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Foras Conservativas e a Energia Mecnica


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MecnicaForas Conservativas e a Energia Mecnica 1

Foras Conservativas

O trabalho realizado por uma fora, quando do deslocamento de uma partcula entre doispontos, envolve uma integral de caminho. Seja um dos caminhos possveis. Assim, para indicar taldependncia, escrevemos:

( 1 )

O fato que, de acordo com a fgura 1, dois pontos podem ser interligados por meio de innitoscaminhos. A propsito da dependncia do trabalho realizado por uma fora com o caminho interli-gando dois pontos e, em particular, do ponto de vista da grandeza fsica denominada energia poten-cial, as foras podem ser divididas em duas grandes categorias: conservativas e no conservativas.

Para entendermos a diferena, consideremos o deslocamento de uma partcula de um ponto

A para um ponto B do espao. Existem innitas maneiras de irmos de um ponto A at o ponto Be utilizar innitos caminhos (ou seja, curvas). Por exemplo, podemos ir de A at B seguindo peloscaminhos 1, 2 ou 3 da fgura1.

Figura 1a: Dois pontos podem ser interligadospor diferentes curvas.

Figura 1b: O trabalho realizado por umafora conservativa num caminho fechado

se anula.

a b

W F dr A B =

.

Dizemos que uma fora conservativa se o trabalho realizado porela, quando do deslocamento entre dois pontos A e B, no dependedo caminho que interliga esses dois pontos, cando subentendidoque tais pontos so, a rigor, arbitrrios. A essas foras associamos oconceito de energia potencial.


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Outra denio equivalente a essa a que leva em conta a integral de caminho da fora ao longo

de uma caminho fechado.Dizemos que uma fora conservativa se o trabalho realizado por ela ao longo de um caminho

fechado qualquer (isto , indo de um ponto A e voltando ao mesmo ponto) resulta ser nulo.Ou seja, por essa denio, uma fora conservativa se, para qualquer caminho,

( 2 )

J vimos que uma fora conservativa se o trabalho realizado no percurso de A at B s dependedos pontos A e B. Como os pontos A e B tm posio A r

Ae B r

B, podemos escrever essa dependncia

da seguinte forma:

( 3 )

onde U r( ) uma funo do vetor posio (isto , depende de ). Essa funo conhecida como a

funo energia potencial.

A energia potencial em um ponto A, cujas coordenadas so especicadas pelo vetor rA U r

A( )

, d o

valor da energia potencial nesse ponto. A mesma funo calculada no ponto B, cujo vetor de posio

rB, U r

B( ) a energia potencial da partcula no ponto B.

Note que a denio (000) implica, naturalmente, que WAA=0. Ou seja, o fato de que, numcaminho fechado, o trabalho realizado pela fora se anula uma consequncia do sinal menos naexpresso (000).

O que faz uma partcula possuir energia - a energia potencial, pelo simples fato de ela ocuparuma determinada posio no espao? A resposta bastante simples. Esta forma de energia surgecomo resultado da interao entre os objetos. E essa interao tem sua intensidade dependente daposio dos objetos. Potencial se refere posio do objeto. A energia potencial resulta sempre dealguma fora (ou interao) que lhe deu origem.

WA A = 0.

W U r U r F dr A B A B

A

B

= = ( ) ( )

A funo U r( )

de fundamental importncia na fsica e ela recebeo nome de energia potencial.


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No entanto, nem todas as foras do origem a essa forma de energia (energia potencial). Algumas

(como as foras de atrito) acabam dissipando, isto , consumindo energia. A essas foras damos onome de foras no conservativas. Assim, classicamos as foras em duas grandes categorias:

Foras conservativas Do origem a alguma forma de energia potencial

Foras no conservativas no podemos associar a elas uma forma de energia potencial.Uma questo relevante, do ponto de vista prtico, consiste em encontrar um critrio simples

para que possamos determinar se uma fora ou no conservativa sem que tenhamos de efetuarintegrais ao longo de caminhos. De fato, a partir da denio da energia potencial ( ), podemosintroduzir um critrio para determinarmos se uma fora conservativa ou no. Lembramos,primeiramente, que todo campo vetorial pode ser modicado atravs de uma operao que envolve

um campo vetorial, denominada rotacional do campo. Mediante tal operao, criamos um novocampo a partir do campo original.

Para um campo vetorial qualquer, como o campo eltrico (

E r( )), o rotacional do campo denido

como um novo campo cujas componentes so dadas pelo determinante de uma matriz, de acordocom a expresso:

( 4 )

Ou seja, o rotacional de

E r( ) um vetor cujas componentes so dadas por:

( 5 )

A seguir, ser mostrado que se pode decidir se uma fora conservativa a partir da anlisedo seu rotacional. Mais precisamente, se a fora for tal que o seu rotacional se anula, ento,a fora conservativa.

( 6 )

Assim, para vericarmos se uma fora conservativa ou no, basta tomarmos o rotacionalda fora. Se o rotacional da fora resultar nulo, a fora conservativa. Caso contrrio, ela no conservativa.

( )

E r

i j k

x y z

E E Ex y z

det .

( )

+

+

E r

E

y

E

zi

E

z

E

xj

E

x

Ez y x z y x

yk

( )( ) =

F r 0.


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Fora a partir da Energia Potencial

Podem-se denir foras conservativas a partir de outro critrio, a saber, dizemos que uma fora conservativa se ela deriva de uma funo escalar, ou seja, uma fora conservativa se existir umafuno U r( )

tal que a fora seja dada pela expresso:

( 7 )

Veremos que a funo escalar U r( )

a energia potencial. Por esse critrio, no caso de uma forageral, a relao, quando existir, tal que as componentes da fora so determinadas a partir dederivadas parciais da energia potencial. Ou seja:

( 8 )

onde as derivadas parciais (

Ux

Uy

Uz

, , ) apenas indicam que devemos derivar a funo Ucomo

se ela fora dependente apenas dex,youzem cada um dos casos.A bem da verdade, deve-se frisar que nem todas as foras podem ser escritas como derivadas

sob a forma (000). Denem-se foras conservativas como aquelas que podem ser escritas sob aforma (000). S para tais foras podemos falar em energia potencial associada interao.

A denio de fora conservativa nos leva ao critrio simples j enunciado pela expresso (000).Para vericar isso consideremos a fora dada pela expresso (000). O rotacional da fora dado por:

( 9 )

F r U r( ) = ( )

F x y zU x y z

xF x y z

U x y z

yF x y z

x y z( , , )

, ,( , , )

, ,( , , )=

( )

= ( )

=

( )

U x y z

z

, ,

( )

+

+

F r Fy

Fz

i Fz

Fx

j Fx

Fz y x z y x

y

k


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Para uma fora dada pela expresso (000), obtemos:

( 10 )

ou seja, um fora conservativa tal que seu rotacional nulo.

O Gradiente de uma Funo Escalar

Uma vez introduzido o conceito de foras conservativas, podemos nos perguntar sobre a melhor

maneira de determinar a energia potencial. Isto ser feito logo em seguida. No entanto, antes de faz-lo,devemos introduzir alguns conceitos do clculo vetorial bem como propriedades de campos vetoriais.

Dada uma funo escalar, ou campo escalar, podemos construir um campo vetorial a partirdesse campo escalar, tomando derivadas parciais e multiplicando por versores. A essa operaodenominamos aplicar o operador gradiente funo escalar. Assim, denimos o operador gradiente(smbolo

) como aquele que, aplicado sobre uma funo escalar, leva a um campo vetorial denidoatravs da identidade:

( 11 )

Uma propriedade importante do operador gradiente a de que uma variao innitesimal dagrandeza fsica representada pelo campo escalar (dV) pode ser expressa por meio do uso desseoperador. A variao innitesimal de uma funo V(x,y,z) denida como a diferena da funo parapontos do espao muito prximos. Para escrevermos uma expresso para a variao innitesimal,consideremos a variao:

( 12 )

=

+

=

F

y

F

z

U

y z

U

z y

F

z

F

x

z y

x z

2 2

0

=

+

=

=

+

2 2

2 2

0U

z x

U

x z

F

x

F

y

U

x y

Uy x

yy x

= 0

( ) ( )

+ ( )

+ ( )

V x y z V x y z

x

iV x y z

y

jV x y z

z

k, ,, , , , , ,

.

V V r r V r +( ) ( )

.


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Vamos agora expandir a grandeza escalar

( 13 )

em potncias das variaesx,yez, utilizando, para isso, a expanso de Taylor para funes demuitas variveis:

( 14 )

Assim, at termos de primeira ordem, podemos escrever:

( 15 )

donde conclumos, pela denio do gradiente, que, para valores innitesimais dos deslocamentos,podemos escrever:

( 16 )

Outra propriedade importante em relao variao innitesimal a integral da varivel entredois pontos ser dada pela diferena:

( 17 )

e, consequentemente, de (000) resulta que a integral de linha do gradiente de uma funo escalar

e dada pela diferena entre a funo calculada em dois pontos do espao:

( 18 )

resultado esse que no depende do caminho utilizado quando integramos o vetor

V r( )ao longode um caminho que interliga os pontos A e B.

V r r V x x y y z z

+ ( ) + + + ( ), ,

V x x y y z z V x y z V

xx

V

yy

V

zz

V

xx+ + +( ) = ( ) +

+

+

+

, , , ,

1

2

2

2

22

2

+

+

V

x yx y ...........

V x y z V

xx

V

yy

V

zz, , ,( )

+

+

dV V dr = ( )

.

dV V r dr

A

B

A

B

= ( )

dV V r V r B A

A

B

= ( ) ( )


8/25


Trabalho e Variao da Energia Potencial

Assim, se uma fora for conservativa, de acordo com a denio, o trabalho realizado por umafora quando uma partcula se desloca entre dois pontos A e B quaisquer. Para vericamos isso,lembramos que a partir de (000) temos:

( 19 )

Tendo em vista que:

( 20 )

o trabalho realizado pela fora entre os pontos A e B no depende do caminho, apenas dessespontos e dado por:

( 21 )

Assim, fazendo uso do formalismo matemtico, podemos associar por meio da denio (000),envolvendo o operador gradiente, a energia potencial fora. Essa associao, por outro lado, fazcom que a fora seja derivada da funo energia potencial.

A denio de energia potencial como uma funo ou campo, a partir da qual podemos deter -minar a fora, leva-nos ao problema inverso, ou seja, o de determinar a energia potencial uma vez

conhecida uma expresso analtica da fora.

Caso Unidimensional

O caso unidimensional um caso muito especial e isso porque, se a fora depender apenas daposio, ela conservativa, uma vez que podemos escrever

( 22 )

W F r dr dU A B

A

B

A

B

= ( ) =

dU r U r U r B A

A

B

( ) = ( ) ( )

W F r dr U r U r A B

A

B

A B = ( ) = ( ) ( )

.

F xdU x

dxx( ) =

( ).


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O rotacional dessa fora nulo, uma vez que:

( 23 )

O trabalho realizado por essa fora, quando o mvel se desloca de um ponto de coordenadasx0

at outro ponto de coordenadax, s depende dessas coordenadas. Ou seja:

( 24 )

Assim, no importa se a partcula foi e voltou vrias vezes. O que importa so as coordenadasdo ponto. Portanto, dada a dependncia da fora em relao posio, a energia potencial serdeterminada pela integral:

( 25 )

Assim, por exemplo, no caso da fora elstica, a diferena de energia potencial dada por:

( 26 )

Donde resulta que, para o caso da fora elstica, a energia potencial dada pela expresso:

( 27 )

O fato que foras unidimensionais so, em geral, foras conservativas. A determinao do

potencial envolve uma integral de funo de uma varivel apenas.

Energia Potencial: Foras Constantes

Para entendermos a estreita relao entre fora e energia potencial, consideremos o caso deuma fora constante. Escrevamos essa fora sob a forma:

( 28 )

( )( ) ( )

+

( )

=F x i

F x

zj

F x

ykx

x x0

W F x dxx x x

x

x

= ( )00

' '.

U x U x F x dxx

x

x

( ) ( ) = ( )00

' '.

U x U x k x dx k

x x

x

x

( ) ( ) = = ( )02

0

2

0

2

' '.

U x kx

( ) =2

2

F F i F j F kx y z0 0 0 0= + +


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ondeF0x

,F0y

eF0z

so constantes associadas s componentes da fora.

muito fcil constatar, por meio de uma derivao muito simples, que a funo denida por:

( 29 )

a energia potencial associada fora constante

Energia Potencial a partir da Fora

Podemos determinar, em muitos casos, a energia potencial mediante o uso da sua relao com afora dada como o gradiente dela. Consideraremos o potencial gravitacional de um corpo de massa m.Para tanto, recorremos lei da gravitao universal.

Uma das grandes contribuies de Newton foi a lei da gravitao universal. A partir dessa leipode-se mostrar que um objeto esfrico de massaM, como a Terra, exerce uma fora sobre outroobjeto de massa mde tal forma que, adotando-se a origem do sistema de coordenadas no centro

U(x,y,z) = F0xx F

0yy F

0zz

Figura 2: A energia potencial gravitacional depende da altura.


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do objeto esfrico, o centro da Terra, por exemplo, a fora gravitacional pode ser escrita, em funo

do vetor de posio da partcula de massa m, da seguinte forma:

( 30 )

onde r o vetor de posio da partcula de massa m.

Em coordenadas cartesianas, a expresso para a fora dada acima :

( 31 )

De acordo com a denio de energia potencial, ela pode ser determinada a partir dasseguintes relaes:

( 32 )

A funo U(x,y,z) que satisfaz as condies acima :

( 33 )

Utilizando coordenadas esfricas, a energia potencial gravitacional se escreve como:

( 34 )

Outro exemplo simples o de uma fora constante. Nesse caso, escrevemos:

( 35 )

F mMG r

r=

3,

F mMG xi yj zk

x y z=

+ +

+ +( )2 2 2 3 2/

.

F mMG x

x y z

U x y z

x

F mMG y

x y z

x

y

=

+ +( )=

( )

=

+ +( )=

2 2 2 3 2

2 2 2 3 2

/

/

, ,

UU x y z

y

F mMG z

x y z

U x y z

zz

, ,

, ,.

/

( )

=

+ +( )=

( )2 2 2

3 2

U x y z GmM

x y z, , .

/( ) =

+ +

( )

2 2 2 1 2

U r GmM

r( ) = .

F F=0.


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Adotando-se o eixozna direo da fora orientando-o no mesmo sentido, a denio de energia

potencial nos leva seguinte expresso para a energia potencial:

( 36 )

A partir da expresso acima, temos outra forma de deduzir a expresso (000) para a energia

potencial. Vericamos assim que ela vlida, no entanto, para pontos prximos superfcieterrestre. Para tais pontos, podemos escrever, de uma forma aproximada:

( 37 )

E, portanto, o mdulo da fora dada em (000) aproximadamente constante:

( 38 )

Energia Potencial Eletrosttica

A lei de Coulomb determina o comportamento da fora entre duas cargas eltricas puntiformes,cujos valores so Q

1e Q

2.

Quando a origem do sistema de coordenadas for colocada exatamente onde se encontra umadelas, no caso adotamos a partcula 1. De acordo com a lei de Coulomb, a fora eltrica entre elaspode ser escrita, em funo do vetor de posio da partcula de carga Q

2, da seguinte forma:

( 39 )

adotando, na expresso acima, o sistema MKS.Tendo em vista a semelhana com a fora gravitacional, basta seguirmos os mesmos passos

acima para concluir que a energia potencial eletrosttica de duas cargas eltricas dada, em funoda distncia entre elas, pela expresso:

( 40 )

U z F z ( ) = 0 .

r R.

F mMG

Rmg

2 .

Figura 3: Energia potencial eltrica.

F

Q Q xi yj z k

x y z=

+ +

+ +( )1 2

02 2 2

3 24

/ ,

U x y z Q Q

x y z, ,

/( ) =

+ +

( )

1 2

02 2 2

1 24

1


13/25


Energia Mecnica e sua Conservao

Vemos pela equao (000) que o trabalho uma medida da variao da energia cintica. Ou seja,

( 41 )

Portanto, se considerarmos as duas expresses, (000) e (000), sobre o trabalho realizado entre

AeB, podemos escrever para foras conservativas as identidades:

( 42 )

ou, equivalentemente,

( 43 )

soma da energia potencial e da energia cintica damos o nome de energia mecnica. Comona expresso acima os pontosAeBso arbitrrios, conclumos que ela vale para qualquer ponto:

( 44 )

Naturalmente, o resultado acima s faz sentido para foras conservativas.Agora entendemos melhor o que signica uma fora ser conservativa. Para essas foras, quando

nos deslocamos de um ponto para outro, a energia mecnica se conserva, isto , assume o mesmo

valor em qualquer ponto do espao.Para efeito de ilustrao, consideremos o caso de um ponto material, ou partcula. Nesse caso,

podemos considerar apenas duas formas de energia: a energia potencial e a energia cintica.A soma dessas duas formas de energia dene a energia mecnica, a qual dada por:

( 45 )

W d mv mv mv

A B

A

B

B A

=

= 2 2 2

2 2 2,

W mv mv

U r U r A B

B A

A B = = ( ) ( )

2 2

2 2

mvU r U r

mvB

B A

A

2 2

2 2+ ( ) = ( )+

.

E mv

U r= + ( )2

2

.

E E E mv

U rc p

= + = + ( )

2

2


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Existe uma classe de fenmenos, a serem estudados a seguir, para os quais a soma das duas

energias se conserva. Escrevemos assim que a energia mecnica constante:

( 46 )

importante apontar para o fato de que nenhuma das duas formas de energia constante. Tendo

em vista que a energia mecnica conservada, de se esperar que, ao longo do movimento, noqual ocorrem mudanas de posio, uma forma de energia converte-se, continuamente, em outraforma de energia. Quando atiramos uma pedra para o alto, imprimimos uma energia cintica a ela,a qual ir se reduzindo paulatinamente at que ela atinja o ponto mais alto. Nesse ponto de alturamxima, a energia cintica ser mnima. Consequentemente, a energia cintica impressa ao corpo

foi convertida, parcialmente, em energia potencial. A partir do momento em que a pedra inicia omovimento descendente, iniciamos a fase do movimento na qual existe converso de energia potencialem energia cintica. Isso pode ser inferido a partir da expresso da energia de uma partcula sujeita aum campo gravitacional constante. Nesse caso, a energia mecnica dada pela expresso:

( 47 )

O exemplo acima no um caso particular. Em geral, vale a premissa de que, nos pontos para osquais a energia potencial mnima, a energia cintica ser mxima. E vice-versa. Esse o princpiode funcionamento das montanhas russas num parque de diverses.

A altitude mxima atingida por uma pedra, a partir do conhecimento da sua velocidade inicial,pode ser determinada sem o conhecimento da soluo da equao de movimento. Para pequenas

altitudes, aquelas para as quais a altura muito menor do que o raio da Terra (ou seja, z R ,

podemos utilizar a expresso (000). No entanto, no caso de grandes altitudes, devemos fazer usoda expresso da energia em funo da distncia at o centro da Terra:

( 48 )

ondeM a massa da Terra e G a constante da gravitao universal.

mvU r E

2

0

2+ ( ) =

E mv mgz0

21

2= +

E mv mMG

r=

1

2

2


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Basta utilizar a conservao da energia mecnica. Outras aplicaes, como a velocidade de

escape de um projtil na superfcie da Terra, devero ser analisadas ao longo do texto.

Quando analisamos o movimento dos projteis que se movem a pequenas distncias sobre asuperfcie da Terra podemos fazer uso da expresso aproximada (000).

Energia no Movimento dos Projteis

Tendo em vista que a energia mecnica conservada, de se esperar que, ao longo do movimentodos projteis, no qual ocorrem mudanas de posio, uma forma de energia se converta, continuamente,

em outra forma. Quando atiramos uma pedra para o alto, imprimimos uma energia cintica a ela, aqual ir se reduzindo paulatinamente at atingir o ponto mais alto. Nesse ponto, a energia cinticaser mnima. Consequentemente, a energia cintica impressa ao corpo foi parcialmente convertidaem energia potencial. A partir do momento em que a pedra inicia o movimento descendente, comeaa fase do movimento na qual existe converso de energia potencial em energia cintica. Isso pode serinferido a partir da expresso da energia de uma partcula sujeita a um campo gravitacional constante.Nesse caso, a energia mecnica dada pela expresso:

( 49 )

Figura 4: Ao longo do movimento, e independentementede onde o objeto esteja.

exerccios resolvidos

E mv mgz= +1

2

2.

M i F C ti E i M i 15
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


16/25


O exemplo da fgura 3no um caso particular. Em geral, vale a premissa de que, nos pontos

para os quais a energia potencial mnima, a energia cintica ser mxima. E vice-versa. Esse oprincpio de funcionamento das montanhas russas num parque de diverses.

A altitude mxima atingida por uma pedra, a partir do conhecimento da sua velocidade inicial,pode ser determinada sem o conhecimento da soluo da equao de movimento. Para pequenasaltitudes, aquelas para as quais a altura muito menor do que o raio da Terra (ou seja, z R ),podemos utilizar a expresso (000). No entanto, no caso de grandes altitudes, devemos fazer usoda expresso da energia em funo da distncia at o centro da Terra:

( 50 )

ondeM a massa da Terra e G a constante da gravitao universal.Assim, alm da aplicao envolvendo os movimentos prximos da superfcie terrestre, a

expresso (000) nos permite fazer outras aplicaes, como a velocidade de escape de um projtilna superfcie da Terra, que podem ser analisadas ao longo do texto.

Figura 3: Conservao da energia o princpio de funcionamento dealguns brinquedos nos parques de diverso.

Figura 4: medida que umprojtil sobe, sua energiapotencial cresce, aproxima-damente, de forma linearcom a altura.

E mv mMG

r=

1

2

2,

Mecnica Foras Conservativas e a Energia Mecnica 16


17/25


Energia na presena de Campos Eltricos

Quando uma partcula se movimenta numa regio onde existem campos eltricos estticospermeando o seu espao de deslocamento, ela adquire energia mecnica dada por:

( 51 )

onde agora U a energia potencial eletrosttica. Essa energia aquela associada interao entreo corpo de carga qcom as demais cargas eltricas que produzem o campo ao qual ele est sujeito.

A ttulo de ilustrao, consideremos o caso em que uma partcula de carga qinterage com outrapartcula dotada de carga Q. Nesse caso, considerando-se uma partcula de velocidade

v, e a uma

distncia rentre elas, a energia mecnica dada por:

( 52 )

Um exemplo bastante simples o do tomo. Nesse caso, um eltron de carga (onde e a unidadeelementar de carga eltrica) interage com o ncleo dotado de carga Q =Ze(ondeZ o nmeroatmico). Assim, a energia de um eltron em movimento no tomo dada por:

( 53 )

onde me a massa do eltron.

E mv U r= + ( )1

2

2

,

E mv qQ

r= +

1

2 4

12

0

.

E m v Ze

re

=

1

2 4

122

0

,

Figura 5: A energia potencial eltrica tem o mesmo comportamento, com

respeito distncia, que a energia potencial gravitacional.



18/25


Energia do Movimento Harmnico Simples

J vimos no capitulo 26 que a energia potencial associada a uma fora elstica dada por:

( 54 )

Utilizando a expresso (000), vemos que a energia potencial varia com o tempo de acordo coma expresso:

( 55 )

A energia cintica, dada por:

( 56 )

tambm varia com o tempo. Utilizando a equao (000), vemos que a dependncia da energiacintica em relao ao tempo dada por:

( 57 )

sendo que, na expresso acima, utilizamos a relao (000).A soma da energia cintica com a energia potencial nos d a energia mecnica (E). Nesse caso,

escrevemos

( 58 )

Sabemos que a energia mecnica se conserva no movimento. Podemos vericar isso explicita -mente somando as expresses (000) e (000). Obtemos

( 59 )

E kx

p=

2

2.

E kA

tp = +( )2

2

0

2cos .

E mv

c=

2

2

E mA

sen t kA

sen tc

= +( ) = +( )2 2

2

0

2

2

02 2

,

E E E mv

kxc p= + = +2

2

2.

E E E kA

sen t tc p= + = +( )+ +( ) 2

2

0

2

0

2 cos .



19/25


Sabemos que sen2 + cos2. Portanto, de (000) segue-se que a expresso da energia mecnica :

( 60 )

A fgura 6 ilustra o que acontece com as vrias formas de energia medida que o tempo passa.Note-se que a energia cintica e a energia potencial variam de tal forma que a soma permanece

constante.

Consideremos agora a lei de Coulomb, a qual determina o comportamento da fora entre duascargas eltricas puntiformes cujos valores so Q

1e Q

2.

Quando a origem do sistema de coordenadas for localizada exatamente onde se encontra uma

delas, a expresso se simplica. Adotamos, a seguir, o referencial com origem na partcula 1. Deacordo com a lei de Coulomb, a fora eltrica entre elas pode ser escrita, em funo do vetor deposio da partcula de carga Q

2, da seguinte forma:

( 61 )

adotando, na expresso acima, o sistema MKS.

E E E kA

c p= + =

2

2.

Figura 6: Grfico das energias em movimento MHS com o passar do tempo.

F Q Q r

r=

1 2

0

34



20/25

g

Potncia de uma Fora

Consideremos uma fora Fque, durante um intervalo de tempo t, realiza um trabalho W.Denimos a potncia mdia (P

m) dessa fora, nesse intervalo de tempo, por:

( 62 )

A potncia instantnea, ou apenas potncia representada porP, denida por:

( 63 )

A potncia de uma fora a derivada do trabalho desta em relao ao tempo.

Lembrando a equao (000), observamos que, para deslocamentos innitesimais rcausadospela aplicao da fora

F, o trabalho innitesimal realizado pela fora :

( 64 )

portanto, de (000) resulta que a potncia dada pelo produto escalar:

( 65 )

ondev a velocidade instantnea.

Foras DissipativasConsideremos o caso de uma partcula sob a ao de uma fora dissipativa (

Fd) e um conjunto

de foras conservativas que representamos como F.De acordo com o resultado que estabelece uma relao entre trabalho e variao de energia

cintica, temos:

( 66 )

P

W

tm =

P W

tt=

lim .

0

dW F dr =

,

P dW

dtF

dr

dtF v= = =

,

F F dr mv mv

d

A

B

B A+( ) = 2 2

2 2



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Tendo em vista que a fora ou as foras representadas por

( 67 )

E esta equao pode ser escrita como uma diferena de energias:

( 68 )

Introduzindo o tempo como varivel de integrao, a equao acima pode ser escrita como:

( 69 )

O primeiro termo a potncia da fora dissipativa integrada ao longo de um intervalo de tempo.Ou seja:

( 70 )

Donde conclumos que

( 71 )

D a taxa com que a energia mecnica varia. Em geral, como no caso das foras viscosas e de

atrito, ao longo do movimento, uma fora dissipativa tem o sentido contrrio ao do movimento;portanto:

( 72 )

Consequentemente, para foras dissipativas, temos:

U r U r F dr mv mv

A B d

A

B

B A

( ) ( ) + = 2 2

2 2

F dr E EdA

B

B A

=

F dr

dtdt E E

d

t

t

B A

A

B

=

F dr

dtdt P t dt

dE

dtdt E E

d

t

t

d

t

t

t

t

B A

A

B

A

B

A

B

= ( ) = =

P t F dr

dtd d( ) =

F dr

dtd


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( 73 )

Ou seja, as foras dissipativas, quando atuam, levam reduo da energia do sistema. Portanto,dissipam energia. Da a razo para o nome.

Unidades de Energia e PotnciaNo SI, a unidade de energia o Joule (smbolo J).A unidade de potncia o watt, cujo smbolo W. A unidade de potncia watt a potncia de um

trabalho unitrio joule (J) dividido pelo intervalo de tempo unitrio de um segundo (s):

( 74 )

No entanto, por razes histricas, s vezes so usadas outras unidades:

( 75 )

dE

dtE E

B A<


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Exerccios Resolvidos:Energia Mecnica e sua Conservao

EXEMPLO

A Figura 000ilustra um bate-estaca em operao: o martelo de massa 1 tonelada inicialmente

erguida a 4 metros acima do topo da estaca.Uma vez solto, o martelo cai e atinge o topo da estaca. Descreva as transformaes de energiaat o martelo colidir com a estaca. Considerarg= 10 N/kg.

RESOLUO

O martelo, em relao ao topo da estaca, tem energia potencial

( 76 )

Conforme o martelo entra em queda livre (desprezando a resistncia do ar), a sua energiapotencial gravitacional diminui e a sua energia cintica aumenta igualmente. Durante a queda,

Ec +Ep =E = 40 kJ.Ao colidir com o topo da estaca, a energia potencial da estaca nula e a cintica Ec = 40 kJ.

Parte dessa energia transforma-se em trabalho (energia mecnica) responsvel pela penetrao daestaca no solo. Outra parte transformada em outras formas de energia (energia trmica, sonora,por exemplo).

Figura 7: Um bate-estaca converte energiapotencial em energia cintica e essa podeser facilmente utilizada. / Fonte: Adaptado deThinkstock.

Ep =mgz = (1.000 kg)(10 N/kg)(4m) = 40 kJ.

http://-/?-


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Crditos

Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Fsica da Universidade de So Paulo (USP).

Autoria:Gil da Costa Marques.

Reviso Tcnica e Exerccios Resolvidos:Paulo Yamamura.

Coordenao de Produo:Beatriz Borges Casaro.

Reviso de Texto:Marina Keiko Tokumaru.

Projeto Grfico e Editorao Eletrnica:Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.

Ilustrao: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Loureno, Joo Costa, Lidia Yoshino,Maurcio Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.

Animaes:Celso Roberto Loureno e Maurcio Rheinlander Klein.

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