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Abel Costa

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Fibras Ópticas: Estruturas e Teoria de PropagaçãoFibras Ópticas: Estruturas e Teoria de PropagaçãoFibras Ópticas: Estruturas e Teoria de Propagação

Fibras Ópticas: Estruturas e Teoria de PropagaçãoFibras Ópticas: Estruturas e Teoria de Propagação

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A A naturezanatureza da da luz:luz:

Aproximação corpuscular

Aproximação ondulatória

Natureza quântica da luz: conceito de dualidade partícula - onda

O conceito de dualidade partícula-onda foi introduzido pela mecânica quântica. Nesta teoria tornou-se evidente que os conceitos de partícula e onda, os quais a nível macroscópico parecia óbvio serem mutuamente exclusivos, deveriam ser “fundidos” ao nível submicroscópico. A imagem de uma partícula atómica (como electrões, neutrões,etc) como uma concentração localizada de matéria não era suficiente: na verdade, estas “partículas” originavam fenómenos de interferência e difracção idênticos aos observados em ondas luminosas. Assim, introduziu-se o conceito de dualidade partícula-onda, consubstanciado na famosa relação entre massa e energia E=mc2 da teoria da relatividade.

A mecânica quântica associa a uma partícula (fotão, electrão, protão, etc) uma equação de ondas. No caso de partículas materiais, os aspectos ondulatórios são introduzidos através de uma equação de campo, a famosa equação de Schrödinger. Para os fotões, a sua natureza ondulatória é descrita pelas equações clássicas do electromagnetismo, as conhecidas equações de Maxwell.

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Aproximação corpuscular

Newton, Descartes

A luz é um feixe de partículas: fotões

A luz consiste de raios luminosos

Em um meio homogéneo, a luz propaga-se em linha recta

A intensidade luminosa (ou potência) é inversamente proporcional ao quadrado da distância da fonte óptica

Na aproximação corpuscular, a radiação luminosa consiste de ínfimas partículas, invisíveis ao olho humano, viajando em linha recta. Esta teoria descreve adequadamente certos efeitos ópticos macroscópicos tais como a reflexão e refracção da luz, falhando todavia em fenómenos de menor escala como a interferência e difracção da luz.

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Aproximação ondulatória

Huygens, Maxwell

A luz é representada por um campo electromagnético

Velocidade de propagação é uma característica do meio:

No vazio: c ≈ 300 000 km/s

1νεµ

=

Na aproximação ondulatória, a radiação luminosa é interpretada como uma onda electromagnética, e representada como um trem de frentes de onda esféricas; define-se frente de onda esférica como a união de todos os pontos do trem de ondas que estão em fase.

A propagação de uma onda primária pode ser descrita como uma sucessão de ondas esféricas secundárias, que se sobrepõem e interferem, reconstituindo assim, em instante posterior, uma onda idêntica à primária.

Maxwell prdouziu um conjunto único de equações matemáticas, as quais são uma síntese brilhante sobre os fenómenos eléctricos e magnéticos. Com base nestas equações, ele foi capaz de mostrar que a luz é uma perturbação electromagnética, que sob a forma de ondas, se propaga no vazio.

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Corpuscular vs. OndulatórioCorpuscular vs. Ondulatório

Consequências do carácter corpuscular:Emissão da luzAbsorção da luzEfeito fotoeléctricoTrocas de energia

Consequências do carácter ondulatório:InterferênciaDifracção

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Natureza quântica da luz Natureza quântica da luz →→ fotões (ou fotões (ou quantaquanta de energia)de energia)

Planck: Emissão de luz de modo descontínuoFotões

Energia de um fotão: E = hν (com h = 6,626 x 10-34 J.s)

Einstein: energia de um fotão: E = mc2

Comprimento de onda de De Broglie:

Os fotões podem sobrepor-se: não obedecem ao princípio de exclusão de Pauli

Em consequência:dois feixes luminosos cruzam-se sem interagir → ao contrário, dois feixes de electrões ao cruzarem-se interactuam entre si!!!

0c h

mcλ

ν= =

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Aproximação da óptica geométricaAproximação da óptica geométrica

A luz é representada por raios luminosos

Válida quando o comprimento de onda da luz é muito inferior aos valores geométricos associados ao fenómeno óptico em estudo (e.g., reflexão, lentes)

Frequentemente usada para o tratamento de problemas de óptica

Quando o comprimento de onda da luz é muito inferior às dimensões dos objectos ou obstáculos sobre que incide, a frente de onda aparece como linhas rectas (ondas planas); nestas condições, a luz pode-se representar por raios luminosos, os quais indicam a sua direcção de propagação e são perpendiculares à frente de onda. De notar que, apesar de um conceito útil, o raio luminoso representa uma abstracção sem realidade física. Com base neste conceito, fenómenos ópticos à escala macroscópica podem ser analisados apenas por processos geométricos de traçado de raios. Tal constitui a chamada aproximação da óptica geométrica.

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Leis básicas da ópticaLeis básicas da ópticaReflexão: θi = θr = θ1

Refracção: n1 senϕ1 = n2 senϕ2 (lei de Snell-Descartes)

Os conceitos de reflexão e refracção podem ser interpretados considerando raios luminosos associados a ondas planas viajando em meios dieléctricos.

A figura mostra o que acontece quando um raio luminoso incide na interface de separação de dois meios diferentes: parte é reflectido para o meio inicial, enquanto o restante sofre uma curvatura (ou refracção) ao entrar no segundo meio. Esta curvatura resulta da diferença da velocidade da luz nos dois meios, os quais apresentam índices de refracção diferentes. A lei de Snell-Descartes traduz matematicamente o fenómeno da refracção, relacionando os índices de refracção dos meios com os ângulos dos raios relativamente à normal.

Define-se índice de refracção de um meio como a razão da velocidade da luz no vazio c ( c ≈ 3.108 m/s) em relação à velocidade da luz nesse meio vi

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Leis básicas da óptica (cont.):Leis básicas da óptica (cont.):

a) Reflexão para um interface ar – vidro

b) Reflexão e refracção de um feixe de luz incidente numa lâmina de vidro

(a) (b)

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Índice de refracção de um meio:Índice de refracção de um meio:É a razão da velocidade da luz no vazio c ( c ≈ 2,9979 x 108 m/s) em relação à velocidade da luz nesse meio vi

Índices de refracção para vários meios:1≥=

ii

vcn

1i

i

cnv

= ≥

201 607201 6071,4871,487Núcleo típico da fibra (MM)Núcleo típico da fibra (MM)

123 880123 8802,422,42DiamanteDiamante

126 494126 4942,372,37Cloreto de sódio (sal)Cloreto de sódio (sal)

185 055185 0551,621,62CristalCristal

200 528200 5281,4951,495Acrílico (Perspex)Acrílico (Perspex)

224 900224 9001,3331,333ÁguaÁgua

228 847228 8471,3101,310GeloGelo

299 706 299 706 1,000281,00028ArAr

Velocidade da luz (km/s)Velocidade da luz (km/s)Índice de refracçãoÍndice de refracçãoMaterialMaterial

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Reflexão interna totalReflexão interna total

Quando n1 ≥ n2, à medida que o ângulo de incidência aumenta também aumenta o ângulo de refracção. Verifica-se que para um determinado ângulo de incidência ϕc,, designado por ângulo crítico, o raio emerge paralelo à interface, isto é, ϕ2 = 90o. Nesta condição

(1)

Para raios incidentes segundo ângulos maiores que ϕc verifica-se que o raio é praticamente todo reflectido para o meio original (eficiência de ~ 99,1%). A este fenómeno dá-se a designação de reflexão interna total.

A figura acima ilustra este fenómeno de reflexão interna total: à medida que o ângulo de incidênica é aumentado, o ângulo de refracção também vai aumentando, até que para o ângulo crítico de incidência o ângulo de refracção apresenta o valor de 90º. Acima deste limite, não existe raio refractado.

2

1

c

nsenn

ϕ =

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Variações de fase na reflexãoVariações de fase na reflexãocomponente normal (2)

componente paralela (3)

1

122

1

122

1.cos.2

.1.cos.

2

θθδ

θθδ

sennn

tg

sennn

tg

P

N

−=

−=

δN e δP são as variações de fase das componentes normal e paralela, respectivamente, ao plano de incidência na fronteira entre dois meios.

A figura mostra as variações de fase para uma interface vidro-ar: n = 1,5 e θc = 48o (onde n = n1 / n2).

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Estrutura da fibra Estrutura da fibra ópticaóptica

A fibra consiste de um núcleo rodeado por uma baínha

O material mais comum é o vidro (silica)

Diâmetros do núcleo variam desde 7 µm até 1 mm

Baínha

NúcleoA Fibra Óptica básica

A estrutura do guia de onda , designado por fibra óptica, é a de um cilindro sólido. É constituída pelo núcleo, de índice de refracção n1 , o qual é rodeado pela bainha, de índice de refracção n2 ( n1 > n2 ). Apesar de não ser necessário, em princípio, uma camada adicional de protecção encapsula a fibra óptica, sendo em geral de material plástico com alguma elasticidade e resistente à abrasão.

A figura acima mostra a fibra óptica em perspectiva.

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Raios e modos de propagaçãoRaios e modos de propagação

A aproximação do traçado de raios no interior da fibra é válida apenas no limite de pequeno comprimento de onda.

Na aproximação modal (ou electromagnética), a radiação electromagnética que viaja ao longo da fibra é representada pela sobreposição de modos guiados.

Para luz monocromática, viajando ao longo do eixo da fibra (direcção positiva do eixo dos zz), a sua dependência temporal e espacial pode ser representada por

(4)

β - componente segundo z da constante de propagação k, ¦ k ¦ = 2 π / λω - frequência angular

)zt(je βω −

Para modos guiados, β assume certos valores discretos, os quais são determinados a partir das equações de Maxwell e das condições fronteira dos campos eléctrico e magnético na interface núcleo-bainha.

O traçado de raios (ou aproximação da óptica geométrica) para descrever a propagação de luz nas fibras apenas é válido no limite de pequeno comprimento de onda, isto é, quando a razão do raio em relação ao comprimento de onda da radiação é grande. Do ponto de vista formal, a aproximação do traçado de raios só é válida no limite de comprimento de onda nulo (λ=0); todavia, para λs pequenos relativamente às dimensões do núcleo da fibra e quando o número de modos guiados é elevado (fibras multimodo), os resultados obtidos são relativamente precisos. A vantagem desta aproximação reside na sua simplicidade e na interpretação física das características de propagação numa fibra óptica.

Apesar da sua utilidade, a aproximação da óptica geométrica exibe um certo número de limitações e discrepâncias quando comparada com a análise modal ou electromagnética, baseada na propagação de radiação electromagnética no interior da fibra. Um caso importante é a análise de fibras monomodo, correctamente explicada apenas pela teoria electromagnética. Problemas envolvendo fenómenos de coerência ou interferência são outros fenómenos apenas descritos correctamente pela análise modal. Outra discrepância ocorre quando a fibra óptica é uniformemente dobrada com um raio de curvatura constante: a análise modal prevê, acertadamente, que cada modo guiado sofre alguma perda por radiação; ao invés, a análise geométrica prevê que alguns raios continuam a propagar-se sem sofrerem perdas.

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Aproximação da óptica geométrica em fibras “Aproximação da óptica geométrica em fibras “stepstep--index”index”

O raio de luz a cheio propaga-se no interior da fibra porque na fronteira núcleo-baínha sofre reflexão interna total (RIT), sendo reenviado novamente para o núcleo

O raio de luz a tracejado não sofre RIT pelo que se perde na baínha

O ângulo φ deve ser maior que o ângulo crítico da fibra para haver RIT

Através da trigonometria é possível definir um valor máximo para θ0 , chamado de ângulo de aceitação máximo (θ0,max)

Somente os raios que entram no núcleo com um ângulo inferior a θ0,max se propagarão na fibra

A figura representa a propagação de um raio meridional numa fibra “step-index” ideal: perfeitamente homogénea e cilíndrica, sem descontinuidades ou imperfeições na fronteira núcleo-bainha.

Raios meridionais são aqueles confinados aos meridianos da fibra, que são os planos que contêm o eixo de simetria da fibra (o eixo do núcleo). Podem ser guiados (que são confinados ao núcleo e se propagam ao longo da fibra) e não-guiados, que são refractados para fora do núcleo.

Da análise da figura e da lei de Snell-Descartes, o ângulo mínimo ϕmin que permite reflexão interna total para o raio meridional é

(5)

É possível escrever esta relação em função do ângulo de aceitação máximo θo,max como

(6)Tal obtém-se sabendo que ϕ = π / 2 e usando a relação fundamental da trigonometria.

1

2minnnsen =ϕ

( )21

22

211max,. nnsennsenn co −== θθ

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Ângulo de aceitação máximoÂngulo de aceitação máximo

O ângulo de aceitação máximo θ0,max é metade do ângulo do cone visualizado na entrada da fibra óptica (a amarelo).

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Abertura numérica NAAbertura numérica NAPara fibras “step-index” e raios meridionais define-se como

(7)

Definindo-se a diferença relativa do índice de refracção núcleo-baínha ∆

(8)para ∆ << 1

a expressão da abertura numérica NA escreve-se como(9)

,max

2 21 2.= = −oNA n sen n nθ

21

22

21

2nnn −

=∆

1

21

nnn −

≈

∆≅ 21nNA

Dado que a abertura numérica está relacionada com o ângulo de aceitação máximo, é um parâmetro útil para descrever a capacidade de colectar luz de uma fibra óptica e para calcular eficiências no acoplamento de potência óptica fonte de luz → fibra óptica.

É um parâmetro adimensional, inferior à unidade, com valores variando entre 0,14 e 0,50, dependendo das dimensões e características das fibras.

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Propagação de luz numa fibra ópticaPropagação de luz numa fibra óptica

Os dois parâmetros fundamentais de uma fibra óptica “step-index”, de um ponto de vista óptico, são o seu núcleo e a sua baínha. A luz é guiada no interior do núcleo através do fenómeno de reflexão interna total na fronteira núcleo-baínha. Para tal se verificar, é necessário que o índice de refracção do núcleo seja superior àquele da baínha. Os raios luminosos, no interior do núcleo, têm uma propagação em “zigue-zag” ao longo da fibra, desde que as condições para reflexão interna total se verifiquem; caso contrário, são refractados para a baínha – ver figura acima.

Na prática, o índice de refracção do núcleo é cerca de 1% superior ao da baínha. Para esta pequena diferença, mostra-se que o ângulo crítico é de cerca de 82º. Assim, apenas os raios luminosos que incidem na interface núcleo-baínha com um ângulo de 8º ou inferior a essa mesma superfície fronteira são confinados e propagados no interior do núcleo.

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ExemploExemploi) Mostre que o ângulo sólido de aceitação no ar é dado por

ii) Mostre que o ângulo sólido (no ar) para um único modo de radiação electromagnético entrando ou saindo do núcleo é

iii) Um valor típico para a diferença do índice de refracção relativo é de 1 % para fibras projectadas para uso em sistemas de longa distância. Assumindo que a aproximação da óptica geométrica é válida, estime:a) a abertura numérica da fibra;b) o ângulo sólido de aceitação no ar quando o índice de refracção do núcleo é 1,46;c) o ângulo crítico na interface núcleo-baínha da fibra.

( ) ( )22 21 2n n NAπ πΩ = − =

2

2modo aλ

πΩ =

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Solução:Solução:i) O ângulo sólido de aceitação é:

Mas,dS=r2.senθ.dθ.dφ

Donde,

Para θ0 pequenos, tem-seMas como NA=senθ0 vem que

( )

3

2

1S

S

r d Sr

dS r d Sr

Ω =

=

∫∫

∫∫

i

∵

( )

02

0 0

02 1 cos

sen d dπ θ

φ θθ θ φ

π θ= =

Ω =

= −

∫ ∫

( )1 22 20 0 0

1cos 1 12

sen senθ θ θ= − −

2 20 0

12 1 12

sen senπ θ π θ Ω − − =

( ) ( )22 2 20 1 2sen NA n nπ θ π πΩ = = −

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ii) Para um modo de radiação electromagnética entrando ou saindo da abertura do núcleo, o ângulo externo é dado pelo ângulo de difracção do campo distante (“far-field”) de um feixe gaussiano.Ângulo de campo distante:

De acordo com a alínea anterior,

iii) Usando a eq. (9) com ∆=0,01 tem-se para a abertura numérica:NA=n1(2∆)1/2=1,46.(2.0,01)=0,21

Para ângulos pequenos, o ângulo de aceitação no ar é dado por:Ω=πsen2θa=π(NA)2=π.0,04=0,13 rad

Usando a eq. (8) para a diferença do índice de refracção relativo

10 tg

a aλ λθ

π π− =

2 22 2

0 0 2modo sena a

λ λπ θ πθ ππ π

Ω = =

1 2 2 2

1 1 1

1 1 1 0,01 0,99n n n nn n n−

∆ = − ⇒ = − ∆ = − =

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Da eq. (5) vem que o ângulo crítico na interface núcleo-baínha éΦχ=sen-1(n2 / n1)=sen-10,99=81,9º

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““SkewSkew--raysrays””

São raios que não são confinados a um único plano, mas seguem um percurso helicoidal na sua propagação no interior da fibra, atravessando assim diferentes planos. São, por isso, mais difíceis de traçar.

Apesar dos “skew rays” constituírem uma parcela significativa do número total de raios guiados, a sua análise, bastante complexa, não é necessária para se obter uma ideia geral da propagação de raios no interior de uma fibra óptica. Assim, para a maior parte dos casos, a análise de raios meridionais é considerada adequada.

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Modos electromagnéticos numa fibra ópticaModos electromagnéticos numa fibra ópticaA aproximação geométrica é útil para visualizar a propagação da luz na fibra

Para se obter um modelo preciso para a propagação da luz na fibra, a teoria electromagnética deve ser usada

A base da análise electromagnética são as equações de Maxwell e condições fronteira adequadas ao caso da fibra óptica

Para simplificar a análise inicial, é frequente usar-se uma guia de onda plana dieléctrica, designada por “symmetrical-slab waveguide”

n2

n2

n1

Guia de onda dieléctrica planar

Um “symmetrical-slab waveguide” é composto de material dieléctrico com índice de refracção n1ensanduichado por material dieléctrico com índice de refracção n2 < n1 . Tal estrutura representa a forma mais simples de guia de onda óptico, servindo de modelo para a compreensão da propagação das ondas electromagnéticas no interior da fibra óptica – ver figura acima.

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Representação de onda associada a raios de luzRepresentação de onda associada a raios de luz

Cada raio indica a direcção de propagação da luz, sendo perpendicular à frente de onda (linha a tracejado)Para ondas planas todos os pontos ao longo da mesma frente de onda estão em faseInterferência destructiva ocorre quando a diferença de fase entre dois pontos não é um múltiplo inteiro de 2π ; quando tal se verifica, o raio luminoso não se propagaO percurso do raio entre A e C envolve uma variação de fase devida à distância entre AB e BC bem como uma outra variação de fase devida às reflexões em A e BCombinando estas variações de fase e igualando o resultado a um múltiplo de 2π(interferência construtiva), obtém-se uma condição para a propagação dos “raios” luminosos, cuja designação mais adequada agora é de “ modos de propagação”

A

B

C

n1

n2 < n1

n2 < n1

d

θ1θ1

A teoria da óptica geométrica parece permitir que qualquer raio de luz incidente segundo um ângulo θ1inferior ao ângulo crítico θc possa propagar-se ao longo da fibra. Todavia, quando o efeito de interferência devido à fase da onda plana associada ao raio é considerado, apenas raios incidentes segundo certos ângulos iguais ou inferiores a θc, isto é, para valores discretos de θ1 , são permitidos propagarem-se na fibra. Consideremos a figura acima esquematizada. À medida que o raio se propaga sofre uma variação de fase dada por

(10)

k1 é a constante de propagação no meio n1; k=k1/n1 é a constante de propagação no vácuo; s é a distância percorrida pelo raio.Ora, a fase da onda plana, associada ao raio, que é duplamente reflectida na interface núcleo-bainha, deve ser a mesma da onda incidente, ou seja, a onda deve interferir construtivamente consigo própria. Da figura, a variação total de fase de A → B → C, com duas reflexões em A e B, deve ser um múltiplo inteiro de 2π. Da eq. (10) tem-se que

(11)

e da eq. (2) - assumindo por simplicidade que a onda é polarizada normal ao plano de incidência

(12)

com n = n1/n2. Então, a seguinte condição deve ser satisfeita

(13)

onde M é um inteiro que determina quais os ângulos de incidência permitidos aos raios que se propagam nas fibras.

λπ

δsnsknsk .2.... 1

11 ===

=

1sen2d..1 θ

δ knAC

−=

1

122

1 .1cos

2θθ

δsenn

narctg

Msen

dkn .22..21

1

1 πδθ

=+

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Distribuições de Distribuições de EE para vários modos guiados num “para vários modos guiados num “symmetricalsymmetrical--slabslab””

Como outras guias de onda, a fibra óptica guia ondas luminosas de padrões distintos chamadas de modos, os quais descrevem a distribuição da energia óptica através da guia de onda. O comprimento de onda da radiação e as dimensões, forma e natureza do guia de onda determinam que modos se propagam.

Para a fibra, e numa análise simplificada, o diâmetro do núcleo e o comprimento de onda da luz especificam o número de modos possíveis: em termos simples, quanto maior a guia de onda, medida em termos de comprimentos de onda, mais modos pode esta suportar.

Em essência, as dimensões da guia estabelecem as condições fronteira para os campos eléctrico e magnético que constituem o campo electromagnético. Tendo em conta estas condições fronteira nas equações de onda, pode-se então calcular as propriedades teóricas da guia de onda em questão. As soluções destas equações diferenciais representam os modos de propagação.

A figura acima ilustra os padrões de campo de vários modos de ordem inferior, os quais representam soluções das equações de Maxwell para o “slab-waveguide”. A ordem de um modo é igual ao número de zeros através do guia de onda (a intensidade nula é representada pela linha tracejada).

Da figura pode-se observar que o campo eléctrico dos modos guiados não está completamente confinado à parte central do “slab”, ou seja, não se anulam na fronteira entre os dois meios; ao invés, estendem-se parcialmente na região correspondente ao segundo meio. Conclui-se também que o campo varia harmonicamente na parte central do guia de onda, enquanto fora desta região apresenta um decaimento exponencial. Para modos de ordem inferior, a maioria da energia está concentrada na zona central da “slab”, ao contrário do que acontece para modos elevados, em que a distribuição do campo penetra mais profundamente no segundo meio.

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Tipos de fibra ópticaTipos de fibra óptica

Variações na composição material do núcleo originam os dois tipos de fibra mais vulgares esquematizados na figura.

No primeiro caso, o índice de refracção do núcleo é uniforme em toda a sua extensão, sofrendo uma variação abrupta (“degrau”, ou em inglês “step”); esta fibra designa-se por fibra de índice em degrau (ou fibra “step-index” ).

No segundo caso, o índice de refracção do núcleo não é homogéneo mas varia com a distância radial ao centro da fibra; esta é a fibra de índice gradual ( ou fibra “graded-index” ).

Quer as fibras tipo “step-index” ou “graded-index” podem ainda ser subdivididas em monomodo(“singlemode”) ou multimodo (“multimode”).

Como o nome indica, fibras monomodo suportam apenas um único modo de propagação. Ao invés, as fibras multimodo suportam a propagação de centenas de modos.

De reparar que na figura estão indicadas as dimensões típicas das diferentes fibras, o que dá uma ideia da sua escala dimensional.

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Fibras multimodo de índice em degrau (“stepFibras multimodo de índice em degrau (“step--index”)index”)

Tipo de fibra mais simples e antiga

N1 é o índice de refracção do núcleo; N2 é o índice de refracção da baínha

A designação “índice em degrau” resulta da variação abrupta do índice de refracção ao passar da baínha para o núcleo

0 N2 N1

Perfil do índice de refracção

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Teoria electromagnética de propagação de modos em fibras ópticasTeoria electromagnética de propagação de modos em fibras ópticasEquações de Maxwell

(14a)

(14b)

(14c)

(14d)E - campo eléctricoH - campo magnéticoD - densidade de fluxo eléctricoB - densidade de fluxo magnético

0B.

0D.

DH

BE

=∇

=∇

∂∂

=×∇

∂∂

−=×∇

→

→

→→

→→

t

t

Nas equações de Maxwell, acima escritas, supõe-se que o meio é dieléctrico , isotrópico e linear, sem correntes nem cargas livres. Os quatro vectores de campo estão relacionados por

(15)

onde ε é a permitividade dieléctrica e µ é a permeabilidade magnética. De relembrar que no vazio

Nota: Um meio diz-se dieléctrico quando a sua condutividade σ é desprezável, ou seja, as suas propriedades eléctricas e magnéticas são completamente determinadas por ε e µ.; por outro lado, dado a fibra ser um meio não-magnético µ é aproximado por µ0.

→→

→→

=

=

HB

ED

µ

ε

1-1-70

2-1-290

88

0

.mWb.A104

.m.NC1036

1

m/s1031099792458,21

0

−

−

×=

⋅=

×≈×==

πµπ

ε

εµc

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Equações de onda

(16)

(17)2

22

2

22

HH

EE

t

t

∂∂

=∇

∂∂

=∇

→→

→→

εµ

εµ

A partir das equações de Maxwell pode-se derivar uma relação definindo a propagação das ondas do campoelectromagnético, que se designam por equações de onda.Método:Aplicando o rotacional à eq. (14a), usando a identidade vectorial ∇x(∇xE) = ∇(∇. E) - ∇2E e recorrendo à eq. (14c) obtém-se a equação de onda para o campo eléctrico E.

Por um raciocínio análogo, obtém-se a segunda equação de onda para o campo magnético.

Para coordenadas rectangulares cartesianas e cilíndricas polares, as equações de onda acima escritas são válidas para uma das três componentes de cada campo vectorial, isto é, satisfazem a equação de onda escalar

(18)

onde ψ representa qualquer uma das componentes de E ou H, e vP é a velocidade de fase no meio dieléctrico:

(19)

De notar que a velocidade de fase é a velocidade de propagação de um ponto de fase constante na onda electromagnética.

2

2

2P

2

v1

t∂∂

=∇ψψ

µε1vP =

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Soluções das equações de onda(20)

(21))(0

)(0

).,(HH

).,(EE

ztj

ztj

er

er

βω

βω

φ

φ

−→→

−→→

=

=

Considerando a fibra óptica cilíndrica e o sistema de coordenadas polares da figura (onde se assume que a propagação dos modos é ao longo do eixo dos zz), verifica-se que a solução básica da equação de onda é uma sinusóide, sendo a mais importante a onda plana uniforme que apresenta uma dependência funcional dada pelas expressões das eqs. (20) e (21).

Substituindo as eqs. (20) e (21) em (14a) e (14b), respectivamente, e por manipulação adicional obtém-se

(22a)

(22b)

(22c)

(22d)

onde q2 = εµ ω2 - β2. De notar que uma vez conhecidas as componentes Ez e Hz todas as outras componentes podem ser determinadas.

∂

∂+

∂∂

−=

∂

∂−

∂∂

−=

∂

∂−

∂∂

−=

∂

∂+

∂∂

−=

rrqj

rrqj

rrqj

rrqj

zz

zzr

zz

zzr

EHH

EHH

HEE

HEE

2

2

2

2

εωφ

β

φεωβ

µωφ

β

φµωβ

φ

φ

Abel Costa

AJC


Equações de onda em coordenadas cilíndricas

(23)

(24)0HH1H1H

0EE1E1E

22

2

22

2

22

2

22

2

=+∂

∂+

∂∂

+∂

∂

=+∂∂

+∂

∂+

∂∂

zzzz

zzzz

qrrrr

qrrrr

φ

φ

Se as condições fronteira não conduzirem ao acoplamento entre as componentes do campo electromagnético, soluções de modos podem ser obtidas para as quais Ez = 0 ou Hz = 0.

Quando Ez = 0 os modos são designados por transversos eléctricos, abreviando-se para modos TE. Quando Hz = 0 os modos designam-se por transversos magnéticos, ou recorrendo a siglas, modos TM.

Modos híbridos existem se Ez ou Hz são não-nulos. Designam-se neste caso por modos HE ou EH, dependendo de Hz ou Ez , respectivamente, terem a maior contribuição para o campo transverso.

No caso de fibras ópticas, estão presentes modos híbridos, o que torna a sua análise bastante mais complexa do que no caso em que apenas existam modos TE ou TM (caso, por exemplo, de guias de onda metálicas ocas).

Abel Costa

AJC


Fibras de índice em degrau (“Fibras de índice em degrau (“stepstep--indexindex”)”)Usando o método de separação de variáveis, a solução da eq. (23) é da forma

(25)Como já pressuposto (ver eq. 4):

(26)e supondo F2 periódica em φ

(27)

Substituindo na eq.(25) e usando a eq. (23) obtém-se

(28)

( ) ( ) ( ) ( )tFzFFrFAz 4321 ....E φ=

( ) ( ) )(43 . ztjetFzF βω −=

( ) νφφ jeF =2

0112

221

21

2=

−+

∂∂

+∂

∂ Fr

qrF

rrF ν

De notar que a dependência em φ é periódica devido à simetria cilíndrica da fibra, o que se traduz no facto de a componente F2 dever ser a mesma quando φ varia de 2π.

De referir que uma equação idêntica a (28) pode ser obtida para Hz.

A eq. (28) é uma equação diferencial conhecida, tendo como solução a função de Bessel.

Na derivação, assume-se uma fibra “step-index”, com núcleo homogéneo de índice de refracção n1 e raio a, o qual é rodeado por uma bainha de dimensão infinita e índice de refracção n2 . A razão de a bainha ser infinita resulta de os modos guiados no núcleo terem um decaimento exponencial fora do mesmo, devendo ser desprezáveis (i. e., nulos) na fronteira externa da bainha - na prática, a bainha tem uma espessura suficiente para o campo dos modos guiados ser desprezável na fronteira da mesma.

Abel Costa

AJC


As expressões para Ez e Hz no núcleo são

(29)

(30)

As expressões para Ez e Hz na baínha são

(31)

(32)

( ) ( )

( ) ( ) )(

)(

...H

...E

ztjjz

ztjjz

eeurJBar

eeurJAar

βωνφν

βωνφν

−

−

=<

=<

( ) ( )

( ) ( ) )(

)(

...H

...E

ztjjz

ztjjz

eerKDar

eerKCar

βωνφν

βωνφν

ϖ

ϖ

−

−

=>

=>

A, B, C e D são constantes arbitrárias.

Jν (ur) representam as funções de Bessel do 10 género de ordem ν , com

u2 = k12 - β2 e k1 = 2π n1 / λ (33)

Kν (ϖr) representam as funções de Bessel modificadas do 20 género de ordem ν , com

ϖ2 = β2 - k22 e k2 = 2π n2 / λ (34)

Abel Costa

AJC


De reparar que, do gráfico, as funções de Bessel Jν (r) são funções oscilatórias gradualmente amortecidas com respeito a r. Pode-se também notar que o campo é finito para r =0, sendo representado pela função de Bessel J0 de ordem zero. Todavia, o campo anula-se quando r → ∞ . Assim, as soluções na bainha são funções de Bessel modificadas Kν .Estas funções decaem exponencialmente com r, como pode ser observado na parte inferior (b) da figura.

Abel Costa

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Valores de β possíveis que representam soluções de modos guiados

n2 k = k2 ≤ β ≤ k1 = n1 k (35)

com k = 2π /λ constante de propagação do vazio.

A condição acima para os valores de β resulta de duas condições de corte (“cutoff conditions”):

i) da definição da função de Bessel modificada: Kν (ϖr) → e-ϖr se ϖr → ∞ ; mas como Kν (ϖr) → 0 se r → ∞ , então ϖ > 0 ⇒ β ≥ k2 ;

ii) deriva da função Jν (ur): dentro do núcleo o parâmetro u deve ser real para que F1 seja real, o que implica que k1 ≥ β .

Abel Costa

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Para um guia de onda cilíndrico (a fibra) todos os modos de propagação são híbridos, excepto aqueles para os quais ν =0 (não existe dependência angular): neste caso, duas equações de valores próprios resultam, cujas soluções correspondem a modos TE0m (Ez = 0) e TM0m (Hz = 0).

Quando ν ≠ 0 a situação é bastante complexa, sendo necessário recorrer a métodos numéricos para se determinar os modos de propagação, que correspondem a soluções da equação transcendental

(36)

Nota: Para uma dedução exaustiva da eq.(36) ver “Optical Electronics in Modern Communications”, capítulo 3, 5ª edição, de Amnon Yariv, Oxford University Press (1997).

( )( )

)(

)(

11...

'

'

2

22

222

21

aKK

uauJJ

uakk

ν

νν

ν

νν

νννν

ϖϖ

ϖβν

=

=

+

=++

K

J

KJKJ

Abel Costa

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Frequência normalizada V

(37)

Constante de propagação normalizada b

(38)

( ) ( )22

21

22222 .2. nnauaV −

=+=

λπϖ

22

21

22

2

2

22

nn

nkV

ab−

−

==

βϖ

De notar que a frequência normalizada V , também designada por constante estrutural, é um parâmetro adimensional, donde algumas vezes se designar por número V ; com base nesta variável, pode-se determinar quantos modos uma fibra óptica pode suportar.

Relembrando as eqs. (7) e (8), pode-se rescrever eq. (37) como

V = 2π / λ . a . NA= 2π / λ . a . n1 . √2∆ (39)

De notar que V combina informação sobre três parâmetros importantes no desenho de uma fibra óptica: a, raio do núcleo; ∆, diferença relativa do índice de refracção núcleo-bainha; λ, comprimento de onda da radiação luminosa.

Da expressão para os modos guiados dada pela eq. (35), que define os limites para β (n2k e n1k, respectivamente), tem-se que 0 ≤ b ≤ 1.

Abel Costa

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Só existe um modo quando V<2,405!!

Da figura conclui-se que cada modo apenas pode existir para valores de V que excedam um certo valor limite. Os modos deixam de existir (“cutoff”) quando β / k = n2.

De notar que o modo HE11 não tem “cutoff” e só se anula quando o diâmetro do núcleo é zero. Este é o princípio no qual a fibra monomodo se baseia - um único modo de propagação. Por uma escolha apropriada do raio do núcleo a , n1 e n2 de maneira que

(40)

que representa o valor para o qual a função de Bessel J0 , de ordem inferior, é zero; quando a expressão (40) é válida, verifica-se que todos os modos excepto HE11 se anulam.

No caso de uma fibra multimodo, com um valor de M (número total de modos) elevado, uma relação aproximada entre o parâmetro V e M pode ser derivada para o caso de uma fibra “step-index”

(41)

( ) 405.2221

22

21 ≤−= nnaV

λπ

( )2

2 222

212

22 VnnaM =−≅λ

π

Abel Costa

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““WeaklyWeakly guidingguiding fiber fiber approximationapproximation””

∆ << 1 (42)

donde a eq. (36) poder ser escrita como

(43)

com1 para os modos TE e TM

j= ν + 1 para os modos EHν − 1 para os modos HE

( ))(

)(

)(11aK

a

ua

uau

j

j

j

j KJJ

ϖ

ϖϖ −− −=

As equações acima representadas indicam que, na aproximação ∆ << 1, todos os modos caracterizados por um conjunto comum de j e ν satisfazem a mesma equação característica. Tal significa que estes modos são degenerados, comportando-se como ondas TEM.

A resolução da eq. (43), tendo em contas as eqs.(33) e (34), permite calcular o valor próprio u, e portanto β, em função da frequência normalizada. Assim, as características de propagação dos vários modos, a sua dependência do comprimento de onda e parâmetros da fibra podem ser determinadas.

Abel Costa

AJC


Nota: Comparar a figura com a figura de dois quadros atrás.

Qualquer combinação de um modo HEν+1,m com um modo EHν-1,m constituirá, igualmente, um modo guiado. Tais modos, obtidos da combinação de modos degenerados, designam-se por modos linearmente polarizados, representando-se pela notação LPjm ; de notar que só faz sentido falar de modos LP na “weaklyguiding fiber approximation”. Em geral, tem-se

1. Cada modo LP0m é derivado de um modo HE1m ;

2. Cada modo LP1m resulta dos modos TE0m , TM0m e HE2m ;

3. Cada modo LPνm (ν ≥ 2) deriva dos modos HEν+1 e EHν-1 .

Abel Costa

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A figura ilustra as quatro possíveis direcções dos campos eléctrico e magnético e as correspondentes distribuições de intensidade para o modo LP11 .

Abel Costa

AJC


Na figura é esquematizada a composição dos dois modos LP11 a partir dos modos exactos e seus campos eléctricos e magnéticos transversos, e respectivas distribuições de intensidade.

Abel Costa

AJC


A figura mostra os perfis de intensidade do campo eléctrico para os 3 modos LP (a) de ordem mais baixa, em conjunto com a distribuição do campo eléctrico dos modos exactos (b e c), que são seus constituintes.

Observar, a partir das configurações dos modos exactos, que a intensidade do campo na direcção transversa (Ex ou Ey) (parte d para Ex) é idêntica para os modos exactos que pertencem ao mesmo modo LP - daqui resulta a designação linearmente polarizado.

Abel Costa

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Fluxo de potência em fibras “Fluxo de potência em fibras “stepstep--indexindex””Fracção do fluxo de potência no núcleo para o modo ν

(44)e na baínha

(45)

−

−=

−+ )().()(11

11

2

2

2

uauauaJ

Vu

P JJPcore

νν

ν

PPPP coreclad −=1

Como já anteriormente discutido (ver figura do quadro da página 23), o campo electromagnético para um dado modo não tende para zero na fronteira núcleo-bainha, mas varia de um comportamento oscilatório (núcleo) para um decaimento exponencial (bainha). Assim, a energia electromagnética de um modo guiado é transportada parte no núcleo e parte na bainha: tanto mais distante um modo está do seu “cutoff” mais concentrada a sua energia no núcleo; ao invés, à medida que o “cutoff” se aproxima, maior é a percentagem da energia que viaja na bainha; na zona de “cutoff”, o campo não mais decai fora do núcleo e o modo torna-se um modo radiativo.

No caso de fibras ópticas que suportam a propagação de muitos modos, a fracção da potência total na bainha é aproximada por

(46) 12

4 4 23 3

clad

P VP M −≅ =

Abel Costa

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Fibras monomodo (“singleFibras monomodo (“single--mode fibers”)mode fibers”)

Apresentam diâmetros do núcleo de alguns comprimentos de onda (tipicamente, entre 8-12 µm)

Diferença relativa do índice de refracção núcleo baínha ∆ pequena (entre 0,2 e 1%)

Apenas suportam um único modo de propagação, o modo fundamental LP01, o que para fibras “step-index” só é possível para a gama de valores

0 ≤ V ≤ 2,405 (47)

0 N2 N1


Dado que apenas o modo LP01 existe, verifica-se que o limite para operação de um único modo depende do “cutoff” do modo guiado LP11 : este ocorre à frequência normalizada de Vc = 2,405 (ver figura do quadro da página 36).

Na prática, e dado a diferença do índice de refracção núcleo-bainha variar entre 0,2 e 1%, o diâmetro do núcleo deve ser ajustado ligeiramente abaixo do valor de “cutoff” do modo LP11, ou seja, V um tudo nada inferior a 2,4. A título exemplificativo, valores típicos para fibra monomodo são: diâmetro do núcleo de 8,5 µm, diferença relativa de índices de ∆ ≈ 0,3% a um comprimento de onda de 1,3 µm, donde resulta que V ≅2,355.

Abel Costa

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Fibras Fibras monomodo (cont.)monomodo (cont.)

É o tipo de fibras mais corrente em telecomunicações. Principais razões:

Exibem as maiores larguras de banda de transmissão e as menores perdas

Dispõem de uma qualidade de transmissão superior a qualquer outro tipo de fibra

Oferecem uma capacidade de evolução substancial para suportar futuros serviços de banda larga

Apresentam compatibilidade com a tecnologia de óptica integrada em desenvolvimento

Asseguram, em elevado grau, que a sua instalação é “ à prova do futuro” pois exibem tempos de vida médios superiores a 25 anos

Abel Costa

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Distribuição de energia numa fibra monomodo e multimodoDistribuição de energia numa fibra monomodo e multimodo

7-9 µm

Núcleo

Baínha

Distribuição de energia em fibras monomodo: máximo ocorre no centro do núcleo

(sombreado mais escuro = maior energia)

Núcleo

> 50 µm

Baínha

Distribuição de energia em fibras multimodo está confinada ao núcleo

A distribuição da intensidade da energia óptica numa fibra monomodo não é uniforme, nem está confinada totalmente ao núcleo (cerca de 20% propaga-se na baínha).

Em fibras multimodo, assumindo-se a aproximação modal em vez da óptica geométrica (ou traçado de raios), verifica-se que uma pequeníssima percentagem da energia está confinada à baínha, na região imediatamente a seguir ao núcleo; tipicamente, tal energia representa < 1% da energia total. Assim, a aproximação da óptica geométrica mantém-se válida.

Abel Costa

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“Mode-field diameter (MFD)” e “spot size” (I)

Muitas propriedades do modo fundamental LP01 são caracterizadas pela extensão radial do seu campo electromagnético, donde a distribuição espacial da radiação é que importa conhecer e não o diâmetro do núcleo e a abertura numérica da fibra. Assim, o “mode-field diameter- MDF” é um parâmetro fundamental para a caracterização da fibra monomodo: inclui a dependência da penetração do campo em função do comprimento de onda (por outras palavras, nem toda a radiação luminosa é transportada no núcleo, conforme esquematizado na parte esquerda da figura).

Para fibras monomodo do tipo “step-index” ou “graded-index”, operando perto do comprimento de onda de “cutoff”, o campo é bem aproximado por uma distribuição gaussiana (parte direita da figura): neste caso, o MDF define-se como a distância entre os pontos para os quais a amplitude do campo decaiu de 1/e (0,37) do seu valor máximo.

Um outro parâmetro, directamente relacionado com o “mode-field diameter”, é o denominado “spot size” ou “mode-field radius” ω0 : MFD = 2 ω0.

Todavia, para fibras reais e com perfis de índice arbitrários, a distribuição do campo não é estritamente gaussiana. Vários modelos foram propostos para caracterizar e medir o MDF, sendo que o designado por “definição de Petermann II” é bastante aceite, sendo recomendado pelo ITU-T (ex-CCITT).

Para os interessados em aprofundar este tópico, recomenda-se o artigo: K. Petermann, Electron. Lett., vol. 19, pp. 712-714, 1983.

Abel Costa

AJC


“Mode-field diameter (MFD)” e “spot size”(II)

Quando V → 2,4 então “spot size w” → raio do núcleo da fibra a

Para V < 2, o “spot size” é bastante superior às dimensões do núcleo

Para V < 2, o feixe de luz é parcialmente contido na baínha, aumentando assim as perdas

Por este motivo, o valor da constante estrutural deve ser: 2 < V < 2,4

MFD ou o “spot size” são parâmetros frequentemente especificados bem como o diâmetro ou o raio do núcleo da fibra

Abel Costa

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A aproximação gaussiana

A figura mostra o perfil do campo electromagnético do modo fundamental no interior de uma fibra monomodo “step-index” para dois valores da frequência normalizada. Dependendo do valor de V, uma porção significativa da energia do modo propaga-se na região da bainha; mesmo para o valor de “cutoff” Vcsomente 80% da energia viaja no interior do núcleo.

Pode-se observar da figura que a forma do modo fundamental LP01 é semelhante a uma curva gaussiana, o que permite aproximar a distribuição exacta do campo por uma distribuição gaussiana. A razão da aproximação gaussiana para a distribuição transversa do campo reside na sua simplicidade em relação à solução exacta, sendo muito útil nos cálculos envolvendo eficiências de acoplamento na entrada da fibra bem como perdas em juntas e conectores. Neste contexto, descreve com bastante precisão o campo no interior do núcleo, originando valores para a constante de propagação β do modo guiado bastante aproximados aos valores correctos.

Nesta aproximação apenas um parâmetro, o “mode-field raius” ω0 , é necessário para definir a distribuição radial da amplitude do campo. Este é aproximado pela seguinte fórmula empírica, com uma precisão melhor que 1%

(48)

r - raio do núcleoλc - comprimento de onda de “cutoff”λ - comprimento de onda da radiação luminosa

Nota: Para uma explicação mais detalhada ver Senior, págs. 67 - 73.

++=

ccr

λλ

λλ

ω

623

0 0149,0434,065,0

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Propagação de modos em fibras “single-mode”Existem dois modos de propagação degenerados, que apesar de análogos são independentes;Apresentam planos de polarização ortogonais;Propagam-se com diferentes velocidades de fase;Têm índices de refracção efectivos distintos, sendo a sua diferença chamada de birefringência da fibra Bf : Bf = ¦ nx - ny ¦ = ¦ βx - βy ¦ .

O facto de termos dois modos de propagação degenerados resulta de o modo fundamental LP01 ser na realidade a combinação de dois modos HE11 (ver tabela do quadro da página 36). Apresentam planos de polarização ortogonais, os quais podem ser arbitrariamente escolhidos como polarizações horizontal (H) ou vertical (V), conforme ilustrado na figura. Em geral, o campo eléctrico da radiação é uma sobreposição linear destes dois modos de polarização, dependendo também da polarização da luz na entrada da fibra.

Em fibras ideais, perfeitamente cilíndricas, os dois modos são degenerados com constantes de propagação iguais (kx = ky) donde um modo excitado com o seu estado de polarização na direcção dos xx não interagirá com o modo com o estado ortogonal segundo yy, isto é, a luz injectada na fibra manterá o seu estado de polarização inicial ao longo da fibra. Todavia, as fibras reais apresentam imperfeições (núcleos não circulares, não-concentricidade núcleo-bainha, tensões laterais assimétricas, variações nos índices de refracção, etc) que quebram a simetria circular, levantando a degenerescência dos dois modos (kx ≠ ky). Daí propagarem-se com velocidades de fase ligeiramente diferentes, de que resulta a birefringência da fibra Bf , a qual também se pode definir pela seguinte expressão

β = k0 ¦nx - ny¦ (49)

Se ambos os modos são excitados, então verifica-se, devido à birefringência, um atraso de fase entre eles. Quando esta diferença de fase é um múltiplo inteiro de 2π, os dois modos estarão em fase donde o seu estado de polarização inicial à entrada da fibra será reproduzido. O comprimento da fibra sobre o qual ocorre este batimento designa-se por “fiber beat length - LP”

LP = 2π / β (50)Em fibras monomodo convencionais Bf não é constante ao longo da fibra mas varia aleatoriamente devido a flutuações na secção do núcleo e não-homogeneidade do seu índice de refracção. Em consequência, luz injectada na fibra com polarização linear rapidamente alcança um estado de polarização arbitrário.

Abel Costa

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Fibras multimodo de índice gradual (“gradedFibras multimodo de índice gradual (“graded--index”)index”)

Diâmetros do núcleo típicos para esta fibra: 50 a 120 µm

Diferentes perfis do índice de refracção foram desenvolvidos

A designação “índice gradual” resulta da variação gradual do índice de refracção no núcleo, desde um máximo no eixo do núcleo até um mínimo na interface núcleo-baínha


0 N2 N1

variaçãoparabólica

Abel Costa

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Fibras de índice gradual (“Fibras de índice gradual (“gradedgraded--indexindex fibersfibers”)”)

Não têm um índice de refracção constante no núcleo, mas sim um decréscimo gradual desde um valor máximo n1 no eixo da fibra até ao valor n2 - constante - na bainha. Matematicamente,

(51)

A equação expressa de modo conveniente o perfil do índice de refracção do núcleo da fibra em função do parâmetro α : para α = ∞ representa um perfil “step-index”; para α = 2 um perfil parabólico; para α =1 um perfil triangular.

Hoje em dia, o perfil do índice de refracção que produz os melhores resultados em termos das características das fibras multimodo é o aproximadamente parabólico com α ≈ 2. É tal a difusão de tais fibras que o termo “índice gradual” usado sem mais especificação adicional refere-se a fibras com perfil aproximadamente parabólico. Daqui em diante, quando nada for dito em contrário, o termo “fibras multimodo de índice gradual” representa este tipo de perfil.

[ ]( ) ( ) )(,121

)(0,)/(21)(

2121

1

21

1

baínhaarnnn

núcleoararnrn

≥=∆−≅∆−=

≤≤∆−= α

Abel Costa

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Usando a aproximação da óptica geométrica, o decréscimo gradual do índice de refracção do centro do núcleo origina uma multitude de refracções dos raios, uma vez que eles efectivamente incidem sobre um grande número de interfaces sucessivas, passando de regiões de índice de refracção elevado para outras de índice inferior.

Este mecanismo é ilustrado na figura, onde se pode observar a curvatura gradual do raio, com um ângulo de incidência cada vez maior, até que as condições de reflexão interna total se concretizam; nesse instante, o percurso do raio altera-se, propagando-se agora em direcção ao eixo do núcleo.

Abel Costa

AJC


A figura esquematiza uma fibra multimodo com perfil de índice de refracção parabólico. Como se pode ver, os raios meridionais parecem percorrer caminhos curvos na sua propagação ao longo da fibra

Apesar de muitos modos distintos serem excitados na fibra “graded-index”, as diferentes velocidades de grupo dos modos tendem a ser normalizadas pelo perfil do índice. Recorrendo novamente ao traçado de raios, verifica-se que os raios que viajam mais perto do eixo da fibra percorrem distâncias menores que aqueles que se propagam na zona mais externa do núcleo. Todavia, a zona central da fibra corresponde a uma região de índice de refracção elevado donde os raios que viajam nesta zona fazem-no a uma velocidade inferior à dosraios externos. Existe, assim, uma compensação dos percursos mais longos, que se traduz numa redução da dispersão da fibra - os diferentes raios, apesar de se propagarem ao longo de percursos distintos, demoram aproximadamente o mesmo tempo a efectuar a sua propagação no interior da fibra.

Uma situação análoga existe para os “skew rays”.

Abel Costa

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Abertura numérica NA de fibras multimodo “graded-index”

A determinação da abertura numérica para este tipo de fibras é bem mais complexa que no caso de fibras “step-index”.

Considerações de óptica geométrica mostram que a luz incidente no núcleo da fibra na posição r propagar-se-á como modo guiado somente se estivar dentro da abertura numérica local NA(r) nesse ponto, definindo-se como

(52)

onde NA(0) representa a abertura numérica no eixo da fibra

(53)

A figura mostra as aberturas numéricas para fibras multimodo com diferentes perfis do índice de refracção α.

( )[ ] ( ) ( )ar

ararNAnrnrNA

<=

≤−≅−=

0

,10)( 21

22

2 α

( ) ( )[ ] ( ) ∆≅−=−= 200 121

22

21

21

22

2 nnnnnNA

Abel Costa

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Modos em fibras multimodo “graded-index”A análise de modos usa métodos aproximados; o mais usado é o método WKB, de Wenzel, Kramers e Brillouin

De maneira idêntica à fibra “step-index”, a seguinte equação de onda escalar deve ser resolvida

(54)

Pelo método WKB, as soluções dos modos guiados são obtidas assumindo Ex a forma

(55)

( )[ ] 011 2222

2

22

2=−+

∂∂

+∂∂

+∂∂ ψβ

φψψψ krn

rrrr

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )zjsenl

lrjSrGrjSrG βφφ exp.cos.expexp

21E 21x

−+=

Nota: Para uma dedução da expressão do número total de modos guiados usando o método WKB ver Senior, págs. 50-55.

Abel Costa

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O número de modos guiados suportados por uma fibra multimodo “graded-index” é

(56)

Usando a eq. (39) vem

(57)

( ) ∆

+= ..

22

1 aknMα

α

+≅

2.

2

2VMα

α

No caso do núcleo da fibra ter um perfil de índice de refracção parabólico tem-se que

(58)

o que representa metade do número de modos guiados suportados por uma fibra multimodo “step-index” -ver eq. (41).

4

2VM ≈

fibras Ópticas: estruturas e teoria de propagaçãohsalgado/co/como_02_fibrasopticas.pdfpágina 51...

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