algoritmos de decomposição de domínio propostos por Pothen et ~/. [128] e Hendrickson e Leland [74]. Ambos os algoritmos são baseados em propriedades
espectrais de grafos.
Finalmente, a terceira alternativa para tratamento de grafos não conexos consiste
fm se mofftorar a conectividade a priori, tal como explicado na Tabela(4.4).
32
Tabela 4.3: Segunda Alternativa para Tratamento de Grafos Não Conexos.
(1-4) Mesmos da Tabela (4.1);
(5) Se existirem dois ou mais componentes no grafo, utilizar o autovetor
associado a À2 = O que produz o menor perfil.
Tabela 4.4: Terceira Alternativa para Tratamento de Grafos Não Conexos.
Se existirem componentes não conexos no grafo; adicionar o mínimo
número de arestas fantasmas para estabelecer a conectividade; executar
Passos (1) a (4) da Tabela 4.1; e em seguida, remover as arestas fantasmas.
Esta estratégia tem sido utilizada por Hendrickson e Leland [74]. Entretanto, ela
nâti garante urna numeração sequencial dos componentes, tal como na primeira alternativa
(T<cbela 4.2).
4.4 Um Exemplo Simples
Esta, seção apresenta um exemplo simples para tentar esclarecer os principais passos de
algoritrnJ SFR (Tabela 4.1). Considere-se a malha de elementos finitos da Figura (4.2a)
com doz•~ nós, quatro elementos T3, quatro elementos Q4 e sem condições de contorno.
Inicialmente, os nós e elementos da malha da Figura (4.2a) são numerados arbi
trariamente. A conectividade dos nós pode ser representada topologicamente pelo grafo
nodal G da Figura ( 4.2b ). A matriz Laplaciana associada a este grafo L( G) é mostrada na
Figura ( 4.2g), para a qual À2 = 1.1071 e y 2 = [ -0.0608, -0.2023, 1.0000, -0.5303, 0.0658,
-0.4721, 0.3099, 0.3106, -0.2399, 0.5829, -0.3125, -0.4514 f. A conectividade dos ele
memos P'Jde ser representada topologicamente pelo grafo dual G* da Figura (4.2c). Nesta
figura, as linhas tracejadas representam a malha original (Figura 4.2a). A matriz Laplaciana
associada a este grafo L(G*) está mostrada na Figura (4.2h), para a qual Àl = 0.5509 e
y 2 =' [ -0.1806, 0.2805, -0.6151, 1.0000, -0.3423, 0.4491, -0.5491, -0.0426 f. Uma outra
mam·ira conveniente de se representar a conectividade dos elementos é através do grafo de
comunica.;ão e• mostrado na Figura ( 4.2d). Nesta figura, as linhas tracejadas representam
a malha original e as linhas mais grossas o grafo dual. Note-se que o grafo dual G* está
contido n" grafo de comunicação G•. A matriz Laplaciana associada a este grafo L(Gº)
33
3 7 2 6 I ,~. 1
1 4 ' CD 0) 10 k:. 5 9
12 l(i:
1 0 11 ~)
8~ 4
(a) Malha de Elementos Finitos (b) FEG Rotulado G
(e) FEG Rotulado G * • (d) FEG Rotulado G
12 9 6 2 12 9 6 2
8 © 5 0 3 8 © 5 CD 3 11 11
7 0 4 CD 1 0 7 0 4 0 1 10 10
(el Numeração de Nó e Elemento (f) Numeração de Nó e Elemento
(usando G e G~ respectivamente} (usando G e G~ respectivamente)
Figura 4,2: Exemplo para Ilustrar o Algoritmo SFR (Parte 1/2),
34
-' t o o o -1 o o -1 -1 o -1 o ) 5 o o -1 -1 -1 o i_l o o -1 ) o 2 o o o -1 o o -1 o o
(
(
( l o o 3 o o o o -1 o -J -1 -1
o o -
1 1 o 1
o
_ij ~~--1 -1
-1 -1 -1 o
-1 o o
-1
-1 5 o
··1 -
-1 -1 -1 -1
-
-1 o --·
o o 7 o -1 -1 o o o 3 o o
-1 o -1 o 5 o o o -1 o o 3 o 1-l -1 -1 -1 o -1 o -1 o -1 -1 o -1 -1 o o o o -1 o -1 o o
'
(g) L(G)
~
-1 -1 -1 -1 -1 -1 o -1 -1 -1 o -1
3 o -1 o t-1 o o 3 o -1 o o
-1 o 6 -1 -1 -1
o -1 -1 5 o -1 -1 o -1 o 3 o
-l 1 o o 1 -1 -1 -1 o 4 -• (i) L ( G )
-1 -1 -1 o -1 o o -1 -1 -1 o o o -1 o o 8 o -1 -1 o 4 o o
-1 o 5 -1 -1 o -1 ~
r-
X X X X
X X X X X X X X
X X
._
.... 3 o o o -1 -1
o 2 o o o -1 o o 2 o -1 o o o o 1 o -1
-1 o -1 o 3 o -1 -1 o -1 o 3 -1 o -1 o o o o -1
L... o o -1 o
(h) L( o*)
X X X X
X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X
X X X
(j) p TA p
Figura 4.2: Exemplo para Ilustrar o Algoritmo SFR (Parte 2/2).
35
--1 o o -1
-1 o o o o -1 o o 2 o o ~
~
X X X X X X X >s.
está m•>Strada na Figura ( 4.2i), para a qual .Ã2 = 1.8395 e y2 = [ 0.0000, 0.4807, -1.0000,
0.8284, -0.1605, 0.4807, -1.0000, 0.3707 JT. Neste caso, a segunda e a sexta componente
são igu.us, assim como a terceira e a sétima. Para ordenar as componentes do autovetor,
os emp;ites são resolvidos naturalmente, buscando-se o maior número de casas decimais na
representação computacional da solução numérica. A Figura ( 4.2e) mostra a numeração
de nós ~elementos utilizando-se G e G", respectivamente. A Figura (4.2j) mostra a es
trutura da matriz de rigidez, por exemplo, assumindo-se um grau de liberdade por nó,
obtida ;; partir da reordenação com o grafo G. Na Figura ( 4.2j), o símbolo "X" representa
um componente não nulo na matriz,, Comparando a estrutura das matrizes mostradas nas
Figuras (4.2g e 4.2j), pode-se verificar que as componentes não nulas da Figura (4.2j) estão
ma1s co11centradas em torno da diagonal (propriedade de banda da matriz de rigidez cor
respond,,rite a uma numeração apropriada dos nós da malha). Finalmente, a Figura ( 4.2f)
mo~tra Ls numerações de nós e elementos obtidas com os grafos G e G•, respectivamente.
Note-se que as numerações nodais das Figuras ( 4.2e e 4.2f) são idênticas, visto que ambas
utibzam G. Entretanto, a numeração dos elementos da Figura (4.2e) (utilizando G") é
diferente da numeração da Figura (4.2f) (utilizando Gº).
4.5 Implementação Computacional
O ohjetho desta seção é descrever os principais aspectos relativos à implementação com
putacional do procedimento descrito na Figura ( 4.1 ). O esquema numérico deve ser capaz
de tratar malhas genéricas e arbitrárias de elementos finitos. O principal interesse é a
dete1min1o..ção precisa do segundo aut.ovalor da matriz Laplaciana L e seu correspondente
auto1·etor
Duas versões do algoritmo SFR são propostas. Na primeira versão, a solução do
problema de autovalor (Passo 3 da Tabela 4.1) é obtida a partir do Método da Iteração de
Subebpaço (SIM) [18). Esta versão é denominada SFRsrM [123, 124). Na segunda versão,
utiliza-se<> Método da Seqüência de Sturm (Sturm) [18), sendo, portanto, denominada de
SFRs urm lll].
36
4.5.1 Versão SFRs1M
O algoritmo SFR (Figura 4.1eTabela4.1) necessita do segundo autopar da matriz Lapla
ciana L. Para este fim, uma versão especial do Método da Iteração de Subespaço foi
desenvolvida e seus principais aspectos são discutidos a seguir.
Considere-se a forma padrão do problema de autovalor
(L - >.I) z =O (4.14)
onde z ;ão vetores base. A solução numérica da Equação (4.14) é obtida utilizando-se o
Método da Iteração de Subespaço e iterações QR sobre o espaço reduzido [18). A partir da
experiência prática, recomenda-se [18] que a ordem do subespaço seja obtida utilizando-se
a seguin1,e expressão
q = min(2p, p+8, n), ( 4.15)
ond<' p é o número de autopares desejados e n é a ordem do espaço original. Neste trabalho,
n =0 IVI. que é, em geral, muito maior do que q. Para grafos conexos, o interesse está no
segundo autopar, logo, p = 2. Portanto, de acordo com a Equação (4.15), q = 4 é a
dimensãü que pode ser adotada para o espaço reduzido. O uso de q > 4 geralmente conduz
a rei;ultados ma.is precisos, porém mais caros computacionalmente.
P<.ra a solução do problema de autovalor no espaço reduzido, diversos métodos
podt'm ser utilizados. Neste trabalho. adota-se o método H-QR (Householder-QR) [18]. As
tramformações de Householder reduzem a matriz do problema para a forma de Hessenberg,
que llO caso de matrizes simétricas, corresponde a uma forma tri-diagonal. Para o método
QR, a ma~riz ortogonal Q é obtida através de sucessivos produtos entre matrizes de rotação
(matrizes de Jacobi), enquanto que a matriz R é uma matriz triangular superior. As
itera(:ões ~e processam até que a matriz do sistema seja diagonalizada (ver referência [18]).
Como a ordem do espaço reduzido é, em geral, pequena, (ver parágrafos anteriores), a etapa
correopondente às transformações de Householder é omitida para que se possa aumentar a
eficiêll eia computacional. Portanto, a solução do problema de autovalor no espaço reduzido
é obtida a'.ravés de iterações QR em matrizes de ordem q.
Ne~ta versão proposta para o Método da Iteração de Subespaço, a matriz Laplaciana
é transformada de acordo com
L <- L +a I, (4.16)
o nele o é uma constante ( shifting constant). Foi adotado o valor a = 1, de tal forma que
todos os autovalores da Equação (4.14) se tornem positivos (Àj 2'. 1.0; 1 $ j $ n).
37
Este procedimento não altera os autovetores da matriz Laplaciana e resolve o problema de
singularidade no cálculo dos autovetores correspondentes aos autovalores nulos.
Um passo crucial na solução iterativa do problema de autovalor é a estimativa da
precisâ.i dos resultados. A solução é obtida quando os valores convergem segundo uma dada
tolerân•:ia. O critério de convergência pode ser definido em termos de iterações consecutivas
[82j. B;;.the [18] mede a convergência através do erro relativo entre sucessivas aproximações
dos au 1, )Valores i>·~+l - >.}i
;.•.+i :::;: TO L, J
( 4.17)
onde o índice inferior indica o j-ésimo autovalor, o índice superior indica o número de
iteraçôe> e TOL é um valor de tolerância prescrito. A Equação (4.17) é denominada de
critério de convergência por autovalores. A convergência da solução pode também ser
medida .i partir da diferença absoluta entre valores sucessivos de autovetores normalizados
1::::: j::::: q ( 4.18)
onde e 0 = [l, ... , 1 V é um vetor unitário de dimensão n e os primeiros q autovetores são
consider<idos. A Equação (4.18) é denominada de critério de convergência por autovetores.
Para. ass·~gurar uma melhor precisão, cada autovetor é normalizado com relação ao valor
abs(lluto da maior componente. A verificação apresentada na Equação (4.18) é mais se
vera do que a da Equação (4.17). Além disso, em termos computacionais, o critério da
Equação (4.17) é mais eficiente (rápido) do que o da Equação (4.18).
Üi; sistemas de equações lineares que surgem no Método da Iteração de Subespaço
sií.o resohidos utilizando-se uma versão modificada do método de Crout [57]. A ordenação
das componentes do segundo autovetor (y2) é feita utilizando-se o algoritmo quicksort [139].
Una visão geral do programa SFRs1M está apresentada nas Tabelas (4.5) e (4.6). Uma descrição dos aspectos computacionais do algoritmo SFRs1M é dada na Tabela (4.5).
Deve··Se a;;sumir a existência prévia de um FEG (G, e• ou G*) juntamente com sua estru
r,ura de dtdos (Tabela 4.5).
A tela inicial do programa SFRs1M é apresentada na Tabela (4.6), mostrando as
op1;ôes disponíveis juntamente com os parâmetros default. O algoritmo de reordenação
apresentado nas Tabelas ( 4.5 e 4.6) pode ser facilmente implementado em um módulo
>epa.rndo de um pré-processador ou um gerador de malhas de elementos finitos [119, 120].
38
Tabela 4.5: Descrição Geral do Programa SFRsJM·
Equipamento Sun SparcStation 2
Linguagem C
Compilador gcc Version 2.4
Número de rotinas 33
Número de linhas ativas 974
Tamanho do código fonte 58923 Bytes
Tamanho do código objeto 77376 Bytes
Tamanho do código executável 90112 Bytes
Tabela 4.6: Parâmetros Default do Programa SFRsIM·
< 1 > Nome do arquivo de dados [.dat) ......................... : exemplo
< 2 > Formato do arquivo de dados .............................. : FEM
< 3 > Matriz do problema de autovalor ......................... : Laplaciana
<4> C • , • d A • nteno e convergenc1a ...................................... : Autovalor
< 5 > Ordem do subespaço ........................................... : 4
< 6 > Máximo # de iterações para o subespaço ............ : 125
< 7 > Máximo #de iterações para o QR ...................... : 125
< 8 > Tolerância para o subespaço ................................ : 10-6
< 9 > Tolerância para o QR .......................................... : 10-6
< 10 > Constante de Shifting ......................................... : 1.0
< 11 > Número de pontos extremos a serem exibidos ...... : 1
< 12 > Número de autopares a serem calculados ............. : 1
Autopar( es): 2
39
Alguns comentários sobre as opções mostradas na Tabela ( 4.6) são apresentados a
seguir. A opção < 2 > permite a escolha entre uma entrada de dados convencional de
elementos finitos (FEM) (ou seja, coordenadas e incidências), ou uma entrada de dados
p.articular usada por Everstine (48] em sua biblioteca de exemplos. A opção < 3 > assume
a matriz Laplaciana como default. No entanto, para solução do problema de autovalor,
o prog1 ama admite outras matrizes, como por exemplo, a matriz de adjacência. A opção
< ·1 > assume o critério de convergência por autovalores (ver Equação 4.17) como opção
difault. No entanto, o critério de convergência por autovetores também está disponível. A
opç.ão < 5 > assume q = 4, o que é uma estimativa razoável para a maioria dos grafos
co11exm. As opções < 6 > e< 7 > permitem especificar o número máximo de iterações
para. o método do subespaço e para o método QR (no espaço reduzido). Os valores default
para arrbos os casos é 125, baseado em experiência numérica. Para melhorar a precisão dos
resultados, estes valores podem ser substituídos por um número maior. As opções < 8 > e < 9 > permitem especificar a tolerância numérica para o método do subespaço e para o
método QR, respectivamente. O valor default escolhido (também baseado em experiência
numérica) foi de 10-6• A opção< 10 >foi discutida anteriormente na Equação (4.16). A
opção < 11 > permite escolher o número de pares de pontos extremos a serem exibidos, que
correspondem aos primeiros e últimos vértices reordenados. Finalmente, a opção < 12 >' permite ~acolher o número de autopares da matriz do sistema a serem calculados. No caso
da matriz Laplaciana, os autopares começam do segundo, uma vez que o primeiro autopar é
sempre conhecido (O, e). A menos que seja explicitado, os parâmetros default apresentados
na Tabela (4.6) serão utilizados em todos os exemplos deste trabalho.
4.5.2 Versão SFRsturm
Uma versão especial do Método da Seqüência de Sturm [18] foi desenvolvida para a solução
do problema de autovalor mostrado no Passo (3) da Tabela (4.1). Os principais passos
dessf método estão apresentados na Tabela ( 4. 7).
O intervalo inicial para o Método da Seqüência de Sturm pode ser obtido a partir
dos limitei superior e inferior de À2 , dados pelas Equações ( 4.9 e 4.10), ou seja
(4.19)
•)nde I';; siio os elementos da diagonal da matriz L. Para se obter uma maior eficiência
cornp11tacional, os sucessivos valores de À são calculados utilizando-se o Método da Seção
40
Tabela 4.7: Algoritmo da Seqüência de Sturm.
( 1) Escolher um intervalo [a, b] onde o segundo autovalor (.X2) deva se encontrar;
(2) Para um dado À E [a, b] decompor L - À] em C'DCT, onde C é uma matriz
triangular superior com todos os elementos da diagonal iguais a 1
e 'D é urna matriz diagonal.
(3) O número de elementos negativos em 'D é igual ao número de autovalores
menores do que >.. Então, se o número de elementos negativos em 'D
for menor do que 2, escolher um valor maior para .\; caso contrário,
escolher um valor menor para .\;
(4) Repetir os Passos (2 e 3) até que a diferença entre valores sucessivos de.\
seja menor do que certa tolerância (TOL);
(5) Calcular o autovetor correspondente (y2) usando Iterações Inversas com Shifting.
Áurea ( Golden Section Method) [159]. No Passo (5) da Tabela (4.7), o segundo autovetor
é computado através de iterações inversas [18]. Numericamente, o desempenho deste algo
ritmo é sensível à escolha do vetor inicial. Este vetor nã.o deve ser ortogonal ao que está
sendo ciJculado [18). Neste trabalho, metade das componentes do vetor inicial sã.o geradas
randomicamente e, em seguida, repetidas com sinal contrário para a outra metade do vetor.
Uma alternativa, porém nã.o adotada aqui, consiste em se utilizar componentes unitárias,
com simâs apropriados. Se este vetor possuir um número ímpar de componentes, a última
componente é tomada como zero. Note-se que este vetor inicial é ortogonal ao primeiro
autovetor da matriz Laplaciana.
O critério de convergência é definido em termos do erro absoluto entre sucessivas
a.proxim<cções dos autovalores
1 >.'+1 - >.' 1 ~ TOL, ( 4.20)
ond1· os mdices superiores denotam o número de iterações e TOL é uma tolerância pres
crita. O número de ciclos de iterações inversas para cálculo do segundo autovetor pode ser
especificado a priori. Uma implementação eficiente, robusta e extremamente simples do al
goritmo ~-FRsturm foi desenvolvida. Uma visã.o geral do programa SFRsturm é apresentada
nas Tabelas (4.8 e 4.9).
41
Tabela 4.8: Descrição Geral do Programa SFRsturm·
Equipamento
Linguagem
Compilador
Número de rotinas
Número de linhas ativas
Tamanho do código fonte
Tamanho do código objeto
Tamanho do código executável
Sun SparcStation 2
e gcc Version 2.4
20
645
42800 Bytes
54448 Bytes
73728 Bytes
Tabela 4.9: Parâmetros Defau/t do Programa SFRsturm·
< 1 > Nome do arquivo de dados (.dat] ......................... : exemplo
< 2 > Formato do arquivo de dados .............................. : FEM
< 3 > Matriz do problema de autovalor ......................... : Laplaciana
< 4 > Autopar a ser calculado ....................................... : 2
< 5 > Número de ciclos de iterações inversas ................. : 3
< 6 > Tolerância para a Seqüência de Sturm .................. : 10-s
< 7 > Constante de Shifting .......................................... : 1.0
< 8 > Número de pseudo-vértices a serem exibidos ........ : 1
42
4.6 Algoritmo SGPD
Nt>sta feção, um novo algoritmo para determinação de um vértice pseudo-periférico ou os
vértice; extremos de um pseudo-diâmetro de um grafo é proposto. O algoritmo é denomi
nado SiJPD - Spectral Graph pseudoPeripheral and pseudoDiameter (125].
Jm vértice pseudo-periférico é um vértice aproximadamente periférico, isto é, uma
aproximação heurística de um vértice periférico. De maneira similar, um pseudo-diâmetro
é uma aproximação heurística de um diâmetro de um grafo. Observe que os vértices
de um ,JSeudo-diâmetro são necessariamente pseudo-periféricos, porém a recíproca não é
verdadeira.
Como mencionado anteriormente, a maioria dos algoritmos de reordenação, que se
baseiam na teoria de grafos, utiliza vértices pseudo-periféficos como vértices iniciais para
o proce~so de numeração (por exemplo, RCM (36, 62], GPS (66], GK (67, 93], Snay (151]
e Sloan [145, 146]). Como a localização de vértices periféricos é relativamente cara com
putacioralmente [148, 23], diversos artigos foram escritos especificamente sobre algoritmos
eficiente; para determinação de tais vértices, por exemplo, George e Liu (61], Pachl [118]
e Grimei, Pierce e Simon [69]. Outros algoritmos de reordenação que utilizam o conceito
de vértices pseudo-periféricos sã.o o refined quotient tree, o one-way dissection e o nested
dis.1ection no pacote computacional de matrizes esparsas SPARSPAK [62].
Os principais passos do algoritmo SGPD estão apresentados na Tabela (4.10).
Taoela 4.10: Algoritmo Spectral Graph Pseudoperipheral and Pseudodiameter.
(1) Calcular o segundo autovetor (y2) da matriz laplaciana L;
(2) O vértice correspondente à maior (ou menor) componente de y 2
é um vértice pseudo-periférico. Os vértices correspondentes à menor e à maior
componentes de y2 são os extremos de um pseudo-diâmetro.
Un algoritmo similar para determinação de vértices pseudo-periféricos em grafos foi
proposto oor Grimes et ai. [69] e Kaveh (90]. No entanto, eles utilizaram uma variação da
matriz de adjacência (B) ao invés da matriz Laplaciana (L). A matriz B é definida como
B(G) = I(G) + A(G), ( 4.21)
43
011de I é a matriz identidade3• Observe-se que os autovalores da matriz B são os mesmos
da ma1 riz A acrescidos da unidade, enquanto que os autovetores das matrizes A e B são
os mes nos. Grimes et ai. [69] e Kaveh [90] utilizaram o vértice correspondente à menor
cornpouente do autovetor dominante de B( G) como um vértice pseudo-periférico. Straf
fin [15ti] utilizou o vértice correspondente à maior componente do autovetor dominante
de B( C:) para determinação do vértice mais acessível de uma rede de grafos, em uma in
teressante aplicação da geografia. Observe-se que o conceito de vértice mais acessível é
op"sto a.o conceito de vértice pseudo-periférico. A Figura ( 4.3) mostra um contra-exemplo
apresentado por Grimes et ai. [69]. O algoritmo de Grimes et ai. [69] falha para este
4
3
Figura 4.3: Contra-exemplo proposto por Grimes et ai. (69].
exemplo, enquanto que o algoritmo SGPD fornece a solução ótima. Os vértices nos dois
cliques no lado esquerdo (v1 , v2, v3 ) e direito ( v8 , v9 , v10 ) da Figura ( 4.3) são periféricos.
O autovetor dominante Yn (n == 10) de B correspondente ao maior autovalor (>.n == 4.1 ~84) f' Yn( B) = ( 0.1073, 0.1073, 0.1073, 0.1211, 0.0569, 0.0569, 0.1211, 0.1073, 0.1073, 0.1073 jT. As menores componentes de Yn(B) correspondem aos vértices interiores v5 e v6 , que
são inconsistentes com o objetivo do algoritmo de determinação de vértices aproximada
mente p·~riféricos. Com relação à Figura ( 4.3) e ao algoritmo SGPD da Tabela ( 4.10),
o autovetor y 2 de L correspondente à conectividade algébrica do grafo (>.2 == 0.1442) é
112( L l = [ 1.0000, 1.0000, 1.0000, 0.8558, 0.2997, -0.2997' -0.8558, -1.0000, -1.0000, -1.0000 V. As menores componentes de y 2(L) correspondem ao clique (v8 , v9, v10) no lado direito da
Figt1 ra ( 4 .3) e as maiores componentes de y2( L) correspondem ao clique (vi, v2 , v3 ) no lado
esquerdo da Figura ( 4.3). Neste caso, o algoritmo SGPD captura a essência da estrutura
do grafo·~ determina um vértice realmente periférico (por exemplo, v8 ), ou os extremos de
um diâmetro (por exemplo, v8 e vi).
3 Booth e Lipton [23] denominam eBta matriz (B) de matriz de adjacência aumentada. Ele6 também
justificam " uso desta matriz (B) ao invés da matriz de adjacência padrão (A).
44
Capítulo 5
Reordenação usando Simulated Annealing
Neste ,;apítulo, uma técnica de otimização para determinação do mínimo global de pro
blt>mas do tipo NP-completo é apresentada. Introduzida por Kirkpatrick et ai. [94], esta
técnica é motivada pela analogia existente com o comportamento estatístico dos materiais
duraut•~ o processo de resfriamento (annealing) [137, 103].
O termo annealing é empregado no processo de fabricação de objetos constituídos,
em geul, de vidro ou metal. Este processo consiste em se aquecer um objeto a altas
temperaturas de maneira a relaxar as tensões, sem que haja mudança de estado físico, e
em seguida, resfriar o objeto lentamente, permitindo assim a formação de uma estrutura
cristalitia. Geralmente, um baixo nível de energia corresponde a um alto grau de ordenação
molecular. Temperaturas elevadas permitem diversos rearranjos moleculares. Para cada
temperntura, o sistema busca um equilíbrio termodinâmico. Dependendo da maneira como
estes objetos sã.o moldados, regiões de concentração de tensão sã.o formadas em resposta às
deforma.ções nos níveis atômicos. Estas regiões possuem níveis elevados de energia (regiões
ins'.áveis) e, portanto, podem facilitar a formação de fissuras [41]. Se a fase de resfriamento
for muito rápida, não haverá tempo suficiente para que o sistema busque um estado de
bai Ka ellergia.
A simulação computacional deste processo físico é denominada simulated annealing
(SA ). Suas principais etapas sã.o: < i > para uma dada temperatura (T), aplicar um
conjunto de trocas locais na configuração corrente da estrutura; < 2 > para cada troca,
verificar a variação de energia (dE) do sistema; < 3 > se a energia diminuir (dE < O), entào a troca é aceita; < 4 > caso contrário, (dE > O), a troca ainda poderá ser aceita
de acordo com o critério de Metropolis [114], isto é, a nova configuração será aceita com -dE
uma probabilidade e 11'1i", onde KB é a constante de Boltzmann. Para altas temperaturas,
esta prohabilidade é muito grande e, portanto, quase todas as trocas sã.o aceitas (mesmo
as q11e aumentam a energia do sistema). A medida em que a temperatura diminui, o valor -•E
de e KBT também diminui e apenas as trocas que reduzem a energia do sistema passam a
S•~r aceité,s.
45
A idéia de se usar probabilidades para direcionar estas buscas estocásticas, tornam
o prowsso de SA uma técnica bastante poderosa na determinação do estado de energia
minima (ou quase-mínima) de um sistema, pois, diferentemente das técnicas de otimização
base.ad;tS em direções de máxima descida, a técnica de SA sempre permite que o sistema
adquin. energia suficiente para sair de prováveis mínimos locais. A Figura (5.1) ilustra a
i d,;ia d., se fugir de mínimos locais, conhecidas como métodos de uphil/ climbing.
<\ distribuição de Boltzmann, que se constitui em uma das leis básicas da mecânica
estatística, é a ligação lógica entre o processo físico de annealing e a teoria de otimização
[41 ]. Ela permite que um dado sistema exista com um nível de energia acima do seu mínimo,
de acordo com um certo critério de probabilidade [114, 103].
Função Objetivo (Energia)
/ Uphil/Move
Configurações
Figura 5.1: Mínimos Locais em uma Curva Típica de Energia.
ll ma vez obtida uma analogia com o processo de annealing, a técnica de SA pode ser
apfüada na minimização de qualquer grandeza. Esta é a idéia chave que permite utilizar
a técnica de SA como uma ferramenta geral no contexto de problemas de otimização. A
Tabela ( í.1) mostra os requisitos básicos para que um problema genérico de otimização
possa ser resolvido através da técnica de SA. Ainda nesta tabela é feita uma analogia com
o processo físico de annealing.
46
Tabela 5.1: Requisitos Básicos para Utilização da Técnica de SA.
REQUISITOS BÁSICOS ANALOGIA COM ANNEALING
Uma função para minimizar Energia (E)
Um parâmetro de controle Temperatura (T)
Uma maneira eficiente de
Uma técnica de perturbação trocar as posições dos átomos
e moléculas do material
Uma função para descrever
Uma estratégia de resfriamento como a temperatura diminue
ao longo da simulação
5.1 Algoritmo SA
A t.écnica de SA pertence a uma área de otimização conhecida como otimização combi
natoória, que consiste em se arranjar um conjunto finito de objetos (domínio discreto) em
uma dada configuração considerada a melhor, segundo um critério pré-estabelecido. O
critério de Metropolis [114] é fundamental na técnica de SA pois define como um dado
sistema atinge o equilíbrio termodinâmico, para cada temperatura, durante a estratégia de
resfriamento [137].
Em função dos problemas de otimização combinatória serem do tipo NP-completo,
isto é, requerem um tempo exponencial para serem resolvidos a medida que o tamanho
destes p:oblemas aumenta, então, as técnicas heurísticas têm sido largamente empregadas.
No entanto, tais técnicas foram desenvolvidas para fornecerem uma solução aceitável, num
tempo ra.zoável. embora não haja qualquer garantia de que a solução obtida seja sequer
próxima do mínimo global do problema. Por esta razão, cresceu bastante o interesse pela
técnica de SA (137]. Os resultados obtidos por esta técnica são considerados suficientemente
próximos da solução ótima do problema. Eles também são utilizados como parâmetros de
a.valiaçâ<.• de novos algoritmos heurfrticos.
A técnica de SA tem sido estudada por diversos pesquisadores em diferentes áreas
de aplicação. Armstrong a utilizou para minimização de banda [10] e perfil [11] de matrizes
simétricas e esparsas. Singh e Deshpa.rd [143} utilizaram SA para partição de cargas no con
texto de computação paralela. Lewis [103] desenvolveu uma nova estratégia utilizando SA
47
para n·dução de perfil de matrizes esparsas. Ele comparou os seus resultados com diversas
técnicas de reordenação conhecidas na literatura, utilizando a biblioteca de exemplos da
Harwell-Boeing [45). Dubuc [42) apresentou uma implementação bastante eficiente desta
térn.ica para redução de banda de matrizes esparsas. Corana et ai. [34] generalizaram
as téCJJicas de SA para funções contínuas, testando seu algoritmo através das conhecidas
funçõef de Rosenbrock em 2, 4 e 10 dimensões.
~ Tabela (5.2) apresenta os principais passos do algoritmo de SA implementado
neste tJ"abalho. Os parâmetros iniciais do algoritmo (Passo 1 da Tabela 5.2) são: tempe
ratura inicial (To); temperatura minima (Tm;n); número de ciclos necessários para que o
sistema atinja o equilfbrio termodinâmico (NumCycles); e o fator de redução de tempera
tma (o , onde O S a S 1.
Tabela 5.2: Algoritmo Simulated Annealing.
(1) Inicializar parâmetros (T0 , Tmin· NumCycles e a);
{2) Fazer T =To;
(3) Para i = 1, 2, ... , NumCycles:
(4) Paraj=l,2,. . .,n:
(5) Gerar dois números inteiros randômicos (r and s)
tal que 1 S r, s ~ n;
(6) Trocar linhas e colunas r e s da matriz correspondente;
(7) Calcular a variação de energia* do sistema ( dE)
(8) Se dE < O, então aceitar a troca;
Caso contrário (dE >O):
Gerar um número randômico q (q E [O, l]};
Se q < e~, então aceitar a troca;
(9) Fim j (Passo 4);
(10) Fim i (Passo 3);
(11) Reduzir Temperatura, ou seja, T = a T;
(12) Se T > Tmin• então voltar para o Passo (3); caso contrário, Parar.
* Neste trabalho, a Energia é igual ao perfil (ou banda) das matrizes.
48
Capítulo 6
Exemplos Numéricos
Pa.ra verificação da eficiência dos algoritmos implementados neste trabalho, diversos exem
plos são apresentados e seus resultados são discutidos. Este exemplos incluem: (1) avaliação
do desempenho dos algoritmos utilizando-se uma biblioteca padrão de exemplos;
(2) avaliação do desempenho dos algoritmos utilizando-se exemplos práticos de elementos
finitos; (3) comparação entre as versões SFRs1M e SFRsiurm; (4) estudo da eficiência com
putacic·nal dos algoritmos, com relação ao tempo de CPU; (5) estratégia de pré-ordenação
para aumentar a eficiência do algoritmo SFRsturmi (6) exemplo de aplicação do algoritmo
SGPD; e (7) resultados preliminares com os algoritmos FWR e SA.
6.1 Biblioteca Padrão de Exemplos
Everstiue [48] apresentou uma coleção de 30 malhas de elementos finitos para testar algorit
mos de reordenação nodal. As malhas variam em tamanho de 59 a 2680 nós. Uma descrição
completa destes exemplos, juntamente com os desenhos das malhas, podem ser encontradas
no artigo de Everstine [48]. Os exemplos utilizam uma estrutura de dados baseada em in
formaçúes de adjacência nodal (grafo noda0. Como as informações geométricas destas
malhas não estão disponíveis, apenas os algoritmos topológicos e espectrais podem ser
avaliados nesta seção.
Os exemplos da biblioteca de Everstine [48] são separados em dois grupos. Primeiro,
os algoritmos são testados utilizando-se as malhas para as quais os grafos nodais G asso
ciados siío conexos (.À2 =1- O.O), isto é, 24 exemplos. Em seguida, os outros 6 exemplos,
associados a grafos não conexos (.À2 = O.O), são considerados.
49
6.1.1 Grafos Conexos
Grafos conexos representam uma importante classe de grafos, pois, para muitos casos
prátic(•S da análise por elementos finitos, a matriz de rigidez está associada a malhas
conexas.
A Tabela (6.1) mostra alguns dados iniciais e os resultados obtidos com os algoritmos
RCM, GPS, GK, MRCollins, Snay, Sloan, SFRs1M e SA utilizando-se os grafos conexos da
bibliott·ca de Everstine [48]. Os dados iniciais sã.o: o número de vértices do grafo (!V\),
o :1úm1ro de arestas do grafo (IE!), as densidades das matrizes (f) e as conectividades
algébricas (.\2 ). Os resultados apresentados na Tabela (6.1) sã.o as larguras de banda (B), os perfi,; (P), as máximas frentes ('W) e as r.m.s. frentes (W), respectivamente1. O critério
de com ergência por autovalores (gquaçã.o 4.17) foi adotado para o algoritmo espectral
(SFRs1M)·
Os resultados do algoritmo SA (Símulated Annealíng) apresentados na Tabela (6.1) foram obtidos por Armstrong [10, 11]. Para as larguras de banda (B), foi utilizado o
algoritmo SAb [10], o qual adota a estratégia NSAL (Node-Shuffiíng Algorithm Long) [10].
Parn os perfis (P), máximas frentes (W), e r.m.s. frentes (W) foi utilizado o algoritmo
SApw [11). De acordo com Arrnstrong, este algoritmo produz perfis e frentes mínimas ou
quase-m/nimas, porém é bastante lento para uso geral. Existem evidências empíricas de
que o alf:oritmo SApw sempre produz perfis que sã.o menores ou iguais aos obtidos com os
algoritmos heurísticos, tais como, RCM, GPS, GK, Snay e Sloan. Portanto, o algoritmo
SApw é bastante útil para comparação e avaliação do desempenho de novos algoritmos.
De acordo com a Tabela (6.1) fica evidente que os algoritmos GPS e MRCollins
produzem os melhores resultados para redução de largura de banda, enquanto os algoritmos
Sna). Sloan e SFRsrM produzem os melhores resultados de redução de perfil e frente. Em
geral. um esquema de numeração que é eficiente para redução de perfil não é eficiente para
redu•;ão de banda (e vice-versa) [119, 151).
1 As definições de f, B, P, W e W são dadas no apêndice B deste trabalho.
50
Tabela 6.1: Grafos Conmco~ da Bibliot.rca de Exemplos de Everntíne (Parte 1/5).
r J Par,;m,.trr. J fnicial li RCM j 1 1 1 j ···- ···-1
Exemplo GPSj GK J MRCollins J Snay j Sloan SFRs1M SAb & SApw l
1 1 1 '.?€ li " 1 ~ 1 1 1 ' ..
)V)= 59 R " :! u 9 30 19 11 7
IEI = 104 p 464 328 340 314 319 302 289 290 273
!(%) = 7.67 w 11 8 8 8 7 7 7 7 6
À2 = 0.0666 w 8.22 5.76 5.99 5.53 5.54 5.24 5.05 5.06 4.74
IVI = 66 B 45 4 4 4 5 4 5 4 4
IEI = 127 p 640 193 193 193 226 193 193 194 193
!(%) = 7.35 w 21 3 3 3 5 3 3 3 3
,\z = 0.0115 w 11.01 2.94 2.94 2.94 3.49 2.94 2.94 2.95 2.94
IV!= 72 B 13 8 7 11 8 18 14 13 7
IEI = 75 p 244 368 356 336 362 228 306 255 219
[(%) = 4.28 w 4 8 7 7 8 4 7 6 4
À2 = 0.0215 w 3.46 5.39 5.18 4.89 5.28 3.25 4.46 3.68 3.12
)VI= 87 B 64 21 18 21 17 26 22 20 12
IEI = 227 p 2336 699 713 680 773 534 578 604 515
!(%) = 7.15 w 43 13 13 12 13 10 11 11 9
À2 = 0.0969 w 29.38 8.57 8.74 8.23 9.22 6.45 7.05 7.31 6.16
!VI= 162 B 157 17 16 19 16 151 22 30 14
IEI = 510 p 2806 1641 1643 1566 1597 1413 1544 1564 1272
!(%) = 4.50 w 33 15 15 14 14 12 14 16 11
À2 = 0.0577 w 18.96 10.53 10.50 10.00 10.22 8.88 9.87 10.07 7.97
Tabela 6.1: Grafo~ Conexos da Biblioteca de Exemplos de Everstinc (Parte 2/5).
~ 1 1 P , 1 T .. , li R~'f ! -·ps· i [ Exemp o J aramctro j uuuaij t.,,. j b J GK j MRCollins J Snay , Sloa.n , SFRs1M ,_SAb& SApw 1
1 ' ' 1 !V! = 1Q3 J B l G3 li 55
1 4'(
1 rn 43 M rn ~ ~
IEI = 1650
/(%) = 9.38
À2 = 0.8147
IVI = 209
IEI = 767
/(%) = 3.99
À2 = 0.1211
!VI= 221
IEI = 704
/(%) = 3.34
À2 = 0.0256
IVI = 245
IEI = 608
!(%) = 2.43
À2 = 0.0354
!VI= 307
IEI = 1108
!(%) = 2.68
À2 = 0.1605
p
w w B
p
w w B
p
w w B
p
w w B
p
w w
7953 4997 5196 4928
62 40 44 41
43.84 27.18 28.30 26.99
185 37 38 51
9712 3978 4183 3625
71 31 33 28
50.32 19.99 21.19 18.20
188 17 19 21
10131 2225 2241 2101
77 16 17 15
50.39 10.57 10.65 9.96
116
4179
30
46 40
4417 4850
35 39
50
3803
27
18.48 19.59 21.49 16.61
64 43 42 51
8132 8650 8690 8166
35 39 42 40
27.36 29.51 29.66 27.91
4894 4850 4726
34 34 34
26.24 26.08 25.39
34 101 65
3923 3261 3181
31 27 28
19.80 16.44 16.02
17 31 34
2204 1977 2030
16 13 14
10.41 9.30 9.60
33
4075
26
89
2713
18
100
2885
20
17.74 11.77 12.70
35 191 81
8244 7330 7543
34 32 35
27.58 24.85 25.65
5149
39
27.62
53
3320
27
16.59
24
2028
14
9.53
94
2957
23
13.10
65
7742
32
25.91
4409
31
23.70
24
2693
20
13.33
14
1848
12
8.64
23
2161
13
9.23
37
6535
33
22.33
Tabela ô. l: Grafos ron.-xos da Bib!iot.::-i::a de Exeinplos de Everstine (Parte 3i5).
! . -
1 P • ! I-' ' 1 ~ RCM I GPsj ! ! 1 '
SÁb& SAp~] Ex,.mplo -~ . ara.metro L mua1 • I l • Í GK L MRCollins l Snay j Sloan SFRsrM
1 1 1 '"' li • " 1 - 1 1 1 1 - --·- -- ---~
IV!= :!10 B """ 10 I:J HI 15 27 22 19 13
IEI = 1069 p 3006 3104 3035 2992 3035 2955 2975 3100 2940
!(%) = 2.55 w 16 14 14 13 14 12 13 13 12
À2 = 0.0164 w 9.85 10.23 9.96 9.80 9.96 9.67 9.74 10.14 9.62
!VI= 361 B 51 16 15 15 16 35 18 25 15
IEI = 1296 p 5445 5075 5060 5060 5060 5046 5066 5339 4992
!(%) = 2.27 w 25 16 15 15 ] .~ 16 15 17 18
À2 = 0.0358 w 15.38 14.28 14.23 14.23 14.23 14.20 14.25 15.02 14.08
IVI = 419 B 357 35 34 48 34 166 120 66 28
IEI = 1572 p 40145 8643 8686 8544 9300 7530 7164 8908 6512
!(%) = 2.03 w 172 33 33 32 32 28 25 40 21
À2 = 0.0362 w 107.07 21.36 21.54 21.18 23.07 18.60 17.58 22.83 15.96
IVI = 503 B 453 59 57 70 52 338 187 92 49
IEI = 2762 p 36417 16031 15024 15042 15550 20850 14434 14672 11958
!(%) = 2.38 w 126 53 50 50 45 87 45 46 31
À2 = 0.1001 w 78.60 34.37 32.09 32.22 32.23 46.96 30.69 30.98 24.93
IVI = 592 B 260 43 37 38 41 279 147 131 33
IEI = 2256 p 29397 11509 11262 11111 16267 13357 10279 10379 9417
!(%) = 1.46 w 88 38 34 36 37 40 40 36 28
À2 = 0.0201 w 55.18 20.82 20.33 20.05 28.10 24.51 18.97 18.69 16.65
Tabeb ti. 1 · Grafoo Cunexos da Bibiioteca. de Exemplos de Everstine (PartP 4/-5).
! 1 1 li 1 GPSj MRCollins ' S~a;T Sl~~n SFRs1M 1 SAb & SApw 1 L Exemplo j Parâmetro j Inicial ' RCM _j GK
1 1 1 li ' ' ' -·-- - - . -·-
t ir1 ""'.)8 B 201 30 26 26 26 182 -50 41 21 1 1-'
IEI = 2618 p 23871 8645 8223 8175 8302 12515 7604 7573 7123
!(%) = 1.04 w 61 28 25 25 26 47 24 22 21
À2 = 0.0025 w 37.95 12.92 12.07 12.01 12.26 20.19 10.95 10.77 10.05
IVI = 869 B 587 39 42 66 41 229 77 135 38
IEI = 3208 p 20397 16496 17314 16074 18734 14272 15238 15750 13207
!(%) = 0.96 w 41 ;:ig 42 40 38 25 38 ;39 27
À2 = 0.0078 w 25.02 20.91 22.11 20.35 23.05 17.14 19.47 20.03 15.63
IVI = 878 B 520 44 28 41 35 326 179 95 26
IEI = 3285 p 26933 21641 19955 19696 20943 19560 20707 20529 17835
/(%) = 0.97 w 40 38 26 25 35 36 40 32 30
À2 = 0.0147 w 31.92 25.42 22.90 22.60 24.29 23.17 24.43 23.87 20.98
IVI = 918 B 840 49 50 65 48 451 150 81 36
IEI = 3233 p 109273 21729 21296 20497 24209 40142 16741 18246 15949
/(%) = 0.88 w 194 42 40 39 42 84 30 33 29
À2 = 0.0085 w 131.14 24.92 24.32 23.39 27.88 48.64 18.93 20.53 18.02
IVI = 992 B 514 62 36 36 55 67 124 62 36
IEI = 7876 p 263298 36566 34068 34068 35368 33344 34292 35716 32528
/(%) = 1.70 w 514 60 36 36 52 38 54 42 46
À2 = 0.0590 w 302.00 38.17 34.66 34.66 36.31 34.10 35.34 36.33 33.51
Tabela 6.1: Grafos Conexos da Bíblioteca de Exemplos de F.ver~t.in<> (P~~t,. '5/S).
Exemplo Parâmetro Inicial RCM GPS GK MRCollins Snay Sloan SFRs1M SAb & SApw
!Vi= 1005 B 852 102 107 136 71 890 275 152 72
IEI = 3808 p 122075 41900 43105 40141 41980 78721 35200 34784 32513
/(%) = 0.85 w 228 91 97 89 67 128 65 54 46 ,
À2 = 0.0304 w 137.66 46.69 49.27 44.80 44.38 86.28 38.67 35.93 33.79
IVI = 1007 B 987 39 35 .').') 33 111 61 í3 30
21977 1 22794 IEI = 3784 p 26793 23606 22681 22465 24252 21450 19913
/(%) = 0.85 w 32 36 33 33 31 33 34 29 28
À2 = 0.0104 w 26.93 24.11 22.87 22.63 24.55 22.13 23.14 21.67 20.26
IVI = 1242 B 937 96 101 130 84 446 280 139 61
IEI = 4592 p 111430 50463 54651 52949 55122 42396 37145 43025 33098
/(%) =0.68 w 193 68 84 84 67 55 52 59 43
À2 = 0.0159 w 105.20 42.66 47.43 46.26 46.08 35.68 30.79 35.94 27.30
IVI = 2680 B 2500 71 70 87 68 1477 164 161 58
IEI = 11173 p 590543 105879 110685 100748 108405 120279 90492 92498 84900
/(%) = 0.35 w 362 61 70 59 61 70 56 51 44
À2 = 0.0046 w 234.42 40.61 42.83 38.56 41.44 46.48 34.47 35.20 32.27
6.1.2 Grafos Não Conexos
l\esta seção, os exemplos da biblioteca de Everstine [48] associados a grafos não conexos
(,1 2 •• O.O), são considerados. Esta classe de grafos é importante, por exemplo, em
aplicaliies do tipo subestruturação no método dos elementos finitos [119] ou partição de
domín o para computação paralela [74, 128, 142]. O objetivo é avaliar o desempenho
do algnritmo SFRsJM utiliza.ndo-se grafos não conexos. Duas das três alterna.tivas pa.ra
tratamento de grafos não conexos, propostas neste trabalho, são investigadas. Elas são
denom nadas SFR(l) e SFR(2) e se referem às Tabelas (4.2 e 4.3), respectivamente.
A Tabela (6.2) mostra alguns dados iniciais e os resultados obtidos com os algoritmos
RCM, GPS, GK, MRCollins, Snay, Sloan, SFRsJM e SApw [11] sobre os exemplos da
bibliot€ca de Everstine [48], correspondentes a grafos não conexos. Os dados iniciais são:
o númuo de vértices do grafo (l\'I), o número de arestas do grafo (IEI), a densidade
da maViz (f) e o número de componentes conexos do grafo (#C.C.). Para simplificar
a apresentação dos resultados, apenas os perfis (P) são mostrados na Tabela (6.2). Com
relação ,J.O algoritmo SFRs1M e à segunda estratégia para tratamento de grafos não conexos
- SFR!2), as ordens adotadas para os espaços reduzidos (q), foram 15, 17, 11, 7, 42 e 11,
res1Jecti·1amente.
A seguir, são apresentados alguns comentá.rios com relação ao algoritmo SFR(2).
Parn o (aso onde IVI == 492, existem dois componentes conexos. Todas as componentes
negativas de y2 estão associadas ao primeiro componente conexo (249 vértices) e todas as
cornponfntes positivas estão associadas ao segundo componente conexo (243 vértices). Para
todos os exemplos na Tabela (6.2), exceto para o caso em que IVI = 198, os componentes
do grafo foram numerados sequencialmente. Para o exemplo em que IVI = 198, houve uma
pequena nistura de componentes ( 6 Yértices apenas). Todavia, se o critério de convergência
adota.do for o de autovetor, então os componentes são completamente separados. Além
disso, paia resolver este tipo de problema, as duas alternativas - SFR(l) e SFR(2) - podem
sE"r comb nadas de forma eficiente. Vale ressaltar que estas observações estão baseadas
esser:cialnente em resultados numéricos.
Embora a Tabela (6.2) represente um conjunto muito limitado de exemplos, o al
goritmo SFRsrM mostrou que se comporta muito bem em rela.ção a grafos não conexos.
Entretant•>, maiores investigações numéricas precisam ser conduzidas.
56
Tabela 6.2: Perfis obtidos com os Exemplos Não Conexos da Biblioteca de Everstine.
Exemplo [(%) #C.C. Inicial RCM GPS GK MRCollins Snay i_ S!oan SFR(i)* SApw
IVI = 198 3.55 6 5817 1331 1346 1323 1363 1566 1299 1438 1287
IEI = 597 1454
IVI = 234 1.52 7 1999 1542 1500 1356 1480 1046 1262 1462 1016
IFI = 300 • • 1487
IVI = 346 2.69 4 9054 8733 10230 7989 8099 6756 7177 7722 6136
IEI = 1440 10873
IVI = 492 1.30 2 34282 6696 5807 5513 7021 3600 3447 3973 3304
IEI = 1332 3984
IVI = 512 1.34 32 6530 5145 5212 4982 5218 4859 4613 4936 4384
IEI = 1495 5139
IVI = 607 1.39 4 30615 15926 15749 14887 15938 21790 14639 15088 13065
IEI = 2262 15600
* i=l,2 - O primeiro resultado (i=l) se refere à Tabela (4.2). O segundo resultado (i=2) se refere à Tabela (4.3).
6.2 Exemplos Práticos de Elementos Finitos
Nesta Heção, o desempenho dos algoritmos de reordenação apresentados no presente tra
balho ~ão avaliados através de exemplos práticos de elementos finitos. Quatro exemplos
foram selecionados. As malhas de elementos finitos estão mostradas nas Figuras (6.1a6.4).
Est,es e.<emplos utilizam diversos tipos de elementos finitos, tais como, elementos de treliça
espacia de 2-nós (Domo Lattice e a Estação Espacial), elementos planos triangulares de
3-nós (T3) e quadrilaterais de 4-nós (Q4) (Painel de Fuselagem com Fratura) e elementos
sólidos de 8-nós (B8) (Lâmina de Turbina de Gás). A numeração inicial é totalmente ar
bitrária A estrutura da Figura (6.1) foi estudada por Paulino [119] e Haber et ai. [71]. A
estrutura da Figura (6.2) foi estudada por Aubert [13]. A Figura (6.3) mostra a fuselagem
de um avião com uma fratura na parte central. Esta estrutura foi estudada por Potyondy
)29]. A estrutura da Figura (6.4) foi estudada por Wawrzynek [162] para simulação do
creocimt'nto de fissura devido à fadiga.
A Tabela (6.3) mostra alguns dados iniciais e os resultados obtidos com os algo
ritmos RCM, GPS, GK, MRCollins, Snay, Sloau, CBBPR, HybWP e SFRsIM· Os dados
iniciais são: o número de vértices do grafo (!VI), o número de arestas do grafo (jEI) e a
cont>ctividade algébríca (A2). Os resultados apresentados na Tabela (6.3) são as larguras de
banda (B), os perfis (P), as máximas frentes (W) e as r.m.s. frentes (W), respectivamente.
A mesma tendência reportada na seção anterior foi obtida aqui. A Tabela (6.3)
moslra que os algoritmos GPS e MRCollins são os mais eficientes para a redução de banda,
enquanto que os algoritmos Snay, Sloan e SFRs1M são os mais eficientes para redução de
perfil e fr.~nte.
58
Figura 6.1: Domo Lattice (101 Nós e 280 Elementos).
Figura 6.2: Estação Espacial (304 Nós e 1428 Elementos).
59
~: Lâmina de Turbina de Ü;í;; (1820 Nós e 944 Elementos).
Tabela 6.3: Exemplos Práticos de Elementos Finito•
Exemplo Parâmetro Inicial RCM GPS GK MRCollins Snay Sloan SFRs1M CBBPR HybWP
Figura. ( 6.1) B 100 23 19 25 22 55 33 24 36 26
IVI = 101 p 3539 1302 1296 1233 1834 1086 1214 1241 1210 1207
IEI = 280 w 63 21 19 18 22 14 20 19 18 19
À2 = 0.2554 w 38.84 13.58 13.48 12.77 19.12 11.07 12.63 12.86 12.52 12.49
Figura (6.2) B 303 49 37 48 31 166 151 53 131 95
48081 IVI = 304 p 28816 6696 5623 5503 5530 5041 7611 5401 5405
IEI = 1248 w 184 39 31 33 29 29 33 49 38 34
À2 = 0.0546 w 108.97 24.97 20.08 19.81 18.92 17.60 18.55 29.02 19.81 19.73
Figura ( 6.3) B 1259 103 99 132 82 980 192 183 382 168
IVI = 1262 p 504649 73633 71922 69324 68401 59888 61103 48512 51092 47321
IEI = 4264 w 682 88 84 89 79 74 78 54 75 65
À2 = 0.0175 w 447.61 61.02 58.87 57.02 55.43 50.65 50.82 39.46 42.00 38.87
Figura (6.4) B 1819 133 127 178 122 749 236 550 1782 145
IVI = 1820 p 1313225 134375 136906 130175 140729 190024 122697 250857 340300 127133
IEI = 15833 w 1305 122 122 118 120 181 94 265 267 103
À2 = 0.0843 w 817.29 77.10 78.75 74.79 80.29 113.01 70.25 147.72 202.61 72.36
6.3 Comparação entre SFRsturm e SFRs1M
Nesta ~eçã.o, o desempenho do algoritmo SFRsturm é avaliado e comparado com o algo
ritmo SFRsIM· Para este estudo, três exemplos representativos de elementos finitos sã.o
considerados. As malhas de elementos finitos estão mostradas nas Figuras (6.5, 6.6 e
6. 7 ). E;tes exemplos utilizam diferentes tipos de elementos finitos, tais como, elementos
de treli1;a espacial de 2-nós (Estrutura Offshore), elementos planos triangulares de 3-nós
(T:!) e quadrilaterais de 4-nós (Q4) (Ferramenta Mecânica) e elementos sólidos de 8-nós
(B8) (Disco de Turbina com Jfl Lâminas [79]). Para a solução do problema de autovalor,
foi adoLtda a tolerância TOL =:: 10-5 na Equação (4.20) e 3 ciclos de iteração inversa para
cálculo do autovetor correspondente.
Üs resultados estão apresentados na Tabela (6.4). Esta tabela mostra que ambas as
implementações dos algoritmos SFRsturm e SFRs1M produzem bons resultados em termos
de B, P W, W e tempo de CPU (t).
Figura 6.5: Ferramenta Mecânica (471 Nós e 592 Elementos).
62
Figura 6.6: Estrutura Offshore (492 Nós e 1437 Elementos).
Fi~ura 6.7: Disco de Turbina com 12 Lâminas (1152 Nós e 504 Elementos).
63
Tabela 6.4: SFRsturm X SFRsrM·
Exemplo 1 Parâmetro li SFRsJM 1 SFRsturm 1
B 23 23
Ferramenta Mecânica p 4674 4674
Figura (6.5) w 15 15
w 10.13 10.13
t* 593.02 820.29
B 75 84
Estrutura Offshore p 4062 4105
Figura ( 6.6) w 17 17
w 8.91 9.05
t* 639.62 418.20
B 102 78
Disco de Turbina com 12 Lânlinas p 35148 35373
Figura (6.7) w 48 47
w 31.60 31.76
l t* 1629.75 1747.42
* Tempo de CPU (em segundos) usando uma SUN Sparc Station 2.
64
6.4 Análise de Tempo de Execução
Nesta seção, o desempenho do algoritmo espectral SFRsturm é comparado com os algoritmos
clássin.s (RCM, GPS, GK, MRCollins, Snay, Sloan, CBBPR e HybWP) em termos de
tempo de CPl1 (Central Processing Unit). Este tempo foi obtido utilizando-se uma SUN
SparcS:ation 2. Para o presente estudo, três exemplos práticos de elementos finitos foram
utilizacos. As Figuras (6.8, 6.9 e 6.10) ilustram a representação geométrica do grafo nodal
(G), dt:al (G') e de comunicação (Gº), respectivamente, associados à malha de elementos
finitos da Figura (6.5). Para a solução do problema de autovalor, foi adotada a tolerância
TOL = 10-5 na Equação (4.20) e 3 ciclos de iteração inversa para cálculo do autovetor
corresp.mdente.
A Tabela (6.5) mostra alguns dados iniciais e os resultados obtidos com os algoritmos
RCM, GPS, GK, MRCollins, Snay, Sloan, CBBPR, HybWP e SFRsturm· Os dados iniciais
são: o tipo de grafo associado (G, G'* ou G•), o número de vértices do grafo (IVI), o número
de arestas do grafo (\EI) e a conectividade algébrica (.\.2). Os resultados apresentados na
Tabelai 6.5) são as larguras de banda (B), os perfis (P), as máximas frentes (W), as r.m.s.
frentes iW) e o tempo de CPU (t), respectivamente.
Da Tabela (6.5) pode-se concluir que, embora o algoritmo SFRsturm seja bem efi
ciente n.1 redução de perfil, ele é bastante caro computacionalmente, quando comparado
com os demais. Por esta razão, estudos mais aprofundados estão sendo conduzidos com o
objetivo de melhorar a eficiência computacional dos algoritmos espectrais. Por exemplo,
Rajendra.n e Narasímhan apresentaram recentemente uma técnica para acelerar o Método
da [tera1;ão de Subespaço [131], que consiste na utilização de informações das iterações
ant.t>rions para se criar um novo subespaço com um maior número de vetores linearmente
indt·pencentes. A combinação desta técnica com algoritmos mais eficientes de solução de
sistt>mas de equações lineares, pode melhorar substancialmente o desempenho do algoritmo
SFRsJM· Com relação ao algoritmo SFRsturm, estratégias de pré-ordenação podem ser
utilizada,; para acelerar o Método da. Seqüência de Sturm. Este será o objeto de estudo da.
próxima >eção.
65
Figura 6.8: Ferramenta Mecânica (Grafo Nodal).
~. ,-<l'..Y~ ~~ ~ ~ ~t T ~ ~ t-K.,'-< >-).., ")..-!, rTT77 >-<r l-''>-'r-» ·7 ITTTTT7lt ~ ~ "( >-- r >-)_)-:o:~- ~ ·-->~ ~h:>--
Figura 6.9: Ferramenta Mecânica (Grafo Dual).
Figura 6.10: Ferramenta Mecânica (Grafo de Comunicação).
66
Tabela 6.5: Desempenho dos Algoritmos <Com Relação ao Temno OP E>rPrm;i>n
Exemplo Parâmetro Inicial RCM GPS GK MRCollins Snay Sloan CBBPR HybWP SFRsturm
Grafo: G B 447 23 17 26 18 77 41 23 53 23
Figura (6.8) p 81251 5092 4803 4773 4994 4448 4614 4904 4794 4674
IVI = 471 w 286 23 16 17 17 14 20 16 17 15
IEI = 1447 w 193.27 11.38 10.44 10.39 10.90 9.63 10.13 10.68 10.42 10.13
À2 = 0.0061 t* - 0.27 0.38 0.42 0.8.5 0.6.5 0.27 0.27 0.05 820.29 --·---··--
Grafo: G* B 578 1.5 18 27 14 234 56 22 104 25
Figura (6.9) p 105504 5161 5342 5279 5333 5334 4911 5189 5704 4758
IVI = 592 w 290 14 18 16 14 13 16 15 18 14
IEI = 905 w 198.12 9.00 9.54 9.37 9.26 9.30 8.65 9.08 10.15 8.28
À2 = 0.0012 t* - 0.33 0.50 0.57 1.10 0.70 0.33 0.36 0.05 888.49
Grafo: a· B 591 36 30 41 29 223 79 39 90 38
Figura (6.10) p 141189 9282 8950 8922 10335 12829 8313 9890 9152 8713
1v1=592 w 415 36 28 29 28 53 32 35 34 28
IEI = 2728 w 269.18 17.40 16.43 16.41 18.65 24.65 15.26 18.51 16.86 15.90
À2 = 0.0040 t* - 0.47 0.58 0.65 3.05 0.97 0.45 0.37 0.07 2175.77
* Tempo de CPU (em segundos} usando uma SUN Sparc Station 2.
6.5 Estratégia de Pré-ordenação
Numericamente, a eficiência do algoritmo SFR é bastante sensível à ordenação inicial dos
vértice., do grafo. Paulino et ai. [123, 124] mostraram que o emprego de urna pré-ordenação
pode melhorar consideravelmente o desempenho dos algoritmos espectrais, em termos de
tempo de CPU. Esta idéia consiste em se pré-ordenar de forma eficiente os vértices do
grafo, é.ntes da execução do algoritmo espectral.
Seja t1 o tempo de CPU gasto no processo de reordenação original, isto é, através
da aplicação direta do algoritmo SFRsturm. Seja f2 o tempo de CPU gasto no processo
de pré-•)rdenação dos vértices do grafo. Finalmente, seja f3 o tempo de CPU gasto no
processo de reordenação utilizando o algoritmo SFRsturm, a partir do grafo pré-ordenado.
Teoricamente, espera-se que
(6.1)
Ne:;te ti abalho, o algoritmo RCM [36, 60] foi utilizado no processo de pré-ordenação, por
ser um ;Jgoritmo eficiente e bastante rápido.
A Tabela (6.6) mostra os tempos de CPU obtidos com o algoritmo SFRsturm sem
(t1) e cem (t2 + t3) a pré-ordenação pelo algoritmo RCM. Observe-se que, para os exem
plos mo:;trados na Tabela (6.6), foram obtidas reduções no tempo de CPU de até 95%
(com relação ao tempo original do algoritmo). Esta redução não havia sido obtida com a
ven;ão SFRsJM do algoritmo espectral [124]. Além disso, uma comparação dos resultados
(t 1 ) e (t~ + t3 ) na Tabela (6.6), mostra que a inequação apresenta.da na expressão (6.1) é
plenameate satisfeita.
Tabela 6.6: Estratégia de Pré-ordenação. e-e·_ '
Exemplo
Ferramenta. Mecânica
Estrutura Offshore
Q>isco <le Turbina com 12 Lâminas -----
t* 1
820.29
418.20
1747.42
t* 2 t* 3 t2 + t3
0.29 4.52 4.81
0.25 5.97 6.22
1.30 79.63 80.93
.Tempo de CPU (em segundos) usando uma SUN Sparc Station 2.
68
(t2+t,) X 100% t,
0.59
1.49
4.63
6.6 Aplicação do Algoritmo SGPD
Nesta ieção, os vértices obtidos pelo algoritmo SGPD são utilizados como vértices iniciais
nos algoritmos RCM (Tabela 3.2), GPS (Tabela 3.3) e GK (Tabela 3.4). Estes algoritmos
foram Helecionados para comparação por serem bastante conhecidos e bem estabelecidos na
literatua técnica (ver, por exemplo, referências [48, 134, 11, 9, 145, 119, 146, 95)).
A. versão original do algoritmo RCM utiliza o algoritmo de G&L [61] para deter
minação do vértice pseudo-periférico. As versões originais dos algoritmos GPS e GK uti
lizam o algoritmo de Gibbs et ai. [66] para determinação do pseudo-diâmetro. Nos exemplos
aqui apresentados, o primeiro passo dos algoritmos RCM, GPS e GK foi substituído pelo
alg:oritno SGPD. Note-se que, a combinação do algoritmo SGPD com os algoritmos RCM, GPS e GK dá origem a novas versões destes últimos algoritmos, as quais são denominadas
RCMscPD, GPSsaPD e GKsaPD, respectivamente. Para o presente estudo, são considera
dm• os (Xemplos da biblioteca de Everstine [48], correspondentes aos grafos conexos.
A Tabela {6.7) mostra o número de vértices do grafo (jVI) e os valores normalizados
de B, P e W para os algoritmos RCM, GPS e GK. Os valores normalizados consistem
na razão entre os resultados obtidos com estes algoritmos combinados com o SGPD e os
resultados obtidos com as versões originais destes algoritmos.
übserve-se que, para todas as colunas da Tabela (6.7), o número de vezes em que
os algoritmos de reordenação combinados com o SGPD são melhores {razão < 1.0) para
a redução de B, P e W, é maior do que o número de vezes em que os algoritmos origi
nais são melhores (razão > 1.0). Os resultados quantitativos globais estão mostrados na
Tabela (6. 7), onde G (Ganhar) significa o número de vezes em que os algoritmos de reor
denação combinados com o SGPD ganham dos algoritmos originais, e P (Perder) significa
o contrário. Obviamente, esta comparação exclui os empates (razão = 1.0).
D·~ acordo com a Tabela (6.7), as seguintes conclusões podem ser obtidas. Para o
algoritmr• RCM, o algoritmo SGPD é mais eficiente do que o algoritmo G&L [61]. Com
relação aos algoritmos GPS e GK, o algoritmo SGPD é um pouco melhor do que o algoritmo
de Gibbs et ai. [66].
69
Tabela 6.7: Aplicação do Algoritmo SGPD.
li 2 3 7 li 8 9 10
·hlema RCMs.aec GPSs.ae.c GKs.aeo RCM GPS GK
VI B p ii,' B p w B p w 59 1.000 1.000 1.000 0.889 0.909 0.894 0.833 0.917 0.901
56 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
72 1.125 1.073 1.076 1.286 1.127 1.151 1.000 1.217 1.247
:l7 1.158 0.984 0.987 0.850 0.952 0.942 0.810 0.829 0.809
162 1.059 0.982 0.985 1.071 0.993 1.002 1.000 1.004 1.012
113 1.140 0.965 0.957 1.302 1.023 1.027 1.196 1.060 1.065
21)9 1.000 1.002 1.002 0.767 0.772 0.752 0.939 0.767 0.757
2:!1 0.800 0.914 0.899 0.895 0.964 0.959 0.857 0.943 0.938
2.,,5 0.793 0.800 0.765 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
3(17 0.933 0.938 0.921 1.023 0.966 0.947 1.125 0.946 0.935
310 0.937 0.966 0.961 0.933 0.991 0.990 0.727 0.993 0.993
361 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
419 1.147 0.984 0.993 1.206 0.981 0.992 1.143 1.002 1.012
503 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.986 0.971 0.966
5n 1.000 1.000 1.000 1.000 0.997 0.993 1.000 1.000 1.000
75;; 1.000 0.984 0.985 1.000 0.999 0.999 1.000 1.000 1.000
86'.l 0.954 0.880 0.896 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
87t 0.808 0.983 0.974 1.000 0.994 0.994 1.000 1.000 1.000
91t l .069 0.995 1.009 1.180 1.027 1.047 1.185 1.075 1.106
992 0.970 0.978 0.974 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
100.'1 0.981 0.984 0.962 0.963 1.006 1.001 0.824 0.971 0.946
100'' 1.000 1.000 1.000 0.914 0.996 0.993 0.800 1.003 1.002
124~ 1.000 1.000 1.000 0.970 0.963 0.961 0.815 0.882 0.875
2 68( 1.000 1.004 l.OO:i 1.014 1.016 1.017 0.989 1.048 1.053
édi<t 0.995 0.976 0.973 1.011 0.987 0.986 0.968 0.985 0.984 -· G/P 8/6 14/3 13/4 8/7 13/5 12/6 10/4 9/7 9/7 -·
70
6. 7 Algoritmo FWR: Resultados Preliminares
Nesta seção, alguns resultados preliminares obtidos com o algoritmo FWR são apresentados.
Para ·~ste estudo, quatro exemplos práticos de elementos finitos são considerados. As
malhas de elementos finitos utilizadas estão mostradas na Figura (6.11 ). Estas malhas
foram estudadas por Bykat [27], Everstine [48], Razzaque [132] e Pina [127].
'\\T/: // --/:t7~---JL
// H
r--i
l/ \ H
,,
(a) (b)
(e) (d)
Figura 6.11: Malhas de Elementos Finitos para Avaliação do Algoritmo FWR.
71
A Tabela (6.8) mostra alguns dados iniciais e os resultados obtidos com o algoritmo
F WR. Os dados iniciais sã.o: o número de nós da malha, o número de elementos da malha, o
tipo d•~ elemento finito usado em cada exemplo e as larguras de frente obtidas nas referências
originttis.
A Tabela (6.8) mostra que o algoritmo FWR é eficiente para redução da largura
di· freute. Entretanto, maiores investigações estão sendo conduzidas com o objetivo de
melho1ar o desempenho deste algoritmo [112).
Tabela 6.8: Larguras de Frente Obtidas com o Algoritmo FWR.
í Exemplo Referência 1 Original 1 FWR 1
Figura (6.lla)
36 Nós Pina [127) 7 7
48 Elementos (T:J)
Figura (6.llb)
157 Nós Everstine [48) 33 12
116 Elementos (Q4) Pina [127) 11
Figura (6.llc)
73 Nós Razzaque [132] 23 22
24 Elementos (T6 & Q8) Pina [127] 22
Figura (6.lld)
140 Nós Bykat [27] 20 13
202 Elementos (T3) Pina [127] 13
72
6.8 Algoritmo SA: Resultados Preliminares
Nesta seçã.o, sã.o apresentados alguns resultados preliminares obtidos com o algoritmo SA, a
partir da implementaçã.o feita pelo autor deste trabalho. Para este estudo, quatro exemplos
retirados da biblioteca de Everstine [48) sã.o utilizados. Os resultados sã.o comparados com
os oblidos pelo algoritmo SApw, proposto por Armstrong [11]. Os parâmetros iniciais
rt·queridos pelo algoritmo SA {Passo 1 da Tabela 5.2) são: To = 10 IVI; Tmin = 0.1;
ll'umCycles = 1000; e a= 0.9.
A Tabela (6.9) mostra o número de vértices do grafo associado a cada exemplo e os
pl'rfis ( P), máximas frentes (W) e r.m.s. frentes {W}, obtidos com o algoritmo SApw [11)
e com •l algoritmo SA, proposto neste trabalho.
Tabela 6.9: Resultados Preliminares obtidos com o Algoritmo SA.
Exemplo Parâmetro Inicial SApw [11) SA (proposto)
p 464 273 273
IVI = 59 w 11 6 6
w 8.22 4.74 4.74
p 640 193 193
IVI = 66 w 21 3 3
w 11.01 2.94 2.94
p 244 219 223
IVI = 72 w 4 4 4
w 3.46 3.12 3.18
p 2336 515 515
IVI = 87 w 43 9 9
w 29.38 6.16 6.16
De acordo com a Tabela (6.9} pode-se concluir que a implementaçã.o proposta para o
algoritmo SA produz perfis e frentes que sã.o comparáveis às obtidas pelo algoritmo SApw,
proposto por Armstrong [11). No entanto, o autor ressalta que estudos mais aprofundados
sobn· estt algoritmo devem ser realizados, principalmente no que diz respeito à escolha
adequa.da dos parâmetros iniciais (ver Tabela 5.2) e ao tempo de execuçã.o do algoritmo.
73
Capítulo 7
Conclusões e Sugestões
E8te trabalho apresentou um estudo sobre técnicas de reordenação de nós e elementos
df' malhas de elementos finitos, para minimização de banda, perfil e frente de matrizes
simétricas e esparsas. Os principais algoritmos da literatura técnica foram discutidos e
implementados. Novos algoritmos foram propostos e testados através de diversos exem
plos m; méricos. A seguir, apresentam-se as principais contribuições desta tese e algumas
sugestões para trabalhos futuros.
7 .1 Principais Contribuições
• Um enfoque unificado relacionando malhas de elementos finitos, grafos associados e
matrizes correspondentes foi proposto. A permutação de linhas e colunas em uma
matriz, corresponde a uma reordenação dos vértices do grafo associado ou a urna
rnJrdenação dos nós ou elementos da malha.
• Dt~ acordo com o tipo de informação usada no processo de reordenação, os algoritmos
foram classificados em topológicos, geométricos, híbridos e espectrais. Dependendo do
tir·o de redução obtida, os algoritmos foram também classificados em banda, perfil e
frente. A Tabela (7.1) apresenta uma classificação geral dos algoritmos de reordenação
ap'.esentados neste trabalho.
Os algoritmos topológicos mais C'.Onhecidos na literatura técnica, tais como, RCM
[36, 62], GPS [66], GK [67, 93], Collins [32], Snay [151] e Sloan [146] foram inves
tigados e implementados em um contexto unificado. O algoritmo GPS se mostrou
o nais eficiente para redução da largura de banda - conclusão que está de acordo
con a referência [17}. O algoritmo de Collins foi estendido para a consideração de
componentes não conexos nos grafos e sua numeração final foi invertida para uma
posterior redução do perfil. O algoritmo de Sloan se mostrou o mais eficiente para
redução de perfil e frente.
74
• Um algoritmo geométrico bastante intuitivo, denominado CBBPR, foi desenvolvido.
Apesar de muito simples, o algoritmo CBBPR se mostrou eficiente, produzindo boas
ordenações especialmente para malhas regulares.
• Um algoritmo híbrido, denominado HybWP, também foi proposto. Ele utiliza in
formações geométricas e topológicas para produzir reordenações de nós e elementos
em um processo integrado. O algoritmo não depende da escolha de um vértice pseudo
:>eriférico e é razoavelmente eficiente para redução de perfil e frente.
• ;:<;ste trabalho apresentou uma aplicação bastante interessante no sentido de que
uma quantidade algébrica, tal como um autovetor de um FEG, pode ser utilizada
rnm sucesso no processo de reordenação de nós e elementos de uma malha genérica
<'e elementos finitos. O algoritmo espectral proposto, denominado SFR, apresenta
< aracterísticas bem diferentes dos demais algoritmos conhecidos na literatura. É re-
1.itivamente simples e pode ser aplicado para a redução de perfil e frente de matrizes
s métricas e esparsas.
As principais vantagens do algoritmo SFR são: (i) apresenta uma base matemática
s<ilida; (ii) as tarefas de reordenação de nós e elementos são completamente inde
p·~ndentes; (iii) utiliza informações globais do grafo; (iv) não utiliza o conceito de
V•~rtices pseudo-periféricos; (v) não utiliza o conceito de estruturas de níveis de um
FEG; (vi) apresenta uma implementação simples. A base matemática do algoritmo
SFR está fundamentada na álgebra linear, em constraste com os algoritmos puramente
bturísticos, que apresentam um menor embasamento teórico. A maior desvantagem
de algoritmo SFR, quando comparado com os demais algoritmos, está no tempo de
CPU requerido para solução do problema de autovalor, isto é, para o cálculo do
sei\undo autopar da matriz Laplaciana.
Dlias versões do algoritmo SFR foram implementadas neste trabalho. A primeira
versão (SFRs1M) utiliza o Método da Iteração de Subespaço [18] para solução do
problema de autovalor, enquanto que a segunda versão (SFRsturm) se baseia no
Mttodo da Seqüência de Sturm [18]. Diversos testes computacionais envolvendo
urna grande variedade de problemas foram apresentados para validação de ambas
as mplementações.
A versão SFRsturm, tal como implementada neste trabalho, se mostrou numerica
mente sensível à ordenação inicial dos vértices do grafo. Portanto, uma estratégia
de pré-ordenação foi apresentada, levando a reduções da ordem de 95% no tempo de
execução do algoritmo, com relação à versão original.
75
• Um novo algoritmo espectral, denominado SGPD, foi proposto para determinação
de vértices pseudo-periféricos ou vértices extremos de pseudo-diâmetros em grafos.
Baseado em estudos numéricos comparativos, o algoritmo SGPD se mostrou mais
eficiente do que os algoritmos de Grimes et ai. [69], George e Liu (G&L) [61] e Gibbs
et al. (GPSD) [66].
• Uma técnica de otimização conhecida como simulated annealing, para determinação
do mínimo global de problemas do tipo NP-completo, foi apresentada neste trabalho.
Os resultados obtidos por esta técnica são considerados suficientemente próximos
da solução ótima do problema. Uma implementação do algoritmo SA também foi
proposta neste trabalho.
Tabela 7.1: Classificação dos Algoritmos de Reordenação.
Algoritmo de
Reordenação
RCM (36, 62]
GPS [66]
GK [67, 93]
MRCollins [32, 112]
Snay [151]
Sloan [146]
CBBPR [112]
HybWP [112]
SFR [123, 124]
FWR [112]
Geo == Geométrica
Híb == Híbrida
B ==Banda
Tipo de Informação Tipo de Redução
Geo Top Híb
X
X
X
X
X
X
X
X
X
76
Esp B P/F
X X
X
X
X X
X
X
X X
X
X X
X
Top == Topológica
Esp == Espectral
P/F ==Perfil/Frente
7 .2 Sugestões para Trabalhos Futuros
• Implementar um algoritmo indireto para reordenação de elementos. Baseado nesta
implementação, realizar um estudo comparativo sobre qual o tipo de redução mais
~equada no processo indireto, com relação à etapa de reordenação nodal (isto é,
·eduçã.o de banda ou perfil). Este novo algoritmo poderá também ser utilizado na
.waliação de desempenho do algoritmo FWR.
• Melhorar a implementação atual do algoritmo FWR. Realizar estudos numéricos mais
é.profundados para uma melhor avaliação do desempenho deste algoritmo.
• Melhorar a implementação do algoritmo de simulated annealing através de uma es
colha mais apropriada do conjunto de parâmetros requeridos por este algoritmo (ver
f'asso 1 da Tabela 5.2). Uma maneira mais eficiente de calcular a variação de energia
do sistema, também deve ser considerada.
• Extensão dos algoritmos apresentados neste trabalho, no contexto de partição de
d•)mínio de malhas de elementos finitos para computação paralela (para maiores in
formações, ver, por exemplo, os trabalhos de Hsieh et a/. [81]).
• Melhorar o desempenho dos algoritmos espectrais em termos da eficiência computa
cional através de: ( i) modificação do algoritmo de solução do problema de auto
valor. Como a parte dominante do algoritmo espectral diz respeito à determinação
do segundo autopar da matriz Laplacíana, propõem-se que novos algoritmos se
jam avaliados. O algoritmo de Lanczos é um forte candidado a ser investigado.
Este algoritmo é utilizado por diversos pesquisadores (ver, por exemplo, referências
[117, 140, 142, 80, 81, 17, 73, 74, 75]); (ii) vetorizaçã.o/paralelizaçã.o do código, isto
é, .i parte numérica mais intensa do algoritmo espectral envolve aritmética de ponto
flu:.uante (em contraste com os demais algoritmos de reordenação que se baseiam em
ari'.mética de números inteiros}. Por esta razão, os algoritmos espectrais sã.o bastante
adtquados para computadores equipados com processamento vetorial ou paralelo.
77
Apêndice A
Conceitos Básicos da Teoria de Grafos
• Um grafo G = (V, E) consiste em um conjunto finito e não vazio de vértices
V= 'v1,v2,. .. ,vn} e de arestas E= {e1,e2, ... ,em}, que são pares não ordenados de
vértict·s distintos de V.
• Vértices sã.o os elementos do conjunto V. !VI é a cardinalidade do conjunto V, isto é, o número total de elementos do conjunto V.
• Arestas sã.o os elementos do conjunto E. E= {{v;,vj} 1 v; E V,vj E V,i =F j}. IEI é a cardinalidade do conjunto E.
• G é um grafo dirigido, se os elementos de E são pares ordenados de vértices, isto
é, cada aresta {v;,vj} é um segmento ordenado de v; a Vj.
• G é um grafo não dirigido, se os elementos de E sã.o pares não ordenados de
vé1tices.
• Uma rotulação de G é uma função f: V(G) -+ D, onde D é um conjunto de
rótulos. Um grafo rotulado por D é denominado Gº = (Vº, Eº). Os vértices podem ser
refrridm através de seus rótulos no grafo rotulado.
• O grafo associado a uma matriz A de ordem n x n, simétrica e com os elementos
da diagonal não nulos é o grafo não dirigido rotulado com n vértices GA = (VA, EA) tal
que {v;, ''i} E EA # ª•i = ªii #O, i -f j. O termo v; denota o vértice de VA com rótulo i.
• Vértices adjacentes em G são quaisquer dois vértices que definam uma aresta,
isto é, v; e Vj são adjacentes se { v;, v;} E E.
• Se W é um subconjunto de V (W C V), o conjunto de adjacência de W, deno
minado Adj (W), é o conjunto de vértices que são adjacentes aos vértices de W, mas que
nii.o pertencem a W: Adj (W) = {v; E (V - W), WC V 1 {v;, v;} E E, v; E W}. Se W for
78
<omp·)Sto por um único vértice v, o conjunto de adjacência de W será dado por Adj (v),
aoimésdeAdj({v}),istoé,seW = {v},Adj(W) =Adj(v).
• O grau de um conjunto W é definido como grau(W) = !Adj(W)I. Novamente, se
14' for composto por um único vértice v, o grau de W será dado por grau(v), ao invés de
grau(, v} ), isto é, se W = { v }, gr11u(W) = grau(v) = !Adj(v)I.
• Um subgrafo G(V, E) de G(V, E) é um grafo para o qual V é um subconjunto de
V e E é um subconjunto de E, isto é, V e V e E e E.
• Um grafo seção G(W) é o subgrafo G(W, E(W)) para o qual W e V,
E1W) ""'{{v;,v;} E E 1 v; E W,v; E W}.
• Um clique é um grafo seção cujos vértices são adjacentes aos pares, isto é, cada
vértice é adjacente a todos os outros. Em termos de matrizes, um clique corresponde a
uma submatriz cheia. (V,E) é um clique*? para cada v; E V, Vj E V, i # j, {v;, v;} E E.
• Um caminho em um grafo conexo G = (V, E) é um conjunto ordenado de vértices
( v1, ... , Vn+1) tal que vk e Vk+i são adjacentes para k = 1, 2, ... , n. Esse caminho é dito
ser de v, a Vn+J e seu comprimento é n. Neste caso, V1 e Vn+i são os pontos extremos do
caminhe. Um caminho de comprimento n pode também ser interpretado como um conjunto
ordenad1) de n arestas ( ei, ... , en)·
• Um caminho simples é um caminho no qual todas as arestas e vértices são dis
tíntos, exceto que v1 e Vn+i podem ser iguais.
• Um circuito é um caminho de comprimento ~ 1 sem arestas repetidas e cujos
pontos e>tremos são iguais. Um ciclo é um circuito simples.
• Um grafo conexo G é aquele para o qual qualquer par de vértices distintos é
conectadc por pelo menos um caminho. Caso contrário, G é um grafo não conexo, e
consiste de dois ou mais componentes conexos.
• lsomorfismo em grafos se refere a grafos que apresentam a mesma topologia.
Dois grafos G1 = (Vi, E1) e G2 = (Vi, E2) são isomorfos, se existir uma função biunívoca
f •• Vi---+ Vi que preserva adjacência, isto é, E2 = {{f(v;),f(vj)} 1 {v;,vj} E Ei}. Neste
·~aso, J é um isomorfismo de G1 para G2.
79
• A distância d(v;, v3) entre dois vértices em um grafo conexo é o comprimento do
menor caminho entre eles, isto é, d( v;, v3) = min 1 caminho entre vi e vJI.
• A excentricidade e( v) de um dado vértice v de G(V, E) é a maior distância entre
t e qi:.alquer outro vértice do grafo, isto é,
e(v) = max{d(v,v;) 1 Vi E V}= max {d(vi,vj) 1 Vi,Vj E V}.
• O diâmetro de um grafo G(V, E) é a maior excentricidade dos vértices do grafo,
isto é, diâmetro( G) = max{ e( v) 1 v E V}.
• Um vértice periférico v é aquele para o qual a excentricidade é igual ao diâmetro
do grafo, isto é, e(v) = diâmetro(G).
• Uma estrutura de níveis geral é uma partição
{,={Lo, L1, ... , Li} tal que,
Adj(Lo) e L1
Adj(L1) e L1-1
Adj(L;) e L;-1 U L;+1 i = 2, .. .,/-1.
Note que U~~~ Lk =V. A largura w de l é definida como
w = max { JLd, OS i SI}
• Uma estrutura de níveis com raiz é um caso particular de uma estrutura de níveis
geral. Da.do um vértice r E V, a estrutura de níveis com raiz em ré a seguinte partição
l(r) = {Lo(r), Li (r), ... , Le(r)(r)}, tal que,
Lo(r) = {r},
L1(r) = Adj(Lo(r)),
Li(r) = Adj(Li-1(r) - Li-2(r)), i = 2, ... , e(r).
Note que u:~b Lk(r) =V. O comprimento de l(r) é a excentricidade e(r). A largura w(r) de .C( r) é definida como
w(r) = max { !Li(r)!, OS i $ e(r)}.
80
Apêndice B
Terminologia para Matrizes Esparsas
Dada 11ma matriz simétrica e esparsa de ordem n, a largura de banda (B) é definida como
B = maxb;, i ::; n, (9.1)
onde b. é a i-ésima largura de banda, isto é, o número de colunas a partir do primeiro
elemento não nulo da linha i, até (e inclusive) o elemento da diagona!1.
O perfil da matriz (P) é definido como
n
P = L b;. (9.2) i=l
A largura de frente (W), ou máxima largura de frente, ou simplesmente frente, é definida como
W = max e;, i ::; n, (9.3)
onde e; 1· a i-ésima largura de frente, isto é, o número de colunas ativas da linha i. A coluna
;i é dita .~tiva na linha i, se j ?: i e existe um elemento não nulo na coluna j correspondente
à linha 1:, para a qual k ::; i.
De acordo com Everstine [48], a largura de frente média (W) é definida como
-- 1 ~ p lV = - L.. e; = -.
n i=l n (9.4)
Para uma matriz simétrica, tem-se que L:i=i e; = L:i=i b;, embora, em geral, e; :f b;.
A r.m.s. frente (W) (root-mean-squan wavefront) de uma matriz é definida como
(9.5)
1 Note qt e esta definição de largura de banda inclui os elementos da diagonal.
81
A partir das definições acima, tem-se que
W::; W::;W::; B$n. (9.6)
A densidade de uma matriz (!) é dada por
f = 2\EI + n 1003 n2
(9.7)
onde E é o conjunto de arestas do grafo associado.
Para ilustrar as definições acima, a Figura (9.la) mostra um pórtico plano com 5
nos e 4 elementos de viga (1-D).
5 4
2
(a) Pórtico Plano 5 nós ; 4 elementos
K (b) Grafo G
IVI = 5 ; IEI = 4
r-X
X
._
X
X
X X
X X
X X
(e) Matriz K (5 x5)
....,
X
X
X
Figura 9.1: Exemplo para Ilustrar a Terminologia de Matrizes Esparsas.
J\'.este exemplo, onde apenas elementos finitos uni-dimensionais sã.o utilizados, a
topologi.t da malha e do grafo nodal associado sã.o coincidentes. Uma outra possibili
dade de representação do grafo nodal GK (VK, EK) (grafos isomorfos) para o modelo da
Figura (9.la) está mostrada na Figura (9.lb), onde VK = {1,2,3,4,5} e
EK = { {1,4}, {4, 3}, {3, 5}, {5,2}}.
Por quesi.ã.o de simplicidade, considera-se um grau de liberdade por nó na Figura (9.la). A
representação da matriz de rigidez associada a esta malha está mostrada na Figura (9.lc)
através da matriz simétrica K (de ordem 5) com componentes k;; e densidade f = 52%.
Finalmente, utilizando as Equações (9.1 a 9.5), chega-se a B = 4, P = 11, W = 3,
U7 = 2.2000 e W = J5.4 ~ 2.3238, atendendo plenamente à expressão (9.6).
82
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'Técnicas de Reordenação para Solução de Sistemas Esparsos". Tese de Doutorado
apresentada por IVAN FÁBIO MOTA DE MENEZES em 28 de Junho de 1995 ao
Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio e aprovada pela Comissão Julgadora,
formada pelos seguintes professores:
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Rio de Janeiro, oz /O!/ f.IS6
arcelo Gattass (Orientador) o de Engenharia Civil./ PUC-Rio
Prof. Luiz Fernando Campos Ramos Martha Departamento de Engenharia Civil I PUC-Rio
Prof. Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil I PUC-Rio
Prof. Paulo Cezar Pinto Carvalho IMPA