flexao simples

FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES – CAPÍTULO 7

Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos.

12 maio 2003

FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES

7.1 HIPÓTESES

No dimensionamento à flexão simples, os efeitos do esforço cortante podem

ser considerados separadamente. Portanto, será considerado somente o momento

fletor, ou seja, flexão pura.

Admite-se a perfeita aderência entre as armaduras e o concreto que as

envolve, ou seja, a deformação específica de cada barra da armadura é igual à do

concreto adjacente.

A resistência do concreto à tração é desprezada, ou seja, na região do

concreto sujeita à deformação de alongamento, a tensão no concreto é considerada

nula.

Nas peças de concreto submetidas a solicitações normais, admite-se a

validade da hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o

estado limite último, desde que a relação abaixo seja mantida:

2d0 >l

l0 → distância entre as seções de momento fletor nulo

d → altura útil da seção

Com a manutenção da forma plana da seção, as deformações específicas

longitudinais em cada ponto da seção transversal são proporcionais à distância até a

linha neutra.

USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações

7.2

7.2 DIAGRAMA DE TENSÕES NO CONCRETO

Permite-se substituir o diagrama parábola-retângulo pelo retangular, com

altura y = 0,8x e tensão σc = 0,85fcd = 0,85fck/γc, exceto nos casos em que a seção

diminuir a partir da linha neutra no sentido da borda mais comprimida. Nestes casos,

σc = 0,95 . 0,85fcd ≈ 0,80fcd. Os diagramas de tensões e alguns tipos de seção

encontram-se nas Figuras 7.1 e 7.2, respectivamente.

2,0‰

0,85 f

0,85 f

0,80 fou

h

xy = 0,8x

= 3,5‰εc

cd

cdcd

Figura 7.1 – Diagrama de tensões

= 0,85fσ = 0,85fσ = 0,80fσ = 0,80fσcd cd cd cd cd cd cd cd

Figura 7.2 – Alguns tipos de seção e respectivas tensões, para diagrama retangular

7.3 DOMÍNIOS POSSÍVEIS

Na flexão, como a tração é resistida pela armadura, a posição da linha

neutra deve estar entre zero e d (domínios 2, 3 e 4), já que para x < 0 (domínio 1) a

seção está toda tracionada, e para x > d (domínio 4a e 5) a seção útil está toda

comprimida. Os domínios citados estão indicados na Figura 7.3.


7.3

Figura 7.3 – Domínios de deformação

7.3.1 Domínio 2

No domínio 2, a ruína se dá por deformação plástica excessiva do aço, com

a deformação máxima de 10‰; portanto, σsd = fyd. A deformação no concreto varia

de 0 até 3,5‰ (Figura 7.4). Logo, o concreto não trabalha com sua capacidade

máxima e, portanto, é mal aproveitado. A profundidade da linha neutra varia de 0 até

0,259d (0< βx < 0,259), pois:

( ) 259,0)105,3(

5,3

sc

c23x =

+=

ε+εε

=β

Figura 7.4 – Deformações no Domínio 2


7.4

7.3.2 Domínio 3

No domínio 3, a ruína se dá por ruptura do concreto com deformação

máxima εc = 3,5‰ e, na armadura tracionada, a deformação varia de εyd até 10‰, ou

seja, o aço está em escoamento, com tensão σs = fyd (Figura 7.5).

É a situação ideal de projeto, pois há o aproveitamento pleno dos dois

materiais. A ruína é dúctil, pois ela ocorre com aviso, havendo fissuração aparente e

flechas significativas. Diz-se que as seção é subarmada. A posição da linha neutra

varia de 0,259d até x34 (0,259 < βx < βx34).

( ) )5,3(5,3

ydsc

c34x ε+

=ε+ε

ε=β ;

s

ydyd E

f=ε

cuε

sε

cuε

sεε <

d

x

yd < 10‰

= 3,5‰


7.3.3 Domínio 4

Assim como no domínio 3, o concreto encontra-se na ruptura, com

εc = 3,5‰. Porém, o aço apresenta deformação abaixo de εyd e, portanto, ele está

mal aproveitado. As deformações podem ser verificadas na Figura 7.6.

O dimensionamento nesse domínio é uma solução antieconômica, além de

perigosa, pois a ruína se dá por ruptura do concreto e sem escoamento do aço. É

uma ruptura brusca, ou seja, ocorre sem aviso. Quando as peças de concreto são

dimensionadas nesse domínio, diz-se que elas são superarmadas, devendo ser

evitadas; para isso pode-se usar uma das alternativas:


7.5

• Aumentar a altura h, porque normalmente b é fixo, dependendo da

espessura da parede em que a viga é embutida;

• Fixar x como xlim34, ou seja, βx = βx34, e adotar armadura dupla;

• Outra solução é aumentar a resistência do concreto (fck).

sε sε ε yd0 <

dx

cuεcuε = 3,5‰

<


7.4 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

Para o dimensionamento de peças na flexão simples com armadura dupla

(Figura 7.7), considera-se que as barras que constituem a armadura estão

agrupadas, concentradas no centro de gravidade dessas barras.

= 3,5‰ε cdσsε

sε

R'

RM

d'

A

A'

b

dh

xy = 0,8xs

d

s

s

c

s

'c

Figura 7.7 - Resistências e deformações na seção


7.6

As equações de equilíbrio de forças e de momentos são respectivamente:

Rc + R’s – Rs = 0

Md = γf x Mk = Rc (d - y/2) + R’s (d - d’)

As resultantes no concreto (Rc) e nas armaduras (Rs e R’s) são dadas por:

Rc = b y σcd = b . 0,8x . 0,85fcd = 0,68 bd βx fcd

Rs = As σs

R’s = A’s σ’s

Para diagrama retangular de tensões no concreto, tem-se que:

y = 0,8x → d – y/2 = d (1 - 0,8x/2d) = d (1 - 0,4βx)

Com esses valores, resultam as seguintes equações para armadura dupla:

0,68 bd βx fcd + A’s σ’s - As σ s = 0 (1)

Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’) (2)

Para armadura simples, A’s = 0. As equações (1) e (2) resultam:

0,68 bd βx fcd - As σ s = 0 (1’)

Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4 β x) (2’)

7.5 EXEMPLOS

A seguir apresentam-se alguns exemplos de cálculo de flexão simples.

7.5.1 Exemplo 1

Cálculo da altura útil (d) e da área de aço (As) para seção retangular.

a) Dados

Concreto C25, Aço CA-50, b = 30 cm, Mk = 210 kN.m, βx= βx23

( ) 259,0)105,3(

5,3

sc

c23x =

+=

ε+εε

=β


7.7

b) Equações de equilíbrio

0,68 bd βx fcd - As σ s = 0 (1’)

Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4βx) (2’)

c) Cálculo de d (equação 2’)

)259,04,01(4,15,2 d21,4 2 ×−××0,259××30×0,68 = 1000×

d = 58,93 cm (h = 59+3 = 62 cm)

d) Cálculo de As (equação 1’)

015,150A

4,15,2259,093,583068,0 s =×−××××

As = 12,80 cm²

7.5.2 Exemplo 2

Idem exemplo anterior com βx = βx34.

a) Cálculo de βx34

( ) )5,3(5,3

ydsc

c34x ε+

=ε+ε

ε=β

‰07,2210000

15,1/50Ef

s

ydyd ===ε

628,0)07,25,3(

5,334x =

+=β

b) Cálculo de d (equação 2’)

)628,04,01(4,15,2628 d21,4 2 ×−××0,××30×0,68 = 1000×

d = 41,42 cm (h = 42+3 = 45 cm)


7.8

c) Cálculo de As (equação 1’)

015,150A

4,15,2628,042,413068,0 s =×−××××

As = 21,81 cm²

7.5.3 Exemplo 3

Cálculo da altura útil (d) e da área de aço (As) para seção retangular.

a) Dados

Concreto C25, Aço CA-50, b = 30 cm, h = 45 cm, d = 42cm, Mk = 252 kN.m.

b) Cálculo de βx

Na equação (2’), supondo armadura simples:

Md = 0,68 bd² βx fcd (1 – 0,4βx)

)4,01(4,15,2423068,04,125200 xx

2 β×−×β×××=×

25704βx² - 64260βx + 35280 = 0

βx² - 2,5βx + 1,3725 = 0

βx = 0,814 (βx > βx34: Domínio 4)

βx = 1,686 (x > d, portanto descartado)

c) Conclusão

Como βx > βx34 , σ s < fyd (domínio 4): há solução melhor com armadura dupla.

7.5.4 Exemplo 4

Idem exemplo anterior, com Mk = 315 kN.m.


7.9

a) Cálculo de βx (equação 2’)

Md = 0,68 bd² βx fcd (1 – 0,4βx)

)4,01(4,15,2423068,04,131500 xx

2 β×−×β×××=×

25704βx² - 64260βx + 44100 = 0

βx² - 2,5βx + 1,7157 = 0

∆ = (-2,5)² - 4 x1 x 1,7157 = -0,6128 < 0

b) Conclusão

Não há solução para armadura simples. Neste caso só é possível armadura

dupla (exemplo 5).

7.5.5 Exemplo 5

Solução do exemplo anterior com armadura dupla.

a) Dados

Mk = 315 kN.m, βx = βx34 = 0,628, d’ = 3 cm

b) Cálculo de A’s (Equação 2)

Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’)

1,4. 31500 = 0,68. 30. 422. 0,628. 2,5/1,4 (1 - 0,4. 0,628) +A’s 50/1,15. (42–3) A’s = 8,19 cm²

c) Cálculo de As (equação 1)

0,68 bd βx fcd + A’s σ’s - As σs = 0

0,68 . 30 . 42 . 0,628 . 2,5/1,4 + 8,19 . 50/1,15 - As . 50/1,15 = 0

As = 30,29 cm²


7.10

d) Armaduras possíveis

As : 6 Ø 25 (Ase = 30 cm²) 2 camadas

8 Ø 22,2 (Ase = 31,04 cm²) 2 camadas

A’s : 2 Ø 25 (Ase = 10 cm²)

3 Ø 20 (Ase = 9,45 cm²)

f) Solução adotada (Figura 7.8)

Figura 7.8 – Detalhamento da seção

flexao simples

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