Frações

Fonte: commons.wikimedia.org/wiki/File:FractionStrips.PNG

• Frações ou números fracionários, são números que representam uma determinada parte de um todo.

• O Surgimento dos números fracionários remontam ao antigo egito.

Representação de um número fracionário:

𝑎

𝑏

Em que 𝑎 e 𝑏 são números inteiros. O número 𝑎 é o numerador e b é o denominador ≠ 0.

Obs:

• Muitas vezes 𝑎

𝑏é representado como

𝑎/𝑏, e ainda, Τ𝑎 𝑏.

•𝑎

𝑏=

𝑘𝑎

𝑘𝑏, em que k é um número

qualquer.

Em relação à leitura:

• Τ1 2 → lê-se um meio• Τ2 3 → lê-se dois terços• Τ1 4 → lê-se um quarto• Τ4 5 → lê-se quatro quintos• Τ1 6 → lê-se um sexto• Τ5 7 → lê-se cinco sétimos• Τ1 8 → lê-se um oitavo• Τ1 9 → lê-se um nono• Τ1 10 → lê-se um décimo

Para denominadores maiores que dez usamos o termo “avos”

Τ1 12 → lê-se um doze avosΤ3 20 → lê-se três vinte avos

Obs: quando o denominador for 100, 1.000, 1.000.000, usamos os termos centésimos, milésimos e milionésimos, respectivamente.

Soma e subtração de frações

Na soma e subtração, é importanteverificar que para estas operações, odenominador de ambas as fraçõesdevem ser iguais. Caso osdenominadores sejam diferentes,devemos torna-los iguais, e utilizarfrações equivalentes.

Soma e subtração de frações

𝑎

𝑏+𝑐

𝑑=

𝑚𝑚𝑐 𝑏, 𝑑𝑏

× 𝑎 +𝑚𝑚𝑐 𝑏, 𝑑

𝑑× 𝑐

𝑚𝑚𝑐(𝑏, 𝑑)

ou𝑎

𝑏+𝑐

𝑑=𝑎 × 𝑑 + 𝑐 × 𝑏

𝑏 × 𝑑Neste segundo caso, se 𝑎 e 𝑏 não forem primos entre si, a fração pode ser simplificada.

A subtração de frações é análoga à soma:

𝑎

𝑏−𝑐

𝑑=

𝑚𝑚𝑐 𝑏, 𝑑𝑏

× 𝑎 −𝑚𝑚𝑐 𝑏, 𝑑

𝑑× 𝑐

𝑚𝑚𝑐(𝑏, 𝑑)

ou𝑎

𝑏−𝑐

𝑑=𝑎 × 𝑑 − 𝑐 × 𝑏

𝑏 × 𝑑

Exemplos:

Pelo primeiro método:

3

4+5

6=

𝑚𝑚𝑐 4,64

× 3 +𝑚𝑚𝑐 4,6

6× 5

𝑚𝑚𝑐(4,6)

3

4+5

6=

124× 3 +

126× 5

12=9 + 10

12=19

12

Exemplos:

Pelo segundo método:

3

4+5

6=3 × 6 + 5 × 4

4 × 6=18 + 20

24

3

4+5

6=38

24=19

12

Multiplicação de frações

𝑎

𝑏×𝑐

𝑑=𝑎 × 𝑐

𝑏 × 𝑑

Exemplo:

4

5×9

8=4 × 9

5 × 8=36

40=

9

10

Exemplo:

2

3×3

8×1

2=2 × 3 × 1

3 × 8 × 2=

6

48=1

8

Divisão de frações

𝑎

𝑏÷𝑐

𝑑=𝑎

𝑏×𝑑

𝑐

Exemplo:

5

3÷7

8=5

3×8

7=40

21

Exemplo:

4

5÷1

2÷3

4=

4

5×2

1÷3

4=8

5×4

3=32

15

Frações e porcentagem

Porcentagem é uma medida de razão com base 100. A porcentagem é utilizada em diversas áreas, em comparações, estimativas, em matemática financeira, entre outras. De certo modo, trabalhar com porcentagem nada mais é do que trabalhar com frações que tenham denominadores iguais ao número 100.

Porcentagem na maioria absoluta das vezes é representada pelo símbolo “%”, e lê-se por cento.

Exemplo de porcentagem em estatística

Partido A36%

Partido B33%

Partido C13%

Partido D7%

Partido E11%

Eleitores por partido

Partido A Partido B Partido C Partido D Partido E

Representação e significado de porcentagem

𝑎% =𝑎

100= 𝑎 × 0,01

Quando falamos em 50% de uma população, falamos na metade desta população. Pois:

50% =50

100= 0,5 =

1

2

Obs:

Em estatística, população é o nome dado ao conjunto de elementos sobre o qual o estudo estatístico é feito.

Na matemática financeira, chamamos de capital o dinheiro sobre o qual alguma operação financeira é aplicada. Por exemplo: juros e rendimento.

Exercício:

Uma escola do ensino fundamental de 1º ao 5º ano possui 600 alunos, 25% estão no 1º ano, 22% estudam no 2º ano, 21% estudam no 3º ano, 18% estudam no 4º ano, e o restante estuda no 5º ano. Quantos alunos estudam em cada ano?

Resolução:

1º ano: 23% de 600 =25

100× 600 = 150

138 alunos estudam no 1º ano.

2º ano: 22% de 600 =22

100× 600 = 132

132 alunos estudam no 2º ano.

3º ano: 21% de 600 =21

100× 600 = 126

126 alunos estudam no 3º ano.

4º ano: 18% de 600 =18

100× 600 = 108

108 alunos estudam no 4º ano.

Resolução:

5º ano:100 − 25 − 22 − 21 − 18 % = 14%

14% de 600 =14

100× 600 = 84

ou ainda;600 − 150 − 132 − 126 − 108 =8484 alunos estudam no 5º ano.

Exercício:

(ENEM 2013). Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras.

Um cliente deseja comprar um produto que custava R$50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de:a) 15,00 b) 14,00 c) 10,00 d) 5,00e) 4,00

Resolução: O preço normal do produto é de R$ 50,00. Aplicando o desconte de 20%. A economia final que teria:

𝑑𝑒𝑠𝑐. 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 𝑅$10

100× 40,00

𝑑𝑒𝑠𝑐. 𝑎𝑑𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 𝑅$ 4,00

Portanto, a alternativa correta é aalternativa (b).

Resolução: Caso o cliente tivesse o cartão fidelidade, ele teria mais 10% de desconto em cima do preço de R$ 40,00. O desconto

𝑃𝑟𝑒ç𝑜 = 𝑅$ 50 −20

100× 50,00

P𝑟𝑒ç𝑜 = 𝑅$ (50,00 − 10) = R$ 40,00