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2012.2

Prof. Eric Vinícius Freitas

Fundamentos da Matemática e Estatística

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Divisão entre dois números é chamada de razão (toda fração é também uma razão)

Exemplo: Dos 50 alunos de uma classe, apenas 30 foram aprovados. Qual a razão dos alunos

aprovados (ou taxa de aprovação)?

As razões aparecem muito na Física. Exemplo são a velocidade média ( definida como a razão

entre o espaço percorrido e o tempo gasto) e a aceleração (definida como a razão entre a

velocidade e o tempo).

Exemplo: Um móvel percorreu 2,7KM em 7,5 minutos. A velocidade média do móvel nesse

percurso, em unidade do SI, foi de:

Uma proporção é uma igualdade entre dias razões. Proporções são extremamente úteis e

importantes na matemática e na física. Uma proporção

deve ser lida como “a está para b,

assim como c está para d”. Os valores a e d são chamados de extremos (estão nas extremidades) e

os valores b e c, de meios (estão no meio). Para toda a proporção vale a seguinte regra:

o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

De fato,

=

=> 2.15 = 6.5

EXERCÍCIOS

1- Descubra o valor de x em cada proporção abaixo:

a)

=

b)

=

2- A razão entre as idades de um filho e seu pai é de

Se o filho tem 24 anos, qual a idade do pai?

3- Para se obter tinta verde de uma certa tonalidade, usam-se tinta amarela e tinta azul na razão

de 2 para 3.Se o litro da tinta amarela custa R$ 7,00 e o da tinta azul, R$ 5,00, então o custo, em

reais, para se produzirem 20 litros da tinta verde é de quanto?

4- Dois pintores, A e B, foram contratados para pintar um muro e receberam juntos um total de R$

80,00 pelo serviço. Esses pintores trabalham durante o mesmo período, sendo que A pintava 8

do muro a cada duas horas; e B, 6 por hora. Sabendo-se que o pagamento foi diretamente

proporcional à área pintada por cada um, pode-se afirmar que A recebeu, em reais:

a) 50,00 b) 48,00 c) 32,00 d) 20,00 e) 16,00

5- Considere a,b, e c números reais, em que a< b< c. Se o maior é igual à soma dos outros dois e o

menor, a um quinto do maior, então a, b e c são proporcionais, respectivamente a:

a) 1, 2 e 4 b) 1,4 e 5 c) 1,6 e 8 d)2,3 e 4 e)2,4 e 5

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REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA:

Uma regra de três é uma proporção na qual um dos elementos é desconhecido. Regra de três

simples envolve apenas dois tipos de grandezas, enquanto a composta envolve mais de dois tipos.

Duas grandezas são diretamente proporcionais se ,quando uma aumenta, a outra também

aumenta na mesma proporção e vice-versa; elas serão inversamente proporcionais se, quando

uma aumentar, a outra diminui também na mesma proporção e vice-versa.

Passos para se resolver uma regra de três:

1- Organize as grandezas de mesmo tipo em colunas. A incógnita (a grandeza desconhecida) deve

ser chamada de x ( ou de outra letra qualquer);

2- Verifique se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais;

3- Inverta apenas as grandezas que forem inversamente proporcionais ( a referência é a grandeza

desconhecida);

4- Monte e opere as proporções

Exemplo: Uma casa de 3 quartos é construída em 21 dias. Em quantos dias será construída uma

outra de 5 quartos, se o número de operários for mantido?

Exemplo: (Regra de Três Composta)

Uma casa de 3 quartos é construída em 21 dias por 10 operários.Em quantos dias será construída

uma outra de 5 quartos, se o número de operários aumentar para 35?

1- Uma pessoa recebe R$ 300,00 por 18 dias de trabalho. Quanto receberá por 30 dias de

trabalho?

2- Um carro faz um percurso a uma velocidade constante de 60 Km/h durante 7 horas. Se viajar

pelo mesmo percurso durante 4 horas, qual a velocidade média desenvolvida por esse carro?

3- Oitenta operários constroem um muro de 100 m de comprimento e 3m de altura em 5 dias,

trabalhando 6 horas por dia.Em quantos dias, 60 operários deverão trabalhar para construir um

novo muro semelhante ao primeiro com 150 m de comprimento, 4 m de altura, trabalhando 8

horas por dia?

PERCENTAGEM (OU PORCENTAGEM)

Significa “por cem”. Ela surge da razão entre um número de 100 (razão centesimal) e é indicada

pelo símbolo %.

Uma razão pode ser escrita na forma percentual.Por exemplo, a razão

pode ser escrita como

=

0,4.100% = 40 %

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Em outras palavras, para calcular uma porcentagem , faça a divisão indicada pela razão e

multiplique o resultado por 100%

Exemplo 1: quanto é 15% de 300?

Exemplo 2: Se um objeto foi comprado por R$ 20,00 e depois foi revertido por R$ 26,00, qual foi a

taxa percentual de lucro obtida?

EXERCÍCIOS

1- Que percentagem representa 360 de 1500?

2- Em um mês típico,50 % dos OVNIS observados nas vizinhanças de Brasília são atribuídos a

aviões, e

das restantes observações de OVNIS é atribuído a balões atmosféricos.SE, durante um

mês típico, 108 OVNIS foram observados, quantas dessas aparições são atribuídas a balões

atmosféricos?

3- Sabe-se que a distância percorrida em uma Meia Maratona é 24 Km e que um atleta que ocorre

a uma velocidade média de 320 metros por minuto em

de hora terá percorrido x% do percurso

total. Com base nessa informação, pode-se afirmar que o valor de x é:

a) 30 b) 24 c) 22 d) 16 e) 12

4- Para atrair clientes uma loja resolve fazer uma promoção, dando desconto de 15% para

compras entre R$ 900,00 e R$ 1800,00,o que não aumentou o volume de vendas. Resolveu então

aumentar em 10% o desconto já anunciado. Com base nessa informação, uma compra no valor de

R$ 1600,00 teve quanto de desconto, em reais?

a) 400 b) 424 c) 264 d) 250 e) 240

Área de Figuras Planas

• Área do Retangulo: A área de um retangulo de base b e altura h é dada pelo produto b x h

• Área do quadrado: O quadrado é um espécie de retângulo em que a base e a altura tem

medidas iguais.Logo, a área de um quadrado de lado l é dada pelo produto de l x l

• Área do Paralelogramo: A área de um paralelogramo de base b e altura h é dada por b x h

• Área do Triângulo: A área do triângulo de base b e altura h é definida por

• Área do trapézio: A área de um trapézio de medidas b (base menor) e B (base maior) e

h(altura) é dada pelo semiproduto de (b+B) por h. A = ( )

• Áreade um Círculo: A área de um círculo de raio r é igual ao produto da constante ∏ pelo

quadrado de r. A = ∏.

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Função do 1º Grau

As funções de 1º grau estão presentes em diversas situações do dia-a-dia.Vejamos este por

exemplo.

Uma loja de eletrodoméstico contrata vendedores com as seguintes condições salariais:

um fixo de R$ 100,00 mais 5% sobre as vendas efetuadas.

Vamos procurar uma fórmula que forneça o salário no final de cada mês. Lembremos que:

5% = 0,05.Chamemos o total do salário de y. Se o vendedor fizer uma venda de R$ 500,00,

receberá:

Y = 100 + 0,05.500 = R$ 125,00

Façamos uma tabela para visualizar melhor a situação.

Y = 100 + 0,05x

Salário Fixo ( em reais) Venda (em reais) % Total

100 500 5 125

100 1000 5 150

100 2000 5 200

De modo geral, se ele venderx, teremos que:

A fórmulay = 100 + 0,05x expressa uma função de 1º grau. A representação gráfica de uma função

deste tipo sempre será uma reta: (esboçar o gráfico).

Definição:

Chama-se função do 1º grau a função f:R → R definida por y = ax + b, com a e b números reais e a

≠ 0 e a é o coeficiente angular da reta e determina sua inclinação, b é o coeficiente linear da reta e

determina a intersecção da reta com o eixo y.

A função de 1º grau pode ser classificada de acordo seus gráficos.Considere a forma genérica y =

ax + b

1.1- Função Constante: se a=0, entãoy = b, b є R. Desta maneira, y=4 é função constante, pois,

para qualquer valor de x, o valor de y ou f(x) será sempre 4. (Esboçar o gráfico).

1.2- Função Identidade: Se a = 1 e b =0, então y = x. Nesta função, x e y têm sempre o mesmos

valores. Graficamente temos: (Esboçar o gráfico)

A reta y =x ou y = f(x) é denominada bissetriz dos quadrantes ímpares.

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1.3- Função linear: é a função do 1º grau quando b = 0, a ≠0 e a ≠ 1, a e b є R.Exemplos:

F(x) = 5x; y =

x; f(x) = -2x; y = 10x

1.4- Função afim`: é a função do 1º grau quando a ≠ 0, b ≠ 0, a e b є R.Exemplos:

F(x) = 3x + 1; y = 4x; f(x) = -x + 5

Função Crescente e função decrescente:

a) Se f(x) é crescente se a é um número positivo ( a>0)

b) Se f(x) é crescente se a é um número negativo (a<0)

Exercício Resolvido:

1- Obtenha o valor de m є R para que a função seja do 1º grau, em cada caso: (Resolver com

os alunos na sala)

a) F(x) = ( m + 1) x + 3

b) F(x) = ( – 4)x + 5

Exercício Proposto:

1-Determine, em cada caso, o valor de k є R para que a função seja do 1º grau:

a) F(x) = (3k + 6)x + 1

b) F(x) = (2k – 8)x +7

c) F(x) = ( – 25)x – 2

d) Y = ( – 9)x – 1

2-Esboce o gráfico das funções e determine se são crescentes ou decrescentes:

a) Y= 2x + 1

b) Y=-2x +4

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Raíz ou zero de um função de 1º grau:

A raiz ou zero de uma função de 1º grau é o valor de x para o qual y = f(x) = 0.Graficamente é o

ponto em que a reta “corta o eixo x”.Portanto, para determinar a raiz de uma função de 1º grau,

basta a igualarmos a zero:

F(x) = ax +b => ax + b =0 ax = -b => x =

Exercício Resolvido:

1-determine a raiz da função F: R → R, tal que f(X) = 3x +1.(Resolver em sala)

2-Determine m є R para -5 seja a raiz da função f: R →R , dada por f(x) = -x + 3m.( Resolver em

sala)

3-Determine o valor de K є R para que a função f(x) = (4k + 12)x + 1seja crescente. (Resolver em

Exercícios Propostos:

1- Determine em R a raiz de cada uma das funções:

a) F(x) = -x +7

b) F(x) = 3x + 9

c) F(x) =

– 7

d) Y = -4x -12

e) Y =

x + 5

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2-Determine k є R para que -3 seja raiz da função y = 12x + k

3-Determine m є R para que as funções sejam crescentes:

a) Y = (m + 3) x

b) y = (2m + 5)x – 1

Funções do 2º grau

Chama-se função do 2º grau ou função quadrática, de domínio R e contradomínio R, a função f(x)

= a + bx + c, onde a,b e csão números reais e a ≠0.

A é coeficiente de ;

B é coeficiente de x;

C é o termo independente

Chama-se função completa aquela em que a, b e c não são nulos e incompleta quando b e c são

nulos.

Observe os exemplos :

a) F(x) = + 2x – 1 é função quadrática completa onde a=1, b= 2 e c = -1

b) Y= 2 – 8 é função quadrática incompletaonde a=2 , b= 0 e c=-8

Exercícios Resolvido ( Resolver em sala)

1-Em cada caso determine m para que a função seja do 2º grau.

a) Y= (2m + 1) + 3x – 1

b) Y= (

-

) + 5


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1-Em cada caso, determine k є R para que a função seja do 2º grau:

a) Y= (-k + 1) – 2x -1

b) Y= (

+ 7)

c) Y= ( -3k+ 15)

Raízes da função do 2º grau

Analogamente à função do 1º grau, para encontrar as raízes da função quadrática, devemos

igualar f(x) a zero. Teremos então:

a + bx + c = 0

A expressão assim obtida denomina-se equação do 2º grau .As raízes da equação são

determinadas utilizando-se a fórmula de Bháskara:

√

Onde – 4ac

Δ( letra grega: delta) é chamado de discriminante da equação. Observe que o discriminante terá

um valor numérico, do qual temos de extrair a raiz quadrada. Neste caso, temos três casos a

considerar:

Δ> 0 => duas raízes reais e distintas

Δ = 0 => duas raízes reais iguais

Δ< 0 => não existem raízes reais ( )

Exercício resolvido( Resolver em sala)

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1-Calcule as raízes das funções do 2º grau e esboce os gráficos:

a)y = -7 + 6x + 1

b)y = – 3x

c)y = – 81

Exercícios Propostos

1-Esboçe o gráfico das funções do 2º grau abaixo:

a) F(x) = - – 4x-3

b) F(x) = 2

c) F(x) = 5 – 4x + 11

Pontos importantes da parábola

Vértice (V): É o ponto de coordenadas ( lê-se: x do vértice) e (lê-se y do vértice) dadas

por:

e

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Ponto de intersecção com o eixo Oy:

Para x=0 => y= a. + b.0 + c=> y= c

Ocorre sempre no ponto (0,c)

Eventuais pontos de intersecção com o eixo Ox:

Para y = 0=> a + bx + c=0

A resolução da equação do 2º grau é facilitada com o emprego da fórmula de Bháskara

Nem sempre a equação do 2º grau apresenta solução, na realidade existem três possibilidades

considerando que pode ser positivo, nulo ou negativo.

1ª possibilidade:

A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos tendo em vista que a equação admite

duas soluções reais distintas(raízes da função): Esboçar o gráfica na sala

2ª possibilidade:

Neste caso a equação admite duas soluções reais iguais.Portanto, a parábola intercepta o eixo Ox

em um único ponto, ou seja, a parábola tangencia o eixo Ox no ponto (

, 0).Esboçar o gráfico na

sala

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3ª possibilidade:

Neste caso a equação não admite solução real. Logo a parábola não intercepta o eixo OX. Esboçar

o gráfico na sala

Exercício Proposto:

1-As coordenadas do vértice da função y = – 2x + 1 são :

a)(1;4)

b) (1;2)

c) (1;1)

d) (0;1)

e) (1;0)

2-Calcule as coordenadas do vértice da parábola descrita pela função do 2º y = 3 + 6x – 2

3-Em um reservatório de água, o nível y varia com o tempo contado em horas a partir da meia-

noite, conforme função: y= -1,3 + 7,8t – 4,2.O instante em que o reservatório está mais cheio é:

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Sistema de unidade de medidas

Medidas de comprimento:

KM HM DAM M dm cm mm

1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01 0,001m

Medidas de massa

KG HG DAG G dg cg mg

1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01 0,001g

Medidas de capacidade

KL HL DAL l dl cl ml

1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Medidas de area

K H DA d c m

1

Medidas de volume

K H DA d c m

1

Relações importantes:

1. 1d = 1l

2. 1 = 1000l

3. 1 = 1ml

Medidas de tempo( Unidade de medida no SI)

1 hora = 60 minutos = 3600s

1 minuto = 60 segundos

1 dia = 24 horas = 1440 minutos = 86400 segundos

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1-Escreva os seguintes valores em unidades de :

a) 2K

b) 0,08 K

c) 9000 c

d) 12000m

e) 150 d

f) 10 c

2-Um antibiótico de uso pediátrico é apresentado sob a forma de 400 mg de amoxilina para cada 5

ml de solução.Uma criança com a idade de 30 meses, com 15 Kg de massa, deve fazer o uso de

4ml desse medicamento a cada 12 horas. Considerando que o tratamento deve durar 9 dias, qual

será a quantidade de amoxilina consumida pela criança até o término do tratamento?

a) 28,8g

b) 0,0288 Kg

c) 5,76 g

d) 0,0576 Kg

e) 6,8 g

3-Converta em Da :

a) K

b) H

c) m

d) d

e)

f)

4-Converta as seguintes medidas de volume em medidas de capacidade:

a) 2,8 em litros c) 70 d

b) 3 c em militros

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