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MATEMÁTICA I ProfProfProfProf. . . . GIANCARLOGIANCARLOGIANCARLOGIANCARLO –––– CURSINHOCURSINHOCURSINHOCURSINHO

FUNÇÃO MODULAR APOSTILA

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1. Módulo de um número real Dado um número real �, denomina-se módulo ou valor absoluto de �, indicado por |�|, o número que pode ser definido da seguinte maneira:

|�| � � �, �� � 0��, �� � � 0

Exemplo 1

|7| � 7 � |�7| � ���7� � 7

Exemplo 2 Calcule: a) 3 � |�5| c) |�2 � 5| e) | � 3 � |2 � 5|| b) �4. |�2| d) |��6�. ��7�| f) | � 12 � ��2�. 5 � 3| 2. Função Modular Chama-se função modular uma função �: � → � tal que ���� � |�|. Baseado no conceito de módulo de um número real, podemos definir ���� � |�| por:

���� � � �, �� � 0��, �� � � 0

3. Gráfico da função Construa o gráfico da função ���� � |�|. � 0 ⇒ ���� � � � � 0 ⇒ ���� � �� ���� � |�|

4. Translação do gráfico da função modular

De acordo com as características dos gráficos das funções modulares, podem ocorrer três tipos de translação: vertical, horizontal e mista.

4.1. Translação vertical

Ocorre quando o limite do gráfico se movimenta sobre ou paralelamente ao eixo das ordenadas (eixo �). 4.2. Translação horizontal

Ocorre quando o limite do gráfico se movimenta sobre ou paralelamente ao eixo das abscissas (eixo �).

4.3. Translação mista

É o caso em que ocorre tanto a translação vertical quanto a horizontal.

Exemplo 3 Construa o gráfico das seguintes funções:

a) ���� � |�| � 1 b) ���� � |� � 1| c) ���� � |� � 3| � 1

5. Propriedades do módulo Para que possamos trabalhar os conceitos de equação e inequação modular, antes precisamos conhecer algumas de suas propriedades.

P1 - |�| 0, ∀ � ∈ � P2 - |�| � 0 ⇔ � � 0 P3 - |�| � | � �|, ∀ � ∈ � P4 - |�| � ! ⇔ � � ! "# � � �! P5 - |�| � � ⇒ � 0 P6 - |�|$ � |�$| � �²

P7 - &�² � |�| P8 - |�| � ' ⇔ �' � � � ', (") ' * 0 P9 - |�| * ' ⇔ � � �' "# � * ', (") ' * 0

6. Equação Modular São chamadas de equações modulares aquelas nas quais a incógnita aparece nos módulos.

Exemplo 5 a) |� � 5| � 30 b) |3� � 1| � 2 c) |�² � 9| � 0 d) |2� � 1| � |� � 3| e) |2� � 3| � � � 2

Questão 1 Utilizando a definição de módulo calcule: a) |�$|, ∀ � ∈ � c) |� � 12|, ∀ � ∈ � b) |�,|, ∀ � ∈ � d) |� � 6|, ∀ � ∈ � Questão 2 Esboce os gráficos das funções a seguir e determine seu domínio e sua imagem. ���� � |� � 3| ���� � |2� � 1| � 5 ���� � |�| � 2� Questão 3 (FEI – SP) Construa o gráfico de ���� � |� � 1| � 1. Questão 4 (PUC – MG) O gráfico de ���� � |� � 3| � 2� � 1 é também o gráfico da função -, definida por:

(A) -��� � . 3� � 4, �� � 3�3� � 4, �� � � 3

(B) -��� � . 4 � �, �� � 32� � 3, �� � � 3

(C) -��� � . � � 4, �� � 3�3� � 2, �� � � 3

(D) -��� � .�� � 2, �� � 33� � 4, �� � � 3

(E) -��� � .3� � 2, �� � 3� � 4, �� � � 3

Questão 5 (FUVEST – SP) Determine as raízes das equações a seguir: a) |2� � 3| � 5 b) |2�$ � 1| � � � 0 Questão 6 (FGV – SP) Quantos números inteiros não-negativos satisfazem a inequação |� � 2| � 5? (A) Infinitos (C) 5 (E) 7 (B) 4 (D) 6 Questão 7 (PUC – SP) A soma de todos os números inteiros que satisfazem a sentença 2 / |3� � 1| � 5 é: