Redes ComplexasAula 2

Aula passadaLogísticaRedes e GrafosExemplosRedes Complexas

Aula de hojeRedes e classesEstrutura e característicasGrau, distância, clusterização

Figueiredo – 2011

Rede (ou Grafo)Abstração que permite codificar relacionamentos entre pares de objetos

objetos

Exemplos?

vértices do grafo

arestas do graforelacionamentos

Figueiredo – 2011

Objetos e RelacionamentosSobre objetos

idênticos, diferentes tipos, possuir estado

Ex. pessoas, homens e mulheres, idade

Sobre relacionamentossimétricos, assimétricos, diferentes intensidades (pesos), diferentes significados

Ex. amizade, distância, etc

Rede depende do sistema

Figueiredo – 2011

Classe de RedesRedes sociais: relacionamento entre pessoas ou grupo de pessoas

Redes de informação (de conhecimento): codificam associação entre informação

Redes tecnológicas: construída pelo homen geralmente para distribuir commodities

Redes biológicas: codifica relacionamentos em sistemas biológicos

Classificação para referência

Twitter: rede social ou rede de informação?

Figueiredo – 2011

Descrever sua estrutura

Como Falar sobre Redes?Desenho da rede: “figura vale por mil palavras”

não funciona para redes grandes

Matriz de adjacência

Matriz n x n (n é número de vértices)

aij = 1 , se existe aresta entre

vértices i e j

aij = 0 , caso contrário

Codifica todos os relacionamentos da rede

Figueiredo – 2011

Matriz de Adjacência

Exemplo

1

3

2

4

1 2 3 41 0 1 1 02 1 0 1 03 1 1 0 14 0 0 1 0

?

Figueiredo – 2011

Matriz de AdjacênciaProblema em descrever a estrutura com matriz de adjacência?

Possui toda a informação, mas não é muito útil, pouco intuitivo

Matriz é o DNA da rede

analogia humana!

Precisamos de resumos da estrutura!

Resumos que ajudem a entender a estrutura!

Figueiredo – 2011

Características de RedesResumo da estrutura da rede

Caracterísiticas estruturais

Exemplos: Tamanho, densidade, graus, distâncias, clusterização, centralidade, etc.

Dão ideia geral da estrutura da rede

Quais características devem ser avaliadas? Quais são importantes?

Depende do que você deseja estudar, mas ningúém sabe ao certo

Como gens no DNA, estamos apenas começando a enteder seu significado

Figueiredo – 2011

Característica ImportanteO que faz uma característica ser importante?

1) Determinar comportamento geral de algum processo

independente de outras características

2) Influência sobre diferentes processos

Exemplo: distribuição de grau

determina comportamento do RW

influencia outros processos (epidemia)

Não conhecemos muitas outras características são importantes

a serem descobertas (como gens importantes)

Figueiredo – 2011

Vértices e ArestasNúmero de vértices de um grafo

n = |V| cardinalidade do conjunto

Número de arestas de um grafo

m = |E|Dado G = (V, E), qual é o maior número de arestas de G?

número de pares não ordenados em um conjunto de n = |V| objetos

n2 n n−1

2≤n2=

Densidade: fração de arestas que o grafo possui

=2m

nn−1

Figueiredo – 2011

Grau MédioGrau médio do grafo considerando todos seus vértices

Grau do vértice u

Também pode ser calculado diretamente

g=1/n∑u∈V

g u

g=2 m /n

Logo temos ∑u∈V

gu=2 m

Cada aresta tem duas pontas!

Figueiredo – 2011

Distribuição do GrauDistribuição empírica do grau dos vértices

frequência relativa do grau

pk=P[D=k ] Número de vértices com grau k

Número total de vértices=

P[Dk ]=1−∑i=0

kpk

Variável aleatória que denota grau de um vértice

CCDF empírica (Complementary Cumulative Distribution Function)

fração de vértices com grau > k

Figueiredo – 2011

Distribuição do Grau

Exemplo

2 6

4 75

1

3

98

Figueiredo – 2011

DistanciaComprimento do menor caminho entre dois vértices

Função d(u,v), onde u e v são vérticesinfinito quando não há caminho

2 6

4 75

1

3

Exemplo

d(6, 3) = ?

d(7, 1) = ?

Importante: muitos caminhos podem realizar a distância entre dois vértices

Figueiredo – 2011

Distância Média e DiâmetroDistância média do grafo

média entre todos os pares de vértices

2 6

4 75

1

3

d=∑

u ,v∈V

d u , v

n2 Se d(u,v) não definida, ignorar par (u,v)

também do denominador

Diâmetro: maior distância entre dois vértices da rede

r=maxu ,v∈V d u , v

Figueiredo – 2011

Distribuição da Distancia

Distribuição empírica da distância entre os vértices do grafo

frequência relativa das distâncias

f Dd =nd

n2Número de pares não ordenados de vértices que tem distância d

Exemplo

2 5

4

1

3

Figueiredo – 2011

ClusterizaçãoMedida a respeito de “triangulos” na rede

Comparação entre triangulos e “quase-triangulos”

quase triangulos: dois vizinhos de um mesmo vértice

Duas métricas na literaturamédia de métrica local

calculo direto na rede

2 3

5 6

1

4

Figueiredo – 2011

Clusterização – IFração de aresta entre vizinhos

probabilidade de dois vizinhos também serem vizinhos

Definida para cada vértice da rede

C i=Ei

d i

2 di : grau do vértice i

Ei : # de arestas entre

os vizinhos de i

Clusterização do grafomédia da clusterização dos vértices

C=1/ n∑v∈V

C i

C i=2 E i

d id i−1

Figueiredo – 2011

Calculando ClusterizaçãoExemplo

2 3

5 6

1

4

Quanto vale C?

Figueiredo – 2011

Clusterização – I Problemas?Não é a fração de arestas entre vizinhos do grafo (como um todo)

Favorece vértices com menos vizinhos

denominador é ~ di

2

Clusterização para grau 0 e 1?

Exemplo?3

8

42

7 9

15 6

10 11

12

Figueiredo – 2011

Clusterização – IIFração entre o número de triângulos no grafo (cliques de tamanho 3) e o número de triplas (sequência de três vértices)

3 x número de triângulos

número de triplas conectadasC' =

Tripla é não-ordenada (a,b,c == c,b,a)

Métrica global

Não é média dos vértices

Não tem problemas com vértices de grau 0 e 1

Valor pode ser muito diferente da outra definição

Mais estável, menos sujeita a anomalias do grafo

Cada triânguloconta 3 vezes

Figueiredo – 2011

Clusterização – II

6 x número de triângulos

número de caminhos de comprimento 2C' =

Definição equivalente (mesmo valor)

Número de caminhos de comprimento 2

Para cada vértice, número de vizinhos dos meus vizinhos (caminhos de comprimento 2)

Cada triânguloconta 6 vezes

Igual a métrica anterior, mas agora a tripla é ordenada: (a-b-c) != (c,b,a)

Figueiredo – 2011

Calculando ClusterizaçãoExemplo

2 3

5 6

1

4

Quanto vale C?

Quanto vale C'?