Marcela Monteiro

MóduloConsidere a reta real:

Chamamos a distância de um ponto da reta à origem

(distância do ponto até o zero) de módulo ou valor

absoluto. Ele é denotado por |x|. Quando o número é

positivo ou zero, então seu módulo é ele próprio. Caso ele

seja negativo, então seu módulo é seu simétrico.A expressão

do módulo de x é então:

Exemplos: |12|=12; |–5|=5; |0|=0; |-1/2|=1/2

Propriedades do Módulo de x:

1.|x|=a, e a>0 ↔ x=a ou x= –a (um número real é sempre

igual ao seu módulo ou ao simétrico deste);

2. |x|≥ 0 para todo x real (o módulo de um número real é não

negativo);

3.|x|=0 ↔ x=0 (o único número real com módulo nulo é o

zero);

4. |x. y|=|x|.|y|,para todo x real (o produto dos módulos de

dois números reais é o módulo do produto dos dois números

reais);

5.|x|2 = x2, para todo x real (o quadrado do módulo de um

número real é o quadrado do número real);

6.√ x2=|x| para todo x real (a raiz positiva do quadrado de

um real é o módulo dele.)

7. |x| ≤ a e a> 0 ↔ -a ≤ x ≤ a (dizer que o módulo de um

número real não é maior do que uma constante positiva é

dizer que o número está compreendido entre a constante e

seu simétrico);

8. |x| ≥ a e a > 0↔ x ≤ -a ou x ≥ a (dizer que o

módulo de um número real não é menor do que uma

constante positiva é dizer que o número não é menor

que a constante, ou senão não é maior que o

simétrico da constante).

9. |x + y| ≤ |x|+|y|, para todo x, y reais(o módulo da

soma de dois números reais não é nunca superior à

soma dos módulos dos dois números; esta

propriedade também é conhecida como

desigualdade triangular);

10. |x - y| ≥ |x|-|y| para todo x, y reais (o módulo da

diferença de dois números reais não é nunca inferior à

diferença dos módulos dos dois números; neste caso a

ordem em que aparecem os termos, importa);

Equações Modulares

Uma equação modular é aquela em que a incógnita "aparece

dentro do módulo".

Exemplo:

a) |x| = 5

b) |x - 3| = 5

c) |(3x+ 2)/ 4| = 2

d) |4x-6| = x-3

e) |x|2 -3|x|+2 = 0

1) (F.C.M.Sta.Casa) As funções f(x) = |x| e g(x)= x2 - 2

possuem dois pontos em comum. A soma das abscissas

destes pontos é:

a) 0 b) 3 c) -1 d) -3 e) 1

2) (ITA) Considere a equação . Com respeito à solução real

desta equação podemos afirmar que:

a) a solução pertence ao intervalo fechado [1,2].

h) a solução pertence ao intervalo fechado [-1,2].

c) a solução pertence ao intervalo aberto (-1; 1).

d) a solução pertence ao complementar da união dos intervalos

anteriores.

e) a equação não tem solução.

3) (F.C.M.Sta.Casa)- 0 conjunto solução da

equação |3x-2| = 3x-2 , no universo IR, é:

a)IR b) IR, positivos c)[ 2/3,+ infinito[

d)] 2/3,+infinito[ e) nda

4) (PUC-MG)- A solução da equação |3x-5|= 5x-1 é:

a)-2 b) ¾ c) 1/5 d) 2 e) ¾ e -2.

5) (Covest) Indique o produto dos valores dos

reais x que satisfazem a equação

|x -7| = 3

Inequações ModularesA inequação modular é uma desigualdade em

que a incógnita "aparece dentro do módulo".

1º caso: |x| > a ( com a> 0) ↔ x > a ou x< -a

2º caso: |x| < a ( com a> 0) ↔ -a< x < a

Exemplos:

a) |3x-1| >2

b) |x +3| ≤ 1

(FGV) Quantos números inteiros não negativos satisfazem a

inequação |x - 2|< 5?

a) infinitos b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

(U.E.CE)- Dados os conjuntos

A= { x є Z/ |x - 5|< 3} e B ={ x є Z/ |x - 4| ≥ 1} , a

soma dos elementos de AᴖB é igual a:

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e)23

(UECE) Adicionando-se os valores inteiros de x que

satisfazem simultaneamente as desigualdades

|x - 1|≤ 2 e |2x - 1|≥ 1, obtemos :

a) 6 b) 3 c) 4 d) 5 e)7

Função Modular: Uma função é modular se a

cada x associa | x | , f(x) = | x | , onde:

Obs: O domínio dessa função f são todos os

reais e a imagem [0, + ] ou simplesmente:

D(f) = IR e Im(f) = IR+

GráficoO gráfico de uma função modular pode ser

esboçado mediante a separação em sentenças, isto é, dada a

função f(x) = |x+1|, vamos transformá-la em uma função

determinada por mais de uma sentença.

f(x)= |x+1| x+1 , se x ≥ -1

-x- 1 ,se x < -1

Exemplo:

a) f(x) = |x| + | x-2|

b) y = | x2 -3x +2|

Apesar dos nossos defeitos, precisamos

enxergar que somos pérolas únicas no teatro da

vida e entender que não existem pessoas de

sucesso e pessoas fracassadas. O que existem

são pessoas que lutam pelos seus sonhos ou

desistem deles.

(Augusto Cury)