fisica

Problemas Resolvidos de Fsica

Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FSICA 2 CAPTULO 17 ONDAS I

06. Escreva a equao para uma onda se propagando no sentido negativo do eixo x e que tenha uma amplitude de 0,010 m, uma freqncia de 550 Hz e uma velocidade de 330 m/s. (Pg. 131) Soluo. A equao geral de uma onda progressiva que se propaga no sentido x :

y x,t

ym sen kx

t

Para compor a equao, preciso apenas determinar o valor da amplitude da onda (ym), do nmero de onda angular (k) e da freqncia angular ( ). A amplitude foi dada no enunciado. A freqncia angular pode ser calculada a partir da freqncia (f):2 f 2 550 Hz 3.455, 7519rad/s

rad/s 3.460 rad/s

O nmero de onda angular est relacionado com a velocidade de propagao da onda:k 3.455, 7519 v 330 m/s 10, 4719 rad/m 10,5 rad/m

Logo:y x ,t 0,010 m sen 10,5 rad/m x 3.460 rad/s t

11. A equao de uma onda transversal se propagando numa corda dada por y x ,t 2, 0 mm sen 20 m 1 x 600 s 1 t (a) Ache a amplitude, freqncia, velocidade e o comprimento de onda. (b) Ache a velocidade escalar mxima de uma partcula da corda. (Pg. 131) Soluo. (a) Comparando-se a funo de onda fornecida pelo enunciado com a funo de onda geral de uma onda transversal progressiva:

y x,tym

ym sen kx2, 0 mm600 rad/s 2 2 95,5 Hz

t

Podemos identificar imediatamente a amplitude ym: A freqncia f vale:f 95, 4929 Hz

f

A velocidade de propagao da onda v vale:________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Ondas I

1



v

600 rad/s k 20 rad/m

v 30 m/sO comprimento de onda vale:1

v f

30 m/s 95,4929 s

0,3141

m

0,31 m(b) A velocidade de uma partcula da corda u, localizada na coordenada x dada por:

u x ,t

y x ,t t

ym sen kx t

t

u x,tumaxumax

ym cos kxym2,0 mm 600 s

t1.

A velocidade u ser mxima (umax) quando a funo cosseno for1

umax

1, 2 m/s

15. Prove que, se uma onda transversal est se propagando ao longo de uma corda, ento a inclinao de qualquer ponto da corda numericamente igual razo entre a velocidade escalar da partcula e a velocidade escalar da onda naquele ponto. (Pg. 131) Soluo. Considere a seguinte onda transversal progressiva:

y x,t

ym sen kx

tx 4 /k, est representado na figura abaixo:

O grfico da funo acima, no instante t e intervalo 0 y

ym v

x1

x

ymA inclinao da corda (declividade da funo) em x = x1 dada por de y(x,t) em relao a x, no ponto x = x1.y x

, que a derivada parcialx1

________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Ondas I

2



y x

kym cos kxx1

t

(1)

A razo entre a velocidade escalar transversal, u, e a velocidade escalar da onda, v, no ponto x = x1 vale:

u x1 vComo:v k

y t v

x1

ym cos kx v

t

Temos:kym cos kx t v Comparando-se (1) e (2): u x1 y , x x1 v u x1

(2)

que o que queramos provar. 16. Uma onda de freqncia 500 Hz tem uma velocidade de 350 m/s. (a) Quo afastados esto dois pontos que tm uma diferena de fase de /3 rad? (b) Qual a diferena de fase entre dois deslocamentos, num determinado ponto, em tempos separados de 1,00 ms? (Pg. 131) Soluo. Seja y(x,t) uma onda transversal que progride no sentido positivo de x:

y x,t

ym sen kx

t

Sendo conhecidas a freqncia f e a velocidade de propagao v, podemos determinar k e , que sero usados adiante. 2 f2 f v v (a) Deseja-se determinar a distncia, sobre o eixo x, que corresponda a uma diferena de fase /3. Considere o seguinte esquema: k

(1) =


3



y

(2 )

x x ( /3)

H pelo menos duas maneiras de calcular x. A primeira por comparao: x 2 /3x 62 k

Como:2 v 2 f f v Na equao acima, k foi substitudo por (1):x v 6f 350 m/s 6 500 Hz 0,1166 m

x 0,117 mA segunda forma de calcular x considerando-se a existncia de duas ondas, y1 e y2, defasadas de /3:

y1 x,ty2 x,t

ym sen kxym sen kx

tt

3 As funes y1 e y2 esto representadas no grfico abaixo: y y1 y2

x1 x

x2

x

Como os pontos x1 e x2 correspondem a y1 = 0 e y2 = 0, respectivamente, temos: y1 y2 0________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Ondas I

4



ym sen kx1kx1 k x2x2 x1

tt

ym sen kx2

t

3

t x1

kx2

3

3x 3k

Utilizando-se (1):x2 x1 x 3 2 f v

x

v 6f

(b) Vamos utilizar o primeiro mtodo usado no item (a) para o clculo de T t 21 f 2 t2 f t 2 500 s1

.

1,00 10 3 s

rad

3,14 rad20. A tenso num fio preso em ambos os extremos duplicada sem que haja qualquer mudana considervel em seu comprimento. Qual a razo entre as velocidades das ondas transversais nesse fio, antes e depois do aumento de tenso? (Pg. 131) Soluo. Vamos utilizar o ndice 1 para a situao inicial e 2 para a final. As velocidades v1 e v2 valem:v11

v2

2

1

Nas equaes acima, a tenso e1

a densidade linear de massa das cordas. A razo pedida :

v1 v2v1 v2

21 2

1


5



25. Uma corda esticada tem uma massa por unidade de comprimento de 5,0 g/cm e uma tenso de 10 N. Uma onda senoidal nessa corda tem uma amplitude de 0,12 mm e uma freqncia de 100 Hz e se propaga no sentido de x decrescente. Escreva uma equao para essa onda. (Pg. 132) Soluo. A equao geral para uma onda transversal que se propaga no sentido de x decrescente :

y x,t

ym sen kx

t

A amplitude ym foi dada no enunciado. Vamos calcular o nmero de onda angular k.

k

2

2 v f

2 f v

2 f

2 f

2

100 Hz

0,50 kg/m 10 N

140, 4962

rad/m

k 140 rad/m A freqncia angular vale:2 f 2 100 Hz 628,3185 rad/s

630 rad/sLogo:y x ,t 0,12 mm sen 140 rad/m x 630 rad/s t

27. Uma onda senoidal transversal senoidal est se propagando ao longo de uma corda no sentido de x decrescente. A Fig. 17-24 mostra um grfico do deslocamento como funo da posio, no instante t = 0. A tenso na corda 3,6 N e sua densidade linear 25 g/m. Calcule (a) a amplitude, (b) o comprimento de onda, (c) a velocidade da onda e, (d) o perodo da onda. (e) Ache a velocidade mxima de uma partcula da corda. (f) Escreva uma equao descrevendo a onda progressiva.

(Pg. 132) Soluo.


6



y (cm)

ym

x (cm)

A anlise do grfico mostra que: (a) Amplitude:ym 5, 0 cm

(b) Comprimento de onda: 40 cm (c) Velocidade de propagao:

vv 12 m/s (d) Perodo:T

3,6 N 2,5 10 2 kg

0, 40 m v 12 m/s

0, 0333

s

T 33 ms (e) A velocidade mxima umax de um elemento de corda dada por (ver Probl. 11 - Item (b)) umax ym

umaxumax

2 ym T9, 4 m/s

2 0,050 m 0,0333 s

9, 4247

m/s

(f) Para compor a funo de onda, precisamos determinar a freqncia angular , 2 2 188, 4955 rad/s T 0,0333 s

190 rad/s o nmero de onda angular k, 2 2 k 15,7079 0, 40 m

rad/m

k 16 rad/m e a constante de fase . No instante t = 0, o deslocamento vertical da onda y(5,0) = 4,0 cm. Ou seja: y(5,0) 0, 040 m________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Ondas I

7



y(5,0)

ym sen kx

0,040 m

0,050 m sen 15,7079

rad/m 0,050 m

sen 15,7079

rad/m 0,050 m

0,80

H dois ngulos entre 0 e 2 rad cujo seno igual a 0,80: 1 = 0,9272... rad e 2 = 2,2142... rad. A anlise da velocidade vertical do elemento de onda em x = 0 capaz de indicar o valor correto. A velocidade vertical do elemento de onda em x no instante t, u(x,t), vale:

ym cos kx t t t Para 1 = 0,9272... rad, no instante t =0, a velocidade vertical do elemento de onda em x = 0, u(0,0) vale:u1 0,0 190 rad/s 0,050 m cos 0 0 0,9272 rad 5,7 m/s

u x ,t

y x ,t

ym sen kx

t

Para

2

= 2,2142... rad:u2 0,0 190 rad/s 0,050 m cos 0 0 2, 2142 rad 5,7 m/s

Segundo o enunciado, a onda movimenta-se no sentido x, ou seja, para a esquerda. Isto implica em que, no instante t = 0 (que o instante retratado na Fig. 17-24), o elemento de corda que cruza o eixo y esteja se movendo no sentido +y, ou seja, para cima (u 0). Portanto, a constante de fase correta = 1 = 0,9272... rad. Finalmente:y( x,t ) 0,050 m sen 16 rad/m x 190 rad/s t 0,93 rad

30. Um fio de 10,0 m de comprimento e de massa 100 g tracionado por uma tenso de 250 N. Se dois pulsos, separados no tempo de 30,0 ms, so gerados, um em cada extremidade do fio, onde eles se encontraro pela primeira vez? (Pg. 132) Soluo. Considere o seguinte esquema da situao: vt01 = 0 v t02 = t 0 v d v L x v

t1 = t2 O pulso 1 foi gerado no instante t01 = 0, enquanto que o pulso 2 em t02 = t =30,0 ms. A velocidade escalar dos pulsos a mesma e dada por:v L m8




onde a tenso no fio, a densidade linear de massa do fio, m a sua massa e L o seu comprimento. Vamos analisar o movimento, com velocidade constante, do pulso 1:x1 x01 vx1 t1 t01

d t1

0 d

L t1 0 m(1)

m L Agora vamos analisar o movimento do pulso 2:x2 x02 vx 2 t2 t02

d

L

L mt

t2L m

tm L

t2

L d

(2)

Como os pulsos devero encontrar-se no ponto d no mesmo instante de tempo, conclui-se que t1 = t2. Igualando-se (1) e (2):

d

m L

L d

t

L m

m L

d

1 L 2

t

L m

1 10,0 m 2

30,0 10 3 s

250 N 10,0 m 0,100 kg

7,3717

m

d

7,37 m

33. A potncia P1 transmitida por uma onda de freqncia f1 numa corda sob tenso 1. Qual a potncia transmitida P2 em termos de P1 (a) se a tenso da corda for aumentada para 2 = 4 1 e (b) se, ao invs, a freqncia for diminuda para f2 = f1/2? (Pg. 132) Soluo. A situao 1 caracterizada pelos seguintes parmetros: P1, f1 e (a) P2 = ? para 2 = 4 1 A potncia transmitida na situao 1 dada por: 1 2 P v1 12 ym1 1 2 Onde:v111

1.

2 f11 2

Logo:P 11

4

2

2 f12 ym1

(1)9




Na situao 2, teremos:P2 1 2 41

4

2

2 f12 ym1

(2)

Dividindo-se (2) por (1):P2 P 1 41 1

P2

2P 1

(b) P2 = ? para f2 = f1/2 Agora, na situao 2, teremos:P2 1 21

4

2

f12 2 ym1 4

(3)

Dividindo-se (3) por (1):P2 P 1P2

f12 4 f12P 1 4

35. Uma onda senoidal transversal gerada numa extremidade de uma longa corda horizontal, por uma barra que se move para cima e para baixo entre extremos que distam 1,00 cm. O movimento contnuo e repetido regularmente 120 vezes por segundo. A corda tem uma densidade linear de 120 g/m e mantida sob uma tenso de 90,0 N. Ache (a) o valor mximo da velocidade transversal u e (b) o valor mximo da componente transversal da tenso. (c) Mostre que os dois valores mximos, calculados acima, ocorrem para os mesmos valores de fase da onda. Qual o deslocamento transversal y da corda nessas fases? (d) Qual a mxima potncia transferida ao longo da corda? (e) Qual o deslocamento transversal y quando esta transferncia mxima de potncia acontece? (f) Qual a transferncia mnima de potncia ao longo da corda? (g) Qual o deslocamento transversal y quando esta transferncia mnima de potncia ocorre? (Pg. 132) Soluo. (a) A velocidade mxima umax de um elemento de corda dada por (ver Probl. 11 - Item (b))umax ym 2 fym 2 120 s1

5,00 10 3 m

3,7699

m/s

umax

3, 77 m/sy( x ,t )

(b) A componente transversal da tenso ( y) dada, para pequenas amplitudes, por:y

x

Note que se y / x 0 (corda na horizontal, tal como na parte superior de um pulso), teremos 0 . Logo, para uma funo de onda transversal progressiva do tipo: y

y x,t

ym sen kx

t

A componente transversal da tenso ser:________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Ondas I

10

Problemas Resolvidos de Fsicay


.kym cos kxy

t

O valor mximo dey ,max

(

y,max)

ocorrer quando cos kx

t

1.

.kym2 fym12, 4 N

.

v

ym2

.

2 fym1

y ,maxy ,max

120 s

5,00 10 3 m

0,120 kg/m 90,0 N

12,3891

N

(c) Como foi demonstrado nos itens (a) e (b), umax e deslocamento transversal (y) zero quando cos (kx (d) A potncia mxima dada por:

y,max

ocorrem quando cos (kx t) = t) = 1, pois sen (kx t) = 0.

1. O

PmaxPmaxPmax

dK 2 max dt442 2 f 2 ym

1 2 dmumax 2 2 dt

2 dxumax dt

v 2 fym

2

4

2

2 vf 2 ym

4

2

2 f 2 ym

2

120 s

1

2

5, 00 10

3

m

2

0,120 kg/m 90, 0 N

46, 7061

W

Pmax

46,7 W

(e) A potncia mxima Pmax ocorre quando a velocidade transversal e a deformao da corda forem mximos (energias cintica e potencial mximas). Isso ocorre no mesmo deslocamento transversal em que umax ocorre (cos (kx t) = 1), ou seja, em y = 0. (f) A transferncia mnima de potncia ocorre quando a velocidade transversal e a deformao da corda forem mnimas. Como em y = ym a velocidade transversal zero, a energia cintica tambm zero. Em y = ym a energia potencial tambm zero. Logo, a potncia mnima tambm zero. (g) A potncia P mnima quando y = ym = 0,500 cm. 38. Uma fonte S e um detector de ondas de rdio D esto localizados ao nvel do solo a uma distncia d (Fig. 17-26). Ondas de rdio de comprimento chegam a D, pelo caminho direto ou por reflexo, numa certa camada da atmosfera. Quando a camada est numa altura H, as duas ondas chegam em D exatamente em fase. medida que a camada sobe, a diferena de fase entre as duas ondas muda, gradualmente, at estarem exatamente fora de fase para uma altura de camada H + h. Expresse em termos de d, H, e h.

(Pg. 133) Soluo. Considere o esquema abaixo:________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Ondas I

11



B h A

H d/2 S d/2 D

d Se as ondas que chegam ao detector (D) pelos caminhos SD e SAD esto em fase, a diferena entre as distncias percorridas deve ser igual a n , onde n um nmero inteiro:

d SAD d SD

n1/ 2 2

d2 2 4d2

H4H 2

d1/ 2

nn

d

(1)

A perda de sinal observada em D quando a onda percorre o caminho SBD devida interferncia destrutiva que ocorre quando esta encontra a onda que percorreu o caminho SD. Isto significa que o caminho SBD maior do que SAD em apenas /2. Ou seja:2 Substituindo-se o valor de n de (1) em (2): d2 4 H h2 1/ 2

d SBD d SD

n

(2)

d2 1/ 2

d 2 4H 2

1/ 2

d1/ 2

2

2 d2

4 H

h

2 d2

4H 2

41. Determine a amplitude de uma onda resultante da combinao de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma freqncia, tm amplitudes de 3,0 cm e 4,0 cm e diferena de fase de /2 rad. (Pg. 133) Soluo. Sejam y1 e y2 as equaes das ondas transversais que se propagam no sentido de x crescente:

y1 x,t

ym1 sen kx

t

2

ym1 cos kx

t

y2 x,t y x,t

ym2 sen kx y1 x,t y2 x,t

t ym1 cos kx t ym2 sen kx t(1)

A combinao (sobreposio) das duas ondas resulta em:

A determinao da amplitude ym da funo y(x,t) pode ser feita por meio da localizao dos seus pontos de mximo, y = ym, ou mnimo, y = ym.


12



kym1 sen kx t kym 2 cos kx x ym1 sen kx t ym 2 cos kx t tan kxkx t

y x,t

t

0

ttan1

ym 2 ym1ym 2 ym1

(2)

Isto significa que sempre que kx t assumir o valor tan 1(ym2/ym1), o valor de y(x,t) ser um ponto de mximo ou mnimo. Substituindo-se (2) em (1):y x ,t ym ym1 cos tan1

1

ym 2 ym14, 0 cm 3, 0 cm

ym 2 sen tan

1

ym 2 ym11

ym

3, 0 cm cos tan

4, 0 cm sen tan

4, 0 cm 3, 0 cm

ym

5, 0 cm

46. Uma corda de violo, de nilon, tem uma densidade linear de 7,2 g/m e est sob uma tenso igual a 150 N. Os suportes fixos esto distanciados 90 cm. A corda est oscilando de acordo com o padro de onda estacionria mostrado na Fig. 17-27. Calcule (a) a velocidade escalar, (b) o comprimento de onda e (c) a freqncia das ondas cuja superposio origina essa onda estacionria.

(Pg. 133) Soluo. (a) A velocidade escalar da onda vale:

v

150 N 7, 2 10 3 kg/m

144,3375

m/s

v 140 m/s (b) A Fig. 17-27 mostra que a vibrao ocorre no terceiro harmnico (n = 3), logo o comprimento de onda vale: 2 L 2 0,90 m n 3 0,60 m(c) A freqncia vale:f v 144,3375 0, 60 m m/s 240,5626 Hz


13



f

240 Hz

49. Uma corda de comprimento igual a 125 cm tem massa 2,00 g. Ela esticada sob uma tenso de 7,00 N entre dois suportes fixos. (a) Qual a velocidade da onda nessa corda? (b) Qual a mais baixa freqncia de ressonncia para essa corda? (Pg. 133) Soluo. (a) A velocidade escalar de propagao da onda vale:

v

L m

7,00 N 1, 25 m 2,00 10 3 kg

66,1437

m/s

v 66,1 m/s(b) Uma corda ressonante fixa em ambas as extremidades capaz de acomodar um nmero inteiro de meios comprimentos de onda:L n 2

,

n = 1, 2, 3, ...

Como:v f

Logo:Lfn

nv 2f

nv 2L Onde f1, f2, f3, etc. so as freqncias de ressonncia para n =1, 2, 3, etc. A mais baixa freqncia de ressonncia f1:f1 1v 2L 66,1437 m/s 2 1, 25 m 26, 4575 Hz

f1

26,5 Hz

51. Um fio de 1,50 m tem massa 8,70 g e mantido sob uma tenso de 120 N. O fio rigidamente seguro em ambas as extremidades e levado a vibrar. Calcule (a) a velocidade das ondas nesse fio, (b) os comprimentos de onda que produzem ondas estacionrias, com um e dois meios comprimentos de onda, nesse fio e (c) as freqncias das ondas que produzem ondas estacionrias, nas mesmas condies do item anterior. (Pg. 133) Soluo. (a) A velocidade escalar de propagao da onda vale:

v

L m

120 N 1,50 m 8,70 10 3 kg

143,8389

m/s

v 144 m/s (b) A onda estacionria com um meio comprimento de onda deve satisfazer seguinte condio:________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Ondas I

14



L

L

22L 2 1,50 m

3,00 mA onda estacionria com dois meios comprimentos de onda deve satisfazer seguinte condio: L

L

2

2

L 1,50 m(c) A freqncia de uma onda estacionria pode ser calculada por meio de: v f Para = 3,00 m:f 143,8389 3, 00 m m/s 47,9463 m

fPara

47,9 m

= 1,50 m: 143,8389 m/s f 1,50 m

95,8926

m

f

95,9 m

53. A corda A est esticada entre dois grampos separados por uma distncia l. A corda B, de mesma densidade linear e submetida mesma tenso que a corda A, est esticada entre dois grampos separados por uma distncia 4l. Considere os primeiros oito harmnicos da corda B. Qual deles - se algum - tem uma freqncia de ressonncia igual a alguma freqncia de ressonncia de A? (Pg. 134) Soluo. Pelo fato de ambas as cordas terem a mesma densidade linear de massa e estarem sujeitas mesma tenso, a velocidade escalar das ondas transversais produzidas nessas cordas devem ser iguais, ou seja, vA = vB = v. Para uma corda que tem suas extremidades fixas, temos as seguintes freqncias de ressonncias (veja a soluo Probl. 49, item b): nv , n = 1, 2, 3, etc. fn 2l As oito primeiras freqncias da corda B so:________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Ondas I

15



n=1 n=2 n=3

f B1 fB2f B3

1v 2 4l 2v 2 4l

v 8l v 4l

n=5 n=6

f B5 f B6

5v 8l 3v 4l

3v n=7 f B7 8l v n=4 n=8 fB4 f B8 2l Analisando-se as possveis freqncias de ressonncia da corda A, temos: 1v v n=1 n=5 f A1 f A5 2 l 2l

7v 8l v l5v 2l 3v l

n=2 n=3

f A2f A3

2v 2 l

v l

n=6

f A6

3v etc. 2l 2v n=4 etc. f A4 l Vemos que apenas duas freqncias de ressonncia de B coincidem com as freqncias de A. So elas:

f A1f A2

fB4f B8

54. Duas ondas esto se propagando na mesma corda, muito comprida. Um vibrador no extremo esquerdo da corda gera uma onda dada port 2 enquanto um outro no extremo direito da corda gera a onda 2, 0 m 1 x 8, 0 s 1 t 2 (a) Calcule a freqncia, o comprimento de onda e a velocidade escalar de cada onda. (b) Determine os pontos onde no existe movimento (os ns). (c) Em quais pontos o movimento da corda mximo? (Pg. 134) y1 6, 0 cm cos y1 6, 0 cm cos 2, 0 m1

x

8, 0 s

1

Soluo. (a) Comparando-se as funes das ondas fornecidas no enunciado com uma funo geral da onda transversal progressiva:

y x,t

ym cos kx

t

Vemos que as freqncias das duas ondas so idnticas e valem:

f

2 2

8, 0 s 2

1

8, 0 s 4

1


16



f

2,0 s

1

Da mesma forma, os comprimentos de onda so iguais: 2 2 4 2, 0 m k 1 2, 0 m 2 2,0 m Idem para a velocidade escalar das duas ondas:v f 2,0 m 2,0 s1

v 4,0 m/s(b) Vamos construir a onda resultante da sobreposio das duas ondas dadas, que corresponde soma das duas funes de onda:

2 A expresso acima pode ser representada por:y 6, 0 cm cos cos

y

6,0 cm cos

2,0 m

1

x

8,0 s

1

t

cos

2

2,0 m

1

x

8,0 s

1

t

Aplicando-se a identidade trigonomtrica: 1 1 cos cos 2cos cos 2 2 Teremos:y 6, 0 cm 2cos 1 2, 0 m 2 21

x

2

2, 0 m1

1

x

cos

1 8, 0 s 2 2

1

t

2

8, 0 s

1

t

t 2 2 Uma representao geral para a onda estacionria acima pode ser:y ym ( x ) cos t

y

12 cm cos

2,0 m

1

x cos

8,0 s

Onde ym(x) a amplitude da onda estacionria em cada ponto x da corda. Os ns da onda estacionria correspondem aos pontos da corda onde ym(x) =0, ou seja:

2,0 m 2 Isto implica em: 2xn

cos

1

xn

0

2,0 mn

1

xn

n

1 2

,

n = 0, 1, 2, 3, etc. n = 0, 1, 2, 3, etc.

1 1, 0 m , 2

(c) Os antins ocorrero em:

cosxantin

2

2,0 m

1

xantin

n ,

n = 0, 1, 2, 3, etc. n = 0, 1, 2, 3, etc.

n 1, 0 m ,

Veja o esquema da onda estacionria:________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Ondas I

17



ns

antins

0

1

2 x (m)

3

4

5

56. Uma corda est esticada entre suportes fixos separados por 75,0 cm. Observou-se que tem freqncias ressonantes em 420 e 315 Hz e nenhuma outra neste intervalo. (a) Qual a freqncia de ressonncia mais baixa dessa corda? (b) Qual a velocidade de onda para essa corda? (Pg. 134) Soluo. (a) A frmula geral para as freqncias ressonantes numa corda esticada com ambas as extremidades fixas (veja a soluo Probl. 49, item b): nv , n = 1, 2, 3, etc. fn 2l Como no h outras freqncias ressonantes entre as duas freqncias dadas, conclui-se que essas freqncias so harmnicos consecutivos. ou seja: nv fn 315 Hz 2l n 1 v fn 1 420 Hz 2l Fazendo-se a diferena entre essas freqncias:fn1

fn

n 1 v 2lfn

nv 2l

1v 2l

f1

Logo:f1 fn1

420 Hz

315 Hz

f1 105 Hz(b) Para o primeiro harmnico, o comprimento de onda : 2L 1 Veja o esquema:

L=

/2

Logo, a velocidade escalar da onda ser:v1 1

f

2Lf1

2 0,750 m 105 s

1

157,5 m/s

v 158 m/s________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Ondas I

18



58. Dois pulsos se propagam ao longo de uma corda em sentidos opostos, como na Fig. 17-29. (a) Se a velocidade de onda v 2,0 m/s e os pulsos esto a uma distncia de 6,0 cm em t = 0, esboce os padres resultantes para t = 5,0, 10, 15, 20 e 25 ms. (b) O que aconteceu com a energia em t = 15 ms?

(Pg. 134) Soluo. (a) Aps um intervalo de tempo t, o pulso da esquerda (pulso 1) ter executado um deslocamento:x1 v t

Enquanto que o pulso da direita (pulso 2):

x2

v t

Aps t, a posio de cada pulso ser: x1 x1,0 x1 x1,0 v tx2 x2,0 x2 x2,0 v t

Portanto, a distncia d entre os pulsos ser:d x2 x1 x2,0 v t x1,0 v t x2,0 v t x1,0 v t

d d

x2,0

x1,0 2v t

d0 2v t t

0,060 m

4,0 m/s

Nas equaes acima, representamos d0 como a distncia original entre os pulsos. Portanto, aps t = 5,0 ms:d 0, 060 cm 4, 0 m/s 5, 0 103

s

0, 04 m

d

40 cmv

t = 5,0 ms v

Aps t = 10 ms:d 0, 060 cm 4, 0 m/s 10 103

s

0, 02 m

d

20 cmv

t = 10 ms v

Aps t = 15 ms:d 0, 060 cm 4, 0 m/s 15 103

s

0, 0 m19




d

0 cm

t = 15 ms Aps t = 20 ms:d 0, 060 cm 4, 0 m/s 20 103

s

0, 2 m

d

20 cmv

t = 20 ms v

Aps t = 25 ms:d 0, 060 cm 4, 0 m/s 25 103

s

0, 4 m

d

40 cmv

t = 25 ms v (b) Quando os pulsos esto viajando, transportam energia cintica (devido velocidade transversal das partculas de corda) e energia potencial (devido ao estiramento da corda para formar o pulso). Quando os pulsos se tocam, seus deslocamentos transversais, de sinais opostos, anulam-se, at desaparecerem quando da sobreposio total. Como no h mais deslocamento transversal nesse instante, no haver energia potencial armazenada na onda. Devido conservao da energia mecnica do sistema, toda a energia transportada estar na forma de energia cintica.

61. A vibrao de um diapaso a 600 Hz estabelece ondas estacionrias numa corda presa nas duas extremidades. A velocidade escalar da onda na corda 400 ms. A onda estacionria tem dois comprimentos de onda e uma amplitude de 2,0 mm. (a) Qual o comprimento da corda? (b) Escreva uma equao para o deslocamento da corda em funo da posio e do tempo. (Pg. 134) Soluo. Considere o seguinte esquema da situao: L

(a) O comprimento da corda vale:L 2 2 v f 2 400 m/s 600 Hz 1,3333 m

L 1,33 m(b) A equao de uma onda estacionria pode ser representada por:y( x,t ) 2 ym sen kx cos t' ym sen kx cos t


20



' Na equao acima, ym a amplitude das ondas que originaram a onda estacionria e y m a amplitude da onda estacionria. Para compor a funo da onda estacionria, precisamos apenas determinar k e . A freqncia angular vale:

2 f

2

600 Hzrad/s

3.769,91

rad/s

O nmero de onda angular vale:k 3.769,91 v 400 m/s 9, 4247 rad/m

Logo:y( x,t ) 2,0 mm sen 9, 42 rad/m x cos 3.770 rad/s t

62. Numa experincia com ondas estacionrias, uma corda de 90 cm de comprimento est conectada ao terminal de um diapaso eltrico e oscilando perpendicularmente ao seu comprimento, na freqncia de 60 Hz. A massa da corda 0,044 kg. (a) A que tenso deve ser a corda submetida (pesos esto presos na outra ponta) para ela vibrar com dois comprimentos de onda? (b) O que aconteceria se o diapaso fosse girado de forma a vibrar paralelamente ao comprimento da corda? (Pg. 134) Soluo. Considere o seguinte esquema:

L

(a) A tenso na corda pode ser obtida por meio da manipulao de alguns parmetros envolvidos na composio da onda, tais como a densidade linear de massa , a velocidade escalar da onda v, a massa da corda m, o comprimento da corda L e a freqncia de vibrao f:v2

m L

f

2

m L L 2

2

f22

mLf 2 4 36 N

0, 044 kg 0,90 m 60 Hz 4

35, 64 N

63. Considere uma onda estacionria que a soma de duas ondas idnticas se propagando em sentidos opostos. Mostre que a energia cintica mxima em cada meio comprimento de onda dessa onda estacionria 2 2 ym2f v. (Pg. 134) Soluo. Seja a equao de onda estacionria:________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Ondas I

21



y( x ,t )

2 ym sen kx cos t

A velocidade transversal de um elemento do meio que conduz a onda : y x,t u x ,t 2 ym sen kx sen t t A velocidade transversal mxima atingida quando sen t = 1, ou seja, em y(x,t) = 0. Logo: umax( x ) 2 ym sen kx Considerando-se meio comprimento de onda transversal, como no esquema que segue: Lx dx dm

(1)

umax(x) A energia cintica mxima de um elemento de massa dm da corda dado por: 1 1 2 2 dK max( x ) dmumax( x ) dxumax( x ) 2 2 Substituindo-se (1) em (2): 1 2 2 dK max( x ) dx 2 ym sen kx 2 2 ym sen 2 kx dx 2 A energia cintica mxima em meio comprimento de onda ser dado pela integral:

(2)

Kmax,

/2

2

2

2 ym

/2 0

sen 2 kx dx 2

2

2 ym

4

1 sen k 4k

Como k = 2 (verifique!), teremos:

Kmax,

/2

2

2

2 ym

4

1 2

2

2 ym

(3)

Da relao v = /k:2

v2 k 2v2k 2 v2 42 2

2

4

2 2

v

4

2 2

v

v f

2

4 2vf22 2 ym vf

(4)

Substituindo-se (4) em (3):K max,/2

65. Uma corda, submetida a uma tenso de 200 N e presa em ambas as extremidades, oscila no segundo harmnico de uma onda estacionria. O deslocamento da corda dado por y 0,10 m sen x / 2 sen12 t onde x = 0 numa das pontas da corda, x dado em metros e t em segundos. Quais so (a) o comprimento da corda, (b) a velocidade escalar das ondas na corda e (c) a massa da corda? (d) Se a corda oscilar num padro de onda estacionria referente ao terceiro harmnico, qual ser o________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Ondas I

22



perodo de oscilao? (Pg. 134) Soluo. Considere o seguinte esquema, que mostra uma onde estacionria que vibra em seu segundo harmnico: L

Comparando-se a equao da onda estacionria fornecida no enunciado com a equao geral de uma onda estacionria:

y( x,t )

2 ym sen kx cos t

2 ym sen kx sen

t

2

Podemos concluir que o nmero de onda angular k vale:2 E que a velocidade angular k m1

vale:

k 12 s 1 (a) Como a onda estacionria vibra no segundo harmnico, isto significa que h dois meios comprimentos de onda (meio comprimento de onda para cada harmnico) no comprimento L da corda.L 2 2 2 k 2 2 m1

L 4,0 m(b) A velocidade de propagao da onda transversal vale:v 12 s k 2 m1

1

v 24 m/s (c) A massa da corda vale:v L m

m

L v2

200 N 4,0 m 24 m/s2

1,3888

kg

m 1, 4 kg(d) O esquema a seguir mostra uma onda estacionria vibrando em seu terceiro harmnico:


23



L

Quando a onda vibra em seu terceiro harmnico, temos:

L 3

2

2L 3 O perodo da onda estacionria ser:TT

v1,1 s

2L 3v

2 4, 0 m 3 24 m/s

1,1111 s

67. Uma onda estacionria resulta da soma de duas ondas transversais progressivas dadas por y1 0, 050 cos x 4 ty2 0, 050 cos x 4 t

onde x, y1 e y2 esto em metros e t em segundos. (a) Qual o menor valor positivo de x que corresponde a um n? (b) Em quais instantes no intervalo 0 t 0,50 s a partcula em x = 0 ter velocidade zero? (Pg. 134) Soluo. A onda estacionria resultante y da sobreposio de y1 e y2 corresponde soma dessas duas ondas:y y1 y2 0,050 cos x 4 t cos x 4 t

Aplicando-se a identidade trigonomtrica: 1 1 cos cos 2cos cos 2 2 Teremos:

y 0,050.2cosy y y

1 2

x 4 t4 t

x 4 t cos

1 2

x 4 t

x 4 t

0,10 cos x cos

0,10 cos x cos 4 t ym ( x ) cos1 2

(1)

Uma representao geral para a onda estacionria acima pode ser:t

(a) Os ns da onda estacionria ocorrero sempre que cos x = 0, ou seja, quando:x n

,

n = 0, 1, 2, 3, etc.

O menor valor positivo de x onde h n corresponde ao valor de n = 0:________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Ondas I

24



x

0

1 2

2

1 m 2 O esquema a seguir mostra a onda estacionria y no instante t = 0, em 0 y x

x

5:

x

(b) A velocidade transversal da corda u dada por:u 0,10 cos x cos 4 t y t t 0,40 cos x sen 4 t 0,10.4 cos x sen 4 t

u

Em x = 0, a velocidade transversal ser zero sempre que sen 4 t = 0. ou seja: n = 0, 1, 2, 3, etc. 4 t n , n t 4 Entre 0,0 e 0,5 s, inclusive, a partcula da corda em x = 0 ter velocidade zero nos seguintes instantes: t = 0 s, t = s e t = s.


25



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FSICA 2 CAPTULO 19 MOVIMENTO ONDULATRIO

18. Na Fig. 27a, a corda n.o 1 tem densidade linear de massa 3,31 g/m, e a corda n. o 2 4,87 g/m. Elas esto esticadas devido ao peso de um bloco cuja massa M = 511 g. (a) Calcule a velocidade de onda em uma corda. (b) O bloco agora dividido em dois (com M1 + M2 = M) e o aparelho rearranjado como aparece na Fig. 27b. Determine M1 e M2 para que as velocidades de onda nas duas cordas sejam iguais.

(Pg. 119) Soluo. (a) A figura abaixo mostra o diagrama das foras que agem na polia central da Fig. 27a, onde F a tenso na corda e P o peso da massa M: F F y

z

x

P A partir do diagrama fcil concluir que: 2F P MgMg 2 A velocidade de uma onda transversal numa corda dada por: Fv F

Logo, a velocidade da onda na corda 1 vale:________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 Movimento Ondulatrio

26



v1v1

F1

Mg 2 1

511 g 9,81 m/s 2 2 3,31 g/m

27,5179

m/s

27,5 m/s

A velocidade da onda na corda 2 vale:

v1v1 v1F11

Mg 2 222, 7 m/s v2F22

511 g 9,81 m/s 2 2 4,87 g/m

22, 6863

m/s

(b) O enunciado agora exige que as velocidades em ambas as cordas sejam iguais:

M1g1

M2g2 2 1

M2

M1

(1)

Mas existe a seguinte restrio:M1 M 2 M2 M M M1M2

(2)3,31 g/m 511 g 3,31 g/m 4,87 g/m

Igualando-se (1) e (2):M11 1

206, 7738

g

M1

207 g

Logo:

M2

304 g

21. O tipo de borracha usada em algumas bolas de beisebol e de golfe obedece a lei de Hooke numa para ampla faixa de alongamentos. Uma tira desse material tem comprimento L e massa m. Quando uma fora F aplicada, a tira aumenta de L. (a) Qual a velocidade (em termos de m, L e constante de fora k) para ondas transversais nessa tira? (b) Usando sua resposta parte (a), mostre que o tempo necessrio para um pulso transversal percorrer o comprimento da tira de borracha proporcional a 1/ L se l L e constante se l L. (Pg. 119) Soluo. Considere o seguinte esquema da situao:

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 Movimento Ondulatrio

27



L m, k Elstico L F(a) A velocidade da onda transversal na tira dada por:v F

(1)

A fora F aplicada na tira produz uma deformao que proporcional ao mdulo da fora (lei de Hooke), sendo que no equilbrio, F corresponde tenso na tira: F k L A densidade linear da tira, , a razo entre a sua massa, que constante, e seu comprimento, que depende do grau de estiramento: m L L Substituindo F e em (1):

v

k L m L Lk L2 1 m L L

v

(b) A velocidade de um pulso que percorre a tira vale: x v t Para um deslocamento x L L , o intervalo de tempo vale: L L t v Substituindo-se a expresso de v obtida no item (a) em (2):t L L k L L L mm L L k L

(2)

m L L k L L L

2

t

Para l

L, teremos:

tPara l

mL 1 k L L L, teremos:


28



t

m k

constante

22. Uma corda uniforme de massa m e comprimento L est dependurada do teto. (a) Mostre que a velocidade de uma onda transversal nessa corda uma funo de y, a distncia a partir do gy . (b) Mostre que o tempo necessrio para uma onda extremo inferior, e dada por v transversal percorrer o comprimento da corda t resultados de (a) e (b)? Soluo. Considere o seguinte esquema:2 L / g . (c) A massa da corda afeta os

(Pg. 119)

L

v ( y) y

(a) A tenso na corda varivel. Num dado ponto da corda, a tenso igual ao peso da poro da corda abaixo daquele ponto. No esquema acima, a tenso no ponto P, localizado a uma altura y da extremidade inferior da corda, vale: F( y ) m( y ) g gy Logo, a velocidade da onda transversal na corda vale:v( y ) F( y ) gy

v( y )

gy

(b) O tempo que a onda leva para percorrer o comprimento da corda pode ser obtido da seguinte forma: dy v( y ) gy dt dy dt gyt 0

dt

L 0

dy gyL

t

2 gy g

0


29



t

2

L g

(c) A massa da corda no interfere nos resultados dos itens (a) e (b). 23. Um fio no uniforme de comprimento L e massa M tem densidade linear de massa varivel, dada por = kx, onde x a distncia a uma extremidade do fio e k uma constante. (a) Mostre que M = kL2/2. (b) Mostre que o tempo t necessrio para que um pulso gerado em uma das extremidades do fio chegue outra extremidade t 8ML / 9F , onde F a trao no fio. (Pg. 119) Soluo. (a) A massa da corda pode ser calculada a partir da definio da densidade linear de massa: dm kx ( x) dxM 0

dm

L 0

kxdx

kL2 2 (b) O tempo que a onda leva para percorrer a extenso da corda pode ser calculado a partir da definio da velocidade: M

v( x )

dx dt

F( x)

F kx

kx dx Ft 0

dt k FL 0

dt

xdx4kL3 9F

k 2 3 L F 3 Do item (a), temos: 2M k L2 Logo: t

t

8ML 9F

27. Uma onda progride uniformemente em todas as direes, a partir de uma fonte puntiforme. (a) Justifique a seguinte expresso para o deslocamento y do meio a qualquer distncia r da fonte: Y y sen k r vt . r Considere a velocidade, direo de propagao, periodicidade e intensidade da onda. (b) Quais so as dimenses da constante Y. (Pg. 119)________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 Movimento Ondulatrio

30



Soluo. (a) No esquema abaixo, a uma distncia r1 da fonte sonora F, a intensidade da onda I1 e a rea da frente de onda A1. Pode-se afirmar que a potncia transmitida P a mesma para cada frente de onda. r2I I2 I1 F A1 r1 r A2 A v y

Logo:

P 1 I1 A1Mas:I

P2 I 2 A22 2 ym

(1) (2)

1/ 2 v2 ym

Ou seja:I

Substituindo-se (2) em (1) e simplificando-se:2 y m1 A1 2 y m 2 A2

2 y m1 4 r122 y m1 r12

2 y m 2 4 r222 y m 2 r22 2 ym r 2

Cte

Y2

O termo constante foi arbitrariamente chamado de Y. A amplitude de deslocamento ym da onda sonora vale: Y (3) ym r A equao geral de uma onda sonora progressiva, em termos de deslocamento : y ( x ,t ) y m sen(kx t ) Considerando-se que a constante de fase y ( r ,t ) y m sen(kr t) = 0 (arbitrrio) e que a coordenada x r: (4)

Multiplicando-se e dividindo-se o argumento da funo seno de (4) por k, o nmero de onda angular, e substituindo-se o valor de ym dado por (3): Y y ( r ,t ) sen k (r vt) r Em (5), foi usada a identidade v = /k. (b) Como ym e r devem ter dimenso L, cuja unidade SI o metro, a constante Y dever ter dimenso L2.

(5)


31

fisica

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