Isabelle Araujo – 5º período de Engenharia de Produção

Função do 1° Grau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1

Funções

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• Na linguagem do dia a dia é comum ouvirmos frases como: “Uma coisa depende da outra” ou “Uma está em função da outra”.

• A ideia de um fator variar em função do outro e de se representar essa variação por meio de gráficos, de certa forma, já se tornou familiar em nossos dias.

Funções

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o A máquina de dobrar

o Nesse caso, temos:

O número de saída n é igual a duas vezes o número de entrada x. A lei da função é n = 2x.

Dobrar Entrada Saída

1

2

3

3,5

5

x

2

4

6

7

10

2x

Domínio de uma função

Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função, pois representa as entradas para a função f. Ou seja, os valores que podem ser usados na função. O domínio da função indicaremos por D(f).

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0.

1.

2.

3.

.0

.2

.4

.6

.1

.3

.5

Imagem de uma função

Dada uma função f de A em B, o conjunto de todos os valores de y obtidos através de x é chamado de conjunto imagem da função f. Ou seja, ele é o resultado de f(x), que representa os valores reais obtidos quando aplicamos um x do domínio na função e é indicado por Im(f).

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0.

1.

2.

3.

.0

.2

.4

.6

.1

.3

.5

Para que serve mesmo o domínio de uma função?

Como vimos o domínio de uma função representa as entradas para a função, ou seja, os valores que podem ser usados na função. Façamos um paralelo entre essa definição e nossas experiências cotidianas. Por exemplo:

Se imaginarmos f como sendo um liquidificador, e usarmos x como sendo frutas, esse liquidificador poderá nos retornar um resultado f(x), então essas frutas (x) fazem parte do domínio da função (liquidificador).

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Entretanto, se usarmos uma pedra (x) a função liquidificador não poderá processar esse x (pedra), NÃO sendo possível obter f(x). Sendo assim, o x (pedra) não faz parte do domínio da função (liquidificador).

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Para que serve mesmo o domínio de uma função?

Função do 1° grau

Como uma função é uma forma de relacionar duas, ou mais grandezas, observamos uma função entre cada período e o número de filhos por mulher.

Em nosso cotidiano, podemos observar inúmeros exemplos de funções: • Velocidade de um carro em função do tempo; • Lucro de uma empresa em função de sua produtividade; • Consumo de combustível de um avião em função da velocidade. 8/35

Função do 1° grau

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Se (A,B) pertence a uma função 𝑓, o elemento B é chamado imagem de A pela aplicação de 𝑓 ou valor de 𝑓 no elemento A.

f: 𝐴 → 𝐵

BAf )(

Lê-se: f é função de A em B.

𝑦 = 𝑓(𝑥) Lê-se: 𝑦 é função de 𝑥, com x ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵.

Função do 1° grau

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A remuneração de um vendedor de uma loja é feita em duas parcelas: uma fixa, no valor de R$ 500,00 e a outra variável, correspondente a uma comissão de 12% do total de vendas realizadas na semana.

𝑅(𝑥) = 500 + 0,12. 𝑥

Função polinomial do 1º Grau f:ℝ → ℝ, sendo f(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com a, b ∈ ℝ e a≠0.

Função do 1° grau

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2

3f d)

)3f( c)

f(-3) b)

f(2) a)

:Calcule .23)(por definida em de função a Seja

xxfRRf

Funções do 1° Grau

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• Características importantes da função do 1º grau:

F(x) = ax + b • Coeficiente angular: o coeficiente a é denominado

coeficiente angular. • Coeficiente linear: o coeficiente b é denominado

coeficiente linear.

A função do primeiro grau é crescente em ℝ quando 𝑎 > 0 e decrescente em ℝ quando 𝑎 < 0.

Funções do 1° Grau

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• Para função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4. • O coeficiente angular 𝑎 é o número 2; • O coeficiente linear 𝑏 é o número 4.

• Como a>0, a função é crescente em ℝ.

• Para função 𝑓 𝑥 = −2

3𝑥 +

1

2.

• O coeficiente angular 𝑎 é o número −2

3;

• O coeficiente linear 𝑏 é o número 1

2.

• Como a<0, a função é decrescente em ℝ.

Casos Particulares

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Função Identidade: f(x) = x Função Linear: a função polinomial do 1º grau em que o termo 𝑏 é nulo (𝑏 = 0) passa a ser chamada de função linear e tem forma: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥.

Exemplos:

𝑦 = 3𝑥

𝑦 = −2

3𝑥

𝑦 = 2𝑥

A função linear sempre é representada por uma reta!

Fazer exemplos no GeoGebra!!

Casos Particulares

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Função Constante: Caso o termo 𝑎 seja nulo (𝑎 = 0) na expressão 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑏 ∈ ℝ, a função 𝑓 não é uma função do primeiro grau e tem a forma 𝑓(𝑥) = 𝑏.

Exemplo:

𝑓 𝑥 = 3 𝑦 = 7

𝑦 = 0 𝑓 𝑥 = −1

4

Função Afim, Definição:

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.0 com a epertencent )(

elemento o associadoestiver a epertencent

elemento cada a quando ' afim função'

de nome o recebe em de aplicação Uma

aRbax

R

x

RRf

Função Afim, Definição:

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0a b,ax x

RR:f

𝑎 é o coeficiente angular da reta.

Praticando!

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1) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (1,3) e tem coeficiente angular igual a 2.

2) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (-2,1) e tem coeficiente linear igual a 4.

Praticando!

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1) Obtenha a equação da reta com coeficiente angular igual a -1/2 e passando pelo ponto (-3,1).

2) Obtenha a equação da reta com coeficiente linear igual a -3 e passando pelo ponto (-3,-2).

Raiz ou Zero da função

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Raiz ou zero da função é um valor do seu domínio cuja imagem é zero. Em resumo, é o valor de 𝑥 para que 𝑦 seja nulo (𝑦 = 0). Sendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0, tem-se:

𝑥 é zero ou raiz de 𝑓 ↔ 𝑓 𝑥 = 0

Assim, 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, que apresenta uma única solução, nos

leva a 𝑥 = −𝑏

𝑎 para 𝑎 ≠ 0.

Raiz ou Zero da função

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Exemplo:

Seja a função 𝑦 = 2𝑥 − 4.

Para obtermos sua raiz ou zero, faremos 𝑦 = 0.

2𝑥 − 4 = 0 → 2𝑥 = 4 → 𝑥 = 2

Taxa de variação média ou inclinação

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• Considerando uma função numérica 𝑓, sendo 𝑥1 e 𝑥2 dois elementos de seu domínio e 𝑥2 > 𝑥1.

• A taxa de variação média entre 𝑥1e 𝑥2 da função 𝑓 em relação a 𝑥 pode ser expressa

pelo quociente: 𝐴

𝐵=

𝑦2−𝑦1

x2−x1.

Taxa de variação média ou inclinação

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Assim, uma função do 1º grau tem como taxa de variação:

𝐴

𝐵=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

O coeficiente 𝑎 é denominado taxa de variação ou coeficiente angular.

Taxa de variação média ou inclinação

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O estudo dos sinais da função do 1º grau, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0), consiste em saber para que valores de 𝑥:

• 𝑦 > 0;

• 𝑦 = 0;

• 𝑦 < 0.

Estudo do sinal

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Função Crescente: 𝑦 = 2𝑥 − 4

Para 𝑥 = 0; 𝑦 = −4. Para 𝑦 = 0; 𝑥 = 2.

Para 𝑥 > 2, temos 𝑦 > 0; Para 𝑥 = 2, temos 𝑦 = 0; Para 𝑥 < 2, temos 𝑦 < 0.

Estudo do sinal

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Para 𝑥 > 2, temos 𝑦 > 0;

Para 𝑥 = 2, temos 𝑦 = 0;

Para 𝑥 < 2, temos 𝑦 < 0.

• A Função Crescente assume:

• Valores positivos para todo 𝑥 > −𝑏

𝑎;

• Valor zero para 𝑥 = −𝑏

𝑎;

• Valores negativos para todo 𝑥 < −𝑏

𝑎

Estudo do sinal

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Para 𝑥 > 2, temos 𝑦 > 0;

Para 𝑥 = 2, temos 𝑦 = 0;

Para 𝑥 < 2, temos 𝑦 < 0.

Função Decrescente: 𝑦 = −3𝑥 + 9

Para 𝑥 = 0; 𝑦 = 9.

Para 𝑦 = 0; 𝑥 = 3.

Para 𝑥 < 3, temos 𝑦 > 0; Para 𝑥 = 3, temos 𝑦 = 0; Para 𝑥 > 2, temos 𝑦 < 0.

Exercícios

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(UNIFESP-SP) Um recipiente contém um litro de uma mistura de diesel e álcool na proporção de 40% de diesel e 60% de álcool. Deseja-se modificar essa proporção para 30% de diesel e 70% de álcool, sem retirar diesel. Assim sendo, qual a quantidade mínima de álcool, em mililitros, que se deve adicionar à mistura original, considerando que as proporções mencionadas são sempre em volume?

𝑅. :1000

3𝑚𝑙

Exercícios

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(FGV-SP) Um terreno vale hoje R$ 40.000,00 e estima-se que daqui a quatro anos seu valor seja R$ 42.000,00. Admitindo que o valor imóvel seja função do 1º grau do tempo (medido em anos e com valor zero na data de hoje), seu valor daqui a 6 anos e 4 meses será, aproximadamente:

𝑅. : 43.166,00

Obrigada pela atenção!

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