ft-2015_3-aula-1a-cap5_condução_transiente

8/19/2019 FT-2015_3-Aula-1A-Cap5_Condução_Transiente

1/24

Fenômenos de Transporte

Cap. 5 – Aula 1

Prof. Dr. Welber Gianini Quirino

[email protected]

ICE / Departamento de Física

UFJF – Universidade Federal de Juiz de Fora


2/24

5.0 – Condução de calor em Regime Transitório

Vamos estudar 2 casos

Método da Capacidade térmicaconcentrada

(T é dependente do tempo, mas uniforme em todo o

sistema)

Temperatura não é uniforme nosistema


3/24

ie R R

e

i

R

R Bi

i R e R

T

k q

S

Lc Dimensão de comprimento significativo

(corrigido), obtida pela divisão do volume do corpo

por usa área superficial.

Sistemas com resistência interna desprezível

A

VLc


4/24

Método da Capacidade Térmica Concentrada

1,0 s

c

k

Lh Bi

esfera 3

r

4ππ

πr 3

4

A

VL

cilindro 2

r

2ππr

.Lπr

A

VL

plana parede L

A

A.L

A

VL

2

3

c

2

c

c

O erro em placas planas, ou com formatos que se

aproximem de cilindros ou esferas, será 5%

quando Ri 10% da Re, isto é:


5/24

Efetuando as integrações

ou

i

s

lnhAρVct

t

i

eT T

T T ρVchA

i

s

θ

Temos o tempo, dado a dif. de

temperatura

Temos a dif. de temperatura,

dado o tempo

ou

Fo Bi

i

eT T

T T .

i

θ

Bi.FoL

α.t

k

h.L

ρ.c.L

.tk

k

h.L

ρ.c.L

h.t

.L.cρ.A

.h.A

ρ.V.c

.h.A

2

cs

c

2

c

s

s

c

cs

ss

t t


6/24

Ou

q está relacionada com a variação de energia interna do sólido

acu E q

Assim

No processo de têmpera, Q é positivo e o

sólido experimenta um decréscimo na energia

interna.

t

Vc

hA

i

s

eVcq 1


7/24

Analogia entre o circuito térmico e elétrico

S

)(dt T

cV C

q

s Ah R

1

T = E

R eCe

T ou E

Ti ou Ei

dt

dE C

R

E E i e

e

t RC

i

e E E

E E ee

1

dt

dT C

R

T T q

t

i

eT T

T T t

1

i

θ


8/24

S

)(dt T

cV C

q

s Ah R

1

T = E

R eCe

T ou E

Ti ou Ei

T T

T T

i

)( st 0

1

E E

E E

i

)( st 0

1

Analogia entre o circuito térmico e elétrico


9/24

5.5 - Placa Plana com convecção

Problemas de calor transitório no qual a temperatura no interior do

sólido não é uniforme, Bi ~ 1 ou Bi > 1.


10/24

Se as temperaturas sobre as duas superfícies forem uniforme, o

problema será unidimensional e transitório e não havendo fontes de

calor:

L x x

T

t

T

0

12

2

Note que a difusividade térmica influencia a taxa temporal de

variação da temperatura. Como a Temperatura deve ser função dotempo e da dimensão (neste caso – x), podemos supor uma solução do

tipo:

k c

1

tT1q

k 1T G

2

)()(),( t x X t xT


11/24

1

cos),(2

n

nn

t x Aet xT n

A solução completa é formada como a soma das soluções

correspondentes a cada valor característicos:

Em t = 0,

1

cos)0,(

n

nni x AT xT

Sendo a ortogonalidade das funções caracterísiticas cosx (entre 0

e L, pode-se determinar An

:


12/24

L L sen L

L senT T A

nnn

nin

cos

2

Por fim, para expressar a temperatura na placa em termos de

módulos adimensionais convencionais, fazemos n=n/L. A forma

final da solução, obtidas pela substituição dos Ans é:

1 cos

2),( 22

n nnn

n Lt

i sen

L x sene

T T

T t xT n

hk LT T t xT T i ,,,,,,,


13/24

A taxa de variação da energia interna da placa por área unitária da

superfície, dQ/dt, é fornecida por

1

2

2

0cos

122

n nnnn

n Fo

sen

sene LcT T Q n

L x

s x

T k

A

q

dt

dQ

Que substituindo a solução T(x,t) e integrando entre t = 0 e t,

resulta:


14/24

Podemos escrever em

termos de módulosadimensionais


15/24

Temperaturas adimensional

Coordenada espacial adimensional

Tempo adimensional

Fo L

t t

2*

T T

T T

ii

*

L

x x *

Fo x

*

*

*2

2

Equação Diferencial

!!!hα,k,L,,T,Tt,x,TT i


16/24

Solução Exata adimensional

Parede Plana com Convecção

ou

onde

1

*)cos(*2

n

n

Fo

n xeC n

*)cos(* *0 xn

)2(2

4

nn

nn

sen

senC

Bitg nn 2c L

t Fo

Como as condições convectivas nas

superfícies em x* = 1 são as mesmas, a

distribuição de temperaturas em qualquer

instante tem que ser simétrica em relação

ao plano central x*=0

),*,(* Bi Fo x f

!!!hα,k,L,,T,Tt,x,TT i


17/24

Soluções Aproximadas


ou

onde

Para Fo > 0,2 * pode ser aproximado pelo 1º termo da série

*)cos(* 1121 xeC

Fo

*)cos(* 1*

0 x

o F

i

eC T T

T T 21

10*

0


18/24

Soluções Aproximadas


ou

onde

Para Fo > 0,2 * pode ser aproximado pelo 1º termo da série

*)cos(* 1121 xeC

Fo

*)cos(* 1*

0 x

)2(2

4

11

11

sen

senC

Bitg 11 2c L

t Fo


19/24

Transferência total de energia

Em termos de calor

)0()( E t E Q

dvV V

dV

T T

T t xT

Q

Q

i

i

o

*)1(1),(

acu saient E E E

Balanço de Energia

Calor adimensional em termos de Q0 (energia interna inicial)

)0()(0 E t E

acu

Q

saient E E E

parededavol

i dV T t xT cQ

.

),(

)(0

T T vcQi


20/24

Transferência total de energia

*

1

1)(1 oo

sen

Q

Q

Usando-se a forma aproximada da distribuição de

temperaturas a para a parede plana

*)cos(* 1121 xeC

Fo

E integrando, obtemos:


21/24

Considere um oleoduto de aço inoxidável AISI 1010 que possui 1m

de diâmetro e um espessura de parede de 40mm. O Oleoduto é muito bem isolado pelo seu lado externo, e, antes do início do escoamento

do fluido, suas paredes se encontram a uma temperatura uniforme de

-20ºC. Com o início do escoamento, o óleo quente a 60ºC é

bombeado através do oleoduto, gerando na superfície interna do duto

condições convectivas correspondentes a um h = 500W/m2K.

1) Quais são os números de Bi e Fo apropriados 8 min após o início

do escoamento?

2) Em t=8min, qual é a temperatura na superfície externa do dutocoberta pelo isolamento (considere como placa plana)

3) Qual o fluxo térmico do óleo para o duto em t=8min?

4) Qual a quantidade total de energia, por metro linear do oleoduto,

que foi transferida do óleo para o duto em t=8min?

Exercício

í i 43


22/24

Têmpera é um processo no qual o material é reaquecido e, então, resfriado para

ficar menos quebradiço. Em um processo de têmpera, uma lâmina de vidro que

se encontra inicialmente a uma temperatura uniforme Ti é subitamente resfriada pela redução da temperatura em ambas as superfícies para Ts. A lâmina tem uma

espessura de 20mm e o vidro possui uma difusividade térmica de 6x10-7 m2/s

a) Quanto tempo levará até que a temperatura no plano central da lâmina

atinja 50% da sua máxima redução de temperatura possível?

b) Se (Ti-Ts)=300ºC, qual é o máximo gradiente de temperara no vidro no

instante de tempo supracitado?

Exercício – 5.43 - Incropera

Dicas: T = Ts = , logo Bi = , logo – Método da Capacitância global não poderá ser

usado. A solução deve ser exata! Porém, antes veja se Fo > 0,2 * pode ser aproximado pelo

1º termo da série


23/24

Solução

Fo > 0,2 * pode ser aproximado pelo 1º termo da série. Fo = 0.379


24/24

Seja o estágio de reaquecimento para uma placa de aço com

espessura 100 mm ( = 7830 kg/m3, c = 550 J/(kg.K), k = 48W/(m.K)) que está inicialmente a uma temperatura uniforme de Ti =

200°C e deve ser aquecido até que seu centro atinja uma temperatura

máxima de 550°C. O aquecimento é efetuado em um forno de fogo

direto, onde produtos de combustão a T = 800°C mantêm um

coeficiente de transferência de calor h = 250 W/(m2.K) em ambas assuperfícies da placa.

a) Quanto tempo a placa deve ser deixada dentro do forno para

que a condição acima seja satisfeita?

b) Qual a temperatura na superfície da chapa no instante de tempo

supracitado?

Exercício

ft-2015_3-aula-1a-cap5_condução_transiente

Documents