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APLICAÇÃO DE REDES BAYESIANAS

NO GERENCIAMENTO E MENSURAÇÃO DE RISCOS

OPERACIONAIS

Claudio De Nardi Queiroz (POLI - USP) [email protected]

Flavio Almeida de Guimarães Cipparrone (POLI-USP) [email protected]

As falências e grandes perdas financeiras de bancos demonstram a

importância de um controle adequado dos seus riscos operacionais. No

contexto do Advanced Measurement Approach do novo acordo da

Basiléia, metodologias avançadas para mensuraçção dos riscos são

encorajadas. Redes Bayesianas aparecem como uma solução atrativa

de modelagem causal, permitindo fácil compreensão do

comportamento das perdas em função dos indicadores chave de risco.

Técnicas de aprendizado dos parâmetros de Redes Bayesianas a partir

de dados históricos e informações subjetivas de especialistas são

descritas, assim como a simulação de Monte Carlo aplicada para obter

a distribuição agregada das perdas e o Value at Risk (VaR)

operacional a partir das suas distribuições de freqüência e severidade,

que não são supostas independentes como no modelo tradicional LDA.

Um estudo de caso é feito a partir de variáveis simuladas e os

resultados obtidos com as redes são comparados com os obtidos do

modelo LDA.

Palavras-chaves: Risco Operacional, Redes Bayesianas, Causalidade

XXVIII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO A integração de cadeias produtivas com a abordagem da manufatura sustentável.

Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2008



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1. Introdução

As falências e grandes perdas financeiras de bancos, como nos casos dos bancos inglês

Barings em 1995 e do francês Société Générale em janeiro de 2008, demonstram a

importância de um controle adequado dos riscos operacionais de uma instituição financeira.

Metodologias de cálculo aplicadas a Risco Operacional (RO) são um tema relativamente novo

e ainda com poucas pesquisas publicadas. O debate sobre este assunto tem crescido bastante

desde a publicação do Novo Acordo da Basiléia, também conhecido como Basiléia II, pelo

Bank for International Settlements (BIS) em junho de 2004, indicando melhores práticas de

gerenciamento de riscos dos bancos (mercado, crédito e operacional). No contexto do

Advanced Measurement Approach (AMA), as instituições são encorajadas a utilizar

metodologias avançadas de cálculo do capital regulatório - dinheiro reservado para fazer

frente aos riscos inerentes dos processos de negócio. No AMA modelos não causais são

freqüentemente utilizados, como por exemplo a abordagem Loss Distribution Approach

(LDA). Redes Bayesianas aparecem como uma solução atrativa na modelagem causal de

Riscos Operacionais, permitindo fácil visualização do comportamento das perdas em função

de suas causas e a incorporação de conhecimento subjetivo de especialistas.

2. Redes Bayesianas

Uma Rede Bayesiana (RB) é um grafo direcionado acíclico (DAG – Directed Acyclic Graph),

que, com a distribuição conjunta de probabilidades das variáveis aleatórias que são vértices

deste grafo, satisfaz a condição de Markov: para toda variável da rede, é

condicionalmente independente de todos os seus não descendentes dado o conjunto de todos

os seus pais.

Seja o conjunto de vértices da RB e o conjunto de vértices que são

pais de . A condição de Markov garante uma forma mais compacta para a distribuição

conjunta das variáveis da rede, a regra da cadeia, definida por:

Como exemplo, na rede da Figura 1, .

Figura 1: Exemplo de RB.

Se definirmos em um grafo G distribuições condicionais discretas de cada nó dados seus pais,

então o produto P destas distribuições gera uma distribuição conjunta tal que (G, P) sempre

satisfaz à condição de Markov e, portanto, (G, P) é uma RB. Esta afirmação não é verdadeira

para distribuições condicionais contínuas de forma geral.

Segundo Jensen (2005), existem, porém, severas restrições técnicas quanto ao uso de

variáveis contínuas em uma RB. As distribuições condicionais têm que ser Gaussianas: dada

uma configuração dos pais, a distribuição do filho é uma combinação linear de distribuições



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normais. Além disso, não é permitido que uma variável contínua tenha filhos discretos.

Sempre é possível, porém, discretizar os valores de uma variável contínua em um conjunto

finito de estados.

Uma RB de variáveis discretas fica portanto definida:

− pelo conjunto das variáveis do modelo, cada uma com estados discretos mutuamente

exclusivos;

− pelas relações de causa e efeito representadas pelas arestas direcionadas do grafo onde

uma aresta de uma variável para outra indica que é causa de ;

− pelas distribuições condicionais discretas de cada nó dados seus pais .

O processo de inferência em uma RB permite a obtenção das distribuições de todas as

variáveis da rede condicionais a determinado conjunto C de variáveis, isto é:

A primeira igualdade deve-se ao teorema de Bayes de probabilidades condicionais, a segunda

à regra de marginalização para variáveis com estados discretos mutuamente exclusivos e a

terceira à regra da cadeia em uma RB.

Como a tabela de probabilidade conjunta cresce exponencialmente com o número de

variáveis e a quantidade de estados das variáveis, métodos eficientes para o cálculo de

são necessários. O problema de inferência em redes Bayesianas é, segundo Neapolitan (2004),

NP - difícil. Jensen (2001) desenvolveu um algoritmo de inferência que envolve a extração de

um grafo triangulado não direcionado do DAG e a criação de uma árvore cujos vértices são

cliques deste grafo triangulado. Esta árvore é denominada Junction Tree. Clique é um

conjunto completo que não é um subconjunto de outro conjunto completo. Um conjunto é

completo se todos os nós são conectados dois a dois. Probabilidades condicionais são então

calculadas através da passagem de mensagens nesta Junction Tree. O algoritmo garante uma

seqüência ótima de marginalização de variáveis.

3. Aprendizado de parâmetros de Redes Bayesianas

As distribuições condicionais de cada nó dados seus pais podem ser obtidas

através de um banco de dados de casos históricos, de informações subjetivas de especialistas

ou de ambos.

Um método simples mas eficiente de aprendizado de parâmetros é o da contagem de

freqüências relativas, descrito em Jensen (2001).

Seja uma das combinações dos estados dos pais de , q um fator de decaimento

( ) e o tamanho de amostra equivalente de dado , que denota o grau de

confiança na distribuição: quanto maior o valor de maior a confiança em .



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Inicialmente todas as probabilidades condicionais de são configuradas com valor ,

refletindo assim desconhecimento a priori sobre a distribuição. Informações subjetivas de

especialistas relativas a um tamanho de amostra equivalente podem ser utilizadas, se

disponíveis.

No aprendizado, para cada caso observado na base de dados históricos em que e

atualiza-se e através de:

O fator de decaimento q é útil quando as probabilidades alteram-se com o passar do tempo,

prevenindo que bases históricas grandes tornem a rede insensível a novas observações, uma

vez que, se , influências do passado decairão exponencialmente.

Neapolitan (2004) argumenta que as funções densidade de probabilidade de Dirichlet

fornecem um modo natural de quantificação das crenças à priori sobre freqüências relativas,

bem como uma forma de atualizar estas crenças à luz de evidência.

A função densidade de probabilidade multivariada de Dirichlet com parâmetros inteiros

com é:

Variáveis aleatórias que possuem esta função densidade de probabilidade

possuem a distribuição Dirichlet, denotada por Dir(f1,...,fr-1;a1,...,ar). é unicamente

determinada pelo valor das r-1 variáveis anteriores: .

A função densidade de Dirichlet é uma generalização da função densidade Beta: as

distribuições marginais de cada variável são distribuições Beta com e . O

valor esperado de é dado, portanto, por:

O método supõe, para cada variável da RB, uma distribuição de Dirichlet para cada

combinação dos estados dos pais da variável, que representa a distribuição conjunta das

freqüências relativas de cada estado dada a combinação dos estados dos seus pais.



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Inicialmente, para expressar indiferença a priori Neapolitan (2004) recomenda o uso de

, e , de forma que as distribuições

condicionais sejam uniformes. Assim:

Seja o número de combinações distintas dos estados dos pais de e supondo que as

combinações dos estados dos pais de seguem uma ordenação .

Procura-se então, a partir de um conjunto de casos observados, para toda variável e todas

as combinações paij dos estados dos pais de os novos valores dos parâmetros

. Seja o número de vezes na amostra em que a variável encontrava-se

no estado e seus pais encontravam-se no estado . Os novos coeficientes são calculados

por:

A função de densidade de Dirichlet de dada a combinação de seus pais é atualizada

através de:

As probabilidades condicionais de qualquer vértice da rede podem ser calculadas através

de:

Sendo N o tamanho de amostra equivalente a priori, que denota o grau confiança nas

probabilidades iniciais , podemos calcular os valores iniciais de

através de:

Como exemplo, suponha a RB da Figura 2, onde possui dois estados ( e ) e

possui três estados ( , e ).

Figura 2: Rede para aprendizado através do método das distribuições de Dirichlet.

Neste caso procuramos os parâmetros de três distribuições Dirichlet:

− : distribuição conjunta das freqüências relativas de ;



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− : distribuição conjunta das freqüências relativas de

dado ;

− : distribuição conjunta das freqüências relativas de

dado .

4. Risco Operacional

Segundo o Comitê da Basiléia em Supervisão Bancária, subordinado ao BIS, Risco

Operacional é definido como “o risco de perdas resultante de processos internos falhos ou

inadequados, pessoas e sistemas ou de eventos externos”. Esta definição inclui risco legal

mas exclui risco estratégico e reputacional.

O cálculo do capital regulatório mínimo compreende o primeiro de três pilares definidos no

acordo da Basiléia. Para seu cálculo, no primeiro pilar, o acordo indica quatro abordagens:

Basic Indicator Approach (BIA), Standardized Approach (SA), Alternative Standardized

Approach (ASA) e a Advanced Measurement Approach (AMA). As abordagens na ordem em

que foram citadas apresentam um aumento contínuo de sofisticação e sensibilidade ao risco.

Na abordagem básica (BIA), bancos devem reservar capital para risco operacional igual a

15% da receita bruta anual média dos últimos três anos:

, onde:

− = 15%;

− : receita bruta anual no i-ésimo ano anterior ao atual;

− : número de anos dos últimos três em que a receita bruta anual foi positiva.

Na abordagem padronizada (SA), as atividades dos bancos são divididas em oito linhas de

negócio e o capital a ser alocado é igual à média dos últimos três anos do somatório de um

percentual da linha de negócio (que varia entre 12% e 18%) aplicado sobre a receita bruta da

linha de negócio:

, onde:

− : receita bruta anual da linha de negócio j, no i-ésimo ano anterior ao atual;

− : percentual da linha de negócio j.

Na Abordagem Padronizada Alternativa (ASA), assim como na Padronizada, as atividades

dos bancos são divididas em oito linhas de negócio e o capital a ser alocado é igual à média

dos últimos três anos do somatório de um percentual da linha de negócio (que varia entre 12%



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e 18%, iguais ao do SA) aplicado sobre um valor base, que depende da linha de negócio. Para

seis linhas de negócio esse valor base é a receita bruta anual da linha de negócio. Para duas

linhas de negócio (varejo e comercial) o valor base é igual ao somatório de empréstimos e

adiantamentos no ano da linha de negócio:

, onde:

− : receita buta anual da linha de negócio j, no i-ésimo ano anterior ao atual;

− : percentual da linha de negócio j;

− : é a média total dos adiantamentos e empréstimos de varejo (loans and

advances) em aberto sem risco ponderado e bruto de provisões dos três anos da

linha de negócio j ;

− m = 3,5% (fixo).

As abordagens BIA, SA, ASA são quantitativamente simples mas punitivas para os bancos

pois requerem a provisão de um capital regulatório elevado. No AMA, o requerimento de

capital regulatório mínimo é igual à medida de risco gerada pelo sistema de mensuração

interno do banco utilizando critérios qualitativos e quantitativos definidos pelo comitê da

Basiléia.

Um sistema de mensuração avançada deve estimar de modo aceitável perdas esperadas e

inesperadas baseado no uso combinado de dados internos, dados externos relevantes, análise

de cenários e fatores de controle internos (com fatores que refletem o ambiente de negócio). O

sistema deve também ser capaz de suportar alocação de capital econômico para RO através

das linhas de negócio de maneira a criar incentivos na melhoria do gerenciamento de riscos

operacionais das linhas de negócio do banco.

O comitê da Basiléia não obriga nenhuma metodologia específica para o cálculo do capital

econômico a ser alocado mas afirma que a metodologia deve conseguir obter a máxima perda

com 99,9% de confiança, no período de um ano, o Value at Risk (VaR).

No AMA aparecem os conceitos de VaR, perda esperada (EL) e perda inesperada (UL). Para

um determinado horizonte de tempo e um nível de confiança (CL) tem-se a seguinte relação:

A perda esperada é a média da distribuição de perdas e a perda não esperada é a diferença

entre o VaR e a perda esperada.

Segundo o BIS, um indicador chave de risco (ICR) é uma estatística ou métrica que deve

prover uma visão preditiva sobre a posição de risco de um banco. Esses indicadores devem

ser revistos periodicamente para alertar os bancos sobre alterações que podem ser indicativas

de aumento ou diminuição de risco. Tais indicadores podem ser, por exemplo, o número de

transações falhas ou taxa de rotatividade de pessoal. Scandizzo (2005) descreve uma

metodologia para o mapeamento de risco operacional com o objetivo de identificar os riscos



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inerentes nos diferentes passos de um processo de negócio.

5. Redes Bayesianas em Risco Operacional

A abordagem quantitativa mais utilizada hoje no contexto da AMA é a LDA. Nela busca-se a

distribuição estatística das perdas através somente de sua série histórica, não sendo

consideradas as causas das perdas e os estados atuais das causas. Supõem-se duas variáveis

aleatórias independentes: freqüência e severidade das perdas. Buscam-se distribuições

paramétricas que melhor se aderem aos dados históricos observados.

A abordagem LDA, entretanto, apresenta alguns problemas:

− toda estimativa do VaR operacional é baseada em dados históricos, que podem não

mais refletir a situação presente;

− supõe-se que a freqüência de um evento de perda é obrigatoriamente independente

da sua severidade;

− variáveis explicativas dos eventos de perda não são levadas em conta (não é um

modelo causal);

− não permite a inserção no modelo de conhecimento especialista, para verificar, por

exemplo, a influência de eventos raros no VaR operacional;

− não permite a análise de cenários (what-if analysis), muito útil no gerenciamento dos

riscos operacionais.

O Novo Acordo da Basiléia descreve uma série de padrões quantitativos para o cálculo do

capital regulatório mínimo: “Qualquer sistema de mensuração de risco operacional deve

possuir certas funcionalidades chaves para atingir o padrão sólido de supervisão iniciado

nessa seção. Esses elementos devem incluir o uso de dados internos, dados externos

relevantes, análise de cenário e fatores que refletem o ambiente do negócio e sistemas de

controle internos (BIS, 2004, p.145)”.

Redes Bayesianas apresentam-se como uma solução muito interessante para análise causal de

riscos operacionais, tanto do ponto de vista qualitativo do gestor de riscos quanto do

quantitativo do cálculo do capital regulatório mínimo (VaR anual com 99,9% de confiança),

pois permitem incorporar todos os elementos citados no texto do BIS.

Na modelagem quantitativa de riscos operacionais, os ICR’s são utilizados como variáveis

que representam as causas das perdas operacionais. Podem existir ICR’s relativos à freqüência

de perdas, outros relativos à severidade das perdas e ICR’s relativos a ambos (ICR’s mistos).

Na presença de causas que afetam tanto freqüência quanto severidade de perdas, freqüência e

severidade não são independentes de forma geral, como é assumido na LDA. A Figura 3

mostra um exemplo de Rede Bayesiana de Risco Operacional.



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Figura 3 – Rede Bayesiana de Risco Operacional.

Na ausência de ICR's mistos, freqüência e severidade serão sempre independentes, podendo

existir duas redes: uma para freqüência e outra para severidade de perdas.

As variáveis contínuas do modelo (como a severidade da perda) devem ser discretizadas, já

que a hipótese de normalidade condicional de cada nó não é verdadeira de forma geral. Um

cuidado na discretização deve ser tomado: quanto maior o número de estados discretos de

uma variável maior sua tabela de probabilidades condicionais. Os algoritmos de inferência

podem não ser suficientemente eficientes em termos de espaço de armazenamento e

velocidade de processamento. Além disso, a obtenção da distribuição de cada variável

condicional aos seus pais pode ser prejudicada, já que o número de casos históricos pode

potencialmente ser grande, para contemplar todos os casos.

Para obter a distribuição agregada de perdas a simulação de Monte Carlo descrita em Cruz

(2002) para a LDA pode ser utilizada, com um cuidado: na existência de ICR’s mistos o

sorteio no passo i das severidades deve respeitar a distribuição

, sendo o número sorteado no passo i segundo a

distribuição de freqüência . O algoritmo é:

− Sorteia-se um número aleatório segundo a distribuição de freqüência obtida na

inferência da Rede Bayesiana, . Seja f esse número;

− Sorteiam-se f números aleatórios segundo a distribuição de severidade

condicionada ao valor f da distribuição de freqüência,

;

− Calcula-se o valor da perda agregada diária ;

− Repetem-se os passos de um a três por 365 vezes, obtendo-se uma série de perdas

agregadas diárias ;

− Calcula-se a perda agregada anual ;

− Repetem-se os passos de um a cinco por um número N de vezes (número de passos

de simulação), obtendo-se uma série simulada de perdas agregadas anuais

;

− Ordena-se a série de perdas anuais simuladas obtida no passo seis;



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− Sendo o nível de confiança do cálculo do VaR calcula-se j=int(1+N*CL),

onde int(x) representa a parte inteira do número real x. O VaR anual com 99,9% de

confiança será o j-ésimo elemento da série obtida no passo sete.

A RB permite calcular o valor do VaR operacional, para todas as possíveis combinações dos

valores dos ICR’s. Ela permite, também, análise de cenários, em que é possível prever o

comportamento das perdas de forma gráfica e intuitiva, bem como obter as distribuições de

freqüência e severidade das perdas e, conseqüentemente, o VaR operacional para quaisquer

combinações de valores dos ICR’s.

Variáveis adicionais de interesse podem ser adicionadas no modelo, para melhor

entendimento dos riscos envolvidos nos processos e para a implementação de ações de

mitigação dos riscos.

6. Estudo de caso

Para estudo das redes e comparação com a LDA, foi suposto um evento de perda com quatro

causas identificadas: duas causas que afetam a freqüência da perda e duas que afetam a

severidade da perda.

As seguintes distribuições foram atribuídas para as variáveis:

− primeiro ICR de freqüência: distribuição normal com média e desvio padrão

;

− segundo ICR de freqüência: distribuição beta no intervalo [0,10] com e ;

− primeiro ICR de severidade: distribuição beta no intervalo [0, 1000] com e

;

− segundo ICR de severidade: distribuição normal com e ;

− freqüência de perdas: distribuição Poisson com ;

− severidade de perdas: distribuição normal com média e desvio

padrão .

Todas as variáveis foram discretizadas em dez estados mutuamente exclusivos. A partir das

distribuições de cada variável 100.000 casos foram simulados.

Os valores de freqüência e severidade de perdas dos casos simulados foram utilizados como

dados de entrada na LDA, onde as distribuições obtidas foram a binomial negativa com

e para a freqüência e beta em [-1161,29; 45723,05] com e

para a severidade de perdas. A Figura 4 mostra as distribuições obtidas na

LDA.



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Figura 4 – Distribuições paramétricas da LDA.

Os casos gerados foram utilizados no aprendizado de parâmetros (distribuições condicionais),

utilizando-se o método das distribuições a priori de Dirichlet. Neste caso não foram utilizadas

informações subjetivas de especialistas.

Figura 5 – RB do estudo de caso após inferência sem evidências para os ICR’s

Três inferências foram realizadas na rede: uma sem conhecimento de valores dos ICR’s, outra

supondo que os ICR’s se apresentavam no melhor caso (menor valor de perda) e a última

supondo que os ICR’s se apresentavam no pior caso (maior valor de perda). A Tabela 1 exibe

os resultados de perda esperada (média da distribuição de perdas), do VaR com 95,0% e com

99,9% de confiança .

Tabela 1 – Resultados

Perda esperada VaR 95,0% VaR 99,9%

LDA 13.260,76 23.806,53 36.172,65

RB sem evidências 13.275,48 24.486,42 36.933,30

RB – melhor caso 310,95 918,91 1.857,04

RB – pior caso 53.732,29 75.028,11 87.368,77

7. Conclusões

Os dados do estudo mostram que, ao realizar inferências na RB para obter as distribuições de



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freqüência e severidade incondicionais aos valores dos ICR’s, os valores de VaR obtidos se

aproximam dos valores obtidos com a LDA, que não considera as causas das perdas. As

diferenças podem ser explicadas por alguns fatores, entre eles a não aderência perfeita das

distribuições paramétricas da LDA, a discretização dos estados das variáveis na RB e ao

número de casos limitados (apesar de grande) no aprendizado de parâmetros da RB.

Por outro lado, o conhecimento do valor atual das variáveis consideradas causas das perdas

(os ICR’s) nos fornece uma valiosa informação do comportamento atual das perdas

operacionais e não de todos os possíveis valores que já foram observados. O estudo mostra

que os valores são potencialmente muito diferentes dos que a LDA fornece.

As Redes Bayesianas, neste sentido, demonstram grande utilidade na mensuração de riscos

operacionais por serem um modelo causal não linear que permitem a incorporação de

conhecimento especialista. Com elas temos a visualização gráfica do comportamento das

perdas em função de suas causas, útil no gerenciamento de riscos operacionais. A alocação de

capital para fins regulatórios tende a ser menor com este modelo, já que as abordagens

tradicionais são muito punitivas para os bancos.

Referências

BASEL COMITTEE ON BANKING SUPERVISION, Sound Practices for the Management and Supervision

of Operational Risk, 2003

BASEL COMITTEE ON BANKING SUPERVISION, International Convergence of Capital Measurement

and Capital Standards – A Revised Framework: Comprehensive version, 2003.

CRUZ, M. Modeling, Measuring and Hedging Operational Risk: A Quantitative Approach, Wiley, 2002.

JENSEN, F. V. Bayesian Networks and Decision Graphs, Springer, 2001.

NEAPOLITAN, R. E. Learning Bayesian Networks, Prentice Hall, 2004.

SCANDIZZO, S. (2005), Risk Mapping and Key Risk Indicators in Operational Risk Management, Economic

Notes by Banca Monte dei Paschi di Siena SpA, vol. 34, no. 2-2005, pp 231-256.

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