fractais: conceitos básicos, representações gráficas e aplicações ao ensino não...

UNIVERSIDADE DE LISBOA

FACULDADE DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

FRACTAIS: CONCEITOS BASICOS,

REPRESENTACOES GRAFICAS E

APLICACOES AO ENSINO NAO

UNIVERSITARIO

Celia Maria Filipe Santos Jordao Alves

MESTRADO EM MATEMATICA PARA O ENSINO

Dissertacao orientada pela

Professora Doutora Ana Maria Ribeiro Ferreira Nunes

i

ii

2007

iii

A presente obra encontra-se licenciada sob a licenca Creative Commons Attribution-

NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported. Para visualizar uma copia da licenca, visite

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ ou mande uma carta para: Crea-

tive Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA.

iv

Dedico este trabalho ao meu marido e ao meu filho.

vi

Agradecimentos

Muito ha o que e a quem agradecer depois desta longa jornada.

Em primeiro lugar, agradeco a minha orientadora, Professora Doutora Ana Nunes,

por ter aceite acompanhar-me nesta caminhada e por ter uma paciencia tao grande ou

maior que a minha persistencia.

Agradeco a todos quantos escreveram e editaram livros sobre fractais, em parti-

cular aos autores dos livros que eu consultei e que foram a minha principal fonte de

informacao e a base de inspiracao de todo o meu trabalho. Obrigada tambem aos que

disponibilizaram material escrito na internet sobre o tema, em particular ao Profes-

sor Doutor Joao Carlos Alves Barata, da Universidade de Sao Paulo, pelo manual de

Fısica-Matematica que disponibilizou on-line e que tao util me foi para a compreensao

das bases da Teoria da Medida, e ainda pela sua prontidao e simpatia na resposta as

minhas questoes.

Outros autores eu tive a ousadia de importunar e a todos agradeco a paciencia e

a amabilidade com que sempre contestaram aos meus emails ; sao eles Michael Frame

da Yale University, Michael Barnsley da Australian National University e Kenneth

Falconer da University of St Andrews.

Agradeco ainda a todos aqueles que produziram software e applets para representar

fractais e que colocaram esse material para acesso gratuito na internet. Esse material

serviu nao so para compreender melhor alguns conceitos, como tambem para utilizar

em algumas propostas de trabalho para alunos.

O meu muito obrigada ao Professor Doutor Luıs Sequeira, da Universidade de

Lisboa, por ter ministrado um curso de Latex, onde eu pude aprender as bases para

a utilizacao desta linguagem, e por ter respondido tao atenciosa e prontamente as

questoes que lhe fui colocando ao longo de todo o meu trabalho. Agradeco ainda a

todos aqueles que disponibilizaram textos na internet com instrucoes para o LaTex

que me permitiram esclarecer muitas duvidas e aborrecer menos vezes o Professor Luıs

Sequeira.

vii

Obrigada a Ana Paula Jordao pelo apoio prestado aquando da elaboracao do meu

pedido de licenca sabatica e a Sonia Figueinhas que, nao acreditando que este trabalho

algum dia pudesse ter fim, se muniu de toda a paciencia necessaria para digitalizar e

enviar-me por email material impresso que eu nao possuıa.

Um agradecimento muito especial a todos os meus amigos que se ofereceram para

ler as versoes previas desta tese de modo a ajudar na deteccao de gralhas, em particular

a Marta Carapuco a quem eu incumbi essa tarefa e que a cumpriu sempre com muito

boa disposicao, muita eficiencia e ainda com um enorme sentido crıtico-construtivo.

Por fim agradeco aqueles que me acompanharam de perto, dia-a-dia, ao longo de

toda esta viagem, e que testemunharam todos os momentos nao so de entusiasmo mas

tambem de angustia que fazem parte de tarefas como esta: o meu marido e o meu

filho. Nao esqueco a resignacao, a compreensao e o amor com que aceitaram a minha

ausencia no tempo que roubei a convivencia familiar para dedicar a finalizacao deste

trabalho.

viii

�As nuvens nao sao esferas, as montanhas nao sao cones, as linhas

costeiras nao sao cırculos, a casca das arvores nao e lisa e os relampagos

nao viajam em linha recta.�

Benoıt Mandelbrot

x

RESUMO O objectivo deste trabalho e a elaboracao e a apresentacao de propostas

de trabalho sobre Fractais para serem utilizadas na sala de aula de Matematica, com

alunos do ensino nao universitario. Para alem disso, sao tambem apresentadas algumas

propostas para serem desenvolvidas na modalidade de Projecto, na disciplina de Area

de Projecto. De modo a atingir este objectivo, patente no ultimo capıtulo, apresentam-

se previamente tres outros capıtulos. O primeiro que consiste na apresentacao do con-

ceito de Fractal enquanto ponto fixo de um Sistema de Funcoes Iteradas; o segundo

que consta na apresentacao do conceito de Dimensao Fractal, em particular das de-

finicoes de Dimensao de Hausdorff e de Dimensao de Contagem de Caixas, sendo a

primeira feita a partir da Construcao de Medida de Caratheodory; e o terceiro que

contem uma compilacao de aplicacoes possıveis da Geometria Fractal com o intuito de

dar a perceber a importancia que esta geometria tem vindo a alcancar pela sua enorme

utilidade e aplicabilidade nas mais variadas areas do conhecimento. No ultimo capıtulo

e, entao, apresentado um conjunto de propostas de actividades que pretendem levar

o aluno a compreender o conceito de Fractal, estudar algumas propriedades de casos

concretos e entender a importancia da Geometria Fractal para o mundo actual, sendo

evidenciados, sempre que possıvel, os conteudos programaticos dos programas oficiais

de Matematica portugueses em vigor actualmente que podem ser trabalhados nessa

actividade a par dos conceitos da Geometria Fractal.

Palavras-Chave: geometria, fractal, sistema de funcoes iteradas, dimensao fractal, di-

mensao de Hausdorff, dimensao de contagem de caixas, aplicacoes, aula de matematica,

representacao grafica

xi

ABSTRACT The main objective of this work is the elaboration and presentation of

some proposals for classroom activities about fractals to be used in Mathematic classes,

with non-University students. In addition, it is also presented some activities for being

developed as a project. To reach this goal, which is highlighted in the last chapter,

three previous chapters are introduced. The first presents the concept of Fractal as a

fixed point of a Iterated Function System; the second relies on the concept of Fractal

Dimension, in particular in the definition of both the Hausdorff Dimension and the Box

Counting Dimension, being the first created from the Caratheodory Measure Theory;

and the third includes a compilation of possible applications of the Fractal Geometry

in order to emphasize the importance that this geometry has been gaining due to its

vast utility and applicability in various areas of knowledge. In the last chapter it is

presented a collection of classroom activities, which pretend to take the pupil into the

concept of Fractal and into the study of some properties of some particular cases. At

the same time, it is pretended that the students deep their knowledge about the impor-

tance of the Fractal Geometry in the current world. Whenever possible, the contents

of the current Portuguese official learning programmes of Mathematics were pointed

out in a way that they can be worked in parallel with the Fractal Geometry concepts.

Keywords: geometry, fractal, iterated function system, fractal dimension, Hausdorff

dimension, box counting dimension, applications, mathematics lessons, graphical re-

presentations

Conteudo

Lista de Figuras xv

Lista de Tabelas xxi

Introducao xxiii

As Minhas Motivacoes xxv

As Origens da Geometria Fractal xxviii

Os Conceitos de Fractal e de Dimensao Fractal xxxi

A Estrutura deste Trabalho xxxvi

Capıtulo 1. Fractais definidos por Sistemas de Funcoes Iteradas 1

1. Conceito de espaco metrico 5

2. Conceito de espaco metrico com metrica de Hausdorff 5

3. Ponto fixo de uma transformacao 22

4. Sistemas de Funcoes Iteradas 26

5. Exemplos de Fractais definidos por Sistemas de Funcoes Iteradas 36

6. Fractais parecidos com objectos naturais 42

7. Sistemas de Funcoes Iteradas com Conjunto de Condensacao 44

8. O Problema Inverso - Modelacao com Sistemas de Funcoes Iteradas 47

Capıtulo 2. A Dimensao Fractal 53

1. Construcao de uma Medida pelo metodo de Caratheodory 57

2. Medida e Dimensao de Hausdorff 86

3. Definicoes alternativas de Dimensao 109

Capıtulo 3. Aplicacoes da Geometria Fractal 139

1. Fractais Naturais 142

xiii

xiv CONTEUDO

2. Fractais criados pelo Homem 158

3. Fractais aplicados as Ciencias Economicas, Sociais e Humanısticas 171

4. Os Fractais e a Teoria do Caos 175

Capıtulo 4. Exploracao de Fractais em contexto de Sala de Aula 179

1. Tipos de Actividades 184

2. Conexoes matematicas proporcionadas pelo topico “Fractais” 186

3. Competencias, Capacidades e Atitudes 186

4. Exploracao de Fractais com software 191

5. Propostas de Actividades para a Aula de Matematica 194

6. Propostas para a disciplina de Area de Projecto 265

Conclusao 289

Anexos 297

Bibliografia 321

Lista de Figuras

1.1 Distancia de um ponto x a um conjunto compacto A. 6

1.2 Distancia de A a B. 8

1.3 Distancia de A a B e distancia de B a A. 8

1.4 Distancia de pontos ”estrategicos”aos conjuntos A, B e C. 10

1.5 Lema da Extensao 18

1.6 Dois elementos de H(R2). 21

1.7 Contraccao em R 23

1.8 Representacao grafica de um ponto f de C[0, 1], da sua imagem pela funcao

w(f) =12f + 1 e do ponto fixo de w. 23

1.9 Contraccao no espaco das funcoes contınuas em [0,1 29

1.10Iteradas sucessivas de um compacto de R pela funcao f definida em H(R). 31

1.11Iteradas sucessivas de um compacto de R2 pela funcao w definida em H(R2). 32

1.12A distancia de B1 a C1 ∪ C2 e igual ao menor valor entre d(B1, C1) e d(B1, C2). 33

1.13Um Fractal definido por um SFI e independente do elemento inicial de H(X ) ao qual

se aplica esse SFI. 38

1.14As primeiras duas iteradas de um SFI nao linear. 40

1.15Resultado da primeira iterada do SFI que gera a curva de Peano. 41

1.16Resultado das cinco primeiras iteradas do SFI que gera a curva de Peano. 42

1.17Reescalamento de um quadrilatero com distorcao. 43

1.18Representacao grafica de algumas das iteradas de um SFI que define um fractal que

se assemelha a um feto. 44

xv

xvi LISTA DE FIGURAS

1.19Imagem obtida depois de cinco iteracoes num SFI com conjunto de condensacao. 46

1.20Imagens de plantas virtuais geradas a partir de Sistemas de Funcoes Iteradas com

Conjunto de Condensacao. 47

1.21Simulacao de avenida ladeada por arvores, gerada a partir de um Sistema de Funcoes

Iteradas com Conjunto de Condensacao. 48

1.22A esquerda a folha que se pretende representar atraves do ponto fixo de um SFI

e a direita a imagem dessa folha por seis contraccoes diferentes juntamente com o

contorno da folha original. 50

1.23A iteracao zero e o resultado obtido ao fim de seis iteracoes atraves de um SFI

constituıdo por seis contraccoes em R2. 51

2.1 Grafico de µsH em funcao de s. 92

2.2 Relacao entre medidas de figuras semelhantes. 97

2.3 As primeiras tres iteracoes na construcao do conjunto Poeira de Cantor. 98

2.4 As primeiras quatro iteracoes na construcao do Conjunto de Cantor. 99

2.5 As primeiras tres iteracoes na construcao de um conjunto totalmente desconexo em

R2 com dimensao de Hausdorff igual a r. 106

2.6 Rede-δ em R, R2 e R3. 113

2.7 Ilustracao em R e em R2 de “Em Rn, cada bola fechada de raio δ intersecta, no

maximo, 3n cubos da rede-δ. 114

2.8 Se a dimensao de caixas de um conjunto A e maior que a dimensao de caixas de um

conjunto B, entao a dimensao de caixas de A∪B e igual a dimensao de caixas de A.117

2.9 Primeiras quatro iteradas da construcao da Curva de Koch. 122

2.10Para δ =(

13

)ksao necessarios, no maximo, 4k conjuntos de diametro δ para cobrir

a Curva de Koch. 122

2.11Para δ =(

13

)kconseguem-se, pelo menos, 4k + 1 bolas de diametro δ com centro

em pontos da Curva de Koch. 123

LISTA DE FIGURAS xvii

2.12Recobrimento do Triangulo de Sierpinski por quadrados de lado 12 ,

14 e 1

8 . 126

2.13Arvore de uma das variedades de acer palmatum. 127

2.14Versao binaria da imagem digital da folha. 127

2.15Divisao da imagem em caixas de lado 512, 256, 128, 64, 32, 16 e 8 pixels

respectivamente. 128

2.16Numero de caixas que intersectam a folha (Nδ(G)) em funcao do comprimento (em

pixels) do lado da caixa (δ). 129

2.17Logaritmo do Numero de caixas que intersectam a folha (log (Nδ(G))) em funcao

do Logaritmo do inverso do comprimento (em pixels) do lado da caixa (− log(δ)) e

recta de regressao linear para o conjunto de pontos representados. 130

2.18Primeiras duas iteradas da construcao um fractal que pode ser definido por um SFI

constituıdos por cinco contraccoes, com dois factores de contraccao diferentes. 132

2.19Resolucao Grafica, pelo Metodo Heurıstico, para determinar a dimensao de um

fractal definido por um SFI constituıdo por contraccoes de diferentes factores de

contraccao. 133

2.20Primeiras quatro iteradas da construcao do Triangulo de Sierpinski. 134

2.21Esquema de construcao da primeira iterada e as primeiras cinco iteradas da

construcao da Curva de Peano. 135

2.22Primeiras iteradas da construcao de duas curvas com processo de construcao identico

a Curva de Koch. 136

2.23Primeiras iteradas da construcao da Ilha de Minkowski. 137

3.1 Diversos elementos da flora que exibem a repeticao da mesma forma a varias

escalas. 144

3.2 Vegetais com estrutura fractal. 145

3.3 Imagem do sistema pulmonar e de um modelo fractal desse sistema. 145

3.4 Modelo do sistema de irrigacao do coracao humano. 146

xviii LISTA DE FIGURAS

3.5 Neuronio. 147

3.6 Padrao formado por bacterias em crescimento, em laboratorio, em prato petri. 150

3.7 Vista aerea de uma rede fluvial e fotografia de uma cascata. 151

3.8 Imagens de grutas onde a geometria fractal e bem visıvel. 152

3.9 Imagens de montanhas onde a geometria fractal esta bem patente. 153

3.10As nuvens apresentam uma estrutura fractal 154

3.11A luz de um relampago percorre um caminho fractal. 154

3.12Agregacao por Difusao Limitada 156

3.13Flocos de neve com estrutura fractal. 157

3.14Galaxia criada por computador. 158

3.15Paisagens criadas por computador. 159

3.16Dithering com a curva de Hilbert. 161

3.17Antena com formato fractal. 162

3.18Seccao de cabo de fibra optica com a colocacao das fibras segundo uma

estrutura fractal. 163

3.19Misturadores de fluıdos com forma fractal, 164

3.20Conjunto de Mandelbrot 165

3.21Imagens digitais criadas por processos identicos ao do Conjunto de Mandelbrot.166

3.22Quadro de Paul Jackson Pollock. 169

3.23Padrao fractal obtido pela compressao de tinta entre duas folhas de papel. 169

3.24Vista aerea de uma povoacao em Ba-Ila e as primeiras tres iteracoes do modelo

fractal correspondente. 170

3.25Vista aerea da cidade de Logone-Birni 171

3.26Projecto de Kazimir Malevich. 172

3.27Mosteiro da Batalha. 173

3.28Esboco de Da Vinci de uma catedral. 174

LISTA DE FIGURAS xix

3.29Atractor de Lorenz. 176

4.1 Esta folha foi, na verdade, desenhada por computador a partir de um SFI; mas

parece bem verdadeira! 241

4.2 A folha e a reuniao de tres contraccoes de si mesma. 242

4.3 A esquerda, a folha que se pretende representar atraves de um fractal definido por

um SFI e a direita, a reuniao de seis imagens dessa folha atraves de seis contraccoes

diferentes juntamente com o contorno da folha original. 246

4.4 Comparacao da forma original com a forma obtida ao fim de seis iteracoes atraves

de um SFI constituıdo por seis contraccoes. 246

Lista de Tabelas

1.1 Coeficientes de cada uma das contraccoes do Exemplo 17. 50

2.1 Valores obtidos a partir da contagem de caixas que intersectam a Figura 2.14. 129

4.1 Conceitos matematicos implıcitos em cada uma das Propostas. 187

4.2 Conceitos matematicos implıcitos em cada uma das Propostas. 188

xxi

Introducao

xxiii

xxiv INTRODUCAO

AS MINHAS MOTIVACOES xxv

As Minhas Motivacoes

Ao longo do tempo, na minha actividade como docente tenho-me preocupado em

leccionar Matematica aos alunos da forma o mais atractiva possıvel, tentando ir ao

encontro das suas expectativas e dos seus interesses. A intencao e conseguir que os

conteudos programaticos adquiram um sentido pratico e, daı, sejam melhor compreen-

didos e adquiridos. Apresentar actividades que relacionem a Matematica com o real

e utilizar as novas tecnologias foram sempre duas das minhas apostas por considerar

que sao estrategias bastante eficazes no que diz respeito a motivacao dos alunos para

o estudo da Matematica. Entender a relacao da Matematica com a realidade aclara

nos alunos a ideia da utilidade da aprendizagem que se pretende que efectuem. Por

conseguinte, a Matematica pode tornar-se necessaria para eles, o que por si so pode

ser um factor facilitador da aquisicao e compreensao dos conceitos. Por outro lado, a

utilizacao do computador, das calculadoras graficas e de outros aparelhos electronicos

pode tornar mais visual, mais concreta e, portanto, mais apelativa, qualquer tarefa que

se apresente aos alunos da era actual.

Com base nestes dois pontos, e a medida que fui tendo contacto com o tema dos

Fractais, este veio a suscitar-me um interesse crescente, por notar que tem potenciali-

dades para ir ao encontro desse objectivo. Comecei por notar a forma como o estudo

de um so fractal pode conectar uma vasta lista de conceitos matematicos e como a sua

representacao grafica no computador pode tornar esse objecto de estudo muito inte-

ressante e apelativo. Depois, de forma mais gradual, fui-me dando conta da enorme

aplicabilidade destes objectos geometricos ao estudo de elementos e fenomenos naturais

o que torna, portanto, perfeitamente evidente a ligacao da Matematica com o real.

A primeira vez que ouvi falar sobre Fractais foi no primeiro ano da licenciatura em

Ensino da Matematica. Nao existia no curso uma disciplina dedicada ao assunto, mas

o topico foi referido algumas vezes pelo Professor Sousa Ramos durante as suas aulas

de Introducao a Computacao. Apesar de ter recebido muito pouca informacao sobre o

xxvi INTRODUCAO

assunto, de algum modo ele me suscitou interesse que me incitou a aproveitar outras

oportunidades que foram surgindo para escutar varias pessoas a falarem sobre fractais.

Mais tarde aproveitei a oportunidade oferecida pela disciplina de “Seminario de

Matematica para o Ensino” integrada na parte curricular do Mestrado em Matematica

para o Ensino, para explorar o tema dos Fractais. Produzi um trabalho que consistiu

no estudo teorico do conceito enquanto ponto fixo de um sistema de funcoes itera-

das seguido da enumeracao dos conceitos matematicos constantes nos programas de

Matematica do ensino basico e secundario que podem estar associados ao estudo de

sistemas de funcoes iteradas. Este trabalho veio a constituir a base de desenvolvimento

do Capıtulo 1 desta dissertacao.

No congresso anual de professores de Matematica (Profmat 2003) em Santarem

orientei uma sessao pratica de tres horas sobre fractais onde, depois de uma explicacao

sobre o conceito, apresentei aos professores participantes algumas das actividades que

podem ser realizadas com os alunos para que as resolvessem eles mesmos e depois

as comentassem. Voltei depois a dinamizar uma accao identica na Escola Secundaria

c/ 3o C.E.B. da Batalha tambem dirigida aos professores de Matematica e, das duas

experiencias, depreendi que seria importante organizar melhor as actividades que tinha

ja pensadas para os alunos de forma a que estas pudessem estar disponıveis e acessıveis

a mais professores que possam interessar-se pelo assunto.

Em Setembro de 2004 participei numa Accao de Formacao onde estavam presentes

professores de diversas disciplinas, intitulada “Interdisciplinaridade e Computacao no

Ensino Secundario” e cujo objectivo era aprender as bases de programacao em NetLogo,

uma linguagem que funciona com uma plataforma auxiliar de apresentacao grafica e

que permite criar programas de simulacao de situacoes reais nas mais variadas vertentes

do estudo das ciencias. O trabalho que realizei como produto final e para avaliacao da

minha aprendizagem nessa accao de formacao, incidiu mais uma vez sobre o tema dos

fractais e consistiu na criacao de programas em NetLogo que permitem ao utilizador a

construcao de fractais e na elaboracao de algumas propostas de trabalho para alunos do

AS MINHAS MOTIVACOES xxvii

ensino secundario, que lhes pede que explorem alguns conceitos matematicos atraves da

construcao e analise de fractais recorrendo ao software criado. Mais uma vez senti que

seria importante aprofundar este trabalho de forma a introduzir mais alguns aspectos e

a melhorar outros, para depois o poder aplicar na sala de aula e tambem disponibiliza-lo

a quem possa estar interessado em o utilizar.

O trabalho resultante destas ultimas experiencias constituiu o ponto de partida

para o Capıtulo 4 onde e apresentado um conjunto de propostas de actividades para

trabalhar com os alunos, tendo o NetLogo perdido alguma relevancia em detrimento

de outros softwares que tambem sao sugeridos.

Foi com a realizacao do trabalho de “Seminario de Matematica para o Ensino”

que comecei a aperceber-me que o estudo dos fractais se encontrava em franca ex-

pansao devido a sua aplicabilidade num vasto leque de areas. Apesar de se tratar

de um tema bastante recente (so lhe foi dada importancia a partir da segunda me-

tade do seculo XX), os fractais ja demonstraram ter correlacao com quase todos os

domınios do conhecimento e surgem constantemente novas aplicacoes dos mesmos. Os

fractais “puros” estao patentes apenas na Matematica, mas podem servir para modelar

fenomenos e objectos da Fısica, da Astronomia, da Sismologia, da Meteorologia, da Bi-

ologia, da Medicina, das Ciencias Humanas, da Economia, de diversas formas de Arte,

da Informatica, da Industria, etc, etc,... Esta constatacao levou-me a considerar que

a Geometria Fractal merece ser apresentada aos alunos a partir do ensino basico e fez

com que o seu papel nas propostas de actividades apresentadas no ultimo capıtulo deste

trabalho deixasse de ser apenas o de elo de conexao entre conceitos matematicos e o de

ilustracao da aplicacao dos mesmos, para passar a ser como que o actor principal, isto e,

o assunto que interessa realmente estudar. A necessidade de fundamentar esta opiniao

deu origem ao Capıtulo 3, onde tento dar uma visao abrangente das possibilidades de

utilizacao e aplicacao da Geometria Fractal.

Assim, e possıvel encontrar no estudo dos conjuntos fractais um manancial de

topicos para trabalhar com os alunos em actividades de exploracao e de investigacao

xxviii INTRODUCAO

tanto na aula de Matematica, como noutras situacoes em que a Matematica se pode

conectar de forma estreita com outras disciplinas. Um dos espacos privilegiados para

esse efeito podera ser a disciplina de Area de Projecto, quer no ensino basico, quer no

ensino secundario, pelo que algumas das propostas mais abertas e multidisciplinares

serao apresentadas para o ambito desta disciplina.

O conceito de fractal, nao sendo facil de definir formalmente, e bastante facil de

entender e pode ser trabalhado com alunos desde os mais jovens ate aos do ensino

secundario. Ao realizar tarefas sobre fractais, desde a interiorizacao do conceito, a

construcao dos mesmos (apoiada ou nao por suporte informatico) ou a analise das suas

propriedades, o aluno pode aplicar, desenvolver, aprofundar e conectar variadıssimos

conceitos matematicos, muitos dos quais fazem parte dos conteudos programaticos do

ensino basico e do ensino secundario. No Capıtulo 4 e indicada a lista dos conteudos

programaticos da disciplina de Matematica que podem estar, de alguma forma, relaci-

onados com as actividades propostas.

As Origens da Geometria Fractal

A partir da segunda metade do seculo XIX, foram sendo apresentados alguns dos

objectos hoje tidos como fractais. Exemplos disso sao alguns dos Fractais classicos fa-

mosos que serao mostrados durante este trabalho, como e o caso do Conjunto de Cantor

(ver Exemplo 11, pagina 38) introduzido pelo matematico alemao Georg Cantor (1845-

1918) em 1883, da Curva de Peano que percorre todos os pontos de um quadrado (ver

Exemplo 13, pagina 40), apresentada em 1890 pelo matematico alemao Giuseppe Pe-

ano (1858-1932), da Curva de Koch (ver Exemplo 40, pagina 122) que apareceu num

trabalho do matematico sueco Helge von Koch (1870-1924) em 1904 e do Triangulo de

Sierpinski (ver Exemplo 1, pagina 21 e Exemplo 9, pagina 37) apresentado pelo ma-

tematico polaco Waclaw Sierpinski (1882-1969) em 1915.[48] Nao havia, nessa altura,

quase nenhuma representacao grafica destes conjuntos porque a inexistencia de com-

putadores na epoca obrigava a que se dispendesse muito tempo em calculos fastidiosos

sem, no entanto, se produzirem grandes resultados graficos. Por vezes, conjuntos deste

AS ORIGENS DA GEOMETRIA FRACTAL xxix

tipo, com propriedades estranhas - curvas que nao eram diferenciaveis em nenhum

ponto, auto-semelhantes, com comprimento indefinido ou que nao podia ser medido,

as quais o conceito de dimensao topologica parecia nao se adequar - eram vulgarmente

apelidados de “monstros” e de “casos patologicos” sem interesse matematico e eram

apresentados sem qualquer suporte de imagem ou apenas acompanhados por esbocos

de pouca qualidade grafica. Exemplos disso sao esbocos de movimentos fısicos e de

movimentos brownianos simulados nos livros Les Atomes do fısico frances Jean Perrin

(1870-1942) de 1913 e Introduction to Probability do matematico croata William Feller

(1906-1970) de 1950, e aqueles que viriam a ser dos primeiros conjuntos a ser apelidados

de fractais, que apareceram no trabalho dos matematicos franceses Pierre Fatou (1878-

1929) e Gaston Julia (1893-1978), por volta de 1918, sem terem sido representados

graficamente nessa epoca[5].

Em 1945, um tio de Benoıt Mandelbrot - Szolem Mandelbrot, um matematico

franco-polaco - recomendou-lhe a leitura de um trabalho de 300 paginas de Gaston

Julia intitulado Memoire sur la iteration des fonctions rationelles, publicado em 1918

no Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, e que foi um documento precursor

da moderna teoria dos sistemas dinamicos.

Em 1970 Benoıt Mandelbrot, tambem ele matematico frances nascido na Polonia

em 1924, retomou o interesse pelas questoes relacionadas com a publicacao de Gas-

ton Julia e, com a ajuda dos meios computacionais que tinha ao seu dispor na IBM,

onde trabalhava, iniciou a partir de 1957 no centro de investigacao Thomas J. Wat-

son, o seu estudo. Comecou por estudar series temporais relacionadas com precos e

posteriormente com um problema que, naquela epoca, preocupava os tecnicos da mul-

tinacional, e que estava relacionado com o ruıdo das linhas telefonicas utilizadas para

interligar computadores. A informacao transmitia-se mediante impulsos electricos, e

a consequencia do ruıdo era o eventual desaparecimento de um fragmento de sinal.

Mandelbrot propos um modelo que se inspirava directamente no conjunto de Cantor

xxx INTRODUCAO

e demonstrou que nao era possıvel eliminar os ruıdos, mas poder-se-ia estabelecer um

controlo dos mesmos mediante oportunas estrategias de redundancia.

Em 1962, Mandelbrot publicou a memoria Sur certains prix speculatifs: faits em-

piriques et modele base sur les processus stables additifs de Paul Levy, uma das suas

primeiras referencias sobre series temporais em financas. Em 1967 publicou How Long

is the Coast of Britain? Statistical Self-similarity and Fractional Dimension, sobre um

tema que encontrou numa publicacao postuma do cientista britanico Lewis F. Richard-

son.

E assim se foram dando os primeiros passos do desenvolvimento de uma geome-

tria fractal sistematica, que incluıa o seu aspecto grafico, levado a cabo por Benoıt

Mandelbrot, praticamente sozinho durante dez anos. Posteriormente passou a incluir

programadores que foram sendo pessoas diferentes ao longo do tempo, parte deles

estagiarios na IBM[5].

Todo este trabalho de investigacao viria a dar origem ao seu ensaio de 1975 in-

titulado Les objects fractales: forme, hasard et dimension. E nesse trabalho que e

introduzido o termo fractal a partir do adjectivo latino fractus, do verbo frangere,

que significa quebrar[48]. E por isso que este matematico e hoje apelidado de pai da

geometria fractal ja que foi tambem a partir deste seu ensaio que comecou verdadei-

ramente a desenvolver-se um interesse crescente, por parte da comunidade cientıfica,

pela geometria fractal.

A partir de 1975 foi sendo possıvel desenhar fractais com recurso aos computadores.

Mais tarde, Benoıt Mandelbrot, foi um dos primeiros a utilizar o computador para

processar iteracoes sucessivas de equacoes[6].

Em 1980, novamente com a ajuda de um computador, Mandelbrot apresenta o pri-

meiro tracado detalhado do grafico de um conjunto deduzido da avaliacao do parametro

de um sistema dinamico no campo complexo: z → z2 + c sendo c um numero com-

plexo, que e o parametro em questao. O dito conjunto (hoje denominado conjunto de

OS CONCEITOS DE FRACTAL E DE DIMENSAO FRACTAL xxxi

Mandelbrot) e provavelmente o fractal mais popular e, possivelmente, um dos objectos

matematicos contemporaneos visualmente mais conhecidos pelo grande publico.

Richard F. Voss que tambem trabalhou temporariamente na IBM, apareceu quando

Mandelbrot estava a traduzir o livro Les objects fractals e criou um sistema grafico

computacional inovador que permitiu criar imagens de fractais ate entao nunca vistas

e que foram publicadas no livro Fractals. Os graficos com cor apareceram no livro

seguinte de Mandelbrot, Fractal Geometry of Nature, na edicao de 1982. Trata-se de

un ensaio onde Mandelbrot coloca os fractais num sem numero de contextos cientıficos.

Um pouco mais tarde aplicaram-se estes metodos e outros mais avancados a criacao de

imagens de paisagens e de galaxias para filmes como os da saga Star Trek [5].

Benoit B.Mandelbrot, com o seu enorme e criativo trabalho introduziu o conceito

de geometria fractal e ao escrever variadıssimos artigos que lidam com a geometria

de fenomenos observados em varios campos da ciencia, gerou um interesse sobre este

assunto que se foi alastrando[4, pag. 3].

A geometria fractal fomenta a interdisciplinaridade, comecando nos proprios li-

vros de Mandelbrot que discutem arvores, rios, pulmoes, linhas de agua, turbulencia,

economia, frequencia de palavras num texto, e muitos outros topicos interligados por

conceitos geometricos[4, pag. 3].

Os Conceitos de Fractal e de Dimensao Fractal

Durante seculos, os objectos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana

foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. No

entanto, outras geometrias nao-euclidianas foram sendo descobertas e aplicadas a mo-

delacao de certos fenomenos do Universo. O mesmo sucedeu com a geometria fractal

que pode ser aplicada a um quase sem numero de objectos e de fenomenos naturais, de

fenomenos sociais, e ser ainda usada como fonte de inspiracao para varios tipos de arte

e, de mao dada com a Teoria do Caos, permitir a modelacao e o estudo de movimentos

ou fenomenos aparentemente totalmente aleatorios[4, pag. 3].

xxxii INTRODUCAO

A geometria euclidiana e aquela que e apresentada na escola a todas as criancas. Os

polıgonos e os poliedros regulares fazem parte da historia da Matematica como elemen-

tos que serviram de base para a compreensao da Natureza atraves da Matematica. As

criacoes humanas servem-se maioritariamente das formas geometricas euclidianas para

as suas construcoes. Edifıcios, objectos industriais e do quotidiano podem, por norma,

ser modelados de modo aceitavel por essas formas de limites “lisos” - paralelepıpedos,

cilindros, quadrilateros, entre outros. Essas mesmas formas tambem serviram, durante

muito tempo, para modelar a Natureza. Em alguns casos continua a fazer sentido

utiliza-las. E o caso da esfera que serve perfeitamente como primeira aproximacao de

modelo da forma da Terra, da elipse como modelo das orbitas celestes e da parabola

como trajectoria de projecteis. No entanto, a maior parte das formas apresentadas pela

Natureza nao sao regulares nem suaves; pelo contrario, sao extremamente complexas,

recortadas e irregulares. E o caso da grande parte das arvores e plantas (ramos, folhas,

tronco,...), das rochas, das nuvens, dos relampagos, etc. So de uma maneira muito

tosca se podera modelar formas deste tipo pela geometria euclidiana. A geometria

fractal, essa sim, fornece algoritmos para construcao de formas identicas as naturais e

tambem ferramentas para o estudo das mesmas.

Nao ha uma definicao exacta e acabada de fractal. Inicialmente, Benoit Mandelbrot

apresentou, com relutancia uma definicao de fractal, reforcando que se tratava apenas

de uma tentativa de definicao e, mais tarde, retirou essa definicao[4, pag. 1-2].

Foi na obra The Fractal Geometry of Nature que definiu fractal como um conjunto

cuja dimensao de Hausdorff-Besicovitch e estritamente maior que a sua dimensao to-

pologica (A dimensao topologica de um conjunto e sempre um numero inteiro e e 0

se for totalmente desconexo, 1 se cada um dos seus pontos possuir vizinhancas ar-

bitrariamente pequenas com fronteiras de dimensao 0, etc...) Esta definicao, apesar

de correcta e precisa, revelou-se insatisfatoria ja que excluıa alguns casos de conjun-

tos que deveriam ser considerados fractais. Outras tentativas de definir fractal foram

OS CONCEITOS DE FRACTAL E DE DIMENSAO FRACTAL xxxiii

surgindo, mas todas pareciam ter o mesmo problema[2, pag. XX]. Mais tarde, Man-

delbrot propos outra definicao: Um fractal e uma forma composta de partes que de

algum modo sao semelhantes ao todo[4, pag. 11]. Tem sido propostas varias outras

definicoes e, de facto, esta-se diante de um conceito geometrico para o qual ainda nao

existe uma definicao precisa, nem uma teoria unica e genericamente aceite[39].

Segundo a primeira definicao, um quadrado nao e um fractal. Mas se for visto

como o resultado de uma Curva de Peano (ver Exemplo 13, pagina 40), cuja dimensao

topologica e 1, ja podera ser considerado um fractal. Um objecto geometrico e tido

como um fractal se possuir pelo menos algumas das seguintes caracterısticas:

• Tem uma “estrutura fina”, isto e, contem detalhe a escala arbitrariamente

pequena e quanto mais se amplia a sua imagem, mais detalhes e possıvel

observar.

• E demasiado irregular para poder descrever-se facilmente nos termos classicos,

quer em termos globais quer ao nıvel da sua geometria local, isto e, nao se trata

do lugar de pontos que satisfaz uma determinada condicao nem dos pontos

que representam o conjunto-solucao de uma equacao simples, sendo tambem

complicado descrever o que se passa a volta de cada um dos seus pontos.

• Possui algum tipo de auto-semelhanca (exacta, aproximada ou estatıstica), isto

e, contem copias de si proprio a varias escalas. Um fractal auto-semelhante

“puro” contem copias de si proprio a escalas tao pequenas quanto se queira.

Na Natureza, o intervalo de escalas a que o fractal se representa dentro de si

mesmo e limitado.

• Pode construir-se a partir de um processo muito simples e directo podendo

eventualmente obter-se atraves de um procedimento recursivo que gera, em

cada passo (iteracao), uma melhor aproximacao do fractal.

• As definicoes classicas de medida (como a de Lebesgue, por exemplo), podem

nao ser apropriadas para indicar o seu “tamanho”, e a sua dimensao fractal e

maior que a sua dimensao topologica.

xxxiv INTRODUCAO

Um fractal pode ter todas estas caracterısticas, ou apenas algumas. Pode ainda,

apresentar outras caracterısticas nao mencionadas aqui mas que sejam de interesse.

De qualquer forma, qualquer fractal que se preze desse nome tera uma estrutura fina

com detalhes a qualquer escala, isto e, complexidade infinita, que permite amplia-lo

infinitamente obtendo sempre “copias” dele mesmo no seu interior. E esta aborda-

gem parece ser melhor do que optar por uma definicao que possa excluir alguns casos

eventualmente interessantes.

Podem ser considerados varios tipos de auto-semelhanca. Um fractal dir-se-a estri-

tamente auto-semelhante ou com auto-semelhanca exacta quando for composto apenas

por reducoes de si mesmo a varias escalas, como e o caso do Triangulo de Sierpinski

(ver Exemplo 1, pagina 21 e Exemplo 9, pagina 37). Um fractal dir-se-a auto-afim

ou com auto-semelhanca aproximada quando for composto por varias contraccoes (ver

Definicao 13, pagina 22) de si mesmo, como e o caso do feto do Exemplo 14, pagina 42.

Um fractal pode ainda ter uma auto-semelhanca estatıstica quando contiver dentro si,

a escalas tao pequenas quanto se queira, formas estatisticamente identicas a sua forma

global. E o caso do fractal que se obtem com o mesmo processo da Curva de Koch

(ver Exemplo 40, pagina 122) acrescentando o facto de se sortear, em cada passo, o

lado para o qual se constroi a nova saliencia da curva. Os fractais com este tipo de

auto-semelhanca dizem-se aleatorios e nao serao estudados neste trabalho.

Entretanto, nem todos os objectos auto-semelhantes sao considerados fractais. A

recta real (uma linha recta Euclidiana), por exemplo, e exactamente auto-semelhante,

mas nao tem uma estrutura fina, tıpica de um fractal.

Nao ha fractais “puros” na Natureza, tal como nela tambem nao existem esferas

perfeitas. Os fractais podem ser uteis para modelar objectos e fenomenos naturais,

desde a escala atomica (na turbulencia de fluidos, por exemplo) ate ao tamanho do

Universo (constituicao de galaxias, por exemplo), porem, em cada caso, a sua auto-

semelhanca nao sera repetida infinitamente, mas apenas num determinado intervalo de

escalas.

OS CONCEITOS DE FRACTAL E DE DIMENSAO FRACTAL xxxv

Os fractais podem tambem ser divididos em varias categorias segundo o modo como

sao formados ou gerados:

• Fractais definidos por uma relacao de recorrencia em cada ponto do espaco,

como e o caso do Conjunto de Mandelbrot.

• Fractais aleatorios, gerados por processos estocasticos ao inves de determinısticos.

• Ponto fixo de um sistema de funcoes iteradas: Um conjunto de funcoes e

aplicado sucessivamente, a um subconjunto compacto de um espaco metrico,

um numero infinito de vezes.

Apenas este ultimo tipo de fractais referido sera tratado neste trabalho.

Uma das ferramentas importantes para o estudo e analise de conjuntos fractais e

a dimensao fractal. Existem varias definicoes que podem nao gerar o mesmo valor

quando aplicadas ao mesmo conjunto e e necessario saber sempre, em cada momento,

com qual das definicoes se esta a trabalhar.

O valor da dimensao e um indicador da quantidade de espaco que ocupa um deter-

minado conjunto. E uma medida das proeminencias das irregularidades de um conjunto

quando observado a uma escala muito pequena. No Capıtulo 2 serao tratadas duas das

mais utilizadas habitualmente: a dimensao de Hausdorff e a dimensao de contagem

de caixas. Quando nao for relevante acerca de qual das duas se fala, dir-se-a dimensao

fractal.

Curiosamente, o conceito de dimensao de Haudorff foi apresentado muito antes dos

ditos “casos patologicos” constituıdos por conjuntos hoje conhecidos como fractais, em

1918, pelo matematico alemao Felix Hausdorff (1868-1942)[48] e e util como quantifi-

cador da dimensao de conjuntos muito irregulares em qualquer espaco metrico sendo,

por isso, uma das definicoes de dimensao fractal mais usadas. E muitas vezes dita di-

mensao de Hausdorff-Besicovitch por ter sido Besicovitch (1891-1970), um matematico

russo, a introduzir muitos desenvolvimentos tecnicos que permitem a computacao da

dimensao de Hausdorff em conjuntos muito irregulares[48].

xxxvi INTRODUCAO

A origem da dimensao de contagem de caixas nao e facil de determinar; parece ter

sido considerada primeiramente pelos pioneiros estudiosos da dimensao e da medida

de Hausdorff, mas tera sido inicialmente rejeitada por parecer menos satisfatoria do

ponto de vista matematico.

A ideia de definir medida a partir de recobrimentos do conjunto, foi introduzida em

1914 pelo matematico grego Caratheodory (1873-1950).

Os fractais sao conhecidos por terem habitualmente uma dimensao fractal nao in-

teira. No entanto, ha fractais com dimensao inteira e ha conjuntos com dimensao fractal

nao inteira que nao deverao ser considerados fractais por nao possuırem algumas das

propriedades tıpicas dos fractais.

A Estrutura deste Trabalho

Este trabalho e baseado em muitos documentos, mas os que fundamentam a maior

parte do seu conteudo sao os seguintes: No Capıtulo 1, Fractals Everywhere de Mi-

chael Barnsley[1]; no Capıtulo 2, Curso de Fısica-Matematica de Joao Barata[33],

Fractal Geometry - Mathmatical Foundations and Applications de Keneth Falconer[2]

e novamente Fractals Everywhere de Michael Barnsley[1]; no Capıtulo 3, predominan-

temente os livros Fractals de Jens Feder[4] e Fractals in Biology and Medicine de T.

F.Nonnenmacher, G. A. Losa e E. R. Weibel[14] entre outros e, entre muitos textos

disponıveis na internet, destaca-se o artigo Fractals in the Biological Sciences de N.C.

Kenkel e D.J. Walker[34] e o conteudo do site A Panorama of Fractals and Their

Uses [40]; no Capıtulo 4, para alem da consulta aos varios programas oficiais para a

disciplina de Matematica, quer para o ensino basico, quer para o ensino secundario,

foram de grande importancia os livros Fractals for the Classroom, Part One, Intro-

duction to Fractals and Chaos de Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jurgens e Dietmar

Saupe[10] bem como os tres volumes de Fractals for the Classroom, Strategic Activi-

ties de Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jurgens, Dietmar Saupe, Evan Maletsky, Terence

Perciante e Lee Yunker[11][12][13] e ainda Fractals, A tool Kit of Dynamics Activi-

ties de Jonathan Choate, Robert Devaney e Alice Foster[9], Descobrindo a Geometria

A ESTRUTURA DESTE TRABALHO xxxvii

Fractal para a Sala de Aula de Ruy Madsen Barbosa[7], Fractais no Ensino Secundario

de Ana Paula Canavarro e Outros[21], Els Fractals - Introduccio practica als fractals

IFS. Credit de Iliure eleccio per a alumnes d’ESO um trabalho nao editado de Oriol

OLIVE [30] e todo o conteudo dos sites Fractal Geometry da responsabilidade de Mi-

chael Frame, Benoıt Mandelbrot e Nial Neger[41], Pattern Exploration: Integrating

Math and Science for the Middle School, um projecto para formacao de professores do

Departamento de Ciencias Matematicas da Florida Atlantic University[43] e Patterns

in Nature, um projecto do Center for Polymer Studies da Universidade de Boston[42].

Dada a diversidade de notacao de livro para livro, foi necessario proceder a escolhas

e a ajustes de modo a torna-la uniforme em todo este trabalho.

No Capıtulo 1 e apresentado o conceito de fractal enquanto ponto fixo de um Sis-

tema de Funcoes Iteradas, com a devida apresentacao dos elementos teoricos necessarios

e a analise de alguns exemplos. No Capıtulo 2, e apresentado o conceito de dimensao

fractal sendo estudadas duas das possıveis definicoes de dimensao fractal - a dimensao

de Hausdorff e a dimensao de contagem de caixas. A primeira e feita a partir da

Construcao de Medida de Caratheodory pelo que os conceitos matematicos necessarios

serao previamente apresentados, sendo tambem mostrados alguns exemplos ao longo

de todo o capıtulo. O Capıtulo 3 contem uma compilacao de aplicacoes possıveis da

geometria fractal e, sendo um capıtulo ligeiro na medida em que os exemplos apresen-

tados nao estao fundamentados teoricamente, tem interesse, para se poder perceber

a importancia que esta geometria tem vindo a alcancar dada a sua enorme utilidade

e aplicabilidade nas mais variadas areas do conhecimento. Finalmente, o Capıtulo 4

contem um conjunto de propostas de actividades para realizar com os alunos do ensino

nao universitario quer na aula de Matematica, quer noutros ambientes mais abertos

como e o caso do da disciplina de Area de Projecto. A ideia inicial era a de encontrar

propostas de actividades que utilizassem os fractais como meio de estudo de varios

conceitos matematicos, ja que isso e possıvel, dada a grande conexao que existe entre

xxxviii INTRODUCAO

a geometria fractal e diversos topicos da matematica. Essas actividades estariam per-

feitamente enquadradas nos programas actuais. No entanto, o interesse pela geometria

fractal em si falou mais alto. Com o desenrolar deste trabalho, a geometria fractal dei-

xou de ser apenas um meio que eu poderia utilizar para estudar com os alunos outros

topicos da matematica de forma mais apelativa, para passar a ser o objecto principal

de estudo. E o que aqui se apresenta e um conjunto de actividades que, fazendo a ponte

com muitos conteudos programaticos dos programas oficiais de matematica pretende,

acima de tudo, explicar o conceito de fractal, estudar algumas das suas propriedades e

revelar a sua importancia para o mundo actual.

CAPıTULO 1

Fractais definidos por Sistemas de Funcoes Iteradas

1

2 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS

1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 3

O conceito de fractal e simples e, no entanto, nao e facil defini-lo de modo formal;

dir-se-a ate que se trata de uma ideia que se torna mais util quando entendida de

forma abrangente atraves das muitas imagens e contextos que a ele se referem. Neste

capıtulo ver-se-a como pode definir-se um fractal atraves de um sistema de funcoes

iteradas. Fractais deste tipo sao a reuniao de varias partes que sao, de alguma forma,

semelhantes ao todo. Por exemplo, o Conjunto de Cantor (um dos fractais classicos

mais famosos), como se vera (na pagina 38), e a reuniao de duas copias reduzidas de

si mesmo e tem, por isso, auto-semelhanca exacta.

Esta propriedade da auto-semelhanca, para alem de ser uma das caracterısticas dos

fractais, pode tambem ser usada para os definir. Sera esse o assunto principal deste

capıtulo. Demonstrar-se-a que aplicando a um conjunto, em simultaneo e sucessivas

vezes, uma famılia de transformacoes que o contraem (chamada Sistema de Funcoes

Iteradas - SFI), obter-se-a, apos a repeticao deste processo infinitas vezes, um conjunto

que e unico e que pode ter as caracterısticas de um fractal. Sera interessante reparar em

como um pequeno numero de aplicacoes pode definir um conjunto com uma estrutura

altamente intrincada.

Para a definicao de um SFI sera necessario introduzir previamente os conceitos de

metrica, de espaco metrico, de metrica de Hausdorff, de contraccao e de ponto fixo.

Para alem destes, todos os outros conceitos matematicos necessarios serao tambem

apresentados oportunamente.

Serao tambem dados exemplos dos diversos conceitos que irao sendo apresentados e

construir-se-ao alguns fractais (melhor dito, aproximacoes de fractais), quer recorrendo

a SFI simples, quer a SFI com condensacao.

A ultima parte do capıtulo e dedicada ao Teorema da Colagem que indica o grau de

aproximacao entre o fractal produzido por um SFI e um objecto previamente escolhido,

que se pretenda modelar com esse SFI.


Os fractais definidos por sistemas de funcoes iteradas constituem apenas uma pe-

quena classe dos fractais, mas esta forma de construir fractais e muito util para traba-

lhar o conceito de fractal com os alunos dos ensinos basico e secundario porque, por um

lado e simples de entender e, por outro, pode interligar muitos conceitos matematicos.

No Capıtulo 4 serao apresentadas algumas propostas de actividades para a sala de

aula, em que se utilizam sistemas de funcoes iteradas, e onde se podera notar a grande

conexao entre este topico e um vasto leque de conceitos matematicos. Alem disso, o

facto de se conseguirem desenhar fractais, recorrendo a SFI’s, que se assemelham a

objectos naturais (como folhas e plantas, por exemplo) e, nao so muito interessante,

como pode ser o mote para um conjunto alargado de actividades com fractais de ındole

multi e interdisciplinar.

Para principiar, pode dizer-se que um Fractal e um subconjunto “complicado”de

um espaco metrico “simples”, tal como R, R2, [0, 1], C e C, entre outros. Teoricamente,

qualquer espaco metrico, desde que completo, serve para construir um fractal, mas na

pratica interessam aqueles que facilmente se podem representar graficamente, como e

o caso de R, R2, C e C e seus subespacos.

Essa forma ”complicada”pode obter-se como resultado de um sistema de funcoes

iteradas (SFI). Segundo a abordagem que se apresenta de seguida: Um Fractal e o ponto

fixo de um sistema de funcoes iteradas num espaco metrico munido de uma metrica

de Hausdorff. De seguida, explicar-se-ao todos os aspectos necessarios a compreensao

desta definicao, a saber:

• O que e um espaco metrico;

• O que e um espaco metrico munido de uma metrica de Hausdorff;

• O que e um sistema de funcoes iteradas;

• O que e um ponto fixo de um sistema de funcoes iteradas.

2. CONCEITO DE ESPACO METRICO COM METRICA DE HAUSDORFF 5

1. Conceito de espaco metrico

Qualquer conjunto X pode ser encarado como um espaco, em que os seus elementos

sao os “pontos” desse espaco. Para se obter um espaco metrico, e necessario definir em

X uma metrica que e uma aplicacao d : X ×X → R com as seguintes propriedades:

• d(x, y) = d(y, x),∀x, y ∈ X;

• 0 < d(x, y) <∞,∀x, y ∈ X, x 6= y;

• d(x, x) = 0,∀x ∈ X;

• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y),∀x, y, z ∈ X.

Tendo uma aplicacao deste tipo definida em X, diz-se que X, juntamente com essa

aplicacao formam um espaco metrico (e. m.) que se designa por (X, d).

2. Conceito de espaco metrico com metrica de Hausdorff

Antes de se construir a metrica de Hausdorff e necessario introduzir alguns concei-

tos, o que se fara de imediato.

Definicao 1. Seja (X, d) um espaco metrico. Diz-se que X e completo se para

cada sucessao de Cauchy {xn}∞n=1 de elementos X, existe x ∈ X tal que xn → x .

Definicao 2. Seja (X, d) um espaco metrico e A um subconjunto de X. Diz-se

que A e compacto se toda a sucessao de elementos de A admite pelo menos uma

subsucessao com limite em A.

Assim, dado um e.m. completo (X, d), designe-se por H(X ) o espaco cujos

pontos sao os subconjuntos compactos e nao vazios de X. E agora define-se uma

metrica em H(X ).

Sendo (X, d) um e.m. completo, x um elemento de X e A e B elementos de H(X ),

definir-se-a a metrica de Hausdorff, percorrendo as seguintes etapas:

(1) Definicao de distancia de x a A;

(2) Definicao de distancia de A a B;

(3) Definicao de uma metrica em H(X ).


Faca-se agora, entao, esse percurso.

Definicao 3. Seja (X, d) um e.m., A ∈ H(X ) e x um ponto de X. A distancia

do ponto x ao subconjunto compactoA e dada por d(x,A) = min{d(x, a) : a ∈ A}.

Figura 1.1. Distancia de um ponto x a um conjunto compacto A.

E necessario verificar que a distancia de x a A esta bem definida desta forma,

isto e, que o conjunto {d(x, a) : a ∈ A} tem mınimo. Sabe-se, desde ja, que esse

conjunto e nao vazio porque A, sendo um elemento deH(X ), tambem e nao vazio. Para

chegar a conclusao pretendida sera necessario introduzir previamente uma definicao e

demonstrar duas proposicoes.

Definicao 4. Seja S ⊂ R diz-se que o ınfimo de S e −∞ se S contem numeros

tao arbitrariamente grandes negativos quanto se queira. Caso contrario, diz-se que o

ınfimo de S = max{x ∈ R : x ≤ s,∀s ∈ S} e denota-se o ınfimo de S por inf S.

De seguida, define-se em X a funcao distancia a um ponto e verifica-se a sua con-

tinuidade.

Proposicao 1. Seja X um e.m. e seja x ∈ X. Considere-se a aplicacao

dx : X → R

y → d(y, x).

Entao, dx(y) e uma funcao contınua.


Demonstracao. Sabe-se, pela propriedade da desigualdade triangular, que para

quaisquer elementos y, z e x de X se tem d(y, x) ≤ d(y, z) + d(z, x) donde, d(y, x) −

d(z, x) ≤ d(y, z). Invertendo os papeis de y e de z tambem se pode escrever que

d(z, x)− d(y, x) ≤ d(z, y) = d(y, z). Entao, |d(y, x)− d(z, x)| ≤ d(y, z), para quaisquer

elementos x, y e z de X, o que permite concluir que dx(y) e uma funcao contınua

porque para cada valor δ > 0, existe ε > 0 tal que d(y, z) < ε ⇒ |dx(y) − dx(z)| < δ,

bastando para tal escolher ε = δ . �

Proposicao 2. Seja (X, d) um e.m. completo, seja x ∈ X seja A ∈ H(X ). Entao

o conjunto {d(x, y) : y ∈ A} tem mınimo.

Demonstracao. Seja P = inf{d(x, y) : y ∈ A}. P e finito porque A e compacto

e a distancia entre dois pontos de um e.m. e sempre nao negativa. Quer-se mostrar

que existe a ∈ A tal que P = d(x, a).

Considere-se a funcao dx(y) definida na proposicao anterior. Seja {yn}∞n=1 uma

sucessao de elementos de A tal que d(x, yn) − P ≤ 1n, ∀n ∈ N. Desta forma, dx(yn)

tende para P quando n tende para infinito.

Sendo A um conjunto compacto, sabe-se que {yn}∞n=1 admite uma subsucessao

{yNi}∞i=1 em que N1 < N2 < N3 < . . ., com limite a ∈ A. Como dx(y) e uma funcao

contınua, entao {dx(yNi)}∞i=1 sera uma subsucessao de {dx(yn)}∞n=1, convergente para

dx(a). Mas, se dx(yn) tende para P , o mesmo acontecera com qualquer sua subsucessao,

donde P = dx(a) e, portanto, o conjunto {d(x, y) : y ∈ A} tem mınimo. �

E possıvel agora prosseguir o caminho rumo a definicao da metrica de Hausdorff.

Definicao 5. Seja (X, d) um e.m. e A e B dois subconjuntos compactos de X. A

distancia de A a B e dada por d(A,B) = max {d(a,B) : a ∈ A}.

Pelo mesmo argumento usado antes, e sabido que existe pelo menos um elemento

a de A e pelo menos um elemento b de B tais que d(A,B) = d(a, b).


Figura 1.2. Distancia de A a B.

Como facilmente se pode ver, esta definicao de distancia entre os subconjuntos A

e B de X nao pode ser encarada como uma metrica em H(X ) pois, em geral, nao se

tem d(A,B) = d(B,A).

Figura 1.3. Distancia de A a B e distancia de B a A.

Definicao 6. Sendo (X, d) um e.m. completo e dados A, B ∈ H(X ), a distancia

de Hausdorff entre A e B e dada por h(A,B) = max {d(A,B), d(B,A)}.

Proposicao 3. Seja (X, d) um e.m. completo e A e B dois elementos de H(X ).

Entao a distancia de Hausdorff dada por h(A,B) = max {d(A,B), d(B,A)} e uma

metrica em H(X ).

Demonstracao. A propriedade da simetria resulta imediatamente da definicao:

para quaisquer dois elementos A e B de H(X ), h(A,B) = max {d(A,B), d(B,A)} =

max {d(B,A), d(A,B)} = h(B,A).

Veja-se agora que, sendo A e B elementos de H(X ) com A 6= B, entao h(A,B) e

um numero real positivo. Existem pelo menos um elemento a de A e um elemento b

de B tais que d(A,B) = d(a, b). Como d e uma metrica em X, entao 0 ≤ d(a, b) <∞


e, consequentemente, 0 ≤ d(A,B) <∞ e, de forma analoga, 0 ≤ d(B,A) <∞ , donde

0 ≤ h(A,B) <∞, quaisquer que sejam A e B de H(X ).

Mas, se A 6= B, entao pode dizer-se sem perda de generalidade que existe pelo

menos um elemento a de A que nao pertence a B, e portanto d(a,B) e positiva, o

mesmo acontecendo com d(A,B), que e limitada inferiormente por d(a,B). Assim,

0 < h(A,B) <∞.

A terceira propriedade a demonstrar e que para qualquer elemento A de H(X ) se

tem h(A,A) = 0. Ora,

h(A,A) = max {d(A,A), d(A,A)} = d(A,A) =

= max {d(a,A) : a ∈ A)} =

= max {min {d(a, a′) : a′A} : a ∈ A} = 0

porque a distancia entre dois pontos distintos e sempre positiva e d(a, a) = 0.

Finalmente ha que demonstrar a desigualdade triangular, ou seja, que para quais-

quer elementos A, B e C de H(X ) se tem h(A,B) ≤ h(A,C) + h(C,B). Sejam, entao,

A, B e C elementos de H(X ). Verifique-se primeiro que d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B),

quaisquer que sejam A,B,C ∈ H(X ). Como A, B e C sao compactos e nao vazios,

sabe-se que: existem os pontos a de A e b de B, tais que d(A,B) = d(a, b); da mesma

forma, existem os pontos a′ de A e c de C, tais que d(A,C) = d(a′, c); e ainda, existem

os pontos b′ de B e c′ de C, tais que d(C,B) = d(c′, b′). Por outro lado, tem-se que a

distancia de A a C dada por d(a′, c) e maior ou igual que a distancia de qualquer outro

elemento de A a C; em particular,

d(A,C) ≥ d(a, C). (1.1)

Analogamente, a distancia de C a B dada por d(c′, b′) e maior ou igual que a distancia

de qualquer outro elemento de C a B; em particular

d(C,B) ≥ d(c′′, B) (1.2)


onde c′′ ∈ C e tal que d(a, C) = d(a, c′′). Considere-se tambem b′′ ∈ B tal que d(c′′, B) =

d(c′′, b′′).

Figura 1.4. Distancia de pontos ”estrategicos”aos conjuntos A, B e C.

Entao, de (1.1) e (1.2) vem: d(A,C) + d(C,B) ≥ d(a, C) + d(c′′, B) = d(a, c′′) +

d(c′′, b′′) ≥ d(a, b′′) pela propriedade da desigualdade triangular da metrica d. Por

outro lado, d(a, b′′) ≥ min {d(a, y) : y ∈ B} = d(a, b) = d(A,B). Portanto, d(A,B) ≤

d(A,C) + d(C,B), quaisquer que sejam A,B,C ∈ H(X ). Pela arbitrariedade de A, B

e C, tambem pode escrever-se que d(B,A) ≤ d(B,C) + d(C,A). Destas duas ultimas

desigualdades obtem-se que

h(A,B) = max {d(A,B), d(B,A)} ≤ max {d(A,C) + d(C,B), d(B,C) + d(C,A)}.

De quaisquer duas parcelas, uma de cada soma, escolha-se a maior. Somando essas

duas parcelas maiores, obtem-se uma soma que e maior ou igual a qualquer das duas

somas anteriores. Entao,


max {d(A,C) + d(C,B), d(B,C) + d(C,A)} ≤

≤max {d(A,C), d(C,A)}+ max {d(C,B), d(B,C)} =

=h(A,C) + h(C,B).

Assim, h(A,B) ≤ h(A,C) +h(C,B), para quaisquer elementos A, B e C de H(X ),

pelo que a desigualdade triangular fica demonstrada.

Conclui-se, portanto, que a distancia de Hausdorff e uma metrica em H(X ). �

Entao, dado um e. m. completo (X, d) existe, associado a este, um novo

e.m. com metrica de Hausdorff, que passara a ser representado por (H(X ), h(d)).

De seguida, pretende-se demonstrar que o e.m. (H(X ), h(d)) agora definido e com-

pleto. Para isso e necessario introduzir algumas definicoes e demonstrar alguns resul-

tados previos.

Definicao 7. Seja (X, d) um e.m., A um subconjunto nao vazio de X e ε ≥ 0.

AA+ ε = {y ∈ X : d(y, x) ≤ ε para algum x ∈ A} chama-se dilatacao de

A por uma bola de raio ε.

Definicao 8. Seja A ⊂ X um subconjunto do e.m. (X, d). Um ponto x ∈ X diz-se

ponto de acumulacao de A se existe uma sucessao {xn}∞n=1 de pontos pertencentes

a A\{a} tal que limn→∞

xn = x.

Definicao 9. Seja A ⊂ X um subconjunto do e.m. (X, d). Designa-se por

aderencia de A o conjunto ad(A) = A ∪ {pontos de acumulacao de A}.

Definicao 10. Seja A ⊂ X um subconjunto do e.m. (X, d). Diz-se que A e um

conjunto fechado se se tiver ad(A) = A.

Sera util, para mais a frente, demonstrar agora o seguinte:

Proposicao 4. Seja (X, d) um e.m. e A um subconjunto nao vazio de X. Se A e

fechado, entao A+ ε tambem e fechado.


Demonstracao. Uma vez que para um subconjunto arbitrario de X se tem sem-

pre que ele esta contido na sua aderencia, para comprovar que A + ε e fechado basta

verificar que ad(A+ ε) ⊂ A+ ε, ou seja, que todos os pontos de acumulacao de A+ ε

pertencem a A+ ε.

Seja, entao, a um ponto de ad(A + ε). Sabe-se que existe uma sucessao {xn}∞n=1

de pontos de A + ε \ {a} tal que limn→∞

xn = a. Como A e fechado, vem que para cada

xn existe yn ∈ A tal que d(xn, yn) = d(xn, A). Entao, aplicando a propriedade da

desigualdade triangular de d, vem d(a, yn) ≤ d(a, xn) + d(xn, yn), para todo n ∈ N,

sendo que a primeira parcela do segundo membro tende para zero quando n tende

para infinito e a segunda e sempre menor ou igual a ε porque todos os termos xn sao

elementos de A+ ε. Donde, existe pelo menos um ponto yn de A que dista de a tanto

ou menos que ε. Entao, a ∈ A+ ε, logo A+ ε e um conjunto fechado. �

Lema 1. Sejam A,B ∈ H(X ), em que (X, d) e um e.m. completo, e seja ε > 0.

Entao, h(A,B) ≤ ε se e so se A ⊂ B + ε ∧ B ⊂ A+ ε .

Demonstracao. Prove-se primeiro que, se h(A,B) ≤ ε, entao A ⊂ B+ ε ∧ B ⊂

A + ε. Para isso, suponha-se, sem perda de generalidade, que h(A,B) = d(A,B) ≤ ε.

Entao, como d(A,B) = max{d(a,B) : a ∈ A}, vem que d(a,B) ≤ ε, qualquer que seja

a pertencente a A, ou seja, qualquer elemento a de A pertence a B + ε e, portanto,

A ⊂ B + ε. Se h(A,B) = d(A,B) ≤ ε entao, por definicao de h(A,B), vem d(B,A) ≤

d(A,B) ≤ ε e, analogamente, tem-se tambem B ⊂ A+ ε.

Demonstre-se agora que, se A ⊂ B+ε e B ⊂ A+ε, entao h(A,B) ≤ ε. Se A ⊂ B+ε

entao, para qualquer elemento a de A, existe pelo menos um elemento b de B tal que

d(a, b) ≤ ε, isto e, d(a,B) ≤ ε. Portanto, max{d(a,B) : a ∈ A} = d(A,B) ≤ ε, donde

d(A,B) ≤ ε.

De forma semelhante, se B ⊂ A+ ε, entao d(B,A) ≤ ε.

Ora, se d(A,B) ≤ ε e d(B,A) ≤ ε entao, max{d(A,B), d(B,A)} ≤ ε, ou seja,

h(A,B) ≤ ε. �


Lema 2 (Lema da Extensao). Seja (X, d) um e.m. completo e seja {An}∞n=1 uma

sucessao de Cauchy de pontos em (H(X ), h(d)). Seja {nj}∞j=1, uma sucessao infinita de

inteiros tais que 0 < n1 < n2 < n3 < . . . . Supondo que existe uma sucessao de Cauchy

{xnj ∈ Anj}∞j=1 em (X, d), entao existe tambem uma sucessao de Cauchy {xn ∈ An}∞n=1

tal que xnj = xnj ,∀j = 1, 2, 3, . . . .

Demonstracao. Comece-se pela construcao de uma sucessao {xn ∈ An}∞n=1. Para

todo n ∈ {1, 2, . . . , n1} escolhe-se xn ∈ {x ∈ An : d(xn1 , x) = d(xn1 , An)}, ou seja, xn e

o ponto mais proximo (ou um dos pontos mais proximos) em An de xn1 . Esse ponto

existe porque An e compacto.

Analogamente, para todo j ∈ {1, 2, 3, 4 . . .} e todo n ∈ {nj+1, . . . , nj+1}, escolha-se

xn ∈ {x ∈ An : d(xnj+1, x) = d(xnj+1

, An)}.

Mostre-se agora que {xn}∞n=1 tem as propriedades desejadas.

Obviamente, por construcao, xnj = xnj , para qualquer j ∈ N, porque o ponto de Anj

mais proximo de xnj e o proprio xnj ; e tambem se tem xn ∈ An, para todo n ∈ N. Para

mostrar que se trata de uma sucessao de Cauchy, considere-se ε > 0. Existe uma ordem

N1 ∈ N a partir da qual, para quaisquer dois termos nk, nj se tem d(xnk , xnj) ≤ ε/3

(porque, por hipotese, {xnj}∞j=1 e uma sucessao de Cauchy). Tambem existe uma ordem

N2 ∈ N a partir da qual, para quaisquer dois termos Am e An da sucessao {An}∞n=1

se tem d(Am, An) ≤ ε/3 (porque, tambem por hipotese, {An}∞n=1e uma sucessao de

Cauchy). Seja, N = max{N1, N2} e sejam m,n, nj, nk ≥ N , com m ∈ {nj−1 +1, nj−1 +

2, . . . , nj} e n ∈ {nk−1 + 1, nk−1 + 2, . . . , nk}. Aplicando duas vezes a propriedade

da desigualdade triangular vem que d(xm, xn) ≤ d(xm, xnj) + d(xnj , xnk) + d(xnk , xn).

Como h(Am, Anj) < ε/3, entao, pelo lema 1, Am ⊂ Anj + ε/3 e Anj ⊂ Am + ε/3. Sendo

xnj = xnj ∈ Anj , entao existe ym ∈ Am tal que d(ym, xnj) ≤ ε/3. Como xm e, por

construcao, o ponto de Am mais proximo de xnj , entao d(xm, xnj) ≤ ε/3. Analogamente,

d(xnk , xn) ≤ ε/3. Logo, para quaisquer dois termos de ordem m e n superior a N da

sucessao {xn}∞n=1, tem-se d(xm, xn) ≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε, donde {xn}∞n=1 e sucessao

de Cauchy. �


Definicao 11. Seja X um e.m. e seja S ⊂ X. Diz-se que S e totalmente

limitado se para qualquer ε > 0, existe um conjunto finito de pontos {y1, y2, . . . , yn} ⊂

S tal que ∀x ∈ S,∃yi : d(x, yi) < ε. Ao conjunto {y1, y2, . . . , yn} chamamos rede-ε .

Lema 3. Seja X um e.m. e seja S ⊂ X. Se S nao e totalmente limitado, entao

existe ε > 0 e uma sucessao {xn}∞n=1 de pontos de S tal que d(xi, xj) > ε, sempre que

i 6= j.

Demonstracao. Se S nao e totalmente limitado, existe ε > 0 para o qual nao

ha uma rede-ε finita de S, isto e, nao e possıvel cobrir S com uma coleccao finita de

bolas de raio ε. Seja x1 ∈ S e seja B1 a bola de centro em x1 e de raio ε. Como B1

nao cobre S, pode escolher-se x2 ∈ S \ B1 e sabe-se que d(x1, x2) > ε. Seja B2 a bola

de centro em x2 e de raio ε. Como B1 ∪B2 nao cobre S, entao existe x3 ∈ S \B1 ∪B2

tal que d(x1, x3) > ε e d(x2, x3) > ε. Seja B3 a bola de raio ε com centro em x3.

Como B1 ∪ B2 ∪ B3 nao cobre S, entao seja x4 um ponto de S \3⋃i=1

Bi. Sabe-se que

d(xi, x4) > ε, para i ∈ {1, 2, 3}.

E desta forma determina-se um conjunto {x1, x2, . . . , xk} de k elementos de S, tais

que d(xi, xj) > ε, para quaisquer i, j ∈ {1, 2, . . . , k} desde que i 6= j. Como, por

hipotese,k⋃i=1

Bk (sendo Bk a bola de raio ε com centro em xk) nao cobre S, pode

encontrar-se um elemento xk+1 ∈ S \k⋃i=1

Bk tal que d(xi, xk+1) > ε, para qualquer

i ∈ {1, 2, . . . , k}. Por inducao matematica e possıvel construir a pretendida sucessao

infinita de pontos de S. �

Teorema 1. Seja (X, d) um e.m. completo e seja S ⊂ X. Entao, S e compacto se

e so se for fechado e totalmente limitado.

Demonstracao. Suponha-se primeiro que S e fechado e totalmente limitado e

prove-se que S e compacto.

Seja {xn ∈ S}∞n=1, uma sucessao de pontos de S. Como S e totalmente limitado,

pode encontrar-se uma coleccao finita de bolas de raio 1 cuja reuniao contem S. Sendo


a sucessao infinita, pelo menos uma das bolas da coleccao - designe-se por B1 - contem

uma quantidade infinita de termos.

Seja N1 ∈ N tal que xN1 ∈ B1. Sabe-se que B1∩S e totalmente limitado porque esta

contido em S que tambem e um conjunto totalmente limitado, por hipotese. Entao e

possıvel cobrir B1∩S com uma famılia finita de bolas de raio 12. Novamente, uma dessas

bolas - designada por B2 - contem uma quantidade infinita de termos de {xn}∞n=1.

Seja N2 ∈ N tal que N2 > N1 e xN2 ∈ B2. Continuando desta forma, constroi-se

uma sucessao de bolas {Bn}∞n=1 tal que para qualquer n ∈ N, Bn tem raio 12n−1 e

(B1 ∩ S) ⊃ (B2 ∩ S) ⊃ (B3 ∩ S) ⊃ . . . ⊃ (Bn ∩ S) ⊃ . . . e obtem-se tambem uma

sucessao de inteiros {Nn}∞n=1 tal que xNn ∈ Bn.

Verifique-se que {xNn}∞n=1 (que e uma subsucessao da sucessao original {xn}∞n=1,) e

uma sucessao de Cauchy. Seja ε > 0. Se se escolher k ∈ N tal que 12k−1 ≤ ε

2, (ou seja,

k ≥ 2− log2 ε), sabe-se que para todo n ≥ k, os termos xNn pertencem a bola Bk, cujo

raio e igual a 12k−1 e inferior ou igual a ε

2, pelo que a distancia entre quaisquer dois

termos xNn e xNm tais que n,m ≥ k e inferior ou igual a ε. Entao, {xNn}∞n=1 e uma

sucessao de Cauchy e, portanto, convergente, de elementos de S. Como, por hipotese,

S e fechado, o limite desta sucessao pertence a S, pelo que S e compacto.

Demonstre-se agora o recıproco. Suponha-se que S e compacto. Para provar que

S e totalmente limitado, suponha-se que para determinado ε > 0 nao existe uma rede-

ε para S. Entao, pelo lema 3, poder-se-ia construir uma sucessao infinita de pontos

{xn ∈ S} tal que

d(xi, xj) > ε, (1.3)

sempre que i 6= j. Mas como, por hipotese, S e compacto, esta sucessao tera que

ter uma subsucessao {xNi}∞i=1 convergente e, portanto, de Cauchy. Entao e possıvel

encontrar inteiros Ni e Nj, com Ni 6= Nj, tais que d(xNi , xNj) < ε, o que contradiz

(1.3). Portanto, tera que existir uma rede-ε para S e S e totalmente limitado.

Prove-se agora que S e fechado. Seja a ∈ ad(S). Entao existe uma sucessao {yn}∞n=1

de pontos de S \ {a} tal que limnyn = a. Como S e compacto, entao {yn}∞n=1 tem uma


subsucessao convergente em S, cujo limite tem que ser a. Entao, a ∈ S. Portanto

ad(S) ⊂ S, ou seja, S e fechado. �

Teorema 2 (Completude do Espaco dos Fractais). Seja (X, d) um e.m. completo.

Entao (H(X ), h(d)) e um e.m. completo. Alem disso, se {An}∞n=1 e uma sucessao

de Cauchy em H(X ), entao A = limn→∞

An ∈ H(X ), sendo A = {x ∈ X : existe uma

sucessao de Cauchy {xn ∈ An} que converge para x}.

Demonstracao. Seja {An}∞n=1 uma sucessao de Cauchy em H(X ) e seja A o

conjunto definido no enunciado do Teorema.

Esta demonstracao sera repartida nas seguintes partes:

a) A 6= ∅.

b) A e fechado.

c) ∀ε > 0,∃N ∈ N : ∀n ≥ N,A ⊂ An + ε.

d) A e totalmente limitado (e portanto, por b) e pelo Teorema 1, tambem sera

compacto - ou seja, A ∈ H(X )).

e) limAn = A.

Provar-se-a a) mostrando que existe de uma sucessao de Cauchy {ai ∈ Ai}∞i=1 em

X. Ora, sendo {An}∞n=1 uma sucessao de Cauchy em H(X ), pode considerar-se uma

sucessao de inteiros positivos N1 < N2 < N3 < . . . < Nn < . . . tal que h(Am, An) <1

2i,

para m,n > Ni. De AN1 escolhe-se um elemento xN1 . Como h(AN1 , AN2) ≤1

2, pode

encontrar-se xN2 ∈ AN2 tal que d(xN1 , xN2) ≤1

2. Pode prosseguir-se este processo

ate ser seleccionada uma sequencia finita xNi ∈ ANi , i = 1, 2, . . . , k, para a qual

d(xNi−1, xNi) ≤

1

2i−1. Novamente, como h(ANk , ANk+1

) <1

2ke xNk ∈ ANk , pode

encontrar-se xNk+1∈ ANk+1

tal que d(xNk , xNk+1) ≤ 1

2k- basta que xNk+1

seja um dos

pontos de ANk+1mais proximos de xNk . Por inducao matematica, pode encontrar-se

uma sucessao infinita {xNi ∈ ANi}∞i=1 tal que d(xNi , xNi+1) ≤ 1

2i.

Veja-se agora que {xNi}∞i=1 e uma sucessao de Cauchy em X. Seja ε > 0 e escolha-se

Nε ∈ N tal que∞∑

i=Nε

1

2i< ε. Entao, sempre que n > m ≥ Nε tem-se d(xNm , xNn) ≤


d(xNm , xNm+1)+d(xNm+1 , xNm+2)+· · ·+d(xNn−1 , xNn) <∞∑

i=Nε

d(xNi , xNi+1) =

∞∑i=Nε

1

2i< ε,

o que quer dizer que para qualquer ε > 0 existe uma ordem Nε a partir da qual a

distancia entre quaisquer dois termos xNm e xNn desta sucessao e inferior a ε, ou seja,

{xNi}∞i=1 e uma sucessao de Cauchy. Usando agora o Lema da Extensao (Lema 2), pode

afirmar-se que tambem existe uma sucessao de Cauchy {ai ∈ Ai}∞i=1 tal que aNi = xNi

cujo limite existe e que, por definicao de A, sera um elemento de A. Fica entao provado

que A e um conjunto nao vazio.

Para demonstrar b), considere-se uma sucessao {ai}∞i=1 de elementos de A conver-

gente para um ponto a. Para provar que A e fechado basta mostrar que a ∈ A, isto e,

que existe uma sucessao de Cauchy {zn ∈ An}∞n=1 que converge para a. Por definicao do

conjunto A, sabe-se que para qualquer termo da sucessao {ai}∞i=1 existe uma sucessao

{xi,n ∈ An}∞n=1 tal que limnxi,n = ai. Como {ai ∈ A}∞i=1 e uma sucessao convergente

para a, podem escolher-se nela termos tao proximos de a quanto se queira. Por exem-

plo, existe uma sucessao crescente de numeros positivos {Ni}∞i=1 tal que d(aNi , a) ≤ 1

i.

Olhando agora para o conjunto das sucessoes {xNi,n ∈ An}∞n=1 sabe-se que existe

em cada uma delas uma sucessao de inteiros {mi}∞i=1 tal que d(xNi,mi , aNi) ≤1

iporque

{xNi,n ∈ An}∞n=1 converge para aNi . Donde, d(xNi,mi , a) ≤ d(xNi,mi , aNi) + d(aNi , a) ≤1

i+

1

i=

2

i.

Designando xNi,mi por ymi obtem-se uma sucessao {ymi ∈ Ami}∞i=1 tal que para

todo ε > 0, existe uma ordem i ∈ N a partir da qual d(ymi , a) < ε, bastando para isso

escolher i ≥ 2

ε. Entao, {ymi ∈ Ami}∞i=1 e uma sucessao convergente e lim

i→∞ymi = a.

Para se obter uma sucessao de Cauchy, que converge para a, nas condicoes exigidas

pela definicao do conjunto A, basta usar novamente o Lema da Extensao (lema 2), que

diz que e possıvel encontrar uma sucessao {zn ∈ An}∞n=1 tal que zmi = ymi , convergente

para a. Portanto, a ∈ A donde A e fechado.

Demonstre-se agora c). Dado ε > 0, sabe-se que existe uma ordem N a partir da

qual quaisquer dois termos Am e An da sucessao {An}∞n=1 estao a uma distancia de

Hausdorff inferior ou igual a ε. Pelo lema 1, de h(Am, An) < ε vem que Am ⊂ An + ε


Figura 1.5. Dada uma sucessao {ai}∞i=1 de elementos de A convergente para

um ponto a, a imagem representa a construcao de uma sucessao de Cauchy

{zn ∈ An}∞n=1 a convergir para a. Esta sucessao e construıda a partir da

sucessao {ymi ∈ Ami}∞i=1 usando o Lema da Extensao que diz que e possıvel

encontrar uma sucessao {zn ∈ An}∞n=1 tal que zmi = ymi .

e An ⊂ Am + ε. Em particular, pode considerar-se m ≥ n ≥ N e, tendo Am ⊂ An + ε,

quer-se demonstrar que tambem A ⊂ An + ε. Para isso, tome-se um elemento a de A.

Por definicao deste conjunto, existe uma sucessao {ai ∈ Ai} que converge para a. Pode

considerar-se que N e tambem suficientemente grande para que se tenha d(am, a) < ε

para m ≥ N . Entao, para todo m ≥ N vem que am pertence a Am que, por sua vez,

esta contido em An + ε, pelo que se tem em An + ε uma sucessao que tende para a.

Como An e compacto, e portanto fechado, entao, pela proposicao 4, An + ε tambem e

fechado e, desta forma, a tem que estar tambem em An + ε, ou seja, A ⊂ An + ε.

Para demonstrar d) recorrer-se-a ao metodo de reducao ao absurdo, supondo que

A nao e totalmente limitado. Nesse caso, para um certo ε > 0 nao existe uma rede-ε


finita, pelo que, pelo lema 3, seria possıvel encontrar uma sucessao {xi}∞i=1 em A tal

que

d(xi, xj) ≥ ε, i 6= j. (1.4)

Mas, pela alınea c) desta demonstracao, existe n suficientemente grande tal que

A ⊂ An + ε/3 o que significa que, para cada xi ∈ A, existe yi correspondente em An

para o qual

d(xi, yi) ≤ ε/3. (1.5)

Considere-se a sucessao {yi}∞i=1. Como An e compacto, {yi}∞i=1 tem uma subsucessao

{yni} convergente em An; o que quer dizer que se podem encontrar pontos da sucessao

{yni} tao proximos quanto se queira. Em particular, podem encontrar-se dois pontos

yni e ynj tais que

d(yni , ynj) < ε/3. (1.6)

Mas, nesse caso, d(xni , xnj) ≤ d(xni , yni) + d(yni , ynj) + d(ynj , xnj) ≤ε

3+ε

3+ε

3= ε

(por (1.5),(1.6) e (1.5), respectivamente) o que contradiz (1.4). Logo, A e totalmente

limitado e, como pela alınea b) tambem e fechado, entao, pelo Teorema 1, A e compacto.

Por a) sabe-se, ainda, que A e nao vazio; donde se conclui que A ∈ H(X ).

Finalmente, demonstre-se e). Ja se sabe que A ∈ H(X ). Pretende-se demonstrar

que tendo uma sucessao de Cauchy {An}∞n=1 em H(X ), ela convergira para A que e o

conjunto de todos os pontos limite de sucessoes de Cauchy do tipo {xn ∈ An}∞n=1. Ou

seja, quer-se mostrar que para qualquer ε > 0 se tem h(An, A) ≤ ε a partir de certa

ordem.

Seja ε > 0. Por c) e pelo lema 1 basta provar que a partir de certa ordem se

tem An ⊂ A + ε. Como {An}∞n=1 e uma sucessao de Cauchy, entao existe uma ordem

M ∈ N a partir da qual, para quaisquer dois termos An e Am da sucessao, se tem

h(An, Am) ≤ ε

2, o que, pelo lema 1, nos permite concluir que

para quaisquer m,n ≥M se tem An ⊂ Am +ε

2(e tambem Am ⊂ An +

ε

2). (1.7)


Seja n > M e seja y ∈ An. Sendo {An}∞n=1 uma sucessao de Cauchy e usando novamente

o lema 1, pode afirmar-se que existe uma sucessao crescente {Nj}∞j=1 de inteiros, com

n = N1 < N2 < . . . < Nk < . . ., tais que An ≡ AN1 ⊂ AN2 +ε

2e ANj ⊂ ANj+1

+

ε

2j+1para todo j ∈ N. A partir desta nova sucessao, pode construir-se uma outra

sucessao {xNj ∈ ANj}∞j=1 tal que y ≡ xN1 e d(y, xN2) ≤ε

22, d(xN2 , xN3) ≤

ε

23, . . . e

d(xNj , xNj+1) ≤ ε

2j+1, para todo j ∈ N. Esta sucessao constroi-se do seguinte modo:

Tem-se M ≤ n = N1 e An ⊂ AN2 +ε

2. Entao, sendo y (≡ xN1) um elemento de

An (≡ AN1), existira pelo menos um elemento xN2 de AN2 tal que d(y, xN2) ≤ε

22. De

seguida, para j = 2 vem que AN2 ⊂ AN3 +ε

23e se xN2 ∈ AN2 , entao existe pelo menos

um elemento xN3 de AN3 tal que d(xN2 , xN3) ≤ε

23. De forma analoga, e por inducao

matematica, pode encontrar-se uma sucessao xN1 , xN2 , xN3 , . . . tal que xNj ∈ ANj e

d(xNj , xNj+1) ≤ ε

2j+1.

Mas como Nj ≥ n > M para todo j ∈ N, tambem se tem, por (1.7) que ANj ⊂

An +ε

2, para todo j ∈ N. Pelo que {xNj}∞j=1 e, portanto, uma sucessao de pontos de

An +ε

2. Alem disso, {xNj}∞j=1 e uma sucessao de Cauchy. Veja-se porque: Sabe-se

que para qualquer ε > 0 existe uma ordem a partir da qual quaisquer dois termos

consecutivos de {xNj}∞j=1 estao entre si uma distancia igual ou inferior a ε/2j+1. Para

dois termos xNj e xNk , eventualmente nao consecutivos, tais que Nk > Nj, vem:

d(xNj , xNk) ≤k∑p=j

ε

2p+1=

ε

2j+1·

1−(

1

2

)k−j+1

1− 1

2

= ε · 2k+1 − 2j

2k+j+1< ε · 2k+1

2k+j+1< ε.

Portanto, para qualquer ε positivo existe uma ordem n a partir da qual quaisquer dois

termos de {xNj}∞j=1 estao a uma distancia entre si inferior a ε, isto e, {xNj}∞j=1 e uma

sucessao de Cauchy.

Assim, obtem-se uma sucessao de Cauchy de pontos de An+ε

2que, pelo Teorema 1

e pela Proposicao 4, e um conjunto fechado. Donde se conclui que a sucessao {xNj}∞j=1

converge para um ponto x que pertence a An +ε

2e,

a partir de certa ordem tem-se d(xNj , x) ≤ ε

2, para todo j ∈ N. (1.8)


Por outro lado,

d(y, xNj) ≤ε

2, para todo j ∈ N, (1.9)

ja que, usando a desigualdade triangular um determinado numero de vezes, se obtem

que, para um dado termo xNj da sucessao {xNj ∈ ANj}∞j=1, se tem d(y, xNj) ≤

d(y, xN2) + d(xN2 , xN3) + · · · + d(xNj−1, xNj) ≤

j−1∑k=1

ε

2k+1; passando ao limite quando

j tende para infinito, vem que d(y, xNj) ≤∞∑k=1

ε

2k+1= ε · 1

22× 1

1− 1

2

=ε

2.

De (1.8) e de (1.9), novamente pela propriedade da desigualdade triangular de d,

vem que d(y, x) ≤ ε. Aplicando agora o lema 2 a sucessao {xNj}∞j=1, sabe-se que existe

uma sucessao de Cauchy {xn ∈ An} que converge para x, o que, por definicao de A,

permite dizer que x ∈ A.

Ora, se x ∈ A e se d(x, y) ≤ ε, isso e equivalente a dizer que y ∈ A+ ε. Mas como

y e um elemento qualquer de An, entao An ⊂ A+ε, que era o que se pretendia. Assim,

vem finalmente que limAn = A. �

H(X ) sera, entao, o espaco onde “vivem” os fractais e, para ja, um fractal e um

qualquer dos seus pontos, ou seja, um subconjunto compacto nao vazio de um e.m X

completo.

Exemplo 1. A Figura 1.6 mostra dois exemplos de subconjuntos compactos de R2.

A esquerda um compacto simples em R2 e a direita o Triangulo de Sierpinski. Este

Figura 1.6. Dois elementos de H(R2).

triangulo constroi-se da seguinte forma: Comecando com um triangulo identico ao da

figura anterior, marcam-se os pontos medios de cada um dos seus lados e unem-se por

segmentos. Obtem-se quatro novos triangulos mais pequenos, semelhantes ao inicial.


Retira-se o triangulo do meio e faz-se o mesmo processo em cada um dos triangulos que

sobram. E assim sucessivamente... A imagem mostra o resultado que se obtem depois

de se realizar esta operacao tres vezes. O conjunto que se obteria, se se realizasse

esta tarefa um numero infinito de vezes, chama-se Triangulo de Sierpinski e so na

mente pode ser concebido. Representa-lo graficamente e impossıvel: nao ha tempo e,

ainda que o houvesse, a definicao do monitor do computador seria insuficiente por ser

demasiado “grosseira”. �

Prossiga-se entao com a construcao do conceito de fractal como ponto fixo de um

sistema de funcoes iteradas.

3. Ponto fixo de uma transformacao

Definicao 12. Seja f : X → X uma aplicacao de um e.m. nele proprio. Chama-

se ponto fixo de f a um elemento xf de X tal que f(xf ) = xf .

Para o proposito deste trabalho interessam, entre as transformacoes de X, aquelas

que sao contraccoes.

Definicao 13. Uma transformacao f : X → X num e.m. (X, d) diz-se uma

contraccao se existe uma constante s, com 0 ≤ s < 1, tal que d(f(x), f(y)) ≤

s.d(x, y),∀x, y ∈ X. A s chama-se factor de contraccao.

Vejam-se alguns exemplos de contraccoes:

Exemplo 2. Sendo R o espaco metrico com a metrica d(x, y) = |x−y|, considere-se

nele a aplicacao f(x) =1

2x (veja-se a figura 1.7).

Trata-se de uma contraccao com factor de contraccao igual a 1/2 e cujo ponto fixo

e o zero ja que, para quaisquer pontos x e y de R se tem d(f(x), f(y)) =

∣∣∣∣12x− 1

2y

∣∣∣∣ =

1

2|x − y| =

1

2d(x, y) e sendo x um ponto de R tem-se f(x) = x se e so se

1

2x = x, ou

seja, se e so se x = 0. �

3. PONTO FIXO DE UMA TRANSFORMACAO 23

Figura 1.7. Contraccao em R

Exemplo 3. Seja X o conjunto das funcoes contınuas f : [0, 1]→ R que se repre-

sentara por C[0, 1]. Um “ponto” de X e, portanto, uma funcao. Considere-se agora a

seguinte metrica definida neste espaco: d(f, g) = max{|f(x)−g(x)| : x ∈ [0, 1]},∀f, g ∈

C[0, 1]. Esta metrica esta bem definida porque f e g sao contınuas em [0, 1].

Um exemplo de uma contraccao em C[0, 1] podera ser a aplicacao w : C[0, 1] →

C[0, 1] que aplica cada funcao f em w(f) =1

2f + 1 em que

(1

2f + 1

)(x) =

1

2f(x) +

1,∀x ∈ [0, 1]. Veja-se que w e uma contraccao com factor de contraccao igual a 1/2 e

que tem como ponto fixo a funcao p(x) = 2,∀x ∈ [0, 1].

Figura 1.8. Representacao grafica de um ponto f de C[0, 1], da sua imagem

pela funcao w(f) =12f + 1 e do ponto fixo de w.


Para quaisquer funcoes f e g de C[0, 1] vem que

d(w(f), w(g)) = max{|(w(f))(x)− (w(g))(x)| : x ∈ [0, 1]} =

= max

{∣∣∣∣12f(x) + 1− 1

2g(x)− 1

∣∣∣∣ : x ∈ [0, 1]

}=

= max

{1

2|f(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1]

}=

=1

2max{|f(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1]} =

=1

2d(f, g).

Por outro lado, se f for um elemento qualquer de C[0, 1], tem-se w(f) = f se e so

se1

2f(x) + 1 = f(x),∀x ∈ [0, 1], o que equivale a

1

2f(x) = 1, ∀x ∈ [0, 1], ou seja, f(x)

e a funcao constante igual a 2 no intervalo [0, 1]. �

Exemplo 4. Um outro exemplo podera ser uma aplicacao definida em R2 com a

distancia euclidiana como metrica associada, isto e, dados dois pontos x = (x1, x2) e

y = (y1, y2) de R2, a distancia entre eles e dada por d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.

Considere-se entao, em R2, a aplicacao w(x) = Ax+ t sendo

A =

12

cos 120o −12

sin 120o

12

sin 120o 12

cos 120o

e t =

12

0

.

Aplicar esta funcao a um ponto de R2 corresponde a roda-lo 120o em torno da origem,

de seguida aproxima-lo desta, reduzindo para metade a distancia a que dela se encontra

e, finalmente, transladar o ponto resultado das operacoes anteriores meia unidade, na

horizontal, para a direita.

Verifique-se que esta aplicacao e uma contraccao com factor de contraccao igual a

1

2e que tem, como ponto fixo, o ponto

(5

14;

√3

14

):

Seja x = (x1, x2) um ponto de R2. Entao,

w(x) = Ax+ t =

12

cos 120o −12

sin 120o

12

sin 120o 12

cos 120o

x1

x2

+

12

0

=

−14x1 −

√3

4x2 + 1

2√

34x1 − 1

4x2

.

3. PONTO FIXO DE UMA TRANSFORMACAO 25

Assim, dados quaisquer dois pontos x e y de R2, a distancia entre w(x) e w(y) e

dada por:

d(w(x), w(y)) =

=

√√√√(−1

4x1 −

√3

4x2 +

1

2+

1

4y1 +

√3

4y2 −

1

2

)2

+

(√3

4x1 −

1

4x2 −

√3

4y1 +

1

4y2

)2

=

=1

4

√[(y1 − x1) +

√3 (y2 − x2)

]2

+[√

3 (x1 − y1)− (x2 − y2)]2

=

=1

4

√4 (x1 − y1)2 + 4 (x2 − y2)2 =

=1

2

√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 =

1

2d(x, y)

Donde, w e, em R2, uma contraccao com factor de contraccao igual a1

2.

Determine-se agora o ponto fixo de w:

w(x) = x⇔

14x1 −

√3

4x2 + 1

2= x1

√3

4x1 − 1

4x2 = x2

⇔

√35x1 = x2

⇔

⇔

−1

4x1 −

√3

4·√

35x1 + 1

2= x1

⇔

x1 = 5

14

x2 =√

314

O ponto fixo de w e, portanto,

(5

14;

√3

14

).

�

No que diz respeito as contraccoes, serao uteis os dois resultados que se seguem.

Proposicao 5. Seja w : X → X uma contraccao com factor de contraccao s num

espaco metrico X. Entao w e uma funcao contınua.

Demonstracao. Seja ε > 0 e x, y ∈ X. Sendo s o factor de contraccao de w,

se d(x, y) < ε/s, entao d(w(x), w(y)) ≤ s.d(x, y), isto e, d(w(x), w(y)) ≤ s.ε/s = ε.

Portanto, se w e uma contraccao de factor s, dado ε > 0, existe δ = ε/s tal que, se para

dois elementos x e y de X se tem d(x, y) < δ, entao tambem se tera d(w(x), w(y)) < ε.

Portanto, w e uma aplicacao contınua em X. �


Proposicao 6. Se f, g : X → X sao contraccoes de factores de contraccao s e t

respectivamente, entao fog e uma contraccao de factor de contraccao st.

Demonstracao. Sendo f uma contraccao de factor de contraccao s entao, para

quaisquer dois pontos x e y de X sabe-se que

d(f(x), f(y)) ≤ s.d(x, y). (1.10)

Analogamente, sendo g uma contraccao de factor de contraccao t, tambem se tem que,

para quaisquer dois pontos x e y de X,

d(g(x), g(y)) ≤ t.d(x, y). (1.11)

Mas, dados x e y de X, d(fog(x), fog(y)) = d(f(g(x)), f(g(y))) que, por (1.10), e

menor ou igual a s.d(g(x), g(y)) e isto, por (1.11) , e menor ou igual a st.d(x, y). Para

alem disto, se 0 ≤ s < 1 e se 0 ≤ t < 1, entao tambem 0 ≤ st < 1 pelo que st e factor

de contraccao de fog. �

Definir-se-a agora o que falta para construir o conceito de Fractal.

4. Sistemas de Funcoes Iteradas

Definicao 14. Seja f : X → X uma transformacao num e.m. As iteradas

sucessivas de f sao transformacoes fn : X → X definidas por:

f 0(x) = x

f 1(x) = f(x)

f (n+1)(x) = (fofn)(x) = f(fn(x)), n = 1, 2, 3, . . .

Tendo em conta agora as iteradas sucessivas de uma contraccao, verifique-se

o que sucede ao factor de contraccao de f .

Proposicao 7. Se f : X → X e uma contraccao de factor de contraccao s, entao

fn : X → X e uma contraccao de factor de contraccao sn.

Demonstracao. Basta aplicar a Proposicao 6 n-1 vezes. �

4. SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 27

Teorema 3. Se f : X → X e uma contraccao definida num e.m. (X, d) completo,

entao f possui exactamente um ponto fixo xf ∈ X e, para qualquer ponto x ∈ X, a

sucessao {fn(x)}∞n=0 converge para xf , isto e, limn→∞

fn(x) = xf ,∀x ∈ X.

Demonstracao. Para esta demonstracao percorrer-se-ao as seguintes tres etapas:

a) {fn(x)}∞n=0 e uma sucessao de Cauchy, ∀x ∈ X.

b) {fn(x)}∞n=0 converge para o ponto fixo de f .

c) f tem exactamente um ponto fixo.

Comece-se, entao, pela demonstracao de a) e, para tal, fixe-se um ponto x ∈ X.

Sendo s o factor de contraccao de f e m e n dois numeros naturais , sabe-se que

d(fn(x), fm(x)) ≤ smin{m,n}.d(x, f |m−n|(x)) (1.12)

Em particular, para k = 0, 1, 2, . . . , tem-se, pela propriedade da desigualdade

triangular de d aplicada k vezes, que d(x, fk(x)) ≤ d(x, f(x)) + d(f(x), f 2(x)) +

d(f 2(x), f 3(x)) + · · ·+ d(f (k−1)(x), fk(x)). Tendo em conta que f e uma contraccao de

factor s, pode dizer-se que o anterior e menor ou igual que d(x, f(x)) + s.d(x, f(x)) +

s.d(f(x), f 2(x)) + · · · + s.d(f (k−2)(x), f (k−1)(x)). Aplicando agora o mesmo, sucessi-

vamente a cada uma das parcelas anteriores, vem que o designado pela ultima ex-

pressao e menor ou igual a (1 + s + s2 + · · · + sk−1).d(x, f(x)) que e igual a 1 ·1− sk

1− s· d (x, f(x)). Tendo em conta que f e uma contraccao, tem-se que 1 − sk < 1,

donde d(x, fk(x)) ≤ (1 − s)−1.d(x, f(x)). Aplicando agora isto a (1.12) vem ∀m,n =

0, 1, 2, . . . , d(fn(x), fm(x)) ≤ smin{m,n}.(1− s)−1.d(x, f(x)).

Seja ε > 0. Tem-se as seguintes equivalencias: smin{m,n}.(1−s)−1.d(x, f(x)) < ε⇔

⇔ smin{m,n} <ε(1− s)d(x, f(x))

⇔ smin{m,n} < slogs(ε(1−s)d(x,f(x))). A ultima expressao equivale a

min {n,m} > logs

(ε(1−s)d(x,f(x))

)porque 0 ≤ s < 1 e pode aplicar-se o logaritmo porque

ε, (1− s) e d(x, f(x)) pertencem a R+o .

Entao, dado x ∈ X fixo e dado ε > 0, basta escolher N o menor inteiro tal que

N ≥ logs

(ε(1−s)d(x,f(x))

)e obter-se-a que para quaisquer m,n > N, d(fn(x), fm(x)) < ε, o

que prova que {fn(x)}∞n=0 e uma sucessao de Cauchy.


Demonstracao de b): Como X e, por hipotese, um e.m. completo, entao sendo

{fn(x)}∞n=0 uma sucessao de Cauchy, sabe-se que tem limite em X - designe-se por xf .

Pretende-se demonstrar que xf e ponto fixo de f . Ora, f(xf ) = f(

limn→∞

fn(x))

=

lim fn→∞

(fn(x)) = limn→∞

f (n+1)(x) = xf porque {f (n+1)(x)}∞n=0 e uma subsucessao de

{fn(x)}∞n=0. E, portanto, xf e ponto fixo de f .

Demonstre-se, por fim, c). Para isso, suponha-se que f tem dois pontos fixos xf

e yf . Nesse caso, f(xf ) = xf e tambem f(yf ) = yf , o que faz com que d(f(xf ), f(yf )) =

d(xf , yf ). Mas como f e uma contraccao de factor s, entao d(f(xf ), f(yf )) ≤ s.d(xf , yf ).

Juntando estes dois factos vem que d(xf , yf ) ≤ s.d(xf , yf ) o que equivale a (1 −

s).d(xf , yf ) ≤ 0. Daqui, como (1 − s) > 0 porque 0 ≤ s < 1 e d(xf , yf ) ≥ 0 por-

que d e metrica, vem obrigatoriamente que d(xf , yf ) = 0, o que corresponde a dizer

que xf = yf , ou seja, xf e o unico ponto fixo de f . Em conclusao, partindo de qualquer

elemento x de X, a sucessao das suas iteradas sucessivas por f converge para xf , que

e o (unico) ponto fixo de dessa aplicacao. �

Exemplo 5. Considere-se a aplicacao w ja apresentada, definida no espaco C[0, 1]

em que w(f) =1

2f+1. Ja se viu que se trata de uma contraccao de factor de contraccao

1

2, cujo ponto fixo e a funcao p(x) = 2,∀x ∈ [0, 1]. Sabe-se agora que a sucessao das

iteradas sucessivas de uma qualquer funcao f de C[0, 1] tende para a funcao p. A

Figura 1.9 ilustra dois casos desses. �

O trabalho que se apresenta de seguida realiza-se no e.m. (H(X ), h(d)). Como se

trata de um espaco metrico completo, tendo uma contraccao definida nesse e.m., pode

afirmar-se que a sucessao das iteradas sucessivas de um elemento de H(X ) por essa

aplicacao e uma sucessao de Cauchy de sub-conjuntos compactos de X que convergira

para o ponto fixo dessa contraccao. Veja-se que, a partir de uma contraccao em X,

fica definida de uma maneira natural uma contraccao em (H(X ), h(d)). Falta apenas

definir essa contraccao em (H(X ), h(d)), mas antes e necessario provar o seguinte lema.


Figura 1.9. .

Dois exemplos apresentando as quatro primeiras iteradas por w de duas funcoes do espaco

C[0,1], iteradas essas que se aproximam progressivamente do ponto fixo de w que e a funcao

constante p(x) = 2 definida no intervalo [0,1].


Lema 4. Seja f : X → X uma aplicacao contınua num espaco metrico (X, d) e

seja S ∈ H(X ). Entao f(S) ∈ H(X ).

Demonstracao. Seja {yn = f(xn)}∞n=1 uma sucessao infinita de pontos em f(S).

Entao, {xn}∞n=1 e uma sucessao em S, que e compacto e, por isso, {xn}∞n=1 tem uma

subsucessao que e convergente em S - diga-se {xNn}∞n=1 , em que N1 < N2 < . . . <

Nn < . . .. Como f e contınua, entao {yNn = f(xNn)}∞n=1 e uma subsucessao de {yn}∞n=1

que tambem e convergente em f(S). Portanto, f(S) e compacto. �

Proposicao 8. Seja w : X → X uma contraccao num espaco metrico (X, d),

com factor de contraccao s e com ponto fixo xw. Seja w : H(X ) → H(X ) tal que

w(B) = {w(x) : x ∈ B},∀B ∈ H(X ). Entao w esta bem definida e e uma contraccao

em (H(X ), h(d)) com factor de contraccao s e cujo ponto fixo e {xw}.

Demonstracao. Sejam A,B ∈ H(X ). Se w e uma contraccao, e tambem uma

funcao contınua. Entao, sendo B um conjunto compacto, pelo lema 4, w(B) tambem

e um conjunto compacto. Portanto, w esta bem definida porque aplica H(X ) nele

proprio. Para provar que w e uma contraccao em H(X ) ha que usar a metrica h(d)

definida nesse espaco. Sabe-se que

h(w(A), w(B)) = max{d(w(A), w(B)); d(w(B), w(A))}.

Relativamente a d(w(A), w(B)) pode escrever-se que

d(w(A), w(B)) = max{d(w(x), w(B)) : x ∈ A} =

= max{min{d(w(x), w(y)) : y ∈ B} : x ∈ A} ≤

≤ max{min{sd(x, y) : y ∈ B} : x ∈ A} =

= max{smin{d(x, y) : y ∈ B} : x ∈ A} =

= max{sd(x,B) : x ∈ A} = smax{d(x,B) : x ∈ A} = sd(A,B)


Analogamente, d(w(B), w(A)) ≤ sd(B,A). Entao,

h(w(A), w(B)) ≤ max{sd(A,B); sd(B,A)} =

= smax{d(A,B); d(B,A)} = sh(A,B).

Portanto, w e uma contraccao com factor de contraccao s. Ja se sabe, pelo Teorema

3, que w e w tem, cada uma, um ponto fixo. Seja xw o ponto fixo de w e seja {xw} um

ponto de H(X ). Entao, w ({xw}) = {w (xw)} = {xw}, pelo que {xw} e o ponto fixo de

w. �

Apresentam-se agora dois exemplos, um com uma contraccao em (R) e outro com

uma contraccao em (R2).

Exemplo 6. Usando o exemplo ja apresentado em R, f(x) = 12x, cujo ponto fixo

e x = 0, diz a Proposicao 8 que f induz em H(R) uma contraccao f , tal que f(A) =

{12x : x ∈ A},∀A ∈ H(R), cujo ponto fixo e {0}. Pelo Teorema 3, lim

nfn([0, 1]) = {0}.

A Figura 1.10 ilustra este exemplo. �

Figura 1.10. Iteradas sucessivas de um compacto de R pela funcao f defi-

nida em H(R).

Exemplo 7. Empregando agora o outro exemplo definido em R2, cujo ponto fixo

e(

514,√

314

), e aplicando os mesmos resultados utilizados no exemplo anterior, vem que

w(x) definida em R2 induz uma aplicacao w em H(R2) tal que a sucessao das iteradas

sucessivas de qualquer ponto deste e.m. converge para{(

514,√

314

)}. Por exemplo,

partindo de um triangulo equilatero de lado 1 e aplicando w sucessivas vezes, obtem-

se, no limite, o ponto fixo de w que e{(

514,√

314

)}(veja-se a Figura 1.11). �

Este resultado, embora importante e interessante, na pratica nao e muito signi-

ficativo, pelo menos em termos graficos, ja que apos infinitas iteracoes sucessivas de


Figura 1.11. Iteradas sucessivas de um compacto de R2 pela funcao w

definida em H(R2).

qualquer subconjunto compacto de X, se obtem sempre um e apenas um ponto de

X. No entanto, o resultado final pode ser interessante se se operar com varias con-

traccoes em simultaneo.

Teorema 4. Seja (X, d) um e.m., seja {wn : n = 1, 2, . . . , N} um conjunto de

contraccoes em (H(X ), h(d)) cada uma delas com o seu respectivo factor de contraccao

sn, n = 1, 2, . . . , N . Seja WN : H(X ) → H(X ) tal que WN(B) = w1(B) ∪ w2(B) ∪


. . . ∪ wN(B) =N⋃n=1

wn(B),∀B ∈ H(X ). Entao WN e uma contraccao em H(X ) com

factor de contraccao s = max{sn : n = 1, 2, . . . , N}.

Demonstracao. Use-se o metodo de inducao matematica.

Para N = 2 pretende-se provar que W2 : H(X ) → H(X ) tal que W2(B) =

w1(B) ∪ w2(B) =2⋃

n=1

wn(B),∀B ∈ H(X ), e uma contraccao em H(X ) com factor

de contraccao s = max{s1, s2}. Para isso, considere-se que B e C sao dois pontos de

H(X ). Entao, h(W2(B),W2(C)) = h(w1(B)∪ w2(B), w1(C)∪ w2(C)). Simplifique-se a

escrita designando w1(B) por B1, w2(B) por B2, w1(C) por C1 e w2(C) por C2. Vem

h(B1 ∪B2, C1 ∪ C2) = max{d(B1 ∪B2, C1 ∪ C2), d(C1 ∪ C2, B1 ∪B2)}. Ora,

d(B1 ∪B2, C1 ∪ C2) = max{d(x,C1 ∪ C2) : x ∈ B1 ∪B2} =

= max{max{d(x,C1 ∪ C2) : x ∈ B1}; max{d(x,C1 ∪ C2) : x ∈ B2}} =

= max{d(B1, C1 ∪ C2), d(B2, C1 ∪ C2)}.

Para obter a distancia de B1 ao conjunto reuniao de C1 com C2, basta considerar

as distancias de B1 a C1 e de B1 a C2 e escolher a menor delas (veja-se a Figura 1.12).

Figura 1.12. A distancia de B1 a C1 ∪ C2 e igual ao menor valor entre

d(B1, C1) e d(B1, C2).

De forma analoga, obtem-se a distancia de B2 a C1 ∪ C2. Entao, retomando o

raciocınio anterior vem:

max{d(B1, C1 ∪ C2), d(B2, C1 ∪ C2)} =

= max{min{d(B1, C1), d(B1, C2)},min{d(B2, C1), d(B2, C2)}}.


Agora, de cada um destes dois pares de distancias, convem, para o que se pretende, es-

colher d(B1, C1) no primeiro par e d(B2, C2) no segundo. Como os elementos escolhidos

podem nao ser os menores valores em cada par de distancias, entao o mınimo e menor

ou igual que a distancia escolhida. Com tudo isto obtem-se que d(B1 ∪B2, C1 ∪C2) ≤

max{d(B1, C1), d(B2, C2)} e, de forma analoga,

d(C1 ∪ C2, B1 ∪B2) ≤ max{d(C1, B1), d(C2, B2)}.

Daqui vem que

h(W2(B),W2(C)) = h(B1 ∪B2, C1 ∪ C2) =

= max{d(B1 ∪B2, C1 ∪ C2), d(C1 ∪ C2, B1 ∪B2)} ≤

≤ max{d(B1, C1), d(B2, C2), d(C1, B1), d(C2, B2)}.

Mas, escolher o maximo entre estas quatro entidades e o mesmo que dividi-las em dois

pares, escolher o maximo em cada um desses pares, e depois o maximo entre os dois

valores obtidos. Assim, como e conveniente neste caso, dir-se-a que a ultima expressao

designatoria e igual a

max{max{d(B1, C1), d(C1, B1)},max{d(B2, C2), d(C2, B2)}},

que corresponde a max{h(B1, C1), h(B2, C2)}, isto e,

max{h(w1(B), w1(C)), h(w2(B), w2(C))}.

Como w1 e w2 sao contraccoes de factor s1 e s2 respectivamente, entao este ultimo

resultado e menor ou igual a max{s1.h(B,C), s2.h(B,C)} o que equivale a s.h(B,C),

sendo s = max{s1, s2}. Portanto, W2 e uma contraccao de factor de contraccao s.

Suponha-se agora que para N = k e verdade o seguinte: a aplicacao Wk : H(X )→

H(X ) tal que Wk(B) = w1(B) ∪ w2(B) ∪ . . . ∪ wk(B) =k⋃

n=1

wn(B),∀B ∈ H(X ) e uma

contraccao em H(X ) com factor de contraccao sk = max{sn : n = 1, 2, . . . , k}.

Prove-se agora que a proposicao tambem sera verdadeira para N = k + 1. Sejam,

entao, w1, w2, . . . , wk, wk+1 : H(X )→ H(X ) as contraccoes com factores de contraccao


s1, s2, . . . , sk, sk+1 respectivamente, que definem Wk+1. Dados dois pontos quaisquer B

e C de H(X ), vem que

h(Wk+1(B),Wk+1(C)) =

=h(w1(B) ∪ . . . ∪ wk(B) ∪ wk+1(B), w1(C) ∪ w2(C) ∪ . . . ∪ wk(C) ∪ wk+1(C)) =

=h(Wk(B) ∪ wk+1(B),Wk(C) ∪ wk+1(C)).

Pelo resultado ja comprovado para N = 2, sabe-se que o anterior e menor ou igual a

max{h(Wk(B),Wk(C)), h(wk+1(B), wk+1(C))}.

Utilizando agora a hipotese e o facto de wk+1 ser uma contraccao de factor sk+1 vem

que o anterior e menor ou igual a

max{sk.h(B,C), sk+1.h(B,C)}

que e igual a s.h(B,C), sendo s = max{sn : n = 1, 2, . . . , k + 1}.

Portanto, pelo metodo de inducao matematica, a proposicao e verdadeira para todo

N ∈ N, isto e, W e contraccao em H(X ) com factor de contraccao s. �

Definiu-se o que e necessario para ter um Sistema de Funcoes Iteradas (SFI)

que consiste num e.m. (X, d) no qual se define um conjunto finito de contraccoes

wn : X → X com os respectivos factores de contraccao sn, n = 1, 2, . . . , N . Denota-se

este SFI por {X;wn, n = 1, 2, ..., N} e o seu factor de contraccao e

s = max{sn : n = 1, 2, . . . , N}.

Como W (definida como no Teorema 4, pagina 32), e uma contraccao no espaco

metrico completo (H(X ), h(d)) entao, pelo Teorema 3, pagina 27, {W n(B)}∞n=1 e uma

sucessao de Cauchy emH(X ), que converge para o ponto fixo de W independentemente

do ponto B de H(X ) com que se inicia a iteracao. Diz-se que esse ponto fixo de W e

o ponto fixo do SFI e chama-se-lhe Fractal.

Finalmente pode apresentar-se uma definicao de fractal.


Definicao 15. Seja (X,d) um e.m. completo. Seja {X;wn, n = 1, 2, . . . , N} um

SFI em X, constituıdo por N contraccoes, cada uma com o respectivo factor de con-

traccao sn. O ponto fixo deste SFI diz-se um FRACTAL.

Esta nao e “a” definicao de fractal. Na verdade, como ja foi dito na Introducao,

nao existe uma definicao de fractal porque qualquer uma delas pode excluir conjuntos

ou objectos com caracterısticas que permitem considera-los de natureza fractal. Esta

definicao apenas define fractal enquanto ponto fixo de um sistema de funcoes iteradas.

Trata-se apenas de uma das classes de fractais. Por outro lado, esta definicao inclui

alguns conjuntos que, na pratica, nao sao habitualmente considerados fractais. E o

caso do de um Intervalo em R (ver Exemplo 10, pagina 37) que, sendo o ponto fixo de

um SFI, e um conjunto que pode descrever-se de forma simples, quer a nıvel global,

quer local, ao contrario daqueles conjuntos que sao tidos, por quem conhece o conceito,

como fractais.

Tal como todos os entes matematicos, os fractais so existem em estado puro na

mente humana, pois e impossıvel, em tempo e em espaco, concretiza-los graficamente,

ja que nao e possıvel determinar um numero infinito de iteradas de uma funcao. O

computador e uma ferramenta muito valiosa no estudo e na construcao de fractais

porque permite realizar com rapidez uma enorme quantidade de calculos e representa-

los graficamente com grande precisao, dando ainda a possibilidade de facilmente poder

observar-se na figura as implicancias da alteracao de alguns parametros nas expressoes

das funcoes que constituem o SFI que ela representa. Ainda assim, e por muito potente

que seja a maquina, a sua capacidade de calculo e de representacao grafica e sempre

limitada; ha que ter isso em consideracao e imaginar o que esta nao consegue executar.

5. Exemplos de Fractais definidos por Sistemas de Funcoes Iteradas

Apresentam-se agora alguns exemplos de Fractais segundo a Definicao 15 e tambem

algumas observacoes.

5. EXEMPLOS DE FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 37

Exemplo 8 (Ha unicidade do SFI que produz um fractal?). Nao ha uni-

cidade. Por exemplo, os SFI’s {R; w1 = 12x, w2 = 1

2x + 1

2} e {R; w1 = 1

3x, w2 =

13x+ 1

3, w3 = 1

3x+ 2

3} definem ambos o mesmo fractal - o intervalo [0, 1]. �

Exemplo 9 (Triangulo de Sierpinski). Apresenta-se de novo este exemplo, desta

vez indicando um SFI que o produz: {R2;w1, w2, w3} em que

w1(x, y) = (12x, 1

2y),

w2(x, y) = (12x, 1

2y) + (1

2, 0), e

w3(x, y) = (12x, 1

2y) + (1

4,√

34

).

Viu-se que um sistema de funcoes iteradas converge sempre para o mesmo ponto

de H(R2) independentemente do ponto com o qual se comece a iteracao. Assim, para

obter o Triangulo de Sierpinski, nao e obrigatorio comecar com um triangulo, podendo

iniciar a iteracao a partir de qualquer conjunto compacto nao vazio de R2, como por

exemplo um quadrado “cheio’. A partir de uma ordem suficientemente grande, e irre-

levante a diferenca entre cada uma das figuras que compoem cada iteracao e cada um

dos triangulos que a comporiam caso se iniciasse com um triangulo (veja-se a Figura

1.13). Comecando com um triangulo de lado lo, a n-esima iteracao e composta por

3n triangulos de lado (12)n × lo e a sua area total e de A0 × (3

4)n (em que A0 e a area

do triangulo inicial), que tende para zero quando o numero de iteracoes tende para

infinito; ou seja, o fractal Triangulo de Sierpinski tem area nula. No entanto, o seu

perımetro e infinito. Iniciando com um triangulo equilatero de lado lo, o perımetro da

figura correspondente a n-esima iteracao e Pn = (12)n × lo × 3× 3n = 3× (3

2)n × lo que

tende para +∞ quando n tende para +∞. �

Exemplo 10 (Um Intervalo em R). O SFI {R;w1, w2} em que w1(x) = 13x

e w2(x) = 23x + 1

3tem factor de contraccao igual a max{1

3; 2

3} = 2

3. Iniciando com

B0 = [0, 1], determine-se a primeira iteracao B1 :

B1 = W (B0) = w1(B0) ∪ w2(B0) = [0; 13] ∪ [1

3; 1] = [0; 1] = B0. Entao B0 = B1 =

B2 = . . . = Bn = [0, 1] que tende para [0, 1] quando n tende para infinito; logo, segundo

a Definicao 15, [0, 1] e um fractal em R. Na pratica, este conjunto nao e considerado


Figura 1.13. Um Fractal definido por um SFI e independente do elemento

inicial de H(X ) ao qual se aplica esse SFI.

um fractal por nao ter uma estrutura de detalhe intrincado, sendo um conjunto que se

pode definir facilmente tanto a nıvel global, como local. �

Exemplo 11 (O Conjunto de Cantor). O SFI {R;w1, w2} com w1(x) = 13x e

w2(x) = 13x + 2

3tem factor de contraccao igual a 1

3. A diferenca entre as expressoes

destas funcoes e as das funcoes do exemplo anterior e que os coeficientes da segunda

aplicacao foram trocados. Esta alteracao, aparentemente pouco significativa, e sufici-

ente para se obter um fractal mais interessante.

Aplique-se este SFI ao intervalo B0 = [0, 1].

B0

O resultado da primeira iteracao e B1 = W (B0) = w1(B0) ∪ w2(B0) = [0; 13] ∪ [2

3; 1] =

[0, 1] \]

13; 2

3

[.

B1


A segunda iteracao sera B2 = W (B1) = w1(B1) ∪ w2(B1) =

= w1([0; 13] ∪ [2

3; 1]) ∪ w2([0; 1

3] ∪ [2

3; 1]) =

= w1([0; 13]) ∪ w1([2

3; 1]) ∪ w2([0; 1

3] ∪ w2([2

3; 1]) =

= [0; 19] ∪ [2

9; 1

3] ∪ [2

3; 7

9] ∪ [8

9; 1].

B2

E de seguida obtem-se os conjuntos abaixo representados:

B3

B4

O termo Bn da sucessao e constituıdo pela reuniao disjunta de 2n intervalos fecha-

dos, cada um de amplitude (13)n. O limite dos conjuntos Bn e definido por A =

∞⋂n=0

Bn

e chama-se “Conjunto de Cantor”. Trata-se de um conjunto compacto por ser a inter-

seccao de conjuntos compactos. Por outro lado, e um conjunto totalmente desconexo

(os seus unicos subconjuntos conexos sao formados por um unico ponto; veja-se a De-

finicao 53 na pagina 104). A nao seria totalmente desconexo se contivesse pelo menos

um intervalo [a, b]. No entanto, existe uma ordem N a partir da qual uma parte desse

intervalo e removida para formar o termo BN+1, logo, A nao contem intervalos mas

apenas conjuntos singulares. Tambem nao e um conjunto vazio ja que, por exemplo, 1

e 0 pertencem a A.

Sobre este fractal pode ainda dizer-se que e um conjunto perfeito (nao tem pontos

isolados) porque todos os seus pontos, sao pontos de acumulacao. Veja-se porque: Seja

x um elemento qualquer de A e seja ε > 0. Se x pertence a A, entao pertence a inter-

seccao de todos os conjuntos Bn que constituem cada uma das iteracoes. Sabe-se que

cada um desses conjuntos Bn e constituıdo por 2n intervalos fechados In1 , In2 , . . . , In2n

e x pertence a um desses intervalos - designe-se por Ink . Como todos esses interva-

los sao fechados, podem definir-se duas sucessoes: {mn}n∈N = {min{y ∈ Ink}}n∈N e

{Mn}n∈N = {max{y ∈ Ink}}n∈N. Entao, para qualquer iteracao n, existe um termo de

cada uma das duas sucessoes tal que mn ≤ x ≤ Mn. Por outro lado, cada intervalo

Ink tem amplitude (13)n, amplitude essa que tende para zero a medida que aumenta o


numero de iteracoes; pelo que a diferenca entre Mn e mn tambem tende para zero e,

portanto, ambas as sucessoes convergem para x, sendo que pelo menos uma delas nao

e constante a partir de certa ordem. Entao, dado ε > 0, existe pelo menos um ponto

de A na vizinhanca de x de raio ε e, por isso, x nao e ponto isolado de A.

Note-se ainda a propriedade de auto-semelhanca, caracterıstica dos fractais, e que

neste caso e exacta: em qualquer escala, ou seja, em qualquer das iteracoes, cada parte

que compoe o conjunto nela obtido e semelhante a uma das iteracoes anteriores. �

Exemplo 12. Um Caso Nao Linear

SFI: {R;w1, w2} em que: w1(x) = 19x2 e w2(x) = 3

4x+ 1

2.

Neste caso, umas das equacoes e do segundo grau, o que faz com que os intervalos

abertos eliminados em cada iteracao nao tenham todos a mesma amplitude, mas o

fractal obtido tem as mesmas propriedades gerais que o Conjunto de Cantor (veja-se a

Figura 1.14).

Figura 1.14. As primeiras duas iteradas de um SFI nao linear.

O factor de contraccao de w1 e4

9porque d (w1(x), w1(y)) =

∣∣∣∣19x2 − 1

9y2

∣∣∣∣ = =

1

9|x− y| |x+ y| ≤ 4

9d(x, y),∀x, y ∈ [0, 2] e o factor de contraccao de w2 e

3

4; pelo que

o factor de contraccao deste SFI e3

4. �

Exemplo 13 (A Curva de Peano). Esta curva inventada em 1890 por Giuseppe

Peano e um fractal cujo SFI e constituıdo por nove contraccoes do tipo w

xy

=

a b

c d

xy

+

ef

, todas de factor de contraccao 13

e cujos parametros sao os seguintes:


a b c d e f

1/3 0 0 1/3 0 0

1/3 0 0 -1/3 0 -1/3

1/3 0 0 1/3 -1/3 -1/3

-1/3 0 0 1/3 1/3 -2/3

-1/3 0 0 -1/3 -2/3 0

-1/3 0 0 1/3 0 -1/3

1/3 0 0 1/3 -1/3 1/3

1/3 0 0 -1/3 1/3 -2/3

1/3 0 0 1/3 -2/3 0

Para construirmos a curva podemos comecar, por exemplo, com um segmento de

recta unitario e em seguida colocamos os nove segmentos de comprimento 13

como

mostra a Figura 1.15.

Figura 1.15. Resultado da primeira iterada do SFI que gera a curva de Peano.

O resultado que se obtem nas primeiras iteracoes e o que esta na Figura 1.16.

Prova-se que o fractal Curva de Peano e uma curva que cobre por completo um

quadrado e, assim sendo, faz sentido perguntar: Qual e a dimensao desta curva? �

Foi criado o conceito de dimensao fractal que mede a “quantidade” de recta, plano

ou espaco que ocupa um fractal. Tambem se pode pensar no valor da dimensao de


Figura 1.16. Resultado das cinco primeiras iteradas do SFI que gera a

curva de Peano.

um fractal como um quantificador da sua “rugosidade”. Deste modo, a dimensao de

uma curva no plano pode ser um qualquer valor do intervalo [1, 2]. No Capıtulo 2, sera

explorado este conceito.

6. Fractais parecidos com objectos naturais

Exemplo 14 (Feto Fractal). Um dos exemplos mais conhecidos de forma fractal

na Natureza e a folha do feto. Nesta planta e muito facil observar e compreender a pro-

priedade da auto-semelhanca de um fractal ja que esta cresce repetindo sensivelmente

a mesma forma em escalas cada vez menores (uma parte da folha, parece-se muito

com a folha inteira). O SFI que se apresenta, definido em R2, e formado por quatro

contraccoes e tem um ponto fixo cuja forma e muito semelhante a folha do feto. A pri-

meira contraccao define a “subfolha” esquerda de baixo como reducao da folha inteira,

a segunda define a “subfolha” direita de baixo, a terceira define o conjunto formado

pelas restantes “subfolhas” e a quarta, que define o caule, e uma contraccao cujo factor

de reducao na horizontal e muito menor que o factor de reducao na vertical. Cada

uma das quatro contraccoes consiste num reescalamento, seguido de uma rotacao (que

pode ser diferente relativamente a cada um dos eixos coordenados, produzindo, nesse

caso, uma “distorcao”), e finalmente uma translacao. Cada uma delas pode, portanto,

escrever-se analiticamente na forma w(x) = w

x1

x2

=

a b

c d

x1

x2

+

ef

= Ax+ t

sendo a matriz A do tipo A =

r1 cos θ1 −r2 sin θ2

r1 sin θ1 r2 cos θ2

em que r1 e r2 correspondem aos

factores de reescalamento horizontal e vertical, respectivamente, e θ1 e θ2 correspondem

aos angulos de rotacao relativamente a cada um dos eixos coordenados (veja-se a Figura

6. FRACTAIS PARECIDOS COM OBJECTOS NATURAIS 43

1.17). Este tipo de transformacao e uma transformacao afim; e quando 0 ≤ r1 ≤ 1,

0 ≤ r2 ≤ 1 e pelo menos um dos factores r1 e r2 e diferente de 1, trata-se de uma con-

traccao (ver a Definicao 13, pagina 22). Se 0 < r1 = r2 < 1 tem-se uma reducao (ver

a Definicao 47, pagina 96). Se r1 for negativo, a transformacao w contem, em si, uma

simetria relativamente ao eixo das coordenadas e se r2 for negativo, a transformacao

w contem em si uma simetria relativamente ao eixo das abcissas.

Como a ordem em que as transformacoes sao aplicadas pode ter influencia no re-

sultado, a ordem sera sempre a seguinte:

1o - reescalamentos,

2o - simetrias,

3o - rotacoes,

4o - translacoes.

Figura 1.17. Reescalamento de um quadrilatero com distorcao.

Os coeficientes de cada uma das aplicacoes que constituem o SFI apresentam-se na

tabela que se segue:

Contraccao r1 r2 θ1 θ2 e f

w1 0,3 0,5 45 45 0,4 0

w2 0,3 0,5 -45 -45 0,4 0,15

w3 0,8 0,78 5 5 0,1 0,2

w4 0,02 0,3 0 0 0,49 0

O resultado de algumas iteracoes estao na Figura 1.18.

�


iterada 0 iterada 1 iterada 2



Figura 1.18. Representacao grafica de algumas das iteradas de um SFI que

define um fractal que se assemelha a um feto.

7. Sistemas de Funcoes Iteradas com Conjunto de Condensacao

Vejam-se agora exemplos de fractais definidos por SFI com conjunto de condensacao.

Um “SFI com Conjunto de Condensacao” e um SFI ao qual se acrescenta uma aplicacao

constante em H(X ). Antes de um exemplo, apresentam-se as definicoes e os resultados

necessarios para a sua compreensao.

7. SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS COM CONJUNTO DE CONDENSACAO 45

Definicao 16. Seja (X, d) um e.m. e seja C ∈ H(X ). Considere-se a trans-

formacao w0H(X ) → H(X ) tal que w0(B) = C, ∀B ∈ H(X ). A w0 chama-se trans-

formacao de condensacao e diz-se que C e o seu conjunto de condensacao

associado.

Proposicao 9. Seja (X, d) um e.m. e seja wo : H(X ) → H(X ) uma trans-

formacao de condensacao cujo conjunto de condensacao associado e C ∈ H(X ). Entao

w0 e uma contraccao com factor de contraccao igual a zero e C e o seu ponto fixo.

Demonstracao. Sejam A, B ∈ H(X ). Entao, h (wo(A), wo(B)) = h(C,C) = 0 =

0 · h(A,B). Portanto, wo e uma e uma contraccao em H(X ) com factor de contraccao

igual a zero. Para alem disso, w0(C) = C, pelo que C e o ponto fixo de w0. �

Definicao 17. Seja {X;w1, w2, . . . , wn} um SFI com factor de contraccao 0 ≤

s < 1. Seja w0 : H(X ) → H(X ) uma transformacao de condensacao. Entao, a

{X;w0, w1, w2, . . . , wn} chama-se SFI com condensacao com factor de contraccao

s.

Pode agora adaptar-se o Teorema 4 para sistemas de funcoes iteradas com conjunto

de condensacao:

Teorema 5. Seja (X, d) um e.m. e seja (X;wn : n = 0, 1, 2, . . . , N} um SFI com

condensacao com factor de contraccao s. Entao, a transformacao W : H(X )→ H(X )

definida por W (B) =N⋃n=0

wn(B), ∀B ∈ H(X ) e uma contraccao em (H(X ), h(d)) com

factor de contraccao s.

Demonstracao. A demonstracao e identica a do Teorema 4 ja que neste caso se

tem um SFI com N + 1 contraccoes sendo o factor de contraccao de pelo menos uma

delas igual a zero. �

Note-se que o unico ponto fixo da funcao W definida no Teorema anterior e A ∈

H(X ) tal que A = W (A) =⋃Nn=0Wn(A) e e dado por A = lim

nW n(B),∀B ∈ H(X ).


Exemplo 15 (SFI com Condensacao no Plano Complexo). Considere-se o

SFI com condensacao: {C;w0, w1, w2} em que:

w0(B) = T com T = {z ∈ C : −12≤ Re(z) ≤ 1

2∧ 0 ≤ Im(z) ≤ 10}, ∀B ∈ H(X ),

w1(x) = 0, 75eπ4iz + 10i e w2(x) = 0, 75e−

π4iz + 10i

O factor de contraccao deste SFI e de 0, 75 e o conjunto que se obtem depois de

cinco iteracoes do conjunto Bo = T e o que esta representado na figura 1.19.

Figura 1.19. Imagem obtida depois de cinco iteracoes num SFI com con-

junto de condensacao.

Poder-se-ia depois modificar alguns parametros nas funcoes e verificar que alteracoes

isso provoca na imagem obtida. Com SFI’s identicos ao anterior podem obter-se con-

juntos como os representados na Figura 1.20.

Este e um dos exemplos onde se pode observar a estreita relacao existente entre a

Geometria Fractal e a Natureza. Na verdade, e contrariamente a Geometria Euclidiana

que dificilmente tera na Natureza uma fiel representacao de algum dos seus objectos, a

Geometria Fractal sera talvez aquela que melhor se adequa, de uma forma umas vezes

mais, outras vezes menos grosseira (ja que, como foi dito, os fractais no seu estado puro

so existem na mente humana) ao estudo das formas da Natureza: arvores e plantas,

flocos de neve, sistemas de irrigacao sanguınea e de distribuicao de oxigenio, galaxias,

recortes da costa dos continentes, nuvens, relampagos, ... e ainda numa multiplicidade

de processos fısicos e quımicos como a cristalizacao, movimentos de partıculas num

fluıdo, electrolise, etc. ... �

Exemplo 16 (Serie geometrica de ciprestes - um fractal em R2 gerado

por por um SFI com condensacao). A imagem representada na Figura 1.21 e

8. O PROBLEMA INVERSO - MODELACAO COM SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 47

Figura 1.20. Imagens de plantas virtuais geradas a partir de Sistemas de

Funcoes Iteradas com Conjunto de Condensacao.

conseguida com o SFI com condensacao {R2;w0, w1} em que: w0(B) = C, ∀B ∈ H(X ),

com

C = {(x, y) ∈ R2 : (−0, 5 ≤ x ≤ 0, 5 ∧ 0 ≤ y ≤ 3) ∨ 4

9x2 +

(y − 6)2

9= 1} e

w1(x, y) = w1

xy

=

2225

0

0 2225

xy

+

3

0

.

O factor de contraccao deste SFI e de22

25e o conjunto que se obtem apos oito

iteracoes do conjunto Bo = C e o que esta representado na Figura 1.21.

Com este tipo de procedimento, utilizando uma arvore mais “verıdica” e mais al-

gumas contraccoes, pode conseguir-se a simulacao virtual de uma paisagem. �

8. O Problema Inverso - Modelacao com Sistemas de Funcoes Iteradas

Ate agora mostrou-se como se constroem (aproximacoes de) fractais definidos por

sistemas de funcoes iteradas e um dos resultados conseguidos foi a obtencao de imagens

identicas as de objectos naturais como os que estao representados na Figura 1.20, pagina

47 e na Figura 1.18, pagina 44. O que se pretende ver agora e o processo inverso, isto


Figura 1.21. Simulacao de avenida ladeada por arvores, gerada a partir de

um Sistema de Funcoes Iteradas com Conjunto de Condensacao.

e, dada uma imagem de um objecto natural, encontrar um SFI cujo ponto fixo seja a

imagem dada ou algo aproximado. Parte da resposta para este problema e dada pelo

Teorema da Colagem, que da uma ideia de quao proximo esta um conjunto dado do

ponto fixo de um SFI.

Teorema 6 (Teorema da Colagem). Seja (X, d) um e.m. completo. Seja L ∈

H(X) um conjunto dado e seja ε > 0. Escolha-se um SFI (ou um SFI com Con-

densacao) {X; (w0), w1, w2, . . . , wN} com factor de contraccao 0 ≤ s < 1, de modo

que h

(L,

N⋃n=1(n=0)

wn(L)

)≤ ε, onde h(d) e a metrica de Hausdorff. Entao, para todo

L ∈ H(X ), h(L,A) ≤ ε

1− s, sendo A o ponto fixo do SFI (ou, de forma equivalente,

h(L,A) ≤ (1− s)−1h

(L,

N⋃n=1(n=0)

wn(L)

)).

Para demonstrar este Teorema e necessario demonstrar previamente o lema que se

segue.

Lema 5. Seja (X, d) um e.m. completo. Seja f : X → X uma contraccao com

factor de contraccao 0 ≤ s < 1 e seja xf ∈ X o ponto fixo de f . Entao, d(x, xf ) ≤

(1− s)−1d(x, f(x)), para todo x ∈ X.


Demonstracao. Sabe-se, pela Proposicao 1, que a funcao distancia a um ponto

dado de X e uma funcao contınua em X. Entao, aplicando o Teorema 3, pagina 27 e

a Proposicao 7, pagina 26, vem que para qualquer x ∈ X

d(x, xf ) = d(x, lim

n→∞fn(x)

)= lim

n→∞d(x, fn(x))

≤ limn→∞

n∑m=1

d(f (m−1)(x), f (m)(x))

≤ limn→∞

d(x, f(x))(1 + s+ · · ·+ sn−1) ≤ (1− s)−1d(x, f(x)).

�

Demonstracao do Teorema da Colagem. Para demonstrar este Teorema basta usar

o Lema 5 substituindo f porN⋃

n=1(n=0)

wn(L), xf por A e x por L pois, pelo Teorema 4,

pagina 32,N⋃

n=1(n=0)

wn(L) e uma contraccao de factor de contraccao s. �

O Teorema da Colagem diz que para se encontrar um SFI cujo ponto fixo seja

“proximo” ou “se pareca com” um conjunto previamente dado, ha que procurar um

conjunto de contraccoes definidas num espaco metrico adequado, de tal modo que a

reuniao (ou a “colagem”) das imagens do conjunto, obtidas atraves dessas contraccoes,

seja proxima do conjunto dado. Essa proximidade e medida usando a metrica de Haus-

dorff. Como consequencia deste Teorema, tem-se que qualquer compacto nao vazio de

Rn pode ser aproximado por um conjunto auto-semelhante de forma tao arbitraria-

mente proxima quanto se queira.

Este Teorema leva a possibilidade de substituir uma imagem real pelo ponto fixo

de un SFI; ou seja, oferece a possibilidade de representar uma imagem atraves de um

modelo fractal da mesma. Como um conjunto de expressoes matematicas ocupa, em

geral, muito menos espaco na memoria de um computador que o conjunto de pixels que

constituem essa imagem, este Teorema leva tambem a possibilidade de armazenamento

de imagens digitais de forma muito mais economica. Alem disso, consegue-se uma

representacao da imagem considerada que e independente da resolucao, visto que, ao

calcular numericamente o ponto fixo do SFI, e possıvel realizar iteracoes sucessivas,

acrescentando progressivamente mais detalhe.[38]


Veja-se agora um exemplo de aplicacao do Teorema da Colagem.

Exemplo 17. Pretende-se encontrar um SFI que defina uma imagem semelhante

a folha a esquerda na Figura 1.22. Para tal, efectuou-se uma “colagem” com seis

contraccoes dessa folha como se mostra na mesma figura, a direita.

Figura 1.22. A esquerda a folha que se pretende representar atraves do

ponto fixo de um SFI e a direita a imagem dessa folha por seis contraccoes

diferentes juntamente com o contorno da folha original.

Os coeficientes de cada uma das aplicacoes sao apresentados na Tabela 1.1 (ver a

matriz no Exemplo 14, pagina 42 e a Figura 1.17, pagina 43).


w1 0,436 0,595 -8,5 -8,5 0,18 0,55

w2 0,338 0,573 42,9 42,9 0,37 0,42

w3 0,423 0,665 -37 -37 0,22 0,53

w4 0,469 0,672 66,2 66,2 0,62 0,16

w5 0,408 0,804 -42 -42 0,15 0,21

w6 0,713 0,675 2,5 2,5 0,12 0

Tabela 1.1. Coeficientes de cada uma das contraccoes do Exemplo 17.


Os factores de contraccao das seis transformacoes usadas, w1, w2, . . . , w6, sao, res-

pectivamente, s1 = 0, 595, s2 = 0, 573, s3 = 0, 665, s4 = 0, 672, s5 = 0, 804, e s6 =

0, 713. Portanto, o SFI tem factor de contraccao s = 0, 804.

De seguida introduziram-se os coeficientes de cada uma das aplicacoes num soft-

ware1 para representacao grafica de SFI Deterministas. A distancia de Hausdorff entre

a reuniao das seis imagens da folha original e a propria folha, representada na Figura

1.22 pela sua fronteira, e de, aproximadamente, 0,85 unidades (tendo a moldura da

imagem 11 unidades de largura e 14 unidades de comprimento). O Teorema da Cola-

gem garante, entao, que a distancia de Hausdorff h(Euclideana) entre a folha original

e o ponto fixo do SFI utilizado sera inferior a0, 85

1− 0, 804≈ 4, 33 unidades, o que nao

e nada prometedor... Ainda assim, com este SFI, iniciando-se o processo de iteracao

com um quadrado, ao fim de seis iteradas obteve-se a imagem da Figura 1.23 que,

apesar das fracas expectativas, revela alguma semelhanca com a folha que se pretendia

representar. �

Figura 1.23. A iteracao zero e o resultado obtido ao fim de seis iteracoes

atraves de um SFI constituıdo por seis contraccoes em R2.

1Deterministic IFS - Applet interactivo disponıvel em

http://classes.yale.edu/Fractals/Software/detifs.html.


Por norma e facil a computacao necessaria para desenhar um objecto recorrendo a

um IFS, dados os parametros das contraccoes e, alem disso, pequenas alteracoes nos

mesmos produzem pequenas alteracoes nos pontos fixos do IFS. Saliente-se ainda que

as transformacoes do IFS definem a imagem a escalas arbitrariamente pequenas o que

permite conseguir zooms de pequenas regioes da mesma. A construcao de objectos

naturais recorrendo a IFS e, portanto, muito pratica e util, sobretudo se o que se

pretende e uma perspectiva global do objecto. Se, pelo contrario, a alta correlacao

entre diferentes partes da imagem for um obstaculo e se, por exemplo, se pretenderem

posicoes e arranjos diferentes de folhas em cada ramo de uma arvore, entao a construcao

com recurso a um IFS nao servira de nada. Para alem disso, conseguir um conjunto

optimo de contraccoes para representar bem um dado objecto, nem sempre e simples.

CAPıTULO 2

A Dimensao Fractal

53

54 2. A DIMENSAO FRACTAL

2. A DIMENSAO FRACTAL 55

Nos “Elementos” de Euclides ja se define, implicitamente, o conceito de dimensao.

Diz-se que uma figura tem dimensao 1 se a sua fronteira e composta por pontos; tem

dimensao dois se a sua fronteira e composta por linhas e tem dimensao tres se a sua

fronteira for constituıda por superfıcies. Se um conjunto for totalmente desconexo,

a sua dimensao topologica e zero. Em geral, um objecto tem dimensao n se a sua

fronteira tiver dimensao n − 1. A dimensao euclidiana de um objecto e sempre um

numero inteiro e representa a menor dimensao do espaco em que esse objecto pode

estar inserido.

Das caracterısticas que definem um fractal, uma das mais importantes e a dimensao

fractal que representa o nıvel de irregularidade de um objecto geometrico. A dimensao

fractal de um conjunto pode ser diferente da sua dimensao topologica e, inclusivamente,

pode ser um numero nao inteiro. Sendo assim, quanto maior a irregularidade de uma

forma, isto e, quanto maior for a densidade do espaco ocupado pelo objecto no espaco

metrico em que se insere, maior e a diferenca entre a sua dimensao fractal e a sua

dimensao topologica. Por isso, a dimensao fractal pode ser uma ferramenta util e

objectiva de comparacao entre duas formas fractais. Objectos “pouco irregulares” e

compactos tem, em geral, a dimensao fractal igual a dimensao topologica.

Existem varias definicoes de dimensao fractal e cada uma tem os seus metodos para

estimar o seu valor. Nem todos os metodos podem ser aplicados a qualquer tipo de

estrutura e em cada caso ha que escolher um que seja adequado. E necessario que,

quando se fale de dimensao fractal, se saiba qual e o metodo de calculo que esta a ser

usado nessa situacao. A utilizacao de definicoes diferentes de dimensao pode originar a

obtencao de resultados diferentes para um mesmo objecto. A maior parte das definicoes

de dimensao de um conjunto dependem de uma medicao desse conjunto a escala r, que

quantifica a sua irregularidade quando observado a essa escala. A dimensao e, entao,

usualmente definida em termos do comportamento da lei potencial dessa medicoes, a

medida que r tende para zero. De entre as diversas definicoes de dimensao fractal, as

mais conhecidas e utilizadas sao a Dimensao de Hausdorff e a Dimensao de Contagem


de Caixas. A primeira porque e baseada em medidas que sao relativamente faceis de

manipular (embora em muitos casos seja difıcil de calcular ou de estimar, mesmo por

metodos computacionais) e a segunda porque e bastante simples de estimar. Ambas sao

matematicamente convenientes por estarem definidas para qualquer conjunto. Estas

duas definicoes serao aqui apresentas e analisadas.

As dimensoes fractais podem ser associadas a objectos reais tais como a superfıcie

das nuvens e superfıcies topograficas, arvores e folhas, linhas costeiras, redes de neuronios

e redes de irrigacao sanguınea, po no ar num determinado instante, constituicao de te-

cidos, a superfıcie rugosa do mar durante uma tempestade, a superfıcie de uma celula

cancerıgena, etc, etc. . . Estes numeros permitem modelar fractais do mundo real com

fractais de laboratorio, tais como os pontos fixos de sistemas de funcoes iteradas; isto

e, permitem que se modele o mundo fısico real. Ter-se-a particular atencao nos sub-

conjuntos compactos de espacos metricos com especial preferencia por Rn com a metrica

euclidiana. A assuncao da compacidade com que ja se trabalhou no Capıtulo I permite

que os modelos se adaptem melhor aos objectos estudados e que sejam manuseados

teoricamente com alguma facilidade.

A dimensao de Hausdorff e baseada na construcao de medida de Caratheodory. As-

sim, far-se-a primeiro essa construcao, com a devida apresentacao dos conceitos basicos

necessarios para tal e so depois sera apresentada a definicao de dimensao de Hausdorff.

Depois de analisadas algumas das suas propriedades segue-se a apresentacao da de-

finicao de dimensao de contagem de caixas; o estudo de algumas das suas propriedades

e, finalmente, sera feita a comparacao entre as duas definicoes.

A estimativa da Dimensao Fractal determina a complexidade de objectos fractais,

e pode ser estendida para diversas aplicacoes.

Ao longo de todo o capıtulo serao apresentados exemplos sempre que se considerar

oportuno.

1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 57

1. Construcao de uma Medida pelo metodo de Caratheodory

Para definir dimensao de Hausdorff e necessaria a definicao de medida de Haudorff,

pelo que antes e necessario definir “medida”. Definir uma medida corresponde a de-

terminar uma forma de atribuir um valor numerico ao “tamanho” de um conjunto,

de modo que se um conjunto for decomposto, respeitando determinadas regras, num

numero finito ou numeravel de partes, entao o “tamanho” do todo e a soma dos “ta-

manhos” das partes. As nocoes mais intuitivas de medida sao as de comprimento, area

e volume de subconjuntos de Rn. Porem, contrariamente ao que a intuicao de cada um

possa dizer, ha conjuntos que nao sao mensuraveis, isto e, para os quais nao pode ser

definida uma medida.

As σ-algebras sao o ambiente ideal para desenvolver a nocao de medida de conjuntos.

Por isso vai usar-se aqui a definicao de medida em σ-algebras.

Todos estes conceitos necessarios para chegar a definicao de dimensao de Hausdorff

serao agora introduzidos.

Dado um conjunto X nao vazio, denota-se por P(X) a coleccao de todos os

subconjuntos de X. Matematicamente, sera equivalente escrever A ⊂ X ou escre-

ver A ∈ P(X). Alem disso, X e subconjunto de si proprio, por isso X ∈ P(X) e

convenciona-se que ∅ ∈ P(X). Para cada A ⊂ X, denota-se por Ac o conjunto X \ A

que se designa por complementar de A em X.

Definicao 18. Seja X um conjunto nao vazio e M uma coleccao de subconjuntos

de X, isto e, M⊂ P(X). Diz-se que M e uma σ-algebra em X se se verificarem os

seguintes requisitos:

(1) ∅ ∈ M e X ∈M.

(2) Se A ∈M, entao Ac ∈M.

(3) Se {An}n∈N e uma coleccao numeravel arbitraria de elementos de M, entao⋃n∈N

An tambem e um elemento de M.


Definicao 19. Seja X um conjunto nao vazio e M uma σ-algebra em X. Ao par

(X,M) chama-se espaco mensuravel.

Definicao 20. Seja (X,M) um espaco mensuravel. Os subconjuntos A ⊂ X

que sao membros da σ-algebra M dizem-se conjuntos mensuraveis (em relacao a

σ-algebra M).

O conceito de medida sera introduzido mais a frente para conjuntos que sejam

mensuraveis. Ha que ter em consideracao que um conjunto pode ser mensuravel em

relacao a uma σ-algebra e nao o ser em relacao a outra.

De seguida apresentam-se alguns resultados uteis.

Proposicao 10. Se A1, A2, . . . , An e uma coleccao de n elementos de uma σ-

algebra M, entao A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An e tambem um elemento de M.

Demonstracao. Se se definir Am = ∅ para todo m > n tem-se, pelo item 3 da

definicao de σ-algebra, que A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An =⋃a∈N

Aa e um elemento de M. �

Proposicao 11. Seja X um conjunto nao vazio. Se M e uma σ-algebra em X, e

A e B sao elementos de M, entao A ∩B tambem pertence a M.

Demonstracao. Sabe-se que A ∩ B = (Ac ∪Bc)c. Pelo item 2 da definicao de

σ-algebra (Definicao 18) tem-se que se A e B pertencem a M, entao Ac e Bc tambem

sao elementos deM, e pela Proposicao 10, a sua reuniao tambem o e. Novamente pelo

item 2 ja referido, tem-se que o complementar de Ac ∪Bc tambem pertence a M. �

Proposicao 12. Seja X um conjunto nao vazio. Se M e uma σ-algebra em X,

e se {An}n∈N e uma coleccao numeravel de elementos de M, entao⋂n∈N

An tambem

pertence a M.

Demonstracao. Sabe-se que⋂n∈N

An =

( ⋃n∈N

(An)c)c

. Pelo item 2 da definicao

de σ-algebra tem-se que Acn ∈ M para todo n ∈ N. Pelo item 3 vem que a reuniao

numeravel desses elementos de M tambem pertence a M e novamente pelo item 2,


tem-se que o complementar da reuniao dos complementares de todos os An tambem

pertence a M. �

Apresentam-se, de seguida, alguns exemplos muito simples de σ-algebras.

Exemplo 18. Seja X um conjunto nao vazio e M = {∅, X}. Entao, M e uma

σ-algebra em X.

O item 1 da definicao de σ-algebra esta automaticamente verificado. O mesmo

acontece com o item 2, visto que X e o complementar de ∅ em X e vice-versa. Tambem

se verifica o item 3, ja que X ∪∅ = X, ∅∪∅ = ∅ e X ∪X = X e estes sao os resultados

possıveis de reunioes com os elementos de M.

Esta σ-algebra chama-se σ-algebra indiscreta ou σ-algebra trivial e e a menor σ-

algebra que se pode formar em X. �

Exemplo 19. Seja M = P(X) a coleccao de todos os subconjuntos de X. Entao,

M e uma σ-algebra em X.

Verifica-se o item 1 da definicao de σ-algebra porque tanto X como ∅ sao elementos

de P(X). Alem disso, dados A e B dois subconjuntos de X, entao Ac ⊂ X e tambem

A ∪ B ⊂ X pelo que tanto Ac como a reuniao numeravel de subconjuntos de X serao

elementos de P(X). Portanto, M e uma σ-algebra em X.

Esta σ-algebra chama-se σ-algebra discreta e e a maior σ-algebra que se pode formar

em X. �

Exemplo 20. Seja X um conjunto nao vazio e A ⊂ X. Entao, a coleccao M =

{∅, A,Ac, X} e uma σ-algebra em X.

Visto que (Ac)c = A ficam verificados os items 1 e 2 da definicao de σ-algebra.

Quanto ao item 3, este tambem fica verificado se se tiver em conta que a reuniao de

∅ com qualquer conjunto e igual a esse mesmo conjunto, que a reuniao de X com

qualquer elemento de M e igual a X e que A ∪ Ac = X.

Esta σ-algebra e a menor σ-algebra em X que contem A. �


Sabendo que cada σ-algebra consiste num subconjunto de P(X), faz sentido consi-

derar interseccoes e reunioes de σ-algebras. Apresenta-se agora a nocao de σ-algebra

gerada que ira ser necessaria um pouco mais adiante.

Proposicao 13. Seja X um conjunto nao vazio e {Mλ, λ ∈ I} uma coleccao de

σ-algebras em X (cada uma indexada por um elemento λ de um conjunto de ındices I

arbitrario). Entao, o subconjuntoMI de P(X) dado porMI =⋂λ∈IMλ e tambem uma

σ-algebra em X.

Demonstracao. Ha que ver se MI =⋂λ∈IMλ verifica os tres items da definicao

de σ-algebra. Como ∅ e X pertencem, por definicao de σ-algebra, a todos os conjuntos

Mλ com λ ∈ I, entao tambem pertencem a MI , ficando o primeiro item resolvido.

Para verificar o segundo item, considere-se que A ⊂ X e um elemento de MI .

Nesse caso, por definicao de MI , sabe-se que A ∈ Mλ para todo λ ∈ I. Como Mλ

e uma σ-algebra, entao tambem se tem que Ac ∈ Mλ, para todo λ ∈ I. Portanto,

A ∈⋂λ∈IMλ =MI .

O item 3 demonstra-se de forma analoga. Considera-se que {An, n ∈ N} e uma

coleccao numeravel de elementos deMI ; entao {An, n ∈ N} e uma coleccao numeravel

de elementos de cadaMλ qualquer que seja λ ∈ I. Como, para todo λ ∈ I,Mλ e uma

σ-algebra, entao sabe-se que⋃n∈N

An e tambem um elemento de cada Mλ e, portanto,

tambem e um elemento de⋂λ∈IMλ =MI . �

O resultado anterior e importante porque fornece um metodo para gerar σ-algebras.

Definicao 21. Seja A uma coleccao qualquer de subconjuntos de X. A interseccao

de todas as σ-algebras que contem A como um subconjunto chama-se σ-algebra ge-

rada por A e denota-se por M[A].

Assim, cada coleccao A de subconjuntos de um conjunto X tem automaticamente

uma σ-algebra associada: aquela que e gerada por A. Coleccoes convenientes de sub-

conjuntos de X podem gerar σ-algebras uteis.


De entre os muitos tipos de σ-algebras existentes, tem particular destaque aquelas

que sao geradas por topologias, as quais se chama σ-algebras de Borel e que desem-

penham um papel importante na Teoria da Medida. Estes conceitos irao ser agora

introduzidos e explicados ja que depois vao ser necessarios para a construcao da me-

dida de Hausdorff.

Definicao 22. Seja X um conjunto nao vazio. Uma coleccao τ de subconjuntos

de X (isto e, τ ⊂ P(X)) diz-se uma topologia em X se verificar o seguinte:

(1) ∅ ∈ τ e X ∈ τ .

(2) Se A ∈ τ e B ∈ τ , entao A ∩B ∈ τ .

(3) Se I e um conjunto arbitrario de ındices e Aλ ∈ τ para todo λ ∈ I, entao⋃λ∈I

Aλ tambem e um elemento de τ .

Observe-se que no item 3 da definicao anterior, nao e feita qualquer restricao ao

conjunto I de ındices, pelo que o mesmo pode ser um conjunto nao numeravel.

Definicao 23. Seja X um conjunto nao vazio e τ uma topologia em X. Ao par

(X, τ ) chama-se espaco topologico.

Definicao 24. Seja X um conjunto nao vazio e τ uma topologia em X. Se A ∈ τ

diz-se que A e um conjunto aberto em relacao a topologia τ . Se Ac ⊂ τ , entao

A diz-se fechado relativamente a topologia τ .

Note-se que ha conjuntos que podem ser simultaneamente abertos e fechados em

relacao a mesma topologia. Por exemplo, como ∅ e X pertencem sempre a τ e sao o

complementar um do outro, entao ∅ e X sao sempre abertos e fechados para qualquer

topologia. Note-se tambem que um conjunto pode ser aberto para uma topologia e nao

o ser para outra.

Proposicao 14. Seja X um conjunto nao vazio e τ uma topologia em X. Se

A1, . . . , An e uma coleccao de n conjuntos abertos em relacao a topologia τ , entao

A1 ∩ . . . ∩ An e tambem um conjunto aberto relativamente a essa topologia.


Demonstracao. Se A1, A2 ∈ τ sabe-se, por definicao de topologia, que A1∩A2 ∈

τ . Agora, se A1∩A2, A3 ∈ τ entao (A1∩A2)∩A3 ∈ τ . Repetindo este processo recursivo

mais n− 3 vezes chega-se ao resultado pretendido. �

Apresentam-se agora alguns exemplos muito simples de topologias a semelhanca

dos exemplos ja apresentados de σ-algebras.

Exemplo 21. Seja X um conjunto nao vazio e τ = {∅, X}. Entao, τ e uma

topologia em X.

O item 1 da definicao de topologia esta automaticamente verificado. O mesmo

acontece com o item 2, visto que ∅ ∩X = X ∩ ∅ = ∅ ∈ τ . Tambem se verifica o item

3, ja que X ∪ ∅ = X ∈ τ .

Esta topologia chama-se topologia indiscreta ou topologia trivial e e a menor topo-

logia que se pode formar em X. �

Exemplo 22. Seja τ = P(X) a coleccao de todos os subconjuntos de X. Entao, τ

e uma topologia em X.

Verifica-se o item 1 da definicao de topologia porque tanto X como ∅ sao elementos

de P(X). Alem disso, dados A e B dois subconjuntos de X, entao A∩B ⊂ X pelo que

A∩B e um elemento de P(X). Se I e um conjunto arbitrario de ındices e Aλ ⊂ X para

todo λ ∈ I, entao⋃λ∈I

Aλ tambem e um subconjunto de X e, portanto, e um elemento

de τ = P(X).

Esta topologia chama-se topologia discreta e e a maior topologia que se pode formar

em X. �

Exemplo 23. Seja X um conjunto nao vazio e A ⊂ X. Entao, {∅, A,X} e uma

topologia em X.

O primeiro item da definicao de topologia esta verificado por definicao e tendo em

conta que A ∩ X = A e A ∩ ∅ = ∅ fica tambem verificado o item 2 da definicao de

topologia. Quanto ao item 3, este tambem fica verificado ja que a reuniao de ∅ com


qualquer conjunto e igual a esse mesmo conjunto e a reuniao de X com qualquer seu

subconjunto e igual a X.

Esta topologia e a menor topologia em X que contem A. �

Exemplo 24. Seja X um conjunto nao vazio e A,B ⊂ X. Entao, {∅, A,B,A ∩

B,A ∪ B,X} e uma topologia em X. Esta topologia e a menor topologia em X que

contem A e B. �

No Capıtulo 1 foi introduzida a definicao de conjunto fechado (Definicao 10, pagina

11) num espaco metrico; apresenta-se agora, por ser necessario mais a frente, a definicao

de conjunto aberto.

Definicao 25. Seja (X, d) um e.m. e A um subconjunto de X. A diz-se um

conjunto aberto em relacao a metrica d se para todo x ∈ A existe pelo menos

um numero real δ > 0 de modo a que para todo x′ ∈ X tal que d(x, x′) < δ tem-se que

x′ tambem pertence a A.

Note-se que, por definicao, o conjunto X e um conjunto aberto em relacao a metrica

d. Convenciona-se que ∅ e tambem um conjunto aberto em relacao a metrica d.

Proposicao 15. Seja (X, d) um espaco metrico e seja τd a coleccao de todos os

subconjuntos abertos de X em relacao a d. Entao τd e uma topologia.

Demonstracao. Tal como ja foi dito, X e ∅ sao conjuntos abertos em relacao a

metrica d, pelo que pertencem a τd.

Sejam A e B dois subconjuntos de X pertencentes a τd. Se A ∩ B = ∅ entao

A ∩ B ∈ τd, caso contrario, considere-se x ∈ A ∩ B. Por x ser um elemento de A e

A pertencer a τd, sabe-se que existe pelo menos um valor δ1 > 0 tal que para todo

o elemento x′ de X que esteja a uma distancia inferior a δ1 de x se tem x′ ∈ A.

Analogamente, por x ser um elemento de B e B pertencer a τd, sabe-se que existe pelo

menos um valor δ2 > 0 tal que para todo o elemento x′ de X que verifica d(x, x′) < δ2

se tem x′ ∈ B. Basta agora escolher δ = min{δ1, δ2} e tem-se que todo o elemento de


X que diste de x menos que δ sera um elemento de A ∩ B. Logo, se A, B ∈ τδ entao

A ∩B ∈ τδ.

Considere-se agora I, um conjunto arbitrario de ındices e {Aλ}λ∈I uma coleccao de

elementos de τδ. Seja x ∈⋃λ∈I

Aλ; entao existe pelo menos um λ∗ ∈ I tal que x ∈ Aλ∗ .

E, nesse caso, existe pelo menos um δ > 0 tal que todos os elementos de X que distem

de x menos que δ sao tambem elementos de Aλ∗ ⊂⋃λ∈I

Aλ. Logo, se {Aλ}λ∈I e uma

coleccao arbitraria de elementos de τδ, entao⋃λ∈I

Aλ e tambem um elemento de τδ. �

Definicao 26. Seja (X, d) um espaco metrico. A topologia τd constituıda pela

coleccao de todos os subconjuntos abertos de X em relacao a metrica d chama-se to-

pologia induzida pela metrica d.

Definicao 27. Seja X um conjunto nao vazio e τ uma topologia em X. τ diz-se

uma topologia metrica se existir em X uma metrica d tal que τ = τd.

Exemplo 25. Quando X = R, o conjunto dos numeros reais, pode definir-se a

topologia metrica definida pela metrica euclidiana d(x, y) = |x − y|. Esta topologia

designa-se por topologia usual da recta, denota-se por τR e e constituıda pela coleccao

de todos os subconjuntos abertos de R em relacao a metrica euclidiana.

Para a < b ∈ R, todo o intervalo ]a, b[ e um elemento de τR e todo o intervalo [a, b]

e um conjunto fechado em relacao a τR. Veja-se, de seguida, porque:

]a, b[∈ τR se for aberto para a metrica d. Para qualquer x ∈]a, b[ seja δ = min{d(x, a),

d(x, b)}. Para todo x′ ∈ R tal que d(x, x′) < δ vem d(x, x′) < d(x, a) e d(x, x′) < d(x, b).

Usando estas duas desigualdades tem-se, por um lado, d(x′, a) ≤ d(x′, x) + d(x, a) <

d(x, b) + d(x, a) = d(a, b) (porque a < x < b) e, por outro lado, de forma analoga,

d(x′, b) ≤ d(x′, x) + d(x, b) < d(x, a) + d(x, b) = d(a, b).

Se as distancias de x′ a a e de x′ a b sao ambas inferiores a distancia entre a e b,

entao x′ ∈]a, b[. Portanto, ]a, b[ e aberto para a metrica euclidiana e, consequentemente,

]a, b[∈ τR.


Veja-se agora o caso do conjunto [a, b] cujo complementar e R\[a, b] =]−∞, a[∪]b,+∞[.

Verifique-se que ] −∞, a[∈ τR. Para isso, seja x ∈] −∞, a[ e seja δ = d(x, a). Para

qualquer x′ ∈ R tal que d(x, x′) < δ vem que x′ < x + d(x, a) = a porque x < a,

donde x′ ∈]−∞, a[ e, portanto, ]−∞, a[ e aberto para a metrica d. De forma analoga

tambem se prova que ]b,+∞[ e aberto para d. Como foi visto na demonstracao da

Proposicao 15, se ] −∞, a[ e ]b,+∞[ sao ambos abertos para a metrica euclidiana, o

mesmo se podera dizer de ]−∞, a[∪]b,+∞[. Entao ([a, b])c ∈ τR e [a, b] e fechado em

relacao a τR. �

Como cada topologia e, por si, um subconjunto de P(X), entao faz sentido consi-

derar reunioes e interseccoes de topologias.

Proposicao 16. Seja X um conjunto nao vazio e {τλ, λ ∈ I} uma coleccao de

topologias em X (cada uma indexada por um elemento λ de um conjunto de ındices

I arbitrario). Entao, o subconjunto τI de P(X) dado por τI =⋂λ∈I

τλ e tambem uma

topologia em X.

Demonstracao. Ha que ver se τI =⋂λ∈I

τλ verifica os tres items da definicao de

topologia. Como ∅ e X pertencem, por definicao de topologia, a todos os conjuntos τλ

com λ ∈ I, entao tambem se tem que ∅ ∈ τI e que X ∈ τI , pelo que o primeiro item

esta resolvido.

Para verificar o segundo item, considere-se que A,B ⊂ X sao elementos de τI .

Nesse caso, por definicao de τI , sabe-se que A,B ∈ τλ para todo λ ∈ I. Como τλ

e uma topologia, entao tambem se tem que A ∩ B ∈ τλ para todo λ ∈ I. Entao,

A ∩B ∈⋂λ∈I

τλ = τI , como se pretendia.

O item 3 demonstra-se de forma analoga. Considera-se que {Aµ, µ ∈ J} (onde

J e uma coleccao arbitraria de ındices) e uma coleccao de elementos de τI ; entao

{Aµ, µ ∈ J} e uma coleccao de elementos de cada τλ qualquer que seja λ ∈ I. Como,

para todo λ ∈ I, τλ e uma topologia, entao sabe-se que⋃µ∈J

Aµ e tambem um elemento

de cada τλ e, portanto, tambem e um elemento de⋂λ∈I

τλ = τI . �


O resultado anterior e importante porque fornece um metodo para gerar topologias.

Definicao 28. Seja A uma coleccao qualquer de subconjuntos de X. A interseccao

de todas as topologias que contem A como um subconjunto chama-se topologia gerada

por A e denota-se por τ [A].

Assim, cada coleccao A de subconjuntos de um conjunto X tem automaticamente

uma topologia associada: a que e gerada por A. Coleccoes convenientes de subconjun-

tos de X podem gerar topologias uteis.

Existem agora as condicoes necessarias para definir a σ-algebra de Borel.

Definicao 29. Seja X um conjunto nao vazio e τ uma topologia em X. A σ-

algebra gerada pela topologia τ chama-se σ-algebra de Borel associada a topologia τ

em X e denota-se porM[τ ]. Os seus elementos chamam-se conjuntos de Borel ou

conjuntos Borelianos.

De outro modo, pode dizer-se que a famılia de subconjuntos de Borel de um dado

conjunto X e a menor famılia de conjuntos que verifica:

a) Qualquer conjunto aberto e um conjunto de Borel e qualquer conjunto fechado

e um conjunto de Borel.

b) Se A1, A2, . . . e uma coleccao numeravel de conjuntos de Borel, entao∞⋃i=1

Ai,∞⋂i=1

Ai e A1 \ A2 sao conjuntos de Borel.

Exemplo 26. A topologia usual da recta, τR, definida no Exemplo 25 que e cons-

tituıda pela coleccao de todos os subconjuntos abertos de R em relacao a metrica

euclidiana pode tambem ser definida de outra forma: seja A a coleccao de todos os

intervalos abertos ]a, b[ de R, com a < b. Tem-se que τR = τ [A], isto e, a topologia

usual e equivalente a topologia gerada pela coleccao de todos os intervalos abertos de

R.

Ja se sabe, pelo Exemplo 25, que A ⊂ τR. Como, por definicao, τ [A] e a menor

topologia que contem A, tem-se que τ [A] ⊂ τR. E necessario entao provar que τR ⊂


τ [A]. Pelo item 3 da definicao de topologia sabe-se que qualquer topologia que contenha

A contem tambem as reunioes arbitrarias de elementos de A. Se B e um elemento de

τR entao para cada x ∈ B existe um valor δ(x) > 0 tal que se |y− x| < δ, entao y ∈ B.

Pode portanto escrever-se que B =⋃x∈B

]x − δ(x), x + δ(x)[. Como todo o intervalo

do tipo ]x − δ(x), x + δ(x)[ e um elemento de A, vem que B, que e uma reuniao de

elementos de A, pertence a qualquer topologia que contenha A, nomeadamente a τ [A].

Portanto, τR ⊂ τ [A], como se pretendia. �

Exemplo 27. Os intervalos ]a, b[, [a, b[, ]a, b], com a < b e [a, b], com a ≤ b, sao

elementos da σ-algebra de Borel M[τR].

Como foi dito no Exemplo 25, pagina 64, para a, b ∈ R com a < b, tem-se que

]a, b[∈ τR e [a, b] e fechado relativamente a τR. Logo, o complementar de [a, b] e aberto

para τR, isto e, ] −∞; a[∪]b; +∞[ pertence a τR. Pode entao dizer-se que os conjun-

tos ]a, b[ e ] − ∞; a[∪]b; +∞[ sao elementos da σ-algebra gerada por τR - designada

por M[τR]. Por definicao de σ-algebra, se ] − ∞; a[∪]b; +∞[∈ M[τR] entao tambem

(]−∞; a[∪]b; +∞[)c = [a, b] ∈M[τR].

Sejam agora [a, b] e ]a′, b′[ elementos de M[τR] tais que a < a′ < b < b′. Entao,

pela Proposicao 11, pagina 58, [a, b]∩]a′, b′[=]a′, b] ∈M[τR]. Do mesmo modo, se ]a, b[ e

[a′, b′] sao elementos deM[τR], com a < a′ < b < b′, entao ]a, b[∩[a′, b′] = [a′, b[∈M[τR].

Se a = b, vem [a, b] = {a}. Por outro lado, ({a})c =] − ∞; a[∪]a; +∞[. Usando

de novo o Exemplo 25, pagina 64, sabe-se que os conjuntos ] − ∞; a[ e ]a; +∞[ per-

tencem a τR que e um subconjunto de M[τR]. Sendo M[τR] uma σ-algebra, entao

] − ∞; a[∪]a; +∞[∈ M[τR], o mesmo acontecendo com o seu complementar; isto e,

{a} ∈ M[τR]. �

Exemplo 28. Q e o Conjunto de Cantor (definido no Capıtulo 1, pagina 38) sao

ambos Borelianos.

Como foi visto no Exemplo 27, um conjunto do tipo {a}, com a ∈ R, pertence a

σ-algebra de Borel M[τR]. Considerem-se os conjuntos do tipo {a′}, tais que a′ ∈ Q.


Por Q ser numeravel e por definicao de σ-algebra tem-se que Q =⋃a′∈Q{a′} ∈ M[τR],

ou seja, o conjunto dos numeros racionais e um conjunto de Borel.

Ja o Conjunto de Cantor e nao numeravel. No entanto, em cada iteracao Bk da

sua construcao tem-se uma reuniao finita de intervalos fechados de R. Portanto cada

conjunto Bk correspondente a cada uma das iteracoes na construcao do Conjunto de

Cantor e um conjunto Boreliano. Como o Conjunto e Cantor e a interseccao numeravel⋂k∈N

Bk entao, pela Proposicao 12, pagina 58, conclui-se que o Conjunto de Cantor

tambem e um elemento da σ-algebra M[τR], ou seja, e Boreliano. �

Em geral, pode dizer-se que qualquer conjunto que possa ser construıdo, comecando

com conjuntos abertos ou fechados e tomando depois reunioes ou disjuncoes numeraveis

um numero finito de vezes, e um Conjunto de Borel. Os subconjuntos de Rn encontra-

dos neste trabalho sao, por norma, conjuntos de Borel.

Estao agora criadas as condicoes necessarias para a introducao do conceito de me-

dida.

Definicao 30. Seja X um conjunto nao vazio e M uma σ-algebra em X. Uma

medida em M e uma funcao µ que associa a cada elemento da σ-algebra M um

numero real nao negativo ou +∞, ou seja µ :M→ R+0 ∪ {+∞} tal que:

(1) µ(∅) = 0;

(2) Se {Ai}i∈N e uma coleccao numeravel e disjunta de elementos de M, entao

µ

(∞⋃i=1

Ai

)=∞∑i=1

µ(Ai).(Propriedade da aditividade numeravel ou σ-aditividade.)

Denota-se medida do conjunto A por µ(A).

A nocao de medida ultrapassa a nocao geometrica de comprimento, area e volume

que, alias, sao conceitos que so se aplicam a alguns sub-conjuntos de Rn. Pode-se,

por exemplo, definir uma medida que conta o numero de pontos de um conjunto ou

outra cujo valor para um conjunto seja 1 se ele contiver um determinado elemento

pre-definido, ou 0 no caso contrario. As medidas referentes as nocoes geometricas


de comprimento, area, etc. de sub-conjuntos de Rn sao conhecidas como medidas de

Lebesgue.

Vejam-se agora algumas propriedades basicas de uma medida decorrentes da

definicao anterior. Para tal, considere-se X um conjunto nao vazio, M uma σ-algebra

em X e µ uma medida em M.

Propriedade 1. Se A1, . . . , An e uma coleccao finita de elementos disjuntos de M,

entao µ(A1 ∪ . . . ∪ An) = µ(A1) + . . .+ µ(An).

Para obter esta igualdade, tendo em conta que µ(∅) = 0, basta definir Am = ∅

para m > n e aplicar o segundo item da definicao de medida.

Propriedade 2. Se A e B sao elementos de M tais que A ⊂ B, entao µ(A) ≤ µ(B).

Como A ⊂ B, entao B = A∪ (Ac ∩B) que e uma uniao disjunta de elementos

deM. Logo, pela propriedade anterior, vem µ(B) = µ(A) +µ(Ac∩B). Como

µ(Ac ∩B) ≥ 0, entao µ(A) ≤ µ(B).

Propriedade 3. Se {Aj}, j ∈ N, sao elementos de M com Aj ⊂ Aj+1, para todo

j ∈ N, entao limn→∞

µ(An) = µ(A), onde A =⋃n∈N

An.

Defina-se B1 = A1 e Ba = Aa \ Aa−1, para a ≥ 2. Entao, pelas hipoteses

enunciadas tem-se que An = B1 ∪ . . . ∪ Bn e A =⋃a∈N

Ba sendo as reunioes

disjuntas em ambos os casos. Assim, pela propriedade 1 e pelo item 2 da

definicao de medida, vem que µ(An) = µ(B1)+. . .+µ(Bn) e µ(A) =∑a∈N

µ(Ba),

donde µ(A) = limn→∞

µ(An).

Propriedade 4. Se {Aj}, j ∈ N, sao elementos de M com Aj+1 ⊂ Aj, para todo

j ∈ N, e se µ(A1) for finito, entao limn→∞

µ(An) = µ(A), onde A =⋂n∈N

An.

Defina-se Ca = A1 \Aa. Entao, pelas hipoteses enunciadas tem-se Cj ⊂ Cj+1.

Pela propriedade anterior, limn→∞

µ(Cn) = µ(C), onde C =⋃a∈N

Ca = A1 \ A.

Tem-se agora que A1 = An ∪ Cn e A1 = A ∪ C, duas reunioes disjuntas.

Portanto, µ(An) + µ(Cn) = µ(A) + µ(C). Assim, limn→∞

µ(An) + limn→∞

µ(Cn) =

µ(A) + µ(C) e, entao, limn→∞

µ(An) + µ(C) = µ(A) + µ(C).


Como µ(A1) e finito, entao µ(C) e µ(A) tambem sao finitos (porque sao

subconjuntos de A1). Subtraindo µ(C) a cada membro da ultima igualdade

obtem-se o pretendido.

As duas primeiras propriedades sao resultados desejados pela nocao intuitiva de

medida. A terceira propriedade diz que a medida de um conjunto mensuravel pode

ser aproximada “por dentro” pelas medidas de conjuntos mensuraveis, nele contidos,

termos de uma sucessao que convirja para ele. A ultima propriedade, de forma analoga

a anterior, diz que se um conjunto mensuravel tem medida finita, essa pode ser “apro-

ximada por fora” pelas medidas finitas de conjuntos mensuraveis de uma sucessao que

tenda para ele.

Definicao 31. Seja X um conjunto nao vazio e µ uma medida definida em X.

Se uma determinada afirmacao acerca dos elementos de X for falsa apenas para um

subconjunto de X de medida µ nula, diz-se que que essa afirmacao vale em quase

toda a parte relativamente a µ ou que e µ-quase em toda a parte. Escreve-se

de forma abreviada como q.t.p. ou µ-q.t.p..

Ha varios processos para a construcao de medidas que obedecam a determinadas

caracterısticas. Um desses processos e o de Caratheodory que e importante para a

construcao da medida de Hausdorff. Para compreender essa construcao e necessaria a

introducao do conceito de medida exterior. A Teoria da Medida Exterior foi, em grande

parte, desenvolvida por Caratheodory que foi tambem quem introduziu esse conceito.

Definicao 32. Seja X um conjunto nao vazio. Uma medida exterior µ em X

e uma funcao que a cada subconjunto de X associa um numero real maior ou igual a

zero, ou infinito, de modo que:

(1) µ(∅) = 0.

(2) Se A ⊂ B entao µ(A) ≤ µ(B).

(3) Para qualquer coleccao numeravel {Aj, j ∈ N} de subconjuntos de X tem-se

que µ

(⋃j∈N

Aj

)≤∑j∈N

µ(Aj).


Note-se que as medidas exteriores sao definidas sobre a totalidade dos subconjuntos

de X, ao contrario das medidas que sao definidas apenas sobre σ-algebras em X.

Outra distincao importante entre uma medida e uma medida exterior e que se A

for um conjunto e A1 e A2 forem dois subconjuntos proprios tais que A = A1 ∪A2, ha

casos em que µ(A) 6= µ(A1) + µ(A2). Isto contraria a nocao intuitiva de medida de

um conjunto. E, pela definicao de medida apresentada atras (Definicao 30, pagina 68),

isto nunca acontece com uma medida µ, se A, A1 e A2 forem elementos da σ-algebra

dos conjuntos mensuraveis por µ.

Relativamente a µ, se A1 e A2 sao dois subconjuntos de X, tem-se que µ(A1∪A2) ≤

µ(A1) + µ(A2). (Para confirmar isto basta considerar, no terceiro item da definicao de

medida exterior em X, Aj = ∅, para j > 2.)

A proposicao que se segue sera importante para a construcao da medida de Haus-

dorff.

Proposicao 17. Se {µλ, λ ∈ Λ} for uma famılia de medidas exteriores em X,

entao µ definida por µ = supλ∈Λ

µλ e tambem uma medida exterior em X.

Demonstracao. Ha que verificar se µ obedece aos tres items da definicao de

medida exterior.

Como µλ(∅) = 0, para todo λ ∈ Λ, entao µ(∅) = supλ∈Λ{µλ(∅)} = 0.

Sejam agora A e B dois subconjuntos de X tais que A ⊂ B. Como, por definicao

de medida exterior, µλ(A) ≤ µλ(B), para todo λ ∈ Λ, entao µ(A) = supλ∈Λ{µλ(A)} ≤

supλ∈Λ{µλ(B)} = µ(B).

Finalmente, seja {An, n ∈ N} uma coleccao numeravel de subconjuntos de X.

Como, novamente por definicao de medida exterior, se tem, para cada λ ∈ Λ, que

µλ

( ⋃n∈N

An

)≤∑n∈N

µλ(An), entao µ

( ⋃n∈N

An

)= sup

λ∈Λ

{µλ

( ⋃n∈N

An

)}≤

≤ supλ∈Λ

{∑n∈N

µλ(An)

}≤∑n∈N

supλ∈Λ{µλ(An)} =

∑n∈N

µ(An). �

O conceito de medida exterior sera agora utilizado no Teorema de Caratheodory.


Teorema 7 (Teorema de Caratheodory). Seja X um conjunto nao vazio, µ uma

medida exterior em X e Mµ a coleccao de todos os subconjuntos A de X que tenham

a seguinte propriedade:

Para todo E ⊂ X tem-se µ(E) = µ(E ∩ A) + µ(E ∩ Ac). (2.1)

Entao, Mµ e uma σ-algebra e a restricao µ de µ a Mµ e uma medida.

Este Teorema, embora pouco intuitivo, e importante porque fornece um metodo

para a construcao de medidas. E que por vezes e mais facil construir primeiro a medida

exterior sobre um conjunto X do que uma medida, ja que isso implicaria a definicao

previa de uma σ-algebra conveniente. O Teorema permite exibir a tal σ-algebra Mµ

para a qual µ e uma medida. Para a demonstracao deste Teorema sera necessario

provar previamente o resultado que se segue.

Lema 6. Seja X um conjunto nao vazio e Mµ a coleccao de todos os subconjuntos

de X que tenham a propriedade indicada no Teorema anterior. Se A1, . . . , An e uma

coleccao finita de n elementos de Mµ, entao, A1 ∪ . . .∪An tambem e um elemento de

Mµ, qualquer que seja n ∈ N.

Demonstracao. Prove-se primeiro para o caso n = 2. Para tal e necessario

verificar que µ(E) = µ(E∩(A∪B))+µ(E∩(A∪B)c), qualquer que seja o subconjunto

E de X. Dado um subconjunto qualquer E de X, seja E ′ = (A∪B)∩E. Como A ∈Mµ

tem-se que

µ(E ′) = µ(E ′ ∩ A) + µ(E ′ ∩ Ac),

isto e,

µ((A ∪B) ∩ E) = µ((A ∪B) ∩ E ∩ A) + µ((A ∪B) ∩ E ∩ Ac).


Mas,

(A ∪B) ∩ E ∩ A = (A ∪B) ∩ (E ∩ A) =

= (A ∩ (E ∩ A)) ∪ (B ∩ (E ∩ A)) =

= (E ∩ A) ∪ (B ∩ (E ∩ A)) = E ∩ A.

porque B ∩ (E ∩ A) ⊂ E ∩ A. E tambem,

(A ∪B) ∩ E ∩ Ac = [(A ∩ Ac) ∪ (B ∩ Ac)] ∩ E = B ∩ Ac ∩ E.

Donde,

µ((A ∪B) ∩ E) = µ(A ∩ E) + µ(B ∩ Ac ∩ E). (2.2)

Por outro lado, como A e um elemento de Mµ tem-se que µ(E) = µ(A ∩ E) +

µ(Ac ∩ E); aplicando nesta segunda parcela o facto de B tambem ser um elemento de

Mµ vem que µ(E) = µ(A∩E) +µ(Ac∩E ∩B) +µ(Ac∩E ∩Bc). Aplicando agora aos

dois primeiros termos do segundo membro a igualdade (2.2) e aplicando ao terceiro o

facto de Ac ∩Bc = (A∪B)c obtem-se µ(E) = µ((A∪B)∩E) +µ(E ∩ (A∪B)c), como

se pretendia demonstrar.

Aplicando agora o metodo da inducao matematica obtem-se o que se pretende. �

Demonstracao do Teorema de Caratheodory. Em primeiro lugar demonstrar-se-a

que o conjunto Mµ e uma σ-algebra. Para tal, considere-se A um elemento de Mµ

e E um subconjunto qualquer de X. Para ver se Ac tambem pretence a Mµ ha que

confirmar se esse conjunto obedece a propriedade que define Mµ no enunciado do

Teorema. Ora, tendo em conta que (Ac)c = A tem-se que

µ(E ∩ (Ac)) + µ(E ∩ (Ac)c) = µ(E ∩ (Ac)) + µ(E ∩ (A)

que e igual a µ(E) por hipotese, porque A ∈Mµ. Por outro lado, como ∅ e o comple-

mentar de X e vice-versa e como tambem se tem E∩X = E, E∩∅ = ∅ e µ(∅) = 0, entao

vem que µ(E) = µ(E∩∅)+µ(E∩∅c) que e equivalente a µ(E) = µ(E∩Xc)+µ(E∩X)

e, portanto, fica provado que ∅ e X pertencem a Mµ.


Mµ verifica, portanto, os dois primeiros items da definicao de σ-algebra. Para

demonstrar que tambem verifica o terceiro item, convem provar previamente que, se

A e B forem dois elementos de Mµ o mesmo acontece com A ∩ B e A \ B. Ora,

A ∩ B = (Ac ∪ Bc)c. Pelo que foi visto no inıcio desta demonstracao sabe-se que Ac

e Bc pertencem a Mµ. Pelo lema 6 tem-se que Ac ∪ Bc tambem pertence a Mµ, logo

A ∩ B ∈ Mµ. Por outro lado, A \ B = A ∩ Bc. Como A e Bc sao elementos de Mµ

entao, pelo que foi visto agora, tambem A ∩Bc = A \B esta em Mµ.

Verifique-se entao agora que Mµ obedece a terceira propriedade da definicao de

σ-algebra. Pretende-se demonstrar que se {Aj, j ∈ N} e uma coleccao numeravel de

elementos deMµ, entao A′ =⋃j∈N

Aj tambem o e. Sendo E um subconjunto generico de

X, tem-se sempre que E = (E∩A′)∪(E∩A′c), pelo que µ(E) ≤ µ(E∩A′)+µ(E∩A′c)

por µ ser uma medida exterior. Basta provar que µ(E) ≥ µ(E ∩A′) + µ(E ∩A′c) para

demonstrar que A′ ∈Mµ.

Sabe-se que, para qualquer sub-conjunto E ′ de X e para qualquer elemento A de

Mµ se tem, por definicao de Mµ, que

µ(E ′) = µ(E ′ ∩ A) + µ(E ′ ∩ Ac). (2.3)

Considere-se E ′ da forma

E ′ = (A ∪B) ∩ E, (2.4)

com E ⊂ X e A,B ∈ Mµ com A ∩ B = ∅. Como (A ∪ B) ∩ E ∩ A = [(A ∩ E) ∪

(B ∩ E)] ∩ A = (A ∩ E ∩ A) ∪ (B ∩ E ∩ A) = (A ∩ E) ∪ ∅, porque A ∩ B = ∅, entao,

(A ∪B) ∩E ∩A = A ∩E; e tambem,(A ∪B) ∩E ∩Ac = [(A ∩Ac) ∪ (B ∩Ac)] ∩E =

B∩Ac∩E = B∩E porque, se A∩B = ∅, entao Ac∩B = B; entao, de (2.3) e de (2.4)

vem que µ((A ∪B) ∩E) = µ(A ∩E) + µ(B ∩E). Daqui pode retirar-se em particular

que, se B1, . . . , Bn sao elementos disjuntos de Mµ, entao µ(E ∩ (B1 ∪ . . . ∪ Bn)) =

µ(E ∩B1) + . . .+ µ(E ∩Bn).

Defina-se, para n ≥ 2, B1 = A1 e Bn = An \ (A1 ∪ . . . ∪ An−1). Tem-se que para

todo i, j ∈ {1, . . . , n} com i 6= j, Bj e elemento de Mµ, Bi ∩Bj = ∅ en⋃k=1

Bk =n⋃k=1

Ak.


Tem-se ainda, pelo Lema 6, que se B1, . . . , Bn e uma coleccao finita de n elementos de

Mµ, entaon⋃k=1

Bk tambem e um elemento de Mµ e, portanto,

µ(E) = µ

(E ∩

(n⋃k=1

Bk

))+ µ

(E ∩

(n⋃k=1

Bk

)c), (2.5)

para todo E ⊂ X, sendo a primeira parcela da adicao igual an∑k=1

µ(Bk ∩E) porque os

conjuntos Bk sao disjuntos dois a dois.

Se se considerar agora uma coleccao numeravel de conjuntos {B′k, k ∈ N} em que

B′k = Bk, para k = 1, . . . , n tem-se quen⋃k=1

B′k ⊂⋃k∈N

B′k e, portanto,

(n⋃k=1

Bk

)c⊃( ⋃

k∈NB′k

)c. Daı vem que

µ

(E ∩

(n⋃k=1

Bk

)c)≥ µ

(E ∩

(⋃k∈N

B′k

)c).

Voltando a equacao (2.5) tem-se agora que

µ(E) ≥n∑k=1

µ(Bk ∩ E) + µ

(E ∩

(⋃k∈N

B′k

)c).

Como esta desigualdade e valida para qualquer n ∈ N, entao tambem se tem que

µ(E) ≥∞∑k=1

µ(B′k ∩ E) + µ

(E ∩

(⋃k∈N

B′k

)c). (2.6)

Mas a primeira parcela da adicao, pela definicao de medida exterior, e maior ou igual

que µ

( ⋃k∈N

(B′k ∩ E)

)que, por sua vez, e igual a µ

(E ∩

( ⋃k∈N

B′k

)).

Das duas ultimas desigualdades obtem-se, finalmente, que

µ(E) ≥ µ

(E ∩

(⋃k∈N

B′k

))+ µ

(E ∩

(⋃k∈N

B′k

)c)

que e o mesmo que µ(E) ≥ µ

(E ∩

( ⋃k∈N

Ak

))+µ

(E ∩

( ⋃k∈N

Ak

)c)porque

n⋃k=1

B′k =

n⋃k=1

Bk =n⋃k=1

Ak. Esta, entao, demonstrado que Mµ e uma σ-algebra.

Falta agora provar a segunda parte do Teorema que diz que a medida exterior µ

e uma medida quando restrita aos elementos da σ-algebra Mµ. Para isso, ha que


demonstrar que µ

( ⋃k∈N

Bk

)=∑k∈N

µ(Bk). De (2.6) e tendo em conta que para qual-

quer k ∈ N, B′k = Bk, vem que µ(E) ≥∞∑k=1

µ(Bk ∩ E) + µ

(E ∩

( ⋃k∈N

Bk

)c)≥

µ

(E ∩

( ⋃k∈N

Bk

))+ µ

(E ∩

( ⋃k∈N

Bk

)c)= µ(E), pelo que se obtem a igualdade

µ(E) =∞∑k=1

µ(Bk ∩ E) + µ

(E ∩

( ⋃k∈N

Bk

)c)para todo E ⊂ X; em particular, esta

igualdade e valida para E =⋃k∈N

Bk. Fazendo essa substituicao na expressao anterior

vem µ

( ⋃k∈N

Bk

)=∑k∈N

µ(Bk) que era o que se pretendia. �

Esta demonstrado o Teorema de Caratheodory que sera utilizado na construcao da

medida de Hausdorff.

Definicao 33. Seja X um conjunto nao vazio, M uma σ-algebra em X e µ uma

medida em M. Diz-se que µ e uma medida completa se todos os elementos A de

M com medida nula verificam o seguinte: se B ⊂ A, entao B ∈M.

Por outras palavras, uma medida em M e completa se todos os subconjuntos de

um conjunto de medida nula forem mensuraveis relativamente a M.

O Teorema que se segue relaciona medidas completas com o Teorema de Ca-

ratheodory.

Teorema 8. Seja µ uma medida exterior em X, um conjunto nao-vazio. Sejam

Mµ e µ a σ-algebra e a medida associadas a µ pela construcao de Caratheodory. Entao,

µ e completa.

Demonstracao. Considerem-se as condicoes enunciadas no Teorema e sejam A,

B e E subconjuntos de X tais que B ⊂ A, com µ(A) = 0. Pretende-se mostrar que B

e µ-mensuravel. Entao, pelo segundo item da definicao de medida exterior tem-se as

seguintes desigualdades

µ(E ∩B) ≤ µ(E ∩ A) ≤ µ(A) = µ(A) = 0, (2.7)

µ(E ∩Bc ∩ A) ≤ µ(A) = µ(A) = 0, (2.8)


e

µ(E ∩ A) ≤ µ(A) = µ(A) = 0, (2.9)

porque E ∩B esta contido em E ∩A e os conjuntos E ∩B, E ∩Bc ∩A e E ∩A estao

todos contidos em A.

Verifique-se agora que B e µ-mensuravel. De (2.7) vem que µ(E∩B)+µ(E∩Bc) =

µ(E ∩Bc). Aplicando agora o facto de A ser µ-mensuravel vem que µ(E ∩Bc) e igual

a µ(E ∩Bc∩Ac) +µ(E ∩Bc∩A), que e o mesmo que µ(E ∩ (B∪A)c) +µ(E ∩Bc∩A),

que se resume a µ(E ∩ Ac) porque B esta contido em A e por (2.8). Como, por (2.9),

µ(E ∩A) = 0, entao tambem se pode escrever que µ(E ∩Ac) = µ(E ∩Ac) + µ(E ∩A)

que e igual a µ(E) porque A e µ-mensuravel. Assim, estabeleceu-se que para todo

E ⊂ X se tem µ(E) = µ(E ∩B) +µ(E ∩Bc) e, portanto, B e µ-mensuravel e µ e uma

medida completa. �

Discutir-se-a agora a classe de medidas exteriores que sao definidas em conjuntos

dotados de uma metrica e que tenham uma relacao “cordial” com a topologia in-

duzida por essa metrica - as chamadas medidas exteriores metricas. O Teorema de

Caratheodory, por si so, nao diz que conjuntos sao mensuraveis. A grande importancia

das medidas exteriores metricas reside no facto, demonstrado mais a frente, de que

todo conjunto o Boreliano (em relacao a topologia induzida pela metrica) e mensuravel

no sentido de Caratheodory, ou seja, satisfaz a condicao do Teorema de Caratheodory.

Assim, a σ-algebra dos conjuntos mensuraveis por uma medida exterior metrica contem

a σ-algebra de Borel, isto e, provar-se-a que os Conjuntos de Borel sao mensuraveis no

sentido de Caratheodory.

Definicao 34. Seja X um conjunto nao vazio dotado de uma metrica d. Dados

dois conjuntos A,B ⊂ X define-se a distancia entre A e B, denotada por d∗(A,B),

da seguinte forma: d∗(A,B) = inf{d(a, b), a ∈ A, b ∈ B}.

Note-se que esta definicao e diferente e nao equivalente as definicoes de “distancia

de A a B” (Definicao 5, pagina 7) e de “distancia de Hausdorff entre A e B” (Definicao


6, pagina 8) introduzidas no Capıtulo 1. Alem disso, e facil verificar que d∗ nao e uma

metrica em P(X) (basta ver que para dois conjuntos A e B diferentes entre si, mas de

interseccao nao vazia nao se tem d∗(A,B) > 0).

Proposicao 18. Seja X um conjunto nao vazio dotado de uma metrica d e sejam

A e B dois subconjuntos de X tais que d∗(A,B) > 0. Entao, as aderencias de A e de

B nao tem pontos em comum, isto e, ad(A) ∩ ad(B) = ∅.

Demonstracao. Sejam A e B dois subconjuntos de X tais que d∗(A,B) =

inf{d(a, b), a ∈ A, b ∈ B} > 0 e considere-se que existe c ∈ ad(A) ∩ ad(B). Nesse

caso existe tambem uma sucessao de Cauchy {an}n∈N de pontos A que converge

para c e existe uma sucessao {bn}n∈N de pontos B que tambem converge para c.

Entao, pela propriedade da desigualdade triangular de d tem-se, para todo n ∈ N

que d(an, bn) ≤ d(an, c) + d(c, bn). Como o segundo membro desta desigualdade tende

para zero quando n tende para∞ e como d(an, bn) ≥ 0 para todo n ∈ N, obtem-se que

d(an, bn) tambem tende para zero quando n tende para∞, o que contraria a hipotese de

d∗(A,B) = inf{d(a, b), a ∈ A, b ∈ B} > 0. Portanto, se a distancia entre dois conjuntos

e positiva, a interseccao das suas aderencias e vazia. �

Definicao 35. Uma medida exterior µ em X diz-se uma medida exterior metrica

(em relacao a metrica d) se para todos os conjuntos A,B ⊂ X tais que d∗(A,B) > 0

se tiver µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B).

Definicao 36. Seja X um conjunto nao vazio e {An}n∈N uma sucessao de sub-

conjuntos de X. Designa-se por limite maximo da sucessao de conjuntos e

representa-se por limAn o conjunto de todos os elementos de X que pertencem a uma

infinidade de conjuntos da sucessao; designa-se por limite mınimo da sucessao de

conjuntos e representa-se por limAn o conjunto de todos os elementos de X que per-

tencem a todos os conjuntos da sucessao a partir de certa ordem em diante. Quando

coincidam os limites maximo e mınimo de uma sucessao de conjuntos, ao conjunto

comum chama-se limite da sucessao de conjuntos e representa-se por limAn.


Definicao 37. Uma sucessao {An}n∈N de conjuntos diz-se crescente, ou ex-

pansiva, se An ⊂ An+1 para todo n ∈ N. Uma sucessao {An}n∈N de conjuntos diz-se

decrescente, ou contractiva, se An ⊃ An+1 para todo n ∈ N.

Proposicao 19. Se uma sucessao de conjuntos {An}n∈N for crescente ou decres-

cente entao limAn existe. Se {An}n∈N e crescente, tem-se limAn =∞⋃k=1

Ak. Se {An}n∈N

e decrescente, entao limAn =∞⋂k=1

Ak.

Demonstracao. Seja {An}n∈N uma sucessao crescente de conjuntos. Entao,∞⋂k=n

Ak = An Logo, limAn =∞⋃n=1

∞⋂k=n

Ak =∞⋃n=1

An. Por outro lado, pelo facto de An ser

crescente tem-se que∞⋃k=n

Ak =∞⋃k=1

Ak. Logo, limAn =∞⋂n=1

∞⋃k=n

Ak =∞⋂n=1

∞⋃k=1

Ak =∞⋃k=1

Ak.

Assim, limAn = limAn e, portanto, limAn existe e e igual a∞⋃k=1

Ak.

A demonstracao para o caso das sucessoes decrescentes e analoga. �

O lema tecnico que se segue tem consequencias importantes a respeito da mensu-

rabilidade de conjuntos Borelianos, assunto que se ira tratar logo a seguir.

Lema 7. Sejam X um conjunto nao vazio dotado de uma metrica d, τd a topologia

em X induzida por d e µ uma medida exterior metrica em X. Seja {An}n∈N uma

sucessao crescente de subconjuntos de X tal que d∗(An, A\An+1) > 0 para todo n ∈ N,

onde A = limn→∞

An =⋃m∈N

Am. Entao, µ(

limn→∞

An

)= lim

n→∞µ(An).

Demonstracao. Defina-se uma nova sucessao {Bn, n ∈ N} de subconjuntos de

X de modo que B1 = A1, Bk = Ak \ Ak−1, k ≥ 2. Por definicao vem que

Bk ⊂ Ak para todo k ∈ N (2.10)

e que,

para l − k ≥ 2, Bl ⊂ A \ Ak+1 (2.11)

porque Bl = Al \ Al−1 ⊂ A \ Al−1 ⊂ A \ Ak+1 sendo que a ultima relacao se deve ao

facto de Al−1 ⊃ Ak+1. Entao,

para todos k e l com l − k ≥ 2 tem-se d∗(Bk, Bl) > 0 (2.12)


porque d∗(Bk, Bl) = inf{d(x, y), x ∈ Bk, y ∈ Bl} que, por (2.10) e por (2.11) e maior

que

inf {d(x, y), x ∈ Ak, y ∈ A \ Ak+1} isto e, que d∗(Ak, A \ Ak+1), que e positiva por

hipotese. Por definicao de medida exterior metrica, vem de (2.12) que µ(B1 ∪ B3) =

µ(B1)+µ(B3), µ(B2∪B4) = µ(B2)+µ(B4) e, por inducao matematica, tem-se tambem

que

µ

(m⋃a=1

B2a−1

)=

m∑a=1

µ (B2a−1) e µ

(m⋃a=1

B2a

)=

m∑a=1

µ (B2a) para todo m ≥ 1.

(2.13)

Ha dois casos a considerar:

(1) Pelo menos uma das somas em (2.13) diverge quando m→∞;

(2) Ambas as somas em (2.13) convergem quando m→∞.

No primeiro caso observe-se que

para todo k ∈ N, Ak =k⋃a=1

Ba. (2.14)

Logo, para todo k ∈ N tem-seA2k−1 ⊃k⋃a=1

B2a−1 eA2k ⊃k⋃a=1

B2a. Portanto, µ (A2k−1) ≥

µ

(k⋃a=1

B2a−1

)que, por (2.13), e igual a

k∑a=1

µ (B2a−1) e µ (A2k) ≥ µ

(k⋃a=1

B2a

)que, no-

vamente por (2.13), e igual ak∑a=1

µ (B2a) .

Consequentemente, se qualquer das somas em (2.13) divergir quando m→∞ ter-

se-a limn→∞

µ (An) = ∞, o que implica µ(A) = ∞ porque se A ⊃ An para todo n, entao

µ(A) ≥ µ(An), tambem para todo n. Nesse caso ter-se-ıa, entao, µ(A) = limn→∞

µ(An) =

∞, provando o lema nas condicoes do caso 1.

Veja-se agora o segundo caso. De (2.14) vem que A =∞⋃a=1

Aa = Aj ∪∞⋃

a=j+1

Ba para

qualquer j. Logo,

µ(A) = µ

(Aj ∪

∞⋃a=j+1

Ba

)≤ µ(Aj) + µ

(∞⋃

a=j+1

Ba

)≤ µ (Aj) +

∞∑a=j+1

µ(Ba), (2.15)


sendo a ultima soma convergente, por hipotese. Pela mesma razao, tem-se que

limj→∞

∞∑a=j+1

µ(Ba) = 0

e, portanto, de (2.15) vem que

µ(A) ≤ limj→∞

µ(Aj). (2.16)

Do facto de A ⊃ An para todo n, segue que µ(A) ≥ µ(An), donde

µ(A) ≥ limn→∞

µ(An). (2.17)

Daqui, (2.16) e (2.17) implicam a conclusao da demonstracao do lema para as condicoes

do caso 2. �

Teorema 9. Sejam X um conjunto nao vazio dotado de uma metrica d, τd a

topologia em X induzida por d e µ uma medida exterior metrica em X. EntaoM[τd] ⊂

Mµ, isto e, os conjuntos Borelianos de X (segundo a topologia τd) sao mensuraveis

para a medida exterior metrica µ.

Demonstracao. E suficiente demonstrar que todo abertoA ∈ τd satisfaz a condicao

de mensurabilidade de Caratheodory (2.1), pagina 72, para todo E ⊂ X, pois isso ga-

rantira que τd ⊂Mµ, o que implica queM[τd] ⊂Mµ. Para tal, e suficiente provar que

µ(E) ≥ µ(E ∩ A) + µ(E ∩ Ac) para todo A ∈ τd e todo E ⊂ X, pois a desigualdade

oposta, µ(E) ≤ µ(E ∩A) + µ(E ∩Ac), e sempre satisfeita por uma medida exterior µ.

Para cada m ∈ N, seja Em ⊂ E ∩ A o conjunto

Em =

{x ∈ E ∩ A : d(x, y) ≥ 1

mpara todo y ∈ Ac

}.

Para todo x ∈ Em e para todo y ∈ E ∩ Ac tem-se d(x, y) ≥ 1m

porque E ∩ Ac ⊂ Ac e,

portanto, d(Em, E ∩ Ac) ≥ 1m

para todo m ∈ N. Logo, por µ ser uma medida exterior

metrica, tem-se

µ (Em ∪ (E ∩ Ac)) = µ(Em) + µ(E ∩ Ac). (2.18)


Porem, como Em ⊂ E ∩ A, vem que Em ∪ (E ∩ Ac) ⊂ (E ∩ A) ∪ (E ∩ Ac) = E e,

portanto, µ (Em ∪ (E ∩ Ac)) ≤ µ(E). Assim, por (2.18) tem-se que

para todo m ∈ N, µ(E) ≥ µ(Em) + µ(E ∩ Ac). (2.19)

Se se provar que limm→∞

µ(Em) = µ(E∩A), ter-se-a por (2.19) que µ(E) ≥ µ(E∩A)+

µ(E ∩Ac) o que completara esta demonstracao. Para estabelecer a relacao pretendida,

percorrer-se-ao tres passos sucessivos.

O primeiro passo e provar que

E ∩ A =⋃m∈N

Em. (2.20)

Prove-se isto agora. Sabe-se que para todo m ∈ N se tem Em ⊂ E ∩A e, portanto,⋃m∈N

Em ⊂ E∩A. Por outro lado, se x ∈ E∩A entao existe r(x) > 0 tal que todo z ∈ X

com d(z, x) < r(x) tambem pertence a A, pois, por hipotese, A e aberto relativamente

a τd. Logo, para todo y ∈ Ac tem-se obrigatoriamente que d(y, x) ≥ r(x). Assim, se

x ∈ E∩A existe algum m grande o suficiente tal que d(y, x) ≥ 1m

para todo y ∈ Ac. Isso

equivale a dizer que se x ∈ E∩A, entao x ∈ Em para algum m. Logo, E∩A ⊂⋃m∈N

Em,

o que prova (2.20).

O segundo passo e demonstrar que,

limm→∞

Em = E ∩ A. (2.21)

Ora, como a sucessao de conjuntos Em e crescente, ou seja, Em ⊂ Em′ para todos

m ≤ m′, tem-se que⋃m∈N

Em = limm→∞

Em; daqui e de (2.20), sai imediatamente (2.21).

No terceiro passo demonstra-se que

para todo m ∈ N se verifica d (Em, (E ∩ A) \ Em+1) > 0. (2.22)

De facto, se z ∈ (E ∩ A) \ Em+1 entao, pela definicao de Em+1, existe pelo menos

um ponto y ∈ Ac tal que d(z, y) < 1/(m + 1). Alem disso, para qualquer x ∈ Em

ter-se-a pela definicao de Em que d(x, y) ≥ 1m

. Da desigualdade triangular de d vem

que d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) e, portanto, que d(x, z) ≥ d(x, y)−d(z, y) >1

m− 1

m+ 1.


Assim, d∗ (Em, (E ∩ A) \ Em+1) = inf {d(x, z), x ∈ Em, z ∈ (E ∩ A) \ Em+1} >1

m−

1

m+ 1> 0, o que prova (2.22).

Por (2.21), por (2.22) e pelo Lema 7, tem-se µ(E ∩ A) = limm→∞

µ(Em).

Logo, de (2.19) vem que µ(E) ≥ limm→∞

µ(Em) + µ(E ∩Ac) = µ(E ∩A) + µ(E ∩Ac),

o que completa a demonstracao. �

Definicao 38. Seja X um conjunto nao vazio e A um subconjunto nao vazio de

X. Seja B = {Bn ⊂ X,n ∈ N} uma coleccao numeravel de subconjuntos de X. B

diz-se um recobrimento numeravel de A se A ⊂⋃n∈N

Bn.

Convenciona-se que {∅} e um recobrimento numeravel de ∅.

Apresenta-se agora um esquema para a construcao de medidas exteriores que sera

aplicavel na construcao da medida de Hausdorff.

Proposicao 20. Seja X um conjunto nao vazio e seja R ⊂ P(X) uma coleccao

nao vazia de subconjuntos de X tal que ∅ ∈ R. Denote-se por GR a coleccao de todos

os subconjuntos numeraveis de R. Considere-se a funcao h : R → R+0 ∪ {∞} tal que

h(∅) = 0. Defina-se a funcao H : GR → R+0 ∪ {∞} da seguinte forma: para cada

R = {Rn ∈ R, n ∈ N} ∈ GR tem-se H(R) =∑

Rn∈Rh(Rn). Entao:

(1) H(∅) = 0.

(2) Se Rb ∈ GR para todo b ∈ N, entao H

(⋃b∈NRb

)≤∑b∈N

H(Rb).

(H

(⋃b∈NRb

)esta bem definida porque uma reuniao numeravel de conjuntos

numeraveis e tambem numeravel.)

Demonstracao. Tem-se ∅ ∈ R. A coleccao {∅}n∈N = {∅} ∈ GR. H(∅) =∑n∈N

h(∅) = 0 porque h(∅) = 0. Passe-se agora a demonstracao do segundo ponto. Se

Rb ∈ GR, entao e da forma Rb = {Rbn ∈ R, n ∈ N}. Logo,

⋃b∈NRb = {Rb

n ∈ R, n ∈

N, b ∈ N}. Portanto, H

(⋃b∈NRb

)=∑′ h(Rb

n) sendo∑′ a soma feita entre elementos

distintos de {Rbn ∈ R, n ∈ N}. Entao,

∑′ h(Rbn) ≤

∑b∈N

∑n∈N

h(Rbn) =

∑b∈N

H(Rb), como se

pretendia. �


O Teorema seguinte descreve um esquema para a construcao de medidas exteriores.

Teorema 10. Seja X um conjunto nao vazio. Suponha-se que existe uma coleccao

nao vazia R ⊂ P(X) de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:

(1) ∅ ∈ R.

(2) Se GR denota a coleccao de todos os subconjuntos numeraveis de R, entao

existe uma funcao H : GR → R+0 ∪ {∞} com as seguintes propriedades:

(a) H({∅}) = 0.

(b) Se Rb ∈ GR para todo b ∈ N, entao H

(⋃b∈NRb

)≤∑b∈N

H(Rb)

(3) Todo o subconjunto A de X possui pelo menos um recobrimento numeravel por

elementos de R. Denote-se por CR(A) ∈ GR a coleccao (nao vazia) de todos

os recobrimentos numeraveis de A por elementos de R

Com isto, defina-se para cada A ⊂ X, µ(A) ≡ µR(A) = inf{H(R),R ∈ CR(A)}.

Entao, a aplicacao µ : P(X)→ R+0 ∪ {∞}, definida acima, e uma medida exterior

em X.

Alguns comentarios antes da demonstracao:

(1) Cada R ∈ CR(A) e uma coleccao numeravel do tipo {Bn ∈ R, n ∈ N} de

elementos de R tais que⋃

Bm∈RBm ⊃ A.

(2) Como CR(A) ∈ GR, entao CR(A) pertence ao domınio da funcao H.

(3) Se {Rb, b ∈ N} for uma coleccao numeravel de elementos de CR(A), entao⋃b∈NRb e tambem um elemento de CR(A):

Rb ∈ CR(A),∀b ∈ N⇒⋃b∈N

Rb ∈ CR(A).

(4) No Teorema 10 a funcao H desempenha um papel especial, pois µ e definida

como o ınfimo entre certos valores de H. Em algumas situacoes, como e o

caso da medida de Hausdorff, a funcao H e definida a partir de uma funcao h,

dotada de significado geometrico, definida em R como descrito na Proposicao

20.


Demonstracao. E necessario provar que µ verifica os tres items da definicao de

medida exterior; veja-se a Definicao 32, pagina 70.

Quanto ao primeiro item, como {∅} e um recobrimento numeravel de ∅, entao

H({∅}) = 0 e, por definicao de µ, tem-se que µ(∅) = 0, ja que uma medida nao toma

valores inferiores a zero.

Passando a verificacao do segundo item, considere-se A e B dois subconjuntosX tais

que A ⊂ B. Entao, CR(B) ⊂ CR(A) porque qualquer coleccao R ∈ R que recobre B

tambem recobre qualquer subconjunto de B. Entao infR∈CR(A)

{H(R)} ≤ infR∈CR(B)

{H(R)},

ou seja, µ(A) ≤ µ(B).

Falta provar o terceiro item, isto e, que µ

(⋃i∈N

Ai

)≤∑i∈N

µ (Ai) onde Ai ⊂ X para

todo i ∈ N. Para isso, observe-se previamente que se A e um subconjunto qualquer de

X, entao, pela definicao de ınfimo de um conjunto de numeros, e possıvel encontrar,

para qualquer numero real r > 0, pelo menos um elementoR de CR(A) tal que H(R) ≤

µ(A) + r. Assim, fixado ε > 0, existe para cada b ∈ N um Rb ∈ CR(Ab) tal que

H(Rb) ≤ µ(Ab) +ε

2b. (2.23)

Sabe-se que a coleccao J =⋃b∈NRb e tambem uma coleccao numeravel de conjuntos

que cobre o conjunto⋃i∈N

Ai e que, por isso, pertence a CR

(⋃i∈N

Ai

). Assim, por de-

finicao de H, tem-se que H(J ) e menor ou igual a∞∑b=1

H(Rb) que, por (2.23), e menor

ou igual a∞∑b=1

(µ(Ab) +

ε

2b

), que e o mesmo que

∑b∈N

µ(Ab) + ε.

Como J ∈ CR

(⋃i∈N

Ai

), segue que

µ

(⋃i∈N

Ai

)= inf

{H(R),R ∈ CR

(⋃i∈N

Ai

)}≤ H(J ) ≤

∑b∈N

µ(Ab) + ε.

Como isto e valido para qualquer ε > 0, entao µ

(⋃i∈N

Ai

)≤∑b∈N

µ(Ab), que e o que

faltava para provar que µ e uma medida exterior. �

Os dois ultimos resultados (a Proposicao 20 e o Teorema 10 indicam os ingredientes

necessarios para a construcao de uma medida exterior em X - a saber: uma coleccao R


de subconjuntos de X e uma funcao positiva h, definida em R - que devem satisfazer

as condicoes dessa proposicao e desse Teorema.

2. Medida e Dimensao de Hausdorff

Vai agora proceder-se a construcao da medida de Hausdorff. A construcao do

conceito de medida foi feita no contexto geral dos espaco metricos; porem, nesta seccao,

a medida de Hausdorff sera introduzida nos espacos Rn com a metrica usual ja que sao

estes os espacos que contem a maior parte dos fractais que interessa estudar. Portanto,

doravante, e quando nada for dito em contrario, considera-se X = Rn, d a metrica

euclidiana e τd a topologia induzida em Rn por essa metrica.

Depois de construıda a medida de Hausdorff, sera definida a dimensao de Hausdorff.

2.1. A Medida de Hausdorff.

Definicao 39. Seja R um subconjunto nao vazio do espaco euclidiano Rn. Chama-

se diametro de R a |R| = sup{|x− y| : x, y ∈ R}.

O diametro de um conjunto e, portanto, em limite, a maior distancia que pode obter-

se entre dois pontos seus. Para o conjunto vazio, convenciona-se que o seu diametro e

zero.

Definicao 40. Seja A um subconjunto nao vazio de Rn e {Ri} uma coleccao finita

ou numeravel de subconjuntos nao vazios de Rn de diametro menor ou igual a δ, isto

e, 0 < |Ri| ≤ δ, ∀i. Diz-se que {Ri} e um recobrimento-δ de A se A ⊂⋃i

Ri.

Rn munido da metrica euclidiana e um espaco metrico no qual todo o seu subcon-

junto possui pelo menos um recobrimento-δ, qualquer que seja δ > 0. Basta pensar em

Rn coberto por uma rede de “cubos” de diametro δ. Dado A ⊂ Rn, um recobrimento-δ

possıvel para A e aquele constituıdo pelos “cubos” dessa rede que intersectam A.

E necessario agora, para δ > 0 fixo, definir os ingredientes que satisfazem as

condicoes da Proposicao 20 e do Teorema 10.

2. MEDIDA E DIMENSAO DE HAUSDORFF 87

(1) Uma coleccao de conjuntos Rδ de Rn: Seja Rδ a coleccao de todos os subcon-

juntos de Rn com diametro menor ou igual a δ. Rδ = {R ⊂ Rn : |R| ≤ δ}

Considera-se que ∅ ∈ Rδ.

(2) Uma funcao positiva hs definida em Rδ, para s ≥ 0: Para cada R ∈ Rδ, seja

hs(R) = |R|s. Define-se tambem hs(∅) = 0.

(3) Para cada subconjunto A de Rn, uma coleccao CRδ(A) de recobrimentos nu-

meraveis de A por elementos de Rδ : Seja CRδ(A) a coleccao de todos os

recobrimentos de A por coleccoes numeraveis de sub-conjuntos de Rn com

diametro menor ou igual a δ.

Note-se que CRδ(A) e, portanto, a coleccao de todos os recobrimentos-δ de A por

elementos de Rn e inclui recobrimentos-δ finitos: como ∅ ∈ Rδ, basta considerar que um

recobrimento-δ finito e um recobrimento-δ numeravel em que apenas uma quantidade

finita de elementos da coleccao que o constitui e diferente do conjunto vazio.

Ora, com os elementos que agora se definiram e com o facto de todo o subconjunto

de Rn possuir um recobrimento-δ, a Proposicao 20 e o Teorema 10 garantem que

µδ,sH (A) = inf{Hs(R),R ∈ CRδ(A)} =

= inf

{∑Rn∈R

hs(Rn),R ∈ CRδ(A)

}=

= inf

{∑Rn∈R

|Rn|s,R ∈ CRδ(A)

} (2.24)

definida para todo A ⊂ Rn, e uma medida exterior em Rn. De uma forma mais simples

e de modo a aliviar a notacao, agora que o conceito de medida esta explanado, pode

escrever-se

µδ,sH (A) = inf

{∑n

|Rn|s : {Rn} e um recobrimento-δ de A

}(2.25)

Ou seja, consideram-se todos os recobrimentos de A de conjuntos com diametro menor

ou igual a δ e procura-se o ınfimo das somas das s-potencias dos diametros dos conjuntos

que constituem cada um desses recobrimentos.


Pela proposicao 17,

µsH(A) = supδ>0

µδ,sH (A)

= supδ>0

inf {Hs(R),R ∈ CRδ(A)}

= supδ>0

inf

{∑Rn∈R


}

= supδ>0

inf

{∑Rn∈R

|Rn|s,R ∈ CRδ(A)

},

(2.26)

definida para todo A ⊂ Rn, e tambem uma medida exterior em Rn, denominada

medida exterior de Hausdorff de dimensao s. Simplificando a notacao escreve-se

µsH(A) = supδ>0

inf

{∑n


}. (2.27)

Os resultados que se seguem revelam algumas propriedades das medidas exteriores

de Hausdorff e a proxima proposicao fornece uma definicao alternativa e util da medida

exterior de Hausdorff de dimensao s ≥ 0.

Proposicao 21. Para cada s ≥ 0 e todo A ⊂ Rn tem-se que se 0 < δ1 < δ2, entao

µδ1,sH (A) ≥ µδ2,sH (A). Logo, para todo A ⊂ Rn,

µsH(A) = limδ→0

µδ,sH (A) =

= limδ→0

inf{Hs(R),R ∈ CRδ(A)} =

= limδ→0

inf

{∑Rn∈R


}.

(2.28)

Demonstracao. Quanto menor for δ, menos recobrimentos-δ de A existem por-

que a classe dos recobrimentos-δ1 de A esta contida na classe dos recobrimentos δ2 de

A, sempre que δ1 ≤ δ2; portanto, o ınfimo µδ,sH (A) aumenta. Isto e, se δ1 < δ2 entao

Rδ1 ⊂ Rδ2 , porque todo o recobrimento-δ1 e tambem um recobrimento-δ2. Logo, para

todo A ⊂ Rn tem-se que CRδ1(A) ⊂ CRδ2

(A) e, portanto, inf{Hs(R),R ∈ CRδ1(A)} ≥

inf{Hs(R),R ∈ CRδ2(A)}, o que significa que µδ1,sH (A) ≥ µδ2,sH (A). Portanto, µδ,sH (A)


cresce a medida que δ tende para zero, pelo que tomar o supremo de µδ,sH (A) e o equi-

valente a determinar o limδ→0

µδ,sH (A). Este existe e pode ser zero ou finito ou infinito. �

Antes de se explorarem as consequencias da proposicao anterior, prove-se o resul-

tado que se segue, que sera importante para a discussao da nocao de dimensao Hausdorff

de um conjunto.

Proposicao 22. Para todo δ > 0 e para cada A ⊂ Rn tem-se que δ−t(µδ,tH (A)

)≥

δ−u(µδ,uH (A)

)sempre que 0 ≤ t ≤ u.

Demonstracao. Por definicao, todo conjunto R ∈ Rδ tem diametro menor ou

igual a δ donde, evidentemente, 0 ≤ |R|δ≤ 1. Como se escolheu atras, tem-se, para

s ≥ 0, hs(R) = |R|s. Portanto, para cada R ∈ Rδ a funcao de s, h∗s(R), definida para

s ≥ 0 por h∗s(R) = δ−rhs(R) =

(|R|δ

)se decrescente. Portanto, h∗t (R) ≥ h∗u(R),

ou seja, δ−tht(R) ≥ δ−uhu(R) sempre que 0 ≤ t ≤ u. A conclusao pretendida segue

imediatamente a partir da definicao (2.24). �

E possıvel agora afirmar o seguinte:

Proposicao 23. Para cada s ≥ 0, a medida exterior de Hausdorff de dimensao s

definida por

µsH(A) = supδ>0

inf

{∑n


}, para todo A ⊂ Rn

ou por

µsH(A) = limδ→0

inf

{∑n


}, para todo A ⊂ Rn

e uma medida exterior metrica.

Demonstracao. Recorde-se a definicao de medida exterior metrica (Definicao 35,

pagina 78). Suponha-se que A e B sao dois subconjuntos de Rn tais que d∗(A,B) = ε,

com ε > 0. Se R e um recobrimento-δ de A∪B e se δ e escolhido de forma a ser menor

que ε, entao pode afirmar-se que R e a reuniao de tres conjuntos disjuntos: RA, RB

e R0, sendo RA um recobrimento de A que nao intersecta B, RB um recobrimento de


B que nao intersecta A e R0 que nao intersecta nem A nem B. Se assim nao fosse,

existiria um aberto em R que intersectaria A e B, o que so seria possıvel se o seu

diametro fosse maior que ε.

Note-se que RA ∈ CRδ(A), que RB ∈ CRδ

(B) e que R0 pode ser vazio. Tem-se,

portanto,

∑Rn∈R

hs(Rn) =∑

Rn∈RA

hs(Rn) +∑

Rn∈RB

hs(Rn) +∑

Rn∈R0

hs(Rn)

porque RA, RB e R0 sao conjuntos disjuntos. Logo,

∑Rn∈R

hs(Rn) ≥∑

Rn∈RA

hs(Rn) +∑

Rn∈RB

hs(Rn).

Assim, para todo δ tal que 0 < δ < ε, ao tomar o ınfimo de∑

Rn∈Rhs(Rn) para

todos os elementos R de CRδ(A ∪ B), podem restringir-se aos conjuntos da forma

R = RA ∪RB, como descrito acima, com R0 vazio. Daqui vem que

µδ,sH (A ∪B) = inf{Hs(R),R ∈ CRδ(A)}+ inf{Hs(R),R ∈ CRδ

(B)} =

= µδ,sH (A) + µδ,sH (B).

Entao, passando ao limite quando δ → 0 obtem-se

µsH(A ∪B) = limδ→0

µsH(A ∪B) = limδ→0

µδ,sH (A) + limδ→0

µδ,sH (B) = µsH(A) + µsH(B).

Portanto, µsH e uma medida exterior metrica. �

Na posse da construcao e dos factos acima descritos e evocando o Teorema de Ca-

ratheodory (Teorema 7), o Teorema 8 e o Teorema 9 retiram-se as conclusoes expressas

a seguir:

Teorema 11 (A Medida de Hausdorff de Dimensao s ≥ 0). Para cada s ≥ 0,

considere-se no e.m. Rn com a metrica usual, a medida exterior µsH definida por

µsH(A) = limδ→0

µδ,sH (A) =

= limδ→0

inf

{∑n


},

(2.29)


para todo A ⊂ Rn. Seja MµsHa σ-algebra formada por todos os conjuntos A ⊂ Rn

mensuraveis segundo Caratheodory, ou seja, que satisfazem µsH(E) = µsH(E ∩ A) +

µsH(E∩Ac) para todo E ⊂ Rn. A restricao de µsH aMµsHdefine uma medida, denotada

por µsH , denominada medida de Hausdorff de dimensao s. Essa medida e com-

pleta e todo conjunto Boreliano de Rn segundo τd, a topologia induzida pela metrica

euclidiana, e mensuravel, ou seja M[τd] ⊂MµsHpara todo s ≥ 0.

Definicao 41. A medida µsH restrita a M[τd] denomina-se medida de Borel-

Hausdorff e denota-se por µsH .

Note-se queM[τd] nao depende de s e, portanto, faz sentido perguntar como varia

com s a medida de um conjunto Boreliano fixo. A proposicao que se segue fornece

algumas respostas.

Proposicao 24. Seja E ∈M[τd]. Entao sao validas as seguintes afirmacoes:

(1) µs1H (E) ≥ µs2H (E) sempre que 0 ≤ s1 ≤ s2 <∞.

(2) Se existir t ≥ 0 tal que 0 < µtH(E) <∞, entao µsH(E) =

∞, se 0 ≤ s < t

0, se s > t

.

Demonstracao. Por definicao, todo conjunto R ∈ Rδ tem diametro menor ou

igual a δ. Logo, se 0 < δ < 1 vem 0 ≤ |R| < 1 para todo R ∈ Rδ. Consequentemente,

para δ fixo e 0 < δ < 1 e para cada R ∈ Rδ, a funcao de s definida para s ∈ [0,+∞[

por hs(R) = |R|s e decrescente, ou seja, hs1(R) ≥ hs2(R) sempre que 0 ≤ s1 ≤ s2.

Logo, pela definicao (2.25) de µδ,sH , tem-se para 0 < δ < 1 e 0 ≤ s1 ≤ s2 que µδ,s1H (E) ≥

µδ,s1H (E), para todo E ⊂ Rn. Pela definicao (2.28) tem-se µsH(E) = limδ→0

µδ,sH (E) para

todo s ≥ 0 e, portanto, segue que µs1H (E) ≥ µs2H (E) sempre que 0 ≤ s1 ≤ s2 < ∞ ja

que δ se torna menor que 1 quando tende para zero.

Pela Proposicao 22, sabe-se que para todo δ > 0 e sempre que 0 ≤ s ≤ t se

tem µδ,sH (E) ≥ δs−t(µδ,tH (E)

). Neste caso, se µtH(E) = lim

δ→0µδ,tH (E) for nao-nulo, o

limite µsH(E) = limδ→0

µδ,sH (E) sera infinito. Se s > t, tambem pela Proposicao 22, vem

µδ,sH (E) ≤ δs−t(µδ,tH (E)

), para todo δ > 0. Neste caso, se µtH(E) = lim

δ→0µδ,tH (E) < ∞


tem-se µsH(E) = limδ→0

µδ,sH (E) = 0 sempre que s > t. Assim, se 0 < µtH(E) < ∞ para

algum t > 0 vem µsH(E) =∞ para todo 0 ≤ s < t e µsH(E) = 0 para todo s > t. �

2.2. A Dimensao de Hausdorff. A partir da Proposicao 24 define-se o seguinte:

Definicao 42. Seja E um subconjunto boreliano de Rn. Se existir um numero

dimH(E) com 0 ≤ dimH(E) ≤ ∞ tal que µsH(E) =

∞, se 0 ≤ s < dimH(E)

0, se dimH(E) < s <∞, e

com 0 < µsH(E) <∞ para s = dimH(E), ao numero dimH(E), que e unico, chama-se

dimensao Hausdorff do conjunto Boreliano E.

O grafico de µsH(E) em funcao de s, na Figura 2.1 mostra que existe um valor crıtico

da variavel onde µsH(E) “salta” de ∞ para 0; a esse valor crıtico chama-se dimensao

de Hausdorff de E e representa-se por dimH(E).

Figura 2.1. Grafico de µsH em funcao de s.

Tem-se dimH(E) = inf{s : µsH(E) = 0} = sup{s : µsH(E) =∞} porque

µsH(E) =

∞ se s < dimH E

0 se s > dimH E

e se s = dimH(E), entao µsH(E) pode ser 0 ou ∞ ou 0 < µsH(E) <∞.

Exemplo 29. Seja A um conjunto de k pontos distintos em (Rn,Euclidiana). Entao

µ0H(A) = k e µpH(A) = 0, para p > 0.


µ0H(A) = lim

δ→0µδ,0H (A) = lim

δ→0inf{

∑n

|Rn|0 : {Rn} e recobrimento-δ de A}.

Como A e constituıdo por k pontos distintos de Rn, para δ suficientemente pequeno

serao necessarios k subconjuntos distintos de Rn para formar um recobrimento-δ de

A (note-se que δ pode ser tao pequeno quanto se queira, mas nao zero porque, por

definicao de recobrimento-δ, toma-se δ 0) e tem-se:

µ0H(A) = lim

δ→0inf{

k∑n=1

|Rn|0 : {Rn} e recobrimento-δ de A} = k.

Seja p > 0.

µpH(A) = limδ→0

µδ,pH (A) =

= limδ→0

inf{k∑

n=1

|Rn|p : {Rn} e recobrimento-δ de A} =

=k∑

n=1

0p = 0.

Alem disso, ja se sabia pela Proposicao 24 que, se µ0H = k < ∞, entao µpH(A) = 0

para todo p > 0. Portanto, dimH(A) = 0. �

Exemplo 30. Se A e um conjunto infinito e numeravel de pontos distintos em

(Rn,Euclidiana), entao, µ0H(A) =∞ e µpH(A) = 0, para p > 0.

Basta substituir no exemplo anterior k por +∞. Obtem-se µ0H(A) = +∞ e µpH(A) =

0 para p > 0. Como µsH(A) so esta definida para s ≥ 0, entao tambem se tem neste

caso que dimH(A) = 0. �

Portanto, se A e um conjunto finito ou numeravel de pontos distintos de

(Rn, Euclidiana), entao µ0H(A) e igual ao numero de pontos de A e esse conjunto tem

dimensao de Hausdorff igual a zero.

A seguinte proposicao e util:

Proposicao 25. Se E1 e E2 sao conjuntos Borelianos e E1 ⊂ E2, entao dimH(E1) ≤

dimH(E2).

Demonstracao. Como µsH e uma medida em M[τd] para todo s ≥ 0, tendo

E1 ⊂ E2, vem que µsH(E1) ≤ µsH(E2). Quando µsH(E2) = 0 para algum s segue que


µsH(E1) = 0 para o mesmo s, porque uma medida nao toma valores negativos. Assim,

a dimensao de Hausdorff de E1 que e o valor de s em que µsH(E1) “salta” de ∞ para

0, sera sempre igual, ou inferior, a dimensao de Hausdorff de E2. �

Note-se que, para um espaco metrico X em geral, e possıvel haver conjuntos com

dimensao de Hausdorff infinita. Porem, no caso em que X = Rn com a metrica

Euclidiana usual, pode provar-se que dimH(E) ≤ n para todo o Boreliano E ⊂ Rn.

Isso sera discutido de seguida, apos a introducao de uma definicao que sera necessaria.

Definicao 43. Em Rn com a metrica euclidiana, chama-se cubo compacto a um

conjunto K da forma K = [a1; a1 + 1]× . . .× [an; an + 1], com a1, . . . , an ∈ R.

Em R, K e um intervalo unitario; em R2, K e um quadrado de lado 1 e em R3, K

e um cubo com 1 de aresta. O diametro de K ⊂ Rn e√n.

Proposicao 26. Considere-se o espaco metrico Rn com a metrica usual. Seja K ⊂

Rn um cubo compacto. Entao, µnH(K) <∞ e, portanto, dimH(K) ≤ n, dimH(Rn) ≤ n

e dimH(E) ≤ n para todo o Boreliano E ⊂ Rn.

Demonstracao. K e um Boreliano de Rn por ser fechado. Tomando um numero

inteiro positivo m e dividindo a aresta de K em m partes iguais, pode escrever-se K

como uma uniao de mn cubos fechados, cada um de aresta 1m

. O diametro de cada um

desses cubos fechados menores e 1m

√n. Logo, se δ > 1

m

√n, o conjunto dos mn cubos

forma um recobrimento-δ de K pelo que, pela definicao, µδ,nH (K) ≤ mn(

1m

√n)n

= nn2 .

Como nn2 nao depende de m, conclui-se que µδ,nH (K) ≤ n

n2 para todo δ > 0 e, portanto,

µnH(K) ≤ nn2 <∞ para qualquer n ∈ N. Pela Proposicao 24 vem, entao, que µsH(K) =

0 para todo s > n, pelo que dimH(K) ≤ n. Como Rn e a soma numeravel de cubos

fechados limitados (compactos), segue tambem que µsH(Rn) = 0 para todo s > n e,

portanto, que dimH(Rn) ≤ n, donde, pela Proposicao 25, dimH(E) ≤ n para todo o

Boreliano E ∈ Rn. �


Portanto, todo o conjunto Boreliano de Rn tem uma dimensao Hausdorff finita e

menor ou igual a n. A dimensao Hausdorff pode assumir valores nao-inteiros. Ver-se-ao

exemplos disso em breve.

As medidas de Hausdorff generalizam as ideias comuns de comprimento, area, vo-

lume, etc.

Havera interesse em perceber o que acontece a medida de uma conjunto quando

este e transformado por uma aplicacao, em particular por uma aplicacao que verifica

a condicao de Holder de expoente α.

Definicao 44. Seja F ⊂ Rn e f : F → Rm uma aplicacao. Diz-se que f verifica

a condicao de Holder de expoente α se |f(x)− f(y)| ≤ c|x− y|α,∀x, y ∈ F para

constantes c > 0 e α > 0.

Proposicao 27. Se f e uma aplicacao que verifica a condicao de Holder de expo-

ente α entao f e contınua.

Demonstracao. Pretende-se mostrar que para qualquer δ > 0, existe um valor

ε > 0 tal que, se |x − y| < ε, entao |f(x) − f(y)| < δ. Ora, se f e uma aplicacao que

verifica a condicao de Holder para determinados c > 0 e α > 0 entao, dado δ > 0,

basta escolher ε = α

√δc

e, sempre que |x−y| < ε tem-se que |f(x)−f(y)| ≤ c|x−y|α <

c εα = δ. �

Proposicao 28. Seja F ⊂ Rn e f : F → Rm uma aplicacao que verifica a

condicao de Holder de expoente α para constantes c > 0 e α > 0. Entao, para cada

s, µsαH(f(F )) ≤ c

sαµsH(F ).

Demonstracao. Se {Ri} for um recobrimento-δ de F , entao, como para qual-

quer dos conjuntos Ri se tem |f(F ∩ Ri)| ≤ c|Ri|α vem que {f(F ∩ Ri)} e um

recobrimento-ε de f(F ), sendo ε = c δα. Assim,∑i

|f(F ∩ Ri)|sα ≤ c

sα

∑i

|Ri|s e,

portanto, µε, sα

H (f(F )) ≤ csα µδ,sH (F ). Quando δ tende para zero, o mesmo acontece com

ε, o que origina µsαH(f(F )) ≤ c

sαµsH(F ). �


Definicao 45. Uma aplicacao f : F ⊂ Rn → Rm que verifica a condicao de Holder

de expoente α = 1 diz-se uma aplicacao de Lipschitz. Nesse caso, para quaisquer

dois elementos x e y de F tem-se |f(x)− f(y)| ≤ c|x− y|, com c > 0.

Uma contraccao (veja-se a Definicao 13, pagina 22) e uma aplicacao de Lipschitz

em que 0 < c < 1.

Definicao 46. Uma aplicacao f : F ⊂ Rn → Rm que verifica c1 |x− y| ≤

|f(x)− f(y)| ≤ c2 |x− y| ,∀x, y ∈ F , onde 0 < c1 ≤ c2 < ∞ diz-se uma aplicacao

bi-Lipschitz.

Corolario 1. Seja F ⊂ Rn e f : F → Rm uma aplicacao.

a) Se f e uma transformacao de Lipschitz, entao µsH(f(F )) ≤ csµsH(F ).

b) Se f : F → Rm e uma aplicacao bi-Lipschitz, entao cs1µsH(F ) ≤ µsH(f(F )) ≤

cs2µsH(F ).

Demonstracao. Para demonstrar a) basta substituir α por 1 na Proposicao 28.

A demonstracao de b) e identica a da Proposicao 28 fazendo α = 1 e invertendo os

sinais de desigualdade. �

Corolario 2 (Propriedade do Redimensionamento a Escala). Se F ⊂ Rn e λ > 0,

entao µsH(λF ) = λsµsH(F ) onde λF = {λx : x ∈ F}, isto e, o conjunto F redimensio-

nado pelo factor λ .

Demonstracao. Basta considerar f : F ⊂ Rn → Rn tal que f(x) = λx. Tem-se

que, para quaisquer x, y ∈ F, |f(x) − f(y)| = λ|x − y| donde f e uma aplicacao de

Lipschitz em que c = λ. Pelo Corolario 1 tem-se que µsH(λF ) ≤ λsµsH(F ). Para obter

a desigualdade contraria, basta considerar a aplicacao g : λF → Rn tal que g(x) = 1λx.

Entao, g e uma aplicacao de Lipschitz com c = 1λ

e, novamente pelo Corolario 1, tem-se

µsH( 1λλF ) ≤

(1λ

)sµsH(λF ), isto e, µsH(λF ) ≥ λsµsH(F ). �

Definicao 47. Uma funcao f : F ⊂ Rn → Rn diz-se uma semelhanca se |f(x)−

f(y)| = c|x− y|, com c > 0, quaisquer que sejam x, y ∈ F.. Em particular,


Semelhanca de razao λ

Comprimento → λ× Comprimento

Area → λ2×Area

Volume → λ3×Volume

µsH → λs × µsH

Figura 2.2. Relacao entre medidas de figuras semelhantes.

a) se c = 1, f diz se uma isometria (tem-se |f(x) − f(y)| = |x − y| quaisquer

que sejam x, y ∈ F );

b) se c < 1, f diz-se, uma reducao;

c) se c > 1, f diz-se, uma ampliacao.

A c da-se o nome de razao de semelhanca.

As reducoes sao casos particulares de contraccoes.

Corolario 3. Se f e uma isometria, entao, µsH(f(F )) = µsH(F ).

Demonstracao. Basta considerar c1 = c2 = 1 no Corolario 1 ou considerar λ = 1

no Corolario 2. �

Isto significa que as medidas de Hausdorff sao invariantes para as isometrias como

e o caso da translacao e da rotacao.

Apresentam-se agora dois exemplos onde serao utilizados alguns dos resultados

demonstrados.

Exemplo 31. Seja C o conjunto Poeira de Cantor no quadrado unitario. Em cada

iteracao, da construcao cada quadrado da lugar a quatro quadrados com lado igual a 14

do comprimento do lado dos quadrados da iteracao anterior, tal como mostra a Figura

2.3. Entao, 1 ≤ µ1H(C) ≤

√2, donde dimH(C) = 1.


Figura 2.3. As primeiras tres iteracoes na construcao do conjunto Poeira de Cantor.

Tomando o recobrimento-δ obvio para C constituıdo pelos 4k quadrados de lado

4−k (e portanto com diametro δ = 4−k√

2) de Ek, a k-esima iteracao da construcao

do conjunto, obtem-se a estimativa µδ,1H ≤ 4k4−k√

2. Quando k tende para infinito, δ

tende para zero e obtem-se µ1H ≤

√2.

Para se conseguir um ınfimo de µ1H considere-se a projeccao ortogonal no eixo das

abcissas, denotada por proj. A projeccao ortogonal nao aumenta as distancias, isto

e, |projx − projy| ≤ |x − y| para todo x, y ∈ R2. Portanto, proj e uma aplicacao de

Lipschitz. Considera-se que E0 e o quadrado unitario com o vertice inferior esquerdo

coincidente com a origem de um referencial ortonormado cujos semi-eixos positivos

contem os dois lados do quadrado adjacentes a esse vertice. Pela forma como C e

construıdo, a projeccao de C no eixo Ox e o intervalo [0, 1]. Pelo Corolario 1 vem

µ1H(f(C)) ≤ 11µ1

H(C), isto e, 1 = µ1H([0, 1]) ≤ µ1

H(C), porque µ1H([0, 1]) corresponde

ao comprimento de [0, 1]. Portanto, 1 ≤ µ1H(C) ≤

√2, pelo que dimH(C) = 1.

O mesmo se manteria se o processo de divisao de E0 fosse o de obter m2 quadrados

de lado 1m

, retendo um quadrado de cada coluna.

Usar a projeccao ortogonal para minimizar a medida de Hausdorff e um truque

que so funciona em circunstancias especiais e nao e a base de um metodo mais geral.

Normalmente conseguir um mınimo da muito mais trabalho do que neste exemplo.[2]

�

Exemplo 32. Seja C o Conjunto de Cantor em [0, 1]. Como foi visto no Exemplo

11 do Capıtulo 1, pagina 38, C e compacto e e totalmente desconexo (veja-se a Definicao

53 na pagina 104). O seu processo de construcao esta ilustrado na Figura 2.4.


Figura 2.4. As primeiras quatro iteracoes na construcao do Conjunto de Cantor.

Inicia-se com o intervalo [0, 1] e cada conjunto Bk correspondente a k-esima iteracao

e constituıdo por 2k intervalos de diametro igual a(

13

)k.

Ver-se-a em seguida que µ0H(C) = ∞ e que µ1

H(C) = 0, donde se conclui que o

conjunto de Cantor tem dimensao de Hausdorff entre 0 e 1. Depois disso, demonstrar-

se-a que para s = log 2/ log 3 = 0, 6309 . . . tem-se1

2≤ µsH(C) ≤ 1, donde se pode

concluir que dimH(C) = log 2log 3

.

Demonstre-se a primeira afirmacao. Para s = 0, seja δ <(

13

)k. Existem pelo menos

2k conjuntos em qualquer recobrimento-δ de C. Basta que os extremos maximos de

cada um dos 2k intervalos disjuntos, de diametro(

13

)ksejam elementos de C e nao

pertencam a um mesmo subconjunto de Bk. Logo,

µδ,0H = inf

{∑i

|Ri|0 : {Ri} e recobrimento-δ de C

}≥ 2k

[(1

3

)k]0

e µ0H(C) = lim

δ→0µδ,0H ≥ lim

δ→02k = +∞.

Para s = 1, seja δ > 0. Escolhe-se o menor k tal que(

13

)k ≤ δ e considera-se

o recobrimento-δ de C com exactamente 2k subconjuntos com diametro menor ou

igual a δ, tomando a interseccao de C com subintervalos de [0, 1]. Tem-se µδ,1H (C) =

inf

{∑i

|Ri|1 : {Ri} e recobrimento-δ deC

}≤ 2k

[(13

)k]1

e, quando δ tende para zero,

k tende para infinito. E vem µ1H(C) = lim

δ→0µδ,1H (C) ≤ lim

k→∞

(23

)k= 0.

Para demonstrar a segunda parte, utilize-se um metodo heurıstico: O Conjunto de

Cantor divide-se em duas partes: a parte esquerda, CE = C ∩ [0, 13] e a parte direita,

CD = C ∩ [23, 1]. Ambas sao semelhantes a C porque sao reducoes de C a escala de

13. Tem-se a reuniao disjunta C = CE ∪CD. Entao, pela Proposicao 23, para qualquer

s > 0 vem µsH(C) = µsH(CE) + µsH(CD). E pela propriedade do redimensionamento


a escala, Corolario 2, tanto µsH(CE) como µsH(CD) equivalem a(

13

)sµsH(C). Como na

primeira parte deste exemplo se concluiu que no valor crıtico s = dimH(C) se tem

0 ≤ µsH(C) ≤ 1, assuma-se que µsH(C) 6= 0; tem-se:

µsH(C) = 2

(1

3

)sµsH(C)⇔

⇔ 1 = 2

(1

3

)s⇔

⇔ s =log 2

log 3.

(2.30)

Para uma demonstracao mais rigorosa, considerem-se os intervalos de comprimento

3−k (k = 0, 1, 2, . . .) que constituem os conjuntos Bk de cada iteracao da construcao de

C e que formam um recobrimento {Ri} de C.

Daı, pode escrever-se que µ3−k,sH (C) ≤ 2k

(3−k)s

, porque s > 0.

Se s = log2log3

vem:

µsH(C) ≤ limk→∞

2k(3−k) log2log3 =

= limk→∞

[2

3log2log3

]k=

= limk→∞

1k = 1.

(2.31)

Demonstre-se agora que µsH(C) ≥ 12. Seja {Ri} um recobrimento-δ de C. Estando a

trabalhar em R pode assumir-se que Ri e sempre um intervalo ja que o seu diametro

tem que ser positivo. Como C e compacto, {Ri} pode ser uma coleccao finita de

subintervalos fechados de [0, 1]. Para cada um dos conjuntos Ri que constituem o

recobrimento {Ri}, seja k o inteiro tal que 3−(k+1) ≤ |Ui| ≤ δ < 3−k. Entao Ri

intersecta, no maximo, um dos intervalos de Bk ja que eles distam entre si pelo menos

3−k.

Se j ≥ k entao, por construcao, Ri intersecta, no maximo, 2j−k intervalos de Bj.

Se s = log 2log 3

, entao 12

= 3−s e pode escrever-se 2j−k = 2j3−sk ≤ 2j3s|Ri|s.


Se se escolher j suficientemente grande para que 3−(j+1) ≤ |Ri| ≤ δ para todos os

conjuntos Ri que compoem o recobrimento, entao, como {Ri} intersecta todos os 2j in-

tervalos de comprimento 3−j, contando os intervalos obtem-se 2j ≤∑i

2j3s|Ri|s. Daqui

vem∑|Ri|s ≥ 3−s = 1

2, donde µsH(C) = inf{

∑i

|Ri|s : {Ri} e recobrimento-δ de C} ≥1

2, como se pretendia.

Pode, portanto, concluir-se que dimH(C) = log 2log 3

.

Com esforco extra poder-se-ia mostrar que efectivamente µsH(C) = 1 para s = log2log3

.

O calculo da dimensao de Hausdorff pode ser muito trabalhoso mesmo para conjuntos

simples e normalmente a estimativa inferior e a mais difıcil de obter.[2] �

Veja-se agora o que acontece a dimensao de Hausdorff de um conjunto quando sofre

uma transformacao que verifica a condicao de Holder de expoente α.

Proposicao 29. Seja F ⊂ Rn e seja f : F → Rn uma aplicacao que satisfaz a

condicao de Holder de expoente α. Entao, dimH f(F ) ≤ 1

αdimH F .

Demonstracao. Se f satisfaz a condicao de Holder de expoente α, entao, |f(x)−

f(y)| ≤ c|x−y|α, quaisquer que sejam x, y ∈ F com c > 0 e α > 0. Pela Proposicao 28,

µsαH (f(F )) ≤ c

sαµsH(F ). Quando µH(F ) = 0, o mesmo acontece com µ

sαH (f(F )), entao

o valor de s em que µsαH (f(F )) “salta” de ∞ para zero e menor ou igual ao valor de s

em que o mesmo acontece com µsH(F ). Portanto, dimH (f(F )) ≤ sα

= 1α

dimH(F ). �

Corolario 4. a) Se f : F → Rm e uma aplicacao de Lipschitz, entao

dimH(f(F )) ≤ dimH F .

b) Se f : F → Rm e uma aplicacao bi-Lipschitz, entao dimH(f(F )) = dimH F .

Demonstracao. Para demonstrar a) basta substituir α por 1 na Proposicao 29.

Demonstra-se b) usando a alınea b) do Corolario 1: pela segunda desigualdade vem que,

sempre que µsH(F ) for zero, o mesmo acontece com µsH (f(F )) , donde dimH (f(F )) ≤

dimH(F ). Pela primeira desigualdade vem que, sempre que µsH(F ) for infinito, o mesmo

acontece com µsH (f(F )) , pelo que dimH(F ) ≤ dimH (f(F )) . Portanto, dimH (f(F )) =

dimH(F ). �


Portanto, a dimensao de Hausdorff e invariante para a transformacao bi-Lipschitz,

ou seja, nao pode haver uma transformacao bi-Lipschitz entre dois conjuntos com di-

mensoes de Hausdorff diferentes. Em topologia, dois conjuntos sao vistos como o mesmo

conjunto se existe um homeomorfismo entre eles; da mesma forma, em geometria frac-

tal, dois conjuntos poderao considerar-se o mesmo se existir uma bi-transformacao de

Lipschitz entre eles. Ou, de outra forma, dois fractais podem considerar-se o mesmo

(no sentido em que tem a mesma dimensao) se forem metricamente equivalentes. Para

utilizar este conceito ha que recordar as nocoes de espaco metrico e de metrica, intro-

duzidas no Capıtulo 1.

Definicao 48. Duas metricas d1 e d2 num espaco X dizem-se equivalentes se

existirem constantes 0 < c1 < c2 <∞ tais que c1d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ c2d1(x, y),∀(x, y) ∈

X ×X.

Uma ideia subjacente ao conceito de metricas equivalentes e a de que qualquer par

de metricas equivalentes dao a mesma nocao acerca da distancia entre dois pontos. E

como pensar numa maneira de deformar, de modo limitado, um espaco, e comparar

as distancias entre dois pontos, antes e depois da deformacao. Requerer a condicao de

equivalencia e o mesmo que exigir que nao haja uma deformacao (esticar ou encolher)

ilimitada do espaco. Isto introduz a ideia de espacos metricos equivalentes.[1]

Definicao 49. Dois espacos metricos (X1, d1) e (X2, d2) sao equivalentes se

existir uma funcao bijectiva h : X1 → X2 tal que a metrica d1 definida em X1 por

d1(x, y) = d2(h(x), h(y)),∀x, y ∈ X1 e equivalente a d1.

A definicao anterior corresponde a ter dois espacos metricos em que um deles e o

resultado de uma deformacao limitada do outro, sem esticar ou encolher infinitamente

e sem “dobragens”, “sobreposicoes” ou “rasgoes”.

Proposicao 30. Sejam A e B dois subconjuntos de Rn. Se A e B sao metricamente

equivalentes, entao existe entre eles uma aplicacao bi-Lipschitz.


Demonstracao. Sejam A e B dois subconjuntos de Rn metricamente equivalen-

tes. Entao existe uma funcao bijectiva h : A → B tal que c1|x− y| ≤ |h(x)− h(y)| ≤

c2|x− y|, para todo (x, y) ∈ A×A com 0 < c1 < c2 <∞. Dado isto, pode dizer-se que

h e uma aplicacao bi-Lipschitz entre A e B. �

O inverso desta proposicao so nao e assegurado porque na definicao de aplicacao

bi-Lipschitiz as constantes c1 e c2 tem de verificar 0 < c1 ≤ c2 < ∞ e a definicao de

espacos metricos equivalentes exige que 0 < c1 < c2 <∞.

Proposicao 31. A dimensao de Hausdorff de dois subconjuntos limitados e me-

tricamente equivalentes de (Rn,Euclidiana) e igual.

Demonstracao. Se A e B sao dois subconjuntos de Rn limitados e metricamente

equivalentes entao, pela Proposicao 30, sabe-se que existe entre eles uma funcao bijec-

tiva h : A → B (portanto B = h(A)) tal que h e uma aplicacao bi-Lipschitz e daqui,

pela alınea b) do Corolario 4, pagina 101, tem-se que dimH B = dimH A. �

Exemplo 33. Se f : R→ R e a funcao f(x) = x2 e F e um subconjunto qualquer

de R, entao dimH (f(F )) = dimH(F ).

Tem-se |f(x) − f(y)| = |x2 − y2| = |x − y||x + y|. Seja M = sup{|x| : x ∈ F} e

m = inf{|x| : x ∈ F}. Pode escrever-se m|x− y| ≤ |x− y||x+ y| ≤ 2M |x− y|. Entao f

e uma aplicacao bi-Lipschitz e, pelo Corolario 4, vem que dimH(f(F )) = dimH(F ). �

Exemplo 34. Seja f : R2 → R tal que f(x) = projx, isto e, f(x1, x2) = x1 para

todo (x1, x2) ∈ R2. Entao, como foi visto no Exemplo 31, pagina 97, tem-se, para

quaisquer x, y ∈ R2, |f(x) − f(y)| = |projx − projy| ≤ |x − y|. Mas nao existe c > 0

tal que para quaisquer x, y ∈ R2 seja valido que c|x− y| ≤ |projx− projy| porque se

x e y forem dois pontos de R2 com a mesma abcissa, entao |projx− projy| = 0. Logo

f e uma aplicacao de Lipschitz mas nao e uma aplicacao bi-Lipschitz. Assim, dado

F ⊂ R2, vem dimH (f(F )) < dimH(F ). �

Vejam-se agora alguns aspectos relacionados com a dimensao de conjuntos total-

mente desconexos.


Definicao 50. Seja (X, τ) um espaco topologico. Um conjunto F ⊂ X diz-se um

conjunto desconexo em relacao a topologia τ , se existirem dois abertos A1, A2 ∈ τ ,

tais que:

(1) F ∩ A1 6= ∅ e F ∩ A2 6= ∅,

(2) (F ∩ A1) ∩ (F ∩ A2) = ∅,

(3) F = (F ∩ A1) ∪ (F ∩ A2).

Definicao 51. Seja (X, τ) um espaco topologico. Um conjunto F ⊂ X diz-se um

conjunto conexo em relacao a topologia τ se nao for desconexo em relacao a τ .

Definicao 52. Seja (X, τ) um espaco topologico e F ⊂ X. Aos subconjuntos

conexos de F que nao estejam contidos em mais nenhum subconjunto tambem conexo

de F chamam-se componentes conexas em relacao a topologia τ de F .

Definicao 53. Seja (X, τ) um espaco topologico. Um conjunto F ⊂ X diz-se

um conjunto totalmente desconexo em relacao a topologia τ se todas as suas

componentes conexas forem constituıdas apenas por um ponto.

Definicao 54. Seja (X, d) um e.m. e F ⊂ X. Diz-se que F e denso em X se

ad(F ) = X.

Por outras palavras, existem pontos de F tao proximos quanto se queira de qualquer

ponto de X. Por exemplo, Q e denso em R relativamente a metrica usual; tem-se

ad(Q) = R. Contudo, Q e numeravel e R nao.

Lema 8. Seja F um subconjunto do e.m. (R, Euclideana). Se µ1H(F ) = 0 entao o

complementar de F e denso em R.

Demonstracao. Suponha-se que o complementar de F nao e denso em R. Entao

F contem uma “bola”, isto e, contem um intervalo de R e, nesse caso, µ1H(F ) 6= 0, o

que contradiz a hipotese. Portanto, se µ1H(F ) = 0 entao o complementar de F e denso

em R. �


Proposicao 32. Um conjunto F ⊂ Rn com dimH(F ) < 1 e totalmente desconexo.

Demonstracao. Sejam x e y dois pontos distintos de F . Considere-se a aplicacao

f : Rn → [0;∞[ tal que f(z) = |z − x|. Tem-se |f(z) − f(w)| = ||z − x| − |w − x|| =

||z| − |w|| ≤ |z −w|, o que mostra que f nao aumenta as distancias e e uma aplicacao

de Lipschitz. Pelo Corolario 4, dimH (f(F )) ≤ dimH(F ) < 1. Portanto, pelo Lema 8,

µ1H (f(F )) = 0, logo f(F ) tem um complementar denso em [0;∞[. Escolhendo r tal

que r 6= f(F ) e 0 < r < f(y) vem que F = {z ∈ F : |z−x| < r}∪{z ∈ F : |z−x| > r}.

Donde, F esta contido na reuniao de dois conjuntos abertos disjuntos com x num dos

conjuntos e y no outro, isto e, x e y pertencem a diferentes componentes conexas de

F . Como x e y eram quaisquer dois elementos de F , conclui-se que F e totalmente

desconexo. �

Proposicao 33. Para qualquer s tal que 0 ≤ s ≤ 2, existe um conjunto totalmente

desconexo do plano com dimensao de Hausdorff igual a s.

Demonstracao. Designe-se por E0 um quadrado unitario em R2. Tome-se um

valor r, fixo, tal que 0 < r < 12. Coloque-se em cada vertice de E0 um quadrado de lado

r de modo a que fiquem os quatro totalmente contidos em E0 como mostra a figura

2.5. Seja E1 o conjunto formado por esses quatro quadrados. De seguida, substitui-se

cada um dos quatro quadrados de E1 por uma reducao de E1 de factor de reducao r.

Obtem-se E2, o conjunto formado por 16 quadrados de lado r2.

Repetindo sucessivamente este processo, na k-esima iterada obtem-se Ek, um con-

junto constituıdo por 4k quadrados de lado rk. Entao Fr =∞⋂k=1

Ek e um subconjunto

totalmente desconexo de R2. Veja-se porque: se se supoe que dois pontos x e y estao

na mesma componente conexa de Fr, entao pertencerao a um mesmo quadrado de Ek,

para k = 1, 2, 3, . . .. Donde |x− y| ≤√

2rk para todo k ∈ N, portanto |x− y| = 0, ou

seja, x = y.

Tem-se ainda que Fr e composto por quatro reducoes de si mesmo de factor de

reducao r, disjuntas duas a duas; designem-se por Fr,1, Fr,2, Fr,3, e Fr,4. Por µsH


Figura 2.5. As primeiras tres iteracoes na construcao de um conjunto to-

talmente desconexo em R2 com dimensao de Hausdorff igual a r.

ser uma medida exterior metrica (Proposicao 23, pagina 89), e pela Propriedade do

Redimensionamento a Escala (Corolario 2, pagina 96), vem que, para s ≥ 0, µsH(Fr) =4∑i=1

µsH(Fr,i) =4∑i=1

rsµsH(Fr). Assumindo que quando s = dimH Fr se tem 0 < µsH(Fr) <

∞ e aplicando o metodo heurıstico ja usado no Exemplo 32, obtem-se 1 = 4rs donde

s = − log 4

log r. Fazendo r variar entre 0 e 1

2, a dimensao de Hausdorff de Fr tomara todos

os valores entre 0 e 2.

Falta apenas encontrar um subconjunto do plano que seja totalmente desconexo

com dimensao de Hausdorff igual a zero e outro que seja totalmente desconexo com

dimensao de Hausdorff igual a 2.

Para o primeiro caso e muito simples: basta considerar um conjunto formado por

um unico ponto de R2.

Para o caso de s = 2, considere-se o conjunto G =∞⋃k=3

Gk em que Gk = F 12− 1k+(k, 0).

Em termos praticos, G e o conjunto que se obtem colocando todos os F 12− 1k

lado a lado,

sem que dois conjuntos sucessivos se intersectem. Os conjuntos Gk sao disjuntos e cada


Gk e congruente com F 12− 1k

e, portanto, totalmente desconexo. Assim, G e tambem um

subconjunto de R2 totalmente desconexo. Pela Propriedade da Estabilidade Numeravel

da dimensao de Hausdorff (que sera explicada ja de seguida) tem-se que dimH G =

supk≥3

dimH Gk = supk≥3

dimH

(F 1

2− 1k

)= 2 �

Quanto a dimensao de Hausdorff podem, portanto, listar-se as seguintes proprieda-

des:

Propriedade 1. Monotonia - Se E ⊂ F , entao dimH E ≤ dimH F .

Foi visto na Proposicao 25, na pagina 93.

Propriedade 2. Estabilidade Numeravel - Se {Fi} e uma coleccao numeravel de con-

juntos, entao

dimH

(∞⋃i=1

Fi

)= sup

1≤i≤∞{dimH Fi}.

Como qualquer elemento Fj da coleccao esta contido em∞⋃i=1

Fi entao, pela

propriedade anterior tem-se que dimH Fj ≤ dimH

(∞⋃i=1

Fi

)qualquer que seja

j e, portanto,

sup1≤i≤∞

{dimH Fi} ≤ dimH

(∞⋃i=1

Fi

). (2.32)

Por outro lado, se s > dimH Fj qualquer que seja j, entao µsH(Fj) = 0

para todos os elementos da coleccao de conjuntos e µsH

(∞⋃i=1

Fi

)= 0. Este

ultimo valor deixa de ser zero quando, ao diminuir o valor de s, este toma o

maior valor para o qual um dos Fi tem dimensao de Hausdorff diferente de

zero. Portanto,

dimH

(∞⋃i=1

Fi

)≤ sup

1≤i≤∞{dimH Fi}. (2.33)

De (2.32) e de (2.33) conclui-se que dimH

(∞⋃i=1

Fi

)= sup

1≤i≤∞{dimH Fi}.

Propriedade 3. Conjuntos numeraveis - Se F e numeravel, entao dimH F = 0. Ver o

Exemplo 30, na pagina 93.

Propriedade 4. Conjuntos abertos - Se F ⊂ Rn e aberto e contem uma bola de

volume n-dimensional positivo, entao dimH F = n. Um aberto em Rn e um


Boreliano. Esta propriedade esta demonstrada na Proposicao 26, na pagina

94.

Nos casos de Fractais definidos por um SFI {Rm;w1, w2, . . . , wN}, com semelhanca

exacta (diz-se que um conjunto tem auto-semelhanca exacta se corresponder a reuniao

de varias reducoes de si mesmo, ou seja, wn e uma reducao de razao de semelhanca

sn para cada n ∈ {1, 2, . . . N}), totalmente desconexos ou justapostos (isto e, para

quaisquer i, j ∈ {1, 2, . . . , N}, wi(F ) e wj(F ) “tocam-se” mas nao se sobrepoem), a

medida s-dimensional de Hausdorff, µsH , pode ser utilizada para comparar os tamanhos

de fractais que tenham a mesma dimensao. Quanto maior for o valor de µsH de um

conjunto, “maior” ele e. Se dois fractais tiverem dimensoes diferentes, considera-se

“maior” aquele cujo valor da dimensao de Hausdorff for mais alto.

E possıvel demonstrar que a Dimensao de Hausdorff pode ser definida de ou-

tras formas usando outro tipo de recobrimentos que determinam medidas que levam

a dimensoes de valor igual ao da dimensao de Hausdorff para o mesmo conjunto.

Por exemplo, poderiam usar-se apenas recobrimentos-δ constituıdos apenas por bo-

las “esfericas”, ou entao recobrimentos-δ constituıdos unicamente por conjuntos aber-

tos, ou por conjuntos fechados. Outra hipotese e considerar uma medida de redes em

que os recobrimentos-δ usados sao constituıdos por intervalos binarios (sendo F um

subconjunto do intervalo [0, 1[, chama-se intervalo binario a um intervalo da forma[r.2−k; (r + 1).2−k

[com k = 0, 1, 2, . . . e r = 0, 1, 2, . . . , 2k − 1). As medidas de rede

sao convenientes porque quaisquer dois conjuntos binarios ou sao disjuntos, ou um esta

contido no outro, permitindo que qualquer recobrimento de intervalos binarios seja re-

duzido a uma recobrimento de intervalos binarios disjuntos. Em cada caso, para cada

conjunto em particular, pode adoptar-se a definicao que melhor convier ao calculo da

sua dimensao de Hausdorff. Na seccao que se segue apresentam-se outras definicoes de

dimensao que, em geral, nao sao equivalentes a definicao de dimensao de Hausdorff.

Apenas em alguns casos especıficos podera haver igualdade entre os valores obtidos

atraves das diferentes definicoes. Isso tambem sera abordado.

3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 109

3. Definicoes alternativas de Dimensao

O que e fundamental para quase todas as definicoes de dimensao e a ideia de medida

a escala δ: para cada δ, o conjunto e medido desprezando as irregularidades de tamanho

inferior a δ, depois observam-se como os resultados dessas medicoes se comportam a

medida que δ tende para zero.

Por exemplo, se F e uma curva plana, designe-se por Mδ(F ) o numero de passos

de tamanho δ necessarios para percorrer F . A dimensao de F e determinada pelo

expoente da potencia a que Mδ(F ) obedece quando δ tende para zero. Escreve-se

Mδ(F ) ∼ cδ−s, com c e s constantes, (2.34)

significando que a diferenca relativa entre Mδ(F ) e cδ−s tende para zero com δ, e diz-se

que F tem “dimensao” s olhando c como o “comprimento s-dimensional” de F .

Aplicando o logaritmo a ambos os membros de (2.34) obtem-se logMδ(F ) ∼ log c−

s log δ; dividindo ambos membros por − log δ vemlogMδ(F )

− log δ∼ − log c

log δ+s log δ

log δe

passando ao limite quando δ tende para zero, obtem-se s = limδ→0

logMδ(F )

− log δ.

Esta formula leva a procedimentos computacionais, pois s pode ser estimado atraves

do declive de uma grafico log-log desenhado num intervalo apropriado de δ (ver-se-a

um exemplo mais adiante). No entanto, quando isto e aplicado ao estudo de fenomenos

naturais, so e possıvel considerar “intervalos” finitos de valores de δ, ja que a experiencia

e a teoria divergem antes ainda de se alcancar a escala atomica. Por isso, quando se

estudam fractais naturais so se utiliza uma certa gama de escalas que sera apropriada

e adequada a cada caso. Tambem pode acontecer que nao se consiga alcancar o valor

exacto de s e que apenas se possam determinar os seus limites superior e inferior.

De salientar ainda que para que o valor de s determinado da forma dada acima se

comporte como uma dimensao e necessario que o metodo de medicao seja tal que, ao

redimensionar F e, proporcionalmente, a escala a que se fez a medicao, isso nao afecte

a resposta; isto e: Mδ(δF ) = M1(F ), qualquer que seja δ. E que, se por exemplo se

alterar a definicao de Mδ(F ) para que passe a ser a soma dos comprimentos dos passos,


tem-se que Mδ(δF ) = δ1M1(F ) para δ > 0; e e necessario ter isto em conta quando e

definida a dimensao.

Mas nao ha regras rapidas para decidir se uma determinada quantidade e uma

dimensao; tudo depende da definicao. E muitas vezes sao necessarias a experiencia

e a intuicao para decidir se uma definicao de dimensao e aceitavel. Pode acontecer

que definicoes muito parecidas de dimensao tenham propriedades muito diferentes e

como tal nao se deve assumir que definicoes diferentes de dimensao produzem o mesmo

valor de dimensao, mesmo tratando-se de conjuntos “bons”. As propriedades de cada

de dimensao devem, portanto, retirar-se da sua propria definicao e nao inferirem-se de

propriedades de outras definicoes de dimensao. Nem todas as propriedades da dimensao

de Hausdorff se mantem necessariamente validas para as outras definicoes de dimensao,

no entanto, e desejavel que outras definicoes de dimensao mantenham as seguintes:

• Monotonia: se E ⊂ F , entao dimH E ≤ dimH F .

• Estabilidade: dimH(E ∪ F ) = max{dimH E, dimH F}.

• Estabilidade Numeravel: dimH

(∞⋃i=1

Fi

)= sup

1≤i≤∞dimH Fi.

• Invariancia Geometrica: dimH f(F ) = dimH F se f e uma transformacao de

Rn como uma translacao, rotacao, ampliacao ou reducao, etc. . .

• Invariancia de Lipschitz: dimH f(F ) = dimH F se f e uma aplicacao bi-

lipschitz, isto e, c1 |x− y| ≤ |f(x)− f(y)| ≤ c2 |x− y| para quaisquer x e

y pertencentes a F e com 0 < c1 ≤ c2 <∞.

• Conjuntos Numeraveis: dimH F = 0 se F e finito ou numeravel.

• Conjuntos Abertos: Se F e um conjunto aberto de Rn, contendo uma bola de

volume n-dimensional positivo, entao dimH F = n.

A definicao de dimensao de Hausdorff pode ser entendida uma extensao da definicao

classica de dimensao topologica. Normalmente, todas as definicoes sao Lipschitz-

invariantes, e portanto geometricamente invariantes, mas definicoes diferentes de di-

mensao podem produzir valores diferentes.


3.1. Dimensoes de Contagem de Caixas (”Box-Counting Dimensions”).

Esta e uma das definicoes de dimensao mais usadas e a sua popularidade deve-se

essencialmente a facilidade com que se pode calcular e estimar empiricamente. Na

literatura podera aparecer com outras designacoes mas aqui utilizar-se-a a designacao

de dimensao de contagem de caixas ou, de forma mais simples, dimensao de caixas e

representar-se-a por dimB, em conformidade com a bibliografia utilizada, que e mai-

oritariamente de lıngua inglesa, onde esta dimensao se designa por “box-counting di-

mension” ou por “box dimension”, tendo-se optado aqui pela traducao directa destes

termos.

Definicao 55. Seja F um subconjunto de Rn, nao vazio e limitado e seja Nδ(F )

o menor numero de conjuntos de diametro no maximo δ que pode cobrir F .

A dimensao de caixas superior de F e a dimensao de caixas inferior de

F sao definidas respectivamente por

dimBF = limδ→0

logNδ(F )

− log δ(2.35)

e por

dimBF = limδ→0

logNδ(F )

− log δ. (2.36)

Se estes dois limites forem iguais, designa-se o seu valor por dimensao de con-

tagem de caixas de F (ou dimensao de caixas de F) e tem-se ,

dimB F = limδ→0

logNδ(F )

− log δ. (2.37)

Ha varias definicoes equivalentes de dimensao de contagem de caixas. Consoante a

situacao, umas poderao ser mais convenientes de utilizar que outras.

Definicao 56. Chama-se cubo da rede-δ coordenada de Rn a um conjunto

da forma [m1δ; (m1 + 1)δ]× . . .× [mnδ; (mn + 1)δ] com m1, . . . ,mn ∈ Z.

Em R1 este “cubo” e um intervalo de comprimento δ, em R2 e um quadrado de

lado δ, etc. . .


Teorema 12. Seja F um subconjunto nao vazio e limitado de Rn. Sendo as di-

mensoes de contagem de caixas superior e inferior de F definidas respectivamente por

dimBF = limδ→0

logNδ(F )

− log δe por dimBF = lim

δ→0

logNδ(F )

− log δe sendo, se estes dois li-

mites forem iguais, a dimensao de contagem de caixas de F definida por dimB F =

limδ→0

logNδ(F )

− log δ, entao Nδ(F ) pode ser qualquer dos seguintes numeros:

i) o menor numero de bolas fechadas com raio δ que cobre F ;

ii) o menor numero de “cubos” de lado δ que cobre F ;

iii) o menor numero de cubos da rede-δ coordenada que intersectam F ;

iv) o menor numero de conjuntos de diametro no maximo δ que cobrem F ;

v) o maior numero de bolas disjuntas de raio δ com centro em F .

Demonstracao. Comeca-se por demonstrar que a definicao em iii) e equivalente

a definicao em iv). Seja Nδ(F ) o menor numero de conjuntos de diametro no maximo

δ que pode cobrir F . Seja N ′δ(F ) o numero de cubos da rede-δ coordenada de Rn que

intersectam F . Esses cubos fornecem uma coleccao de N ′δ(F ) conjuntos de diametro

δ√n que cobrem F , donde Nδ

√n(F ) ≤ N ′δ(F ). Quando δ

√n < 1, tem-se − log(δ

√n) >

0 e pode escrever-se

logNδ√n(F )

− log (δ√n)≤ logN ′δ(F )

− log√n− logδ

.

Tomando o limite quando δ tende para zero obtem-se

dimBF ≤ limδ→0

logN ′δ(F )

− log δe dimBF ≤ lim

δ→0

logN ′δ(F )

− log δ

( porque limδ→0

logN ′δ(F )

− log√n− logδ

= limδ→0

logN ′δ(F )

− log δ).

Por outro lado, qualquer conjunto de diametro menor ou igual a δ esta contido em

3n cubos de lado δ da rede-δ coordenada (escolhendo um cubo que contenha algum

ponto do conjunto, juntamente com os cubos seus vizinhos); veja-se a Figura 2.6.

Donde, N ′δ(F ) ≤ 3nNδ(F ). Efectuam-se agora as seguintes operacoes a ambos os

membros: divide-se por 3n, toma-se o logaritmo e divide-se por − log δ (que e positivo


Figura 2.6. Rede-δ em R, R2 e R3.

sempre que δ < 1). Obtem-se

logN ′δ(F )− log 3n

− log δ≤ logNδ(F )

− log δ.

No limite, quando δ tende para zero, vem

limδ→0

logN ′δ(F )

− log δ≤ dimBF e lim

δ→0

logN ′δ(F )

− log δ≤ dimBF.

Portanto, para determinar dimBF , dimBF e dimB F pode considerar-se que Nδ(F )

e o numero de cubos da rede-δ coordenada que intersectam F .

Demonstre-se agora a equivalencia das definicoes em ii) e em iv). Essa equivalencia

demonstra-se como no caso da rede-δ de cubos notando que qualquer cubo de lado δ

tem diametro δ√n e que qualquer conjunto de diametro no maximo δ esta contido num

cubo de lado δ.

Para demonstrar a equivalencia entre as definicoes de i) e de iii), seja NBδ(F ) o

menor numero de bolas fechadas de raio δ (diametro 2δ) que cobrem F . Considere-se

tambem uma rede-δ de cubos construıda sobre F ⊂ Rn.

Em Rn, cada bola fechada de raio δ intersecta, no maximo, 3n cubos da rede-δ,

veja-se a Figura 2.7.

Portanto, NCδ(F ) ≤ 3nNBδ(F ) em que NCδ(F ) e o numero de cubos da rede-δ que

intersecta F . De forma analoga ao que ja foi feito antes, efectuam-se as operacoes

seguintes a ambos os membros: divide-se por 3n, toma-se o logaritmo e divide-se por


Figura 2.7. Ilustracao em R e em R2 de “Em Rn, cada bola fechada de raio

δ intersecta, no maximo, 3n cubos da rede-δ.

− log δ (que e positivo sempre que δ < 1). No limite, quando δ tende para zero, vem

dimBCF ≤ dimBB

F e dimBCF ≤ dimBBF

em que dimBC F representa a dimensao de caixas usando a contagem de cubos da rede-

δ e dimBB F representa a dimensao de caixas usando a contagem de bolas fechadas que

cobrem F .

Por outro lado, se se considerar a rede-δ de cubos e se contar o numero NCδ(F ) de

cubos da rede-δ que intersectam F , e em cada um deles se considerar um bola fechada

de raio δ e com centro coincidente com o centro do cubo, tem-se que essa coleccao de

NCδ(F ) bolas cobre F porque cada bola intersecta 3n cubos.

Vem NBδ(F ) ≤ NCδ(F ) donde (para δ < 1 e passando ao limite quando δ tende

para zero)

dimBBF ≤ dimBC

F e dimBBF ≤ dimBCF.

Portanto, dimBCF = dimBB

F e dimBCF = dimBBF e se as dimensoes superior

e inferior coincidirem, entao dimBC F = dimBB F. Logo, as definicoes i) e iii) sao

equivalentes.

Finalmente, demonstre-se a equivalencia entre iv) e v). Seja N ′δ(F ) o maior numero

de bolas disjuntas de raio δ com centro em F designadas por B1, . . . , BN ′δ(F ). Se

x ∈ F , entao x esta a uma distancia menor ou igual a δ de uma das bolas Bi (caso

contrario, a bola de centro em x e de raio δ poderia ser acrescentada para formar uma


coleccao ainda maior de bolas). Entao, as N ′δ(F ) bolas concentricas com as Bi mas de

raio 2δ (diametro 4δ), cobrem F e N4δ(F ) ≤ N ′δ(F ).

Por outro lado, suponha-se que B1, . . . , BN ′δ(F ) sao bolas disjuntas de raio δ com

centro em F e seja U1, . . . , Uk uma coleccao de conjuntos de diametro menor ou

igual a δ que cobre F . Como o centro de cada uma das bolas Bi e um elemento de

F , entao cada bola Bi tem que conter pelo menos um dos conjuntos Uj. Como as

bolas Bi sao disjuntas, entao ha pelo menos tantos conjuntos Uj como bolas Bi; donde,

N ′δ(F ) ≤ Nδ(F ). Tomando em cada membro o logaritmo e em seguida o limite quando

δ tende para zero, obtem-se o mesmo valor para a dimensao de caixas se se utilizar na

respectiva definicao, N ′δ em vez de Nδ. �

Na pratica, adopta-se a definicao mais conveniente em cada caso. A definicao

que utiliza Nδ(F ) como o menor numero de cubos da rede-δ coordenada e a mais

usada empiricamente. Para determinar a dimensao de caixas de um conjunto plano F

desenha-se a rede-δ de quadrados (caixas) e conta-se, para varios valores de δ cada vez

menores, o numero Nδ(F ) de quadrados (“caixas”) que se sobrepoem ao conjunto. Daı

o nome “dimensao de contagem de caixas”. A dimensao e a razao logarıtmica a qual

Nδ(F ) cresce quando δ tende para zero e pode ser estimada pelo declive do grafico de

logNδ(F ) em funcao de − log δ. Esta definicao da uma interpretacao do significado de

dimensao de caixas. O numero de cubos da rede-δ que intersecta F e um indicador

de quao “espalhado” ou “irregular” e o conjunto, quando examinado a escala δ. A

dimensao reflecte quao rapidamente as irregularidades se desenvolvem a medida que δ

tende para zero.

Exemplo 35. No espaco metrico (R2; Euclidiana) considere-se o conjunto singular

A = {a}. Entao, para qualquer δ > 0, tem-se Nδ(A) = 1 e dimB A = 0.

dimB(A) = limδ→0

Nδ(A)

− log δ= lim

δ→0

1

− log δ= 0 e, analogamente, dimB(A) = 0, pelo que

dimB(A) = 0. �


Da mesma forma se determina que um conjunto finito de pontos de Rn tem dimensao

de caixas igual a zero. Se A for um conjunto infinito numeravel, ver-se-a mais a frente

(Exemplo 38, pagina 121) que a sua dimensao de caixas pode nao ser zero.

Teorema 13. Seja n um inteiro positivo e considere-se o espaco metrico

(Rn,Euclidiana). Para todo o elemento A de H(Rn) existe dimB(A) e se A e B sao

elementos de H(Rn) tais que A ⊂ B, entao 0 ≤ dimBA ≤ dimBB ≤ n.

Demonstracao. Efectuar-se-a a demonstracao para o caso de n = 2. Sem perda

de generalidade, como A e limitado, pode considerar-se que o conjunto A esta contido

num quadrado C. Entao, Nδ(A) ≤ Nδ(C) para qualquer δ > 0. Daı, sempre que

0 < δ < 1, vem que 0 ≤ logNδ(A)

− log δ≤ logNδ(C)

− log δ.

Segue que limδ→0

logNδ(A)

− log δ≤ lim

δ→0

logNδ(C)

− log δ, onde o limite do segundo membro existe

e e 2, pelo que o limite do primeiro membro tambem existe e e limitado superiormente

por 2.

Se A, B ∈ H(Rn) com A ⊂ B, substituindo no argumento anterior C por B vem

que dimBA ≤ dimBB. �

Teorema 14. Seja n um inteiro positivo e considere-se o espaco metrico

(Rn,Euclidiana). Sejam A e B elementos de H(Rn) tais que dimBB < dimBA. Entao

dimB(A ∪B) = dimB(A).

Demonstracao. Do Teorema 13 vem que dimB(A ∪ B) ≥ dimB(A) porque A ⊂

A ∪ B. Quer-se demonstrar agora que dimB(A ∪ B) ≤ dimB(A). Note-se que, para

todo δ > 0, Nδ(A ∪B) ≤ Nδ(A) +Nδ(B). Segue que

dimB(A ∪B) ≤ limδ→0

logNδ(A ∪B)

− log δ≤

≤ limδ→0

log [Nδ(A) +Nδ(B)]

− log δ=

= limδ→0

log Nδ(A)

− log δ+ lim

δ→0

log

(1 +

Nδ(B)

Nδ(A)

)− log δ

.

(2.38)


Como dimBB < dimBA, entao limδ→0

logNδ(B)

− log δ< lim

δ→0

logNδ(A)

− log δ, ou seja,

limδ→0

(logNδ(B)− logNδ(A)

− log δ

)< 0. Para δ < 1 tem-se − log δ > 0 pelo que, obriga-

toriamente, logNδ(B) − logNδ(A) < 0, isto e, log

(Nδ(B)

Nδ(A)

)< 0, logo

Nδ(B)

Nδ(A)< 1.

Voltando a (2.38), tem-se que a segunda parcela tende para zero e a primeira converge

para dimB(A) (que existe, por hipotese). Concluindo, dimB(A ∪B) = dimB(A). �

Exemplo 36. A dimensao de caixas do conjunto “cabeludo” A ⊂ R2 apresentado

na Figura 2.8 e 2, porque se trata de um conjunto que e a reuniao de um quadrado

(com dimensao de caixas igual a 2) com um conjunto de linhas (com dimensao de caixas

menor que 2).

Figura 2.8. Se a dimensao de caixas de um conjunto A e maior que a

dimensao de caixas de um conjunto B, entao a dimensao de caixas de A ∪ B

e igual a dimensao de caixas de A.

Na verdade, a medida que δ → 0, a contribuicao dos ditos “cabelos” para Nδ(A),

torna-se exponencialmente pequena comparada com a contribuicao do quadrado.

�

3.2. Relacao entre a Dimensao de Contagem de Caixas e a Dimensao de

Hausdorff.

Proposicao 34. Seja F um subconjunto de Rn. Entao dimH(F ) ≤ dimB(F ).


Demonstracao. Tem-se por definicao que dimB(F ) = limδ→0

logNδ

− log δem que Nδ e

o menor numero de conjuntos de diametro δ necessarios para cobrir F . Seja {Bi}

uma tal coleccao de conjuntos. Quando δ e muito pequeno tem-se s ≈ log 1δNδ com

s = dimB(F ). Daqui vem1

δs≈ Nδ que e equivalente a 1 ≈ Nδ.δ

s =Nδ∑i=1

δs.

Seja {Ui} uma coleccao de conjuntos tais que Ui = Bi ∩ F. Entao {Ui} e um

recobrimento-δ de F e µδ,sH (F ) ≤Nδ∑i=1

δs < ∞ porque dimB(F ) converge por hipotese e

e menor que n.

Assim, limδ→0

µδ,sH (F ) = limδ→0

inf{Nδ∑i=1

|Ui|s : {Ui} e recobrimento-δ de F} ≤ limδ→0

Nδ∑i=1

δs que

existe e finito, com s = dimB(F ).

Se este limite for zero para s = dimB(F ), entao o valor em que limδ→0

µδ,sH (F ) “salta”

de infinito para zero e dimH(F ) ≤ s = dimB(F ). Se este limite nao for zero, sendo

finito, tem-se dimH(F ) = dimB(F ).

�

Normalmente nao se obtem aqui a igualdade estrita, excepto em casos em que o

conjunto e suficientemente regular.

Exemplo 37. Seja C o Conjunto de Cantor. Entao dimBC = dimBC = log 2log 3

.

O recobrimento-δ de cada iteracao Bk da construcao de C (ver Figura 2.4, pagina

99) de 2k intervalos da que Nδ(C) ≤ 2k se 3−k < δ ≤ 3−k+1 e tem-se

dimBC = limδ→0

logNδ(C)

− log δ≤ lim

k→∞

log 2k

log 3k−1=

log 2

log 3.

Por outro lado, qualquer intervalo de comprimento δ com 3−k−1 ≤ δ < 3−k in-

tersecta, no maximo um dos intervalos binarios de diametro 3−k que compoem cada

estadio Bk. Ha 2k intervalos desses em Bk e portanto, sao necessarios pelo menos 2k

intervalos de comprimento δ para cobrir C. Daı, Nδ(C) ≥ 2k o que da dimBC ≥log 2

log 3.

Logo, dimB C =log 2

log 3, valor esse que e igual a dimensao de Hausdorff de C deter-

minada no Exemplo 32, pagina98. Portanto, no caso do Conjunto de Cantor tem-se

dimH C = dimB C. �


O Conjunto de Cantor e um fractal com auto-semelhanca exacta. Diz-se que um

conjunto tem auto-semelhanca exacta se puder construir-se como uma reuniao de varias

reducoes de si mesmo. Em geral todos os fractais deste tipo tem a dimensao de Haus-

dorff igual a dimensao de caixas. Noutro tipo de fractais, o mais habitual e definicoes

diferentes de dimensao gerarem valores diferentes.

A Definicao 2.37, pagina 111, que diz que dimB F = limδ→0

logNδ(F )

− log δindica, gros-

seiramente falando, que para valores pequenos de δ, Nδ(F ) ≈ δ−s, onde s = dimB F

(ou seja, Nδ(F )δs ≈ 1). Mais precisamente, diz que Nδ(F )δs → ∞ se s < dimB F e

Nδ(F )δs → 0 se s > dimB F. Mas

Nδ(F )δs = inf{∑i

δs : {Ui} e um recobrimento-δ (finito) de F}

deveria ser comparado com

µsH(F ) = inf{∑i

|Ui|s : {Ui} e um recobrimento-δ de F}.

Ao calcular a dimensao de Hausdorff |Ui|s pode tomar valores diferentes consoante

varia i, enquanto que para a dimensao de caixas se atribui o mesmo peso de δs a todos

os conjuntos do recobrimento.

A dimensao de caixas pode ser tida como indicadora da eficiencia com que um

conjunto pode ser coberto por pequenos conjuntos de tamanho igual, enquanto que a

dimensao de Hausdorff envolve recobrimentos por conjuntos de diametros pequenos,

mas eventualmente de valores muito variados.

Como na dimensao de Hausdorff se utilizam recobrimentos compostos por conjuntos

de diametros diferentes e na dimensao de box-counting se usam recobrimentos compos-

tos por conjuntos todos com o mesmo diametro, esta ultima tende a ser mais facil

de calcular. No entanto, tem algumas propriedades com consequencias indesejaveis.

Vejam-se algumas propriedades e alguns inconvenientes da dimensao por caixas.

As seguintes propriedades elementares da dimensao de caixas espelham as proprie-

dades da dimensao de Hausdorff e podem ser verificadas de forma muito identica.


Propriedade 1. Uma hipersuperfıcie regular Rn tem dimensao de caixas igual a m

com m ∈ {1, 2 . . . , n}.

Propriedade 2. dimB e dimB sao monotonas.

Basta usar o Teorema 13 e, de forma analoga se prova que, se dimB(A)

e dimB(B) existirem, estando A contido em B, tambem se tem dimB(A) ≤

dimB(B).

Propriedade 3. dimB e finitamente estavel, isto e,

dimB(E ∪ F ) = max{dimBE, dimBF},

mas dimB nao o e.

Propriedade 4. Se f : F → Rn e uma funcao de Lipschitz, entao, dimBf(F ) ≤

dimBF e dimBf(F ) ≤ dimBF .

Isto acontece porque se |f(x)− f(y)| ≤ c|x− y| e F tem um recobrimento

constituıdo por Nδ(F ) conjuntos de diametro menor ou igual a δ, entao as

Nδ(F ) imagens por f desses conjuntos formam um recobrimento de f(F ) por

conjuntos de diametro, no maximo cδ, donde dimB f(F ) ≤ dimB F. A di-

mensao de caixas comporta-se de forma analoga as dimensoes de Hausdorff

sob transformacoes bi-Lipschitz e de Holder.

Vejam-se agora algumas desvantagens da dimensao de contagem de caixas. A

proxima Proposicao e, a princıpio, apelativa, mas tem consequencias indesejaveis.

Proposicao 35. Seja ad(F ) a aderencia de F (ou seja, o menor subconjunto

fechado de Rn que contem F ). Entao, dimB[ad(F )] = dimBF e dimB[ad(F )] = dimBF .

Demonstracao. Seja B1, . . . Bk uma coleccao finita de bolas fechadas, de raio

δ. Se o conjunto fechadok⋃i=1

Bi contem F , entao tambem contem ad(F ). Portanto, o

menor numero de bolas fechadas de raio δ que cobre F e suficiente para cobrir ad(F )

(que pode ser um conjunto “maior” que F ). Donde se conclui o que se pretende. �

Uma consequencia imediata disto e que se F e um subconjunto denso de uma regiao

aberta de Rn, entao dimBF = dimBF = n.


Exemplo 38. Sendo F o conjunto (numeravel) dos numeros racionais entre 0 e 1,

entao ad(F ) e todo o intervalo [0,1] e dimBF = dimBF = 1. �

Daqui se conclui que conjuntos numeraveis podem ter dimensao de caixas dife-

rente de zero, o que nao acontecia com a dimensao de Hausdorff. Alem disso, a di-

mensao de caixas de qualquer numero racional olhado como um conjunto singular e

zero (como foi visto no Exemplo 35 na pagina 115); no entanto, a uniao numeravel

destes conjuntos singulares tem dimensao 1. Entao, nem sempre sera verdade que

dimB

∞⋃i=1

Fi = supi dimB Fi como se passa com a dimensao de Hausdorff.

Isto limita a utilidade da dimensao de caixas ja que, introduzindo um “pequeno”

conjunto, isto e, um conjunto numeravel de pontos, isso pode alterar completamente a

dimensao do conjunto ao contrario do que acontecia com a dimensao de Hausdorff.

Exemplo 39. F = {0; 1; 12; 1

3; . . .} e um conjunto compacto com dimB F = 1

2.

Vejam-se os calculos: Se |U | = δ < 12

e k e o inteiro que satisfaz1

(k − 1)k> δ ≥

1

k(k + 1), entao U pode cobrir, no maximo, um dos pontos {1;

1

2; . . . ;

1

k}. Assim, pelo

menos k conjuntos de diametro δ sao necessarios para cobrir F , dondelogNδ(F )

− log δ≥

log k

log k(k + 1). Quando δ → 0, vem dimBF ≥

1

2.

Por outro lado, se1

2> δ > 0, toma-se k tal que

1

(k − 1)k> δ ≥ 1

k(k + 1). Entao,

k + 1 intervalos de comprimento δ cobrem [0; 1k], deixando k − 1 pontos de F que

podem ser cobertos por outros k− 1 intervalos. Logo,logNδ(F )

− log δ≤ log(2k)

log k(k + 1)o que

da dimBF ≤1

2.

A partida, nao seria de esperar que este conjunto cujos pontos sao todos isolados,

excepto um, fosse um fractal; no entanto, tem dimensao de caixas fraccionaria. �

Tal como sao muito convenientes na pratica, as dimensoes de caixas sao tambem

muito uteis na teoria. Se, como acontece regularmente, se puder demonstrar que um

conjunto tem dimensao de caixas igual a dimensao de Hausdorff, da relacao entre essas

duas definicoes podem surgir resultados profıcuos.


Exemplo 40. A Curva de Koch e um conjunto em R2 que se constroi da seguinte

forma: a um segmento de recta de comprimento l dividido em tres partes iguais, retira-

se o segmento do meio que se substitui por dois segmentos, ambos de comprimento l3.

Os primeiros estadios de construcao desta curva estao representados na Figura 2.9.

Figura 2.9. Primeiras quatro iteradas da construcao da Curva de Koch.

Se C for a Curva de von Koch, entao, pela alınea iv) do Teorema 12, dimBC e, no

maximo, log 4/ log 3 e pela alınea v) do mesmo Teorema, dimBC e, no mınimo, esse

mesmo valor; donde dimB C = log 4/ log 3.

Vejam-se os pormenores: Para

(1

3

)k≤ δ <

(1

3

)k−1

sao necessarios, no maximo,

4k conjuntos de diametro δ para cobrir C; veja-se a Figura 2.10.

Figura 2.10. Para δ =(

13

)ksao necessarios, no maximo, 4k conjuntos de

diametro δ para cobrir a Curva de Koch.

Pela alınea iv) do Teorema 12 da pagina 112 vem

logNδ(C)

− log δ≤ log 4k

− log

(1

3

)k =log 4

log 3

donde, dimBC ≤log 4

log 3.

Por outro lado, para

(1

3

)k+1

< δ ≤(

1

3

)kconseguem-se, pelo menos, 4k + 1 bolas

de diametro δ com centro em C; veja-se a Figura 2.11.

Pela alınea v) do Teorema 12 da pagina 112 vem


Figura 2.11. Para δ =(

13

)kconseguem-se, pelo menos, 4k + 1 bolas de

diametro δ com centro em pontos da Curva de Koch.

logNδ(C)

− log δ≥

log(4k + 1

)− log

(1

3

)k ≥ log 4k

− log

(1

3

)k =log 4

log 3

donde, dimBC ≥log 4

log 3.

Portanto, dimB C =log 4

log 3≈ 1, 262. Este valor, sendo maior que 1 e menor que 2,

e consistente com o facto de se tratar de uma linha com comprimento infinito e com

area nula.

�

O Teorema seguinte simplifica o processo de calculo da dimensao de caixas porque

permite que se substitua a variavel contınua δ por uma variavel discreta.


Teorema 15. Seja F ∈ H(X ), sendo (X, d) um espaco metrico. Seja δk = C.rk

para numeros reais 0 < r < 1 e C > 0 e para k ∈ N. Se D = limk→∞

logNδk(F )

− log δkentao,

F tem dimensao de caixas igual a D.

Demonstracao. Considerem-se os numeros reais r e C e a sucessao {δk}k∈N como

definidos no enunciado do Teorema.

Considere-se δ ≤ r e seja f(δ) = max{δk : δk ≤ δ, k ∈ N}. Entao, Crk = f(δ) ≤

δ ≤ f(δ)

r= Crk−1 (porque 0 < r < 1) e, portanto,

Nf(δ)(F ) ≥ Nδ(F ) ≥ N f(δ)r

(F ). (2.39)

Para valores de δ pequenos tais que f(δ) ≤ δ ≤ f(δ)

r< 1 vem

1

f(δ)≥ 1

δ≥ r

f(δ)> 1.

Como log x e uma funcao crescente e positiva para x ≥ 1, vem que log

(1

f(δ)

)≥

log

(1

δ

)≥ log

(r

f(δ)

)que e o mesmo que escrever

− log f(δ) ≥ − log δ ≥ − log

(f(δ)

r

). (2.40)

De (2.39) e de (2.40) vem

log(N f(δ)

r

(F ))

− log f(δ)≤ log (Nδ(F ))

− log δ≤

log(Nf(δ)(F )

)− log

(f(δ)r

) . (2.41)

Assumindo que Nδ(F ) → ∞ a medida que δ → 0 (caso contrario, o Teorema e

verdadeiro porque se tera D = 0) o segundo membro da segunda desigualdade em

(2.41) verifica

limδ→0

logNf(δ)(F )

− log(f(δ)r

) = lim

k→∞

(logNδk(F )

− log(δkr

) ) =

=

[limk→∞

log r − log δklogNδk(F )

]−1

=

= limk→∞

logNδk(F )

− log δk.


O primeiro membro da primeira desigualdade em (2.41) verifica

limδ→0

log(N f(δ)

r

(F ))

− log f(δ)

= limk→∞

(logNδk−1

(F )

− log δk

)=

= limk→∞

logNδk−1(F )

− log r − log δk−1

=

= limk→∞

logNδk−1(F )

− log δk−1

=

= limk→∞

logNδk(F )

− log δk.

Portanto, a medida que δ → 0, ambos os extremos de (2.41) tendem para o valor D

indicado no enunciado do Teorema donde, o limite quando δ → 0 do termo intermedio

de (2.41) tambem existe e tem o mesmo valor D. �

Este ultimo resultado permite que o calculo da dimensao de caixas se torne mais

simples, sempre que seja possıvel determinar uma sucessao {δk} adequada.

Exemplo 41. O conjunto Poeira de Cantor apresentado no Exemplo 31 da pagina

97 tem dimensao de caixas igual a 1.

Considere-se a sucessao δk =1

4kcom k = 1, 2, 3, . . .. Usando a alınea ii) do Teorema

12, na pagina 112, basta considerar que, para cada valor de δk os cubos pretendidos

coincidem com os quadrados que constituem cada um dos conjuntos Ek correspondentes

as varias etapas de construcao do conjunto C. Para cada δk, tem-se Nδ(C) = 4k para

todo k ∈ N. Quando k tende para infinito, δ tende para zero e pelo Teorema 15

dimB C = limδ→0

log(4k)

−log(4−k)= 1.

Para este conjunto ja tinha sido determinada a sua dimensao de Hausdorff, cujo

valor e tambem 1 (Exemplo 31, na pagina 97). �

Exemplo 42. Considere-se em (R2, Euclideana) o subconjunto F denominado

Triangulo de Sierpinski cujo processo de construcao se inicia com um triangulo equilatero

com uma unidade de comprimento de lado e foi explicado nos Exemplos 1 e 9, paginas

21 e 37 respectivamente, no Capıtulo 1. Entao, dimB F = log 3log 2

.


Considere-se a sequencia δk =

(1

2

)k. SendoNδk(F ) o numero mınimo de quadrados

de lado δk que cobre F , tem-se: δ1 =1

2e Nδ1(F ) = 3; δ2 =

1

4e Nδ2(F ) = 9; δ3 =

1

8e

Nδ3(F ) = 27;. . . e, em geral, Nδn(F ) = 3n; veja-se a Figura 2.12.

Figura 2.12. Recobrimento do Triangulo de Sierpinski por quadrados de

lado 12 ,

14 e 1

8 .

Entao, pela alınea ii) do Teorema 12 e pelo Teorema 15, a dimensao de caixas do

Triangulo de Sierpinski e

limk→∞

log 3k

− log

(1

2

)k =log 3

log 2.

�

Exemplo 43. Na Figura 2.13 esta uma imagem de uma das arvores da especie acer

palmatum cujas folhas sao muito recortadas. Mostra-se de seguida como determinar a

dimensao de caixas de uma delas.

Em primeiro lugar procedeu-se a obtencao de uma imagem digital da folha. Neste

caso foi usado um scaner, tendo o cuidado de espalmar o melhor possıvel a folha e de

a abrir de modo a evitar a sobreposicao das suas diversas componentes. De seguida

produziu-se uma versao da imagem a preto e branco (Figura 2.14). E de salientar que,

neste caso, a a atribuicao da cor branca ou preta a cada um dos pixels foi feita de modo

automatico, pelo programa usado para trabalhar a imagem.


Figura 2.13. Arvore de uma das variedades de acer palmatum.

Figura 2.14. Versao binaria da imagem digital da folha.

Depois, a imagem foi dividida em quadrados (“caixas”) de lado δ cada vez menor.

Para cada valor escolhido para δ contou-se o numero de quadrados da rede-δ que

intersectavam a imagem (Figura 2.15).

Os dados dados obtidos sao os que estao registados nas duas primeiras colunas da

Tabela 2.1 e a respectiva representacao grafica encontra-se na Figura 2.16.

Como o numero de quadrados a cobrir a area total da figura e proporcional ao qua-

drado do inverso da medida do lado de cada quadrado em que se dividiu a mesma, basta

agora usar os resultados obtidos nas medicoes anteriores, e representar graficamente

o logaritmo do numero de caixas que intersectam a figura em funcao do logaritmo do


Figura 2.15. Divisao da imagem em caixas de lado 512, 256, 128, 64, 32,

16 e 8 pixels respectivamente.

inverso do lado de cada quadrado (Figura 2.17). O declive da recta de regressao linear

que melhor se ajusta ao conjunto de pontos obtidos e uma estimativa da dimensao de

caixas da imagem. Neste caso obteve-se 1, 5362 como valor aproximado da dimensao

de contagem de caixas desta folha de acer palmatum.

Convem referir que uma gama diferente de escalas pode originar outro valor para a

dimensao. Um alinhamento diferente da grelha que forma a rede-δ pode tambem pro-

duzir resultados ligeiramente diferentes; e um tratamento diferente da imagem quando

se produz a imagem a preto e branco tambem pode interferir em todo o processo,


δ Nδ(G)

logNδ(G) − log δLado da Caixa Numero de caixas que

(em pixels) intersectam a folha

512 4 0,6021 0,3010

256 13 1,1139 0,6021

128 36 1,5563 0,9031

64 96 1,9823 1,2041

32 280 2,4472 1,5051

16 851 2,9299 1,8062

8 2574 3,4106 2,1072Tabela 2.1. Valores obtidos a partir da contagem de caixas que intersectam

a Figura 2.14.

Figura 2.16. Numero de caixas que intersectam a folha (Nδ(G)) em funcao

do comprimento (em pixels) do lado da caixa (δ).

provocando alteracoes nos resultados finais. Alem disso, o comprimento do lado do

quadrado da rede-δ coordenada esta limitado inferiormente pelo comprimento do lado

do pixel e, por isso, nao se consegue efectivamente obter o limite, quando δ tende para


Figura 2.17. Logaritmo do Numero de caixas que intersectam a folha

(log (Nδ(G))) em funcao do Logaritmo do inverso do comprimento (em pi-

xels) do lado da caixa (− log(δ)) e recta de regressao linear para o conjunto

de pontos representados.

zero, delogNδ(G)

− log δ. Tudo isto indica que este metodo e, apesar de muito pratico e facil

de utilizar, tambem bastante empırico. �

Veja-se agora que relacao existe entre as dimensoes de caixas de dois conjuntos

metricamente equivalentes.

Teorema 16. Sejam (X1, d1) e (X2, d2) dois espacos metricos equivalentes. Seja

h : X1 → X2 a transformacao que providencia a equivalencia dos espacos. Seja A1

um elemento de H(X1) com dimensao de caixas D. Entao, A2 = h(A1) tambem tem

dimensao de caixas igual a D.

Demonstracao. Basta usar a Proposicao 30 da pagina 102 e a propriedade 4

da dimensao de caixas mencionada na pagina 119 (uma vez para h e outra vez para

h−1). �

O Teorema anterior permite-nos concluir que dois objectos fractais que resultam um

do outro por uma “distorcao simples” tem a mesma dimensao de caixas. Alem disso,


uma aplicacao bi-Lipschitz entre dois conjuntos garante que estes tenham a mesma

dimensao de caixas, tal como acontecia para a dimensao de Hausdorff (Proposicao 31,

pagina 103).

Exemplo 44. O Conjunto de Cantor que se constroi tendo como ponto de partida

o intervalo [0; 1] ou o Conjunto de Cantor que se obtem da mesma forma mas iniciando

com o intervalo [0; 3] tem ambos a mesma dimensao de caixas.

Considerem-se os espacos metricos (X1, d1) e (X2, d2) em que X1 = [0, 1], X2 =

[0, 3] e d1 e d2 sao ambas a metrica euclidiana. Considere-se tambem a aplicacao

h : [0, 1]→ [0, 3] tal que h(x) = 3x que e invertıvel. Defina-se em [0, 1] a metrica d1 tal

que d1(x, y) = d2(h(x), h(y)), para quaisquer dois elementos x e y de X1. Tem-se

d1(x, y) = |x− y| ≤ 3|x− y| = |3x− 3y| = |h(x)− h(y)| = d1(x, y);

e tambem

1

3d1(x, y) =

1

3|h(x)− h(y)| = 1

3|3x− 3y| = |3x− 3y| = |x− y| = d1(x, y);

isto e,

1

3d1(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d1(x, y), ∀x, y ∈ [0, 1].

Portanto, d1 e d1 sao metricas equivalentes em [0, 1] e ([0, 1], d1) e ([0, 3], d2) sao

espacos metricos equivalentes (ver Definicao 48 e Definicao 49 na pagina 102).

Se A1 for o Conjunto de Cantor em [0, 1] e A2 o Conjunto de Cantor em [0, 3],

tem-se A1 ∈ H([0, 1]), A2 ∈ H([0, 3]) e A2 = h(A1); pelo Teorema 16 ambos terao a

mesma dimensao de caixas. �

A seguir apresenta-se um algoritmo para determinar a dimensao de fractais com

auto-semelhanca exacta e funciona para aqueles cujas reducoes de si mesmo que o

compoem nao se sobreponham ou nao se sobreponham “demasiado”. O resultado que

enuncia esse algoritmo nao se demonstra aqui, designar-se-a por “Metodo Heurıstico”

e diz que sendo m e N numeros inteiros positivos, F o fractal definido pelo SFI

{Rm;w1, w2, . . . , wN} em que wn e uma reducao de razao de semelhanca sn para cada


n ∈ {1, 2, . . . N} e D ∈ [0,m], a unica solucao deN∑n=1

|sn|D = 1, entao se o SFI e total-

mente desconexo ou justaposto (isto e, para quaisquer i, j ∈ {1, 2, . . . , N}, wi(F ) e

wj(F ) “tocam-se” mas nao se sobrepoem), vem que a dimensao de Hausdorff (dimH F ) e

a dimensao de caixas (dimB F ) do fractal F sao iguais e tem-se dimH F = dimB F = D.

Se existir sobreposicao no SFI, entao dimB F ≤ D.

Um exemplo de aplicacao deste resultado foi ja apresentado no Exemplo 32, pagina

98, em que uma parte foi resolvida atraves de um metodo heurıstico. De seguida,

apresentam-se mais exemplos da sua aplicacao a fractais definidos por sistemas de

funcoes iteradas em que a imagem produzida por cada uma das contraccoes nao se

sobrepoe a nenhuma das imagens produzidas pelas restantes. Nesses casos, a dimensao

de Hausdorff e igual a dimensao de caixas.

Exemplo 45. Seja F o fractal cujos primeiros estadios de construcao estao repre-

sentados na Figura 2.18. Este fractal pode ser definido por um SFI constituıdo por

Figura 2.18. Primeiras duas iteradas da construcao um fractal que pode

ser definido por um SFI constituıdos por cinco contraccoes, com dois factores

de contraccao diferentes.

cinco contraccoes, uma delas de factor de contraccao 12

e as restantes de factor de con-

traccao 14. O Metodo Heurıstico diz que a dimensao fractal (quer de Hausdorff, quer

de caixas) deste conjunto e a solucao de 4

(1

4

)s+

(1

2

)s= 1. Pode obter-se a solucao

desta equacao quer algebricamente, quer graficamente.


Resolucao algebrica com a mudanca de variavel y =

(1

2

)s:

4

[(1

2

)s]2

+

(1

2

)s− 1 = 0

⇔4y2 + y − 1 = 0

⇔y =1±√

17

8

⇒s = − log2

(−1 +

√17

8

)= − log2

(√17− 1

)+ 3 ≈ 1, 357.

Resolucao grafica: Representam-se graficamente as funcoes f(s) = 4

(1

4

)s+

(1

2

)se g(s) = 1. O valor pretendido corresponde a abcissa do ponto de interseccao entre os

graficos destas duas funcoes; veja-se o grafico na Figura 2.19.

Figura 2.19. Resolucao Grafica, pelo Metodo Heurıstico, para determinar

a dimensao de um fractal definido por um SFI constituıdo por contraccoes de

diferentes factores de contraccao.


Exemplo 46. O Triangulo de Sierpinski pode ser definido por um SFI constituıdo

por 3 contraccoes de factor de contraccao1

2(veja-se o Exemplo 9, pagina 37 do Capıtulo

1). As primeiras iteradas desse SFI estao tambem representadas na Figura 2.21.

Figura 2.20. Primeiras quatro iteradas da construcao do Triangulo de Sierpinski.

A sua dimensao fractal e D tal que 3

(1

2

)D= 1. Tem-se 3 ×

(1

2

)D= 1 ⇔

log 12

(1

3

)= D ⇔ D =

ln 3

ln 2≈ 1, 585.

Este valor ja tinha sido encontrado quando se calculou a dimensao de caixas do

Triangulo de Sierpinski no Exemplo 42 da pagina 125. �

Quando o SFI e constituıdo por N contraccoes que nao se sobreponham, todas com

factor de contraccao igual a r, a dimensao do fractal e o valor D tal que NrD = 1, isto

e, N =

(1

r

)Dou entao, D =

logN

log

(1

r

) . Mas este valor para a dimensao so faz sentido

no caso de fractais com auto-semelhanca exacta em que as varias partes que o compoem

sao copias de si mesmo, todas elas a mesma escala. Esta definicao de dimensao so se

aplica, portanto, a uma pequena classe de conjuntos estritamente auto-semelhantes.

O numero obtido desta forma e por vezes chamado de dimensao de semelhanca do

conjunto.

Exemplo 47. No caso da Curva de Peano ja apresentada no Exemplo 13, pagina

40 do Capıtulo 1, utilizam-se nove contraccoes (N = 9) com factor de reducao igual

a 1/3 (r = 1/3). Entao D = log9/log3 = 2. Este e um exemplo interessante por se


tratar de uma curva no plano (em R2) com dimensao 2. O ponto fixo do SFI que a

define e uma curva que passa por todos os pontos do interior de um quadrado.

Figura 2.21. Esquema de construcao da primeira iterada e as primeiras

cinco iteradas da construcao da Curva de Peano.

�

Exemplo 48. Este mesmo processo pode servir para verificar que imagens com

dimensao euclidiana tem dimensao fractal com igual valor. Por exemplo, um segmento

de recta e feito de quatro copias de si mesmo a uma escala de 1/4. O segmento tem

dimensao log 4

log 14

= 1. Um quadrado e composto de quatro copias de si mesmo a uma

escala de 12

e tem dimensao log 4

log 12

= 2. �

Exemplo 49. A Curva de Koch cuja dimensao fractal ja foi calculada no Exemplo

40 na pagina 122 e constituıda por 4 copias de si mesma a uma escala de1

3. Tem

dimensaolog 4

log 3≈ 1, 286.

Esta curva tem algumas propriedades interessantes (tais como nao ter derivada em

nenhum dos seus pontos e ter comprimento infinito) que serao utilizadas no Capıtulo

4 em propostas de actividades para realizar com os alunos na aula de Matematica. �

Exemplo 50. As curvas cujas primeiras iteradas estao representadas na Figura 2.22

constroem-se de uma forma identica a Curva de Koch, variando o factor de reducao

de cada um dos segmentos relativamente ao segmento inicial e, automaticamente, o

angulo entre estes segmentos. Ambas sao definidas por SFI’s constituıdos por quatro


contraccoes de igual factor de contraccao; no primeiro caso o factor de contraccao e 920

e no segundo e 12.

. . .

. . .

Figura 2.22. Primeiras iteradas da construcao de duas curvas com processo

de construcao identico a Curva de Koch.

A dimensao da primeira curva elog 4

log 209

≈ 1, 736 e a dimensao da segunda elog 4

log 2= 2.

�

Exemplo 51. A Ilha de Minkowski e o fractal construıdo da forma ilustrada na

Figura 2.23. Em cada iteracao, o perımetro da “ilha” aumenta (tendendo para infinito)

mas a sua area mantem-se constante.

A dimensao da linha que delimita a “ilha” elog 8

log 4≈ 1, 5. �

Exemplo 52. O Conjunto de Cantor tambem pode ser visto como compreendendo

quatro copias de si mesmo a uma escala de 1/9. Com base nisso pode calcular-se a sua

dimensao da seguinte forma: D =log 4

log 1/9=

log 2

log 3≈ 0, 631. O valor que se obtem e o


Figura 2.23. Primeiras iteradas da construcao da Ilha de Minkowski.

mesmo que ja se tinha obtido por outros metodos, como e o caso do calculo efectuado

no Exemplo 32. �

CAPıTULO 3

Aplicacoes da Geometria Fractal

139

140 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL

3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL 141

Em cada campo da ciencia os conceitos de geometria vao sendo adaptados as ne-

cessidades do que se estuda (morfologia, espaco de 4 dimensoes, textura, etc.) sendo

frequentemente utilizados de forma intuitiva. Durante seculos, a geometria euclideana

serviu de base para a modelacao e para a compreensao da geometria da Natureza. Com

o aparecimento da geometria fractal nos anos ’70 do seculo XX, pela mao de Mandel-

brot, que escreveu artigos que a relacionam com a geometria de fenomenos observados

em diversas areas da ciencia, o conceito de fractal acabou por captar a atencao de cien-

tistas de muitos campos diferentes e hoje aparecem diariamente artigos sobre fractais

aplicados nos mais diversos contextos .

A geometria fractal pode ser utilizada para modelar objectos naturais desde a escala

atomica (por exemplo na dinamica de fluıdos) ate ao tamanho do universo (como no

caso do estudo da formacao de galaxias). Porem, ha que ter em conta que em cada caso

a aplicacao dos fractais esta sempre limitada a um intervalo de escalas, fora do qual

a propriedade da auto-semelhanca, seja ela exacta ou estatıstica, ja nao se verifica.

Isso faz com que, em geral, nao se possa aplicar directamente a teoria as situacoes

praticas; por exemplo, para o calculo da dimensao de contagem de caixas, na pratica,

nao se pode considerar o diametro das caixas a tender para zero, porque isso deixa

de fazer sentido fora de um determinado intervalo de valores. Assim, a modelacao

de objectos ou fenomenos naturais com a geometria fractal, e feita considerando uma

serie de aproximacoes que dependerao do grau correccao que se pretende nos resultados

finais, tal como ja se fazia antes com a geometria euclideana onde, por exemplo o

globo terrestre e, em muitos casos, estudado como se de uma esfera se tratasse. Ha

tambem que ter em conta que nem tudo na Natureza e fractal, pelo que a geometria

euclideana continuara a ser util e necessaria. Por exemplo, a luz, constituıda por

partıculas elementares e sem subestruturas nao e fractal, no entanto, um relampago

viaja segundo uma linha fractal. Porcoes de agua parada, ou gotas de agua nao sao

fractais, mas as ondas do oceano e as correntes e percursos dos rios sao, muitas vezes,

fractais.


Neste capıtulo serao apresentadas algumas das aplicacoes possıveis da geometria

fractal. Nao se pretende que a lista seja exaustiva nem que cada uma das aplicacoes

seja explicada detalhadamente. As possibilidades de utilizacao da geometria fractal sao

crescentes e, como se vera, existe uma enorme variedades de areas do conhecimento

onde os fractais sao uteis. O que se pretende e dar isso a conhecer neste pequeno

capıtulo para que sirva de apoio ao capıtulo que se segue sobre actividades com fractais

na sala de aula e tambem ao argumento ultimo e principal deste trabalho: E urgente

e importante que os nossos alunos contactem com a geometria fractal e adquiram e

compreendam alguns dos seus conceitos basicos.

As aplicacoes dos fractais estao divididas em tres grupos: aquelas que se aplicam

a objectos ou fenomenos da Natureza, aquelas que sao criacoes humanas e aquelas

que se destinam a modelar ocorrencias das ciencias economico-sociais ou das areas

humanısticas. Ha ainda uma referencia a ligacao entre os fractais e a Teoria do Caos.

1. Fractais Naturais

1.1. Fractais na Biologia e na Medicina. Os biologos e os ecologistas, a se-

melhanca dos cientistas de outras areas, comecaram por modelar a Natureza usando

a geometria euclidiana. Por exemplo, os batimentos cardıacos comecaram por ser

modelados por sinusoides, as arvores conıferas por cones, os habitats de animais por

areas simples e as membranas de celulas por curvas ou superfıcies simples. Contudo,

acabaram por reconhecer que muitas das estruturas naturais sao melhor modeladas,

caracterizadas ou representadas atraves da geometria fractal. Os sistemas e os proces-

sos biologicos sao tipicamente constituıdos por varios nıveis ou subestruturas em que

o mesmo padrao geral se repete em escalas menores. Muitos sao os exempos de estru-

turas fractais que podem ser encontrados na Natureza. Basta um olhar minimamente

atento e, com um pouco de treino, poder-se-ao observar varios objectos com geometria

fractal durante um passeio.

Apesar de nao haver fractais verdadeiros na Natureza (porque geralmente ha sempre

um limite para a escala menor de auto-semelhanca no objecto, e porque a Natureza

1. FRACTAIS NATURAIS 143

inclui, por norma, um coeficiente de aleatoriedade nos seus processos) a geometria

fractal revela-se muito mais proxima da Natureza que a geometria euclidiana. Sabe-se

hoje que as relacoes que dependem da escala tem profundas implicacoes na fisiologia

humana, na ecologia e em muitas outras subdisciplinas da biologia. O facto da fisiologia

animal ser muito regida pela geometria fractal faz com que os fractais sejam cada vez

mais uteis em diversas areas da medicina.

A relevancia da geometria fractal na biologia depende dos objectivos. Se se quiser

estimar a espessura media do tronco das arvores de uma determinada especie, aproxima-

lo a um cilindro pode muito bem ser suficiente; mas se se quiser modelar o habitat de

pequenos insectos que vivem nesses troncos, a geometria fractal podera ser muito mais

adequada. E que se se tratar de um tronco rugoso, a distancia que um insecto de 10

mm tera que percorrer para o contornar sera maior que o diametro da circunferencia

inicialmente considerada. E se o insecto medir 1 mm, maior ainda sera essa distancia.

Quanto mais rugoso for o tronco, maior sera a diferenca nos comprimentos e nas areas

de superfıcie notada entre insectos maiores e insectos menores.

Vejam-se agora alguns exemplos da aplicabilidade dos fractais na biologia e na

medicina.

1.1.1. Estruturas de celulas. A dimensao fractal ja foi usada como medida da com-

plexidade do contorno de celulas neuronais em imagens bidimensionais; e o valor da

dimensao fractal foi recomendado como uma medida morfologica quantitativa da com-

plexidade celular a ter em conta.

1.1.2. Fısica do Solo. Determinou-se a dimensao fractal de solos a partir da dis-

tribuicao dos tamanhos das partıculas que os compoem e estudou-se a relacao da sua

dimensao com as suas propriedades de percolacao e de retencao de agua. O mesmo

metodo tambem ja foi usado para estudar a fragmentacao do solo. Este e outros

metodos utilizaram-se para estimar a dimensao fractal da massa, dos poros e da su-

perfıcie de solos arenosos e lodosos. Sugeriu-se que tambem seria interessante analisar


a relacao entre a geometria fractal do solo e a diversidade das suas micro-flora e micro-

fauna.

1.1.3. Estruturas de Plantas e de Fungos. Ja foi medida a dimensao fractal do

contorno de folhas de varias especies e pensa-se que, apesar desse valor variar bastante

dentro da mesma especie, ele podera vir a ser uma referencia taxonomica.

Tambem ja foi medida a dimensao fractal de sistemas de raızes atraves do metodo

de contagem de caixas e demonstrou-se que a dimensao fractal de um sistema de raızes

vai aumentando ao longo do tempo e varia conforme a especie.

A geometria fractal da forragem de fungos foi estudada e concluiu-se que a dimensao

fractal varia entre as especies e tende a ser maior quando ha mais nutrientes disponıveis.

Muitas plantas crescem de forma ramificada: o tronco subdivide-se em varios ramos

que, por sua vez, se subdividem em ramos mais estreitos e assim por diante. Muitas

vezes, uma parte da planta tem uma forma semelhante a planta completa.

Figura 3.1. Diversos elementos da flora que exibem a repeticao

da mesma forma a varias escalas. (Imagens retiradas respectivamente de

http://www.flickr.com/photos/marsupial, http://www.flickr.com/photos/ricardo ferreira e

http://www.flickr.com/photos/gripspix.)

1.1.4. Sistemas ramificados na fisiologia animal. Alguns dos exemplos de fractais

com estrutura mais intricada encontram-se na fisiologia animal: os sitemas respiratorio,

circulatorio e nervoso possuem uma estrutura altamente ramificada.

O sistema pulmonar e composto por tubos atraves dos quais o ar passa para os

alveolos que sao sacos microscopicos. O tubo principal do sistema pulmonar e a traqueia

que se subdivide em dois tubos mais finos, que se subdividem em bronquios que, por


Figura 3.2. Vegetais com estrutura fractal. Nestes dois casos e clara

a semelhanca entre uma parte da planta e a planta inteira. (Imagens reti-

radas respectivamente de http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Nature/NAtFracGallery e de

http://www.flickr.com/photos/87024394@N00).

sua vez se subdividem em tubos cada vez mais finos, e assim sucessivamente ate se

atingirem os tubinhos mais fininhos do sistema que sao os bronquıolos, que vao dar

aos alveolos. Uma analise cuidada aos pulmoes revela que este possui varios nıveis de

auto-semelhanca e notou-se que esta estrutura fractal torna os pulmoes mais tolerantes

a defeitos durante o crescimento.

Figura 3.3. Imagem do sistema pulmonar e de um modelo fractal

desse sistema. (Imagens retiradas respectivamente de http://www.imunoonco.com.br e de

http://library.thinkquest.org/26242/full/)

De forma semelhante, a subdivisao sucessiva pode tambem ser encontrada nos vasos

sanguıneos. A aorta divide-se em arterias menores, que por sua vez se vao subdividindo


em vasos sanguıneos mais estreitos ate se chegar aos vasos capilares. O coracao esta

repleto de redes fractais: as coronarias, as arterias e as veias, as fibras que ligam as

valvulas a parede do coracao, os musculos cardıacos e o sistema His-Purkinje (que

e constituıdo pelas fibras atraves das quais viajam os impulsos electricos que fazem

contrair os ventrıculos).

Figura 3.4. Modelo do sistema de irrigacao do coracao humano (Scien-

tific American, 1990. (262) February, p. 46. by Hans van Beek and

James B. Bassingthwaighte, University of Washington. Imagem retirada de

http://fractogene.com/full genome/fractal visual gallery.html.)

Os biologos investigam tambem as estruturas ramificadas de neuronios como a que

esta representada na Figura 3.5.

Para alem de proporcionar mais tolerancia a defeitos no crescimento e a danos,

a ramificacao fractal amplifica grandemente a area da superfıcie de um tecido, quer

seja ele para absorcao (caso do pulmao e do intestino), para distribuicao e colheita

(vasos sanguıneos, bronquıolos, intestino, condutas da bılis) ou para processamento de

informacao (nervos).

Em consequencia de uma pesquisa sobre tambores com formas fractais (ver pagina

168) concluiu-se que outra vantagem da forma fractal do sistema circulatorio e a de

este poder amortecer a forca com que o sangue e bombeado pelo coracao, evitando que

haja ressonancia na circulacao do sangue.


Figura 3.5. Neuronio. Foto de Paul De Koninck. ( Imagem retirada de

http://www.greenspine.ca/en/mGFP neuron2.html).

Ha ainda a acrescentar que o corpo humano tambem apresenta dinamicas fractais.

Por exemplo, o batimento cardıaco de um coracao saudavel e caotico e nao regular.

A representacao grafica de um batimento cardıaco revela auto-semelhanca em diversas

escalas de tempo.

O calculo da dimensao fractal e utilizado para o diagnostico de celulas tumorais. As

celulas doentes tendem a ser mais ramificadas e, por isso, terao uma dimensao fractal

maior que as celulas sas.

A geometria fractal e tambem util para caracterizar os padroes gerados por electro-

encefalogramas em estudos sobre o reconhecimento de odores familiares e em estudos

sobre os diversos estados do cerebro durante o sono.

1.1.5. O tamanho dos organismos e a sua fisiologia. A modelacao da relacao entre o

tamanho e a fisiologia (ritmo de metabolismo, velocidade de crescimento da populacao

da especie, idade da primeira reproducao, duracao do desenvolvimento do embriao,...)

de cada ser vivo so comecou a produzir previsoes de valores proximos aos obtidos

nas observacoes directas quando se entendeu que os mecanismos de distribuicao de


alimento e de energia nos organismos tinham estruturas fractais. A partir da analise

em termos geometricos e fısicos dos sistemas de tubos que fazem a distribuicao de

recursos (oxigenio, alimento) e de desperdıcios por todo o organismo, e a partir das

premissas de que a rede de distribuicao tinha que alcancar todos os pontos do corpo

tridimensional devendo, para tal, requerer o mınimo de energia para transportar esses

elementos num meio fluıdo, sendo os ultimos ”tubinhos”da rede (por exemplo os vasos

capilares num sistema circulatorio) todos do mesmo tamanho (considerando que as

celulas em todos os seres vivos sao, grosso modo, do mesmo tamanho) concluiu-se

que tal rede de distribuicao era melhor caracterizada por um sistema de ramificacao

fractal para preenchimento do espaco. Com este sistema, ao qual foram acrescentados

melhoramentos que tem em conta alguns aspectos dinamicos inicialmente desprezados

(como por exemplo a elasticidade dos vasos sanguıneos), obtiveram-se previsoes que se

aproximavam mais dos valores observados na pratica (e outras que depois teriam que

ser, ou nao, comprovadas). Este metodo preve, por exemplo, o grau de ramificacao de

um sistema circulatorio e indica que uma baleia, sendo 107 vezes mais pesada que um

rato, apenas necessita de mais 70% de ramificacoes no seu sistema circulatorio para

poder abastecer todo o seu organismo.

1.1.6. O tamanho dos organismos e o numero de indivıduos. Observou-se que a

previsao do numero de indivıduos invertebrados, baseada na sua massa corporal e nas

suas taxas metabolicas, funcionava bem para organismos maiores, mas subestimavam

constantemente os valores depois obtidos na pratica para as classes de organismos de

tamanhos menores. Essas previsoes eram depois consideravelmente melhoradas quando

a dimensao fractal do habitat era incorporada no modelo. Os organismos pequenos po-

dem ser comparativamente mais abundantes porque podem aproveitar melhor o espaco

que lhes e cedido pelas estruturas fractais do habitat. Isto foi testado atraves da

utilizacao de substratos artificiais de diferentes dimensoes fractais.


1.1.7. Movimento de organismos. Movimentos brownianos fractais foram usados

para caracterizar o movimento de organismos. A analise fractal foi usada para examinar

os pequenos movimentos da aranha na presenca e na ausencia de feromonas dispersas.

Foram tambem feitos varios estudos sobre como se movimentam varios organismos,

segundo o seu tamanho, num terreno de estrutura fractal.

O aglomerado de indivıduos numa colonia levanta questoes importantes acerca da

escala da estrutura e funcionamento da mesma. Modelou-se os benefıcios metabolicos

e os custos de trilhos de “saque”, tipo fractal, do genero dos que sao usados pelas

colonias de algumas especies de formigas. A area total saqueada pela colonia e, con-

sequentemente, o fluxo de recursos para o ninho e a taxa de metabolismo da colonia,

aumentam de forma nao linear com o numero F de “saqueadores” segundo F23 e os cus-

tos do “saque” aumentam linearmente com F . O modelo previu um numero optimo de

“saqueadores” e, consequentemente, a area total de saque que maximiza a boa-forma

da colonia e a alocacao de energia necessaria para a reproducao.

1.1.8. Dispersao de Organismos e de Doencas. Pensa-se que a dispersao de diasporas

e de patogenes tem propriedades fractais. O padrao formado pelo espaco ocupado numa

paisagem por especies de plantas que produzem diasporas adaptadas para percorrer

longas distancias tera uma dimensao fractal baixa. Estas plantas dispersam-se pela

paisagem, avancando com grandes intervalos entre os diversos pontos de fixacao, esta-

belecendo continuamente novas colonias e epicentros que se apresentam em diferentes

escalas. Contrariamente, as especies menos adaptadas a percorrer longas distancias,

percorrem a paisagem estabelecendo-se nela de forma contınua, apresentando novos

epicentros apenas ocasionalmente, o que origina um padrao de distribuicao do espaco

com dimensao fractal mais alta.

Assim, fazendo uma transposicao deste modelo para os agentes patogenicos, conclui-

se que serao difıceis de prever novas erupcoes de patogenes cuja distribuicao tenha

menor dimensao fractal.


As bacterias podem formar padroes muito interessantes quando crescem em labo-

ratorios em pratos petri. As estruturas das colonias formam respostas de adaptacao

as condicoes impostas em laboratorio que simulam as condicoes hostis que enfrentam

na Natureza. As imagens formadas por essas estruturas ilustram as estrategias que as

bacterias empregam e que envolvem cooperacao atraves da comunicacao. Estas mesmas

estrategias sao usadas pelas bacterias quando lutam contra os melhores antibioticos.

Portanto, se forem compreendidos os mecanismos que estao por detras dos padroes,

podera ser possıvel aprender como iludir as bacterias, interferindo, por exemplo, na

sua comunicacao.

Figura 3.6. Padrao formado por bacterias em crescimento, em laboratorio,

em prato petri. A imagem e da autoria de Eshel Ben Jacob que adicionou cor

para obter uma imagem artıstica. (Imagem retirada de http://star.tau.ac.il/ eshel/.)

1.1.9. Complexidade de Habitats. Sabe-se que a coexistencia de especies aumenta

com a dimensao fractal da paisagem e que a natureza fractal das paisagens e um

importante determinante das taxas de utilizacao de recursos.

1.1.10. Imagem e Analise de Texturas. Ha varios metodos de analise de texturas

baseados na geometria fractal. A analise de imagens tem sido usada na medicina e na

biologia celular para analisar, por exemplo, as estruturas locais e as de larga-escala de

imagens de ressonancias magneticas cardıacas e de raios-X aos ossos.


1.2. Fractais na Geologia, na Geografia e na Meteorologia. A invariancia

de escala nos fenomenos geologicos e um dos primeiros conceitos ensinados aos estudan-

tes de Geologia. Eles aprendem que quando fotografam um objecto geologico devem

colocar ao lado um outro objecto do qual se conheca o tamanho (por exemplo uma mo-

eda ou um martelo) que possa servir de referencia para a escala. A fotografia de uma

pedra ou um pequeno curso de agua podem parecer imagens aereas de uma montanha

e de um rio se nao se tiver tido esse cuidado.

Os rios sao bons exemplos de fractais naturais, dada a sua forma ramificada e

tortuosa. As cascatas tambem podem apresentar efeitos visuais de aspecto fractal, com

ramificacoes sucessivas do curso da agua, criadas pela combinacao da forca gravıtica e

a forma da superfıcie da rocha por onde cai a agua.

Figura 3.7. Vista aerea de uma rede fluvial e fotografia de uma cascata; em

ambas as imagens sao bem visıveis estruturas ramificadas auto-semelhantes.

(Imagens retirada de http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Nature/Rivers/Rivers.html.)

Os sitemas fluviais tem dimensao fractal [4, pag. 5], havendo uma relacao entre o

comprimento do braco principal e a area drenada. [4, pag. 209].

O movimento das ondas do mar sendo muito interessante de observar, e tambem

vital para diversas actividades. O ciclo de vida de alguma fauna e flora marinha

dependem dos ciclos das mares. Por outro lado, uma boa parte das perdas de vidas


humanas e de barcos no mar e devida a altura das ondas em momentos de tempo

severo. Por isso, observacoes detalhadas da altura das ondas, do perıodo e de outras

caracterısticas tem vindo a ser efectuadas em muitos locais por todo o mundo. Trata-se

de uma analise semelhante a do movimento browniano (ver pagina 155) com a que se

pretende, entre outras coisas, prever quando irao ocorrer ondas grandes [4, pag. 193].

As formacoes de estalactites e de estalagmites nas grutas subterraneas tambem

apresentam padroes fractais.

Figura 3.8. Duas imagens de grutas onde a geometria fractal e bem

visıvel. (Imagens retiradas respectivamente de http://www.flickr.com/photos/45995688@N00 e

de http://www.flickr.com/photos/51656349@N00).

Muito do vasto interesse pelos fractais deve-se, provavelmente, a producao por

computadores de fabulosas imagens de paisagens. A partir de imagens de satelite, ja se

fazem estudo de paisagens, relativamente ao contorno da mancha florestal, em que se

recorre a geometria fractal para analise dos dados. Modelos simples de paisagens e de

costas marıtimas podem conseguir-se rapidamente com meios computacionais bastante

reduzidos [4, pag. 3] (veja-se a Proposta 14, na pagina 258). A costa marıtima e mais

um bom exemplo de fractalidade na Natureza. A medida que se fazem ampliacoes na

curva delineadora da costa marıtima, mais e mais pormenores vao sendo revelados e

formas estatisticamente semelhantes a inicial vao surgindo.

Os tremores de terra ocorrem em estruturas de falhas com amplitudes que variam

desde os milhares de quilometros ate aos centımetros[15]. Os sismologistas usam os


fractais para estudar as fissuras causadas por tremores de terra[9]. As montanhas sao

construıdas por forcas tectonicas e sao esculpidas pela agua e pelo vento que actuam de

formas semelhantes, em diversas escalas. Apresentam formas fractais e podem inclusive

ser imitadas por algoritmos matematicos e software baseado na geometria fractal.

Figura 3.9. Duas imagens de montanhas onde a ge-

ometria fractal esta bem patente. (Imagens retiradas de

http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Nature/MountainsReal/MountainsReal.html).

Ecologistas e ambientalistas tentam prever o percurso dos fogos florestais e o pos-

terior processo de regeneracao da floresta. A geometria fractal e util tambem aqui.

A superfıcie das nuvens tem dimensao fractal. [4, pag. 5] As nuvens tem invariancia

estatıstica de escala. Sem uma referencia, e difıcil saber o tamanho real da nuvem. Con-

tudo, apesar da teoria dos fractais fornecer uma forma elegante de descrever grande

parte da estrutura das nuvens, ainda nao se compreende bem porque e que as nuvens

tem uma estrutura fractal. Tem sido realizados estudos, a partir de imagens de nuvens

obtidas por satelites meteorologicos, em que se estima a dimensao fractal das nuvens

para tentar perceber se existe diferenca na dimensao fractal das nuvens conforme seu

tipo e estagio (com ou sem chuva ou granizo, etc.) e, em caso afirmativo, saber se exis-

tem meios de calcular essa dimensao de maneira suficientemente precisa que permita

discriminar os diferentes tipos de nuvens. Voss (1985) conseguiu gerar computacional-

mente, imagens notaveis de nuvens fractais cuja qualidade visual so tinha sido ainda

conseguida por pintores. [4, pag. 207].


Figura 3.10. A forma das nuvens pode ser muito variada e

a sua dimensao fractal tem sido objecto de estudo, procurando-

se uma relacao entre esta e a constituicao da nuvem. (Ima-

gens retiradas de http://www.flickr.com/photos/93975313@N00/366255969/ e de

http://www.flickr.com/photos/fernandafronza/407955174/ respectivamente).

O tempo metereologico comporta-se de forma inconstante. As vezes altera-se de

forma lenta de um dia para o outro e outras vezes muda rapidamente, isto e, o tempo

apresenta padroes fractais.

Figura 3.11. ”...nem os relampagos viajam em linha recta”disse Mandel-

brot para ilustrar as propriedades fractais da Natureza. (Imagens retiradas respec-

tivamente de http://www.flickr.com/photos/thirnbeck/ e de http://www.flickr.com/photos/jirik).

O crescimento de populacoes urbanas em torno de um nucleo pode tambem formar

padroes com caracterısticas fractais.

1.3. Fractais na Fısica. O acaso e inerente a todos os fenomenos naturais. Ate o

mais perfeito dos cristais tem inumeras impureza e defeitos situados ao acaso. E mesmo


que o cristal fosse perfeito com todos os atomos no seu devido lugar, isso seria apenas

em termos medios, ja que cada atomo se encontra sempre em movimento termico.

Portanto, o estado de qualquer sistema, por mais perfeito que seja, tem elementos

aleatorios, por isso, muitos fenomenos ou objectos naturais terao de ser modelados

atraves de fractais aleatorios (que nao foram estudados neste trabalho).

Os percursos aleatorios, ou movimentos brownianos tem grande importancia na

fısica, na quımica e na biologia. O movimento erratico de partıculas microscopicas de

polen e fısico, e nao biologico, como se pensou inicialmente. Tudo esta sujeito a flu-

tuacoes termicas e moleculas, macromoleculas, vırus, partıculas e outros componentes

do mundo natural estao todos em constante movimento, colidindo ao acaso devido a

energia termica.

O movimento de uma partıcula browniana visto pelo microscopio consiste aparen-

temente em passos dados numa direccao aleatoria e com um comprimento que tem um

determinado valor caracterıstico. O movimento de uma partıcula num dado intervalo

de tempo e independente do seu movimento noutro intervalo de tempo. Aumentar a

resolucao do microscopio e a resolucao da escala de tempo apenas produz percursos

aleatorios semelhantes.

Muitas imagens atractivas e interessantes podem ser geradas usando teorias da

quımica e da fısica. Um exemplo disso e o processo de agregacao por difusao limitada

(DLA) que descreve, entre outras coisas, a difusao e a agregacao de ioes de zinco numa

solucao electrolıtica nos electrodos e que produz estruturas do tipo das que estao na

Figura 3.12.

O modelo de agregacao por difusao limitada conduz a estruturas que exibem au-

tosemelhanca estatıstica, constituıdas por aglomerados de partıculas, arborescentes e

altamente ramificadas. Existem varios exemplos na Fısica e na Biologia que correspon-

dem a modelos de crescimento deste tipo: solidificacao dendrıtica, colonias de bacterias,

sistema vascular da retina, etc. E e tambem compatıvel com a producao de relampagos,

a cristalizacao de lava, formacao de cristais como os dos flocos de neve e crescimento


Figura 3.12. Imagens deste tipo sao obtidas nos processos de Agregacao

por Difusao Limitada, e tambem em colonias de bacterias em crescimento.

(Imagem retirada de http://local.wasp.uwa.edu.au/∼pbourke/fractals/fracintro/).

de espacos urbanos, entre outros fenomenos. O uso da geometria fractal para o estudo

de fenomenos como a cinetica da agregacao, da congelacao e da sedimentacao ajuda a

racionalizar grandes quantidades de resultados experimentais. [4, pag. 3-4]

Quanto a deslocacao de um fluido num meio poroso (fenomeno designado por per-

colacao) sabe-se que, quando o fluido e de baixa viscosidade ou e um gas, a sua des-

locacao e matematicamente identica a cinetica do processo de agregacao.

Os engenheiros estudam o comportamento fluido imprevisıvel da agua ou do gas

quando injectado em reservatorios de petroleo e tambem esse fenomeno produz padroes

fractais.

A superfıcie de um po e de outros meios porosos e fractal [4, pag. 5]. A superfıcie

especıfica do modelo depende do tamanho das moleculas usadas. A porosidade mi-

croscopica de certas substancias pode tambem ser fractal [4, pag. 237-239].


Quando uma peca de metal e fracturada, a superfıcie que se forma na fractura e

aspera e irregular e pode ser modelada utilizando geometria fractal. O mesmo acontece

com o alastramento de uma fractura numa superfıcie (como num vidro, por exemplo).

Alguns cristais, nomeadamente os flocos de neve, podem apresentar uma estru-

tura fractal. Existem diversos tipos de flocos de neve e alguns deles tem uma forma

semelhante ao conjunto conhecido por Ilha de Koch (ver Proposta 4 na pagina 205).

Figura 3.13. Ha diversos tipos de flocos de neve. Alguns tem estruturas

fractais. (Imagens retiradas de http://www.its.caltech.edu/ atomic/snowcrystals/).

1.4. Fractais na Astronomia. A estrutura do Universo possui auto-semelhanca.

O Universo e composto de aglomerados gigantes de estrelas e planetas que, por sua

vez, sao compostos por aglomerados menores, que sao compostos por galaxias, que sao

compostas por sistemas de estrelas como o nosso sistema solar que, por sua vez ainda,

sao compostos por planetas com as suas respctivas luas em torno de si.

Ha um consenso geral acerca da existencia de estruturas fractais no universo a partir

de, aproximadamente, 50 milhoes de anos-luz, mas ha dificuldades em determinar as

escalas de distancia entre as galaxias. Por isto e por outros pormenores de natureza

tecnica e cientıfica onde nao ha conhecimentos ainda suficientes, ou acordo entre os

cientistas, o grau de fractalidade do universo tambem nao e ainda consensual.


Figura 3.14. Galaxia criada por computador. (Imagem retirada de

http://library.thinkquest.org/26242/full/).

2. Fractais criados pelo Homem

A partir do momento em que o aparecimento e a evolucao dos computadores per-

mitiu a construcao e a visualizacao rapidas de fractais, isso nunca mais parou de acon-

tecer. Os fractais sao desenhados nao so por motivos esteticos e por puro divertimento

e deleite dos que os constroem e observam, mas fazem tambem parte de inumeras ex-

periencias e projectos na area da informatica, do cinema, da industria e da tecnologia

e ainda de diversas expressoes de arte.

2.1. Imagem, Cinema, Informatica, Tecnologia, Industria. Imagens gera-

das por computador foram uma das primeiras aplicacoes dos fractais. Atraves dos

fractais pode conseguir-se realismo e beleza, ocupando pouco espaco de memoria por

ser facil comprimir os dados. Benoit Mandelbrot publicou no seu livro Fractal Ge-

ometry of Nature imagens de paisagens muito bonitas, geradas por computador por

Richar Voss. Mais tarde, a industria cinematografica utilizou metodos identicos para

2. FRACTAIS CRIADOS PELO HOMEM 159

criar cenarios virtuais. A geometria fractal permite simular imagens naturais nao so

de paisagens, como tambem de nuvens e de plantas (veja-se o Exemplo 14 na pagina

42).

Figura 3.15. Paisagens criadas por computador. A ultima e da auto-

ria de Sig Handelman e as restantes sao da autoria de Musgrave.(A primeira

imagem foi retirada de http://library.thinkquest.org/26242/full/. As restantes foram retiradas de

http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/.)

Ainda na area da imagem digital, quando se pretende converter uma imagem a

cores para uma escala de cinzentos e depois imprimi-la, usam-se as chamadas tecnicas

de dithering que pretendem simular que se possui uma paleta grande de cores, quando


na verdade se dispoe apenas de preto e branco. Uma delas consiste em varrer a imagem

por linhas, colocando em cada pixel uma quantidade de tinta apropriada ao tom cor-

respondente da escala de cinzentos. Mas este processo produz, habitualmente, imagens

de muito baixa qualidade, em que se nota esse varrido por linhas. A curva de Hilbert

e conhecida desde 1890 e e, portanto, muito anterior ao inıcio do desenvolvimento da

geometria fractal por Benoıt Mandelbrot, mas ha aplicacoes tecnicas desta curva no

processamento de imagens digitais. Se se aplicar um algoritmo em que esse varrido dos

pixeis seja feito segundo a curva de Hilbert, conseguem-se imagens de melhor qualidade

em que a direccao do varrido dos pixels nao se nota (veja-se a Figura 3.16).

A compressao de dados informaticos tambem pode ser feita atraves de metodos

que envolvem a geometria fractal. Uma imagem do Conjunto de Mandelbrot (ver

pagina 163 e seguintes e Figura 3.20 na pagina 165), em formato GIF, ocupando todo

o ecan, pode ocupar 35 kilobytes e pode ser armazenada segundo a formula que a gera

- z = z2 + c - que nao ocupa mais do que 7 bytes. Neste caso, tem-se uma compressao

de 99.98%. Da mesma forma, para outra imagem qualquer, podem procurar-se funcoes

que produzam, cada uma delas, uma parte da imagem dada. Para uma imagem que nao

seja fractal poderao ser necessarias centenas de funcoes dessas; no entanto isso pode,

ainda assim, ocupar menos espaco que mihares de pixels coloridos. Michael Barnsley

foi quem primeiro sistematizou os fractais gerados por sistemas de funcoes iteradas e

quem lancou a base da compressao de imagens atraves da geometria fractal, utilizando

os SFI. Para alem de se conseguirem valores muito bons de compressao, o importante

e que essa compressao e feita sem perdas, isto e, ao recuperar a imagem ela esta igual

e, alem disso, pode ainda usar-se o SFI para gerar mais detalhe e conseguir imagens

de alta-resolucao.

A estutura da Internet e constituıda por um numero relativamente pequeno de

grandes nos que se ligam a um numero maior de nos de tamanho medio que, por sua

vez se ligam a uma imensidao de pequenos nos. E uma estrutura com caracterısticas

fractais. A modelacao do trafego na internet e um ingrediente chave na planificacao


Figura 3.16. Em cima esta a imagen de Lena original em 256 nıveis de

cinzento (a esquerda), com dithering para imitar 256 nıveis a partir de um

conjunto menor de tons (ao centro) e com dithering baseado so em dois tons

(a direita). Na segunda linha pode comparar-se o dithering tradicional (a

esquerda) com o dithering com a curva de Hilbert (a direita). Finalmente

mostra-se como e feito o varrido dos pixeis seguindo a curva de Hilbert. (As

imagens foram retiradas de http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-15.shtm.)

e construcao de redes e na gerencia das terefas nelas processadas. Tem-se vindo a

demonstrar que o trafego na internet tambem tem caracterısticas fractais e, com base

nisso, tem-se vindo a tentar modelar melhor o trafego na internet combinando as suas

caracterısticas fractais com outras propriedades conhecidas. Para alem de modelar o

trafego, ha tambem necessidade de modelar a topologia da rede de suporte a internet.

E estes dois factores estao correlacionados; por um lado, se se alterar a rede em si, isso

provocara modificacoes no trafego e por outro, as redes sao construıdas com base no

trafego que tem que suportar.


Apesar de os fractais estarem essencialmente presentes na Natureza e de os obejctos

feitos pelo homem terem formas dominadas pela geometria euclidiana, o facto de a

geometria fractal ter vindo a ser reconhecida como importante na modelacao de muitos

fenomenos levou a que varias empresas tivessem comecado a explorar a aplicabilidade

das formas fractais nos seu produtos. Por exemplo, as antenas com formatos comuns sao

sensıveis apenas a um numero limitado de frequencias e nao sao eficientes se a frequencia

for menor que um quarto do comprimento de onda. Isto transforma o desenho de

pequenas antenas portateis, como as dos telemoveis, num desafio. As antenas com

formatos fractais podem ultrapassar algumas destas dificuldades, ja que a experiencia

demonstrou que as antenas cuja forma corresponda a imagem obtida apos um pequeno

numero de iteracoes da construcao de um fractal conseguem detectar varias frequencias.

A medida que o numero de iteracoes aumenta, o campo de frequencias detectaveis pela

antena aumenta tambem. Alem disso, as antenas fractais conseguem ser operacionais

com apenas um quarto do tamanho das antenas comuns. Varias companhias estao ja

a utilizar os fractais para a construcao de antenas multi-frequencia de telefones moveis

e de hardware militar (ver Figura 3.17).

Figura 3.17. Exemplo de antena com o formato de (uma determi-

nada iteracao no processo de construcao de) um fractal. (Imagem retirada de

http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/ManuFractals/FractalAntennas/FractalAntennas.html).


A construcao de feixes de fibra optica, segundo um processo iterativo, formam cabos

cujo contorno da sua seccao e fractal e que conseguem melhor rendimento no tranporte

da informacao (ver Figura 3.18).

Figura 3.18. Seccao de cabo de fibra optica com a colocacao

das fibras segundo uma estrutura fractal. (Imagem retirada de

http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/ManuFractals/FractalFiberoptics/FractalFiberoptics.html).

Na industria sao usados misturadores com estruturas fractais que permitem a mis-

tura de fluıdos com um menor grau de turbulencia que os misturadores “normais” e

ainda com consumo inferior de energia. Com este tipo de misturadores pode conseguir-

se um maior controlo das reaccoes entre os varios fluıdos quando se misturam, ja que

o fluido injectado sai de todos os pontos de injeccao ao mesmo tempo, porque todos

estao a mesma distancia da fonte (ver Figura 3.19). Salienta-se ainda que a area de

interface entre os fluidos e aumentada significativamente em relacao aos injectores de

fluidos com formas geometricas tradicionais.

Ha varios metodos de analise de texturas baseados na geometria fractal. Isto pode

ter varias aplicacoes e um exemplo e a utilizacao destes metodos para a deteccao de

falhas em tecidos na industria textil.

Imagens digitais de rara beleza e extremamente complexas sao criadas segundo o

mesmo processo com que e desenhado o Conjunto de Mandelbrot .


Figura 3.19. Misturadores de fluıdos com forma fractal, cons-

truıdos pela Amalgamated Research Inc. (Imagem retirada de

http://www.arifractal.com/ari%20engineered%20fluid%20transporting%20fractals.pdf).

Esse conjunto e um fractal definido como o conjunto de pontos c = x+ yi ∈ C para

os quais a sucessao definida recursivamente por

z0 = 0

zn+1 = z2n + c, n ∈ N

nao tende

para o infinito. Para representar este conjunto graficamente, basta pintar o ponto do

plano de coordenadas (x, y) de preto, caso c = x+yi pertenca ao conjunto, e de branco,

caso nao pertenca (ver Figura 3.20).

Este conjunto foi definido pela primeira vez em 1905 por Pierre Fatou, um ma-

tematico frances que trabalhou no campo da dinamica analıtica complexa. Na era de

Fatou ainda nao existiam computadores, mas ele tentou calcular e representar grafi-

camente os pontos do conjunto a mao. E provou que uma vez que um ponto atinja

uma distancia da origem maior que 2, a sucessao correspondente (orbita) tendera para

infinito. Fatou nunca viu uma imagem deste conjunto que deve o nome a Benoıt Man-

delbrot, a primeira pessoa a utilizar um computador para representar o conjunto gra-

ficamente. Com o computador e ainda possıvel adicionar cor a representacao grafica

do conjunto, atribuindo uma cor a cada pıxel consoante o numero de iteracoes que

sao necessarias para que se atinja uma certa distancia da origem. Usando metodos

identicos para outras formulas matematicas, podem ser criados outros conjuntos cujas

imagens sao sempre extremamente complexas e, muitas vezes, extremamente bonitas.


Figura 3.20. Representacao grafica do Conjunto de Mandelbrot -

os pontos a preto sao os que lhe pertencem. (Imagem retirada de

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto de Mandelbrot).

Como em todos os outros fractais verdadeiros, podem realizar-se ampliacoes sucessivas

de partes do conjunto e verificar que nele estao contidas infinitas copias (exactas ou

aproximadas) de si mesmo.

2.2. Arte. Tal como ja sugere o ultimo exemplo de aplicacao dos fractais men-

cionado na seccao anterior, eles tambem estao presentes na arte. Ou porque o ob-

jecto artıstico e construıdo segundo processos da geometria fractal, ou porque esta e

util para investigar acerca das caracterısticas desse objecto. Curiosamente, isso nao e

valido apenas para imagens ou objectos tridimensionais, como esculturas ou edifıcios

arquitectonicos, como a partida se poderia pensar; os fractais estao tambem presentes

na musica!

2.2.1. Musica. A relacao entre a musica e a matematica ha muito que e conhecida

e as ligacoes entre as duas disciplinas sao de varia ordem - simetrias entre trechos da


Figura 3.21. O Conjunto de Mandelbrot representado a cores e outra ima-

gem construıda segundo o mesmo processo. (Imagens retiradas respectivamente de

html.rincondelvago.com/fractales-y-caos.html e de http://www.faemalia.net/Fractals/Sterling-v1.7-

Part1/).

composicao e relacao entre comprimentos de cordas de um instrumento e os tons das

notas musicais que delas soam, sao dois exemplos. A geometria fractal e mais uma

forma de relacionar a matematica e a musica.

A musica fractal e o resultado de um processo iterativo no qual um algoritmo e

aplicado a uma nota musical inicial para produzir a nota seguinte, de seguida aplica-

se a mesma formula a nota obtida para determinar a terceira nota musical, e assim

sucessivamente. Este tipo de processo origina normalmente uma “melodia” caotica e

totalmente imprevisıvel, mas pelos resultados interessantes produzidos, tem vindo a

ganhar entusiastas e apreciadores. Na verdade, este estilo de musica desperta reaccoes


dıspares nas pessoas, entre o apreciar muito e o detestar ao ponto de se sentir mal

fisicamente ao ouvi-la.

Existe uma variedade consideravel de software disponıvel na internet para com-

posicao de musica fractal e alguns dos programas transformam imagens fractais, como

o Conjunto de Mandelbrot (ver Figura 3.21 na pagina 166), em musica. Fazem isso

associando a cor de cada pixel a uma nota. Percorrendo a imagem linha a linha obtem-

se uma melodia. Outro metodo consiste em criar as notas com base na localizacao do

“pixel” no monitor do computador, na ordem pela qual o fractal foi criado. Estes sao

apenas dois dos metodos possıveis para a transformacao de uma imagem fractal em

musica fractal, existindo ainda outros.

Existem ja alguns musicos profissionais a usar musica fractal, como e exemplo a

”New World Chaos”, uma banda de musica fractal, ou a ”Omar´s Basement”, uma

banda de jazz, que em 1995 actuou na Australia com uma musica de 4 minutos em

que a bateria, o baixo, a guitarra e o saxofone foram tocados por pessoas e o piano

sintetizado foi tocado por um computador que tinha um programa fractal. Portanto,

quando menos se esperar, a musica fractal podera ainda vir a desempenhar um papel

na sociedade, identico ao de outros estilos musicais. Um dos compositores que mais se

tem dedicado a este tipo de musica e Phil Thompson, hoje o mais conceituado autor

de musica fractal.

Por outro lado, a analise de partituras de musica nao fractal, isto e, nao produzida

da forma supracitada, pode, por vezes, tambem revelar auto-semelhanca no processo

de composicao. Ha quem encontre aspectos da geometria fractal nos trabalhos de

compositores de musica classica e barroca.

Uma das experiencias possıveis consiste em retirar o terco central da composicao

e depois retirar o terco central de cada um dos dois trechos restantes, e assim suces-

sivamente, repetindo isto diversas vezes, a semelhanca da construcao do Conjunto de

Cantor (ver Exemplo 11 na pagina 38) e de seguida verificar se o que sobra ainda soa de

forma identica a composicao inicial. Isso acontece realmente em composicoes de Bach,


Beethoven e Brahms mas nao em obras de outros compositores menos complexos. Isto

pode sugerir que a robustez de uma composicao perante um processo destes possa ser

um indicador de sofisticacao musical.

Ja foram construıdos tambores com formas fractais e analisados os movimentos da

sua superfıcie quando se bate num ponto. Verificou-se que, ao contrario dos tambores

normais em que toda a superfıcie vibra, nestes consegue-se que apenas vibre uma parte

da sua superfıcie. Em consequencia disto, foi sugerido que a razao de a costa marıtima

ser fractal (veja-se a pagina 152) e que essa e a melhor forma para travar as ondas e a

sua accao erosiva, de modo que a forma da costa fique estabilizada, sem que essa accao

consiga provocar alteracoes significativas.

Um projecto, intitulado “A Musica do coracao” consiste em transformar os da-

dos obtidos em gravacoes digitais dos sinais electicos do coracao humano (atraves de

electrocardiogramas - ECG) em musica. Os dados obtidos no ECG sao convertidos

em notas musicais e a seguir o compositor acrescenta harmonia e ritmo para tornar

a musica agradavel. Como ja foi dito antes, um coracao saudavel apresenta um bati-

mento cardıaco irregular e, por isso, a partir do metodo usado neste projeccto, produz

musicas agradaveis e melodias interessantes, enquanto que um coracao doente cria

melodias nonotonas.

2.2.2. Pintura, Fotografia. Historiadores de arte usam fractais para datar pinturas

chinesas antigas.[9]

Estruturas auto-semelhantes, com caracterısticas fractais, estao tambem patentes

em alguns padroes decorativos africanos e islamicos. A tecnica de pintura de alguns

pintores tambem produz resultados com caraterısticas fractais. E o caso de alguns

trabalhos de Jackson Polloc (ver Figura 3.22).

Podem criar-se padroes fractais muito interessantes com tinta comprimida entre

duas folhas de papel que depois se descolam (ver Figura 3.23). Ao variar a viscosidade

da tinta que se usa e a forma como se comprimem e descolam as folhas, obtem-se

padroes diferentes.


Figura 3.22. Detalhe do quadro Number 8, de Paul Jackson Pollock

1949; Neuberger Museum, State University of New York. (Imagem retirada de

http://www.ibiblio.org/wm/paint/auth/pollock/).

Figura 3.23. Resultado obtido por compressao de tinta en-

tre duas folhas que se separam em seguida. (Imagem retirada de

http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Art/Decalcomania/Decalcomania.html).

A imitacao de paisagens e possıvel com software adequado baseado na geometria

fractal. Podem conseguir-se imagens tao reais que parecem fotografias verdadeiras (ver

Figura 3.15 na pagina 159). Imagens abstractas, tambem dignas de galerias de arte,

sao geradas segundo processos iterativos (ver Figura 3.21 na pagina 166).


2.2.3. Arquitectura. O livro African Fractals de Ron Englash, sobre os fractais na

cultura aficana revela, entre outros aspectos, como os fractais estao patentes na ar-

quitectura de alguns povoamentos. Segundo esse autor, a arquitectura reflecte as es-

truturas social e religiosa das colonias o que, nalguns casos, da origem a aglomerados

arquitectonicos que apresentam caracterısticas fractais (ver Figura 3.24 e Figura 3.25).

Figura 3.24. Vista aerea de uma povoacao em Ba-Ila, na Zambia, antes de

1944 (American Geographic Institute) e as primeiras tres iteracoes do modelo

fractal correspondente. (Imagens retiradas de

http://www.rpi.edu/∼eglash/eglash.dir/afractal/afarch.htm).

Na arquitectura europeia podem encontrar-se exemplos de edifıcios com carac-

terısticas fractais que vao desde o estilo moderno ate aos antigos desenhos de Da

Vinci (ver Figura 3.26, Figura 3.27 e Figura 3.28). As propriedades fractais revela-

das por esses edifıcios podem ser utilitarias ou reflectir hierarquias sociais, religiosas

ou polıticas. A decoracao intrincada da arquitectura dos estilos gotico, renascentista

e barroco, especialmente expressa nas catedrais, exibe frequentemente a repeticao do

mesmo objecto em diferentes escalas.

3. FRACTAIS APLICADOS AS CIENCIAS ECONOMICAS, SOCIAIS E HUMANISTICAS 171

Figura 3.25. Vista aerea da cidade de Logone-Birni cons-

truıda pelo povo Kotoko do Camarao. (Imagem retirada de

http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Architecture/AfricanArch/Kotoko1.html).

3. Fractais aplicados as Ciencias Economicas, Sociais e Humanısticas

Mandelbrot escreveu muitos artigos que lidam com a geometria de fenomenos ob-

servados em diversas areas da ciencia. Ele estudou a geometria fractal das mudancas de

preco e da distribuicao de salarios, da estatıstica dos erros em mensagens telefonicas,

da frequencia de palavras em textos escritos e de muitos outros objectos matematicos

noutros assuntos.[4]

3.1. Economia. Na Economia e importante conseguir prever o que ira acontecer

no mercado em momentos futuros. Com base na geometria fractal, Benoit Mandelbrot

introduziu uma teoria que pode ser utilizada para analizar o mercado, segundo a qual

o comportamento do mesmo e estatisticamente igual em larga escala (um ano, por

exemplo) e em escalas menores (uma semana ou um dia). A analise dos graficos do


Figura 3.26. Projecto de Kazimir Malevich, um artista e arquitecto russo.

(Imagem retirada de http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Architecture/Arkhitektonics/Arkhitektonics.html).

comportamento dos ındices ou dos precos de accoes na bolsa, permitem visualizar essa

teoria.

3.2. Historia. A geometria fractal esta intimamente relacionada com a Teoria

do Caos segundo a qual determinados fenomenos sao muito sensıveis a alteracao das

condicoes iniciais; isto e, o mesmo tipo de mecanismo, com determinadas condicoes

iniciais ou com outras ligeiramente diferentes, pode produzir a curto, medio ou longo

prazo, resultados muito diferentes. Metaforicamente utiliza-se a imagem da borboleta

cujo suave batimento de asas aqui pode provocar grandes tempestades no lado oposto

do globo terrestre. Este tipo de abordagem pode tambem ter aplicacoes no estudo da

Historia tentando relacionar os eventos menores com os de maior escala.

Alem disso, a estrutura hierarquica de muitos sistemas sociais sugere fractalidade

no sistema polıtico: federacoes constituıdas por estados, estados compostos por paıses,

paıses que contem cidades, que se repartem em bairros que, por sua vez, abarcam

3. FRACTAIS APLICADOS AS CIENCIAS ECONOMICAS, SOCIAIS E HUMANISTICAS 173

Figura 3.27. Neste pormenor do Mosteiro da Batalha, pode observar-se

o mesmo padrao de arcos repetido em diferentes escalas. (Imagem retirada de

http://pt.wikipedia.org/wiki/Mosteiro da Batalha).

varias ruas, nas quais vivem diversas famılias, compostas por indivıduos. Isto podera

representar relacionamentos funcionais a diversos nıveis de escala.

Nas estatısticas do tamanho e frequencia de guerras foram tambem encontradas

diversas escalas sugerindo uma possıvel aplicacao da geometria fractal. Um modelo

proposto para estudar a interaccao entre os paıses e as possibilidades de guerra e

alastramento da mesma entre eles, e baseado no modelo aplicado ao estudo dos fogos

florestais, em que as arvores secas ou de mais facil combustao sao substituıdas pelos

paıses nos quais uma pequena instabilidade pode leva-lo a entrar em guerra.

3.3. Psicologia. A geometria fractal e a Teoria do Caos geraram tambem aborda-

gens diversas na psicologia. E verdade que algumas destas aplicacoes tomaram grandes

liberdades relativamente ao significado especıfico de construcao fractal, mas ainda assim

a utilizacao dos fractais nesta area do conhecimento revela-se promissora, havendo ate

uma entidade chamada Society For Chaos Theory in Psychology and Life Sciences que e


Figura 3.28. Esboco de Da Vinci de uma catedral constituıda por

abobadas de formato identico em diversas escalas diferentes (imagem retirada

de http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Architecture/daVinci/daVinci.html).

uma organizacao multidisciplinar internacional que pretende reunir os esforcos dos que

se interessam e investigam as possıveis aplicacoes da teoria de sistemas dinamicos, da

auto-organizacao, redes neuronais, fractais, automatos celulares, caos e outros topicos

relacionados. A organizacao tem membros das disciplinas de psicologia, ciencias soci-

ais, reabilitacao, biologia, fisiologia, neurociencia, matematica, filosofia, fısica, ciencias

computacionais, economia, gestao, ciencias polıticas, engenharia e artes. Exemplos de

investigacoes levadas a cabo por membros desta organizacao sao: a aplicacao de Siste-

mas de Funcoes Iteradas para modelar a memoria visual e a comparacao do formalismo

dos SFI com a dinamica de tratamento psicoanalıtico de um paciente cujos resultados

sugerem aspectos fractais do ego.

3.4. Literatura. Podem encontrar-se na literatura exemplos de assuntos fractais,

provavelmente construıdos pelos autores de forma inconsciente. Por exemplo, um texto

de Jorge Luıs Borges descreve a vida de um ansiao chines, na qual todas as bifurcacoes

4. OS FRACTAIS E A TEORIA DO CAOS 175

da historia ocorrem, isto e, cada vez que a personagem tem que escolher entre varias

alternativas, ele escolhe todas, criando diversos futuros e multiplos tempos, que por

sua vez evoluem e tambem ramificam. Os fractais tambem aparecem, por vezes, como

objectos explıcitos na literatura. Exemplos disso sao um castelo com um lago com a

forma do Conjunto de Mandelbrot (ver Figura 3.20 na pagina 165), ou descobertas

matematicas (entre as quais aspectos da geometria fractal) que vao sendo feitas pela

personagem principal, ou ainda uma experiencia psicologica na qual a observacao de

imagens fractais altera os arquetipos da percepcao, abrindo a visao a fantasticos mundos

novos.

Foi proposto um modelo de medicao da complexidade de um texto a partir da

medicao da dimensao fractal de um diagrama efectuado com base em determinadas

regras. Esse modelo sugere que quanto maior for a dimensao, maior e a complexidade

do texto. Um outro projecto envolve a desconstrucao de um poema. Retira-se a terca

parte do meio. Primeiro retira-se a terca parte das estancias, depois das linhas, a seguir

do conjunto de palavras de cada linha. Em alguns casos, o resultado final ainda se le

bem e preserva algum do sentido global, sugerindo que esses poemas possuem uma

estrutura fractal atraves da repeticao de ideias a diversas escalas.

A repeticao e um processo fundamental na poesia e os padroes de repeticao ha

muito que vem sendo estudados. Foi descoberto uma nova forma de repeticao em

determinados poemas, em que a mesma palavra (dita raiz do poema) aparece com um

padrao de repeticao na estrutura global do poema, identico ao formado pelas varias

componentes de uma determinada iteracao do Conjunto de Cantor (ver Exemplo 11

na pagina 38).

4. Os Fractais e a Teoria do Caos

No final do sec. XIX, quando Poincare tentava resolver as equacoes que lhe per-

mitiam descrever o movimento de tres corpos em interaccao gravıtica percebeu que

o problema nao tinha solucoes regulares e periodicas como, a partida, tinha suposto.

Afinal, o comportamento de um corpo sob a influencia gravıtica de outros dois corpos


muito mais pesados (por exemplo um asteroide entre o campo gravıtico do Sol e de

Jupiter) era irregular, e essencialmente imprevisıvel, pois quaisquer duas orbitas com

condicoes iniciais arbitrariamente proximas resultavam, no futuro, em orbitas muito

diferentes. Estes foram os primeiros passos para o conhecimento do caos determinista,

que nao tiveram grandes consequencias imediatas devido a falta de matematica e de

meios tecnicos suficientes na epoca.

So no inıcio dos anos 60 do seculo XX e que Lorenz, ao calcular com recurso a

um computador, solucoes aproximadas para um sistema de equacoes que modela a

convexao na atmosfera, se deparou com o mesmo fenomeno de divergencia de solucoes

inicialmente muito proximas que Poincare tinha descoberto. Este fenomeno, a que se da

o nome de sensibilidade as condicoes iniciais, deu origem, neste contexto, a metafora do

efeito borboleta, ja referida na seccao 3.2. A partir dos seus calculos, Lorenz desenhou

o primeiro esboco do atractor caotico que hoje e conhecido com o seu nome.

Figura 3.29. Atractor de Lorenz. (Imagem retirada de http://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz attractor).

A partir de entao, a utilizacao de computadores para achar solucoes aproximadas de

equacoes foi-se generalizando e foram-se multiplicando os exemplos de comportamento

caotico em contextos muito diversos.

A medida que as ferramentas matematicas foram evoluindo, foi-se entendendo que

a dinamica caotica, caracterizada por comportamentos irregulares e pela dependencia

sensıvel nas condicoes iniciais, e caracterizada por sistemas nao lineares e com feedback.

4. OS FRACTAIS E A TEORIA DO CAOS 177

Um sistema e formado por um conjunto de objectos que se relacionam entre si. Podem

considerar-se dois tipos de sistemas: os lineares e os nao-lineares. No primeiro tipo, a

resposta a um disturbio e directamente proporcional a intensidade deste; no segundo,

a resposta obtida nao e necessariamente proporcional a intensidade do disturbio. Em

sistemas nao lineares e com feedback, inclusive em sistemas bastante simples, pode

aparecer o caos.

A teoria do caos estuda o comportamento aleatorio e imprevisıvel dos sistemas e

sustenta que os comportamentos casuais (aleatorios) tambem sao governados por leis.

O comportamento do sistema dependera da sua situacao “de inıcio”. Se se alteram

essas condicoes iniciais, ainda que as alteracoes sejam pequenas, o sistema podera

comportar-se de forma muito diferente.

Bons exemplos de sistemas caoticos sao o crescimento de lavouras e a formacao de

tempestades, onde qualquer pequena alteracao da direccao ou da velocidade dos ventos,

por exemplo, pode provocar grandes mudancas ao fim de algum tempo. Outro Exemplo

e a formacao de uma nuvem no ceu, que pode ser desencadeada e desenvolver-se com

base numa grande variedade de factores tais como o calor, o frio, a evaporacao da agua,

o vento, o clima, condicoes do Sol, os eventos sobre a superfıcie e inumeros outros. Nao e

por acaso que os meteorologistas se enganam com frequencia nas previsoes atmosfericas.

Outros fenomenos, para alem dos meteorologicos, podem ser entendidos a luz da teoria

do caos: o sistema solar (que era tido como extremamente ordenado), a evolucao de

populacoes, o escoamento de fluidos, as reaccoes quımicas, as variacoes no mercado

financeiro, os movimentos de placas tectonicas, etc. O transito e outro exemplo. Basta

um pequeno acidente para provocar grandes alteracoes no fluxo das viaturas pelas

arterias de uma cidade.

Os conjuntos invariantes de muitos sistemas dinamicos nao lineares, em particular

os chamados “atractores estranhos”, tem estruturas detalhadas em todas as escalas de

magnificacao. E esta a ligacao dos fractais a teoria do caos. Ha uma ordem fractal por

detras de fenomenos aparentemente caoticos. Assim, a teoria do caos nao e uma teoria


de desordem mas busca, no aparente acaso, uma ordem intrınseca determinada por

leis precisas. Nas ultimas decadas, depois de um arduo trabalho, matematicos e fısicos

elaboraram teorias para explicar o caos. Hoje sabe-se muito a respeito de fenomenos

imprevisıveis que, ao serem compreendidos, passam a ser um pouco mais previsıveis.

CAPıTULO 4

Exploracao de Fractais em contexto de Sala de Aula

179

180 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA

4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA 181

Depois de varias tentativas para seguir um criterio que uniformizasse as propostas

de actividades para a sala de aula que se apresentarao neste capıtulo, isto e, depois de

procurar que houvesse uma linha orientadora de modo a que as propostas fossem todas

dirigidas, por exemplo, para a mesma faixa etaria, ou so para a aula de Matematica, ou

so para a disciplina de Area de Projecto, decidiu-se pelo oposto: apresentar uma boa

variedade de propostas no que se refere tanto ao publico alvo, como aos conceitos abor-

dados, as tecnicas utilizadas e aos metodos de trabalho implicados. Porque? Porque as

possibilidades de exploracao de fractais ou das suas aplicacoes como mote para estudo

de outros conceitos sao tao vastas, que se concluiu que o melhor seria introduzir um

pouco de cada tipo de abordagem. Assim, antes de cada proposta serao apresentados

os objectivos de cada actividade e no final serao tecidos os comentarios considerados

necessarios para que fique clara a forma como a mesma pode ser aplicada e explorada.

Algumas das actividades serao baseadas na utilizacao de software que, ou e gratuito,

ou esta disponıvel na forma de applet na internet. Caso contrario, sugiro o tipo de

software a utilizar sem mencionar nenhum em particular, como e o caso das folhas de

calculo ou da calculadora grafica. De qualquer forma, em qualquer das abordagens aos

fractais, sera sempre importante comecar por pedir aos alunos que tentem desenhar

as primeiras iteracoes a mao, no papel. De seguida, perguntar-lhes como se poderiam

conseguir resultados melhores e de forma mais rapida. Facilmente surgira a sugestao do

uso do computador e isso permite ao professor explicar porque e que o desenvolvimento

da geometria fractal so ocorreu na segunda metade do seculo XX e tambem perscrutar

a nocao que os alunos tem sobre o que e a programacao computacional e sobre a

importancia da mesma para o mundo actual.

Deve tambem ser discutido com os alunos o problema da impossibilidade de cons-

truir um fractal verdadeiro, mesmo que se recorra ao computador. O fractal obtem-se

apos uma quantidade infinita de iteracoes, o que, por questoes de insuficiencia de

tempo, e impossıvel realizar. Alem disso, nao e possıvel desenhar segmentos de recta

abaixo de um determinado comprimento e o monitor do computador esta limitado ao


tamanho do pixel. Se o software permitir ampliacoes, havera uma altura em que so se

conseguira ver o detalhe e nao o fractal completo. Por outro lado, a partir de certa

iteracao, e impossıvel notar a diferenca entre duas iteracoes. Por exemplo na curva de

Koch, e impossıvel notar a diferenca entre a decima e a vigesima iteradas; no entanto,

essa diferenca existe e e substancial.

Ha ainda a salientar o facto de nunca nenhuma das imagens obtidas numa iteracao

de construcao de um fractal, ser auto-semelhante. Apenas o fractal o e. Sera sempre

necessario imaginar as iteracoes que faltam para identificar, a partir da imagem de uma

iteracao, as varias reducoes que o fractal contem de si mesmo.

Porque trabalhar com Fractais com alunos do Ensino Basico e Secundario? Em

primeiro lugar, o facto (ja referido no Capıtulo 3) de a forma e dimensao fractais

estarem muito presentes na Natureza devera ser, por si so, um factor de motivacao para

professores e alunos. A propriedade da auto-semelhanca e facilmente entendida por

uma crianca se visualizada, por exemplo, na folha de um feto ou na estrutura de uma

couve-flor. Por outro lado, a aplicabilidade do estudo dos fractais num numero cada

vez mais crescente de areas da ciencia e da tecnologia (ver Capıtulo 3) torna admiravel

o facto de nao haver referencias obrigatorias aos fractais nos programas oficiais de

Matematica do sistema de ensino portugues. A necessidade do uso do computador para

a execucao de algumas das propostas de trabalho e, hoje em dia, um problema menor,

visto que quase todas as escolas de Portugal vao estando suficientemente equipadas

com material informatico. A utilizacao da tecnologia pode tambem ser outro factor

de motivacao para alguns alunos estudarem e explorarem estas formas geometricas e

por outro, uma eventual entrada para o mundo da programacao e da exploracao de

software de representacao de imagens fractais. E ainda de salientar que a quantidade

de conceitos matematicos que podem ser abordados ou trabalhados quando se realizam

actividades de exploracao de fractais pode ser vastıssima, e sera tanto maior quanto

mais avancado for o nıvel dos alunos. Varios sao os conceitos matematicos que o aluno

pode adquirir, compreender ou aplicar ao realizar uma tarefa que envolva a construcao

4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA 183

ou a exploracao de fractais. Esses conceitos podem ser abordados de uma forma mais

ou menos objectiva, mais ou menos evidente, consoante a tarefa estiver dirigida e

consoante a percepcao que o aluno vai tendo das operacoes e das ideias envolvidas.

Os fractais e a geometria fractal, sao temas que suscitam o interesse de quem os

explora pelas inumeras surpresas que escondem. Ao proporcionar uma visao dife-

rente da Matematica, a geometria fractal permite suavizar a abordagem dos conteudos

programaticos, permitindo tambem a conexao entre saberes que, por vezes, sao consi-

derados pelos alunos como apartados e sem qualquer tipo de correlacao possıvel. Por

exemplo, numa actividade sobre sistemas de funcoes iteradas podem ser trabalhados os

conceitos de vector, reducao, razao de semelhanca, transformacoes no plano (rotacao,

simetria, translacao), reuniao de conjuntos, coordenadas de pontos, funcao, etc...

Nao esta previsto nos programas de Matematica portugueses o tema da geome-

tria fractal como um topico de ensino obrigatorio e muito menos lhe esta reservado

um perıodo de tempo para a sua exploracao. O unico programa que contem uma

referencia aos fractais e o de Matematica A para o 11o ano que, no Tema III, Su-

cessoes Reais, sugere o estudo da Curva de Koch ou de um Poliedro Fractal como um

problema sobre limites com progressoes. Nos programas curriculares de Matematica

para o Ensino Basico e para o Ensino Secundario, encontram-se conteudos como auto-

semelhanca, forma, dimensao, polıgonos e solidos geometricos, perımetros, areas e volu-

mes, funcoes, transformacoes geometricas, semelhanca de figuras, sucessoes, operacoes

com conjuntos, composicao de funcoes, funcao logarıtmica e limites. Todos eles podem

ser adquiridos, compreendidos e/ou aplicados pelo aluno, atraves da realizacao de uma

actividade que envolva a exploracao e/ou a construcao de fractais.

Em projectos mais completos sobre fractais, a utilizacao de software torna-se ine-

vitavel e a programacao sera um topico que, no mınimo, tera de ser abordado e discu-

tido. Nas actividades que serao propostas, a programacao aparecera sempre como uma

opcao adicional de exploracao; mas em trabalhos realizados na modalidade de projecto,

onde o tempo e os materiais disponıveis o permitirem, ela fara todo o sentido.


Muitas e variadas serao, por certo, as competencias que podem ser desenvolvidas

pelos alunos que explorem os fractais. A aquisicao ou o desenvolvimento de com-

petencias diversas dependera das actividades que o aluno realizar e de como ele for

guiado atraves delas, de como estas estiverem construıdas, de como ele for motivado

para elas, das ferramentas que utilizar e ainda da apetencia e do conhecimento previo

que trouxer consigo.

Nao sera sugerido um tempo para a realizacao de cada uma das actividades porque

cada uma podera ser explorada de diversas formas, consoante o contexto em que for

realizada, o nıvel de preparacao dos alunos em causa e os objectivos pretendidos com

a realizacao da actividade.

Na seccao de Anexos (pagina 299 e seguintes) estao os materiais necessarios a

resolucao das actividades e no CD incluıdo neste trabalho esta o software de distribuicao

gratuita utilizado em algumas das actividades.

A seguir, neste capıtulo, explica-se o tipo de actividades que irao ser apresentadas,

depois e feito um resumo de alguns conteudos matematicos que poderao ser trabalhados

e de algumas das competencias que poderao ser desenvolvidas com a resolucao de

actividades envolvendo fractais; seguem-se algumas consideracoes sobre a utilizacao de

software e, finalmente, e apresentado um conjunto de varias propostas de trabalho para

realizar com os alunos.

1. Tipos de Actividades

Em consonancia com o suporte teorico deste trabalho apresentado nos dois primeiros

capıtulos, nao se propoem actividades sobre fractais definidos no conjunto dos numeros

complexos (como o Conjunto de Mandelbrot) nem sobre fractais aleatorios, nem sobre

a relacao dos fractais com a Teoria do Caos. Em contrapartida, varias sao as propostas

para trabalhar o conceito de sistema de funcoes iteradas e de dimensao fractal, para

alem do proprio conceito de fractal.

As actividades propostas mais a frente incluem:

1. TIPOS DE ACTIVIDADES 185

A possibilidade de comparacao da Geometria Fractal com a

Geometria Euclidiana;

Propostas numeros

1, 4, 7, 10, 11, 14 e 21.

A representacao e o estudo de propriedades de alguns

fractais (incluindo exemplos classicos famosos);

Propostas numeros

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

A utilizacao de software para desenhar e/ou analisar e/ou

programar fractais;

Propostas numeros

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

10, 11, 12, 14 e 22.

A identificacao/determinacao de SFI que definam um

determinado fractal;

Propostas numeros

2, 3, 5, 8, 9, 10, 11 e

12.

A construcao de modelos de fractais no plano e no espaco

recorrendo ao uso de varios materiais manipulaveis;

Propostas numeros

4, 5, 7, 8, 14, 18 e 19.

A modelacao de objectos naturais com recurso a geometria

fractal;

Propostas numeros

1, 4, 7, 11, 13, 14, 19,

22, 23, e 24.

O estudo da dimensao fractal; Propostas numeros

2, 3, 4, 5, 12, 13, 14,

22 e 23.

A investigacao sobre a aplicacao dos fractais nas diversas

areas do conhecimento.

Propostas numeros

4, 6, 15, 16, 17, 19,

20, 21, 22, 23, e 24.


2. Conexoes matematicas proporcionadas pelo topico “Fractais”

Nas Tabelas 4.1 e 4.2 apresentam-se alguns dos conteudos que podem ser abordados,

explorados e/ou aplicados em cada uma das actividades propostas. Em alguns casos, a

conexao entre a Proposta e os conteudos pode nao decorrer imediatamente da resolucao

da actividade, mas de uma exploracao mais alargada dos conceitos que estao implıcitos

ou das sugestoes que estao no final de cada Proposta. Outros conteudos, alem dos

indicados, poderao tambem estar implıcitos em cada uma das actividades propostas.

3. Competencias, Capacidades e Atitudes

A realizacao de actividades com fractais podera contribuir para o alcance de alguns

dos objectivos da disciplina de Matematica. Segundo os programas de Matematica dos

ensinos basico e secundario, o aluno deve reunir, ao longo do seu percurso escolar, um

conjunto de capacidades e de atitudes, bem como de conhecimentos de Matematica

para se poder dizer matematicamente competente. Essa dita competencia inclui al-

guns aspectos para os quais algumas das actividades que serao aqui propostas tambem

poderao contribuir.

Desde logo, a predisposicao para raciocinar matematicamente e essencial para o

estudo dos fractais, ja que o fractal e um objecto puramente matematico. Quando,

por exemplo, se estudam as caracterısticas de um fractal a partir da sucessao das

iteradas obtidas por um SFI que o defina, e necessario procurar regularidades, fazer

e testar conjecturas, formular generalizacoes... enfim, pensar de forma logica. Em

actividades nas quais se procuram as relacoes entre os “fractais matematicos” e os

“fractais naturais” esse raciocınio tera de ser elevado a um nıvel superior em que se

procuram regularidades e se fazem generalizacoes lidando com as limitacoes a que esta

imposto o conceito de fractal quando aplicado a um objecto da Natureza. O raciocınio

espacial sera necessario para a analise dos fractais.

As diversas aplicacoes da matematica ao real que a geometria fractal permite vi-

sualizar, poderao fomentar o gosto em realizar actividades que envolvem raciocınio

3. COMPETENCIAS, CAPACIDADES E ATITUDES 187

Numero da Proposta

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Con

ceit

osm

atem

atic

os

Geometria euclidiana vs geometria fractal x x x x x x x

Transformacoes geometricas

(translacao, rotacao, simetria, x x x x x x x x

reducao, contraccao)

Semelhanca de figuras x x x x x x x x

Razao de semelhanca x x x x x x x

Razao entre areas e x x

volumes de figuras semelhantes

Padroes numericos x x x x x x

Padroes geometricos x x x x x x

Propriedades de polıgonos x x x x

e de solidos geometricos

Forma, polıgonos e solidos geometricos x x x

Area x x

Volume x

Perımetro x x

Angulos x

Propriedades de angulos x

Razoes trigonometricas

Teorema de Pitagoras x

Sistemas de eixos coordenados x x x x

Representacao grafica x x x x x x

Declive x

Funcao afim x x x x x x x x

Funcao exponencial x x x x x x

Logaritmo e funcao logarıtmica x x x x x

Conceito de limite x x x x x x x

Conceito de infinito x x x x x

Tabela 4.1. Conceitos matematicos implıcitos em cada uma das Propostas.


Numero da Proposta

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Con

ceit

osm

atem

atic

os

Auto-semelhanca x x x x x x x x x x x

Vectores x x x

Sucessoes x x x x x x x

(termos, termo geral, limite,

sucessao limitada,

infinitesimo, infinitamente grande

nocao de infinito, ...)

Iteracao de funcoes x x x x

Operacoes com conjuntos x x x x x

”Rugosidade”e dimensao fractal x x x x x x

Derivada num ponto x

Triangulo de Pascal x

Binomio de Newton x

Criterios de Divisibilidade x

Progressao aritmetica/geometrica x x x x

Soma de series aritmeticas/geometricas x

Equacoes e Sistemas de Equacoes x x

Escala x

Regressao Linear x

Tabela 4.2. Conceitos matematicos implıcitos em cada uma das Propostas.

matematico e, a partir daı, ajudar a que cresca a confianca pessoal do aluno para se

empenhar em actividades intelectuais.

Sugere-se que uma parte das actividades propostas sejam realizadas em grupos.

Essa metodologia de trabalho e uma das que mais fomentam a comunicacao com os

outros. As ideias, as descobertas, os conceitos que poderao ser transmitidos oralmente,

por escrito (em linguagem corrente ou matematica) ou atraves de imagens, esquemas,

graficos, etc., estarao a fomentar a capacidade de comunicacao dos alunos. Tudo isto,

de uma forma ou de outra, podera ser trabalhado no conjunto de actividades que

sera apresentado. A resolucao de algumas destas actividades permitem ainda ao aluno

3. COMPETENCIAS, CAPACIDADES E ATITUDES 189

evidenciar o seu grau de rigor e de criatividade na resolucao de questoes e revelar se tem

rigor, cuidado, organizacao e espırito crıtico na apresentacao e discussao dos resultados.

As actividades em grupo sao ainda potenciadoras da promocao da realizacao pessoal

atraves de atitudes de responsabilidade, de autonomia, de solidariedade, de tolerancia

e de cooperacao .

Quanto a resolucao de problemas, a maioria das actividades estao demasiado di-

rigidas para que possam ser consideradas um problema. No entanto, consoante a

preparacao previa dos alunos com que se esta a trabalhar e o objectivo que se preten-

der atingir, o professor podera abrir mais uma determinada proposta, nao a dirigindo

tanto, de forma a que os alunos sintam a necessidade de ensaiar diversas estrategias

de resolucao. As ultimas propostas sao essencialmente de investigacao e exigirao dos

alunos a capacidade de se munir de diversas ferramentas e de seguir diversos processos,

de modo a procurarem a informacao de que necessitam para conseguirem alcancar o

que se pretende. Em geral, o aluno e incitado a procurar ver e apreciar a estrutura ma-

tematica, em particular a geometria fractal, que esta presente numa situacao, seja ela

relativa a natureza, a arte, ou a objectos ou processos pertencentes as varias areas do

conhecimento, envolva ela elementos numericos, geometricos ou ambos. A realizacao

de tarefas deste tipo, quer seja em grupo, quer seja individualmente, ajudara o aluno

a ganhar ou a consolidar confianca em si proprio, no confronto com situacoes novas e

contribuira para o desenvolvimento de habitos de trabalho e de persistencia, na pro-

cura da realizacao do trabalho ate ao fim, de forma organizada, apresentando-o com a

devida qualidade.

Ao conjunto global de propostas esta inerente um leque vasto de instrumentos de

calculo, que vao desde o calculo mental, aos algoritmos de papel e lapis e aos meios

tecnologicos. Em muitos casos, a matematica tera de ser usada em combinacao com

outros saberes, na compreensao de situacoes da realidade. O sentido crıtico tera que

estar sempre presente tanto no que diz respeito a utilizacao de procedimentos, como

no que se refere a analise dos resultados obtidos.


O conhecimento das possıveis aplicacoes dos fractais nas diversas areas do conhe-

cimento podera ajudar a desenvolver nos alunos a capacidade de usar a Matematica

como instrumento de interpretacao do real e a promover o aprofundamento de uma

cultura cientıfica, tecnica e humanıstica que constitua um suporte cognitivo e meto-

dologico para a vida futura, contribuindo tambem para uma atitude positiva face a

Ciencia e para o desenvolvimento de cidadaos activos e participativos em areas como

o ambiente, a saude e a economia. A interdisciplinaridade revelada pela geometria

fractal e tambem um ponto de partida para a apreciacao do contributo da Matematica

para a compreensao do mundo que nos rodeia e para a evolucao da ciencia e podera

despertar no aluno a curiosidade e o gosto de aprender, de pesquisar e de investigar.

A diversidade de conexoes entre diversos conceitos matematicos que estara patente

em algumas das propostas, permitira nao so a ampliacao do conhecimento da Ma-

tematica, a aquisicao e a consolidacao de conceitos matematicos, mas tambem podera

contribuir para a compreensao da Matematica enquanto elo de coesao do pensamento

cientıfico.

Os temas transversais do programa de matematica do ensino secundario estao todos

eles patentes, de alguma forma, nas actividades que se apresentarao neste capıtulo. A

comunicacao matematica, a logica e o raciocınio matematico sao essenciais em todas

elas; a aplicacao e a modelacao matematica aparecera sempre que se descobrir geome-

tria fractal em objectos ou fenomenos e ainda na construcao de fractais no plano e/ou

no espaco; a tecnologia foi necessaria para o aparecimento e desenvolvimento desta

geometria e se-lo-a tambem para a realizacao de uma boa parte das propostas; a ac-

tividade investigativa sera um dos objectivos de algumas das propostas e, finalmente,

parte da historia da matematica devera ser tambem revelada aos alunos, ao ser-lhes

explicada a origem e o desenvolvimento da geometria fractal, a forma como esta se

imiscuiu em tantas areas do conhecimento e ainda ao serem estudados exemplos de

fractais classicos.

4. EXPLORACAO DE FRACTAIS COM SOFTWARE 191

4. Exploracao de Fractais com software

Como ensina a propria historia da geometria fractal, a representacao e o estudo

dos fractais so e possıvel gracas a tecnologia informatica. A estrutura tipicamente

intrincada dos fractais, o pormenor a escalas infinitamente pequenas e a quantidade

infinitamente grande de calculos e de processos de desenho geometrico necessarios para

construir um fractal, fazem com que o recurso aos computadores para obter repre-

sentacoes de fractais seja inevitavel.

Por outro lado, a necessidade absoluta do uso da informatica pode transformar-se

num factor de motivacao para quem estude a geometria fractal, porque permite uma

visualizacao rapida e facil da representacao grafica de elementos matematicos que, na

forma de equacoes, nao revelam a beleza, o interesse e o intrigante que se esconde em

cada fractal. Com o computador pode testar-se a alteracao de parametros em equacoes

ou em transformacoes geometricas e obter uma resposta rapida acerca dos efeitos dessa

alteracao. O trabalho difıcil e repetitivo de calculo e de desenho e feito pelo computador

e as tarefas matematicas serao essencialmente as de analise e de interpretacao do fractal

ou da sua aplicacao na modelacao de outros objectos ou fenomenos.

Existe hoje em dia uma grande quantidade de software disponıvel para repre-

sentacao de fractais atraves dos mais variados processos, estando alguns deles na forma

de applet em sites da internet.

Para alem da utilizacao dos softwares na perspectiva do utilizador e tambem impor-

tante que os alunos tenham a oportunidade de experimentar a vertente da programacao

porque isso permite-lhes nao so desenvolver capacidades de raciocınio logico e de abs-

traccao, como tambem de terem uma nocao de como sao criados outros programas que

utilizam no seu dia-a-dia. A programacao pode ser levada a cabo no computador ou na

calculadora grafica, comecando pela transcricao de algoritmos previamente fornecidos

aos alunos, podendo o professor depois incita-los a criar os seus proprios programas.

Os primeiros passos nesse sentido podem ser dados atraves da alteracao de algoritmos


ja existentes, de modo a conseguir que o programa execute a representacao de fractais

com regras de formacao ligeiramente diferentes das inicialmente programadas.

Uma das linguagens de programacao que permite a programacao ao alcance dos

alunos mais jovens e o Logo no qual o aluno da instrucoes a tartaruga (cursor) sobre

para onde ela deve dirigir-se no monitor de forma a percorrer uma linha fractal no

seu trajecto. Com este tipo de actividades o aluno, alem de aprender a construir um

fractal, de ter que verbalizar matematicamente as operacoes necessarias para tal, de

utilizar e trabalhar varios conceitos matematicos, esta tambem a adquirir a nocao de

programacao. Ao aprender a programar, o aluno tambem pode aprofundar a nocao

de variavel e de concretizacao de uma variavel e perceber como e para que se criam

sub-rotinas e se aplicam metodos recursivos. Alem disso, pode ainda dar-se conta nao

so das capacidades, como tambem das limitacoes da maquina, nomeadamente no que

diz respeito a definicao dos monitores e as capacidades de calculo. O NetLogo, cons-

tituindo uma linguagem ja bastante mais elaborada, possui um interface muito mais

apelativo e pode ser usado tanto apenas na perspectiva do utilizador (correndo algo-

ritmos ja concebidos), como na perspectiva do programador (permite a programacao

de raiz ou a alteracao de algoritmos). Ambos, Logo e NetLogo sao gratuitos. Para o

NetLogo ha um portal na internet onde estao disponıveis um tutorial e programas de

modelacao de fenomenos de diversas areas da ciencia o que proporciona a sua utilizacao

em diversas disciplinas. Na area da matematica ha, ente outros, um programa dedicado

aos fractais. Em algumas das propostas de actividades para a sala de aula apresenta-

das (Propostas numeros 3, 4, 5 e 7), utilizou-se esse modelo ao qual foram efectuadas

algumas adaptacoes, tendo-lhe sido adicionadas algumas funcoes para a construcao de

outros fractais. No caso dos fractais “Dragao de Heighway” e “Arvore” que foram adi-

cionados ao modelo original, foram programados codigos validos para cada um deles,

no entanto, pouco eficazes, na medida em que a partir da quinta ou sexta iteracao se

tornam muito lentos nao permitindo uma boa visualizacao do fractal. Algumas das

actividades que serao propostas sugerem a utilizacao do NetLogo e/ou do Logo. Nos

4. EXPLORACAO DE FRACTAIS COM SOFTWARE 193

Anexos 19 e 20 encontram-se algoritmos de programas para o NetLogo e para o Logo,

respectivamente.

Para alem destes dois programas outros softwares e applets sao recomendados nas

propostas que se seguirao, estando todos eles disponıveis de forma gratuita na internet.

Apresenta-se a listas desses programas:

•Logo

Disponıvel em http://www.softronix.com/logo.html.

Sugerido nas Propostas 2, 3, 4 e 7.

•NetLogo

Disponıvel em http://ccl.northwestern.edu/netlogo/.


•PasFastC

Disponıvel em: http://www.its.caltech.edu/∼mamikon/PasFastC.html.

Sugerido na Proposta 6.

•Fractal Trees

Disponıvel em http://library.thinkquest.org/26242/full/progs/trees.html.


•L-System Based Fractals - Bush 1, 2 e 3

Disponıvel em http://arcytech.org/java/fractals/lsystems.shtml.


•Pythagorean Tree

Disponıvel em http://www.math.fau.edu/MLogan/Pattern Exploration

/Pythagorean Trees/PTdirections.html.


•Deterministic IFS

Disponıvel em http://classes.yale.edu/fractals/Software/detifs.html.



•IFS Construction Kit

Disponıvel em http://ecademy.agnesscott.edu/∼lriddle/ifskit/index.htm.

Sugerido nas Propostas 8, 9, 10, 11 e 12.

•Relatives of Sierpinski


/Relatives of Sierp Prec/RSprecisionDirections.html.


•Affine

Disponıvel em http://classes.yale.edu/fractals/Software/affine/affine.html.


•IFS Lab

Disponıvel em http://www.nzeldes.com/Fractals/Fractals core.htm.


•Coastline

Disponıvel em http://argento.bu.edu/java/java/coastline/coastlineapplet.html.


•Coastlines


/Coastlines/CLdirections.html.


5. Propostas de Actividades para a Aula de Matematica

Com alunos que nao conhecem ainda o conceito de fractal, o professor deve comecar

por fazer uma abordagem que os motive para o tema que deve passar pela comparacao

da geometria fractal com a euclidiana, pela explicacao do conceito de fractal e pela

demonstracao da aplicabilidade da geometria fractal em contextos diversos. Depois

podera propor-se aos alunos que descubram no meio em que vivem, objectos que possam

ser representados por cada uma das geometrias: a euclidiana e a fractal.

5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 195

O conceito de dimensao fractal tambem devera ser abordado. Com os alunos mais

jovens essa nocao devera ser introduzida de uma forma intuitiva para que possam

conseguir ordenar varios fractais segundo o valor da sua dimensao, consoante o seu

“grau de rugosidade”. Aos alunos do ensino secundario, sobretudo aos do 12o ano, pode

pedir-se-lhes o calculo da dimensao fractal de fractais com auto-semelhanca exacta, que

pode ser determinada por D=log(N)/log (1/r), sendo N o numero de copias que cada

iteracao contem da iteracao anterior e r a razao de semelhanca entre cada uma dessas

copias e a figura da iteracao anterior.

Note-se que se fala em “dimensao fractal” sem especificar qual a definicao a utilizar

(dimensao de Hausdorff, de contagem de caixas ou outra), porque no caso dos fractais

com auto-semelhanca exacta os valores das definicoes mais utilizadas coincidem e com

alunos dos ensinos basico e secundario nao valera a pena aprofundar o conceito de

dimensao fractal mais do que isto.

As Propostas de actividades estao numeradas, nao significando isso uma ordem

obrigatoria para a sua resolucao. Tambem nao se pretende que todas sejam realizadas

pelos mesmos alunos. Cada uma das actividades devera ser adaptada adequadamente

ao publico alvo, ao contexto em que esta a ser realizada e aos objectivos que se preten-

dem atingir.


Proposta 1 (Por onde andam os fractais?). 1

Objectivos: No final desta actividade o aluno deve ser capaz de distinguir entre ob-

jectos com formas melhor modeladas pela geometria euclidiana e objectos melhor mo-

delados pela geometria fractal.

Actividade: Objectos que possam ser modelados por fractais tem caracterısticas com-

pletamente diferentes dos objectos que se assemelham mais das figuras geometricas

euclidianas.

(1) Procura dentro da tua sala de aula objectos a cujas formas possas associar

figuras geometricas euclidianas conhecidas.

Objectos Observados Figura/solido geometrica(o) associada(o)

(2) Procura tambem na tua sala de aula objectos que te parecam ter uma estrutura

fractal.

(3) Procura agora no exterior da tua sala de aula, em contacto com a Natureza

(parque, jardim, campo, quintal...) objectos a cujas formas possas associar

figuras geometricas euclidianas conhecidas.

1Adaptado de: http://www.ime.uerj.br/ progerio/monografia/1999/atividade1.html - Projecto

Final de Conclusao De Curso de Taıs Alves Moreira Barbariz


Objectos Observados Figura/solido geometrica(o) associada(o)

(4) Consegues encontrar na Natureza objectos com forma fractal?

(5) Onde e mais facil encontrar objectos com formas euclidianas, na Natureza ou

nas construcoes humanas? E os objectos fractais, onde se encontram mais?

Consegues encontrar uma possıvel explicacao para esse facto?

Sugestoes: Antes desta actividade o professor tera que fazer aos alunos uma in-

troducao a geometria fractal, focando as principais caracterısticas que um fractal pode

ter. F

As actividades que se seguem (Propostas 2, 3, 4, 5 e 7) sao actividades tıpicas de

exploracao de um fractal como aplicacao ou abordagem de conteudos relacionados com

o estudo das sucessoes de numeros reais. Porem, outros conceitos matematicos estao

subjacentes (ver a seccao 2 - Tabela 4.1 e Tabela 4.2).

O aluno deve saber que o “fractal” e o objecto que se obtem apos uma quantidade

infinita de iteracoes ou entao o professor podera aproveitar as primeiras questoes da

Proposta 2, ate a alınea 2c, para explicar isso aos alunos.

Caso os alunos nao conhecam ainda o conceito de dimensao fractal, o professor deve

explora-lo previamente com os alunos, indicando a formula D = logNlog r−1 , utilizada para

determinar a dimensao fractal de fractais com auto-semelhanca exacta, em que N e o

numero de reducoes a escala r do fractal que o compoem (ver pagina 131 e seguintes).


Proposta 2 (O conjunto de Cantor).

Objectivos: No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:

• Compreender o processo iterativo e explicar a lei de formacao deste fractal;

• Organizar e analisar dados para determinar a expressao geral de uma sucessao;

• Aplicar o conceito de limite;

• Compreender o conceito de auto-semelhanca e saber assinalar copias do fractal

dentro dele mesmo, indicando a razao de semelhanca;

• Calcular a dimensao fractal de fractais com auto-semelhanca exacta.

Actividade: Vamos agora estudar o Conjunto de Cantor, um dos fractais mais fa-

mosos.

(1) As primeiras iteracoes do Conjunto de Cantor sao as seguintes:

C0

C1

C2

(a) Desenha mais duas ou tres iteracoes deste conjunto.

(b) Explica como e a lei de formacao este conjunto.

(2) Investiga o que acontece relativamente ao numero de segmentos, ao compri-

mento de cada um e ao comprimento total do conjunto a medida que aumenta

o numero de iteracoes.

(a) Regista as tuas conclusoes no quadro seguinte:


Comprimento de Numero de Comprimento total

cada segmento segmentos do conjunto

Iteracao 0

Iteracao 1

Iteracao 2

Iteracao 3

Iteracao n

(Lei de Formacao)

(b) Consegues explicar como e o conjunto ao fim de uma quantidade infinita

de iteracoes?

(c) Consegues evidenciar partes do conjunto que sejam iguais na forma ao

todo?

(d) Determina a dimensao Fractal do Conjunto de Cantor.

(3) Consegues imaginar um processo analogo a este, mas trabalhando no plano

(comecando com um quadrado) ou trabalhando no espaco (comecando com um

cubo)? Tenta construir estas duas propostas de fractais ou outros identicos e

explora algumas das suas propriedades.

Observacoes:

• Na questao 1a, o aluno pode recorrer ao papel quadriculado, como a propria

imagem sugere, ou entao a grelha do Anexo 2 ou do Anexo 4.

• Na questao 1b, o aluno pode utilizar linguagem corrente ou, tendo preparacao

para isso, explicitar as funcoes que intervem num SFI que defina este conjunto.

• Na questao 2d pretende-se determinar a dimensao D atraves da expressao D =

logN

log(1

r), sendo N o numero de reducoes de factor de reducao r que compoem

o fractal. Explicar aos alunos que esta formula so se aplica a fractais com


auto-semelhanca exacta cujas reducoes de si mesmo nao se sobreponham ou

nao se sobreponham demasiado (ver pagina 131).

Sugestoes:

• Este e um bom conjunto para se iniciar a utilizacao do Logo, visto que as

instrucoes para o desenhar se resumem a “seguir em frente” x unidades, “le-

vantar a caneta”, “seguir em frente” x unidades, “baixar a caneta”, “seguir

em frente” x unidades, ...F


Proposta 3 (A Curva de Koch).







• Calcular a dimensao fractal de fractais com auto-semelhanca exacta;

• Compreender a relacao entre o conceito de dimensao fractal e a “rugosidade”

de um objecto.

Actividade: A Curva de von Koch tem um processo de construcao que consiste

em dividir o segmento de recta inicial em tres partes iguais e usar quatro copias de um

desses segmentos, como mostra a figura a seguir.

(1) No NetLogo, abre o modelo fractais geometricos no NetLogo e desenha as pri-

meiras tres ou quatro iteracoes da Linha de Koch (escolhe “Linha de Koch” no

botao de escolha “tipo koch”, coloca o cursor “factor reducao” em 33% (apro-

ximadamente 1/3), carrega em “Iniciar Koch” e de seguida em “Desenhar” ou

em “Desenhar uma iteracao”).

(2) Explica como e a lei de formacao da Linha de von Koch.

(3) Investiga o que acontece relativamente ao numero de lados da linha, ao com-

primento de cada um desses lados e ao comprimento total da linha a medida

que aumenta o numero de iteracoes.



Numero Comprimento Comprimento

de lados de cada lado total da linha

Iteracao 0 1

Iteracao 1

Iteracao 2

Iteracao 3

Iteracao n

(Lei de Formacao)

(b) Consegues explicar como e a Linha de Koch ao fim de uma quantidade

infinita de iteracoes?

(c) Para que valor tende cada uma das sucessoes apresentadas no quadro de

3a?

(d) A linha de von Koch e auto-semelhante? Na iteracao mais avancada

que desenhaste, imagina nela o que falta para obter o fractal e assinala

algumas partes da figura onde estao contidas reducoes do fractal. Escolhe

regioes onde a copia do fractal apareca em escalas diferentes.

(e) Determina a dimensao fractal da Linha de Koch.

(4) Desenha novas Linhas de Koch, variando o factor de reducao atraves do slider

presente no modelo.

(a) O que acontece quando o factor de reducao usado e de 50%?

(b) Qual te parece ser a influencia do factor de reducao escolhido na dimensao

da respectiva figura obtida?

(c) Experimenta varios valores para o factor de reducao e determina a di-

mensao fractal de cada uma das respectivas linhas.


Observacoes:

• Consoante a preparacao previa dos alunos com quem se realize esta actividade,

pode haver necessidade de fornecer algumas pistas sobre como organizar os

dados na tabela da questao 3a, podendo, para tal, completar-se algumas das

suas celulas. Por exemplo, pode preencher-se a linha da iteracao 2 com os

dados 42,(

13

)2e 42

(13

)2.

• Na questao 3b, com os alunos dos 11o e 12o anos pode procurar-se que eles

concluam que a Curva de Koch nao tem derivada em nenhum dos seus pontos.

• A questao 3c pode ser respondida mesmo por alunos mais novos, bastando

que compreendam que ao multiplicar um valor por um numero maior que 1 se

obtem um valor maior que o inicial e ao multiplicar por um numero menor

que 1 se obtem um resultado inferior ao inicial.

• A questao 3d pode ser usada para explorar os conceitos de auto-semelhanca e

de razao de semelhanca.

Sugestoes:

• Pode pedir-se aos alunos que comecem por desenhar a Curva de Koch a mao,

usando a grelha de triangulos equilateros (Anexo 1) ou de pontos (Anexo 3)

sendo para isso necessario explicar a regra de formacao e retirar a questao 2 e

adaptar convenientemente a questao 4.

• Pode usar-se o Logo em vez do NetLogo, sendo para isso necessario adaptar as

questoes e fornecer, ou nao, o algoritmo, consoante as nocoes de programacao

dos alunos. O aluno pode tambem comecar por construı-lo dando as instrucoes

uma a uma e depois passar a programacao por recursividade, isto e, programar

para que o software devolva a imagem do conjunto a partir dos dados que lhe

fornecemos: comprimento do segmento da 1a iteracao e numero de iteracoes

pretendidas (ver algoritmo no Anexo 20).


• Pode pedir-se que a lei de formacao seja explicada pelos alunos indicando

quais as funcoes que compoem um SFI que defina a Curva de Koch. Mesmo

que nao indiquem a expressao analıtica de cada uma, podem identifica-las

verbalizando as transformacoes no plano envolvidas. Depois de identificadas

essas transformacoes, a expressao pode ser escrita tendo em conta as indicacoes

do Exemplo 14, na pagina 42.

• De uma forma mais arcaica, mas nao menos eficaz e divertida, pode proceder-

se a construcao da curva atraves de fotocopias sucessivas usando os Anexos 7

e 8. Conceitos como razao de semelhanca e relacao entre areas e perımetros de

figuras semelhantes poderao ser explorados usando este processo. Alem disso,

cada aluno ou grupo de alunos pode usar uma figura inicial diferente (desde

que nao seja um “segmento de recta fino” que podera desaparecer ao longo

das fotocopias sucessivas) para depois, ao compararem os trabalhos uns dos

outros, poderem compreender que o conjunto inicial ao qual se aplica um SFI

nao determina a forma do fractal.F

A actividade da Proposta 4 pode ser resolvida a seguir a da Proposta 3 de forma a

aproveitar alguns dos calculos ja aı efectuados.


Proposta 4 (A Ilha de Koch ou O Floco de Neve de Koch). 2






dentro dele mesmo, indicando a razao de semelhanca.

Actividade: Se aplicarmos o processo de construcao da Curva de Koch a cada um

dos lados de um triangulo equilatero, obtemos progressivamente um fractal chamado

Ilha de Koch ou Floco de Neve de Koch.

(1) No NetLogo, abre o modelo fractais geometricos e desenha as primeiras tres

ou quatro iteracoes da Ilha de Koch (escolhe “Ilha de Koch” no botao de

escolha “tipo koch”, carrega em “Iniciar Koch” e de seguida em “Desenhar”

ou em “Desenhar uma iteracao”. O cursor “factor reducao” nao tem qualquer

influencia no desenho deste fractal).

2Adaptado de: “Fractais no Ensino Secundario” - Ana Paula Canavarro e Outros, APM;

http://math.rice.edu/ lanius/frac/anpr.html ; OLIVE, Oriol. Els Fractals - Introduccio practica als

fractals IFS .


(2) Explica como e a lei de formacao da Ilha de Koch.

(3) Investiga o que acontece relativamente ao perımetro da figura, a medida que

avancamos no numero de iteracoes. (Podes considerar que o comprimento do

primeiro lado da figura da iteracao zero e 1 ou entao a.)


Perımetro

Iteracao 0

Iteracao 1

Iteracao 2

Iteracao 3

(b) Determina o termo geral da sequencia dos perımetros da alınea anterior.

(c) Como evolui esta sequencia e para que valor tende?

(4) Faz agora um estudo semelhante relativamente a area da figura correspondente

a cada iteracao.


Area

Iteracao 0

Iteracao 1

Iteracao 2

Iteracao 3

(b) Determina o termo geral da sequencia das areas da alınea anterior.

(c) De que valor se aproxima a sequencia? (Podes utilizar uma calculadora

grafica ou uma folha de calculo e construir tabelas e/ou representar os

valores da sucessao para te ajudar a chegar a uma conclusao.)

(5) Imagina a construcao do floco de von Koch obtido apos um numero infinito de

iteracoes. Consegues assinalar onde estao partes da figura que contem o todo,

isto e, reducoes da figura completa? Este fractal e auto-semelhante?


(6) O Floco de Neve Invertido

(a) No NetLogo, abre o modelo fractais geometricos e desenha as primeiras

tres ou quatro iteracoes do Floco de Neve Invertido (escolhe “Floco de

Neve Invertido” no botao de escolha “tipo koch”, carrega em “Iniciar

Koch” e de seguida em “Desenhar” ou em “Desenhar uma iteracao”. O

cursor “factor reducao” nao tem qualquer influencia no desenho deste

fractal).

(b) A que se deve o nome de “Floco de Neve Invertido deste fractal”?

(c) Investiga o que acontece a area e ao perımetro total da figura a medida

que avancamos no numero de iteracoes.

(d) A dimensao fractal de um conjunto composto pela reuniao finita de varios

outros e igual ao maximo dos valores das suas dimensoes fractais. Com

base nisto, e conhecendo ja o valor da dimensao fractal da Curva de

Koch, determina a dimensao fractal da Ilha de Koch e do Floco de Neve

Invertido.

(e) Chama-se floco de neve a este fractal pela sua parecenca com a forma de

um floco de neve. Mas, na verdade, nao existem dois flocos de neve iguais.

Faz uma pequena investigacao e tenta descobrir como se formam os flocos

de neve e o que faz com que a forma dos mesmos seja tao diversificada.

“Milhoes de toneladas de neve caem sobre grandes areas a cada ano. Ficamos

maravilhados quando paramos para entender que toda aquela neve e composta

de flocos de neve delicados e delicadamente desenhados, cada um deles menores

do que a unha de seu dedo menor. E que desenhos lindos! As pessoas que os

estudam e fotografam continuamente descobrem, para seu espanto, que nao


existem dois iguais. Seu desenho proprio com raras excepcoes, os flocos de

neve tem sempre seis lados. As vezes os seis lados sao rectos e achatados, mas

com maior frequencia eles tem seis pontas lindamente desenhadas que saem

de um cırculo formando um centro comum e tendo este seu desenho proprio.

Cada ponta na forma de lanca faz par com as outras no mesmo floco, mas

como foi mencionado acima, nao foram encontrados dois flocos exactamente

iguais. Um cientista que fotografou mais de 400.000 flocos de neve mostrou em

suas fotos que isto verdadeiramente ocorre. Que maravilha!”

(http://www.stories.org.br/snow.html)

“Nao ha dois flocos de neve exactamente iguais. Cada um e uma coleccao de

cristais de gelo, de vapor de agua gelado, congelados juntos. As formas do

cristal sao divididas em aproximadamente 80 categorias. Podem ter a forma

de agulhas, prismas, laminas, hexagonos e colunas. A forma depende da tem-

peratura, altura e agua contida na nuvem na qual se formam. A neve pode ser

“humida” ou “seca”. A neve humida e feita de grande flocos e se forma quando

a temperatura esta quase zero. E perfeita para fazer bolas de neve, mas difıcil

de limpar. A neve seca e poeirenta e facil de limpar; forma-se quando a tempe-

ratura esta bem abaixo de zero. O granizo e normalmente neve derretida, mas

pode ser chuva semicongelada formada quando as gotas de chuva evaporam e

esfriam ao cair.”

(http://www.trabalhoescolar.hpg2.ig.com.br/neve.htm)

(f) Adapta o modelo ja construıdo em NetLogo para desenhares outros “Flocos de

Neve” com formas diferentes.

Observacoes:

• Tal como ja foi referido para a questao 3c da Proposta 3, a questao 3c desta

actividade pode ser respondida por alunos mais novos. A idade e a preparacao

dos alunos em causa, pode determinar a escolha do valor do comprimento do

lado do triangulo inicial (1 ou a).


• A questao 4 sera melhor resolvida por alunos do 12o Ano que ja dominem o

conceito de progressao geometrica e possam determinar o valor da sua soma,

nao necessitando para isso da sugestao dada na alınea 4c. O interessante

desta questao e poder concluir que a Ilha de Koch e uma linha de comprimento

infinito que delimita uma area finita.

• A questao 6c responde-se com muito poucos calculos tendo em conta o trabalho

que ja foi feito antes. E interessante comparar os dois fractais com o mesmo

perımetro.

• A questao 6d permite observar dois fractais diferentes com a mesma dimensao

fractal.

• As questoes 6e e 6f poderao fazer mais sentido no ambito de uma Area de

Projecto.

Sugestoes:

• A Ilha de Koch pode ser desenhada usando a grelha de triangulos equilateros

Anexo 1. Esta pode ser uma tarefa inicial, ou “a grande” tarefa a realizar com

alunos do 1o ou do 2o ciclo.

• Tendo ja utilizado o Logo para resolver a Actividade da Proposta 3, o mesmo

algoritmo e facilmente adaptado para desenhar a Ilha de Koch.

• Em http://www.its.caltech.edu/∼atomic/snowcrystals/ ha informacao diversa

sobre os varios tipos de flocos de neve que se podem formar. Os alunos poderao

escolher um ou dois tipos com estrutura fractal e tentar modela-los o melhor

possıvel. Poderao tambem estudar a dimensao fractal da linha que delimita

cada cristal de gelo.F


Proposta 5 (O Triangulo de Sierpinski).

Esta Actividade e, em muito, identica as actividades das Propostas 3 e 4, no que diz

respeito aos conceitos matematicos envolvidos e a forma como sao abordados. Depois

das outras duas trabalhadas na sala de aula, pode ser pedido aos alunos que resolvam

esta actividade em casa.

A segunda parte, dedicada ao Tetraedro de Sierpinski (“Sierpinski no Espaco”) de-

vera ser um projecto de turma em que todos os alunos contribuirao para a construcao

de um modelo “tridimensional”.

Objectivos: Um dos interesses em resolver esta actividade e a actividade sobre

a Ilha de Koch e o de poder observar dois fractais com perımetros infinitos, tendo um

deles area positiva e o outro area nula.

No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:






• Calcular a dimensao fractal de fractais com auto-semelhanca exacta.

Actividade:

(1) No NetLogo, abre o modelo fractais geometricos e desenha as primeiras tres ou

quatro iteracoes do Triangulo de Sierpinski (escolhe “Triangulo de Sierpinski”


no botao de escolha “tipo sierpinski”, carrega em “Iniciar Sierpinski” e de

seguida em “Desenhar” ou em “Desenhar uma iteracao”).

(2) Explica como e a lei de formacao do Triangulo de Sierpinski.

(3) Investiga o que acontece relativamente ao lado de cada triangulo (dos mais

pequenos que compoem a figura), o perımetro total da figura, a area de cada

triangulo e a area total, a medida que aumenta o numero de iteracoes. (Podes

considerar que o comprimento do lado do primeiro triangulo e 1 ou entao a.)


Lado de cada Perımetro total Area de cada Area total

triangulo da figura triangulo da figura

Iteracao 0

Iteracao 1

Iteracao 2

Iteracao 3

Iteracao n

(Lei de Formacao)

(b) Consegues explicar como e o Triangulo de Sierpinski (o conjunto que se

obtem ao fim de uma quantidade infinita de iteracoes)?

(c) Como evolui e para que valor tende cada uma das sucessoes apresentadas

no quadro de 3a?

(4) Imagina a construcao triangulo de Sierpinski com um numero infinito de

iteracoes.

(a) O Triangulo de Sierpinski e auto-semelhante? Consegues assinalar onde

estao partes da figura que contem o todo, isto e, reducoes da figura com-

pleta? Indica reducoes do todo a varias escalas.

(b) Determina a dimensao fractal do Triangulo de Sierpinski.


(5) Imagina que o processo de construcao da figura era colorir o triangulo central

e em seguida dividir este em quatro triangulos colorindo o central e assim

sucessivamente.

(a) De que se aproximaria esta sequencia de figuras?

(b) Adapta o modelo ja construıdo em NetLogo para obter a sequencia de

figuras sugeridas em 5.

(c) A figura limite dessa sequencia tratar-se-a de um fractal?

(6) Sierpinski no Espaco

Pensa no processo analogo ao anterior, mas aplicado a um tetraedro. O

processo de construcao esta representado a seguir:

(a) Constroi com os teus colegas varios tetraedros de papel3 iguais. Os tetra-

edros devem ser todos do mesmo tamanho para que seja possıvel junta-los

para construir um modelo deste fractal com um determinado numero de

iteracoes. A turma deve decidir a que iteracao pretende que corresponda

o modelo e determinar previamente o numero de tetraedros necessarios.

3Em [20, pag. 20 e 21] encontram-se instrucoes para a construcao de tetraedros por dobragens.


Numero de Tetratedos

Iteracao 0

Iteracao 1

Iteracao 2

Iteracao 3

Iteracao n

(Lei de Formacao)

(b) Qual e a forma dos “buracos”?

(c) Explica como e a lei de formacao deste “tetraedro esburacado”.

(d) Segue um raciocınio analogo aos das questoes 3 e 4 sobre o Triangulo de

Sierpinski de forma a conseguires responder:

(i) Qual e o volume deste fractal?

(ii) Qual e a sua area total?

(iii) Qual e a sua dimensao?

(iv) Como e o seu aspecto?

(v) Qual e a sua dimensao fractal?

Observacoes:

• Na questao 2 a lei de formacao pode ser explicada em linguagem corrente, in-

dicando que a cada triangulo presente na figura de uma determinada iteracao,

e retirado o triangulo central cujos vertices sao os pontos medios dos lados -

este tipo de resposta e a mais adequada para alunos mais jovens - ou entao

podem ser indicadas as funcoes que constituem um SFI que defina o Triangulo

de Sierpinski.

• A investigacao sobre a area do Triangulo de Sierpinski na questao 3 quando

trabalhada por alunos que ainda nao sabem, ou tem muitas dificuldades em


trabalhar com radicais, podera ser levada a cabo a parte, considerando que o

triangulo que constitui a iteracao zero tem area 1.

• Na questao 6c a lei de formacao do tetraedro pode ser apenas explicada em lin-

guagem corrente ou entao explicando quais as funcoes que compoem o sistema

de funcoes iteradas que produzem a figura.

Sugestoes:

• Pode pedir-se aos alunos que desenhem o Triangulo de Sierpinski a mao,

usando a grelha de triangulos equilateros (Anexo 1) ou a grelha triangular

de pontos (Anexo 3) sendo para isso necessario explicar a regra de formacao e

retirar a questao 2.

• Pode usar-se o Logo em vez do NetLogo, sendo para isso necessario adaptar as

questoes e fornecer, ou nao, o algoritmo, consoante as nocoes de programacao

dos alunos.

• Pode pedir-se que a lei de formacao seja explicada pelos alunos indicando quais

as funcoes que compoem um SFI que defina o Triangulo de Sierpinski. Mesmo

que nao indiquem a expressao analıtica de cada uma, podem identifica-las

verbalizando as transformacoes no plano envolvidas. Depois de identificadas

essas transformacoes, a expressao pode ser escrita tendo em conta as indicacoes

do Exemplo 14, na pagina 42.

• Tambem neste caso pode proceder-se a construcao deste fractal atraves de

fotocopias sucessivas usando o esquema do Anexo 9 ou 10 e a imagem do

Anexo 11 como iteracao zero. Qualquer imagem diferente desta pode ser usa,

desde que nao tenha contornos demasiado finos que tendam a desaparecer com

as sucessivas reducoes.F


Proposta 6 (Relacao entre o Triangulo de Sierpinski e o Triangulo de

Pascal).

Objectivos: O interessante desta actividade e observar como estes dois triangulos

estao tao intimamente relacionados, quando a primeira vista nada os relacionaria ja

que um e um “aglomerado” de numeros e o outro contem no seu interior um padrao

geometrico.


• Visualizar a relacao entre os dois triangulos, identificando os padroes do triangulo

de Sierpinski no triangulo de Pascal;

• Saber usar os criterios de divisibilidade de um numero por 2, por 3, por 4, por

5 e por 10;

• Saber aplicar a formula do binomio de Newton para determinar o numero

correspondente a cada celula do Triangulo de Pascal;

• Relacionar a simetria do padrao numerico do triangulo de Pascal com as si-

metrias patentes nos padroes geometricos encontrados a partir de um padrao

numerico.

Actividade: Aparentemente nada relaciona o Triangulo de Sierpinski com o Triangulo

de Pascal, a nao ser o facto de serem ambos triangulos. No entanto, como se vera, ha

muito que os una.

(1) Constroi o Triangulo de Pascal com pelo menos 8 ou 16 linhas (podes usar a

grelha de hexagonos do Anexo 5 ou utilizar o Triangulo de Pascal ja construıdo

no Anexo 6) e pinta as casas correspondentes aos numeros ımpares.

(a) Que observas?

(b) Consegues encontrar uma regra que indique que celulas de uma linha

devem ser pintadas, em funcao das celulas pintadas na linha anterior?


(c) A partir da regra determinada na alınea anterior, continua a pintar o

Triangulo de Sierpinski no Triangulo de Pascal, ate a 32a linha.

(2) Sera que outros padroes numericos geram tambem padroes geometricos fractais

no triangulo de Pascal?

(a) Investiga. Escolhe um padrao numerico e, noutro Triangulo de Pascal

em branco, pinta as celulas correspondentes aos numeros do padrao esco-

lhido. (Algumas sugestoes sao: Os numeros que sao divisıveis por tres; os

numeros que sao divisıveis por quatro, os numeros que sao divisıveis por

cinco...)

(b) Se o padrao geometrico que encontraste a partir do padrao numerico for-

mar uma estrutura fractal, tenta encontrar a regra de formacao desse

fractal e desenhar as primeiras iteracoes.

Observacoes:

• Esta actividade sera realizada na sua plenitude, isto e, tocando num maior

numero de conteudos programaticos, se for realizada por alunos do 12o ano.

Sera uma oportunidade para aplicarem os seus conhecimentos sobre o binomio

de Newton, podendo ate aplicar a formula de calculo do numero que constitui

uma determinada celula, o que pode ser util para dar continuidade a um padrao

geometrico pintado no triangulo.

• Com alunos mais pequenos, nomeadamente os do 7o ano, esta podera ser uma

actividade de investigacao onde poderao aplicar os seus conhecimentos sobre

os criterios de divisibilidade de numeros por determinados divisores.

Sugestoes:

• Esta actividade, explorada a fundo, podera necessitar de bastante tempo e

eventualmente ser mais adequada para se realizar no ambito de uma Area

de Projecto. Em http://www.its.caltech.edu/∼mamikon/PasFastC.html esta

disponıvel um applet que pinta no Triangulo de Pascal, os padroes geometricos


correspondentes aos divisores de um inteiro escolhido, ate 60 linhas. Se se pre-

tender fazer uma investigacao mais completa, este applet facilita-a, tornando-a

mais rapida. E muito interessante ver os padroes que emergem na imagem!F


Proposta 7 (Arvores). 4

Objectivos: Um dos aspectos importantes desta actividade e a possibilidade de pro-

porcionar aos alunos uma visao de como os sistemas de funcoes iteradas, mesmo os

bastante simples, podem simular formas naturais bastante elaboradas.


• Compreender o processo iterativo e explicar a lei de formacao destes fractais;





• Compreender que estruturas ramificadas poderao ser modeladas, com alguma

facilidade, por SFI.

Actividade:

(1) No NetLogo, abre o modelo fractais geometricos e desenha as primeiras tres ou

quatro iteracoes da arvore (carrega em “Arvore” e de seguida em “Desenhar”

ou em “Desenhar uma iteracao”).

(a) Explica como e a lei de formacao desta arvore.

(b) Investiga o que acontece relativamente ao numero de ramos que compoem

cada iteracao, a medida que avancamos no numero de iteracoes.

(i) Regista as tuas conclusoes no quadro seguinte:

4Adaptado de: “Fractais no Ensino Secundario” - Ana Paula Canavarro e Outros, APM

http://math.rice.edu/ lanius/images/triangle.gif


Numero de ramos Numero total

terminais de ramos

Iteracao 0

Iteracao 1

Iteracao 2

Iteracao 3

Iteracao n

(Lei de Formacao)

(ii) Para que valor tende cada uma das sucessoes apresentadas no qua-

dro de 1(b)i?

(2) Observa as seguintes sucessoes de imagens contendo as tres primeiras iteracoes

para a construcao de uma arvore.

Iteracao 0 - um segmento de recta de medida 1.

Iteracao 1 - para a obter, divide-se o segmento inicial em tres partes iguais,

e no ponto de uniao entre cada uma dessas partes acrescenta-se um novo

segmento com 1/3 do comprimento do segmento inicial, de modo a formarem

com este um angulo de 60o. O segmento mais acima acrescenta-se a esquerda

do segmento inicial e o segmento mais abaixo acrescenta-se a direita.


Iteracao 2 - para a obter segue-se o mesmo processo que na geracao an-

terior, aplicando-o a cada um dos cinco segmentos que compoem a figura

anterior.

(a) Adapta o modelo em NetLogo para desenhar esta arvore.

(b) Investiga o que acontece relativamente ao numero de segmentos que for-

mam a arvore, a medida que avancamos no numero de geracoes.


Numero de segmentos novos Numero total de segmentos

Iteracao 0

Iteracao 1

Iteracao 2

Iteracao 3

(ii) Es capaz de encontrar uma formula que te permita determinar o

numero de segmentos que compoem a n-esima iteracao?

(iii) Como evolui esta sucessao?

(c) Faz agora um estudo semelhante relativamente ao comprimento de cada

segmento novo que constitui a figura em cada iteracao.


Comprimento de cada segmento novo

Iteracao 0

Iteracao 1

Iteracao 2

Iteracao 3


comprimento de cada um dos segmentos que compoem a n-esima

iteracao?

(iii) Como evolui esta sequencia?

(d) Estuda agora o comprimento total da arvore:



Comprimento total da arvore

Iteracao 0

Iteracao 1

Iteracao 2

Iteracao 3


comprimento total da n-esima iteracao?

(iii) Como evolui esta sucessao?

(iv) Consegues dizer qual seria o comprimento total da arvore completa

(i. e., depois de repetirmos o processo um numero infinito de vezes)?

(3) Imagina a construcao da arvore ate ao infinito. Consegues assinalar onde estao

partes da figura que contem o todo, isto e, reducoes da figura completa? Tenta

encontrar “o todo” em escalas diferentes em cada figura.

(4) Aproveita para descansar e, ao passear no campo, procura recolher pedacos de

plantas que te parecam desenvolver-se segundo uma forma fractal. Consegues

explicar para cada uma delas a sua lei de formacao (aproximada)?

(5) Consegues identificar outro tipo de “coisas” que tenham uma estrutura rami-

ficada?

Observacoes:

• A ideia da questao 5 e levar os alunos a perceber que os modelos de arvores aqui

estudados, ou outros similares, podem servir para modelar outras estruturas.


As arvores, o nosso sistema vascular, os rios, a internet, as estruturas gover-

namentais e a organizacao hierarquica de uma sociedade, as lınguas quando

evoluem, as varias variantes das religioes, tudo isto tem em comum uma estru-

tura que ramifica. Importa despertar nos alunos a nocao de que a matematica

e, em particular a geometria fractal, pode servir para modelar fenomenos e

objectos de diversas areas do conhecimento.

• A realizacao desta actividade pode ser mais uma oportunidade para contrapor

a geometria fractal a geometria euclidiana.

Sugestoes:

• As primeiras iteracoes das arvores tambem podem ser desenhadas na grelha

do Anexo 3.

• O software Logo tambem permite desenhar arvores fractais com alguma faci-

lidade.

• Ha aspectos da linguagem relativa a construcao das arvores que podem ser

trabalhados e generalizados. O professor pode pedir aos alunos que decidam

que nomes dar a cada parte da estrutura. Primeiro em grupos e depois optar

por uma linguagem comum para toda a turma. Sao esperados termos como

“ramo” e “no”.

• Na internet ha alguns applets que o professor pode utilizar para dinamizar

a aula, mostrando aos alunos como este tipo de processo iterativo pode criar

imagens com aspecto muito natural. Em

http://library.thinkquest.org/26242/full/progs/trees.html esta um applet que

cria arvores fractais aleatoriamente e em

http://arcytech.org/java/fractals/lsystems.shtml esta um applet que tambem

desenha arbustos a cores.

• Em http://www.math.fau.edu/MLogan/Pattern Exploration

/Pythagorean Trees/PTdirections.html esta um applet para desenhar arvores


pitagoricas, isto e, fractais resultantes de um SFI, criados a partir da repre-

sentacao geometrica do Teorema de Pitagoras.F


Proposta 8 (Sistemas de Funcoes Iteradas).


• Compreender o conceito de ponto fixo de uma funcao;

• Compreender o conceito de SFI;


• Compreender que o fractal definido por um SFI nao depende do conjunto ini-

cial.

Actividade: Vamos usar o Triangulo de Sierpinski como base para esta actividade

que introduz o conceito de Sistema de Funcoes Iteradas.

As primeiras iteradas da construcao do Triangulo de Sierpinski sao:

Pode dizer-se que a lei de formacao do Triangulo de Sierpinski e: “Inicia-se o

processo com um triangulo equilatero, marcam-se os pontos medios dos seus lados,

retira-se o triangulo cujos vertices coincidem com esses pontos e, de seguida, efectua-

se recursivamente o mesmo a todos triangulos que se mantiverem na figura.” Porem, se

se quiser representar este processo de uma forma matematica, ha que ter mais cuidado.

Uma das maneiras de o conseguir e pensar nas funcoes que transformam o triangulo

inicial, em cada um dos tres triangulos que constituem a primeira iteracao. Para isso,

coloca-se o triangulo inicial, de forma adequada, num referencial cartesiano.


(1) Observa as imagens e explica, por palavras tuas, que transformacoes sao apli-

cadas ao triangulo inicial para se obter cada um dos triangulos que compoem

a primeira iteracao.

Funcao f1

Funcao f2

Funcao f3

(2) Que se obtem se se aplicar a funcao f1 ao triangulo T1?

(3) O que acontece se se aplicar recursivamente f1, uma quantidade infinita de

vezes?

(4) Quando se aplica uma reducao, de forma iterada, a um objecto, uma quanti-

dade infinita de vezes, a sucessao dos objectos obtidos em cada iteracao tende

para um ponto. Que ponto e esse no caso da aplicacao f1?


(5) O ponto determinado na questao anterior chama-se ponto fixo de f1. E o unico

ponto do plano cuja imagem por f1 e igual a si proprio. E e para esse ponto

que tende a sucessao das iteradas sucessivas, de um objecto qualquer do plano,

por f1.

Consegues identificar o ponto fixo de f2? E o de f3?

(6) Ao iterar sucessivamente uma reducao, uma quantidade infinita de vezes, no

“final” obtem-se sempre um ponto. O interessante comeca quando se itera

um conjunto de aplicacoes em simultaneo. Na figura que se segue esta o

triangulo inicial (iteracao 0) e o resultado da aplicacao das funcoes f1, f2 e f3

a esse triangulo (iteracao 1). Desenha no terceiro referencial o que se obtem

se aplicarmos f1, f2 e f3 a primeira iteracao do Triangulo de Sierpinski.

Iteracao 0 Iteracao 1


Que obtiveste?

(7) Que se obtem se aplicarmos f1, f2 e f3 ao objecto correspondente a segunda

iteracao do Triangulo de Sierpinski?

(8) Ao conjunto das tres funcoes f1, f2 e f3 com o espaco em que estao definidas

(R2, neste caso) chama-se Sistema de Funcoes Iteradas (SFI) e e representado

por {R2; f1, f2, f3}. O Triangulo de Sierpinski e o objecto que se obtem apos

a aplicacao do SFI um numero infinito de vezes.

Que acontece se aplicarmos este SFI a um quadrado, em vez de ser a um

triangulo? (Utiliza uma fotocopiadora para obteres as iteracoes sucessivas e

os Anexos 9 ou 10 e 11 para colocares as copias na posicao correcta.)

(9) Que concluis?

Observacoes:

• Considera-se que, ao iniciar esta actividade, os alunos ja conhecem o Triangulo

de Sierpinski, a sua lei de formacao e algumas das suas propriedades (ver

Proposta 5).

• Nesta actividade, palavras como “iterada”, “recursivamente”, ... deverao pas-

sar a ser familiares para os alunos.

• Na questao 1 espera-se que os alunos identifiquem reducoes e translacoes, in-

dicando o vector associado.

Sugestoes:

• E muito provavel que a questao 5 seja difıcil para os alunos conseguirem res-

ponder a primeira. Sera necessario realizar algumas experiencias para perce-

berem bem o processo de iteracao das funcoes f2 e f3. Como, para alem da

reducao, estas aplicacoes contem uma translacao, a visualizacao do resultado

dos seus processos iterativos nao e tao imediata como para a funcao f1. A

utilizacao de uma quadro interactivo na sala de aula, caso seja possıvel, po-

dera ser uma forma muito pratica de realizar varias experiencias rapidamente

para levar os alunos a uma conclusao. Ou entao, usar o applet disponıvel em


http://classes.yale.edu/fractals/Software/detifs.html, devendo o professor co-

locar os parametros relativos as matrizes que definem as tres funcoes do SFI.

Ainda em alternativa, pode utilizar-se o software IFS Construction Kit (dis-

ponıvel gratuitamente em http://ecademy.agnesscott.edu/∼lriddle/ifskit/index.htm).F


Proposta 9 (Alterando o SFI que define o Triangulo de Sierpinski). 5


• Compreender e identificar transformacoes afins (reducao, simetria relativa-

mente a um eixo; rotacao e translacao) aplicadas a um conjunto do plano.


• Definir um SFI atraves dos parametros associados a cada transformacao;

• Identificar as varias componentes (reducoes) de um fractal auto-semelhante;


• Compreender que o fractal definido por um SFI nao depende do conjunto ini-

cial.

As Transformacoes Afins no Plano (breve revisao)

Na actividade da Proposta 8 foram identificadas as transformacoes que compoem

as funcoes f1, f2 e f3 que, por sua vez, compoem um sistema de funcoes iteradas que

define o Triangulo de Sierpinski. Nessas funcoes intervem reducoes e translacoes. No

entanto, para desenhar fractais um pouco mais elaborados e necessario entender as

transformacoes afins no plano.

Uma transformacao afim e composta por pelo menos uma das seguintes aplicacoes:

Reescalamento, Simetria, Rotacao e Translacao. Como um SFI tem que ser cons-

tituıdo apenas por contraccoes, no grupo dos reescalamentos ficam postas de parte as

ampliacoes e a funcao identidade.

5Adaptado de http://classes.yale.edu/fractals/IntroToFrac/TransfGeom/TransfGeom.html


O Reescalamento:

No caso dos reescalamentos ha a ter em conta aqueles cujo factor de reducao segundo

os dois eixos e igual (obtem-se uma reducao - uma figura semelhante a inicial) e aque-

les em que o reescalamento segundo o eixo das abcissas e diferente do reescalamento

segundo o eixo das ordenadas.

Uma contraccao sera sempre um reescalamento (com factores de reducao segundo

cada eixo que podem ser iguais ou diferentes) composta, ou nao, com pelo menos uma

das outras aplicacoes mencionadas (simetria, rotacao e translacao).

A Simetria:

Uma simetria segundo a origem e equivalente a composicao de duas simetrias, cada

uma segundo cada um dos eixos coordenados. Tambem equivale a uma rotacao de 180o

em torno da origem.

Se num reescalamento pelo menos um dos factores de reducao for negativo, obtem-

se o equivalente a um reescalamento com factor de reducao positivo composto com uma

simetria.


A Rotacao:

A rotacao de uma imagem em torno da origem do referencial corresponde a uma rotacao

igual das linhas horizontais e das linhas verticais. Quando o angulo de rotacao das li-

nhas horizontais, e diferente do angulo de rotacao das linhas verticais, obtem-se uma

distorcao da imagem original.

A Translacao:


Vais agora verificar que alteracoes provoca no fractal a introducao de transformacoes

destas no SFI. Como a ordem em que as transformacoes sao aplicadas pode ter in-

fluencia no resultado, adopta-se a seguinte ordem:

1o - reescalamentos,

2o - simetrias,

3o - rotacoes,

4o - translacoes.

Apresentacao do Software a utilizar:

Utilizaremos o programa IFS Construction Kit.6 De seguida apresentam-se algumas

accoes que deves executar antes de utilizar este programa para a resolucao desta acti-

vidade.

• Abre o programa e no menu Code escolhe a opcao Scale/Rotation Form (isso

permitir-te-a definir cada uma das aplicacoes do SFI introduzindo os valores

dos parametros relativos as transformacoes que as compoem).

• Na janela principal aparece uma tabela onde serao colocados esses valores.

Scale - x: Corresponde ao valor de reducao r.

Scale - y: Corresponde ao valor de reducao s.

Rotation - x: Corresponde ao valor de rotacao θ.

Rotation - y: Corresponde ao valor de rotacao ϕ.

Translation - e: Corresponde ao valor de translacao e.

Translation - f: Corresponde ao valor de translacao f.

Probability: corresponde a probabilidade com que ocorre cada uma das

aplicacoes e nao tem interesse para os fractais que se pretende desenhar agora.

No menu Code selecciona Equal Probabilities e os valores desta coluna devem

ficar todos iguais.

• No menu Draw, selecciona Deterministic.

6Disponıvel gratuitamente em http://ecademy.agnesscott.edu/∼lriddle/ifskit/index.htm


• O programa funciona em tres janelas distintas:

Janela IFS (F2) - a janela onde estao os parametros que definem cada aplicacao;

Janela Fractal (F3) - a janela onde aparecem as representacoes de cada ite-

rada;

Janela Design (F4) - a janela onde aparece o “esquema” do SFI atraves da

representacao da primeira iterada, aplicada ao objecto inicial escolhido.

Podes aceder a todas elas tambem atraves do menu Window. Neste mesmo

menu tens ainda a opcao Maximize que maximiza o tamanho de qualquer uma

das janelas que estiver seleccionada.

• No menu Design selecciona Use Initial Polygon - Oriented Box. Isso permitir-

te-a visualizar melhor as transformacoes de que e composta cada uma das

funcoes do SFI. Estas a indicar ao programa que o objecto inicial ao qual

sera aplicado o SFI e um quadrado com um L no seu interior, o que permite

perceber se lhe sao aplicadas rotacoes ou simetrias. Se se utilizar um quadrado

simples, o fractal obtido sera o mesmo (porque?), mas na janela Design essas

transformacoes nao serao perceptıveis (porque?).

Actividade:


(1) Observa a figura dada acima onde estao representadas algumas das iteradas

de um SFI.

(a) Quantas sao as contraccoes que compoem o SFI? Identifica as suas repre-

sentacoes graficas na imagem.

(b) Quais sao as transformacoes no plano de que e composta cada uma das

aplicacoes do SFI?

(c) Na janela IFS do programa, introduz os parametros relativos a cada uma

das aplicacoes que indicaste nas alıneas anteriores.

(d) Selecciona a operacao Draw no menu Draw (ou clica CTRL+D) varias

vezes seguidas para obteres as varias iteradas. Compara com a figura e

comprova se os valores dos parametros que introduziste estao correctos.

Caso seja necessario procede a correccoes.

(2) Verifica agora o que acontece se forem introduzidas alteracoes nas funcoes

do SFI. Na figura que se segue, a esquerda esta a iteracao 0 e a direita esta

representada a primeira iterada de um SFI.

(a) Descobre as funcoes que constituem o SFI.

(b) Define este SFI no programa, introduzindo os valores dos diversos parametros

para cada funcao.

(c) Executa o comando Draw varias vezes seguidas para obteres uma apro-

ximacao do fractal.

(d) Repara na diferenca entre este fractal e o anterior. Consegues identificar

neste fractal as varias copias de si mesmo nele contidas? Identifica copias

a varias escalas e repara nas transformacoes associadas.


(3) Repete o raciocınio anterior para cada um dos SFI cujas iteracao 0 e iteracao

1 estao representadas em cada alınea:

(a)

(b)

(c)

(4) E agora ao contrario: a partir da imagem de um fractal dado, descobre as

contraccoes (de maior factor de reducao) de si mesmo que o compoem e indica

as transformacoes de que e composta cada uma delas. De seguida, introduz

os parametros correspondentes para confirmar a tua resposta. (Sugestao: Se

tiveres dificuldade em visualizar as transformacoes, recorta as imagens a direita

de cada fractal, onde estao uma copia reduzida, uma simetria segundo o eixo

vertical e outra segundo o eixo horizontal.)


(a)

(b)

(c)

(d)


(e)

(f)

(g)

(h)


Observacoes:

• Dada a complexidade desta actividade e tendo em conta que nem sempre e facil

identificar as varias componentes de um fractal e as respectivas aplicacoes as-

sociadas, aconselha-se que seja realizada pelos alunos utilizando a metodologia

de trabalho de grupo.

• Em alguns dos SFI, algumas das funcoes poderao ser definidas de varios modos

diferentes; por exemplo, uma rotacao de 180o equivale a uma simetria em

relacao a origem. O professor deve aproveitar esta actividade para relembrar

isso aos alunos ao comparar a forma como cada grupo definiu os SFI’s.

Sugestoes:

• Em vez do software recomendado pode utilizar-se o applet disponıvel em

http://classes.yale.edu/fractals/Software/detifs.html onde os parametros sao

introduzidos da mesma forma.

• Ha outro applet - Relatives of Sierpinski - disponıvel em http://www.math.fau.edu/

MLogan/Pattern Exploration/Relatives of Sierp Prec/RSprecisionDirections.html

que, para os alunos mais jovens talvez seja mais indicado, na medida em que

nao precisam de introduzir valores; basta escolherem a transformacao preten-

dida entre um conjunto de opcoes disponıveis: Rotacoes de 0o, 90o, 180o e 270o

e simetrias relativamente a cada um dos eixos coordenados, ou a bissectriz dos

quadrantes pares, ou dos quadrantes ımpares. As translacoes (segundo os vec-

tores (0; 0), (0, 5; 0) e (0; 0, 5)) e as reducoes (de factor de reducao 0.5) estao

implıcitas. Esta aplicacao nao permite a visualizacao de cada uma das itera-

das pois apresenta logo a imagem de uma aproximacao do fractal. No caso de

se optar por este applet, as questoes 3b e 3c terao que ser reformuladas, visto

que as rotacoes de 45o nao estao previstas. Este applet permite ainda ao aluno

jogar um jogo7 com o computador que equivale a questao 4, isto e, dado um

7Em http://www.math.fau.edu/MLogan/Pattern Exploration/Relatives of Sierp Game/RSgameDirections.html


fractal, o aluno tem que descobrir quais sao as transformacoes que compoem

cada uma das contraccoes de um IFS que defina esse fractal.

• Por fim, ha sempre tambem a possibilidade de recorrer a uma fotocopia-

dora e aos Anexos 10 e 11 para a elaboracao dos fractais. Com alguma

paciencia tambem se pode usar um software de desenho que permita reducoes

e rotacoes.F


Proposta 10 (Determinacao do SFI).



• Definir uma funcao afim no plano atraves das coordenadas de tres pontos do

fractal e das suas respectivas imagens.

Actividade:

Os Sistemas de funcoes iteradas que construıste nas Propostas anteriores sao com-

postos apenas por semelhancas. Os resultados sao fractais com um aspecto quase

sempre “muito geometrico”. Talvez o da questao 3c da Proposta 9 seja o que tem uma

forma mais parecida com um objecto da natureza. Porem, e possıvel utilizar sistemas

de funcoes iteradas para tentar reproduzir objectos naturais com a geometria fractal.

E o caso da folha de um feto representada na Figura 4.1. Veras agora como podes

obter matematicamente um objecto deste tipo.

Pode considerar-se que a folha completa e a reuniao de tres contraccoes de si propria:

a sua “sub-folha” inferior esquerda, a sua “sub-folha” inferior direita e o restante (ver

imagem 4.2).

Repara que as imagens das contraccoes nao sao exactamente semelhantes a folha

inicial; ha pequenas distorcoes. Repara tambem que o pe da folha nao fica incluıdo em

nenhuma dessas tres imagens da folha; por isso nao ira aparecer no fractal que resultar

do SFI constituıdo por essas tres aplicacoes. Veremos mais a frente como o conseguir.

As funcoes que se pretende determinar sao funcoes afins que aplicam pontos (x, y)

do plano em pontos (x1, y1) do plano e cujas expressoes sao do tipo:ax+ by + e = x1

cx+ dy + f = y1

.


Figura 4.1. Esta folha foi, na verdade, desenhada por computador a partir

de um SFI; mas parece bem verdadeira!

Como ha seis parametros (a, b, c, d, e e f) para serem encontrados, e necessario

um sistema de seis equacoes, bastando para tal, tres correspondencias (x, y)→ (x1, y1).

Entao, para cada funcao do SFI, basta marcar tres pontos no fractal (folha) e as suas


Figura 4.2. A folha e a reuniao de tres contraccoes de si mesma.

respectivas imagens na imagem da folha obtida pela contraccao que se pretende definir.

Estao ja marcados esses pontos na Figura 4.1: A; B e C na folha inicial, A1; B1 e C1

como respectivas imagens na sub-folha esquerda, A2; B2 e C2 como respectivas imagens

na sub-folha direita, e A3; B3 e C3 como respectivas imagens na parte restante da folha.

(1) Coloca a imagem do feto num referencial adequado.

(2) Determina as coordenadas dos pontosA, B, C, A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3

e C3.

(3) Determina a expressao da aplicacao afim:

(a) f1 que aplica os pontos A, B e C nos pontos A1, B1 e C1 respectivamente.

(b) f2 que aplica os pontos A, B e C nos pontos A2, B2 e C2 respectivamente.

(c) f3 que aplica os pontos A, B e C nos pontos A3, B3 e C3 respectivamente.

(4) Indica que tipo de transformacoes no plano estao associadas a cada umas das

aplicacoes f1, f2 e f3.

(5) Abre o programa IFS Construction Kit (ja apresentado na Proposta 9), indica

3 como o Number of Functions no cimo da janela IFS e introduz os coeficientes

determinados nas questoes 3a, 3b e 3c.

No menu Code selecciona Equal Probabilities.


No menu Draw selecciona a opcao Deterministic e depois, no mesmo menu,

selecciona a opcao Draw varias vezes consecutivas (ou carrega em CTRL+D)

para observares as varias iteracoes obtidas com este SFI.

Compara o que obtiveste aqui com a figura original.

(6) Na janela Design efectua alteracoes as transformacoes, usando apenas o rato ou

utilizando as opcoes disponıveis o menu Design (Scale, Rotate, Stretch/Shear,

Horizontal Reflection, Vertical Reflection) e observa a consequencia dessas

alteracoes no fractal produzido.

(7) Para obter o pe do feto, pode considerar-se que ele e uma contraccao da folha

inteira em que o factor de reducao segundo o eixo das abcissas e muito proximo

de zero. Experimenta obter uma aproximacao da folha inicial com o respectivo

pe, acrescentando uma quarta aplicacao que se ajuste ao modelo.

Observacoes:

• Uma das dificuldades desta actividade, para alguns alunos, vai ser a deter-

minacao das coordenadas dos pontos. Pode ser uma oportunidade para lhes

mostrar que a Matematica, quando aplicada a realidade, normalmente nao

produz resultados inteiros ou na forma de fraccoes “bonitas”.

• Outra dificuldade sera a resolucao de sistemas de seis equacoes a seis incognitas.

Poder-se-a “saltar” esse obstaculo utilizando software indicado nas sugestoes

que se seguem.

Sugestoes:

• Para que o trabalho de calculo nao seja tao fastidioso, pode dividir-se a turma

em tres grupos, ficando a cargo de cada um deles uma das alıneas da questao

3.

• Pode usar-se a grelha quadriculada do Anexo 2 para fotocopiar em acetato e

usar como referencial que, alias, deve ser colocado da mesma forma por todos

os alunos se se optar pela sugestao anterior.


• No caso de nao se pretender que os alunos resolvam o sistema para determi-

nar as coordenadas dos pontos, podem usar o applet “Affine” (disponıvel em

http://classes.yale.edu/fractals/Software/affine/affine.html) que, a partir da

introducao das coordenadas de tres pontos nao colineares e das coordenadas

das suas respectivas imagens, debita os coeficientes das reducoes, rotacoes e

de translacoes a serem aplicadas ao objecto inicial para obter a imagem pre-

tendida. Os coeficientes obtidos podem ser introduzidos no “IFS Construction

Kit” desde que no menu Code se escolha a opcao Scale/Rotation Form.

• Em alternativa ao software “IFS Construction Kit”, pode usar-se o applet

“Deterministic IFS” 8.

• No programa IFS Construction Kit pode ainda proceder-se da seguinte forma:

- carregar uma imagem digital da folha para o fundo da janela Design (esco-

lhendo Load Picture no meu Design);

- desenhar um quadrilatero cujos lados sejam tangentes a folha (menu Design

- Draw Initial Polygon);

-ajustar com o rato, os quadrilateros imagens desse polıgono, de forma a que

cada um cubra, de forma identica, as duas sub-folhas inferiores e o restante da

folha. (Esta funcionalidade pode nao ser muito facil de usar e podera ser con-

veniente fazer alguns ajustes na tabela de valores dos parametros.) Atencao:

nao esquecer a simetria na sub-folha direita.

• Se a imagem digital for do formato GIF com transparencia e, antes de comecar

a iterar, seleccionar no menu Draw, Add Picture - From File e escolher o

ficheiro respectivo, o objecto inicial do processo de iteracao passara a ser a

propria folha que se pretende representar. Se se seleccionar, no meu Draw,

Colors - Use Image Colors, a semelhanca entre a folha e a aproximacao de

fractal obtida sera ainda maior.F

8Disponıvel em http://classes.yale.edu/fractals/Software/detifs.html


Proposta 11 (Teorema da Colagem).


• Aplicar o Teorema da Colagem para modelar formas fractais com o auxılio de

software adequado.

Actividade: O Teorema da Colagem diz o seguinte:

Dado um objecto geometrico, se conseguirmos uma “colagem” de contraccoes desse objecto

cuja forma seja muito identica a forma do objecto, entao o fractal definido pelo SFI cons-

tituıdo por essas contraccoes tambem vai ser parecido com o objecto dado. Esta parecenca

sera tanto maior quanto a aproximacao da colagem ao objecto dado.

A aplicacao pratica deste Teorema faz-se como se exemplifica a seguir.

Para encontrar um SFI que defina uma imagem semelhante a folha a esquerda na Fi-

gura 4.3 procura-se uma “colagem” com varias contraccoes dessa folha que se aproxime

o maximo possıvel da folha inicial. Na mesma figura, a direita, mostra-se uma cola-

gem possıvel, constituıda por seis contraccoes da folha inicial. Cada contraccao e uma

funcao afim - pode ser composta por reescalamentos, simetrias, rotacoes e translacoes.

Os reescalamentos e as rotacoes podem ser diferentes segundo cada um dos eixos.

Determinam-se os coeficientes de cada uma das aplicacoes, que neste caso sao os

seguintes:


w1 0,436 0,595 -8,5 -8,5 0,18 0,55

w2 0,338 0,573 42,9 42,9 0,37 0,42

w3 0,423 0,665 -37 -37 0,22 0,53

w4 0,469 0,672 66,2 66,2 0,62 0,16

w5 0,408 0,804 -42 -42 0,15 0,21

w6 0,713 0,675 2,5 2,5 0,12 0


Figura 4.3. A esquerda, a folha que se pretende representar atraves de um

fractal definido por um SFI e a direita, a reuniao de seis imagens dessa folha

atraves de seis contraccoes diferentes juntamente com o contorno da folha

original.

De seguida introduziram-se os coeficientes de cada uma das aplicacoes num software

para representacao grafica de SFI’s. Ao fim de seis iteradas obteve-se a imagem da

Figura 4.4 que revela alguma semelhanca com a folha que se pretendia representar.

Figura 4.4. Comparacao da forma original com a forma obtida ao fim de

seis iteracoes atraves de um SFI constituıdo por seis contraccoes.


Repete agora tu este processo.

(1) Encontra uma folha (ou outro objecto) que te pareca ter uma forma fractal.

(2) Produz uma imagem digital da folha, utilizando um scanner e software ade-

quado.

(3) A partir desta imagem, produz outra que consista na folha toda a branco e o

fundo a preto.

(4) Converte uma copia da imagem para o modo de escala de cinzentos (ou para

menos de 256 cores), formato bmp, com um tamanho que se aproxime dos

600x600 pixels (sem deformar a imagem).

(5) Abre o programa IFS Lab9 e no menu Outline selecciona Load Outline e escolhe

a imagem que gravaste no passo anterior. (Se for necessario fazer alguns ajustes

na imagem, existem as ferramentas lapis e borracha na regua de ferramentas

ou no mesmo menu.)

(6) Novamente no menu Outline clica em Edit Collage. Isso fara aparecer uma

reducao da imagem inicial, dentro de uma caixa rectangular cujos vertices

estao denominados por O, X, Y e Z.

(7) Cada um dos vertices tem uma funcao:

O - colocando o cursor aqui com o botao do rato premido permite mover a

imagem. O mesmo tambem se pode fazer com o cursor situado em qualquer

outra parte do ecran.

X - colocando o cursor aqui com o botao do rato premido permite reescalar

e rodar as linhas horizontais da caixa rectangular. Passando X para o outro

lado de O, consegue-se uma simetria segundo o eixo OY.

Y - colocando o cursor aqui com o botao do rato premido permite reescalar e

rodar as linhas verticais da caixa rectangular. Passando Y para o outro lado

de O, consegue-se uma simetria segundo o eixo OX.

9Disponıvel em http://www.nzeldes.com/Fractals/Fractals core.htm.


Z - colocando o cursor aqui com o botao do rato premido permite reduzir ou

ampliar a imagem de forma proporcional nas duas dimensoes e roda-la em

torno de O.

Utiliza estes comandos para obteres uma contraccao da imagem inicial.

Coloca a reducao e coloca-a por cima da imagem inicial onde as duas formas

se assemelhem.

(8) No menu Collage, clica em Add Piece para criar uma nova reducao da imagem

inicial.

(9) Repete os passos 7 e 8 as vezes necessarias ate obteres um conjunto de imagens

da folha inicial que a cubram da forma o mais aproximada possıvel (deixando

o mınimo de partes por cobrir e ultrapassando o mınimo possıvel as suas

fronteiras).

No menu Collage ha ainda as ferramentas:

Duplicate Piece - permite duplicar automaticamente uma das contraccoes.

Select Next Piece - permite percorrer as varias contraccoes existentes para

proceder a ajustamentos.

Delete Piece - apaga a contraccao seleccionada no momento.

(10) No menu File, executa Save para guardar o SFI que construıste.

(11) No menu Attractor, selecciona uma das opcoes Preview e deixa passar algum

tempo ate a imagem estar suficientemente preenchida. Para parar, executa

Stop no menu Attractor.

(12) Para regressar ao SFI de forma a proceder a alteracoes escolhe Return to

Collage no menu Attractor.

Observacoes:

• A resolucao desta actividade pressupoe que os alunos possuam alguma destreza

no manuseamento e processamento de imagens digitais.


Sugestoes:

• Se os alunos nao possuirem a destreza necessaria no manuseamento e proces-

samento de imagens digitais, esta actividade podera ser um bom mote para

um trabalho interdisciplinar entre a Matematica e a Informatica. A recolha de

folhas de varias especies podera tambem originar uma pequena investigacao no

ambito da disciplina de Biologia, onde as caracterısticas das diversas especies

de plantas/arvores poderao ser abordadas.

• O software IFS Lab nao permite obter boas impressoes dos resultados obti-

dos. Uma forma de o conseguir e atraves de um Print Screen editado noutro

programa de tratamento de imagem.

• Outra possibilidade de ferramenta para trabalhar o Teorema da Colagem e

o programa IFS Construction Kit. Nao efectua as reducoes imediatamente a

partir de uma imagem dada, mas pode fazer-se o seguinte:

– No menu Design, escolher Load Picture e seleccionar a imagem digital da

folha. Tem que estar em formato bmp, gif ou jpg. Mas o ideal, para outro

passo mais adiante e que esteja em formato gif com o fundo transparente.

– No menu Design, escolher Draw Initial Polygon e, com o rato contornar

a folha da forma o mais exacta possıvel.

– Na janela IFS colocar o numero de contraccoes que forem necessarias para

cobrir a folha e construir uma “colagem” adequada, com a ajuda do rato

na janela Design. Para conseguir as rotacoes, o melhor sera colocar os

devidos valores na janela IFS devendo, para isso clicar em Scale/Rotation

Form no menu Code.

– Depois da “colagem” terminada, seleccionar no menu Draw a opcao De-

terministic, de seguida a opcao Add Picture - From File escolhendo a

imagem inicial da folha (em formato gif com o fundo transparente) e

ainda a opcao Scale to Design Window.


– De seguida proceder a iteracao do IFS clicando sucessivas vezes CTRL+D

(Draw -Draw).

– No menu File, ha as opcoes Save Fractal Picture para guardar a imagem

do resultado das iteracoes efectuadas, Save Design Picture para guardar

a imagem da “colagem”, Save Initial Polygon para guardar o polıgono

que foi desenhado como contorno da folha e ainda Save Current IFS para

guardar todos os parametros deste SFI de modo a poder utiliza-lo mais

tarde, se assim se pretender.

• Os parametros obtidos no IFS Construction Kit podem ser copiados para o

applet Deterministic IFS (disponıvel em http://classes.yale.edu/fractals

/Software/detifs.html) onde ha a possibilidade de visualizar, na construcao de

cada iterada, a colocacao da imagem da iteracao anterior por cada uma das

contraccoes. Neste programa a iteracao tera que iniciar-se com outra imagem

que nao a da folha inicial; mas isso nao importa, ja que o fractal obtido nao

depende do objecto inicial.F


Proposta 12 (O Metodo Heurıstico).


• Identificar num fractal, as varias contraccoes dele mesmo que o compoem;

• Determinar a dimensao fractal de fractais com auto-semelhanca exacta.

Actividade:

(1) Sabendo que:

Um fractal com auto-semelhanca exacta que e composto por N reducoes de si mesmo

a razao de semelhanca r, tem dimensao fractal

D =logN

log1

r

,

determina a dimensao destes fractais:(a) (b)

(c) (d)


(e)

(2) Quando o fractal tem auto-semelhanca exacta, mas os factores de reducao nao

sao todos iguais para todas as contraccoes que o compoem, aplica-se uma ge-

neralizacao da formula anterior - a Equacao de Moran:

Um fractal com auto-semelhanca exacta definido por um SFI, constituıdo por N

reducoes w1, w2, · · · , wN com factores de reducao s1, s2, · · · , sN respectivamente,

tem dimensao fractal D, tal que

|s1|D + |s2|D + · · ·+ |sN |D = 1.

Utiliza a Equacao de Moran para determinar a dimensao fractal de cada

um dos seguintes fractais:(a) (b)


(c) (d)

(e)

(3) Com o programa IFS Construction Kit constroi dois fractais com dimensao

log 5

log 3e dois fractais com dimensao

log 12

log 5. (Sugestao: Utiliza a opcao Examples

- Box Fractals do menu Design.)

Observacoes:

• Desde a Proposta 2 que se pede aos alunos que calculem a dimensao de fractais

com auto-semelhanca exacta; a actividade agora proposta pretende consolidar

esse metodo e generaliza-lo a fractais com auto-semelhanca exacta em que os

factores de contraccao das varias contraccoes que o compoem nao sao todos

iguais.

• Na questao 1e pode aproveitar-se para se comparar a dimensao fractal deter-

minada com a dimensao topologica do objecto. Por norma, um fractal tem

dimensao fractal superior a sua dimensao topologica. Neste caso, a dimensao

fractal e 2 e a topologica e 1. Eventualmente, os alunos poderao dizer que a

dimensao topologica deste fractal e 3, por se tratar de um objecto definido em


R3 mas, na verdade, a interseccao de qualquer vizinhanca “pequena” de qual-

quer ponto do tetraedro de Sierpinski com o fractal e um conjunto de pontos

isolados; logo, a dimensao topologica do tetraedro de Sierpinski e 1.

• O professor pode aproveitar a oportunidade para revelar, ou relembrar aos alu-

nos, que ha varias definicoes de dimensao fractal. Os valores calculados nesta

proposta coincidem com os valores da Dimensao de Hausdorff e da Dimensao

de Contagem de Caixas se calculada para os mesmos fractais. Isso so acontece

porque tem auto-semelhanca exacta e as varias reducoes de si mesmo nao se

sobrepoem.

• Ha que evidenciar o facto de a equacao de Moran ter uma unica solucao (visto

que 0 < si < 1 para i ∈ {1, 2, . . . , N}).

• Esta proposta so podera ser resolvida em toda a sua plenitude, tocando em

todas as variantes possıveis de resolucao, com os alunos do 12o ano. Os alunos

dos 10o e do 11o anos poderao resolver todas as alıneas graficamente. Nao se

aconselha esta proposta para os alunos do 3o ciclo.

• Ha aqui mais uma oportunidade de observar dois fractais com a mesma di-

mensao: os das questoes 2c e 2d.

• As questoes 2b, 2c e 2d podem resolver-se usando uma mudanca de variavel,

ou entao graficamente; a questao 2e, ao nıvel do ensino secundario, so pode

resolver-se graficamente (ver Exemplo 45 no Capıtulo 2, pagina 132).

• No ambito da questao 3 pode falar-se sobre o facto de no plano ser possıvel

construir um fractal totalmente desconexo com dimensao s, sendo s qualquer

valor do intervalo [0,2] (ver Proposicao 33, pagina 105).

Sugestoes:

• Alguns dos fractais da questao 1 podem ser construıdos facilmente no IFS

Construction Kit indo ao menu Design e escolhendo Examples - Box Fractals ;

de seguida escolher o tamanho pretendido, retirar as caixas adequadas a cada

caso, “clicar” em Create IFS e iterar diversas vezes. Para obter o fractal todo


a preto, basta alterar a cor de cada contraccao na janela IFS, “clicando” em

cima do respectivo quadrado a esquerda dos parametros.F


Proposta 13 (Ordenar pela Dimensao).


• Associar o conceito de dimensao fractal com a “rugosidade” do objecto e a

densidade do espaco que ele ocupa.

Actividade:

(1) Apresentam-se 10 fractais e 10 valores de dimensao fractal. Efectua as corres-

pondencias correctas.

A B

C D


E F

G H

0, 631 1, 262 1 1, 404 1, 893 1, 292 1, 661 1, 760

Observacoes:

• Antes da realizacao desta proposta pode comecar-se pelas questoes 3e e 4 da

Proposta 3, pagina 201. Nesse exemplo e facil visualizar que a rugosidade e a

densidade de um fractal aumentam com a sua dimensao.

Sugestoes:

• Com alunos mais novos pode imprimir-se cada um dos fractais em folhas se-

paradas e pedir-lhes que os ordenem no quadro por ordem da sua dimensao,

sem as associar a valores.F


Proposta 14 (Costa Fractal). 10


• Determinar a dimensao de uma linha fractal usando o metodo da contagem de

passos ou o da contagem de caixas;

• Construir uma curva fractal aleatoria.

Actividade: A costa marıtima dos continentes apresenta tambem caracterısticas frac-

tais. O seu comprimento depende da unidade escolhida para o medir. A medida

que o observador se aproxima vai encontrando cada vez mais detalhes. Percorre-la de

carro junto ao mar, ou a pe pela praia, correspondera a comprimentos diferentes para

percursos com o mesmo ponto de partida e de chegada. Por vezes encontram-se em

enciclopedias diferentes, valores nao coincidentes para o comprimento da mesma costa

marıtima ou da mesma fronteira entre dois paıses. Isso deve-se ao facto de terem sido

usados ”passos”de tamanhos diferentes para medir a mesma linha que, sendo muito

recortada, e sempre medida segundo um determinado grau de aproximacao.

(1) Quanto mede a nossa costa?

(a) Tira fotocopia da costa marıtima portuguesa utilizando o mapa mais por-

menorizado que encontrares.

(b) Anota a escala de representacao do mapa e decide entre que pontos da

costa vais efectuar a medicao.

(c) Utiliza varias unidades de medida (10 cm, 5 cm, 1 cm... por exemplo),

cada vez mais pequenas, e com um compasso verifica, para cada uma

delas, quantos “passos” sao necessarias para percorrer a orla marıtima

10Adaptado de http://polymer.bu.edu/java/java/coastline/coastline.html e de

http://argento.bu.edu/java/java/coastline/chap1/node12.html


portuguesa. Efectua em cada caso a conversao para a medida real. Utiliza

a tabela que se segue para organizacao dos dados.

Unidade Escolhida Numero de passos Comprimento Comprimento

(L) (N) (L×N) Real

(d) Que concluis? Consegues prever de que valor se aproxima N×L a medida

que L se aproxima de zero? Que representa esse valor?

(2) Qual e a dimensao da nossa costa?

Considerando que a linha da nossa costa marıtima tem uma estrutura fractal,

nao se tratara de um fractal com auto-semelhanca exacta, mas apenas aproxi-

mada. Para determinar a dimensao fractal deste tipo de fractais nao se pode

aplicar a formula utilizada na Proposta 12, que so e valida para os fractais com

auto-semelhanca exacta. Um dos processos para o fazer e utilizar os dados ja

recolhidos na questao 1c e representa-los graficamente.

(a) Coloca um sistema de eixos coordenados e os valores adequados no papel

de escala logarıtmica do Anexo 12.

(b) Representa no referencial construıdo na questao anterior o numero de

passos em funcao da unidade escolhida.

(c) Os pontos representados no grafico devem estar aproximadamente alinha-

dos segundo uma linha recta. Desenha a recta que melhor se adapta a

esse conjunto de pontos.

(d) A dimensao fractal da costa e o simetrico do declive da recta desenhada

na questao anterior. Determina-a. (Atencao: o declive da recta deve


ser calculado usando medicoes com uma regua e nao com base na escala

logarıtmica.)

(3) Outro processo muito utilizado para determinar a dimensao fractal de uma

curva e o metodo da contagem de caixas, que determina a Dimensao de Caixas.

(a) Desenha na fotocopia do mapa da costa marıtima portuguesa, um qua-

drado que a contenha.(A este quadrado chamamos “caixa”.)

(b) Divide o quadrado grande em quadrados iguais de lado δ, e conta quantos

deles (Nδ) contem um troco de costa. Repete o processo varias vezes com

δ cada vez menor e preenche a tabela que se segue. (Sugestao: em cada

passo utiliza quadrados com o lado igual a metade do lado dos quadrados

do passo anterior.)

Lado da Caixa Numero de caixas que

− log δ logNδ(em cm) contem o contorno

(δ) (Nδ)

(c) Representa agora graficamente logNδ em funcao de − log δ.

(d) No grafico anterior obtiveste um conjunto de pontos. Procura a recta de

pontos que melhor se ajusta a esse conjunto e determina o seu declive. O

declive dessa recta e uma estimativa da dimensao de caixas da costa.

(4) Compara os dois valores que obtiveste para a dimensao da linha. Ha diferencas

significativas?

(5) Realiza o mesmo processo com outros mapas de outras costas marıtimas.

(a) Qual te parece, a primeira vista, mais “enrugada”?


(b) Compara as dimensoes de cada uma delas e tira conclusoes.

(6) Podes tu mesmo criar uma costa usando um dos seguintes metodos:

Metodo 1: Utiliza o applet disponıvel em

http://argento.bu.edu/java/java/coastline/coastlineapplet.html.

Metodo 2: Com os teus colegas, seguindo as instrucoes apresentadas a seguir:

Material necessario: corda (com cerca de 30 metros de comprimento), um

dado, uma moeda, uma maquina de fotografias instantaneas e um espaco am-

plo (interior ou ao ar livre).

Passo 1. Seleccionam-se dois alunos da turma, um para lancar o dado e outro

para lancar a moeda quando for necessario.

Passo 2. Dois alunos (aluno no1 e aluno no2), ficam em pe a cerca de 6 metros

de distancia um do outro. O aluno no1 segura numa das pontas da corda

e o aluno no2 puxa a corda do modo a formar um segmento de recta,

mantendo o que sobra da corda enrolado a seus pes.

Passo 3. Na direccao perpendicular a corda esticada, define-se qual dos sen-

tidos e o positivo e qual e o negativo e associa-se cada um deles a “cara”

e a “coroa”.

Passo 4. O aluno no3 agarra na corda aproximadamente no seu ponto medio.

Passo 5. Lanca-se a moeda e o dado. O aluno no3 avanca, perpendicular-

mente a corda, o numero de passos determinados pelo dado, no sentido

sorteado pela moeda. Os passos devem ser pequeninos, encostando o cal-

canhar a ponta do outro pe. O aluno no2 deve deixar a corda correr o

necessario para o deslocamento do aluno no3.

Passo 6. Agora os alunos no4 e no5 colocam-se nos pontos medios dos dois

segmentos formados pela corda.

Passo 7. Repete-se o Passo 5 para o aluno no4 e de seguida repete-se o Passo

5 para o aluno no5.


Passo 8. Continuar este processo de aleatoriamente flectir a corda no ponto

medio de cada um dos segmentos que a compoem, ate nao haver mais

alunos ou a corda ter sido toda usada.

Passo 9. Fotografar a linha costeira resultante, de preferencia de cima.

Os fractais podem dividir-se em dois grupos: os determinısticos e os aleatorios.

Os fractais naturais, como e o caso das linhas costeiras, enquadram-se, geralmente,

no grupo dos fractais aleatorios. Dificilmente um processo natural acontece de forma

determinista.

A forma de uma linha costeira deve-se essencialmente a erosao, um processo bas-

tante aleatorio devido a diversos factores, como sao as correntes marıtimas, as condicoes

climatericas e a composicao do solo, e que nesta actividade foi modelada pelo lancamento

do dado e da moeda.

Observacoes:

• A realizacao destas actividades com mapas apresenta algumas dificuldades. O

mapa escolhido tem muita influencia nos resultados e, por vezes, ha dificuldade

em decidir onde parar, por exemplo no caso dos rios, sobretudo quando se

medem os passos com o compasso.

• Esta questao sera melhor realizada por alunos do 12o ano com conhecimento

do conceito de logaritmo. No entanto, alunos a partir do 9o ano poderao ser

capazes de a levar a cabo, com algumas ajudas por parte do professor.

• Na questao 1a ha que ter em atencao a escala, caso se amplie ou se reduza

a figura inicial. O ideal e trabalhar com o tamanho original do mapa para

evitar confusoes. Isto e importante apenas para a obtencao de valores, em

quilometros por exemplo, para o comprimento da nossa costa marıtima. Se o

objectivo fosse apenas o de determinar a sua dimensao, este cuidado ja nao

seria necessario.

• Na questao 2 o professor deve explicar aos alunos como usar e porque se utiliza

este tipo de escala.


• O processo utilizado na questao 3 sera melhor entendido pelos alunos do 12o

ano depois de adquirirem o conceito de logaritmo, contudo os alunos mais

novos poderao desenvolver todo o processo de calculo da dimensao de caixas,

utilizando uma calculadora cientıfica, sendo-lhes dada apenas a nocao de loga-

ritmo que poderao utilizar como ferramenta, mesmo sem compreenderem todas

as suas propriedades. Outra possibilidade e a de usarem o papel grafico com

escala logarıtmica, nao tendo que utilizar as duas ultimas colunas da tabela.

• As questoes 2d e 3d serao melhor adequadas a alunos a partir do 10o Ano que

ja terao conhecimentos suficientes para as compreenderem. O professor tera

que explicar ou relembrar o conceito de recta de regressao linear e como se

determina o declive da recta.

• Se varios alunos ou grupos de alunos resolverem separadamente esta actividade

podera dar-se o caso de os valores por eles obtidos para a dimensao da costa

no final das questoes 2d e 3d sejam diferentes, mesmo que utilizem o mesmo

mapa. Isso podera dever-se a varios factores:

- Escolha de uma gama diferente para os valores de δ;

- Um alinhamento diferente da linha da costa com a grelha de caixas;

- Ajustamento diferente da recta de regressao linear se esta for ajustada ma-

nualmente.

• As questoes 2 e 3 podem ser resolvidas cada uma por metade dos alunos da

turma que depois apresentam aos colegas o processo de resolucao e os resulta-

dos obtidos. Depois disso podem, em conjunto, responder a questao 4.

• Na questao 6 deve adoptar-se o metodo de construcao da costa com a corda

no caso de turmas de alunos mais jovens e usar-se o applet com os alunos do

ensino secundario. O applet usa o mesmo algoritmo que o metodo da corda

para construir a costa; permite medi-la manualmente ou automaticamente, em

caixas ou em passos, elabora uma tabela com os dados da medicao, representa-

os graficamente em varios tipos de escalas e determina a dimensao da linhas


costeira criada. Permite que os alunos sigam os processos das questoes 2 e

3 de uma forma rapida e muito apelativa. Imprimindo varias costas podem

mais rapidamente ter dados para responder a questao 5. Este applet e uma boa

ferramenta para o professor ver com os alunos as consequencias de representar

os mesmos dados em papel grafico com diferentes tipos de escalas.

Sugestoes:

• A questao 3 tambem pode ser resolvida recorrendo a utilizacao de papel grafico

de escala logarıtmica. Nesse caso, na questao 3c representar-se-ao os dados

das duas primeiras colunas da tabela da questao 3b e o declive da recta de

regressao linear sera o simetrico do pretendido na questao 3d.

• A questao 6 tambem pode ser realizada utilizando um painel de cortica,

elasticos e alfinetes, seguindo o mesmo processo que esta indicado para re-

alizar com a corda.

• A forma mais pratica de resolver esta actividade e recorrer a calculadora grafica

ou a uma folha de calculo onde se possa efectuar automaticamente a repre-

sentacao grafica dos dados introduzidos, a da recta de regressao linear e a

determinacao do seu declive. Neste caso, o tempo de resolucao da actividade

sera mais curto, o trabalho sera menos macador, todos os conceitos da pro-

posta inicial serao aplicados, no entanto os alunos perdem uma oportunidade

de ver com mais detalhe todo o raciocınio necessario para a representacao de

uma recta de regressao linear e a determinacao do seu declive.

• Uma das questoes que se pode colocar aos alunos para uma investigacao e:

qual e a dimensao da linha obtida em cada uma das iteracoes do processo de

construcao da costa? Sera que a dimensao varia ao longo desse processo?

• Outro applet para construcao de costas esta disponıvel em

http://www.math.fau.edu/MLogan/Pattern Exploration

/Coastlines/CLdirections.html.F

6. PROPOSTAS PARA A DISCIPLINA DE AREA DE PROJECTO 265

6. Propostas para a disciplina de Area de Projecto

A Area de Projecto e uma area curricular nao disciplinar inscrita no horario lectivo

dos cursos cientıfico-humanısticos no 12o ano de escolaridade, de frequencia obrigatoria,

com uma carga horaria semanal de 2 unidades lectivas de 90 minutos cada.

Segundo o documento de orientacao elaborado pelo Ministerio de Educacao para a

disciplina de Area de Projecto do 12o Ano dos Cursos Cientıfico-Humanısticos, a Area

de Projecto e de “natureza interdisciplinar e transdisciplinar, visando a realizacao de

projectos concretos por parte dos alunos, com o fim de desenvolver nestes uma visao

integradora do saber, promovendo a sua orientacao escolar e profissional e facilitando

a sua aproximacao ao mundo do trabalho.”[17, pag. 3] Deve ser “um espaco de con-

fluencia e integracao de saberes e competencias adquiridas ao longo do curso, em torno

do desenvolvimento de metodologias de estudo, investigacao e trabalho de grupo.”[17,

pag. 5]

O topico da Geometria Fractal podera ser do interesse dos alunos e pode ser ex-

plorado de variadıssimas formas, procurando-se as relacoes entre os fractais e as mais

diversas areas do saber em geral e da ciencia em particular. Visto serem inumeras as

aplicacoes praticas da geometria fractal, apresentam-se de seguida apenas algumas das

possibilidades de exploracao deste tema que deverao ser precedidas por actividades que

permitam ao aluno consolidar o conceito de fractal bem como construir alguns fractais

e analisar as suas caracterısticas.

Nao menos importante sera o trabalho do professor que dirigir uma Area de Pro-

jecto sobre este tema que devera ter os conhecimentos e a sensibilidade necessarios para

reconhecer a geometria fractal nas suas diversas aplicacoes e para poder acompanhar

os alunos nas suas investigacoes. A colaboracao com os professores de outras discipli-

nas (Biologia, Fısica, Informatica, etc) podera ser fulcral para um acompanhamento

integral aos alunos e para que se possam levar a cabo algumas actividades de ındole la-

boratorial e de interesse relevante. Neste tipo de actividades, os alunos poderao dar-se


conta da necessidade e da importancia da criacao de equipas de trabalho multidiscipli-

nares que existe hoje em dia, de forma cada vez mais patente, quer nas universidades,

quer nas empresas.

As metodologias de estudo e de trabalho que podem ser desenvolvidas ao traba-

lhar o tema da geometria fractal podem ser muito variadas. O trabalho de grupo e

essencial para realizar algumas tarefas mais complexas ou trabalhosas, a pesquisa na

internet ou em livros e fundamental (saliente-se aqui a importancia do conhecimento

de lınguas estrangeiras, nomeadamente do Ingles) e a investigacao, quer sobre carac-

terısticas proprias dos fractais, quer sobre conexoes entre eles e outros temas, pode

ser uma fonte de enriquecimento para os alunos. Estes metodos de trabalho sao po-

tenciadores do “trabalho cooperativo alicercado na exploracao e aplicacao de processos

mentais complexos, promotores da confianca em si e nos outros, do gosto pela inves-

tigacao e pela descoberta e geradores de autonomia intelectual.”[17, pag. 5] “Trata-se

de uma area em que os alunos mobilizam competencias desenvolvidas no contexto dos

conteudos das disciplinas do seu plano curricular para resolverem problemas, para es-

tudarem e compreenderem fenomenos do mundo que os rodeia, elaborando produtos

concretos de natureza diversa.”[17, pag. 7]

A Area de Projecto, segundo as orientacoes do Ministerio da Educacao constitui

“um espaco e um tempo curriculares privilegiados para que, sem se substituir ao tra-

balho desenvolvido nas diferentes disciplinas, os alunos possam relacionar-se com o

conhecimento atraves de realizacoes concretas: relatorios, ensaios, objectos tridimen-

sionais diversos, programas informaticos, filmes em suporte vıdeo ou DVD, paginas na

internet, trabalhos de suporte multimedia, etc. Neste sentido, os projectos a desen-

volver devem, sobretudo, basear-se em experiencias a que nao podem deixar de estar

associadas a observacao sistematica, a formulacao e a testagem de hipoteses, assim

como a analise e a interpretacao de factos e fenomenos do mundo real.”[17, pag. 5

e 6] Tudo isto e provavelmente mais, e possıvel acontecer com o estudo dos fractais,

pelas suas caracterısticas e pelas suas aplicacoes, proporcionando o desenvolvimento de


“competencias que sao proprias do pensamento e do trabalho cientıfico e tecnico”[17,

pag. 6].

Tambem existe no currıculo do ensino basico a disciplina de Area de Projecto cujo

objectivo central e envolver os alunos na concepcao, realizacao e avaliacao de projectos,

permitindo-lhe articular saberes de diversas areas curriculares em torno de problemas

ou temas de pesquisa ou de intervencao. Ha tempos lectivos destinados para o efeito

nos 2o e 3o ciclos. No 1o ciclo, o trabalho da Area de Projecto deve ser integrado

nas actividades regulares da turma e nos trabalhos de casa. Embora a componente

teorica do estudo dos fractais tenha que ficar muito mais limitada no ensino basico,

e possıvel desenvolver com os alunos pequenos projectos relacionados com os fractais.

Por exemplo, a construcao de um modelo no plano ou no espaco de um fractal, pode

envolver diversos conceitos matematicos e metodologias de estudo e de trabalho. O

conceito de dimensao pode ser abordado e a utilizacao de software para construcao

de fractais e, nao so possıvel, como apelativa para os alunos. Uma pequena pesquisa

sobre as aplicacoes dos fractais e outra actividade passıvel de ser desenvolvida com

estes alunos.

O objectivo da Area de Projecto, tanto no ensino basico como no ensino secundario,

e que os alunos se proponham a estudar, com certo grau de aprofundamento, um tema

que seja do seu interesse e que, de preferencia, possa ter importancia para a sua profissao

futura. Como o tema dos fractais e totalmente desconhecido da maior parte dos alunos,

a proposta para o estudo deste assunto tera que partir do professor que podera comecar

por uma apresentacao do que e a geometria fractal e de quais sao as suas aplicacoes.

Apresentam-se, a seguir, algumas sugestoes de actividades a desenvolver no ambito

da Area de Projecto. Algumas das actividades apresentadas atras poderao tambem

estar melhor integradas no ambito do trabalho de Area de Projecto, quer pelo tempo

necessario a sua realizacao, quer pela conexao que revelam entre conceitos matematicos

e conteudos de outras disciplinas. E o caso das Propostas numeros 1, 4, 7, 9, 10, 11 e

14.


O sentido que fara a realizacao de cada uma delas dependera do interesse manifes-

tado pelos alunos e dos seus objectivos quando se propuseram a estudar os fractais.

Em geral, as actividades estao pensadas para os alunos do 12o ano, mas poderao ser

adaptadas para alunos mais jovens. O facto de se propor estas actividades para a Area

de Projecto nao quer dizer que nao possam ser desenvolvidas no ambito de outra dis-

ciplina; e as actividades apresentadas desde o inıcio do capıtulo ate aqui e que foram

essencialmente pensadas para a disciplina de Matematica poderao igualmente ser tra-

balhadas na disciplina de Area de Projecto. Tudo depende dos objectivos estabelecidos

pelos alunos e pelos professores.

6.1. Os fractais na Arte.

As proximas propostas pretendem relacionar os fractais com as diversas formas de arte

- pintura, escultura, arquitectura, musica e fotografia sao algumas das possibilidades.

Desde a analise de objectos de arte ate a construcao de modelos tridimensionais ou a

realizacao de pinturas, muitas sao as possibilidades de trabalho com os alunos, desde

os do primeiro ciclo ate aos do ensino secundario. A analise dos objectos pode consistir

apenas na busca e reconhecimento de estruturas fractais nele patentes, mas podera ser

mais completa se se efectuarem medicoes nos padroes encontrados e se utilizarem os

valores determinados para criar modelos ou calcular a dimensao fractal da estrutura

em observacao.

Proposta 15 (Arte com fractais). 11

Objectivos: Com esta actividade pretende-se despertar a atencao dos alunos para a

aplicacao da geometria fractal na arte. A partir de alguns exemplos pretende-se que

11Adaptado de: Fractais no Ensino Secundario - Ana Paula Canavarro e Ou-

tros, APM; Projecto Final de Conclusao De Curso de Taıs Alves Moreira Barbariz

- http://www.ime.uerj.br/∼progerio/monografia/1999/atividade2.html; Fractals in the arts -

http://classes.yale.edu/99-00/math190a/ArtFrac.html e OLIVE, Oriol. Els Fractals - Introduccio

practica als fractals IFS.


eles olhem para os objectos de arte de um novo prisma e que eles proprios encontrem

outras ocorrencias de fractais na arte.

Actividade: Observa as figuras seguintes com alguns exemplos de arte.

Toucador Bamana

Imagem em

http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Art/AfricanArt/Headress.html

Trabalho Tuareg em pele

Imagem em

http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Art/

AfricanArt/Tuareg.html

Trabalho do artista japones Hokusai

Imagem em


Hokusai/Hokusai.html


O Rosto da Guerra de Salvador

Dali - 1940

Imagem em

http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Art/Dali/Dali1.html

Mandala - Sımbolo Hindu ou Budista

que representa o universo.

Imagem em


Mandalas/Mandala.gif

Mosaico fractal de Robert Fathauer.

Imagem em

http://members.cox.net/fractalenc/fr6g6s.577m2.html


Joalharia com fractais.

Imagem em

http://www.allegria.com.au/jewellery.html

Consegues reconhecer estruturas fractais nestes trabalhos? Faz uma pesquisa e

procura encontrar evidencias de formas fractais em diversos objectos artısticos.F


Proposta 16 (Fractais de Tinta). 12

Objectivos: Com esta actividade pretende-se levar os alunos a descobrir padroes

com caracterısticas fractais em trabalhos efectuados com tinta e, a partir deles, ana-

lisar e sistematizar os processos de producao para conseguir padroes de diversos tipos.

Actividade:

E facil construir padroes fractais de

tinta viscosa.

(Imagem retirada de

http://classes.yale.edu/fractals/Labs/

FingerPaintLab/FPLColor.html)

(1) Coloca um pouco de tinta viscosa (tinta de oleo, por exemplo) num pedaco de

papel grosso sobre o tampo de uma mesa. Cobre o papel com outro pedaco de

papel (ou com um acetato de forma a poder projectar uma copia do padrao).

Aperta as duas folhas e espalha a tinta pressionando a folha de cima contra a

de baixo. Em seguida separa as folhas.

Enquanto as folhas se separam, o ar invade a tinta seguindo de frentes

instaveis para pequenas perturbacoes.

Observa o padrao que obtiveste. Poderas considera-lo um fractal?

(2) Investiga como se altera o padrao ramificado consoante:

- a viscosidade da tinta;

- a grossura ou qualidade do papel usado;

- a velocidade com que se separam as folhas;

- a pressao que e aplicada as folhas de papel.

12Adaptado de: http://classes.yale.edu/99-00/math190a/ArtFracNonRep1.html e de

http://classes.yale.edu/fractals/Labs/FingerPaintLab/FPLSample.html


Experimenta varias vezes e observa as alteracoes do padrao.

(3) Experimenta tambem rodando a folha de cima depois de a pressionar contra

a outra e antes de as separar.

(4) Inventa outras formas de variar os padroes.

(5) Aponta nas figuras que criaste caracterısticas proprias dos fractais.

Sugestoes:

• Com os alunos do ensino secundario podera fazer sentido e ser interessante

ver, com a ajuda do professor de fısica, como e o deslocamento do ar entre

as duas folhas e que tipo de fenomenos fısicos ocorrem em cada processo de

construcao destes fractais.F


Proposta 17 (Fractais na Arquitectura).

Objectivos: Com esta actividade pretende-se que os alunos observem as formas

arquitectonicas de edifıcios com um olhar diferente, crıtico, que lhes permita distinguir

entre formas euclidianas simples e estruturas que, sendo eventualmente constituıdas

por formas maioritariamente euclidianas, as tenham presentes em diversas escalas, re-

velando uma organizacao fractal do todo.

Actividade:

Projecto para um bar (Cafe Fractal) em Vila do Conde.

(Imagem retirada de http://arquitectura.pt/forum/f10/fractal-bar-alvaro-leite-siza-2369.html).

(1) Investiga que aplicacoes pode ter a geometria fractal na Arquitectura. Aqui

estao alguns topicos para a tua pesquisa:

(a) Catedrais da Europa;

(b) Catedrais da India;

(c) Arquitectura Africana;

(d) Arquitectura Moderna.

Com os elementos recolhidos por ti e pelos teus colegas, elaborem uma mostra

dos mesmos.


Sugestoes:

• Os alunos poderao tambem construir uma maquette do seu proprio “edifıcio

fractal” e/ou desenha-lo (em perspectiva ou por vistas). O planeamento e o de-

senvolvimento desta actividade podera ocasionar discussoes acerca da relacao

entre areas e volumes de figuras semelhantes.

• A questao da presenca evidente da geometria fractal na arquitectura de po-

voacoes africanas pode levantar a discussao: Porque e que povos com poucos ou

nenhuns conhecimentos formais de Matematica escolhem a geometria fractal

para organizarem o seu espaco? Sera que retiram essa percepcao da Natureza

com a qual vivem em tao estreita ligacao?F


Proposta 18 (Fractais em Papel). 13

Objectivos: Nesta actividade pretende-se que os alunos construam com papel um

modelo de um fractal contido no espaco tridimensional, atraves de corte e dobragem e

que, de seguida, analisem o modelo construıdo, efectuando algumas medicoes e estu-

dando os padroes numericos adjacentes.

Actividade:

Com alguma habilidade para cortar e dobrar, podes construir um fractal em papel.

Material necessario: Copia do esquema de construcao X−acto

Cartolina colorida A4 Regua

Cola

Cubos Contrarios Quartil Central Triangulo de Sierpinski

(1) Observa as fotografias dos modelos de fractais e escolhe o teu favorito. De

seguida constroi-o seguindo o respectivo esquema de construcao (ver Anexos

13, 14 e 15) e as indicacoes fornecidas.

(2) Observa o fractal que construıste e responde as seguintes questoes:

(a) Explica a regra de construcao das sucessivas iteracoes, caracterizando os

elementos constituintes de cada uma.

13Adaptado de: Fractais no Ensino Secundario - Ana Paula Canavarro e Outros,

APM e de Projecto Final de Conclusao De Curso de Taıs Alves Moreira Barbariz -

http://www.ime.uerj.br/∼progerio/monografia/1999/atividade2.html


(b) Qual e o numero de elementos acrescentados em cada iteracao? Descobre

a formula geradora da sequencia de elementos novos em cada iteracao.

(c) Tenta descobrir as sequencias que traduzem as dimensoes dos elementos.

(d) Que outras sequencias consegues construir a partir do teu fractal?

(e) Consegues perceber para que valor tende cada uma dessas sequencias?

Sugestoes:

• Com alunos do ensino secundario podera ser possıvel partir desta actividade

para um projecto mais ambicioso, de construcao de um modelo tridimensional

deste tipo, representando mais iteracoes. O fractal tera de ser maior, os alunos

terao de construir eles proprios o molde para cortar e dobrar e os materiais a

utilizar provavelmente terao que ser outros.F


Proposta 19 (Construcao de modelos no Plano e no Espaco).

Objectivos: Nesta proposta apresentam-se algumas sugestoes para construcao de

modelos de fractais no espaco tridimensional. Propoe-se que este tipo de actividade

seja realizada com os alunos organizados em grupos. A construcao de modelos de frac-

tais pode constituir, por si so, um trabalho de projecto, sobretudo para os alunos do

ensino basico. Envolve uma serie de calculos sobre os elementos necessarios a cons-

truir e a quantidade e o tipo de materiais a adquirir; obriga os alunos a delineacao de

uma estrategia para a distribuicao de tarefas e exige que utilizem diversas formas de

pesquisa e de metodos de trabalho.

Actividade:

Escolhe um dos seguintes projectos para realizares com os teus colegas.

Construcao do Tetraedro de Sierpinski

com tetraedros de papel (ver Proposta

5, pagina 212).

Imagem retirada de

http://www.public.asu.edu/ starlite

Construcao do Dragao de

Harter-Heighway com dobragem de

papel.


Construcao da Esponja de Menger

com blocos de madeira.

Imagem retirada de

http://www.sonoma.edu/math/faculty/falbo/sierp3.jpg

Construcao de fractais tridimensionais

com dobragens.

Consultar a Proposta 18 e o livro Fractal Cuts[18]

(de Diego Uribe, edicao de Tarquin Publications

distribuıdo em Portugal pela Editora Replicacao)

para mais modelos.

Construcao de arvores fractais, com

palhinhas, no plano ou no espaco.

Escolhido o projecto, o grupo deve pesquisar sobre o fractal a construir para conhe-

cer o processo de o fazer, de seguida determinar que materiais usar e as quantidades de

cada um necessarias e, por fim, distribuir as tarefas pelos varios elementos do grupo. E

desejavel que se comece com um esboco do resultado que se pretende e com os calculos

das dimensoes dos varios elementos que irao constituir a estrutura a construir. F


Proposta 20 (Musica Fractal).

Objectivos: Pretende-se com esta actividade que os alunos tomem conhecimento

da aplicacao da geometria fractal na musica e que, se possıvel, criem uma melodia

fractal.

Actividade:

“Depois de tres minutos de “Caos Organizado” tocado numa estacao de radio britanica

seguiu-se uma torrente de chamadas telefonicas de ouvintes. Queriam saber mais acerca

do que tinham ouvido. Para alguns tinha sido uma experiencia assustadora. E depois

disso, diversos fas continuam a escrever ao compositor - Phil Thompson - para des-

crever o quao profundo a musica fractal lhes toca. Para alguns tornou-se ate uma

obsessao.”

“Para criar a sua musica so precisa de um computador e de uma equacao sim-

ples que, por iteracoes sucessivas gera imagens complexas e espectaculares, ao pintar

um determinado pixel do ecran de determinada cor, consoante a solucao da equacao

obtida. Estas imagens fractais espectaculares e a matematica que a apoia inspiraram

um crescente grupo de compositores, programadores e amadores. As imagens fractais

enfeiticam nao so pela sua beleza, mas tambem pelas suas formas extremamente com-

plexas que surgem de equacoes muito simples. A mais famosa e conhecida por Conjunto

de Mandelbrot e deve o seu nome ao matematico Benoit Mandelbrot que, em 1795 usou

o termo “fractal” vindo do latim “fractus” que significa quebrar.”

“Qual e o som do caos? Nunca e o mesmo. Uma mistura de familiar e de novo, a

complexidade da musica tem notas que soam a jazz e a avant-gard. A musica prende

alguns ouvintes em quase suspensao quando pensam ter descoberto uma regularidade

na melodia e ja sabe o que se segue; mas depois a musica acaba por dar uma volta

completamente inesperada. A base para caos em musica e muito simples. Associa-se

cada nota musical a um unico numero. Por exemplo, do, re e mi podem corresponder


respectivamente ao numeros 1, 2 e 3. Quando a solucao da equacao que gera o fractal e

2, toca a nota re. Cada vez que se resolve a equacao obtem-se uma nova solucao e uma

nova nota de musica. O que se obtem pode ser bastante complexo. David Clark Little,

compositor e harpista usou programas de fractais para compor musica nos ultimos 10

anos. Diz que o processo e analogo ao dos compositores tradicionais que se inspiram

em antecessores seus ou na natureza. A diferenca e que, com a musica fractal nao

sabemos o resultado da nossa inspiracao ate que tocamos a musica e a ouvimos.”

“O crıtico de musica alternativa Matt Howarth ve grande parte da musica fractal

como “fraca”, a menos que criada por alguem com o dom da composicao. “A tecnologia

e muito bonita, mas e apenas uma ferramenta e requer talento para a utilizar.” (Retirado

de: http://www.apm.pt/apm/curiosidades/curio13.htm)

Podes ouvir exemplos de musicas fractais nos seguintes sites :

(1) Em http://www.fractal−vibes.com/fm/index.html ha exemplos de musicas

fractais e existe um software gratuito para criacao de musica fractal. O pro-

grama nao e simples de usar para quem nao sabe musica, mas ainda assim

podes experimenta-lo e tentar fazer alteracoes nos varios parametros, obser-

vando depois as consequencias dessas alteracoes na musica.

(2) Em http://polymer.bu.edu/music/ estao exemplos de musicas criadas a partir

de batimentos cardıacos de humanos. Hoje considera-se que um batimento

cardıaco saudavel tem um ritmo fractal.

(3) Em http://gingerbooth.com/courseware/fracmusic.html esta disponıvel um ap-

plet para composicao de musica fractal.

(4) Mais informacao em:

• http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/musica fractal.htm

• http://classes.yale.edu/fractals/Labs/FractalMusicLab/FractalMusicLab.html

• http://members.aol.com/dspondike/fractal.html

• http://thinks.com/webguide/fractal−music.htm


(5) Faz uma pesquisa por “fractal music” e visita outros sites relacionados com o

tema.

Depois de leres o texto, ouvires alguns exemplos de “musicas fractais” e de, eventu-

almente teres tentado criar a tua propria melodia fractal, escreve um texto sobre este

assunto, tocando nos seguintes pontos:

• Que sensacao te provoca este tipo de musica?

• Na tua opiniao, trata-se de arte?

• Que tipo de contribuicao traz a Matematica em geral e a geometria fractal em

particular, para a Musica?

Investiga mais se for necessario para fundamentares a tua opiniao.F


Proposta 21 (Exposicao Fotografica).

Objectivos: Com esta actividade pretende-se reforcar a evidencia de formas fractais

na natureza e despertar a atencao dos alunos para essas formas, incitando-os a olhar

em seu redor de modo ponderado e crıtico.

Actividade:

Fotografa objectos da Natureza ou do teu mundo que te parecam ter uma estrutura

fractal. Salienta a auto-semelhanca encontrada nas estruturas fotografadas e discute

com os teus colegas a validade de cada uma das fotos enquanto exemplo de forma

fractal.

Organiza, com os teus colegas, uma exposicao fotografica.

Nos Anexos 16, 17 e 18 estao exemplos de fotos.

Sugestoes:

• Para completar a exposicao podem tambem procurar-se outras fotos na inter-

net, tendo o cuidado de citar as fontes.F


6.2. Os fractais na Natureza. As proximas propostas de actividades pretendem

realcar a aplicabilidade e a utilidade da geometria fractal em varias ciencias que estu-

dam o mundo, os seres vivos que nele habitam e os fenomenos que nele ocorrem.

Proposta 22 (Fractais na Biologia).

Objectivos: Com esta actividade pretende-se reiterar a importancia e a utilidade

de geometria fractal para a modelacao, a representacao e o estudo das formas da Natu-

reza. E uma actividade aberta, de investigacao, que exige dos alunos a capacidade para

recolher, organizar a informacao e posteriormente apresenta-la de forma adequada.

Actividade:

(1) Investiga que aplicacoes pode ter a geometria fractal na Biologia. Aqui estao

alguns topicos para a tua pesquisa:

(a) Objectos naturais com estruturas fractais;

(b) Superfıcie de celulas cancerıgenas;

(c) Padroes formados por colonias de bacterias em crescimento;

(d) Representacao grafica de um batimento cardıaco;

(e) Movimentos aleatorios e sua relacao com o percurso de alguns animais (O

que e um movimento aleatorio?);

(f) Estrutura geometrica de proteınas.

Elabora um texto onde expliques as tuas descobertas.

(2) Escolhe duas especies de arvores ou plantas cujas folhas te parecam ter di-

mensao fractal. Recolhe varias folhas de cada uma delas e determina a di-

mensao fractal das linhas de contorno dessas folhas (ver Exemplo 43 na pagina

126).

(a) As folhas da mesma especie tem dimensao fractal identica?


(b) Ha diferencas significativas entre a dimensao fractal das folhas de uma

especie e a das folhas da outra especie?

Observacoes:

• A colaboracao do professor de Biologia no desenvolvimento desta actividade e

essencial.

Sugestoes:

• Com o mesmo processo apresentado na Proposta 14, pode determinar-se a

dimensao fractal da linha de contorno de varios tipos de folhas de plantas ou

de arvores.

• A Proposta 11 tambem pode ser realizada no ambito deste tema.

• Quando os alunos tiverem recolhido bastante informacao sobre objectos natu-

rais com estrutura fractal pode fomentar-se a discussao sobre: Porque e que a

Natureza elege as formas fractais? Sera que e porque estas oferecem um maior

grau de conectividade com maior economia? Se assim for, como podemos

aplicar isto em nosso benefıcio? Fara sentido pensar em utilizar estruturas

fractais, por exemplo em redes de transmissao de informacao?

• Sugere-se aos alunos a elaboracao de um texto, mas o resultado do seu trabalho

pode ser apresentado de outras formas, como por exemplo em cartazes, numa

apresentacao powerpoint ou numa pagina para a internet.F


Proposta 23 (Fractais na Fısica).

Objectivos: Com esta actividade pretende-se que os alunos descubram algumas das

possibilidades de aplicacao da geometria fractal ao estudo de fenomenos fısicos. E uma

actividade aberta, de investigacao, que exige dos alunos a capacidade para recolher,

organizar a informacao e posteriormente apresenta-la de forma adequada.

Actividade:

(1) Investiga que aplicacoes pode ter a geometria fractal na Fısica. Aqui estao


(a) Dimensao fractal de uma galaxia;

(b) Movimento browniano (Geometria da trajectoria de partıculas);

(c) Industria (mecanica de fluıdos - misturadores, antenas);

(d) Turbulencia atmosferica;

(e) Agregacao de Difusao Limitada (ADL);

(f) Flocos de neve (ver Proposta 4).


Observacoes:

• A colaboracao do professor de Fısica no desenvolvimento desta actividade e

essencial.

Sugestoes:

• Em http://www.math.fau.edu/Teacher/CATEs PDF/9%20TI

%2083+/TI%2083+,%20part%202.pdf encontra-se um programa (BALLAGG

(Patterns in Nature)) para a calculadora grafica TI-83 que simula a agregacao

de partıculas. No programa e possıvel definir o grau de atraccao que a estrutura

ja construıda exerce sobre as partıculas que se aproximam para depois observar

a influencia que esse valor tem na forma da estrutura final.


• Em http://polymer.bu.edu/ogaf/html/software.htm esta o software ADL que

permite simular ADL’s com movimentos aleatorios de partıculas e movimen-

tos lineares. Podem depois usar-se as imagens obtidas para estudar a sua

dimensao.

• Seria importante e interessante que os alunos pudessem realizar algumas ex-

periencias em laboratorio que lhes permitissem observar alguns dos fenomenos

que podem ser estudados atraves da geometria fractal.

• Sugere-se a elaboracao de um texto aos alunos, mas o resultado do seu trabalho




Proposta 24 (Fractais na Geografia).

Objectivos: Com esta actividade pretende-se reiterar a utilidade da geometria fractal

para a modelacao, a representacao e o estudo de fenomenos atmosfericos e geologicos,

bem como das formas geograficas.

Actividade:

(1) Investiga que aplicacoes pode ter a geometria fractal na Geografia. Aqui estao


(a) Formas de paisagens;

(b) Redes fluviais;

(c) Manchas florestais;

(d) Costa marıtima;

(e) Nuvens;

(f) Meteorologia.


Observacoes:

• A colaboracao do professor de Geografia no desenvolvimento desta actividade

e essencial.

Sugestoes:

• A Proposta 14 tambem pode ser realizada no ambito deste tema.

• Sugere-se a elaboracao de um texto aos alunos, mas o resultado do seu trabalho



Conclusao

289

290 CONCLUSAO

CONCLUSAO 291

Varias lembrancas me vem a memoria quando recordo o caminho que percorri

para realizar este trabalho bem como o que li, o que aprendi, o que experimentei e o

que descobri. Mesmo depois de ter organizado e compilado neste trabalho parte da

informacao que recebi ate agora sobre os fractais, algumas ideias soltas povoam a minha

mente e vou tentar escreve-las sem que a ordem de importancia seja necessariamente

aquela em que aparecem no texto. O trabalho foi, antes de mais, muito gratificante

porque me levou a descobrir um tema do qual eu tinha apenas uma nocao muito vaga

(e julgo que muito vaga continua, comparando com o que ainda tenho para aprender).

Ainda assim, para alem do interesse inicial que ja me despertavam os Fractais, a medida

que fui compreendendo melhor novos conceitos associados ao tema e fui sendo capaz

de os sintetizar e de os apresentar de forma ordenada, a curiosidade sobre o assunto

cresceu amplamente. Para isso tambem muito contribuiu o constatar que a geometria

fractal esta patente em tantos lugares (sobretudo em objectos e em seres naturais) e

que formas tao complexas e por vezes tao bonitas, podem ser criadas ou simuladas por

processos matematicos muito simples. Outra surpresa, foi a grande aplicabilidade da

geometria fractal, nomeadamente dos conceitos de estrutura e de dimensao fractal a um

leque tao vasto de areas, desde as ciencias naturais as economico-sociais, a tecnologia

e a industria.

A sensacao de ter pegado na ponta de uma enorme meada de fio enrolado, mas

nao muito emaranhado, porque afinal tudo a pouco e pouco vai fazendo sentido, e

agradavel e ao mesmo tempo inquietante. E estimulante pensar que neste processo,

por detras de cada porta que se abre e de cada conceito que se entende esta um mundo

de aplicabilidades do mesmo e de outros conceitos e ideias correlacionados. E assim,

cada porta que se abre leva a outras que se abrem para outras, e ainda mais outras...

tal e qual como no processo de criacao de uma estrutura fractal - sempre igual, sem

nunca acabar e tornando o todo cada vez mais complexo e mais bonito. E quanto mais

aprendo, mais descubro que muito mais ha para aprender e fica a sensacao de que so

292 CONCLUSAO

agora estaria em condicoes para realmente comecar a estudar geometria fractal. Sinto

que esta jornada serviu apenas para adquirir os conceitos basicos.

Nem tudo na Natureza e fractal e, como ja foi dito no inıcio deste trabalho, a Geo-

metria Euclidiana continua e continuara a ser fundamental nao so para a estruturacao

do raciocınio matematico, como para a modelacao de inumeros objectos e fenomenos.

Por outro lado, nao basta que um determinado padrao se repita num objecto para que

ele possa ser considerado um fractal. Por exemplo, uma parede de tijolos nao devera

ser considerada um fractal porque a repeticao que se verifica diz respeito essencial-

mente a translacoes e nao a contraccoes. Deve haver alguma auto-semelhanca num

determinado objecto para que ele possa ser considerado um fractal e e necessario que

essa auto-semelhanca se repita por, pelo menos, alguns nıveis de escala. Alem disso,

essa repeticao deve acontecer atraves de duas contraccoes no mınimo; caso contrario

o que se obtem nao devera ser considerado um fractal, porque se existir uma unica

contraccao, apos infinitas iteracoes obter-se-a um ponto.

A geometria fractal e uma nova linguagem para a interpretacao das formas e dos

padroes complexos patentes na Natureza e tem contribuıdo para o evoluir da ciencia

ao fornecer novas ferramentas para descrever, modelar, analisar e medir o mundo e

revela conexoes espantosas deste com a Matematica. A geometria fractal e excitante,

intrigante, desafiadora e importante para muitas disciplinas. O conceito de fractal

e simples de entender e julgo que com relativamente poucos conhecimentos de ma-

tematica e possıvel abordar e resolver varios tipos de problemas que envolvam fractais.

Valera a pena continuar a estudar o conceito de Fractal e as suas aplicabilidades

e a formalizar meios de apresentar esta ideia matematica aos alunos. Nao e facil, no

ambito dos currıculos actuais, um professor conseguir uma ou duas semanas de tempo

de aula para leccionar uma unidade extra especifica sobre fractais, mas esse topico

pode ser usado como uma forma diferente, rica e contemporanea de abordar muitos

dos conteudos programaticos, dada a forte conexao entre os fractais e um vasto conjunto

de conteudos programaticos ja presentes no currıculo.

CONCLUSAO 293

O ideal seria que a Geometria Fractal pudesse passar a fazer parte, de forma oficial

e consciente, do currıculo dos nossos alunos, quer do ensino basico, quer do ensino

secundario, nao so da disciplina de Matematica, mas tambem de outras disciplinas em

que a aplicabilidade da geometria fractal e mais evidente, como e o caso da Biologia,

da Geografia, da Fısica e da Quımica. Nas disciplinas das areas de Informatica e

das Artes, os alunos deveriam tambem ter a oportunidade de construir objectos com

estruturas fractais. Julgo que nao seria necessario investir muito tempo em cada ano

lectivo exclusivamente com este assunto, mas sou da opiniao de que o tema pode ser

muito enriquecedor, sobretudo se a forma como for trabalhado proporcionar aos alunos

a nocao de que todos os saberes estao, de alguma forma, interligados. Penso que poucos

temas de estudo podem proporcionar esta ideia de forma tao evidente e abrangente e

e por isso que considero que o tema e passıvel de ser explorado na disciplina de Area

de Projecto.

Com os alunos mais pequenos, pode comecar-se com actividades que explorem o

conceito de iterada, “semente” (isto e, conjunto inicial ao qual e aplicado uma funcao),

“orbita” (isto e, sequencia das iteradas) e “regra” (ou seja, qual a funcao que esta a

ser aplicada). A identificacao das contraccoes do fractal contidas em si mesmo, com

fractais mais simples, tambem e possıvel realizar com os alunos mais jovens.

Para levar isto a cabo, seria necessario comecar pela formacao dos professores, das

varias areas de estudo, onde eles proprios comecariam por aprender os conceitos basicos

e por desenvolver pequenos projectos multi e interdisciplinares para, a partir da daı,

perceberem que tipo de actividades faz sentido propor aos alunos. Posteriormente seria

interessante que esses professores testassem as conviccoes adquiridas na sua formacao,

realizando algumas sessoes de formacao para alunos do ensino secundario, dedicadas

exclusivamente a geometria fractal enquanto tema unificador do conhecimento e as suas

aplicacoes nas areas das disciplinas curriculares.

Algumas universidades tem vindo nao so a integrar disciplinas dedicadas a Geo-

metria Fractal nos seus cursos cientıficos, como tambem a desenvolver varios projectos

294 CONCLUSAO

relacionados com formacao de professores (procurando que depois alguns deles pros-

sigam com a formacao de outros professores) ou com formacao de alunos (mesmo os

que nao tem uma forte preparacao matematica ou particular interesse pela ciencia)

ou ainda com o desenvolvimento de materiais curriculares que poderao ser utilizados

pelos professores do ensino secundario. E o caso de um projecto realizado desde 1995

pelo Departamento de Ciencias Matematicas da Florida Atlantic University14, de ou-

tro concretizado pela Universidade de Yale dedicado aos alunos15 e ainda de um outro

levado a cabo pelo Center for Polymer Studies da Universidade de Boston, desde 1989,

que consiste no desenvolvimento de materiais curriculares para o ensino secundario e

universitario, baseado em investigacao da ciencia moderna e no qual se incluiu uma

parte dedicada a geometria fractal16.

Considero urgente e importante que os nossos alunos contactem com a geometria

fractal e adquiram e compreendam alguns dos seus conceitos basicos. Em primeiro

lugar porque nao faz sentido que a palavra “geometria” faca surgir nas suas mentes

apenas imagens relacionadas com a geometria euclidiana sendo o mundo natural muito

melhor descrito pela geometria fractal; em segundo lugar, porque a possibilidade de

aplicacao desta geometria a outras areas e tao elevada que podera ser uma mais valia

para os alunos terem a mente aberta e desperta para esta possibilidade; em terceiro

lugar porque a geometria fractal e muito atractiva devido as bonitas representacoes

graficas que gera e ao interesse que desperta nao so pelas propriedades interessan-

tes patentes nos fractais, como na conectividade que revela ter com outros conceitos

matematicos e com outras areas do saber; em quarto lugar porque pode fomentar o

desenvolvimento de inumeras capacidades e competencias que ja foram referidas no

Capıtulo 4 (ver pagina 186) e entre as quais destaco as mais imediatas: a predisposicao

14Projecto “Pattern Exploration: Integrating Math and Science for the

Middle School” - http://www.math.fau.edu/Teacher/Teacher homepage.htm e

http://www.math.fau.edu/Teacher/MSP/

15Projecto “Fractal Geometry” - http://classes.yale.edu/fractals/

16Projecto “Patterns in Nature” - http://polymer.bu.edu/ogaf/

CONCLUSAO 295

para raciocinar matematicamente e para aplicar conceitos matematicos em contextos

reais, a capacidade de comunicar e de trabalhar em grupo e a competencia para ma-

nusear software informatico.

A exploracao do conceito de fractal na disciplina de Matematica pode ainda cons-

tituir um topico de uniao de temas transversais da disciplina como e o caso da Comu-

nicacao Matematica, da Aplicacao e Modelacao Matematica, da Logica e Raciocınio

Matematico, da Resolucao de Problemas e Actividades de Investigacao e da Tecnologia

e Matematica que nao sao menos importantes que os conteudos especıficos da disci-

plina, visto que encerram em si o potenciamento de variadıssimas competencias que

hoje sao necessarias a qualquer cidadao activo. Alem disso, discussoes interessantes

podem surgir atraves do estudo dos fractais atraves de questoes que podem ser colo-

cadas aos alunos, tais como: Porque e que a Natureza elege as formas fractais? Como

podemos usar a Geometria Fractal em nosso benefıcio?

Ambiciono com este trabalho contribuir para que a geometria fractal, que se mostra

tao util e crescentemente importante para a compreensao do mundo em geral, possa

ser conhecida por todos, quer alunos, quer professores. Gostaria que alguns dos actuais

alunos, futuros academicos ou profissionais de qualquer area, ao terem conhecimento

sobre o conceito de fractal e da sua aplicabilidade, pudessem mais tarde encontrar

novas aplicacoes da geometria fractal e melhorar o entendimento que a humanidade

tem do mundo em que vive.

Aspiro divulgar o tema e sensibilizar alunos e professores de Matematica e de ou-

tras disciplinas para a possibilidade de realizacao trabalhos de projecto multi e inter-

disciplinar sobre fractais. Sendo assim, pretendo colaborar com professores e alunos

trabalhando com estes o conceito de fractal na sala de aula e realizando pequenas

conferencias e sessoes praticas sobre a geometria fractal. Tenciono tambem divulgar

na internet todo o material que reuni para que possa ser utilizado por mais pessoas

interessadas pela Geometria Fractal.

296 CONCLUSAO

Acredito que a Geometria Fractal proporcionara mudancas fundamentais na forma

como olhamos e entendemos o nosso mundo e como iremos interagir com ele.

Anexos

297

298 ANEXOS

ANEXOS 299

Anexo 1. Grelha Triangular

300 ANEXOS

Anexo 2. Grelha Quadriculada

ANEXOS 301

Anexo 3. Grelha Triangular de Pontos

302 ANEXOS

Anexo 4. Grelha Quadriculada de Pontos

ANEXOS 303

Anexo 5. Grelha Hexagonal

304 ANEXOS

Anexo 6. Triangulo de Pascal

ANEXOS 305

Anexo 7. Curva de Koch - Esquema de colocacao das fotocopias

306 ANEXOS

Anexo 8. Curva de Koch - Esquema de colocacao das fotocopias - Iteracao 0

ANEXOS 307

Anexo 9. Triangulo de Sierpinski (Equilatero) - Esquema de colocacao das

fotocopias

308 ANEXOS

Anexo 10. Triangulo (Rectangulo) de Sierpinski - Esquema de colocacao das

fotocopias

ANEXOS 309

Anexo 11. Triangulo de Sierpinski - Esquema de colocacao das fotocopias -

Iteracao 0

310 ANEXOS

Anexo 12. Papel para Graficos com escala log-log

ANEXOS 311

Anexo 13. Modelo e instrucoes

para construcao de Fractal Tridimensional em Papel

“Cubos Contrarios”

(Adaptado de [18, pag. 37]-Fractal Cuts de Diego Uribe, edicao de Tarquin Publicati-

ons distribuıdo em Portugal pela Editora Replicacao.)

312 ANEXOS

Anexo 14. Modelo e Instrucoes


Quartil Central



ANEXOS 313

Anexo 15. Modelo e Instrucoes


Triangulo de Sierpinski



314 ANEXOS

Anexo 16. Neste cacto pode observar-se a mesma forma em diferentes escalas.

ANEXOS 315

Anexo 17. Nesta foto podem observar-se dois exemplos de fractais: o padrao

gerado pelos candeeiros alinhados ao longo da avenida (que pode obter-se atraves de

um SFI com conjunto de condensacao) e as nuvens.

316 ANEXOS

Anexo 18. Nesta foto pode observar-se a mesma forma em diferentes escalas no

padrao gerado pelo rebentamento da onda.

ANEXOS 317

Anexo 19. Algoritmos para o NetLogo

Estao no ficheiro fractais geometricos.pdf no CD que acompanha esta dissertacao.

318 ANEXOS

Anexo 20. Algoritmos para o LOGO

Curvas de Peano

to peano2 :itera :size

if :itera = 0 [fd :size stop]

peano2 :itera-1 :size/3

lt 90


rt 90


rt 90



rt 90


rt 90


rt 90



end




lt 90


rt 180


lt 90


end



peano3 :itera-1 :size*9/20

lt arccos 1/9


rt 2*arccos 1/9


lt arccos 1/9


end

Curva de Koch

to koch :iteration :longitud

if :iteration = 0 [fd :longitud stop]

koch :iteration-1 :longitud/3

lt 60


rt 120


lt 60


end

ANEXOS 319

Ilha de Minkowski

to Minkowski :size :level

repeat 4 [MLado :size :level rt 90]

end

to MLado :size :level

if :level = 0 [fd :size stop]

MLado :size/4 :level-1

lt 90 MLado :size/4 :level-1

rt 90 MLado :size/4 :level-1


MLado :size/4 :level-1




end

Triangulo de Sierpinski

to sierpinski :itera :size

if :itera = 0 [setpc 0

setfc pencolor

repeat 3 [fd :size lt 120]

pu

lt 10

fd :size/2

fill

bk :size/2

rt 10

pd

stop]

if :itera = 1 [sierpinski :itera-1 :size

fd :size/2 lt 60

setpc 7

setfc pencolor

repeat 3 [fd :size/2 lt 120]

pu

lt 10

fd :size/4

fill

bk :size/4

rt 10

rt 60

bk :size/2

pd

stop]

sierpinski :itera-1 :size/2

fd :size/2


bk :size/2

lt 60

fd :size/2

rt 60


lt 60

bk :size/2

rt 60

end

320 ANEXOS

Conteudo do CD que acompanha esta Dissertacao:

• NetLogo (Algoritmos)

• Imagens a cores

• Apresentacao Powerpoint “Fractais? E isso come-se com que?”- apresentada

no ambito do Projecto para a Licenca Sabatica durante a Semana Cultural na

Escola Secundaria c/3o C.E.B. da Batalha

Bibliografia

[1] BARNSLEY, Michael F..Fractals Everywhere. London: Academic Press Professional, 1993

[2] FALCONER, Keneth. Fractal Geometry - Mathmatical Foundations and Applications. Chichester:

John Wiley & Sons, 1990

[3] FALCONER, Keneth. Techniques in Fractal Geometry. West Sussex: John Wiley & Sons, 1997

[4] FEDER, Jens. Fractals. New York: Plenum Press, 1988

[5] BARNSLEY, Michael F., DEVANAY, Robert L., FISHER, Yuval, MANDELBROT, Benoit B.,

McGUIRE, Michael, PEITGEN, Heinz-Ottto, SAUPE, Dietmar, VOSS, Richard F.. The Science

of Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988

[6] STEVENS, Roger T.. Creating Fractals. Hingham: Charles River Media, Inc., 2005

[7] BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a Sala de Aula. Belo Horizonte:

Autentica, 2002

[8] BUNDE, A., HAVLIN, S.. Fractals in Science. Berlin: Springer-Verlag, 1994

[9] CHOATE, Jonathan, DEVANEY, Robert L., FOSTER, Alice. Fractals, A tool Kit of Dynamics

Activities. Emeryville: Key Curriculum Press, 1999

[10] PEITGEN, Heinz-Otto, JURGENS, Hartmut, SAUPE, Dietmar. Fractals for the Classroom, Part

One, Introduction to Fractals and Chaos. New York: Springer-Verlag New York, Inc.,1992

[11] PEITGEN, Heinz-Otto, JURGENS, Hartmut, SAUPE, Dietmar, MALETSKY, Evan M., PER-

CIANTE, Terence H., YUNKER, Lee E.. Fractals for the Classroom, Strategic Activities, Volume

One. New York: Springer-Verlag New York, Inc.,1991


CIANTE, Terence H., YUNKER, Lee E.. Fractals for the Classroom, Strategic Activities, Volume

Two. New York: Springer-Verlag New York, Inc.,1992


CIANTE, Terence H.. Fractals for the Classroom, Strategic Activities, Volume Three. New York:

Springer-Verlag New York, Inc.,1999

[14] NONNENMACHER, T. F., LOSA, G. A., WEIBEL, E. R.. Fractals in Biology and Medicine.

Basel, Boston, Berlin:Birkhauser Verlag, 1993

[15] BUNDE, Armin, HAVLIN, Shlomo. Fractals in Science. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1994

321

322 BIBLIOGRAFIA

[16] MONTEIRO, A. J. Antunes. Algebra Linear e Geometria Analıtica. Lisboa: Associacao de Es-

tudantes da Faculdade de Ciencias de Lisboa, [19-], 2 vol.

[17] DIRECCAO GERAL DE INOVACAO E DE DESENVOLVIMENTO CURRICULAR. Ori-

entacoes. Area de Projecto dos Cursos Cientıfico-Humanısticos. Projecto Tecnologico dos Cursos

Tecnologicos. 12o Ano. Lisboa: Ministerio da Educacao, 2006

[18] URIBE, Diego. Fractal Cuts. Norfolk: Tarquin Publications, 1995

[19] DUMITRU, Petru. Logo. 500 de proceduri. Focsani: Editura Spot, 1997

[20] MITCHELL, David. Origami Matematicos. Lisboa: Editora Replicacao, Lda, 2001

[21] CANAVARRO, Ana Paula, NUNES, Claudia, ALVES, Diogo, ALVES, Sofia. Fractais no Ensino

Secundario. Lisboa: Associacao de Professores de Matematica

[22] CARVALHO E SILVA, Jaime (Coordenador), FONSECA, Maria Graziela, MARTINS, Arselio,

FONSECA, Cristina, LOPES, Ilda. Matematica A. 10o Ano. Cursos Cientıfico-Humanısticos de

Ciencias e Tecnologias e de Ciencias Socioeconomicas. Ministerio da Educacao, 2001








FONSECA, Cristina, LOPES, Ilda. Matematica B. 10o ou 11o Anos. Cursos Cientıfico-

Humanısticos de Artes Visuais. Cursos Tecnologicos de Construcao Civil e Edificacoes, de Elec-

trotecnia e Electronica, de Infromatica, de Administracao, de Marketing e de Desporto. Ministerio

da Educacao, 2001


FONSECA, Cristina, LOPES, Ilda. Matematica B. 11o ou 12o Anos. Cursos Cientıfico-

Humanısticos de Artes Visuais. Cursos Tecnologicos de Construcao Civil e Edificacoes, de Elec-

trotecnia e Electronica, de Infromatica, de Administracao, de Marketing e de Desporto. Ministerio

da Educacao, 2002

[27] FIGUEIRAS, Lourdes, MOLERO Marıa, SALVADOR Adela, ZUASTI Nieves. Una propuesta

metodologica para la ensenanza de la Geometrıa a traves de los fractalaes. Suma, ICE Universidad

de Zaragoza, n. 35, pp 45-54, Novembro 2000

BIBLIOGRAFIA 323

[28] WILLIAMS, Nigel. Fractal Geometry Gets the Measure of Life’s Scales. Science, vol 276, p 34,

Abril 1997

[29] WEST, Geoffrey B., BROWN, James H., ENQUIST, Brian J. A General Model for the Origin

of Allometric Scaling Laws in Biology. Science, vol 276, pp 122-126, Abril 1997

[30] OLIVE, Oriol. Els Fractals. Introduccio practica als fractals IFS. Credit de Iliure eleccio per a

alumnes d’ESO.

[31] Ministerio da Educacao. Currıculo Nacional do Ensino Basico. Competencias Essenciais. Ma-

tematica. Disponıvel em http://sitio.dgidc.min−edu.pt/recursos/Lists/Repositrio%20Recursos2

/Attachments/85/comp essenc Matematica.pdf

[32] BACKES,Andre Ricardo, BRUNO, Odemir Martinez. Tecnicas de Estimativa da Dimensao

Fractal: Um Estudo Comparativo. Departamento de Computacao e Estatıstica, Instituto de

Ciencias Matematicas e de Computacao, Universidade de Sao Paulo, Basil, disponıvel em

http://www.dcc.ufla.br/infocomp/artigos/v4.3/art07.pdf

[33] BARATA, J.C.A.. Curso de Fısica-Matematica. Departamento de Fısica Matematica, Ins-

tituto de Fısica da Universidade de Sao Paulo, Brasil, Manual on-line disponıvel em

http://denebola.if.usp.br/∼jbarata/Notas de aula/capitulos.html, Versao de 21 de setembro de

2007

[34] KENKEL, N.C.; WALKER, D.J.. Fractals in the Biological Sciences. De-

partment of Botany of University of Manitoba, Canada, disponıvel em

http://www.umanitoba.ca/faculties/science/botany/LABS/ECOLOGY/FRACTALS/fractal.html

[35] LUIS, Gregorio. Analise Matematica I Elementos sobre Teoria dos Conjuntos. Departamento de

Matematica, Instituto Superior de Economia e Gestao, Lisboa, Manual on-line disponıvel em

http://pascal.iseg.utl.pt/∼jldias/am1/AMI-pdf/AMAT1-CONJ.pdf

[36] FREITAS, Henrique R. O. M. M.. A Integral de Lebesgue com Aplicaces

as Series de Fourier e Notas Historicas. Departamento de Matematica, Ins-

tituto de Ciencias Exatas, Universidade de Brasılia, 2006, disponıvel em

http://www.mat.unb.br/∼michael/publicacoes/pibic/ilsfnh 2006 1.pdf

[37] TIMBO, Cristiano S. Diagnostico de Celulas Tumorais atraves de Dimensoes Frac-

tais. Rio de Janeiro: Instituto de Radioprotecao e Dosiometria, 2004, disponıvel em

http://teses.cnen.gov.br/tede/tde arquivos/1/TDE-2005-10-06T124629Z-4/Publico/Tese-CST.pdf

[38] FERNANDEZ, Ana Marıa San Luis, ALVAREZ, Benjamın Dugnol. Notas de Geome-

tria Fractal. Departamento de Matematica da Universidade de Oviedo, disponıvel em

http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/

324 BIBLIOGRAFIA

[39] ALVAREZ, Benjamın Dugnol, FERNANDEZ, Ana Marıa San Luis, CERNEA,

Doina Ana. Leccion de Geometrıa Fractal basada en Learning Objects. Depar-

tamento de Matematica da Universidade de Oviedo, Espanha, disponıvel em

http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/leccion1/index2.htm

[40] FRAME, Michael, MANDELBROT, Benoıt, NEGER, Nial. A Pano-

rama of Fractals and Their Uses. Yale University, E.U.A., disponıvel em

http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/welcome.html

[41] FRAME, Michael, MANDELBROT, Benoıt. Fractal Geometry. Yale University, E.U.A., dis-

ponıvel em http://classes.yale.edu/fractals

[42] Center for Polymer Studies. Patterns in Nature. Boston University, E.U.A., disponıvel em

http://polymer.bu.edu/ogaf/

[43] Departamento de Ciencias Matematicas. Pattern Exploration: Integrating Math and

Science for the Middle School. Florida Atlantic University, E.U.A., disponıvel em

http://www.math.fau.edu/Teacher/Teacher homepage.htm

[44] LANIUS, Cynthia. Fractals. A Fractals Unit for Elementary and Middle School Students That

Adults are Free to Enjoy. Departamento de Matematica, Rice University, E.U.A., disponıvel em

http://math.rice.edu/∼lanius/frac/

[45] CHANDLER, Gayla. of a Fractal Nature. Arizona State University, E.U.A., disponıvel em

http://www.public.asu.edu/∼starlite/

[46] ARONOV, Dmitriy, RADOMYSELSKIY, Mikhail, PO, Ming Jack. Fractals Unleashed. Dis-

ponıvel em http://library.thinkquest.org/26242/full/

[47] NUNES, Ana, TELO DA GAMA, Margarida (Coordenacao). Prisma a Luz da Fısica. Caos

e Fractais. Centro de Fısica Teorica e Computacional, Universidade de Lisboa, disponıvel em

http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/

[48] Wikipedia, http://pt.wikipedia.org

fractais: conceitos básicos, representações gráficas e aplicações ao ensino não...

Documents