FíSICA DE PARTíCULAS A ALTAS ENERGIAS

Uma análise introdutória

Eduardo André Flach Basso ebasso@if.ufrgs.br

Tópicos

1- Motivação geral

2- Visão geral sobre espalhamento

3- Forma geométrica do núcleo

4- Espalhamento elástico de nucleons

5- Conclusões e panorama para o futuro

Introdução/motivação

Familiarização com os aspectos introdutórios da física de partículas elementares.

Conhecer a dinâmica das interações mediadas pela força forte.

Visão geral sobre espalhamento

Processos de espalhamento Para se entender como se dão as interações a nível nuclear

e subnuclear é preciso saber: como extrair informação a respeito dos constituintes fundamentais da matéria? A resposta é, analisando processos de espalhamento.

Em um experimento típico, o objeto a ser estudado (o alvo), é bombardeado com um feixe de partículas com energia bem definida. Podemos representar o processo da seguinte forma:

a + b c + d

Espalhamento elástico

a + b a’ + b’

Partículas permanecem em seu estado fundamental.

Absorvem somente momento de recuo, mudando sua energia cinética.

Espalhamento inelástico

a + b a’ + b*

↳ c + d

presença do estado excitado b*, que logo retorna ao estado fundamental.

a) espalhamento elástico;

b) Espalhamento inelástico – produção de um estado excitado que decai em duas partículas;

c) Produção inelástica de novas partículas;

d) Reação de feixes em colisão.

Cross-sections probabilidade de reação entre

duas partículas em colisão. A “seção de choque de reação

geométrica” é dada por:

bab N

N

onde

toespalhamen de centros de Nº :N

incidente partículas de Fluxo :

reação de Taxa :

b

.

a

N

Esta descrição pode ser uma boa aproximação em muitos casos, mas geralmente a probabilidade de reação entre duas partículas é diferente.

Na pratica, uma grande dependência com a energia é observada.

A forma, força e alcance do potencial da interação é que, a priori, determina a área efetiva da seção de choque.

A interação pode ser determinada da taxa de reação se o fluxo do feixe de partículas e a densidade de área dos centros de espalhamentos são bem conhecidos.

Assim a seção de choque total é definida analogamente àquela geométrica:

área) de to/unidadeespalhamen de (centros tempo)de /unidadefeixe-s(particula

tempode unidadepor reações de º

ntot

Unidades Seções de choque têm dimensão de área. Uma unidade freqüentemente usada é o barn definido por:

1 barn = 1b = 10-28 m2

Seções de choque diferenciais Somente uma parte das reações é medida.

Uma taxa destas reações é proporcional a seção de choque diferencial d(E,)/d.

Pode-se determinar a seção de choque duas vezes diferenciável d2(E,E’,)/ddE’, se o detector puder medir a energia E’ das partículas espalhadas.

''

),',()(

'max

0 4

2

dEddEd

EEdE

E

tot

Forma geométrica do núcleo

Espalhamento por elétrons para investigar pequenos objetos.

Dificuldades:

os projéteis são objetos extensos, o que reflete também na seção de choque.

As forças nucleares entre o projétil e o alvo são complexas e ainda não são bem entendidas.

Cinemática do espalhamento com elétronsGeralmente, usa-se partículas altamente relativísticas, o que

implica no uso de quadri-vetores nos cálculos cinemáticos:

Onde os termos em negrito indicam os tri-vetores.

O produto escalar invariante de Lorentz de dois vetores é defido como

Aplicando esta ao quadri-momento ao quadrado,

ba 0033221100 babababababa

p

x

,/,,,

,,,,

3210

3210

cEppppp

ctxxxxx

22

22 p

c

Ep

Este último é igual ao quadrado da massa de repouso m multiplicado por c2.

A quantidade

é chamada de massa invariante. Das duas últimas obtem-se a relação energia-momentum relativística:

No sistema do laboratório, a energia do elétron espalhado é:

cpm /2

42222 cmcE p

cos11 2'

McE

EE

A seção de choque de Rutherford

Em termos de b, a seção de choque diferencial é igual a área de um anel de raio b e espessura db: ;Como pode ser visto nas figuras acima , um específico parâmetro de impacto resulta em um especifico ângulo de espalhamento.

bdbd 2

Quando o parâmetro de impacto está entre b e b + db, o ângulo de espalhamento estará entre e - d. Assim escreve-se e seção diferencial de choque como: 

Deve-se examinar como b depende de cos para chegar em uma expressão para a distribuição angular da partícula espalhada . Pode-se derivar uma eq. Para b achando duas expressões independentes para a variação de momentum p da partícula espalhada que envolvam b e .Tomando:

cos2

coscos d

dbb

d

db

db

d

d

d

toespalhamen do depois de momentum p

toespalhamen do antes de momentum

2

1

p

cos2 2121

22

221

2 ppppppp

então

Somente a direção do momentum muda e não sua magnitude, já que a massa do núcleo é muito maior que a massa da partícula .

Temos então a primeira das expressões para p:

A transferência de momentum se dá ao longo de uma linha que bissecsiona o ângulo ( - ), como mostra a figura abaixo.

1 cos12cos12 vmpp

Com isso escreve-se:

 Assim,

 

cos12

cos22cos222

222222

pp

pppppp

21 vmpp

partícula da e velocidad

partícula da massam

v

Ao resolver esta última, deve-se ter em mente que ambos ( e r ) dependem do tempo. A integral se torna mais simples se usarmos o conceito de conservação de momentum angular. Em qualquer ponto ao longo da trajetória da partícula , a componente da velocidade perpendicular (VT) a direção da força é 

dt

drVT

A magnitude da força (F) sobre a partícula é:onde  A componente da força na direção da transferência do momentum p é Fcos. Desta forma p pode ser escrita como a integral temporal da força: 

221

r

qkqF

núcleo do cargaq

de carga 2

2

1

Ze

eq

2

1

2

1221

coscos

t

t

t

t rdtqkqdtFp

Agora, devemos converter o ângulo 0 de volta no ângulo

de espalhamento. Os dois ângulos estão relacionados por 

22 2 00

O momentum angular (L) da partícula em relação ao núcleo é:

com .dt

drmr

dt

drmrVmrVmL TT

2

rVT

Quando a partícula está a uma longa distância do núcleo, antes do espalhamento, tem-se por definição do parâmetro de impacto,

vbmL Pela conservação do momentum angular temos,

dt

drmvbm

2

Então, escreve-se p como

021

002121 sen

2]sen[sencos

0

0

vb

qkq

vb

qkqd

vb

qkqp

vb

d

2r

dt

Equacionando (1) e (2) temos, Resolvendo para o parâmetro de impacto, 

Para calcular a seção de choque faz-se a mudança de variável: Assim,

Diferenciando b2 temos: 

cos12

cos12 21 vb

qkqvmp

cos1

cos1b

cos1

cos12

2212

221

vm

qkq

vm

qkqb

cos

2

2

221

2

2

221

12

1

112

d

vm

qkqd

vm

qkqbdb

1

1b

2

2212

vm

qkq

Assim

Usando a identidade trigonométrica:

temos,

2cos

2

22sen

2 2121 vb

qkq

vb

qkqp

2

cos1

2cos

2 cos12 21

vb

qkqp

Supondo a carga elétrica do projétil como q1=ze e sendo a carga

elétrica do núcleo Ze, tem-se:

Em termos da constante de acoplamento eletromagnética ( ) tem-se: 

2

2

21

cos1

1

2cos

kE

qkq

d

d

222

cos1

1

2cos

kE

zZke

d

d

cke 2

2

2

222

cos1

1

2cos

kE

cZz

d

d

bdbd 2Como temos:

voltando à variável cos:

Podemos escrever esta em termos da energia cinética da partícula incidente ( ), obtendo: 

2

2

221

cos1

12

cos

vm

qkq

d

d

2/2vmEk

2

2

211

1

12

vm

qkq

d

d

Notas:

1. Seção de choque proporcional à α2 ; e inversamente proporcional a Ek.

2. Existe uma singularidade na seção de choque para = 0, onde esta é infinita.

Sem a integração no ângulosólido teríamos:

2sen44 422

0

22

E

Ze

d

d

ruth

Esta é a fórmula de Rutherford para a seção de choque diferencial.

A seção de choque de Mott Considera-se o spin da partícula

do feixe. Esta só é valida para |q| 0 ; à grandes valores de |q|, reduzido do fóton virtual diminui e a resolução aumenta.

O elétron espalhado não sente mais toda a carga do núcleo, mas somente parte dela.

O asterisco indica que o recuofoi negligenciado.

2sen1 22

*

RuthMott d

d

d

dc

v

2

cosqc

4

2cos 2

4

'2222

* 2

EcZ

d

d

d

d

RuthMott

gráfico para as seções de choque de Rutherford e Mott; e o gráfico para a taxa de espalhamento, que é proporcional a esta última. Neste último vê-sea inconsistência de um núcleo pontual. Ambos representam espalhamento deElétrons com energia de 125 MeV por núcleos de ouro.

Fatores de forma nucleares: F(q2)Descrevem a extensão espacial dos núcleos.Experimentalmente temos:

Teoricamente, sob certas condições temos:

drrrq

rqrfqF 22 sen

4

22

*

exp

qFd

d

d

d

Mott

Exemplos de fatores de forma com suas respectivas distribuiçõesde carga

 

Gráfico dos fatores de forma para algumas distribuições de carga.

Distribuição de carga nuclearNúcleos não são esferas com uma superfície bem definida.A distribuição radial de carga na superfície pode ser bem aproximada pela função de Fermi com dois parâmetros:

acre

r

1

0

A constante c é o raio onde cai pela metade.Empiricamente, para núcleos pesados, c e a são dados por:

r

31A [fm] 07.1c [fm] 54.0a

Gráfico da densidade de carga nuclear para o carbono. A densidade de cargano centro foi normalizada à um.

Espalhamento elástico por nucleons

Fatores de forma dos nucleons

Devemos aqui, fazer algumas considerações a respeito dos nucleons (alvos):

Recuo:

Momento magnético:

Momento magnético anômalo:

2tan21. 2

1/2spin point

Mottd

d

d

d22

2

4 cM

Q

NNp

p

g 79.2

2NNn

n

g 91.12

E

E

d

d

d

d

MottMott

'*

.

Onde o magnéton nuclear é:

A seção de choque para o espalhamento de um elétron por um nucleon é dada pela fórmula de Rosenbluth:

pN M

e

2

2tan)(2

1

)()( 2222222

QGQGQG

d

d

d

dM

ME

Mott

Onde e são os fatores de forma elétrico e magnético,ambos dependentes de .

)( 22 QGE )( 22 QGM

2Q

O fator de forma elétrico do próton e os fatores de forma magnético de ambos, prótons e neutrons decaem similarmentecom Q2. Eles podem ser aproximados pelo chamado dipole fit:

onde

222

2

91.179.2QG

QGQGQG dipole

nM

pMp

E

2

2

22

/71.01

cGeV

QQG dipole

Este modelo corresponde a uma distribuição de carga quecai exponencialmente:

com arer 0 -1fm 71.4a

Raio de carga de Pions e Kaons Como pions e kaons são partículas com spin zero, eles têm

apenas um fator de forma elétrico. Ambos podem ser descritos pelo chamado fator de forma de monopolo:

Os raios médios quadrados, que saem da declividade das curvas próximas a origem, são dados por:

12222 )1()( aQQGE2

2 6r

a

22 fm 02.044.0

r 22 fm 05.034.0

r

Fatores de forma para píon e kaon como função de Q2. As linhas sólidas correspondem ao fator de forma de monopolo.

Analisando estes gráficos vê-se que ambos, o píon e o kaon, têm diferentes distribuições de carga e são bem menosespalhadas no espaço do que a distribuição de carga para opróton. Isto pode ser entendido como o resultado das diferentes estrutras internas de seus constituintes:enquanto o próton é formado por três quarks, o pion e o kaon são formados por umquark e um antiquark.

O kaon tem menor raio de carga que o pion. Assim, conclui-seque estes possuem constituintes diferentes.

Para o futuro...

Entender mais a fundo o DIS, o modelo de partons e suas implicações na funções de estrutura.

Aplicação dos conhecimentos ao processo de espalhamento próton-próton, para entender o processo mais geral Pb-Pb produzindo píons.