FUNÇÃO 1- Introdução

Em matemática, quando uma quantidade depende de outra,

denominamos essa relação de função, por exemplo: a) A produção de um determinado bem/serviço está relacionada com a

quantidade de mão-de-obra; b) O custo na fabricação de um determinado produto está relacionado

com a matéria prima utilizada; c) O crescimento populacional de uma cidade está associado ao

tempo; d) A área de um quadrado depende do comprimento do lado desse

quadrado etc. Para reforçar essa compreensão de função, imagine uma corrida de

fórmula Indy, cuja pista é oval e os carros percorrem um determinado trecho da pista a uma velocidade constante de 250 km/h.

Verifique que o espaço percorrido, nesse caso, depende do tempo em virtude da velocidade ser constante.

Ao estudar a disciplina física, defrontamos com a fórmula s = v.t, onde s representa o espaço, v a velocidade e t o tempo.

Essa fórmula permite a construção de uma tabela que descreve os espaços percorridos por um dos carros em vários pontos da pista após t horas.

Observemos que a tabela está indicando que a cada valor de t associa-

se um único valor de s. Logo, podemos afirmar que o espaço percorrido surge em função do tempo.

A partir desse momento, a aplicação da equação s = 250.t permitirá calcular o espaço percorrido em função do tempo sem construir tabela. Assim, para calcular a distância percorrida (em km), após 5 horas do início do trecho devemos substituir 5 na equação s = 250.t encontrando, com resposta, 1.250 km.

2- Conceito de Função

Após a introdução, podemos conceituar função da seguinte maneira:

quando existe uma relação f entre dois conjuntos A e B (não-vazios), dizemos que esta relação representa uma função de A em B se, e somente se, cada elemento do conjunto A está associado, através de f, a um único elemento do conjunto B.

Para compreender melhor esse conceito observe as relações abaixo.

Notemos que as relações representadas pelos itens a, c, d

representam funções, pois, cada elemento do conjunto A está associado a

único elemento do conjunto B. Porém, as relações representadas pelos itens b,

e, f não representam funções. Observemos na relação do item b, que o

elemento 3, pertencente ao conjunto A, não está relacionado com nenhum

elemento do conjunto B e nas relações dos itens e, f encontramos elementos

que estão relacionados com mais de um elemento pertencentes ao conjunto B.

Quando detectamos que uma relação entre dois conjuntos representa

função, dizemos que os elementos pertencentes ao conjunto A formam um

conjunto denominado de Domínio da função (D), os elementos do conjunto B

que estão associados com os do conjunto A, formam o que denominamos

Conjunto Imagem da função (Im) e, todos os elementos pertencentes ao

conjunto B, estando ou não associados ao conjunto A, formam um conjunto

denominado Contradomínio da função (CD). Em decorrência disso verifica-se

que o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio. Como exemplo,

vamos nos dirigir para a relação do item d, onde verificamos que é uma função,

logo, o domínio é constituído pelo conjunto D = {3, 5}, o conjunto imagem por

Im = {2, 8} e seu contradomínio por CD = {2, 8, -5}.

Quando trabalhamos com função, sua escrita é dada por y = f(x), onde

y é o resultado numérico da função para um determinado valor de x. As letras x

e y são as variáveis, sendo x denominada variável independente, pois pode

assumir qualquer valor que esteja no domínio da função e y, a variável

dependente, isto é, só surgirá valor para y se existir valor de x. Observe os

exemplos abaixo:

a) y = 3x + 2 b) f(x) = 2x2 – 4x + 6 c) f(x) = 3/x-4

Agora, observemos através de exemplos, quando é que uma relação

entre dois conjuntos, não vazios, resulta numa função.

01- Verifique se a relação f = {(x, y) ϵ A x B/ y = 3x – 2}, sendo A = {-1,

0, 2} e B = { -5, -3, -2, 1, 4} é função de A em B. Caso afirmativo, determine o

domínio, contra-domínio e o conjunto imagem.

Solução:

Inicialmente, devemos substituir cada elemento do conjunto A em y =

3x – 2 e, em seguida, observar se os resultados encontrados fazem parte do

conjunto B. Caso afirmativo, a relação f de A em B passa a ser uma função de

A em B, caso contrário, não.

Representando em diagrama de flechas, temos:

A relação f é função, pois cada elemento do conjunto A está associado, através

de f, a um único elemento do conjunto B. D = {-1, 0, 2}, CD = {-5, -3, -2, 1, 4} e Im = {-5, -2, 4}

02- Verifique se a relação g = {(x, y) ϵ A x B/ y = x2 – 4}, sendo A = {-1,

0, 1, 2} e B = { -4, -3, 0, 5} é função de A em B. Caso afirmativo, determine o

domínio, o contra-domínio e o conjunto imagem.

Solução:

Utiliza-se o mesmo processo do exemplo anterior.

Representando em diagrama de flechas, temos:

A relação g é função, pois, cada elemento do conjunto A está associado,

através de g, a um único elemento do conjunto B.

D = {-1, 0, 1, 2}, CD = { -4, -3, 0, 5} e Im = { -4, -3, 0}

03- Verifique se a relação h = {(x, y) ϵ A x B/ h(x) = x2}, sendo A = {-2, -

1, 0, 3} e B = {4, 0, 9} é função de A em B.

Solução:

Aplicando o processo anterior.

Representando em diagrama de flechas, temos:

A relação h(x) não representa uma função, pois, o elemento (-1) do conjunto A

não está associado, através de h, a nenhum elemento do conjunto B.

3- VALOR NUMÉRICO DE UMA FUNÇÃO

A partir desse momento, iremos encontrar o valor de y (número que

representa a função), quando é conhecido o valor da variável independente x,

pertencente ao domínio da função. Esse resultado é cognominado valor

numérico da função.

Exemplos:

1- Dada a função f(x) = 3x2 – 4x + 3, com D = R, determine f(2).

Notemos que o número 2, está no lugar da variável x, logo, pertence ao

domínio da função, portanto, podemos afirmar que 2 é o valor de x, então,

onde tiver a variável x, na função, devemos substituí-la pelo número 2 da

seguinte maneira:

f(x) = 3x2 – 4x + 3

f(2) = 3.22 – 4.2 + 3

f(2) = 12 – 8 + 3

f(2) = 7

* Esse resultado (7) representa o valor numérico da função f(x) para x = 2, ou

seja, 7 é a imagem de 2.

02- Em relação à função y = 4x – 3, com D = {0, 1, 2}, determine o valor

numérico da função quando:

a) x assumir o valor 1;

b) x assumir o valor 5.

Solução:

a) y = 4x - 3

y(1) = 4.1 – 3

y(1) = 1

* 1 é o valor numérico da função y para x igual a 1.

b) Neste caso, a função não é definida, pois o valor de x (5) não

pertence ao domínio da função.

03- Sabendo que f(x) = x2 – 3x + 2, com D = {x ϵ Ʀ / -1 ≤ x ≤ 4}, determine:

a) f(-1) b) f(2,4) c) f(4,2)

Solução:

a) f(x) = x2 – 3x + 2

f(-1) = (-1)2 – 3(-1) + 2

f(-1) = 1 + 3 + 2

f(-1) = 6

* O número 6 é o valor numérico de f(x) para x = -1.

b) f(x) = x2 – 3x + 2

f(2,4) = (2,4)2- 3.(2,4) + 2

f(2,4) = 5,76 – 7,2 + 2

f(2,4) = 0,56

* O número 0,56 é o valor numérico de f(x) para x = 2,4.

c) f(x) = x2 – 3x + 2

Notemos que o número 4,2 não pertence ao domínio da função,

logo, f(x) não está definida para esse valor.

04- Sabendo que 20 é o valor numérico (imagem) da função f(x) = 4x + 8,

então, determine o valor de x.

Nesse caso, devemos encontrar o valor da variável independente x, pois, o

problema dá o valor da função f(x) (variável dependente).

f(x) = 4x + 8

20 = 4x + 8

4x = 12 x = 3

Aplicações:

1- A função s(p) = -100 + 5p (20 ≤ p ≤ 40) representa a oferta de

mercado de um determinado produto e p o preço unitário desse produto (s em

kg e p R$/kg.). Determine a quantidade ofertada quando o preço atingir o

patamar de R$ 25,00 e de R$ 32,00. Interprete os resultados.

s(p) = -100 + 5p s(p) = -100 + 5p

s(25) = -100 + 5.25 s(32) = -100 + 5.32

s(25) = -100 + 125 s(32) = -100 + 160

s(25) = 25 kg s(32) = 60 kg

Observemos que quando o preço estiver em R$ 25,00, a quantidade

ofertada do produto chega a 25 quilos, porém, quando o preço alcançar R$

32,00, a quantidade ofertada chega a 60 kg.

Pelos resultados encontrados verificamos que, acontecendo um

aumento no preço do produto, haverá um crescimento na quantidade ofertada.

02- A função q(p) = -4p + 200 (0 < p ≤ 50) representa a demanda de mercado

de um determinado produto e p o preço unitário desse produto (q em kg e p

R$/kg.). Determine a quantidade demandada quando o preço atingir o

patamar de R$ 20,00 e de R$ 30,00. Interprete os resultados.

q(p) = -4p + 200 q(p) = -4p + 200

q(20) = -4.20 + 200 q(30) = -4.30 + 200

q(20) = 120 kg q(30) = 80 kg

Notemos que quando o preço for de R$ 20,00, a quantidade procurada

chega a 120 kg, porém, quando o preço alcançar o valor de R$ 30,00, a

quantidade demandada chega a 80 kg.

Pelos resultados encontrados verificamos que, incidindo um

crescimento no preço do produto, ocorrerá uma diminuição na quantidade

demandada.

03- Uma indústria fabrica certo produto para uso doméstico. Os responsáveis

pela parte financeira estimam que o lucro que a indústria pode alcançar na

fabricação/venda de uma determinada quantidade desse bem é dado pela

regra L(q) = -0,01q2 + 80q – 50.000 (L lucro em R$ e q quantidade

fabricada em barras de 1/2 kg), determine o lucro mensal quando o nível de

produção/venda alcançar:

a) 850 barras.

b) 3.500 barras.

c) 7.320 barras.

d) Interprete os resultados.

a) L(q) = -0,01q2 + 80q – 50.000

L(850) = -0,01.8502 + 80.850 – 50.000

L(850) = 10.775

b) L(q) = -0,01q2 + 80q – 50.000

L(3500) = -0,01.35002 + 80.3500 – 50.000

L(3500) = 107.500

c) L(q) = -0,01q2 + 80q – 50.000

L(7320) = -0,01.73202 + 80.7320 – 50.000

L(7320) = -624

d) Observando os itens acima verificamos que a indústria alcançará um

lucro de R$ 10.775,00 e de R$ 107.500,00 ao produzir/vender 850 e

3.500 barras desse bem, respectivamente. Contudo, quando

produzir/vender 7.320 barras do mesmo bem, passará a ter prejuízo, que

nesse caso chega a R$ 624,00.

04- A função C(q) = 5 + 4

q representa o custo mensal (em milhares de reais)

com encargos sociais de uma indústria pertencente a área da

informática, onde q representa o número de mão-de-obra. Determine:

a) O custo fixo.

b) O custo variável quando a empresa contatar 40 funcionários.

c) O custo quando a empresa alcançar o patamar de 40 funcionários.

d) O número de funcionários quando o custo total for de R$ 60.000,00.

Solução:

a) Custo fixo significa a não existência de mão-de-obra (q = 0), então:

C(q) = 5 + 4

q

C(0) = 5 + 0/4 = 5

Cf = 5

Então, o custo fixo será de R$ 5.000,00

b) Custo variável significa a não existência do custo fixo, ou seja, o

custo será apenas com a utilização de mão-de-obra, logo:

Cv = 4

q

Cv(40) = 4

40= 10

Então, o custo variável será de R$ 10.000,00 quando a

quantidade de mão-de-obra chegar a 40.

c) O custo quando a empresa alcançar o patamar de 40 funcionários

significa o valor do custo total (Ct = Cf +Cv).

C(q) = 5 + 4

q

C(40) = 5 + 40/4 = 15

Então, o custo total será R$ 15.000,00 quando a quantidade de

mão-de-obra chegar a 40.

d) Nesse caso, o C(q) = 60

C(q) = 5 + 4

q

60 = 5 + 4

qq = 220

Então, a quantidade de mão-de-obra será de 220.

4- RAIZ DE UMA FUNÇÃO

Raiz ou zero de uma função é o valor da variável independente (x)

pertencente ao seu domínio que, ao ser substituído na função, torna-a nula [f(x)

= 0]. Essa raiz representa a abscissa do ponto onde o gráfico intercepta o eixo-

x. Observe os gráficos abaixo:

Para encontrarmos a raiz de uma função, por exemplo, f(x) = ax + b, devemos

igualar a zero a mesma, ou seja, transformar a função numa equação.

Exemplos:

01- Calcule a raiz da função f(x) = 4x + 12.

f(x) = 4x + 12

f(x) = 0

4x + 12 = 0 (equação do 1º grau)

4x = -12

x = -3

(-3) é o único número que anula a função, logo, é a raiz da função.

02- Encontre as raízes da função f(x) = x2 – 6x + 8.

f(x) = x2 – 6x + 8

x2 – 6x + 8 = 0 (equação completa do 2º grau)

Resolução da equação do 2º grau (fórmula de Bháskara)

x2 – 6x + 8 = 0 (a = 1, b = -6, c = 8)

432368.1.4)6(

)min(..4

2

2

antediscricab

22

4

2

26"

42

8

2

26'

2

26

1.2

4)6(

2x

x

a

bx

2 e 4 são os únicos números que anulam a função, logo, são as raízes da

mesma.

03- Calcule a raiz da função 473)( xxf .

racionalfunçãoxxf 473)(

0473 x (equação irracional)

473 x Eleva-se ao quadrado (índice da raiz) ambos os membros

22

473 x

3x + 7 = 16

3x = 9

x = 3

Agora, devemos substituir 3 na função para verificar se anula a mesma.

473)( xxf

044416473.3)3( f

Logo, 3 é a raiz da função.

04- A função f(x) = x3 – 7x2 - 8x representa uma função do 3º grau, determine

suas raízes.

f(x) = x3 – 7x2 - 8x

x3 – 7x2 - 8x = 0 (equação do 3o incompleta: coloca-se em evidência x)

x.(x2 – 7x – 8) = 0

Temos um produto igual a zero, logo:

x’ = 0 ou

x2 – 7x – 8 = 0 (resolvendo a equação do 2º grau)

x’’ = 8 e x’’’ = -1

0, 8 e -1 são os números que anulam f(x), logo, são as raízes.

Aplicação:

- A função q = -4p + 36 (p = R$/unidade) representa a demanda (procura) de

mercado de um determinado produto. A que preço a demanda será nula?

q = 0

-4p + 36 = 0

-4p = - 36 .(-1)

4p = 36

p = 9

A demanda será nula quando o preço alcançar o patamar de R$ 9,00.

Exercícios:

1) Verifique se a relação f = {(x, y) ϵ A x B/ y = 2x + 1}, sendo A = {-2, -1, 0, 2,

3} e B = { -3, -1, 1, 5, 7} é função de A em B. Caso afirmativo, determine o

domínio, contra-domínio e o conjunto imagem.

02) Verifique se a relação g = {(x, y) ϵ A x B/ y = x2 – 3x + 2}, sendo A = {-2, 0,

1, 2, 3} e B = { 12, 2, 0, 5} é função de A em B. Caso afirmativo, determine o

domínio, o contra-domínio e o conjunto imagem.

03) Verifique se a relação h = {(x, y) ϵ A x B/ h(x) = -x2}, sendo A = { -1, 0, 2, 3}

e B = {-1, 0, -4, 9} é função de A em B.

04) Dada a função f(x) = x3 - 2x2 + 5x - 6, com D = R, determine:

a) f(1) b) f(-2) c) f(3/2) d) f(0,33...)

05) Sabendo-se que a função custo total para fabricar determinada mercadoria é dada por C(x) = x3 + 3x2 + x + 85, sendo x a quantidade produzida, calcule: 5.1- O custo total (R$) para produzir 10 unidades dessa mercadoria. Solução: Para x = 10, temos: C(x) = x3 + 3x2 + x + 85

C(x) = 103 + 3x102 + 10 + 85 = 1000 + 300 + 10 + 85 C(x) = 1.395,00 5.2- O custo total para produzir 15 unidades dessa mercadoria. Solução: Para x = 15, temos: C(x) = x3 + 3x2 + x + 85

C(x) = 153 + 3x152 + 15 + 85 = 3375 + 675 + 100 C(x) = 4.150,00 5.3- A função custo médio e o custo médio para produzir 10 unidades dessa mercadoria Solução:

50,139

10/85110.310

10

/8513

853

)(

2

2

23

CMe

CMe

xQuando

xxxCMe

x

xxxCMe

x

xCCMe

06- A função demanda para um produto de determinada empresa é

qp

.25,04

420

, sendo q a quantidade demandada e p o preço unitário.

6.1- Determine a quantidade q como função do preço p.

Solução:

161680

25,0

4

25,0.

420

4420

25,0

42025,04

420).25,04(

.25,04

420

pq

pq

pq

pq

qp

qp

6.2- Determine o número de unidades quando o preço for de R$ 20,00.

unidadesq

q

pq

68

1620

1680

161680

07- A função receita é dada por R(q) = q2 + 5q + 130 e a função custo por C(q)

= q + 95, sendo q a quantidade.

7.1) Determine a função lucro (L).

L = R – C

L(q) = R(q) - C(q)

L(q) = (q2 + 5q + 130) – (q + 95)

L(q) = q2 + 4q + 35

7.2- Qual o lucro para uma quantidade demandada igual a 20?

L(q) = q2 + 4q + 35

L(20) = 202 + 4.20 + 35

L(20) = 515,00

08- As funções de oferta e demanda de um produto são, respectivamente, q

= 2p + 80 e q = – 4p + 200.

8.1- Encontre a quantidade e o preço de equilíbrio.

- Para encontrar a quantidade e o preço de equilíbrio devemos resolver o

sistema.

)120,20(,

120

8020.2

802

20

1206

2004802200-4pq

80 + 2p = q

PeéequilíbriodepontooLogo

q

q

pq

p

p

pp

8.2) Represente graficamente as funções oferta e demanda e o ponto de

equilíbrio.

Função de oferta: s) q = 2p + 80

Função de demanda: d) q = – 4p + 200

8.3) Para que valores de p o preço de oferta excede o preço de demanda?

- Observa-se que quando o preço for maior que 20,00 a quantidade ofertada

torna-se superior a quantidade demanda.

09- Sabe-se que o custo mensal fixo de uma indústria que produz certa

quantidade de sabão em pó (kg) é de R$ 4.000,00 e que o custo variável por

quilo produzido é de R$ 2,00. Sabe-se que o preço de venda é de R$ 10,00 por

quilo.

9.1) Se uma quantidade (q) de sabão (kg) é vendida durante um mês, qual é o

custo mensal p como função de q?

Solução:

Ct = Cv+ Cf

Ct = 2q + 4.000

9.2) Qual o lucro em um mês se 2.000 kg forem vendidos?

Solução:

Lt = Rt – Ct

Lt = Rt – (Cv + Cf)

Lt = 10q – (2q + 4.000)

Lt = 8q – 4.000

Lt = 8x2000 – 4000

Lt = 12.000,00

9.3) Quantos quilos devem ser vendidos em determinado mês, para que não

haja lucro e nem prejuízo?

Solução:

Lt = 0

Lt = 8q – 4.000

0 = 8q – 4000

8q = 4000

q = 500 unidades

10- Uma indústria de produtos de informática tem um custo fixo de R$ 2.000,00

por mês na produção de determinado produto. Sabe-se que cada produto (q)

produzido tem um custo de R$ 50,00 e o preço de venda é de R$ 600,00 por

produto. Qual a quantidade desse produto deve a indústria produzir para ter um

lucro de R$ 40.000,00 por mês?

Solução:

Custo total = custo variável + custo fixo

Ct = 50q + 2000

Receita Total é igual a R = 600q

Lucro = Receita total – Custo total

L = R – C

L = 550q – (50q + 2000)

L = 500q – 2000

Para L = 40000, temos:

40000 = 500q – 2000

500q = 42000

Q = 84 unidades

11- Seja R(q) = x2 + 100 x + 50 a receita total da venda de certa quantidade "q" unidades de um produto. Calcule a receita marginal para q = 10.

R(q) = x2 + 100 x + 50

Quando q = 21

R(21) = 212 + 100.21 + 50

R(21) = 2591

Quando q = 20

R(20) = 202 + 100.20 + 50

R(20) = 2450

Rmg(t) = R(21) – R(20)

Rmg(t) = 2591 – 2450

Rmg(t) = 141,00

12 - O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo de R$ 4 580,00 e um custo variável de R$ 80,00 por unidade produzida.

a) Expresse o custo total C(x) em função do número "x" de unidades produzidas.

b) Qual o nível de produção que gera um custo de R$ 9 060,00?

Solução:

a) C(x) = 4580 + 80 x

b) Como já se sabe o custo total, tem-se:

9060 = 4580 + 80 x

9060 – 4580 = 80 x

4480 = 80 x

4480 / 80 = x

56 = x

Para gerar um custo de R$ 9 060,00 deve ser produzidas 56 unidades.

13 - Um fabricante produz uma fita de vídeo virgem a um custo de R$ 2,00 a

unidade.

As fitas vêm sendo vendidas a R$ 5,00 a unidade, por esse preço são

vendidas 4000 fitas por mês.

O fabricante pretende aumentar o preço da fita e calcula que para cada R$

1,00 de aumento no preço, menos 400 fitas serão vendidas por mês.

a) Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda.

b) Para que preço o lucro é Maximo?

Solução:

a) Sendo "x" o número de fitas vendidas, tem-se que:

(5 + 1) e o número de fitas vendidas será 4000 – 400 = 3600

aumentando R$ 1,00; o preço será de R$ 6,00

(800 = 400 ⋅ 2) (5 + 2) e o número de fitas vendidas será 4000 – 800 =

3200 aumentando R$ 2,00; o preço será de R$ 7,00

(1200 = 400 ⋅ 3) (5 + 3) e o número de fitas vendidas será 4000 – 1200

= 2800 aumentando R$ 3,00; o preço será de R$ 8,00

4000 – 400 ⋅ x Assim, aumentando "x" reais, o preço será de "5 + x" e

o número de fitas vendidas será

Portanto, o custo, que é o número de peças vendidas pelo valor do preço de

custo unitário, será de:

C(x) = (4000 – 400 x) ⋅ 2

C(x) = 8000 – 800 x

A receita, que é o número de peças vendidas pelo preço de venda, será de:

R(x) = (4000 – 400 x) ⋅ (5 + x)

R(x) = 20000 + 4000 x – 2000 x – 400 x2

R(x) = 20000 + 2000 x – 400 x2

Assim, o lucro, que é a diferença entre a receita e o custo, será de:

L(x) = 20000 + 2000 x – 400 x2 – (8000 – 800 x)

L(x) = 20000 + 2000 x – 400 x2 – 8000 + 800 x

L(x) = – 400 x2 + 2800 x + 12000

b) A função tem ponto de máximo em seu vértice, então para o lucro ser

máximo, encontra-se o xV.

xV = – b / (2 a)

xV = – 2800 : [ 2 ⋅ (– 400) ]

xV = 2800 : 800

xV = 3,5

Assim, para se ter o lucro máximo deve-se vender a R$ 3,50.

14 - O valor V (em R$), de um equipamento sofre uma depreciação linear com

o tempo (em "x" em anos) de acordo com o gráfico abaixo:

a) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos?

b) Qual a depreciação total daqui a 3 anos?

c) Daqui a quanto tempo o valor do equipamento será zero?

Solução:

Observando o gráfico nota-se que trata-se de uma função linear e que V(0) =

500 e que V(9) = 200

Assim, V(x) = a x + b

V(0) = a ⋅ 0 + b

500 = 0 + b

500 = b

Assim, V(x) = a x + 500

V(9) = a ⋅ 9 + 500

200 = a ⋅ 9 + 500

200 – 500 = 9 ⋅ a

– 300 = 9 a

– 300/9 = a

– 100/3 = a

como, V(x) = a ⋅ x + 500, então:

V(x) = (– 100/3) ⋅ x + 500

a) O valor do equipamento daqui a três anos se obtém substituindo o "x" por

3.

V(3) = (– 100/3) ⋅ 3 + 500

V(3) = – 100 + 500

V(3) = 400

b) A depreciação daqui a 3 anos se obtém pela diferença V(inicial) −

V(final).

V(0) – V(3)

V(0) – V(3) = 500 – 400

V(0) – V(3) = 100

A depreciação total daqui a três anos será de R$ 100,00.

c) Como, V(x) = a ⋅ x + 500, então:

(multiplicando tudo por 3) 0 = (– 100/3) ⋅ x + 500

0 = – 100 x + 1500

100 x = 1500

x = 1500/100

x = 15

Daqui a 15 anos o valor do equipamento será zero.

15- Um produtor pode fabricar fogões de cozinha ao custo de R$ 140 cada. Os números de venda indicam que, se os fogões forem vendidos a "x" reais cada, aproximadamente (850 – x) serão vendidos por mês.

a) Expresse o lucro mensal do produtor em função do preço de venda "x".

b) Qual o preço ótimo de venda, ou seja, o preço para o qual o lucro é máximo?

c) Qual é o lucro máximo?

Solução:

O custo total para se fabricar "850 – x" fogões ao custo unitário de R$ 140,00, é:

C(x) = 140 ⋅ (850 – x) C(x) = 119000 – 140 x A receita total na venda de "850 – x" fogões com preço de venda unitário a "x" reais, é:

R(x) = x ⋅ (850 – x) R(x) = 850 x – x2 a) O lucro, que é a diferença entre a receita e o custo, é: L(x) = 850 x – x2 – (119000 – 140 x) L(x) = 850x – x2 – 119000 + 140 x L(x) = – x2 + 990 x – 119000 b) O preço para o qual o lucro é máximo é igual ao vértice de "x" da função, mas também é o valor para o qual a derivada é nula. Pelo vértice, tem-se: xV = – b/(2 ⋅ a)

xV = – 990 : [ 2 ⋅ (– 1) ] xV = 990 / 2 xV = 495 O preço ótimo de venda é de R$ 495,00. c) O lucro máximo é obtido pelo vértice de "y" da função ou substituindo o vértice de "x" na função.

L(x) = – x2 + 990 x – 119000

L(495) = – 4952 + 990 ⋅ 495 – 119000 L(495) = – 245025 + 490050 – 119000 L(495) = 490050 – 364025 L(495) = 126025 O lucro máximo é de R$ 126 025,00.

16 - Durante um verão, um grupo de estudantes constrói caiaques em uma garagem adaptada. O preço do aluguel da garagem é de R$ 1 500,00 para o verão inteiro e o material necessário para construir cada caiaque custa R$ 125,00. Sabendo que os caiaques são vendidos por R$ 275,00 cada.

a) Escreva as equações da receita e do custo em função do número "x" de caiaques produzidos.

b) Encontre a equação do lucro (em função de x).

c) Quantos caiaques os estudantes precisam vender para não ter prejuízo?

Solução:

a) O custo total para "x" caiaques produzidos ao preço unitário de R$ 125,00 com custo fixo de R$ 1 500,00, é de: C(x) = 125 x + 1500 A receita total com a venda dos "x" caiaques ao preço de venda de R$ 275,00, é de: R(x) = 275 x b) Dessa forma o lucro será de: L(x) = 275 x – (125 x + 1500) L(x) = 275 x – 125 x – 1500 L(x) = 150 x – 1500 c) Para não ter prejuízo, o lucro mínimo é zero, assim: L(x) = 150 x – 1500 0 = 150 x – 1500 150 x = 1500 x = 1500 / 150 x = 10 Para não se ter prejuízo é necessário que seja vendido 10 (ou mais) caiaques.

17 - As funções de oferta e demanda para um certo produto são O(p) = 3 p + 240 e D(p) = – 2 p + 480, respectivamente. Determine: a) o preço de equilíbrio, em reais. b) o número correspondente de unidades vendidas. c) desenhe as curvas de oferta e demanda no mesmo gráfico. Solução:

a) O preço de equilíbrio ocorre quando a oferta é igual a demanda, assim: O(p) = D(p)

3 p + 240 = – 2 p + 480 3 p + 2 p = 480 – 240

5 p = 240 p = 240 / 5

p = 48

Assim, o preço de equilíbrio é de R$ 48,00.

b) Para se obter o número correspondente de unidades vendidas tanto faz usar a função oferta como a função demanda.

O(p) = 3 p + 240

O(48) = 3 ⋅ 48 + 240 O(48) = 144 + 240

O(48) = 384

D(p) = – 2 p + 480

D(48) = – 2 ⋅ 48 + 480 D(48) = – 96 + 480

D(48) = 384

Assim, no ponto de equilíbrio são vendidas 384 unidades do produto.

c) O gráfico das funções em um mesmo plano:

18 - Um buffet estima que se ele tem "x" clientes em uma semana, então as despesas serão de C(x) = 550 x + 6 500 dólares e o seu faturamento será, aproximadamente, R(x) = 1200 x dólares.

a) Expresse o lucro semanal em função do número "x" de clientes.

b) Determine o lucro que a empresa obterá em uma semana quando tiver 24 clientes.

Solução:

a) L(x) = R(x) – C(x) L(x) = 1200 x – (550 x + 6500) L(x) = 1200 x – 550 x – 6500 L(x) = 650 x – 6500 b) L(x) = 650 x – 6500

L(24) = 650 ⋅ 24 – 6500 L(24) = 15600 – 6500 L(24) = 9100 O lucro da empresa para 24 clientes é de 9 100,00 dólares.

19 - Um produtor pode fazer estantes ao custo de 20 dólares cada. Os números de venda indicam que, se as estantes forem vendidas a "x" dólares cada, aproximadamente (120 – x) serão vendidas por mês. a) Encontre as funções custo total, C(x), e receita, R(x) em função do preço de venda "x". b) Expresse o lucro mensal do produtor em função do preço de venda "x". c) Qual é o lucro do produtor se o preço de venda for de 110 dólares? d) Qual o preço de venda que gera um lucro de 4 560 dólares? Solução:

a) O custo total para se fabricar "120 – x" estantes ao custo unitário de R$ 20,00, é:

C(x) = 20 ⋅ (120 – x) C(x) = 240 – 20 x A receita total na venda de "120 – x" estantes com preço de venda unitário a "x" dólares, é: R(x) = x ⋅ (120 – x) R9x) = 120 x – x2

b) O lucro, que é a diferença entre a receita e o custo, é: L(x) = 120 x – x2 – (240 – 20 x) L(x) = 120 x – x2 – 240 + 20 x L(x) = – x2 + 140 x – 240 c) O lucro para o preço de venda ser de 110 dólares. L(x) = – x2 + 140 x – 240

L(110) = – 1102 + 140 ⋅ 110 – 240 L(110) = – 12100 + 15400 – 240 L(110) = 15400 – 12340 L(110) = 3060 Assim, o lucro seria de R$ 3 060,00. d) O preço de venda para o lucro de 4 560 dólares, é: L(x) = – x2 + 140 x – 240 4560 = – x2 + 140 x – 240 4560 + x2 – 140 x + 240 = 0 x2 – 140 x + 4800 = 0

∆ = (– 140)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 4800 ∆ = 19600 – 19200 ∆ = 400 x = (140 ± 20) / 2 x'(x) = (140 + 20) / 2 x'(x) = 160/2 = 80 x'(x) = 80 x''(x) = (140 – 20) / 2 x''(x) = 120/2 x''(x) = 60 Assim, sendo vendidas 60 ou 80 estantes o lucro será de 4 560 dólares.

20 - O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo de R$ 2 460,00 e um custo variável de R$ 52,40 por unidade produzida.

a) Expresse o custo total C(x) em função do número "x" de unidades produzidas.

b) Encontre o custo adicional se o nível de produção for elevado de 32 para 44 unidades.

c) Qual o nível de produção que gera um custo de R$ 8 957,60?

d) Qual o custo médio quando o nível de produção é de 80 unidades?

Solução:

a) O custo total para "x" unidades produzidas é: C(x) = 52,4 x + 2460 b) O custo para elevar de 32 para 44 unidades é a diferença entre C(44) e C(32)

C(32) = 52,4 ⋅ 32 + 2460 C(32) = 1676,8 + 2460 C(32) = 4136,8

C(44) = 52,4 ⋅ 44 + 2460 C(44) = 2305,6 + 2460 C(44) = 4765,6 C(44) – C(32) = 4765,6 – 4136,8 C(44) – C(32) = 628,8 O custo adicional para elevar de 32 para 44 unidades é de R$ 628,80. c) Se o custo for de R$ 8 957,60, tem-se: 8957,6 = 52,4 x + 2460 8957,6 – 2460 = 52,4 x 6497,6 = 52,4 x 6497,6 / 52,4 = x 124 = x Para se ter um custo de R$ 8 957,60 é necessário produzir 124 unidades. d) O custo médio para 80 unidades produzidas. CM(x) = C(x) / x C(x) = 52,4 x + 2460

C(80) = 52,4 ⋅ 80 + 2460 C(80) = 4192 + 2460 C(80) = 6652 CM(80) = C(80) / 80 CM(80) = 6652 / 80 CM(80) = 83,15 O custo médio para se produzir 80 unidades é de R$ 83,15.

Exercícios Propostos

- Resolva as questões abaixo extraídas do livro matemática aplicada para os

cursos de administração, economia e ciências contábeis do prof. Jair Mendes

Marques (página 40, Editora Juruá).

01- Um fabricante de máquinas de cortar grama tem um custo fixo de R$

5.000,00 e um custo variável de R$ 100,00 por máquina produzida.

(a) Encontre o custo para produzir 500 máquinas. (Gabarito: R$ 55.000,00)

(b) Calcule o custo adicional quando a produção for elevada de 500 para 800

máquinas. (Gabarito: R$ 30.000,00)

(c) Quantas máquinas poderão ser produzidas a um custo de R$

80.000,00? (Gabarito: 750)

02- Para o problema anterior, sabe-se que cada máquina é vendida por R$

150,00.

(a) Determine a função receita total. (Gabarito: R = 150x)

(b) Qual é o faturamento gerado por 200 máquinas? (Gabarito: R$ 30.000,00)

(c) Determine a função lucro. (Gabarito: L = 50x – 5000)

(d) Qual é o lucro resultante da venda de 800 máquinas? (Gabarito: R$

35.000,00)

03- Uma empresa estima que o faturamento total obtido com a venda de x

máquinas fotográficas por ano é dado pela função R(x) = 2x2 + 50x + 200.

(a) Represente graficamente a função R(x);

(b) Qual deve ser o nível de venda para que o faturamento seja de R$

100.000,00? (Gabarito: Aproximadamente 211)

(c) Qual será o faturamento obtido com a venda de 2.000 máquinas

fotográficas? (Gabarito: R$ 8.100.200,00)

04- Num modelo quadrático de oferta e demanda, essas funções são dadas,

respectivamente, por p(x) = 0,5x2 + 2 e p(x) = -0,25x2 + 5, onde p = preço e x =

quantidade.

(a) Determine algebricamente o ponto de equilíbrio; (Gabarito: E(2,4))

(b) Represente graficamente as duas funções, identificando o ponto de

equilíbrio.

(c) Para quais valores de x o preço de oferta é superior ao preço de

demanda? (Gabarito: x > 2)

05- Uma indústria metalúrgica fabrica torneiras tendo um custo fixo de R$

8.000,00 por mês. Se cada torneira fabricada tem um custo de R$ 10,00 e o

preço de venda é de R$ 18,00 por torneira, quantas torneiras a indústria deverá

produzir para ter um lucro de R4 16.000,00 por mês? (Gabarito: 3.000)

06- O custo unitário das máquinas de lavar louça de certa Companhia é R$

250,00, sendo o custo fixo associado à produção igual a R$ 20.000,00. Sendo

o preço de venda de cada máquina igual a R$ 400,00, determine:

(a) a função custo total; (Gabarito: C = 20.000 + 250x)

(b) a função receita total; (Gabarito: R = 400x)

(c) a função lucro total; (Gabarito: L = 150x – 20.000)

(d) o ponto de break-even; (Gabarito: 440/3, 160.000/3)

(e) a produção necessária para a obtenção de um lucro de R$

55.000,00. (Gabarito: 500)

07- Uma indústria produz 2.000 unidades de um bem de consumo, sendo o

lucro bruto obtido pela venda da produção igual a R$ 20.000,00. Sabe-se que o

custo fixo de produção é R$ 2.000,00 e que o preço de venda de cada unidade

do bem é R$ 15,00. Calcular:

(a) o custo unitário de produção; (Gabarito: R$ 4,00)

(b) o ponto de break-even; (Gabarito: aproximadamente (182, 2730)

(c) a produção necessária para um lucro de R$ 24.000,00. (Gabarito:

aproximadamente 2.364)

08- Sabe-se que a equação da demanda de um bem é dada por x = 200 – 4p,

sendo o custo associado C = 4p – 12. Determinar:

(a) a função receita total, traçando o gráfico correspondente; (Gabarito: R =

200p - 4p2)

(b) o ponto de break-even; (Gabarito: aproximadamente (49, 184))

(c) a função lucro, traçando o gráfico correspondente. (Gabarito: L = 4p2 +

196p + 12).

09- O custo para produção de uma determinada mercadoria tem custo fixo

mensal de R$ 1440,00 que inclui: conta de energia elétrica, de água, impostos,

salários e impostos e um custo de R$ 50,00 por peça produzida.

Considerando que o preço de venda da unidade de cada produto seja de R$

140,00, monte as Funções Custo, Receita e Lucro.

Função Custo total mensal: C(t) = 1440 + 50. t Função Receita total mensal: R(t) = 140.t Função Lucro total mensal:

L(t) = Rt - Ct L(t) = 140 t – (1440 + 50 t) L(t) = 140 t – 1440 – 50 t L(t) = 90 t – 1440

10- Quando ocorre uma variação no custo total decorrente da variação de uma unidade na quantidade produzida, o custo encontrado é denominado Custo Marginal (Cmg). Cmg(q) = C(q + 1) – C(q)

Em decorrência dessa explicação, resolva o seguinte problema: - O custo, em reais, de fabricação de "q" unidades de um produto de informática é C(q) = q2 + 5 q + 10. Atualmente o nível de produção é de 20 unidades. Calcule, aproximadamente, de quanto varia o custo se forem produzidas 21 unidades.

C(20) = 202 + 5 ⋅ 20 + 10 C(20) = 400 + 100 + 10 C(20) = 510

C(21) = 212 + 5 ⋅ 21 + 10 C(21) = 441 + 105 + 10 C(21) = 556 Cmg(q) = C(21) – C(20) Cmg(q) = 556 – 510 = 46,00 Bibliografia

- DANTE, L. R. (2005) Matemática. São Paulo: Editora Ática.

- IEZZI, G. et AL. (2004) Matemática: Ciência e Aplicações. 2a Ed. São

Paulo:Atual

- SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Função de 2º Grau"; Brasil Escola.

- GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui.

Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.

Site Consultado

- https://hpdemat.apphb.com