Servio Pblico Federal Ministrio da Educao Universidade Federal Rural da Amaznia Instituto Ciberespacial

NOTAS DE AULAS DE FSICA PARA OS CURSOS DE GRADUAO DA UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZNIA(UFRA)

Professor Orlando Tadeu Lima de Souza

Belm, novembro de 2008

PROGRAMA DE FSICA Noes Preliminares: Sistemas de Unidades Unidade I Mecnica- Cinemtica: movimento retilneo e no plano; Dinmica: Leis de Newton, trabalho, energia e potncia; Esttica: Equilbrio dos corpos. Aplicaes. Unidade II Fluidos: Hidrosttica e Hidrodinmica. Aplicaes. Unidade III Termodinmica: Medidas de temperatura; Leis da Termodinmica. Aplicaes. Unidade IV Fenmenos ondulatrios: Som; Ultra-som; ptica. Aplicaes. Unidade V Fenmenos eltricos: Corrente eltrica; Resistores e Capacitores; Potencial eltrico. Aplicaes. Unidade VI Fsica da radiao: Radiao corpuscular e Eletromagntica; Raios X. Aplicaes. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS: OKUNO, E., CALDAS, I. L., CHOW, C. Fsica para Cincias Biolgicas e Biomdicas. So Paulo: Harper & Row do Brasil, 1982. 490p. RESNICK, R., HALLIDAY, D. Fsica I, II, III, IV. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos LTDA, 4a. ed. 1983. OREAR, J. Fundamentos da Fsica. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos LTDA, 1982.

1 MECNICAA mecnica a cincia que tem como objeto estudar os movimentos dos corpos materiais e para efeito didtico, tem sido dividida em trs assuntos: cinemtica, dinmica e esttica. A cinemtica estuda e descreve os movimentos dos corpos materiais, sem considerar as causas que promoveram o movimento. A dinmica estuda as leis que determinam, entre todos os movimentos possveis, aquele que melhor explica o fenmeno. Neste item fundamental o conceito de fora, ou seja, a questo fundamental determinar os movimentos que efetuar um sistema fsico qualquer sujeito s aes das foras nele aplicadas. A esttica estuda as foras e sistemas de foras, referindo-se em particular a aqueles que atuam sobre os corpos em repouso. Apesar da diviso estes assuntos so inter-relacionados. Quando se estuda, por exemplo, a energia dentro da dinmica, fundamental que tenhamos o conceito de movimento, deslocamento, assuntos estudados na cinemtica. possvel, tambm, se dividir a mecnica de acordo com o tipo de sistema fsico estudado. Isto significa que podemos estudar a mecnica sob o aspecto unidimensional, ou seja, considerar o corpo como uma partcula, ou estud-lo como sendo um sistema multidimensional, como um sistema de partculas. Um slido rgido (um vegetal, um animal, um trator, etc.) pode ser tratado como um tipo especial de sistema de partculas. possvel ainda estudarmos a mecnica de acordo com a natureza da substncia, se elstica, plstica, slidos, gases, lquidos ou um meio contnuo. Neste curso faremos uma abordagem sob os diversos aspectos da mecnica, de acordo como pensamos ser a melhor e a mais adequada maneira de estudarmos o assunto em pauta. 1.1 Cinemtica Como j definimos, a cinemtica a parte da mecnica que estuda os movimentos dos corpos, ento, importa-nos descobrir que tipo de movimento o corpo descreve. imprescindvel que, para conhecermos a posio de um copo, tenhamos que definir um referencial, a partir do qual, possamos afirmar se o corpo est em movimento ou parado. Por exemplo, uma rvore est parada em relao ao solo, porm em relao a um ponto fora da Terra, este objeto est em movimento tendo em vista que a Terra se desloca em relao aos corpos celestes, tambm o seu desenvolvimento se d a partir do solo, que o referencial para verificar o seu crescimento. Para se definir a posio de uma partcula no espao necessrio localizla atravs de suas trs coordenadas. Assim, para uma dimenso temos x(t), para duas dimenses x(t), y(t) e para as trs dimenses x(t), y(t), z(t). Em geral se utilizam as coordenadas retangulares em funo do tempo. O comportamento de um mvel, pode ser estudado utilizando-se o conceito vetorial. Por isso faremos um breve estudo deste formalismo matemtico ao final deste captulo, para o qual recomendamos que o estudante estude-o, principalmente antes de estudarmos o item que trata da esttica.

1.1.1 Movimento Retilneo Para a maioria dos casos, aqui estudados, o deslocamento do corpo ser realizado atravs de uma reta (movimento retilneo), pois utilizaremos apenas uma coordenada x(t). No caso particular do movimento no plano, por exemplo, no deslocamento de uma partcula de gua que se desloca a partir da emisso de um aspersor ou na superfcie de uma lmina dgua como um lago, rio ou oceano, trabalha-se com duas coordenadas, sendo uma na direo x e outra na direo y, em seguida faz-se a composio das duas coordenadas. Se conhecermos as regras que definem como medir a coordenada x de uma partcula, em funo do instante t, teremos como determinar as condies que especificam a posio do copo em funo do tempo, em qualquer situao mecnica. Isto sob a gide da mecnica clssica, pois na mecnica quntica esta afirmao no vlida. Considerando-se que uma partcula est em movimento, em relao a um referencial, podemos definir a componente x da velocidade, v, em funo de um dado instante t como: dx (1) dt em que, as derivadas com relao ao tempo, ou derivadas temporais, so designadas por d/dt ou por um ponto, como aparece na equao (1). Que o conceito de velocidade instantnea. A velocidade mdia entre dois pontos referenciais, muitas vezes necessria em determinadas situaes, determinada a partir da seguinte expresso: v=x= v= x x xo = t t to (2)

em que: x a posio final da partcula; xo a posio inicial da partcula; t o tempo de durao do evento; to o tempo inicial do evento. Em geral, o tempo to zero, fcil verificar que: x = xo + v t (3) Atravs do conceito de integral definida podemos, a partir da equao 1, encontrarmos a equao horria do deslocamento.

Exemplo 1: Um animal cresce no primeiro ano de vida 0,3 m; no segundo ano de vida cresce 0,6 m e no ano seguinte 0,2 metro. Qual a velocidade mdia de crescimento desse animal nos trs primeiros anos de vida? Soluo: Como vimos anteriormente, a velocidade mdia dada por: x t x a variao do comprimento (espao, deslocamento) que foi de 1,1 metros. v=

t a variao do tempo de crescimento do animal que foi de 3 anos, logo: v= 1,1 = 0,37 m / ano 3

Exemplo 2: Uma vegetal tem uma curva de crescimento dada pela seguinte equao: X = c1t 3 c 2 t 4 Onde X dado em metros, t em anos, c1 = 1,5 m/ano3 e c2 = 0,5 m/ano4. Determine: a) o tempo para que o vegetal atinja o seu comprimento mximo; b) o comprimento mximo atingido pelo vegetal. Soluo: O vegetal, ou qualquer outro ser vivo, tem o seu crescimento mximo quando sua velocidade de crescimento se anula. Assim, derivando-se X e igualando a expresso derivada a zero, teremos o instante em que o vegetal parou de crescer. a) dX = c1 dt 3 dt 4 c2 =0 dt dt

3c1t 2 4c 2 t 3 = 0 t = 2 anos e 3 meses 9 9 X = c1 c2 4 4 o comprimento mximo atingido pelo vegetal. b)3 4

X = 4,28metros , aproximadamente,

A equao (3), definida aritmeticamente a partir da equao 2, ou atravs da integrao da equao 1, num instante t, a expresso horria do deslocamento em funo do tempo, que o caso de um movimento unidimensional em que a velocidade constante em todo o movimento do corpo. Este caso uma situao ideal que no ocorre na natureza, em geral a velocidade varia em funo do tempo. Esta variao funo da acelerao (a), que responsvel pela mudana do movimento do corpo. De modo anlogo como definimos a velocidade, assim tambm pode ser definida a acelerao a, ou seja: dv d 2x = = 2 x dt dt Integrando-se a equao 4, fcil verificar que: a=v= v = v o at (4)

(5)

Da equao 1 temos que v =

dx , por integrao em (5) fcil obter-se: dt (6)

x = x o + v o t 1 2 (at 2 )

A equao (6) a expresso do deslocamento de uma partcula cuja velocidade varia com o tempo. Considerando-se que a velocidade aumenta, temos a acelerao de sinal positivo, o movimento acelerado. Caso contrrio, a acelerao tem sinal negativo e o movimento dito retardado. Se x aumenta em relao a um referencial adotado, o movimento considerado progressivo, o caso do crescimento de planta e animais, dentro de um determinado intervalo de tempo, caso contrrio, o movimento dito retrgrado, por exemplo, um carro retornando ao seu ponto de origem. As equaes estudadas at o momento so classificadas na mecnica, dentre outras, como equaes horrias, evidentemente porque na sua estrutura a funo deslocamento ou velocidade dependem da varivel tempo. H, porm, casos em que determinados fenmenos independem do tempo, da a necessidade de se ter equaes de recorrncia independente do tempo. o caso da equao de Torricelli (Evangelista Torricelli, 1608-1647) que primeiramente foi concebida para o estudo do deslocamento dos fluidos, mas que tem sido largamente utilizada no deslocamento dos slidos. Com a equao da determinao da mdia de velocidades entre dois pontos, associada s equaes j estudadas (3) e (5) fcil deduzir que: v 2 = vo 2ax2

(7)

Em geral, adota-se o Sistema Internacional (SI) como o sistema fundamental assim, as unidades de x, t, v, a, so respectivamente o metro(m), segundo (s), metro por segundo (m/s) e metro por segundo ao quadrado (m/s2). Porm nas Cincias Agrrias outras unidades so utilizadas por medida de convenincia, como veremos ao longo do curso. Quando um corpo lanado para cima, partindo da superfcie do solo, ou caindo livremente de uma altura h, ele fica sujeito acelerao da gravidade g em que, no primeiro sentido, o corpo tem um movimento retardado e no sentido contrrio o movimento acelerado. As equaes que representam este movimento so as mesmas que foram definidas anteriormente, em relao ao movimento variado, com as suas caractersticas particulares. Assim, baseados nas equaes anteriormente estudadas, podemos escrever as equaes do movimento vertical da seguinte forma: v y = v o y gt (8) y = y o + vo y t + 1 2 ( gt 2 ) v y = vo y 2 gy2 2

(9) (10)

Exemplo 3. De que depende a velocidade de queda de uma fruta, inicialmente presa ao ramo de uma rvore, a uma altura h? Soluo: Considerando que a fruta se desprende da rvore, voy =0, e que este movimento independe do tempo, teremos: v y = vo y 2 gy2 2

v y = 0 2 gh

2

v = 2 gh logo: como g constante, a velocidade de queda de um corpo em queda livre, no caso uma fruta, s depende de sua altura de queda.

Foi primeiramente Galileu Galilei (1564-1642), utilizando-se de planos inclinados, quem descobriu que os corpos em queda livre independem do valor de suas massas e to somente da altura de queda, contradizendo o que Aristteles (384-322 a.C.) afirmava desde a Grcia Antiga. 1.1.2 Movimento Circular Uniforme Em geral os implementos mecnicos agrcolas esto relacionados com o movimento circular, como o caso da roda de um trator, do movimento de motores, da roda dgua, de um moinho de vento etc. Consideremos uma partcula que se desloca ao longo de uma trajetria circular, de raio r, com velocidade constante em mdulo, como mostra a figura abaixo.

A B s )

Figura 1 Deslocamento de um corpo no movimento circular Sabendo-se que o arco s entre, os pontos A e B, define um ngulo , a equao de s dada por: s = r. (11) Derivando-se da equao 11 em relao ao tempo, levando-se em conta que a partcula se desloca ao longo da trajetria circular teremos: ds dr d = +r dt dt dt Como r constante, e definindo-se = podemos escrever: (12)

v = .r (13) Onde v a velocidade tangencial ou linear e a velocidade angular da partcula dada em radiano por segundo (rad/s ou rad/min) Como s o deslocamento da partcula ao longo da trajetria circular, com base no estudo do movimento uniforme, podemos escrever: s = vt ento: (14)

Se a partcula realiza uma rotao (volta) completa no crculo em estudo, 2r = r.T 2 = .T (15)

sendo T o tempo necessrio para que a partcula complete uma rotao, tambm chamado de perodo. Para n voltas dentro de um tempo T, chamamos a essa varivel de freqncia f dada em Hertz (Hz)no SI, que o inverso do segundo. Podendo ser utilizada ainda a unidade rps(rotaes por segundo) ou rpm(rotaes por minuto). Onde 1 Hz equivale 1 rps. Assim:

= 2f

(16)

Consideremos o vetor velocidade de uma partcula se deslocando num crculo de raio r, como mostram os diagramas abaixo:

v

v Figura 2 Diagrama da velocidade de um corpo em movimento circular

r

r

v

v

s v (a) (b) Figura 3 (a) Seo cnica do deslocamento e (b) tringulo das velocidades Correlacionando-se as figuras 3a e 3b, podemos escrever: v v vt r afirmar que: Se o intervalo de tempo muito pequeno, ou seja t 0 correto

lim = r t 0 tonde ac a acelerao centrpeta da partcula.

v

v

2 ac =

v2 r

(17)

Exemplo 4: Uma colheitadeira realiza a colheita de soja com uma velocidade de 6km/h, com uma rotao de 140 rpm no cilindro coletor. Determinar o raio do cilindro desta mquina. Soluo: O raio do cilindro pode ser calculado a partir da equao v = .r. Como

= 2f logo w = 280

e v = .r r = 11,4 cm

Exerccios: 1. Um determinado animal apresenta, aproximadamente, o seguinte grfico de crescimento com relao ao tempo: X(cm)40 38

18

0

2

4

6

8

10

t(ms)

Observando o grfico acima determine, aproximadamente: a) a variao mdia do crescimento linear entre o 4 e o 8 ms; b) a velocidade mdia de crescimento linear entre o 2 e o 7 ms. 2. Observando-se a tabela 1 do artigo Criao de Arapaima gigas (telostei osteoglossidae) em estufa e sistema fechado de circulao de gua, no Estado de So Paulo, de SCORVO FILHO, J.D. et al, Boletim do Instituto de Pesca, So Paulo, 30(2): 161-170, 2004, possvel ajustar uma equao que represente o crescimento do animal (cm) em relao ao tempo (ms), com R= 0,994 dada por: Y = 0,2173t 2 + 7,9186t + 22,676 A partir dessa informao determine o tempo em que o animal atinge o seu comprimento mximo e qual o comprimento alcanado. 3. Uma balsa leva uma carga da cidade A para uma cidade B subindo o rio, gastando 1 hora e 30 minutos no percurso. Quando retorna, gasta a metade do tempo que no percurso contrrio. Se a velocidade da balsa em relao ao rio de 12 m/s. Qual a distncia entre as duas cidades? 4. Em um exame de varredura do trax de um animal a velocidade do ultra-som nos tecidos do animal de 3,5x103m/s. Aps 10-6 segundos de emisso da onda sonora a reflexo captada pelo transdutor. Determine a espessura dos tecidos entre a superfcie da pele e a dos rgos torcicos. 5. Deseja-se construir um sistema utilizando energia hidrulica para produzir energia eltrica, atravs de uma roda dgua. Qual deve ser o dimetro da menor polia, onde ser acoplado um motor de 1800 rpm, sabendo que a roda gira com velocidade de 5,35 m/s e tem dimetro de 50cm?

1.2 Dinmica Os primeiros estudos sobre a fsica como as propriedades da luz, as primeiras idias da estrutura do corpo(tomo), a observao do fenmeno da atrao eltrica, remontam da Grcia Antiga, mas suas idias sobre os movimentos eram um tanto confusas. Aristteles definia dois tipos de movimentos, o movimento natural,(movimento decorrente da natureza do objeto) e o movimento violento (resultantes de foras externas que puxavam ou empurravam o objeto). Com esse pensamento Aristteles imaginava a Terra como um objeto que por sua natureza mantinha-a em repouso e, no havendo outro corpo ou fora que a deslocasse, era lgico que ela fosse estacionria. Somente cerca de 1.800 anos aps que Nicolau Coprnico (1473-1543) observando o posicionamento dos astros concluiu que a Terra se movia em torno do Sol. Galileu deu uma contribuio fundamental, para a compreenso dos movimentos, ao estudar os movimentos relativos, queda dos corpos e a inrcia e inaugurando um novo mtodo de investigao ao aliar o pensamento terico experincia e conseqentemente medida. Por esta razo Galileu considerado o fundador da Fsica Moderna. O passo seguinte e definitivo veio com Isaac Newton (1642 a 1727) que props uma formulao completa s leis da mecnica atravs de seu livro Mathematical Principles of Natural Philosophy em 1686, com seus trs famosos princpios: 1) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que ele seja forado a mudar aquele estado por foras imprimidas sobre ele; 2) A mudana de momento proporcional fora motora imprimida, e produzida na direo da linha reta na qual aquela fora imprimida; 3) A toda ao h sempre oposta uma reao igual, ou, as aes mtuas de dois corpos um sobre o outro so sempre iguais e dirigidas a partes opostas. 1.2.1 Centro de Massa At este momento, todo o estudo que fizemos, levamos em considerao que o corpo se comportava como uma partcula, desprezando-se suas dimenses. o conceito dentro da mecnica conhecido como um corpo puntual. Entretanto, quando um corpo se movimenta, seja o movimento de translao, de rotao ou mesmo quando deformado, todas as partculas constitudas pelo corpo sofrem o mesmo efeito. Este modo de considerar o corpo em movimento, como uma partcula, decorrente do conceito de centro de massa, que um ponto do corpo que se desloca da mesma maneira como se desloca uma partcula do corpo, sujeita a um sistema de foras que atuam no corpo. O conceito de centro de massa de suma importncia para o estudo do equilbrio dos corpos, assunto bsico para o curso de Construes Rurais. Mesmo que o corpo no tenha uma estrutura rgida, sendo constitudo de pontos discretos, ainda assim o movimento do corpo pode ser considerado como uma partcula que se desloca no espao.

Uma partcula de massa m tem o seu centro de massa localizado na prpria massa. Se considerarmos o caso simples de um sistema de duas partculas de massas m1 e m2 que estejam a distncias x1 e x2, respectivamente de um referencial O, o centro de massa definido como um ponto CM distncia xcm do ponto O, sendo xcm dada por: xcm m1 x1 x2 Figura 4 - Centro de massa entre duas partculas xcm = m1 x + m2 x2 m1 + m2 cm m2

fazendo-se m1 + m2= M ento Mxcm = m1x1 + m2x2. Se tivermos n partculas, ao longo de uma linha reta, distantes cada uma de xi o centro de massa dessas partculas ser dado ento por: xcm = m1 x1 + m2 x2 + .... + mn xn = m1 + m2 + ... + mn

m x mi

i i

Mxcm = mi xi

(18)

A equao (32 ) determina xcm como a mdia ponderada de x1 e x2, onde os pesos so representados pelas massas. Para um sistema de n partculas distribudas em um plano teremos ento: xcm =

m x mi i i

i i

=

1 M

m xi

i i

(19)

ycm =

my mi

i

=

1 M

m y

i

(20)

Caso o sistema esteja localizado no espao, alm das equaes 33 e 34, para definir o centro de massa nestas condies, h que se acrescentar a coordenada de CM na direo z ou seja: i mi zi = 1 m z zcm = (21) i i mi M Exemplo 7 : Encontre o centro de massa de um sistema constitudo por trs partculas sendo m1=2kg, m2=3kg e m3 = 5kg localizadas nos vrtices de um tringulo eqiltero de 2m de lado. 1.2.2 Movimento do centro de massa (Momento Linear)

Faremos agora uma discusso a respeito do deslocamento de um corpo, considerando esse deslocamento a partir do centro de massa. Como faremos o estudo do deslocamento do corpo em uma nica direo, a direo de x, trabalharemos apenas com o mdulo do vetor deslocamento e velocidade nas equaes. Para um sistema de partculas, de acordo com a equao 33 podemos escrever: Mxcm = m1x1 + m2x2 +........+ mnxn Derivando a equao anterior, em relao ao tempo, obtemos: M ou dxcm dx dx dx = m1 1 + m21 2 + ..... + mn n dt dt dt dt (22)

Mvcm = m1v1 + m2v2 +......+ mnvn

onde vcm a velocidade do centro de massa e v1, v2, ...so as velocidades relativas a cada partcula. O termo mv=p denominado de momento linear que define o comportamento do corpo, em relao velocidade dele. um conceito importantssimo na mecnica, quanto s leis de conservao. Se h uma variao na velocidade do corpo, h tambm uma variao no momento do corpo e a taxa de variao desta grandeza dada por como sabemos que logo donde se conclui que a fora a taxa de variao do momento linear da partcula. Derivando a equao 38 em relao ao tempo, obteremos M dvcm dv dv dv = m1 1 + m2 2 + ... + mn n dt dt dt dt dvcm = Macm = m1a1 + m2 a2 + ... + mn an dt (23)

M

onde acm a acelerao do centro de massa e a1, a2,...an so as aceleraes relativas a cada partcula. De onde podemos escrever Macm = F1 + F2 +...+ Fn (24) Da equao 40 conclumos que a soma de todas as foras que agem no sistema a resultante das foras externas que atuam nele. Assim, o produto da massa total do grupo de partculas pela acelerao do seu centro de massa igual resultante de todas as foras que agem no grupo de partculas considerado. A concluso que se chega que o centro de massa de um sistema de partculas desloca-se como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele e como se todas as foras externas fossem aplicadas nele.

1.2.3 Consideraes a cerca das trs leis de Newton

A primeira Lei de Newton (Lei da Inrcia), em ltima anlise, traduz a idia de que existe um referencial em que o estado de movimento de um corpo isolado (no sujeito a foras) permanece isolado, ou seja, a fora resultante localizada no centro de massa do sistema (corpo) nula. A formulao da segunda lei de Newton explicita que, se o corpo sai da inrcia, o efeito a acelerao a adquirida pelo corpo e est diretamente relacionado sua causa, que a fora F , atravs da massa m. A equao para se determinar as foras a partir das aceleraes observadas, segundo a Lei de Newton ento dada por: (25) F = ma A terceira lei relaciona as foras de interao entre dois corpos quaisquer: F12 = F21 (26)

fundamental entendermos que as foras agem em corpos diferentes, isto , F12 a ao do corpo 1 sobre o corpo 2, enquanto que F21 a reao do corpo 2 sobre o corpo 1.

1.2.3.1 Fora Gravitacional Um exemplo de como uma fora est relacionada s suas causas pode ser visto na lei da gravitao universal. Essa lei afirma que um corpo de massa m1, em presena de outro de massa m2, a uma distncia r, est sujeito a uma fora atrativa, denominada fora gravitacional, cuja intensidade dada por:

mm F = G 12 2 r

(27)

onde G (6,673 x 10-11 N.m2/kg2) a constante universal de gravitao, medida pela primeira vez pelo fsico ingls Henry Cavendish, no sculo dezoito. Esta expresso define a origem da fora de interao que so as massas dos corpos e, tambm, o modo como essa fora varia com a distncia, isto , com o inverso de seu quadrado. Considerando-se um corpo de massa m prximo superfcie da Terra a uma altura h, este corpo estaria sujeito a uma fora de atrao que a Terra lhe exerce definida do seguinte modo: F =G m.mT (h + RT ) 2 (28)

Como a fora exerce uma atrao sobre o corpo imprimindo-lhe uma acelerao no sentido do centro da Terra, esta acelerao dada por:

F GmT a= = m ( h + RT ) 2 F m a = = T2 G m RT

como RT >> h

(29)

A acelerao a da equao 22 chamada de acelerao da gravidade e F denominada de peso do corpo, logo: (30) P = m.g De acordo com a equao 22, tomando-se valor da massa da Terra como o 6 g , no Sistema Internacional 5,98x1024 kg e RT igual 6,38x10 km, o valor de aproximadamente 9,8 m/s2. Se observarmos que na equao 22 o raio da Terra pode ser substitudo pelo raio de qualquer outro corpo celeste, ento, da equao 23, conclumos que o peso de um corpo pode variar, dependendo do local onde se encontra, porm, a massa do corpo invariante (no domnio da mecnica clssica), portanto o peso do corpo s depende da acelerao da gravidade do local onde a experincia realizada. Exemplo 5: Consideremos o movimento de um sistema como ilustra a figura 4 em que duas massas m1 e m2 pendem dos extremos de uma corda que passa por uma polia fixa. Supondo que m2 maior que m1 e x distncia entre a polia e a massa m2. Qual deve ser a acelerao com que as massas se deslocam?

m2 m1 Figura 5 Mquina de Atwood Soluo: Como o comprimento da corda constante, a coordenada x determina as posies das massas. Como esto ligadas entre si, ambas se movem com a mesma velocidade dada por: dx v= dt sendo que esta velocidade positiva quando m1 se desloca para cima. Desprezando-se o atrito no sistema e a resistncia do ar, as foras sobre m1 e m2 so:

F1 = m1 g + F2 = m2 g

m1 g + = m1a m2 g = m2 a

e

donde a tenso na corda e a a acelerao igual para ambas as massas. Resolvendo-se o sistema chegamos seguinte expresso: d 2 x (m2 m1 ) a= 2 = g dt (m1 + m2 ) (31)

De onde se conclui que a acelerao constante e, atravs de manipulao matemtica com as equaes do sistema chega-se equao da tenso: 2m1m2 g m1 + m2

=

(32)

Da equao 24 temos que, se m1 = m2, ento a = 0, logo:

= m1 g = m2 gque a condio de equilbrio esttico. Caso m2 >> m2, ento: a=g e

= 2m1 g

Neste exemplo clssico apresentado, na polia fixa, consideremos uma das massas como uma fora F aplicada para elevar um peso P. Supondo que a polia esteja sem atritos, F exatamente igual em mdulo a P, se a corda estiver tangenciando a roldana. F=P O trabalho realizado para elevar o objeto de uma certa distncia d exatamente o trabalho realizado pela fora peso. Nesta nova posio, o objeto ganha energia potencial. O que nos leva a concluir que a funo deste sistema to somente modificar a direo de deslocamento da carga. A associao de duas ou mais roldanas bem mais vantajosa pois, alm de modificar a direo de deslocmento da carga, h uma diminuio, no mnimo, da fora necessria para elevar o corpo. Se for usada uma polia mvel juntamente com outra fixa, a fora necessria ser a metade, mas o deslocamento da correia ou cabo ser o dobro do deslocamento da massa M. A velocidade de elevao da massa ser a metade da obtida no caso anterior. As polias podem ser utilizadas em distintas configuraes, para se obter ganhos atravs da razo entre a fora potente e fora resistente. Assim, pode-se associar trs, quatro ou mais polias dependendo da necessidade. O dimetro da polia se pequeno ou grande, afetar o torque mas no a fora envolvida. Apresentamos a seguir diferentes tipos de configuras com as respectivas

relaes entre a fora potente Fp (fora externa aplicada ao sistema) e a fora resistente Fr para diferentes numos de roldanas (n). Polia fixa: somente altera a direo e o sentido da fora. Fp = Fr. Polia mvel: divide a fora resistente entre o ponto de fixao da corda e a fora potente. Fp = Fr / 2. Cadernal: configurao de vrias roldanas mveis e o mesmo nmero de roldanas fixas. Fp = Fr / 2n. Talha: configurao de vrias roldanas mveis e uma roldana fixa. Fp = Fr / 2n. 1.2.3.2 Fora Normal de Contato A fora gravitacional que a Terra exerce em um corpo em repouso sobre uma superfcie, como ilustra a figura 5, possui direo vertical e dirigida para baixo. Considerando-se que o corpo est em repouso, a fora resultante sobre ele nula. Portanto, deve existir uma outra fora agindo verticalmente e de baixo para cima sobre ele, que a fora de reao da superfcie. Isto ocorre porque o corpo comprime a superfcie, podendo produzir maior ou menor deformao, dependendo de suas naturezas. A essa compresso, a superfcie reage com uma fora de igual direo e de sentido contrrio, chamada fora normal de contato. Dessa maneira, o corpo exerce uma fora de contato N ' sobre a superfcie, e esta reage com uma fora de contato N sobre o mesmo. Devido ao estado de repouso do corpo, a fora N tem a mesma intensidade da fora peso mg , embora suas origens sejam diferentes.

N'

//////////////////////////////////////////////////////// P Figura 6 Foras de contato atuando sobre um corpo.

1.2.3.3 Foras de atrito Consideremos um corpo de massa m que se desliza para baixo sobre um plano inclinado, como mostra a figura 6. As foras que atuam sobre este so o seu peso mg e a fora F que o plano exerce sobre o corpo. Destas duas foras resulta uma fora resultante R de acordo com a lei do paralelogramo:

N f R P ( Figura 7 Esquema de foras em um bloco sobre um plano inclinado R = ma Como o corpo acelerado na direo e sentido da fora resultante, evidente que se ele deslizar para baixo, atravs do plano, sem saltitar nem se incrustar nele, a resultante R est dirigida ao longo do plano. Para encontrarmos o valor de R devemos decompor cada uma das foras que atuam sobre o corpo em duas componentes, uma paralela e a outra perpendicular ao plano. A fora F que o plano exerce sobre o corpo decomposta em duas componentes, uma fora N normal ao plano que impede que o corpo penetre nele e outra fora f paralela ao plano e oposta ao movimento do corpo, devido ao atrito entre o corpo e o plano. Somando as componentes paralelas, obteremos: R = mg sen f 0 = N mg cos

e

Se a fora de atrito f proporcional fora normal N , teremos: f = N = mg cos onde o coeficiente de atrito. Utilizando-se as equaes acima se chega equao da acelerao que dada por: a = g (sen cos ) (33)

Se o corpo est em repouso, a fora de atrito pode assumir qualquer valor inferior ou igual a e N : f e (34) N

onde s o coeficiente de atrito esttico, que tem valor maior que . Neste caso R se anula, e: f = mgsen e mg cos De acordo com a equao acima o ngulo do plano inclinado no pode ser maior que um valor limite r , o ngulo de repouso. tg tg r = e Se maior que r o corpo no pode permanecer em repouso. 1.2.3.4 Fora Centrpeta Quando um corpo se move com uma velocidade constante v ao longo de uma circunferncia de raio r, a fora que atua sobre este corpo produz uma acelerao dirigida para o centro da circunferncia e sua expresso dada pela equao 17, isto : v2 r Esta fora constante tambm dirigida para o centro da trajetria circular denominada de fora centrpeta dada por: a= mv 2 F = ma = r (35)

A fora de reao fora centrpeta chamada de fora centrfuga. Sempre que um corpo sofre um movimento de rotao, por exemplo, uma colheitadeira, as rodas de um trator, o eixo de um motor, ou quando um mvel se desloca ao longo de uma estrada numa curva, este tender a sair do movimento numa direo tangente trajetria. Se o sistema se mantm em equilbrio, ou seja, se a rotao do corpo se mantm, ento a fora centrfuga a fora que mantm o equilbrio. Dependendo da configurao do sistema em movimento as foras centrais (centrpeta ou centrfuga) podem ser representadas por diferentes tipos de foras mecnicas. Pelo atrito, quando um carro est se movimentando em uma curva, a sua tendncia sair da curva (fora centrfuga), porm a fora de atrito atua no sentido contrrio a esta (fora centrpeta).Uma pessoa no topo de uma roda gigante tem seu peso agindo como fora centrpeta e a normal entre o acento e o corpo a fora centrfuga. Na base da roda gigante elas tomam sentidos inversos. Quando comentamos a 1. Lei de Newton (lei da inrcia) observamos que um corpo sempre tende a manter seu estado de equilbrio num movimento linear. O mesmo se d com um corpo em movimento de rotao. Um objeto que gira em torno de seu eixo, tende a permanecer girando em torno de seu prprio eixo, a menos que sofra interferncia de uma fora externa. Esta tendncia manter-se em seu estado de equilbrio denominada de momento de inrcia. O clculo do momento de inrcia (I) depende da configurao do sistema em relao a posio do eixo de rotao dele. Assim, para um cilindro slido, que gira em torno de seu centro de gravidade temos . Para uma esfera slida,

em relao ao seu centro de gravidade, do crculo que define a configurao adotada.

. Onde m a massa do corpo e r o raio

Comentrios: O efeito da fora da gravidade sobre os satlites O conhecimento do clima de uma regio de fundamental importncia para a produo agropecuria. Um dos recursos importantssimos na monitorao do clima na Terra so as informaes enviadas por satlites, sobre as condies climticas da atmosfera. Alguns agricultores, ainda hoje, para decidir sobre o tempo para realizar o plantio de uma cultura, comumente apelam para a intuio ou atravs da anlise pelo tato, para determinar a umidade do solo. Porm esta prtica emprica, gerando decises incompatveis com as condies reais para a produo, est dando lugar s informaes vindas do espao, atravs de imagens geradas por satlites que revelam as caractersticas fsicas, qumicas e mineralgicas do solo, em conjunto com as condies climticas. O que mantm os satlites na rbita terrestre a fora de atrao do planeta, a fora da gravitao universal, que exerce um efeito de fora centrpeta sobre o satlite ou qualquer ouro corpo submetido ao campo gravitacional da Terra. Os satlites que passam pela mesma regio do planeta a cada 12 horas, (uma vez ao dia e outra noite), so chamados de heliossncronos. So assim chamados por estar sempre na mesma hora e local ou seja, esto em sincronia com o posicionamento do sol. Outros tipos de satlites so os geoestacionrios que ficam localizados no plano de equador, girando com a mesma velocidade angular que a Terra. Portanto, so vistos como se estivessem estacionados sobre um ponto do planeta permitindo observar a mesma regio a qualquer hora; a nica limitao o tempo necessrio para criar uma imagem, process-la e envi-la Terra. A associao de dados fornecidos por satlites tem sido fundamental para a localizao e posicionamento de determinadas reas de importncia nas atividades agrcolas e florestais, como veremos na discusso a cerca dos fenmenos ondulatrios no captulo 4 deste livro. 1.2.3.5 Lei de Hooke e Mdulo de Young Via de regra, todos os corpos sofrem deformaes, isto , alteram as suas dimenses, quando submetidos a foras de compresso ou de trao. Essas variaes lineares L so determinadas pelas diferenas entre o comprimento final L, devido ao das foras, e o comprimento inicial Lo, ou seja: L = L Lo Experimentalmente Hooke verificou que a maior parte dos materiais, a deformao sofrida pelo corpo proporcional fora a ele aplicada, isto : F ( L Lo) F = k ( L Lo) assim, F = kL (36)

que a Lei de Hooke, sendo k a constante de proporcionalidade denominada de constante elstica do material. Esse comportamento linear tambm pode ser descrito em termos de variao relativa do comprimento, L/Lo e da fora aplicada por unidade de rea. Assim: F L =Y A Lo O coeficiente de proporcionalidade Y denominado mdulo de Young, cujo valor calculado pela equao: Y = F Lo A L (37)

Basicamente, o mdulo de Young d o grau de elasticidade de um material, isto , se Y for grande, para uma dada fora aplicada, a variao L do elongamento do material ser pequena, ou seja, o material pouco elstico.Tabela 1 Valores aproximados do mdulo de Young para produzir ruptura Material Fora compressiva mxima Fora tnsil mxima (N/mm2) (N/mm2) Ao duro 552 827 Borracha 2,1 Madeira 59 117 Concreto 21 2,1 Granito 145 4,8 Osso compacto 170 120 Porcelana 552 55 Fonte: Okuno et al 1982 Mdulo de Young (x 102 N/mm2) 2 070 0,010 110 165 517 179 -

A elasticidade dos tecidos de um animal ou fibra vegetal est diretamente relacionada com as caractersticas de rigidez dos tecidos deles, que um dos parmetros que define a qualidade do espcime. Portanto, se conhecermos o mdulo de elasticidade da carne do animal possvel classific-la como uma carne de 1 ou de 2 qualidade. Assim como, com as caractersticas fsicas e mecnicas de uma estrutura vegetal Para concluir o estudo da natureza das foras, faremos a seguir um estudo geral do movimento de um corpo de massa m que se desloca em linha reta sob a ao de uma fora constante F. Pela segunda Lei de Newton, temos: F = ma Como vimos anteriormente, a= dv F = dt m

Assim, a expresso da variao de velocidade dv ocorrida em um intervalo de tempo dt dada por:

F dt m Integrando esta equao encontramos a variao total da velocidade durante o tempo t: dv = F f t m

dv = mdtvo 0

v

t

v vo =

onde vo a velocidade para t = 0. Considerando-se que x a distncia do corpo a um referencial fixo, medida ao longo de sua trajetria retilnea, ento: v= dx F = vo + t dt m

Fazendo-se a integrao da equao acima encontramos x de modo que:

x

xo

dx =

(vo

t

o

+

F t )dt m F 2 t m

x = xo + vot +

1 2

1.2.4 Trabalho e Energia 1.2.4.1 Trabalho realizado por uma fora constante Quando uma fora aplicada sobre um corpo e este corpo se desloca no mesmo sentido da fora aplicada, at a uma distncia d sobre uma superfcie, diz-se que esta fora realizou um trabalho mecnico, conforme ilustra a figura 7.

F _______________________________________________ ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// d Figura 8 Esquema do trabalho realizado por uma fora horizontal constante Considerando-se que entre a superfcie e o corpo no h atrito, define-se o trabalho realizado pela fora sobre o corpo como o produto do mdulo da fora pela distncia que a partcula percorreu, indicando-se: W = Fd (38) Em geral a fora atua no corpo no sentido diferente ao do deslocamento do mesmo. Neste caso, definimos o trabalho realizado pela fora sobre o corpo como sendo

o produto da componente da fora na direo do movimento pela distncia que a partcula percorreu. F ) ______________________________________________ //////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Fcos d Figura 9- Esquema do trabalho de uma fora inclinada constante ento, de acordo com a definio teremos: W = (F cos )d (39) Em geral, outras foras atuam no corpo, como o seu peso e a fora de atrito, e assim, podemos calcular separadamente o trabalho realizado por cada fora e finalmente calcularmos o trabalho resultante que age sobre o corpo como veremos na seo 1.4.5. Desta maneira podemos fazer uma anlise atravs da direo da fora resultante aplicada sobre o corpo: Quando nulo, o trabalho realizado sobre o corpo dado pela equao 42, tem valor mximo sendo chamado de trabalho ativo ou motor passando a assumir a frmula da equao 41; se tem valor de 90o fcil concluir que o trabalho nulo, o caso do trabalho realizado pela fora peso quando o corpo se desloca na direo horizontal; caso seja 180o, ou seja, a direo da fora contrria direo com que o corpo se desloca (a fora de atrito por exemplo) o trabalho negativo, sendo chamado de trabalho resistivo ou passivo. I.2.4.2 Trabalho realizado por uma fora varivel As consideraes que foram feitas no item anterior, so situaes excepcionais, dificilmente ocorrem na prtica. Em geral a fora que realiza um trabalho mecnico varivel ao longo da trajetria do corpo, conforme a figura 9: F(x)

0

x1

x

x2

x

Figura 10 - Esquema do trabalho realizado por uma fora varivel Durante o pequeno deslocamento x, F tem mdulo aproximadamente constante e o trabalho por ela realizado, W, ser, aproximadamente:

W = Fx

(40)

Por analogia, para cada pequeno deslocamento dentro do intervalo de x1 a x2, F tem valor constante e o trabalho por ela realizado , aproximadamente, dado pela equao (41). O trabalho total W12 realizado por f ao deslocar o corpo de x1 a x2, igual soma dos valores de W para cada intervalo, onde F tem valor diferente para cada intervalo, portanto: W12 = Fxx1 x2

(41)

Para melhorar a aproximao, podemos dividir o deslocamento total de x1 a x2 em maior nmero de intervalos iguais, como na figura 10, de forma que x seja menor e o valor de F no incio de cada intervalo seja mais prximo de seus valores dentro do intervalo. Est claro que podemos obter aproximaes cada vez melhores, tomando x cada vez menor, de forma a conseguir um nmero sempre maior de intervalos. Obteremos o valor exato do trabalho realizado pela fora F se fizermos x aproximar-se de zero e o nmero de intervalos tender para o infinito. Nesse caso, teremos como resultado exato: W12 = lim Fx =x 0 x1 x2 x2 x1

Fdx

Ento o trabalho total realizado por uma fora varivel para deslocar o corpo de x1 a x2 dado por: W12 = Fdxx1 x2

(42)

1.2.4.3 O Teorema do Trabalho Mecnico-Energia Cintica De acordo com a segunda lei de Newton sabemos que F = ma e que a acelerao a pode ser escrita como: a= portanto, W = a frmula dv dv dx dv = . =v dt dx dt dx dv dx = dx 1 1 mvdv = mv 2 mvo vo 2 2v

x

xo

Fdx =

x

xo

mv.

(43)

1 2 mv denominada de energia cintica, onde podemos concluir da equao 43 2 que o trabalho realizado sobre uma partcula pela fora resultante sempre igual variao da energia cintica da partcula. Ou seja: W = K K o = K onde K = 1 2 mv . 2 (44)

Concluses: 1) A variao da energia cintica dada pelo trabalho mecnico realizado; 2) Observa-se que sem energia no h realizao de trabalho;

3)O trabalho s depende das condies iniciais e finais do sistema, independentemente da trajetria em que foi realizado. 1.2.4.4 Energia potencial gravitacional e elstica A partir da equao 45, ao substituirmos a fora F qualquer, pela expresso da fora peso e a coordenada x pela coordenada h, fcil concluir que: W = mg (h ho ) (45) O termo U = mgh denominado de energia potencial gravitacional. Considerando-se que um objeto est, inicialmente, a uma altura ho quando se aproxima do solo em queda livre, sendo, portanto ho > h , conclumos que: W = - U (46)

Para o caso da fora elstica, na equao 49 ao substituirmos a fora F pela fora dada pela equao 30, encontramos a seguinte expresso para a energia potencial elstica: W = - U = - (1/2) kL2 1.2.4.5 Energia mecnica Comparando-se as equaes 47 e 49 chegamos concluso que: U + K = 0 (48) Portanto a soma da variao da energia cintica com a variao da energia potencial nula. Ou seja, num sistema mecnico onde atuam foras conservativas a energia mecnica EM se conserva, logo: EM = U + K (49) (47)

Em um sistema onde atuam foras no conservativas, por exemplo, a fora de atrito, a energia mecnica definida como a soma da energia cintica e potencial com o trabalho realizado pela fora de atrito (Wfat): EM = K + U + Wfat (50)

Observando-se as equaes que envolvem o trabalho mecnico e a energia mecnica, notamos que as duas grandezas tm a mesma dimenso e por tanto a mesma unidade. Em homenagem a James Joule, que estudou o princpio da transformao da energia mecnica em calor, a unidade de energia e trabalho no Sistema Internacional dada por Joule(J). As demais unidades, nos diversos sistemas, podem ser verificadas na tabela anexa a este livro. 1.2.4.6 Potncia Quando um certo trabalho mecnico realizado para transportar um corpo de uma posio 1 para uma posio 2, este trabalho realizado dentro de um intervalo de

tempo (t). A relao entre o trabalho realizado e o tempo gasto, para realiz-lo, definido como potncia. A potncia mdia determinada por: W P= t Sendo a potncia instantnea dada por: dW (52) dt A unidade de potncia no Sistema Internacional dada pela relao entre a unidade de trabalho (J) pela unidade de tempo (s), que recebe o nome de Watt (W), inventor do pisto que foi logo utilizado no motor a vapor. P= 1.3. Esttica 1.3.1 Equilbrio de corpos extensos Em muitos casos ocorre que a fora aplicada em um corpo, est a uma certa distncia do corpo. Quando isto ocorre, o corpo tende a girar em relao a um ponto onde se apia. Existem vrios exemplos que no dia-a-dia nos deparamos, sem muitas vezes percebermos o aspecto fsico do fenmeno. o caso do saca-rolha, do parafuso de fenda, da maaneta de uma porta ao abri-la ou fech-la, da chave de rodas ao trocarmos um pneu de carro, etc. O sistema de forma mais simples pode ser assim exemplificado: O d F (51)

Figura 11 Esboo de uma alavanca O momento da fora definido atravs da seguinte frmula: M = F x d O o ponto de aplicao da fora, d a distncia que vai do ponto de aplicao da fora at o ponto de apoio e F a fora aplicada no eixo de comprimento d(brao da alavanca). O produto F x d um produto vetorial e, portanto, tem como resultante um vetor perpendicular ao plano formado por F e d. Na soluo de problemas desta natureza levamos sempre em considerao que F perpendicular a d. Quando a fora aplicada tende a girar o corpo no sentido horrio o momento da fora dito horrio, o vetor M penetra no plano F x d, caso contrrio, o momento considerado anti-horrio e M sai do plano F x d. Consideramos um dos sentidos positivo e conseqentemente o outro ser negativo. Assim, se um sistema de foras aplicado a um corpo o mantm em equilbrio, conclumos que o momento resultante horrio igual, em mdulo, ao momento resultante anti-horrio. M uma grandeza vetorial que tem como unidade N.m no SI. No se deve confundir esta unidade como a unidade do trabalho ou energia que veremos posteriormente. Exemplo 7: Calcular o momento resultante do sistema que atua na viga abaixo:

F1 F2 F3

Onde F2 = 50N, F1 = 80N e F3 = 45N; a distncia do ponto de aplicao da fora F1 at o ponto de apoio do sistema vale 2m, da fora F2 at o ponto de apoio do sistema vale 1,5m e da fora F3 at o ponto de apoio do sistema vale 6m,sabendo-se que a fora F1 forma um ngulo de 60 com a direo da viga. De acordo com o que estudamos no item 1.2.1 a posio do centro de massa nem sempre se localiza no centro geomtrico do corpo, isto s ocorre se o corpo for regular e a o centro de massa est localizado no que se conhece por baricentro. Um outro conceito muito importante na fsica, sob o ponto de vista geomtrico, o de centro de gravidade que o ponto onde se localiza a fora peso. Quando o corpo regular, homogneo e uniforme, o centro de massa, o baricentro e o centro de gravidade localizam-se no mesmo ponto, que o ponto de equilbrio do corpo. Quanto ao equilbrio de um corpo, este pode ser classificado como de trs tipos: estvel, instvel e indiferente. O equilbrio estvel ocorre quando o corpo, mesmo sofrendo um deslocamento, volta ao seu estado fundamental, ou original. Se ocorrer de um corpo sofrer mudana de posio e no mais poder voltar ao seu estado inicial ou de origem, ento este o tipo de equilbrio classificado como instvel. Caso o corpo venha ou no a ocupar as suas condies iniciais, aps um movimento qualquer, este equilbrio denominado de indiferente. A seguir exemplificamos os possveis tipos de equilbrio que um corpo pode se encontrar, segundo o esquema abaixo: instvel indiferente

estvel

indiferente

(a)

estvel

indiferente instvel

(b) Figura 12 (a) e (b) Esboo dos trs possveis tipos de equilbrio Nas figuras 12(b) Podemos observar que a configurao mais estvel a do 1 cone (equilbrio estvel); no 2 cone observamos ser este equilbrio indiferente e o 3 cone um exemplo de equilbrio instvel. Analisando a configurao dos trs cones conclumos que quanto mais baixo estiver o centro de gravidade, mais estvel o sistema e quanto mais alto estiver o centro de gravidade maior a instabilidade da estrutura. Exerccios: 01. A figura abaixo ilustra o comportamento de F/A (fora por unidade de rea) em funo da variao relativa L/Lo para trs diferentes tipos tecidos. Na regio onde o comportamento linear vale a Lei de Hooke e a matria que constitui cada tecido considerada elstica. Com o aumento da fora aplicada, a estrutura do animal deixa de ser elstica at atingir o ponto de ruptura.

F/A 140 120 100 80 tg = Y 60 20 | 0,4 | 1,0 | 1,6 L/Lo (I) (II) (III) Pontos de ruptura: (I), (II), (III)

A partir da figura determine, aproximadamente, as regies onde cada estrutura do tecido do animal pode ser considerada elstica, assim como as foras mximas, por unidade de rea, que produzem sua ruptura.

02. Qual o encurtamento da perna de um animal de 70kg de massa quando ele apoiar todo o seu peso sobre essa perna? Considere a perna rgida de 100 cm de comprimento, a rea de seo mdia do osso de 30 cm2, e o mdulo de Young mdio igual a 179 x 102 N/mm2. 03.Um animal quadrpede de 250 kg, apia seu peso distribudos equitativamente entre seus membros. Se a distncia entre seus membros de 1,0 metro e a largura do animal de 40 centmetros. Qual a deformao sofrida pela coluna dorsal do animal, provocada pelos seus membros dianteiros, considerando o mdulo de Young para o osso compacto? 04. Um navio, cujo raio do casco vale r, navega em guas tranqilas. Mostre que o navio est em equilbrio estvel, em relao ao ponto central de sua base, somente se o centro de massa do material nele empilhado no estiver a uma distncia maior que r acima do centro do casco. 05.A localizao do centro de massa de um cardume no depende do referencial usado para descrever o sistema. Isso verdade? Pode-se escolher um referencial cuja origem est no centro de massa? Explique. 06. Trs partculas possuem as seguintes massas e coordenadas: 3 kg, x = 1,5m e y = 2m; 4kg , x = 1m e y = 2m; 2kg, x = y = 1m. Encontre as posies do centro de massa deste sistema. 07.Uma canoa possui massa de 50 kg. A canoa possui dois assentos separados por uma distncia de 2,5 m e localizados simetricamente em relao ao centro de massa da canoa. Num dos assentos existe uma pessoa de 80 kg e no outro assento est sentada uma pessoa de 60 kg. As duas pessoas trocam de lugar quando a canoa estava parada num lago. Calcule quanto se desloca o centro da canoa em relao a um ponto fixo da margem do lago. 09. Est sendo realizado algum trabalho sobre um carro que se move com velocidade constante ao longo de uma estrada horizontal? Justifique. 10. Um cavalo desloca uma carga de 200 kg num percurso de 50 metros. Qual o trabalho realizado pelo animal, considerando que a direo da fora de trao entre o animal e a carga forma um ngulo de 60 com o plano normal? 11. Considerando que o cavalo da questo anterior realiza o trabalho em 2 minutos, qual a potncia em HP que este animal utilizou? 12. Ao serem bombardeados pelo corao, num regime de baixa atividade, 200g de sangue adquirem uma velocidade de 30 cm/s. Com uma atividade mais intensa do corao, essa mesma quantidade de sangue atinge uma velocidade de 60 cm/s. Calcule, em ambos os casos, a energia cintica que essa massa de sangue adquire e o trabalho realizado pelo corao.

Vetores(anexo I) Muitas grandezas fsicas, como temperatura, massa, potncia, para serem definidas necessitam apenas do seu valor numrico, essas grandezas so chamadas de escalares, outras como velocidade, fora, deslocamento e acelerao, para serem completamente

identificadas, precisam, alm da magnitude, da direo e do sentido. Estas grandezas so chamadas vetoriais ou simplesmente vetores. Geometricamente, vetores so representados por segmentos de retas orientados no plano ou no espao atravs de uma seta, possuindo mdulo (magnitude), direo e sentido. A ponta da seta do segmento orientado chamada de extremidade e o outro ponto extremo chamado de origem do segmento orientado. Segmentos orientados com mesma direo, mesmo sentido e mesmo comprimento representam o mesmo vetor. Se a origem de um vetor V A e a sua extremidade B, ento escrevemos V = AB ou V = Na figura abaixo temos segmentos orientados, com origens em pontos diferentes, que representam o mesmo vetor, ou seja, so considerados como vetores iguais, pois possuem a mesma direo, mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Soma e diferena de vetores A soma, V +W, de dois vetores de acordo com a figura abaixo determinada da seguinte forma:V W

Define-se um segmento orientado que representa V ; define-se um segmento orientado que representa W, com origem na extremidade de V . O vetor V +W representado pelo segmento orientado que vai da origem de V at a extremidade de W.V V+W W

A diferena, V - W, de dois vetores de acordo com a figura abaixo determinada da seguinte forma:V W

Define-se um segmento orientado que representa V ; define-se um segmento orientado que representa W, com origem na origem de V . O vetor V - W representado pelo segmento orientado que vai da extremidade de V at a extremidade de W.

W-V V W V- W -W V

Da figura acima deduzimos que a soma de vetores comutativa, ou seja, V +W = W + V Para trs ou mais vetores o procedimento feito de modo semelhante fazendo-se a seqncia de associao entre os vetores. Assim, V + W + U + .. = ...U + W +V Porm a diferena no comutativa uma vez que V -W (W - V). O vetor que tem a sua origem coincidindo com a sua extremidade chamado vetor nulo e denotado por . Ento V + = + V = V, para todo vetor V . Para qualquer vetor V, o simtrico de V , representado por -V , o vetor que tem mesmo mdulo, mesma direo e sentido contrrio ao de V. Logo V + (-V ) = . Se V = (v1; v2; v3) e W = (w1;w2;w3), ento a adio de V com W dada por V +W = (v1 + w1; v2 + w2; v3 + w3); Exemplo Se V = (1; 2; -3), W = (2; 1; 4), ento V +W = (1 + 2; 2 + 1; -3 + 4) = (3; 3; 1) Multiplicao de um escalar por um vetor A multiplicao de um vetor V por um escalar , sendo V, um vetor que possui as seguintes caractersticas: Tem comprimento vezes o comprimento de V , a direo a mesma de V portanto so paralelos. Se for maior que zero V tem o mesmo sentido de V, caso for menor que zero V tem o sentido contrrio de V Se W = V , dizemos que W um mltiplo escalar de V . Desta forma W paralelo a V e o vetor ser nulo, se = 0. As operaes com vetores podem ser definidas utilizando um sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas. Se V = (v1; v2; v3) e um escalar, ento a multiplicao de V por dada por V = ( v1; v2; v3): Exemplo 3.1. Se V = (1; 2; 3), ento 3V = (3 x 1; 3 x 2; 3 x3) = (3; 6; 9):

Propriedades da soma de vetores e do produto do vetor por um escalar Sejam U; V e W vetores e e escalares. So vlidas as seguintes propriedades: (a) U + V = V + U;

(b) (U + V ) +W = U + (V +W); (c) U + 0 = U; (d) U + (-U) = ; (e) ( U) = ( )U; (f) (U + V ) = U + V ; (g) ( + )U = U + U; (h) 1U = U.

Produtos de Vetores Produto Escalar Como j vimos o comprimento de um vetor V definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. O comprimento do vetor V tambm chamado de norma de V e denotado por . Pelo Teorema de Pitgoras determina-se a norma de um vetor pela seguinte equao: no caso em que V = (v1; v2) um vetor no plano, e por no caso em que V = (v1; v2; v3) um vetor no espao. Um vetor de norma igual a 1 chamado de vetor unitrio. A distncia entre dois pontos P = (x1; y1; z1) e Q = (x2; y2; z2) igual norma do vetor O produto escalar ou produto interno entre dois vetores dado VW: . Onde o ngulo formado entre os vetores V e W e V.W um escalar. Nem sempre conhecemos o ngulo formado entre dois vetores, o que dificulta a determinao do produto interno entre eles. Assim, se utilizarmos a frmula do clculo para o cosseno de um ngulo, chegamos frmula de V.W dada por: V.W = v1.w1 + v2.w2 + v3.w3 Exerccio: 1. Sejam dados os vetores V = (1, 3, 2) e W = (0,1,2) ento o produto escalar de V.W dado por : V.W = (1.0 + 3.1 + 2.2) = 7 2. Determinar o ngulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas. Sejam V1 = (1; 0; 0); V2 = (0; 1; 0) e V3 = (0; 0; 1). Uma diagonal do cubo pode ser representada pelo vetor D dado por D = V1 + V2 + V3 = (1; 1; 1) Ento o ngulo entre D e V1 dado por: = Logo Produto Vetorial O produto entre dois vetores, cujo resultado um vetor chamado produto vetorial. Este produto tem aplicao, por exemplo, em Fsica: a fora exercida sobre uma partcula carregada mergulhada num campo magntico o produto

vetorial do vetor velocidade da partcula pelo vetor campo magntico , desde que o campo seja constante e a carga seja unitria. Sejam V e W dois vetores no espao. O produto vetorial, V x W dado pelo vetor: sen A norma de V x W numericamente igual rea do paralelogramo determinado por V e W. Exerccio: Calcular a rea do tringulo determinado pelos pontos P = (3, 1, 0); Q = (2, 1, 2) e R = (1, 1, 1). V = PQ = (2-3, 1-1, 2-0) = (-1, 0, 2) W = RP = (1 -3, 1 -1, 1 -0) = (-2, 0, 1) Ento V x W = (4, -3) a rea ento = = 2,5 u.a. Sendo V = (2, -1, 3) e W = (-1, 0, 2) calcule: a) 2V + W b) c) vetor unitrio de V - W Determine o valor de x para o qual os vetores V = xi + 3j + 4k e W = 3i + j + 2k sejam perpendiculares. Ache o ngulo entre os seguintes pares de vetores: (a) 3i +j e -k; (b)i +j +k e 2j +k; (c) 2i + 3j e i +j 2k. Mostre que A = (3; 0; 2), B = (4; 3; 0) e C = (8; 1; -1) so vrtices de um tringulo retngulo. Em qual dos vrtices est o ngulo reto?

2. HIDROSTTICA E HIDRODINMICA 2.1. Hidrosttica

O estudo dos fluidos tem grande aplicabilidde nas Cincis Agrrias. Um dos fatores que influenciam no desenvolvimento de vegetais a irrigao, que tem como trs parmetros bsicos o quanto, quando e como irrigar. Assim a reposio hidrica necessria aos vegetais requer um projeto, por pequeno que seja, que envolve as equaes que determinam o fluxo, a vazo, as perdas de presso em condutos, entre outros aspectos. Tambm na Zoologia e na Medicina Veterinria o fluxo sanguneo de vital importncia para a sobrevivncia de animais, notadamente devida a nutrio e ambincia destes animais. Sem contar com a importncia primordial das caractersticas da gua na produo pesqueira. Neste captulo vamos dedicar espeicial importncia ao comportamento dos fluidos, principalmente dos lquidos, apresentando diversos aspectos dos estudos da hidrosttica e hidrodinmica. Antes, porm, apresentaremos os conceitos e princpios fsicos bsicos, sem os quais no seria possivel aplic-los nas diversas vertentes das Cincias Agrrias. So vrios os modos de se classificarem as substncias presentes na natureza, muitas das quais so feitas de acordo com suas propriedades. Na fsica, um dos modos de se classificarem as substncias atravs do seu estado fsico, ou seja, como estruturalmente se apresentam na natureza. Assim que temos hoje a classificao das substncias em 4 estados fsicos: slidos, lquidos, gases e o plasma. Os slidos se apresentam sempre com forma e volume bem definidos, tendo em vista que as foras de interaes entre as suas molculas(foras de coeso) so altas, se comparadas s interaes moleculares dos outros estados fsicos. Os lquidos tem foras de coeso menores que os slidos, porm maiores que os gases, fazendo com que tenham volume definidos, porm forma varivel, sendo que os gases se apresentam com forma e volume indefinidos. O plasma, substncia gasosa altamente ionizvel considerado o quarto estado da matria. Difere-se dos slidos, lquidos e gasosos por ser um gs ionizado, constitudo por tomos ionizados. Estima-se que 99% de toda matria conhecida esteja no estado de plasma, o que faz deste o estado da matria mais comum e abundante do universo. A denominao o quarto estado fundamental da matria foi dada pelo fsico ingls William Crookes, que assim o chamou por conter propriedades diferentes do estado slido, lquido e gasoso. No constitui objetivo de nosso estudo as propriedades e caracterstica do plasma por, no momento, sua aplicao nas Cincias Agrrias ainda ser incipiente. Lquidos formam uma superfcie livre, isto , quando em repouso apresentam uma superfcie estacionria independente da forma do recipiente que contm o lquido, sendo sempre paralela ao plano horizontal. Os gases apresentam a propriedade de se expandirem livremente quando contidos por um recipiente, no formando portanto uma superfcie livre. A superfcie livre caracterstica dos lquidos uma propriedade da presena de tenso interna e atrao/repulso entre as molculas do fluido, bem como da relao entre as tenses internas do lquido com o fluido ou slido que o limita. A presso capilar est associada com esta relao. Uma das caractersticas marcantes entre os slidos e os lquidos e gases quanto resistncia s foras aplicadas sobre eles, pois seus efeitos, independentes da direo delas aplicadas sobre os lquidos e gases, promovem deformaes ficando sempre paralelas s suas superfcies, so as chamadas foras de cizalhamento fazendo

com que escoem, fluam, o que no ocorrem com os slidos pois as foras a eles aplicadas atuam em qualquer direo e sentido. Dessa maneira define-se fluido como uma substncia que se deforma continuamente quando submetida a uma tenso de cisalhamento, no importando a intensidade. Por essa razo os fluidos incluem os lquidos e os gases, como tambm o plasma porm, como no objeto de estudo em nosso curso, deixaremos de discorrer sobre o comportamento do plasma. Uma conseqncia deste comportamento o Princpio de Pascal o qual caracteriza o importante papel da presso na caracterizao do estado fluido, que estudaremos a seguir. O estudo do comportamento dos fluidos feito pela mecnica dos fluidos a qual esta subdividida em esttica dos fluidos(hidrosttica) e dinmica dos fluidos (hidrodinmica) dependendo se o fluido est ou no em movimento. Para realizarmos o estudo da hidrosttica, necessrio se faz conceituar algumas grandezas (como densidade e presso) que so imprescindveis para o estudo dessa rea da fsica. 2.1.1. Densidade A densidade de uma substncia a razo entre a massa m de uma quantidade dessa substncia e o volume V da mesma. Assim: (1) cuja unidade, no sistema CGS, dada por [] = g/cm ou no SI kg/m3. A seguir relacionamos na tabela abaixo as massas especficas, em mdia, de diversas substncias: Substncia g/cm3 Kg/m3 gua 1,0 103 Sangue 1,04 1040 Gelo 0,92 920 lcool 0,79 790 Madeira 1,32 1320 Ferro 7,8 7800 Mercrio 13,6 13600 Osso 2,25 22503

Esta tabela estabelece a densidade mdia das substncias, pois a densidade depende da temperatura do corpo, da umidade, da viscosidade, entre outras propriedades que inerente a cada substncia. 2.1.2. Presso Dada uma fora F aplicada, perpendicularmente, a uma superfcie de rea A. A presso p decorrente desta fora sobre a rea da superfcie calculada pela frmula: (2)

No sistema SI a presso dada por N/m2 denominada de Pascal (Pa). Porm, em razo de diversas aplicaes desta grandeza, vrias unidades so utilizadas,

como podemos observar na tabela de presses anexa a este livro, cujas relaes mais importantes para o nosso estudo, so as que se seguem: 1 dyn/cm2 = 0,1 Pa 1 atm = 1,1013x105 Pa 2.1.2.1. Presso Atmosfrica A Terra est envolvida por uma camada de ar, denominada atmosfera, constituda por uma mistura gasosa cujos principais componentes so o oxignio, nitrognio, argnio e dixido de carbono. Com o aumento da altitude, o ar se torna cada vez mais rarefeito, isto , com pouca densidade, dificultando a determinao da espessura desta camada. O ar, sendo composto por molculas, atrado pela fora de gravidade da Terra e, portanto, tem peso. Como decorrncia do seu peso, a atmosfera exerce uma presso, chamada presso atmosfrica, sobre todos os objetos nela imersos, at a sua superfcie. A presso atmosfrica foi demonstrada pela primeira vez em 1654 por Otto Von Guericke, inventor da bomba de vcuo. Devido ao fato da densidade do ar diminuir com a altura, a presso atmosfrica diminui com o aumento da altitude. Isso ocorre porque o peso do ar sobre as camadas elevadas da atmosfera menor do que aquele que age sobre as camadas mais baixas. Ao nvel do mar, a presso atmosfrica , em mdia, de 76 cm da coluna de mercrio formada no barmetro. Para condutos fechados, como tubulaes, muito utilizados na irrigao, a presso medida pelo manmetro que tem sua construo baseada no barmetro. Na medio da presso arterial, o equipamento usado o esfigmomanmetro ou tensimetro, vulgarmente chamado de manguito, e para auscultar os batimentos, usa-se o estetoscpio. 2.1.3. Principio fundamental da Hidrosttica ( Princpio de Stevin) "A diferena entre as presses em dois pontos considerados no interior de um lquido em equilbrio dada pelo produto da massa especifica do lquido pelo mdulo da acelerao da gravidade do local onde feita a observao, pela diferena entre as profundidades consideradas."

Figura 1 Esquema da diferena de presso entre dois pontos num lquido Assim: (3) Como decorrncia do Teorema de Stevin conclumos que a presso no interior de um lquido aumenta com a profundidade. Para pontos situados na superfcie

livre, a presso correspondente igual exercida pelo ar sobre ela. Ou seja, a presso atmosfrica, patm. Em regies onde a poluio atmosfrica significativa, gases e partculas (aerossis) aumentam a densidade do ar, contribuindo para o aumento da presso atmosfrica. O grfico da presso p em funo da profundidade h.

Para pontos situados no mesmo nvel no interior de um mesmo lquido ficam submetidos mesma presso. Portanto, a superfcie livre dos lquidos em equilbrio horizontal. 2.1.4. Vasos Comunicantes Quando dois lquidos que no se misturam (imiscveis) so colocados num mesmo recipiente, eles se dispem de modo que o lquido de maior densidade, por ser mais pesado, ocupa a parte de baixo e o de menor densidade a parte de cima. A superfcie de separao entre eles horizontal(veja figura).

Figura 2 Superfcie de separao entre dois lquidos O exemplo mais ilustrativo o caso do leo com a gua. Se o leo e a gua forem colocados com cuidado num recipiente, o leo fica na parte superior porque menos denso que a gua, que permanece na parte inferior. Caso os lquidos imiscveis sejam colocados num sistema constitudos por vasos comunicantes, como um tubo em U, eles se dispem de modo que as alturas das colunas lquidas, medidas a partir da superfcie de separao, sejam proporcionais s respectivas densidades.

h1 h2 A B nvel de referncia

Figura 3 Vasos comunicantes Na Figura 3, sendo 1 a densidade do lquido menos denso, 2 a densidade do lquido mais denso, h1 e h2 as respectivas alturas das colunas, As presses no nvel de referncia para o lquido 1(A) e no lquido 2(B) so iguais pois esto no mesmo nvel (mesma horizontal), logo: pA = pB Tomando-se a equao 4 encontramos pA e pB pA = pATM + 1gh1 pB = pATM + 2gh2 Assim: pATM + 1gh1 = pATM + 2gh2 1h1 = 2h2 (5) Conclumos que a densidade de um lquido inversamente proporcional sua altura, quando em contato com outro lquido num vaso comunicante. 2.1.5. Teorema de Pascal Como conseqncia do Princpio de Stevin, Blaise Pascal (1623-1662), fsico, matemtico, filsofo francs, enunciou o seguinte princpio: o aumento de presso exercida num lquido em equilbrio transmitido integralmente a todos os pontos do lquido. Vrias so as aplicaes deste princpio. Uma aplicao importante encontrada nos freios hidrulicos usados em automveis, caminhes, tratores, etc. Quando se exerce uma fora no pedal, produz-se uma presso que transmitida integralmente para as rodas atravs de um lquido, no caso, o leo. As prensas hidrulicas em geral, sistemas multiplicadores de fora, so construdos com base no Princpio de Pascal. A figura seguinte esquematiza uma das aplicaes prticas da prensa hidrulica: o elevador de automveis usado nos postos de gasolina.

F1

A1

A2

F2

Figura 6 Prensa Hidrulica O ar comprimido, empurrando o leo no tubo estreito, produz um acrscimo de presso ( p), que pelo princpio de Pascal, se transmite integralmente para o tubo largo, onde se encontra o automvel. Sendo p1 = p2 e lembrando que p = F/A , escrevemos: (6) Como A2 > A1 , temos F2 > F1 , ou seja, a intensidade da fora diretamente proporcional rea do tubo. A prensa hidrulica uma mquina que multiplica a fora aplicada. Por outro lado, admitindo-se que no existam perdas na mquina, o trabalho motor realizado pela fora do ar comprimido igual ao trabalho resistente realizado pelo peso do automvel. Desse modo, o deslocamento o do automvel(d2) e o do nvel do leo(d1) so inversamente proporcionais s reas dos tubos: F1d1 = F2d2 Comparando-se as expresses 6 e 7, obtemos: (7)

(8) 2.1.6. Princpio de Arquimedes O inventor e matemtico grego Arquimedes (282-212 AC) enunciou o seguinte princpio: Todo corpo mergulhado num fluido (lquido ou gs) sofre, por parte do fluido, uma fora vertical para cima, cuja intensidade igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Deste princpio conclumos que num corpo que se encontra imerso em um lquido, agem duas foras: a fora peso ( ) , devida interao com o campo gravitacional terrestre, e a fora de empuxo ( ) , devida sua interao com o lquido (fora de reao).

E

P Figura 7 Esquema de foras que agem num corpo dentro de um lquido Quando um corpo totalmente imerso em um lquido, podem ocorrer as seguintes situaes: a) se ele permanece parado no ponto onde foi colocado, a intensidade da fora de empuxo igual intensidade da fora peso (E = P); b) se ele afundar, a intensidade da fora de empuxo menor do que a intensidade da fora peso (E < P); c) se ele for levado para a superfcie, a intensidade da fora de empuxo maior do que a intensidade da fora peso (E > P) . Seja Vf o volume de fluido deslocado pelo corpo. Ento, pela equao 1, a massa do fluido deslocado dada por: mf = fVf A intensidade do empuxo igual do peso dessa massa deslocada: E = mfg = fVfg (9)

Para corpos totalmente imersos, o volume de fluido deslocado igual ao prprio volume do corpo. Neste caso, a intensidade do peso do corpo e do empuxo so dadas por: P = cVcg e E = fVcg

Comparando-se as duas expresses observamos que: se dc > df , o corpo desce em movimento acelerado (FR = P E); se dc < df , o corpo sobe em movimento acelerado (FR = E P); se dc = df , o corpo encontra-se em equilbrio. Quando um corpo mais denso que um lquido totalmente imerso nesse lquido, observamos que o valor do seu peso, dentro desse lquido , aparentemente menor do que no ar. A diferena entre o valor do peso real e do peso aparente corresponde ao empuxo exercido pelo lquido: E = Preal Paparente (10)

Exerccios 1. Um pisto de pequena rea a da seo transversal, usado em prensa hidrulica, para exercer uma pequena fora f no lquido contido na prensa. Um tubo faz a ligao deste lquido com um outro pisto, de rea A maior. (a) Que fora F suportar o pisto de maior dimetro? B) Se o pisto menor tem dimetro de 4,0 cm e o maior de 50 cm, que peso deve ser colocado sobre o menor para suportar 2,0 toneladas colocadas sobre o pisto maior? 2. Em uma prensa hidrulica colocado em um dos mbolos, de rea circular com 1 metro de raio, um carro de 1,5 toneladas. O outro embolo de 30 cm2 de rea, acionado para elevar esta carga. Qual a fora que deve ser exercida no mbolo menor? 3. Um bloco de madeira flutua na gua com trs quartos de seu volume submersos. No leo 0,80 do seu volume fica submerso. Ache a massa especfica do leo. 4. Um barco pesa 2x104 N no vcuo e 1,6 x 104 N quando est imerso na gua. Determine a massa especfica do barco. 5. Determine o equivalente da unidade de presso de 760mmHg para Pascal. 6. Um tubo em U est parcialmente cheio de gua. Um outro lquido que no se misture com a gua colocado em um dos ramos do tubo at que sua superfcie livre esteja a uma distncia d acima do nvel da gua, no outro ramo, que, por sua vez, elevou-se a uma altura l em relao ao seu nvel primitivo. Determine a massa especfica do lquido em relao gua. 7. Estime o valor da massa especfica mdia de um animal aplicando conhecimentos da hidrosttica. Discuta os possveis erros que voc pode cometer em vista do mtodo escolhido. 8. Trs viveiros, de mesma base e formas diferentes, contm gua a mesma altura. claro que o peso da gua em cada um dos viveiros diferente. Haver alguma diferena em um peixe que esteja em quaisquer dos viveiros? Explique. 9. A presso num dado ponto abaixo do oceano igual a 5,2atm. A massa especfica da gua do mar vale 1,05 g/cm3 e a presso atmosfrica sobre a superfcie do mar vale 1,013 x 105 N/m2. Calcule a profundidade do ponto considerado. 10. A diferena de presso hidrosttica entre uma caixa-dgua e uma torneira igual a 0,5 atm. Calcule a altura da caixa-dgua em relao torneira. Considere a massa especfica da gua igual a 1g/cm3.

11. Um tanque aberto cheio de gua possui as seguintes dimenses: 2m X 1m X 0,5m. a. determine a presso num ponto situado no fundo do tanque considerando a presso atmosfrica igual a 1,01 x 105Pa; b. calcule a fora total exercida pela gua sobre o fundo do tanque; c. calcule a presso sobre as paredes laterais a uma profundidade h = 0,25m; d. determine o mdulo da fora total resultante que atua sobre a parede lateral do tanque que possui largura de 1 metro e profundidade de 0,5 metros. 2. A face vertical de uma barragem retm gua a altura D. Seja W a largura da barragem. a. ache a fora horizontal resultante exercida na baragem devido a presso manomtrica da gua; b. o torque da fora, devida apresso manomtrica da gua, em relao linha que passa pela base da barragem, paralela largura da barragem; c. qual a linha de ao da fora resultante? 2.2. Hidrodinmica Para o estudo dos fluidos em movimento levamos em considerao, inicialmente, algumas caractersticas gerais quanto o comportamento e quanto ao escoamento do fluido. Quanto ao comportamento dos fluidos classificamos estes como reais e ideais. Os fluidos reais tem um comportamento muito complexo e para efeito de simplificao do estudo da hidrodinmica descrevemos estes fluidos como ideais, cujas caractersticas so: 1.-Fludo no viscoso. desprezado a frico interna entre as distintas partes do fludo. 2.-Fluxo estacionrio. A velocidade do fludo em um ponto constante com o tempo. 3.-Fludo incompressvel. A densidade do fludo permanece constante com o tempo. 4.-Fluxo irrotacional. No apresenta turbilhes, logo, no h momento angular do fludo relativo a qualquer ponto. 2.2.1. Tipos de Escoamentos

Os diversos tipos de escoamento so classificados quanto ao tempo, ao espao e trajetria. a) Quanto ao tempo: O escoamento pode ser permanente ou no-permanente. No primeiro caso as propriedades fsico-mecnicas e a velocidade, no variam com o tempo em um determinado ponto de referncia. Considerando-se um ponto de referncia A, as partculas do lquido que passam sucessivamente por este ponto apresentam velocidades iguais assim como a presso em cada uma delas. Neste tipo de regime, a velocidade e a presso podem variar, do ponto de referncia A para um outro ponto de referncia B, ao longo da trajetria das partculas, mas no mesmo ponto ela manem-se inalterada. Com relao ao regime no-permanente, ocorre que as propriedades fsicomecnicas das partculas e a velocidade variam com o tempo, em um mesmo ponto de referncia. b) Quanto ao espao: O escoamento pode ser uniforme ou variado(no-uniforme). No caso do regime uniforme a velocidade e a presso no variam de um ponto a outro, nos pontos de referncia, ou seja, so invariantes ou independentes do espao. J no caso do escoamento variado, as propriedades fsico-mecnicas e a velocidade variam de ponto a ponto, ou seja h uma variao no espao. Variando brusca ou gradualmente, com movimento acelerado ou desacelerado, dependendo, via de regra, da variao na seo de escoamento. c)Quanto trajetria das partculas o escoamento pode ser laminar ou turbulento. No escoamento laminar o movimento das partculas lquidas se d ordenadamente com filetes individualizados, de modo que as lminas de igual velocidade deslizam sobre outras de velocidade diversa. A explicao para este comportamento est no estudo das foras que atuam na trajetria das partculas, que so as foras de atrito ou de cisalhamento que representa a ao da viscosidade, que promove a estabilizao do movimento das partculas entre si e as foras de inrcia, que tendem a desagregar ou desestabilizar as partculas, tornando o movimento aleatrio. O movimento ento laminar quando as primeiras foras superam a ao das foras de inrcia. No escoamento turbulento, a trajetria das partculas individuais so curvas irregulares e a ao das foras desagregadoras superam as de viscosidade. As partculas lquidas ficam animadas de movimentos irregulares e suas trajetrias so difceis de serem traadas. 2.2.2. Conceitos sobre partculas Existem vrios conceitos que devem ser levados em conta quando se estudam os princpios de conservao de massa e da energia, assim descritos: Trajetria a linha descrita por uma partcula lquida, num dado intervalo de tempo; Corrente lquida a massa de um lquido que passa, dotada de uma velocidade, no interior de uma tubulao; Linhas de corrente so curvas imaginrias tomadas atravs do lquido para indicar a velocidade da partcula em diversas sees de escoamento; Tubo de corrente a regio, em uma tubulao, limitada por um feixe de linhas de corrente; Filete de corrente um tubo corrente de dimenses infinitesimais.

2.2.3. Equao da continuidade A equao da continuidade definida atravs do princpio da conservao de massa em que o regime permanente se caracteriza pelo fato de que a massa ou o peso do lquido, que atravessa uma seo transversal qualquer, sempre constante ao longo da tubulao.

Figura 8 movimento do fluido no interior de uma tubulao Consideremos uma poro de fludo entre as sees S1 e S2 na figura, no instante inicial t e no instante t+t. Em um intervalo de tempo t a seco S1 que limita a poro de fludo no tubo inferior se move para a direita x1=v1t. A massa de fludo deslocada para a direita m1=S1x1=S1v1t. Analogamente, a seco S2 que limita a poro de fludo considerada no tubo superior se move para a direita x2=v2t. no intervalo de tempo t. A massa de fludo deslocada m2= S2v2 t. Devido ao fluxo ser estacionrio a massa que atravessa a seco S1 num tempo t, tem que ser igual a massa que atravessa a seco S2 no mesmo intervalo de tempo. Como m2 = m1 S1v1t = S2 v2t Logo v1S1 = v2S2 (11) Esta relao denominada equao da continuidade. Em uma tubulao, se o raio do primeiro ramo do tubo o dobro que o do segundo ramo, logo a velocidade do fludo no segundo ramo quatro vezes maior que no primeiro. 2.2.4. Equao de Bernoulli Uma tubulao, que conduz gua para uma rea de plantio, toma a configurao da topografia do terreno. Ento, a energia cintica, por causa da velocidade da gua, varia com a energia potencial de acordo com a diferena de cotas entre as vrias sees da tubulao, provocando perdas de presso nos diversos ramos do sistema

hidrulico. Estas perdas interferem na eficincia do sistema de irrigao, sendo de fundamental importncia a sua determinao. Na figura 9, apresenta um desnvel entre as condies iniciais e finais no transporte de gua numa tubulao, dentro de um intervalo de tempo t. Durante este intervalo de tempo, a poro posterior S2 foi deslocada v2 t e a poro anterior S1 do elemento de fludo foi deslocada v1t para a direita.

Figura 9 Esquema de uma tubulao cujas extremidades esto a alturas diferentes O elemento de massa m definido como m= S2v2t= S1v1t= V Entre o instante inicial t e o instante final t+t, observamos que o elemento m se desloca desde a altura y1 at a altura y2 dando uma variao de cota y2 y1. A variao de energia potencial Ep=mgy2-mgy1= V(y2-y1)g O elemento m muda sua velocidade de v1 a v2, provocando uma variao de energia cintica dada por Ek = As demais pores do fludo exercem foras devidas a presso sobre a poro de fludo considerado, sobre sua face anterior e sobre sua face posterior F1=p1S1 e F2=p2S2. A fora F1 provoca um deslocamento de x1=v1t. A fora e o deslocamento so de mesmo sinal dando um trabalho de F1x1. A fora F2 provoca um deslocamento de x2=v2 t. A fora e o deslocamento so de sinais contrrios dando um trabalho de F2x2. O trabalho das foras exteriores Wext=F1 x1- F2 x2=(p1-p2) V O teorema do trabalho-energia nos diz que o trabalho das foras externas que atuam sobre um sistema de partculas modifica a energia cintica do sistema de partculas, por causa da energia potencial, mantendo constante a energia mecnica do sistema, logo, a soma das variaes da energia cintica e da energia potencial do sistema de partculas, igual ao trabalho, cuja equao tem a seguinte expresso: Wext= Ef-Ei = (Ek+Ep)f-(Ek+Ep)I = Ek+Ep

Bernoulli

Simplificando o termo V e reordenando os termos obtemos a equao de (12)

A Equao de Bernoulli o marco inicial da soluo de quase todos os problemas do movimento de lquidos em regime de escoamento permanente. O teorema de Bernoulli, a prpria aplicao do Princpio das Foras Vivas, visto sob o aspecto simples e cmodo s solues dos problemas de hidrulica, fornecendo a posio, a presso e a velocidade da partcula lquida, em relao a um eixo de referncia (datum), previamente estabelecido. Alm da aplicao da hidrodinmica nas atividades agrcolas, este assunto de suma importncia no tratamento e melhoramento de animais. Sugerimos que o estudante leia o item 20.7.1 nas pginas 340 a 342 do livro Fsica para Cincias Biolgicas e Biomdicas dos autores Emico Okuno, Iber L. Caldas e Cecil Chow que pat da bibliografia indicada pelo curso. Bibliografia Recomendada Okuno E., Caldas I.L. Chow C. Fsica para Cincias Biolgicas e Biomdicas. Ed. Harbra. 1982. PP.490. Resnick R.; Halliday D. Fsica 2. Ed. LTC. 5. Edio. 2003. pp339. http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hi/index.html em 13 de maio de 2008