Teoria dos Grafos

Edson Prestes

Teoria dos GrafosIntrodução – Representação

Mostre que todo passeio de u até v contém um caminho de u até v.

Considere um passeio de comprimento l de u até v.

Se l = 0 então temos um passeio sem nenhuma aresta. Isto denota que o caminho entre u e v também tem comprimento igual a 0.

Se l > 0, temos que considerar o seguinte. Se o passeio de u a v não possuir nenhum vértice que tenha sido visitado duas vezes, então ele corresponde a um caminho entre u e v.

Teoria dos GrafosIntrodução – Representação

Se existe um vértice w que tenha sido visitado mais que uma vez, podemos remover as arestas e vértices entre as duas aparições de w.

Se existirem mais vértices que tenham sido visitados mais que uma vez o processo é repetido. Isto produz um passeio mais curto onde cada vértice é visitado uma única vez. Logo existe nesta situação um caminho entre u e v.

Teoria dos GrafosIntrodução – Representação

Mostre que todo grafo com n vértices e k arestas, onde n > k, tem no mínimo n-k componentes

Um grafo com n vértices com nenhuma aresta tem n componentes. Cada aresta reduz a quantidade de componentes em 1 unidade. Então, quando k arestas tiverem sido adicionadas ao grafo, o número de componentes será no mínimo n-k.

Teoria dos GrafosIntrodução – Representação

Mostre que um grafo G com n vértices e c componentes, tem uma quantidade de arestas k que satisfaz a seguinte desigualdade

O limite inferior foi mostrado anteriormente.

O limite superior é definido da seguinte maneira. Considere a situação extrema, onde temos (c-1) componentes correspondendo a (c-1) vértices de grau igual a 0; e n-c+1 vértices constituindo um grafo completamente conexo.

Este grafo irá possuir

Teoria dos GrafosIntrodução – Representação

Mostre que todo grafo simples com dois ou mais vértices tem pelo menos dois vértices de mesmo grau

Considere um grafo com n vértice. Se o grafo é simples então o grau de cada vértice deve variar de 0 a n-1. Se existir um vértice de grau 0 então não existe um vértice de grau n-1, e vice versa.

Logo, teremos n-1 valores de graus a associar a n vértices. Usando o principio de Dirichlet, podemos considerar n caixas rotuladas com os valores de graus de 0 a n-1. Porém sabendo que apenas n-1 caixas serão preenchidas.

Distribuindo n-1 vértices em cada uma das n-1 caixas de acordo com seu respectivo grau fará com que cada uma das caixas válidas seja preenchida.

O n-ésimo vértice será associado a uma caixa que já possui um elemento. Logo, a caixa escolhida terá 2 vértices, indicando que existem dois vértices com mesmo grau.

Dois grafos G e G' são isomorfos, ou seja, se eles apresentam as mesmas propriedades estruturais.

Teoria dos Grafos

Definição: Dois grafos G e G' são isomorfos se existe uma função bijetora

tal que

G G’

1 3 2

Introdução – Isomorfismo

Os grafos abaixo são isomorfos ?

Teoria dos Grafos

Sim!

Introdução – Isomorfismo

Os grafos abaixo são isomorfos ?

Teoria dos Grafos

Não! O grafo G é bipartido e o G’ não é .

G G’

Introdução – Isomorfismo

Os grafos abaixo são isomorfos ?

Teoria dos Grafos

Sim!

Introdução – Isomorfismo

Os grafos abaixo são isomorfos ?

Teoria dos Grafos

Não!

Introdução – Isomorfismo

A relação de isomorfismo é uma relação de equivalência sobre o conjunto de grafos simples.

Propriedade reflexiva: uma permutação da identidade dos vértices de G é um isomorfismo de G para si próprio.

Teoria dos GrafosIntrodução – Isomorfismo

Propriedade simétrica: Se é uma função que define o isomorfismo entre G e G', então f -1 é a função que define o isomorfismo entre G' e G.

Logo,

temos que

Propriedade de Transitividade: Suponha que as funções e definam a relação de isomorfismo entre os grafos G e H; e H e M, respectivamente.

Teoria dos GrafosIntrodução – Isomorfismo

Sabemos que e que

Como f define uma relação de isomorfismo, se , então existe uma aresta tal que f(u)=x e f(v)=y.

Logo, .Portanto, a composicão lof define a relação de isomorfismo entre G e M, ou seja,

Uma relação de equivalência divide um conjunto de grafos em classes de equivalência, onde dois grafos pertencem ao mesmo conjunto sse eles são isomorfos.

Uma classe isomórfica de grafos é uma classe de equivalência de grafos regida por uma relação de isomorfismo.

Um exemplo de classe isomórfica é a classe chamada grafo de petersen.

Teoria dos GrafosIntrodução – Isomorfismo

Um grafo de Petersen é um grafo simples não orientado gerado usando o seguinte conjunto S={1,2,3,4,5}. Seus vértices estão associados a subconjuntos de dois elementos de S.

Os vértices formados a partir destes subconjuntos serão conectados por uma aresta se seus subconjuntos correspondentes forem disjuntos.

Teoria dos GrafosIntrodução – Grafo de Petersen

O grafo abaixo é isomórfico ao grafo de Petersen ?

Teoria dos GrafosIntrodução – Grafo de Petersen

Mostre que dois vértices não adjacentes em um grafo de Petersen têm exatamente 1 vizinho em comum.

Teoria dos GrafosIntrodução – Grafo de Petersen

Dois vértices A e B não adjacentes no grafo de Petersen são subconjuntos de 2 elementos que compartilham um único elemento.

Um vértice adjacente tanto à A quanto à B tem que ser um subconjunto disjunto dos dois subconjuntos associados à A e à B.

Como estes dois vértices são escolhidos a partir do conjunto {1,2,3,4,5}, a quantidade de elementos resultante da união dos subconjuntos associados a eles é igual a 3.

Então existe exatamente uma única combinação de 2 elementos para o terceiro vértice de forma que ele seja adjacente tanto ao vértice A quanto ao vértice B.

Teoria dos GrafosIntrodução – Automorfismo

Um automorfismo de um grafo G é um isomorfismo de G para si próprio.

Os automorfismos de G são as permutações de V(G) que podem ser aplicadas a ambas as linhas e colunas da matriz de adjacência sem mudar a adjacência entre os vértices de G.

Considere um grafo G representado pela matriz de adjacência abaixo

Teoria dos GrafosIntrodução – Automorfismo

G possui 2 automorfismos: ele próprio e a permutação que mapeia o vértice 1 para o vértice 4 e o vértice 2 para o vértice 3.

Realizando o mapeamento

Re-arranjando linhas e colunas

Teoria dos GrafosIntrodução – Automorfismo

Realizando o mapeamento

Re-arranjando linhas e colunas

Apenas trocar a identidade do vértice 1 pela identidade do 4 não é um automorfismo de G.

Embora este grafo seja isomórfico ao grafo G, ele não é um automorfismo de G.

Problema 1 Desenvolver um algoritmo que receba como entrada um grafo G e produza como saída α(G) e ω(G), assim como os conjuntos de vértices que deram origem a estas medidas.

A descrição do grafo deve ser feita através de arquivo texto.

Entrega 30/11

Teoria dos GrafosTrabalho - Definição

Problema 2 Dado um mapa composto por obstáculos, uma posição inicial e uma posição final, construa uma RRT que encontre um caminho livre de obstáculos entre a posição final e a posição inicial. 1 ponto extra se a implementação funcionar no simulador do robô.

Links uteis http://msl.cs.uiuc.edu/rrt/about.html http://msl.cs.uiuc.edu/~lavalle/papers/Lav98c.pdf http://www.golems.org/papers/AkgunIROS11-sampling.pdf http://planning.cs.uiuc.edu (temos o livro na biblioteca :) Informações úteis sobre o simulador http://www.inf.ufrgs.br/~prestes/Courses/Robotics/instrucoes.rtf Falar com o Edson ou com membros do grupo de Edson.

Entrega 30/11

Teoria dos GrafosTrabalho - Definição