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Autoras: Márcia Stochi VeigaMaria Aparecida dos SantosMaria Angela de OliveiraRegina Célia Ferreira FedeleSuzana Lima de Campos Castro
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
2ª Edição - 2010Revisão: Julho de 2010 por Suzana Castro
Copyright Veris Faculdades
Prezado (a) Aluno(a)
Você está recebendo um material de Matemática, destinado aos alunos ingressantes dos cursos de graduação, que dará suporte à revisão de conteúdos e competências relacionados ao raciocínio lógico-matemático O material tem um conjunto de explicações de conceitos e atividades de aplicação.
Temos certeza que o trabalho realizado contribuirá muito com o seu desempenho ao longo do curso.
Bom estudo!
Equipe Acadêmica
1
Sumário
Introdução ........................................................................................................................................ 3
Módulo I ............................................................................................................................................ 5 1. Conjuntos Numéricos ............................................................................................................... 5 2. Expressões Numéricas em Z .................................................................................................... 7 3. Exercícios ............................................................................................................................... 12
Módulo II ......................................................................................................................................... 17 1. Números Racionais ................................................................................................................ 17 2. Frações ................................................................................................................................... 18 3. Expressões Numéricas envolvendo Números Racionais Frações ......................................... 20 4. Exercícios ............................................................................................................................... 21
Módulo III ........................................................................................................................................ 26 1. Números Reais ....................................................................................................................... 26 2. Exercícios ............................................................................................................................... 29
Módulo IV ....................................................................................................................................... 33 1. Equação do 1º Grau ............................................................................................................... 33 2. Sistemas de Equações do 1º Grau ......................................................................................... 37 3. Equações do 2° Grau ............................................................................................................. 40 4. Exercícios ............................................................................................................................... 43
Módulo V ........................................................................................................................................ 49 1. Razão ..................................................................................................................................... 49 2. Proporção ............................................................................................................................... 51 3. Exercícios ............................................................................................................................... 53
Módulo VI ....................................................................................................................................... 56 1. Polinômios .............................................................................................................................. 56 2. Produtos Notáveis .................................................................................................................. 57 3. Fatoração de Polinômios ........................................................................................................ 58 4. Simplificação de Expressões Racionais ................................................................................. 59 5. Exercícios ............................................................................................................................... 60
Referências Bibliográficas ........................................................................................................... 65
Dicas de sites, livros, vídeos e links interessantes ................................................................... 66
2
3
Introdução
Sendo assim, não pretendemos cobrir todo o conteúdo da matemática do ensino fundamental e médio, nem mesmo nos aprofundar em demasia nas definições.
O material está divido em Módulos, referentes a cada encontro de 4 horas-aula do curso. No Módulo I iniciamos com o conceito de Conjuntos Numéricos, Operações e Propriedades. Tratamos também de Expressões Numéricas com Números Inteiros.
No Módulo II, revisamos o conceito de Frações e Números Decimais, além de apresentarmos a resolução de Expressões Numéricas com Números Racionais.
No Módulo III, apresentamos expressões envolvendo radicais, além da Notação de Intervalos. Finalmente, no Módulo IV, tratamos da resolução de equações do 1o e 2o Graus.
Incluímos ainda dois Módulos Complementares: um sobre Razão e Proporção/ Porcentagem e outro sobre Polinômios e Fatorações, para serem tratados de acordo com a necessidade da área de conhecimento específico de cada curso de graduação.
Cada módulo inclui um resumo do conteúdo teórico que é desenvolvido durante as aulas, incluindo exemplos, exercícios resolvidos e exercícios propostos.
Esperamos assim contribuir para que cada aluno tenha uma visão crítica e prática da aplicação dos conceitos matemáticos básicos necessários nos cursos de graduação.
Bom trabalho!
Este texto é um material de apoio para o curso de Fundamentos de Matemática, oferecido pela Metrocamp aos calouros dos seus cursos de graduação: Bacharelado e Tecnologia.
A proposta do curso é permitir que o aluno atualize seus conhecimentos de matemática básica, revendo alguns conceitos e reforçando as técnicas de manipulação algébrica. A prática, por meio de exercícios orientados, é o ponto mais relevante neste processo.
4
5
Módulo I
O número
Na vida primitiva, o homem não precisava controlar quantidades. O senso numérico bastava. Com a criação de animais domésticos, no entanto, surgiu um dos primeiros problemas quantitativos para o qual o senso numérico não tinha resposta. Os pastores perceberam que não bastava saber que no fim do dia deviam voltar muitos animais, já que muitos haviam saído. Se a quantidade não fosse conhecida melhor, várias cabeças se perderiam. Mas como saber se todos os animais que saíram, voltaram? Para resolver esse problema, os pastores criaram um sistema no qual para cada ovelha que saísse, cada pastor separava uma pedrinha; ao voltarem da pastagem eles tinham como conferir se todas as ovelhas haviam retornado. A relação de correspondência biunívoca que os pastores estabeleceram não existe a não ser na ideia humana. Trata-se, portanto, de um pensamento. 1. Conjuntos Numéricos
Conjunto dos números naturais – IN
IN = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
IN* = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Conjunto dos números inteiros – Z
Z = { ..., –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Z– = { ..., –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0}
Conjunto dos números racionais – Q
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≠∈∈= 0 Z , Z ,Q beba
ba
Conjunto dos números reais – IR
O conjunto dos números reais é composto pelos números racionais e irracionais (dízimas infinitas não periódicas).
6
Q
IN
IR
Z
Operações básicas sobre conjuntos numéricos
Operação Notação Exemplo Adição a+b 2+3 = 5
Subtração a–b 12–4 = 8
Multiplicação axb ou a.b 2.3 = 6
Divisão a:b ou a/b ou
ba
sendo b≠0 12:3 =
312 = 4
Potenciação an 52 = 5.5 = 25
30 = 1
Radiciação n a 416 =
283 =
Propriedades de uma operação OP sobre um conjunto numérico B
Propriedade Definição Exemplo
Comutativa a OP b = b OP a 2+3 = 3+2 2.3= 3.2
Associativa (a OP b) OP c = a OP (b OP c). (2+3) + 4 = 2+(3+4)
(2.3) . 4 = 2.(3.4)
Fechamento a OP b pertence ao conjunto B, se a e b pertencem a B. Na adição vale o fechamento
Elemento Neutro
Existe um elemento X em B, que: a OP X = X OP a = a.
2+0 = 0+2 =2 (0 é o elemento neutro da adição)
2.1 = 1.2 = 2
(1 é o elemento neutro da multiplicação)
Distributiva a.(b+c) = a.b + a.c 2.(x+3) = 2x + 6
RQZN ⊂⊂⊂
7
2. Expressões Numéricas em Z
Números inteiros
O conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros negativos, o número zero e os números inteiros positivos.
O número inteiro negativo é sempre antecedido pelo sinal –, que lemos menos. O número inteiro positivo pode ou não ser antecedido pelo sinal +, que lemos mais.
Números opostos ou simétricos
O oposto de um número a é –a.
Exemplos:
Oposto de 3 é –3.
Oposto de –2 é 2.
Valor absoluto ou módulo
⎩⎨⎧
<−≥
=0 se ,
0 se ,||
aaaa
a
Exemplos:
3|3|3|3|=−
=
Adição de números inteiros
Quando somamos números positivos estamos juntando ganhos, e o resultado é o total de ganhos (positivo). Quando somamos números negativos estamos juntando perdas, e o resultado é o total de perdas (negativo).
Exemplo
5)3()2(5)3()2(
−=−+−+=+++
A soma de dois números inteiros de sinais diferentes significa que estamos juntando perdas e ganhos. Se a perda for maior que o ganho, o total será a diferença entre perda e ganho com sinal
8
negativo. Mas se o ganho for maior que a perda, o total será a diferença entre o ganho e a perda com sinal positivo.
Exemplo
132)3()2(132)3()2(+=+−=++−
−=−=−++
Regra da adição
Subtração de números inteiros
A subtração de dois números é equivalente à soma do minuendo com o oposto do subtraendo:
)( baba −+=−
Portanto segue a regra da adição.
Exemplos
532)3()2()3()2(532)3()2()3()2(
−=−−=−+−=+−−=+=+++=−−+
Multiplicação de números inteiros
A multiplicação é equivalente a uma soma de parcelas iguais.Exemplo
10)10()55()5).(2()5).(2(10)55()5).(2()5).(2(
10)5()5()5.(2)5).(2(10)5()5()5.(2)5).(2(
=−−=−−−=−+−=−−−=+−=++−=+−
−=−+−=−=−++=+++=+=++
Regra da multiplicação
Mesmo sinal – O resultado da multiplicação é um número positivo.
Sinais contrários – O resultado da multiplicação é um número negativo.
Sinais iguais – Adicionam-se os valores absolutos e conserva-se o sinal.
Sinais contrários – Subtraem-se os valores absolutos e conserva-se o sinal do número de maior valor absoluto.
9
Divisão de números inteiros
Exemplos
43
12)3).(12(
43
12)3).(12(
+=−−
=−−
+=++
=++
43
12)3(:)12(
43
12)3(:)12(
−=+−
=+−
−=−+
=−+
Potenciação de números inteiros
A potência de um número inteiro, que tem como expoente um número natural maior que 1, é um produto de fatores iguais.
Exemplo
8)2).(2).(2()2(8)2).(2).(2()2(
3
3
−=−−−=−
+=+++=+
Regra da potenciação
Algumas propriedades da potenciação de números inteiros
Expoente 1 – O resultado é a própria base.
Exemplos
1)12(1)12(
0
0
=−
=+
Base positiva e expoente natural – O resultado é um número positivo.
Base negativa e expoente natural par – O resultado é um número positivo.
Base negativa e expoente natural ímpar – O resultado é um número negativo.
Mesmo sinal – O quociente é um número positivo.
Sinais contrários – O quociente é um número negativo.
10
Produto de potências de mesma base
O produto de duas ou mais potências de mesma base é igual a uma potência com a mesma base, e o expoente é igual à soma de todos os expoentes das potências fatores.
Exemplo
32)2()2).(2).(2).(2).(2()2.()2( 2323 −=−=−−−−−=−− +
Regra
nmnm aaa +=.
Quociente de potências de mesma base
O quociente de duas potências de mesma base é igual a uma potência cuja base é a mesma das potências envolvidas na divisão, e o expoente é a diferença dos expoentes do dividendo e do divisor. Exemplo
4)2()2()2(:)2( 235)2).(2).(2(
)2).(2).(2).(2).(2()2()2(353
5
=−=−===−− −−−−
−−−−−−−
Regra nm
aanm aaa n
m −==:
Expoente zero e base não nula
Qualquer número inteiro diferente de zero elevado ao expoente zero é igual a um, pois equivale a uma divisão onde o dividendo e o divisor são iguais.
Exemplo
112121212 033
3
3
=== −
Expoente negativo
Qualquer número inteiro diferente de zero elevado ao expoente negativo é igual ao inverso da base elevado ao valor absoluto do expoente.
Exemplo
33
0303
21
2222 === −−
Regra
11
0 ,1≠=− a
aa p
p
Potência de potência
Uma potência elevada a um expoente (potência de potência) é igual à base da potência elevada a um expoente expresso pelo produto dos expoentes dados.
Exemplo
( ) 62.322232 222.2.22 ===
Regra
( ) nmnm aa .=
Observação
25622 832 ==
Expressões numéricas
Nas expressões numéricas, as potências e raízes quadradas são efetuadas antes das multiplicações e divisões. E estas, antes das adições e subtrações. Além disso, devem ser respeitados os parênteses, colchetes e chaves.
Exemplo 1
321004028
100)8.(54.710)2.(5)2.(7 232
−=−+
=−−−=−−−−
Exemplo 2
12910
2]081[102)]44()8(1[10
4)]2:84()2(3[10 30
−=−−
=−−+−=−−−−−−
=−−−−−−
12
3. Exercícios
Nos exercícios de 1 a 9, calcule o valor das expressões numéricas:
1. )649()55(:)272()29).(47( +−−+−−+−−+−−−
2. [ ])31(:)36()45).(34(10)71(:)39( −−−++−−−−−+−−−
13
3. [ ]1)3).(3()11(:)44()4.(750 −+−+−−−+−
4. 02532 5)4(:)2()3()12(:)6( −−−+−−−−
5. [ ]2322 5)2(:)610(30)25(:)32( −−+−−+−−−
14
6. 3222 )25(:)9()50(:)55()31).(67( +−−++−−−−−−
7. [ ] 29302 4)1(81:)3(10)7( −−−−−+−
8. [ ]03224252 1064:4)3(:)3()2:2(2 +−−−−−+
15
9. [ ] 3234232 125:)5(27)1.(6)2(:20)2.(75 −−+−−+−−−−−
10. O número inteiro x representa a diferença entre o quadrado do número 1− e o cubo do número 1− . Qual é o número x?
11. Qual é o valor numérico da expressão 223 3 xaa − quando 10=a e 2=x ?
16
12. Determine o valor numérico da expressão 33 )( cba −− quando 3−=a , 1+=b e 5+=c .
Respostas
1. 63+ 2. 14− 3. 28+ 4. 21+
5. 6+ 6. 11+ 7. 38+ 8. 2−
9. 78+ 10. 2+ 11. 200− 12. 37+
17
Módulo II
Os números racionais
O surgimento da propriedade privada criou a necessidade de se lidar com um novo tipo de movimento quantitativo. Há cerca de 4.000 anos o faraó egípcio Sesóstris repartiu as terras férteis da margem do rio Nilo em porções iguais e cedeu, para cada família, um lote. Mas existia um problema. O rio transbordava e acabava com as marcas dos lotes. Como saber a quantidade de terra de cada proprietário? A quantidade de terra não vem organizada em unidades naturais, como no caso dos animais. Não é uma quantidade discreta. É contínua. O problema que os egípcios enfrentaram foi como controlá-la.
Para resolver esse problema, inventaram a medição. Ela tem como elemento a criação de unidades artificiais para se contar uma quantidade contínua, já que esta não vem organizada em unidades naturais.
A unidade artificial para medir uma quantidade depende de como é essa unidade. No caso da medição de terras, ela é caracterizada pela extensão, área e comprimento. Dessa forma, a unidade artificial a ser criada deverá ser, necessariamente, um comprimento. Criou-se um novo campo numérico, apreendido pela razão de dois números: o total das subunidades e quantas couberam na sobra. Essa característica deu o nome do novo campo numérico: o número racional. Houve uma expansão do campo numérico das quantidades discretas para as contínuas, do número natural para o racional. As contínuas incluem as discretas, pois estas são um caso particular daquelas. Da mesma forma, o número racional contém o número natural, sendo esse um caso particular no qual a medição com a unidade escolhida não apresenta sobra. 1. Números Racionais
Números racionais são os que podem ser descritos como o quociente de dois números inteiros.
Representação
Fração Decimal
23
5,1
31
−
....33333,0−
18
2. Frações
Fração
Uma fração é representada por: ba
sendo a o numerador e b≠0 o denominador. O denominador
indica o número de partes iguais em que um todo deverá ser dividido. E o numerador indica quantas daquelas partes em que o todo foi dividido estão sendo consideradas no caso.
Frações equivalentes
Representam a mesma quantidade.
Exemplo
63
42
21
==
Simplificação de frações
Obter uma fração equivalente mais simples, ou na forma irredutível.
Exemplo
21
770385
=
Fração inversa
O inverso deba é 0 e a›0 sendo , ≠b
ab
Adição e subtração de frações
Para adicionar e subtrair frações é necessário que elas tenham o mesmo denominador. Quando a expressão apresentar frações com diferentes denominadores, devem-se calcular frações equivalentes com denominadores iguais, onde o denominador comum para as frações equivalentes será o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos denominadores. Exemplos
101
104
105
52
21
109
104
105
52
21
=−=−
=+=+
19
Multiplicação e potenciação de frações
Multiplicar duas frações equivale a obter o produto dos numeradores e dos denominadores.
Exemplos
51
102
52.
21
==
1258
52
5.5.52.2.2
52
3
33
===⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Observação
Se possível, simplificar antes de realizar o produto.
51
52.
21
=
Divisão de frações
Toda divisão pode ser convertida nesse tipo de multiplicação, sem alterar o seu significado.
Exemplo
31.2
32
= .
Assim, dividir duas frações equivale a multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.
Exemplos
45
25.
21
52:
21
==
56
54.
23
45:
23
4523
===
Radiciação de frações
Efetuar a radiciação de uma fração equivale a extrair a raiz do numerador e do denominador.
Exemplo
32
94
=
20
3. Expressões Numéricas envolvendo Números Racionais Frações
Nas expressões numéricas, as potências e raízes quadradas são efetuadas antes das multiplicações e divisões. E estas, antes das adições e subtrações. Além disso, devem ser respeitados os parênteses, colchetes e chaves.
Exemplo
712
751
1:751
425.
254:
751
254:
254:
751
52:
254:
751
25:
52.
52:
751
2
2
2
=+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−
−
21
4. Exercícios
Nos exercícios de 1 a 11, calcule o valor das expressões numéricas:
1. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
361
67
1813
125
2. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
65
41
83
3. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
21
31.
53
22
4. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
412:2
651
5. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
311.
411
533:
531
6. 243
1211
21
211 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
23
7. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
32:
34
32.
21
2
8.
61)1(
43
52
6 +−
−
9. ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
22
21:
43
21
23
24
10. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− 1
41:16.
21
2549.
75 4
11. 23
21
31
321
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
25
12. Sabendo que 2−=a e 21
−=b , determine o valor numérico de 22 baba +− .
Respostas
1. 98
2. 2423
3. 101
−
4. 35
−
5. 67
6. 1633
−
7. 23
+
8. 103
−
9. 4
19+
10. 1−
11. 9−
12.
413
+
26
M
Qucoé Tees
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Co
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Módulo
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Pitágoras número
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s com o
o podem acionais,
1,0001;
27
Intervalo
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos os números reais compreendidos entre p e q, podendo inclusive incluí-los.
Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q chamada de amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q, o intervalo é fechado; caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaixo define os diversos tipos de intervalos.
Tipos de intervalos Representação Observação
Fechado [p;q] = {x ∈R; p ≤ x ≤ q} inclui p e q
Aberto (p;q) = { x ∈R; p < x < q} exclui p e q
Fechado à esquerda [p;q) = { x ∈R; p ≤ x < q} inclui p e exclui q
Fechado à direita (p;q] = {x ∈R; p < x ≤ q} exclui p e inclui q
Semifechado [p ∞ ) = {x ∈R; x ≥ p} valores maiores ou iguais a p
Semifechado (- ∞ ; q] = { x ∈R; x ≤ q} valores menores ou iguais a q
Semiaberto (- ∞ ; q) = { x ∈R; x < q} valores menores que q
Semiaberto (p; ∞ ) = { x > p } valores maiores que p
Adição algébrica entre números reais
A adição entre duas parcelas só é possível se os termos forem semelhantes.
Exemplos
I. A expressão algébrica yxyx 7423 +−+ pode ser reduzida adicionando-se os termos
semelhantes: yxyyxx 9)72()43( +−=++−
II. A expressão numérica 77247223 +−+ pode ser reduzida adicionando-se os termos
semelhantes: 792)7772()2423( +−=++−
Multiplicação entre números reais
O produto de dois ou mais radicais de mesmo índice é um radical com o mesmo índice dos fatores cujo radicando é igual ao produto dos radicandos dos fatores.
28
Exemplo
102525 =⋅=⋅
Potenciação de números reais
A potência é calculada usando a definição, ou seja, ser a multiplicação entre números reais da
base. Por exemplo: ( ) 3333333 22==⋅=⋅=
Racionalização de números irracionais
Racionalizar uma expressão é deixá-la com o denominador inteiro, não importando o tipo de valor que resultará no numerador. A escolha do fator multiplicativo está relacionada com a necessidade de transformar o valor do denominador num número natural, mas sem alterar o valor absoluto da fração inicial.
Exemplo
...7071,022
42
222
22
21
21
===⋅
=⋅=
29
2. Exercícios
1. Calcule, utilizando a calculadora, o valor das raízes quadradas, escrevendo o resultado com até duas casas decimais:
a. =2
b. =3
c. =5
d. =− 5
e. =− 5
f. π =
2. Escreva, na forma mais simples possível, cada uma das expressões:
a. 738610 +− =
b. 21017 +− =
c. 5105104 −+− =
30
3. Calcule as somas algébricas. Sugestão: fatore os radicais, simplifique-os, em seguida efetue as adições entre os termos semelhantes.
a. 4571253 + =
b. 2
336122
2243
448
+−− =
c. 7298250518 +−+ =
4. Efetue as multiplicações:
a. 2887 ⋅ =
31
b. 102)52(63 ⋅−⋅ =
c. 6
25410
⋅ =
5. Calcule, utilizando a propriedade distributiva:
a. )51(3 + =
b. )2338)(2886( ++ =
32
c. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
21
425
48
=
6. Usando a definição de potência, o conceito de multiplicação entre números reais, calcule:
a. ( ) =2
3
b. ( ) =5
4
c. =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛4
31
Respostas
1. a. 41,12 =
b. 73,13 =
c. 23,25 =
d. 23,25 −=−
e. =− 5 não existe raiz real
f. 14,3=π
2. a. 738610 +− b. 21017 +− c. 5105104 −+−
3.
a. 536
b. 3
38−
c. 220
4.
a. 224
b. 3120−
c. 12
55
5.
a. 153 +
b. 1206256 +
c. 42
45
+
6.
a. 3
b. 32
c. 91
33
Módulo IV 1. Equação do 1º Grau
Equação
É uma afirmativa de igualdade entre duas expressões.
Equação do 1o grau sobre uma variável
É uma equação que pode ser escrita na forma: 0=+ bax , sendo a e b números reais com a≠0.
Exemplos
042 =−x é uma equação linear sobre a variável x.
Um problema
A tabela abaixo apresenta as notas de avaliações de matemática de determinado aluno durante o semestre letivo, com seus respectivos pesos:
Prova P1 B1 P2 B2
Nota 4,0 5,0 4,5
Peso 1,6 2,4 2,4 3,6
As notas das avaliações são sempre arredondas de 0,5 em 0,5 ponto, e para o aluno ser aprovado é necessário que a média final ponderada, calculada entre as quatro provas, seja maior ou igual a 5,0.
Qual deve ser a nota mínima da prova B2 para que o aluno seja aprovado?
Resolução:
Sendo x a nota B2 e M a média, temos:
M = 1,6.4 + 2,4.5 + 2,4.4,5 + 3,6.x
1,6 + 2,4 + 2,4 + 3,6
Para determinar x, sendo M=5, precisamos resolver uma equação do 1o grau, ou seja:
510
.6,32,29=
+ x
34
01234
=+z é uma equação linear sobre a variável z.
Solução ou raiz
Uma solução, ou raiz, de uma equação em x é um valor de x para o qual a equação é verdadeira.
Uma equação do 1° grau em uma variável tem exatamente uma solução.
Exemplos
x=2 é solução de 042 =−x , pois 04442.2 =−=−
9−=z é solução de 01234
=+z , pois 0121212)9.(34
=+−=+−
Equações equivalentes
Duas ou mais equações são equivalentes quando possuem a mesma solução.
Exemplos
042 =−x , 42 =x e x = 2 são todas equivalentes.
01234
=+z , 1234
−=z e 9−=z são todas equivalentes.
Resolução de uma equação do 1o grau
• Resolver uma equação é transformá-la em uma equação equivalente cuja solução é óbvia.
• Para resolver uma equação do 1º grau isolamos a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades: 1. “Ao adicionar ou subtrair o mesmo valor aos dois membros de uma igualdade, ela não se
altera.” 2. “Ao multiplicar ou dividir por uma constante não nula (diferente de zero) os dois membros
de uma igualdade, ela não se altera.”
Exemplos
1. Resolver a equação 53 =−s :
Para determinar o valor de s, somamos 3 aos dois membros 3533 +=+−s e obtemos: 8=s
35
2. Resolver a equação 1013 =+p :
Para determinar o valor de p, primeiro somamos –1 aos dois membros: 110113 −=−+p
obtendo: 93 =p
Dividindo os dois membros por 3, temos: 39
33
=p
e portanto 3=p
3. Sabendo que 732 =−− x , calcule x:
Somando 3 aos dois membros, temos:
10237332
=−+=+−−
xx
Para obtermos x, dividimos os dois membros por –2: 5
210
22
−=−
=−
−
x
x
4. Encontre a raiz da equação )13(280)4(3 +−=− ss :
Aplicando inicialmente a propriedade distributiva para simplificar as expressões, obtemos:
2680123 −−=− ss
Somando 6s aos dois membros, temos:
ssss 626806123 +−−=+−
78129 =−s
Somando 12 aos dois membros, temos: 909 =s
Para obtermos s, dividimos os dois membros por 9: 10
990
99
=
=
s
s
5. Resolver a equação 52
42
=+x :
Multiplicando os dois membros pelo mínimo múltiplo comum entre 4 e 5, m.m.c.(4,5)=20, temos:
52.20
42.20 =
+x
ou seja:
8)2.(5 =+x
aplicando a propriedade distributiva, temos: 8105 =+x
36
Somando –10 aos dois membros, temos: 25 −=x
Para obtermos x, precisamos dividir os dois membros por 5.
Então 52−
=x
Observações A equação ax=b, com a=0 não foi definida como equação do 1° grau. Quando a=0 e b≠0 a equação ax=b é impossível (ou seja, não possui solução):
Por exemplo, a equação )14(3)46(2 −=− xx não possui solução. Essa equação não é equivalente a uma equação do 1o grau ax=b, com a≠0, pois aplicando a propriedade distributiva para simplificar e depois somando (–12x) aos dois membros, obtemos:
38312812
−=−−=− xx
que é uma equação falsa. Quando a=b=0, a equação ax=b é indeterminada (ou seja, não possui infinitas soluções).
Por exemplo, a equação )24(3)36(2 −=− xx possui infinitas soluções. Essa equação não é equivalente a uma equação do 1o grau ax=b, com a≠0, pois aplicando a propriedade distributiva para simplificar e depois somando (–12x) aos dois membros obtemos:
66612612
−=−−=− xx
37
2. Sistemas de Equações do 1º Grau
Sistema de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas
Um sistema linear sobre as variáveis x e y é descrito por:
⎩⎨⎧
=+=+
feydxcbyax
sendo a,b,c,d,e,f constantes.
Exemplos
⎩⎨⎧
=−=−
63443
yxyx
é um sistema linear nas variáveis x e y.
⎩⎨⎧
=−=+
3624
baba
é um sistema linear nas variáveis a e b.
Solução de um sistema
Uma solução de um sistema de duas equações com duas variáveis é um par ordenado que satisfaz cada uma das equações.
Exemplos
(1,2) é solução do sistema⎩⎨⎧
=+−=−
421
yxyx
, pois substituindo x=1 e y=2 nas equações, obtemos:
Um problema:
Um estagiário trabalha 20 horas por semana, no total, em duas empresas: A e B. A empresa A paga R$12,00 por hora e a B paga R$ 20,00 por hora.
Certa semana ele recebeu R$ 360,00. Quantas horas ele trabalhou em cada empresa?
Resolução
Considerando que o estagiário trabalhou x horas na empresa A e y horas na empresa B, temos que:
(1) 20=+ yx e
(2) 3602012 =+ yx
Essas duas equações determinam um sistema de equações.
38
⎩⎨⎧
=+−=−
421.2121
e portanto ambas são satisfeitas.
(0,1) não é solução do sistema⎩⎨⎧
=+−=−
421
yxyx
, pois substituindo x=0 e y=1 nas equações, obtemos:
⎩⎨⎧
≠+−=−
410.2110
e a segunda equação não é satisfeita.
Resolução de um sistema de equações do primeiro grau
(1) Método da substituição
Esse método consiste em isolar uma das incógnitas de uma das equações e em seguida substituir a expressão na outra equação.
Exemplo
Resolver o sistema ⎩⎨⎧
=+=+
553225
yxyx
Podemos isolar o valor de x na primeira equação: yx −= 25
Em seguida, substituímos esta expressão na segunda equação: 553)25.(2 =+− yy
e resolvemos a equação, obtendo o valor de y: 5
5550553250
==+
=+−
yy
yy
Agora, substituímos o valor de x em qualquer uma das equações dadas, obtemos o valor de x:
2025525
==+=+
xx
yx
Observação
Um procedimento equivalente para resolver esse sistema, por exemplo, isolando y na segunda equação e substituindo a expressão na primeira equação para resolver uma equação em x.
Todos os procedimentos equivalentes resultam na mesma solução.
39
(2) Método da adição (ou cancelamento)
Esse método consiste em somar membro a membro das duas equações, com o objetivo de eliminar uma das incógnitas.
Nesse processo, cada uma das equações pode ser multiplicada por uma constante não nula, já que isto não altera sua solução (ver detalhes no estudo de equações do 1o grau).
Exemplo
Resolver o sistema ⎩⎨⎧
=+=+
553225
yxyx
Podemos notar que ao somar membro a membro as equações dadas, nenhuma incógnita é eliminada: 3x+4y=80
No entanto, podemos multiplicar a primeira equação por –2:
⎩⎨⎧
=+−=−−
55325022
yxyx
e em seguida somar membro a membro com a segunda equação, eliminando x e encontrando o valor de y:
555503222
=+−=+−+−
yyyxx
o valor de x é obtido substituindo y em qualquer uma das equações do sistema:
2025525
==+=+
xx
yx
Observação
Um procedimento equivalente pode, por exemplo, consistir em multiplicar a primeira equação por –3, somar membro a membro com a segunda equação para eliminar a variável y. Nesse caso o valor de x será encontrado e substituído em uma das equações para determinar y.
Todos os procedimentos equivalentes resultam na mesma solução.
Observações
• Quando as equações do sistema são incompatíveis, o sistema não possui solução. Esse fato será detectado durante a resolução do sistema, por qualquer um dos métodos, por meio da obtenção de uma equação falsa.
40
Por exemplo, na resolução do sistema ⎩⎨⎧
=−−=+
5525
yxyx
pelo método da adição, obtemos:
8005525
=+=−+− yyxx
essa expressão não é verdadeira, quaisquer que sejam x e y.
Logo o sistema não tem solução.
Quando as equações do sistema são redundantes, o sistema possui infinitas soluções. Esse fato será detectado durante a resolução do sistema, por qualquer um dos métodos, pela obtenção de uma equação verdadeira para qualquer incógnita:
Por exemplo, na resolução do sistema ⎩⎨⎧
−=−−=+
2525
yxyx
pelo método da adição, obtemos:
002525
=−=−+− yyxx
essa expressão é verdadeira, quaisquer que sejam x e y = 25–x .
Logo o sistema possui infinitas soluções da forma: )25,( xx − . 3. Equações do 2° Grau
Quando a equação tem mais que uma raiz
Considere a seguinte pergunta: “Qual é o número inteiro cujo quadrado é 81?”
Provavelmente responderão rapidamente.
“É nove.”
Embora 9 seja uma solução, ela não é única. O número -9 elevado ao quadrado também resulta em 81, portanto, a questão admite duas soluções:
• 9 é uma solução, pois 9 . 9 = 81
• -9 é uma solução, pois (-9) . (-9) = 81
Então podemos escrever uma equação (igualdade que apresenta letras) associada a esta situação-problema: r2 =81.
Equações desse tipo são chamadas de equações do 2º grau porque o maior expoente da incógnita r é igual a 2.
41
Equações do 2º grau completas e incompletas
A formulação geral ou padrão de uma equação do segundo grau, na variável x, é:
0.. 2 =++ cxbxa
com a, b e c reais e a não nulo.
Equações completas e incompletas
Quando as equações do 2º grau na forma a. variável2 + b . variável + c = 0 têm todos os coeficientes diferentes de zero, dizemos que elas são completas; se b ou c, ou os dois, forem iguais a zero, dizemos que elas são equações incompletas.
Exemplos
3z2 + 4z + 1 = 0, completa com a = 3, b = 4 e c = 1
-4s – 3s2 = 0, incompleta com a = -3, b = -4 e c = 0
g + 3g2 = -7, completa, com a = 3, b = -4 e c = 7
(nesse caso, antes precisamos escrever a equação na forma padrão!)
6n2 = 0, incompleta com a = 6, b = 0 e c= 0.
Observação
O coeficiente a não poderá ser zero, pois caso seja, deixaremos de ter uma equação do 2º grau para obtermos uma equação do primeiro grau.
Resolução de uma equação do 2º grau
Para calcular o valor da incógnita em uma equação do 2º grau utilizamos uma fórmula, que é conhecida como “fórmula de Bhaskara”. Mas, na verdade, não foi ele quem a descobriu.
Bhaskara, que viveu na Índia por volta de 1150, resolveu vários problemas que envolviam equações do 2o grau. No entanto, historiadores encontraram indícios de que na civilização da Babilônia, em 1700 a.C., já eram resolvidas algumas equações do 2o grau.
A dedução dessa fórmula, para a equação do 2º grau na forma padrão ou geral: 0.. 2 =++ cxbxa , na variável x, está a seguir:
1º Passo – Isolamos o termo c: cxbxa −=+ .. 2
2º Passo – Multiplicamos os dois membros por 4.a: caxbaxa ..4...4..4 22 −=+
3º Passo – Adicionamos b2 aos dois membros: cabbxbaxa ..4...4..4 2222 −=++
4º Passo – Completamos um quadrado no primeiro membro, então podemos fatorá-lo:
cabbxa ..4)..2( 22 −=+
42
5º Passo – Extraímos a raiz quadrada dos dois membros: cabbxa ..4..2 2 −±=+
6º Passo – Isolamos x: a
cabbx.2
..42 −±−=
Nessa fórmula, a expressão cab ..42 − é representada pela letra grega maiúscula ∆ (lê-se delta).
Assim teremos: a
bx.2
Δ±−=
Exemplo
Resolver a equação 3z2 – 10z + 3 = 0:
Nessa equação, observamos que: a = 3, b = -10 e c = 3.
Daí, temos:
∆ = (-10)2 -4.3.3= 64
66410 ±
=x
z = 3 ou z = 31
Raízes da equação do 2º grau
As raízes de uma equação do 2o grau podem ser iguais, diferentes ou não pertencer ao conjunto dos reais.
O ∆ (delta) também chamado de discriminante da equação é quem discrimina as raízes, de acordo com os critérios:
Discriminante negativo – Nenhuma raiz real.
Discriminante zero – Duas raízes reais e iguais.
Discriminante maior que zero – Duas raízes reais e diferentes.
43
4. Exercícios
Nos exercícios de 1 a 7, resolva as equações:
1. 372 =+x
2. 2532 +=− pp
3. xx 17141623 −=−
44
4. 42)1(2 +=−− yy
5. 63
524
3 xx+=+
6. 4
3521
105 fff −
=−
+−
45
7. )14(3)46(2 −=− nn
8. A tabela abaixo apresenta as notas de avaliações de matemática de determinado aluno
durante o semestre letivo, com seus respectivos pesos:
Prova P1 B1 P2 B2
Nota 4,0 5,0 4,5
Peso 1,6 2,4 2,4 3,6
As notas das avaliações são sempre arredondas de 0,5 em 0,5 ponto, e para o aluno ser aprovado é necessário que a média final ponderada, calculada entre as quatro provas, seja maior ou igual a 5,0.
Qual deve ser a nota mínima da prova B2 para que o aluno seja aprovado?
46
9. Resolva o sistema linear ⎩⎨⎧
=+−=+
110352
nmnm
Nos exercícios de 10 a 14, determine as raízes das equações:
10. 035122 =++ nn
11. 35122 −=− zz
47
12. 020 2 =+ pp
13. 02613 2 =+ xx
14. 0442 =++ ff
48
15. Encontre dois números cuja soma seja 9− e o produto 14.
Respostas
1. 2−=x
2. 0=p
3. 43
=x
4. 21
−=y
5. 74
−=x
6. 21−=f
7. Não possui solução
8. 6,0
9. 3=m 1= −en
10. 7 5 −=−= noun
11. 7 5 == zouz
12. 20 0 −== poup
13. 0 5,0 =−= xoux
14. 2−=f
49
Módulo V 1. Razão
A palavra racional vem do latim ratio que significa razão, também entendido em matemática como divisão.
Razão é uma relação entre grandezas, onde a grandeza, qualidade ou propriedade de determinado objeto que se pode medir contando (discreta) ou medir medindo (contínua).
Exemplo:
Um estagiário ganha R$ 240,00 e um profissional da mesma especialidade ganha R$ 1.200,00. Qual a razão entre esses salários?
Resolução
Nesse caso,51
6012
12024
1200240
=== é a razão entre esses salários, ou seja, para cada R$ 1,00 que
o estagiário recebe, o profissional recebe R$ 5,00.
Porcentagem
A palavra porcentagem é proveniente do latim per centum e quer dizer por cem. O símbolo % surgiu como abreviatura da palavra cento utilizada nas operações de mercado. Matematicamente,
o símbolo p% é utilizado para representar a fração razão centesimal, ou seja: 100
% pp =
Representação
Taxa porcentual
Fração irredutível
Número decimal
28% 28
100= 7
25 0,28
Exemplos
1. Quando se anuncia que “A Aids cresceu 200% entre adolescentes”, pode-se entender que o número de casos triplicou na década de 90.
2. Quando se anuncia que “O segmento de carros populares é responsável por 67% das vendas de veículos”, o símbolo 67% pode ser interpretado como se a cada 100 veículos vendidos, 67 deles fossem do segmento dos carros chamados populares.
50
3. Um artigo custa R$ 120,00. Quanto representa em porcentagem, um desconto de R$ 24,00, sobre o preço inicial desse artigo?
Resolução:
Na verdade, a pergunta desse exercício é a seguinte: “Quanto 24 representa de um total de 120?
Portanto, basta comparar 24 com 120 e isso se faz por meio da seguinte razão: 12024
Logo temos: 2010020
1022,0
51
12024
===== %
Razões entre grandezas de mesma espécie
É o quociente entre os números que expressam as medidas dessas grandezas em uma mesma unidade.
Exemplo
Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho a razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
Razões entre grandezas diferentes
É o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que relaciona as grandezas envolvidas.
Exemplo
A velocidade média, em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).
vmédia = distância percorrida/tempo gasto
Escala = comprimento no desenho/comprimento real
51
2. Proporção
É a igualdade entre duas razões e indicada por:
mn
= pq
onde m e p antecedentes e p e q são consequentes; n e p são meios e m e q são extremos.
Propriedade
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”, ou seja:
mn
= pq
⇔ m.p = p.n
Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção, ou seja, quando a razão entre elas for um número constante.
Exemplo
Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água. A cada quinze minutos é medida a altura da água. O resultado está na tabela:
Tempo (min)
Altura (cm)
15 50
30 100
45 150
A razão entre essas grandezas pode ser expressa por: 1550
= 30100
= 45150
= 0,3
Como a razão é constante, podemos dizer que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira fica aberta.
Enquanto o tempo aumenta, a altura também aumenta na mesma proporção.
52
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção, ou seja, quando a razão entre os valores de uma das grandezas é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes de outra grandeza.
Exemplo
Um ciclista faz um treino para a prova de "1.000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo:
Velocidade (m/s) Tempo(s)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
A razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.
Quando a velocidade é duplicada, o tempo fica reduzido à metade.
53
3. Exercícios
1. Converter as taxas abaixo da forma porcentual para a unitária:
a. 1,2% =
b. 12,35% =
c. 0,375% =
d. 1232,47% =
e. 354,3% =
2. Transformar as taxas abaixo da forma unitária para a porcentual:
a. 0,11 =
b. 0,00432 =
c. 1,4 =
d. 0,2525 =
e. 3,4654 =
3. Calcular os valores de:
a. 10% de 29 + 4,2% de 17 =
b. 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,7 =
54
c. 0,4% de 125 + 1,6% de 234,25 =
4. Um comerciante remarcou em 5% o preço de suas mercadorias. Qual é o novo preço de uma mercadoria que era vendida por R$ 74,50?
5. Um vestido estava exposto em uma loja com o preço de etiqueta de R$ 210,00. Um cliente, alegando que faria pagamento a vista, solicitou um desconto de 15% e foi atendido. Quanto pagou pelo vestido?
55
6. Um funcionário recebe um salário-base de R$ 850,00. Recebe também um adicional por tempo de serviço de 5% sobre o salário-base. Além disso, está respondendo pela chefia da seção, recebendo por isso 8% sobre o salário-base. O empregador desconta 8,5% sobre seu salário total para a contribuição previdenciária. Quanto recebe esse funcionário?
7. Uma pessoa recebe R$ 1.500,00 de salário da empresa em que trabalha. Recebe também R$ 700,00 do aluguel de um apartamento, além de R$ 800,00 de uma aplicação em CDB. Qual é a participação porcentual de cada fonte em seu salário total?
Respostas
1. a. 0,012 b. 0,1235 c. 0,00375 d. 12,3247 e. 3,543
2.
a. 11,0% b. 0,432% c. 140,0% d. 25,25% e. 346,54
f. 3.
a. 3,614 b. 0,8861 c. 4,248
4. R$ 78,23
5. R$ 178,50
6. R$ 878,86
7. 50% , 23,33% e 26,67%
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Módulo VI 1. Polinômios
Um polinômio na variável x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma
anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0
onde n é um inteiro não negativo e an ≠ 0. Os números an−1, K , a1, a0 são números reais chamados de coeficientes. O grau do polinômio é n e o coeficiente principal é an.
Polinômio com um único termo é chamado de monômio; com dois termos, é chamado de binômio, e com três termos, de trinômio. Exemplos
3x4 + x3 + 2x2 − x + 1
2x5 + 1
2
−x2 + 2x − 3
Termos semelhantes
Termos dos polinômios que têm a mesma variável, elevada à mesma potência, são chamados de termos semelhantes.
Exemplo
Nos polinômios 3x4 + x3 + 2x2 − x + 1 e −x2 + 2x − 3, os termos semelhantes são:
2x2 e − x2
−x e 2x
1 e − 3
Adição e subtração de polinômios
Para adicionar os subtrair polinômios, adicionamos ou subtraímos os termos semelhantes.
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Exemplos
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2331)5(4232
3521432
23
2233
2323
+−−
=+−+−+++−++
=+−++−+−
xxxxxxxxx
xxxxxx
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
643224)(3420
22434
23
223
232
−++−
=−−+−−+−+−
=+−+−−+
xxxxxxxx
xxxxx
Multiplicação de polinômios
A multiplicação de dois polinômios requer a multiplicação de cada termo de um polinômio por todos os termos do outro, aplicando a propriedade distributiva.
Na multiplicação de cada um dos termos, como as variáveis são as mesmas, utiliza-se da propriedade do produto de potências de mesma base. Em seguida, os termos semelhantes resultantes devem ser adicionados.
Exemplos
( )( )
107121081512
))5.(2)4.2())5.(3()4.3(54.23
2
2
−−
=−+−
=−++−+=−+
xxxxx
xxxxxx
2. Produtos Notáveis
Sendo u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas, temos os seguintes resultados: Produto de uma soma e uma diferença (u+ v).(u− v) = u2 − v2
Quadrado da soma (u+ v)2 = u2 + 2uv + v2
Quadrado da diferença (u− v)2 = u2 − 2uv + v2
Cubo da soma (u+ v)3 = u3 + 3u2v + 3uv2 + v3
Cubo da diferença (u− v)3 = u3 − 3u2v + 3uv2 − v3
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3. Fatoração de Polinômios
Fatorar um polinômio significa escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores. Um polinômio que não pode ser fatorado está na forma irredutível. Os produtos notáveis podem ajudar na fatoração.
Fatores comuns em evidência
O primeiro passo na fatoração de um polinômio é remover e colocar em evidência fatores comuns de seus termos usando a propriedade distributiva.
Exemplos
2x3 + 2x2 − 6x = 2x(x2 + x − 3)
u3v + uv3 = uv u2 + v2⎛
⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
Fatoração da diferença de quadrados
Ao identificar a diferença de dois quadrados é possível fatorar a expressão por meio do produto de uma soma e uma diferença.
Exemplo
25x2 − 36 = (5x)2 − 62 = (5x + 6)(5x − 6)
Fatoração de um trinômio
Um trinômio ax2 + bx + c pode ser fatorado utilizando as raízes da equação do 2o grau
correspondente, ax2 + bx + c = 0, x1 e x2: ax2 + bx + c = a.(x − x1).(x − x2)
Exemplo
x2 − 5x + 6 = 1.(x − 3).(x − 2)
Fatoração por agrupamento
Se um polinômio com quatro termos é o produto de dois binômios, os termos podem ser agrupados para fatorar. Para isso, a fatoração dos termos comuns em evidência é utilizada duas vezes.
Exemplo
3x3 + x2 − 6x − 2 = x2(3x +1) − 2(3x +1) = (3x +1).(x2 − 2)
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4. Simplificação de Expressões Racionais
Expressões racionais
Uma expressão racional é o quociente ou razão de dois polinômios.
Exemplos
3x3 + x2 − 6x − 2(3x + 1)
, sendo x ≠ − 1
3
6x − 2x − 1
, sendo x ≠ 1
Simplificação de expressões racionais
Uma expressão racional uzvz
, sendo u, v e z variáveis ou expressões algébricas com z, v ≠ 0, pode
ser escrita na forma mais simples usando uzvz
= uv
Isso requer a fatoração do numerador e do denominador. Quando os fatores comuns do numerador e do denominador forem removidos, a expressão racional está na forma reduzida.
Exemplos
3x3 + x2 − 6x − 2(3x + 1)
= (3x + 1)(x2 − 2)(3x + 1)
= (x2 − 2)
6x − 23x − 1
= 2(3x − 1)3x − 1
= 2
x2 −1
x2 − 2x +1= (x +1)(x −1)
(x −1)2= (x +1)(x −1)
(x −1)(x −1)= (x +1)
(x −1)
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5. Exercícios
1. Opere com as expressões algébricas, reduzindo-as à forma mais simples:
a. 4b3 + 7b − 11+ 3b3 − 2b + 1=
b. (2x − 3)(x + 5) =
c. (y3 + 9y − 3) − (y3 − 4y − 2) =
61
d. (r − 10) − (r − 10) =
e. (3v2 − 2v + 9) − (3v −1).(v + 4) =
f. (−4pq2).(3p3q) =
62
2. Desenvolva os produtos:
a. (c + 5)(c − 5) =
b. (m − 3)2 =
c. (2 − 5p)(2 + 5p) =
d. (3p + 1)2 =
3. Fatore as expressões: a. 30x2 −12x +18xy =
b. 25c2 − 4d2 =
c. 5x2 − 5x + xy − y =
d. y2 − 16y + 64 =
e. 9m2 + 6mn + n2 =
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4. Simplifique as expressões:
a. 18x3
15x=
b.
x3
x2 − 2x=
c.
x2 + 6x + 9
x2 − x − 12=
d.
4x2 − 1
2x3 + x2=
Respostas
1. a. 1057 3 −+ bb b. 1572 2 −+ xx
c. 113 −y d. 0 e. 20133 2 +− vv
f. 3412 qp−
2. a. 252 −c b. 962 +− mm
c. 2254 p−
d. 169 2 ++ pp3.
a. )325(6 yxx +− b. )25)(25( dcdc −+
c. )5)(1( yxx +− d. 2)8( −y
e. 2)3( nm +
4.
a. 5
6 2x
b.
x2
x − 2
c. )4()3(
−+
xx
d. 2
12xx −
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Referências Bibliográficas
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IEZZI, G. DOLCE, O. MACHADO, A. Matemática e Realidade: 7º ano – 6 ed. – São Paulo: atual, 2009.
NICOLAU, S. Eu aprendo Matemática: 6ª série. São Paulo. Ediouro, 2002.
BIGODE. A.J.L. Matemática hoje é feita assim. 6ª série. São Paulo. FTD, 2000
Ensino Fundamental 8º ano – Material Didático UNO
Ensino Fundamental 9º ano – Material Didático UNO
Matemática Ensino Fundamental – Universitário Sistema Educacional.
BOYER, Carl B. História da Matemática, Editora Edgard Blucher Ltda, 2a Edição
CARNEIRO, Lucinei. História da Matemática, site:http://www.start.com.br/matemática
GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática, Volumes 1 e 4, Editora Ática
IFRAH, Georges.Os Números, A História de uma Grande Invenção, Editora Globo
VITT, Catarina Maria. Matemática com Prazer. Editora Unimep, 2a edição.
BIANCHINI Edwaldo Paccola, Herval. Sistema de Numeração ao Longo da História. Editora Moderna, 1ª Edição.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1999.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol 1 Conjuntos e Funções, 8ª Ed. São Paulo: Atual, 2004.
Giovanni e Giovani Jr. A conquista da matemática. Volumes 1 ao 4. Editora FTD, 2002. Sites:
http://ead.veris.com.br/webct
http://www.somatematica.com.br/fundam/graninv.php
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Dicas de sites, livros, vídeos e links interessantes
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Tahan, Malba. Matemática Divertida e Curiosa. São Paulo: Ed. Record, 2004.
www.somatematica.com.br
http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/PesquisaObraForm.do / (Escolha o Tipo de mídia: Vídeo e a Categoria: TV Escola – Matemática)
http://www.youtube.com/watch?v=ciTSNCp2g8Q&feature=related
http://72.3.253.76:8080/webMathematica3/quickmath/page.jsp?s1=algebra&s2=simplify&s3=basic
http://www.math.sc.edu/cgi-bin/sumcgi/calculator.pl
http://www.easycalculation.com/index.php