física aula 06 – mecânica prof.: célio normando. assunto: vetores ii - cálculo do módulo da...
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Física Aula 06 – Mecânica
Prof.: Célio Normando
Assunto: Vetores II
- Cálculo do módulo da resultante para dois vetores- Cálculo do módulo da resultante para n vetores- Produto de vetores
Cálculo do módulo da resultante para dois vetores
AF1
F2
Sejam dois vetores e que formam um ângulo entre si, dispostos como mostra a figura seguinte:
F1
R
F2
A expressão é verdadeira ou falsa?
R = F1 + F2
VERDADEIRA.
E agora esta certo? R = F1 + F2
Não, pois o módulo da soma (R) não é igual a soma dos módulos dos vetores (F1 + F2).
F1
F2
R
Cálculo do módulo da resultante para dois vetores
A R
F2
Prolongando-se a direção de e tirando-se uma perpendicular de até esta direção, obtêm-se os triângulos OAC e ABC.
o B
A
C
No OAC OA2 = OC
2 + AC
2
R2 = F2. sen2 + F2 + 2F1F2 . cos + F2.cos2 1 2 1
R2 = (F1. sen ) 2 + (F2 + F1 . cos )2
R2 = F2 (sen2 +cos2) + F2 + 2F1 . F2 cos 1 2
No ABCAC = F1 sen
BC = F1 cos
R = F2 + F2 + 2F1F2 .cos 1 2
R2 = F2 + F2 + 2F1 F2 .cos 1 2
Casos particulares1º Caso: e na mesma direção e no mesmo sentido.
AF1
F2
F1
F2
Processo Analítico
= 0 cos = 1
R = F2 + F2 + 2F1F2 R= (F1 + F2) 2 1 2
R = F1 + F2
F1
F2
R
Processo Geométrico
Substituindo o valor do cos na equaçãotem-se:
R = F2 + F2 + 2F1F2 .cos 1 2
Casos particulares
2º Caso: e ortogonais
AF1
F2
F2
R
F1
Processo Geométrico Processo Analítico
= 90º cos = 0Substituindo o valor do cos na equação geral:
R = F2 + F2
1 2
F1
F2
Casos particulares
3º Caso: e na mesma direção mas no sentido contrário.
AF1
F2
Processo Geométrico
F1 F2
R
Processo Analítico
R = | F1 - F2 |
R = F2 + F2 - 2F1F2 R= (F1 - F2) 2 1 2
Substituindo o valor do cos na equaçãotem-se:
R = F2 + F2 + 2F1F2 .cos 1 2
ou R = F2 – F1
= 180º cos = -1
Cálculo do módulo da resultante para n vetores
O processo anterior torna-se bastante complexo quando se têm mais de dois vetores. Para a solução de um sistema de n vetores o processo mais adequado é o PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO EM COMPONENTES ORTOGONAIS. Para fins didáticos o sistema é constituído de apenas quatro vetores como mostra a figura seguinte.
Y
X
2F
F2
F3
F4
F1
Y
X
2F
F1y
F1x
Cálculo do módulo da resultante para n vetores
1o)Decompor todos os vetores segundo os eixos ortogonais XY.
O processo da decomposição em componentes ortogonais consiste em:
F1X = F1.cos
F1Y = F1.sen
F2X = F2.cos
F2Y = F2 . sen
F3X = F3.cos
F3Y = F3.sen
F4X = F4.cos
F4Y = F4.sen
F1
F2x
F2y
F2
F3x
F3y
F3
F4
F4x
F4y
3º) De posse dos FX e FY pode se calcular o módulo da resultante para o caso de dois vetores ortogonais pela expressão:
Cálculo do módulo da resultante para n vetores
R = (Fx)2 + ( Fy)
2
2º) Encontrar a resultante dos vetores nos eixos X e Y
Fx=F1 . cos + F4 .cos - F2 . cos - F3 . cos Fy=F1 . sen + F 2 . sen - F3 . sen - F4 . sen
Y
X
F1y
F1x
F2x
F2y
F3x
F3y
F4x
F4y
Produto de vetores
O produto de vetores difere do produto de escalares, pois existem dois casos:
O produto de dois vetores obtendo-se como resultado um escalar.
O produto de dois vetores obtendo-se como resultado um vetor.
Produto escalar de dois vetores
Imagine dois vetores e que formam entre si um ângulo (). O produto escalar do vetor pelo vetor , cuja notação é (que se lê A escalar B), é definido:
A
AB
A
AB
AB
A .
A
B
2F
=A .
B
A .
B . cos
é uma grandeza escalar.A .
B
W = W = F . d . cos
F .
d
A grandeza trabalho (W) é obtida do produto escalar da força pelo deslocamento. Por essa razão o trabalho é escalar.
Produto vetorial de dois vetores
Dados os vetores e coplanares que formam entre si um ângulo , o produto vetorial de por , cuja notação é x (que se lê A vetor B), é um vetor cujas características são:
A
AB
A
AB
C A
B
Módulo
2F
= A .
B . sen
C
Direção
SentidoSerá determinado pela regra da mão esquerda.
A
ABPerpendicular ao plano formado
pelos vetores e
AB
C
A grandeza Momento estático é vetorial pois obtida do produto vetorial de dois vetores.
M = M = F . d . sen
F x
d
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