318

6.6 Força magnética atuando sobre condutores

Um campo magnético exerce força sobre um condutor no qual flui corrente elétrica

estacionária. Dentro do condutor temos espécies de partículas carregadas, cada espécie

com sua carga específica e

q , sua densidade numérica #eρ e velocidade de deriva

ev�

.

Sobre cada uma destas partículas atua a força e e

q v B��

. Há #eVδ ρ partículas da

espécie e num volume infinitesimal Vδ . Então a força magnética total que atua sobre

um volume infinitesimal Vδ do condutor é

#e e e

e

F V q v Bδ = δ ρ ×∑� ��

(6.6.1).

Nesta fórmula o somatório se estende sobre todas as espécies de partículas carregadas.

Podemos até incluir aquelas que não contribuem para a condução; para estas a

velocidade de deriva é simplesmente zero. Podemos definir uma densidade de força

dividindo pelo volume:

#e e e

e

f q v B= ρ ×∑� ��

(6.6.2)

Na expressão que multiplica o campo magnético, reconhecemos a densidade de corrente

da antiga fórmula (5.2.8). Então a densidade de força é

f j B= � ��

(6.6.3)

A força que atua sobre algum volume grande V é a integral de volume desta densidade:

3

V

F f d r= ∫∫∫�� �

(6.6.4)

Estamos especialmente interessados no caso de um condutor em forma de um fio fino

que percorre uma curva V . Esta curva pode

ser descrita de forma paramétrica com a ajuda

de uma função [ ]: 0,1r →�

VV

em que V é o

nosso espaço físico do referencial adotado. Para

cada valor do parâmetro [ ]0,1λ ∈ , o vetor

posição ( )r λ�V

aponta para um ponto do fio,

sendo ( )0r�V

e ( )1r�V

o início e fim do fio.

Fig. 6.6.1 Pedaço de um fio condutor cuja forma é

descrita por uma curva V .

No caso de um fio fino vamos supor que a secção transversal do fio seja tão pequena

que o campo magnético e a densidade de corrente praticamente não variem na secção.

Neste caso a integral de volume se simplifica da seguinte forma:

( )( ) ( )1

3

0V

drf d r f r A d

d= λ λ λ

λ∫∫∫ ∫�� �� �V

V (6.6.5),

ou seja, nas direções transversais a integração se reduz a uma simples multiplicação pela

área transversal do fio ( )A λ . A densidade de corrente tem a direção do vetor tangente

rC(λ)

O

A(λ)

t(λ)

I

319

da curva V e, se escolhermos a orientação que define o sentido positivo da corrente

no mesmo sentido do vetor tangente, podemos escrever

( )

( )ˆI

j tA

= λλ

� (6.6.6).

Nesta fórmula t̂ é o vetor tangente normalizado da curva:

( ).

ˆdef

drdt

drd

λλ =

λ

�

�

V

V

(6.6.7)

Inserindo as fórmulas (6.6.3), (6.6.6) e (6.6.7) na (6.6.5), obtemos para a força que atua

sobre o fio a seguinte expressão:

1

0

drF I B d

d= × λ

λ∫�� �V (6.6.8).

Especialmente se o campo magnético for constante ao longo de todo o fio, podemos

tirá-lo da integral. A integral que sobra é simplesmente o vetor que aponta do início até

o fim do fio. Vamos chamar este vetor de �� :

( ) ( )1

.0

1 0def

drd r r

d= λ = −

λ∫�� � �

� V

V V (6.6.9)

Neste caso a força tem a forma simples

F I B= �� �� (6.6.10)

Um caso especialmente interessante é o de um fio em forma de caminho fechado. Neste

caso, os pontos inicial e final coincidem e o vetor �� é o vetor zero. Então a força total

é zero se o campo for uniforme. Este valor não parece ser interessante, mas logo

veremos qual é o aspecto interessante.

Mas antes cabe um comentário sobre como realizar este tipo de condutor com corrente

estacionária na prática. Num simples laço de fio condutor a corrente cessaria em

pouquíssimo tempo. Para manter uma corrente estacionária, precisa-se de uma fonte.

Mas se colocarmos uma pilha na malha, não teremos mais um condutor em forma de fio

fino, como mostra a figura 6.6.2a.

Fig. 6.6.2 Como manter uma corrente numa malha de

fio fino sem engrossar o fio com uma pilha.

Mas há um truque para tirar a pilha, ou

qualquer outra fonte, fora da malha sem

alterar as questões de força magnética

envolvidas. Usa-se um fio com uma fina capa

de verniz isolante de tal forma que possamos

encostar uma parte do fio em outra sem

permitir a passagem direta da corrente pelo

ponto de contato. Em algum ponto do

caminho fechado da malha, podemos então

trazer e levar a corrente da fonte praticamente

a b

II

I

I

I

Ic

320

no mesmo caminho de tal forma que nesta parte de ida e volta para a fonte todas as

forças cancelem-se. A figura 6.6.2 mostra esta configuração na opção b que pode ser

considerada equivalente à malha c.

Uma vez resolvida a questão da realização prática de malhas de arame fino com

corrente, podemos enfrentar a discussão das questões

fisicamente relevantes. Então, se o campo magnético for

uniforme, a força total não é de grande interesse. Mas

obviamente as forças que atuam nas diversas partes do fio

podem resultar num torque diferente de zero. Vamos

calcular este torque para um caso especialmente simples.

A figura 6.6.3 mostra uma espira retangular com lados de

comprimentos a e b num campo magnético uniforme

com uma orientação tal que dois lados do retângulo

fiquem perpendiculares ao campo.

Fig. 6.6.3 Espira retangular num campo magnético uniforme. Os

lados (AB) e (CD) estão postos ortogonais ao campo.

As forças sobre os lados (DA) e (BC) obviamente não causam torque. Para ver as

contribuições de torque das forças sobre os lados (AB) e (CD) com mais facilidade,

mostro a espira de lado de tal forma que o ponto A fique atrás do ponto B e o ponto D

atrás do C .

Fig. 6.6.4 Vista lateral da configuração da figura 6.6.3. �

A figura 6.6.4 mostra ainda o ângulo α entre o

plano da espira e a direção do campo magnético e o

ângulo o90β = − α entre B�

e BC CD���� ����

. Podemos

usar a fórmula (6.6.10) para calcular as forças ABF�

e

CDF�

usando os vetores AB����

e CD����

no lugar de �� .

Como os lados (AB) e (CD) estão perpendiculares ao

campo, temos AB CDF F IB= =� � �

a .

Para a contribuição da força ABF�

ao torque relativo ao

centro da espira, conta como alavanca cos2

bα . A força CDF

� contribui com o mesmo

valor. Então obtemos para o módulo do troque cos senIB IBτ = α = β� ��

a b a b .

Repare que ab é a área da espira e que o fator seno pode ser absorvido num produto

vetorial do vetor superfície da espira BC CDS = ×���� �����

e o valor do campo:

( )BC CDI Bτ = × ×���� ���� ��

(6.6.11)

Na figura 6.6.4 percebemos que o torque aponta na mesma direção e com o mesmo

sentido do vetor AB����

. Esta direção e este sentido são também as características

direcionais do vetor ( )BC CDI B× ×���� ���� �

. Então podemos escrever o resultado de forma

vetorial:

A

B

C

D

FCD

FAB

B

βα

B

C

DCBC

FAB

A

B

C

D

FBC

B

FCD

FDA

321

( )BC CDI Bτ = × ×���� ���� ��

(6.6.12)

Poderíamos ter chegado a este resultado de forma muito mais elegante, porém menos

intuitiva, com os seguintes argumentos: primeiramente podemos usar uma origem na

reta que contenha os pontos C e D, já que a força total na espira é nula e portanto o

torque independe da origem. Com isto o torque se reduz à contribuição da força ABF�

:

( )ABCB CB ABF I Bτ = × = × ×���� ���� ����� ��

(6.6.13)

Agora temos uma ótima oportunidade de praticar o cálculo com produtos vetoriais.

Vamos usar a identidade de Jacobi (6.2.9):

( ) ( ) ( )CB AB CB AB AB CBI B I B I Bτ = × × = − × × − × ×���� ���� ���� ���� ���� ����� � ��

(6.6.14)

Na figura 6.6.4 percebemos que os vetores CBB �����

e AB����

são paralelos e

consequentemente o último termo na (6.6.14) é nulo. Usando ainda a antissimetria do

produto vetorial e BC CB= −���� ����

assim como CD AB= −���� ����

, obtemos de novo o resultado

(6.6.12).

Na fórmula do torque (6.6.12) há dois fatores: um que contém apenas características da

espira de corrente e o outro é o valor do campo externo (isto é sem considerar possíveis

contribuições geradas pela espira). Vamos introduzir um símbolo para o fator que

contém as características da espira:

( ).

BC CDdef

m I= ���� �����

(6.6.15)

Com isto a fórmula do torque adquire uma forma muito parecida com a fórmula do

torque de um dipolo elétrico num campo elétrico externo uniforme:

m Bτ = ×�� �

(6.6.16)

Por esta semelhança com o torque sobre um dipolo elétrico, vamos chamar uma

pequena espira de corrente de dipolo magnético, e vamos chamar o vetor1 m�

de vetor

de dipolo magnético. Coloquei o adjetivo “pequeno” junto com o substantivo espira de

corrente. Como no caso do dipolo elétrico devemos considerar um caso limite. Mais

tarde veremos que as espiras de corrente geram também um campo magnético e o caso

de dipolo corresponde a uma aproximação do campo gerado que é válida numa

distância grande da espira, sendo o significado de grande num sentido de comparação

com o tamanho da espira. Os dipolos magnéticos têm um papel igualmente importante

como os dipolos elétricos.

A analogia com os dipolos elétricos não se limita à fórmula do torque num campo

uniforme. No apêndice desta seção mostro que um campo magnético não uniforme

exerce uma força

( )gradF m B= ⋅� ��

(6.6.17)

sobre um dipolo magnético m�

. No exercício E 6.6.4 o leitor pode mostrar que esta

força tem a mesma forma da força elétrica sobre um dipolo elétrico ( )p E⋅∇��

, ou seja,

no caso ( )m B⋅∇��

, desde que valha a condição rot 0B =�

.

1 Na verdade este é um pseudovetor, (veja o exercício E 6.6.3).

322

A discussão feita aqui, como em outros livros de Física Básica, tem um defeito

considerável. O defeito está na limitação à forma retangular da espira e a uma

configuração geométrica muito especial (com dois dos lados do retângulo

perpendiculares ao campo). Mas, no apêndice desta seção2, mostro que o resultado pode

ser generalizado para qualquer geometria da espira. Vale o seguinte resultado.

Teorema do dipolo magnético:

Seja S uma superfície orientável com beirada ∂S . Se colocarmos uma

corrente I nesta beirada, esta espira de corrente sofre um torque num campo

magnético externo uniforme B�

que é dado por m Bτ = ×�� �

com um vetor

dipolo magnético m�

dado por

m I dS= ∫∫��

S

(6.6.18)

Nesta fórmula a orientação da superfície é tal que o sentido positivo da corrente

forme com o vetor de superfície .def

dS= ∫∫� �

SS um parafuso direito.

Vamos verificar o resultado experimentalmente com uma demonstração qualitativa.

Ainda não discutimos como gerar um campo magnético uniforme. Tenho aqui um

arranjo de bobinas que permite criar tal campo. No momento não precisamos entender

como este arranjo funciona, mas com uma bússola podemos verificar que realmente

existe um valor diferente de zero do campo magnético no espaço entre as duas argolas

douradas que aparecem na

figura 6.6.5. Nesta região

pendurei uma argola

condutora ligada a dois fios

condutivos e muito

flexíveis que servem

também para pendurar a

argola. Na figura 6.6.6

mostro a situação com

corrente injetada nesta

argola enquanto na figura

6.6.5 não tinha corrente na

argola. Nota-se claramente

que o torque virou a argola.

Fig. 6.6.5 Entre duas argolas

douradas foi criado um campo

magnético não nulo. Duas

bússolas apoiadas em caixinhas de papelão pardo (uma no espaço entre as argolas e a outra na margem

direita da imagem) apontam em direções diferentes. Sem o campo gerado no espaço entre as argolas, as

bússolas apontariam na mesma direção, a saber, na direção do campo da Terra.

2 Este apêndice se destina aos alunos com pretensões teóricas nas ciências quantitativas.

323

Fig. 6.6.6 Uma espira

condutora (prateada), que já

aparecia na figura 6.6.5, foi

agora ligada numa fonte. O

mostrador esquerdo da

fonte indica uma corrente

de 5,27 A. Na verdade flui

o triplo disso na espira. A

espira de corrente tem três

voltas e aproveita a corrente

de 5,27 A três vezes. Nota-

se que o anel prateado girou

em relação à orientação que

tinha na figura 6.6.5.

Uma aplicação do

torque sobre espiras de

corrente num campo

magnético é um tipo de

motor elétrico. Pode-se montar a espira num eixo de tal forma que o torque apareça

neste eixo de rotação. O problema é que o torque não tem um valor constante. Na

medida em que a espira gira e o vetor m�

se torna paralelo ao vetor B�

, o torque

desaparece. Se a espira girasse além desta orientação, o torque até mudaria de sinal.

Então uma simples espira de corrente num campo uniforme não giraria de forma

contínua, mas oscilaria em volta da orientação ||m B��

.

Fig. 6.6.7 Esquema de motor.

Um outro problema é a conexão elétrica de uma espira em

rotação com uma fonte que geralmente não gira junto com o

eixo do motor. Ambos os problemas podem ser resolvidos

simultaneamente. Podemos ligar a espira de corrente na fonte

através de contatos deslizantes, e as áreas de contato podem

ter uma forma tal que a direção da corrente mude exatamente

naquelas orientações da espira que correspondem a torques

nulos. Os dois extremos da espira de corrente estão ligados a

dois setores condutores. Cada um dos setores cobre um ângulo

pouco menor que 180º de uma roda isolante montada no eixo do motor. A roda junto

com os setores condutores se chama comutador. A figura 6.6.7 mostra o esquema deste

tipo de motor. Dois blocos condutores de grafite (chamadas de escovas) ligadas numa

fonte encostam-se nos setores do comutador e conectam a espira na fonte sempre com

uma polaridade tal que o torque nunca mude de sinal. Esta construção consegue girar.

Mas o torque deste motor seria pouco uniforme. A figura 6.6.8 mostra o torque em

função do ângulo entre vetor superfície da espira e o

vetor B�

.

Fig. 6.6.8 Torque como função do ângulo entre vetor superfície e

campo magnético. Os intervalos sem torque correspondem às

orientações nas quais as escovas não se encostam nos setores.

Pode-se obter um torque mais uniforme usando várias

espiras ligadas a setores menores, como indicado na figura 6.6.9 com um exemplo de

três espiras ligadas num comutador com seis setores.

180o 360o

torq

ue

(S,B)

B

escovas

setores do comutador

324

Fig. 6.6.9 Esquema de um motor com 3 espiras ligadas num

comutador com 6 setores.

Exercícios:

E 6.6.1: Um anel circular de raio R = 6 cm leva uma corrente de 15 A e se encontra um

campo magnético de 0,2 T. A normal do plano da espira faz um ângulo de 45o com a

direção do campo. Calcule o módulo do torque que atua sobre a espira.

E 6.6.2: Num modelo (não muito correto) dos átomos, os elétrons são imaginados

girando em torno do núcleo positivo como se fossem planetas girando em torno de um

sol. Considere um elétron numa órbita circular girando com uma velocidade angular ω

constante. Este elétron que gira constitui uma corrente e podemos tratar a órbita do

elétron como uma espira de um minúsculo fio condutor que leva esta corrente. Esta

espira possui um momento magnético. Deduza uma fórmula que relacione o momento

magnético desta espira com o momento angular do elétron. Sabendo que o momento

angular do elétron vale 34 2 11,05 10 kg m s− −= ×� , calcule o momento magnético desta

espira de corrente. (dados: massa do elétron = 319,109 10 kg−× , carga do elétron = 191,602 10 As−− × ).

E 6.6.3: Mostre que o vetor dipolo magnético m�

é na verdade um pseudovetor.

E 6.6.4: Mostre que a força ( )gradF m B= ⋅� ��

pode ser escrita como ( )m B⋅∇��

desde

que rot 0B =�

.

E 6.6.5: Escreva os pontos essenciais desta seção.

B

325

Apêndice 6.6

Primeiramente vamos demonstrar o teorema do dipolo magnético. Seja S uma

superfície orientada e [ ]: 0,1r∂

→�

VS

uma descrição paramétrica da beirada ∂S desta

superfície. Como é o costume, vamos supor a mesma convenção de orientação que se

usa no teorema de Stokes, ou seja, a orientação da superfície deva formar com o sentido

da curva ∂S (sentidos dos vetores tangentes) um parafuso direito. Vamos colocar um

fio fino na curva ∂S e manter uma corrente I neste fio, com o sentido positivo de I

coincidindo com o sentido dos vetores tangentes da curva. Num campo magnético

uniforme esta espira de corrente recebe o torque

( ) ( )1

0

drr I dr B r I B d

d

∂∂ ∂ ∂

∂

τ = × × = λ × × λ

λ ∫ ∫

�� �� � � ��

S

S S S

S

(6.6.19)

Com a regra do bacmenoscab podemos escrever esta expressão da seguinte forma:

( )( ) ( )1 1

0 0

dr drI r B d I B r d

d d

∂ ∂∂ ∂

τ = λ ⋅ λ − λ ⋅ λ

λ λ ∫ ∫� �� �� � �S S

S S (6.6.20)

Como .B const=�

, podemos tirar o fator B�

da integral do segundo termo. O que sobra

nesta integral do segundo termo é uma derivada

( ) ( ) ( )( )1 1

2 2

0 0

1 11 0

2 2

dr dr rr d d r r

d d

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

⋅ λ ⋅ λ = λ = −

λ λ ∫ ∫

� � �� � �

S S S

S S S (6.6.21)

Mas, como a curva é fechada, temos ( ) ( )2 21 0r r∂ ∂=� �S S

e esta integral é simplesmente

zero. Então obtemos para o torque

( )( )1

0

drI r B d

d

∂∂τ = λ ⋅ λ

λ∫� �� �S

S (6.6.22)

Agora vamos aplicar a regra do bacmenoscab num outro produto vetorial duplo dos

vetores r∂

�S

, /dr d∂ λ�S

e B�

:

( )1 1 1

0 0 0

dr dr drB r d r B d B r d

d d d

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

× × λ = ⋅ λ − ⋅ λ

λ λ λ ∫ ∫ ∫

� � �� � �� � �S S S

S S S (6.6.23)

Na primeira integral do lado direito faremos uma integração por partes:

( ) ( )( ) ( )1 1

1

00 0

0

dr drr B d r B r B r d

d d

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

=

⋅ λ = λ ⋅ λ − ⋅ λ

λ λ ∫ ∫

� �� � �� � � �

���������

S S

S S S S (6.6.24)

O termo já integrado é zero porque se trata de uma curva fechada, ( ) ( )1 0r r∂ ∂=� �S S

.

Então temos

( )1 1

0 0

2dr dr

B r d B r dd d

∂ ∂∂ ∂

× × λ = − ⋅ λ

λ λ ∫ ∫

� �� �� �S S

S S (6.6.25)

Comparando com a (6.6.22) percebemos que

1

02

drIr d B

d

∂∂

τ = × λ ×

λ ∫

� �� �S

S (6.6.26).

326

Então por enquanto mostramos que

1

02

drIm r d

d

∂∂

= × λ

λ ∫

�� �

S

S (6.6.27).

Agora vamos escolher uma base ortonormal 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,b b b e vamos calcular a componente

número k do vetor m�

nesta base:

1

0

ˆ ˆ2

k k k

drIm b m b r d

d

∂∂

= ⋅ = ⋅ × λ

λ ∫

�� �

S

S (6.6.28).

Neste produto triplo podemos trocar a ordem de fatores ciclicamente. Então obtemos

( )1

0

ˆ2

k k

drIm b r d

d

∂∂= ⋅ × λ

λ∫�

�S

S (6.6.29).

Isto é uma integral de linha comum (na qual um vetor é escalarmente multiplicado com

o elemento de linha):

( ) ( )1

0

ˆ ˆ2 2

k k k

drI Im b r d b r d

d

∂∂

∂

= × ⋅ λ = × ⋅λ∫ ∫� �� �

��S

S

S

(6.6.30).

Nesta integral de linha aplicamos o teorema de Stokes:

( ) ( ){ }ˆ ˆrot2 2

k k k

I Im b r d b r dS

∂

= × ⋅ = × ⋅∫ ∫∫� �� ���

S S

(6.6.31).

O rotacional pode ser calculado com a regra do bacmenoscab:

( ) ( )

( )

ˆ ˆrot

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆdiv 3 2

k k

k k k k k

b r b r

b r b r b b b

× = ∇× × =

= − ⋅∇ = − =

� �

� � (6.6.32).

Então temos

ˆk k

m I b dS= ⋅ ∫∫�

S

(6.6.33).

Então se estas são as componentes, o vetor é

m I dS= ∫∫��

S

(6.6.34).

Isto completa a demonstração do teorema.

Agora vamos estudar a força que um campo magnético não uniforme exerce sobre uma

pequena espira de corrente. Com a (6.6.8) vale

1

0

drF I B d

d

∂= × λλ∫�� �S (6.6.35)

A componente k deste vetor numa base ortonormal 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,b b b é

1

0

ˆk k

drF b I B d

d

∂= ⋅ × λλ∫� �S (6.6.36),

e com permutação cíclica dos fatores do produto triplo:

327

( )1

0

ˆk k

drF I B b d

d

∂= ⋅ × λλ∫� �S (6.6.37).

Isto é uma integral de linha comum

( ) ( )1

0

ˆ ˆk k k

drF I B b d I B b d

d

∂

∂

= × ⋅ λ = × ⋅λ∫ ∫� �� �

��S

S

(6.6.38)

Nesta integral aplicamos o teorema de Stokes:

( ) ( ){ }ˆ ˆrotk k k

F I B b d I B b dS∂

= × ⋅ = × ⋅∫ ∫∫� �� ���

S S

(6.6.39)

No cálculo do rotacional usamos a regra do bacmenoscab:

( ) ( )

( )

ˆ ˆrot

ˆ ˆ div

k k

k k

B b B b

b B b B

× = ∇× × =

= ⋅∇ −

� �

� � (6.6.40)

No capítulo 7 veremos que a divergência do campo B�

é sempre zero. Então sobra

( ){ }ˆk k

F I b B dS= ⋅∇ ⋅∫∫��

S

(6.6.41)

Agora faremos a mesma aproximação que tinha sido feita no caso do dipolo elétrico

num campo elétrico não uniforme. Naquela ocasião desenvolvemos o campo elétrico

numa série de Taylor até os termos de primeira ordem numa pequena vizinhança do

dipolo. Fazendo a mesma coisa aqui com o campo magnético significa que vamos

considerar as derivadas do campo magnético na vizinhança da espira como constantes.

Então estas derivadas podem ser tiradas da integral. Desta forma sobra

( ){ } ( ){ }ˆ ˆk k k

F b B I dS b B m= ⋅∇ ⋅ = ⋅∇ ⋅∫∫�� � �

S

(6.6.42)

Com estas componentes da força o próprio vetor de força é

( )gradF B m= ⋅� � �

(6.6.43)