1

FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS

Apresentação

Prezado (a) aluno (a),

Observamos no nosso dia a dia que as tecnologias aplicadas à área de

ciências exatas, como informática, engenharia etc surgem com muita rapidez,

tanto que os usuários dessas tecnologias têm que está constantemente se

atualizando em virtude desse grande desenvolvimento. Portanto, o estudante,

pertencente a essa área, tem que procurar informações de todos os tipos,

principalmente as que servem para o caminho de sua formação universitária.

A disciplina Cálculo-II, que faz parte da grade curricular dos cursos que

abrangem as áreas de Ciências Exatas, objetiva mostrar ao alunado a

importância do aprendizado do cálculo, que leva o estudante para a elaboração

dos modelos que possa explicar com certa precisão os fenômenos que

ocorrem nesses referidos cursos (Informática, Engenharia etc).

O conteúdo da disciplina Cálculo-II visa os estudos das funções de duas

ou mais variáveis; limite e continuidade de uma função de duas variáveis; estudo de

derivadas parciais e suas aplicações; integrais múltiplas e suas aplicações. Esse

conteúdo será desenvolvido totalmente em sala de aula, contudo, para facilitar

o aprendizado, disponibilizamos outros meios de comunicação que serão

ensinados a você.

Finalmente pretendemos que este trabalho venha contribuir para seu

aprendizado e, consequentemente, para sua formação acadêmica.

Saudações educacionais,

Anicio Bechara Arero

Introdução

2

Estudamos anteriormente funções de uma única variável independente;

entretanto, surgem no nosso cotidiano problemas que envolvem duas ou mais variáveis independentes, como por exemplo:

1- Um corretor de imóvel vende certa quantidade (x) de casa popular na capital por R$ 80.000,00 a unidade e outra quantidade (y), do mesmo tipo de casa, por R$ 65.000,00 a unidade nas cidades interioranas, a receita total obtida pelo corretor com as vendas das casas é dada por Rt = 80.000x + 65.000y. 0bserve que a receita total depende de duas variáveis independentes x e y.

2- Um engenheiro está construído uma piscina com x metros de comprimento,

y metros de largura e z metros de altura. Para encontrar volume V e a área S

deve utilizar as seguintes regras: V = x.y.z e S = x.y + 2x.z + 2y.z.

0bserve que tanto o volume, como a área dependem de três variáveis

independentes x, y e z.

Esses são exemplos onde uma grandeza de interesse depende dos

valores de duas ou mais variáveis independentes.

Após esses modelos, vamos estudar os métodos do cálculo de funções com duas ou mais variáveis independentes.

Função de Duas Variáveis: seja D um subconjunto (região) do espaço

R2 (plano). Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y)

D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função. Assim,

D é o domínio da função em R2, f é a função e f(x,y) é o valor da função

calculado em (x,y).

3

Exemplos de função de 2 variáveis:

a) f(x, y) = x2 + 2y b) z = (3x + y3)1/2 c) z = 4xy – 2xy3 + 4x – 2y

Cálculo da variável dependente.

Vamos calcular o valor da variável dependente conhecendo os valores

das variáveis independentes através do seguinte exemplo:

- Dadas as funções f(x, y) = x2 + 2y + 3, g(x,y) = (3x + y3)1/2 e h(x, y) = 4xy – 2x2

– 4, determine:

a) f(2, 3) b) g(4, 2) c) h(-2, 3) d) f(√a, a)

Solução:

a) f(x, y) = x2 + 2y + 3

f(2, 3) = 22 + 2.3 + 3 = 13

b) g(x,y) = (3x + y3)1/2

g(4, 2) = (3.4 - 23)1/2 = 41/2 = 2

c) h(x, y) = 4xy – 2x2 – 4

h(-2, 3) = 4.(-2).3 – 2.(-2)2 – 4 = -36

d) f(x, y) = x2 + 2y + 3

f(√a, a) = (√a)2 + 2a + 3 = 3a + 3 = 3(a + 1)

4) Um determinado empresário vende certa quantidade (x) de um produto na

capital por R$ 30,00 a unidade e outra quantidade (y), do mesmo produto, por

R$ 25,00 a unidade nas cidades interioranas. Determine:

a) A função receita;

b) A receita do empresário quando a quantidade vendida na capital alcançar

175 unidades e nas cidades interioranas 240 unidades.

Solução:

a) Para calcular a receita total devemos multiplicar o preço do produto pela

quantidade vendida. Logo:

4

Rt = P x Q (Rt receita total, P preço e Q quantidade)

R(x,y) = 30x + 25y função receita

b) Como x = 175 e y = 240, temos:

R(x,y) = 30x + 25y

R(175,240) = 30.175 + 25.240 = 11.250

A receita total do empresário foi de R$ 11.250,00.

5) Um engenheiro pretende construir uma piscina com as seguintes medidas: x

metros de comprimento, y metros de largura e z metros de altura. Encontre:

a) A função que representa o volume dessa piscina;

b) O volume quando as medidas pretendidas são de 8m de comprimento, 5m

de largura e 1,5m e altura;

c) A função que representa a área dessa piscina;

d) A área da piscina com as medidas do item b.

Solução:

z

x y

a) O cálculo do volume é feito pelo produto das três dimensões:

V(x,y,z) = x.y.z

b) Como x = 8m, y = 5m e z = 1,5m, temos:

V(x,y,z) = x.y.z

V(8;5;1,5) = 8x5x1,5 = 60

O volume é de 60 m3 ou 60.000 litros.

c) O cálculo da área é medido pela seguinte relação:

S(x,y,z) = x.y + 2x.z + 2y.z

d) Como x = 8m, y = 5m e z = 1,5m, temos:

5

S(x,y,z) = x.y + 2x.z + 2y.z

S(8;5;1,5) = 8x5 + 2x8x1,5 + 2x5x1,5

S(8;5;1,5) = 40 + 24 + 15

S(8;5;1,5) = 79

A área é de 79m2

Domínio de funções de duas variáveis

O domínio de funções de duas variáveis independentes segue as

mesmas regras do domínio de funções de uma variável independente, ou seja,

é o domínio de todos os pares (x, y) para os quais a expressão f(x,y) é definida.

Exemplos:

1) Achar o domínio da função f(x,y) = (y − x)1/2 , em seguida encontre f(2,6), f(-

4,5) e f(4, 2).

Solução:

Observe que xyyxf ),( , logo, a condição de existência dessa função é y -

x ≥ 0 (real), portanto o seu domínio é D ={(x, y) R2 / y ≥ x}.

.,)2,4(

39)4(5)5,4(

2426)6,2(

),(

xypoissoluçãotemnãof

f

f

xyyxf

2) Ache o domínio da função yx

xyxf

2),(

2

, em seguida encontre f(3,5) e

f(4,6).

A função é definida quando 2x – y ≠ 0. Assim, domínio D (x, y) é o conjunto

de pontos, tais que, D = {(x, y) R2 / y ≠ 2x }.

868

16

64.2

4)6,4(

956

9

53.2

3)5,3(

2

2

f

f

6

3) Dada a funçãoyx

xyxf

3

),(

2

.

a) Ache o domínio de f.

b) Encontre f(1,-1) e f(2,8)

Solução:

a) A função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais

que D = {(x, y) R2 / y < 3x}.

b) 2

1

)1(1.3

1)1,1(

2

f

)8,2(f observe que (2,8) não pertence ao domínio, pois 8 não é menor

que 6, logo, não é definida nesse ponto (não apresenta imagem).

2

4

82.3

2)8,2(

2

f

EXERCÍCIO:

01- Encontre o domínio de cada função, em seguida determine o valor da

função nos pontos indicados:

a) f(x,y) = x2 + y2 (-2,3/2) b) 22

1),(

yx

yxf

(0,2/3)

c) yxyxf 26),( (3,3) d) 2225),( yxyxf (4,3)

e) 2xyz (2,3) f)

yxz

.

1 (3, 1/15)

g) z = 3x – 2/y (1/3, 2) h) 5 23 xyz (1,2)

i) 3 63

1),(

yx

yxf

(2/3, 1/2) j) yx

yxyxf

24

22),(

22

(2,1)

Resposta:

a) D = R2 e f(-2,3/2) = 25/4 b) D = {(x,y) R2 / x2 + y2 > 0} e f(0,2/3) = 3/2

c) D = {(x,y) R2/y ≤ 3x } e f(3,3)=2√3 d) D={(x,y)R2/ x2 + y2 ≤ 25} e f(4,3)=0

e) D = {(x,y) R2 / y ≥ x2 } e f(2,3) = D f) D={(x,y) R2 / x.y ≠ 0} e f(3,1/15)=5

7

g) D = {(x,y) R2 / y ≠ 0 } e f(1/3,2) = 0 h) D = R2 e f(1,2) = -1

i) D = {(x,y) R2 / x ≠ 2y } e f(2/3,1/2) = -1 j) D = {(x,y) R2 / y ≠ 2x } e f(2,1)= 1

FUNÇÃO DE TRÊS VARIÁVEIS

Definição: uma função real f de três variáveis é uma relação que a cada tripla ordenada de números reais (x, y, z) associa um único número real f (x, y, z), onde x, y, z são as variáveis Independentes (de saída), w variável dependente (de chegada). È importante salientar que função real de três variáveis não pode ser representada geometricamente.

Exemplos:

1- Identificar o Domínio das Funções:

a) 222),,( zyxzyxf (Espaço inteiro)

b) 222

1

zyxw

(x,y,z 0)

c) w = xyLnz (semi-espaço z > 0)

d) 222),,( zyxzyxf (Espaço inteiro)

2) Encontre o domínio da função e os pontos (x, y) para os

quais f(x, y) = 1.

R) A expressão só faz sentido nos pontos (x, y) tais que x – y2 > 0, ou seja, x >

y2.

Ainda: f(x, y) = 1 y = (x – y2)1/2 y2 = x – y2 x = 2y2.

A seguir representamos o domínio de f e os pontos onde f(x, y) = 1.

2

1

yx

y

2

),(

yx

yyxf

8

Representação Geométrica de z = f(x,y)

z

z = f(x,y)

y

x (x,y)

Uma função z = f(x, y) é representada por planos ou superfícies no

espaço.

Para as funções de uma variável independente, o gráfico é plotado no plano XY. Já, para funções de 2 variáveis independentes, o gráfico é plotado no plano R3 onde z = f(x, y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.

Exemplos de funções de 2 variáveis independentes:

1) A função é z = f(x, y) = 5.

A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando por z = 5.

9

2) A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y.

Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um

plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só fazer:

a) x = 0 e y = 0 → z = 6 b) x = 0 e z = 0 → y = 2 c) y = 0 e z = 0 → x = 3

3) A função é z = f(x, y) = x2 + y2.

4) A função é z = f(x, y) = 1 − x 2 − y 2.

DIFERENÇAS ENTRE 2D E 3D

Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis.

10

f(x, y) = x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.

-4

-2

0

2

4-4

-2

0

2

4

-10

0

10

-4

-2

0

2

4

f(x, y) = x2 + y2, com x e y variando de – 4 a 4.

-4

-2

0

2

4-4

-2

0

2

4

0

10

20

30

-4

-2

0

2

4

f(x, y) = x.y, com x e y variando de – 4 a 4.

-4

-2

0

2

4-4

-2

0

2

4

-10

0

10

-4

-2

0

2

4

f(x, y) = sem (x + y - 3), com x e y variando de – 4 a 4.

-4

-2

0

2

4-4

-2

0

2

4

-1

-0.5

0

0.5

1

-4

-2

0

2

4

f(x, y) = 100 - x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.

-4

-2

0

2

4-4

-2

0

2

4

70

80

90

100

-4

-2

0

2

4

f(x, y) = x4/(x4 + y4), com x e y variando de – 4 a 4.

-4

-2

0

2

4-4

-2

0

2

4

-2

0

2

-4

-2

0

2

4

11

EXERCÍCIOS

01) Encontre o valor de cada função nos pontos indicados:

a) f(x,y) = 3x – 2y + (x – y)4; f(0,2), f(1,3)

Resposta:

a) 12 e 13 b) -3/2 e -√2 c) 3 e -√3/3

d) 4 e -8 e) 3 e -6 f) 1e 20

02) Encontre o domínio de cada função:

Resposta:

a) D = {(x,y) R2 / y ≠ 4y } b) D = {(x,y) R2 / xy ≠ 2 }

c) D = {(x,y) R2 / x2 + y2 ≤ 36 } d) D = {(x,y) R2 / y ≤ x2 }

e) D = {(x,y) R2 / y < 2x } f) D = {(x,y) R2 / xy > 6}

Função de n Variáveis: uma função real f de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais (x1, x2, ...,xn) associa um único número real f (x1, x2, ..., xn). È importante salientar que função real de mais de três variáveis também não pode ser representada geometricamente.

)0,2(),1,5(;2

),()2

ff

yx

xyyxfb

)2,1(),5,4(),()

22

ff

yx

xyyxfc

)4,(),8,(;),()2

efefLnp

qqpfd

)2,2(ln),0,1(;2

3),() ff

e

eyxfze

xy

xy

)2,2,3(),1,0,1(;).(),,() Lnffeyxzyxffyz

84),()

4

23),()

xy

yxyxfb

yx

yxyxfa

yxyxfdyxyxfc 222

),()36),()

)122(),())24(

3),()

xyLnyxfd

yxLog

xyxfe

12

Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis

- Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis.

O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L

(se existir) e é representado por

Se o limite existir no ponto (x0, y0), dizemos que a função é contínua neste

ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido

para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite

existe em todos os pontos desse intervalo.

- Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.

a) f(x,y) = x2 + y2 + 3x.y é contínua x,y.

b) z = x3y4 – 3xy + 2y – 4 é contínua x,y.

é contínua x.y 2

é contínua x y.

e) z = Ln (6x – 2y) é contínua x,y / y < 3x .

Resolução de limites de duas ou mais variáveis

- Observe a resolução de cada limite abaixo:

Lyxfyxyx

),(),(

00

),(lim

106)1(22

)1(2.22.2.2

)1(2.2.7)1.(2.2.52

75lim )

22

33

22

33

1

2

2

yzx

yzxxyxyzyzxb

z

y

x

)mindet(0

0

00

00lim )

3333

)0,0(),(açãoerin

yx

yxc

yx

42

23),()

xy

xyxfc

yx

yxyxfd

),()

3

1)2(

6

2

1.2.3

1.42.3

3

43lim )

)1,2(),(

xy

yxa

yx

13

- Levantando a indeterminação.

Como, (x3 – y3) = ))((22

yxyxyx , temos:

Agora, resolva os seguintes limites:

22

2

1

2

2

0

0

4

32lim)

3lim)

yx

xyxf

yx

xyxe

y

x

y

x

xyeh

yx

gyxsen

y

x

y

x3cos(lim)

25

10lim)

)24(

0

022

0

0

Resposta:

a) -3 b) 5 c) 0 d) 0

e) não existe f) 2/9 g) 2 h) 2

Para se estimar o limite de uma função de duas variáveis no ponto (x0,y0) é

necessário calcular esse valor por todas as trajetórias que passem por (x0,y0).

Se em todos os casos o resultado for sempre o mesmo, digamos L, diz-se

que o limite existe e que vale L. Caso o limite não exista em alguma trajetória ou

dê um valor diferente para trajetórias diferentes, dizemos que o limite não existe.

Observe os exemplos:

1- Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

a)

22

22

0

0

2lim

yx

xsenx

y

x b)

44

4

0

0

3lim

yx

y

y

x

0)(lim

))((limlim

22

)0,0(),(

22

)0,0(),(

33

)0,0(),(

yxyx

yx

yxyxyx

yx

yx

yx

yxyx

22

22

0

0

2

0

0

22

4

332

1

0

1lim)lim)

lim)5

3lim)

yx

yxd

yx

xyxc

yxbyxyx

xyxa

y

x

y

x

y

x

y

x

14

Solução:

a) 0

0

020

00

2lim

22

22

22

22

0

0

sen

yx

xsenx

y

x (indeterminação).

a.1) Escolhamos o caminho y = x, por exemplo, sendo que x→ 0 ,y →0

22

22

0

2lim

yx

xsenx

xy

x=

22

22

0

2lim

xx

xsenx

x=

2

22

0

3lim

x

xsenx

x=

2

2

2

2

0

33lim

x

xsen

x

x

x=

2

2

02

2

0

3lim

3lim

x

xsen

x

x

xx=

2

2

00lim.

3

1

3

1lim

x

xsen

xx

3

21.

3

1

3

1lim

3

1

3

1 2

2

0

x

senx

x

a.2) Escolhamos o caminho y = 3x, por exemplo, sendo que x→ 0 ,y →0.

22

22

3

0

2lim

yx

xsenx

xy

x=

22

22

0

92lim

xx

xsenx

x=

2

22

0

11lim

x

xsenx

x=

2

2

2

2

0

1111lim

x

xsen

x

x

x=

2

2

02

2

0

11lim

11lim

x

xsen

x

x

xx =

=

2

2

00lim.

11

1

11

1lim

x

xsen

xx

11

1

22

2

11

1

11

1

Como os limites são diferentes, concluímos que

22

22

3

0

2lim

yx

xsenx

xy

x

não existe.

b)

44

4

0

0

3lim

yx

y

y

x

É uma indeterminação do tipo [0/0].

b.1) Escolhendo x = 0 ( caminho percorrido ao longo do eixo oy )

44

4

0

0

3lim

yx

y

y

x=

44

4

0

30lim

y

y

y=

4

4

0 3lim

y

y

y 3

1

3

1lim

0

y

b.2) Escolhendo o segundo caminho x = y, bissetriz dos quadrantes ímpares

44

4

0 3lim

yx

y

y

yx =

44

4

0

3lim

yy

y

y=

4

4

0 4lim

y

y

y

1/4

15

Os limites são diferentes, logo

44

4

0

0

3lim

yx

y

y

x

não existe.

2- Dada a função 22

2

22

4),(

yx

xyyxf

. Determine o limite de f(x,y) quando (x,y)

tende a (0,0) ao longo de cada caminho: a) Eixo dos x b) Eixo dos y c) A reta y = x d) A parábola y = x2 Solução: a) Se o caminho é o eixo dos x, significa que y = 0, logo, f(x,y) = f(x,0), então:

)0(02

0

0.22

0.4)0,(

222

2

xxx

xxf e 0im)0,(im

0x0x

LxfL

b) Se o caminho é o eixo dos y, significa que x = 0, logo, f(x,y) = f(0,y), então:

)0(02

0

.20.2

.0.4),0(

222

2

yyy

yyf e 0im)0,(im

0y0y

LxfL

c) Se o caminho é a reta y = x, significa que x = y, logo, f(x,y) = f(x,x), então:

)0(4

4

.2.2

..4),(

2

3

22

2

xxx

x

xx

xxxxf e 0im),(im

0x0x

xLxxfL

d) Se o caminho é a parábola y = x2, significa que y = x2, logo, f(x,y) = f(x,x2), então:

)0(

1

2

.2.2

4

.2.2

..4),(

2

3

42

5

222

22

2

xx

x

xx

x

xx

xxxxf e

01

2im),(im

2

3

0x

2

0x

x

xLxxfL

Os limites são iguais, logo o limite existe e é igual a zero.

Vimos anteriormente que o limite de uma função acompanhada por uma

variável independente existe se, e somente se, os limites laterais existem e são

iguais.

Já, quando a função apresenta duas variáveis independentes, o seu limite

quando (x,y) tende a (a,b) existe (Lim (x,y)(a,b) f(x,y) = L), se (x,y) tende a (a,b)

)(lim)(lim,)(lim xfxfseexistexfaxaxax

16

não apenas pela direita ou pela esquerda, mas também por qualquer outra

direção.

Por fim, suponhamos que a escolha de caminhos diferentes não permita

mostrar a inexistência do limite, então, deve-se recorrer à sua definição: limite de

funções ordinárias pode ser estendido para funções de várias variáveis. Assim,

diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L, quando o par (x,y) se aproxima

de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de (xo,yo), mais perto f(x,y) estará de

L.

Limite de F(x,y)

DERIVADAS PARCIAIS

Introdução:

Existem problemas no nosso cotidiano que geram funções com duas

variáveis independentes, cujo objetivo encontrar a taxa de variação (derivada) da

função considerando uma como variável independente e a outra como constante.

A esse procedimento denominamos Derivação Parcial. O resultado dessa

derivação é denominado de Derivada Parcial da função. As regras que

utilizaremos para encontrar as derivadas parciais são as mesmas empregadas

quando do estudo das derivadas de funções com uma variável independente.

Após essa introdução vamos definir derivada parcial.

LyxfLimouLyxfyxyx

yy

xxo

o

o

),( ),(lim

),(),(0

17

Sejam A R3 um conjunto aberto e f: A R uma função.

1- A derivada parcial de f em relação à variável x, no ponto (x,y) A é denotada

por ),( yxx

f

ou fx e definida por:

0

),lim(),,(),,(

),,(

t

iteexisteset

zyxfzytxfLimzyx

x

f

onde y e z são constantes.

2- A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x,y,z) A é denotada

por ),,( zyxy

f

= fy e definida por:

0

),lim(),,(),,(

),,(

t

iteexisteset

zyxfztyxfLimzyx

y

f

onde x e z são constantes.

3- A derivada parcial de f em relação à variável z, no ponto (x,y,z) A é denotada

por ),,( zyxz

f

e definida por:

0

),lim(),,(),,(

),,(

t

iteexisteset

zyxftzyxfLimzyx

z

f

Onde x e y são constantes e t é o acréscimo dado a cada variável independente.

De modo equivalente são definidas as derivadas parciais de duas variáveis

independentes.

Sejam A R2 um conjunto aberto e f: A R uma função.

1- A derivada parcial de f em relação à variável x, no ponto (x,y) A é denotada

por ),( yxx

f

e definida por:

18

0

)lim(),(),(

),(

t

iteexisteset

yxfytxfLimyx

x

f

2- A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x,y) A é denotada

por ),( yxy

f

e definida por:

0

)lim(),(),(

),(

t

iteexisteset

yxftyxfLimyx

y

f

Nota: quando calculamos as derivadas parciais de uma função, por exemplo: z = f(x,y). Devemos

determinar a derivada parcial em relação a x (fx = x

f

) (y constante) e depois em relação a y (fy =

y

f

) (x constante) .

Exemplos:

1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:

a) w = f(x, y, z) = x2 y z2.

0

)lim(),,(),,(

),,()1.

t

iteexisteset

zyxfzytxfLimzyx

x

fa

00

zy x.).2(y.z .x..)(),,(

222222222

tt

t

zytxtxLim

t

zytxLimzyx

x

f

00

2)..2(.y.zx...2xyz.y.zx 222

2222222

tt

xyzzytxyzLimt

zyttLim

19

00

zxzxzx

00

zy xzxzy xzy x).(),,(

2222

22

2222222222

tt

Limt

tLim

tt

t

tLim

t

ztyxLimzyx

x

f

0

),lim(),,(),,(

),,()2.

t

iteexisteset

zyxfztyxfLimzyx

y

fa

00

zxzxzx

00

zy xzxzy xzy x).(),,(

2222

22

2222222222

tt

Limt

tLim

tt

t

tLim

t

ztyxLimzyx

x

f

0

),lim(),,(),,(

),,()3.

t

iteexisteset

zyxftzyxfLimzyx

z

fa

00

2)...2(...y.z2x

00

zy x)2(zy x).(.),,(

222

222

222222222

tt

yzxxytzyxLimt

xyttLim

tt

t

tztzyxLim

t

tzyxLimzyx

x

f

Observe que até esse momento resolvemos utilizando a definição, agora

vamos resolver aplicando as regras de derivada.

w = f(x, y, z) = x2 y z2

zyxzyxz

fzxzyx

y

fzyxzyx

x

f...2)'.(.,.)'..(,...2.)'.(

2222222222

20

b) z = 3x4 – 2xy2 + y5

Solução:

45223245.4)'()'(20,2120)'.(2)'3( yyxyyx

y

fyxyxx

x

f

c) f(x,y) = yx

yx

2

33

2

2

2

'.'.'

v

vuuvy

v

uy

(derivada do quociente)

22

23

22

23

22

22

22

2222

)2(

61266

)2(

).66()126(

)2(

)2).(33(6).2(

)2(

)'2).(33()'33).(2(

yx

yxyxx

yx

yxxyx

x

f

yx

yxxyx

yx

yxyxyxyx

x

f

d) z = cos2(3x) + sen2(3y) y = un y’=n.u

n-1.u’, y=senu y’ = u’.cosu, y=cosu y’ = -u’.senu

)6cos(.3)3.2cos(.3)]3cos().3(2.[3

)]3(.3).[3cos(.2)]3()'.3().[3cos(.2)]'3).[(cos(3(cos.212

xxxxsenx

f

xsenxxsenxxxxx

f

)6cos(.3)3.2cos(.3)]3cos().3(2.[3

)]3cos(.3).[3(.2)]3cos()'.3).[(3(.2)]'3().[(3(.212

yyyysenx

f

yysenyyysenysenyseny

f

e) f(x, y, z) = Ln(3x.y + 2z) u

yuLnyu'

'

2z +3x.y

2

2z +3x.y

'2z +3x.y

2z +3x.y

3x

2z +3x.y

'2z +3x.y

2z +3x.y

3y

2z +3x.y

'2z +3x.y

z

f

y

f

x

f

f) z = e(3x – 4y), )3,4()3,4(y

fe

x

f

y = eu y’ = u’.eu

21

4.4.4)3,4(.4)'.43(

3.3.3)3,4(.3)'.43(

0)4.43.3()43()43(

0)4.43.3()43()43(

eey

feeyx

x

f

eex

feeyx

x

f

yxyx

yxyx

Exercícios:

1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:

a) f(x,y) = 3x4 – 5x2y3 + 4y2 b) z = Ln(3x – y3)

c) yx

yxyxf

),( d) 22

),( yxyxf

e) yxsenz . f) )3(2

),(yx

eyxf

g) w = 3x2 + 4y5 – 3z3 + 3xyz2 h) z = Ln [cos(xy)]

i) w = 3.e(x.y+z) j) f(x,y) = 2sen(3x-2y)

k) z = x2y l) f(x,y) = Ln [cos(3x2-y3)]

m) f(x,y,z) = tg (x.y2 - )z n) f(x,y) = ecos(x/y)

0) z = sen3(2xy2) p) xyLnz

q) f(x,y) = sen3x – cos2y r) f(x,y) = senx.cos(xy)

Resposta:

a) fx = 1’2x3 – 10xy3 e fy = -15x2y2 + 8y b) 3

3

3

yxz

x

e

3

2

3

3

yx

yz

y

c) 2

)(

2

yx

yf

x

e

2)(

2

yx

xf

x

d)

22yx

xf

x

e 22

yx

yf

y

e) )cos(. xyyzx e )cos(. xyxz

y f) )3(

2

.3yx

xef

e )3(

2

.2yx

xeyf

g) wx = 6x + 3yz2, wy = 20y4 + 3xz2 e wz = -9z2 h) zx = -ytg(xy) e zy = -xtg(xy)

i) wx = 3y.e(xy+z), wy = 3x.e(xy+z) e wz = 3.e(xy+z)

j) fx= 3.cos(3x-2y).2sen(3x-2y).ln2 e fy= -2.cos(3x-2y).2sen(3x-2y).ln2

22

k) zx = 2y.x2y-1 e xy = 2.x2y.lnx l) fx = 6x.tg(3x2- y3) e fy = -3y2.tg(3x2- y3)

m) fx = y2.sec2(xy2 - √z), fy = 2xy.sec2(xy2 - √z) e fz = z2

1 .sec2(xy2 - √z)

n) )/cos(..

1 yx

xe

y

xsen

yf

e )/cos(

2..

yx

ye

y

xsen

y

xf

o) zx = 6y2.sen2(2xy2).cos(2xy2) e zy = 12xy.sen2(2xy2).cos(2xy2)

p) zx = 1/2x e zy = 1/2y q) fx = 3sen2x.cosx e fy = sem(2y)

r) fx = cosx.cos(xy) – y.senx.sen(xy) e fy = -x.sen(xy).senx

2) Dadas as funções )( zxyLnwexxyz , determine:

a) 1,2x

z

b) 1,2

y

z

c) 0,2,1

x

w

d) 0,2,1y

w

e) 0,2,1

z

w

Resposta: a) 3/4 b) 1/2 c) 1 d) 1/2 e) 1/2

3) Sabendo que x = p.cosθ e y = p.senθ, determine

y

p

y

x

p

x

.

Resposta: p

4) Dada a função 52 xyz . Encontre )3,1()3,1(

y

ze

x

z

e resolva a

expressão

12

)3,1(.5)3,1(.3

y

z

x

z.

Respostas:

27

74

2

3)3,1(,

4

9)3,1(

e

y

z

x

z

23

Derivadas Parciais de Segunda Ordem São as funções resultantes quando utiliza-se duas vezes derivadas parciais da

seguinte maneira:

Seja a função z = f(x,y):

1)

x

z

xx

z

2

2

ou fxx 2)

y

z

yy

z

2

2

ou fyy

3)

x

z

yxy

z2

ou fyx 4)

y

z

xyx

z2

ou fxy

Nota: 3 e 4 são denominadas Derivadas Parciais Mistas.

Exemplo:

- Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:

a) z = 3x4 – 4xy – 2y3 b) f(x,y) = 3exy

Solução:

a) z = 3x4 – 4xy – 2y3

a.1) yxx

z412

3

2

36 xx

z

x

a.2)

264 yx

y

z

y

y

z

y12

a.3) yxx

z412

3

4412

3

yx

y a.4)

264 yx

y

z

464

2

yx

x

Nota: as derivadas mistas, na sua maioria são iguais.

b) f(x,y) = 3exy

b.1)xy

yex

z3

xyxy

eyyex

233

b.2)

xyxe

y

z3

xyxy

exxey

233

a.3) xyye

x

z3

xyxyxy

eyxeyey

.333

a.4)

xyxe

y

z3

xyxe

x3

xyxyeyxe .33

Exercícios:

1- Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:

a) f(x,y) = 5x4 – 2y2 + 3xy b) z = 2e-3xy

24

c) f(p,q) = Ln(p2 + q2) d) 23 yxz

e) 13

12

y

xz f) z = ye-x + 2x.e2y

Resposta:

a) fxx = 60x2, fyy = -4, fxy = fyx = 0

b) zxx = 18y2.e-3xy, zyy = 18x2.e-3xy e zxy = zyx =6.e-3xy.(3xy – 1)

c) 222

22

)(

)(2

qp

pqf

pp

,

222

22

)(

)(2

qp

qpf

qq

e

222)(

4

qp

pqff

qppq

d)

3

234

9

yx

zxx

,

32

3

3

yx

xz

yy

e

yxxyzz

32

32

3

yx

y

e) 0xx

z , 3

)13(

)12(18

x

xz

yy e

2)13(

6

yzz

yxxy

f) x

xxeyz

. , y

yyexz

2.8 e xy

yxxyeezz

2

4

2) Sabendo que z = 2x.Ln(x.y), determine:

a) x

z

(e2,e3) b) ),(

32ee

y

z

c)

2

2

x

z

(e2,e3)

d) ),(32

2

2

eey

z

e) ),(

32

2

eexy

z

f) ),(

32

2

eeyx

z

Resposta:

a) 12 b) 2/e c) 2/e2 d) -2/y4 e) 2/e3 f) 2/e3

3) A produção mensal de determinado produto por uma indústria é dada pela

regra P(q,r) = 2.340q + 750r + q2(r – 3) – r3 unidades, onde q representa o número

de operários e r o número de máquinas utilizados pela indústria. Atualmente, a

indústria apresenta 52 operários e 10 máquinas em atividades. Encontre a

variação da produção se mais 1(um) operário for contratado e o número de

máquinas permanece constante.

25

Solução: Como varia o número de operários e permanece constante o número de

máquinas, a derivada parcial de P(q,r) dá a taxa de variação da produção com o

número de operários.

P(q,r) = 2.340q + 750r + q2(r – 3) – r3

P(q,r) = 2.340q + 750r + q2r – 3q2 – r3

068.3)10,52(

52.610.52.22340)10,52(

622340),(

q

P

q

P

qqrrqq

P

A produção mensal é de 3.068 produtos

Teorema de Euler:

Função Homogênea: Uma função f(x,y) é dita homogênea de grau n se para qualquer k constante verifica-se a igualdade f(kx, ky) = knf(x, y). É importante salientar que uma função racional inteira será homogênea se todos os termos da mesma são do mesmo grau. O teorema de Euler diz que para toda função homogênea de grau n sempre se

verifica a igualdade ),(... yxfny

zy

x

zx

Ex.: Verificar se a função 22

2

),(yx

xyxf

é homogênea, caso afirmativo, comprovar

o teorema de Euler sobre essa função. Solução:

22

2

),(yx

xyxf

),(),(

22

2

222

22

2222

22

22

2

yxfyx

x

yxk

xk

ykxk

xk

kykx

kxkykxf

Como, f(kx, ky) = f(x, y), podemos afirmar que a função 22

2

),(yx

xyxf

é

homogênea.

Agora, apliquemos o Teorema de Euler.

26

),(... yxfny

zy

x

zx

22

2

222

222

222

222

22

2

222

222222

222

222222

.2.0.

.2.2.

.

.')'.(

.'.)'.(

.

yx

xn

yx

yxyxy

yx

xxxyxx

yx

xn

yx

yxxxyxy

yx

yxxxyxx

0.0.

22

.2

.222

2222

2

222

22

222

22

22

2

222

2

222

323

nyx

xn

yx

xn

yx

yx

yx

yx

yx

xn

yx

yxy

yx

xxyxx

Diferencial Total

- Inicialmente, definimos acréscimo total de uma função z = f(x,y) como a diferença

∆z = ∆f(x, y) = f(x+∆x, y+∆y) – f(x, y).

- Consideramos a diferencial total de uma função z = f(x, y) no ponto (x, y) a parte principal do acréscimo total ∆z, quando ∆x → 0 e ∆y → 0, linear em relação aos acréscimos das variáveis independentes ∆x e ∆y.

As diferenciais dos argumentos, por definição, coincidem com seus

acréscimos, isto é, dx = ∆x e dy = ∆y.

Portanto, para calcular a diferencial total de uma função z = f(x, y), utilizamos a seguinte fórmula:

dyy

zdx

x

zdz

(duas variáveis independentes)

dzz

wdy

y

wdx

x

wdw

( três variáveis independentes)

dnn

pdz

z

pdy

y

pdx

x

pdp

... (n variáveis independentes)

Exemplos:

1) Encontre a diferencial total da função z = 3x2 – 2xy + y2.

27

Solução:

z = 3x2 – 2xy + y2 dyy

zdx

x

zdz ..

yxy

z

yxx

z

22

26

dyxydxyxdz ).22().26(

2) Determine a diferencial total das funções:

a) z = 3x4 – 4xy2 + 2x3 b) w = 2xy – 4xz2 + 4y3x2z

c) f(x, y) = 3x2y3 d) z = Ln(x2y4)

e) w = x4y + e3z f) z = sen(5x) + cos(5y)

g) f(x,y) = 22

22

yx

yx

h) z = 2

4 yx

i) z = tg2(x.y) j) f(x,y) = cos2(3x) – sen2(3y)

Resposta:

a) dz= (12x3 + 6x – 8y2)dx - 8xydy

b) dw = (2y – 4z2 + 8xy3z)dx + (2x + 8y3xz)dy + (-8xz +4y3x2)dz

c) df = 6xy3dx + 9x2y2 d) y

dy

x

dxdz

42 e) dw = 4x3y dx + x4 dy+ 3e3zdz

f) dz = 5cos(5x)dx + 5 sem(5y)dy g) dyyx

yxdx

yx

xydz

222

2

222

2

)(

4

)(

4

h) dy

yx

ydx

yx

dz22

44

2

i) dyxy

xysenxdx

xy

xysenydz

)(cos

)(.2

)(cos

)(.2

22

j) df = -3[sen(6x) + 3cos(3x)]

Volume de um cone

28

O cálculo do volume de um cone é dado pela seguinte fórmula:

14,3

3

..2

alturah

raior

volumeV

hrV

Note que o volume de um cone depende da sua altura e do seu raio.

É importante salientar que a derivada parcial de V com relação a r descreve a taxa com que o volume de um cone varia à medida que o seu raio também varia e a sua altura é mantida constante.

3

...2 hr

r

V

A derivada parcial de V com relação a h descreve a taxa com que o volume de um cone varia à medida que a sua altura também varia e o seu raio é mantido constante.

A derivada parcial relativamente a h é

3

.2r

h

V

Logo,a diferencial total do volume de um cone é calculado da seguinte maneira:

dhr

drhr

dVdhh

Vdr

r

VdV

3

.

3

...22

Quando visamos encontrar a derivada total do volume em relação a cada uma das variáveis, utilizamos as fórmulas:

dh

drhrr

dh

dVe

dr

dhrhr

dr

dV.

3

..2

3

..

3

.

3

..222

A diferença entre a derivada total e parcial é a eliminação de dependências indiretas entre as variáveis nas derivadas parciais.

Aplicação:

1) O volume de um cone é representado pela fórmula HRV2

.3

1 . Sendo de

25 cm a sua altura e 24 cm o diâmetro de sua base, como variará o volume deste cone se acontecer um aumento de 0,4 cm na altura e uma diminuição de 0,3 cm no raio?

29

Solução:

A variação aproximada do volume de um cone V é representada

aproximadamente pela diferencial total dHH

VdR

R

VdV ..

, onde H = 25 cm,

R = 12 cm, dH = 0,4 e dR = -0,3.

3

2

232,504

3

4,01214,3)3,0(251214,32

3

1

3

2

..

cmdHRRHdRdV

dHH

VdR

R

VdV

2) 22

2

424

.hd

hV

representa o volume V de um cone circular, onde h é o

comprimento da geratriz e d o diâmetro da base.

a) Encontre a taxa de variação do volume em relação à geratriz se o diâmetro é mantido constante com o valor de h = 16 cm, enquanto a geratriz d varia. Encontre essa taxa de variação no instante em que d = 10 cm.

b) Suponha que o comprimento da geratriz permaneça constante com valor de h = 10 cm. Considerando que o valor do diâmetro varia, encontre a taxa de variação do volume em relação ao diâmetro quando h = 16 cm.

Solução:

'4.424

.2

1

424

424

)

221

21

22

2

21

22

2

22

2

hdhdh

d

V

hdh

hdh

Va

cmporcmd

V

temoscmhecmdQuando

hd

dh

d

Vdhd

h

d

V

3

22

2

22

2

21

22

2

70,111

161046

1016

:,1610

46

8.448

30

cmporcmh

V

temoscmhecmdQuando

hd

hhd

h

h

V

hhdh

hdh

h

V

hdh

hdh

h

V

hdh

hdh

Vb

3

22

3

22

22

3

22

21

22

2

21

22

'

21

22

2

21

22

'2

21

22

2

22

2

59,5

16)10(4.24

)16(16104.

12

16

:,1610

4.24

4.12

2.42

1.

244.

12

4.24

4.24

424

424

)

3) Encontre a inclinação da reta tangente à curva de intersecção das

superfícies 22224.

2

1yxz com o plano y = 2, no ponto (2,2,√3).

- Calcula-se a derivada parcial em relação a x e, em seguida substitui os

valores de x e y.

6

3

3

3

3.2

1

12

1

12.2

2

2.2224.2

2)2,2(

224.2

)2.()224.(4

1

)'224.()224.(2

1.

2

1

)224.(2

1224.

2

1

22

22

2

1

22

221

2

1

22

21

2222

x

z

yx

xxyx

x

z

yxyxx

z

yxyxz

INTEGRAÇÃO MULTIPLA

Estudamos anteriormente as integrais definidas para função de uma só

variável, utilizando para isso, algumas regras para resolver essas integrais em um

31

intervalo ]a, b[. Agora, iremos aprender a resolver integrais definidas de funções

que apresentam duas ou mais variáveis, utilizando para isso, as regras

aprendidas quando das resoluções de integrais de função com uma variável.

Imtegrais Iteradas ( ou Repetidas)

Durante nossos estudos sobre derivadas parciais de duas ou mais variáveis

independentes, consideramos uma como variável independente e as outras

temporariamente, como constantes. Da mesma maneira torna-se possível

resolver integral definida com duas ou mais variáveis considerando uma delas

independente e as outras constantes. Observe os exemplos.

.tan:var:3

.)2

.tan:var:2

.)1

3

22

2

222

teconsxeteindependenávelyCy

xdyyxdyxy

teconsxyeteindependenávelxCx

yxdxydxxy

Note que as diferenciais dx e dy indicam a variável independente, ou seja,

aquela que vai ser integrada.

Se a função z = f(x,y) é não-negativa na região R, a integral dupla pode ser

interpretada como um volume.

No exemplo 1, utilizamos x como a variável independente e y

temporariamente como constante. Contudo, podemos considerar a constante C

como função de y, ou como função de x no exemplo 2.

)(3

.)2

)(2

.)1

3

22

2

222

xCy

xdyyxdyxy

yCx

yxdxydxxy

Exercícios:

1- Dada a função f(x,y) = senx.cosy, determine:

dxyxfbdxyxfa ),()),()

Solução:

)(cos.coscoscos.),() yCxysenxdxyydxsenxdxyxfa

)(.coscos.),() xCsenysenxydysenxydxsenxdxyxfa

32

2- Em relação a função do exemplo 1, determine

2

),( dxyxf e

2

.),( dyyxf

Solução:

yy

yxysenxdxyydxsenxdxyxf

cos)01.(cos

)2

cos(coscos][cos.coscoscos.),(

2222

senxsenx

sensensenxsenysenxdysenxydysenxdyyxf

)10.(

)2

(][.coscos.),(

2222

A partir desse momento, podemos chamar de integrais repetidas (ou interadas) as

integrais abaixo:

dydxyxfdxdyyxfedxdyyxfdydxyxfyhx

ygx

b

a

yhx

ygx

xhy

xgy

b

a

xh

xg

),(),(),(),()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

Exemplos:

1- Calcule as integrais iteradas:

a)

2

1

2

0

32).3( dydxyx b)

1

0

2

1

2.32

x

dydxxy 3) 4

1

/

0

)(y

dxdyxysen

Solução:

36))1(2(44124.3

4

0

4

23

43)(3).3()

332

1

32

1

22

1

2

2

1

44

2

2

0

2

1

4

22

1

2

0

322

1

2

0

32

xdxxdxx

dxxdxy

xdxdyyxdydxyxa

6

5

6

9140

2

3

3

7

2

3

3

767

31641.312.32

.332.32)

1

0

43

321

0

2321

0

22221

0

2

1

221

0

2

1

22

1

1

0

2

1

1

0

2

xxdxxx

dxxxxdxxxxx

dxyxydxdyxydydxxybxxx

33

2)14(3

2

3

2

3

2

)11(3

11cos

3

10cos.cos

3

1

cos3

1)()()

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

/

0

4

1

4

1

/

0

4

1

/

0

ydy

dydydyyy

dyxydydxxysendxdyxysenc

yyy

2- Resolva as integrais abaixo:

4

0

2/3

0

21

0

2

0

321

0

2

0

3216)).4()).4() dxdyxcdydxyxbdxdyyxa

x

Solução:

3

16

31616

4.4).4()

1

0

3

21

0

2

0

421

0

2

0

4

21

0

1

0

2

0

32

xdxxdxyxdx

yxdxdyyxa

3)01(

3

8

43

32

3

32.

34).4()

31

0

4

31

0

2

0

3

31

0

1

0

2

0

32 xydyydyy

xdydxyxb

4

0

2/3

0

216) dxdyxc

x

=

4

0

2/3

0

216 dxdyx

x

4

0

2/3

0

216 dxyx

x

4

0

2

2

3.16 dx

xx

2

11

2

1

22

162

nn

x

dudxx

dx

du

xu

322

6416.

2

1

23

.4

3

4

3

22

3.

2

3.16

3

0

16

23

0

16

2

10

16

4

0

2

uduu

x

duxudx

xx

Exercícios:

01) Resolva as integrais:

xdxya )cos() ydxyxysenb )(cos)()2

22

)

yx

xdxc

yxy

dxexd1

0

.)

34

Resposta:

a) )()(

ycy

xysen b) )(

3

)(cos3

xcx

xy

c)

)(

(.3

2

322

yc

yx

d) 1y

y

ey

e

02) Resolva as integrais Iteradas:

1

0

2

0

42) dydxyxa

1

0

4

0

) dydxxb 4/

0

2

0

)cos.3()

dxdyysenxc

2

0

1

1

3.) dbdaead

b 5

1

2

3

)

x

xdydxxe

2

1

1

0

43) dpdqqpf

Resposta:

a) 32/15 b) 8/3 c) 2/2 d)

3

61

.3

2

e

e e) 31/15 f) 31/20

BIBLIOGRAFIA

Bronson, Richard. Equações Diferenciais/ Richard Bronson; tradução

Alfredo Alves de Farias: revisão técnica Antonio Pertence Júnio, -- 2. Ed.

– Aão Paulo: Makron Books, 1994. 1. Equações Diferenciais I. Título.

(515.35).

Leighton, Walter. Equações diferenciais ordinárias/ Walter Leighton;

tradução de Luiz Adauto da Justa Medeiros. 2a. ed. ver. e suplementada

pela 3a. ed. americana por Danilo Marcondes. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos e Científicos, 1978. Tradução de: Ordinary differential

equations. 1. Equações diferenciais I. Título. (L539e)

GRENVILLE, W.A.B Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de

Janeiro: Atual, 1983. (517.D765e).