Professor Diomedes
Colégio Salesiano Dom Bosco
Funções
Funções InjetorasObserve o gráfico da função f: R → R abaixo:
Valores diferentes de x estão correspondendo a valores diferentes de y, ou seja:
Note que o mesmo não ocorre no gráfico abaixo:
Existem valores diferentes de x que possuem a mesma imagem:
Se uma função é só crescente ou só decrescente, valores diferentes de x possuem imagens diferentes. Quando isso ocorre dizemos que a função é
injetora.
Em outras palavras, uma função é dita injetora se dois elementos distintos de A correspondem sempre a duas imagens distintas em B.
Exemplo 1: O diagrama a seguir representa a função injetora f: A → B
Exemplo 2: O diagrama a seguir não representa uma função injetora f: A → B
Quando estudamos uma função f: A → B , três conjuntos estão relacionados:- conjunto A é o domínio da função, formado pelos valores da variável independente x;- conjunto B é o contradomínio da função;- conjunto Im(f), formado pelos valores de y tais que y = f(x).
O conjunto Im(f) é subconjunto do contradomínio B.
Uma função é dita sobrejetora quando o contradomínio da função for igual ao conjunto imagem. Em outras palavras uma função é sobrejetora quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A.
Im(f) = B
Exemplo 1: A função f: R → [1,∞) é sobrejetora, pois, segundo o gráfico
Funções Sobrejetoras
Exemplo: Im(f) = [1,∞[
Exemplo 2: A função f: A → B, a seguir, representa uma função sobrejetora
Dado dois conjuntos não vazios A e B uma função f: A -> B é dita bijetora se ela for tanto sobrejetora quanto injetora.
Exemplo 1
Funções Bijetoras
Noção Via Conjunto
Exemplo 2
Exemplo 2
A função acima não é bijetora, pois a mesma não é sobrejetora. Podemos perceber pelo simples fato de que o conjunto do contradomínio é diferente do conjunto imagem (nem todos elementos do contradomínio foram flechados).
Função Composta
A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, h: A → C.
Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos:
a) g o f
b) f o g
2) Se f(x) = x3 e g(x) = x4, mostre que fog(x)
3) PUC-CAMP) Sejam f e g funções de R em R, definidas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² + 3. Determine fog(2).
4) (FGV) Considere as funções f(x) =2x + 1 e g(x) = x² - 1. Então as raízes da equação f(g(x))=0 são :
5) Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções se interceptem no ponto (1, 6).
01)
(g o f)(x) = g(f(x))
g(x) = x² + 5g(4x) = (4x)² + 5g(4x) = 16x² + 5
(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5
Respostas
b) f o g
(f o g)(x) = f(g(x))
f(x) = 4xf(x² + 5) = 4 * (x² + 5)f(x² + 5) = 4x² + 20
(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20
7²2))((
16²2))((
1)3².(2))((
12))((
)03
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³))((
)02
12
34
xxgF
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xxgF
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15))2((
78))2((
74.2))2((
7)²2.(2))2((
7²2))((
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