Professor Diomedes

Colégio Salesiano Dom Bosco

Funções

Funções InjetorasObserve o gráfico da função f: R → R abaixo:

Valores diferentes de x estão correspondendo a valores diferentes de y, ou seja:

Note que o mesmo não ocorre no gráfico abaixo:

Existem valores diferentes de x que possuem a mesma imagem:

Se uma função é só crescente ou só decrescente, valores diferentes de x possuem imagens diferentes. Quando isso ocorre dizemos que a função é

injetora.

Em outras palavras, uma função é dita injetora se dois elementos distintos de A correspondem sempre a duas imagens distintas em B.

Exemplo 1: O diagrama a seguir representa a função injetora f: A → B

Exemplo 2: O diagrama a seguir não representa uma função injetora f: A → B

Quando estudamos uma função f: A → B , três conjuntos estão relacionados:- conjunto A é o domínio da função, formado pelos valores da variável independente x;- conjunto B é o contradomínio da função;- conjunto Im(f), formado pelos valores de y tais que y = f(x).

O conjunto Im(f) é subconjunto do contradomínio B.

Uma função é dita sobrejetora quando o contradomínio da função for igual ao conjunto imagem. Em outras palavras uma função é sobrejetora quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A.

Im(f) = B

Exemplo 1: A função f: R → [1,∞) é sobrejetora, pois, segundo o gráfico

Funções Sobrejetoras

Exemplo: Im(f) = [1,∞[

Exemplo 2: A função f: A → B, a seguir, representa uma função sobrejetora

Dado dois conjuntos não vazios A e B uma função f: A -> B é dita bijetora se ela for tanto sobrejetora quanto injetora.

Exemplo 1

Funções Bijetoras

Noção Via Conjunto

Exemplo 2

Exemplo 2

A função acima não é bijetora, pois a mesma não é sobrejetora. Podemos perceber pelo simples fato de que o conjunto do contradomínio é diferente do conjunto imagem (nem todos elementos do contradomínio foram flechados).

Função Composta

A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, h: A → C.

Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos:

a) g o f

b) f o g

2) Se f(x) = x3 e g(x) = x4, mostre que fog(x)

3) PUC-CAMP) Sejam f e g funções de R em R, definidas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² + 3. Determine fog(2).

4) (FGV) Considere as funções f(x) =2x + 1 e g(x) = x² - 1. Então as raízes da equação f(g(x))=0 são :

5) Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções se interceptem no ponto (1, 6).

01)

(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = x² + 5g(4x) = (4x)² + 5g(4x) = 16x² + 5

(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5

Respostas

b) f o g

(f o g)(x) = f(g(x))

f(x) = 4xf(x² + 5) = 4 * (x² + 5)f(x² + 5) = 4x² + 20

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20

7²2))((

16²2))((

1)3².(2))((

12))((

)03

))((

)())((

³))((

)02

12

34

xxgF

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xxgF

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15))2((

78))2((

74.2))2((

7)²2.(2))2((

7²2))((

gF

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xxgF