Fsica Experimental Apostila UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 22Sumrio Apresentao ......................................................................................................................................................... 4 Desenvolvimento do Curso, Provas Parciais e Testes ............................................................................................. 5 Critrios de Avaliao ....................................................................................................................................... 5 Critrio Geral: ................................................................................................................................................ 5 a)Provas: ................................................................................................................................................ 5 b)Testes: ................................................................................................................................................. 6 c)Relatrios: ........................................................................................................................................... 6 Cronograma ........................................................................................................................................................... 7 Relatrios ................................................................................................................................................................ 9 1Introduo ................................................................................................................................................... 11 2Teoria da medida e dos erros ................................................................................................................... 14 2.1Grandezas Fsicas e Padres de Medidas .......................................................................................... 14 2.2Medidas Fsicas ..................................................................................................................................... 15 2.3Erros e Desvios ..................................................................................................................................... 16 d)Classificao de Erros ...................................................................................................................... 17 e)Incertezas ......................................................................................................................................... 19 3Algarismos Significativos ............................................................................................................................ 24 4Instrumentos de medida............................................................................................................................ 28 4.1Introduo ............................................................................................................................................. 28 4.2Aparelhos Analgicos ........................................................................................................................... 29 a)A rgua milimetrada ........................................................................................................................ 29 b)Balana Tri-Escala ............................................................................................................................ 30 4.3Aparelhos no Analgicos ................................................................................................................... 31 a)Aparelhos Digitais ............................................................................................................................ 31 b)Aparelhos com Nnio: O Paqumetro. .......................................................................................... 34 4.4Exemplo de Processo de Clculo de Incertezas em Medidas ......................................................... 36 4.5Exerccio em Grupo: Medidas de Densidade Superficial ................................................................. 37 5Grficos ........................................................................................................................................................ 39 5.1Introduo ............................................................................................................................................. 39 5.2Construo de Grficos ........................................................................................................................ 39 5.3Grficos e Equaes Lineares ............................................................................................................. 41 5.4Mtodos de Determinao dos Coeficientes a e b ........................................................................... 43 6Roteiros ........................................................................................................................................................ 50 6.1Experimento 1 -Estudo de Cinemtica Utilizando Colcho de Ar ................................................ 50 Objetivos .......................................................................................................................................................... 50 Materiais Necessrios ..................................................................................................................................... 50 Montagem e Procedimento Experimental ................................................................................................... 51 O que Incluir no Relatrio do Experimento................................................................................................. 54 6.2Experimento 2 - Equilbrio entre Corpos num Plano Inclinado com Atrito ................................... 55 Objetivos .......................................................................................................................................................... 55 Material Necessrio......................................................................................................................................... 55 Procedimento Experimental........................................................................................................................... 56 O que Incluir no Relatrio do Experimento................................................................................................. 57 6.3Experincia 3 - Lanamento Horizontal, Conservao da Energia e da Quantidade de Movimento ....................................................................................................................................................... 57 Objetivos .......................................................................................................................................................... 57 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 33Material Necessrio......................................................................................................................................... 58 Montagem ........................................................................................................................................................ 58 Procedimento Experimental........................................................................................................................... 58 O que Incluir no Relatrio ............................................................................................................................. 60 6.4Experincia 4 -Deformaes Elsticas e Pndulo Simples ........................................................... 61 Objetivos .......................................................................................................................................................... 61 Material Necessrio......................................................................................................................................... 61 Montagem Inicial ............................................................................................................................................ 61 Procedimento Experimental........................................................................................................................... 62 Parte 4 - Trabalho e energia mecnica numa mola helicoidal ................................................................. 64 Parte 4 - Perodo de um Pendulo ................................................................................................................. 64 O que Incluir no Relatrio do Experimento. ............................................................................................... 65 6.5Experincia 5 - MCU ............................................................................................................................. 65 Materiais ........................................................................................................................................................... 65 Determinao da fora centrpeta em funo da velocidade angular ..................................................... 65 Dependncia da fora centrpeta em funo da massa, num MCU ......................................................... 66 Dependncia da fora com o raio da rotao ............................................................................................. 66 O que incluir no relatrio ............................................................................................................................... 66 6.6Experincia 6 - Calor Especfico ......................................................................................................... 67 Objetivo ............................................................................................................................................................ 67 Mtodo ............................................................................................................................................................. 67 Equipamentos .................................................................................................................................................. 68 Procedimento................................................................................................................................................... 68 O que incluir no relatrio ............................................................................................................................... 69 Clculos ............................................................................................................................................................ 69 6.7Experincia 7 - Transformao Isotrmica (Lei de Boyle-Mariotte) .............................................. 69 Teoria ............................................................................................................................................................... 69 Objetivos .......................................................................................................................................................... 70 Materiais ........................................................................................................................................................... 70 Procedimento................................................................................................................................................... 70 O que Incluir no Relatrio ............................................................................................................................. 71 6.8Experincia 8 Equilbrio de Corpos Rgidos ................................................................................... 72 Objetivos .......................................................................................................................................................... 72 Material necessrio. ........................................................................................................................................ 72 Equilbrio com vrios ngulos entre foras ................................................................................................. 73 Equilbrio fora varivel .................................................................................................................................. 74 O que Incluir no Relatrio ............................................................................................................................. 74 6.9Experincia 9 Dilatao Trmica ..................................................................................................... 74 Objetivo ............................................................................................................................................................ 74 Mtodo ............................................................................................................................................................. 74 Equipamento ................................................................................................................................................... 75 Procedimento................................................................................................................................................... 75 O que incluir no relatrio. .............................................................................................................................. 76 7Apndice Deduo das Equaes dos Mnimos Quadrados ....................................................................... 76 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 44 Apresentao Olaboratrioforneceaoestudanteumaoportunidadenicadevalidarasteorias fsicasdeumamaneiraquantitativanumexperimentoreal.Aexperinciano laboratrio ensina ao estudante as limitaes inerentes aplicao das teorias fsicas asituaesfsicasreaiseintroduzvriasmaneirasdeminimizarestaincerteza experimental. O propsito dos laboratrios de Fsica tanto o de demonstrar algum princpiofsicogeral,quantopermitiraoestudanteaprendereapreciararealizao de uma medida experimental cuidadosa.Esta apostila desenvolvida pelo grupo de professores de Fsica do CEUNES contempla um estudo introdutrio teoria de erros com vista aotratamento de dados obtidos noLaboratrioeaconstruodegrficoslineares,almdadescriodetalhadade 09 experimentos nas reas de mecnica, fluidos e calor. A Coordenao UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 55 Desenvolvimento do Curso, Provas Parciais e Testes As trs primeiras aulas esto reservadas para um estudo introdutrio teoria dos erros, com vistas ao tratamento dos dados obtidos no Laboratrio, sendo que a segundaaulaserreservada,especificamente,paraoestudodegrficosempapel milimetrado. Norestantedasaulasserorealizadasnoveexperincias,divididasemduas sries de oito e uma experincia extra. Osalunosserodistribudosemquatrogrupos,sendoquecadagrupo desenvolver uma experincia em cada aula. Critrios de Avaliao Critrio Geral: Asavaliaesnodecorrerdosemestreserofeitasatravsdeduasprovas, dois testes e nove relatrios com os seguintes pesos: 35provas testes relatoriosparcialM M MM+ += Mprovas = Mdia aritmtica das notas obtidas nas 2 provas parciais Mtestes= Mdia aritmtica das notas obtidas nos 2 testes Mrelatrios = Mdia aritmtica das notas obtidas nos 9 relatrios. a)Provas: A primeira prova ser aplicada aps as cinco primeiras experincias, portanto com o contedo abordado nestas experincias. Asegundaprovaseraplicadaapssecompletaremasquatroexperincias finais, sendo abordado o contedo referente a estas experincias. Asprovasconsistirodeproblemasouquestesquepoderoabordar qualquer aspecto das experincias, como procedimentos, conceitos fsicos envolvidos diretamentecomasmesmas,deduodefrmulasespecficasparaosclculosdas grandezas, clculos numricos, etc. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 66b)Testes: Oprimeirotesteconsistirdequestesreferentesaocontedodeteoriade erros. Osegundotesteconsistirnaelaboraodeumgrfico(empapel milimetrado) incluindo todos os procedimentos e clculos pertinentes. c)Relatrios: Apscadaaulacomexperincia,ogrupodeverelaborarumrelatrio seguindoosroteirosdisponibilizadospelosprofessorescontendo:osclculos,os grficos(quandohouver),discussodasquestespropostas,deduodefrmulas se forem solicitado na apostila e concluso que dever incluir comentrios referentes aosresultadosobtidoseaosprocedimentosadotadosesuarelaocomateoria envolvida. Observaes Cada grupo dever apresentar apenas um relatrio elaborado por todos os seus membros. Osgruposdeveroapresentarorelatrio,naaulaseguintequelada realizao da experincia, sem prorrogao. Pontualidade:serdadaumatolernciade,nomximo,15minutos.Um atrasomaiorserconsideradonoitem"participaoemaula"queinclui este aspecto. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 77Informaes gerais sobre o curso: NO ser permitido, em hiptese nenhuma, o uso de calculadoras programveis (tipo HP ou similares), em provas e testes. Entretanto, recomenda-se a utilizao de uma calculadora cientfica comum.

Emcasodereutilizaodeapostilasdeanosanteriores,NOdeveroconstar,em hiptesenenhuma,osdadostomadosnaquelaocasio:estesdeveroestartodos apagados. Oalunopoderrepor,emcasodefalta,apenasUMAexperinciadaprimeirasriee UMA experincia da segunda srie, nos dias e horrios de Reposio de Experincias indicados no calendrio. AReposiodeExperinciasfeitasomentecomapresenadomonitoreorelatrio relativo experincia reposta s poder atingir o valor mximo de 7,0. importante repetir: os relatrios das experincias (1 relatrio por grupo) devero ser apresentados na aula seguinte daquela da realizao da experincia, sem prorrogao. Emcasodefaltadoalunosaulasdosdiasdostestes,NOcaberreposiodos mesmos.Emcasodefaltadoalunoaumadasprovasesomentemediantea apresentaodeatestadomdiconaaulaseguinteaodiadaprova,estapoderser reposta. Cronograma Semana 1: Apresentao do curso. Semana 2: Teoria da Medida e dos Erros. Semana 3: Grficos lineares. Semana 4:Grupo 1 - O movimento retilneo uniforme e o movimento retilneouniformemente acelerado. Grupo 2 - Deformaes elsticas e MHS. Grupo 3 - Lanamento: Conservao da energia e momento. Grupo 4 - Plano inclinado e atrito. Semana 5: Grupo 1 - Deformaes elsticas e MHS. Grupo 2 - Lanamento: Conservao da energia e momento. Grupo 3 - Plano inclinado e atrito. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 88 Grupo 4 - O movimento retilneo uniforme e o movimento retilneo uniformemente acelerado. Semana 6: Grupo 1 - Lanamento: Conservao da energia e momento. Grupo 2 - Plano inclinado e atrito. Grupo 3 - O movimento retilneo uniforme e o movimento retilneo uniformemente acelerado. Grupo 4 - Deformaes elsticas e MHS. Semana 7: Grupo 1 - Plano inclinado e atrito. Grupo 2 - O movimento retilneo uniforme e o movimento retilneo uniformemente acelerado. Grupo 3 - Deformaes elsticas e MHS. Grupo 4 - Lanamento: Conservao da energia e momento. Semana 8: Movimento Circular Uniforme. Semana 9: Semana de Reposio de Experimentos. Semana 10: Primeira prova. Semana 11: Grupo 1 - Equilbrio de corpo rgido. Grupo 2 - Dilatao linear. Grupo 3 Calormetro. Grupo 4 - O Princpio de Arquimedes e Transformao Isobrica. Semana 12: Grupo1 - Dilatao linear. Grupo 2 Calormetro. Grupo 3 - O Princpio de Arquimedes e Transformao Isobrica. Grupo 4 - Equilbrio de corpo rgido. Semana 13: Grupo 1 Calormetro. Grupo 2 - O Princpio de Arquimedes e Transformao Isobrica. Grupo 3 - Equilbrio de corpo rgido. Grupo 4 - Dilatao linear. Semana 14: Grupo 1 - O Princpio de Arquimedes e Transformao Isobrica. Grupo 2 - Equilbrio de corpo rgido. Grupo 3 - Dilatao linear. Grupo 4 - Calormetro. Semana 15: Semana de Reposio de Experimentos. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 99 Semana 16: Segunda prova. Semana 17: Prova final. Relatrios Deumaformageral,emcinciaosresultadosdeumdadoestudoso registradosedivulgadosnaformaderelatrioscientficos.Entende-seporrelatrio cientficoumdocumentoquesegueumpadropreviamentedefinidoeredigidode formaqueoleitor,apartirdasindicaesdotexto,possarealizarasseguintes tarefas: 1)Reproduzirasexperinciaseobterosresultadosdescritosnotrabalho,com igual ou menor nmero de erros; 2)Repetir as observaes e formar opinio sobre as concluses do autor; 3)Verificaraexatidodasanlises,induesededues,nasquaisestiverem baseadasasconclusesdoautor,usandocomofonteasinformaesdadas no relatrio. Partes de um relatrio: 1.Capa:Deveincluirosdadosdolocalondeaexperinciafoirealizada (Universidade,InstitutoeDepartamento),disciplina,professor,equipe envolvida, data e ttulo da experincia. 2.Introduo:Estapartedeveincluirumresumodateoriaconsideradana experincia,osobjetivosdamesma,ashiptesesusadasparao estabelecimentodomodelofsicopropostoeasprevisesbaseadasneste modelo. As equaes mais relevantes devem ser numeradas para poder fazer refernciaaelasmaisadiante,quandoforemconfrontadasasprevisesdo modelocomosresultadosexperimentais.Todosossmbolosutilizadospara representar as grandezas fsicas envolvidas devem ser definidos. A introduo no deve possuir mais que duas pginas de texto com fonte arial 12 ou manuscrito. Observao: Seja objetivo. 3.Sistemaexperimental:Breveapresentaodoprocedimentoadotadona experincia, na seqncia em que a experincia foi realizada explicando cada passo. No deve possuir mais que duas pginas em texto com fonte arial 12 ou manuscrito. 4.Dadosexperimentais:Deveapresentarosdadosobtidos (preferencialmente em forma de tabelas), ou seja, todas as grandezas fsicas medidas,incluindosuasunidades.Dadosconsideradosanmalosdevemser UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 1010identificadoscomumaanotao.Oserrosdecadamedidadevemestar indicados.Astabelasdevemsernumeradasemseqnciaeconteruma legendadescritiva.Deve-seincluirafolhadedadosassinadapelo professor em sala de aula.5.Clculos:Todososclculosdevemserapresentados,incluindoasetapas intermedirias(clculodeerros,mtodosdeanlisegrfica,etc.),para permitiraconfernciaereclculopelomesmocaminho.Osresultados experimentaisdevemserapresentadoscomosalgarismossignificativos apropriados. Osvaloresdecadagrandezaobtidapormeiodosclculosdevemser apresentados de forma organizada (preferencialmente sob a forma de tabelas) no fim desta seo. 6.Anlisededados:Estaapartemaisimportantedorelatrio,naqualo alunoverificaquantitativamenteseoobjetivoinicialmentepropostofoi atingido. De forma geral, o objetivo comprovar ou no as hipteses feitas na teoria. Todas as informaes reunidas nos passos anteriores so comparadas entresieanalisadas.Nocasodediferenasentreosvaloresesperados (tericos)eosexperimentais,estasdevemsercalculadas,preferencialmente em porcentagem, e deve ser estabelecida qual a margem de erro aceitvel. Tambmdevemsercomentadasaspossveisfontesdeerroelimitaesdo aparelho. 7.Concluso:Aconclusoapresentaumresumodosresultadosmais significativosdaexperinciaesintetizaosresultadosqueconduziram comprovao ou rejeio da hiptese de estudo. Aqui deve ser explicitado se osobjetivosforamatingidos,utilizandopreferencialmentecritrios quantitativos. Tambm se deve indicar os aspectos que mereciam mais estudo e aprofundamento. 8.Bibliografia: So as referncias bibliogrficas que serviram de embasamento terico. 9.Anexos:Osanexossoconstitudosdeelementoscomplementares,como porexemplo,grficos.Estesdevemsernumerados,contendo,ttulo,eixos, escalas, unidades e barras de erro. Apresentao dos resultados Osresultadosdevemserapresentados,semprequepossvel,emformade tabelas, destacando dentro de "retngulos" os resultados isolados. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 1111 Recomendaes sobre os clculos numricos Deve-se evitar que sucessivos arredondamentos e/ou truncamentos conduzam avaloresincorretosparaasincertezasresultantesdosclculosefetuados.Assim, recomenda-se: Efetuarosclculosintermediriosparaapropagaodasincertezas com, no mnimo, TRS algarismos "significativos" nas incertezas. Aoavaliargraficamenteocoeficienteangulardeumaretaesua incerteza, considere esta avaliao como um clculo intermedirio. OsresultadosfinaisdevemserapresentadoscomUMsalgarismo significativo na incerteza. 1Introduo Sempre que se fala em Fsica Experimental a primeira idia que vem a mente damaioriadaspessoasadeumLaboratriocheiodemolas,massas,balanas, escalasdepreciso,multmetros,osciloscpios,dentremaisumaenorme parafernliadeobjetoseinstrumentos.Aidianoestdetodoerrada,mas incompleta.Olaboratrioapenasumapequenapartedoassunto.AFsica Experimental ou, em termos mais amplos, o mtodo experimental, um dos pilares fundamentais da Cincia. Embora haja ramos da cincia onde a experimentao seja desnecessria,omtodoexperimentalparteessencialdochamadomtodo cientfico. PororavamosdeixardeladoasconsideraesFilosficassobreo ConhecimentoCientfico.Emoutraseofalaremossobreesseimportanteaspecto. Paranossopropsitoimediatopodemosdizerqueomtodocientficocompreende um conjunto de procedimentos e critrios que permitem compreender e explicar de modoconfivelasleisefenmenosnaturais.Demodoesquemticoebastante simplificado podemos resumir o mtodo cientfico com o diagrama abaixo (Figura 1). O processo compreende as seguintes fases importantes:Observao. Nesta fase de coleta de dados por meio de medidas diversas ocorrem,simultaneamente,dvidaseidiasacercadofenmeno observado; Busca de uma relao entre os fatos observados e conceitos ou fatos pr-estabelecidos; Hipteses, modelos e planejamento de experincias de verificao; Realizaodosexperimentos.Nestafasenovamentesoefetuadas diversas medies criteriosas e cuidadosas; UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 1212Interpretaodosdadosobtidos,conclusesedivulgaodosresultados paraquepossamser apreciados,reproduzidoserealimentadosporidias de outros pesquisadores. Figura 1- Diagrama esquemtico para definir mtodo cientfico. Deve-se notar que ao longo de todo o processo, a capacidade interrogativa e criativa do homem acha-se presente e atuante, criando um ciclo dinmico de retro-alimentaodenovasdvidas,novasobservaesenovasexperimentaes,Isto geraresultadoscadavezmaisdetalhadoseconfiveisouaindanovasconcluses, estabelecendo-se um acmulo continuado de conhecimentos. Para maior confiabilidade, o mtodo experimental deve obedecer ainda a dois requisitosfundamentais.Emprimeirolugarosexperimentosdevemser, obrigatoriamente,reprodutveisporqualquerpessoaeemqualquerlugar, respeitadasascondiesemtodosempregados. Emsegundolugar,temoso princpio da falsificao, isto , toda proposio cientfica deve admitir experimentos que,casonoforneamosresultadosesperadospermitamrefutarahiptese levantada.Umaconseqnciaimportantedestesaspectosquequalquerresultado inesperadoexigeoreexamecompletoeminuciosodashiptesesemodelos construdos. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 1313AFsicaumacinciaquesebaseiaquasesemprenaobservaodo fenmeno natural e na identificao e medida das propriedades que o caracterizam. Freqentemente,essasobservaesemedidasnosofeitasdiretamentepelos nossos sentidos, mas atravs de equipamentos complexos, desenvolvidos para essa finalidade e fruto, eles tambm, de experincias anteriores sobre o mesmo tema. A Fsica,aomesmotempoemquebuscaasoluodosproblemasfundamentaisde COMOePORQUEascoisasocorremousocomoso,busca,emprimeirolugar, respondersquestesQUANDO,QUANTO,aqueDISTNCIA,dequeTAMANHO dentreoutrasdeigualteor.Acinciasemprepartedomaissimplesparaomais complexo.Umaposturacontrria,fatalmenteprejudicariaaanliseeconduziriaa um alto ndice de erros. Comocinciaexata,aFsicabuscadesvendarnoapenasosaspectos qualitativos dos mistrios da natureza, mas tambm os aspectos quantitativos. fcil entoentenderqueamatemticauminstrumentoessencialparaofsico,poisa matemticaalinguagemquepermiteexpressardemodoexato,unvocoe universalasregularidadesepadresdecomportamentoobservadosnanatureza. Entretanto,ousodachamadaintuiofsicaessencial,poismuitasvezesa essncia de um fenmeno no pode ser entendida apenas atravs de equaes. Os princpiosfsicosfundamentaistambmpodemedevemserentendidossemauxlio da matemtica. AFsicaTericaconstrimodelosparaexplicarfenmenosobservados experimentalmente,procurandoapartirdeles,predizerosresultadosdenovos experimentos. O critrio final de sucesso a concordncia das previses do modelo comosresultadosdeterminadosdeformaexperimental.Istocriaumainteraoe realimentaopermanenteentreaexperinciaeateoria,comdesafioscadavez maiores para a inteligncia humana. Percebe-senesteprocessotodoquearealizaodemediesumaspecto muito importante para a Cincia sendo parte fundamental da metodologia cientfica. No existe observao ou anlise sem alguma forma de medio. Por este motivo, o conhecimentodasunidadesdemedidaedosinstrumentosadequadosaotipode medidaquesepretenderealizartemrelevnciaprticafundamental.Almdisto, qualquer medio est sujeita a erros. Erros devido a defeitos do instrumento, erros devido falhas do operador e erros inerentes ao problema em foco. Disto, segue a importncia de se conhecer bem os instrumentos e mtodos a serem utilizados bem como procurar adquirir um bom embasamento terico do fenmeno a ser estudado. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 14142Teoria da medida e dos erros 2.1Grandezas Fsicas e Padres de Medidas Grandezasfsicassopropriedadesdeumentefsicosquaispodemos atribuirumvalorIMPESSOAL,ouseja,umvalornumricoobtidoporcomparao com um VALOR-PADRO. Por exemplo, duas grandezas fsicas para um ser humano so:seupesoesuaaltura.Quandodizemos,porexemplo,queaalturadeum homemde1,90metros,queremosdizerqueelepossuiumaaltura1,90vezeso comprimentodeumPADRO(ometro)gravadoemumabarrametlicaqueest guardadaemSvres,nosarredoresdeParis,noBureauInternationaldsPoidset Mesures.Reparequenomedimosohomemesimumadesuaspropriedades:a altura.Nesteexemplo,oPADRO(metro)defineumaUNIDADEdagrandeza comprimento:umaUNIDADEPADROdecomprimentochamadametro. Generalizando,todasasgrandezasfsicaspodemserexpressasemtermosdeum pequeno nmero de UNIDADES PADRES fundamentais. Neste contexto, fazer uma medidasignificacompararumaquantidadedeumadadagrandeza,comoutra quantidade definida como unidade padro da mesma grandeza.AescolhadeUNIDADESPADRESdegrandezasdeterminaosistemade unidadesdetodasasgrandezasusadasemFsica.Osistemadeunidadesoficial usadopelamaioriadoscientistaseengenheirosdenomina-senormalmentesistema mtrico,pormdesde1960,eleconhecidooficialmentecomoSistema Internacional,ouSI(dasiniciaisdonomefrancsSystmeInternational),porm, ainda existem outros sistemas de unidades utilizados, como o CGS. O SI baseado em sete UNIDADES PADRES FUNDAMENTAIS: GrandezaNome da UnidadeSmbolo comprimentometrom massaquilogramakg temposegundos corrente eltricaampreA temperatura termodinmicakelvinK quantidade de substnciamolmol intensidade luminosacandelacd As unidades de outras grandezas como velocidade, fora, energia e torque so derivadas das sete grandezas acima. Na tabela abaixo esto listadas algumas destas grandezas: GrandezaDimensoUnidade Velocidadem/s UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 1515Trabalho1 N . mJoule (J) Potncia1 J/sWatt (W) Fora1 Kg . m/s2 Newton (N) Acelerao1 m/ s2 Densidade1 kg/m3 No quadro abaixo tambm esto listados os prefixos dos mltiplos e submltiplos mais comuns das grandezas fundamentais, todos na base de potncias de 10. Os prefixos podem ser aplicados a qualquer unidade: MltiploPrefixoSmbolo 1012 teraT 109gigaG 106megaM 103kilok 10-2centic 10-3milim 10-6micro 10-9nanon 10-12picop Como curiosidade, podemos citar algumas ordens de grandeza do Universo: Prton10-15 m , 10-27 kg tomo10-10 mVrus10-7 m , 10-19 kg Gota de chuva10-6 kg Perodo da radiao da luz visvel10-15 s Terra 107 m , 1024 kg , 1017 kg Sol109 m , 1030 kg Via-Lctea1021 m , 1041 kg Universo Visvel1026 m , 1052 kg , 1018 s 2.2Medidas Fsicas As medidas de grandezas fsicas podem ser classificadas em duas categorias: medidas DIRETAS e INDIRETAS. A medida direta de uma grandeza o resultado da leituradeumamagnitudemedianteousodeinstrumentodemedida,comopor exemplo, um comprimento com rgua graduada, ou ainda a de uma corrente eltrica UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 1616comumampermetro,adeumamassacomumabalanaoudeumintervalode tempo com um cronmetro. Umamedidaindiretaaqueresultadaaplicaodeumarelaomatemticaque vinculaagrandezaasermedidacomoutrasdiretamentemensurveis.Como exemplo, a medida da velocidade mdiavde um carropode ser obtida atravs da medida da distncia percorrida S e o intervalo de tempot , sendo Svt= . 2.3Erros e Desvios Algumasgrandezaspossuemseusvaloresreaisconhecidoseoutrasno. Quandoconhecemosovalorrealdeumagrandezaeexperimentalmente encontramos um resultado diferente, dizemos que o valor observado est afetado de um erro, o qual pode ser definido como:ERRODiferena entre um valor observado (Vobs) ao se medir uma grandeza e o valor real (VReal) ou correto da mesma. obs RealErro V V = (1.1) Conforme teremos oportunidade de estudar, obter o valor real da maioria das grandezasfsicas,atravsdeumamedida,quaseimpossvel.Apesardeno podermosencontrarovalorrealdedeterminadagrandeza,podemosestabelecer, atravs de critrios que estudaremos oportunamente, um valor adotado que mais se aproximadovalorreal,comoocasodaaceleraodagravidade.Nestecaso,ao efetuarmosumamedida,falamosemdesviosenoemerros,oqualpodeser definido como: DESVIODiferena entre um valor observado (Vobs) ao se medir uma grandeza e o valor adotado (Vadot) que mais se aproxima teoricamente do valor real.

obs adotDesvio V V = (1.2) Na prtica se trabalha na maioria das vezes com desvios e no com erros. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 1717Os desvios podem ser apresentados sob duas formas:Desvio - j definidoDesvio Relativo-arelaoentreodesvioabsolutoeovaloradotado como o mais prximo teoricamente do valor real desta grandeza. adotadoDesvioDesvio RelativoV=(1.3) Odesviorelativopercentualobtido,multiplicando-seodesviorelativopor 100%.ODesvioRelativonosd,decertaforma,umainformaoamaisacercada qualidade do processo de medida e nos permite decidir, entre duas medidas, qual a melhor. d)Classificao de Erros Pormaiscuidadosaquesejaumamedioepormaisprecisoquesejao instrumento,nopossvelrealizarumamedidadiretaperfeita.Ouseja,sempre existeumaincertezaaosecompararumaquantidadedeumagrandezafsicacom sua unidade. Segundosuanatureza,oserrossogeralmenteclassificadosemtrs categorias: grosseiros, sistemticos e aleatrios ou acidentais. Erros Grosseiros Errosqueocorremdevidoimperciaoudistraodooperador.Como exemplos,podemoscitaraescolhaerradadeescalas,errosdeclculoeerrode paralaxe. Devem ser evitados pela repetio cuidadosa das medies. Erros Sistemticos Oserrossistemticossocausadosporfontesidentificveis,eemprincpio, podemsereliminadosoucompensados.Esteserrosfazemcomqueasmedidas efetuadasestejamconsistentementeacimaouabaixodovalorreal,prejudicandoa exatidodasmedidas.Errossistemticospodemserdevidosavriosfatores,tais como: UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 1818 ao instrumento que foi utilizado, por exemplo, intervalos de tempo medidos com um relgio que atrasa; aomtododeobservaoutilizado,porexemplo,mediroinstanteda ocorrncia de um relmpago pelo rudo do trovo associado; a efeitos ambientais, por exemplo, a medida do comprimento de uma barra de metal, que pode depender da temperatura ambiente; a simplificaes do modelo terico utilizado, por exemplo, no incluir o efeito da resistncia do ar numa medida da gravidade baseada na medida do tempo de queda de um objeto a partir de uma dada altura. Erros Aleatrios ou Acidentais Errosdevidosacausasdiversas,bemcomoacausastemporaisquevariam duranteobservaessucessivasequeescapamaumaanliseemfunodesua imprevisibilidade,prejudicandoaprecisodasmedidas.Podemtervriasorigens, entre elas: instabilidades nos instrumentos de medidas; erros no momento da medida como, por exemplo, uma leitura com preciso maior do que aquela fornecida pela escala; pequenasvariaesdascondiesambientais(presso,temperatura, umidade, fontes de rudos, etc.); Errosaleatriospodemsertratadosquantitativamenteatravsdemtodos estatsticos, de maneira que seus efeitos sobre a grandeza fsica medida, podem ser, em geral, determinados. A distino entre erros aleatrios ou sistemticos , at certo ponto, subjetiva, entretanto,existeumadiferenaclara,acontribuiodoserrosaleatriospodeser reduzidapelarepetiodasmedidas,enquantoquelarelativaaerrossistemticos em geral insensvel repetio. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 1919e)Incertezas Oerroinerenteaoprocessodemedida,isto,nuncasercompletamente eliminado. O erro poder ser minimizado, procurando-se eliminar o mximo possvel asfontesdeerroacimacitadas.Portanto,aorealizarmedidasnecessrioavaliar quantitativamente as INCERTEZAS nas medies ( x ). Aqui devem ser diferenciadas duas situaes: a primeira trata de medidas diretas, e a segunda de indiretas. Incertezas em Medidas Diretas Amedidadiretadeumagrandezax comsuaincertezaestimadapodeser feita de duas formas distintas: a)Medindo-seapenasumavezagrandezax :nestecaso,aestimativade incertezanamedida,x ,feitaapartirdoinstrumentodemedida utilizado (ver-se- as regras no item 4) e o resultado ser expresso por: x x (1.4)

Obs:Osinal aquinoindicaquex podesertantopositivocomo negativo(comonocaso) 2 log , 42 = = x o x ,massimqueovalor obtido na medida nico, porm, devido limitao do instrumento de medida, no exatamente o valor lido, e pode ser qualquer nmero do intervalo [ x x , x x + ]. Se forem detectadas outras fontes de erro, o valordex deveserincrementadocomovalorestimadoda contribuio do referido erro. Lembre-se: JAMAIS DEVEMOS DISSOCIAR O VALOR DE UMA MEDIDA DO SEU VALOR DE INCERTEZA! b)Medindo-seN vezes a mesma grandezax , sob as mesmas condies fsicas. Osvaloresmedidos 1x , 2x ,..., Nx nosogeralmenteiguaisentresie descontandooserrosgrosseirosesistemticos,asdiferenasentreelesso atribudas aos erros aleatrios. Neste caso, o resultado da medida expresso em funo das incertezas como: mx x x = (1.5) UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 2020onde mx o valor mdio dasNmedidas, dado por: 1NimixxN== (1.6) Existemoutrosparmetrosquepodemrepresentarosvalorescentrais emtornodosquaisestesdadossedistribuem,taiscomo:amoda,amdia quadrticaeamediana.Aescolhadoparmetrodependedotipode distribuio dos dados e do sistema. x a incerteza da medida e representa a variabilidade e a disperso dasmedidas.Estaincertezapodeserdeterminadadevriasformas.Neste curso, trabalharemos com a incerteza absoluta e o desvio padro. Incerteza Absoluta: 1| |Nm iix xxN= = (1.7) Desvio Padro: == = Nii mNx xx12) ( (1.8) Outra grandeza importante a incerteza relativa mxx= . Por exemplo, se uma barradeaotemcomprimentodadopor(2, 5 0, 5) m ,significaqueesse comprimentoestsendocomparadocomopadrodenominadometroequea incertezaassociadamedidade0,5 m.Aincertezarelativanestamedidade 0, 50, 22, 5=ou20%. Quandoonmerodemedidascresceindefinidamente,adistribuiode freqnciadasmedidastende,usualmente,distribuiodeGauss.Medidas diretasquesedistribuemsegundoadistribuiodeGauss,temaseguinte propriedade: 68,3% das medidas esto entre) ( ) ( + m mx e x95,5% das medidas esto entre) 2 ( ) 2 ( + m mx e x UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 212197,7% das medidas esto entre) 3 ( ) 3 ( + m mx e x Dependendodotipodesistema,outrostiposdedistribuiesestatsticas podemsermaisindicadas,comoporexemplo:adistribuiodePoisson, distribuio Binomial, distribuio Gama, etc. Os valores mdios e os desvios padres podem ser obtidos por programas de ajustes,comoporexemplo,oOriginealgoritmosdoMATLAB,apartirdeum conjunto de medidas. Incertezas em Medidas Indiretas Geralmente necessrio usar valores medidos e afetados por incertezas para realizar clculos a fim de se obter o valor de outras grandezas indiretas. necessrio conhecer como a incerteza na medida original afeta a grandeza final. Propagao de incertezas Nas medidas indiretas o valor da grandeza final depender das incertezas de cadaumadasgrandezasobtidasdiretaouindiretamente,bemcomodaformada expresso matemtica utilizada para obt-las. ConsideremosqueagrandezaV aserdeterminadaestejarelacionadacom outrasduasoumais,atravsdarelao:) ..., , , (2 2 1 1 n nx x x x x x f V = ,onde f uma funo conhecida de n nx x x x x x ..., , ,2 2 1 1. Examinaremos ento como se obtm a incerteza do valor da grandeza que se mede indiretamente, em funo das incertezas das medidas diretas. Um mtodo usualmente aplicado e que nos d o valor deV , imediatamente, em termos de nx x x ..., , ,2 1, baseado na aplicao do clculo diferencial: == niiixxVV1(1.9) Uma derivada parcial, como por exemplo 1xV, a derivada de V em relao a 2x ,assumindoasdemaisn-1variveis(asdemaisgrandezasdiretas)constantes. Para maiores detalhes, consulte livros de clculo diferencial e numrico. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 2222Ostermosdotipo ixVsodenominadosFATORESDESENSIBILIDADEdeV em relao a ix . Consideremosagora,ummtodomaisimediato,envolvendoapenas operaes de lgebra elementar. a.Soma ou subtrao Considerandoasmedidasdengrandezas:A,B,C,...,esuasrespectivas incertezas: , , ,, , ,A a aB b b abc valores medidosC c c a b c incertezas absolutas= = = | | ` |= =\ )LLM(1.10)... + + + = C B A S (1.11) )`= = =soma da absoluta incerteza rsoma da valor ss s S(1.12) 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1 4 43 4 42 1s sc b a c b a c c b b a a s s + + + + + + + = + + + = ...] ( ) ( ) ( ) [( ...) ( ... ) ( ) ( ) ( (1.13) Adotandoocritriomaisdesfavorvel,ouseja,ondetodososvaloresobtidosdas medidas possuem os mximos desvios da mdia e possuem o mesmo sinal, obtm-se:...) ( ...) ( + + + + + + = c b a c b a s s (1.14)Para o caso da subtrao a expresso anloga : UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 2323...) ( ...) ( + + + = c b a c b a d d (As incertezas se somam!)(1.15) b.Outrasoperaes-Amultiplicao,adiviso,aradiciaoea potenciao, podero ser englobadas na frmula monmio. . . . F K A B C =(1.16) Demonstra-seteoricamentequeaincertezaabsolutaf poderser colocadaemfunodasincertezasabsolutasdasgrandezasqueacompepela seguinte frmula (critrio mais desfavorvel): k a b cf fk a b c = + + + (1.17) onde: Constante que no depende da medidaA a aB b bC c cK k k= = = = (1.18)

. . . F f f f k a b c = =(1.19) Maiores detalhes, consulte um livro de clculo numrico. Discusso sobre a constante K A constante K poder aparecer nas seguintes formas:

Nmero formado por quantidade finita de dgitos (nmero exato). Neste caso a incerteza absoluta nula.Nmeroquematematicamentecomporteinfinitosdgitos(irracional, dzima).Nestecasoaincertezaabsolutadependerdaquantidadede dgitosadotada.Seutilizarmosumacalculadoraqueoperecomdez dgitos, teremos = 3,141592654. O ltimo dgito foi arredondado pela UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 2424mquina;estafetadoporuma"incerteza"deumaunidade(no mximo = 0,000000001). Caso especial de funes transcendentais Nocasodefunestranscendentais,asregrassupracitadas,tantoda derivada,comodasoperaeselementaresfalham.Assim,descrevemosum mtodo simples para calcular a incerteza deste tipo de funo. Ex: uma medida direta do ngulo vale o o1 , 0 5 , 15 = . Sequisermosumamedidaindireta2sen2(),devemosfazeroseguinte desenvolvimento: Primeiramente calculamos a funo seno. sen()=sen(15,5o0,1o)=sen15,5o(|sen15,6o-sen15,40|/2). A partir desse resultado, que no mais uma funo transcendental, todos os clculossubsequentespodemserfeitospelaregradiferencialoupelas operaes elementares (neste caso a regra do monmio). 3Algarismos Significativos Amedidadeumagrandezafsicasempre aproximada,pormaiscapazque sejaooperadorepormaisprecisoquesejaoaparelhoutilizado.Estalimitao reflete-senonmerodealgarismosqueusamospararepresentarasmedidas. Devemosutilizarsosalgarismosmedidosoucalculadospelamdiaqueso confiveis devido preciso do instrumento utilizado, admitindo-se apenas o uso de umnicoalgarismoduvidoso.Porexemplo,seafirmarmosqueo resultadodeuma medida3, 24 cmestamosdizendoqueosalgarismos3e2 soprecisosequeo algarismo4 o duvidoso, no tendo sentido fsico escrever qualquer algarismo aps o nmero 4. Algumas observaes devem ser feitas: 1.Noalgarismosignificativoozeroesquerdadoprimeiroalgarismo significativodiferentedezero.Assim,tanto32, 5 l m = como 20, 325 10 l x m = representamamesmamedidaetm3algarismos significativos. Outros exemplos: UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 25254=0,4x10=0,04x102=0,004x103(1algarismo significativo); 0,00036606=0,36606x10-3=3,6606x10-4(5algarismos significativos). 2.Zerodireitadealgarismosignificativotambmalgarismo significativo.Portanto,32, 5 l cm = e32, 50 l cm = sodiferentes,ou seja,aprimeiramedidatm3algarismossignificativos,enquantoa segunda mais precisa e tm 4 algarismos significativos. 3.Quandofornecessriofazerarredondamentodealgumnmero utilizaremosaseguinteregra:quandooltimoalgarismodepoisdos significativosformenorque5esteabandonado;quandooltimo algarismoformaiorouiguala5,somamos1unidadeaoalgarismo significativo anterior.Exemplo: 8,234 cm arredondado para 8,23 cm; 8,235 cm arredondado para 8,24 cm; 8,238 cm arredondado para 8,24 cm. 4.Operaes com algarismos significativos: a.Somaesubtrao:Apsrealizarasoma,oresultadodeve apresentar apenas um algarismo duvidoso. Exemplo: 133,35cm 46,7cm = 86,65cm = 86,7cm. b.Produto e diviso: O resultado da operao deve ser fornecido com omesmonmerodealgarismossignificativosdofatorquetivero menor nmero de algarismos significativos. Exemplos: 32,74cm x 25,2cm = 825,048cm2 = 825cm2 = =37, 325, 00940 5, 017, 45m ms s c.Algarismossignificativosemmedidascomincerteza.Suponhamos que uma pessoa ao fazer uma srie de medidas do comprimento de uma barral , tenha obtido os seguintes resultados: Comprimento mdio:82, 7390 = l cm; Incerteza estimada:0, 538 = lcm; UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 2626 como a incerteza da medida est na casa dos dcimos de cm, no faz sentido fornecer os algarismos correspondentes aos centsimos, milsimos de cm e assim por diante. Ou seja, a incerteza estimada de uma medidadeve conter apenas um algarismo significativo. Os algarismosadireitadeste,seroutilizadosapenasparaefetuaros clculosearredondamentosousimplesmentedesprezados.Neste casol deve ser expresso apenas por: 0, 5cm = l ; os algarismos 8 e 2 do valor mdio so exatos, porm o algarismo 7jduvidosoporqueoerroestimadoafetaacasaquelhe corresponde.Destemodo,osalgarismos3,9e0sodesprovidos designificadofsicoenocorretoescrev-los:estesalgarismos soutilizadosparaefetuarosclculosearredondamentosou simplesmente desprezados. O modo correto de escrever o resultado final desta medida ser ento: (82, 7 0, 5)cm = l . Quandosetrabalhacomumagrandezasemexplicitarasuaincerteza precisoteremmente anooexpostanotextoreferenteaoconceitodealgarismo significativo.Mesmoquenoestejaexplicitada,vocsabequeaincertezaafeta "diretamente"oltimodgitodecadanmero.Paraverificarestaafirmao sugerimos que assinale com um trao todos os algarismos cuja ordem seja superior ouigualordemdegrandezadaincerteza.Considerealgarismosignificativo,os algarismos assinalados. Exemplos: a) 2186, 3 1, 7 186 1, 86 10 ou x b)10 54 , 4 4 , 45 13 , 0 7 3 , 45 x ou c) 425231 15 2, 523 10 x As operaes que voc efetuar com qualquer grandeza daro como resultado um nmero que tem uma quantidade "bem definida" de algarismos significativos. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 2727Exerccios 1)Verifique quantos algarismos significativos apresentam os nmeros abaixo: a)0,003055b) 1,0003436 c) 0,0069000 d) 162,32 x 106. 2)Aproxime os nmeros acima para 3 algarismos significativos. 3)Efetue as seguintes operaes levando em conta os algarismos significativos: a)(2,50,6) cm + (7.06 0,07) cm; b)(0,42 0,04) g/(0,7 0,3) cm; c)(0,73810,0004) cm x (1,82 0,07) cm; d)(4,4500,003) m - (0,456 0,006) m. 4)Efetue as seguintes operaes levando em conta os algarismos significativos: a) 2,3462 cm + 1,4 mm + 0,05 m;b) 0,052 cm/1,112 s;c) 10,56 m 36 cm. 5)Asmedidasdamassa,comprimentoelarguradeumafolhaforamobtidas4 vezes e os resultados esto colocados na tabela abaixo. Usando estes dados e levando em conta os algarismos significativos, determine: a)os valores mdios da massa, comprimento e largura da folha; b)as incertezas absolutas das medidas da massa, comprimento e largura da folha; c)os desvios padro das medidas de massa, comprimento e largura da folha; d)asincertezasrelativasdasmedidasdamassa,comprimentoelargurada folha. Massa (g)Largura (cm)Comprimento (cm) 4,5121,030,2 4,4621,229,8 4,5620,829,9 4,6121,130,1 6)Utilizandoosresultadosdoexerccio5eateoriadepropagaodeerros, determine: a)A rea da folha e sua respectiva incerteza; UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 2828b)A densidade superficial da folha e sua respectiva incerteza. 4Instrumentos de medida 4.1Introduo Descreveremos em detalhes alguns dos instrumentos mais utilizados para medir grandezasfsicasdemassa,tempoecomprimentos,comenfoquenosaparelhos disponveis no laboratrio. So eles: GrandezaAparelhoPreciso ComprimentoRgua1 mm ComprimentoPaqumetro0.1 mm MassaBalana Digital- TempoCronmetro0,01s at 0,0001s Aprecisodeuminstrumentodemedidacorrespondequantidademnima dagrandezafsicaqueoinstrumentocapazdediferenciar.Porexemplo,numa rgua centimetrada, a preciso de 1cm. O resultado de uma medida deve vir sempre na forma:m m (4.1) onde m o valor medido na escala do instrumento em a incerteza associada medida. Esta incerteza depende do aparelho utilizado e dos erros aleatrios ocorridos duranteamedida.Portanto,podemosescreverm comoasomadeduas contribuies, e ser chamada incerteza total: aparelho aleatriosm m m = + (4.2) O clculo das incertezas aleatrias, como j foi mostrado, depende do nmero demedidasedasoperaesenvolvidasnaobtenodagrandezam.Oclculode aparelhom (incertezadoaparelho)dependedoinstrumentoutilizadoehdiversos critriosparadetermin-la(quandoamesmanoforinformadapelofabricante). Nessesentido,interessanteclassificarosaparelhosemanalgicoseno UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 2929analgicos.Estaclassificaosurgeemfunodaescaladoaparelho,eda possibilidade de estimativa de incerteza, conforme veremos a seguir. 4.2Aparelhos Analgicos Osinstrumentosanalgicossoaquelesondeaanlisedasescalaspermite queoalgarismoduvidosodamedidasejaavaliado.Nestecaso,usualadotara incerteza da escala como sendo a metade da preciso. Ou seja, ( )12aparelhom = preciso do aparelho (4.3) Algunsexemplosso:rguas,multmetros,cronmetros,balanadebraoe termmetros. a)A rgua milimetrada Instrumentocapazdemedircomprimentoscomaprecisomximade milmetros. O erro de escala : ( )10, 52aparelhom mm = = preciso do aparelho . (4.4) Para entender a origem deste critrio, considere, por exemplo, que desejamos medir o tamanho de uma folha de papel usando uma rgua milimetrada. Com o olho bemtreinadooucomoauxliodeumalupa,eseostraosdamarcaodos milmetrosinteirosdarguaforemsuficientementeestreitos,pode-seavaliarat dcimosdemilmetro.Contudo,esteprocedimentopodenoservlido.Seuma rgua graduada em milmetros porque o material com que feito pode resultar em variaes do comprimento total comparveis com a sua menor diviso. Ou ento, o prprio processo de fabricao pode no ser seguro, dando variaes comparveis comamenordiviso.Nestescasos,suporarguaexataeavaliardcimosde milmetropodeseirrealista.Poroutrolado,arredondandoatomilmetrointeiro maisprximopodeacarretarperdadeinformao.Assim,avaliaraincertezaem metadedaprecisoummeiotermoaceitvel.importantenotarqueesta incerteza corresponde na verdade ao erro mximo que pode ser cometido utilizando uma rgua milimetrada, excluindo-se os erros aleatrios. A figura abaixo mostra um exemplo de leitura utilizando uma rgua. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 3030 Figura 2- Exemplo de uma medida feita com rgua milimetrada. Neste caso podemos avaliar o comprimentodabarra em 8,36 cm. Assim, os algarismosexatosso8e3,aopassoqueoduvidoso6,umavezquesua obtenosurgiudeumaapreciaodoexperimentador.Portanto,oresultadofinal da medida deve ser l=(8,360,05) cm. Se utilizssemos um paqumetro poderamos obterparaagrandezaemfocoumvalorde8,371cm.Nestecaso,quaisos algarismos duvidosos e quais os exatos? J um micrmetro nos permitiria obter um valor que poderia ser 8,3713 cm. b)Balana Tri-Escala Abalanatri-escalaassimdenominadaporquepossuitrsescalas:uma graduadaemgramas,outraemdezenasdegramas,outraemcentsimosde gramas. Assim o resultado de uma medidacom esta balana pode ser apresentado com algarismos at a casa do milsimo da grama, sendo este algarismo duvidoso. A preciso da balana na casa do centsimo de grama. Antes de fazer uma medida comabalana,deve-severificarseamesmaestzerada.Paraisto,semnenhum objeto no prato da balana, deve ser verificado se, ao colocar os pesos das escalas nos zeros das mesmas, o ponteiro situado na extremidade do brao da balana est apontandoparaozerodeumaescalavertical,situadonestaextremidade.A inclinaodobraodabalanapodeserajustadagirandoumparafusosituadona basedabalana.Abalanadeveserzeradaparaevitarerrossistemticosnas medidas. Aopesarumobjetocolocando-onopratodabalana,obraodestaficar levantado, sendo necessrio posicionar os pesos das escalas de forma que o ponteiro volteparaozerodaescalavertical.Assimfeito,osnmerosnas escalas,indicados pelos pesos das escalas, podero ser lidos. Como exemplo, a leitura feita na figura abaixo (e indicada pelas flechas) seria de( )165, 345 0, 005 m g = , onde0, 005 gcorresponde incerteza da medida. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 3131 Figura 3 - Balana tri-escala. 4.3Aparelhos no Analgicos a)Aparelhos Digitais Osaparelhosdigitaisnopermitemqueoerrodeescalasejaavaliado:o algarismoduvidososimplesmentelidonodisplaydoaparelho,ouconforme especificado pelo fabricante. Usualmente, o erro corresponde aomenor valor que o aparelho pode medir: preciso do aparelhoaparelhom = (4.5) Algunsexemplosdeaparelhosdigitaisso:ocronmetrodigital,termmetro digitalemultmetrodigital.Comoexemplo,descreveremosemdetalhesoprocesso de medida de um cronmetro digital e de um multmetro digital. Cronmetros Digitais 020406080100120140160180200g 012345678910g 00,10,20,30,40,50,60,70,80,91g 0,01g UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 3232Cronmetrossoaparelhosquemedemintervalosdetempoecujapreciso depende do equipamento e deve ser informada fabricante. Os cronmetros utilizados neste curso apresentam um display digital com intervalos de tempo no formato: XX' XXXX XX horasminutos segundosdcimos de segundos Portanto,oltimodgitodeprecisoencontra-senacasadoscentsimosde segundo. Assim, o erro de escala deste aparelho corresponde menor medida que o mesmo pode fazer, ou seja: 0, 01aparelhom s = (4.6) Destaforma,umexemplodeleituracomdisplayindicando0201significa (2,010,01) s. Obs: Lembre-se quando o cronmetro for acionado manualmente, deve ser includotambmotempodereaohumano,quedeaproximadamente 0,1 s para cada acionamento. Balana Digital Balanauminstrumentoparamedirmassaecujaprecisodependedotipode equipamentoedeveserinformadapelofabricante.Abalanautilizadanestecurso apresenta um display digital no formato: X,XXXX (unidade) A medida pode ser realizada em trs diferentes unidades: grama, quilate e ona. Para o caso de medidas em gramas, a preciso encontra-se na casa dos dcimos de miligramaseafaixademedidaestentre0,01ge215g.Portantoaincerteza associada a uma medida em gramas g m 0001 , 0 = . Mtodo de medida: a)ligar a balana; b)selecionar a unidade de medida; c)tarar a balana com a campnula fechada; d)abrir a campnula e inserir a massa que no deve ser superior a 215 g; e)fechar a campnula e deixar a leitura estabilizar; f)registrar a medida; g)abrir a campnula e retirar o corpo que est sendo medido; h)fechar a campnula; UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 3333i)desligar a balana. Obs: em nossas aulas o aluno s est habilitado a utilizar as teclas: liga, desl, unit e tar da balana. Multmetro Multmetrosdigitaissoaparelhosmulti-utilidadesquemedemvrias grandezaseltricas,como:resistncia,tenso,corrente,capacitncia,indutncia, tenses de junes de diodos e de transistores, etc. Os multmetros apresentam um display digital e vrias escalas para cada funo, que podem ser selecionadas por um cursor.Paraperfeitautilizao,NUNCAUTILIZEOMULTMETROSEM ORIENTAO DO PROFESSOR E NUNCA USE A SELEO AMPERMETRO EM PARALELO COM A FONTE, POIS VOC PODE DANIFIC-LO!!! Para o caso do multmetro, existem duas fontes de erro possveis: a)oltimoalgarismo(z)podeflutuaremtornodovalormaisestveleneste casoaincertezadevidoflutuaocalculada,estimando-seaflutuao mdiaemtornodovalormaisprovveldoltimoalgarismo,daseguinte forma: 2 / ) (min maxz z xf = (4.7) b)olimitedeerroinstrumental(ix )fornecidopelofabricantequepossuia forma: arismo a ltimo no dgitos b leitura da a xilg % + = A incerteza absoluta resultante das duas contribuies :

i fx x x + = (4.8) Comoexemplo,seumaleituramaisestvelnoampermetrofoi33,04mAe flutuou entre 33, 02 e 33,05 mA na escala de 200 mA, que por sua vez, possui uma incerteza de 0,05% da leitura + 2 dgitos, ento: UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 343405 , 0 051515 , 0 036515 . 0 015 , 0036515 . 0 02 , 0 03 , 33 0005 , 0015 , 0 2 / ) 02 , 0 05 , 0 (= = + = = + = = = xxxif O valor da medida ento:05 , 0 04 , 33 = i mAb)Aparelhos com Nnio: O Paqumetro. Opaqumetrouminstrumentousadoparamedirasdimenseslineares internas,externasedeprofundidadedeumcorpo.Consisteemumargua graduada, com encosto fixo, sobre a qual desliza um cursor. Figura 4- Paqumetro. O cursor ajusta-se rgua e permite sua livre movimentao, com um mnimo defolga.Paramuitasmedidascomescalasgraduadasdesejvelestimar-seuma frao da menor diviso das mesmas. Existe um dispositivo que aumenta a preciso destaestimativa:onnioouvernier(acopladoaocursor).Estaescalaespecialfoi criadaporPierreVernier(1580-1637),paraobtermedidaslinearesmenoresquea menor diviso de uma escala graduada. Onnioouverniernospermiteefetuaraleituradeumafraodamenor diviso de uma rgua ou escala graduada. Ele constitudo de uma pequena escala 1. Orelha fixa2. Orelha mvel3. Nnio ou vernier (polegada)4. Parafuso de trava5. Cursor 6. Escala fixa de polegadas 7. Bico fixo 8. Encosto fixo 9. Encosto mvel 10. Bico mvel 11. Nnio ou vernier (milmetro) 12. Impulsor 13. Escala fixa de milmetros 14. Haste de profundidade 35 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 35comN divisesdevaloresconhecidos,quesemoveaolongodarguaprincipal, pormrelacionam-seentresideumamaneirasimples.Porexemplo,considereum paqumetropossuindoumnniocomN=10divisesquecorrespondem,em comprimento,a9divisesdaescalaprincipal.Cadadivisodonniomaiscurta que a diviso da escala principal de N1 da diviso desta escala. Figura 5- Representao do Nnio. Nestecaso,aprimeiradivisodonnio 110maiscurtaqueadivisoda escalaprincipal.Asegundadivisodonnioesta 210dedivisoaesquerdada prxima marca da escala principal, e assim por diante, at a dcima marca do nnio coincida com a nona marca da escala principal. Se a escala Vernier movida para a direitaatqueumamarcasuacoincidacomumamarcadaescalaprincipal,o nmero de dcimos de divises da escala principal que a escala do nnio se deslocou o nmero de divises do nnio, n, contadas a partir de sua marca zero at a marca do nnio que coincidiu com uma marca qualquer da rgua principal. Um exemplo de leituramostradonafiguraabaixo,naqualocomprimentol correspondea mm ) 1 , 0 4 , 12 ( ,ondenestecaso,aincertezadoaparelhocorrespondepreciso do mesmo. 36 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 36 Figura 6- Exemplos de medidas utilizando um paqumetro. Para se obter bons resultados na medio: 1.Ocontatodosencostoscomassuperfciesdoobjetodevesersuave. Exagerosnapressodoimpulsorpodemdanificaroobjetoeresultar em medidas falsas; 2.Manteraposiocorretadopaqumetrorelativamenteaoobjeto. Inclinaes do instrumento alteram as medidas. 3.Antesdeefetuarasmedies,limparassuperfciesdosencostoseas faces de contato do objeto; 4.Mediroobjetoatemperaturaambiente.Aspossveisdilataes trmicas acarretam erros sistemticos; Aofazeraleitura,orientaravisonadireodostraoseperpendiculara linha longitudinal do instrumento. EmnossolaboratrioopaqumetropossuiumnniocomN=20divisesque correspondem,emcomprimento,a39divisesdaescalaprincipal.Aprecisodo mesmo de 0,05 m, que corresponde ao valor da incerteza. 4.4Exemplo de Processo de Clculo de Incertezas em Medidas Foramefetuadas4medidasdemassadeumobjeto,combalanatri-escala. Os resultados foram os seguintes: 3,002g; 3,010g; 2,995g e 3,005g. Como deve ser expressoovalordamassadesteobjeto?Aprimeiraetapaconsistenoclculodo valormdiodamassa,cujoresultado:3,003g.Nasegundaetapadeveser calculadooerroaleatrio,atravsdousodaincertezaabsolutaoudesviopadro. Considerando a incerteza absoluta para os erros aleatrios teremos: | 3, 003 3, 002 | | 3, 003 3, 010 | | 3, 003 2, 995| | 3, 003 3, 005|0, 00454aleatriox g + + + = =. 12 0 010203040 3 45 6789 1021 l mm 4-trao coincidente Nnio 37 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 37 Aincertezaseraincertezaabsolutaadicionadaaincertezadoaparelho (balana - 0,005g), ou seja: 0, 005 0, 0045 0, 0095totalx g g g = + = . Oerrototaldevesempreserexpressocomapenas1algarismosignificativo. Portantodevemosarredondaraincertezatotalobtidapara0,01g.Temosato momento:(3,0030,01)g.Contudo,estanoaindaarespostafinal.Notequea incertezatotalestnasegundacasadecimal,indicandoqueaincertezadamedida encontra-se nessa casa. Como o valor mdio da massa apresenta trs casas decimais depoisdavrgula,issosignificaqueperdemosprecisonamedidaeoalgarismo3 perdeu o sentido. Portanto, a resposta final deve ser: (3,00 0,01)g 4.5Exerccio em Grupo: Medidas de Densidade Superficial Material: folha, rgua, paqumetro e balana. 1.Densidade superficial de uma folha. a)Cada aluno do grupo deve medir, utilizando uma rgua milimetrada, as dimenses L1 e L2 da folha; b)Fazer a mdia das medidas de L1 e L2 , com seus respectivos erros totais 1L e 2L ; c)Determinar a rea mdia (A) da folha, com sua incertezaA .d)Cada aluno do grupo deve medir a massa da folha com a balana;e)Fazeramdiadasmedidasdamassa(m)dafolhaeobtera respectiva incerteza total ( m ); f)Obteradensidadesuperficialdafolha( ),comarespectiva incerteza ( ). 2.Repetir as medidas do item 1. com o paqumetro. 3.Compararadensidadesuperficialmdiadafolha(comsuarespectiva incerteza total) obtida utilizando a rgua milimetrada e o paqumetro. 38 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 38 Use as tabelas abaixo para expressar as medidas e os clculos: Medidas da densidade superficial ( ) da folha: RguaPaqumetroBalana L1 (cm)L2 (cm)L1 (cm)L2 (cm)m (g) Clculos RguaPaqumetroBalana L1 (cm)L2 (cm)L1 (cm)L2 (cm)m (g) Valor mdio Incerteza absoluta Desvio Padro Incerteza Total* *Aincertezadevidoaoserrosaleatriosdeveserescolhidaentreaincerteza absoluta ou desvio padro. * Resultados finais RguaPaqumetro A (cm2)A (cm2)A (cm2)A (cm2) (cm2) (g/cm2) (cm2) (g/cm2) 39 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 39 5Grficos 5.1Introduo Umgrficoumacurvaquemostraarelaoentreduasvariveismedidas. Quando,emumfenmenofsico,duasgrandezasestorelacionadasentresio grfico d uma idia clara de como a variao de uma das quantidades afeta a outra. Assim,umgrficobemfeitopodeseramelhorformadeapresentarosdados experimentais.Aorealizarmosumamedidasugere-secolocarnumgrficotodosos pontosexperimentaisetraarcurvasqueseajustemomaisaproximadamente possvelaessespontos.Aformadessascurvaspodeauxiliaroexperimentadora verificaraexistnciadeleisfsicasouleva-loasugeriroutrasleisnopreviamente conhecidas. Muitas vezes nos defrontaremos com o problema de encontrar uma funo que descrevaapropriadamenteadependnciaentreduasgrandezasmedidasno laboratrio.Algumasdascurvasmaiscomunsso:areta,parbolas,exponenciais, senides, etc. 5.2Construo de Grficos H algumas regras bsicas que devem ser seguidas na construo de grficos: 1.Colocarumttulo,especificandoofenmenofsicoemestudo,querelaciona as grandezas medidas; 2.Escrevernoseixoscoordenadosasgrandezasrepresentadas,comsuas respectivasunidades.Aescaladeveconterainformaodonmerode algarismos significativos das medidas. No eixo horizontal (abscissa) lanada avarivelindependente,isto,avarivelcujosvaloressoescolhidospelo experimentador,enoeixoverticallanadaavariveldependente,ouseja, aquela obtida em funo da primeira; 3.Em geral, a relao de aspecto (altura/largura) deve ser menor do que 1, pois o grfico ser de mais fcil leitura (por esta razo que a tela de cinema e a da televiso tem relao de aspecto menor do que 1); 4.Se possvel cada eixo deve comear em zero; 40 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 405.Escolherescalasconvenientestaisquefacilitemtantoaconstruoquantoa leituradosgrficos.Aescaladevesersimplesesugere-seadotarvalores mltiplos ou submltiplos de nmeros inteiros; 6.A escala adotada num eixo no precisa ser igual do outro; 7.Escolherescalastaisqueacurvacubraaproximadamentetodaafolha disponvel do papel do grfico;8.Deve-se ter o cuidado de nunca assinalar na escala as coordenadas dos dados experimentais; 9.Marquecadaumdospontosdogrfico,cuidadosamenteeclaramente, escolhendoparaistoumsmboloadequadoedetamanhofacilmentevisvel (porexemplo,umcrculoouumquadradinho)comumpontinhonocentro. Nunca marque os pontos apenas com um pontinho do lpis; 10. Marqueclaramenteasbarrasdeerroemcadaponto.Seoerroformuito pequenoparaaparecernaescalaescolhidaanoteaolado:asbarrasdeerro so muito pequenas para aparecer na figura; Figura 7 Grfico mostrando os dados experimentais e a curva traada. 41 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 41Quandotodosospontosexperimentaisjestiveremmarcadosnogrfico, restatraaracurva.Estanoprecisapassarsobretodosospontos;defato, possvelqueacurvanopassepornenhumpontodogrfico.Sendoassim,no necessrioqueacurvatenhaincionoprimeiroeterminenoltimoponto experimental.Afigura7mostraumexemplodedadosexperimentaiscuja dependnciacaracterizadaporumaparbola.Osquadrados()representamos dadosexperimentaisesuadispersodevidaaoserroscometidosdurantea experincia. A linha contnua representa a curva que melhor descreve a dependncia quadrtica da grandeza x com a grandeza y. 5.3Grficos e Equaes Lineares A seguir trataremos apenas de grandezas fsicas (x e y) relacionadas por uma dependncia linear, ou seja, por uma funo y=f(x), onde f(x) obedece a equao de umareta:y=ax+b,comaebconstantes,ondea ocoeficienteangulareb o coeficientelinear.Ocoeficienteangularcorrespondeinclinaodareta,ouseja, / a y x = , enquanto que o coeficiente linearb obtido pela interseo da reta com o eixo y, como indica a figura 8. Figura 8 Determinao dos coeficientes a e b da curva y. 42 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 42 Alguns exemplos tpicos so: 1. Movimento retilneo uniforme (MRU) Neste caso tm-se duas grandezas fsicas (posio x e tempot) relacionadas pela funo linear: 0 0x v t x = +, (5.1) onde 0v avelocidadedocorpo(constante)e 0x suaposioinicial.Portanto, lanando num grfico os pontos medidos det(no eixo x) ex(no eixo y), conforme a figura 9, teremos o coeficiente angular correspondente a 0ve o coeficiente linear a0x .

Figura 9 Exemplo de grfico do movimento retilneo uniforme. 43 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 43 2. Movimento retilneo uniformemente acelerado (MRUA) Neste tipo de movimento temos duas grandezas fsicas: tempote velocidade vde um corpo sujeito a uma acelerao constantea , descrito pela funo: 0v at v = + (5.2) Neste caso, a construo de uma reta com eixo x correspondendo ao tempote a velocidadevao eixo y, implicar que os coeficientes angular e linear fornecero osvaloresdaaceleraoa edavelocidadeinicial 0v domovimento, respectivamente. Aseguir,descreveremosdoismtodosquenospermitemdeterminarestes coeficientes a partir dos dados experimentais. 5.4Mtodos de Determinao dos Coeficientes a e b Conformejfoimencionado,sercomumemlaboratrionosdefrontarmos commedidasdegrandezascorrelacionadascomasquaisnotemosumarelao estabelecida.Nestescasosquasesempreaprimeiraatitudebuscaratravsde grficosumaleisimplesligandoumagrandezaoutra.Aquiapresentaremosdois mtodosparadeterminarestarelaonocasodeumadependncialinear,apartir de dados experimentais. a) Mtodo Grfico Estemtodopermiteestimarosparmetrosdeumaretae recomendadoquando nosedispedecalculadoraoucomputadorpararealizaodeclculos.Asnicas ferramentasnecessriasso:umlpis(oucaneta)eumargua(depreferncia transparente).Para ilustrar o mtodo, consideremos os dados representados na figura 10. 44 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 44 Figura 10 Pontos experimentais e reta mdia. Siga os passos abaixo. 1.Estimeocentrodegravidadedospontos) y , x ( ,onde min max( ) / 2 x x x = + e min max( ) / 2 y y y = + .Osndicesminemaxreferem-seaosvaloresmnimose mximos dexeymedidos. As retas, vertical e horizontal, que passam por este ponto divide o grfico em quatroquadrantes. No exemplo da figura 10, os dados esto metade no quadrante 1 e metade no quadrante 3. 2.Coloque a ponta do lpis no ponto) y , x (e apoie a rgua no lpis. 3.Girearguaemtornodoponto) y , x ( atque50%dospontosdecada quadranteestejamporcima,e50%abaixodargua.(Notequemaisde 1. Quadrante 2. Quadrante 3. Quadrante4. Quadrante 45 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 45uma reta satisfazem esta condio e voc deve escolher uma mdia.) Trace a reta mdia. A reta no necessariamente precisa passar por todos os pontos e nem pelos pontos iniciais e finais. A equao desta reta ser: y=mx+b. (5.3) Coeficiente Angular (m) e Linear (b) da Reta Mdia Para avaliar o coeficiente angular da reta mdia escolha dois pontos sobre a reta, como sugerido na figura 11 (pontos P e Q). Figura 11 Determinao do coeficiente angular da reta mdia. OspontosPeQnosopontosexperimentaisedevemserescolhidosem umaposioforadaregiodelimitadapelosdadosexperimentais.Ocoeficiente angular da reta ser dado por: Q PQ PX XY Ym= (5.4) Ocoeficientelinear(b),porsuavez,permanece,sendo,simplesmente,o ponto em que a reta toca o eixo y. 46 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 46 Incertezas dos coeficientes das retas mdias Paraestimaraincertezanocoeficienteangulardaretamdia,considereas duasdiagonaisdoquadrilteroABCDcomomostraafigura12.Paraobteros segmentos de reta AB e CD proceda da seguinte forma. Assinale em cada janela de incerteza,ovrticemaisdistantedaretamdia.Esseprocedimentovaigerarum conjuntodepontosacimaeabaixodaretamdia.Oconjuntodepontosqueficou acimapermitetraarumaretamdiaauxiliaredeterminarosegmentoABpela interseodestaretacomasverticaisquepassamporXieXf.OsegmentoCD obtido de forma anloga. Figura 12 Procedimento grfico para obteno dos coeficientes da reta mdia. Entopossvelcalcularb e m ,apartirdasduasdiagonaisdo quadriltero ABCD: 2) b b (be2) m m (mmin maxmin max = = (5.5) ondemmax=(YB -YD)/(Xf -Xi)emminx=(YC YA)/(Xf -Xi).bmaxebminsoas extrapolaes das duas diagonais at o eixo y. Xi Xf 47 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 47 b) Mtodo dos Mnimos Quadrados O ajuste de curvas pelo mtodo dos mnimos quadrados importante, pois ao contrrio do mtodo grfico, independente da avaliao do experimentador. Este mtodo consiste em minimizar o erro quadrtico mdio (S) das medidas. ConsidereentoumconjuntodeNmedidas( , )i ix y ,comi assumindovalores inteiros desde 1 at N. S definido como: 21 1( )N Ni ii iS S y y= == = ,(5.6) ondeyovalordacurvaajustada(y=ax+b).Oobjetivosomaros iS dasN medidas e traar uma reta que torne a soma dos iS mnima. Matematicamente isso correspondea0Sa=e0Sb=.razovelacreditarqueparaqueissoaconteaa retadesejadadevepassarentretodosospontosexperimentais.Destasduas expresses extramos os valores dos parmetrosaeb . O resultado : 1 1 12 21 1( )N N Ni i i ii i iN Ni ii iN x y x yaN x x= = == == e 21 1 1 12 21 1( )N N N Ni i i i ii i i iN Ni ii iN x y x y xbN x x= = = == == , Onde usou-se a notao de somatrio: 1 21...Ni Nix x x x== + + + . ExemplodeDeterminaodosCoeficientesAngulareLinearpor MMQ Considereumamedidademovimentoretilneouniformeefetuadoporumcarrinho nolaboratrio.Forammedidostantosuaposiox (emmetros)quantootempot (emsegundos)eosresultadosestoconformeatabelaabaixo.Construaogrfico que representa o movimento e determine a velocidade e a posio inicial do carrinho usando o mtodo dos mnimos quadrados e o mtodo grfico. 48 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 48 Parausarmosomtododosmnimosquadrados,sugere-seaconstruode umatabela,conformeindicadoabaixo,lembrandoquaquioeixoxcorrespondeao tempo t e o eixo y, posio x: x(s)y(m)xyx2 0,1000,510,0510,0100 0,2000,590,120,0400 0,3000,720,220,0900 0,4000,800,320,160 0,5000,920,460,250 x = 1,500 y = 3,54 xy=1,17 x2 = 0,550 Comessesresultados,bastasubstituirosvaloresnafrmulasparaa eb e lembrar que neste caso temos N=5 medidas: 2(5 1,17 1, 500 3, 54) /[5 0, 550 (1, 500) ] [2, 75 2, 250] 0, 54/ 0, 50 1, 08 / 1,1 / a x x x ms ms = = = = =2(0, 550 3, 54 1,17 1, 500) /[5 0, 550 (1, 500) ] (1, 95 1, 75) /[2, 75 2, 250] 0, 20/ 0, 50 0, 40 b x x x m = = = = Portanto, temos 0v =1,1m/s e 0x =0,40m. 49 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 49Paraconstruiracurva,bastaatribuirpelomenosdoisvaloresparat e encontraroscorrespondentesx .Verifica-sequex =0,30sey =0,71m.Comeste centro de gravidade determina-se conforme a figura anterior os valores 0v =1,0m/s e 0x =0,40m. Observe a concordncia dos dois mtodos. 5.5) Exerccios 1)Considere a tabela abaixo. Ela apresenta as posies sucessivas de um certo objeto, em movimento retilneo e uniforme. Tempo(s) 0,00010,14000,20000,32000,44000,52000,6400 Posio (mm)1879895919949964970 Marqueospontosempapelmilimetrada,tracearetamdiaeobtenhaa velocidade do objeto. A seguir desenhe as barras de incerteza e obtenhav v pelo mtodo grfico. Obs:Asbarrasdeerroouincertezaindicamafaixadevaloresprovveisparaa grandeza medida. 2)Estudando o movimento de um carrinho, efetuado ao longo de um trilho de ar (movimentoretilneouniforme)obteve-seosseguintesdadosexperimentais, aps: Posio (mm) 1t (s) 2t (s) 3t (s) 4t (s) 5t (s) 8790,14000,15000,14000,12000,1200 8950,20000,22000,24000,25000,2000 9190,32000,33000,29000,34000,3300 9490,44000,45000,46000,46000,4500 9640,52000,52000,51000,53000,5900 9700,64000,72000,70000,69000,6000 Acimaumaposioparaosensordemedidanotrilhofoiescolhidaeento mediu-seotempogastopelocarrinhoparaatingi-lo.Estamedidafoifeita5vezes, correspondendo aos valores 1t , 2t , 3t , 4te 5t . Em seguida repetiu-se o procedimento para outras 5 posies do sensor ao longo do trilho. 50 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 50Determineutilizandoomtododosmnimosquadradosavelocidadedo carrinho e sua posio inicial com os erros associados. 6Roteiros 6.1Experimento1-EstudodeCinemticaUtilizandoColcho de Ar Objetivos -Reconheceromovimentoretilneouniforme(MRU)eouniformementevariado (MRUV); -Obteravelocidademdiadeumcorpoemmovimentoretilneodetranslaoa partir do grfico de distncia percorrida (x) versus tempo gasto (t); -Obteraaceleraomdiadeumcorpoemmovimentoretilneodetranslaoa partir do grfico da variao davelocidade (v) com o tempo gasto (t); - Entender a diferena experimental entre medidas instantneas e mdias; - Fornecera equao relacionando distncia com tempo para um mvel em MRU e um em MRUV.

Materiais Necessrios -01colchodearcomarticuladordianteiroeesperatraseiraparapequenas inclinaes com elevao atravs de fuso milimtrico; - 01 carro com im e haste ativadora na cabeceira direita e mola com suporte M3 na cabeceira esquerda. - 4 massas acoplveis de 0,5 N - 01 computador para ser utilizado como cronmetro digital. - 02 sensores fotoeltricos. 51 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 51 Montagem e Procedimento Experimental Parte 1 Movimento com Velocidade Constante. 1.Com o colcho de ar sem inclinao, colocar o im na extremidade direita do carro e 04 pesos de 50 N sobre este, formando um X. 2.Coloqueaextremidadeesquerdadocarrosobreaposio250mmda escala(800mmnaescaladooutrolado).Oprimeirosensordeveser posicionadodeformaaqueasombradahastelateraldocarroesteja sobreoburacodomesmo,quandoocarroseencontrarnaposio descrita. No arraste o carro sobre o trilho com o colcho de ar desligado. 3.Coloqueaextremidadeesquerdadocarrosobreaposio300mmda escala.Utilizeasombradahastelateraldomesmoparaposicionaro segundosensor.Determineaincertezanamedidadaposioporeste mtodo. 4.Anoteadistnciacomosendo50mm+/-aincertezadeterminadano procedimento 4. 5.Ligue o colcho de ar e verifique se o fluxo de ar suficiente para eliminar o atrito entre o carrinho e o trilho, se no, regule com cuidado a bomba de ar. 6.Useomedidordenvelparaverificarseotrilhoestnivelado,seno, realize os ajustes necessrios. 7.Posicione o carro de forma a que o im em sua extremidade direita fique encostadoexatamentenocentrodabobinaposicionadanaextremidade direita do trilho. Quando solto nesta posio o carro no deve se mover. 8.Umdosintegrantesdogrupodeveposicionar-sejuntoaocomputadore colocar o cronmetro do experimento para funcionar. 9. Dispareocarrodaposioanteriorusandoobotodeacionamentoda bobina.Verifiqueseocarronoestpulandoaoserlanadopela bobina,seomovimentonoforhorizontaldesdeoiniciochameo professor. 10. Anoteotempoqueocarrolevouparapercorreradistnciaentreos sensores. 11. Aps o carro chegar ao outro lado do colcho, pare o movimento e retire o carro. 12. Repita os procedimentos 3 at 11, cinco vezes, anote os tempos obtidos, a diferenaentreelesserutilizadaparaadeterminaodoerronas medidas de tempo. 52 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO Departamento de Engenharia e Cincias Exatas Centro Universitrio Norte do Esprito Santo - Rua Humberto de Almeida Franklin, 257 Bairro Universitrio, CEP 29.933-480, So Mateus - ES (sede provisria) 5213. Movaosegundosensor50mmnaescala(para350mm).Repitaos procedimentos 8 a 13 para esta nova distncia, depois aumente a distncia mais50mm...repitaatqueaposiofinaldosegundocursorsejade 600 mm. 14. Crie uma tabela com o formato abaixo: Tabela1DistnciasPercoridas,TemposMdioseDesvio,movimento uniforme.

DistnciaTempo 1Tempo 2Tempo 3Tempo 4Tempo 5MdiaDesvio 50 mm +/- 100 mm +/- 150 mm +/- 200 mm +/- 250 mm +/- 300 mm +/- 350 mm +/- 400 mm +/- 450 mm +/- 500 mm +/- 550 mm +/- 600 mm +/- 15. Faa um grfico de distncia percorrida X tempo para este sistema. Parte 2 Movimento Uniformemente Acelerado. 1.Substituaoimnocarroporumpedaodemetal,deformaaquea bobina passe a atrair ao invs de repelir o carro. 2.Incline a rampa 10 +/- 0,5 graus. 3.Comocolchodearinclinado,colocaroimnaextremidadedireitado carro e 04 pesos de 50 N sobre este, formando um X. 4.Coloqueaextremidadeesquerdadocarrosobreaposio250mmda escala(800mmnaescaladooutrolado).Oprimeirosensordeveser posicionadodeformaaqueasombradahastelateraldocarroesteja sobreoburacodomesmo,quandoocarroseenco